validaÇÃo de um modelo de potenciais escalares … · novas propostas de modelagem de estruturas...
TRANSCRIPT
20/09/201120/09/2011 11
VALIDAVALIDAÇÇÃO DE UM MODELO DE ÃO DE UM MODELO DE POTENCIAIS ESCALARES COM POTENCIAIS ESCALARES COM
CONTORNO RUGOSOS PELO MCONTORNO RUGOSOS PELO MÉÉTODO TODO DOS ELEMENTOS FINITOSDOS ELEMENTOS FINITOS
Proposta de Tese de Doutorado deProposta de Tese de Doutorado de
Lucas MLucas Mááximo Alvesximo AlvesDOUTORANDODOUTORANDO
Luiz Luiz AlkiminAlkimin de Lacerdade LacerdaORIENTADORORIENTADOR
JosJoséé de Antonio Marques de Antonio Marques CarrerCarrerCOCO--ORIENTADORORIENTADOR
20/09/201120/09/2011 22
ÍÍndicendice INTRODUINTRODUÇÇÃO ÃO -- ConsideraConsideraçções Iniciaisões Iniciais PROPOSIPROPOSIÇÇÃO DO PROBLEMAÃO DO PROBLEMA INTRODUINTRODUÇÇÃO A TEORIA FRACTAL DE MEDIDAÃO A TEORIA FRACTAL DE MEDIDA FUNDAMENTAFUNDAMENTAÇÇÃO TEÃO TEÓÓRICARICA O Problema do Potencial com Contorno Regular O Problema do Potencial com Contorno Regular
(Euclidiano ou Liso) (Euclidiano ou Liso) –– P1P1 O Problema do Potencial com Contorno Irregular O Problema do Potencial com Contorno Irregular
(Fractal ou Rugoso) (Fractal ou Rugoso) –– P2P2 ModelamentoModelamento Fractal do Problema Equivalente Fractal do Problema Equivalente -- PEPE MATERIAIS E MMATERIAIS E MÉÉTODOSTODOS RESULTADOSRESULTADOS DISCUSSÃO.DISCUSSÃO. CONCLUSÕESCONCLUSÕES
20/09/201120/09/2011 33
INTRODUINTRODUÇÇÃO ÃO -- ConsideraConsideraçções iniciaisões iniciaisEste trabalho foi motivado pelas seguintes Este trabalho foi motivado pelas seguintes
circunstâncias cientcircunstâncias cientííficas e tecnolficas e tecnolóógicas:gicas:
A Geometria Fractal descreve Estruturas IrregularesA Geometria Fractal descreve Estruturas Irregulares Novas Propostas de Modelagem de Estruturas Irregulares Novas Propostas de Modelagem de Estruturas Irregulares
usando a Teoria Fractal (Literatura Especializada)usando a Teoria Fractal (Literatura Especializada) Revisão de Modelos ClRevisão de Modelos Cláássicos que têm como base a ssicos que têm como base a
Geometria Euclidiana (Literatura Especializada)Geometria Euclidiana (Literatura Especializada) A Mecânicas (do ContA Mecânicas (do Contíínuo, Calor, Fluidos, Snuo, Calor, Fluidos, Sóólidos, lidos,
Fratura), não leva em conta o Efeito da Rugosidade na sua Fratura), não leva em conta o Efeito da Rugosidade na sua DescriDescriçção Matemão Matemáática.tica.
Entender o Processo de DissipaEntender o Processo de Dissipaçção de Energia nos ão de Energia nos Fenômenos que Apresentam GeomFenômenos que Apresentam Geoméétricas Irregularestricas Irregulares
20/09/201120/09/2011 44
Objetivos do TrabalhoObjetivos do Trabalho i) Descrever Anali) Descrever Analíítica e Numericamente o Fenômenos tica e Numericamente o Fenômenos
FFíísicos utilizandosicos utilizando--se Mse Méétodos Numtodos Numééricos e a Geometria ricos e a Geometria Fractal.Fractal.
