va chuyen de - classbook
TRANSCRIPT
VO DUONG THVY (Chu bien)- NGUYEN NGQC fl~M
TOAN NANG CAO ...
VA
cAc CHUYEN DE HlNH HOC 8
• (Tcii ban ldn thu chin)
NHA XUAT BAN GIAO Dl)C VI~T NAM
{[[W+bz0FkV43GmRt7u4DpvuYxd]]}
Cu6n Toan nang cao va cac chuyen d€ Hinh h9c 8 thui;>c hi;> sach Toan
nang cao va cac chuy€m dg dung cho h9c sinh kha, gioi bi[tc THCS.
Cu6n sach du<;Jc bien so~n theo chlidng trinh moi cua Bi;> giao dt,1c va Dao t~o.
Ni;>i dung sach g6m hai phiin:
Phlln thu nhat: Toan nang cao, g6m cac bai ti[lp du<;Jc s~p xep theo tUng
de 111l,lC cua chlidng trinh . Cac bai ti[lp dli<;JC h,ta chQn cta d~ng ve th~ lo~i , phong
phti ve each giai nh§.m cung c6 nhieu kien thuc, ren luy~n cac kha nang, phat
tri~n nang h,tc tli duy linh ho~t, sang t~o phu h<;Jp voi kha nang tiep thu cua
hQC sinh kha, gioi lop 8.
Phlln thu hai: Chuyen de', gioi thi~u bai toan tim gia tri IOn nhf(t, nh6
nhat trong hinh hQC, trong d6 gioi thi~u khai ni~m , VI dl,l ap dl,lng va CaC bai
toan ct~ h9c sinh luy~n t$.-p.
Cac tac gia hi VQng cu6n sach se Ia m<;>t tai li~u tham khao b6 ich cho cac
em hQC sinh ham thich hQC ti[lp m6n Toan, cung cap cho cac thiiy, co giao nhigu
tli li~u dn thiet trong vi~c d~y h9c, gitip cac bi[tc cha m~ m<;>t tu li~u ct~ huang
d~n con em h9c ti[lp d nha .
Cac tac gia mong nhi[tn ctu<;Jc nhung y kien ct6ng g6p vg cu6n sach.
cAcTAc GIA
{[[W+bz0FkV43GmRt7u4DpvuYxd]]}
Ph;i'n th t.f nhat
TOAN NANG CAO
ChU'O'ng I
TO' GIAC
§1. TU GIAC
1. m gicic ABCD Iii m(jt hinh g6m b6'n d:oon th&ng AB, BC, CD, DA, trong I do ba't ki hai doc;n thiing new cung kh6ng Cling nfim. tren m(Jt duiJng thiing
2. Tel giac lo'i la tU: gicic lu6n ndm trong m(Jt niia mQ,t phiing ma biJ let
d!tdng thiing chU:a ba_'t ki cc;nh nao cua tlt giac. .
3. Toi1g bi{n goc cua tel giac bling 360°.
Vi df!- 1. Cho tu: giac ABCD bie t A.: 8: c: 5 = 1 : 2 : 3: 4 .
a) Tinh cac g6c cua W gi <:'lc ;
b) Chung minh AB II CD;
c) G9i giao di~m cua AD va BC la E. Tinh cac g6c cua L'lCDE.
Gidi.
a) Theo de bai: ~ ~ ~
A:B:C:D =1 : 2:::~:4
E -'·
A. + 8 + (' + 5 = 360" = 36
"
1+ 2 + 3 + 4 10 L / \ 2 3 4
cv1 .A. + 8 + c + 5 = 3 60" ) A B
Do c16: Hinh 1
A. = 36"
8 = 36''.2 = n "
c = 36".3 = ! 08"
5
6 = 36°.4 = 144°
b) Do A+ 6 = 36° + 144" = 180° nen hai dLidng thiing AB va CD song song (vi
c6 hai g6c trong cling phia bu nhau) .
c) Do A~ B = 36° + 7i' = 108° =t 180° nen AD va BC kh6ng song song, do d6
chung dt nhau t?i E (hl). '
G6c CDE la g6c ngoai t?i dinh D cua tU giac ABCD, nen CDE + 6 = 180" ,
suy ra CDE = 180" - 6 = 180°- 144° = 36°.
C6 th~ tinh nhu sau:
Do DC II AB (theo cau a) nen CnE =A= 36° (hai g6c d6ng vi b~ng nhau).
Tuong tl;l : CDE = 7t' .
Trong ~CD E, ta c6: CEO= 180° - CDE- Dci = 180° - 36° - 72° = 72° .
Vi d~:t 2. Chung minh d ing trong m9t tU giac t6ng hai duCing cheo Wn hon t6ng hai c?ch doi.
Giai.
G9i 0 Ia giao di«im hai duCing cheo AC, BD cua tU giac 0
ABCD (h2) .
Trong cac tam giac AOB va COD thea bat d!ing thuc tam giac ta J§.n lu<;Jt c6:
OA+OB>AB
OC + OD >CD.
C<;Jng theo tUng ve hai bat d!ing thuc tren ta du<;Jc:
OA + OC + OB + OD > AB + CD
hay AC+BD>AB+CD.
