Zadaci za samostalni rad

1. U trouglu ABC dati su vektori koji odgovaraju tezisnim duzima−−→AD,

−−→BE

i−−→CF. Naci

−−→AD +

−−→BE +

−−→CF.

Rezultat:−−→AD +

−−→BE +

−−→CF = 0.

2. Dokazati da je cetvorougao cije se dijagonale polove paralelogram.

Rezultat:

Treba pokazati da je−−→AB =

−−→DC,

−−→AD =

−−→BC.

3. Dati su vektori ~a = (3,−2, 1) i ~b = (4,−7,−3). Odrediti skalarni proizvodvektora:

a) ~a i ~b.

b) ~a −~b i ~a − 2~b.

c) ~a +~b i 3~a −~b.

Rezultat:

a) ~a ·~b = 23.

b) (~a −~b) · (~a − 2~b) = 93.

c) (~a +~b) · (3~a −~b) = 14.

4. Izracunati intenzitet vektora

a) ~a = (3,−2, 1).

b) ~b = (4,−7,−3).

Rezultat:

a) |~a| =√

14.

b) |~b| =√

74.

5. Odrediti ugao ϕ izmedu vektora ~a = (3, 4, 2) i ~b = (−2, 2,−1).

Rezultat:

ϕ = π

2.

6. Odrediti projekciju vektora ~a = (5, 2, 5) na vektor ~b = (2,−1, 2), kao i

projekciju vektora ~b na vektor ~a.

Rezultat:

pr~b~a = 6 i pr~a~b =

√6.

7. Naci vektorski proizvod vektora

a) ~a +~b i ~c, gde je ~a = (1, 3,−1), ~b = (−2,−4, 3) i ~c = (4,−2,−3).

b) ~a +~b i ~a −~b, gde je ~a = (−2, 2,−1) i ~b = (−6, 3, 6).

Rezultat:

a) (~a +~b) × ~c = (7, 5, 6).

b) (~a +~b) × (~a −~b) = (−30,−36,−12).

8. Odrediti mesoviti proizvod vektora ~a = (1, 2, 3), ~b = (2, 1, 0) i ~c = (3, 2, 1).

Rezultat:

~a · (~b × ~c) = 0.

9. Odrediti kosinuse uglova koje vektor ~a = (1,−2, 2) obrazuje sa koordinat-nim osama.

Rezultat:

cos ∠(~a,~ı) = 1

3, cos ∠(~a,~) = − 2

3, cos ∠(~a,~k) = 2

3.

10. Pokazati da su vektori ~a = (2, 1, 3), ~b = (1, 1, 1) i ~c = (7, 5, 9) koplanarni i

izraziti vektor ~c preko vektora ~a i ~b.

Rezultat:

~a · (~b × ~c) = 0, ~c = 2~a + 3~b.

11. Odrediti realan parametar p tako da vektor ~a = (2p, 1, 1−p) gradi jednake

uglove sa vektorima ~b = (−1, 3, 0) i ~c = (5,−1, 8).

Rezultat:

p = 1

4.

12. Naci projekciju vektora ~a na vektor ~b, ako je |~p| = 2, |~q| = 3, ∠(~p, ~q) = π

3,

~a = 2~p − 3~q i ~b = ~p + ~q.

Rezultat:

pr~b~a = − 22√

19.

13. Odrediti povrsinu paralelograma konstruisanog nad vektorima ~a = (3, 1, 1)

i ~b = (1, 3, 1).

Rezultat:

P = 6√

2.

14. Izracunati povrsinu trougla ABC ako je A(1, 2,−1), B(0, 1, 5) i C(−1, 2, 1).

Rezultat:

P = 3√

3.

15. Naci zapreminu paralelepipeda konstruisanog nad vektorima ~a = (2, 1, 1),~b = (1, 2, 1) i ~c = (1, 1, 2).

Rezultat:

V = 4.