ii) Validar Modelos de Rugosidade Fractal utilizando ii) Validar Modelos de Rugosidade Fractal utilizando MMéétodo Numtodo Numééricos Aplicado a um Problema de Potencial ricos Aplicado a um Problema de Potencial Escalar. Escalar. Por exemplo, Transmissão de Calor em Por exemplo, Transmissão de Calor em Corpos que apresentam uma Geometria Irregular Corpos que apresentam uma Geometria Irregular Bordas Rugosas.Bordas Rugosas.
iii) Desenvolver um Miii) Desenvolver um Méétodo Numtodo Numéérico de Crico de Cáálculo a ser lculo a ser Implantado em um Software BImplantado em um Software Báásico de Simulasico de Simulaçção de ão de Fenômenos com Rugosidade.Fenômenos com Rugosidade.
iv) Validar Resultados Teiv) Validar Resultados Teóóricos dos Modelos Propostos ricos dos Modelos Propostos atravatravéés de Ensaios e Testes Conclusivos. s de Ensaios e Testes Conclusivos.
v) Propor correv) Propor correçções ou Novos Modelos de ões ou Novos Modelos de FenomenolFenomenolóógicos com a Descrigicos com a Descriçção Analão Analíítica da tica da Rugosidade. Rugosidade.
20/09/201120/09/2011 55
INTRODUINTRODUÇÇÃO A TEORIA FRACTAL DE ÃO A TEORIA FRACTAL DE MEDIDAMEDIDA
FRACTAISFRACTAIS:: são objetos geomsão objetos geoméétricos autotricos auto--invariantes por transformainvariantes por transformaçção de escala ão de escala que que possuem possuem dimensão fraciondimensão fracionáária ria
Invariância por TransformaInvariância por Transformaçção de Escalaão de Escala -- (partes (partes semelhantes ao todo). semelhantes ao todo). = = lloo//LLoo (fator de escala)(fator de escala) que pode que pode ser por:ser por:
AUTOAUTO--SIMILARIDADESIMILARIDADE ou ou AUTOAUTO--AFINIDADEAFINIDADE..(Ex. um Pinheiro) (Ex. uma Trinca)(Ex. um Pinheiro) (Ex. uma Trinca)
A Extensão do ObjetoA Extensão do Objeto, , MMdd, , depende do tamanho da depende do tamanho da rréégua de medida utilizada, gua de medida utilizada, LLoo, isto , isto éé,,
MMdd(() = ) = MMdododd--D D se se D = d D = d MMdd(() = ) = MMdodo..
20/09/201120/09/2011 66
Invariância por TransformaInvariância por Transformaçção de ão de EscalaEscala
Def: Partes Semelhantes Def: Partes Semelhantes ao Todoao Todo
Exemplo: Exemplo: PinusPinus
Outros Exemplos:Outros Exemplos:Nuvens, Trincas, Cristais Nuvens, Trincas, Cristais
de Gelo, Rochas,de Gelo, Rochas,Rios, Cidades, Rios, Cidades, etcetc((NiveisNiveis HierHieráárquicos de rquicos de
Estruturas)Estruturas)
20/09/201120/09/2011 77
Para que servem na PrPara que servem na Práática?tica? Servem para se Descrever Matematicamente Servem para se Descrever Matematicamente
Estruturas Irregulares, que a Geometria Euclidiana dos Estruturas Irregulares, que a Geometria Euclidiana dos Elementos BElementos Báásicos: Ponto, Reta, Plano e Espasicos: Ponto, Reta, Plano e Espaçço não o não éécapazcapaz
Geometria Irregular Geometria IrregularGeometria Irregular Geometria Irregular
Modelagem GeomModelagem Geoméétricatrica
20/09/201120/09/2011 88
AutoAuto--SimilaridadeSimilaridade Fractal autoFractal auto-- similar similar Dx = Dx = DyDy = = Dz = D;Dz = D;
