จั�ดทำ��โดย 

น�งส�ว ส�ริ�ริ�ตน� ต��นสกุ�ลริหั�สปริะจั��ต�ว 43040989

  

อ�จั�ริย�ทำ��ปริ�กุษ�อ�จั�ริย� กุริริณิ�กุ� คงส�คริ

 

เสนอ

อ�จั�ริย� พั�ชริ� เล�ศว�จั�ตริศ�ลป$

เมื่&�อเริ�เริ�ยนพั�ชคณิ�ตเช�งเส�น (linear algebra) เริ�มื่�กุจัะพับเอกุล�กุษณิ�ทำ��เริ�ยกุว(� Vandermonde determinant ในริ*ป

23

22

21

321

xxx

xxx

111

det )xx)(xx)(xx( 231312

=Vandermonde Matrix

 

Vandermonde Matrix

23

22

21

321

xxx

xxx

111

ต�วอย(�ง

det = (4-2)(4-3)(3-2) = (2)(1)(1) = 2

1694

432

111

det = (-1-(-4))(-1-(-3))(-1-(-2)) (-2-(-4))(-2-(-3))(-3-(-4))

= (3)(2)(1)(2)(1)(1) = 12

182764

14916

1234

1111

ในกุริณิ�ทำ��วไปน�ย�มื่เมื่ทำริ�กุซ์�ทำ��เริ�ยกุ Vandermonde matrix เป-น

1nn

x... 1-n

3 x

1-n2

x1-n

1 x

.

n

x... 3

x2

x1

x

1 ... 1 1 1

)x,...,x,(x V n21

… (1)

nji1

ijn1 )xx()x,...,x(Vdet

เมื่&�อ n เป-นจั��นวนเต.มื่บวกุและ n 2…(2)

พั�ส*จัน�กุริณิ� n = 2 เหั.นได�ช�ดเจันว(�

….(3)

1221

21 xxxx

11x,xVdet

สมื่มื่ต�ใหั�

kji1

ijk1 )xx()x,...,x(Vdet

เมื่&�อ k เป-นจั��นวนเต.มื่บวกุใด ๆ ต�องกุ�ริ

แสดงว(�

1kji1

ij )xx(det V (x1,…xk,xk+1) เป-นจัริ�ง

เป-นจัริ�ง

det V (x,…xk,xk+1) = det

k1k

kk

k3

k2

k

1k1k

1kk

1k3

1k2

1k

21k

2k

23

22

21kk32

xx...xxx

xx...xxx

.....

.....

.....

xx...xxx

xx...xxx

11...111พั�จั�ริณิ�

…(4)

เมื่&�อกุริะจั�ยต�มื่หัล�กุทำ�� 1 ค(�ของ det V(x,…,xk,xk+1) จัะเป-นพัหั�น�มื่ด�กุริ� k ใน x และถ้��แทำน x

ด�วย จัะเหั.นว(� ค(�ของต�วกุ��หันด (determinant) เป-นศ*นย�

1k32 x,...,x,x

ด�งน�3นส�มื่�ริถ้ เข�ยนได�ว(� det V(x,…,xk,xk+1) = A(x-x2) (x-x3)…(x-xk) (x-xk+1) ….(5)

เมื่&�อ A เป-นค(�คงทำ�� จั�กุ (5) จัะเหั.นว(� A เป-นส�มื่ปริะส�ทำธิ์�5ของ xk ด�งน�3นจั�กุ (4) ได�ว(�

1k1k

1kk

1k3

1k2

1kk32

k

xx...xx

....

....

....

xx...xx

11...11

)1(

A =

k)1(= det V(x2,…,xk+1)

= (-1)k

1kji2

ij )xx(

สริ�ปว(� detV= )x,x,...,x( 1kk1

(x-x2)(x-x3)…(x-xk)(x-xk+1)

1kji2ij

k )xx()1(=

เมื่&�อแทำน x ด�วย x1

det V (x1,…xk,xk+1) = (x1-x2) (x1-x3)…(x1-xk) (x1-xk+1)

1kji2ij

k )xx()1(

1kji2ij )xx( )xx)(xx)...(xx)(xx( 11k1k1312

1kji2

ij )xx(=

=

โดยหัล�กุกุ�ริอ�ปน�ยทำ�งคณิ�ตศ�สตริ� ได�ว(� (2) เป-นจัริ�งทำ�กุ ๆ n ทำ��เป-นสมื่�ช�กุของจั��นวนเต.มื่บวกุใด ๆ