Chung minh tuc:Jng tl,i: AC + BD >AD + BC.
BAIT~P
Hinh2
1. Tu giac ABCD c6 AB == BC, AD == DC == AC va A ==105°. Tinh cac g6c con l?i cua tU giac.
6
2. Cho w giac ABCD, biet 8 + c = 200° ; 8 + 5 = 180° ; c + 5 = 120°.
a) Tinh cac g6c cua tU giac;
b) Cac tia phfm giac CUFI g6c Ava g6c B cAt nhau 6 I. Chung minh
AlB= C+ D. 2
3. Chung minh ding ca.c g6c cua m(lt W giac khong th~ deu nh9n ho~c deu tu.
4. Cho Lli giac ABCD·, biet hni dtrdng th£ng AD va BC d.t nhau 6 E, hai dudng th£ng Al3 va CD cAt nhau 6 F. Cac tia phan giac cua g6c E va g6c F d.t nhau 6 I.
Tfnh g6c ElF theo g6c A va g6c C cua til giac ABCD.
5. Cho til giflc ABCD, trong d6 AB + BD khong ldn hdn AC + CD. Chttng minh r~ng AB < i\C.
6. Chung minh dng trong m(lL tU gi::'1.c, to"ng hai dtrCJng cheo Ian hdn ni.i:n chu vi nhung nh6 hdn chu vi cua tU giac ?tv.
7. Hai dtidng cheo cua tU gi;\c ABCD d.t nhau t0i 0, chia W giac thanh bon tam giac c6 dinh 0. Biet so do di~n tfch cua cac tam giac nay la nhung so nguyen . Chung minh di ng tfch die so do di~n tich cua tam giac d6 la m(lt st) chinh phudng.
§2. HINH THANG
1. Hinh thang
• Hinh thang la nujt ttl' gid.c c6 hai cc;m h do'i song song.
• Hinh thang uu6ng la hinh thang c6 m(Jt cc;mh ben vu6ng g6c udi hai day.
• Hinh thang c6 m(Jt g6c uui'mg la hinh thang vu6ng.
2. Hinh thang can
•Hinh thang can lit hinh thang c6 hai g6c M! ucJi 1n{Jt day bdng nhau.
• Trang hinh thang ca n:
- Hai cr;mh ben biing nhcw;
- Hai dztiJng cheo hiing nhau.
•Hinh thang thoa man m (J t trong cac di i!u hi¢n sau la hinh thang can:
- Haig6c hi m()t day biing nhcw;
- Hai dLtiJng cheo bdng nha.u.
7
3. Dztiing trung binh cua tam gicic
• fJztiJng trung binh c~la tam giac la dor;rn thling no'i trung die"m hai cg,nh
ctl.a tam giac.
• Duilng trung bin h czla tam g icic thi song song u(Ji cg,nh thu ba ua bdng nU:a cr;rnh ay,
4. Dudng trung binh Clta hinh thang
• Dztdng trung binh CLta hinh thong la dor;rn thling no'i trung die"m hai
con h ben czi.a hinh thang
• D1tiJng tru ng binh ctia hinh thang thi song song u(Ji hai day ua bdng ntl:a t6'ng hai day.
Vi du 3 : Cho tli giac ABCD. G9i M, N lfln ht<;J t la trung di~m cua AB, CD.
B _ A, AD + BC Cl ' , h -., ABCDl'h' h h Jet MN = . 1ting mm tti g1ac . a m t ang, 2
Giai.
Tren ta BN lay di~m E sao cho N la trung di~m cua BE.
6 NBC va ~NED c6:
NC = ND (gia thiet)
BNC = ON E (hai g6c cl oi di'nh)
)~. [~
NB = NE (theo each ve). A o E
Do d6 6NBC =6NED (c.g.c), suy ra DE= BC. Hinh3
Th ' ., l 'A' AD +·BC ' h A' AD+ DE eo gw t 11et MN = , v1 t e suy ra MN = - - -2 . 2
(1)
M<Ttt khac trong t a m giac ABE thi MN la dui1ng trung binh cua tam giac d6 AE
nen MN = -. 2
(2)
TLi (1) va (2) suy ra: AE =AD + DE. D~ng thuc nay chi xay ra khi ba di~m A. D, E th~ng han g.
L<:1i do 6NBC = 6NED nen BCD = EDC, do d6 DE II BC (hai g6c 6 vi trf so
le Lrong b~ng nha u) , tU d6 suy ra AD II BC.
V$.v tu giac ABCD la hlnh thang.
Vi du 4 : Cho tam giae dtn ABC (AB = AC), phan giac BD va CK G9i I la t run g di~m cua BC, ,J la trung di~m cua ED, 0 la giao di~m cua BD va CE.
Chung minh:
a) Tu giac BEDC Ia hinh thang can;
b) BE= ED= DC;
c) Bon di~m A, I, 0, J thitng hang.