d d Di Di d+1 ; d+1 ; Dx + Dx + DyDy + Dz = d+1+ Dz = d+1d = dimensão de projed = dimensão de projeçção ; d+ 1 = dimensão de imersãoão ; d+ 1 = dimensão de imersão
20/09/201120/09/2011 99
AutoAuto--AfinidadeAfinidade Fractal AutoFractal Auto-- Afim: Uma Afim: Uma
Dimensão Fractal Dimensão Fractal Diferente para cada Diferente para cada DireDireççãoão
Dx = Dx = DyDy HHd d D D d+1d+1
Dx + Dx + DyDy + H = d+1+ H = d+1
d = dimensão de projed = dimensão de projeççãoão
d+ 1 = dimensão de imersãod+ 1 = dimensão de imersão
20/09/201120/09/2011 1010
Exemplos de Fractais:Exemplos de Fractais: Geom.Euclidiana x FractalGeom.Euclidiana x Fractal Fractais MatemFractais Matemááticos e ticos e
FFíísicos ou Naturaissicos ou Naturais
20/09/201120/09/2011 1111
Modelagem Fractal de uma Cadeia Modelagem Fractal de uma Cadeia de Montanhasde Montanhas
FunFunçções Exatas ou Funões Exatas ou Funçções Aproximadasões Aproximadas
20/09/201120/09/2011 1212
Antecedentes HistAntecedentes Históóricosricos Uma modificaUma modificaçção da Mecânica da Fratura foi proposta mas ão da Mecânica da Fratura foi proposta mas
alguns resultados ainda precisam ser validados alguns resultados ainda precisam ser validados corretamentecorretamente
ALVES, Lucas MALVES, Lucas Mááximo Rosana Vilarim da Silva, ximo Rosana Vilarim da Silva, Bernhard Joachim Mokross, Bernhard Joachim Mokross, TheThe influenceinfluence ofof thethe crackcrackfractal fractal geometrygeometry onon thethe elasticelastic plasticplastic fracturefracturemechanicsmechanics. . PhysicaPhysica A: Statistical Mechanics and its A: Statistical Mechanics and its ApplicationsApplications. Vol. 295, n. 1/2, p. 144. Vol. 295, n. 1/2, p. 144--148, 12 June 2001.148, 12 June 2001.
ALVES, Lucas MALVES, Lucas Mááximo: Fractal geometry concerned ximo: Fractal geometry concerned with stable and dynamic fracture mechanics. with stable and dynamic fracture mechanics. Journal of Journal of TheorethicalTheorethical and Applied Fracture Mechanicsand Applied Fracture Mechanics, , VolVol 44/1, 44/1, pp 44pp 44--57, 2005.57, 2005.
20/09/201120/09/2011 1313
MECÂNICA DA FRATURAMECÂNICA DA FRATURA
ModeloModelo de de umauma placaplacaplanaplana e e infinitainfinita de de espessuraespessura desprezdesprezíívelvelsujeitasujeita a a umauma tensãotensãoremotaremota, , = cte= cte..
EstaEsta teoriateoria nãonão levaleva em em contaconta a a rugosidaderugosidade das das superfsuperfííciescies de de fraturafratura. Por . Por estaesta razãorazão nãonão explicaexplicadiversosdiversos efeitosefeitosdependentesdependentes dadarugosidaderugosidade
20/09/201120/09/2011 1414
Modelagem de SuperfModelagem de Superfíícies Rugosascies Rugosas
SuperfSuperfíícies de cies de FraturaFratura
NNííveis Hierveis Hieráárquicos rquicos de Estruturas para de Estruturas para Modelagem Modelagem TTééoricaorica
20/09/201120/09/2011 1515
Postulados de transformaPostulados de transformaçção da MFão da MF--ClCláássica para a MFssica para a MF--FractalFractal
Equivalência energEquivalência energéética de Irwintica de Irwin
oUUdeformaçãodeEnergia
Invariância das equaInvariância das equaçções para o caminho rugosoões para o caminho rugoso
