vektorilaskentaa euklidisissa avaruuksissa · 2012-09-21 · 101 27 kehityssÄÄnnÖt ... mutta...

MIKKO SAARIMÄKI

VEKTORILASKENTAA EUKLIDISISSA AVARUUKSISSA

JYVÄSKYLÄ

2012

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO

MATEMATIIKAN JA

TILASTOTIETEEN LAITOS

LUENTOMONISTE 65

UNIVERSITY OF JYVÄSKYLÄDEPARTMENT OF MATHEMATICS

AND STATISTICS

LECTURE NOTES 65

1

LUKIJALLE

Tässä kirjassa käsittelemme lukiokursseistakin tuttuja Eukleideen avaruuksia ajatellen niiden alkioitaensisijaisesti geometrisesti vektoreina. Esitietoina riittävät lukion matematiikan kursseista saadut pe-rustiedot vektoreista, lineaarisista yhtälöryhmistä ja polynomeista. Erilaiset matematiikan johdanto-kurssit auttavat toki myös käsitteiden ja todistustapojen omaksumisessa.

Kirjassa keskitymme Eukleideen avaruuksien vektorilaskennallisiin ominaisuuksiin. Taustalla onvahvasti geometrinen mielikuva ja suoraviivaisuus, lineaarisuus, on esitystä johdattava asia. Useastialoitamme tarkastelut tasosta edeten kolmiulotteisen avaruuden kautta useampiulotteisiin avaruuksiin.Geometrisesti painottuneenkin otteen lisäksi vektorilaskentaan on aina liitettävä myös algebrallisia tar-kasteluja. Niitä ei tässäkään kirjassa haluta eikä voidakaan välttää.

Lineaaristen yhtälöryhmien ymmärtämistä voidaan edistää vektorikäsittelyn avulla, mutta varsin-kin niiden ratkaisemiseksi jää silti riittämiin laskentaa suoritettavaksi. Sopivien työkalujen, kuten mat-riisien, ja algoritmisten menettelytapojen omaksuminen helpottaa kuitenkin työtä ja auttaa tarpeellisenjärjestelmällisyyden tavoittelussa. Onneksemme tätä työtä tekemään voimme nykyään myös varsin hel-posti valjastaa tietokoneita tehokkaine symbolisine ja numeerisine laskentaohjelmineen. Kirjassa py-rimme kuitenkin antamaan vain perustiedot vektorilaskennasta, lineaarikuvauksista ja matriisilasken-nasta; sovellukset ja laskentamenettelyt jäävät muiden kurssien ja kirjojen asioiksi.

Kirjan pykälät olen numeroinut juoksevasti välittämättä päälukujen vaihtumisesta, minkä toivontuovan tiettyä selkeyttä etenemiseen ja helpottavan viittausten löytymistä. Todistuksen loppumisenmerkkinä olen käyttänyt neliötä (�) ja esimerkin loppumisen merkkinä kolmiota (�).

Kirjan olen laatinut yhdessä Anu Kähkösen kanssa keväällä 2010 pitämämme lineaarisen algebranja geometrian kurssin pohjalta. Kiitos Anulle opettavaisista asiavalinnoista ja esitystavoista, jotka viitoit-tivat myös omia valintojani. Kiitän myös Toni Hukkasta ja Päivi Lammia rakentavista huomautuksista.Kirjan mallina olen käyttänyt työtoverieni Lauri Kahanpään ja Matti Hannukaisen sekä Veikko T. Pur-mosen luentomonisteita, kiitos heille mainioista esikuvista.

Jyväskylässä syyskuussa 2010 sekä korjauksin ja tarkistuksin elokuussa 2012 Mikko Saarimäki

2

Kaikki ajattelu on hauskaa – suoraviivainen ajattelu on suoranaisen hauskaa!

3

SISÄLTÖ

LUKIJALLE 1

I VEKTORIAVARUUS 51 JOUKKO-OPIN MERKINTÖJÄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 LUONNOLLISET LUVUT JA TÄYDELLINEN INDUKTIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Induktiivinen päättely 8Pienimmän alkion periaate 10Rekursiivinen määrittely 10

3 EUKLEIDEEN AVARUUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11Tason koordinaatisto 11Yleinen Eukleideen avaruus 14

4 LINEAARIKOMBINAATIO, VIRITTÄMINEN JA ALIAVARUUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16Lineaarikombinaatio 16Lineaarinen peite 17Aliavaruus 18Suora 20Affiini aliavaruus 20

5 EUKLEIDEEN AVARUUDEN GEOMETRINEN RAKENNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21Kohtisuoruus, kulma ja pituus tasossa 21Sisätulo 22Vektorin pituus 23Vektorien kulma 25Vektorin projektio suoralle 25

II LINEAARINEN YHTÄLÖRYHMÄ 286 LINEAARINEN YHTÄLÖRYHMÄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

Graafinen ratkaiseminen 28Kaksi yhtälöä ja kaksi tuntematonta 29Kolme tuntematonta 30

7 LAAJENNETTU KERROINMATRIISI JA PORRASMUOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31Eliminointi- ja sijoitusmenettely 31Laajennettu kerroinmatriisi ja rivioperaatiot 33Porrasmuoto ja perusmuoto 36

8 GAUSSIN JA JORDANIN MENETELMÄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37Rivioperaatiot 37Algoritmin kuvaus 37Ratkaisujen määrä 40

9 HOMOGEENINEN YHTÄLÖRYHMÄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

III LINEAARINEN RIIPPUVUUS, KANTA JA DIMENSIO 4310 LINEAARINEN RIIPPUVUUS JA RIIPPUMATTOMUUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

Lineaarisen riippuvuuden selvittäminen 45GJ–menetelmän käyttö 47Taso 48

11 KANTA JA DIMENSIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48Avaruuden kanta ja dimensio 50Aliavaruuden kanta ja dimensio 51Yleinen taso ja hypertaso 53

4

IV LINEAARIKUVAUS 5412 KUVAUSTEN PERUSKÄSITTEITÄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5413 LINEAARIKUVAUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Lineaarikuvauksen määrittely ja esimerkkejä 55Lineaarikuvausten summa ja reaalikerta 58Yhdistetty kuvaus 59

14 LINEAARIKUVAUS JA KANTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5915 LINEAARIKUVAUKSEN YDIN JA KUVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Lineaarikuvauksen ydin 62Lineaarikuvauksen kuvajoukko 64Dimensiolause 64

16 LINEAARINEN BIJEKTIO, KÄÄNTEISKUVAUS JA ISOMORFISMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Lineaarinen bijektio ja käänteiskuvaus 67Isomorfismi 68

V MATRIISI 7017 LINEAARIKUVAUKSEN MATRIISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Lineaarikuvauksen matriisi 71Matriisinimityksiä 74Matriisien yhtäsuuruus, summa ja reaalikerta 75

18 MATRIISIEN TULO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7619 KÄÄNTEISMATRIISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8020 KÄÄNTEISMATRIISIN LASKEMINEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8421 ALKEISMATRIISIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8622 TRANSPONOITU MATRIISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

VI DETERMINANTTI 9123 KÄÄNTYVYYSMITTARI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9124 DETERMINANTIN REKURSIIVINEN MÄÄRITTELY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Palautuskaava 9325 ALKEISMUUNNOKSET JA DETERMINANTTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Determinantti kääntyvyysmittarina 99Determinantin laskeminen Gaussin menetelmällä 99

26 TULON JA TRANSPOOSIN DETERMINANTTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10127 KEHITYSSÄÄNNÖT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10328 DETERMINANTIN MULTILINEAARISUUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Lineaarikuvauksen determinantti 10629 LIITTOMATRIISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10630 BIJEKTIOT JA ALKEISKUVAUKSET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Bijektion karakterisointeja 108Alkeiskuvaukset ja bijektio 108

VII ORTOGONAALISUUS 11031 KOHTISUORUUS JA KANTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11032 ORTOGONAALIKOMPLEMENTTI JA -PROJEKTIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Hypertaso ja normaalivektori 114Matriisin ja transpoosin asteet 114Lineaarikuvausten yleinen rakenne 115

33 GRAMIN JA SCHMIDTIN MENETELMÄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11534 ISOMETRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Suuntaissärmiön tilavuus 11935 ISOMETRIAN KARAKTERISOINTEJA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

HENKILÖITÄ 121

KIRJALLISUUTTA 122

HAKEMISTO 124

5

I VEKTORIAVARUUS

Tässä ensimmäisessä luvussa kertaamme ensin joukko-opin merkintöjä, esitämme luonnollisten luku-jen induktioperiaatteen ja käymme läpi perusasioita tasoista, avaruuksista ja useampiulotteisista yleis-tyksistä niiden algebrallisine ominaisuuksineen ja geometrisine rakenteineen.

1 JOUKKO-OPIN MERKINTÖJÄ

Esitämme aluksi muutamia tuttuja joukko-opin perusasioita, lähinnä nimityksien ja merkintätapojenkertauksien vuoksi.

Usein tarkasteltavat joukot pyritään esittämään jonkin tunnetun perusjoukon osajoukkoina.Ne ilmoitetaan silloin muodossa

, jossa ehdolla rajataan se, mitkä alkiot otetaan mukaan. Joukko voidaan ilmoittaa myös luettelemalla senalkiot, esimerkiksi . Luettelossa käytetään joskus myös kolmea pistettä luet-telon jatkumisen merkkinä, jos jatkumistapa on alun perusteella ilmeinen.

Tuttuja (perus)joukkoja ovat mm. seuraavat lukujoukot:

luonnolliset luvut (’lukumääräluvut’) ,

kokonaisluvut ,

positiiviset kokonaisluvut (’järjestysluvut’) ,

rationaaliluvut eli murtoluvut ja

reaaliluvut (eli desimaaliluvut) . Joukkojen sisältyvyys (�) määritellään seuraavasti: , jos ehdosta seuraa aina, että

. Kun , on joukon osajoukko. Joukot ovat yhtäsuuret eli samat, , jos sekä että . Huomaa, että sisältyvyys ei kiellä sitä mahdollisuutta, että joukot jo olisivat samoja,

eli sisältyvyyden ei tarvitse olla aitoa. Kahdelle perusjoukon osajoukolle ja voidaan muodostaa

yhdiste ,

leikkaus ,

erotus ja

komplementti . Korkeintaan kolmesta joukosta näillä operaatioilla saatavat uudet joukot voidaan yleisesti kuvata

ns. Vennin kuvioilla (ks. kuva). Näillä kuvioilla voimme myös selvittää, milloin erimuotoiset lausek-keet määrittelevät saman osajoukon. Voimme esimerkiksi selvittää, ovatko joukot ja

aina samat eli päteekö yhtäsuuruus (ks.kuva alla). Jos valituksi tulevat täsmälleen samat kuvioiden palat, lausekkeiden määräämät joukotkinovat aina samat.

E

A x E� � ehto alkiolle x �

B 2 0 6 9 20 10 � �

� 0 1 2 3 �

� 3� 2� 1� 0 1 2 3 �

�+ �+ 1 2 3 � �

�mn---- � m �� n � ja n 0��

�

A B� x A�

x B� A B� A B A B�

A B� B A�

E A B

A B� x E� � x A tai x B��

A B� x E� � x A ja x B��

A B� x E� � x A mutta x B��

E A� Ac x E� � x A� � �

A B� C A� �

A C� A B� � A B� C A� � A C� A B� ��

6 I VEKTORIAVARUUS

Väritä yllä oleviin kuvioihin kyseisiin joukkoihin kuuluvat palat ja totea, että samat palat tulevat väri-tettyä. Tämän mukaan esimerkkilausekkeet antavat aina samat joukot.

Joukoista voimme muodostaa myös tulojoukkoja eli (Descartesin mukaan nimettyjä) karteesisiatuloja

, missä esiintyville järjestetyille pareille sovitaan, että täsmälleen silloin, kun ja

. Esimerkiksi joukoille ja on

. Jos tulojoukossa tekijäjoukot ovat samat eli erityisesti , merkitsemme myös ’potens-

simaisesti’, että . Tulojoukko yleistyy useammallekin tulon tekijälle, esimerkiksi

,

, jne. Näissä esiintyvien kolmikkojen, nelikköjen jne. yhtäsuuruudet määritellään kuten pareille, ts. ensim-mäisten alkioiden on oltava keskenään samat, toisten keskenään samat jne. Esimerkiksi

täsmälleen silloin, kun , ja . Jatkossa tarkastelemme erityisesti reaalilukujen tulojoukkoja, joita ovat

taso ,

avaruus , ja näiden yleistykset, ns. –ulotteiset avaruudet

,

missä , . Tapauksessa kyseessä on suora , jonka alkiot ovat pelkkiä lukuja.Avaruuksia sanotaan kreikkalaisen matemaatikon Eukleideen mukaan myös Eukleideen avaruuk-siksi tai euklidisiksi avaruuksiksi (engl. euclidean space). Niiden alkiot ovat luvusta muodostuvia (järjestettyjä) lukujonoja eli –jonoja (’ännikköjä’). Lukuja sanotaan sen jä-seniksi tai komponenteiksi. Avaruuden alkioille (tai geometrisesti pisteille) määritellään yhtäsuu-ruus seuraavasti: kun ja , on täsmälleen silloin, kun

jokaisella indeksillä .

A

C

B A

C

B

Väritä!A B� C A� � A C� A B� �

A B� a b � a A ja b B��

a b c d � a c�

b d� A 1 2 � B 3 4 5 �

A B� 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 �

A B� B A�

A A� A2�

A B� C� a b c � a A b B ja c C��

A B� C D�� a b c d � a A b B c C� ja d D��

a b c 3 1 5� � a 3� b 1� c 5��

�2 � �� x y � x y ��

�3 � �� x y z � x y z ��

n

�n � ��

n kpl

x1 x2 xn � xi �� kaikilla i 1 n � � �

n �� n 1� n 1� �

�n

x x1 x2 xn � nn xi

�n

x x1 x2 xn � y y1 y2 yn � x y�

xi yi� i 1 n �

2 LUONNOLLISET LUVUT JA TÄYDELLINEN INDUKTIO 7

2 LUONNOLLISET LUVUT JA TÄYDELLINEN INDUKTIO

Yksinkertaisesti ajatellen joukot voidaan luokitella niiden sisältämien alkioiden lukumäärän avulla.Tyhjässä joukossa ei ole alkioita ollenkaan. Sen alkioiden lukumäärää merkitään symbolilla 0, ts. siinäon 0 alkiota. Luvulla 1 merkitään niiden joukkojen luokkaa, jossa on yhtä monta alkiota kuin esimer-kiksi joukossa ; sanotaan myös, että jokaisen sellaisen joukon alkioiden lukumäärä eli mahtavuuson 1. Vastaavasti joukon mahtavuus on 2. Ja niin edelleen. Näin saadaan kokoon luonnollistenlukujen joukko

. Luonnolliset luvut ovat äärellisten joukkojen mahtavuuksia. Itse luonnollisten lukujen joukko onääretön joukko. Emme kuitenkaan tässä pohdi enempää joukkojen aksiomatiikkaa ja äärellisyyttä.

Luonnollisia lukuja voidaan varsin ’luonnollisesti’ laskea yhteen ja kertoa keskenään. Esimerkiksi tarkoittaa, että jos 2–alkioisen joukon alkioihin lisätään jonkin erillisen 3–alkioisen joukon

alkiot, saadaan aina 5–alkioinen joukko. Vastaavasti tarkoittaa, että sellaisista alkiopareista,joissa ensimmäinen valitaan 2–alkioisesta joukosta ja toinen 3–alkioisesta joukosta, saadaan koottua 6–alkioinen joukko.

Järjestyskin saadaan luonnollisesti. Esimerkiksi , koska jokaisella 2–alkioisen joukon alkiollaon aina oma vastineensa missä tahansa 3–alkioisessa joukossa. Perehtymättä kuitenkaan yhteen- ja ker-tolaskun tai järjestyksen problematiikkaan tarkemmin, oletamme nämä perusominaisuudet tunne-tuiksi.

Edellä mainittujen ominaisuuksien lisäksi luonnollisilla luvuilla on eräs hyvin tärkeä ja luonnollisentuntuinen ominaisuus, joka voidaan ottaa (tai joudutaan ottamaan) aksioomaksi. Tarkastelemme sitävarten ensin seuraavien yhtälöiden kuvaamaa päättelytehtävää:

Miten voimme päätellä lukuun 99 päättyvän summan? Tai yleisemmin parittomien lukujen summanannettuun (mahdollisesti hyvinkin suureen) lukuun asti? Tähän olisi helppo vastata, jos viimeisimmänyhtälön oikealle puolelle keksisimme jokin selkeän lausekkeen. Ensimmäisistä yhtälöistä näkyy, että jo-kin neliölauseke olisi hyvä ehdokas. Olisikohan yksinkertaisesti ? Mutta miten voimme tietää, onkose oikein?

Kaikkia summia emme voi kuvitella pystyvämme erikseen tarkistamaan. Tämän pulman ratkai-semme ajattelemalla rekursiivisesti: Toteamme ensin, että ensimmäinen yhtälö pitää paikkansa. Sittenhuomaamme, että edellinen summa esiintyy aina seuraavan osana: toisen yhtälön summassa esiintyyensimmäisen yhtälön summa (tosin typistyneenä pelkäksi luvuksi 1 ), kolmannen yhtälön summassaesiintyy osana toisen yhtälön summa , neljännen yhtälön summassa esiintyy osana kolmannenyhtälön summa , jne.

