vasbeton szerkezetek ii hefop-jegyzet

E U R Ó P A I U N I Ó STRUKTURÁLIS ALAPOK

„Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése”

HEFOP/2004/3.3.1/0001.01

VV AA SS BB EE TT OO NN SS ZZ EE RR KK EE ZZ EE TT EE KK

IIII.. BMEEOHSAS08 segédle t a BME Épí tőmérnök i Kar ha l lgató i részére

Vasbetonszerkezetek II. (BMEEOHSAS08)

1. Előadás

VASBETON LEMEZEK v1.0

VASBETON LEMEZEK

TARTALOM 1. A rugalmas lemezelmélet alapjai 2. Lemez és gerenda viselkedésének összehasonlítása 3. Speciális kérdések

3.1 Derékszögű négyszög alakú lemez reakciói 3.2 Egyirányban teherviselő lemezek 3.3 Koncentrált terhek esete 3.4. Koncentrált erővel terhelt konzolos lemezek 3.5.A lemez vasalásának meghatározása a rugalmas igénybevételek alapján

4. Derékszögű négyszög alakú lemezek igénybevételei, vasalása 4.1 Az igénybevételek meghatározása grafikonok segítségével 4.2 A maximális igénybevételek közelítő számítása 4.21 Tartókereszt eljárás 4.22 Marcus módszere

5. Lemezrendszerek közelítő vizsgálata 6. Gombafödémek, síklemez födémek

6.1 Általánosságok 6.2 Hajlítási méretezés 6.3 Átszúródási vizsgálat

VASBETON LEMEZEK BEVEZETÉS A lemez olyan sík tartóelem, melynek vastagsága a másik kétirányú kiterjedéshez képest kicsi és amelynek terhei a középfelület síkjára merőlegesen működnek. A vasbeton lemez mind a magas, mind a mély, mind pedig a hídépítésben rendkívül gyakran előforduló szerkezeti elem. Alakja a legtöbb esetben szabályos (derékszögű négyszög, rombusz, romboid, kör vagy körgyűrű), de néha szabálytalan is lehet (sokszög, vagy tetszőleges íves vonalakkal határolt, esetenként nyílásokkal áttört). Egy lemezszerkezet alátámasztása lehet pontszerű, vonal vagy felület mentén történő fix vagy rugalmas megtámasztás, illetve ezek kombinációja. Ebben a fejezetben csak a gyakorlatban legtöbbször előforduló, derékszögű négyszög alakú, szabályos elrendezésben kialakított vonalak vagy pontok mentén fixen megtámasztott, vékony vasbeton lemezek rugalmas igénybevételeinek meghatározásával és vasalásának kialakításával foglalkozunk.


1. A RUGALMAS LEMEZELMÉLET ALAPJAI A lemezre működő terhelés hatására annak eredetileg sík középfelülete, általában a derékszögű koordináta rendszer mindkét irányában görbült felületté alakul át. Ha a lemez felületét képzeletben az x és y tengelyekkel párhuzamos lemezsávokra bontjuk, akkor látható, hogy az alakváltozás hatására, az oldalaik mentén csatlakozó, egymást keresztező, önálló gerendáknak tekinthető lemezsávok nem csak hajlítási alakváltozást szenvednek, hanem el is csavarodnak. A terhelés hatására bekövetkező alakváltozások figyelembe vételével, és elemi rugalmasságtani ismereteink alapján, egy t vastagságú lemez felületéből kivágott dx, valamint dy oldalhosszúságú lemezre működő igénybevételek az x és y irányú mx illetve my fajlagos hajlítónyomatékok, a vx és vy fajlagos nyíróerők, valamint a felcserélhetőségi tétel miatt azonos mxy ==== myx fajlagos csavarónyomaték A rugalmas lemez igénybevételeit a klasszikus, Kirchoff féle hajlításelmélet felhasználásával határozhatjuk meg. Ennek alapfeltevései a következők: - a lemez vastagsága állandó és egyéb méreteihez képest kicsi, azaz lmin/t>5, ahol lmin a legkisebb támaszköz,

- a lemez középsíkjában fekvő pontok csak a középsíkra merőlegesen tolódnak el és a maximális eltolódás a lemez vastagságához képest kicsi, azaz t/wmax>5,

- a lemez anyaga homogén, izotrop és lineárisan rugalmas, - a középsík normálisán fekvő pontok az alakváltozások után is a középfelület azonos normálisán maradnak, vagyis érvényes a Bernoulli-Navier feltétel

- a középfelületre merőleges feszültségek elhanyagolhatók, - a lemez síkjában az elmozdulások szabadon létrejöhetnek. Megjegyzés Az előző feltételek vasbeton lemezeknél csak közelítően teljesülnek, minthogy például két, egymásra merőleges irányban vasalt vasbeton lemez esetében, a kétirányú vasalás eltérő volta következtében, az egységnyi szélességű lemezsávok ideális inercianyomatékai a vasalási irányokban általában némileg különbözőek. Valamely irányban berepedt lemez esetén a különböző irányok szerint számítható inercianyomatékok eltérése jelentős is lehet. Gyakorlati tapasztalatok szerint, ennek ellenére, a rugalmas elmélet alapján számítható igénybevételek, elsősorban használati határállapotok szerinti vizsgálatoknál, elegendően pontosak. A lemez tényleges törési állapotához közeledve a repedések egyre jobban megnyílnak, az igénybevételek átrendeződnek és ekkor a képlékeny lemezelmélet alkalmazásával lehet a szerkezet teherbírását megbecsülni. A gyakorlati esetek döntő többségében a használati állapotban rugalmas elmélet szerint méretezett lemezek a teherbírási határállapotra is megfelelnek.


Az előzőekben megfogalmazott alapfeltevések teljesülése esetén a q(x,y) teherrel terhelt lemez egy dx,dy eleme egyensúlyának vizsgálata alapján a szerkezet egyensúlyát leíró összefüggés az x,y derékszögű koordinátarendszerben az alábbi alakban írható: ∂∂

∂∂ ∂

∂∂

m x y

y

- qx xy y

2

2

2

2 2

2mx

m+ ⋅ + =

Ez az egyensúlyi egyenlet a

( )σ µ ε µ ε xc2 x c y=

E1-

⋅ + ⋅ ; ( )σ µ ε µ ε yc2 y c x=

E1-

⋅ + ⋅ ; ( )τµ

γ xy c

xy=⋅ +

⋅E

2 1

fizikai, valamint az

ε∂∂ x

2 x

= −zw2

;ε∂∂ y

2 y

= −zw2

;γ∂∂ ∂ xy

y x

= − ⋅22

zw

összeférhetőségi egyenletek felhasználásával a ∂∂

∂∂ ∂

∂∂

4

4

4

2 2

4

4 w

x w

x y w

y+ ⋅ + =2

qk

alakú Lagrange féle negyedrendű, parciális, inhomogén differenciálegyenletté alakítható, mely a rugalmas lemezelmélet alapegyenlete derékszögű koordinátarendszerben. A fenti összefüggésekben: - E a lemez anyagának, vasbeton lemez esetén a beton rugalmassági modulusa,

- µ c a harántnyúlási tényező (a Poisson szám reciproka), melynek értéke vasbeton lemeznél µ c = 0,15 ~ 0,20

- ( )KE t

=⋅

⋅

3

c 212 1-µ

a lemez hajlítómerevsége.

A lemez középfelületére merőleges q(x,y) teherfüggvény akkor pozitív, ha a pozitív w(x,y) eltolódásfüggvénnyel azonos irányban működik. A Lagrange féle lemezegyenlet elegendő számú peremfeltétel esetén egyértelműen leírja a terhelés hatására kialakuló lehajlásfüggvényt. A kétváltozós negyedrendű differenciálegyenlet megoldásának matematikai határozottságához minden perempontban két peremfeltételt kell előírni. Ezek a lemez megtámasztási viszonyai alapján határozhatók meg. A mérnöki feladatoknál leggyakrabban előforduló megtámasztások esetén felírható peremfeltételek, ha n index jelöli a megtámasztás vonalára merőleges, t pedig az azzal párhuzamos irányt, az alátámasztás vonalában az alábbiak:


- csuklós megtámasztás (pl. falra feltámaszkodó lemez): lehajlás w ==== 0 a támasz vonalára merőleges hajlítónyomaték mn ==== 0

- tökéletes befogás (pl. nagy merevségű gerendába befogott perem): lehajlás w ==== 0

normális irányú szögelfordulás ∂∂ w n

= 0

- rugalmas befogás (pl. koszorúgerendába befogott perem): lehajlás w ==== 0

a normális irányú szögelfordulás arányos a

nyomatékkal ∂∂ w n n= ⋅

1c

m

c →→→→ rugóállandó - szabad peremű lemez: normális irányú nyomaték mn ==== 0

perem reakcióerő r ==== 0 Téglalap alakú lemezeknél a peremfeltételeket is kielégítő analitikus megoldás például az ismeretlen w(x,y) lehajlásfüggvény és az ismert q(x,y) teherfüggvény Fourier sorba fejtése után és az egyenes Fourier tagok egyeztetése révén meghatározott Fourier együtthatók felhasználásával a következő alakban írható

( )w x y am x

an y

bm, sin sin= ⋅

⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅∞

=

∞

mnn=11

π π

Mivel a Fourier sor alakjában keresett megoldás meglehetősen gyorsan konvergál, az igénybevételeknek a gyakorlat számára pontos meghatározásához elegendő a sor első 2-3 tagját figyelembe venni. A lemez vasalásának meghatározására szolgáló igénybevételeket a lehajlás- függvény ismeretében a klasszikus rugalmasságtan elvei szerint lehet meghatározni, az egymásra merőleges irányoknak a harántnyúlási tényező miatt kialakuló egymásrahatását is figyelembe véve. A legtöbb gyakorlati esetre az analitikus megoldások alapján táblázatokat, grafikonokat dolgoztak ki a lemez kritikus keresztmetszeteinek maximális igénybevételei meghatározására, melyek segítségével a méretezés alapjául szolgáló fő igénybevételek egyszerűen megbecsülhetők. Bonyolultabb esetekben a lemezszerkezet igénybevételeinek meghatározásához a differencia módszeren, vagy a véges elemek módszerén alapuló számítógépi programokat lehet használni.


2. A LEMEZ ÉS GERENDA VISELKEDÉSÉNEK ÖSSZEHASONLITÁSA A lemez és a gerenda viselkedése közötti alapvető különbség, hogy míg egy gerendában csak annak tengelye irányában, addig egy lemezben a lemez síkjának minden irányában keletkeznek igénybevételek. Vasbeton lemez esetén ezért az igénybevételekből keletkező húzóerők felvétele egyirányú vasalással általában nem oldható meg. A lemezekben a hajlítónyomatékon kívül, csavarónyomaték is ébred a külső teher

hatására. A csavarás hatását a Lagrange féle lemezegyenletben a középső, 2∂

∂ ∂

4

2 2 x yw

tag

veszi figyelembe, valamely irányban két egymás mögött elhelyezkedő keresztmetszet relatív elfordulásának függvényében.

tg w x 1

1 1φ

∂∂

φ= =

tg y

d x y

d 2 1 1

y 1

2 1

yφ φ∂ φ∂ φ

∂∂ ∂= + ⋅ = + ⋅

w

Ha két, egymást merőlegesen keresztező gerendarendszer kereszteződési pontjaiban csuklós kapcsolatot tételezzük fel, akkor a külső terhelés hatására a rúdelemekben nem keletkezik csavarónyomaték, mivel az egyik irányú rúdelem alakváltozása nem kényszeríti a másik irányú rudat elcsavarodásra. Ekkor a Lagrange féle differenciálegyenlet az alábbi alakúra egyszerűsödik ∂∂

∂∂

4

4

4

4 x yw w q

k+ =

A µ c harántnyúlási tényező a gerendák igénybevételét nem befolyásolja, de a lemezek igénybevételeit jelentősen módosítja. Egy a peremei mentén csuklósan megtámasztott négyzet alakú lemez maximális hajlítónyomatékai a lemezmező középpontjábanµ c különböző értékei esetén egyenletesen megoszló teher hatására az alábbiak

µ c = 0� m27,2 max

2

=⋅q l

; µ c = 0 15, � m23,6 max

2

=⋅q l

; µ c = 0 3, � m20,9 max

2

=⋅q l

A maximális nyomaték ekkor 1+ µ c -vel arányosan változik. Más oldalarányú lemeznél a változás mértéke is eltérő.


Az alábbi táblázatban a lemezek illetve a gerendák viselkedését leíró analóg összefüggéseket hasonlítottuk össze.

Jellemző mennyiség

állandó t vastagságú lemez

gerenda

teher felületen működő q(x,y) vonal mentén működő q(x)

lehajlás

alapegyenlet ∂∂

∂∂ ∂

∂∂

4

4

4

2 2

4

4 x x y yw w w q

k+ ⋅ + =2

∂∂

4

4xw q

K=

`

hajlítási merevség K

E I=

⋅−1 µ c

2

3

; I =t12

K E I`= ⋅⋅

; I =b h

12

3

hajlító nyomaték m K

w w

m Kw w

x

2

2 c

2

2

y

2

2 c

2

2

x y

y x

= − + ⋅

��

�

��

= − + ⋅

��

�

��

∂∂

µ∂∂

∂∂ µ

∂∂

M Kd wdx

M

x

2

2

y 0

= − ⋅

≡

`

csavaró nyomaték ( )m m Kw

xy yx c

2

x y= = − ⋅ −1 µ

∂∂ ∂

M xy ha a teher a szim. tengelyben hat

= 0

nyíróerő v K

w w

v Kw w

x

2

2

2

2

y

2

2

2

2

x x y

y x y

= − +

��

�

��

= − +

��

�

��

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

V Kd wd

Vy

x

3

3 x= −

≡

`

0

nyíróerő -hajlítónyomaték

összefüggés v

v

xx xy

yy xy

m x

m y

m y

m x

= +

= +

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

V

dMd

V

x

y

=

=

x

x

0

nyíróerő - teher összefüggés

∂∂

∂∂

w x

w y

x y+ + =q 0 dVdx

qx + = 0

hajlítónyomaték - teher összefüggés

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

2 x

2

2 xy

2 y

2 x x y ym m m

q+ ⋅ + + =2 0d Mdx

q 2

2 + = 0

megoszló teher dim.

kN/m2 kN/m

nyomaték dim. kNm/m kNm nyíróerő dim. kN/m kN


3. SPECIÁLIS KÉRDÉSEK 3.1 Derékszögű négyszög alakú lemez reakciói A peremei mentén szabadon fekvő lemez reakcióerő megoszlása a támaszok vonalában nem azonos a támasz feletti tényleges vx vagy vy nyomóerővel, mivel az y tengellyel

párhozamos alátámasztás vonalában, a csavarásból származó ∂∂

m y

xy fajlagos nyíróerővel

módosítani kell. Az y tengellyel párhuzamos perem mentén ezzel a redukált nyíróerő, illetve támaszreakció megoszlása az előző táblázatban feltüntetett mennyiségek figyelembe- vételével

( )v r v Kw w

x red y x xy

3

3 c

3

2

m y x x y

= = − = − + −�

��

�

��

∂∂

∂∂

µ∂

∂ ∂2

mely értéket Kirchoff féle peremerőnek nevezzük. Az ábrán a lemez egyik sarkát tüntettük fel úgy, hogy a perem elemi szakaszára működő mxy csavarónyomatékokat mxydy/dy ==== mxy értékű ellentett erőkből álló erőpárokkal helyettesítettük. Az ábrákból látható, hogy a lemez sarokpontjában, a csatlakozó peremekre működő csavarónyomatékok előjele következtében, felfelé mutató koncentrált reakcióerő ébred, melynek értéke merőlegesen csatlakozó peremek esetén:

Ro ==== 2 mxy

A b, ábra a sarkaiban leterheletlen négyzet alakú lemez alakváltozását, a c, ábra pedig a nyíróerő és a reakció eloszlását mutatja µ c = 0 esetben. Látható, hogy amennyiben a lemez pereme nincs leterhelve vagy lekötve, úgy a lemezsarok felemelkedik. Ha a lemez a peremei mentén befogott, akkor pl. az y tengellyel párhuzamos perem

mentén érvényes ∂∂ w

x= 0 peremfeltétel miatt a

∂∂ ∂

w x y

2

derivált ugyancsak zérus értékű,

tehát a befogott peremen az mxy csavarónyomaték zérus. Ebből következik, hogy befogott peremhez csatlakozó sarokpontban nem lép fel koncentrált reakcióerő, és a befogott perem mentén a reakcióerő és a nyíróerő eloszlása azonos.


2. Előadás


3.2 Egyirányban teherviselő lemezek Vizsgáljuk egy olyan, az y irányban végtelen kiterjedésűnek tekintett lemezt, melynek terhelése az y változótól független és az y tengellyel párhuzamos peremei mentén van megtámasztva Ekkor a lemez hengeres alakváltozást szenved, vagyis a w lehajlásfüggvény csak x-től függő lesz, és az azt leíró Lagrange féle differenciálegyenlet a

( )∂∂ w x

4

4 =q x

K egyszerű alakot ölti. Ennek megoldása analóg egy hajlított gerenda

rugalmas vonalának megoldásával. A lehajlásfüggvény alapján számítható nyomatékok

m K x

2

2 c

w x

= − + ⋅�

��

�

��

∂∂

µ 0 és m K m y c

2

2 c x

w x

= − + ⋅�

��

�

�� = ⋅0 µ

∂∂

µ

alakban kaphatók, vagyis az x tengely, másképpen a teherbírás irányában számítható nyomatékok az x tengely irányú lemezsávokon mint egységnyi széles gerendákon keletkező nyomatékokkal azonosak, míg az erre merőleges irányban keletkező nyomaték ennekµ c - szerese Ez indokolja, hogy bármely lemezben a fő teherbírás irányára merőlegesen legalább a főirányban szükséges vasalás 20 %-át célszerű alkalmazni. Megjegyezzük, hogy gyakorlatilag egyirányban teherviselőnek tekinthető az a derékszögű négyszög alakú lemez, melynek hosszabbik oldala nagyobb a rövidebbik oldala kétszeresénél és terhelése a felületén egyenletesen megoszló teher. Az ilyen lemezeknél ugyanis a ″pontos″ lemezelmélet alapján számítható kétirányú nyomatékok aránya már 5-nél nagyobbra adódik, így minthogy a mellék irányban a főirány vasalásának 20 %-át mindenképpen alkalmazni kell, felesleges az igénybevételeket a pontosabb, kétirányban teherviselő lemezelmélet alapján meghatározni.

3.3 Koncentrált terhek esete Koncentrált erővel terhelt lemezek esetén a Fourier sorba fejtett megoldás nagyon lassan konvergál és csak több száz tag figyelembe vételével vezet elegendően pontos eredményre. A koncentrált terhek hatására keletkező igénybevételek gyakorlati meghatározására csak II. világháború után, Pucher osztrák professzor által kidolgozott hatásfelületek elterjedésével nyílt lehetőség. A hatásfelületek meghatározása a Maxwell féle felcserélhetőségi tételen alapul, mely szerint a lemezfelület egy adott pontjában működő egységnyi koncentrált erő hatására a lemez egy tetszőleges másik pontjának lehajlása megegyezik az utóbbi pontra állított egységből az eredeti pontban számítható lehajlással. A lemez valamely kritikus keresztmetszete hatásfelületének előállításához tehát elegendő az adott keresztmetszetre állított egységerőből meghatározni a lehajlásfüggvényt, és az így előállított hatásfelület alapján ismert összefüggésekből számíthatók az igénybevételek. Egy a peremei mentén szabadon felfekvő lemez középső keresztmetszete görbületi, illetve az azzal arányos hajlítónyomtéki hatásfelületét, valamint annak szintvonalas ábrázolását mutatja az alábbi bra. Látható, hogy a keresztmetszet felett álló koncentrált erőből a keresztmetszetben keletkező nyomaték értéke elvileg végtelen. A gyakorlatban azonban tényleges koncentrált erő nem létezik, csak kis felületen megoszló teher. Ennek


alapján a vizsgált hatás az A terhelt felület fölötti hatásfelületrész V térfogatának meghatározása után kapható. V

A

= ∫η dA

Ha a koncentrált erő hatására keletkező igénybevételeket véges elemes számítógépi programmal határozzuk meg , akkor a kis felületen megoszló teher környezetében a véges elemes hálózat felosztását megfelelően sűríteni kell. 3.4. Koncentrált erővel terhelt konzolos lemezek Egy a szabad szélén P koncentrált erővel terhelt, y irányban elegendően hosszú és az x====0 peremén befogott, állandó vastagságú konzollemez maximális fajlagos befogási nyomatéka a rugalmas lemezelmélet szerint meghatározva mx max= - 0,465 P [kNm/m] Hasonlítsuk össze ezt az eredményt egy olyan közelítő eljárással számított befogási nyomatékkal, melynél azt a feltételezést tettük, hogy a koncentrált erőből származó hatás szétterjedése 45o. Ezzel a befogási keresztmetszetben számítható fajlagos nyomaték értéke mmax= - ( P l ) / ( 2 l )= - 0.5 P [kNm/m] Látható, hogy ezzel az egyszerű közelítéssel a ″pontos″ eredménytől mindössze 7,5 %-kal a biztonság javára eltérő nyomatékot kaptunk. Meg kell jegyezni, hogy amennyiben a lemez szabad pereme gerendával erősített, úgy az igénybevétel 45o-nál nagyobb szög alatt terjed szét, ezáltal a befogási nyomaték az előzőnél kisebb lesz. Ha a lemez vastagsága a befogási keresztmetszet felé növekszik, akkor az igénybevételek szétterjedésének szöge kisebb, tehát a befogási nyomaték nagyobb lesz.

3.5 A lemez vasalásának meghatározása a rugalmas igénybevételek alapján A rugalmas lemezelmélet alapján a lemez bármely pontjában meghatározhatók az mx és my fajlagos hajlító és az mxy fajlagos csavarónyomatékok. Ezek felhasználásával a lemezben keletkező főnyomatékok az alábbi összefüggéssel számíthatók:

A főnyomatékok iránya a lemez felületén pontról pontra változik és az un. trajektória vonalakkal jellemezhető. A főnyomatéki irányokhoz tartozó metszetekben a csavarónyomaték zérus.

A nyomatékokból származó húzóerők felvétele szempontjából a trajektória irányú vasalás alkalmazása lenne a leghatékonyabb, ennek gyakorlati kivitelezése azonban általában lehetetlen. Ezért a legtöbb esetben a lemez vasalását egymást merőlegesen keresztező vasbetétekkel alakítják ki. Ha az x és y tengelyekkel párhuzamos irányú vasaláshoz tartozó fajlagos határnyomatékok értékei mxH és myH, akkor az y tengellyel ∝∝∝∝ szöget bezáró irányban a határnyomaték Johansen szerint az m m mx y H H Hα α α= +cos sin2 2 összefüggéssel számítható .

22

2,1 22 xyyxyx m

mmmmm +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+=


Ennek felhasználásával levezethető, hogy az x illetve y irányban szükséges vasalást a biztonság javára szolgáló közelítéssel, a lemez minden pontjában az mx++++mxy illetve my++++mxy fajlagos nyomatékok alapján kell meghatározni. A vasbeton lemezek méreteire és vasalására vonatkozóan az alábbi legfontosabb szerkesztési szabályokat kell betartani: - a lemez vastagsága minimálisan 60 mm, konzolos lemez befogási keresztmetszetében legalább 100 mm legyen, - a lemezben elhelyezett acélbetétek minimális átmérője 5 mm, hegesztett hálós vasalás esetén 4,2 mm lehet, és a vasátmérő ne legyen nagyobb a lemezvastagság egynyolcadánál, - az acélbetétek egymástól való maximális távolsága az egyik irányban 400 mm, a másik irányban 200 mm, illetve a lemezvastagság kétszerese (a két érték közül a nagyobb) lehet,

- a fő teherviselési irányban a minimális acélmennyiség az A s min ct, effc

sf

A= ⋅ ⋅0 16, δ

összefüggéssel számítható , ahol δ s az acélbetétben megengedett feszültség, de As,min ne legyen 0,0015 Ac-nél kisebb, - a mellékirányban legalább a főirányban a méretezés, vagy a szerkesztési szabályok által meghatározott vasmennyiség 20 %-át kell betervezni, - az egyes lemezmezőkben a legnagyobb mezőnyomaték felvételéhez szükséges húzott vasalásnak legalább a felét végig kell vezetni a teljes lemezmezőn úgy, hogy a támasz középvonala mögött legyen lehorgonyozva. Ha a támasztónyomatékok felvételére alkalmazott vasalás keresztmetszete legalább a végig vezetett vasak keresztmetszetének egyharmada, úgy elegendő a maximális mezőnyomaték felvételéhez szükséges vasalás egyharmadát végig vezetni, - a lemez szabad szélén, azzal párhuzamosan, szegély acélbetéteket kell elhelyezni. Ezek a perem sarkaiban vezetett legalább 5 mm átmérőjű vasak legyenek, melyeket a lemezszélre merőlegesen kifutó acélbetétek visszahajtásával, vagy külön hajtűvasakkal kell összefogni. Ezek távolsága 400 mm vagy a lemezvastagság kétszerese lehet. 4. DERÉKSZÖGŰ NÉGYSZÖG ALAKÚ LEMEZEK IGÉNYBEVÉTELEI, VASALÁSA 4.1 Az igénybevételek meghatározása grafikonok segítségével Egyenletesen megoszló q teherrel terhelt, a peremei mentén feltámaszkodó, illetve befogott lemezek maximális hajlító-igénybevételeinek és lehajlásának meghatározására grafikusan feldolgozott eredményeket, görbesereget alkalmazunk.

A görbesereg görbéi R. Bares analitikus megoldáson alapuló táblázatainak eredményét foglalják össze. A maximális mezőnyomatékok a lemez szimmetriatengelyeiben alakulnak ki. Itt a csavarónyomatékok zérus értékűek, tehát a vasalás itt közvetlenül a hajlítónyomatékokból számítható. A feltámaszkodó peremű lemez sarkain fellépő csavarónyomatékok miatt, a sarok környezetében keletkező negatív főnyomatékra a lemez felső síkját is meg kell vasalni. Derékszögű négyszög alakú lemezek vasalásának elvi kialakítását mutatják a következő. ábrák hagyományos, egyenes vasakból kialakított, illetve hálós vasalás esetén.


3. Előadás


4.2. A maximális igénybevételek közelítő számítása Az igénybevételek egyszerű megfontolásokon alapuló, közelítő meghatározására egyrészt a pontosabb, esetleg gépi számítási eredmények ellenőrzésekor, másrészt a szerkezetek előméretezésekor lehet szükség. A továbbiakban két egyszerű módszert ismertetünk derékszögű négyszög alakú lemezek maximális hajlítónyomatékainak közelítő számítására. 4.21 Tartókereszt eljárás

Az eljárást sávmódszernek is nevezik, és alapötlete az, hogy a lemezből a maximális lehajlás helyén x és y irányában egy-egy egymást keresztező, egységnyi szélességű lemezsávot vágunk ki, melyeket a saját irányukban önállóan működő gerendáknak tekintünk. Ezzel, a csavarási ellenállást figyelembe vevő tag elhanyagolása miatt, a rugalmas lemezek Lagrange féle differenciálegyenlete:

∂∂

∂∂

4

4

4

4 x yw w q

k+ =

alakúra egyszerűsödik, ahol a baloldal első tagja egységnyi szélességű x irányú, a második pedig szintén egységnyi szélességű, de y irányú gerenda alakváltozás-teher összefüggéseként értelmezhető. Ha az x-es irányú tartók által viselt megoszló teherrész qx és qy, és a lemez felületére q egyenletesen megoszló teher működik, akkor az egyensúly alapján qx ++++ qy ==== q ==== const. Minthogy a két sáv kereszteződési pontjában a lehajlás azonos értékű, ezért a kompatibilitási feltétel wx ==== wy A lemezsávok rugalmas vonalának differenciálegyenlete alapján

w aq lE Ix x

x x

x= ⋅

⋅⋅

4

és w aq lE Iy y

y y

y= ⋅

⋅⋅

4

ahol az ax és ay értékek a lemez megtámasztási viszonyaitól függő tényezők, az ábra szerint.