oUU
superfíciedeEnergia
o
effo
o
oceffc
GLL
GLL 22
20/09/201120/09/2011 1616
O MODELAMENTO FRACTAL DA O MODELAMENTO FRACTAL DA FRATURA ESTFRATURA ESTÁÁVELVEL
BalanBalançço energo energéético de Griffithtico de Griffith--Irwin (Irwin (dF dF –– dUdU dUdU CondiCondiçção de grampos fixos (ão de grampos fixos (dF = dF = XduXdu= 0= 0)) CondiCondiçção Quaseão Quase--EstEstáática de Propagatica de Propagaçção ou Critão ou Critéério rio
de Griffithde Griffith--Irwin (Irwin (JJoo RRoo))
MFMF--ClCláássicassica
MFMF--FractalFractal
o
oo
o
ooo dL
dUR
dLUFdJ
;)(
oeff
oo
oo
oo
dLdL
dLdLRR
dLdL
dLdU
RdLdL
dLUFdJ
2
;)(
0
20/09/201120/09/2011 1717
SimulaSimulaççãoão dada FraturaFratura RugosaRugosa emem MateriaisMateriais
Simulação de uma fratura em um meio frágil com concentradores de tensão distribuido aleatóriamente sobre
o material
20/09/201120/09/2011 1818
MMéétodo Grtodo Grááfico de Medida de fico de Medida de uma Linha ou Superfuma Linha ou Superfíície cie
RugosaRugosa
20/09/201120/09/2011 2020
Modelos de SuperfModelos de Superfíícies de Fraturacies de Fratura
H
o
oo l
LLL 22}(1
= Lo/lo
H
o
o
H
o
o
o
lL
lLH
dLdL
22
22
)(1
))(2(1
20/09/201120/09/2011 2121
O MODELAMENTO FRACTAL DA O MODELAMENTO FRACTAL DA SUPERFSUPERFÍÍCIE DE FRATURACIE DE FRATURA
SuperfSuperfíície ou perfil de cie ou perfil de fratura (fratura (triaxialidadetriaxialidade, , xx, , yy, , zz, ou deforma, ou deformaçção plana, ão plana,
KKICIC = = ctecte))
12
22
12
)2(1
H
o
o
H
o
o
o
Ll
LlH
dLdL
Modelo matemModelo matemáático autotico auto--afim (afim (Dx = Dx = DyDy HH))
22
12
H
o
oo
LlLL
20/09/201120/09/2011 2222
Levantamento de Perfis de Fratura em Levantamento de Perfis de Fratura em CimentoCimento
Perfil de fratura levantado a partir da imagem da superfície de fratura da argamassa de cimento
20/09/201120/09/2011 2323
Modelo Fractal do Comprimento Modelo Fractal do Comprimento RugosoRugoso
Ajuste dos Resultados Ajuste dos Resultados Experimentais com o Experimentais com o Modelo FractalModelo Fractal
Trinca em CimentoTrinca em Cimento0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Data: Data1_BModel: Self-afine Lucas com HoChi^2 = 5397.90527a 0.67427 ±311.22001Ho 4.555 ±1706.52065H 0.18569 ±0.12576
L
Com
prim
ento
rugo
so L
(pix
els)
Comprimento projetado Lo (pixels)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Data: Data1_BModel: Self-afine Lucas com HoChi^2 = 3559.72309a 1.77038 ±2871.48876Ho 5.36687 ±7921.55055H 0.08547 ±0.22948
L
Com
prim
ento
rugo
so L
(pix
els)
Comprimento projetado Lo (pixels)
20/09/201120/09/2011 2424
Levantamento de Perfis de Fratura em ArgilaLevantamento de Perfis de Fratura em Argila
Perfil de fratura levantado a partir da imagem da superfície de fratura da argila vermelha
20/09/201120/09/2011 2525
0 200 400 600 800 1000 1200 14000
1000
2000
3000
4000
5000
Data: Data1_BModel: Self-afine Lucas com HoChi^2 = 9119.67022a 0.11897 ±46.98883Ho 7.78943 ±2039.48912H 0.33511 ±0.04644
L
Com
prim
ento
rugo
so L
(pix
els)
Comprimento Projetado Lo (pixels)
Modelo Fractal do Comprimento Modelo Fractal do Comprimento RugosoRugoso