เริ�มื่�กุจัะพับ Vandermonde matrix ในป6ญหั�ด�งต(อไปน�3

1. กุ�ริสริ��งพัหั�น�มื่ค(�สอดแทำริกุ (polynomial interpolation)

2. ป6ญหั�ค(�เริ��มื่ต�นของสมื่กุ�ริเช�งอน�พั�นธิ์� (differential equation initial value problem) และ

3. กุ�ริสริ��งล��ด�บโดยกุ��หันดจั�กุคว�มื่ส�มื่พั�นธิ์�เว�ยนบ�งเกุ�ด (recursively defined sequences) ในทำ��น�3จัะกุล(�วถ้�งเพั�ยงป6ญหั�ทำ�3ง 3 อย(�งทำ��กุล(�วไว�แล�ว

ข��งต�น และบทำบ�ทำของ Vandermonde matrix และเพั&�อไมื่(ใหั�เกุ�ดคว�มื่ส�บสน จัะเข�ยน V แทำน V)x,...,x,x( n21

1. 1. พัหั�น�มื่ค(�สอดแทำริกุพัหั�น�มื่ค(�สอดแทำริกุ (Polynomial (Polynomial interpolation)interpolation)

กุ��หันดใหั�พัหั�น�มื่ด�กุริ� n-1 ผ่(�นจั�ด (x1, y1), (x2,y2),

….,(xn,yn) ต(�งกุ�น n จั�ด เข�ยนในริ*ปq(x) = ….(6)

1n1n10 xc...xcc

ส�มื่ปริะส�ทำธิ์�5 ci หั�ได�จั�กุริะบบสมื่กุ�ริ q(xj) = yj ; j = 1, 2 ,…,n

เมื่&�อแทำนค(� j = 1, 2,…,n ในพัหั�น�มื่ q(x) จัะได�ริะบบสมื่กุ�ริด�งน�3

1n11n

212110 xc...xcxcc

1n

21n222210 xc...xcxcc

1nn1n

2n2n10 xc...xcxcc

......

= yn

= y1

= y2

…(7)

จั�กุริะบบสมื่กุ�ริ ส�มื่�ริถ้น��มื่�เข�ยนในริ*ปเมื่ทำริ�กุซ์� ด�งน�3

1nn

2nn

1n2

222

1n1

211

x...xx1

....

....

....

x...xx1

x...xx1

1n

1

0

c

.

.

.

c

c

=

n

2

1

y

.

.

.

y

y

… (8)

ส�งเกุตว(� เมื่ทำริ�กุซ์� ส�มื่ปริะส�ทำธิ์�5 จัะเป-นต�วสล�บเปล��ยน (transposed) ของ Vandermonde matrix และ ต�วกุ��หันด (determinant) ของเมื่ทำริ�กุซ์� ส�มื่ปริะส�ทำธิ์�5ของ (7) จัะเกุ��ยวข�องกุ�บเอกุล�กุษณิ� (2) เหั.นได�ช�ดว(�เมื่&�อ xi ต(�งกุ�นหัมื่ด ต�วกุ��หันด (determinant) จัะไมื่(เทำ(�กุ�บศ*นย� ส�มื่ปริะส�ทำธิ์�5ของ q มื่�เพั�ยงหัน��งเด�ยว

q(x) q(x) จัะส�มื่�ริถ้หั�ได�โดยกุ�ริปฏิ�บ�ต�ด�งต(อจัะส�มื่�ริถ้หั�ได�โดยกุ�ริปฏิ�บ�ต�ด�งต(อไปน�3ไปน�3

กุ��หันดใหั�

Q(x) = det

0y...yy

xx...xx

....

....

....

xx...xx

11...11

n21

1n1nn

1n2

1n1

n21

…(9)

เมื่&�อแทำน x ใน หัล�กุส�ดทำ��ยด�วย xi จัะได�

Q( xi) = det

0y...yy

xx...xx

....

....