Saammekin seuraavan summatuloksen varsin helposti, jos tiedämme edellisen tuloksen. Jospa vieläpystyisimme löytämään yleispätevän säännön siitä, miksi ja miten edellisen rivin tulos antaa aina seu-raavan rivin tuloksen!

0 0 1

� 0 1 2 3 �

�

2 3� 5�

2 3� 6�

2 3

1 1�

1 3� 4�

1 3 5� � 9�

1 3 5 7� � � 16�

�

1 3 5 99� � � � ?�

�

1 3 5 2n 1� � � � � ?�

n2

1 3�

1 3 5� �

8 I VEKTORIAVARUUS

Tarkastelemme lähemmin kahta peräkkäistä summaa

ja . Oletamme, että edelliselle summalle pätee yhtälö

. Tarkastelemme sitten jälkimmäistä summaa

. Sen alkuosassa esiintyy edellinen summa, jonka siis otaksumme olevan . Sijoittamalla tämänsaamme, että

. Olemme siten saaneet seuraavan säännön: aina jos edellisen summan tulos on , on seuraavan sum-man tulos .

Tätä sääntöä käyttäen päättelemme seuraavasti: koska ensimmäinen summa antaa luvun 1 neliön,toinen summa antaa luvun 2 neliön, kolmas summa antaa luvun 3 neliön, neljäs summa antaa luvun4 neliön, jne. Mutta mistä tiedämme, että sääntö pätee loputtomiin?

Induktiivinen päättely

Edellä kaivatun päättelyn matemaattiseksi oikeutukseksi tarvitsemme seuraavaa luonnollisten lukujenperusominaisuutta.

2.1 Induktioaksiooma. Jos luonnollisten lukujen osajoukolle pätevät ehdot

(a) ja

(b) kaikilla ehdosta seuraa, että ,

joukko sisältää kaikki luonnolliset luvut eli .

Nyt voimme muotoilla tuloksen, jota voimme käyttää pykälän alussa esitetyn kaltaisten tehtävientulosten todistamiseen.

2.2 Täydellinen induktio (eli matemaattinen induktio). Olkoon jokin luonnollisesta luvusta riippuva lause, jolle

(a) pätee ja

(b) jokaiselle siitä, että pätee, seuraa että pätee.

Tällöin pätee kaikilla .

Todistus. Tarkastelemme joukkoa

. Tälle joukolle pätee oletuksen mukaan ensinnäkin se, että , ja toiseksi se, että jokaiselle ehdosta seuraa, että . Siten induktioaksiooman mukaan , ts. lause on aina tosi. �

Täydellisessä induktiossa se väite, että pätee, on induktio-oletus, ja se väite, että pätee, on induktioväite. Oleellisin – ja yleensä vaikein – kohta induktiotodistuksessa on osoittaa ole-tuksen avulla väite oikeaksi. Tätä sanotaan induktioaskeleeksi. Sellaista päättelyä,jonka todistus perustuu täydelliseen induktioon, sanotaan myös induktiopäättelyksi.

Täydellistä induktiota ei tarvitse aina aloittaa luvusta 0, vaan voimme aloittaa sen tarvittaessa jos-tain suuremmastakin luvusta.

1 3 2n 1� � � � 1 3 2n 1� 2n 1� � � � �

1 3 2n 1� � � � n2�

1 3 2n 1� 2n 1� � � � �

n2

1 3 2n 1� 2n 1� � � � � n2 2n 1� � n 1� 2� �

n2

n 1� 2

� A

0 A�

n �� n A� n 1� A�

A A ��

P n n

P 0

n �� P n P n 1�

P n n ��

A n �� P n pätee �

0 A� n ��

n A� n 1� A� A �� P n

P n P n 1�

P n P n 1�

2 LUONNOLLISET LUVUT JA TÄYDELLINEN INDUKTIO 9

2.3 Täydellinen induktio jostain luvusta alkaen. Olkoon jokin luonnollisesta luvusta riip-puva lause ja . Oletetaan, että

(a) pätee, ja

(b) jokaiselle , jolle , siitä, että pätee, seuraa että pätee.

Tällöin pätee kaikilla , joilla .

Todistus. Kun tarkastelemme lausetta , huomaamme, että sille pätevät täydelliseninduktion oletukset. Siten pätee aina eli pätee kaikilla niillä , joilla . �

2.4 Esimerkki. Palaamme pykälän alussa esitettyyn tehtävään, jossa pyrimme laskemaan parittomienlukujen summaa. Arvasimme silloin, että vastaukseksi tulisi . Osoitammesen nyt oikeaksi täydellisellä induktiolla. Olkoon väite, että yllä oleva kaava pätee luvulle .Koska , väite pätee. Oletamme induktio-oletuksena, että pätee jollekin , ts.

. Pitää sitten osoittaa oikeaksi induktioväite eli että pätee. Toisin sanoen pitää osoittaa, että

. Lähdemme kehittämään yhtälön vasenta puolta tavoitteena saada se muunnettua oikean puolen lausek-keeksi:

Nyt huomaamme, että alkuosassa esiintyy väitteen summa, jonka tiedämme induktio-oletuksenmukaan olevan . Sijoittamalla tämän saamme, että

. Olemme siten todistaneet induktioväitteen oikeaksi. Täydellisen induktion periaatteen mu-kaan väite pätee kaikilla , joille . �

2.5 Esimerkki. Osoitamme täydellisellä induktiolla oikeaksi kaavan ,kun .

Olkoon sitä varten väite, että yllä oleva ns. Gaussin kaava pätee. Väite pitää paikkansa,koska . Kun oletamme sitten, että väite pätee, saamme sen avulla muokattuaväitteen vasemman puolen summaa seuraavasti:

mikä osoittaakin jo, että pätee. Induktiotodistus on käyty läpi, ja siten annettu kaava päteekaikilla . �

2.6 Esimerkki. Olkoon mielivaltainen reaaliluku. Osoitamme, että

kaikilla luonnollisilla luvuilla . Olkoon sitä varten väite, että yllä oleva kaava pätee. Väite

pätee, koska (yhtälön vasemmalla puolella käytämme hyväksi sopimusta). Kun sitten oletamme, että pätee, silloin on

P n nn0 ��

P n0

n �� n n0� P n P n 1�

P n n �� n n0�

Q n P n0 n� �

Q n P n n �� n n0�

1 3 2n 1� � � � n2�

P n n 1�

1 12� P 1 P n n 1�

1 3 2n 1� � � � n2�

P n 1�

1 3 2 n 1� 1� � � � n 1� 2�

1 3 2 n 1� 1� � � � 1 3 2n 1� � � �

1 3 2n 1� 2n 1� .� � � �

�

�

P n n2

1 3 2 n 1� 1� � � � n2 2n 1� � n 1� 2� �

P n 1� P n n �� n 1�

1 2 n� � �12--- n n 1� �

n 1�

P n P 1 1 1

2--- 1 1 1� � �� P n

P n 1�

1 2 n 1� � � � 1 2 n� � � n 1� �12---n n 1� n 1� �

12--- n 1� n 2� 1

2--- n 1� n 1� 1� ,

� �

� �

P n 1� n 1�

x

1 x� 1 x x2 xn� � � � 1 xn 1��

n P n P 0 1 x� 1� 1 x1��

x0 1� P n

10 I VEKTORIAVARUUS

mikä osoittaa, että myös pätee. Olemme käyneet induktiotodistuksen läpi ja siten annettukaava pätee kaikilla luonnollisilla luvuilla . �

Pienimmän alkion periaate

Induktioaksiooman avulla voimme todistaa seuraavan, ennalta ilmeisen tuntuisen tuloksen. Tämä ns.pienimmän alkion periaate on siinä mielessä tasavertainen induktioaksiooman kanssa, että se voidaanottaa yhtä hyvin aksioomaksi ja induktioperiaate voidaan silloin todistaa sen avulla.

2.7 Pienimmän alkion periaate. Jokaisessa luonnollisten lukujen epätyhjässä osajoukossa on pienin al-kio.

Todistus. Olkoon jokin luonnollisten lukujen epätyhjä osajoukko. Tarkastelemme apujoukkoa

. Tämä joukko ei ole tyhjä, sillä luku 0 täyttää ilman muuta sen määrittelyehdon.

Apuväite 1: Joukossa on alkio siten, että . Teemme vastaväitteen: Joukossa ei ole tällaista alkiota, jolloin jokaiselle pätee, että

. Silloin joukko toteuttaa induktioaksiooman oletukset, joten sen mukaan . Jou-kon mielivaltaiselle alkiolle on luonnollisena lukuna myös joukon alkio. Siten joukon

määritelmän mukaan olisi , mikä on selvä ristiriita. Vastaväite on näin ollen väärin ja itseväite eli apuväite 1 oikein.

Apuväite 2: Luku on joukon pienin alkio, ts. . Koska , on olemassa alkio siten, että . Toisaalta , joten on

oltava . Koska edelleen ehdon mukaan kaikilla , on luku joukon pienin alkio. Apuväite 2 ja siten koko lause on todistettu. �

Pienimmän alkion periaatteesta seuraa ns. rajallisen laskeutumisen periaate: Jos lähdemme jostainpositiivisesta kokonaisluvusta ja pienennämme sitä askel askeleelta yhä pienemmäksi luonnolliseksi lu-vuksi, emme tätä voi tehdä loputtomasti positiivisten lukujen joukossa, vaan jossain vaiheessa pää-dymme välttämättä nollaan.

Rekursiivinen määrittely

Induktiopäättelystä voimme johtaa seuraavan rekursiivisten (aikaisempiin nojautuvien) määrittelyjenperiaatteen.

2.8 Lause. Olkoon jokin käsite, joka riippuu luonnollisesta luvusta , ja olkoon . Jos

(a) on määritelty ja

(b) määritellään käsitteen (tai vielä aikaisempien avulla), kun ,

on määritelty aina, kun .

1 x� 1 x x2 xn 1��

1 x� 1 x x2 xn� � � � 1 x� xn 1��

1 xn 1�� 1 x� xn 1��

1 xn 2�� 1 x n 1� 1� ,�

�

�

� �

P n 1� n

A

B b � � b a kaikilla a A��

B n n 1 B��

B n B�

n 1 B�� B B ��

A a a 1� BB a 1 a�

n A n minA�

n 1 B�� a0 A� a0 n 1� n a0

n a0 A�� n B� n a a A� nA

P n n n0 ��

P n0

P k 1� P k k n0�

P n n n0�

3 EUKLEIDEEN AVARUUS 11

2.9 Esimerkki. Reaaliluvulle asetamme, että ja , kun . Tällöin tu-levat kaikki positiiviset kokonaislukupotenssit määriteltyä. Edelleen voimme reaaliluvulle aset-taa, että ja , kun . Tällöin tulevat myös kaikki negatiivisetkokonaislukupotenssit määriteltyä. Jälkimmäisen määrittelyn voisimme tehdä myös ilman rekursiotamuodossa . �

2.10 Esimerkki. Ns. Fibonaccin luvut määritellään rekursiivisesti:

, ja , kun .

Näin määritellyn jonon alku näyttää seuraavalta: . Tällainen rekur-siivinen määrittely on kuitenkin siinä mielessä hankala, että tietyn termin määräämiseksi on ensin mää-rättävä kaikki edelliset termit. Esimerkiksi saadaan määräämällä kaikki edeltävät jononluvut. Fibonaccin luvuille on kuitenkin olemassa ratkaistut esitykset

, missä ja .

Tämän todistus ei kuulu kuitenkaan tämän kirjan, vaan ns. diskreetin matematiikan alueeseen. �

3 EUKLEIDEEN AVARUUS

Tässä pykälässä käsittelemme perusasioita tasoista, avaruuksista ja niiden useampiulotteisista yleistyk-sistä. Tällaisia perusasioita ovat näiden joukkojen pisteiden ilmoittaminen koordinaattien avulla, niidenymmärtäminen vektoreina ja näiden vektoreiden laskutoimitusten käyttö.

Reaalilukujen tuloavaruudet, ns. Eukleideen avaruudet määritellään rekursiivisesti:

, ja , kun . Edellä oleva yleinen tulo tulkitaan muodossa , missä joukko

esiintyy tulossa kaikkiaan kertaa. Siten alkiot ovat muotoa , missä kaikilla .

Tason koordinaatisto

Tason alkio on totutun havainnollistuksemme mukaan piste, jonka komponentteja ja sanotaan myös sen koordinaateiksi. Pistettä sanotaan tason origoksi. Tarkas-

telemme lisäksi tason toista pistettä ja suuntajanaa pisteestä pisteeseen (ks.kuva alla).

x x0 1� xn 1� xn x�� n 0�

x 0�

x 1� 1 x�� x n 1� � x n� x 1�� n 1�

x n� 1 xn��

x0 0� x1 1� xn 1� xn 1� xn�� n 1�

xn 0 1 1 2 3 5 8 13 21 �

x20 6765�

xnan

5------- bn

5-------�� a 1 5�

2------------------� b 1 5�

2------------------�

�1 �� 2 � �� n �n 1� �� n 1�

�n �n 1� ��

� n x �n� x x1 x2 xn �

xi �� i 1 n �

�2 A x1 x2 �

x1 x2 O 0 0 �

B y1 y2 � AB A B

�

B y1 y2 �y2

y1

•

O

y

•�

A x1 x2 �•

x1

x2

C •

x

12 I VEKTORIAVARUUS

Nuolimerkinnän jätämme yleensä jatkossa pois, koska suunta näkyy jo kirjoitusjärjestyksestä. Vaaka-siirtymä pisteestä pisteeseen on ja pystysiirtymä on . Valitsemme sitten pisteen

. Silloin suuntajanat ja ovat yhdensuuntaiset ( ) ja yhtä pit-kät ( ). Merkitsemme, että .

Yleisesti määrittelemme, että pisteitä A ja B sekä C ja D yhdistävät suuntajanat ja ovatkeskenään ekvivalentit, merkitsemme , mikäli . Suuntajanojen ekvivalent-tisuudella on seuraavat kolme ominaisuutta:

(a) Aina (refleksiivisyys).

(b) Jos , niin (symmetrisyys).

(c) Jos ja , niin (transitiivisuus).

Tällaiset kolme ehtoa (refleksiivisyys, symmetrisyys ja transitiivisuus) toteuttavia relaatioita sanotaanyleisesti ekvivalenssirelaatioksi. Keskenään ekvivalentit suuntajanat muodostavat ns. ekvivalenssi-luokan. Ekvivalenssiluokat ovat erillisiä joukkoja, ts. sellaiset suuntajanat, jotka eivät ole keskenään ek-vivalentteja, kuuluvat aina eri luokkiin. Suuntajanojen ekvivalenssiluokkia sanotaan vektoreiksi jasuuntajanat ovat silloin vektoreiden edustajia tai geometrisesti ajatellen niiden ilmentymiä. Vektorinpääedustaja on se suuntajana, jonka alkupiste on origo.

Ekvivalenssiluokkien käsittely on merkinnällisesti hankalahkoa ja merkintöjen yksinkertaistami-seksi teemmekin eräitä sopimuksia. Jos pisteen määräämä suuntajana edustaa vek-toria , merkitsemme, että . Täten pistettä ja vektoria mer-kitsemme samalla tavalla. Tästä seuraa, että voimme merkitä myös . Kuitenkin vektorit voi-vat ilmentyä minä tahansa suuntajananaan. Kun esimerkiksi edellä olevassa kuvassa merkitsemme, että

, voimme merkitä myös . Tämä on järkevää, sillä eli näillä suuntajanoilla on sama pituus ja suunta. On huomattava, että kun jotain suuntajanaa vastaavavektori halutaan ilmoittaa lukuparina, on suuntajana ensin siirrettävä origosta lähteväksi, jolloin tämänsiirretyn suuntajanan loppupiste on haluttu lukupari. Esimerkiksi edellä olevin merkinnöin

.

Edellä esitettyä vektoritulkintaa käyttäen on luonnollista määritellä vektorien ja summaksi vektori

.

Alla olevassa summan määräytymistä kuvaavassa kuviossa summavektori (tai tarkemmin seneräs edustaja) on suunnikkaan halkaisijana oleva suuntajana .

A B y1 x1� y2 x2�

C y1 x1� y2 x2� � OC AB OC ABOC AB� C B A��

AB CDAB CD� B A� D C��

AB AB�

AB CD� CD AB�

AB CD� CD EF� AB EF�

A x1 x2 � OAx x x1 x2 � x x1 x2 � x x1 x2 �

x OA�

z y1 x1� y2 x2� � z OC AB� � OC AB�

AB B A� y1 y2 x1 x2 � y1 x1� y2 x2� � � �

x x1 x2 �

y y1 y2 �

x y� x1 y1� x2 y2� �

x y�

OACB OC

�

�

Ax2

x1

B

C

y2

y1

x2 y2�

x1 y1�

y

O

x

•

x y�


Jos summassa asetamme , saamme

,

,

, jne.

