INGENIERIA ELECTRICA

EI Metodo de los Elementos Finitospara el Calculo de Campos Electrostaticos

REDUCCION DE LAS DISTANCIAS DEAISLAMIENTO: UNO DE lOS OBJETIVOS DE LA

TECNICA DE LA ALTA TENSIONEI crecimiento de la demanda de energfa electricaexiqe. para su transporte a menor coste. el empleode tensiones cad a vez mas elevadas. Colombia seencuentra en proceso de superar las etapas de115.000 Y 230.000 voltios con el pr6ximo ingresoa los niveles de 500.000 voltios.Estos niveles de tensi6n originan grandes esfuerzosdel dielectrico colocado entre los puntos a potencialy tierra. Para compensarlos se requieren grandesdistancias de aislamiento -como en el caso delaire- 0 costosos materiales aislantes de grantensi6n disruptiva -como el Hexafluoruro de AzufreSFe-·EI aumento de precios en predios ubicados en areasurbanas 0 en paises de gran densidad de poblacion.ha incrementado el costa de las instalaciones conaislamiento en alre haciendo competitivas las esta-

ciones encapsuladas que emplean costosos materia-les dielectricos. Esta reducci6n del tarnario oriqinaproblemas de disefio. ya que en ninqun sitio delaislamiento debe. superarse el valor de rigidezdielectrica del material.Se requiere entonces. mediante metod os anal6gi-cos 0 nurnericos. describir el comportamiento delcampo electrico mediante la ubicaci6n de las lineasequipotenciales y de intensidad de campo electrico

METODOS DE CALCULOLa soluci6n de los campos electrostaticos se obtieneal resolver la ecuaci6n de Laplace, que en dosdimensiones y coordenadas cartesianas es:

100%

Frontera

Electrodo a'TierraElemento Hnito

FIGURA 1, Condiciones de Frontera para un Continuo,

EI M'todo de los Elementos Fin;tos se plantea como uno delos sistemas numericos mils apropiados para el clliculo deCampos Electrostllticos por su aplicaci6n al estudio degeometrlas cerradas en las que sus condiciones de Fronterason conocidas.

En el presente articulo se comenta el empleo del ProgramaNASTRAN /1/ basado en este metodo y del ProgramaTOPONET /2/ para la generaci6n de la Red de ElementosFinitos.

Los ejemplos que aqul aparecen fueron corridos en el Centrode C6mputo de la Universidad Fridericiana de Karlsruhe.Alemania Federal. /3/

FRANCISCO ROMAN CAMPOSIngeniero electricistaInstructor Asociado

Estudios de Postgrado en Alta TensionUniversidad de Karlsruhe. Alemania Federal

Frontera

0%

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FIGURA 2. Generaci6n de Red de Elementol Finitol de TOPONET.

a2+ =0al (1)un caso especial de la ecuacion difer encial

de Poisson

o

Donde:£ Constante dielectrics del medioP = Densidad de carga electricaIP = Potencial funci6n de las coordenadas

La ecuaci6n es definida par las condiciones defrontera que pueden ser del tipo de Dirichlet.Neumann 0 Cauchy. En la sotucion de problemas

aax

alP a alP(I: - ) + - (I: -) + P

ax ay ay(2)

Linea Electrodo de Alta TensionEquipoten100 100 100 100 100 100

100%

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electrostaticos aparecen las condiciones de DIrich-let, que en el caso de electrodos pianos significaconocer la tensi6n en electrodos y una distribuci6nde campo hornoqeneo en los limites del dielectricodel condensador -Vease figura 1.