....

xx...xx

11...11

n21

1ni

1nn

1n2

1n1

in21

น��หัล�กุส*ตริทำ��ยลบด�วย หัล�กุทำ�� i จัะได�ว(�สมื่�ช�กุในหัล�กุส�ดทำ��ย เป-น 0 ยกุเว�น สมื่�ช�กุต�วส�ดทำ��ย มื่�ค(�เป-น -yi และ

Q( xi) = det

in21

1nn

1n2

1n1

n21

yy...yy

0x...xx

....

....

....

0x...xx

01...11

= -yi det V(x1,…,xn)

หัริ&อ yi = - ….(10))Q(x)x,...,detV(x

1i

n1

ส��งน�3เป-นจัริ�งส��หัริ�บทำ�กุ i = 1, 2, 3…,n และเพัริ�ะว(� q(xi) = yi

ด�งน�3นจัะได�ว(� q(x) = ….(11))Q(x)x,...,detV(x

1-

n1

ในทำ��น�3 Vandermonde determinant มื่�คว�มื่ส��ค�ญอย(�งเหั.นได�ช�ด ในกุ�ริสริ��งพัหั�น�มื่ค(�สอดแทำริกุ (polynomial interpolation) ผ่(�นจั�ดต(�งกุ�น n จั�ด

กุ��หันดใหั�พัหั�น�มื่กุ��ล�ง 2 ทำ��ผ่(�นจั�ด (-3, 4), (0, 1), (2, 9)

ต�วอย(�งต�วอย(�ง

ค&อ q(x) =

2210 xcxcc

เมื่&�อแทำนค(� (x1, y1) =(-3,4) , (x2 y2) = (0,1)

และ (x3, y3) = (2,9) ลงในสมื่กุ�ริ จัะได�210 c9c3c

210 c0c0c

210 c4c2c

= 4

= 1

= 9

จั�กุริะบบสมื่กุ�ริ ส�มื่�ริถ้เข�ยนในริ*ปเมื่ทำริ�กุซ์� ด�งน�3

421

001

931

2

1

0

c

c

c

9

1

4

VT C = Y)x,x,x( 321

=

det V(x1,x2,x3) = det

409

203

111

= (2-(-3)) (0-(-3)) (2-0) = (5) (3) (2)

= 30

Q(x) = det

0914

x409

x203

1111

2

= - 2x

9 1 4

2 0 3-

1 1 1

-x

9 1 4

4 0 9

1 1 1

9 1 4

4 0 9

2 0 3-

จัะได� Q(x) = -30 + (-60)x -30 x2

 จั�กุ (11) ; q(x) =   ด�งน�3น q(x) = 1 + 2x + x2

)230x-60x-(-3030

1-

จั�กุ (9) ; กุ��หันดใหั�

#

2. 2. ปั�ญหาค่�าเริ่�มต้�นของสมการิ่เชิงปั�ญหาค่�าเริ่�มต้�นของสมการิ่เชิงอน�พั�นธ์�อน�พั�นธ์�(Differential equation initial value (Differential equation initial value problems)problems)พั�จั�ริณิ�สมื่กุ�ริเช�งอน�พั�นธิ์�

0=y0a+Dy1a+...+y1-nD1-na+ynD ….(12)

เมื่&�อ a0,a1,…an เป-นค(�คงทำ�� และ D แทำนกุ�ริหั�อน�พั�นธิ์��เทำ�ยบกุ�บ t พัริ�อมื่ด�วยเง&�อนไขเริ��มื่ต�น

Djy(0) = yj ; j = 0, 1, 2,…,n-1 ….(13)

สมื่กุ�ริ (12) มื่�พัหั�น�มื่ล�กุษณิะเฉพั�ะ (characteristic polynomial)

n21

011n

1nn

xDxDxD

aDaDaDDp

จั�กุสมื่กุ�ริ (12) จัะมื่�ผ่ลเฉลย yi = ; i = 1,

2,…,n และเมื่&�อ ผ่ลเฉลยทำ�3ง n ผ่ลเฉลย จัะเป-นอ�สริะเช�งเส�น ด�งน�3น ผ่ลริวมื่เช�งเส�น (linear combinations) ของ yi = ค&อ