Állandó vastagságú lemeznél I Ix y≈ felhasználásával, és azε = l ly x/ valamint m ==== ax/ay paraméterek bevezetésével a kompatibilitási egyenlet

qm

qx

4

y= ⋅ε

, illetve qm

qy 4 x= ⋅ε

alakra hozható, mely értékeket az egyensúlyi

egyenletbe beírva a kétirányú lemezsávra jutó teherrészekre a qm +

qx

4

4= ⋅εε

és

q+m

q 4 y ⋅=ε

m összefüggéseket kapjuk.

A lemezsávok maximális nyomatékai ezután az adott irányú sávra működő teherrészből a megtámasztási viszonyok függvényében számíthatók. A kétirányú teherviselést mindkét irányban azonos megtámasztású lemezsávok esetén csak 0 5 2, < < ε esetben érdemes figyelembe venni, mivel ha ε = 2 és m = 1 akkor

q qx = ⋅1617

�� a teljes teher 94 %-a és

q qy = ⋅1

17�� a teljes tehernek csak 6 %-a

A sávmódszer elhanyagolja a keresztező lemezsávok egymásra gyakorolt hatásából fellépő csavarónyomatékokat, ezért a hajlítónyomatékokat a biztonság javára szolgáló közelítéssel állapítja meg. 4.22 Marcus módszere Az eljárást Marcus dolgozta ki a sávmódszer alapján, de az ott elhanyagolt csavarónyomaték hatásának figyelembevételével. A megoldás alapesete a négy peremén feltámaszkodó, egyenletesen megoszló teherrel terhelt négyszöglemez. A lemezre működő terheket Marcus az egymást keresztező lemezsávokra értelmezett módon q` q` q`` q`` q = const.x y x y+ + + = alakban bontotta fel, ahol a q`` q`` qx y xy+ = tag a csavarási ellenállásnak megfelelő teherrészt veszi figyelembe. A csavarási teherhányad meghatározására a

qll

mm

q`` x

x

y

2

x

0x x=

�

��

�

�� ⋅ ⋅

56

; qll

mm

q`` y

x

y

2 y

0y y=

�

��

�

�� ⋅ ⋅

56

összefüggéseket vezette le, ahol - mx és my a sávmódszerrel meghatározható mezőközépi fajlagos hajlítónyomatékok, - mox és moy a kéttámaszúnak tekintett x és y irányú lemezsávok maximális nyomatékai a teljes q teherből, - qx és qy a sávmódszerrel meghatározható teherrészek. Fentiek alapján a q`x és q`y hajlítási teherhányadok a q q q`x x x= − `` és q q q`y y y= − `` kifejezések segítségével számíthatók, melyekből a lemez hajlítónyomatékai a megtámasztási viszonyoktól függően határozhatók meg.


4. Előadás


A csavarási taggal módosított hajlítási teherhányad, illetve az abból számítható nyomatékok meghatározására Marcus az alábbi ábrán feltüntetett alapesetekre dolgozott ki táblázatokat.

5LEMEZRENDSZEREK KÖZELÍTŐ VIZSGÁLATA A mérnöki gyakorlatban sokszor előforduló feladat az egy vagy mindkét irányban többtámaszú lemezrendszerek méretezése mezőnként egyenletesen megoszló teherre. A lemezrendszer terhelése a q önsúly és a lemezmezőnként függetlenül működtethető p hasznos teher. A többtámaszú, kétirányban teherviselő lemezrendszer egy mezőjének maximális nyomatékai közelítően egy, a vizsgált mezővel azonos méretű, különálló lemezen határozhatók meg, ha az alábbi feltételek teljesülnek: - a lemezvastagság minden mezőben azonos,

- a lemezmezők peremei megtámasztásának módja nem befolyásolja a lemez igénybevételeit,

- a lemezmezők hajlításra mereven kapcsolódnak egymáshoz, de a megtámasztási vonalak mentén szabadon elfordulhatnak, - a szomszédos lemezmezők fesztávolságainak aránya mindkét irányban 0,8 és 1,25 között van.

A maximális és minimális mezőnyomatékok számításához az önsúly teherrel a teljes lemezrendszert, míg a hasznos teherrel sakktábla szerűen, minden második lemezmezőt kell leterhelni. Ennek figyelembe vételével a mezőnyomatékok az összes mezőben mindkét irányban úgy határozhatók meg, hogy a különálló lemezek egymáshoz csatlakozó peremein a q′′′′ ==== g ++++ p/2 terhelésre merev befogást, míg a mezőnként változó q″″″″ ==== ±±±± p/2 terhelésre szabadon elforduló megtámasztást tételezünk fel az ábra szerint. A legnagyobb mezőnyomatékok ekkor a két tehercsoporthoz tartozó (q′′′′ ++++ q″″″″ ==== g ++++ p) nyomatékok összegéből, míg a legkisebb mezőnyomatékok a két tehercsoporthoz tartozó

(q′′′′ −−−− q″″″″ ==== g) nyomatékok különbségéből kaphatók.

Lemezrendszer mértékadó leterhelése mezőnyomatékra

q gp, = +2

q gp, = +2

qp, , = ±2

qp, , = +2


A legnagyobb támasztónyomaték meghatározásához az önsúllyal a teljes lemezrendszert, a hasznos teherrel pedig a vizsgált támasz melletti lemezmezőket kell leterhelni. A támasztónyomaték számításához az előzőekben definiált q′′′′ teherből a támaszok vonalában tökéletes befogást feltételezve, míg a q″″″″ teherből a vizsgált támaszon az alábbi ábra szerint befogást, a többi peremen pedig szabadon elforduló megtámasztást figyelembe véve határozzuk meg az igénybevételeket. A csatlakozó lemezekre vonatkozó támasznyomaték a kétféle leterhelésből meghatározható nyomatékok összege.

Lemezrendszer mértékadó leterhelése támasznyomatékra

q gp, = +2

q gp, = +2

q gp, , = ±2

qp, , = +2

A támasz feletti vasalás szempontjából a csatlakozó lemezelemek alapján számítható, és a legtöbb esetben egymástól eltérő támasznyomatékok átlaga tekinthető mértékadónak.


6. GOMBAFÖDÉMEK, SIKLEMEZ FÖDÉMEK 6.1. Általánosságok A magas és mélyépítésben is igen gyakran alkalmazott szerkezettípus a gomba vagy síklemez födém, melynél a vasbeton lemez közvetlenül, tartógerendák közbeiktatása nélkül támaszkodik az oszlopokra. A klasszikus, régebbi szerkezeteknél az oszlopok kiszélesedő oszlopfővel, gombafejjel csatlakoznak a lemezhez. Újabban széles körben elterjedt a fejnélküli gombafödémek, vagy síklemez födémek alkalmazása. Hasonlóan, de a födémekhez képest ellentett terhelési és igénybevételi viszonyokkal működnek az oszlopok közvetlen alátámasztását szolgáló lemezalapok is.

l l c l l c

l l c

1 '

1 2 '

2

3 '

3

= − ⋅ = − ⋅

= − ⋅

43

43

23

m’ � elméleti oszlopmagasság l’ � elméleti támaszköz

A gomba és síklemez födémek alkalmazásának előnyei: - egyszerű, gyors zsaluzás, állványozás, vasszerelés, - jobb térkihasználás a gerendák elmaradása miatt, - kisebb kötöttségek az alaprajzi elrendezésben, - jobb természetes levilágítás. és hátrányai: - bonyolultabb erőjáték, az igénybevételek ″pontos″ számítása nehézkesebb, - a közelítő módszerek túlméretezéshez vezethetnek, - nagyobb alakváltozások, - a lemez és oszlop kapcsolatának modellezése bizonytalan.


A felsorolt hátrányok kevésbé jelentkeznek nagy alapterületű, szabályos derékszögű hálózatban alátámasztott és kiegyenlített terhelésű födémeknél. Az alakváltozások korlátozása érdekében a lemez vastagságát az l/t ≤≤≤≤ 25 feltétel alapján célszerű megválasz-tani. A gomba és síklemez födémek vizsgálatánál általában két alapvető feladatot, a hajlítási méretezést és az átszúródásvizsgálatot kell elvégezni.

6.2 Hajlítási méretezés Itt csak a födémet közvetlenül terhelő, függőleges, egyenletesen megoszló terhekből származó hajlítónyomatékok közelítő meghatározásával foglalkozunk, feltételezve, hogy az épületre működő vízszintes terheket a külön erre a célra kialakított merevítőrendszer veszi fel. Amennyiben ilyen merevítőrendszert nem alakítottak ki, úgy a vízszintes terhelésből a lemez többlet igénybevételeit például egy olyan helyettesítő keretszerkezeten lehet meghatározni, melynek a gerendája egy, az oszlopokkal együttdolgozónak tekintett, fiktív szélességű és t vastagságú lemezsáv. Az egyenletesen megoszló teherrel terhelt, gomba vagy síklemez födémek igénybevételei, általánosan a rugalmas lemezelmélet alapján felírható differenciálegyenlet analitikus vagy numerikus megoldásával állíthatók elő. A megoldás során általában feltételezik, hogy az oszlopreakció a gombafej felületén egyenletesen oszlik meg. A ″pontos″ rugalmas elmélet alapján számított eredmények felhasználásával, táblázatokat dolgoztak ki, a gyakorlatban legtöbbször előforduló, szabályos alaprajzi elrendezésben megtámasztott födémlemezek fajlagos hajlítónyomatékainak meghatározására a kritikus keresztmetszetekben. Egy ilyen táblázatra mutatunk be példát az alábbiakban:

q � egyenletesen megoszló teher

( )BE I E t

=⋅

−=

⋅⋅ −1 1µ µ c

2

3

c 212

oszlopméret: 0,05lx · 0,05ly A c tényezők értékeit az ( µ c = 0 Poisson tényező feltételezésével) az a maximális lehajlás, az mx és my nyomatékok, valamint az R reakcióerő meghatározásához a következő táblázatból vehetjük:


5. Előadás


l

lx

y= 0 5.

ll

x

y= 10.

ll

x

y= 2 0.

A B C D A B C D A B C D 1 0,000 0,211 0,000 0,091 0,000 0,639 0,000 0,177 0,000 2,233 0,000 0,280 2 2,089 2,067 2,016 1,990 0,617 1,018 0,662 0,611 0,210 2,201 0,303 0,346 3 0,000 0,320 0,000 0,129 0,000 0,700 0,000 0,212 0,000 2,153 0,000 0,295 a 4 0,694 0,736 0,678 0,647 0,270 0,704 0,289 0,236 0,112 2,118 0,150 0,253 5 0,000 0,258 0,000 0,103 0,000 0,630 0,000 0,147 0,000 2,112 0,000 0,237 1 ,00 7,16 -15,68 4,41 ,00 8,70 -19,15 4,16 ,00 14,41 -24,95 4,62 2 ,00 1,13 -,09 -,49 ,00 5,33 -3,19 ,28 ,00 13,72 -12,38 3,77 3 ,00 8,65 -24,98 5,49 ,00 9,51 --25,38 4,80 ,00 14,53 -27,57 4,75 mx 4 ,00 1,20 -,22 -,64 ,00 5,76 -3,70 ,52 ,00 14,18 -13,37 4,25 5 ,00 6,51 -15,28 3,91 ,00 8,13 -17,93 3,46 ,00 14,27 -23,60 4,39 1 ,00 ,00 ,00 ,00 ,00 ,00 ,00 ,00 ,00 ,00 ,00 ,00 2 13,80 13,14 14,10 14,05 8,56 5,08 9,19 5,94 7,22 1,16 8,33 1,38 3 -26,45 -13,41 -29,17 -15,26 -20,11 -3,31 -25,60 -4,31 -16,25 ,09 -24,42 -,01 my 4 6,63 5,87 6,86 6,75 5,00 1,32 5,36 1,84 4,76 -,24 5,53 -,29 5 -17,28 -8,49 -19,09 -9,94 -14,75 -2,26 -17,18 -2,72 -12,58 -,69 -18,44 -,75 1 16,54 44,31 16,68 44,60 16,85 45,32 2 3 47,07 123,96 46,48 123,12 45,65 120,81 R 4 5 36,06 99,64 37,11 101,09 38,25 104,41

Derékszögű négyszög hálózatban megtámasztott gomba, vagy síklemez födémeknél, ha az alátámasztások távolságainak aránya mindkét irányban 0,8 és 1,25 között van, a maximális igénybevételek meghatározására alkalmazható az alábbi közelítő eljárás. A gombafödém lemezének nyomatékait egy olyan, x, illetve y irányú helyettesítő gerendán határozzuk meg, melynek szélessége a képzelt gerenda tengelyére merőleges két szomszédos oszlop l tengelytávolságával egyezik meg és a gerenda tengelyével párhuzamos irányban egymástól az ábrán jelölt l′′′′ elméleti távolságra lévő pontokban van megtámasztva. Az egymást keresztező lemezsávokra külön-külön, az adott iránynak megfelelő, teljes l lemezszélességnek megfelelő terhelést kell figyelembe venni. Az így kialakított helyettesítő gerendákon meghatározott nyomatékokat az ábra szerint kell egy 0,5 l szélességű lemezsáv és egy ugyancsak 0,5 l szélességű oszlopsáv között szét-osztani. Az ábra szerint valamely irányban a gerendán számítható mezőnyomaték 45 %-át a lemezsáv, míg 55 %-át az oszlopsáv veszi fel. Ugyanakkor a támasztónyomatéknak 25 %-a lemezsávra, 75 %-a pedig az oszlopsávra jut, és a lemez hajlítási vasalását ennek megfelelően kell kialakítani:


Fejnélküli, síklemez födém maximális nyomatékait is hasonló közelítéssel lehet meghatározni. Ekkor azonban a kis feltámaszkodási felület következtében az igénybevételek még inkább az oszlopok környezetére koncentrálódnak, ezért ekkor az oszlopsáv szélességét 0,4 l-re, a lemezsávét pedig 0,6 l-re kell felvenni, és a helyettesítő gerenda mező, illetve támasztónyomatékait az alábbi ábrán bemutatott módon kell a lemezsáv és az oszlopsáv között felosztani.

Egy síklemez födém belső mezőjének általános vasalását az előbbiek szerint meghatározott nyomatékokalapján a következő ábrán mutatjuk be:


7.3. Átszúródási vizsgálat A kis felületen átadódó reakcióerő következtében különösen a síklemez födémek átszúródási teherbírása kritikus. Kísérleti tapasztalatok szerint az átszúródás központos oszlopreakció esetén egy csonka gúla, vagy csonka kúp alakú idomnak a lemezből az

oszlop környékén való kiszakadása formájában következik be. A kisza-kadó gúla vagy kúp ββββ hajlásszöge az ábra szerint vasalatlan lemez esetén ~ 45o, míg hajlításra megvasalt lemeznél kb. 30o.

Egy lemez átszúródásra való ellenőrzésekor igazolni kell, hogy a bw kritikus átszúródási vonal mentén fellépő fajlagos mértékadó Vsd nyíróerő nem haladja meg a lemez d hasznos vastagságától, a beton húzószilárdságától és az átszúródási ellenállás szempontjából figyelembe vehető vasalástól függő VRd határnyíróerőt. Központos oszlopreakció esetén a mértékadó fajlagos nyíróerő a következő összefüggéssel számítható:

vVusdsd=

ahol Vsd a mértékadó oszlopreakció, u pedig az átszúródási vonal kerülete. A mértékadó oszlopreakció meghatározásánál a lemezre ható terheknek a u kerületen belülre eső részét nem kell figyelembe venni. Különböző oszlopkeresztmetszetek esetén, valamint az oszlopnak a lemez szabad széléhez viszonyított helyzetétől függően az átszúródási vonalat a következő módon szabad felvenni: Alapelv, hogy az átszúródási vonal az oszlop kerületétől mindenütt 1,5 d távolságra van, ahol d a vasalt lemez hasznos magassága, a vonal konvex és a sarkai lekerekítettek. Nyújtott oszlopkeresztmetszet (pengepillér) esetén ha a keresztmetszet hosszabbik oldala nagyobb a rövidebbik oldal négyszeresénél, akkor az átszúródási vonal szakaszos (mivel a hosszabbik oldal közepe táján a nyíróerő jelentősen lecsökken, sőt előjelet is válthat). Szabad peremek, illetve lemezsarkok közelében az átszúródási vonal kifuthat a lemez szélére.

Külpontos oszlopreakció esetén az átszúródási vonal mentén fellépő fajlagos mértékadó nyíróerő eloszlása nem egyenletes. Maximális értéke ekkor az alábbi közelítő összefüggéssel határozható meg,

xI

Mu

Vvu

SdSdSd ⋅±=


ahol MSd a VSd mértékadó reakcióerővel egyidejűleg működő maximális hajlítónyomaték az oszlopvégen, Iu az átszúródási vonal tehetetlenségi nyomatéka a hajlítás tengelyére, és x az átszúródási vonal vizsgált pontjának távolsága a hajlítási tengelytől. Az Iu tehetetlenségi nyomaték értékei:

- téglalap alakú átszúródási vonal esetén

Ib a b

u = ⋅ +⋅

��

�

��2

12 4

3 2

; vagy I

a b au = ⋅ +

⋅

��

�

��2

12 4

3 2

ahol a és b a téglalap oldalainak hosszúsága - a oldalú négyzet alakú átszúródási vonal esetén

I au = ⋅23

3

- r sugarú kör alakú beszúródási vonal esetén

I ru = ⋅ ⋅2 3 Π Külpontos oszlopreakció esetén az EC-2 szerint az átszúródási vonal mentén keletkező fajlagos nyíróerő közelítően a

vVuSd

Sd=⋅β

összefüggéssel becsülhető, ahol ß = 1,15 belső oszlop ß = 1,40 szélső oszlop, és ß = 1,50 sarokoszlop esetén. Az átszúródási ellenállás számítása és a nyírási vasalás kialakítása Az átszúródással szembeni ellenállás pontosabb, háromdimenziós számítási modell alkalmazásának hiányában, az EC-2 alapján a vasbeton gerendák nyírási teherbírásának számításához hasonló elven határozható meg. A kritikus átszúródási kerület mentén számításba vehető fajlagos nyírási ellenállás nyírási vasalás nélkül

( )v k dRd Rd l1 1 2 40= ⋅ + ⋅τ ρ, ahol: ττττRd a beton nyírási határfeszültsége


k = 1,6 - d ≥ 1, (d méterben behelyettesítve)

015,0≤⋅= lylxl ρρρ

ρρρρl és ρρρρly az x és y irányú lemezvasalás betonkeresztmetszetre vonatkoztatott fajlagos értéke

d = 0,5(dx + dy), dx és dy az x ill. az y irányú lemezvasalás alapján számítható hatékony lemezvastagság

Tapasztalatok alapján a fajlagos nyírási ellenállás felső korlátja az alábbi:

12 6,1 RdRd vv ⋅= vRd1 < vSd ≤ vRd2 esetén az átszúródási ellenállás biztosítására nyírási vasalást kell alkalmazni. A fajlagos átszúródási ellenállás ekkor a

ufA

vv ydsWRdRd

∑ ⋅⋅+=

αsin13

összefüggéssel számítható, ahol a ΣΣΣΣAsw⋅⋅⋅⋅fyd⋅⋅⋅⋅sinαααα mennyiség az a kritikus kerületet átmetsző összes nyírási acélbetét nyírási ellenállása. αααα a nyírási vasak tengelyének a lemez középfelületével bezárt szöge. A beton és az acélbetétek teherbírásának egymásráhalmozása miatt, a kompatibilitási feltételek teljesülése érdekében ajánlott az acélbetétek feszültségét σσσσ

= 0,5⋅⋅⋅⋅ fyd értékére korlátozni. Az ismertetett módszer feltételezi, hogy a lemez síkjában mindkét irányban futó hajlítási vasalás van az oszlop fölött. A vasalás mértéke legyen legalább a hatékony betonkeresztmetszet 0,5%-a . vSd > vRd1 esetén az átszúródási teherbírást biztosító nyírási vasalás minimális keresztmetszeti területe ΣΣΣΣAsw⋅⋅⋅⋅sinαααα = 0,6⋅⋅⋅⋅ρρρρwmin(Acrit - Aterh), ill. ρρρρwmin az EC-2 szerinti minimális fajlagos vasalás, Acrit az u kerület által körülírt kritikus lemezfelület, Aterh pedig a közvetlenül terhelt lemezterület. Az alakváltozási pont környezetében a lemez átszúródási vasalása az ábra szerint nyírókosárral (a. ábra), tangenciális irányban elhelyezett függőleges kengyelekkel (b. ábra), rúdszerű nyírási vasalással (c. ábra), idomacélokból hegesztett merev vázzal (d. ábra), vagy acéllemezre hegesztett nyírócsapokkal (e. ábra) alakítható ki.


Külpontos erővel terhelt oszlop - lemez kapcsolat esetén az átszúródással szembeni ellenállás biztosítása érdekében a lemezt a külpontosságból adódó hajlítónyomatékra is meg kell vasalni. Az x illetve y irányú szükséges vasalást az mSd,x (vagy mSd,y) = η⋅VSd fajlagos hajlítónyomatékokból lehet meghatározni, ahol VSd az átszúródást okozó teljes nyíróerő és az ηηηη tényező az alábbi táblázatból határozható meg az alátámasztás helyzetétől függően. A nyomatékokból számítható húzott vasalást az ábrában definiált bx illetve by hatékony lemezsávokban kell egyenletesen kiosztani.


Az oszlop helyzete

az mSd,x nyomatéki tényezők η

az mSd,y nyomatéki tényezők η

felső vasalat

alsó vasalás

by felső vasalat

alsó vasalás

bx

Belső oszlop -0,125 0 0,30 ly -0,125 0 0,30 lx

Az x tengellyel párhuzamos szélen lévő oszlop

-0,250 0 0,15 ly -0,125 0 *

Az y tengellyel párhuzamos szélen lévő oszlop

-0,125 +0,250 * -0,250 * 0,15 lx

Sarok oszlop -0,500 +0,500 * -0,500 +0,500 *

* a vasalást a keresztező sávszélességben kell egyenletesen kiosztani


6. Előadás

8. VASBETON LEMEZEK KÉPLÉKENY TEHERBÍRÁSA A rugalmas lemezelmélet alkalmas a szerkezet viselkedésének leírására a gyakran előforduló terhek hatására, használati határállapotokban. A terhelések növekedése következtében, a szerkezet teherbírásának kimerüléséhez közeledve, a leginkább igénybevett keresztmetszetekben egyre több helyen éri el az igénybevétel a keresztmetszet vasalása, geometriai és anyagjellemzői alapján meghatározott törőigénybevételt. Ezek a keresztmetszetek a teher további növeléséből keletkező többlet- igénybevételeket már nem képesek felvenni, ezért itt, (a hajlító igénybevételek szempontjából) ún. képlékeny csuklók alakulnak ki. A szerkezet statikai határozatlanságától függően, megfelelő számú képlékeny csukló kialakulása után a rendszer labilissá válik és ekkor bekövetkezik a tönkremenetel. Egy vasbeton lemez jellegzetes “teher – lehajlás” diagrammját mutatja a K1. ábra a teher növekedésének függvényében.

K1. ábra

A vasbeton lemez viselkedésének egyes fázisai a következők:

a) Rugalmas viselkedés

Ebben a fázisban a lemez úgy viselkedik, mint egy homogén, izotróp, rugalmas anyagú szerkezet, repedések nem alakulnak ki, I. feszültségi állapotban van minden keresztmetszete.

b) Berepedt állapot

A terhek növekedése következtében a húzott zónákban repedések alakulnak ki, a berepedt keresztmetszetek merevsége jelentősen csökken. A hajlítónyomatékok emiatt átrendeződnek, a terhek további növeléséből származó nyomatékok gyakrabban nőnek a még be nem repedt zónákban, mint a már berepedt metszetekben. A húzott acélbetétek még rugalmas állapotban vannak, ezért a repedések megnyílása korlátozott. A lemez II. feszültségi állapotban van.

c) Képlékeny állapot kialakulása

További tehernövekedésnél a leginkább igénybevett keresztmetszetekben a húzott acélbetétekben keletkező feszültség egyre több helyen éri el a folyási határfeszültséget. Ezek a keresztmetszetek ettől kezdve többlet-nyomatékot már nem képesek felvenni, de tovább alakváltoznak, ezért a nyomatékok átrendeződése a teher növelése esetén még nagyobb mértékű lesz, mint az előző fázisban volt. A képlékeny állapot fokozatosan terjed tovább azokban a sávokban, ahol a repedések tágassága a legnagyobb. Az ilyen sávokat a jelenség modellezésének leegyszerűsítése érdekében csuklósoroknak tekinthetjük. Ezek a csuklósorok a lemez alakjától, megtámasztási viszonyaitól és terhelésétől függően alakulnak ki, többé-kevésbé egyenesnek tekinthető vonalak mentén.

d) Törési állapot

Ha a kialakuló képlékeny csuklósorok, vagy törésvonalak hálózata következtében a szerkezet labilissá válik, akkor a lemez alakváltozásai további tehernövekedés nélkül is növekszik egészen addig, míg a képlékeny zónákban a nyomott oldalon a beton összemor-zsolódik és a szerkezet teherbírása ezzel kimerül. Az ezen állapotot előidéző terhet nevezzük a lemez képlékeny teherbírásának, a lemez törőterhének. A fenti állapotleírásban előforduló fontosabb fogalmak: A képlékeny csukló

Ha egy gerenda valamely keresztmetszetében fellépő hajlítónyomaték eléri az MR képlékeny törőnyomatékot, akkor ott, azon a helyen a görbület a végtelenhez tart. Ez a keresztmetszet gyakorlatilag “csuklóként” működik, mivel a metszethez csatlakozó két rúdszakasz között θθθθ relatív elfordulás jön létre. Mivel ez az elfordulás csak a képlékeny nyomatéki teherbírásnak megfelelő irányú és nagyságú nyomaték hatására jöhet létre, ezért ezeket - a hagyományos csuklóktól való megkülönböztetés érdekében - képlékeny csuklóknak nevezzük.

K2. ábra. Képlékeny csukló kialakulása.

Vasbeton keresztmetszetek esetében a képlékeny csukló kialakulásához szükséges egyrészt, hogy a keresztmetszet vasalásának mennyisége elegendően nagy legyen a repedések kialakulásának pillanatában bekövetkező betonacél szakadás elkerülésére, másrészt a keresztmetszet vasalásának mennyisége ne legyen túlzottan nagy, hogy biztosítva legyen a képlékeny elfordulási képesség és a keresztmetszet ne a nyomott betonöv összemorzsolódása következtében menjen tönkre a húzott acélok megfolyása előtt. Derékszögű négyszög alakú

keresztmetszetek esetén ez a feltétel általában teljesül ha a húzott vasalás fajlagos kereszt-metszeti területe a betonkeresztmetszet 0,15 - 1,5 % - a között van.