Yleisesti sovimme, että , kun . Edelleen sovimme, että ,joka on vektorille vastakkaissuuntainen, mutta yhtä pitkä vektori. Tästä saamme samaan tapaankuin edellä myös kaikilla negatiivisilla kokonaisluvuilla kerrotut vektorit. Tämän jälkeen sääntö

pätee aina, kun . Kokonaisluvuilla kertomisen suuntaamana asetammekin jo-

kaiselle reaaliluvulle ja jokaiselle vektorille näiden tuloksi vektorin:

.

Vektoria sanomme tässä esityksessä vektorin reaaliker-raksi. Tarvittaessa tarkemmin pitäisi puhua, kuten useissa esi-tyksissä aina tehdäänkin, reaaliluvun (tai ’skalaarin’) ja vektorintulosta tai reaaliluvulla kerrotusta vektorista.

Vektori on nollavektori ja vektori on vektorin vas-tavektori. Vektorien ja erotus on vektori

.

3.1 Esimerkki. Vektoreille ja (jotka ovat eri vektorit, koska niiden yhtä suuretkomponentit ovat eri järjestyksessä) ovat

,

ja

. �

Tasossa akselien suuntaisilla vektoreilla

on erityisiä ominaisuuksia: Ensinnäkin, jos on mielivaltainen tason vektori, on

Jokainen vektori voidaankin esittää vektoreiden ja ns. lineaarikombinaationa

.

Toiseksi tämä esitys on yksikäsitteinen, mikä tarkoittaa sitä, että jos kerrointa tai muutetaan,summa (eli vektori ) muuttuu myös.

Sanomme, että vektorit ja muodostavat tason luonnollisen kannan. Niiden lineaari-kombinaationa voimme esittää jokaisen tason vektorin ja lisäksi kunkin vain yhdellä tavalla (eli vain yk-sin kertoimin).

x y� y x�

x x� x1 x1� x2 x2� 2x1 2x2 2x� � �

x x x� � 2x x� 2x1 x1� 2x2 x2� 3x1 3x2 3x� � � �

x x x x� � � 3x x� 3x1 x1� 3x2 x2� 4x1 4x2 4x� � � �

nx nx1 nx2 � n �� 1� x x1� x2� �

x

nx nx1 nx2 � n ��

•

x

2x

(–1)x

�x

� 2� O 1

2---x

� �� x x1 x2 �

�x �x1 �x2 �

�x x

0 0 0 � x� 1� x x1� x2� � � xy x

y x� y 1� x� y1 x1� y2 x2� � �

x 4 2 � y 2 4 �

13x� 13� 4� 13� 2� 52� 26� � �

x y� 4 2� 2 4� 6 6 � �

y 13x� 2 52� 4 26� 50� 22� � �

�2

e1 1 0 �

e2 0 1 �

x x1 x2 �

x x1 x2 x1 0 0 x2 � x1 1 0 x2 0 1 � x1e1 x2e2 .��

x e1 e2

x x1e1 x2e2��

x1 x2x

e1 e2 �2

14 I VEKTORIAVARUUS

Usein käytetään tason luonnollisen kannan vek-toreista myös merkintöjä ja ,jolloin jokaisella vektorilla on myös esitys

.

Viereisessä kuvassa on ja .

Yleinen Eukleideen avaruus

Vastaavasti kuin tasossa samastamme yleisen Eukleideen avaruuden (missä ) alkion eli geometrisesti pisteen vektoriksi, jonka eräänä edustajana on suuntajana , missä

O on origo ja . Avaruuden vektoreille

ja

sekä luvulle asetamme, että vektorien ja summa on

ja vektorin reaalikerta on

.

Avaruudessa nollavektori on ja vektorin vasta-vektori on vektori .

Seuraavat avaruuden vektoreita koskevat laskusäännöt on helppo todeta oikeiksi ja se tehtäväjätetäänkin lähes täysin lukijalle.

3.2 Lause. Avaruuden vektoreille , ja sekä reaaliluvuille ja pätevät seuraavat sään-nöt. A (1) (vaihdannaisuus).

(2) (liitännäisyys). (3) (nollavektorin olemassaolo). (4) (vastavektorin olemassaolo).

B (1) (reaalikerran liitännäisyys). (2) (osittelulaki). (3) (osittelulaki). (4) (ykkösellä kertominen).

Todistus. Käymme tässä esimerkkinä läpi vain ensimmäisen kohdan. Vektoreille ja saamme lukujen yhteenlaskun vaihdannaisuuden perusteella, että

mikä todistaakin kohdan A (1). �

Yleisesti joukkoa, jossa on määritelty sen alkioiden summat ja reaalikerrat sillä tavalla, että edelläolevan lauseen kaikki kohdat toteutuvat, sanotaan (reaaliseksi) vektoriavaruudeksi, lineaariavaruu-deksi tai lineaariseksi avaruudeksi (engl. vector space, linear space). Eukleideen avaruus on sitenvektoriavaruus. Tapauksissa kyseessä ovat suora, taso ja (kolmiulotteinen) avaruus.

Myös seuraavat avaruuden vektoreita koskevat laskusäännöt on helppo todeta oikeiksi.

e1 i�

e2 j�x 2i j��

2i

i 1 0 � j 0 1 �

x

x x1 x2 x1i x2j��

x1 2� x2 1�

�n n 1�

x1 x2 xn OAA x1 x2 xn � �n

x x1 x2 xn � y y1 y2 yn �

� �� x y

x y� x1 y1� x2 y2� xn yn� �

x

�x �x1 �x2 �xn �

�n 0 0 0 0 0 � � x x1 x2 xn �

x� 1� x x1� x2� xn� � �

�n

�n x y z �

x y� y x��

x y z� � x y� z��

x 0� x�

x x� � 0�

� x � x�

� � x �x x��

� x y� �x �y��

1 x� x�

x x1 x2 xn �

y y1 y2 yn �

x y� x1 x2 xn y1 y2 yn � x1 y1� x2 y2� xn yn�

y1 x1� y2 x2� yn xn� y1 y2 yn x1 x2 xn � y x ,�

� �

� � �

�n

n 1 2 3 �

�n


3.3 Lause. Avaruudessa pätevät seuraavat (kun on nollavektori ja 0 on luku nolla):

(a) Kaikille luvuille on .

(b) Kaikille vektoreille on .

(c) Jos luvulle ja vektorille on , on tai .

(d) Kaikille luvuille ja kaikille vektoreille on .

(e) Kun , ja , on täsmälleen silloin, kun .

Todistus. Kohdat (a), (b) ja (d) ovat suoraviivaisia laskuja ja kohta (c) seuraa tulon nollasäännöstä reaa-liluvuille (tarkastelemalla vektorien komponentteja). Kohta (e) jätetään harjoitustehtäväksi. �

Edellä olevan lauseen toiseksi viimeisessä kohdassa (d) olevaa vektoria merkitään yleisesti ilmansulkeita muodossa . Viimeisessä kohdassa (e) olevaa vektoria taas merkitään erotuk-sena .

Kaksi nollavektorista eroavaa vektoria ja ovat samansuuntaiset, jos jollekin ,ja vastakkaissuuntaiset, jos jollekin . Ne ovat yhdensuuntaiset, jos jollekin

, ja erisuuntaiset, jos kaikilla . Lauseen 3.2 mukaan kaikki samat yhteen- ja kertolaskuja koskevat laskulait, mitä luvuille toimivat,

toimivat myös vektoreille ja niiden reaalikerroille. Yleisen käytännön mukaisesti reaalikerrassa lukukirjoitetaan kuitenkin aina vektorin vasemmalle puolelle; kirjoitammekin eikä .

3.4 Esimerkki. Jos ja , voimme ratkaista yhtälöstä vektorin edellä olevia laskulakeja käyttäen vaikkapa seuraavasti:

Huomioi, että tässä ratkaisimme yhtälön pitämällä vektorit ensin yleisinä ja vasta lopussa sijoitimmeniiden konkreetit arvot. �

3.5 Esimerkki. Osoitamme, että suunnikkaan halkaisijatpuolittavat toisensa. Olkoon suunnikkaassa vek-tori ja vektori . Suuntajanan kes-kipiste on silloin suuntajanan eli vektorin

päätepiste. Suuntajana taas edustaa vektoria jasen keskipiste on suuntajanan eli vektorin

päätepiste. Keskipisteet ovat siten saman suuntajanan päätepisteenä samat. Tämä yhteinen keskipisteon näin ollen halkaisijoiden leikkauspiste ja puolittaa ne molemmat. �

�n 0

� �� 0 0�

x �n� 0x 0�

� �� x �n� �x 0� � 0� x 0�

� �� x �n� �x � �� x � x� � �

x �n� y �n� z �n� y x z�� z y 1� x��

�x� y 1� x�

y x�

x y y �x� � 0�

y �x� � 0 y �x�

� 0� y �x� � ��

2 3 4 3 4 2

a 1� 3 � b 1 0 � 3 2a x� 5 x 2b� �

x

3 2a x� 5 x 2b� �

6a 3x� 5x 10b��

3x 5x� 6� a 10b��

2x� 6� a 10b��

x 3a 5b��

x 3 1� 3 5 1 0 � 3� 5� 9 0� 2 9 . � � �

A

B C

O

D

x

y

E

•

• •

OACBx OA� y OB� OC

D OD12--- OC 1

2--- x y� �

AB y x�

E OE

x 12--- y x� �

12---x 1

2---y�

12--- x y� � �

16 I VEKTORIAVARUUS

4 LINEAARIKOMBINAATIO, VIRITTÄMINEN JA ALIAVARUUS

Tässä pykälässä selvitämme Eukleideen avaruuksien perusstruktuuria: mitä vektoreita ja miten anne-tuilla vektoreilla saadaan peruslaskutoimituksin aikaan.

Lineaarikombinaatio

Tason luonnollisen kannan vektoreilla ja olemme todenneet olevan sellaisen ominaisuu-den, että mikä tahansa tason vektori voidaan (yksikäsitteisesti) esittää näiden avulla muodossa

. Tasossa on kuitenkin muitakin vektoreita, joilla on samanlainen ominaisuus. Esi-merkiksi, jos ja , jokaisella vektorilla on mitä ilmeisimmin jokin esi-tys . Itse asiassa tämä voidaan varmentaa laskemalla: jos , valitsemalla

ja saamme yhtälön toteutumaan.

Millaiset vektorit sitten tällaisiksi ’virittäjävektoreiksi’ kelpaavat? Jos vaikkapa olisimme valinneetvektorit ja , tämä ei varmaankaan olisi käynyt. Miksi? Jos taas olisimme va-linneet vektorit , ja , kaikki tason vektorit voitaisiin ilmoittaa näiden avulla valitsemalla yk-sinkertaisesti vektorin kertoimeksi aina nolla (mutta tämä esitystapa ei enää olisi suinkaan ainoamahdollinen).

Yleisesti avaruuden vektoreilla

on samanlainen virittäjäominaisuus kuin tason vektoreilla ja . Jokaisen vektorin voimmenimittäin esittää vektorien , , …, avulla:

�2 e1 e2x

x x1e1 x2e2��

f1 1 1 � f2 1� 1 � x �2�

x �1f1 �2f2�� x x1 x2 �

�112--- x1 x2� � �2

12--- x2 x1� � x �1f1 �2f2��

e1

e2f1

f2x

�1f1

�2f2

f1 1 1 � f3 3 3 �

e1 e2 f1f1

�n

e1 1 0 0 0 0 �

e2 0 1 0 0 0 �

�

en 1� 0 0 0 1 0 �

en 0 0 0 0 1 �

e1 e2 x �n�

e1 e2 en

x x1 x2 xn 1� xn

x1 0 0 0 0 x2 0 0 0 0 0 xn 1� 0 0 0 0 xn � � � �

x1 1 0 0 0 x2 0 1 0 0 xn 1� 0 0 0 1 0 xn 0 0 0 1 � � � �

x1e1 x2e2 xn 1� en 1� xnen .� � � �

�

�

�

�

4 LINEAARIKOMBINAATIO, VIRITTÄMINEN JA ALIAVARUUS 17

Edellä oleva esitys on lisäksi siinä mielessä yksikäsitteinen, että jos muutamme yhtäkin kerrointa ,muuttuu koko vektori . Jos nimittäin vektorilla on myös esitys

,

päättelemme, että

Siten ja edelleen , ,…, , . Tästä syystä vektorien , , …, sanotaan muodostavan avaruu-den luonnollisen kannan tai standardikannan. Yllä olevassa vektorin esityksessä olevia ker-toimia sanotaan sen koordinaateiksi.

Yleisesti avaruudessa vektorin sanotaan olevan vektorien , , …, lineaarikombi-naatio tai suoraviivainen yhdistelmä, jos se voidaan esittää muodossa

joillakin kertoimilla (eli skalaareilla) . Jos , typistyy eo. summa muotoon. Yllä esiintyvän ’pitkän’ summan voimme summausmerkkiä ja yleistä summausindeksiä

käyttäen kirjoittaa myös muotoon

.

4.1 Esimerkki. Tason vektoreille , ja on

.

Toisaalta vektorilla on myös esitys . Lineaarikombinaa-tioesitysten ei siten tarvitse olla yksikäsitteisiä eikä kaikkien kertoimien erota nollasta. �

Lineaarinen peite

Katsomme seuraavaksi, mitä vektoreita saamme annettujen vektoreiden lineaarikombinaatioina. Jos-kus saamme kaikki tarkasteltavan avaruuden vektorit, mutta emme tietenkään aina. Sanommekin, ettävektorit , , …, virittävät avaruuden , jos jokainen vektori voidaan lausua jonakinnäiden lineaarikombinaationa

.

Huomaa, että lukujen ja ei tässä tarvitse olla samoja kokonaislukuja. Merkitsemme avaruuden vektorijoukolle , että

.

Tämä on joukon tai vektoreiden , , …, lineaarinen peite, lineaarinen verho tai virittämäaliavaruus (engl. linear hull, spanned subspace). Joukko koostuu siis kaikista vektoreiden , ,…, lineaarikombinaatioista. Viritetystä aliavaruudesta käytetään myös mm. merkintöjä ja .

4.2 Esimerkki. Avaruuden luonnollisen kannan vektorit virittävät koko avaruuden, ts.. �

xix x

x x1�e1 x2�e2 xn 1�� en 1� xn�en� � � ��

0 x x�

x1e1 x2e2 xn 1� en 1� xnen� � � � x1�e1 x2�e2 xn 1�� en 1� xn�en� � � � �

x1 x1�� e1 x2 x2�� e2 xn 1� xn 1�� en 1� xn xn�� en� � � �

x1 x1�� x2 x2�� xn 1� xn 1�� xn xn�� .

�

�

�

�

0 x1 x1�� x2 x2�� xn 1� xn 1�� xn xn�� x1 x1�� x2 x2��

xn 1� xn 1�� xn xn�� e1 e2 en�n x

xi�n x v1 v2 vm

x �1v1 �2v2 �mvm� � ��

�1 �2 �m �� m 1�

x �1v1�

x �ivii 1�

m

��

u1 1 1 � u2 0 3 � u3 1 2 �

u1 2u2� 3u3� 1 1 2 0 3 � 3 1 2 � 4 1 � �

x 4 1 � x 4u1 u2� 0u3� 4u1 u2��

v1 v2 vm �n x �n�

x �1v1 �2v2 �mvm� � ��

m n�n S v1 v2 vm �

S v1 v2 vm �1v1 �2v2 �mvm� � � � �i ��

S v1 v2 vmS v1 v2

vm S S span S

�n

e1 e2 en �n�

18 I VEKTORIAVARUUS

4.3 Lause. Jos vektori on vektorien , , …, lineaarikombinaatio, on

.

Todistus. Koska on vektorien , , …, lineaarikombinaatio, voimme jokaisessa vektorien, , , …, lineaarikombinaatiossa vektorin korvata muiden lineaarikombinaatiolla, jolloin

tuloksena on pelkästään vektorien , , …, lineaarikombinaatio. �

Joukon lineaarinen peite sisältää itse asiassa kaikkien vektoriensa lineaarikombinaatiot. Josnimittäin ja , huomaamme helposti, että ja kaikilla .Induktiivisella päättelyllä saamme tästä, että joukon äärellisen monen vektorin lineaarikombinaa-tiot ovat edelleen sen vektoreita.

4.4 Esimerkki. Tarkastelemme avaruuden osajoukkoa

.

Vektorin komponenteille on voimassa ehto , jonka voimme lausua myösmuodossa . Kolmas komponentti on näin ollen määrätty, jos kaksi ensimmäistä tiede-tään. Niinpä voimme esittää jokaisen vektorin muodossa

missä ja . Tämä osoittaakin, että joukko on vektorien ja virittämä aliavaruus eli . �

Se, mitkä vektorit virittävät jonkun joukon, vaikkapa koko avaruuden, voi olla suoraan määrittelynmukaan tehtynä työlästä selvittää. Jatkossa kehitämmekin tämän toteamiseksi nopeampia päättelyta-poja.

Aliavaruus

Avaruuden epätyhjä osajoukko on sen (vektori)aliavaruus (engl. subspace), jos seuraavat kaksiehtoa täyttyvät:

(a) Kaikilla ja myös .

(b) Kaikilla ja myös .