Gidi:
. a) BD, CE 11in ltt<;Jt la phan giac cua g6c B, g6c C (theo A
gia thiet) n<'m §, = §,, c, = c, rna § = c (hai goc a day cua
tam giac can ABC), do cl6 B, = c, 11ABD va L1ACE c6:
A chung
AB = AC (gia thiet) B
B, = c, (chung minh tr€m). Hinh 4 c
Do d6 6ABD = 6ACE (g.c.g), suy ra AD= AE, vi the tam giac ADE can 6 A
nen AED = 1800 -A (1)
2
T . , ABC , ,, A , -c 180o - A (2) am g1ac can a nen AB = - --2
Tu (1) va (2) suy ra AED =ABC, do d6 ED II BC (hai g6c 6 v! tri dong v!
b~ng nhau). Tu giftc BEDC la hinh thang. Hinh thang BECD l1;1i c6 B = c nen
ln hinh thang can .
b) Do ED II BC (chting minh tr€m) nen D, = B, (hai g6c so le trong, rna
§, = §,, do d6 §, = 5, . Tam giac BED can 6 ctinh E, suy ra BE= ED. Ma BE = DC
(hai Ci;lnh ben cua hinh thang can BEDC) nen
BE= ED= DC.
c) I Ia trung di~m cua c9-nh BC (gia thiet) nen AI la trung tuyen cua tam
giac can ABC, do cl6 AI Ia tia phan giac cua g6c A. (1)
Chung minh tuong tt;t AJ Ia tia phan giac cua g6c A. (2)
Ta c6 §, = c,, do ct6 tam giac BOC din d 0 , suy ra OB = OC.
6AOB = 6AOC (c.g.c) nen OAB = OAC ,
suy ra AO Ia tia phan giac cua g6c A . (3).
Tu (1), (2) va (3) suy ra cac tia AI, AJ, AO trung nhau. V?y bon di~m A, I,
0 , J thitng hang.
9
BAIT~P
8. Cho hinh thang ABCD (AD II BC). Bie't A- 8 = 20°; A+ C = 150°. Tinh
cac g6c cua hinh thang.
9. Cho hinh thang ABCD (AB II CD), trong d6 day CD bll.ng t6ng hai c~nh
ben BC va AD . Chung minh ril.ng hai tia phan giac cua g6c Ava g6c B d.t
nhau t~i m9t di~m thu9c c~nh day CD.
10. Cho hinh thang ABCD, bie't A = 8 = 90° , AB = BC = _!_AD . 2
a) Tinh cac g6c cua hlnh thang;
b) Chung minh AC vuong g6c vdi CD;
c) Tinh chu vi cua hinh thang ne'u AB = 36n.
11. Cho hinh thang can ABCD c6 . C = 60° , . day nho AD = AB = DC. Tinh
cac c~nh cua hinh thang ne'u chu vi cua n6 b~ng 20cm.
12. Cho hinh thang ABCD (AB II CD). Tren c~nh AD lay ba di~m E, M, P
sao cho AE =EM= MP = PD, tren c~nh BC lay ba di~m F, N, Q sao cho BF =
FN = NQ = QC. Bie't AB = 8, DC= 12. Tinh MN, EF, PQ .
. 13. Cho tU giac ABCD. G9i M, N lftn luqt la trung di~m cua cac c~nh AD,
Be Ch , . l ~ MN AB+CD . ling mm 1 rang: ~ . 2
Dau d~ng thuc xay ra khi nao?
14. Cho hinh thang can, day nho AB, day ldn CD. G6c nh9n h<;Jp bdi hai
duCing cheo AC va BD b~ng 60°. G9i M, N la hinh chie'u cua B va C len AC va
BD, P la trung di~m c~nh BC. Chung minh tam giac MNP la tam giac deu.
15. Cho hinh thang ABCD (BC II AD), bie't BC +AD= AB. Chung minh r~ng
cac tia phan giac cua g6c Ava g6c B d.t nhau t~i trung di~m cua c~nh CD.
16. Chung minh rll.ng hinh thang c6 hai dt.tCing cheo bll.ng nhau la hinh
thang can.
17. Tinh d9 dai duCing trung binh cua m9t hinh thang can, bie't rll.ng hai
dt.tCing cheo cua n6 vuong g6c vdi nhau va duCing cao cua n6 bil.ng 10cm.
18. Cho hinh thang ABCD (AB II CD). Cac tia phan giac cua g6c Ava D d.t
nhau & I, cua g6c B va g6c C d.t nhau (J J . G9i M, N lftn lu<;5t la trung di~m cua
AD va BC. Chung minh bon di~m M, N, I, J thimg hang.
10
19. Chung minh dmg trong hinh thang rna hai day kh6ng b~ng nhau, do<?-n thclng noi trung digm cua hai duang cheo b~ng mia hi~u hai day.
20. Cho ta m giac ABC va tn;mg tam G cua tam giac d6.
a) Tu ba dinh cua tam giac h<?- cac duC:lng vuong g6c xuong dudng thing d
niim ngoai tam giac d6. Chung minh ril.ng t6'ng d(> dai ba duC:lng vuong g6c tr€m
ga'p ba l<in d(> dai duC:lng vuong g6c h? tt1 G xuong duC:lng thil.ng d.
b) Ke't qua trong cau a thay d6i the' nao, ne'u duC:lng thil.ng d di qua tr9ng
tam G cua tam giac?