tx ien21 x...xx

tx ie

y =

txn

tx2

tx1

n21 ec...ecec เป-นผ่ลเฉลยของ (12) ด�วย

Dy tx

nntx

22tx

11n21 exc...excexc yD2

tx2nn

tx222

tx211

n21 exc...excexc

tx1nnn

tx1n22

tx1n11

1n n21 exc...excexcyD

เมื่&�อแทำนเง&�อนไขเริ��มื่ต�นจั�กุ (13) จัะได�ริะบบสมื่กุ�ริ j

nnj22

j11 xc...xcxc = yj ; j = 0,1,2,…,n-1

และ

…

ริะบบสมื่กุ�ริน�3ส�มื่�ริถ้เข�ยนใหัมื่( ในริ*ปเมื่ทำริ�กุซ์� ได�เป-น

1nn

1n3

1n2

1n1

2n

23

22

21

n321

x...xxx

....

....

....

x...xxx

x...xxx

1...111

=

n

3

2

1

c

.

.

.

c

c

c

1n

2

1

0

y

.

.

.

y

y

y

VC = Y …(14)

เมื่&�อ V = , C = , Y = )x,...,x(V n1 Tn21 c...cc T

n10 y...yy

ถ้�� xiต(�งกุ�น ผ่ลเฉลยของ (14) มื่�หัน��งเด�ยวจัะเหั.นว(� Vandermonde matrix มื่�บทำบ�ทำในกุ�ริหั�ค(�

คงทำ�� C ของผ่ลเฉลยของป6ญหั�

ต้�วอย่�างต้�วอย่�าง= 0 ; y0= 1,y1 = 9, y2= 17 y3yy3y

( D3 - 3D2 – D + 3 )y = 0 พัหั�น�มื่ล�กุษณิะเฉพั�ะของสมื่กุ�ริค&อ p(D) = D3 - 3D2 – D + 3

= (D + 1)(D – 1)(D – 3) 3tectect-ecy(t) 321

ว�ธิ์�ทำ��

เมื่&�อแทำนเง&�อนไข เริ��มื่ต�น (13) จัะได�ผ่ลเฉลย ค&อ

321 ccc

321 c3cc)1(

321 c9cc

= 1

= 9

=17

จั�กุริะบบสมื่กุ�ริน��มื่�เข�ยนในริ*ปเมื่ทำริ�กุซ์� ได�เป-น

911

311

111

3

2

1

c

c

c

17

9

1

=

V C = C =

0Y

01YV

#

3.3.ลำ�าดั�บที่"�ก�าหนดัโดัย่ค่วามส�มพั�นธ์�ลำ�าดั�บที่"�ก�าหนดัโดัย่ค่วามส�มพั�นธ์�เว"ย่นบ�งเกดัเว"ย่นบ�งเกดั (Recursively defined sequences(Recursively defined sequences))

ใหั� เป-น n พัจัน�แริกุของล��ด�บทำ��มื่�คว�มื่ส�มื่พั�นธิ์�กุ�นต�มื่สมื่กุ�ริ

n10 y,,y,y

….(15)

k02-nk2n1nk1nnk yayayay

เมื่&�อ ai ไมื่(ข�3นกุ�บ k จัะเริ�ยกุล��ด�บน�3ว(� recurrent

sequenceต�วอย(�งของล��ด�บน�3ทำ��ริ*�จั�กุกุ�นด� ค&อ Fibonaci

sequence ซ์��งเริ��มื่จั�กุ 0,1,1,2,3,… และแต(ละพัจัน�จัะเป-นผ่ลริวมื่ของ 2 พัจัน� ทำ��อย*(ข��งหัน��

ในอ�กุทำ�งหัน��ง เริ�กุ��หันดใหั� {yj} เป-นล��ด�บทำ��มื่� n + 1 พัจัน� ซ์��งสอดคล�องกุ�บสมื่กุ�ริในริ*ปแบบข��งต�นเป-น

….(16) 0yayayay k02-nk2n1nk1nnk

ซ์��ง y0, y1 ,y2, …, yn-1 เป-นค(�เริ��มื่ต�นทำ��กุ��หันดไว�แน(นอน สมื่กุ�ริทำ�� (16) จัะเริ�ยกุว(�สมื่กุ�ริเช�งผ่ลต(�ง (difference equations) และสมื่กุ�ริน�3เป-นสมื่กุ�ริทำ��ส��ค�ญในกุ�ริสริ��งแบบจั��ลองป6ญหั�ต(�ง ๆ