A törési mechanizmus

Statikailag határozatlan (rúd)szerkezetek esetén egy képlékeny csukló kialakulásakor a szerkezet statikai határozatlanságának foka eggyel csökken. Egy kezdetben statikailag határozott szerkezet ezért egyetlen képlékeny csukló kialakulásakor statikailag instabillá válik. Ezt az instabil szerkezetet törési mechanizmusnak nevezzük. Egy ilyen mechanizmus képlékeny csuklókkal egymáshoz kapcsolódó rúdelemekből, vagy lemez esetén képlékeny csuklósorokkal kapcsolódó lemeztáblákból áll. Azt a terhet, amelynek hatására a törési mechanizmus létrejön a szerkezet törőterhének nevezzük. Néhány törési mechanizmust mutat rúdszerkezetek esetén a K3. ábra.

K3. ábra. Törési mechanizmusok

8.1 SZÁMÍTÁSI MÓDSZEREK A rugalmas számítási módszerekkel ellentétben a képlékeny alakváltozások és feszültségek között nincs egyértelmű összefüggés és a képlékeny alakváltozások nem reverzibilisek. A szerkezetek képlékeny teherbírás vizsgálatánál a következő feltételeket kell kielégíteni:

Egyensúly, mely szerint a szerkezetre működő összes erőnek (ide értve a reakcióerőket is) egyensúlyban kell lennie.

Teherbírás, melynek értelmében a szerkezet összes keresztmetszetében a külső terhekből keletkező igénybevételek nem haladhatják meg az adott keresztmetszet törőteherbírását, mely a keresztmetszetben lévő acélbetétek és beton teherbírásának kimerülésekor jön létre.

Mechanizmus, mely a szerkezet törési mechanizmusának kialakulásához elegendő számú képlékeny csuklónak kell létrejönnie a törési állapot bekövetkezéséhez.

(Meg kell jegyezni, hogy a rugalmasságtanban az első két feltétel azonos, a harmadik feltételt pedig a szerkezet kompabilitásával kell helyettesíteni.)

A képlékenységtan előző három alapfeltevésének kielégítéséhez a következő két számítási módszer alkalmazható:

Statikai módszer A statikai módszer olyan statikailag megengedett nyomatékmezők meghatározásán alapul, amelyek kielégítik az egyensúlyi és a törési feltételeket. A statikai tétel kimondja, hogy minden olyan Qi terhelés, amelynek egy Mi statikailag megengedett nyomatékmező felel meg kisebb, vagy legfeljebb azonos a szerkezet QR teherbírásával. Statikailag megengedett nyomatékmezőket mutat az K4. ábra háromnyílású, megoszló teherrel terhelt gerenda esetén.

K4. ábra Statikailag megengedett nyomatékmezők

Kinematikai módszer A kinematikai módszer az egyensúlyi és a mechanizmus kialakulására vonatkozó feltételek kielégítésén alapul; olyan kinematikailag lehetséges törési mechanizmusok felvétele alapján, amelyeknél a felvett képlékeny csuklóban a törőnyomaték lép fel, a csuklók közötti tartó-szakaszok pedig egyensúlyban vannak. A kinematikai tétel szerint minden olyan Qi terhelés amely megfelel egy kinematikailag lehetséges törési mechanizmusnak, nagyobb a QR tényleges teherbírásnál, vagy legfeljebb egyenlő azzal. A statikai tétel alapján: Qi stat < QR valamint, a kinematikai tétel alapján: Qi kin > QR, figyelembevételével kimondható az unicitási tétel, amely szerint: ha egy kinematikailag lehetséges törési mechanizmushoz hozzárendelhető egy statikailag megengedett nyomaték-mező, akkor a hozzájuk tartozó Qi közös terhelés a szerkezet tényleges teherbírásával azonos.

K5. ábra. Az unicitási tétel

Példaképpen határozzuk meg a következő, egyik végén megtámasztott, másik végén befogott, két koncentrált erővel terhelt gerenda törőterhét a statikai és a kinematikai módszer alapján. Egy lehetséges statikailag megengedett nyomatékmezőt és kinematikailag lehetséges törési mechanizmust mutat az K6. ábra.

K6. ábra

A statikai módszer alapján (K6/a. ábra ) RA = RB = Q a felvett nyomatékmezőből, ezzel

3lQM R

⋅= és innen l

MQ RR

3≥

A kinematikai módszerrel (K6/b. ábra ) a felvett kinematikailag lehetséges mechanizmus alapján a képlékeny csuklók közötti szakaszok egyensúlya a szerkezetre működő terhek és igénybevételek által végzett LK külső és LB belső munkák egyenlősége alapján biztosítható:

BRRK LMMlQL =Θ⋅+Θ⋅=⋅Θ⋅= 23

innen l

MQ RR

9≤

A kétféle módszerrel meghatározott törőteher tehát nem azonos, a kinematikailag lehetséges teher a statikailag megengedettnek háromszorosa!

Vizsgáljuk most az K7. ábrán feltüntetett statikailag megengedett nyomatékmezőt és kinematikailag lehetséges mechanizmust:

K7. ábra

A statikai módszer szerint (K7/a ábra ) :

lMQR R

A += és l

MQR RB −=

ezzel

333R

BRMlQlRM −== ebből

lMQ R

R4

≥

Az K7/b ábrán felvett mechanizmusból a kinematikai módszer alapján a külső és belső erők virtuális munkájának egyenlőségéből:

BRRK LMMlQlQL =Θ⋅+Θ⋅=⋅Θ⋅+⋅Θ⋅= 332

3 ebből

lMQ R

R4

≤

A statikai és a kinematikai módszer tehát ebben az esetben azonos eredményre vezetett, amely elvileg az adott elrendezésű teher esetén a tényleges törőterhet határozta meg. 8.2. ALKALMAZÁS VASBETON LEMEZEK ESETÉN Vasbeton lemezek méretezése elvileg a statikai és a kinematikai módszerrel is elvégezhető. A továbbiakban itt csak a Johansen által kidolgozott törésvonal elmélettel foglalkozunk, mely a kinematikai módszeren alapul. A módszer lényege, hogy a lemezt képlékeny csuklósorok, vagy másképpen törésvonalak lehetséges konfigurációinak felvételével olyan törési mechanizmussá alakítjuk, amelyhez - például a virtuális munkák egyenlőségének biztosításával - meghatározható a szerkezet törőterhének felső korlátja. A módszer előnye, hogy alkalmazásával bonyolultabb alaprajzú és megtámasztási viszonyú lemezek teherbírása is viszonylag egyszerűen megbecsülhető.

A törésvonal-elmélet alkalmazásakor a következő alapfeltevéseket tesszük: - a törésvonalak mentén a nyomaték állandó és az acélbetétek megfolyásához tartozó

törőnyomatékkal azonos, - a törésvonalak által határolt lemeztáblák merev test szerűen fordulnak el az egyszerűen

megtámasztott, vagy befogott peremek körül,

- oszloppal megtámasztott lemez esetén az elfordulási tengely átmegy az oszlop tengelyén Ezen alapfeltevésekből az alábbi következmények származtathatók: - egy befogott peremen mindig törésvonalat kell feltételeznünk a mechanizmus

kialakulásához. - a törés pillanatában a rugalmas alakváltozások a képlékeny deformációkhoz képest kicsik,

a méretezésnél ezért elhanyagolhatók. Ebből következik, hogy a törésvonalak egyenesek. - minden törésvonal átmegy annak a két lemeztáblának az elfordulási tengelyének a

metszéspontján, amelyeket elválaszt.

- ha a törésvonalak a lemez felületét n lemeztáblára osztják fel és ha minden elfordulási tengely ismert, akkor n-1 geometriai paraméterrel lehet teljesen leírni a törési mechanizmust.

- általános esetben nem minden lemeztábla elfordulási tengelye ismert. Ha ξξξξ a nem-ismert

elfordulási tengelyek számát jelenti, akkor a törési mechanizmus i=n-1+ξξξξ geometriai paraméterekkel jellemezhető egyértelműen

A virtuális munkatétel alkalmazása A törési mechanizmus kialakulása után egy a törésvonalak, illetve a lemez széle által határolt lemeztáblára a következő terhek hatnak:

• a külső terhek (önsúly és hasznos terhelés) a felületen megoszló q, vagy vonal mentén

megoszló q_, vagy koncentrált Q erők formájában, • a törésvonalak mentén fellépő m hajlító és mT csavarónyomatékok és • a törésvonalak mentén, a két csatlakozó lemeztábla között keletkező nyíróerők. Legyen a lemez egy végtelenül kicsi eleme dxdy felülettel jellemezve, ha ennek a virtuális elmozdulása δ(x,y) akkor a teljes lemezre a külső erők virtuális munkája:

( ) ( )L K q x yA

d x d y ql

l d l Q i= ∫ ∫ + ∫ ⋅ + ∑δ δ δ,

Legyen θθθθi a törési mechanizmus egy lemezelemének virtuális elfordulása, si egy az elemet határoló törésvonal szakasz hossza, és

�mi az si törésvonalon működő fajlagos nyomaték. Ekkor a nyomatékok belső virtuális munkája a teljes lemezre:

( ) ( )LB misi iisi mi ii

= ⋅∑ = ∑�

�

�

�

Θ Θ

ahol az iim Θ

�

� skalárszorzat ( )Θ⋅Θ⋅=Θ⋅�

�

�

�

�

� ,mcosmm . A csavarónyomatékok és a nyíróerők munkája teljes lemezre zérus ( mivel a törésvonal két oldalán ezek azonos értékűek, de ellenkező előjelűek). A külső és belső munkák egyenlősége alapján ( LK=LB ) , az m nyomatékok meghatározhatók a qR törőteher és a törésképet jellemző λλλλi paraméterek függvényében: a) A feladat megoldása az m=m(λλλλ1,λλλλ2...λλλλn, qR) függvény maximálásából áll és a következő egyenletrendszer megoldására vezet:

00021

=∂λ∂=

∂λ∂=

∂λ∂

n

m...;

m;

m

Az egyenletrendszert megoldva λλλλi értékei és az m nyomaték, a qR függvényében meghatározhatók (i = 1, 2, …n). b) Egy másik lehetséges megoldás: a qR törőteheret határozzuk meg a lemez ismert vasalásából számítható törőnyomatékok és a töréskép jellemző λλλλi paramétereinek függvényében. Ekkor a qR(λλλλ1,λλλλ2...λλλλn, mR) függvény minimumát kell kiszámítani a következő egyenletrendszerből:

0...;0;021

===n

RRR qqq∂λ∂

∂λ∂

∂λ∂ (i = 1, 2, …n).

Ez a megoldás az adott vasalású lemez törőterhének felső korlátját adja.


7. Előadás

VASBETON KERETSZERKEZETEK keret: függőleges és vízszintes rudakból álló összekapcsolt tartószerkezet, keretszerkezet (derékszögű, síkbeli keretek)

16 csomópont x 3 szabadságfok – 3 egyenlet felírása = 45 Egy statikailag határozatlan szerkezeten a merevségek arányában oszlik meg az igénybevétel. Közelítő számítás → főbb geometriai méretek meghatározása.

= oszlopok összenyomódása (elhanyagoljuk)

→ teherátadás a keretek között: (terhek redukálása a keret síkjára) egyirányban teherhordó lemez: kétirányban teherhordó lemez:

egyenesen felrakva ugyanakkora nyomatékot okoz, mint a parabola teher

→ keresztmetszet meghatározására használom

(képlékeny nyomatékátrendezés)

DD 23?⇒

6,11

)(241

81

22

2

21

2212010

2

lqMM

lqM

llqqM

K

K

⋅=≈

≈

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

+−≈

+−

−

Közelítő számítás függőleges terhekre: rugalmas elemek: külön meghatározzuk a függőleges és vízszintes terhet, utána összeadhatjuk

kéttámaszú tartóra bontjuk a tartót

oszlop közelítése:

nem is csuklós, nem is befogott, mert elfordulhat, de azért befogottnak vesszük (rugós lenne)

merevebb megtámasztást vettem, hogy ezt visszaadjam, kisebb inerciát veszek csomóponti merevség függ:

- inercia - fesztáv - megfogás módja

9x statikailag határozatlan (12-3) 1x kinematikailag határozatlan (lehetséges elmozdulás komponensek száma)

Cross – módszer!

1

*2

1

*111

4

21213

2

22

lM

lMlqN

llqqN

K

K

−+⋅

≈

+⋅

+=

Vízszintes terhekre való közelítés: vízszintes terhek:

- szél - földrengés eltekintünk az oszlop - ütköző teher közvetlen hajlításától - épület ferdeség

→ gerendák jóval merevebbek az oszlopoknál:

- alakváltozási ábra: oszlop a gerendába mindig függőleges érintővel fut be - alul és felül is függőleges érintő → felében inflexiós pont → nyomatéki zéruspont → ott vízszintesen el tudom vágni a szerkezetet

A nyomatéki zéruspontok irányába összegzem az összes felső erőt.

o

o

g

g

lI

lI

>>

⎩⎨⎧

⋅⋅

≈Δvlg

615,0

→ oszlopok jóval merevebbek a gerendáknál:

(

(nagyon ritkán fordul elő pl.: 2-3-5 szintszámú épületeknél)

A terheket mindig gerenda és oszlop metszéspontjára tesszük rá – csomópontokra.

Ha megvannak a terhek és a nyomatéki ábra, meg lehet határozni a normál és nyíróerőt.

→ pontos módszer:

o

o

g

g

lI

lI

<<

4321 eeee ===


8. Előadás

→ Portál – módszer:

- figyelembe veszi a különböző fesztávokat - eredeti szerkezetet kapukra kell bontani (födém merev)

Felosztjuk kapukra úgy, hogy a az oszlopok közepére csuklót tételezünk fel, és az egyes portálra jutó erőket a nyílásközök arányában osztjuk szét, és az egyes lábakra pedig azt felezzük.

közbenső lábnál az egyik, ill. másik nyomatékot összegezni kell Feladatok:

1.

Itt nincs nyomaték, mert

o

o

g

g

lI

lI

>>

ba

bb

ba

aa

lllpP

lllpP

+⋅=

+⋅=

11

11

∑ = 0F

2.

külső erők összes nyomatéka:

itt még függőleges erő is van, akkor áll fenn a nyomatéki egyensúly (normálerő)

kiveszem a földszint feletti gerendát:

a két végén lévő nyomaték ismert, nyíróerő számítható ( két nyomaték összege / fesztáv )

2233

33hphpM

phhpHpM

B

K

⋅=⋅⋅=

=⋅⋅=⋅=

Keretszerkezetek részletes erőtani számítása:

Kinematikai hatásábra szerkesztés: menete: 1. elvágom a rúdszerkezetet a vizsgált keresztmetszetben 2. beiktatok egy olyan alakváltozási egységet, amin a keresett mennyiség munkát végez - ide teszek terhet (hasznos teher) → +

maxM

átmetszős nyomatéki ábra (az oszlop befogásánál (oszlop közepén

mértékadó) mértékadó)

o

o

g

g

lI

lI

<<o

o

g

g

lI

lI

>>

→ Hogyan kell fújni a szélnek, hogy K1-ben a függőleges teherből keletkező nyomatékot a szélteherből keletkező nyomaték növelje?

Balról jobbra kell fújnia.

Ha megfordul a szél → nem növelik, hanem kiejtik egymást a nyomatékok.

→ Hova kell rakni a hasznos terhet, hogy a legnagyobb nyomatékot kapjam a K-ban?

mindkét terhelési eset jó!

→

Normálerő: irányába eső elmozduláson végez munkát.

→

Nyíróerő: relatív eltolódáson végez munkát.

Épület globális ferdeségéből származó vízszintes erő meghatározása:

Nem felülről összegzem a vízszintes erőket, hanem csak azon a szinten működő vízszintes erőket veszem!

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

2001

100max Hα

ν ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

n11

21α

ν

ν

⋅=

⋅=

∑∑

22

11

pH

pH


9. Előadás

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE v1.0

1

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE

1. ALAPELVEK Vasbeton épületek vízszintes terhekkel szembeni ellenállását a legtöbb esetben vasbeton merevítő falakkal vagy merevítő magokkal biztosítják. (M1. ábra). Ez a megoldás elegendően hatékony és gazdaságos, ha az épület magassága nem haladja meg a 100 métert. Merevítő fal vagy mag nélküli szerkezetet, ahol a vasbeton váz biztosítja a vízszintes terhekkel szembeni ellenállást, csak néhány szintes épületeknél, vagy ipari csarnokoknál alkalmaznak (M1 b. ábra). Zárt csőszelvényű keresztmetszettel általában nagy magasságú, felhőkarcoló szerű épületeket merevítenek. (M1 c. ábra). Ilyenkor általában a homlokzati oszlopokat is bevonják a szerkezet erőjátékába.

M1. ábra

Ebben a fejezetben a falakkal illetve a magokkal merevített épületek merevítő rendszerének közelítő méretezésével foglalkozunk. A merevítő rendszer a födémekkel együtt a legtöbb esetben egy három dimenziós statikailag határozatlan szerkezetet alkot. A qi vízszintes terheket a födémek síkjában működő teherrendszerré redukáljuk. A vízszintes terheket a födémtárcsák osztják szét a merevítő rendszer elemei között úgy, hogy az egyes födémek a merevítő elemek által rugalmasan megtámasztott tárcsaként viselkednek (l. az M2. ábrát). A merevítő rendszer elemeire jutó terhek így a rugalmasan megtámasztott födémtárcsák Sij reakciói lesznek. A j-edik merevítő elem egy alul befogott és az i-edik szinten Sij vízszintes erővel terhelt függőleges konzolként viselkedik. A befogási keresztmetszet helye az épület alapozásának szerkezeti kialakításától függ (M3. ábra).


2

M2. ábra

M3. ábra

A vízszintes terhekből származó igénybevételeken kívül a merevítő falakban és a merevítő magokban nyomóerő is keletkezik a szerkezet önsúlyából valamint a rá háruló födém-terhekből. A nyomóerő kedvezően befolyásolja a falak nyírási és hajlítási teherbírását. Ez a hatás növelhető, ha a merevítő elemre nagyobb normálerőt hárítunk, például függesztett födémek alkalmazásával. A továbbiakban csak a vízszintes terhelésekből származó hatásokat vizsgáljuk. 2 ALAPVETŐ SZÁMÍTÁSI FELTEVÉSEK A merevítőrendszer igénybevételei meghatározásához a következő alapfeltevéseket tesszük: • a szerkezet lineárisan rugalmasan viselkedik, • a válaszfalak és nem teherviselő elemek merevsége elhanyagolható, • a födémtárcsák síkjukban végtelen merevek, • a falak és lemezek síkjukra merőleges merevsége elhanyagolható, • a karcsú lemezek (l/h>3) nyírási lakváltozása és csavarási merevsége jelentéktelen, • a keresztmetszet inerciája és területe a betonméretekből számítható, • az elemek közti kapcsolat merevnek tekinthető, • a függőleges elemek tengelyirányú alakváltozása elhanyagolható, • a másodrendű hatásokat nem vesszük figyelembe.


3

A szerkezet lineárisan rugalmas viselkedése használati határállapotban való vizsgálatnál elfogadható, annál is inkább, mivel a falakban működő nyomóerő következtében a húzó-feszültségek általában kicsik. Nagyon magas épületeknél, vagy erős földrengés esetén pontosabb anyagmodellt kell alkalmazni. Mereven csatlakoztatott falelemekből álló merevítő magok csavarási merevsége általában nem hanyagolható el (M4. ábra).

M4. ábra

3. SZIMMETRIKUS MEREVÍTŐRENDSZER VIZSGÁLATA Ha a merevítőrendszer alaprajzi kialakítása szimmetrikus (M5. a és b ábra), akkor a síkjukban merevnek tekintett födémek az ugyancsak szimmetrikus vízszintes terhek hatására szintenként egyenletesen tolódnak el. A merevítő rendszer elemeinek igénybevételei így a rendszer elemei merevségével lesznek arányosak. Ezek szerint n db egyforma merevítőfal alkalmazása esetén minden fal igénybevétele azonos lesz, és a rendszer vizsgálata egyetlen, az i-edik szinten Qi/n vízszintes erővel terhelt fal igénybevételeinek meghatározására vezethető vissza.


4

SI

IQij

j

jj

n i=

⋅

=1

M5. Ábra Ha a merevítőrendszer elemei elég karcsúak (l/h>5) és nincsenek lyukakkal túlzottan áttörve, akkor az igénybevételeket a rúdszerkezeteknél alkalmazott módszerekkel lehet meghatározni. Ellenkező esetben (vagy ha a fal szélessége erősen változó), a szerkezet húzott és nyomott rácsrudakból álló rúdrendszerrel helyettesíthető, vagy az M6. ábrán feltüntetett helyettesítő modellek valamelyikével vizsgálható. E vizsgálatok részleteire későbbi tanulmányainkban térünk vissza.

M6. Ábra


10. Előadás


5

4. NEM SZIMMETRIKUS MEREVÍTŐ RENDSZEREK

A legtöbb gyakorlati esetben a merevítőrendszer elemei nem egyformák és alaprajzi elrendezésük sem szimmetrikus (l. az M5 c ábrát). Vízszintes terhek hatására ekkor a síkjukban merevnek tekintett födémek nem csak eltolódnak, hanem el is fordulnak. Ekkor általában háromdimenziós modellel írható le a szerkezet viselkedése, figyelembe véve a merevítő elemek hajlítását, csavarását, sőt esetenként torzulását is (M7. ábra). A gyakorlati esetek zömében azonban - amikor a merevítő elemek csavarási ellenállása jelentéktelen - az igénybevételek meghatározása a következőkben bemutatott közelítő eljárással is elegendő pontossággal meghatározható.

M7. ábra Hajlított, csavart, torzult merevítő mag 4.1 STATIKAILAG HATÁROZOTT MEREVÍTŐ RENDSZER Ha az épületre működő vízszintes terhek felvételére szolgáló merevítő falak száma 3, a falak nem esnek azonos síkba, és alaprajzi elrendezésük olyan, hogy három fal középsíkja nem működik egyazon függőlegesben, akkor a merevítő rendszer statikailag határozott és az egyes falakra működő igénybevételek egyszerű egyensúlyi feltételekből meghatározhatók.

M8. ábra Statikailag határozott merevítő rendszer elemeire működő igénybevételek meghatározása

Az M8. ábra alapján a merevítő rendszerre az alábbi egyensúlyi egyenletek írhatók fel:

•8 a Qy vízszintes terhelésből: yQee

eS ⋅+

=21

21


6

yQee

eS ⋅+

=21

12 (M1)

03 =S

• a Qx vízszintes terhelésből: xQS =3 (M2)

• az e3Qx nyomatékból: xQee

eSS ⋅+

=−=21

312 (M3)

A fenti Si erők összegéből bármely i. falra ható erő meghatározható (i = 1, 2, 3). 4.2 STATIKAILAG HATÁROZATLAN MEREVÍTŐ RENDSZER Amennyiben a merevítő falak száma háromnál nagyobb, úgy az egyensúlyi feltételek mellett, a merevítő elemekre működő igénybevételek meghatározásánál, az alakváltozások kompatibilitását is figyelembe kell venni. Ha a szerkezet elemeinek csavarási merevsége és centrifugális inercianyomatéka elhanyagolható, akkor a merevítő falakra a vízszintes terhekből származó igénybevételek az alábbi egyszerű módszerrel határozhatók meg. Az eljárást gyakran a csavarási középpont módszerének nevezik. Egy merevítő falrendszer csavarási középpontját a következő sajátosságok jellemzik: • a csavarási középpontban működő erő hatására a szerkezet elemei csupán szintenként

azonos mértékű eltolódást szenvednek • a csavarási középpontra működő nyomaték hatására a merevítő rendszer elemei azonos

mértékben fordulnak el. Megjegyzés: a csavarási középpont általában a merevítő rendszer inerciáinak súlypontjával azonos, ha a derékszögű négyszög keresztmetszetű merevítő falak vastagsága kicsi. Abban a gyakran előforduló esetben, mikor a vízszintes terhek Q eredője nem a csavarási középpontban működik, a vízszintes terhek hatása felbontható: • egy a D0 csavarási középpontban működő, és a merevítő falakban S’ igénybevételt

előidéző erőre, • és egy M0=Qe0 nyomatékra, melynek hatására a falakban S’’ igénybevétel keletkezik, és

ahol e0 a Q erő hatásvonalának távolsága a D0 csavarási középponttól (M9. ábra)


7

M9. ábra

Az ábra jelöléseivel:

yxxy eQeQM 000 ⋅+⋅=

A D0 csavarási középpont koordinátái az x,y koordinátarendszerben:

∑

∑

=

=

⋅= n

jyj

n

jjyj

J

xJx

1

10 ;

∑

∑

=

=

⋅= n

jxj

n

jjxj

J

yJy

1

10 (M4)

ahol Jxj és Jyj a j-edik fal inercianyomatéka a saját súlyponti tengelyére. Ha a merevítő elem több fal összekapcsolása révén kiaalakított merevítő mag, akkor az igénybevételei a saját csavarási középpontjára vonatkoznak. a) A merevítő elem igénybevételei a Q0 erőkből (eltolódási rész) Minthogy a Q0 erő a csavarási középpontban hat, ezért az összes merevítő elem azonos mértékben tolódik el. Az alul befogott konzol eltolódása a z magasságban működő S erő hatására akövetkező alakú:

EJzSa

3

3⋅= (M5)

Ebből következik, hogy a j-edik merevítő falra működő erő, annak inercianyomatkékával lesz arányos:

jj Jaka

zEJ

S ⋅⋅=⋅= 3

3 (M6)

ahol 33zEk = az összes falra állandó érték.


8

Legyen ax’ és ay’ a mervítő rendszer egyenletes elolódását jellemző érték. Az ennek megfelelő igénybevételek a j-edik falban: xjx JakS xj ⋅⋅= '' és yjy JakS yj ⋅⋅= '' (M7) Az egyensúlyi feltétel alapján, és a '

xak ⋅ és 'yak ⋅ tényezőkel egyszerűsítve:

�

�� =⋅→=⋅⋅=== xi

xxx

n

ixix

n

ixi J

QakQJakS 0,'

0,1

'

1

' és

�

�� =⋅→=⋅⋅=== yi

yyy

n

iyiy

n

iyi J

QakQJakS 0,'

0,1

'

1

' ,

melynek felhasználásával az (M7) egyenletek az alábbi alakot veszik fel:

0,

1

'xn

ixi

xjxj Q

J

JS ⋅=

∑=

és 0,

1

'yn

iyi

yjyj Q

J

JS ⋅=

∑=

(M8)

b) A merevítő elemek igénybevételei az M0 nyomatékból (elfordulási rész) Abban a gyakorlati esetben, mikor a merevítőfalak az x illetve y tengelyekkel párhuzamosak, a rendszer a D0 pont körüli α szöggel való elfordulásának határára a falak ax” és ay” eltolódásai (az M10. ábra alapján) a következőképpen kaphatók: jxj ya ⋅−= α'' és jyj xa ⋅= α'' .

M10. ábra

yjjjj


9

Az előbbiek alapján a falak megfelelő igénybevételei az alábbiak lesznek:

jxjxjxjxj yJkJakS ⋅⋅⋅−=⋅⋅= α'''' és (M10)

jyjyjyjyj xJkJakS ⋅⋅⋅=⋅⋅= α'''' . (Megjegyzés: az eltolódások és erők akkor pozitívak, ha a koordinátar rendszer pozitív tengelyei irányába mutatnak.) A nyomatéki egyensúlyi feltétel szerint:

01

''

1

'' MySxS i

n

ixii

n

iyi =⋅−⋅

==

,

az (M10) egyenletek felhasználásával pedig

01

22 MxJyJkn

iiyiixi =

⋅+⋅⋅⋅ ∑=

α

melyből,

( ) ⋅+⋅=⋅ 22

0

iyiixi xJyJMk α .