21. Tr€m do?n thing AB la'y di~m C (CA > CB). Tren cling m(>t nt'ra mi[tt
phi ng bC:l AB ve cac tam giac dgu ACD va BCE. G9i M, N, P, Q l<in luqt la
trung di~m cua AE, CD, BD, CE.
a) Tu giac MNPQ la hinh gi?
b) Chung minh MP =2. DE. 2
22. Dt;ing hinh thang ABCD (AB II CD) , bie't 6 = 90° , AD = 3cm, AC = 5cm
va BC = 3,5cm.
23. Dt;ing hinh thang can ABCD (AB II CD), bie't C = 45°, CD = 5cm, duC:lng
cao AH = 1,5cm.
24. Dt;ing hinh thang ABCD (AB II CD), bie't AB = 1,5cm, CD = 4,5cm ,
c = 50° ' 6 = 80° .
25. Dt;ing hinh thang ABCD, bie't AB = lcm, AC = AD = 3cm, BD = 2cm.
26. Dt;ing hinh thang ABCD, bie't AB = a, dtidng cao bil.ng h, dudng cheo
AC = m , BD = n.
27. Dt;ing hinh thang ABCD, bie't day AD = a, day BC = b, AC = m, BD = n .
§3. DOl XUNG TRlJC
1. Hai diim g9i la doi xung udi nhau qua du:iJng th!ing d ne'u d la du:iJng
trung tnjc cua doq,n th!ing n61 hai die'm d6.
2. Hai hinh g9i la dol xung vdi nhau qua dltiJng th!ing d neu m6i die'm thu()c
11
hinh nay d61 xltng quad udi m(Jt diim thu6c hinh kia ua ngu:r;c l(li.
FJu:iJng thdng d g9i La trl!c d61 x(tng czia hai hin h d6.
• Ne'u hai do(ln . thdng (g6c, tam giac) d61 xung vdi nhau qua m(Jt drtiJng thdng thi chung bdng nhau.
3. FJu:iJng thdng d g9i la tn1-c dol xung dw hinh F ne'u dii m d6l xung qua d czla m6i diein thu(Jc hinh F czing thu¢c hinh F.
Trang trU:iJn.g hdp nay ta n.6i rdn.g hinh F c6 trl!c dol xung.
Vi di! 5: Cho tam giac vuong ABC, A= 90° , cluC!ng cao AH. G9i D va E bi n
lu<;Jt la cac di~m doi xung cua di~m H qua AB va AC.
Chung minh :
a) Ba di6m A, D, E thi\.ng hang:
b) Tu giac BDEC la hinh thang vu6ng:
c) BC = BD + CE.
Giai.
a) Ta c6 D doi xung v6i H qua AB (gt) nen
AD=AH.
Tam giac ADH can 6 A c6 AB la duC!ng cao
nen la duC!ng phan giac cua g6c DAH, do ct6
AI = A:.
Chung minh tuong tl;l A1 = A.4 .
B H
Hinh5
DAE = A1 +A.,+ A.~+ A.4 = 2( A2 + A. ~ )= 2BAC = 2. 90° = 180°.
V$-y ba cti~m D, A, E th~ng h a ng.
E
c
b) Vi cac cti~m A, B lin lu<;Jt ctoi xung vc'Ji chfnh n6 qua AB, di§m D doi
xung vdi H qua AB, do d6 6ABD ctoi xung vc'Ji 6ABH qua AB, nen 6ABD =
6ABH , suy ra ADB = AHB = 90°, vi the BD .l DE.
12
Chung minh tuong tt,t: CE J.. DE .
Tu giac BDCE c6 BD II CE va 6 = 90° nen la hinh thang vu6ng.
c) D va E l:in lu<;Jt doi xung vc'Ji H qua AB, AC (gia thiet)
nen BD = BH va CE = CH.
V$-y BC = BH + HC = BD + CE.
{[[W+bz0FkV43GmRt7u4DpvuYxd]]}
BAIT~P
28. Chun g minh r ~ n g gi. ao di~'m h a i dttdng chco cu n hinh thang cfm n~m
t ren t1·~1 c doi xt'in g ctirl hinh Lh a ng cfm .
29. Trcn dtiCJng ph an giflc g6c ngoai 6 dinh C ci.1a ta m giac ABC, lay di ~m :VI kh ac di.~m C. Chun g minh di n g AC + e n <AM +MB.
30. Cho tam gii'1c ABC can t~i A. Qu a A ke dudng th ~ng song song v6i BC,
tren d6 la\ di~m D kh <'1c cli~n.1 A. Chung minh r~ng chu vi tam gi. ac ABC nh o
hon chu vi ta m giac CBD.
31. Cho g6c xAy khac g6c b~t va m(>t cti~m B Ln§n t i. a Ax. Hay dt;tng di~m C
Lri'n tia Ay sao cho CA + CB = m (m la m (>t d9 clai cho tru'6c).
32. Cho ha i. di~m A v;1 B trfm cling m9t nU:a m~t ph~ng bd la dudng th ~n g d.
HaY d~ng di~m C trim clueing th~ng cl sao cho elm vi tam giac ACB nho nh at.