สมื่กุ�ริ (16) หั�ค��ตอบได�โดยกุ�ริใหั� yj อย*(ในริ*ปฟั6งกุ�ช�นของ j ซ์��งเหัมื่&อนกุ�บทำ��กุล(�วมื่�ในสมื่กุ�ริเช�งอน�พั�นธิ์�

กุ��หันดต�วด��เน�นกุ�ริ L โดยทำ�� L {yj} = {yj+1} , j=0,1,2,…

 เริ�ยกุต�วด��เน�นกุ�ริน�3ว(� ต�วด��เน�นกุ�ริเล&�อน

(Shifting Operator) ซ์��งเล&�อนล��ด�บ y0, y1, y2,… ไปทำ�งซ์��ยเป-นล��ด�บ y1, y2, y3,… สมื่กุ�ริ (16) เข�ยนใหัมื่(ได�เป-น 

Ln{yj}+ an-1Ln-1{yj}+…+a1L{yj}+a0L{yj}={0}  ….(17)

ซ์��งพัหั�น�มื่ล�กุษณิะเฉพั�ะของสมื่กุ�ริค&อ 

p(L) = Ln+an-1Ln-1+…+ a0

  = (L-x1)(L-x2)…(L-xn)

 ถ้�� x1, x2,…, xn

ต(�งกุ�นหัมื่ด ผ่ลริวมื่เช�งเส�นทำ�3งหัมื่ดของล��ด�บน�3 จัะเป-นผ่ลเฉลยของสมื่กุ�ริ (17) ด�งน�3นผ่ลเฉลยทำ��วไปของ (17) ค&อ  

jnn

j22

j11j xcxcxcy

เมื่&�อใช�ค(�เริ��มื่ต�นพับว(�ส�มื่ปริะส�ทำธิ์�5 cj จัะสอดคล�องกุ�บ (14) ค&อ

n1n

2n1n

221n

11

1nn2211

0n21

yxcxcxc

y xcxcxc

y ccc

จัะได�ริะบบสมื่กุ�ริทำ��ส�มื่�ริถ้เข�ยนใหั�อย*(ในริ*ปเมื่ทำริ�กุซ์�ได�เป-น

 

เมื่&�อ V = V(x1,…,xn) , C = [c1c2…cn]T ,

Y = [y0y1…yn-1]T

YCV

y

y

y

y

c

c

c

c

xxxx

xxxx

xxxx

1111

1n

2

1

0

n

3

2

1

1nn

1n3

1n2

1n1

2n

23

22

21

n321

ต�วอย(ต�วอย(�ง�ง พั�จั�ริณิ�สมื่กุ�ริผ่ลต(�งส&บเน&�อง yn+2 - 5yn+1+ 6 yn =

0 ; y0 = 9 , y1 = 23

เข�ยนในริ*ปต�วด��เน�นกุ�ริ L ได�เป-น (L2 – 5L + 6)yn

= 0พัหั�น�มื่ล�กุษณิะเฉพั�ะของสมื่กุ�ริ ค&อ

p(L) = L2 + 5L+6 = (L-2)(L-3)

ด�งน�3นผ่ลเฉลย ค&อ yn = c12n + c23

n

เมื่&�อแทำนเง&�อนไขเริ��มื่ต�น จัะได� c1 + c2 = 9

2c1 +3c2 = 23

จั�กุริะบบสมื่กุ�ริ น��มื่�เข�ยนในริ*ปเมื่ทำริ�กุซ์� ได�เป-น

 

C = V-1Y0

23

9

c

c

32

11

2

1

0YCV

เหั.นได�ช�ดว(� Vandermonde determinant จัะคริอบคล�มื่กุ�ริแกุ�ของป6ญหั�ต(�งๆ ต�มื่ทำ��กุล(�วมื่�

#

แต(ละกุริณิ�ข��งต�น Vandermonde matrix เกุ��ยวข�องกุ�บป6ญหั�ของกุ�ริหั�ค(�ส�มื่ปริะส�ทำธิ์�5ของผ่ลริวมื่เช�งเส�น