A k*α értékét az (M10) egyenletekbe beírva, a következő eredményt kapjuk:

( )0

1

22

'' MxJyJ

yJS n

iiyiixi

jxjxj ⋅

⋅+⋅

⋅−=

=

,

illetve, (M11)

Az egyes merevítő elemekre ható teljes erőt az a) és b) alatti részeredmények, vagyis az (M8) és az (M11) összegzésével kaphatjuk meg.

( )0

1

22

'' MxJyJ

xJS n

iiyiixi

jyjyj ⋅

⋅+⋅

⋅=∑

=


11. Előadás

VASBETON SZERKEZETEK VASALÁSI SZABÁLYAI:

- zsaluzási terv - gyártmányterv - összeszerelési terv

Általános követelmények: - statikailag megfelelő legyen a szükséges vasmennyiség - szerkesztési szabályoknak megfelelő kell, hogy legyen

(könnyen áttekinthető, ellenőrizhető legyen a vasalás) - „saját merevséggel” rendelkező vasalás (előregyártott)

Vasalás egyes elemeire betartandó ajánlások: - lehetőleg azonos (járatos) anyagminőségeket kell használni - korrózióálló acélok is előfordulnak - egyedi vashosszak 12 mm-nél legyenek kisebbek (Φ16 alatt hajtűvasak végtelen

hosszban vannak) - azonos alakú acélbetétek ne készüljenek azonos vagy közel azonos átmérővel,

lehetőleg az átmérő ugrása 2x – es legyen ( Φ10 → Φ14) - azonos acélkeresztmetszet mellett jobb a több vékonyabb, mint kevés vastag

(repedéstágasság) - lehorgonyzási hossz nélkül acélbetét nem létezik

(ha nincs lehorgonyzási hossz, nem terhelhető teljes keresztmetszetéig acélbetét minimális hossza a lehorgonyzási hossz kétszerese) (kampó 20%-át tudja helyettesíteni a lehorgonyzási hossznak)

lb kellene, de nincs ennyi hely

ydb

y flcf ⋅≈* ennyire vehetem igénybe

- acélbetétek toldása ott, ahol keresztirányú nyomás van (támasz vagy külső

erőbevezetés helye) - irányváltozással rendelkező acélbetétek környékén irányváltozási erőt kell figyelembe

venni betonfedés: c = c1 + c2 +c3 > 0 c1 = általános előírás ≈ 20 mm (lemez ≈ 15 mm) c2 = légnedvességtől függ (0 – 20 mm) c3 = felület átlagos kopási igénybevételétől függ

(0 – 15 mm)

Zavart zóna esete: (D = disturb)

megméretezzük B keresztmetszeteket, megnézzük, van-e zavart zóna vasak maximum 1/3-át lehet ugyanazon keresztmetszetben toldani - ha 100%-ot toldok → 2 lb - ha 50 %-ot → 1,5 lb - ha 33 %-ot → lb

Hurkos toldás:

Vasbeton gerenda felfekvése:

lb = lehorgonyzási hossz c = betonfedés c1 = szerkezet alaptípusa szerint c2 = megmunkált-e a felület c3 = hova teszik a = vasbeton → 0 tégla → 30 mm

(azért redukáljuk a nyíróerő hatását, mert boltozati hatás van)

φλ ⋅=bl

aclt b ++≥

D = ahhoz kell, hogy az acélbetét kihasznált legyen

→ Kazán – képlet:

(

(kampó a lehorgonyzási hossz 20%-át váltja ki)

(Saint-Venant elv: ha elég messze vagyok a hatástól elég azt az eredőjével helyettesíteni)

→ pecsétnyomás:

függ: felülettől, amin terhelem Ac0 = közvetlenül terhelt

Ac1 = Ac0-al geometriailag affin, azonos súlypontú legnagyobb síkidom területe

ydydScd ffAHDf ⋅=⋅==⋅42

2πφ

43421ψ

πφ 24

2 ⋅⋅=cd

yd

ff

DRPH ⋅= 0

12 DD <

cdcRd fkAF ⋅⋅= 0⎩⎨⎧

=≤

01

3,3min

cc AAkk


12. Előadás

Lépcsőkar:

Erőbevezetési kialakítások: • nyomóerő bevezetése gerendába: = pecsétnyomás • nyomóerő bevezetése oszlopba:

keresztirányban (hasító) erő fellép:

(ha a = at → a terhelő erő negyede hasítja a szerkezetet)

Ha nem lenne szükség egy részen acélbetétre, akkor is kell arra a részre tenni, hogy a beton zsugorodásából adódó húzófeszültséget felvegye, különben megrepeszti a betont.

• gerendába bevezető húzóerő:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≈

taaFN 1

4

ydSRd fAFF ⋅⋅=< 2

Fióktartó bekötése: bajuszvas

F

ferde felhajlított vas azért nem jó, mert nem szeretik felhajlítani

Áttörések: → gerendában:

p = 1,6 p = 2,5 – 3 p = 1,8 - 2,2 --- = szerkezeti vas, hogy a kialakuló repedésekre merőleges legyen (lemeznél!)

- minél kisebb p lenne jó - kizsaluzhatóság miatt

mindegyik az alapvasaláson felüli többletvas → lemezben:

kis áttörésnél → oszlopban:

=⇒⋅= SydS AfAF 22


13. Előadás

Keretsarok: (lemezmű – sarok)

tengelyirányú fesz. egyenes gerendán

Lehetséges sarokvasalások: ),( SAM +

kihúzódik a betonból vitézkötés jó, de inkább csak kis műtárgyakban csinálunk ilyet (kis átmérőket jól meg lehet hajlítani) nyomott részben jobb a lehorgonyzása

kiékelés pásztorbot zsaluzás miatt nem használják jó a ferde vas, mert repedésre merőleges amúgy segíti a nyomaték felvételét

kengyel irányváltozási erőket köt meg

Kisméretű keretsarok:

Görbe rudak vasalása:

a.) beton húzószilárdsága elegendő-e az irányváltó

erő egyensúlyozásához?

b.) ha a.) nem teljesül, akkor Kazán-képlet :

⎩⎨⎧

=2

1mintt

t

pRH ⋅=

}}pfdtHfA

Rct

ydS

)( −⋅

≥

Rs

fARfA

w

ydwwSydS ⇒

⋅⋅=⋅ ,,

Konzolok: → rövid konzol: nem hajlított keresztmetszetű gerenda

a.) egyik lehetőség:

rácsostartó a statikai váza

=*

ydf folyás redukált (kisebb) értéke

határalakváltozás, folyáshoz tartozó: ε = 2,5% elszakad: ε = 40%

kampóhossz: 0,9d (itt ~ 4 Φ25 vas szükséges, mert H ≈ P) → hely kell a lehorgonyzásnak is

ha h > 300 mm

yd

cdcS f

fAA ⋅= 4,0 ( teherbíró

betonfelület min. 40%-át rakják bele)

Eurocode teherbírás szempontjából csak a vízszintes kengyeleket veszi figyelembe (MSZ a függőleges vasakat is)

vízszintes kengyel: nyomott betonrudak fellazulását megakadályozza

)2( ah >

zHaP ⋅=⋅

*,8,0 ydszüksS f

HAdaPH =⇒⋅

=

dz 8,0=

12 φφ >

{ 321főővas

Skengyel

S AA 12 4,0>


14. Előadás

b.) másik lehetőség:

Az a vasalás jó, ami a várható repedés irányára merőleges. c.) még egy lehetőség:

ilyen kengyelt csavarónyomatéknál alkalmaznak

→ süllyesztett tartóvég: vagy előregyártott vasbeton tartóknál

kb. a tartó magasságával megegyező szakasz a zavart szakasz

Vierendel – tartóként kell méretezni!

Dilatációs, mozgási hézagok kialakítása: (nem muszáj) (relaxáció, zsugorodás, kúszás)

1.) dilatációs hézag (tágulási hézag): a.) hőmérsékletváltozásból:

építési hőmérséklet: 10 ˚C ΔT ≈ 40 ˚C

=ΔT egyenletes hőmérsékletváltozás =1L amilyen távolságokra kell a hézag =e dilatációs hézagok szélessége

b.) zsugorodásból:

41042 −⋅÷=zsε → megengedem a zsugorodást – hézagot hagyok

LLzs Δ=⋅ε =L milyen távolságonként =ΔL hézagtágasság

→ megpróbálom megfogni a zsugorodást zszs E εσ ⋅= 253 mmNzs ÷≈σ ⇒⋅= AH zsσ EZ NAGY! → repedéstágasságra méretezni!

Meggátolt alakváltozásból igénybevétel keletkezik! Utókezeljük a betont. Zsugorodási repedést nem lehet eltüntetni (csak drága kitöltéssel). (Sose töltsük ki a dilatációs hézagot hungarocellel, mert nagy felületen nem lehet összenyomni!)

Szabvány: - hőhatásnak közvetlenül kitett felületnél (épületnél) L < 30m - külsőleg szigeteltnél L < 50m

alaplemezt nem dilatáljuk (legalábbis hőhatásra nem, hanem talajmechanikai okokból)

Szerkezeti kialakítás: a.) kettős oszlopok:

dilatációs hézagot végig kell vezetni az épületen

{e

TT LLT 11 Δ=⋅→Δ⋅= εαε

2

6l

EIeM ⋅⋅=

AHE TTT ⋅=→⋅= σεσ

b.) nem a függőleges, hanem a vízszintes tartószerkezeteken visszük végig:

vagy ún. Gerber tartó

neoprén saruval

kialakítás: (takarás)

lizéna dugó 2.) mozgási hézagok:

indokolt esetben (számítunk arra, hogy az egyes épületrészek elmozdulnak) pl.: kétkamrás vízmedence:

a bal így jobban süllyedhet

pl.: sorház:

f = 1-2 cm (hídnál: 3-4cm) réginek már lejátszódott a süllyedése → hézagot kell hagyni

Hézagképzés:

fésűs acélszerelvény


1. Gyakorlat

Kétirányban teherviselő lemez tervezése - v1.1

5

1. Közelítő méretfelvétel

1.1. Adatok A falköznyílást a Torokgerendás fa fedélszék számítása c. feladatból vettük át. A szélső, y-irányú gerendák bx szélessége igazodik a szélső vázkitöltő fal 30 cm-es vastagságához. Ebből visszaszámítható az x-irányú szabad nyílás hossza.

m35,52

cm30m0,11 0 =−

=⇒≅⇒= xxx

bllbl

A kétirányban teherviselő lemez y-irányú szabad nyílása a feladatlapon megadott arány szerint vehető fel (pl. l0y/l0x = 1,4 esetén):

m5,721 00

0=⇒≤< y

x

yl

l

l

x

y

b y

b y

l 0y

r

hy

h y

h 30 l0x bx l0x 30

l

h x

h

lx lx

hx


6

1.2. Alátámasztó gerendák méretei Átlagos terhelés és terhelési mező szélesség mellett az alátámasztó gerendák magasságát az alábbi ökölszabályok alapján lehet felvenni.

cm50cm07,5111

35,505,1

1210⇒=

⋅≅

÷≅ x

x

lh

cm70cm60,7111

50,705,1

1210⇒=

⋅≅

÷≅

y

y

lh

cm40cm20,417,1

70

25,1⇒=≅

÷≅

y

x

hb

cm30cm41,297,1

50

25,1⇒=≅

÷≅ x

y

hb

Megjegyzés: Az y-irányú gerendák bx méretét hy-ból, míg az x-irányú gerendák by méretét hx-ből kell számítani!

1.3. Vasbetonlemez vastagságának közelítő felvétele 1.3.1. Hatékony magasság

4032 ÷≅ rövid

lemez

ld ; de a minimális vastagság d = 50 mm

cm14140

35,5·05,1=≅lemezd

1.3.2. Betonfedés

minimális betonfedés (1. agresszivitási oszt.):

≥∅⇒∅

<∅⇒≥

mm32hamm][

mm32 hamm15min. c

méreteltérésekből adódó növekmény: 5 mm ≤ ∆c ≤ 10 mm Az alsó vasalási síkra ∆c = 5 mm kedvezőtlen méreteltérést vehetünk figyelembe, míg a felső vasalási síknál (a betétek szerelés közbeni letaposása miatt) ∆c = 10 mm felvétele indokoltabb. 1.3.3. Tényleges betonfedés Az alsó vasalási síkra: ca = nom. c = min. c + ∆c = 15 + 5 = 20 mm A felső vasalási síkra: cf = nom. c = min. c + ∆c = 15 + 10 = 25 mm


7

1.3.4. A tényleges lemezvastagság

mm170hmm1682

1420141

2=⇒=++=

∅++= acdh

1.4. Anyagok Beton: C20/25 fck = 20,0 N/mm2 Ecm = 28,8 kN/mm2 Betonacél: B 60.40 fyk = 400 N/mm2

1.5. A terhek karakterisztikus értéke Súlyelemzés: (feltételezett rétegrend) Anyag neve vtg. [mm] sűrűség [kg/m3] súly (gi) [kN/m2]

1. kerámia lap 10 2300 0,23 2. ágyazó habarcs 20 2200 0,44 3. aljzatbeton 40 2200 0,88 4. technológiai szigetelés - - - 5. Nikecell lépéshanggátló 30 50 0,015 6. monolit vb. lemez 170 2500 4,25 7. vakolat 15 2000 0,3 8. válaszfal 1,25

önsúly: Gk = Σgi = 7,365 kN/m2 hasznos teher: Qk = 5 kN/m2 1.6. A terhek tervezési értéke: mértékadó teher: Gd + Qd = γG·Gk + γP·Qk Gd + Qd = 1,35·7,365 + 1,5·5 Gd + Qd = 17,45 kN/m2 1.7. A födémlemez vastagságának közelítő ellenőrzése A legnagyobb támasznyomaték közelítő felvétele a rövidebb irányban:

( )m

kNm33,39

14

35,505,1·45,17

14

l·QGm

22röviddd

max =⋅

=+

≅

d

ca Ø/2

cf


8

A lemez "jól vasalt", ha ξc ≈ 0,2

2mmN

33,135,1

20==

γ= ck

cd

ff

A húzott betétekre felírt nyomatéki egyenletből a szükséges hasznos magasság:

−⋅

=

−⋅

=

2

2,01·2,085,0·33,13

10·33,39

21·

*3

ξξα cd

max

f

md

d* = 139 mm < dlemez = 141 mm, tehát megfelel.


2. Gyakorlat


10

1.8. Statikai váz

mx = ? my = ? az 1; 2; 3 pontokban

1.9. Elméleti támaszközök Az lx, ly elméleti támaszközök meghatározásához az l0x, l0y nyílásközt • szélső alátámasztásnál a nyílásközt 1/3·t ÷ 1/2·t-vel • folytatólagos tartó közbenső támaszánál 1/2·t-vel kell megnövelni, ahol t a felfekvési hossz.

m60,515,01,035,523

cm300 =++=++= x

xx

bll

m90,740,050,72

20 =+=⋅+=y

yy

bll

2. Igénybevételek meghatározása (Rugalmas lemezelmélet alkalmazásával) 2.1. A maximális pozitív és negatív nyomatékok előállítása Alapszabály: a.) "Gd"-vel totálisan leterhelni az összes lemezmezőt. b.) "Qd"-vel parciálisan leterhelni a hatásfelület megfelelő mezőit.

l y

lx lx

1 2

3


11

A fenti eljárás helyettesíthető az alábbi közelítő módszerrel, ha a szomszédos támaszok

aránya 25,18,0 ≤≤b

j

l

l. Ez utóbbi módszer lényege, hogy a sakktábla szerint elrendezett

hasznos terhek felbonthatók • egy minden mezőben elhelyezett, egyenletesen megoszló teherre és • egy mezőnként felváltva pozitív és negatív, alternáló teherre. A minden mezőben egyenletesen megoszló hasznos terhet az állandó terhekkel összevonva, az alábbi két helyettesítő terhet kapjuk:

2' k

QkG

QGq ⋅γ+⋅γ=

2" k

Q

Qq ⋅γ±=

Qd

Gd

= +

Qd/2 -Qd/2 +Qd/2

Qd

1 +

Amennyiben a szomszédos nyílások arányára a megadott feltétel teljesül, a totális terhelésre kapott alakváltozásból a támasz felett közel zérus elfordulás adódik. Tehát a lemezmezők – a közbenső támasznál peremfeltételként befogást feltételezve – elkülönítve is vizsgálhatók. Az alternáló teher esetén az elfordulás a támasz két oldalán közel egyenlő nagyságú, így a peremfeltétel csuklós támasz lesz. A lemez mértékadó nyomatékát a totális leterheléshez megállapított statikai vázon, q' teherből számított mq' és a parciális leterheléshez tartozó statikai vázon, q" teherből számított mq" nyomatékok előjeles összege adja.

"'max qq mmm ±=


12

2.1.1. Maximális pozitív "m" előállítása az �� pontban

?1max =+m

q' -vel totális leterhelést, q'' -vel parciális leterhelést alkalmazunk!

+maxm = mq' ± mq"

2.1.2. Maximális negatív "m" előállítása a �� pontban

?2max =−m

q'-vel totálisan, a sraffozott részekre lefelé, a fehér részekre felfelé mutató ±q''-vel kell leterhelni a "megfelelő" statikai modellt. Eltérő lx fesztávok esetén a számítást mindkét lemezmezőre el kellene végezni.

Qd

Gd

=

Qk/2

Qd

-Qd/

2 +

Qd/

2

Qd

Gd

2 ×

+

Qd/

2

L1 L1 +

q'-vel q''-vel

L1 L1 L1 L1 + + ill.

q'-vel q''-vel


13

Lemeztípusok, melyekből összerakhatók a feladatok (Baręs, Czerny táblázatok):

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

L1: 71,09,7

6,5==

y

x

l

l

2.2. Igénybevételek: (táblázatos meghatározás) Parciális leterheléssel a Baręs táblázatok alkalmazásával 2.2.1. Az L1 lemez �� pontjában: +

max,xm és +max,ym meghatározása

2m

kN7,13

2

5·5,1365,7·35,1

2··' =+=γ+γ= k

QkG

QGq

2mkN

75,325

·5,12

·" ±=±=γ±= kQ

Qq

l y

lx

L1 0,71

0,0390

0,01

27

L1 0.71

0,0718

0,02

01

+

q' q"

Tab. 1.11 Tab. 1.7

( )"0718,0'0390,021max, qqlm xx ⋅±⋅⋅=+

m

kNm20,25)75,3·0718,07,13·0390,0·(6,5 21

max, =±=+xm

( )"0201,0'0127,021max, qqlm yy ⋅±⋅⋅=+

m

kNm56,15)75,3·0201,07,13·0127,0·(9,7 21

max, =±=+ym


14

2.2.2. Az L1-es lemez ��-es pontjában −maxm meghatározása

L1 0,71

-0.0894

l y

lx

+

q' q"

L1 1.41

Tab. 1.11 Tab. 1.8

-0.1078

)"·1078,0'·0894,0·(22max, qqlm xx ±=−

m

kNm09,51)75,3·1078,07,13·0894,0·(6,5 22

max, −=±=−xm

2.2.3. Az L1-es lemez ��-as pontjában ébredő −

maxm meghatározása

L1 0.71

l y

lx

+

q' q"

L1 0.71

Tab. 1.8 Tab. 1.11

-0,0

390

-0,0

548

)"·0548,0'·0390,0·(23max, qqlm yy ±=−

m

kNm17,46)75,3·0548,07,13·0390,0·(9,7 23

max, −=±=−ym


15

2.3. A nyomatéki ábra

A részleges befogás miatt a szélső támasznál figyelembe kell venni a szom-szédos mezőnyomaték egy részét:

1max,·2,0 +−− −== xjb mmm

Az EUROCODE szerint:

m

kNm30,620,2525,0

25,0 1max,

−=⋅−=

⋅−== +−−xjb mmm


16

2.4. Képlékeny nyomatékátrendezés

Mivel a +

−

m

m arány a kedvező vasalás kialakítása szempontjából túl nagy, ezért célszerű

képlékeny nyomaték átrendezést végrehajtani. Az átrendezés alkalmazható, • amíg az eredő nyomatékeloszlás egyensúlyban van az alkalmazott terhekkel;

• ha fennáll, hogy 5,02 ≥≥b

j

l

l;

• d

x⋅+≥ 25,144,0δ , ha a beton nem jobb C35/40-nél;

• 7,0≥δ nagy duktilitású betonacélnál 5>udε ( udε a szakadó nyúlás);

• 85,0≥δ normál duktilitású betonacélnál 5,2>udε ;

ahol elöttiátrendezés

tátrendezet

m

m=δ ;

x: semleges tengely helyzete teherbírási határállapotban nyomaték átrendezés után; d: hatékony magasság.

„Szép” vasalást lehet kialakítani, ha 5,1≅+

−

m

m, betartva a fenti előírásokat.

Képlékeny nyomatékátrendezés my-ra:

m

kNm52,30

5,2

09,5120,25

5,11=

+=

+

+=

−++ mm

m jó

m

kNm78,4552,305,15,1 =⋅=⋅= +−

jójó mm

85,09,009,51

78,45>===δ

−

−

m

m jó , tehát megfelel.

Képlékeny nyomatékátrendezés mx-re:

m

kNm69,24

5,11

17,4656,15=

+

+=+

jóm

m

kNm04,3769,245,1 =⋅=−

jóm

85,08,017,46

04,37<==δ , tehát nem felel meg.

A 85,0≥δ feltételt mindenképpen ki kell elégíteni, ezért:

m

kNm24,3917,4685,085,0 −=⋅=⋅= −− mm jó

A pozitív és negatív nyomatékok összege az átrendezést követően nem változhat (egyensúlyi feltétel), ahonnan:

−+−+ +=+ jójó mmmm

m

kNm49,2224,3917,4656,15 =−+=−+= −−++

jójó mmmm


17

2.5. Módosított nyomatéki ábra


3. Gyakorlat


19

3. A keresztmetszet méretezése Az x és y irányba menő acélbetétek közül a rövidebb irányba menőt célszerű a zsaluzatba előbb elhelyezni. (Ez a fő teherviselő irány.) 3.1. Hatékony lemezvastagságok meghatározása Az x és y irányú +

xm ; −xm ; +

ym ; −ym nyomatékokhoz tartozó hatékony lemezvastagságok eltérőek

lesznek.

mm1432

1420170

2:hoz- =−−=

∅−−=++

axx chdm

mm1382

1425170

2:hoz- =−−=

∅−−=−−

fxx chdm

mm12914143:hoz- =−=∅−= +++xyy ddm

mm12414138:hoz- =−=∅−= −−−xyy ddm

km mx(y)

[kNm/m] dx(y)

[mm] m [-]

ξc [-]

ζ [-]

as,cal

[mm2/m] alkalmazott

vasalás as

[mm2/m]

1x 30,52 143 0.1317 0.1417 0.9292 574 2∅12/320 706 2x 45,78 138 0.2122 0.2413 0.8794 943 2∅12/320

+∅14/320 1184

1y 22,49 129 0.1193 0.1274 0.9363 466 2∅12/330 684 3y 39.24 124 0.2252 0.2587 0.8707 909 2∅12/330

+∅14/330 1147

0x 7,63 138 0.0354 0.0360 0.9820 141!⇒215 ∅12/320 353

⋅ξ−⋅⋅α⋅⋅ξ⋅=

−⋅⋅α⋅⋅=±

22d

dfdbx

dfxbm ccdc

ccdc

cdcdc

c fdbmfdbm ⋅α⋅⋅⋅=⋅α⋅⋅

ξ−⋅ξ⋅=± 22

21

cdfdb

mm

⋅α⋅⋅=

±

2 ;

ξ−⋅ξ=

21 c

cm ; mc ⋅−−=ξ 211 (ξc<ξc0)

21 cξ

−=ζ ; yd

sfd

ma

⋅⋅ζ=

±

3.2. A határnyomatékok számítása

km as

[mm2/m] xc

[mm] mRd

[kNm/m] mRd > mSd mRd

mSd >1

1x 706 24,9 36,83 � 1,21 2x 1184 41,8 55,46 � 1,21 1y 684 24,1 31,93 � 1,42 3y 1147 40,5 47,61 � 1,21 0x 353 12,5 18,66 � (2,42)


20

cdcyds fxbfa ⋅α⋅⋅=⋅ 0c

cd

ydsc x

fb

fax <

⋅α⋅

⋅=

−⋅⋅α⋅⋅=

2c

cdcRd

xdfxbm

3.3. Minimális vashányad

⋅⋅

⋅⋅

=

db

f

db

ayks

0015,0

6,0maxmin, (fyk [N/mm2]-ben)

cs Aa ⋅= 04,0max,

=⋅⋅

=⋅⋅

≅2

2

min,

mm5,21414310000015,0

mm5,214400

14310006,0

sa

3.4. Lehorgonyzási hossz

Alapértéke: bd

yd

bf

fl ⋅

∅=

4 (fbd táblázatos adat)

fck 12 16 20 25 30 35 40 45 50

sima 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 ∅≤ 32 bordás

1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 3,9 4,2 4,5

Szükséges lehorgonyzás: min,,

,b

provs

recsbsb l

A

All ≥⋅⋅α=

αs = 1 egyenes végű acél As,rec = szükséges vasmennyiség As,prov = alkalmazott vasmennyiség

Minimális lehorgonyzási hossz:

−⋅⋅α⋅⋅=

2c

cdcRd

xdfxbm

∅≥⋅= 103,0min, bb ll húzott acél

mm1006,0min, ≥⋅= bb ll nyomott acél

A nyírási teherbírásban figyelembe vett felhajlított acélbetétek lehorgonyzási hossza: húzott övben min.: 1,3�lb,net nyomott övben min.: 0,7�lb,net

4. Szerkesztési szabályok • vasak maximális távolsága:

fővasaknál: mm3505,1 ≤⋅h (h: lemezvastagság)


21

elosztóvasaknál: mm4005,2 ≤⋅h

• a mezővasalás legalább felét a támaszig kell vezetni és ott lehorgonyozni • csuklós vagy részlegesen befogott – de számításba nem vett – támasznál


22

5. Rajztechnika konszignációs jelölés

• meg kell adni az első vas helyét a fix zsaluzási vonaltól • jelölni kell a lemezt: • alulnézeti rajz !!! (úgy ábrázoljuk a födémet, mintha a lemez alatt vennénk metszetet, és

tükörből néznénk) • ne alkalmazzunk sokféle vagy egymáshoz közeli átmérőjű betonacélt • ne feledkezzünk el a zsámolyvasról! • a megjegyzésben fel kell tüntetni:

anyagminőségeket (beton, betonacél); betonfedést; hasznos terhek alapértékét; együtt kezelendő terveket (ha van ilyen); minden egyéb a kivitelezés számára fontos adatot.

• betonacél kimutatás


4. Gyakorlat


24

6. A törőteher számítása 6.1. Energia módszer A kinematikailag lehetséges törőterhet a külső és belső munkák egyenlősége alapján lehet meghatározni. Lk = Lb

Vegyünk fel egy lehetséges törésképet a lemezek törésvonal elmélete alapján. Nyomatéki paraméterként a hosszabbik oldalhoz tartozó, m pozitív nyomatékot választjuk. A rövidebbik irányban fellépő nyomatékot κ-val való szorzással, a támasznyomatékokat µ1 ÷ µ4 szorzók segítségével számíthatjuk az m nyomatékból. Geometriai paraméterként a törésvonalak metszéspontját meghatározó α1, α2 és β tényezők vehetők fel. µ2 = µ4 (a szimmetriából adódóan) α1 = 1 - α2

lx = 5,6 m ly = 7,9 m 710,l

lγ

y

x ≅=


25

m

kNm8336, m = (lásd 3.2.)

m

kNm31,93 =⋅κ m 87,0=κ

m

kNm66181 , m =⋅µ

51,01 =µ

m

kNm614742 ,mµm µ =⋅=⋅

30,142 =µ=µ

m

kNm46553 , m µ =⋅

51,13 =µ

A p teher által az elmozduláson végzett külső munka a töréskép által meghatározott térfogat alapján számítható.