33. Cho ta m giac ABC'. H iiy d~ing di~m M trfm c;:tnh AC sao cho chu vi ta m
giftc AMB b~ng d9 cl ?! i c~1c h BC.
34. Cho g6c nh c.m xOy va di~m A n~m trong g6c cl6. Hay dt;tng di ~m B tren Ox , di~m C tr€m Oy sao cho chu vi ta m giac ACB la n hO nhat.
35. Cho g6c nh Qn xOv va hai cli~m A va B n~m tron g !56c d6. Hay clt;tng
di[;m M trcn Ox , di 6m N t rcn Oy ,;no cho to'ng Ai\ll + MN + NB nho nhat.
' ' ' § 4. HINH BINH HANH
1. Hinh binh hcw h la tlt gicic c6 ccic ca nh d 6'i song song.
2. Trong hinh binh himh:
a) Ccic CQ.nh d6'i bling nhau.
b) Ccic g6c d6'i bling nhau.
c) Hai duiJng cheo ciit nhau tai trung die'nt m6i duiJng.
3. Tit giac co m9t trong nhitng diiiu lli¢n sau Ia hinh binh hanh:
a) Ccic cr;r-nh d6[ song song.
b) Ccic cr;r-nh d6'i bling nhau .
. c) Ccic g6c d6'i bling nhau.
d) Hai duiJng cheo ciit nhau tr;r-i trung die'm m 6i duiJng.
e) Hai cr;r-nh _d6'i song song va bling nhau.
13
Vi d~t 6 : Cho hlnh blnh h?u1h ABCD. Tren cac c~tnh AB, BC, CD, DA lay tt.Mng L'rng de di~m E, F, G, H sao cho AE = CG, BF = DH. Chl'rng minh:
a) TL'r giac EFGH Ia hlnh blnh hanh ; b) Cac dt.rong th~ng AC, BD, EG. HF dt nhau tai mot di~m .
Gidi: a) Ta ell AE = CG ( gia thiet)
ma AB = CD \ C<:tnh doi eLi a hlnh blnh hanh ABCD), suy ra BE= DG. L1BEF va L1DGH c6 : BE = DG (chl'rng minh tr~n)
B = 5 (hai g6c doi cua hlnh blnh hrmh ABCD) .
Do d6 t.BEF = t.DGH (c.g.c), suy ra EF = GH . Chung minh tt.tdng tl.f, ta c6 EH = FG. TL'r giac EFGH c6 de canh d6i bang
nhau nen l~l hlnh blnh h~tnh.
Hinh 6
b) Tu gi<1c ABCD Ia hlnh blnh hanh nen AB II CD. suy r~t AE II GC. M4t kh<1c AE = GC (gia thiet).
TL'r giac AEGC Ia hlnh blnh hanh vi c6 hai canh ut)i song song vua bang nhau. Do d6 hai duong cheo AC va EG dt nhau tai di~m 0 Ia trung di~m cua moi dt.rong (I).
Tu giac EFGH Ia hlnh blnh hanh (theo cau a) nen hai uuong cheo AC va HF cat nhau t~ti ditim 0 Ia trung di~m cua moi duong (2).
TL'r giac ABCD Ia hlnh blnh h~tnh IH~n hai uuong cheo AC va BD dt nhau tai 0 Ia trung ditim cLia moi duong (3 l.
Tlr (I), (2) va (3) suy ra AC, EG, FH. BD d<')ng quy t<;Li 0.
36. Cho hlnh blnh hanh ABCD. Qua dlnh A ke clt.rong th£ng sung song vdi duong cheo BD cat cac tia CB va CD lfrn lu<;it t<:ti E va F. Chung minh ding de dt.rong th£ng AC, DE va BF d6ng qt.~y .
37. Cho hlnh blnh hanh ABCD c6 A= 120° va AB = 2AD. a) Chung minh r~ng tia phan giac cua g6c D dt canh AB t<;Li ditim E Ia
trung ditim cua AB : b) Chl'rng minh AD vu6ng g6~ vdi AC.
38. Cho hlnh blnh hanh ABCD. Tia phan giac cua g6c A cat qnh CD t<;Li M, tia phan giac ctia g6c C dt qnh AB t<:ti N. Chung minh:
a) Tu giac AMCN Ia hlnh blnh hanh ;
14
b) Ba duCing th£ng AC, MN va BD dong quy.
39. Cho tU giac ABCD; E Ia trung di~m cua AB; F Ia trung di~m cua CD.
G9i M, ='J. P, Q theo thu tl;i la trung di~m cua AF, CE, BF, DE.
Chling minh tU giac MNPQ la hinh binh hanh.
40. ·Cho hinh bini~ hanh ABCD va duCing th£ng d niim ngoai hinh binh
h:'mh d6. G9i A', B', C', D' liin lu<;Jt la hinh chieu cua cac di~m A, B, C, D len duCJng th~ng d.