Aliavaruudessa vektorien reaalikerrat ja summat ovatkin edelleen sen vektoreita eivätkä nämä operaa-tiot siten johda koskaan sen ulkopuolelle. Edellä olevan kahden kohdan sijasta voimme yhtäpitävästivaatia:

(c) Kaikilla , , ja myös .

Tai induktiolla vielä yleisemmin:

(d) Kaikilla ja kaikilla ja myös .

Aikaisemmin määritelty lineaarinen peite toteuttaa ehdot (a) ja (b), joten se on aina aliavaruus(ja sen nimitys viritettynä aliavaruutena oli perusteltu). Käy tämä läpi yksityiskohtaisemmin harjoitus-tehtävänä.

Jokaisessa avaruudessa ovat ns. triviaalit aliavaruudet ja itse. Aliavaruutta sanotaan myös nolla-avaruudeksi. Muut aliavaruudet kuin itse ovat sen aitoja aliavaruuksia.

Huomaa, että jokaisessa aliavaruudessa on aina nollavektori: koska aliavaruus on epätyhjä, on siinäainakin yksi vektori, jolloin siinä on myös kyseisen vektorin nollakerta. Aliavaruuden määrittelyssävaadittu joukon epätyhjyys voidaankin korvata vaatimuksella, että siinä on nollavektori.

u v1 v2 vm

u v1 v2 vm v1 v2 vm �

u v1 v2 vmu v1 v2 vm u

v1 v2 vm

S S x S � y S � x y� S � �x S � � ��

S

�3

U x x1 x2 x3 � �3� � x1 x2 x3� � 0� �

x U� x1 x2 x3� � 0�

x3 x1� x2��

x U�

x x1 x2 x3 x1 x2 x1� x2� x1 0 x1� 0 x2 x2� �

x1 1 0 1� x2 0 1 1� � x1v1 x2v2 ,�

� � �

� �

v1 1 0 1� � v2 0 1 1� � U v1 v2U v1 v2 �

�n U

� �� u U� �u U�

u U� v U� u v� U�

� �� u U� v U� �u v� U�

m 1� �1 �m �� u1 um U� �1u1 �mum� � U�

S

�n 0 �n 0 �n

4 LINEAARIKOMBINAATIO, VIRITTÄMINEN JA ALIAVARUUS 19

Aliavaruuksilla on siis sellainen karakteristinen ominaisuus, että kaikki niiden vektorien lineaari-kombinaatiot ovat edelleen sen vektoreita. Ne muodostavat siten tavallaan omia vektoriavaruuksiaan.Esimerkiksi origon kautta kulkevat suorat ja tasot ovat kaikki tämän mukaisesti aliavaruuksia avaruu-dessa . Itse asiassa myöhemmin toteamme, että muun tyyppisiä epätriviaaleja aliavaruuksia ei ole-kaan. Koska jokainen aliavaruus sisältää aina nollavektorin, esimerkiksi suoran on kuljettava origonkautta, jotta se olisi aliavaruus.

4.5 Esimerkki. Tarkastelemme uudestaan esimerkissä 4.4 käsiteltyä avaruuden osajoukkoa

.

Osoitamme nyt sen aliavaruudeksi määritelmän mukaisesti. Ensinnäkään joukko ei ole tyhjäjoukko, sillä se sisältää ainakin nollavektorin. Jos sitten ja , saamme summavektorin

komponenteille laskettua, että

.

Tämä osoittaa, että . Jos lisäksi , saamme vastaavasti reaalikertavektorille , että

.

Siten myös . Määrittelyn mukaan joukko on näin ollen avaruuden aliavaruus. �


.

Kuvasta on helppo huomata, että tämän joukon vektorien summateivät välttämättä ole enää sen joukon vektoreita. Kun konkreetistivalitsemme esimerkiksi ja ,saamme, että . Näin ollen joukko eiole aliavaruus. �

4.7 Esimerkki. Tarkastelemme yhtälöryhmän

ratkaisujoukkoa. Jos ja ovat sen kaksi ratkaisua ja , on ensinnäkin

ja toiseksi

Siten myös ja toteuttavat yhtälöryhmän. Sillä on myös ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisujoukko on näin ollen avaruuden aliavaruus.

Itse asiassa ratkaisujoukko on muotoa eli se on vektorin virittämä ali-avaruus. �

�3

�3

U x x1 x2 x3 � �3� � x1 x2 x3� � 0� �

Ux U� y U�

x y� x1 y1� x2 y2� x3 y3� �

x1 y1� x2 y2� x3 y3� � � x1 x2 x3� � y1 y2 y3� � � 0 0� 0� � �

x y� U�

� �� x �x1 �x2 �x3 �

�x1 �x2 �x3� � � x1 x2 x3� � � 0� 0� � �

�x U� U �3

x2 x1�

x2 x1��

w z�

z

wW

W

�2

W x1 x2 �2� � x1 x2� �

w 1 1 W�� z 1 1� W��

w z� 2 0 W�� W

x y� 3z� 0�

2x y� 2z� 0�

x1 y1 z1 x2 y2 z2 � ��

�x1 �y1� 3�z1� � x1 y1� 3z1� �0 0� � �

2�x1 �y1� 2�z1� � 2x1 y1� 2z1� �0 0� � �

x1 x2� y1 y2� � 3 z1 z2� � x1 y1� 3z1� x2 y2� 3z2� � 0 0� 0� � �

2 x1 x2� y1 y2� � 2 z1 z2� � 2x1 y1� 2z1� 2x2 y2� 2z2� � 0 0� 0 .� � �

� x1 y1 z1 x1 y1 z1 x2 y2 z2 �

x y z 0� � � �3

t 4t t � t �� 1 4 1

20 I VEKTORIAVARUUS

Suora

Tasossa suoran , joka ei ole pystysuora, yhtälö on muo-toa . Silloin piste on suoralla eli

, jos

. Kun merkitsemme ja , on eli . Siten olemme saaneet, että täsmälleensilloin, kun , missä . Tosin sanoen . Tämämuoto on voimassa myös pystysuoralle, kun valitsemme ja , missä on suo-ran ja vaaka-akselin leikkauskohta.

Yleisesti avaruudessa suora on vektorimuodossa

, missä on suoran kantapiste ja , , on sen suuntavektori. Kantapiste ja suunta-vektorit eivät ole yksikäsitteisiä, vaan sama suora saadaan monilla valinnoilla.

Jos edellä olevat vektorit ovat komponenttimuodossa ja ,on täsmälleen silloin, kun jollekin . Komponentteja vertaamalla saammeyhtälöryhmän

Tätä muotoa sanomme suoran parametriesitykseksi. Origon kautta kulkevalle suoralle eli origosuo-ralle voimme valita . Vain origosuorat sisältävät nollavektorin, joten vain ne ovat aliavaruuksia.Suoran esityksessä vektorit ja eivät ole yksikäsitteisiä, mutta kaikki suuntavektorit ovat toistensareaalikertoja.

Avaruuden kahden pisteen ja (eli näiden vektorien päätepisteitten) kautta kulkevasuora on muotoa , sillä ja .

Kaksi suoraa ja ovat yhdensuuntaiset, jos jollekin, . Ne ovat samat eli yhtäsuuret, jos lisäksi (tai ).

Affiini aliavaruus

Kaikki suorat saadaan origosuorista siirtämällä ne kantapistevektoreilla. Saman voimme tehdä muille-kin aliavaruuksille. Jos on epätriviaali aliavaruus ja , joukkoa

sanomme affiiniksi aliavaruudeksi (siirretyksi aliavaruudeksi). Se on oikea aliavaruus vain, jos eli . Kaikki avaruuden suorat ovat affiineja aliavaruuksia.

uxv

z

S�2 S

y kx b�� z x y � Sx y S�

z x kx b� x kx 0 b � x 1 k 0 b ��

u 0 b � v 1 k � z u xv��

z u� xv� z S�

z u v �� u v � u �v� � � �� S u v ��

u a 0 � v 0 1 � a

�n

S u v � u �v� � � ��

u �n� v �n� v 0�

u u1 u2 un � v v1 v2 vn �

x S� x u tv�� t ��

x1 u1 tv1��

x2 u2 tv2��

�

xn un tvn .��

u 0�

u v

�n u u�

S u u� u� �� u u 0 u� u� � S�� u� u 1 u� u� � S��

S u v �� S� u� v� �� v� �v�

� �� 0� u� S� u S��

V �n� u �n�

T u V� u v� � v V� � �

0 T�

u V� �n

5 EUKLEIDEEN AVARUUDEN GEOMETRINEN RAKENNE 21

5 EUKLEIDEEN AVARUUDEN GEOMETRINEN RAKENNE

Tässä pykälässä selvitämme Eukleideen avaruuksien perusstruktuuria geometrian kannalta: miten vek-toreiden kohtisuoruuksia, pituuksia ja kulmia mitataan. Mittaamisen avuksi tuotamme uutena käsit-teenä sisätulon.

Kohtisuoruus, kulma ja pituus tasossa

Tarkastelemme ensin, milloin tason kaksi vektoria ja ovat kohtisuorassa, merkitsemme , jasitten yleisemmin, miten voimme laskea näiden välisen kulman. Olkoot ja nollavektorista eroavia vektoreita sekä näiden välinen kulma. Kohtisuoruuden perustaksi otammekoordinaattiakselien kohtisuoruuden. Geometrisesti on silloin selvää, että vektoria vastaan kohti-

suorassa on vektori , sillä tämä vektori saadaan vektorista kiertämällä sitä 90° (ks.kuva). Näin ollen vektoreiden ja kohtisuoruudelle saamme komponenttien avulla seuraavan eh-don

Vektorit ja virittävät selvästi koko tason ja toisaalta niiden esityksetluonnollisessa kannassa ovat

Näistä ratkaisemme vektoreille ja esitykset vektoreiden ja avulla: Kerromme ensin edel-lisen yhtälön luvulla ja jälkimmäisen luvulla ja laskemme ne yhteen, sekä kerromme sittenedellisen yhtälön luvulla ja jälkimmäisen luvulla ja laskemme taas ne yhteen.

x y x y

x x1 x2 � y y1 y2 �

�

x1

x1

x2

x2�

x x1 x2 �z x� 2 x1 �

y y1 y2 �

e1

e2y1

�

y2�

�

x

z x� 2 x1 � xx y

x y � �2----��

y �z � x2� x1 jollekin � ��

y1 �x2��

y2 �x1�

y1x2-----

y2x1----- tai x1 y2 0� � tai x2 y1 0� ��

x1y1 x2y2� 0 .�

x x1 x2 � z x� 2 x1 �

x x1e1 x2e2��

z x2e1� x1e2 .��

e1 e2 x zx1 x2�

x2 x1

22 I VEKTORIAVARUUS

Saamme näin yhtälöt

Näistä yhtälöistä ratkaisuina saamme

Siten vektorilla on esitys

Näin ollen vektorin esityksessä kertoimet ovat

ja .

Vektorien ja välisen kulman kosinin saamme edelleen määrättyä näiden vektorien välisestäsuorakulmaisesta kolmiosta (ks. edellisen sivun kuva):

Tuloksena on siten kaiken kaikkiaan, että lausekkeiden

, ja

avulla saamme selvitettyä kohtisuoruuksien lisäksi kulmatkin. Huomaa, että muut kaksi lausekettasaadaan ensimmäisestä lausekkeesta sijoittamalla siihen vektorit ja samoiksi.

Sisätulo

Edellä tarkastellun tasotapauksen viitoittamana asetammekin yleisesti seuraavasti. Avaruuden vektorien ja sisätulo, pistetulo tai skalaaritulo (engl. innerproduct, dot product, scalar product) on reaaliluku

.

Muita usein käytettyjä merkintöjä ovat mm. , , , ja .

5.1 Lause. Avaruuden sisätulolla on seuraavat ominaisuudet (kun ja ):

(a) (symmetrisyys).

(b) ja (additiivisuus).

(c) ja (homogeenisuus).

Todistus. Kaikki kohdat voimme todistaa suorilla laskuilla, esimerkiksi kohdan (a):

. �

x1x x2z� x12 x2

2� e1�

x2x x1z� x12 x2

2� e2 .�

e11

x12 x2

2�------------------- x1x x2z�

x1x1

2 x22�

------------------- xx� 2

x12 x2

2�------------------- z��

e21

x12 x2

2�------------------- x2x x1z�

x2x1

2 x22�

------------------- xx1

x12 x2

2�------------------- z .��

y y1e1 y2e2��

y y1x1

x12 x2

2�-------------------x

x� 2x1

2 x22�

-------------------z� y2

x2x1

2 x22�

-------------------xx1

x12 x2

2�-------------------z�

�x1y1 x2y2�

x12 x2

2�------------------------------- x

x� 2y1 x1y2�

x12 x2

2�------------------------------------ z .��

y y y1�x y2�z��

y1�x1y1 x2y2�

x12 x2

2�-------------------------------� y2�

x� 2y1 x1y2�

x12 x2

2�------------------------------------�

x y �

�cosy1�

y1� 2 y2� 2�---------------------------------------

x1y1 x2y2�

x1y1 x2y2� 2 x� 2y1 x1y2� 2�-----------------------------------------------------------------------------------------------

x1y1 x2y2�

x12y1

2 x22y2

2 x22y1

2 x12y2

2� � �-----------------------------------------------------------------------------

x1y1 x2y2�

x12 x2

2� y12 y2

2�-------------------------------------------------- .

� �

� �

x1y1 x2y2� x12 x2

2� y12 y2

2�

x1y1 x2y2� x y

�n

x x1 x2 xn � y y1 y2 yn �

x y� x1y1 x2y2 xnyn� � ��

x y� x y� x y x y x y

�n x y z �n� � ��

x y� y x� �

x y z�� x y� x z� ��

x y� z� x z� y z� ��

x �y� � x y� � �x y� � x y� �

x y� x1y1 x2y2 xnyn� � � y1x1 y2x2 ynxn� � � y x� � � �


Määrittelemme, että avaruuden vektorit ja ovat kohtisuorat eli ortogonaaliset (engl. per-pendicular, orthogonal), jos , ja merkitsemme tätä .

5.2 Esimerkki. Vektorien ja sisätulo on

, joten ne ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Yritä hahmottaa, jos mahdollista, niiden sijaintia avaruu-dessa ja vakuuttua geometrisesti niiden kohtisuoruudesta! �

Vektorin pituus

Yleisesti asetamme myös, että vektorin pituus eli normi (engl. length, norm) onepänegatiivinen luku

.

Alla olevassa kuvassa ovat havaintokuvat tasossa ja avaruudessa:

Mikä tahansa vektori, jonka pituus on yksi, on yksikkövektori (engl. unit vector). Kaikki luonnol-lisen kannan kantavektorit ovat yksikkövektoreita. Jokaisella vektorilla on samansuuntainen yk-sikkövektori, vektorista normitettu vektori

.

Tällöin nimittäin

.

Seuraava tulos yhdistää sisätuloa ja normia.

5.3 Cauchyn, Bunjakovskin ja Schwarzin epäyhtälö (CBS–epäyhtälö). Avaruuden kaikille vek-toreille ja pätee epäyhtälö .

Todistus. Väite on selvä, jos . Oletamme sitten, että . Tarkastelemme apuvektoria, missä . Tämän pituuden neliö on

�n x yx y� 0� x y

x 1 2 3 � y 4 5� 2 �

x y� 1 4 2 5� � 3 2�� 0� �

x x1 x2 xn �

x x12 x2

2 xn2� � � x x� 1 2/

� �

x

x

Taso �2 Avaruus �3

x

x1

x3

x2

x1x2

x x12 x2

2�� x x12 x2

2 x32� ��

x

x 0�

x

ex1x

-------x xx

-------� �

ex2 ex ex� 1

x-------x 1

x-------x� 1

x------- 1

x-------� x x� 1

x 2---------- x 2 1� � � � �

�n

x y x y� x y

y 0� y 0�

z x �y��

z 2 x �y� 2 x �y� x �y��

x x� x �y� �y x� �y �y� � � �

x 2 � x y� � y x� �2 y y� � � �

x 2 2� x y� �2 y 2� �

y 2�2 2 x y� � x 2 .� �

� �

�

�

�

�

24 I VEKTORIAVARUUS

Saatu lauseke on muotoa , missä , ja , eli se onmuuttujan suhteen toisen asteen polynomi. Koska , on oltava . Tämätoteutuu vain, jos vastaavalla toisen asteen yhtälöllä on joko täsmälleen yksi ratkaisu tai sillä ei ole rat-kaisua ollenkaan. Tämä taas toteutuu täsmälleen silloin, kun yhtälön diskriminantti onnolla tai negatiivinen, ts. kun eli . Sijoittamalla tähän lukujen , ja arvot,saamme ehdon

. �

Seuraava tulos ilmaisee normin perusominaisuudet.

5.4 Lause. Avaruuden normilla on seuraavat ominaisuudet (kun ja ):

(a) ja , jos ja vain jos (positiivinen definiittisyys).

(b) (homogeenisuus).

(c) (kolmioepäyhtälö).