( )

⋅β⋅−⋅⋅

+⋅⋅⋅β⋅⋅⋅α

+⋅⋅⋅β⋅⋅⋅α

+⋅⋅⋅β⋅⋅

⋅= 12

212

3

11

22

3

11

22

3

11

221 yxyxyxyx

kk

llllllllpL

( )β⋅−⋅⋅⋅

= 236

yxk

k

llpL

A belső munka a nyomatéknak a törésvonalak menti elforduláson végzett munkájával egyenlő.

21

112

111

22

13

21

21

⋅⋅β

⋅⋅⋅µ+

+⋅α

⋅⋅⋅µ+⋅α

⋅⋅⋅µ+⋅⋅β

⋅⋅⋅κ+

⋅α+

⋅α⋅⋅=

y

x

x

y

x

y

y

x

xx

yb

llm

llm

llm

llm

lllmL

( )γ⋅⋅µ⋅+γ⋅⋅κ⋅⋅β

+

γ

⋅µ+

γ⋅

α+

γ

⋅µ+

γ⋅

α= mm

mmmmLb 2

1

2

3

1

22111

49,1131

33,781

20,1301

21

⋅β

+⋅α

+⋅α

=bL

A külső és belső munkák egyenlősége alapján (Lk = Lb):

( )β

+α

+α

=β⋅−⋅⋅49,11333,7820,130

2337,721

kp

12 1 αα −= A törőteher tehát két paraméter függvény, amikből a szélsőérték parciális deriválással kapható.

( ),βαfp 1=


26

( )( ) ( ) 37,7·3·2··1·

·49,113··20,13033,78·20,130·49,113 2

−ββ−αα

α−βα−+β+α=kp 21

1 ,0

0α⇒βα⇒

=β∂

∂

=α∂

∂

p

p

A deriválást elvégezve: 563,01 =α , 436,02 =α , 424,0=β A kapott értékeket behelyettesítve a fenti egyenletbe megkapható pk értéke:

2m

kN74,42=kp

6.2. Egyensúlyi módszer


27

Ez is törési határállapot-vizsgálat. A kinematikai tételen alapszik. (A feladatban talán célravezetőbb!) A külső terhek nyomatékának és a belső nyomatékok egyensúlyának felírásából számítható a határerő. � és � lemezdarab azonos

( )3

2

2

22

2 ⋅⋅β⋅⋅

=⋅µ+⋅κ⋅yx

x

llpmml

� lemezdarabra:

( )( )

⋅α

⋅⋅β⋅⋅α

⋅+⋅α⋅⋅β⋅−

⋅=µ⋅+⋅32

22

2122

222

1xyxxy

y

lllllpmml

� lemezdarabra:

( )( )

⋅α

⋅⋅β⋅⋅α

⋅+⋅α⋅⋅β⋅−

⋅=µ⋅+⋅32

22

2111

221

3xyxxy

y

lllllpmml

ismeretlenek: p, 1α , β adott: 3 egyenlet

56,01 =α , 44,02 =α , 42,0=β , 2m

kN74,42=p

22 m

kN45,17

m

kN74,42 =>= dpp

>== 145.2

45,17

74,42

dp

p Megfelel!


7. Melléklet 7.1. Baręs-féle táblázatok (kétirányban teherviselő, derékszögű négyszög lemezek számításához)

Tab. 1.7 µ=0,15 γ ws Mxs Mys

0,50 0,1189 0,0991 0,0079 0,55 0,1101 0,0923 0,0103 0,60 0,1015 0,0857 0,0131 0,65 0,0931 0,0792 0,0162 0,70 0,0851 0,0730 0,0194 0,75 0.0777 0,0669 0,0230 0,80 0,0708 0,0611 0,0269 0,85 0,0644 0,0557 0,0307 0,90 0,0584 0,0507 0,0344 0,95 0,0529 0,0462 0,0383 1,00 0,0476 0,0423 0,0423 1,10 0,0390 0,0353 0,0500 1,20 0,0320 0,0293 0,0575 1,30 0,0262 0,0244 0,0644 1,40 0,0216 0,0204 0,0710 1,50 0,0179 0,0173 0,0772 1,60 0,0149 0,0146 0,0826 1,70 0,0124 0,0124 0,0874 1;80 0,0105 0,0107 0,0916 1,90 0,0088 0,0091 0,0954 2,00 0,0074 0,0079 0,0991

q·a4

E·h3 q·a2 q·b2

Tab. 1.8 µ=0,15 γ ws Mxs Mys Myvs

0,50 0,1087 0,0908 0,0084 -0,0305 0,55 0,0981 0,0826 0,0109 -0,0362 0,60 0.0881 0,0747 0.0135 -0,0421 0,65 0,0786 0,0670 0,0162 -0,0479 0,70 0,0698 0,0599 0,0192 -0,0537 0,75 0,0618 0,0533 0,0221 -0,0594 0,80 0,0544 0,0472 0,0249 -0,0650 0,85 0,0479 0,0417 0,0277 -0,0703 0,90 0,0421 0,0369 0,0304 -0,0750 0,95 0,0370 0,0327 0,0330 -0,0797 1,00 0,0326 0,0291 0,0354 -0,0840 1,10 0,0253 0,0228 0,0399 -0,0917 1,20 0,0197 0,0180 0,0438 -0,0980 1,30 0,0155 0,0143 0,0471 -0,1032 1,40 0,0123 0,0115 0,0500 -0,1075 1,50 0,0099 0,0094 0,0524 -0,1109 1,60 0,0079 0,0076 0,0544 -0,1136 1,70 0,0063 0,0062 0,0561 -0,1160 1,80 0,0052 0,0052 0,0575 -0,1184 1,90 0,0043 0,0044 0,0586 -0,1203 2,00 0,0036 0,0037 0,0594 -0,1213

q·a4

E·h3 q·a2 q·b2 q·b2

a y

Mx

b Mys

x q

q

x=0 x=a

y=0

y=b

γ = ab

γ = ab

Mxbs = µ·Myvs

a y

q Mx

b

Mys

x q y=

0 y=

b

x=0 x=a

Mxb

Myv


29

Tab. 1.9 µ=0,15 γ ws Mxs Mys Myvs

0,50 0,0990 0,0835 0,0088 -0,0297 0,55 0,0872 0,0738 0,0113 -0,0350 0,60 0,0759 0,0647 0,0137 -0,0400 0,65 0,0657 0,0563 0,0166 -0,0450 0,70 0,0565 0,0489 0,0187 -0,0497 0,75 0,0484 0,0423 0,0212 -0,0540 0,80 0,0414 0,0363 0,0233 -0,0578 0,85 0,0355 0,0313 0,0254 -0,0612 0,90 0,0305 0,0270 0,0274 -0,0644 0,95 0,0262 0,0232 0,0292 -0,0677 1,00 0,0225 0,0201 0,0309 -0,0699 1,10 0,0167 0,0151 0,0335 -0,0741 1,20 0,0126 0,0113 0,0357 -0,0770 1,30 0,0096 0,0088 0,0374 -0,0793 1,40 0,0073 0,0068 0,0386 -0,0811 1,50 0,0057 0,0053 0,0396 -0,0815 1,60 0,0045 0,0042 0,0404 -0,0825 1,70 0,0036 0,0034 0,0410 -0,0830 1;80 0,0029 0,0028 0,0414 -0,0832 1,90 0,0023 0,0023 0,0416 -0,0833 2,00 0,0018 0,0019 0,0417 -0,0833

q·a4

E·h3 q·a2 q·a2 q·b2

Tab. 1.10 µ=0,15 γ ws Mxs Mxvmin Mys Myvmin

0,50 0,0549 0,0570 -0,1189 0,0040 -0,0205 0,55 0,0520 0,0543 -0,1148 0,0054 -0,0249 0,60 0,0490 0,0514 -0,1104 0,0072 -0,0294 0,65 0,0458 0,0483 -0,1057 0,0092 -0,0341 0,70 0,0425 0,0451 -0,1008 0,0114 -0,0390 0,75 0,0393 0,0418 -0,0957 0,0139 -0,0442 0,80 0,0361 0,0385 -0,0905 0,0164 -0,0496 0,85 0,0330 0,0354 -0,0852 0,0191 -0,0548 0,90 0,0301 0,0324 -0,0798 0,0217 -0,0598 0,95 0,0273 0,0295 -0,0745 0,0243 -0,0648 1,00 0,0246 0,0269 -0,0699 0,0269 -0,0699 1,10 0,0201 0,0221 -0,0608 0,0319 -0,0787 1,20 0,0164 0,0182 -0,0530 0,0365 -0,0869 1,30 0,0133 0,0148 -0,0462 0,0406 -0,0937 1,40 0,0108 0,0122 -0,0405 0,0442 -0,0993 1,50 0,0089 0,0100 -0,0358 0,0473 -0,1041 1,60 0,0072 0,0081 -0,0317 0,0499 -0,1082 1,70 0,0059 0,0066 -0,0282 0,0521 -0,1116 1,80 0,0048 0,0055 -0,0252 0,0540 -0,1143 1,90 0,0040 0,0046 -0,0226 0,0556 -0,1167 2,00 0,0034 0,0040 -0,0205 0,0570 -0,1189

q·a4


q·b2

γ = ab

Mx0s = Mxbs

Mxbs = µ·Myvs

a y

q Mx

b

Mys

x

q y=0

y=b

x=0 x=a

Mxb

Myv

Mx0

M

yv

γ = ab

Mxbmin = µ·Myvmin

My0min = µ·Mxvmin

a y

q Mx

b

Mys

x q y=

0 y=

b

x=0 x=a

Mxbmi

Myv

mi

Mxvmin

My0

mi


30

Tab. 1.11 µ=0,15 γ ws Mxs Mxvs Mys Myvmin

0,50 0,0528 0,0550 0,1135 0,0045 0,0203 0,55 0,0489 0,0514 0,1078 0,0062 0,0247 0,60 0,0450 0,0476 0,1021 0,0081 0,0291 0,65 0,0411 0,0436 0,0964 0,0101 0,0336 0,70 0,0373 0,0398 0,0906 0,0122 0,0381 0,75 0,0336 0,0359 0,0845 0,0145 0,0427 0,80 0,0300 0,0323 0,0881 0,0169 0.0471 0,85 0,0266 0,0289 0,0720 0,0191 0,0513 0,90 0,0236 0,0257 0,0661 0,0211 0,0551 0,95 0,0209 0,0228 0,0603 0,0232 0,0586 1,00 0,0184 0,0202 0,0546 0,0252 0,0617 1,10 0,0142 0,0158 0,0467 0,0287 0,0676 1,20 0,0110 0,0123 0,0399 0,0316 0,0722 1,30 0,0086 0,0096 0,0341 0,0340 0,0757 1,40 0,0068 0,0075 0,0293 0,0359 0,0782 1,50 0,0054 0,0060 0,0254 0,0374 0,0800 1,60 0,0043 0,0048 0,0221 0,0386 0,0814 1,70 0,0034 0,0039 0,0193 0,0395 0,0825 1;80 0,0027 0,0031 0,0171 0.0402 0,0834 1,90 0,0022 0,0026 0,0154 0,0408 0,0342 2,00 0,0018 0,0022 0,0141 0,0412 0,0847

q·a4

E·h3 q·a2 q·a2 q·b2 q·b2

Tab. 1.12 µ=0,15 γ ws Mxs Mxvs Mys Myvmin

0,50 0,0296 0,0405 0,0833 0,0024 0,0143 0,55 0,0286 0,0394 0,0817 0,0033 0,0172 0,60 0,0275 0,0378 0,0794 0,0046 0,0206 0,65 0,0261 0,0360 0,0767 0,0061 0,0242 0,70 0,0246 0,0339 0,0737 0,0079 0,0280 0,75 0,0231 0,0315 0,0704 0,0098 0,0320 0,80 0,0214 0,0293 0,0668 0,0103 0,0360 0,85 0,0196 0,0269 0,0631 0,0139 0,0400 0,90 0,0180 0,0247 0,0593 0,0160 0,0440 0,95 0,0164 0,0224 0,0554 0,0181 0,0480 1,00 0,0149 0,0202 0,0515 0,0202 0,0515 1,10 0,0121 0,0164 0,0449 0,0242 0,0585 1,20 0,0098 0,0131 0,0388 0,0287 0,0643 1,30 0,0078 0,0105 0,0336 0,0306 0,0690 1,40 0,0063 0,0084 0,0291 0,0332 0,0728 1,50 0,0051 0,0066 0,0254 0,0353 0,0757 1,60 0,0041 0,0053 0,0223 0,0369 0,0779 1,70 0,0033 0,0042 0,0198 0,0383 0,0797 1,80 0,0027 0,0035 0,0176 0,0392 0,0812 1,90 0,0022 0,0028 0,0158 0,0399 0,0824 2,00 0,0018 0,0024 0,0143 0,0405 0,0833

q·a4


q·b2

γ = ab

Mxbs = Mx0s Myas = My0s Mx0s = µ·Myvs My0s = µ·Mxvs

a y

q Mx

b

Mys

x

q y=0

y=b

x=0 x=a

Mxbmi

Myv

mi

Mx0m

Myv

mi

Mxvs

Mya

s

γ = ab

Mx0min = Mxbmin

Mx0min = µ·Myvmin

Myas = µ·Mxvs

q

a y

q Mx

b

Mys

x

y=0

y=b

x=0 x=a

Mxbs

Myv

s

Mx0s Myv

s

Mxvs

Mya

s

Mxvs

My0

s


5. Gyakorlat

Vasbeton keretvázas épület erőtani számítása az EUROCODE szerint - v2.6

3

1. Kiindulási adatok

1.1 Geometriai adatok Méretek a feladatlapon kijelölt adatok szerint.

1.2 Anyagok Anyagminőségek a feladatlapon kijelölt értékek szerint. Beton Betonacél

Jel B 50.36 B 60.40 B 60.50 fyk [N/mm2] 360 400 500

fyd [N/mm2] 313 348 435

εsu [%] 2,5 2,5 2,5

ξc0 0,55 0,53 0,49

ξ'c0 1,45 1,59 2,11

Jel C16/20 C20/25 C25/30

fck [N/mm2] 16 20 25

fcd [N/mm2] 10,7 12 15

fctm [N/mm2] 1,9 2,21 2,56

fctd [N/mm2] 0,89 1,03 1,2

Ecm [kN/mm2] 27,4 28,8 30,5

h 1

l

a

O1 l

n⋅b

b b

x

z

3⋅h 2

y

z O1

x

y

G1

a l l

G1

O1

0

1

2

3

4


4

1.3 Terhek

1.3.1 Önsúly és állandó terhek

A vasbeton födémlemez vastagsága vlem ≈ lröv/35 = b/35 értékre vehető föl. A közbenső és zárófödém állandó terhe a különböző burkolatok miatt eltérő lesz. Példa egy lehetséges közbenső födém rétegrendre:

Anyag neve Vastagság (v) [mm]

Fajsúly (ρρρρ) [kN/m3]

Súly (gi) [kN/m2]

kerámia lap 10 23 0,23 ágyazó habarcs 20 22 0,44 aljzatbeton 40 22 0,88 techn. szigetelés - - - lépéshanggátló réteg 30 0,5 0,015 monolit vb. lemez vlem 25 vlem⋅25 vakolat 15 20 0,3 válaszfal 2,5

A közbenső födémlemez önsúlya és az állandó terhek alapértéke összesen: gk = Σgi Példa egy lehetséges zárófödém rétegrendre:

Anyag neve Vastagság (v) [mm]

Fajsúly (ρρρρ) [kN/m3]

Súly (gi) [kN/m2]

bitumenes lem. vízszig. 4 12 0,05 lépésálló hőszigetelés 100 1,6 0,16 páratechnikai réteg 2 12 0,025 lejtésképző aljzatbeton 60 22 1,32 monolit vb. lemez vlem 25 vlem⋅25 vakolat 15 20 0,3

A zárófödém lemez önsúlya és az állandó terhek alapértéke összesen: gkf = Σgi A G1 födémgerenda önsúlya a keresztmetszeti méretek becslése után számítható:

magasság: 12

lhg ≈

szélesség: 0,25,1 ÷

≈g

g

hb

A gerenda súlyának alapértéke: gger = (hg - vlem)⋅bg⋅ρrc Az önsúly és állandó terhek biztonsági tényezője: γG = 1,35

G1

a l l

bg

h g


5

1.3.2 Esetleges terhek

a.) Hasznos teher a belső födémeken A hasznos teher alapértéke (q) a feladatlapon adott. A biztonsági tényező: γQ = 1,5; a kombinációs tényező 7,00 =ψ (lakások, lakóépületek, irodák, gyülekezésre szolgáló terültek és

üzletek hasznos terhe esetén). b.) Meteorológiai terhek

Hóteher A tető hóterhének tervezési értéke: sd = γs⋅s ahol: s a vízszintessel α szöget bezáró tetők vízszintes vetületére vonatkoztatott

függőleges irányú hóteher γs = 1,5 a hóteher biztonsági tényezője A vízszintessel α szöget bezáró tetők vízszintes vetületére vonatkoztatott függőleges irányú hóterhet a következő összefüggésből kell számítani: s = µi⋅Ce⋅Ct⋅sk ahol: sk a felszíni hóteher karakterisztikus értéke, Magyarország területén az alábbi módon

számítható:

sk =

+⋅

100125,0

A [kN/m2]

de: sk ≥ 1,25 kN/m2

A - a talaj felszínének tengerszint feletti magassága [m]-ben.

Ce a szél miatti csökkentő tényező, értéke szokásos időjárási viszonyok esetén 1,0.

E tényező 1,0-nél kisebb értékeivel vehető figyelembe az erőteljes szél hóterhet csökkentő hatása.

Ct a hőmérsékleti csökkentő tényező, értéke szokásos hőszigetelésű tetők esetén 1,0.

E tényező 1,0-nél kisebb értékeivel vehető figyelembe a tetőn keresztüli intenzív hőveszteség hóterhet csökkentő hatása.

µi a hóteher alaki tényezője, α = 0° tetőhajlásszög esetén az értéke: µ1 = 0,8. A hóteher kombinációs tényezője: 6,00 =ψ .


6

Szélteher Egy épület adott külső felületére működő szélnyomás tervezési értéke: wd = γw⋅we ahol: we az épület külső felületén működő szélnyomás γw = 1,5 a szélhatás biztonsági tényezője Az épület külső felületén működő szélnyomást a következő összefüggésből kell számítani: we = qref ⋅ce(ze)⋅cpe ahol: qref az átlagos torlónyomás, ami egyben a szélteher karakterisztikus értékét jelenti,

értékét a következő összefüggés adja:

qref = 2

2

ρrefv [N/m2]

ahol: ρ a levegő tengerszint feletti magasságtól, hőmérséklettől és légköri

nyomástól függő sűrűsége, általános esetben értéke 1,25 kg/m3-nek tételezhető fel

vref a szélsebesség referenciaértéke, Magyarország területén értékét

20 m/s-ra kell felvenni A fenti értékeket behelyettesítve, Magyarország területén qref = 0,25 kN/m2

veendő számításba. ce(ze) a helyszíntényező, melynek értékét a terep tulajdonságai (beépítettségi

kategóriák, terep tagoltsága) és a ze terepszint feletti, ún. referenciamagasság függvényében lehet meghatározni. A szabvány szerinti beépítettségi kategóriákat az alábbi táblázat tartalmazza:

Beépítettségi kategória

I. Nyílt tenger; szélirányban legalább 5 km hosszú tó; sima szárazföldi terület, akadályok nélkül

II. Mezőgazdasági terület kerítésekkel, elszórtan mezőgazdasági építményekkel, házakkal vagy fákkal

III. Külvárosi vagy ipari övezet; állandó erdők

IV. Városi övezet, ahol a földfelület legalább 15 %-át olyan épületek fedik, amelyek átlagos magassága legalább 15 m

A helyszíntényező értékét sík terep esetén a következő oldalon látható grafikon segítségével határozhatjuk meg. (Hegyvidéken, ahol a szélsebességet a terep tagoltsága jelentősen befolyásolja, egy ct(z) topográfiai tényezőt is figyelembe kell venni ce(ze) számításakor.)


7

Az épület függőleges homlokzatára ható szélteher esetén az EUROCODE 1 különböző zónákat definiál, melyekben a szélnyomás értéke eltérő. Amennyiben a vizsgált oldalfal magassága nem haladja meg a szél irányára merőleges szélességi méretet, elegendő egyetlen szélnyomás-zóna figyelembe vétele. A tervezési feladatban megadott épület méretek esetén ez a feltétel teljesül, ezért egyszerűsítésképpen a számítás során ezt az esetet alkalmazhatjuk. Ekkor a referenciamagasság értéke az épület magasságával vehető egyenlőnek: ze = H = h1 + 3⋅h2

cpe a külső nyomási tényező, melynek értéke azon A felület függvényében

határozható meg, amelyre a szélnyomás (szélszívás) nagyságát meg akarjuk határozni. Az összefüggés a következő:

cpe = cpe,1 ha A ≤ 1 m2 cpe = cpe,1 + (cpe,10 - cpe,1)⋅log10A ha 1 m2 < A < 10 m2 cpe = cpe,10 ha 10 m2 ≤ A ahol cpe,1 illetve cpe,10 az A = 1 m2 illetve A = 10 m2 terhelt felülethez tartozó cpe értékek (a tervezési feladatban megadott épület méretek esetén a cpe,10 értéket alkalmazhatjuk). A külső nyomási tényező értékeit tervezési feladatban előforduló esetekre a következőkben foglaltuk össze.

külön vizsgálandó

0 1 2 3 4 5 ce(z) 2

5

10

20

50

100

200

z [m]

I II III IV


8

A külső nyomási tényező értékei az épület függőleges oldalfalára ható szélteher esetén:

Zónák D E B/H

cpe,10 cpe,1 cpe,10 cpe,1

≤≤≤≤ 1 +0,8 +1,0 -0,3 ≥≥≥≥ 4 +0,6 +1,0 -0,3

A B/H arány közbenső értékeinél lineáris interpoláció alkalmazandó. A szélteherre vonatkozó kombinációs tényező: 6,00 =ψ .

B = a + 2⋅l

D E Szél

Felülnézet

n⋅ b


6. Gyakorlat


10

2. Közelítő méretfelvétel

2.1 A G1 gerenda igénybevételei

2.1.1 Igénybevételek a függőleges terhekből

A mértékadó teher tervezési értéke egy közbenső szinten: pd = b⋅(γG⋅gk + γQ⋅q) + γG⋅gger A mértékadó teherből származó maximális nyomaték értéke a G1 gerendán közelítőleg az alábbi módon számítható:

5,10

2)(

,

lpM dfg ≈−

2.1.2 Igénybevételek a vízszintes teherből

Feltételezzük, hogy a gerendák merevebbek mint az oszlopok. A szélteher hatására kialakuló oszlop eltolódási ábra:

Az épületre h1 + h2/2 magasságban ható szélteher összesen: P1 = 2,5⋅h2⋅b⋅wd

A h1/2 magasságban ható szélteher összesen: P0 = (3⋅h2 + 0,5⋅h1)⋅b⋅wd

A P0 és P1 helyettesítő vízszintes terhekből származó igénybevételek az oszlopon, figyelembe véve, hogy az oszlopok merevsége egyforma, valamint az oszlop inflexiós pontjaiban a nyomaték értéke nulla:

2421

1

hPM ⋅±=

2410

2

hPM ⋅±=

A szélteherből származó nyomaték a G1 gerendán a belső támasz fölött közelítően:

)(,−vgM ≈ M1 + M2 (Valójában )(

v,gM − <M1+M2, pontos értéke függ a csatlakozó oszlopok és gerendák

merevségétől. Például l=a, h1=h2, Iger=const. és Ioszl=const. esetén )(v,gM − =(M1+M2)/2)

3⋅h 2

G1

b⋅w

d

h 1

P1

P0

inflexió

pd

a l l

)(,−

fgM

M1

P0

P1

h 1 /

2

M2 h 2 /

2

G1

)(,−vgM

M b⋅w

d


11

2.2 A G1 gerenda keresztmetszeti méreteinek ellenőrzése A felvett gerenda méreteket a közbenső támasznál ellenőrizzük. A keresztmetszetre ható mértékadó nyomatékot a vízszintes és függőleges terhekből származó közelítő nyomatéki értékek összegzésével kapjuk:

)(v,g

)(f,gEd MMM −− +=

A gerenda keresztmetszet határnyomatéka:

⋅ξ−⋅α⋅⋅ξ⋅=

2

ddfdbM c

cdccgRd

ahol yd

ccf+

=ξ=ξ700

5600 értékre vehető fel.

A felvett keresztmetszeti méretek megfelelők, ha MEd ≤ MRd Amennyiben a mértékadó igénybevétel 20-30%-kal meghaladja a keresztmetszet teherbírását, nem szükséges módosítani a keresztmetszeti méreteken, a szükséges többletteherbírást nyomott vasalás alkalmazásával biztosítható. Egyéb esetben a keresztmetszeti méreteken szükség szerint változtatni kell.

2.3 Az O1 oszlop igénybevételei és méretfelvétele Az oszlop keresztmetszeti méretét fokozatos közelítéssel határozhatjuk meg. Első közelítésként az O1 oszlop keresztmetszet magasságát a G1 gerenda szélességével vehetjük egyenlőnek: hoszl = bger. Az oszlop keresztmetszet szélessége közelítően boszl = 1,0 ÷1,5⋅hoszl értékre vehető fel. Az oszlop közelítő számítása során csak a függőleges terhelésből származó normálerővel számolunk, az oszlopban ébredő nyomatékok hatását majd a részletes számítás során a vasalás meghatározásánál vesszük figyelembe. Az oszlop önsúlyának alapértéke: goszl = boszl⋅hoszl⋅ρrc Az épület magassága mentén felfelé haladva - a terhelés csökkenése miatt - erőtani szempontból egyre kisebb oszlopkeresztmetszetre van szükség. Az oszlop hosszirányú vasbetétei általában két emelet hosszúak, ezért kivitelezési okokból az oszlop keresztmetsze legalább két egymás feletti szinten azonos. Ezen oknál fogva megtehetjük például azt, hogy a "2" szint fölött kisebb oszlop keresztmetszetet alkalmazunk mint az alsóbb szinteken. Ebben az esetben két helyen kell vizsgálni az oszlop teherbírását.

bg

h g

d

v lem

a/2

l/2

b/2 b/2

O1


12

A függőleges terhelésből származó normálerő értéke a "0" és "2" szinteken:

( ) ( )[ ] ( ) oszlGgerGhóQkfkGEd ghhgal

bpqggbal

N ⋅γ⋅⋅++⋅γ⋅

++⋅++⋅⋅γ++⋅⋅γ⋅

+= 21

0 32

4332

( ) ( )[ ] oszlGgerGhóQkfkGEd ghgal

bpqggbal

N ⋅γ⋅⋅+⋅γ⋅

++⋅++⋅γ++⋅γ⋅

+= 2

2 22

22

A szükséges oszlop keresztmetszeti terület a vasalás elhanyagolásával, tisztán beton keresztmetszet feltételezésével számítható:

cdc

iEd

icf

NA

⋅α=,

A felvett oszlop keresztmetszet megfelel, ha nagyobb mint a szükséges keresztmetszeti terület:

oszloszlalkicic hbAA ⋅=≤ ,,,

Amennyiben a felvett keresztmetszet nem felel meg, növelni kell az oszlop méreteit, és az ellenőrzést az oszlop önsúlyának számításával újra kell kezdeni. A méretfelvételnél ügyelni kell arra, hogy a szerkesztési szabályoknak megfelelően az oszlop legkisebb mérete legalább 200 mm legyen, a nagyobbik mérete legfeljebb a kisebb méret négyszerese lehet.