Chling minh AA' + CC' = BB' + DD'
41. Chung minh rftng: Neu m(>t tU giac c6 cac duCing cheo va cac do9-n thitng
noi trung di~m cac C~p C?nh doi dong quy thi tU giac d6Ja mQt hinh binh hanh.
42. Cho hinh binh hanh ABCD. Ve cac tam giac deu ABE va ADF nftm ngoai hinh binh hanh.
a) Chung minh riing tam giac EFC Ia tam giac deu;
b) GQi M, I, K theo thu tl;i la trung di~m cua BD, AF, AE. Tinh IMK.
43. Cho tU giac ABCD. GQi M, N, P. Q, R, S liin lu<;Jt la trung di~m cua AB,
BC, CD, DA, AC, BD.
a) Chung minh riing cac du2Jng th£ng MP, NQ, RS dong quy t9-i di~m I;
b) Chung minh riing duCing th£ng AI di qua trQng tam A' cua ~BCD va
IA = 3IA';
c) G9i B', C', D' theo thu tl,t la trQng tam cua cac tam giac ACD', ABD, ABC. Chling minh riing cac duCJng th~ng AA', BB', CC', DD' dt nhau t9-i m(>t di~m va di~m nay chia cac do;:m AA', BB' , CC', DD' theo cling m(>t ti so.
44. Tren bang cua m(>t lop h9c c6 ve hinh binh hanh ABCD, voi E, F liin lu<;Jt. 1:'1 trung di~m cua cac c9-nh BC: CD. Trl,ic nh$-t lOp da x6a di hinh binh hanh ch1 con d~ l~i 3 di~m A, E, F. Em hay tim each ve l?i hinh binh hanh ABCD.
45. D~,ing hinh binh hanh ABCD, biet giao di~m 0 hai duCing cheo AC va BD, trung di~m E cua c9-nh BC va duCing phan giac cua g6c ABD (O,E la hai di~m phan bi~t va kh6ng thu(>c duCing phan giac cua g6c ABD).
§ 5. DOl XUNG TAM
1. Hai dii/m g9i la do[ xung u<Ji nhau qua 0 niu 0 la trung die'm cua dot;zn
thling noi hai die'm do.
2. Hai hinh g9i la d61 xung u<Ji nhau qua dilm 0 neu m6i dilm thuqc hinh
15
nay dol xung qua 0 udi m(Jt diim thu(Jc hinh kia ua ngltr;Jc lc;ri.
Di~m 0 g9i la tam dol :a'tng cua hai hinh d6.
3. Dieln 0 gQi la tam d6'i Xllng cua hinh F niu diem d6"i xung qua 0 cua moi diem thu(Jc hinh F ci'ing thu(Jc hinh F.
Vi d7.!- 7 : Chung minh ding c6 v6 so hinh binh hanh MNPQ n9i tiep m9t h1nh binh hanh ABCD cho tru'Cic (m6i dinh cua hinh bihh hanh MNPQ n~m tn~ n m9t C<:ll1h cua hinh binh hanh ABCD) va cac hinh binh hanh nay c6 chung tam doi xung.
Gidi.
G9i 0 la gi.ao di.~m hai duC1ng cheo AC va BD cua hinh binh hanh ABCD. Qua 0 ke hai dudng thiing bat ki: dLtdng thiing thu nhat d.t AB 6 M, d.t CD 6 P, dudng thiing thu hai d.t BC 6 N, d.t AD 6 Q
~AOM va ~COP c6:
OA=OC
MAO = PCO (hai g6c sole trong) .
MOA = POC (hai g6c doi di'nh).
Do d6 ~AOM = ~ COP (g.c .g) .
Suy ra OM= OP.
Chung minh tuong tv, ta c6 ON = OQ.
p
Hinh 7
Tu giac MNPQ c6 hai duCing cheo MP va NQ dt nhau t9-i di~m 0 la trung di~m cua m6i duCing nen la hinh binh hanh.
Vi hai duC1ng thiing MP va NQ ke qua 0 la tuy y nen c6 v6 so hinh binh hanh MNPQ thoa man de bai va cac hinh binh hanh nay deu nhl%tn 0 lam tam doi xung.
BAIT~P
46. Cho tam giac ABC va di~m 0 n~m trong tam giac. M, N, P theo thu tv la trung di~m cua cac c9-nh BC, CA, AB. G9i A', B', C' l:in llil!t la cac di~m doi xung cua di.~m 0 quaM, N, P. Chung minh tU giac AB'A'B la hinh binh hanh.
47. Cho tam giac ABC, M la trung di~m cua AB, N la trung di~m cua AC
va 0 la trung di~m cua MN. G9i I la di~m doi xung cua di~m A qua 0. Chung
minh di~m B doi xung vCii C qua I.
16
48. Cho 1-::nh blnh h~wh ABCD, 0 Ia giao di~m lni dtrung cheo AC va BD. GQi E la mot di~m thuoc . canh AB, F Ia giao lti0m cl:ia tia EO v~t canh
CD. Ve FH II AC, EG II AC (H E AD, G E BC). ChCfng minh rhng cli~m H doi xung voi di~m G qua di~m 0.