Ajuste dos Resultados Ajuste dos Resultados Experimentais com o Experimentais com o Modelo FractalModelo Fractal
Trinca em CerâmicaTrinca em CerâmicaVermelhaVermelha
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 16000
1000
2000
3000
4000
5000
Data: Data1_BModel: Self-afine Lucas com HoChi^2 = 12670.99992a 0.45482 ±1376.97283Ho 3.2094 ±8661.56972H 0.10448 ±0.20991
L
Com
prim
ento
rugo
so L
(pix
els)
Comprimento projetado Lo (pixels)
20/09/201120/09/2011 2626
Problema Euclidiano Problema Euclidiano –– P1P1
( , )o o o ou u x y
( , )o o o o ou u x y
2 ( , ) 0o o o ou x y
EquaEquaçções ões BBáásicassicas
20/09/201120/09/2011 2727
DefiniDefiniçção de Fluxo ão de Fluxo -->>
Lei de Fourier Lei de Fourier -->>
oX
o
d dXJdA dt
o oX XJ k
. 0o
o XXk
t
. 0o
o XXJ
t
O Fluxo Generalizado e as O Fluxo Generalizado e as EquaEquaçções de Campo para ões de Campo para
Geometrias RegularesGeometrias Regulares
20/09/201120/09/2011 2828
Problema NãoProblema Não--Euclidiano Euclidiano –– P2P2
EquaEquaççõesõesBBáásicassicas
( , )u u x y
( , )u u x y
2 ( , ) 0u x y
20/09/201120/09/2011 2929
O Fluxo Generalizado e as O Fluxo Generalizado e as EquaEquaçções de Campo para ões de Campo para
Geometrias IrregularesGeometrias Irregulares
Xo
d dXJdA dt
X XJ k
. 0XXk
t
. 0XXJ
t
DefiniDefiniçção de Fluxo ão de Fluxo -->>
Lei de Fourier Lei de Fourier -->>
20/09/201120/09/2011 3030
Problema Equivalente Problema Equivalente -- PEPE FormulaFormulaçção do Problema ão do Problema
( , )o o ou f u x y
( , )u g u x y
2 2( , ) ( , )o o ou x y h u x y ˆ ˆ2 cos .o oo
du du u r ndn du
2P PE1. ( , , , , , )o o oPE P f u u x y x y
Potencial EscalarPotencial Escalar
Fluxo do EscalarFluxo do Escalar
FunFunçção Distribuião Distribuiçção ão do Escalardo Escalar
EquaEquaçção Proposta ão Proposta para o Fluxo do para o Fluxo do
EscalarEscalar
20/09/201120/09/2011 3131
ComparaComparaçção entre os Problemas ão entre os Problemas P1 x P2P1 x P2
P1P1-- Contorno Contorno Euclidiano Liso Euclidiano Liso ou Regularou Regular
P2 P2 -- Contorno Contorno NãoNão--Euclidiano Euclidiano Fractal ou RegularFractal ou Regular
OBS: OBS: ÉÉ preciso modelar todos os cossenos flutuantes por preciso modelar todos os cossenos flutuantes por meio de algum tipo de correlameio de algum tipo de correlaçção ão –– A Geometria Fractal A Geometria Fractal éé uma delas!uma delas!
20/09/201120/09/2011 3232
Modelagem da RugosidadeModelagem da Rugosidade
Modelagem pelo MModelagem pelo Méétodo dos Cossenos Flutuantestodo dos Cossenos Flutuantes
20/09/201120/09/2011 3333
TTéécnica de cnica de RenormalizaRenormalizaççãoão
RenormalizaRenormalizaççãoão dos dos Cossenos FlutuantesCossenos Flutuantes
:= ( )y ( )cos
:= ( )y ( )cos
( )ln ( )cos ( )ln ( )cos
Cosseno Correlator
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Angulo (teta)
Cos
(tet
a), c
os(t
eta*
)^(a
lfa_r
)
f(teta)=cos(teta) y(teta)=cos(beta)^(alfa)
cosi i ig
20/09/201120/09/2011 3434
AnAnáálise das Projelise das Projeçções do Contorno ões do Contorno RugosoRugoso
ProjeProjeçção do vetor ão do vetor rr na direna direçção da normal não da normal n
cosˆ.