Todistus. Kohdat (a) ja (b) ovat suoraviivaisia todistaa ja jätämmekin ne harjoitustehtäviksi. (c) Kolmioepäyhtälön todistus perustuu CBS-epäyhtälöön:

Ottamalla epäyhtälön molemmilta puolilta neliöjuuret saamme väitteen . �

5.5 Pythagoraan lause. Avaruuden kohtisuorille ( ) vektoreille ja on

.

Todistus. Kohtisuorille vektoreille on . Edellä olevan lauseen 5.4 kohdan (c) kolmioepäyh-tälön todistuksen mukaan on tällöin

Väite on todistettu. �

Avaruuden vektoreille ja niiden kärkipisteiden etäi-syyttä eli lukua

sanomme myös vektoreiden ja etäisyydeksi.

a�2 b� c� � a y 2 0�� b 2 x y� � c x 2�

� z 2 0� a�2 b� c� � 0�

d b2 4ac��

b2 4ac� 0 b2 4ac a b c

2 x y� 2 4 x 2 y 2 x y� 2 x 2 y 2 x y� x y

�n x y �n� � ��

x 0� x 0� x 0�

�x � x�

x y� x y�

x y� 2 x y� x y��

x x� x y� y x� y y� � � ��

x 2 2 x y� y 2� ��

x 2 2 x y� y 2� �

x 2 2 x y y 2� �

x y� 2 .�

x y� x y�

�n x y x y

x y� 2 x 2 y 2��

x y� 0�

x y� 2 x y� x y��

x 2 2 x y� y 2� �

x 2 y 2 .�

�

�

�

�n x x1 x2 xn � y y1 y2 yn �

x y� x1 y1� 2 x2 y2� 2 xn yn� 2� � ��

x y


Vektorien kulma

Sisätulon ja pituuden avulla voimme edelleen määritellä, kuten tasossakin, muunkin vektoreiden väli-sen kulman kuin suoran kulman. Asetammekin, että avaruuden nollavektoreista eroavien vekto-reiden ja välinen kulma määräytyy ehdosta

( ).

Samansuuntaisille vektoreille on , vastakkaissuuntaisille on ja kohtisuorille vektoreilleon . Muita tarkkoja kulma-arvoja voi etsiä taulukoista.

5.6 Esimerkki. Vektoreille ja on

,

,

, ja

.

5.7 Esimerkki. Osoitamme oikeaksi kolmioita koskevan ns. ko-sinilauseen. Muodostakoot sitä varten vektorit ja kolmionvierekkäiset sivut sekä olkoon näiden välinen kulma. Tällöinvektori muodostaa kolmion kolmannen sivun. Sen pituu-den neliölle saamme

Merkitsemällä kolmion sivujen pituuksia kuvan mukaisesti luvuilla , ja saamme tämän ehkäyleisemmin tunnettuun kosinilauseen muotoon:

. �

Nimitys Eukleideen avaruus pitää sisällään oikeastaan avaruuden vektoristruktuurin (reaali-kerrat ja summat) lisäksi myös sisätulon määräämän geometrian (kohtisuoruus, pituus ja kulma). Tätäkorostettaessa avaruutta kutsutaan myös Eukleideen sisätuloavaruudeksi.

Vektorin projektio suoralle

Selvitämme seuraavassa, miten avaruuden vektorille voimme määrätä projektion jollekin toisellevektorille eli löytää toisen vektorin suuntaisen vektorin, jonka kärkipiste on mahdollisimman lähellä en-siksi mainitun vektorin kärkipistettä.

Olkoot ja avaruuden vektorit. Etsimme vektorin suuntaista vektoria , jonka kärkipiste on mahdollisimman lähellä vektorin kärkipistettä. Geo-metrisesti tämä saavutetaan silloin, kun vektori on kohtisuorassa vektoria vastaan (ks.seuraava kuva).

�n

x x1 x2 xn � y y1 y2 yn � � x y �

�cos x y� x y

-----------------� 0 � � 180��

� 0� � ��

� � 2��

x 1 2 � y 4 3 �

x 12 22� 5� �

y 42 32� 5� �

�cos 1 4 2 3��

5 5�------------------------------ 10

5 5----------

25

------- 0 894�� 26 6 ��

x y� 3� 1� 3� 2 1� 2� 10� � �

x

y

x – y

�•

b

ca

O

x y�

x y�

x y� 2 x y� x y��

x 2 2 x y� � y 2�

x 2 y 2 2 x y � .cos��

�

�

�

a b c

a2 b2 c2 2bc �cos��

�n

�n

�n

x x1 x2 xn � y y1 y2 yn � �n xyx y

z y yx�� x

26 I VEKTORIAVARUUS

Olkoon vektorin suuntainen yksikkövektori. Vektorin projektiota vektorille on etsit-tävä muodossa . Sellaisen löydämmekin asettamalla

.

Osoitamme tämän toimivuuden. Merkitsemällä saamme, että

joten . Vektoria sanomme vektorin projektioksi vektorille (tai tarkemmin sen suun-

taiselle origosuoralle). Siis

.

Jokaisella vektorilla on näin ollen esitys

,

missä vektori on vektorin suuntainen ja vektori on sitä vastaan kohtisuo-rassa eli .

Vektorin pituus ilmoittaa vektorin (kärkipisteen) etäisyyden vektorin mää-räämästä origosuorasta .

Projektion avulla näemme myös, miten vektoreiden välinen kulma määräytyy, sillä nyt

(merkki määräytyy sen mukaan, onko kulma terävä vai tylppä).

5.8 Esimerkki. Määräämme tasossa ensin vektorin projektion vektorille .Koska ja , kysytty projektio on

.

Vektorin suuntainen yksikkövektori on . Saatua projektiota (ja vektoria ) vastaankohtisuora vektori on

.

Tämän vektorin pituus on vektorin (kärkipisteen) etäisyys vektorin määräämästä ori-gosuorasta.

yx

ex

xz

zy

ex x y xyx �ex�

yx y ex� ex y 1x

-------x� 1x

------- x 1x

------- y x� 1x

-------x y x� x 2

--------------- x� � � �

z y yx��

z x� y yx� x� y x� yx x� �

y x� y x� x 2

--------------- x x� � y x� y x� x 2

--------------- x 2� 0 ,

� �

� � �

z x

yx Px y � y x

Px y y ex� exy x� x 2

---------------x� �

y

y Px y z��

Px y x z x Px y ��

z x

z y Px y �� y xS x �

�cosyxy

----------�y x� x 2

--------------- xy

------- y x� x y

---------------� � �

y 1 3� � x 1 2 �

x 5� y x� 1 6� 5��

Px y 5�5

-------- 1 2 1� 2� � �

x ex15

------- 1 2 � x

z y Px y � 1 3� 1� 2� � 2 1� � � �

z 5� y x


Vektoreiden ja väliselle kulmalle on edelleen voimassa, että

,

joten . Piirrä tarkka kuva tilanteesta ruutupaperille! �

x y �

�cos 5�

5 10----------------- 2

2-------��

� 3�4

------- 135��

28

II LINEAARINEN YHTÄLÖRYHMÄ

Tässä luvussa kertaamme ensin kouluopinnoista tuttuja yhtälöryhmän ratkaisutapoja ja tutustummesitten erääseen lineaaristen yhtälöryhmien algoritmiseen ratkaisumenetelmään, jolla voidaan ratkaistalineaarisia yhtälöryhmiä hyvin systemaattisesti.

6 LINEAARINEN YHTÄLÖRYHMÄ

Yhden tai useamman reaalisen muuttujan tai tuntemattoman , , muotoa

olevaa yhtälöä, missä kertoimet ( ) ja vakio ovat reaalilukuja (ja ainakin yksi kertoi-mista eroaa nollasta), sanotaan lineaariseksi yhtälöksi. Se on homogeeninen, jos . Yhtälöntoteuttavat muuttujien arvot muodostavat ratkaisuvektorin .

Lineaarisuus-nimitys johtuu siitä, että jos homogeenisella lineaarisella yhtälöllä on ratkaisuja, joistamuodostuu kaksi ratkaisuvektoria ja , myös vektori sekä vektorit , missä , ovat sen ratkaisuvektoreita. Lisäksi nollavektori on aina ratkaisuvek-tori. Ratkaisuvektorit muodostavat siten avaruuden aliavaruuden.

Kaksi lineaarista yhtälöä ovat yhtäpitävät eli ekvivalentit, jos niillä on täsmälleen samat ratkaisut.Tämä voi toteutua vain, jos yhtälöt ovat toistensa reaalikertoja, ts. toisen yhtälön kertoimet ja vakio-osaovat toisen yhtälön vastaavien lukujen samoja (nollasta eroavia) reaalikertoja.

Kahdesta tai useammasta lineaarisesta yhtälöstä saamme koostettua lineaarisen yhtälöryhmän,joka on muotoa

kun yhtälöryhmässä on yhtälöä ja tuntematonta muuttujaa. Tämän ratkaisuina ovat ne yhtälöi-den ratkaisuvektorit, jotka toteuttavat kaikki yhtälöt yhtaikaisesti. Yhtälöryhmä on homogeeninen, mi-käli jokaisen yhtälön oikea puoli on nolla, ts. vakio-osavektori on nollavektori. Homo-geenisen yhtälöryhmän ratkaisut muodostavat aliavaruuden ja yleisen lineaarisen yhtälöryhmän ratkai-sut, mikäli niitä ylipäätään on olemassa, muodostavat affiinin aliavaruuden. Tämän perustelemme tar-kemmin myöhemmin.

Kaksi lineaarista yhtälöryhmää ovat yhtäpitävät eli ekvivalentit, jos niillä on täsmälleen samat rat-kaisut. Tämä toteutuu esimerkiksi, jos toisen ryhmän yhtälöt ovat toisen ryhmän yhtälöiden reaaliker-toja (molemmin päin), mutta tilanne voi olla paljon mutkikkaampikin.

Graafinen ratkaiseminen

Yhtälö esittää tunnetusti –tasossa suoraa. Vastaavasti on avaruu-den tason yhtälö. Nämä ovat lineaarisia yhtälöitä, sillä ne esittävät vektoriavaruuden suoramaisia osa-joukkoja (tarkoittaen, että ne sisältävät aina kahden pisteensä kautta kulkevat suorat).

xi i 1 n �

a1x1 a2x2 anxn� � � b�

ai i 1 n � bai b 0�

x x1 x2 xn �

x x1 x2 xn � y y1 y2 yn � x y�

�x � ��

�n

a11x1 a12x2 a1nxn� � � b1�

a21x1 a22x2 a2nxn� � � b2�

�

am1x1 am2x2 amnxn� � � bm ,�

m n

b1 b2 bm

ax by� c� xy ax by cz� � d�

6 LINEAARINEN YHTÄLÖRYHMÄ 29

Tasossa esimerkiksi lineaarisen yhtälöryhmän

ratkaisupari on kahden suoran leikkauspiste. Kun piirrämme kyseiset suorat tarpeeksi tarkasti,voimme ratkaisun löytää graafisesti ja tarkistaa sitten sen toimivuuden, ks. kuva.

Vastaavasti lineaarisen yhtälöryhmän

ratkaisu on avaruudessa kolmen tason leikkauspiste. Graafisesti tätä ratkaisua voiolla kuitenkin vaikea luotettavasti löytää. Useampiulotteisissa avaruuksissa onkin käytettävä muita rat-kaisutapoja.

Kaksi yhtälöä ja kaksi tuntematonta

Tarkastelemme ensin esimerkein kahden muuttujan kahden lineaarisen yhtälön ratkaisujen määrää.

6.1 Esimerkki. Yhtälöryhmällä

on ainoana ratkaisuna ja . �

6.2 Esimerkki. Yhtälöryhmässä

yhtälöt ovat toistensa monikertoja, joten ne ovat keskenään yhtäpitäviä. Kummankin yhtälön ja sitenkoko yhtälöryhmän ratkaisuina ovat lukuparit , missä . Ratkaisuja on näin ollenäärettömän paljon. �

x y� 3�

x y� 1�

x y x y 2 1 �

y

3 0 x0 1�

1 0

0 3

2 1

x y� 1�

x y� 3�

x y z� � 3�

x y z�� 2�

x y� z� 1�

x y z 2 12--- 1

2--- �

x1 x2� 3�

x1 x2� 1�

x1 2� x2 1�

x1 x2� 3�

3x1 3x2� 9�

x1 3 x1� x1 ��

30 II LINEAARINEN YHTÄLÖRYHMÄ


ensimmäinen yhtälö on yhtäpitävä kolminkertaisen yhtälön kanssa, joten yhdistettynätoiseen yhtälöön saadaan mahdoton yhtälö . Yhtälöryhmällä ei siten ole yhtään ratkaisua. �

Kolme tuntematonta

Tarkastelemme vielä esimerkein kolmen muuttujan lineaarisia yhtälöryhmiä.


yhtälöt esittävät geometrisesti tasoja ja näin ollen yhtälöryhmän ratkaisut muodostavat näiden tasojenleikkauksen. Selvitämme asiaa tarkemmin. Jälkimmäisestä yhtälöstä saamme, että jakun sijoitamme sen edelliseen yhtälöön, saamme, että . Siten . Kun sijoi-tamme tämän takaisin muuttujan lausekkeeseen, saamme . Näin ollen yhtälöryh-män ratkaisut ovat muotoa

missä muuttuja voi saada mitä arvoja tahansa. Ratkaisuja on siten äärettömän paljon. On kuitenkinhyvä huomata, että niillä on tietty struktuuri: ratkaisuvektorit ovat nimittäin muotoa

Ratkaisujoukkona on näin ollen affiini suora , missä ja . Ratkaisut voimme esittää myös parametrimuodossa

�

6.5 Esimerkki. Ratkaisemme yhtälöryhmän

Kaksi ensimmäistä yhtälöä ovat samat kuin edellisessä esimerkissä, joten nämä yhtälöt toteutuvat vek-toreilla , missä . Sijoittamalla nämä arvot kolmanteen yhtä-löön saamme ratkaistua parametrin arvon:

.

Siten ja koko yhtälöryhmän ratkaisuvektorina on . Geometrisesti jokainen annettu yhtälö esittää tasoa, joista nyt kahden ensimmäisen leikkaus on

suora ja kaikkien tasojen leikkaus on yksi piste, mikä on samalla koko yhtälöryhmän ratkaisu. �

x1 x2� 3�

3x1 3x2� 6�

3x1 3x2� 9�

9 6�

x1 x2 x3� � 3�

3x1 2x2� x3� 0�

x3 3x1 2x2��

4x1 x2� 3� x2 4x1 3��

x3 x3 5x1� 6��

x2 4x1 3��

x3 5x1� 6� ,�

x1

x1 x2 x3 x1 4x1 3� 5x1� 6� x1 4x1 5x1� 0 3� 6 �

x1 1 4 5� 0 3� 6 .�

� �

�

S u v �� u 0 3� 6 � v 1 4 5� �

x1 t�

x2 4t 3��

x3 5t� 6 t �� .��

x1 x2 x3� � 3�

3x1 2x2� x3� 0�

4x1 2x2� x3� 1 .�

x1 x2 x3 t 4t 3� 5t� 6� � t ��

t

1 4x1 2x2� x3� 4t 2 4t 3� � 5t� 6� � t� � �

t 1� x1 x2 x3 1 1 1 �

7 LAAJENNETTU KERROINMATRIISI JA PORRASMUOTO 31

7 LAAJENNETTU KERROINMATRIISI JA PORRASMUOTO

Eliminointi- ja sijoitusmenettely

Kertaavana esimerkkinä ja johdantona tulevalle algoritmiselle menettelylle ratkaisemme ensin koulu-matematiikasta tutulla eliminointimenetelmällä lineaarisen yhtälöryhmän.


Yhtälöstä (2) saamme ensiksi, että . Sijoittamalla sen yhtälöön (3) saamme yhtälön

Ratkaisemalla yhtälöstä (1) ja sijoittamalla se yhtälöön (4) saamme, että

eli .

Sijoitamme tämän yhtälöön (1) ja ratkaisemme siitä, että

.

Sijoittamalla edelleen muuttujien ja ratkaistut arvot yhtälöön (2) saamme, että

.

Lopputuloksena on, että yhtälöryhmän ratkaisu on

�

Yllä kuvattu menettely on periaatteessa yksinkertainen ja looginen. Sen heikkoutena on kuitenkin,että suurelle määrälle muuttujia ja yhtälöitä ratkaisusta saattaa tulla sekava ja vaikeasti hallittava.

Tutustumme nyt edellisen esimerkin avulla yhtälöryhmien algoritmiseen ratkaisumenetelmään,jolla voimme ratkaista lineaarisia yhtälöryhmiä systemaattisesti.

7.2 Esimerkki. Ratkaisemme edellä olevan esimerkin 7.1 yhtälöryhmän

yrittäen vapautua muuttujien kuljettamisesta koko ajan mukana. Katsommekin vain kertoimien muut-tumista ja pyrimme pysyttelemään kertoimista muodostetuissa taulukoissa, joissa lukujen paikoistavoimme päätellä sen, mihin muuttujaan ne liittyvät.