7. Gyakorlat


14

3. Pontos számítás

3.1 Igénybevételek A pontos számítás során az igénybevételeket számítógépes program segítségével határozzuk meg.

3.1.1 Statikai váz, hálózati adatok

A számítógépes számítás előké-szítéseképpen szükség van az alábbiakra: - csomóponti koordináták - oszlopok és gerendák kereszt-

metszeti méretei vagy jellemzői (km.-i terület, inercia) melyek a vasalás elhanyagolásával szá-míthatók

- rugalmassági modulus (Ec,eff)

y

z

a l l

h 1

h 2

h 2

h 2

16

17

18

19

20

11

12

13

14

25

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5


15

3.2 Terhek A födémlemezekről a G1 gerendára adódó terheket figyelembe vehetjük pontosan, vagy közelítő módon. Pontos számítás esetén a födémlemezről a G1 gerendára átadódó terheket az ábrán látható trapéz alakú terhelésként vehetjük figyelembe. Ebben az esetben a lemezről az x irányban futó G2 gerendákra adódó terhelést valamint a G2 gerenda önsúlyát koncentrált erőként (a G2 gerenda reakcióereje) kell az oszlopokra helyezni. Figyelembe kell venni továbbá a G1 gerenda gger önsúlyát. Közelítően számolhatunk úgy is, hogy a födémlemezek terhét teljes egészében a G1 gerendára redukáljuk kéttámaszú átvitellel (a továbbiakban ilyen módon számolunk). Ekkor a gerenda terhelése az ábrán látható módon néz ki. Az esetleges terhekkel a keret egyes gerendáit parciálisan terheljük le a terhelési eseteknek megfelelően, melyekről az alábbiakban lesz szó.

3.3 Terhelési esetek TE1: Totális terhelés a közbenső és záró födémlemezek önsúlyával és állandó terheivel (b⋅gk, b⋅gkf). Amennyiben a futtatáshoz használt végeselemes program nem számítja automatikusan a gerendák és oszlopok önsúlyát (gger, goszl), ezeket megoszló teherként ennél a terhelési esetnél kell megadni. Pontosabb számítás esetén az x irányban futó G2 gerendák lemezből kilógó részének súlya is figyelembe vehető a csomópontokban (kivéve 1, 6, 11, 16 csomópontok) ható koncentrált erőként.

FG2 – a hosszirányú G2 gerendák reakcióereje

l

b b

45°

l a

G1

G2

G1 önsúly esetén: gk vagy gkf esetleges tehernél: q

FG2 FG2 FG2

b⋅gk

b⋅gkf

G1

gk⋅b (zárófödémnél gkf ⋅b)

q⋅b

gger

l l a


16

TE2: Parciális terhelés a födémlemez hasznos terhével (b⋅q) az ábrán látható módon. Ez a leterhelés mértékadó a G1 gerenda pozitív nyomatéka ),( )(

,+

kEdM valamint az O1 oszlop "0"

szinten ébredő nyomatéka )( ,mEdM szempontjából.

TE3: Parciális terhelés a födémlemez hasznos terhével (b⋅q) az ábrán látható módon. Ez a leterhelés mértékadó a G1 gerenda negatív nyomatéka ),( )(

,−

lEdM valamint nyíróereje ),( ,lEdV

szempontjából. TE4: Parciális terhelés a födémlemez hasznos terhével (b⋅q) az ábrán látható módon. Ez a leterhelés mértékadó az O1 oszlop "2" szinten ébredő nyomatéka )( ,nEdM szempontjából.

k

m

b⋅q

G1 gerenda "k" keresztmetszetre vonatkozó nyomatéki hatásábrája

O1 oszlop "m" keresztmetszetre vonatkozó nyomatéki hatásábrája

l

l

G1 gerenda "l" keresztmetszetre vonatkozó nyomatéki hatásábrája

G1 gerenda "l" keresztmetszetre vonatkozó nyíróerő hatásábrája

b⋅q

n

b⋅q

O1 oszlop "n" keresztmetszetre vonatkozó nyomatéki hatásábrája


17

TE5: Parciális terhelés a födémlemez hasznos terhével (b⋅q) az ábrán látható módon. Ez a leterhelés mértékadó az az O1 oszlopban ébredő normálerő ),( ,, nEdmEd NN szempontjából.

TE6: Totális terhelés a hóteherrel a zárófödémen. TE7: Terhelés a szélteherrel. A közelítő számításban (1.3.2 pont) meghatározott szélteher értékét szélnyomásra és szélszívásra bontva megoszló teherként helyezhetjük a szerkezetre.

2szélp

1szélp

1szélp = b⋅qref ⋅ce(ze)⋅ D

,pec 10

2szélp = b⋅qref ⋅ce(ze)⋅ E

,pec 10

ahol D

,pec 10 és E

,pec 10 a D és E esethez

tartozó külső nyomási tényezők az 1.3.2. fejezet alapján.

m

b⋅q

O1 oszlop "m" keresztmetszetre vonatkozó normálerő hatásábrája

n

b⋅sd


18

3.4 Mértékadó igénybevételek A mértékadó igénybevételeket az egyes terhelési esetek kombinálásával állíthatjuk elő.

3.4.1 Nyomatékok

A G1 gerenda maximális pozitív nyomatéka a "k" keresztmetszetben várhatóan az alábbi teherkombinációból adódik:

( ) ( ) ( )72 0)(, TEMTEMTE1MM kQkQkGkEd ⋅ψ⋅γ+⋅γ+⋅γ=+

ahol Mk(TEi) az i-dik terhelési esetből keletkező nyomaték értéke a "k" keresztmetszetben. A

0ψ kombinációs tényező értéke lakások, lakóépületek, irodák, gyülekezésre szolgáló terültek és

üzletek hasznos terhe esetén 7,00 =ψ , hóteherre és szélteherre vonatkozóan pedig 6,00 =ψ .

A G1 gerenda maximális negatív nyomatéka az "l" keresztmetszetben várhatóan az alábbi teherkombinációból adódik:

( ) ( ) ( ) ( )763 00)(, TEMTEMTEMTE1MM lQlQlQlGlEd ⋅ψ⋅γ+⋅ψ⋅γ+⋅γ+⋅γ=+

Az O1 oszlopban ébredő maximális nyomaték számításakor nem lehet előre szemléletből eldönteni, hogy a hasznos födémterhet vagy a szélterhet kell-e kiemelt teherként kezelni. Az "m" keresztmetszetben ébredő maximális oszlopnyomaték így az alábbi kifejezésből adódik:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

⋅ψ⋅γ+⋅γ±⋅γ

⋅ψ⋅γ±⋅γ+⋅γ=

27

72max

0

0

, TEMTEMTE1M

TEMTEMTE1MM

mQmQmG

mQmQmG

mEd

A szélteherből származó nyomaték előjele pozitív és negatív is lehet attól függően, hogy melyik irányból fúj a szél. Az "n" keresztmetszetben ébredő maximális oszlopnyomaték az előzőekhez hasonlóan számítható:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

⋅ψ⋅γ+⋅γ±⋅γ

⋅ψ⋅γ±⋅γ+⋅γ=

47

74max

0

0

, TEMTEMTE1M

TEMTEMTE1MM

nQnQnG

nQnQnG

nEd

3.4.2 Normálerők az oszlopon

Az O1 oszlop "n" és "m" keresztmetszeteiben ébredő maximális normálerő az alábbi kombinációból adódik:

( ) ( ) ( ) ( )765 00, TENTENTENTE1NN nQnQnQnGnEd ⋅ψ⋅γ±⋅ψ⋅γ+⋅γ+⋅γ=

és

( ) ( ) ( ) ( )765 00, TENTENTENTE1NN mQmQmQmGmEd ⋅ψ⋅γ±⋅ψ⋅γ+⋅γ+⋅γ=


19

3.4.3 Nyíróerő a gerendán

A maximális nyíróerő értéke a G1 gerenda "l" keresztmetszetében a következő teherkombinációból számítható:

( ) ( ) ( ) ( )763 00, TEVTEVTEVTE1VV lQlQlQlGlEd ⋅ψ⋅γ+⋅ψ⋅γ+⋅γ+⋅γ=

3.4.4 Egyidejű igénybevételek

A fentiekben felsorolt maximális igénybevételek mellett az oszlop méretezése során szükség lesz még a következő egyidejű igénybevételek értékeire:

egyidejűmEdM , - az mEdN , maximális normálerővel egyidejű nyomaték,

egyidejűmEdN , - az mEdM , maximális nyomatékkal egyidejű normálerő,

egyidejűnEdM , - az nEdN , normálerővel egyidejű nyomaték,

egyidejűnEdN , - az nEdM , nyomatékkal egyidejű normálerő.


8. Gyakorlat


21

3.5 A gerenda méretezése

3.5.1 Méretezés hajlításra

A G1 gerenda vasalását mezőközépen ("k" keresztmetszet), valamint a közbenső támasznál ("l" keresztmetszet) határozzuk meg. A támasznál a gerenda négyszög keresztmetszetűnek tekinthető, mezőközépen pedig fejlemezes gerendaként számítandó. Az együttdolgozó lemezszélesség a gerinc és az öv méreteitől, a terhelés típusától, a fesztávtól, a megtámasztási viszonyoktól és a keresztező vasalástól függ. Az igénybevételek meghatározásánál, ha nincs szükség nagy pontosságra (pl. épületek többtámaszú folytatólagos gerendái), a teljes fesztáv hosszán azonos együttdolgozó szélesség tételezhető fel. Szimmetrikus gerenda együttdolgozó szélessége:

blbb geff <⋅+= 05

1

Szélső gerenda esetén:

1010

1blbb geff <⋅+=

Az együttdolgozó lemezszélesség képletében l0 a nyomatéki nullpontok távolsága, melynek értéke adott l elméleti fesztávolságú gerendára (pozitív nyomatékra) közelítően:

l0 = 2⋅l konzolos gerenda esetén, l0 = 0,75⋅l két végén befogott gerenda esetén (a feladatban ez alkalmazható), l0 = 0,85⋅l egyik végén befogott, másik végén csuklós gerenda esetén.

A pozitív nyomatéki vasalás tervezésekor a nyomott zóna xc magassága a nyomatéki egyensúlyi egyenletből számítható. Feltéve, hogy a nyomott zóna a fejlemezben marad, és nincs szükség nyomott vasalásra:

)(,2

+=

−⋅α⋅⋅ kEd

ccdcceff M

xdfxb

A keresztmetszet hasznos magassága közelítően d ≈ hg - 50 mm-re vehető fel (20 mm-es betonfedést, ∅10-es kengyelt, ∅20-as hosszvasalást és 10 mm-es kedvezőtlen vaselmozdulást figyelembe véve).

Amennyiben teljesül a 0cc

cd

xξ≤=ξ feltétel, a húzott acélbetétek képlékenyen viselkednek,

nyomott vasalásra nincs szükség. A szükséges húzott acélbetét mennyiség ekkor a vetületi egyensúlyi egyenletből számítható:

As

bg

h g d

v lem

beff

Asc

d'

beff

bg

b

hg

vlem

b1 b1 b1 b1


22

yd

cdcceffszükss

f

fxbA

⋅α⋅⋅=,

Abban az esetben, ha 0cc ξ>ξ , a húzott acélok rugalmasak maradnak, így szükség van nyomott

vasalás alkalmazására. A maximális nyomaték, amelyet a keresztmetszet nyomott vasalás nélkül el tud viselni úgy, hogy a húzott acélbetétek folyási állapotba kerüljenek:

ξ−ξ⋅⋅⋅⋅α=

21 0

02

0c

ceffcdc dbfM

Az M0 és )(

,+

kEdM nyomatékok közötti különbség felvételéhez szükséges nyomott vasalás

mennyiség:

df

MMA

yd

kEdszükssc ′⋅

−=

+0

)(,

,

A szükséges húzott acélbetét mennyiség ekkor:

yd

cdcceffszüksscszükss

f

fdbAA

⋅α⋅ξ⋅⋅+= 0

,,

Abban az esetben, ha a nyomott zóna magassága nagyobb a lemez vastagságánál, a vasalás számításához használt összefüggések értelemszerűen módosítandók. A G1 gerenda támasz fölötti negatív hosszvasalása a pozitív nyomatéki méretezéshez hasonlóan számítható az )(

,−

lEdM nyomatékra.

A gerenda vasalásának kialakításakor figyelemmel kell lenni a szerkesztési szabályokra, melyek közül a legfontosabbakat az alábbiakban soroltuk fel: - a keresztmetszet minden sarkába hosszanti acélbetétet kell tenni, - a hosszvasakat kengyelekkel kell összefogni, - a húzott vasalás minimális mennyisége:

⋅⋅

⋅⋅=

db

fdbA

t

ykts 0015,0

/6,0maxmin, ahol bt a húzott betonöv átlagos szélessége,

- a keresztmetszet maximális vasalásának mennyisége (nyomott és húzott vasalás összesen): As,max = 0,04⋅Ac ahol Ac a betonkeresztmetszet területe,

- a hosszvasak közötti minimális távolság 20 mm, illetve az acélbetét átmérője közül a nagyobb érték (ez nagy szemcséjű adalék esetén tovább növelendő),

- a fő acélbetétek átmérője legalább 8 mm, a szerelő acélbetéteké legalább 6 mm legyen, - több sorban elhelyezett acélok esetén az acélok egymás fölé kell hogy kerüljenek, - a betonfedés minimális értéke (előregyártott gerendán, amely zárt helyiségben van) 15 mm,

illetve az acélbetét átmérője közül a nagyobb (ez agresszív közeg, kophatásnak kitett felület, monolit szerkezet stb. esetén növelendő),


23

- olyan támaszok fölött, amelyek csuklósak vagy csak kismértékű befogást biztosítanak, a mezővasalásnak legalább az 1/4-ét végig kell vezetni.

3.5.2 Méretezés nyírásra

Az EC2 szerint a vasbeton gerendák nyírási teherbírásának ellenőrzése a tervezett nyírási teherbírás három értékén alapul az alábbiak szerint: a.) A méretezett nyírási vasalás nélküli keresztmetszet nyírási teherbírása (hajlítási repedések

jelenléte esetén):

( ) dbfkV gckl

c

cRd ⋅⋅

⋅ρ⋅⋅⋅

γ=

31, 100

18,0 ≥ dbfk gck ⋅⋅⋅⋅ 2132035,0

a fenti összefüggésben:

fck [N/mm2]-ben értendő,

0,2200

1 ≤+=d

k - ahol d [mm]-ben értendő,

( ) 02,0/ ≤⋅=ρ dbA wsll - a húzott hosszvasalásra vonatkozó vashányad,

Asl - a vizsgált keresztmetszetben megfelelően lehorgonyzott (húzott) hosszvasalás keresztmetszeti területe,

Amennyiben VRd,c ≥ min(VEd,l,

redlEdV , ), abban az esetben elegendő a gerendába a szerkesztési

szabályok szerinti minimális vasmennyiséget elhelyezni. Ellenkező esetben szükség van méretezett nyírási vasalásra, melyet a c.) pont szerint számíthatunk. b.) A nyomott beton tönkremenetele nélkül felvehető maximális nyíróerő értéke:

θ+

α+θ⋅⋅⋅⋅⋅να=

2max, cot1

cotcot9,0 dbfV gcdcwRd ≥ VEd,l

ahol a hatékonysági tényező:

−⋅=ν

25016,0 ckf

,

αcw = 1,0 feszítés nélküli szerkezet esetén, α − a nyírási vasalás síkjának a tartó hossztengelyével bezárt szöge (a tartó tengelyére

merőleges kengyel esetén α = 90°, felhajlított acél esetén α = 45°), θ − a ferde nyomott betonrudak és tartó hossztengelye által bezárt szög, értéke monolit,

nem feszített, hajlított tartók esetén: 1,0 ≤ cot θ ≤ 1,3. Általában, pontosabb számítás mellőzése esetén cot θ = 1,3 érték alkalmazható.

Amennyiben a gerenda erre a vizsgálatra nem felelne meg, módosítani kell a beton keresztmetszet méretein! c.) A nyírási vasalással rendelkező keresztmetszet által felvehető nyíróerő:

=RdV ( ) α⋅α+θ⋅⋅⋅⋅ sincotcot9,0 dfs

Aywd

sw ≥ min(VEd,l, red

lEdV , )


24

a fenti összefüggésben:

Asw - a nyírási vasalás keresztmetszeti területe, s - a nyírási vasak egymástól való távolsága, fywd - a nyírási vasalás számítási szilárdsága,

redlSdV , - a redukált nyíróerő.

A szükséges nyírási vasalás a fenti egyenlőtlenségből határozható meg, oly módon, hogy az egyenlőtlenségben szereplő két ismeretlen (Asw, s) közül az egyiket szabadon felvesszük (természetesen a szerkesztési szabályok betartása mellett). A nyírási vasalás mennyisége nem lehet kisebb a nyírási vasalás minimális értékénél. Gerendákban felhajlított vasak csak kengyelekkel együtt szerepelhetnek nyírási vasalásként. Felhajlított vasak alkalmazása esetén a VEd,l mértékadó nyíróerő legalább 50%-át kengyelekkel kell felvenni. A nyírási vasalás kialakítására vonatkozó fontosabb szerkesztési szabályok:

- A nyírási vasalás vashányada: min,w

g

sww

sb

Aρ≥

⋅=ρ ahol Asw a nyírási vasalás keresztmetszeti

területe az s hosszon belül, s a nyírási vasak egymástól való távolsága. A ρw,min minimális nyírási vashányad az alábbi összefüggésből számítható:

yk

ckw

f

f⋅=ρ

08,0min,

- A nyírási vashányad nem haladhatja meg a szabvány szerinti maximális értéket (α = 90º):

yd

cdcww

f

f⋅α⋅ν⋅=ρ≤ρ

2

1max,

- A nyírási acélbetétek maximális távolsága: s ≤ smax = 0,75·d

- A nyírási vasalást megfelelőképpen le kell horgonyozni.


9. Gyakorlat


26

3.6 Az oszlop méretezése

3.6.1 Elsőrendű igénybevételek

A számítógépes futtatás eredményei közül az alábbi elsőrendű igénybevételek értékeire lesz szükség az oszlop vizsgálata során: "0" szinten: mEdN , ; egyidejű

mEdM ,

mEdM , ; egyidejűmEdN ,

"2" szinten: nEdN , ; egyidejű

nEdM ,

nEdM , ; egyidejűnEdN ,

Az vizsgált szinteken a felvett oszlopkeresztmetszetet mindkét igénybevétel-párra ellenőrizni kell, mivel többnyire nem dönthető el előre, hogy melyik kombináció lesz a mértékadó.

3.6.2 Kihajlási hosszak meghatározása

Egy vasbeton oszlop kihajlási hossza az alábbi formában számítható: l0 = β⋅loszl ahol loszl a vizsgált oszlop tengelyének hossza (hálózati hossz), a β tényező értéke pedig a következőképpen adódik:

kilengő keret-oszlop esetén: β( )

⋅+

+⋅+=

min3,00,2

15,00,1min

k

kk ba

nem kilengő keret-oszlop esetén: β

( )

⋅+

+⋅+

=

1

05,085,0

05,07,0

min mink

kk ba


27

A fenti kifejezések az EC2 korábbi változatában megadott nomogrammok helyett alkalmazandók. A feladatban vizsgált keret az x-y síkban kilengőnek, az x-z síkban pedig nem kilengőnek tekinthető. A fenti képletekben ka és kb az oszlop két végéhez csatlakozó gerendák merevségétől függő tényezők, kmin a két érték közül a kisebbiket jelenti.

∑

∑⋅α⋅

⋅

=

g

gc

oszl

oszlc

ba

l

IE

l

IE

kk )vagy(

ahol: Ec - a beton rugalmassági modulusa, Ioszl - a csomópontba csatlakozó oszlopok inercia-

nyomatéka, loszl - a csomópontba csatlakozó oszlopok hálózati

hossza, Ig - a csomópontba csatlakozó gerendák inercia-nyomatéka, lg - a csomópontba csatlakozó gerendák hálózati hossza, α - a gerendák túlsó végének befogási viszonyait figyelembe vevő tényező, melynek értéke: α = 1 ha a gerenda túlsó vége befogott (a feladatban ez az érték alkalmazható), α = 0,5 ha a gerenda túlsó vége csuklós, α = 0 ha a gerenda túlsó vége nincs megtámasztva (konzol). Ha az oszlop egyik vége csuklós, akkor azon az oldalon k = ∞ érték veendő fel. Ha az oszlop egyik vége befogott (jelen példában az oszlopvégek a "0" szinten), akkor ott k = 0 értékkel kell számolni. A feladatban meghatározandó a "0" és a "2" szint feletti oszlopok kihajlási hossza az x-z valamint y-z síkban. Az x irányban futó G2 gerendák inercianyomatékára Ig,x ≥ Ig,y értékre feltételezendő, ahol Ig,y = Ig a G1 gerenda inercianyomatéka. A további számításokhoz szükség van az oszlop karcsúság meghatározására:

oszlc

oszl

A

I

l

,

0=λ

ahol Ioszl és Ac,oszl a vizsgált oszlop inercianyomatéka és keresztmetszeti területe (rugalmas-repedésmentes keresztmetszet feltételezésével és a vasalás elhanyagolásával számítva). A vizsgált oszlopot zömöknek tekinthetjük, és méretezésekor a másodrendű hatásoktól eltekinthetünk, ha a karcsúsága (a feladatban az y-z síkban vett karcsúság):

⋅

<λ

25

5,1min,

Sd

cdoszlc

N

fA

a

b

a l

Ig

h 1

3⋅h 2

0

1

2

3

4

Ig

Ig Ig Ioszl,2

Ioszl,2

Ioszl,0


28

Amennyiben az oszlop zömök, a vizsgált síkban a keret nem kilengő és az oszlop karcsúsága kisebb, mint a kritikus karcsúság értéke, az oszlopot a mértékadó NEd normálerőre és a vele egyidejű egyidejű

EdM nyomatékra ( egyidejűEdM nem lehet kisebb mint NEd⋅hoszl/20) kell méretezni. A

kritikus karcsúság értéke:

−=λ

2

1225o

okrit

e

e

ahol eo1 és eo2 a normálerő külpontossága az oszlop két végén (|eo1| ≤ |eo2|). A karcsú oszlopokat, feltéve, hogy a karcsúság 140≤λ , az NEd; MEd = NEd⋅etot igénybevételekre kell méretezni, ahol etot az oszlop közbenső keresztmetszetében számított külpontosság.

3.6.3 Külpontosság-növekmények meghatározása

Az oszlop közbenső keresztmetszetében számított külpontosság: etot = eo + ea + e2 A fenti összefüggésben eo az elsőrendű igénybevételekből származó külpontosság:

eo =

⋅

⋅+⋅

2

12

4,0

4,06,0max

o

oo

e

ee

ahol eo1 és eo2 a normálerő külpontossága az oszlop két végén (|eo1| ≤ |eo2|).

ea az építési pontatlanságból keletkező külpontosság:

ea = 20lν

ahol 0l az oszlop kihajlási hossza, ν az épület ferdesége:

⋅=ν

200

1100

1

max oszll


29

e2 a másodrendű külpontosság:

e2 = κ⋅10

20

1

lk

ahol: 0l az oszlop kihajlási hossza,

>λ

≤λ≤−λ

=35ha1

3515ha75,0201k

d

E

fk

s

yd

⋅

⋅

=κ9,0

2 2

az adott NEd és MEd = NEd⋅etot igénybevételekkel terhelt vasbeton

keresztmetszet görbülete,

oszlccdsydoszlccdc

Edsydoszlccdc

AfAfAf

NAfAfk

,,

,2 4,0 ⋅⋅−⋅+⋅⋅α

−⋅+⋅⋅α≈ ≤ 1.

3.6.4 Az oszlop keresztmetszet ellenőrzése

A vizsgált oszlopon meg kell határozni a teljes külpontosság értékét az x-z valamint y-z síkban, és az oszlop keresztmetszetet ferde külpontos nyomásra kell ellenőrizni a számított etot,x és etot,y külpontosság párra. Adott feladatban az oszlop x irányú elsőrendű külpontossága nullára adódik, mivel ebben az irányban az épület merevítőfalakkal merevített, az építési pontatlanságból származó, valamint másodrendű külpontosságok azonban itt is fellépnek. Az oszlop keresztmetszetek ellenőrzése végezhető a közelítő térbeli teherbírási felület segítségével. A következő oldalon látható teherbírási vonal felhasználásával meghatározhatjuk a mértékadó NEd normálerőhöz tartozó x és y irányú nyomatéki teherbírás értékeket (MRd,x és MRd,y). A keresztmetszet teherbírása megfelelő, ha:

1,

,

,

, ≤

+

a

yRd

yEd

a

xRd

xEd

M

M

M

M

ahol MEd,x = NEd⋅ etot,x és MEd,y = NEd⋅ etot,y,

Az „a” kitevő értéke az NEd/NRd hányados függvényében az alábbi táblázat alapján határozható meg (az egyes értékek között interpolálni kell):

NEd/NRd 0,1 0,7 1,0 a 1,0 1,5 2,0

ahol NEd a mértékadó normálerő, NRd = Ac,oszl ·fcd + ΣAs·fyd pedig a keresztmetszet központos normálerő teherbírása.

a = 1,0 a = 1,5

a = 2,0

My

Mx


30

Az oszlop keresztmetszetek méretezése az alábbi teherbírási vonalak felhasználásával történhet:

Szimmetrikus vasalású négyszög keresztmetszet teherbírási vonala

Az oszlop hosszvasalásának kialakításakor tekintettel kell lenni a szerkesztési szabályokra, melyek közül a legfontosabbak: - oszlopok legkisebb mérete legalább 200 mm, a nagyobbik mérete legfeljebb a kisebb méret

négyszerese lehet, - oszlopok keresztmetszetének minden sarkába hosszanti acélbetétet kell tenni, - az acélbetétek átmérője legalább 12 mm legyen, egymástól mért legkisebb és legnagyobb

távolságukra vonatkozóan a gerendákra megadott értékek érvényesek, - a fő acélbetétek minimális mennyisége:

⋅

⋅=

c

ydSds A

fNA

003,0

/15,0maxmin, ahol Ac a betonkeresztmetszet területe,

- a vasalás keresztmetszeti területe az átfogásos toldás helyén sem haladhatja meg a betonkeresztmetszet területének 8%-át.

Oszlopok nyírási vasalásának kialakítására alkalmazhatók a gerendára vonatkozó szerkesztési szabályok az alábbi kiegészítésekkel: - A kengyelek minimális átmérője 6mm, vagy a fővasalás átmérőjének negyede közül a

nagyobbik érték legyen, - A kengyelek egymástól mért távolsága nem lehet nagyobb, mint:

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

2,20

2,40

0,000

0,150

0,30

0,45

µ = 0,60

cdc fdb

N

⋅α⋅⋅

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70

cdc fdb

M

⋅α⋅⋅ 2

cdc

yds

cdc

yds

fdb

fA

fdb

fA

⋅α⋅⋅

′⋅′=µ′=

⋅α⋅⋅

⋅=µ

A's

As

h d d'

b


31

∅⋅

=

mm 300

mérete legkisebb oszlop

12

minmins ahol ∅ a legkisebb hosszbetét átmérője

A fenti távolságokat 0,6-tal meg kell szorozni: - átfedéses toldás esetén, ha a hosszacélbetét átmérője legalább 14 mm, - ahol az oszlophoz gerenda vagy lemez csatlakozik, az oszlop legnagyobb keresztmetszeti

méretének megfelelő hosszon.