49. Cho g6c xOy khac g6c bet va difm A nhm trong goc <.16. Ve di~m B
doi xl'rng voi di~m A qua Ox, vc c1i~m C c16'i xl'rng v(1i di~m A qua Oy .
G6c xOy phai bhng bao nhieu <.10 c1€; diEm B deli xt.'rng vdi di0m C qua die'm 0 .
50. Cho tu giac ABCD, 0 1 .0 ~ .03 ,0 1 !Jn lum l~l trung die'm ctht de canh
AB. BC, CD, AD. 0 la mot c1i€'m nhm trong tle giac . Goi M, N, P, Q then tht.'r
t~r !a c1i~m doi xl'rng voi di~m 0 qua cac c1ie'm 0 1• 0 2, o~ . 0 4 . Cht.'rng minh tt.'r
giac M, N, P, Q !a hlnh blnh hanh.
51. Cho g6c xOy va m<)t di€'m M ntml trong g(lC L16. I--L1y dtrng qua 0
mot dtrong th~ng cat Ox d A, cat Oy (i B S<lO. cho M l ~l tr~ing difm Clla AB.
52. D\fng hlnh blnh hanh, biet ba di2'm la ba trung L1ie'm ba canh cl'1a n(l.
53. D\fng tam giac bi~t mot c1inh, trQng tam V~l hai L1uung thJng di qua
hai dinh con l<;li.
§6. HINH CHU NHA T
1. Hinh chil nhc;'it lei t~i' !?ide c6 bo/1 g(5c nu)ng.
2. Hinh cha nhQt co tell cd cdc tfnh chtir cda hinh hinh hclnh. cua hinh thong
can. Trong hinh cha nh(it. hai du'r'!ng cheo /J(Ing i1hau.
3. Di chung minh mQI tLi' gicic Ia hinh ch£1' nh(il. tu cr) th2' clui·ng min/1 u( gidc
co mqt trong cdc tfnh chclr.wu:
a J Tu gidc u) ha t;(Jc ''wing . b) Hinh thong ccln cr) m()t grk \ 'LI(J/lg .
c) Hinh hinh hanh c6 m(Jl g()c \'U()ng. d) Hlnh bi11h hanh co hai (1~(/tng cheo !J£Ing nlwu..
4. Trang tam gi(lc \'Unng. trung tuvelr Lfng \'(fi qurh hun~n IH7ng niru qtnh huw~n. Ne'u tam gicic cr) trung ture/1 ti'ng \ '( )'i nu)t cqnh hcing nii'u c~tnh £1\· thi 10111
gidc dd La tam gidc vu6ng.
5. Cdc duC!ng thdng song song ccich d8u chdn !n?n m(lt dui fnt: 1hdng hal ki
cdc doqm thdng !ien tie'p being nhe' '·
TOAN NANG CAO HINH HOC 8-2 17
6. Cac diim c6 khoang each kh6ng d6'i h den duiJng thimg d co' djnh thi n&.m
tren ha i duiJng th&ng song song vcii d ua each d. m9t hhoang b&.ng h.
Vi du 8 : Cho tam giac vuong can ABC, C = 90°. M la m(lt di~m tren c~nh AB, ke MR l_ AC , MS l_ BC.
a) Chttn g minh rAng CM va RS b~ng nhau va d.t nh a u t~i trung di~m cua mc~ i du(Jng:
b) G9i 0 la trung di6m cl.ia AB. Tam giflc ORS la tam giac gi?
Giiii.
a) MS l_ BC. MR l_ AC (gt)
nen MSC = MRC = 90'' .
Ta m giac ABC c6 (· = 90" (gt)
do d6 MSC = MRC = SCR = 90" .
V<~Y W p;iac MRCS la hinh chU: nh$t (vi c6
ba g6c vuong) , s u.v ra hai dLtdng cheo MC va
RS b~ n g nhau va d.t nha u t~i tnmg di~m cua m6i duCing.
c
Hinh8
N
b) ~RAM vuong 6 R, l~i c6 A= 45" (g6c day cua tam giac vu6ng can ACB),
ncn ~RAM Ia tam giac vuong ci'tn, suy ra RA = RM, nhung RM = CS (hai c~nh
cl oi cua hinh chtt nh$t MRCS), do d6 AR = CS.
CO la duCing trung tuyen cl'ta tam giac vu6ng can ACB, n €m C'O la phan
giflc cl.ia g6c ACB, do cl6 Of'S = 45" . dong th6i CO= OA = OB .
..\OAR va t\OCS co:
AR= CS
OAR = OCS = 45"
.'\0 =CO.
Do d6 :\OAR= ~OCS (c.g.c). suy ra OR= OS va AOR = COS vi the
SOR = SOC+ COR =COR + ROA = COA = 90" .
V$-y t.. ORS la tam giac vu6ng can.
Vi d~'· 9 : Cho tam giac ABC va di~m M tuy y tren c~nh BC. Qua M ke dLtdng th~ng song song voi AC dt AB 6 D, ke duCing th~ng song song voi AB c<'it AC 6 E. G9i I la trung ctit;m cua DE.
Tim Ll:lp htjp di6m I khi ch~m M chuy&n d(mg tren c~nh BC.