rnr
dndr j
j
20/09/201120/09/2011 3535
MMéétodo dos Elementos Finitostodo dos Elementos Finitos
Parâmetros Parâmetros e Varie Variááveis veis utilizadas utilizadas no Cno Cáálculolculo
20/09/201120/09/2011 3636
AplicaAplicaçção no Contorno Rugosoão no Contorno Rugoso UtilizaUtilizaçção dos Pontos de Gauss prão dos Pontos de Gauss próóximos ao Contornoximos ao Contorno
20/09/201120/09/2011 3737
RESULTADOS e DISCUSSÃORESULTADOS e DISCUSSÃO
Amplitude do Contorno Rugoso UtilizadoAmplitude do Contorno Rugoso Utilizado
Amplitude Y
8,95
9
9,05
9,1
9,15
9,2
9,25
9,3
9,35
9,4
9,45
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
coordenada X
coor
dena
da Y
Y
20/09/201120/09/2011 3838
ComparaComparaçção do Modelo PE x P2 ão do Modelo PE x P2 Resultado da primeira aproximaResultado da primeira aproximaçção feitaão feita
Relação P2 x PEquivalente
0,00E+00
5,00E+01
1,00E+02
1,50E+02
2,00E+02
2,50E+02
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10coordenada X
Flux
o de
Cal
or
J=Jodu/duo (P2 - Rugoso) J (P2 - Rugoso) Jo (P1 - Euclidiano) J=Jodelta_u/uo*dr/dro (PE-Equivalente)
20/09/201120/09/2011 3939
AnAnáálise do Erro Relativolise do Erro Relativo
Observe: 1Observe: 1-- Erro Relativo ~ FunErro Relativo ~ Funçção Desejadaão DesejadaErro Relativo
-6,00E-01
-4,00E-01
-2,00E-01
0,00E+00
2,00E-01
4,00E-01
6,00E-01
8,00E-01
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
coordenada X
Erro
Rel
ativ
o (%
)
Erro Relativo
1-Erro Relativo
0,00E+00
2,00E-01
4,00E-01
6,00E-01
8,00E-01
1,00E+00
1,20E+00
1,40E+00
1,60E+00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10coordenada X
1- E
rro R
elat
ivo
(%)
Erro Relativo
20/09/201120/09/2011 4040
ReutilizaReutilizaçção da Informaão da Informaçção do Erro ão do Erro RelativoRelativo
Novo CNovo Cáálculo utilizando o Erro Anterior lculo utilizando o Erro Anterior novamente na Equanovamente na Equaçção de Correão de Correççãoão
Relação P2 x PEquivalente
0,00E+00
5,00E+01
1,00E+02
1,50E+02
2,00E+02
2,50E+02
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10coordenada X
Flux
o de
Cal
or
J=Jodu/duo (P2 - Rugoso) J (P2 - Rugoso) Jo (P1 - Euclidiano) J=Jodelta_u/uo*dr/dro (PE-Equivalente)
20/09/201120/09/2011 4141
O Erro Relativo MO Erro Relativo Méédio agora diminui e se dio agora diminui e se afasta da Funafasta da Funçção Desejadaão Desejada
Erro Relativo
-4,00E-01
-2,00E-01
0,00E+00
2,00E-01
4,00E-01
6,00E-01
8,00E-01
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
coordenada X
Erro
Rel
ativ
o (%
)
Erro Relativo
Nova AnNova Anáálise do Erro Relativolise do Erro Relativo
20/09/201120/09/2011 4242
AnAnáálise de Correlalise de Correlaçção Entre as ão Entre as FunFunçções Real e Aproximadaões Real e Aproximada
Resultado do Problema P2 X Resultado do Resultado do Problema P2 X Resultado do Problema Equivalente Problema Equivalente
y = 0,0043x + 0,4164R2 = 0,7953
0,00E+00
2,00E-01
4,00E-01
6,00E-01
8,00E-01
1,00E+00
1,20E+00
1,40E+00
1,60E+00
1,80E+00
0,00E+00 5,00E+01 1,00E+02 1,50E+02 2,00E+02 2,50E+02
J x J_RetaLinear (J x J_)
20/09/201120/09/2011 4343
CONCLUSÕESCONCLUSÕES
Os Resultados obtidos são promissoresOs Resultados obtidos são promissores Se o Problema Se o Problema –– P2 pode ser resolvido P2 pode ser resolvido
computacionalmente por que utilizar o Problema computacionalmente por que utilizar o Problema Equivalente Equivalente –– PE ?PE ?