EI solucionar la ecuaci6n de Laplace por rnetodosanaliticos es posible para geometrias muy sencillas.Cuando la complejidad que exige el diserio se hacepresente. es necesario recurrir a rnetodos anal6gi-cos 0 nurnericos para su soluci6n.Los rnetodos anal6gicos. como el tanque electroliti-co 0 el del papel conductor /4/ han sido muyempleados en el diserio electrico. en especial elprimero. por su capacidad para representar elcampo de los cuerpos con simetrfa rotacional 0 elcampo tridimensional.Sin embargo. debido al incremento de la velocidady capacidad de almacenamiento de los computado-res y al desarrollo de nuevas tecnicas de ordena-miento 6ptimo. se ha incrementado el uso de losmetod os numericos para disefio.Los principales rnetcdos nurnericos son los siguien-tes:

- EI metoda de las diferencias finitas- EI metoda de simulaci6n de cargas- EI metoda de elementos finitos

La utilizaci6n de cada uno de estes se acomoda altipo de problema por resolver. existiendo la posibili-dad de un empleo combinado de los rnetodos. Lasdiferencias finitas y elementos finitos se empleanpara geometrfas cerradas en las que sus condicio-nes de frontera son conocidas. casos tlpicos son loscables y rnaquinas electricas.Para el disefio de geometrfas abiertas. tales comoIfneas de transmisi6n. es aconsejable el metoda desimulaci6n de cargas. el cual no exige un conoci-miento previo de las condiciones de frontera deldielectrico.

EL METODO DE. LOS ELEMENTOS FINITOSEste es un metoda de aproximaci6n para la soluci6nde modelos rnaternaticos representados por ecua-ciones diferenciales y definidos en una reqion(Continuo) por sus condiciones de frontera. EIContinuo se divide en partes ffsicas. Ilamadaselementos finitos. que poseen las caracterfsticas delmedio. Mediante la adici6n de las soluciones paralos elementos se resuelve toda la regi6n. Un brevecomentario acerca del fundamento rnaternatico sepresenta en el Anexo 1.Los tipos de elementos mas empleados sonel trianqulo y el cuadrilatero. Los triariqulos tienengran ventaja per su adaptaci6n a la representaci6n

100 100 100 100 100100% "'

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Electrodo de Alta TensionEquipoten 100 100

800/,

-, " ,

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100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100· 100 100 1000

gO 89.7 893 88'6 _ 876. - 1-865 - 85.9- 1-857 - rs59 - 1-864 -~76 _ ~86 _ 893 89.70

~J---- --776- - 755 -80 79.5 789 72.3 71.3 71 1 71.2 723 77.6 _ 789 79.5

0 l---~ -r---- 1-55:9 559- l---- '676 -70 69.6 68.9 - ~676 643/ 559 559 1'--559 643 1--689 ~ 696-~

0 V ",/, 1"-.'''''-

60 60 59.8_ ~593 582 559 55.9 55.9 559 55.9 582 -'!-594 _ ...598 600

-50 504 51 518 533 559 559 559 559 559 533 518 51 504

0 --t---- L.--t--- »>40 40.8 41.9 43.7

otros y poseen a su vez. en 10 posible igual tarnario yapariencia.Puesto que la secuencia de los nodos es cualquier a.se ejecuta al final una renurner acion que tiene parobjeto reducir la diferencia entre los puntas nodalesde un elementoEste programa genera la red aun bajo la presenciade trazos curvos a agujeros en la superficie ypuede. adernas. generar en sitios de la estructurauna mayor densidad de elementos. Un ejemplo de lared asl pr oducida se observa en la figura 2.CALCULO DE CONFIGURACIONEs sENCILLAs

DE ELECTRO DOSSe corrieron can NASTRAN algunos ejernplos deconfiguraciones sencillas de electrodos empleandod iferentes upes de elementos En Ia fig ura 3 seobservan los electrodos planas can dielectrico air ey conformado par 50 elementos triangulares.

En la figura 4 se presentan electrodos planas canescalon, dielectrico aire y 50 elementos triangula-res.

La figura 5 aparecen electrodos planas can dosdielectricos ( f = 1 y f = 6) Se emplean 50 ele-rr.e ntos tri ang u Iares.

EI mismo tipo de electrodos de la Figura 4, pero can140 elementos cuadrilateros se presenta en laFigura 6

En la Figura 7 se representa un condensador planocan dielectrico air e y un elemento metalico (electro-do libr e) que se representa par un valor dielectricode 10.000

EI tiempo de CPU empleado por el programaNASTRAN en funcion del nurnero de elementos semuestra en la Figura 8.