Muodostamme yhtälöryhmän muuttujien kertoimista ensin lukutaulukon, ns. laajennetun kerroin-matriisin

,

2x2 x3� 2��

x1� 3x2 2x3�� 1�

2x1 2x2 x3� � 3�� 1

2

3

x1 3x2 2x3� 1��

8x2 3x3� 1�� 4

x212---x3� 1��

4x3� 8� 3x3� 1�� x3 1��

x212---x3� 1� 1

2---��

x2 x3

x1 3x2 2x3� 1� 3 12---� 2 1� � 1� 1

2---��

x112---��

x212---��

x3 1 .��

2x2 x3� 2��

x1� 3x2 2x3�� 1�

2x1 2x2 x3� � 3�� 1

2

3

0 2 1 � 2 �

1� 3 2� � 1 2 2 1 � 3 �


missä pystyviivan vasen puoli, ns. kerroinmatriisi, muodostuu muuttujien kertoimista ja oikea puoli yh-tälöiden vakioluvuista. Näin muodostettua laajennettua kerroinmatriisia muokkaamme edellä kuvattuaratkaisumenettelyä seuraten. Päivitämmekin kerroinmatriisia sen mukaiseksi kuin se uusien yhtälöi-den jälkeen on muokkautunut.

Vaihdamme aluksi sen kaksi ensimmäistä riviä keskenään siinä tarkoituksessa, että paikkaan (eli ensimmäisen rivin ensimmäiseksi luvuksi) tulisi nollasta eroava luku. Kerromme samalla uuden en-simmäisen rivin luvulla . Silloin saamme uuden (laajennetun) kerroinmatriisin

.

Edellä tehty operaatio vastaa alkuperäisessä yhtälöryhmässä kahden ensimmäisen yhtälön vaihtoa ja(alkuperäisen) toisen yhtälön merkin muutosta.

Vähennämme sitten ensimmäisen rivin luvut (luku luvulta edeten) kaksinkertaisena vastaavistakolmannen rivin luvuista. Päämääränä tässä on se, että kolmannen rivin ensimmäiseksi luvuksi tuleenolla. Saamme kerrointaulukon

.

Yhtälöryhmän ratkaisussa tämä vaihe vastaa sitä, kun muuttuja ratkaistiin ensimmäisestä yhtälöstäja sijoitettiin kolmanteen yhtälöön (jolloin saatiin yhtälö (4) sen tilalle).

Nyt kerroinmatriisin ensimmäinen sarake on sellaista muotoa, jollaisena pyrimme sen pitämään jat-kossakin – ensimmäinen luku on ykkönen ja sen alla olevat ovat nollia. Tällä on sellainen olennainenmerkitys, että vastaavissa yhtälöryhmissä ensimmäinen muuttuja esiintyy enää vain ensimmäisessäyhtälössä.

Koska kerroinmatriisissa paikan luku eroaa nyt nollasta (jos ei olisi ollut, olisimme pyrkineetsaamaan sellaisen tilanteen aikaan vaihtamalla toinen rivi jonkin alemman rivin kanssa), voimme toisenrivin (taaskin luku luvulta edeten) vähentää nelinkertaisena kolmannesta rivistä, jotta kolmannen rivintoinen luku muuttuisi nollaksi. Saamme taulukon

.

Tämä vaihe vastaa aikaisemmassa ratkaisussa muuttujan ratkaisemista ja sijoittamista yhtälöön (4). Jaamme vielä saadun kerroinmatriisin toisen ja kolmannen rivin niin, että kerroinmatriisin lävistä-

jälle (vasemmasta yläkulmasta oikeaan alakulmaan) tulee vain ykkösiä:

.

Tämä teko vastaa yhtälöryhmissä vain yhtälöiden jakamista (tai kertomista) nollasta eroavilla luvuilla. Saatu kerroinmatriisi on nyt muodossa, jossa lävistäjällä ovat ykköset ja sen alapuolella nollat. Jos

tämä laajennettu matriisi muutettaisiin yhtälöryhmäksi, pystyisimme sen jo pelkillä sijoituksilla ratkai-semaan. Kolmas rivihän tarkoittaa yhtälöä , ja tämä arvon voisimmekin sijoittaa muihin yh-tälöihin ja ratkaista sitten muut muuttujat vuorotellen. Jatkamme kuitenkin vielä kerroinmatriisin ’nol-lausta’.

Pyrimme seuraavaksi ’nollaamaan’ myös lävistäjän yläpuolen. Kun edellä etenimme ylhäältä alasja oikealle, etenemme nyt vuorostaan alhaalta ylös ja vasemmalle.

1 1

1�

1 3� 2 � 1 �

0 2 1 � 2 �

2 2 1 � 3 �

1 3� 2 � 1 �

0 2 1 � 2 �

0 8 3� � 1 �

x1

x1

2 2

1 3� 2 � 1 �

0 2 1 � 2 �

0 0 7� � 7

x2

1 3� 2 � 1 �

0 1 12--- � 1 �

0 0 1 � 1 �

x3 1��


Ensinnäkin kolmannen rivin avulla saamme analogisesti aikaisemman menettelyn kanssa muokat-tua kolmannelle sarakkeelle yläpuolelle kaksi nollaa. Kun nimittäin vähennämme kolmannen rivinpuolikkaalla kerrottuna toisesta rivistä ja kakkosella kerrottuna ensimmäisestä rivistä, saamme matrii-sin

.

Tässä toisen rivin viimeisen luvun muuttaminen nollaksi vastaa sijoitusmenettelyyn perustuvassa rat-kaisutavassa sitä, kun kolmannen muuttujan ratkaisun sijoitimme yhtälöön (4) ja näin rat-kaisimme muuttujan . Ensimmäisen rivin viimeisen luvun muuttaminen nollaksi yhdessä seuraavanoperaation kanssa vastaa sitä tilannetta, kun ratkaisujen ja avulla ratkaisimmelopuksi muuttujan .

Kerroinmatriisissa saamme toisen rivin avulla vielä yhden nollan ensimmäiselle riville, kun li-säämme toisen rivin kolmella kerrottuna ensimmäiseen riviin:

.

Nyt olemmekin valmiit, sillä saadusta kaaviosta voimme suoraan lukea ratkaisun

Juuri tällaista yhtälöryhmää nimittäin edellä oleva taulukko esittää, kun sen kerroinmatriisin luvut si-joitetaan muuttujien kertoimiksi. �

Yllä esitetty menettely on esimerkki ns. Gaussin ja Jordanin menetelmästä lineaarisen yhtälöryh-män ratkaisemiseksi. Tarkastelemme menettelyä seuraavassa pykälässä 8 tarkemmin. Tässä pykälässäkäymme vielä läpi alustavia merkintöjä ja nimityksiä.

Laajennettu kerroinmatriisi ja rivioperaatiot

Olkoon

lineaarinen yhtälöryhmä, jossa on lineaarista muuttujan yhtälöä. Muodostamme ensiksi muut-tujien kertoimista ja vakioluvuista laajennetun (kerroin)matriisin (engl. augmented matrix)

,

1 3� 0 � 1

0 1 0 � 12--- �

0 0 1 � 1 �

x3 1��

x2x3 1�� x2

12---��

x1

1 0 0 � 12--- �

0 1 0 � 12--- �

0 0 1 � 1 �

x112---��

x212---��

x3 1 .��

a11x1 a12x2 a1nxn� � � b1�

a21x1 a22x2 a2nxn� � � b2�

�

am1x1 am2x2 amnxn� � � bm �

m n

a11 a12 a1n � b1

a21 a22 a2n � b2

� � � � �

am1 am2 amn � bm


missä pystyviivan (tai tässä painoteknisistä syistä alekkaisten pystyviivojen) vasemmalla puolella ole-vista muuttujien kertoimista muodostuva kerroinmatriisi (engl. coefficient matrix)

on tyyppiä tai kokoa oleva matriisi ja pystyviivan oikealla puolella oleva vakio-osa muodostuuyhtälöiden vakioluvuista. Laajennetun kerroinmatriisin voimme lyhyesti ilmaista muodossa ,kun sen vakio-osaa merkitsemme (vektori)muuttujalla . Kerroinmatriisin A sarakkeet (eli pystyrivit)muodostuvat yhden muuttujan kertoimista eri yhtälöissä ja rivit (eli vaakarivit) muodostuvat eri muut-tujien kertoimista samassa yhtälössä. Rivin i ja sarakkeen j leikkauskohta on matriisin paikka ja siinä oleva alkio on matriisin –alkio.

Yhtälöryhmän ratkaisumenetelmässä pyrimme kaaviosta yksinkertaisempaan kaavioon,mistä ratkaisu voitaisiin ihannetapauksessa yksinkertaisesti lukea. Menetelmän suurin etu tulee ole-maan siinä, että alkuperäisten yhtälöiden määrittelemät muuttujien väliset riippuvuudet kulkevat kokoajan täydellisenä tietoutena mukana ja lopuksi saatava ratkaisu on siten myös alkuperäisen yhtälöryh-män ratkaisu.

Yhtälöryhmiä ja vastaavaa laajennettua matriisia on sallittua muokata seuraavin alkeis- eli riviope-raatioin tai -muunnoksin:

(1) Jokin yhtälö (tai matriisin rivi) kerrotaan nollasta eroavalla luvulla.

(2) Kaksi yhtälöä (tai matriisin riviä) vaihdetaan keskenään.

(3) Jokin yhtälö (tai matriisin rivi) lisätään jollakin luvulla kerrottuna johonkin toiseen yhtälöön(riviin).

Nämä operaatiot ovat sen takia sallittuja, että ne eivät muuta ratkaisujoukkoa, ts. näillä operaatioillamuokatut yhtälöryhmät ovat keskenään yhtäpitäviä. Tässä on olennaista myös se, että jokaisella edellämainitulla operaatiolla on samantyyppinen vastamuokkaus, jolla voidaan palata muokkausta edeltä-vään tilanteeseen.

Yhtälöryhmien muokkauksia käsin tehtäessä voi käyttää esimerkiksi seuraavan taulukon mukaisiamerkintöjä matriisin oikealla puolella. Ladontateknisistä syistä näitä merkintöjä ei ole tässä kirjassakäytetty.


Muodostamme sitä vastaavan laajennetun matriisin ja muokkaamme sitä lisäämällä ensimmäisen rivinkaksinkertaisena toiseen riviin:

Merkintä Selite

Kerrotaan luvulla se rivi, jonka kohdalla merkintä on. (Luvulla jakaminen on sama kuin luvulla kertominen.)

Vaihdetaan nuolten osoittamat rivit keskenään.

Kerrotaan nuolen alkupään osoittama rivi luvulla ja lisätään tai vähennetään nuolen osoittamasta rivistä.

A

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

� � �

am1 am2 amn

aij i 1 m �j 1 n �

aij � � �

m n�

A � bb

i j aij i j

A � bx

· a a 0�a 1 a�

a�a 0�

x 2y� 1�

2x� 4y� 0 .�


.

Alimmaksi saimme mahdottoman yhtälön , joten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisuja. �

7.4 Esimerkki. Ratkaisemme edellisestä hieman muutetun yhtälöryhmän

Muodostamme taaskin yhtälöä vastaavan kaavion ja muokkaamme sitä:

.

Saimme identtisesti toden yhtälön , joten toisen muuttujan voimme valita vapaasti. Ensim-mäiseltä riviltä näemme, että eli . Parametrin avulla ilmoitettuna ratkaisu on

�


Muodostamme ensin laajennetun kerroinmatriisin

ja muokkaamme sitä sallituin säännöin. Vähennämme aluksi ensimmäisen rivin kahdella kerrottunatoisesta rivistä ja lisäämme samalla sen kolmanteen riviin. Silloin saamme kaavion

,

jossa ensimmäinen sarake on haluttua muotoa. Lisäämällä toisen rivin kolmanteen riviin ja muutta-malla toisen rivin lukujen merkit saamme kaavion

.

Kerroinmatriisin alaosa on nyt nollattu. Kolmannen rivin avulla nollaamme sitten yläpuolelta kolman-nen sarakkeen alkiot, jolloin saamme kaavion

.

Nollaamalla vielä toisen rivin avulla toisen sarakkeen alkio yläpuolelta saamme kaavion

.

1 2� � 12� 4 � 0

1 2� � 1 0 0 � 2

0 2�

x 2y� 1�

2x� 4y� 2 .��

1 2� � 12� 4 � 2�

1 2� � 1 0 0 � 0

0 0� yx 2y� 1� x 2y 1��

x 2t 1��

y t t �� .�

x y z�� 0�

2x y z� � 0�

x� z� 1 .�

1 1 1� � 0 2 1 1 � 0 1� 0 1� � 1

1 1 1� � 0 0 1� 3 � 0

0 1 2� � 1

1 1 1� � 0 0 1 3� � 0

0 0 1 � 1

1 1 0 � 1 0 1 0 � 3

0 0 1 � 1

1 0 0 � 2 �

0 1 0 � 3 0 0 1 � 1


Tästä muodosta näemmekin, että yhtälöryhmän ratkaisu on

�

Porrasmuoto ja perusmuoto

Yhtälöryhmiä ratkaistaessa pyrimme seuraavassa esitettäviin kerroinmatriisiltaan yksinkertaisimpiinmuotoihin, joista ratkaisu olisi helpompi päätellä.

Lineaarisen yhtälöryhmän kerroinmatriisissa kunkin rivin ensimmäistä nollasta eroavaa lukua sa-nomme sen rivin porrasalkioksi, johtavaksi alkioksi tai tukialkioksi (engl. leading element, pivot ele-ment). Nollarivi on sellainen rivi, jonka kaikki luvut ovat nollia. Nollarivillä ei ole porrasalkiota.

Lineaarisen yhtälöryhmän kerroinmatriisi on porrasmuoto tai porrasmatriisi (engl. row echelonform), jos

(a) sen mahdolliset nollarivit ovat alimmaisina ja

(b) jokaisen muun rivin porrasalkion ja sitä edeltävien nollien alapuolella olevat sarakealkiot ovatnollia, ts. seuraavan rivin porrasalkio on aina edellisen rivin porrasalkiota myöhemmin.

Porrasmuoto on normitettu, jos lisäksi

(c) kaikki (nollarivistä eroavien rivien) porrasalkiot ovat ykkösiä.

Usein kirjallisuudessa jo porrasmuodon vaatimuksiin sisällytetään normitusvaatimus. Kerroinmatriision perusmuoto tai yksinkertainen porrasmuoto (engl. reduced row echelon form), jos se on normitettuporrasmuoto, jossa lisäksi

(d) kaikki porrasalkioiden yläpuolella olevat sarakealkiot ovat nollia, ts. porrasalkiot ovat sarak-keensa ainoat nollasta eroavat luvut.

Laajennettu kerroinmatriisi on porrasmuotoinen, jos sen kerroinosa on porrasmuotoinen.

7.6 Esimerkki. Kerroinmatriiseista

, , ja

matriisi on (vain) porrasmuoto, on normitettu porrasmuoto sekä ja ovat perusmuo-toja. �

7.7 Esimerkki. Kerroinmatriiseista

, ja

matriisi ei ole porrasmuoto, ei ole normitettu porrasmuoto (mutta on porrasmuoto) ja ei oleperusmuoto (mutta on normitettu porrasmuoto). Kaikki nämä matriisit ovat kuitenkin pienin muok-kauksin saatettavissa kyseisiin muotoihin. �

x 2��

y 3�

z 1 .�

A1 2 3 0 4 5

0 0 6 � B

1 2 3 4 0 0 1 5

0 0 0 1 � C

1 0 0 1

0 0 � D

1 2 0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 �

A B C D

A1 2 3 0 0 4

0 5 6 � B

1 2 3 4 0 5 6 7

0 0 8 9 � C

1 2 0 3 0 0 1 0

0 0 0 1 �

A B C

8 GAUSSIN JA JORDANIN MENETELMÄ 37

8 GAUSSIN JA JORDANIN MENETELMÄ

Rivioperaatiot

Lineaariseen yhtälöryhmään liittyy, kuten edellä on esitetty, laajennettu kerroinmatriisi

,

jota voimme muokata aikaisemmin kuvattuja rivioperaatioita käyttäen. Tarvittaessa täsmällisemmänesityksen saavuttamiseksi merkitsemme rivi- eli alkeisoperaatioita seuraavasti:

(1) : Rivi kerrotaan nollasta eroavalla luvulla (M ~ multiplication).

(2) : Kaksi eri riviä ja vaihdetaan keskenään (P ~ permutation).

(3) : Rivi luvulla kerrottuna lisätään toiseen riviin (A ~ addition).

Näiden muokkausten yhteisnimityksenä käytämme MPA–operaatiota. Nämä operaatiot ovat käyttö-kelpoisia laajennettujen matriisien muokkaukseen, koska ne eivät muuta niihin liittyvien yhtälöryh-mien ratkaisujoukkoa, ts. näillä operaatioilla muokatut yhtälöryhmät ovat keskenään yhtäpitäviä.

Olennaista on myös, että jokaisella edellä mainitulla operaatiolla on samantyyppinen vastamuok-kaus, jolla voidaan palata muokkausta edeltävään tilanteeseen: muokkauksen vastaoperaatio on

, muokkauksen vastaoperaatio on se sama ja muokkauksen vastaoperaatioon .

Huomaa, että kaikki edellä mainitut toimenpiteet koskevat vain rivejä. Sarakkeille tehtyinä vastaa-vat toimenpiteet eivät enää säilyttäisi yhtälöryhmän yhtäpitävyyttä alkuperäisen kanssa, vaan ne saat-taisivat skaalata muuttujia erilaisiksi, vaihtaa niitä keskenään tai sekoittaa niitä toistensa yhdistelmiksi.