ในป6ญหั�พัหั�น�มื่ค(�สอดแทำริกุ ป6ญหั�ค(�เริ��มื่ต�นของสมื่กุ�ริเช�งอน�พั�นธิ์� และของสมื่กุ�ริเช�งผ่ลต(�ง ส�มื่�ริถ้หั�ส*ตริของผ่ลเฉลยทำ��เกุ��ยวข�องกุ�บเมื่ทำริ�กุซ์� V(x1,…,xn)

โดยตริง โดยหัล�กุเล��ยงกุ�ริเกุ��ยวข�องกุ�บกุ�ริใช�ผ่ลริวมื่เช�งเส�น (linear combinations)

พั�จั�ริณิ�สมื่กุ�ริเช�งอน�พั�นธิ์�พั�จั�ริณิ�สมื่กุ�ริเช�งอน�พั�นธิ์� (12)(12)

หัริ&อ

มื่�พัหั�น�มื่ล�กุษณิะเฉพั�ะของสมื่กุ�ริ

0yaDyayDayD 011n

1nn

)x(D)x)(Dx(D

aDaDaDp(D)

n21

011n

1nn

0)y aDaDa(D 011n

1nn

เมื่&�อแปลงเป-นริะบบสมื่กุ�ริอ�นด�บหัน��งโดย กุ��หันด

n1n2110n

n1n

32

21

1

ya...yaya Dy

y Dy

y Dy

y Dy

y y

เข�ยนในริ*ปเมื่ทำริ�กุซ์� ได�เป-น 

….(18) 

หัริ&อ DY = AY ….(19)

เมื่&�อ Y เป-นเวกุเตอริ�ทำ��ปริะกุอบด�วยสมื่�ช�กุ A เป-นเมื่ทำริ�กุซ์�ขน�ด n x n ซ์��งอย*(ทำ�งขว�

ของสมื่กุ�ริ (18)

y

y

y

y

aaaa

1000

0100

0010

Dy

Dy

Dy

Dy

n

1n

2

1

1n210n

1n

2

1

n21 y,,y,y

ผ่ลเฉลยของริ�กุบนสมื่กุ�ริอ�นด�บหัน��ง (18) ทำ��ได�โดยหั�ค(�เจั�ะจัง จั�กุสมื่กุ�ริ

λ

0

λaaaaa

1λ000

001λ0

0001λ

λIA

1n2n210

กุริะจั�ยต�วกุ��หันดต�มื่แถ้วทำ�� n จัะได�สมื่กุ�ริ

n21

n21

012n

2n1n

1nn

x,,x,xλ

0 )x(λ)x)(λx(λ

λpaλaλaλaλ0

ส��หัริ�บ หั�เวกุเตอริ�เจั�ะจัง C1

จั�กุ1xλ

0CI)λ-(A

0

0

0

0

c

c

c

c

xaaaaa

1x000

001x0

0001x

n

1n

2

1

11n2n210

1

1

1

1n1n213112 cxc,,cxc,cxc ด�งน�3น

เล&อกุ c1 = 1

จัะได� และ

n1

21

1

1

x

x

x

1

C

tx

n1

21

1tλ

1111 e

x

x

x

1

eCY

ทำ��นองเด�ยวกุ�น

tx

n2

22

2tλ

2222 e

x

x

x

1

eCY

ผ่ลเฉลยทำ��วไป ค&อ

tx

1nn

2n

n

ntx

1n2

22

2

2tx

1n1

21

1

1

n

3

2

1

nn2211

n21 e

x

x

x

1

ce

x

x

x

1

ce

x

x

x

1

c

y

y

y

y

YcYcYcY

จั�ดเป-น

Ce,,eVDY

c

c

c

c

e000

0e00

00e0

000e

xxxx

xxxx

xxxx

1111

y

y

y

y

txtxiag

n

3

2

1

tX

tX

tX

tX

1nn

1n3

1n2

1n1

2n

33

22

21

n321

n

3

2

1

n1

n

3

2

1

… (20)

เมื่&�อ =

txtxiag

n1 e,,eD

tX

tX

tX

tX

n

3

2

1

e000

0e00

00e0

000e

เมื่&�อใช�เง&�อนไขค(�เริ��มื่ต�น Djy(0) = yj ; j =

0,1,2,…,n-1 จัะแทำนด�วย 

Y(0) = Y0 ….(21)

 ทำ��ใหั�ได�ว(�

Y0 = VIC = VC หัริ&อ C = V-1Y0

 