EI programa emplea para resolver una geometrfa de500 elementos un tiempo aproxirnado de CPU de2 minutos. Una geometrfa con una cantidad deelementos de ese orden de magnitud se muestra enla Figura 9.

Tiempo(min)

2' 1 CPU

i:

o 300100 200 400 5001 Elementen2 Nodos

FIGURA 8, Tiempo de CPU de NASTRAN

CONCLUslONEsMediante la utilizacion de la subrutina decalculo detr ansrnision de calor del Programa NASTRAN pudoencontrarse la distribuci6n de campo electrico enconfiguraciones sencillas de electrodes. utilizandopara ello la similitud de las ecuaciones diferencialesque rigen los dos tenomenos.Los datos de salida de NASTRAN son las tensionesnodales y la intensidad de campo y gradiente depotencial en cada uno de los elementos de la red.Para la interpretaci6n de los resultados debecontarse con programas de dibujo de isollneas. queinterpolen los valores de las tensiones nodales.EI empleo de NASTRAN se facilit6 mediante el usode un programa de generaci6n de red lIamadoTOPONET. Asi se solucion6 uno de los problemasfundamentales del rnetodo. puesto que el construirla estructura y suministrar manualmente los datoses un tr abajo extenso y posible fuente de error.Adicionalmente, la generaci6n de red debe seroptima en el sentido de lograr que la matriz derigidez conserve sus caracteristicas de matriz banday posea pocos elementos disperses.La uni6n entre NASTRAN y TOPONET exigi6 progra-

FIGURA 9, Diodo de Alta Tenli6n. Se diltinguen 6 lubregionel candiferente numero de elemental finitol. Red triangular generada parTOPONET,

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mas de acople que a su vez perrnitieron fijar lasrestricciones para cada problema.Debido a sus bondades el uso de los programas deelementos finites se ha extendido a numerosasareas de la inqenier la electrica. En alta tension es unrnstrurnento uti] de diserio y anal Isis para predecir elcomportamiento de aislamientos combinadas yevitar asf fallas en los materiales por esfuerzosdielectricos demasiado altos.De la experiencia en el empleo de los programas deelementos finites se desprende su utilidad comoherramienta de calculo en las diferentes areas de laingenieria. Es recomendable. por 10 tanto, que loscentros de calculo de las universidades cuenten canestos tipos de programas apoyados en los deqeneracion de red y de dibujo para facilitar lostrabajos de diserio e investiqacion de los ingenieros.

ANEXO 1METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Las ecuaciones diferenciales y sus condiciones defrontera definen el problema en una region (Conti-nuo). Mediante el calculo variacional puede gene--ersc una funcional. que es una expr esion de laenergia potencial qus existe en el Continuo A travesde la rninimizacion de la energfa en cad a elementose obtiene el recorrido del campo para toda laregion.La ecuacion por resolver para el campo electr ostati-co es la ecuacion de Laplace (1 ). Las restriccionesen los limites se fijan de acuerdo can las condicio-nes de Dirichlet:

R( cP) = cPo

siendo cPo potenciales conocidos en la frontera.Con la ayuda del calculo variacional puede encon-trarse la funcional de la ecuacion laplaciana:

I = 1{I / 2 f(acP\2 + 1/ 2f(acP)2 IdA _A ax J ay

_ fcP acP dRanDonde:A = Superficie de IntegracionI = es la FuncionalUna parte de la funclonal representa la energia delcampo electrostatico:

We= 1 1/2D.E. dA = 1 1/2fedAA A

= 11/ 2f grad2cPdAW =1 {1/2f(acP)2 +(acP)2}dA

e ax ayE es la intensidad de campo electrlco f es laconstante dielectrica.