10. Gyakorlat

A rugalmassági modulus tervezési értéke: Ecd

Ecm

γc= Ecd 23.48

kN

mm2

=

A beton határösszenyomódása: εcu 3.5‰=

Betonacél: S500B

A rugalmassági modulus értéke: Es 200kN

mm2

=

A folyáshatár karakterisztikus értéke: fyk 500N

mm2

= γs 1.15=

A folyáshatár tervezési értéke: fyd

fyk

γs= fyd 434.8

N

mm2

=

A rugalmas nyúlás határa: εsy

fyd

Es= εsy 2.17 ‰=

A határnyúlás karakterisztikus értéke: εsu 50‰= ("B" duktilitási osztály)

1. Adatok

1.1. Anyagok

Feszített vasbeton szerkezeteknél a nyomott zóna - a szerkezetbe vitt nyomóerőnek köszön- hetően - nagyobb mértékben van kihasználva mint a nem feszített vasbeton tartók esetén, ez általában nagyobb szilárdsági osztályú betonok alkalmazását teszi szükségessé. Az előfeszített tartóknál alkalmazott legalacsonyabb szilárdsági osztály C30/37.

Beton: C40/50

A nyomószilárdság karakterisztikus értéke: fck 40N

mm2

= γc 1.5=

A kedvezőtlen terhelési hatásokat figyelembe vevő tényező: α 1=

A nyomószilárdság tervezési értéke: fcd αfck

γc= fcd 26.67

N

mm2

=

A húzószilárdság várható értéke: fctm 0.3 fck

2

3⋅= fctm 3.51=

N

mm2

A rugalmassági modulus várható értéke: Ecm 22fck 8+

10

0.3

⋅= Ecm 35.22=kN

mm2

- 3 -

εpy 6.69 ‰=εpy

fpd

Ep=A rugalmas nyúlás határa:

Ap100 100mm2

=1 db pászma névleges keresztmetszeti területe:

φp 12.9mm=A feszítőpászma névleges külső átmérője:

fpd 1304N

mm2

=fpd

fp0.1k

γs=A szakítószilárdság tervezési értéke:

fp0.1k 1500N

mm2

=Az 1 ‰-os egyezményes folyáshatárhoz tartozó feszültség:

Ep 195kN

mm2

=

A feszítőbetétek rugalmassági modulusának tervezési értéke 185 és 205 N/mm2 között változik, pontosabb adat hiányában feszítőhuzalok és melegen hengerelt, nyújtott és megeresztett feszítőrudak esetén Ep = 205 kN/mm2, feszítőpászma esetén Ep = 195 kN/mm2 érték alkalmazható. A feladatban feszítőpászmákat alkalmazunk, tehát a rugalmassági modulus:

εpu

fpk

σp

εp 1‰

fp0,1k

Rugalmas-képlékeny modell

σp

εp

fp0,1k

Ep

fp0,1k/γs

σ p

εp εpu

Ep

Rugalmas-felkeményedő modell

fp0,1k fp0,1k/γs

fpk fpk/γs

A feszítőbetétek olyan különleges betonacélok, melyekkel a feszített vasbeton tartókban a feszítőbetét előrenyújtása révén nyomási sajátfeszültségi állapotot hozunk létre. A hagyományos acélbetétekhez képest a feszítőbetétek szilárdsága jóval nagyobb, továbbá nem rendelkeznek határozott folyáshatárral. A feszítőbetétek tényleges és idealizált σ-ε diagramjait az alábbi ábrák szemléltetik:

A pászma jelölésében:

100 - 1 db pászma keresztmetszeti területe [mm2]

1770 - a pászma szakítószilárdságának karakterisztikus értéke [N/mm2]R2 - a relaxációs osztály (R2 = stabilizált, feszültség alatt megeresztett acél)

Feszítőpászma: Fp-100/1770-R2

- 4 -

leff 12 m=

leff ln 2 minv

2

h

2,

−=

Fesztávolság számítása:

v 30cm=Feltámaszkodás:

ln 12.3m=A tartóhossz:

v

ln

leff

v

h

1.3. Statikai váz

bw 140mm=Gerinc vastagság:

t 160mm=Fejlemez vastagság:

h 800mm=Tartó magassága:

b 400mm=Fejlemez szélesség:

t h

bw

b

Előregyártott gerendák esetén a keresztmetszeti méretek nem vehetők fel tetszőlegesen, hanem igazodni kell a gyártó által megadott, járatos (illetve gyártott) méretekhez (lásd feladatkiírás).

1.2. Keresztmetszeti adatok

εpu 40‰=

A feszítőpászmák határnyúlását az Eurocode rugalmas-képlékeny anyagmodell alkalmazásaesetén nem korlátozza, azonban a Magyarországon gyártott feszítőpászmák tulajdonságaitfigyelembe véve εpu = 40 ‰-es korlát alkalmazása javasolt. A rugalmas-felkeményedő

anyagmodell alkalmazása esetén a feszítőpászmák határnyúlása εpu = 0,9•εpuk = 22,5 ‰

értékre veendő fel. A feladatban a rugalmas-képlékeny anyagmodellt fogjuk alkalmazni, így ahatárnyúlás:

- 5 -

P

∆l / 2 ∆l / 2

P

gyártópad

Az előfeszített tartó terhei az időben változnak. A feszített gerenda igénybevételeit jelentősen befolyásolja tartó gyártástechnológiája. Az előfeszített tartókat rendszerint gyártópadon készítik. Először befűzik a feszítőpászmákat a gyártópad végein lévő bakok rendezőibe, majd sajtó segítségével az előírt ∆l nyúlással megfeszítik őket. A pászmákat ideiglenesen a gyártópad végein horgonyozzák le, utána beöntik a betont a gyártópad zsaluzatába.

2.1. Vizsgálati állapotok

2. Mértékadó terhek és igénybevételek a különböző vizsgálati állapotokban

ψ2 0.6=ψ1 0.7=Az esetleges teher kombinációs tényezői ("C" kategória esetén):

γQ 1.5=Az esetleges teher biztonsági tényezője:

qk 12kN

m=qk a qmk⋅=Az esetleges teher alapértéke:

γG 1.35=Az állandó terhek biztonsági tényezője:

gII.k 2.8kN

m=gII.k a gá⋅=Az állandó terhek alapértéke:

gI.k 3.84kN

m=gI.k b t⋅ h t−( ) bw⋅+ ρrc⋅=Az önsúly alapértéke:

ρrc 25kN

m3

=A vasbeton térfogatsúlya:

A feszített tartóra ható terhek számítása:

qmk 3kN

m2

=- az esetleges teher alapértéke ("C" kat.: gyülekezésre szolgáló terület):

gá 0.7kN

m2

=- az állandó teher (szigetelés, burkolatok, gépészet súlya, stb.) alapértéke:

a 4m=- a gerendák egymástól való távolsága:

A feladatkiírásban megadott adatok:

1.4. Terhek

- 6 -

pser.c 13.84kN

m=pser.c gI.k gII.k+ ψ2 qk⋅+=

- a tartó lehajlásának számításához (kvázi-állandó teherkombináció):

pser.b 15.04kN

m=pser.b gI.k gII.k+ ψ1 qk⋅+=

- tartó repedezettségi állapotának vizsgálatához (gyakori teherkombináció):

pd 26.96kN

m=pd γG gI.k gII.k+( )⋅ γQ qk⋅+=- teherbírás számításához:

Végleges állapotban (t3):

gI.k 3.84kN

m=A feszítőerő ráengedésekor (t1):

2.2. Mértékadó terhek

P P

pd

t3 időpont – végleges állapot

A gerenda végleges helyre történő beemelése és rögzítése után elkészítik födémburkolatot, rögzítik a gépészeti és egyéb berendezéseket. Az épület használatba vétele után a tartóra további állandó és esetleges terhek is hatnak. A szerkezet ezen terhek és a feszítőerő együttes hatására lehajlik. Ez lesz a feszített tartó végleges állapota, melyet t3 időpontnak nevezünk.

A gyártópadról való leemelés után az elemeket tárolják, a beépítés helyszínére szállítják, majd daruval beemelik a végleges helyére. Ezeket az ún. átmeneti állapotokat egységesen t2 időpontnak nevezzük. Jelen feladatban az átmeneti állapotok ellenőrzését nem végezzük el.

P P

t1 időpont – a feszítőerő ráengedése

Betonozás után megindul a beton kötése és amikor a szilárdsága már elegendő ahhoz, hogy elviselje a feszítőerő és a kizsaluzás okozta igénybevételeket, akkor a lehorgonyzást megszüntetik. A beton szilárdsága ekkor még nem éri el a tervezett végeleges értéket (körülbelül a tervezett szilárdság 50-75%-a technológiától függően), ezért a kezdeti állapot vizsgálatakor gyengébb betonminőséggel számolunk! A szilárdulást rendszerint kötésgyorsító adalékszer alkalmazásával, vagy hőérleléssel gyorsítják.

A feszítőerő ráengedésekor a tartó az önsúly és a feszítés együttes hatására felfelé görbül. Ebben az állapotban a felső szélsőszálban húzás, az alsó-szélsőszálban pedig nyomás lép fel. A feszítőerő ráengedésének pillanatát t1-el jelöljük.

- 7 -

VEd 161.78 kN=VEd

pd leff⋅

2=Végleges állapotban (t3):

A mértékadó nyíróerő:

Mser.c 249.1 kNm=Mser.c

pser.c leff2

⋅

8=

- a tartó lehajlásának számításához (kvázi-állandó teherkombináció):

Mser.b 270.7 kNm=Mser.b

pser.b leff2

⋅

8=

- tartó repedezettségi állapotának vizsgálatához (gyakori teherkombináció):

MEd 485.35 kNm=MEd

pd leff2

⋅

8=- teherbírás számításához:

Végleges állapotban (t3):

Mg 69.12 kNm=Mg

gI.k leff2

⋅

8=A feszítőerő ráengedésekor (t1):

A mértékadó nyomatékok tartóközépen:

2.3. Mértékadó igénybevételek

- 8 -


11. Gyakorlat

χAp fpd⋅

Ap fpd⋅ Ast fyd⋅+=

A feszített tartókban rendszerint vegyesen alkalmazunk lágyvasalást és feszítőbetéteket. A feszítés szükséges mértékét elsősorban gazdaságossági alapon dönthetjük el. A tartóba helyezett lágyvasalás (Ast) és feszítőbetétek (Ap) mennyiségének arányát az ún. feszítési fokkal írhatjuk le:

As.szüks 1625.2 mm2

=As.szüks

b xc⋅ fcd⋅

fyd=

Az MEd felvételéhez szükséges lágyvas mennyiség:

Tehát helyes volt a feltételezés!ξc0 0.493=<ξc 0.092=

ξc0560

700 fydmm

2

N⋅+

=ξc

xc

d=

Tehát helyes volt a feltételezés!t 160 mm=<xc 66.2 mm=

A kezdeti feltevések ellenőrzése:

xc 66.2 mm=

A fenti egyenletből meghatározzuk a nyomott zóna magasságát:

MEd b xc⋅ α⋅ fcd⋅ dxc

2−

=

Nyomatéki egyensúlyi egyenlet a húzott vasak súlypontjára:

d 720 mm=d 0.9 h⋅=

A hasznos magasságot közelítőleg az alábbi értékre vesszük fel:

Az MEd nyomaték felvételéhez szükséges vasmennyiség számítása abban az esetben, ha csak lágyvasalást alkalmaznánk a tartóban (a számítás során feltételezzük, hogy xc < t és az acél- betétek képlékenyek):

3. A vasalás (lágyvasalás és feszítőbetétek) mennyiségének meghatározása

- 10 -

A pászmák pontos elrendezését a 4. pontban fogjuk felvenni.

min 0.75 fpk⋅ 0.85 fp0.1k⋅,( ) 1275N

mm2

=<σp0 1200N

mm2

=A kezdeti feszítési feszültség:

dbnalk 4=Az alkalmazott pászmaszám:

nszüks 3.79=nszüks

Ap.szüks

Ap100=A szükséges pászmaszám:

Ap.szüks 379.2 mm2

=Ap.szüks χ As.szüks⋅fyd

fpd⋅=

Ast 509 mm2

=Ast 2 φst2

⋅π

4⋅=Alkalmazott lágyvasalás: 2Ø18

Ast.szüks 487.6 mm2

=Ast.szüks 1 χ−( ) As.szüks⋅=

Magasépítési szerkezeteknél általában a χ = 0,7...0,8 körüli érték alkalmazása eredményezi a leg- gazdaságosabb megoldást. A feladatban alkalmazzunk χ = 0,7 értéket. Ez alapján a szükséges lágyvasalás és feszítőbetét mennyiségek:

- 11 -

Megjegyzés: A feszítőpászmák mennyiségének felvétele történhet a gyártó által megadott teher- bírási adatok illetve tervezési diagramok felhasználásával is. Ennek a menetét az alábbiakban mutatjuk be.

A mértékadó teher végleges állapotban (t3), a 2.2. pont alapján: pd 26.96kN

m=

A tartó elméleti fesztávolsága: leff 12 m=

A fenti két értéket felmérjük az alábbi diagramra és meghatározzuk a metszéspontjuk helyét.A metszésponthoz (felülről) legközelebb eső görbe alapján dönthető el a pászmák szükséges mennyisége.

A diagram alapján 2 sor pászmára van szükség. Tekintettel arra, hogy a diagram soronként2 darab pászma figyelembevételével készült, a tartóba összesen 4 db pászmát kell elhelyezni.Ez az érték megegyezik az előtervezés során számított mennyiséggel.

Megjegyzés: A fenti diagramban a nyomatéki teherbírás értékei rugalmas-felkeményedő feszítőpászma anyagmodell alkalmazásával lettek számítva, továbbá a diagram figyelembe veszi a nyírási teherbírást isρw = 0,13 %-os nyírási vashányad mellett. A diagram a teherbírási határállapot alapján megengedhető legnagyobb teher értékeket tartalmazza adott fesztávolsághoz, de léteznek a használhatósági határállapot alapján készített diagramok is, melyekkel már előtervezés során figyelembe vehetők a tartó lehajlására és repedéstágasságára vonatkozó korlátozások.

- 12 -


12. Gyakorlat

c 25 mm=

Az acélbetétek illetve feszítőpászmák közötti minimális távolságok számítása:

Az adalékanyag max. szemátmérője: dg 16mm=

Lágyvasak közötti min. távolság: ∆s max φst dg 5mm+, 20mm,( )= ∆s 21 mm=

Pászmák közötti min. vízszintes távolság: ∆px max dg 5mm+ 2 φp⋅, 20mm,( )= ∆px 26 mm=

Pászmák közötti min. függőleges távolság: ∆py max dg 2 φp⋅,( )= ∆py 26 mm=

Alkalmazzunk Ø8-as kengyeleket a tartóban: φw 8mm=

A vasalás kialakítása a fenti mennyiségek figyelembevételével:

t h

bw

b

d st

d p0

d p1

Ast

Ap1 Ap0 a s

t

≥∆s c Øst

Øw

c

Øst Øw

≥∆py

≥∆py Øp

≥∆px

“0” sor

“1” sor

4. A tartó teherbírásának ellenőrzése

4.1. A keresztmetszet vasalása

A szükséges betonfedés értékének számítása:

- környezeti osztály: XC3 (mérsékelt relatív páratartalmú épületekben lévő beton)

- szerkezeti osztály: S4 (50 éves tervezett élettartam)

- tapadási követelmények miatt szükséges minimális betonfedés: cmin.b φst=

- tartóssági követelmények miatt szükséges minimális betonfedés: cmin.d 20mm=

- a minimális betonfedés:cmin max cmin.b cmin.d, 10mm,( )= cmin 20 mm=

- betonfedés növekmény az elhelyezési bizonytalanság miatt: ∆cdev 5mm=

Megjegyzés: Az elhelyezési bizonytalanság értéke normál esetben 10 mm, de szigorúbb minőségellenőrzés (pl. előregyártás) esetén ez az érték csökkenthető, esetenként akár 0 mm is lehet. Előfeszített tartók esetén, pontosabb adat hiányában 5 mm bizonytalanság alkalmazható.

- a betonfedés számítási értéke:c cmin ∆cdev+=

- 14 -

Megjegyzés: Ezen egyszerűsítés alkalmazásával rugalmas- repedésmentes és rugalmas-berepedt állapotban pontos eredményeket kapunk, teherbírási határállapotban azonban az ilyen módon számított eredmények eltérhetnek a tényleges értéktől. A feladatban most megelégszünk az egyszerűsített pászma elrendezés alapján számolt eredményekkel.

dp 697 mm=dpd0 d1+

2=

d p

Ast Ap

Ap 400 mm2

=Ap Ap0Ap1

+=

A számítás egyszerűsítése végett a pászmákat a súlypontjukba összevonva vesszük figyelembe:

Ap1200 mm

2=Ap1

2 Ap100⋅=

Ap0200 mm

2=Ap0

2 Ap100⋅=

d1 678 mm=d1 d0 2φp

2⋅− ∆py−=

d0 717 mm=d0 h c− φw− φst− ∆py−φp

2−=- feszítőpászmák:

Ast 509 mm2

=Ast 2 φst2

⋅π

4⋅=

dst 758 mm=dst h ast−=

ast 42 mm=ast c φw+φst

2+=

φst 18 mm=- lágyvasalás:

Az alkalmazott vasmennyiségek és hasznos magasságok:

- 15 -

αep0

Ep

Ecd0= αep0 8.9=

Ideális keresztmetszeti jellemzők rugalmas-repedésmentes állapotban (feltéve, hogy xiI>t):

Keresztmetszeti terület: AiI0 b t⋅ bw h t−( )⋅+ αes0 1−( ) Ast⋅+ αep0 1−( ) Ap⋅+=

AiI0 1.609 105

× mm2

=

Statikai nyomaték: SxiI0 bt2

2⋅ bw h t−( )⋅

t h+

2⋅+ αes0 1−( ) Ast⋅ dst⋅+ αep0 1−( ) Ap⋅ dp⋅+=

SxiI0 5.347 107

× mm3

=

Semleges tengely: xiI0

SxiI0

AiI0=

xiI0 332.3 mm= > t 160 mm= Tehát helyes volt a feltételezés!

Inercia: IxiI0b t

3⋅

12b t⋅ xiI0

t

2−

2

⋅+bw h t−( )

3⋅

12+ bw h t−( )⋅

h

2

t

2+ xiI0−

2

⋅+

αes0 1−( ) Ast⋅ dst xiI0−( )2⋅ αep0 1−( ) Ap⋅ dp xiI0−( )2

⋅++

...=

IxiI0 1.04 1010

× mm4

=

4.2. Kezdeti állapot (feszítőerő ráengedésének pillanata) ellenőrzése

A t1 időpontban a tartó szélsőszál feszültségeit kell ellenőrizni az önsúly alapértékére és a kezdeti feszítőerőre (σp0) rugalmas-repedésmentes keresztmetszet figyelembevételével. Vizsgálandó a tartóközép valamint a tartóvég az alábbiak szerint.

A feszítőerő ráengedésekor a beton még nem éri el a tervezett szilárdságát, ezért alacsonyabb szilárdsággal számolunk:

A beton szilárdsága a terhelés kezdetekor: C30/37

A nyomószilárdság karakterisztikus értéke: fck0 30N

mm2

=

A húzószilárdság karakterisztikus értéke: fctk0 2N

mm2

=

A húzószilárdság tervezési értéke: fctd0

fctk0

1.5= fctd0 1.33

N

mm2

=

A rugalmassági modulus tervezési értéke: Ecd022

γc

fck0 8+

10

0.3

⋅= Ecd0 21.89=kN

mm2

A rugalmassági modulusok hányadosa:

αes0

Es

Ecd0= αes0 9.1=

- 16 -

A szélsőszál feszültségek ellenőrzését a tartóvégen ott hajtjuk végre, ahol a feszítőpászmák már teljesen lehorgonyozódtak a betonban.

A feszítőpászmák lehorgonyzási hossza:

ηp1 3.2= (7 eres pászmák esetén)

η1 0.7= (általános esetben, ha tapadási körülmények pontosan nem ismertek)

A tapadási szilárdság: fbpt ηp1 η1⋅ fctd0⋅= fbpt 2.99N

mm2

=

α1 1.25= (hirtelen engedik rá a tartóra a feszítőerőt)

α2 0.19= (7 eres pászmák esetén)

A lehorgonyzási hossz alapértéke: lpt α1 α2⋅ φp⋅σp0

fbpt⋅= lpt 1.231 m=

A lehorgonyzási hossz tervezési értéke: lptd 0.8 lpt⋅= lptd 0.985 m=

Megjegyzés: A fenti képletben 0,8-al vagy 1,2-vel kell lpt-tszorozni attól függően, hogy az adott vizsgálat szempontjából melyik a kedvezőtlenebb. Most a 0,8-at használtuk, mert így adódik nagyobb nyomófeszültség a felső-szélsőszálban, kezdeti állapotban.

Ellenőrzés tartóközépen:

A kezdeti feszítőerő és a feszítőerőből származó nyomaték:

Np0 Ap σp0⋅= Np0 480 kN=

Mp0 Ap σp0⋅ dp xiI0−( )⋅= Mp0 175.24 kNm=

Az alsó-szélsőszál feszültség ellenőrzése:

σc.a

Np0

AiI0−

Mg Mp0−

IxiI0h xiI0−( )⋅+= σc.a 7.76−

N

mm2

= < 0.6 fck0⋅ 18N

mm2

=

Megfelel!

A felső-szélsőszál feszültség ellenőrzése:

σc.f

Np0

AiI0−

Mg Mp0−

IxiI0xiI0⋅−= σc.f 0.41

N

mm2

= < fctd0 1.33N

mm2

=

Megfelel!

A fentiekben a "+" előjel húzást, a "-" előjel nyomást jelent.

Ellenőrzés a tartóvégen:

- 17 -

A tartó anyagának lassú alakváltozásai miatt a feszítési feszültség idővel csökken a pászmákban. Végleges állapotban (t3) erre a lecsökkent feszítési feszültségre kell ellenőrizni a tartót. Előfeszített tartóknál általában az alábbi veszteségekkel kell számolni:

- a beton zsugorodásából adódó feszültségveszteség, - a beton kúszásából adódó feszültségveszteség, - a pászmák relaxációjából adódó feszültségveszteség, - a hőérlelésből adódó feszültségveszteség (amennyiben alkalmaztak hőérlelést a gyártás során).

4.3. Feszítési feszültség veszteségek számítása

A fentiek alapján a tartóvégen megreped a gerenda. A gyakorlatban a húzószilárdság kismértékű túllépése megengedett (mivel a kialakuló repedések végleges állapotban záródnak), nagyobb mértékű különbség esetén azonban fennáll a tönkremenetel veszélye. Ebben az esetben pl. a tartóvég blokkosításával, vagy a pászmák egy részének "lecsövezésével" csökkenthetők a feszültségek a tartóvégen. Ez utóbbi megoldás azt jelenti, hogy a tartóvégen a pászmák egy részét csőben vezetik, így az nem tudja átadni a betonra a feszítőerőt. Jelen példában ezzel részletesebben nem foglalkozunk, feltételezzük, hogy megfelelő lecsövezés alkalmazásával a szélsőszál feszültségek a határértékek alatt maradnak.

fctd0 1.33N

mm2

=>σc.f 2.05N

mm2

=σc.f

Np0

AiI0−

Mgv Mp0−

IxiI0xiI0⋅−=

A felső-szélsőszál feszültség ellenőrzése:

Megfelel!

0.6 fck0⋅ 18N

mm2

=<σc.a 10.06−N

mm2

=σc.a

Np0

AiI0−

Mgv Mp0−

IxiI0h xiI0−( )⋅+=

Az alsó-szélsőszál feszültség ellenőrzése:

Mgv 17.9 kNm=

Mgv Rg lptdv

2−

⋅ gI.k

lptdv

2−

2

2⋅−=

Nyomaték számítása az önsúlyból a vizsgált keresztmetszetben (figyelemmel kell arra lenni, hogy a lehorgonyzási hosszat a tartó végétől mérjük, a nyomatékot pedig az elméleti támasztól az ábrának megfelelően):

lbpd

M

elméleti támasz

σpd fpt

Mgv

v/2

Rg 23.04 kN=Rg

gI.k leff⋅

2=

A reakcióerő az önsúlyból:

- 18 -

óratp 438300=tp 50 365.25⋅ 24⋅=

tp - a feszítés óta eltelt idő órákban. A feladatban 50 éves tervezett élettartamot feltételeztünk, így a feszítés óta eltelt idő:

ρ1000 0.025=

ρ1000 - a feszítőbetétek 1000 órás relaxációs vesztesége 20 °C hőmérsékletű tartó esetén. Pontosabb adat hiányában az 1000 órás relaxációs veszteség értéke huzalok alkal- mazása esetén 8%, feszítőpászmák esetén 2,5%, melegen hengerelt feszítőrudak esetén pedig 4%. A példában feszítőpászmát alkalmazunk, tehát:

µ 0.678=µσp0

fpk=

a kezdeti feszítési feszültség értéke (rövid idejű veszteségektől eltekintve)σp0 1200N

mm2

=ahol:

∆σpr Aσp0

1000⋅ ρ1000⋅ e

B µ⋅⋅

tp

1000

0.75 1 µ−( )⋅

⋅=

Abban az esetben, ha nincsen szükség a feszítőpászmák relaxációjának pontosabb vizsgálatára, a relaxációból származó feszültségveszteség értéke az alábbiak szerint számítható:

A pászmák relaxációjából származó feszültségveszteség

ϕ t( ) 2.0=A kúszási tényező végértéke:

A beton kúszásából adódó feszültségveszteség értékét az alkalmazott tartóméretek, betonminőség, cementtípus, relatív páratartalom és a tervezett élettartam függvényében lehet számítani. Átlagos beépítési körülmények és magasépítési szerkezetek esetén a beton kúszási tényezőjének végértéke ~2,0. A példában ezzel a közelítő értékkel számolunk:

A kúszásból származó feszültségveszteség

εcs 0.5‰=A zsugorodási alakváltozás végértéke:

A beton zsugorodásából adódó feszültségveszteség értékét az alkalmazott tartóméretek, betonminőség, relatív páratartalom és a tervezett élettartam függvényében lehet számítani. Átlagos beépítési körülmények és magasépítési szerkezetek esetén a beton zsugorodási alakváltozása ~0,5 ‰-re adódik. A példában ezt az értéket fogjuk alkalmazni:

A zsugorodásból származó feszültségveszteség

- 19 -

yc 313.3 mm=yc

bt2

2⋅ bw h t−( )⋅

t h+

2⋅+

Ac=

yc a beton keresztmetszet súlypontja (a felső-szélsőszáltól mérve):

Ic 9.224 109

× mm4

=

Icb t

3⋅

12b t⋅ xiI0

t

2−

2

⋅+bw h t−( )

3⋅

12+ bw h t−( )⋅

h

2

t

2+ xiI0−

2

⋅+=

Ic a beton keresztmetszet inerciája:

Ac 1.536 105

× mm2

=Ac b t⋅ bw h t−( )⋅+=

Ac a beton keresztmetszeti terület:

σcgp0 0.39−N

mm2

=σcgp0

Np0

AiI0−

Mser.c Mp0−

IxiI0dp xiI0−( )⋅+=

ahol: σcgp0 a betonfeszültség a kvázi-állandó tehercsoportosításból a pászmák környezetében:

∆σp.t

εcs Ep⋅ 0.8∆σpr+ αp ϕ t( )⋅ σcgp0⋅+

1 αp

Ap

Ac⋅ 1

Ac

Iczcp

2⋅+

⋅ 1 0.8 ϕ t( )⋅+( )⋅+

=

A zsugorodás, kúszás és relaxáció együttes hatását az alábbi képlettel vehetjük figyelembe:

A zsugorodásból, kúszásból és relaxációból származó együttes feszültségveszteség

∆σpr 41.12N

mm2

=∆σpr Aσp0

1000⋅ ρ1000⋅ e

B µ⋅⋅

tp

1000

0.75 1 µ−( )⋅

⋅=

A fentiek alapján a pászmák relaxációjából származó feszültségveszteség:

B 9.1=

B - értéke feszítőhuzalok alkalmazása esetén 6,7; feszítőpászmák esetén 9,1; melegen hengerelt feszítőrudak esetén pedig 8,0. A példában feszítőpászmát alkalmazunk, tehát:

A 0.66=

A - értéke normál feszítőhuzalok és pászmák alkalmazása esetén 5,39; alacsony relaxiójú feszítőhuzalok és pászmák esetén 0,66; melegen hengerelt feszítőrudak esetén pedig 1,98. A példában alacsony relaxációjú feszítőpászmát alkalmazunk, tehát:

- 20 -

Npm 401.1 kN=Npm σpm Ap⋅=

A hatásos feszítőerő:

ν 0.84=νσpm

σp0=

A hatásos feszítési feszültség-hányad:

σpm 1002.8N

mm2

=σpm σp0 ∆σp.t− ∆σp.T−=

A hatásos feszítési feszültség értéke:

A hatásos feszítési feszültség

∆σp.T 78N

mm2

=∆σp.T αT ∆T⋅ Ep⋅=

A beton hőérleléséből származó feszültségveszteség értéke:

(pontosabb adat hiányában 40 °C feltételezhető)°C∆T 40=A hőmérsékletkülönbség:

1/°CαT 105−

=A hőtágulási együttható:

A feladatban feltételezzük, hogy a gyártás során a beton szilárdulását hőérlelés alkalmazásával gyorsították, így számolnunk kell az ebből származó veszteséget is:

A beton hőérleléséből adódó feszültségveszteség

∆σp.t 119.25N

mm2

=∆σp.t

εcs Ep⋅ 0.8∆σpr+ αp ϕ t( )⋅ σcgp0⋅+

1 αp

Ap

Ac⋅ 1

Ac

Iczcp

2⋅+

⋅ 1 0.8 ϕ t( )⋅+( )⋅+

=

A fenti értékek behelyettesítésével a zsugorodásból, kúszásból és relaxációból származó feszítési feszültségveszteség:

αp 5.5=αp

Ep

Ecm=

αp a pászma és a (végleges) beton rugalmassági modulus várható értékének a hányadosa:

zcp 384.1 mm=zcp dp yc−=

zcp a feszítőpászmák távolsága a beton keresztmetszet súlypontjától:

- 21 -


13. Gyakorlat

Feszítőpászma nyúlásának ellenőrzése:

εp εcu

d0 1.25xc−

1.25xc⋅

σpm

Ep+= εpy 6.69 ‰= < εp 36 ‰= < εpu 40 ‰=

Tehát helyes volt a feltételezés!