ส�ดทำ��ยจัะได�ผ่ลเฉลยหัน��งเด�ยวของสมื่กุ�ริ (19) และ (21) จัะอย*(ในริ*ป

  ….(22)

01txtx

iag YVe,,eVD(t)Y n1

ส�งเกุตว(� ถ้��

n

3

2

1

n1iag

x000

0x00

00x0

000x

x,,xD

แล�ว n1iag

nn

n2

n1

2n

22

21

n21

x,,xDV

xxx

xxx

xxx

AV

ด�งน�3น ….(23)

1n1iag Vx,,xVDA

ในทำ��นองเด�ยวกุ�น จั�กุ (22 ) กุ��หันดเมื่ทำริ�กุซ์� exponential

 

 ด�งน�3น ผ่ลเฉลยของป6ญหั�ค(�เริ��มื่ต�นของ

สมื่กุ�ริเช�งอน�พั�นธิ์� ค&อ  ….(24)

1txtxiag

At Ve,,eVDe n1

0At YeY

ต�วอย(�งต�วอย(�ง จังหั�ผ่ลเฉลยของสมื่กุ�ริ

1(0)y1,y(0) ; 06yy5y

ว�ธิ์�ทำ��

พัหั�น�มื่ล�กุษณิะเฉพั�ะของสมื่กุ�ริค&อ

3)2)(D(D

65DDp(D) 2

ด�งน�3น  

กุ��หันดใหั� และ

32

11V,

e0

0ee,eD

3t

2t3t2t

iag

y

yY

1-

1Y 0

ผ่ลเฉลยของสมื่กุ�ริค&อ 0

13t2tiag YVe,eVD Y

1

1

12

13

e0

0e

32

11

3t

2t

3t2t

3t2t

9e8e

3e4e

น��นค&อ และ #

3t2t 3e4ey 3t2t 9e8ey

พั�จั�ริณิ�สมื่กุ�ริเช�งผ่ลต(�ง (17)Ln{yj}+an-1L

n-1{yj}+….+a1L{yj}+a0{yj}= {0}

จัะเปล��ยนริ*ปเป-นริะบบสมื่กุ�ริในว�ธิ์�ทำ��นองเด�ยวกุ�น โดยเริ�จัะพั�จั�ริณิ�ล��ด�บของเวกุเตอริ�{yj}

สมื่กุ�ริ (17) จัะกุล�ยเป-นL{Yj} = {AYj} ….(25)

เมื่&�อ A ค&อ เมื่ทำริ�กุซ์�ทำ��เคยกุล(�วถ้�งเมื่&�อ L{Yj} = {Yj+1} แล�วสมื่กุ�ริ (25) จัะสมื่มื่*ล

กุ�บ Yj+1 = AYj ….(26)

ในทำ��นองเด�ยวกุ�น เมื่&�อใช�เง&�อนไขค(�เริ��มื่ต�น (0) = 0 ส�ดทำ��ยผ่ลเฉลยหัน��งเด�ยวของสมื่กุ�ริ (26) จัะอย*(ในริ*ปปริะย�กุต�ใช� (23) ได�ว(�ผ่ลเฉลยของป6ญหั�ค(�เริ��มื่ต�นของสมื่กุ�ริเช�งผ่ลต(�งค&อ

  

เมื่&�อ

Y Y

0j

j YAY

1jn

j1iag

j Vx,,xDVA

ต�วอย(�ง พั�จั�ริณิ�สมื่กุ�ริผ่ลต(�งส&บเน&�อง yn+2 - 5yn+1 + 6

yn = 0 ; y0 = 9 , y1 = 2

ว�ธิ์�ทำ�� พัหั�น�มื่ล�กุษณิะเฉพั�ะของสมื่กุ�ริ ค&อ

p(L) = L2 + 5L+6= (L-2)(L-3)

ด�งน�3น  กุ��หันดใหั� และ

32

11V,

30

02,32D

n

nnn

iag

1n

n

y

yY

23

9Y 0

ผ่ลเฉลยของสมื่กุ�ริค&อ

nn

nn

n

n

01nn

iag

31528

3524

23

9

12

13

30

02

32

11

YV,32VDY

น��นค&อ yn = และ yn+1 =

#

nn 3524 nn 31528