D es el desplazamiento electricoDonde We representa la energfa del campo elec-tr ostatico.la ecuacion de Euler de la funcional corresponde ala ecuacion de Laplace (1 )Para este problema, que es lineal, se cumple que laprimera derivada de la funcional se anula:

~ = a (7)acP

DiscretizacionLa discr etizacion se efectua mediante la division delcontinuo en zonas Ilamadas elementos finitos. Cadaelemento es detinidode acuerdo con una funcion:sequn el nurner o de sus nodos y el potencial en suInterior se define de acuerdo con los potencialesen los nodos ( cf>e )

(8)

cPi

cP)

cPk

Donde la rnatriz ]NI es la Ilamada fu ncionde forma yes funcion de las coordenadas nodales.Para minimizer la tuncional en todo el continuo y entuncion de todos los potenciales. debe satisf acer seel siquiente sistema de ecuaciones

(4)

al--a

Donde: I Kle es una matriz sirnetr ica con elementosconstantes. tuncion de las coordenadas nodales v.por 10 tanto, conocida.

. {}' es una matriz columna que contiene todos lospotenciales nodales.Cuando se resuelve el sistema de ecuaciones paratoda la region resulta el siguiente sistema deecuaciones:

~ = I KI {J = 0 (13)a .

Donde los elementos de la matriz I KI son:( 14)

AI considerar las condiciones de frontera, el sistemapor solucionar se transforma en:

I K I {UJ = {PJ(3)

Donde:I KI es la lIamada matriz de rigidez que contienelas caracterfsticas del medio. Es una matrizsimetrica. dominante y con la mayorfa de suselementos colocados en la diagonal. algunoselementos dispersos y el mayor nurnero deelementos iguales a cero. Solamente existenelementos donde hay conexi6n entre los distin-tos elementos finitos (0 sea en los nodos quepertenecen ados 0 mas elementos).

{UJ es la matriz columna de tensiones desconocidasen los nodos de los elementos.

{PJ es una matriz columna funci6n de las"tensionesconocidas en las fronteras del Continuo y de lasfunciones de forma que se expresan en coorde-nadas de superficie /5/.

Con la soluci6n de la ecuacion (3) por metod osnurnericos apropiados y rutinas de ordenamientooptirno para aprovechar la dispersi6n de la matriz seresuelve la estructura.

ANEXO 2ANALOGIA DE LAS ECUACIONES PARACONDUCCION DE CALOR CAMPOS DE

CORRIENTE Y ELECTROSTATICOS

ELECTROSTATICO TERMICOCAMPO

I-",C,-",O,-,-N"-"S,,:-J:--,,A~N~T..!-E"'---+- A -------l€ x Conductividad

Constante Dielectrics Conductividad Terrnica

Q = Carga electr icaConstante

Tensi6nE - iJcP-ax

E = Campo Electrico

CORRIENTE

Tensi6n TemperaturaE =a,4> Grad T = aTax ax

E = Campo Electrico Grad T = Gradiente deTemperatura

J = Densidad deCorrienteConstante

o = Flujo de CalorConstante

Los valores de K yeP se refier en a la ecuaci6n de Poisson

BIBLIOGRAFIA

1 Mac Neal. R. The Nastran Theoretical Manual (Level 1501December 1972 Level 15.5 Supplement Scientific and Techni~cal Information Office National Aeronautics and SpaceAdminis-tration. Washington DC 1972

2. Fuerhring. H. Finit-Element Loesungen von Kerb und Rissproble-me mit Hilfe automatischer Netzgenerierung Heft 24 Veroeffen-tlichung des Instituts fuer Statik und Stahlbau der TechnischenHochschule. Darmstadt 1973.

3. Roman. F. Die Berechunung elektrostatischer Felder mit Mas-tran. Studienarbeit T H Karlsruhe. 1982.

4. Kind, D. Einfuehrung in die Hochspannungsversuchstechnik fuerElektrotechniker 2 bearbeitete Auflage. Viewig & Sohn. Brauns-chweig/Wiesbaden 1978 Pag. 115-124.

5. Chung, T. J Finite Element Fluid Dynamics Mc Graw HillInternational Book Company 1978

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