-- Reduzir o Custo ComputacionalReduzir o Custo Computacional VerificaVerificaçção de Fenômenos Superficiais e Volumão de Fenômenos Superficiais e Voluméétricos tricos
que anteriormente não poderiam ser observados que anteriormente não poderiam ser observados analiticamente.analiticamente.
SeparaSeparaçção do Problema Fão do Problema Fíísico do Geomsico do Geoméétricotrico NecessitaNecessita--se Anse Anáálise da lise da AcuracidadeAcuracidade da Resposta do da Resposta do
MMéétodo dos Elementos Finitos para o Problema P2 no todo dos Elementos Finitos para o Problema P2 no ContornoContorno
AnAnáálise para Diferentes Rugosidadeslise para Diferentes Rugosidades AnAnáálise Variando alguns parâmetros de controlelise Variando alguns parâmetros de controle
20/09/201120/09/2011 4444
Proposta de Trabalhos Futuros Proposta de Trabalhos Futuros
AnAnáálise Ellise Eláástica Linear (Potencial Vetorial)stica Linear (Potencial Vetorial) AnAnáálise lise ElastoElasto--PlPláásticastica (Potencial Tensorial)(Potencial Tensorial) AnAnáálise da Mecânica da Fratura:lise da Mecânica da Fratura:
-- Processo de Fratura EstProcesso de Fratura Estáável ou Quasevel ou Quase--EstEstáático tico –– Linear e NãoLinear e Não--LinearLinear-- Processo de Fratura InstProcesso de Fratura Instáável ou Dinâmicovel ou Dinâmico--NãoNão--LinearLinear
20/09/201120/09/2011 4545
ReferênciasReferências ALLEN, Martin; Gareth J. Brown; Nick J. Miles, ALLEN, Martin; Gareth J. Brown; Nick J. Miles, -- ””Measurements of Measurements of
boundary fractal dimensionsboundary fractal dimensions””: : review of current techniquesreview of current techniques. . Powder Powder TechnologyTechnology, vol. 84, p.1, vol. 84, p.1--14, 1995. 14, 1995.
BARABBARABÁÁSI, Albert SI, Albert –– LLáászlszlóó; H. Eugene Stanley, Fractal concepts in ; H. Eugene Stanley, Fractal concepts in surface growth, Cambridge University Press, 1995.surface growth, Cambridge University Press, 1995.
BUNDE, Armin; Shlomo Havlin, Fractals in Science, SpringerBUNDE, Armin; Shlomo Havlin, Fractals in Science, Springer--Verlag 1994.Verlag 1994. MANDELBROT, Benoit B, MANDELBROT, Benoit B, Fractal: form chance and dimensionFractal: form chance and dimension, Freeman, , Freeman,
San Francisco, 1977.San Francisco, 1977. MANDELBROT, Benoit B., MANDELBROT, Benoit B., The Fractal Geometry of NatureThe Fractal Geometry of Nature, Freeman, San , Freeman, San
Francisco Francisco -- New York 1982.New York 1982. MANDELBROT, Benoit B.; MANDELBROT, Benoit B.; DannDann E. E. PassojaPassoja & Alvin J. & Alvin J. PaullayPaullay, Fractal , Fractal
character of fracture surfaces of metals, character of fracture surfaces of metals, NaturNature e (London)(London), vol. 308 [5961], , vol. 308 [5961], p. 721p. 721--722, 19 April, 1984.722, 19 April, 1984.
MANDELBROT, B. B., in: MANDELBROT, B. B., in: Dynamics of Fractal SurfacesDynamics of Fractal Surfaces, Edited by Family, , Edited by Family, FereydoonFereydoon. and . and VicsVicséékk, , TamTamááss, World Scientific, Singapore, p. 19, World Scientific, Singapore, p. 19--39. 39. 1991.1991.
RICHARDSON, L. F. The problem of contiguity: an appendix to statRICHARDSON, L. F. The problem of contiguity: an appendix to statistics of istics of deadly quarrels. General Systems Yearbook, n.6, p. 139deadly quarrels. General Systems Yearbook, n.6, p. 139--187, 1961.187, 1961.
VICSVICSÉÉK, K, TamTamááss, , Fractal Growth Fractal Growth PhenonmenaPhenonmena, World Scientific, , World Scientific, Singapore, 1992. Singapore, 1992.