Algoritmin kuvaus

Voit seurata algoritmin kuvauksen rinnalla esimerkkien 7.2 ja 7.5 muokkauksia.

• Sarakkeen 1 käsittely: – Jos paikassa on nolla, vaihdetaan se nollasta eroavaksi P–operaatiolla jonkin sellaisen alem-

man rivin kanssa, jossa ensimmäisellä sarakkeella on nollasta eroava luku (jokin muuttujan kerroin eroaa nollasta, jos tämä muuttuja ylipäätään esiintyy yhtälöryhmässä).

– A–operaatioilla muutetaan alapuolelle paikkoihin , …, nollat.

• Sarakkeen 2 käsittely: – Jos kaikissa paikoissa , …, on nolla, siirrytään sarakkeeseen 3 ja tehdään tämä tarkas-

telu paikan suhteen. – Jos paikassa on nolla, vaihdetaan se nollasta eroavaksi P–operaatiolla jonkin sellaisen alem-

man rivin kanssa, jossa toisen sarakkeen luku eroaa nollasta. – A–operaatioilla muutetaan alapuolelle paikkoihin , …, nollat.

• Sarakkeiden 3, …, käsittely: – Toimitaan sarake kerrallaan vastaavasti kuten sarakkeen 2 kohdalla: siirrytään paikasta, jossa

edellä on saatu rivin johtavaksi alkioksi nollasta eroava luku, yksi rivi ja yksi sarake eteenpäin.Jos siinä ja sen alapuolella on vain nollia, siirrytään eteenpäin seuraavaan sarakkeeseen pysyensamalla rivillä. Muutoin vaihdetaan (tarvittaessa) kyseiseen paikkaan nollasta eroava luku ja nol-lataan sen alapuoliset luvut.

a11 a12 a1n � b1

a21 a22 a2n � b2

� � � � �

am1 am2 amn � bm

Mi � i �

Pij i j

Aij � i � j

Mi � Mi 1 �� Pij Pij Aij �

Aij ��

1 1 x1

2 1 m 1

2 2 m 2 2 3 2 2

3 2 m 2

m 1�


Edellä kuvatussa menettelyssä käytetään vain P– ja A–operaatioita ja niillä päästään aina lopuksi por-rasmuotoon. Tämä menettely on kuitenkin vain eräs mahdollisuus; porrasmuotoon voi päästä monellaeri tapaa sallittuja PA–operaatioita käyttäen.

Jos yllä kuvattuun algoritmiin lisätään porrasalkioiden normitukset M–operaatioin ykkösiksi (sa-rake vuorollaan tai kaikki vasta algoritmin lopuksi), päädytään aina normitettuun porrasmuotoon.Yleisesti normitettuun porrasmuotoon MPA–operaatioin johtavaa menettelyä sanotaan Gaussin (elimi-nointi)menetelmäksi. Yhtälöryhmän ratkaisu saadaan normitetusta porrasmuodosta sijoittamalla.Esimerkissä 7.5 normitettu porrasmuoto ja sitä vastaava yhtälöryhmä ovat

ja .

Sijoittamalla saamme ensin ja sitten . Normitetusta porrasmuodosta voidaan edelleen jatkaa kerroinmatriisin yksinkertaistamista seuraa-

vasti:

• Jokaisen rivin johtavan kertoimen (joka on ykkönen) yläpuoliset luvut muutetaan A–operaatioillanolliksi.

Tämän menettelyn tuloksena on perusmuoto eli yksinkertainen porrasmuoto. Tähän tulokseen johta-vaa menettelyä sanotaan Jordanin (sievennys)menetelmäksi.

Kokonaisuudessaan peräkkäin suoritettuja Gaussin eliminointimenetelmää ja Jordanin sievennys-menetelmää sanotaan Gaussin ja Jordanin menetelmäksi (lyh. GJ–menetelmä). Sen lopputuloksena onyksinkertaisin mahdollinen laajennetun matriisin muoto, josta alkuperäisen yhtälöryhmän ratkaisu voi-daan lukea.

8.1 Esimerkki. Ratkaisemme esimerkin 7.5 yhtälöryhmän

Gaussin ja Jordanin menetelmällä. Muodostamme ensin laajennetun kerroinmatriisin ja muokkaammesitä samoin kuin edellä, mutta merkitsemme lisäksi edellä mainitut MPA–operaatiot näkyviin:

.

Saadusta perusmuodosta näemmekin, että yhtälöryhmän ratkaisu on . �

Kun merkitsemme MPA–operaatioita useampia saman nuolen yhteyteen, suoritamme ne järjestyk-sessä ylhäältä alas. Edellä olevassa esimerkissä tällä ei ole merkitystä, mutta tilanne voi olla toinen, josoperaatiot kohdistuvat samoihin riveihin.

8.2 Esimerkki. Oletamme seuraavissa tilanteissa, että yhtälöryhmään liittyvä laajennettu kerroinmat-riisi on jo saatettu perusmuotoonsa. Keskitymmekin kussakin tilanteessa siihen, miten lopullinen rat-kaisu siitä päätellään. Kaikki tilanteet ovat jonkinlaisia erikoistapauksia. Ratkaistava vektorimuuttujaolkoon kaikissa tilanteissa komponenteista muodostuva vektori .

1 1 1� � 0 0 1 3� � 0

0 0 1 � 1

x y z�� 0�

y 3z� 0�

z 1�

z 1� y 3z 3� � x z y� 2��

x y z�� 0�

2x y z� � 0�

x� z� 1�

1 1 1� � 0 2 1 1 � 0 1� 0 1� � 1

A12 2�

A13 1

1 1 1� � 0 0 1� 3 � 0

0 1 2� � 1

A23 1

M2 1�

1 1 1� � 0 0 1 3� � 0

0 0 1 � 1

A31 1

A32 3

1 1 0 � 1 0 1 0 � 3

0 0 1 � 1

A21 1�

1 0 0 � 2 �

0 1 0 � 3 0 0 1 � 1

x y z 2� 3 1 �

xi x

8 GAUSSIN JA JORDANIN MENETELMÄ 39

(a) Tilanteessa

viimeinen rivi edustaa yhtälöä , joten se ei aiheuta rajoitteita ratkaisulle. Toiselta riviltä voimmelukea, että . Ensimmäinen rivi taasen tarkoittaa yhtälöä . Koska muita rajoit-teita ei ole, vain mainittu ehto sitoo kahta ensimmäistä muuttujaa toisiinsa nähden. Toisen niistävoimme valita vapaasti parametriksi. Ratkaisuja on siten äärettömän paljon. Kun valitsemme esimer-kiksi, että , saamme koko yhtälöryhmän ratkaisuksi

(b) Tilanteessa

muuttujat ja ratkeavat yksikäsitteisesti. Muuttujan voimme valita vapaaksi parametriksi,jolloin riippuu siitä yhtälön mukaisesti. Ratkaisu on siten , ,

ja ( ).

(c) Tilanteessa

kerroinmatriisi ei vielä ole porrasmuodossa, mutta toinen yhtälö on muotoa ja on siten mahdo-ton, joten kyseisellä yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. �

8.3 Esimerkki. Ratkaisemme esimerkin 8.1 yhtälöryhmästä hieman muutetun yhtälöryhmän

Muodostamme ensin laajennetun kerroinmatriisin ja muokkaamme sitä samoin kuin esimerkissä 8.1:

.

Kolmanneksi yhtälöksi saimme mahdottoman yhtälön , joten yhtälöryhmällä ei ole ratkai-sua. �


1 3� 0 � 1 0 0 1 � 7

0 0 0 � 0

0 0�

x3 7� x1 3x2� 1�

x2 t�

x1 1 3t��

x2 t�

x3 7 t �� .�

1 0 0 1 � 2 0 1 0 0 � 7

0 0 1 0 � 0

x2 x3 x4x1 x1 x4� 2� x1 2 t�� x2 7�

x3 0� x4 t� t ��

1 0 6� � 1 0 0 0 � 7

0 0 1 � 0

0 7�

x y z�� 0�

2x y z� � 0�

x� 2z� 1 .�

1 1 1� � 0 2 1 1 � 0 1� 0 2� � 1

A12 2�

A13 1

1 1 1� � 0 0 1� 3 � 0

0 1 3� � 1

A23 1

M2 1�

1 1 1� � 0 0 1 3� � 0

0 0 0 � 1

0 1�

x1 2x2 x3 2x4� � � 1�

x1 2x2 3x3 6x4� � � 3�

x1 2x2 2x3 4x4� � � 2�

2x3 x4� 8�


Gaussin ja Jordanin menetelmällä. Muodostamme laajennetun kerroinmatriisin ja muokkaamme sitä:

.

Laajennettu matriisi on nyt normitetussa porrasmuodossa. Jatkamme vielä nollaamalla yläosaa:

.

Tästä muodosta näemmekin, että muuttujat ja ratkeavat yksikäsitteisesti, kun taas esimerkiksimuuttujan voimme valita parametriksi. Yhtälöryhmän ratkaisu on silloin muotoa

Vektorimuodossa ratkaisu on

( ). Ratkaisujoukko on siten suora . �

Ratkaisujen määrä

Yleisen lineaarisen yhtälöryhmän

ratkaisujen määrällä on kolme vaihtoehtoa: (1) Yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu täsmälleen silloin, kun Gaussin ja Jordanin menetel-

mässä päädytään perusmuotoon

.

1 2 1 2 � 1 1 2 3 6 � 3 1 2 2 4 � 2

0 0 2 1 � 8

A12 1�

A13 1�

1 2 1 2 � 1 0 0 2 4 � 2 0 0 1 2 � 1

0 0 2 1 � 8

M2 1 2�

1 2 1 2 � 1 0 0 1 2 � 1 0 0 1 2 � 1

0 0 2 1 � 8

A23 1�

A24 2�

1 2 1 2 � 1 0 0 1 2 � 1 0 0 0 0 � 0

0 0 0 3� � 6

M4 1 3��

P34

1 2 1 2 � 1 0 0 1 2 � 1 0 0 0 1 � 2 �

0 0 0 0 � 0

1 2 1 2 � 1 0 0 1 2 � 1 0 0 0 1 � 2 �

0 0 0 0 � 0

A31 2�

A32 2�

1 2 1 0 � 5 0 0 1 0 � 5 0 0 0 1 � 2 �

0 0 0 0 � 0

A21 1�

1 2 0 0 � 0 0 0 1 0 � 5 0 0 0 1 � 2 �

0 0 0 0 � 0

x3 x4x2

x1 2t��

x2 t�

x3 5�

x4 2 t �� .��

x 2t� t 5 2� 0 0 5 2� 2t� t 0 0 � 0 0 5 2� t 2� 1 0 0 �� t ��

0 0 5 2� 2� 1 0 0 �

a11x1 a12x2 a1nxn� � � b1�

a21x1 a22x2 a2nxn� � � b2�

�

am1x1 am2x2 amnxn� � � bm �

1 0 0 � c1

0 1 0 � c2

� � � � � 0 0 1 � cn

0 0 0 � 0 � � � � � 0 0 0 � 0

9 HOMOGEENINEN YHTÄLÖRYHMÄ 41

Yhtälöryhmän ratkaisuna on silloin , , …, . Tällainen tilanne on mahdollistavain, jos , ts. yhtälöitä on vähintään yhtä monta kuin muuttujia. Jos , nollarivit puuttu-vat lopusta. Katso esimerkki 8.1. Jos yhtälöitä on vähemmän kuin muuttujia eli , ei yhtälöryh-mällä voi olla yksikäsitteistä ratkaisua.

(2) Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua, jos Gaussin menetelmässä päädytään jossain vaiheessa riviin,jossa kerroinmatriisissa on nollarivi, mutta vakioluku ei ole nolla, ts. syntyy mahdoton yhtälö ,missä . Katso esimerkin 8.2 kohta (c) ja esimerkki 8.3.

(3) Muissa tapauksissa yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua. Ratkaisut voidaan silloinparametrisoida yhdellä tai useammalla parametrilla, mikä tuo usein selkeyttä ratkaisun esittämiseen.Katso esimerkin 8.2 kohdat (a) ja (b) sekä esimerkki 8.4.

9 HOMOGEENINEN YHTÄLÖRYHMÄ

Lineaarinen yhtälöryhmä on homogeeninen, jos sen kaikkien yhtälöiden vakio-osat ovat nollia. Yhtälö-ryhmä on tällöin muotoa

Homogeenisella yhtälöryhmällä on aina ns. triviaaliratkaisu . Jos muita rat-kaisuja on, niitä on äärettömän paljon ja ne ovat parametrisoitavissa yhdellä tai useammalla paramet-rilla. Homogeenisen yhtälön ratkaisuvektorien joukko sisältää aina nollavektorin ja on aina avaruuden

aliavaruus.

9.1 Esimerkki. Ratkaisemme homogeenisen yhtälöryhmän

(vrt esimerkki 8.4). Muodostamme laajennetun kerroinmatriisin ja muokkaamme sitä:

.

Tämän mukaan voimme valita muuttujan parametriksi, jolloin yhtälöryhmän ratkaisu on muotoa

x1 c1� x2 c2� xn cn�

m n� m n�

m n

0 c�

c 0�

a11x1 a12x2 a1nxn� � � 0 �

a21x1 a22x2 a2nxn� � � 0 �

�

am1x1 am2x2 amnxn� � � 0 . �

x1 x2 xn 0� � � �

�n

x1 2x2 x3 2x4� � � 0�

x1 2x2 3x3 6x4� � � 0�

x1 2x2 2x3 4x4� � � 0�

2x3 x4� 0�

1 2 1 2 � 0 1 2 3 6 � 0 1 2 2 4 � 0

0 0 2 1 � 0

A12 1�

A13 1�

1 2 1 2 � 0 0 0 2 4 � 0 0 0 1 2 � 0

0 0 2 1 � 0

M2 1 2�

1 2 1 2 � 0 0 0 1 2 � 0 0 0 1 2 � 0

0 0 2 1 � 0

A23 1�

A24 2�

1 2 1 2 � 0 0 0 1 2 � 0 0 0 0 0 � 0

0 0 0 3� � 0

M4 1 3��

P34

1 2 1 2 � 0 0 0 1 2 � 0 0 0 0 1 � 0

0 0 0 0 � 0

A31 2�

A32 2�

1 2 1 0 � 0 0 0 1 0 � 0 0 0 0 1 � 0

0 0 0 0 � 0

A21 1�

1 2 0 0 � 0 0 0 1 0 � 0 0 0 0 1 � 0

0 0 0 0 � 0

x2


Vektorimuodossa ratkaisu on ( ). Ratkaisujoukko on näin ol-len origosuora . �

9.2 Esimerkki. Ratkaisemme homogeenisen yhtälöryhmän

Muodostamme laajennetun kerroinmatriisin ja muokkaamme sitä:

.

Saatu matriisi vastaa yhtälöryhmää

mistä näemme, että voimme valita esimerkiksi muuttujat ja parametreiksi. Yhtälöryhmän rat-kaisu on siten

Vektorimuodossa ratkaisu on

( ). Ratkaisujoukko on täten aliavaruus , missä ja . �

x1 2t��

x2 t�

x3 0�

x4 0 t �� .�

x 2t� t 0 0 t 2� 1 0 0 � � t ��

2� 1 0 0

x1 2x2 x3 2x4� � � 0�

x1 2x2 3x3 6x4� � � 0 .�

1 2 1 2 � 0 1 2 3 6 � 0

A12 1�

1 2 1 2 � 0 0 0 2 4 � 0

M2 1 2�

1 2 1 2 � 0 0 0 1 2 � 0

A21 1�

1 2 0 0 � 0 0 0 1 2 � 0

x1 2x2� 0�

x3 2x4� 0 ,�

x2 x4

x1 2s��

x2 s�

x3 2t��

x4 t s t �� .�

x 2s� s 2t� t s 2� 1 0 0 t 0 0 2� 1 �� s t ��

u v u 2� 1 0 0 � v 0 0 2� 1 �

43

III LINEAARINEN RIIPPUVUUS, KANTA JA DIMENSIO

Tässä luvussa jatkamme pykälässä 4 aloitettua Eukleideen avaruuden perusstruktuurin selvitystä. Sel-vitämme nyt, miten monella tavalla jokin vektori voidaan saada peruslaskutoimituksilla aikaan anne-tuista vektoreista sekä ovatko ne kaikki siihen esitykseen tarvittavia.

10 LINEAARINEN RIIPPUVUUS JA RIIPPUMATTOMUUS

Tason luonnollisen kannan vektoreilla ja olemme todenneet olevan sellaisen ominaisuu-den, että mikä tahansa tason vektori voidaan yksikäsitteisesti esittää näiden avulla muodossa

. Tasossa on kuitenkin muitakin vektoreita, joilla on samanlainen ominaisuus. Esi-merkiksi, jos ja , jokaisella vektorilla on yksikäsitteinen esitys

. Tämän voimme varmentaa laskemalla: jos , niin

(kanta f1,f2)

Jos taas olisimme valinneet vaikkapa vektorit , ja , voisimme kaikki tason vektorit edel-leen ilmoittaa näiden avulla valitsemalla yksinkertaisesti vektorin kertoimeksi aina nollan, muttatämä esitystapa ei enää olisi suinkaan ainoa. Esimerkiksi vektorilla olisi silloin mm. esityk-set , , ja . Kolman-nen vektorin mukaan ottaminen ei ole tason virittämisen kannalta välttämätöntä ja on siinä mielessäjopa turhaa.