Giai.
a) Phan thu(m:
Theo de bai MD II AC, ME II AB (gt) nen tU giac ADME la hinh binh hanh . d
Do I la trung di~m cua DE (gt), do d6 I la trung di~m cua AM.
Ke AH .1 BC, IK .1 BC thi IK II AH.
Trong tam giac MAH, IK la duC!ng trung
binh nen IK =~AH. 2
A
K c Hinh9
Vi MBC co dinh nen AH khOng d6i, do d6 IK khOng d6i. V?y di~m I nil.m tren
dLidng th£ng d song song v6i BC, each BC m(>t khoang bil.ng ~ AH khOng d6i.
Gi6i h~n :
G9i giao di~m cua dudng th~ng d v6i AB, AC l:in lu<;Jt la II, I2. Do M chuy~n d(>ng tren c~nh AB, nen:
- Neu M = B thi I= 11.
- Neu M = C thi I = I2.
V?y di~m I ch~y tren do~n I 1I2 la duC!ng trung binh cua t.ABC.
bJ Phan dao:
Lf(y di~m I bat ki tren do~n I 112 (khOng trung v6i I 1, I2), tia AI dt BC d M. Qua M ke ME II AB (EEAC), ke MD II AC (DEAB) . Ta chung minh ril.ng I la trung di~m cua DE.
Th?t v?y, theo each ve tU giac ADME c6 cac c~nh doi song song nen la hinh binh hanh.
Tam giac ABM c6 I 1lla dudng trung binh nen I la trung rli~m cua AM.
Tu d6 suy ra I la trung di~m cua DE.
Ket lu?n: T?p hqp cac di~m I la duC!ng trung binh I 1I2 (I 1I2 II BC) cua tam giac ABC .
BAIT~P
54. Cho hinh chu nh?t ABCD. Tren tia doi cua cac tia CB va DA lay tuong ling hai di~m Eva F sao cho CE = DF =CD.
Tu F ke duC!ng th~ng vuong g6c voi AE c:'it CD tai H. Chung minh tam ~ . .
giac CHB la tam giac vuong can.
19
55. Cho tam giftc ABC vuong can 6 A, M Ia mi;Jt di~m bat kl thui;Jc c~mh hu.ve n BC . G9i D va E theo thti tl.,f Ia hinh chieu cua di.~m M l€m AB va AC.
a) Chung minh di.ng khi M thay ct6i tren BC thl chu vi cua tU giac ADME
kh6ng clo'i .
b) Di<fm M 6 vj tri nao tren qmh BC thl DE c6 d9 dai nh6 nhat?
56. Cho tam giftc ABC vu6n~ 6 A, duC!ng cao AH. G9i D va E theo thu tl,i la
chan d tidng vuong g6c ke tU H den AB, AC.
a) Chung minh AH =DE:
h) G9i I va K theo th(t t~t Ia trung di~m cua HB va HC. Chung minh tU
giftc DIKE Ia hinh thang vu6ng.
c) Tfnh c19 dai dttC:Jng trung blnh cl.ia hinh thang DIKE neu biet AB = 6cm,
AC =Scm.
57. Cho tam giac nh9n ABC, 0 Ia trl.,fc tam cua tam giac. G9i M, N, P l ~n
lti<;JL la trung di~m cl.ia cac q.nh AB, BC, CA con R. 8 , 1' l lin lti<;Jt la trung di~m cua cac do~m OA, OB , OC.
a) Chung minh tU gi:\c :VIPTS la hlnh chu nh~t;
b) Chung minh rAng ba do:;m RN , MT, SP b~ng nhau va d.t nhau t?i trung
cli6m ci..ia m6i dtidng;
c) V6i dieu ki¢n nao cua tam giac ABC thi MR = RP =MS.
58. Cho tam giac nh9n ABC, cite chidng cao BD, CE. G9i H va K llin ht<;Jt la
hinh ch ie u cua B va C len DE.
a) Chung minh EH = DK
b) Ncu tam giac ABC dn 6 A thi tU giac BCKH la hinh gi?
59. Cho hinh chu nh~L ABCD. Ke BH _LAC. G9i MIa trung cti~m ct'w AH,
K Ia trung cli~m cua CD, N Ia trung di6m cua BH.
a) Chttng minh tU giac MNCK la hinh binh hanh;
b) Tinh g6c BMK.
60. Mi;Jt hinh chu nh~t c6 chu vi b~ng 80m . DuC!ng ph an giac cua mi;JL g6c
cua hlnh chu nh;~t c16 chi.a hlnh nay thanh mQt tam giac va mi;Jt hinh thang mil
hi <) u cac chu vi b~ng 20m. Tfnh dQ dai cac C?nh cua hinh chu nh;%tt.
61. Cho hinh chu nh~t ABCD. Hay xac djnh di~m E tren AB sao cho
AED = DEC.
62. Cho hlnh chu nh;%tt ABCD v~~ cti6m E thui;Jc duC:Jng cheo AC. Qua E kc
du'dng th~ng song son g v6i BD dt AD, CD l ~n l1t<;Jt 6 M vaN. Ve hinh chu nh~t MDN F. Chung minh:
20