Amennyiben az adódik, hogy a betonacélok vagy a feszítőpászmák rugalmasan viselkednek, a vetületi egyensúlyi egyenletbe fyd illetve fpd helyett σs-t illetve σp-t kell írni, így xc-re másodfokú egyenletet kapunk. A rugalmas betonacél, illetve feszítőpászma feszültségek:

σs 560dst

xc⋅ 700−= σp σpm 546

dp

xc⋅+ 682.5−= [N/mm2]

A tartó nyomatéki teherbírása (xc magasságra felírva):

MRd b xc⋅ fcd⋅xc

2⋅ Ast fyd⋅ dst xc−( )⋅+ Ap fpd⋅ dp xc−( )⋅+=

MRd 506.39 kNm= > MEd 485.35 kNm= Megfelel!

4.4. A nyomatéki teherbírás ellenőrzése

A nyomatéki teherbírást végleges állapotban (t3) ellenőrizzük, a számításához a rugalmas- képlékeny feszítőpászma anyagmodellt használjuk (lásd 1.1. pont).

A vetületi egyensúlyi egyenlet (feltételezzük, hogy xc < t és az acélbetétek valamint a feszítő- pászmák is képlékenyen viselkednek):

b xc⋅ fcd⋅ Ast fyd⋅− Ap σpm⋅− 0=

A fenti egyenletből az xc nyomott zóna magasság számítható: xc 58.3 mm=

Az xc-re vonatkozó feltételezés ellenőrzése:

xc 58.3 mm= < t 160 mm= Tehát helyes volt a feltételezés!

Betonacél nyúlásának ellenőrzése:

εs εcu

dst 1.25xc−

1.25xc⋅= εsy 2.17 ‰= < εs 32.9 ‰= < εsu 50 ‰=

Tehát helyes volt a feltételezés!

- 23 -

Megjegyzés: Abban az esetben, ha a rugalmas-felkeményedő feszítőpászma anyagmodellt (lásd 1.1. pont) használjuk, a teherbírás számítását fokozatos közelítéssel végezhetjük el. Az alábbiakban az elsőként Emil Mörsch által alkalmazott eljárást mutatjuk be.

σ p

σ p1

σ p2 σ p3 σ p4

ε p

3,5‰

x 4

x 3

x 2

x 1

ε p1 ε p4 ε p3 ε p2

fcd fcd fcd fcd

σ p1 σ p2 σ p3 σ p4

ε σ

x c1 x c

2 x c3

x c4

ε pm = σpm / Ep

d p

N1 N2 N3 N4

σ s1 σ s2 σ s3 σ s4 H1 H4

H2 H3

Az eljárás során feltételezzük, hogy tönkremenetelkor a betonban az εcu = 3,5 ‰ törési összenyomódás alakul ki. Felveszünk egy x1 semleges tengely magasságot, amiből - a sík keresztmetszetek elvének alkalmazásával - számítható a feszítőpászmák (külső teher okozta) εp1 megnyúlása:

εp1 εcu

dp x1−

x1⋅=

A pászma teljes megnyúlása, figyelembe véve a hatásos feszítési feszültségből adódó megnyúlást:

εp.tot.1 εp1 εpm+= ahol: εpm

σpm

Ep=

Az εp.tot.1 nyúlás alapján a feszítőpászmában ébredő σp1 feszültség leolvasható a σ-ε diagramról, az acélbetétekben ébredő feszültség a szokásos módon számítható.

- 24 -

ρ l 9.1 ‰=ρ l minAst Ap+

bw d⋅0.02,

=

A húzott hosszvasalásra vonatkozó vashányad, amibe a megfelelően lehorgonyzott acélbetétek és tapadásos feszítőbetétek számíthatók be:

k 1.52=k min 1200

dh1

mm⋅

+ 2,

=

A teherbírás számításához szükséges mennyiségek:

A méretezett nyírási vasalást nem tartalmazó keresztmetszet nyírási teherbírása

VEd.red 142.05 kN=VEd.red VEd dh pd⋅−=A redukált nyíróerő:

(lásd 2.3. pont)VEd 161.78 kN=A mértékadó nyíróerő:

Mértékadó igénybevételek a nyírás vizsgálatához:

dh 731.7 mm=dh

Es Ast⋅ dst⋅ Ep Ap⋅ dp⋅+

Es Ast⋅ Ep Ap⋅+=

A húzott vasalásra vonatkozó helyettesítő hasznos magasság:

A nyírási teherbírás számítását végleges (t3) állapotban végezzük el.

4.5. Nyírási vasalás tervezése

A fenti eljárás megoldását régebben grafikus úton, szerkesztéssel keresték meg (ezért szokás az eljárást Mörsch-féle törönyomaték szerkesztésnek is nevezni). Manapság a belső N nyomóerő és H húzóerő egyensúlyát leíró egyenlet megoldását számítógéppel, numerikusan számíthatjuk.

Ismét ellenőrizzük az erők egyensúlyát, és amennyiben N2 H2≠ , tovább folytatjuk a fenti

eljárást újabb x3, x4, stb. semleges tengely értékek felvételével egészen addíg, míg az i-dik lépésben nem teljesül a vetületi egyensúly, azaz Hi = Ni. A tartó nyomatéki teherbírása az így kapott xci = 0,8•xi nyomott zóna magasság alapján számítható.

A betonban működő nyomófeszültségek ismeretében kiszámítjuk a keresztmetszetben működő N1 nyomóerőt, betonacélokban és feszítőpászmákban működő húzófeszültségek ismeretében pedig számítható a keresztmetszetben működő H1 húzóerő. Mivel ez a két erő első próbál- kozásra általában nem lesz egyenlő, újabb közelítésre van szükség. Felvesszük a semleges tengely magasságát x2 értékre, ami alapján az előzőekhez hasonlóan számíthatók az εp2 és εp.tot.2 pászma nyúlások, a σp2 pászma feszültség valamint a keresztmetszetben műküdő N2 és H2 erők.

- 25 -

cotθ 2.0=ez alapján a számításban figyelembe vett hajásszög:

A cotθ-ra vonatkozó korlátozás:

1,0 ≤ cotθ ≤ 2,0

cotθ 3.304=cotθ

1.2 1.4σcp

fcd⋅+

1Vc

VEd.red−

=

Vc 84.57 kN=Vc βct η1⋅ 0.1⋅ fck

1

3⋅ 1 1.2

σcp

fcd⋅+

⋅

bw⋅ 0.9⋅ dh⋅=

η1 1=ésβct 2.4=Normál beton esetén:

A nyomott beton "rudak" θ hajlásszögének számítása (a NAD alapján) feszített tartók esetén:

A nyírási teherbírás felső korlátja (a beton nyomási teherbírása alapján)

Szükség van nyírási vasalásra!VEd.red 142.054 kN=<VRd.c 102.07 kN=

VRd.c max0.18

γck⋅ 100 ρ l⋅ fck⋅( )

1

3⋅ 0.15 σcp⋅+

bw⋅ dh⋅ vmin,

=

A méretezett nyírási vasalást nem tartalmazó keresztmetszet nyírási teherbírása:

vmin 82.74 kN=vmin 0.035 k

3

2⋅ fck

1

2⋅ 0.15 σcp⋅+

bw⋅ dh⋅=

A nyírási vasalás nélküli keresztmetszet teherbírásának alsó korlátja:

σcp 2.61N

mm2

=σcp minNpm

Ac0.2 fcd⋅,

=

A feszítőerőből származó átlagos betonfeszülség a keresztmetszetben:

- 26 -

A szükséges kengyeltávolság:

sszüks

Asw

VEd.red0.9⋅ dh⋅ fyd⋅ cotθ cot αsw( )+( )⋅ sin αsw( )⋅= sszüks 405 mm=

Alkalmazott kengyeltávolság: s 400mm=

Szerkesztési szabályok ellenőrzése:

A maximális kengyeltávolság ellenőrzése:

smax 0.75 dh⋅= smax 549 mm= > s 400 mm= Megfelel!

A nyírási vashányad ellenőrzése:

ρw

Asw

s bw⋅ sin αsw( )⋅= ρw 1.8 ‰= > ρw.min =

0.08 fck⋅

fyk1.01 ‰=

Megfelel!

αcw 1 σcp 0=if

1σcp

fcd+ 0 σcp< 0.25 fcd⋅≤if

1.25 0.25 fcd⋅ σcp< 0.5 fcd⋅≤if

2.5 1σcp

fcd−

⋅ 0.5 fcd⋅ σcp< fcd<if

= αcw 1.098=

A nyírási vasalás (zárt kengyelek) és a tartó tengelye által bezárt szög: αsw 90°=

A hatékonysági tényező: ν 0.6 1fck

250−

⋅= ν 0.504=

A nyírási teherbírás felső korlátja:

VRd.max αcw bw⋅ 0.9⋅ dh⋅ ν⋅ fcd⋅cotθ cot αsw( )+

1 cotθ2

+

⋅=

VRd.max 544.18 kN= > VEd 161.78 kN= Tehát a tartó nyírásra vasalható!

Nyírási vasalás számítása

Az alkalmazott nyírási vasalás zárt kengyelezés: φw 8 mm=

A nyírási acélbetétek keresztmetszeti területe: Asw 2 φw2

⋅π

4⋅= Asw 100.5 mm

2=

- 27 -


14. Gyakorlat

Mpm 146.99 kNm=Mpm Ap σpm⋅ dp xiI−( )⋅=

Nyomaték a hatásos feszítőerőből:

Mser.b 270.72 kNm=

Mértékadó nyomaték a gyakori teherkombinációból (lásd 2.3. pont):

IxiI 1.031 1010

× mm4

=

IxiIb t

3⋅

12b t⋅ xiI

t

2−

2

⋅+bw h t−( )

3⋅

12+ bw h t−( )⋅

h

2

t

2+ xiI−

2

⋅+

αes 1−( ) Ast⋅ dst xiI−( )2⋅ αep 1−( ) Ap⋅ dp xiI−( )2

⋅++

...=Inercia:

Tehát helyes volt a feltételezés!t 160 mm=>xiI 330.9 mm=

xiI

SxiI

AiI=Semleges tengely:

SxiI 5.307 107

× mm3

=

SxiI bt2

2⋅ bw h t−( )⋅

t h+

2⋅+ αes 1−( ) Ast⋅ dst⋅+ αep 1−( ) Ap⋅ dp⋅+=Statikai nyomaték:

AiI 1.603 105

× mm2

=

AiI b t⋅ bw h t−( )⋅+ αes 1−( ) Ast⋅+ αep 1−( ) Ap⋅+=Keresztmetszeti terület:

αep 8.3=αep

Ep

Ecd=αes 8.5=αes

Es

Ecd=

A keresztmetszeti jellemzők rugalmas-repedésmentes állapotban, a végleges betonszilárdság figyelembevételével (feltéve, hogy xiI>t):

Első lépésben meg kell vizsgálni, hogy használhatósági állapotban bereped-e a tartó. A vizsgálatot a gyakori teherkombinációból származó igénybevételekre kell végezni.

Használhatósági határállapotban általában ellenőrizni kell a tartó lehajlását és repedéstágasságát, valamint a maradó képlékeny alakváltozások elkerülése miatt ellenőrizni kell, hogy a tartóban ébredő feszültségek nem haladják meg a vonatkozó határértékeket (feszültségek korlátozása).A példában most csak a lehajlás számításával foglalkozunk részletesen.

5. A tartó lehajlásának ellenőrzése

- 29 -

yI 12.7 mm=yI5

48κI⋅ leff

2⋅=

A lehajlás értéke rugalmas-repedésmentes állapot feltételezésével:

κI 8.44 104−

×1

m=κI

σcf.I σca.I+

h Ec.eff⋅=

A tartó görbülete mezőközépen:

A σca.I fiktív húzófeszültség érték, tekintet nélkül arra, hogy meghaladja-e a húzószilárdságot.

σca.I 2.15N

mm2

=σca.I

Npm

AiI−

Mser.c Mpm−

IxiIh xiI−( )⋅+=alsó-szélsőszál:

σcf.I 5.78−N

mm2

=σcf.I

Npm

AiI−

Mser.c Mpm−

IxiIxiI⋅−=felső-szélsőszál:

A beton szélsőszál feszültségek:

Mser.c 249.12 kNm=

Mpm 146.99 kNm=

Npm 401.1 kN=

Mértékadó igénybevételek:

Ec.eff 11740N

mm2

=Ec.eff

Ecm

1 ϕ t( )+=

A beton hatákony alakváltozási tényezője a kúszás figyelembevételével:

A tartó lehajlása rugalmas-repedésmentes keresztmetszet feltételezésével

Tehát a keresztmetszet a lehajlás számítása során berepedtnek tekintendő. A tartó lehajlását a kvázi-állandó tehercsoportosításból származó igénybevételekből számítjuk. Az Eurocode előírásainak megfelelően meg kell határozni a rugalmas-repedésmentes keresztmetszet feltételezésével számított, valamint a rugalmas-berepedt keresztmetszet feltételezésével számított lehajlásokat. A tényleges lehajlás (a húzott beton merevítő hatását figyelembe véve) valahol a két érték között lesz. Amennyiben a fentiekben Mser.b < Mcr adódik, a tényleges lehajlás rugalmas- repedésmentes keresztmetszet feltételezésével számítható.

Mcr 279.04 kNm=>Mser.b 270.72 kNm=

Mcr 279.04 kNm=Mcr

IxiI

h xiI−fctm

Npm

AiI+

Mpm

IxiIh xiI−( )⋅+

⋅=

A repesztőnyomaték:

- 30 -

Mgqp 160.58 kNm=Mgqp Mser.c σpm Ap⋅ dp xII−( )⋅−=

Nyomaték a végleges feszítőerőből és a mértékadó terhekből:

IiII 1.219 1010

× mm4

=IiII IiII xII( )=

AII 1.16 105

× mm2

=AII b t⋅ xII t−( ) bw⋅+ αes Ast⋅+ αep Ap⋅+=

A keresztmetszeti jellemzők xII figyelembevételével:

xII 476.7 mm=

A fenti, xII-re harmadfokú egyenlet megoldása meghatározható kézzel (pl. Newton-féle iterációs eljárás) vagy számítógéppel. A számított semleges tengely magasság:

= 0f xII( )IiII xII( )SiII xII( )

Mgqp xII( )Npm

−=

A semleges tengely magasságának számítása a fenti értékek felhasználásával:

IiII x( )b bw−( ) t

3⋅

12b bw−( ) t⋅ x

t

2−

2⋅+ bw

x3

3⋅+ αes Ast⋅ dst x−( )2

⋅+ αep Ap⋅ dp x−( )2⋅+=

SiII x( ) b t⋅ xt

2−

⋅ bwx t−( )

2

2⋅+ αes Ast⋅ dst x−( )⋅− αep Ap⋅ dp x−( )⋅−=

A berepedt km. statikai nyomatéka és inerciája a semleges tengely magasságának függvényében:

Mgqp x( ) Mser.c σpm Ap⋅ dp x−( )⋅−=

A mértékadó nyomaték a semleges tengely magasságának függvényében:

Ahol Mgqp(xII) a mértékadó teherből (pser.c) és a feszítőerőből származó nyomaték a semleges tengely magasság függvényében, Npm a hatásos feszítőerő, IiII(xII) a berepedt keresztmetszet inerciája, SiII(xII) a berepedt keresztmetszet statikai nyomatéka a semleges tengely magasság függvényében.

Mgqp xII( )Npm

IiII xII( )SiII xII( )

=

A nyomóerővel terhelt, rugalmas-berepedt állapotban lévő vasbeton keresztmetszet xII semleges tengely magassága az alábbi, xII-re harmadfokú egyenletből számítható:

A tartó lehajlása rugalmas-berepedt keresztmetszet feltételezésével

- 31 -

M0 201.77 kNm=M0

IiII

SiIINpm⋅ σpm Ap⋅ dp h−( )⋅+=A dekompressziós nyomaték:

IiII 4.559 1010

× mm4

=IiII IiII h( )=

SiII 7.527 107

× mm3

=SiII SiII h( )=A keresztmetszeti jellemzők:

xII 0.8 m=xII h=A semleges tengely magassága:

A dekompressziós nyomaték az a nyomaték érték, amely hatására a (korábban már megnyílt) repedések záródnak, azaz a rugalmas-berepedt keresztmetszet feltételezésével számított tartón az alsó-szélsőszál feszültség éppen zérussal lesz egyenlő. A dekompressziós nyomaték számítása:

A ζ tényező értéke feszített tartó esetén a terhelés jellegétől, a repesztőnyomaték, a dekomperssziós nyomaték, illetve a feszítőerőből + külső terhekből származó nyomaték értékeitől függ.

yd ζ yII⋅ 1 ζ−( ) yI⋅+=

A tényleges lehajlás értéke közelítően az alábbi képlet szerint számítható:

A tartó tényleges lehajlása

yII 16.8 mm=yII5

48κII⋅ leff

2⋅=

A lehajlás értéke rugalmas-berepedt állapot feltételezésével:

κII 1.12 103−

×1

m=κII

σcf.II σca.II+

h Ec.eff⋅=

A tartó görbülete mezőközépen:

A σca.II fiktív húzófeszültség érték, tekintet nélkül arra, hogy meghaladja-e a húzószilárdságot.

σca.II 0.8N

mm2

=σca.II

Npm

AII−

Mgqp

IiIIh xII−( )⋅+=alsó-szélsőszál:

σcf.II 9.74−N

mm2

=σcf.II

Npm

AII−

Mgqp

IiIIxII⋅−=felső-szélsőszál:

A beton szélsőszál feszültségek:

- 32 -

A ζ tényező számítása:

A teher jellegét figyelembe vevő tényező: β 0.5= (tartós terhelés esetén)

ζ 0 β Mcr⋅ M0≥( ) Mgqp Mcr<( )∧if

0 β Mcr⋅ M0<( ) Mgqp M0<( )∧if

1 β Mcr⋅ M0<( ) Mgqp M0≥( )∧if

1β Mcr⋅ M0−

Mpm M0−

2

−

β Mcr⋅ M0≥( ) Mgqp Mcr≥( )∧if

=

ζ 0=

A tartó tényleges lehajlása:

y ζ yII⋅ 1 ζ−( ) yI⋅+= y 12.7 mm= <leff

50024 mm= Megfelel!

Megjegyzés: Ha a feszítésből + külső terhekből származó nyomaték értéke (Mgqp) kisebb mint a dekompressziós nyomaték (M0), akkor a repedések (a feszítés hatására) záródnak. Ebben az esetben a tartó tényleges lehajlása rugalmas-repedésmentes keresztmetszet feltételezésével számítható, nincs szükség a berepedt állapot vizsgálatára, illetve ζ meghatározására.

- 33 -

6. A tartóvég vizsgálata

Előfeszített tartóknál a tartóvégen, a feszítőbetétek lehorgonyzásának környezetében a tartó tengelyére merőleges σy húzófeszültségek alakulnak ki, melyek a tartóvéget megrepeszthetik.

A tartóvég közelében a tartó síkbeli feszültségállapotban van, míg a távolabb lévő keresztmetszetekben a feszültségállapot egytengelyűnek tekinthető. A kétfajta feszültségállapot között nincs határozott átmenet, a "megzavart" szakasz hosszát jó közelítéssel az lpt lehorgonyzási hosszal vehetjük egyenlőnek. A következőkben ezen tartószakasz egyensúlyát vizsgáljukvégleges (t3) állapotban.

h’ / 2 h’ / 2

y

x

σy

σx

I

σx1

d I

I

K

K K-K metszet

I I

σx2

σx3

K-K

Fc Ft

ΙΙΙΙ....

z

ΙΙΙΙΙΙΙΙ....

0,3 h’ 0,6 h’

σI

σII Fc = Ft

'hb15,0

F

w

cI

⋅⋅=σ

'hb6,0

FI

w

tI

⋅⋅=σ

A keresztirányú σy feszültség a vízszintes I-I metszet mentén harmadfokú parabola eloszlású a h' hosszon. Ezt közelíthetjük egy helyettesítő, 0,9•h' hosszon megoszló, lineárisan változó (I. szakasz) és konstans (II. szakasz) feszültség eloszlással. Az I. és II. szakaszokon ébredő feszültségek Fc és Ft eredői egy erőpárt alkotnak (Ft = Fc). A nyírófeszültségek elhanyagolása esetén ezen erőpár nyomatékának a K-K metszetben fellépő, tartótengely irányú σx feszültségek I-I metszet feletti részének nyomatékát kell egyensúlyoznia. Ebből a feltételből meghatározható a tartóvégen fellépő Ft keresztirányú húzóerő nagysága. Az I-I metszetet a legfelső húzott feszítőbetétek súlypontjának magasságában kell felvenni.

A lehorgonyzási hossz tervezési értéke a tartóvég vizsgálathoz:

lptd 1.2 lpt⋅= lptd 1.477 m=

- 34 -

Ft 249.35 kN=Ft

Mx

z=

A függőleges húzóerő nagysága a K-K és I-I metszetekben ébredő nyomatékok egyenlőségéből:

z 738.6 mm=z 0.5 h'⋅=

A függőleges Fc és Ft erők karja:

Mx 184.17 kNm=

Mx σx2 t⋅ b⋅ dIt

2−

⋅σx1 σx2−( )

2t⋅ b⋅ dI

t

3−

⋅+ σx3 dI t−( )⋅ bw⋅dI t−( )

2⋅+

σx2 σx3−( )2

dI t−( )⋅ bw⋅ dI t−( )⋅2

3⋅+

...=

A vízszintes erők nyomatéka az I-I metszetre:

σx3 1.02−N

mm2

=σx3

Npm

AiI−

MEdξ Mpm−

IxiIdI xiI−( )⋅+=

σx2 3.23−N

mm2

=σx2

Npm

AiI−

MEdξ Mpm−

IxiIxiI t−( )⋅−=

σx1 3.91−N

mm2

=σx1

Npm

AiI−

MEdξ Mpm−

IxiIxiI⋅−=

A vízszintes feszültségek értékei (rugalmas-repedésmentes állapot feltételezésével):

dI 678 mm=dI d1=

Az I-I vízszintes metszetre vonatkozó hasznos magasság:

MEdξ 190.97 kNm=MEdξ

pd leff⋅

2ξ⋅ pd

ξ2

2⋅−=

Mértékadó nyomaték a K-K metszetben, végleges állapotban:

ξ 1.327 m=ξ h'v

2−=

A K-K metszet távolsága az elméleti támasztól:

h' 1.477 m=h' max h2

0.6 lptd⋅( )2+ lptd,

=

A vizsgált szakasz hossza:

- 35 -

A szükséges vasalás (zárt kengyelezés) mennyisége:

Asw.szüks

Ft

fyd= Asw.szüks 573.5 mm

2=

Szükséges kengyel darabszám:

nAsw.szüks

Asw= n 5.705=

Az alkalmazott kengyelek száma: n 6=

Ezt a kengyel mennyiséget a II. szakasz (lásd ábra) mentén kell elhelyezni a tartóvégen.

Megjegyzés: Kezdeti állapotban a σx feszültségek rendszerint nem váltanak előjelet, ekkor a belőlük származó nyomaték felülről lefelé haladva monoton növekszik és az előbbieknek megfelelően a legfelső húzott pászmák vonalában lesz a maximuma. Előfordulhat azonban (főleg végleges állapotban), hogy a víszintes feszültségek a K-K metszetben előjelet váltanak. Ilyenkor a nyomatéknak két maximuma lesz (egy pozitív és egy negatív). A negatív maximumot abban a metszetben kapjuk, amelyben a σx feszültségek eredője zérus, vagyis ahol a húzó- és nyomófeszültségek kiegyenlítik egymást. A pozitív maximum továbbra is legfelső húzott pászmák vonalában lesz. Ilyenkor az alábbi ábrának megfelelően meg kell határozni mind a két nyomatéki maxmimumhoz tartozó függőleges húzóerőt, illetve Asy vasalást.

σx1

σx3

MK-K

h’

σx1

σx3 +maxM

−maxM

+maxM

yd

maxIIsy fz

MA

⋅=

+

yd

maxIIsy fz

MA

⋅=

+

yd

maxIsy fz

MA

⋅=

−

h’

MK-K

0,3 h’ 0,6 h’

0,3 h’ 0,6 h’

Az utóbbi esetben ügyelni kell arra, hogy a maximális negatív nyomaték az I. szakaszon, míg a maximális pozitív nyomaték a II. szakaszon okoz húzást, tehát mind a két szakaszon kell vasalást alkalmazni a számítás szerinti mennyiségben. A tartóvég vasalásához természetesen még hozzá kell adni a külső terhek okozta nyíróerő felvételéhez szükséges nyírási vasalást.

- 36 -

vasbeton szerkezetek ii hefop-jegyzet

Documents