Pykälässä 4 olemme myös todenneet, että yleisesti jokainen vektori voidaan esittää luonnol-listen kantavektorien , , …, avulla yksikäsitteisesti:

.

Tarkastelemme, milloin muilla kuin luonnollisen kannan vektoreilla saataisiin yksikäsitteisiä esityksiäaikaan.

�2 e1 e2x

x x1e1 x2e2��

f1 1 1 � f2 1� 1 �

e1

e2f1

f2x

�1f1

�2f2

x �2�

x �1f1 �2f2�� x x1 x2 �

x x1 x2 �1f1 �2f2� �1 1 1 �2 1� 1 � �1 �2� �1 �2� � � � �

�1 �2� x1�

�1 �2� x2�

�1

12--- x1 x2� �

�212--- x2 x1� .�

e1 e2 f1f1x 3 2 �

x 3e1 2e2 0f1� �� x 1e1 0e2 2f1� �� x 0e1 1e2� 3f1�� x 2e1 e2 f1� ��

x �n�

e1 e2 en

x x1 x2 xn 1� xn x1e1 x2e2 xn 1� en 1� xnen� � � ��

44 III LINEAARINEN RIIPPUVUUS, KANTA JA DIMENSIO

Avaruuden vektoreiden (joita on vähintään kaksi eli ) sanotaan olevanlineaarisesti riippuvat tai sidotut, jos jokin niistä voidaan esittää muiden lineaarikombinaationa.Muussa tapauksessa kyseiset vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat eli vapaat. Vektorit ovat näinollen lineaarisesti riippumattomat, jos mitään vektoria ei voida esittää muiden vektorien lineaarikombi-naationa. Vektoreiden sijasta voidaan puhua myös vektorijoukon lineaarisesta riippuvuudesta tai riip-pumattomuudesta. Tarkasti ottaen näillä sanonnoilla on kuitenkin eroa, sillä vektoriluettelossa samavektori voi esiintyä useamman kerran, mutta vektorijoukosta toistot voidaan jättää pois. Jos kaikki vek-torit ovat eri vektoreita, ei ilmaisuilla ole eroa.

Usein käytetään seuraavia englanninkielisistä termeistä otettuja lyhenteitä: LD = lineaarisesti riippuva (engl. linearly dependent), LI = lineaarisesti riippumaton (engl. linearly independent).

10.1 Esimerkki. Tason vektoreille ja , on , joten vektorit ja ovat lineaarisesti riippuvat.

Jos taas valitsemmekin , on selvästi ja kaikilla reaaliluvuilla .Niinpä nämä vektorit ja ovat lineaarisesti riippumattomat. �

10.2 Esimerkki. Avaruuden vektoreille , ja on, joten vektorit , ja ovat lineaarisesti riippuvat. Myöhempää tarkastelua

ennakoiden riippuvuudesta saamme myös yhtälön . �

Avaruuden kaksi vektoria ja ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen silloin, kun toinenon toisen reaalikerta, ts. joko tai joillekin reaaliluvuille tai . Nollavek-toreista eroaville vektoreille nämä ehdot ovat yhtäpitävät. Useammalle vektorille on yleensä haasta-vampaa havaita lineaarinen riippuvuus. Eritoten vain jotkin vektorit voivat olla lausuttavissa muidenlineaarikombinaationa, ja ongelmaa lisää niiden vektorien keksiminen. Seuraava lause antaa kuitenkinyleisen menettelytavan lineaarisen riippuvuuden tai riippumattomuuden selvittämiseksi.

10.3 Lause. Avaruuden vektorit ( ) ovat (a) lineaarisesti riippumattomat täsmälleen silloin, kun ehto

toteutuu ainoastaan, kun , ja(b) lineaarisesti riippuvat täsmälleen silloin, kun ehto

toteutuu joillekin reaaliluvuille , joista ainakin yksi eroaa nollasta.

Todistus. Kohtien (a) ja (b) väittämät ilmaisevat loogisesti saman asian eli ne ovat keskenään ekvivalen-tit, joten riittää todistaa vaikkapa kohta (b).

Oletamme ensin, että vektorit ovat lineaarisesti riippuvat. Tällöin määritelmän mu-kaan jokin vektori on muiden lineaarikombinaatio. Tarvittaessa numerointia muuttamalla voimmeolettaa, että ensimmäinen vektori on muiden lineaarikombinaatio, jolloin sillä on esitys

.

Siirtämällä vektorin yhtälön toiselle puolelle saamme yhtälön

,

missä ainakin vektorin kerroin on nollasta eroava. Sama päättely toimii muunkin kuin ensimmäi-sen vektorin suhteen.

�n v1 v2 vm m 2�

u 1 5 � v 3� 15� � v 3u�� uv

v 3 15� � v �u� u �v� �

u v

�3 v1 1 2 3 � v2 4� 1 5 � v3 5� 8 19 �

v3 3v1 2v2�� v1 v2 v33v1 2v2 v3�� 0�

�n v1 v2v2 �1v1� v1 �2v2� �1 �2

�n v1 v2 vm m 2�

�1v1 �2v2 �mvm� � � 0�

�1 �2 �m 0� � � �

�1v1 �2v2 �mvm� � � 0�

�1 �2 �m

v1 v2 vm vi

v1

v1 �2v2 �mvm� ��

v1

1� v1 �1v1 �2v2 �mvm� � � � 0�

v1

10 LINEAARINEN RIIPPUVUUS JA RIIPPUMATTOMUUS 45

Oletamme toiseksi, että

,

missä ainakin yksi kerroin eroaa nollasta. Voimme taas olettaa, että . Ratkaisemme yllä ole-vasta yhtälöstä vektorin :

.

Näin ollen vektori on muiden vektorien lineaarikombinaatio, joten vektorit ovat li-neaarisesti riippuvat. Sama päättely toimii olipa mikä tahansa muu kerroin nollasta eroava, sillä tätäkerrointa vastaava vektori voidaan silloin lausua muiden lineaarikombinaationa. �

Koska yhdelle vektorille on , jos ja vain jos tai , voimme määritellä,että se on lineaarisesti riippumaton täsmälleen silloin, kun . Silloin lause 10.3 pätee myös, kun

.

10.4 Seuraus. Olkoot avaruuden vektoreita.

(a) Jos jokin vektoreista on nollavektori, vektorit ovat lineaarisesti riippuvat.

(b) Jos vektorit ovat lineaarisesti riippuvat ja , myös vektorit ovat lineaarisesti riippuvat (ts. lineaarinen riippuvuus säilyy vektoreita lisättäessä).

(c) Jos vektorit , missä , ovat lineaarisesti riippumattomat, myös vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat (ts. lineaarinen riippumattomuus säilyy vek-

toreita vähennettäessä).

Todistus. (a) Ehto toteutuu, kun valitsemme vektorin kertoi-meksi ja muille (kun ).

Kohtien (b) ja (c) osoittamiset jätämme harjoitustehtäviksi. �

Edellisen tuloksen mukaan lineaarinen riippuvuus säilyy vektoreita lisättäessä ja toisaalta lineaari-nen riippumattomuus säilyy vektoreita vähennettäessä. Yhdellä lisäehdolla saamme lineaarisen riippu-mattomuuden säilymään myös vektoreita lisättäessä.

10.5 Lause. Jos vektorit ovat avaruuden lineaarisesti riippumattomat vektorit ja vek-tori ei ole näiden virittämä, ts. , myös vektorit ovatlineaarisesti riippumattomat.

Todistus. Tarkastelemme yhtälöä

.

Jos , vektori on ratkaistavissa vektorien lineaarikombinaatioksi vastoinoletusta. Siispä . Tällöin vektorien lineaarisen riippumattomuuden mukaanmyös . Näin ollen vektorit ovat lineaarisesti riippumatto-mat. �

Lineaarisen riippuvuuden selvittäminen

Miten sitten yleisesti tutkitaan, milloin annetut vektorit ovat lineaarisesti riippuvat tai riippumattomat?Seuraavaa selvittelyjärjestystä voi käyttää:

• Onko mukana nollavektori? Jos on, vektorit ovat lineaarisesti riippuvat.

• Onko jokin vektori jonkin toisen reaalikerta tai helposti keksittävissä muiden lineaarikombinaa-tiona? Jos on, vektorit ovat lineaarisesti riippuvat.

�1v1 �2v2 �mvm� � � 0�

�i �1 0�

v1

v1�2�1-----v2� �

�m�1-------vm��

v1 v1 v2 vm

u �u 0� � 0� u 0�

u 0�

m 1�

v1 v2 vm �n

vi v1 v2 vm

v1 v2 vm u �n� v1 v2 vm u

v1 v2 vm m 2�

v1 v2 vm 1�

�1v1 �2v2 �mvm� � � 0� vi 0�

�i 1� �j 0� j i�

v1 v2 vm �n

u �n� u v1 v2 vm � v1 v2 vm u

�1v1 �2v2 �mvm �m 1� u� � � � 0�

�m 1� 0� u v1 v2 vm �m 1� 0� v1 v2 vm

�1 �2 �m 0� � � � v1 v2 vm u


• Tutkitaan ehtoa . Jos selviää, että se toteutuu vain, kun kaikki ker-toimet ovat nollia, vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat. Jos taas löytyy muukin ratkaisu, vek-torit ovat lineaarisesti riippuvat.

10.6 Esimerkki. Selvitämme, ovatko avaruuden vektorit , ja lineaarisesti riippumattomat. Muodostamme sitä varten näiden lineaarikombinaa-

tiosta yhtälön ja pyrimme osoittamaan, että tämän yhtälön ainoa ratkaisu on. Sijoitamme yhtälöön vektorit ja muokkaamme yhtälöä:

Ratkaisemme tämän yhtälöryhmän Gaussin ja Jordanin menetelmällä (muokkaukset ovat samat kuinesimerkissä 8.1):

.

Näin ollen yhtälöryhmän ratkaisuna on , joten vektorit , ja ovat line-aarisesti riippumattomat. �

10.7 Esimerkki. Esimerkissä 10.2 keksimme, että vektoreille , ja on , joten ne ovat lineaarisesti riippuvat. Miten olisimme voineet

menetellä, jos emme olisi keksineet tällaista riippuvuusyhtälöä? Silloin voimme lähteä selvittämään,ovatko vektorit , ja lineaarisesti riippumattomat. Muodostamme sitä varten yhtälön

, sijoitamme siihen vektorit ja muokkaamme sitä:

Ratkaisemme tämän yhtälöryhmän Gaussin ja Jordanin menetelmällä:

�1v1 �2v2 �mvm� � � 0�

�3 v1 1 2 1� � v2 1 1 0 �

v3 1� 1 1� �

�1v1 �2v2 �3v3� � 0�

�1 �2 �3 0� � �

�1v1 �2v2 �3v3� � 0�

�1 1 2 1� �2 1 1 0 �3 1� 1 1� � � 0�

�1 2�1 �1� �2 �2 0 �3� �3 �3� � � 0�

�1 �2 �3�� 2�1 �2 �3� � �1� �3� 0 0 0 �

�1 �2 �3�� 0�

2�1 �2 �3� � 0�

�1 � �3� 0 .�

1 1 1� � 0 2 1 1 � 0 1� 0 1� � 0

A12 2�

A13 1

1 1 1� � 0 0 1� 3 � 0

0 1 2� � 0

A23 1

M2 1�

1 1 1� � 0 0 1 3� � 0

0 0 1 � 0

A31 1

A32 3

1 1 0 � 0 0 1 0 � 0

0 0 1 � 0

A21 1�

1 0 0 � 0 0 1 0 � 0

0 0 1 � 0

�1 �2 �3 0� � � v1 v2 v3

v1 1 2 3 � v2 4� 1 5 �

v3 5� 8 19 � v3 3v1 2v2��

v1 v2 v3�1v1 �2v2 �3v3� � 0�

�1v1 �2v2 �3v3� � 0�

�1 1 2 3 �2 4� 1 5 �3 5� 8 19 � � 0�

�1 2�1 3�1 4�2� �2 5�2 5�3� 8�3 19�3 � � 0�

�1 4�2� 5�3� 2�1 �2 8�3� � 3�1 5�2 19�3� � 0 0 0 �

�1 4�2� 5�3� 0�

2�1 �2 8�3� � 0�

3�1 5�2 19�3� � 0 .�

10 LINEAARINEN RIIPPUVUUS JA RIIPPUMATTOMUUS 47

.

Näin ollen yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua, joten ilmeisesti vektorit , ja ovatlineaarisesti riippuvat. Koska nyt on tarkoitus kumota yleinen väittämä lineaarisesta riippumattomuu-desta (eli ettei ole olemassa mitään nollasta eroavia kertoimia, jotka toteuttaisivat tutkittavan yhtälön),on siihen tarkoitukseen parasta valita yksi konkreetti tilanne. Kun valitsemme esimerkiksi ,

ja , saamme yhtälön , joka nyt kiistatta osoittaa lineaari-sen riippuvuuden. �

GJ–menetelmän käyttö

Esimerkeistä 10.6 ja 10.7 näkyy, että yhtälön ratkaiseminen johti sellaisen ho-mogeenisen lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseen Gaussin ja Jordanin menetelmällä, jossa alkupe-räiset vektorit ovat kerroinosan sarakkeina. Yleisesti lineaarista riippuvuutta varten tutkittava vektori-yhtälö johtaakin homogeeniseen lineaariseen yhtälöryhmään, jossa on

tuntematonta ja yhtälöä ja jossa muuttujien kertoimet tulevat vektorien komponenteista. Kun ni-mittäin merkitsemme, että

, , …,

eli

kun ,

seuraavat päättelyt pätevät

Tästä yhtälöryhmästä muodostetun kerroinmatriisin sarakkeina ovat juuri alkuperäiset vektorit, , …, . Laajennetun matriisin

vakio-osa on nollavektori ja se pysyy sellaisena koko GJ–algoritmin ajan. Yllä saadulla homogeenisellayhtälöryhmällä on

(1) joko vain triviaali ratkaisu, jolloin alkuperäiset vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat, tai

(2) äärettömän monta ratkaisua, jolloin alkuperäiset vektorit ovat lineaarisesti riippuvat.

1 4� 5� � 0 2 1 8 � 0

3 5 19 � 0

A12 2�

A13 3�

1 4� 5� � 0 0 9 18 � 0

0 17 34 � 0

M2 1 9�

M3 1 17�

1 4� 5� � 0 0 1 2 � 0

0 1 2 � 0

A23 1�

1 4� 5� � 0 0 1 2 � 0

0 0 0 � 0

A21 4

1 0 3 � 0 0 1 2 � 0

0 0 0 � 0

v1 v2 v3

�3 1�

�2 2�� 1 3�� 3v1� 2v2� v3� 0�

�1v1 �2v2 �3v3� � 0�

�1v1 �2v2 �mvm� � � 0�

m n

v1 a11 a21 an1 � v2 a12 a22 an2 � vm a1m a2m anm �

vi a1i a2i ani � i 1 2 m �

�1v1 �2v2 �mvm� � � 0�

�1 a11 a21 an1 �2 a12 a22 an2 �m a1m a2m anm � � � 0�

(�1a11 �2a12 �ma1m � � � �1a21 �2a22 �ma2m � � �

�1an1 �2an2 �manm)� � � 0�

a11�1 a12�2 a1m�m� � � 0�

a21�1 a22�2 a2m�m� � � 0�

�

an1�1 an2�2 anm�m� � � 0�

v1 a11 a21 an1 � v2 a12 a22 an2 � vm a1m a2m anm �


10.8 Esimerkki. Tutkimme, millä luvun arvoilla avaruuden vektorit , ja ovat lineaarisesti riippumattomat. Teemme sen tutkimalla

Gaussin ja Jordanin menetelmällä laajennettua matriisia, jonka kerroinosa muodostuu annetuista vek-toreista ja vakio-osa on nollavektori:

.

Jos , yhtälöryhmällä on vain nollaratkaisu, joten annetut vektorit ovat tällöin lineaarisestiriippumattomat. Jos taas eli , yhtälöryhmällä on äärettömän paljon ratkaisuja, jotenannetut vektorit ovat tällöin lineaarisesti riippuvat. Vastauksena on siten, että arvoilla annetutvektorit ovat lineaarisesti riippumattomat. �

Taso

Avaruudessa , missä , kahden lineaarisesti riippumattoman vektorin virittämät aliavaruudetovat origotasoja. Yleisesti sen tasot ovat affiineja aliavaruuksia, jotka saadaan origotasoista siirroilla.Tasot ovat siten muotoa

,

missä voi olla mikä vain vektori sekä ja ovat lineaarisesti riippumattomat vektorit.

10.9 Esimerkki. Esimerkissä 4.4 totesimme, että

,

missä ja . Koska vektorit ja ovat lineaarisesti riippumatto-mat, aliavaruus on origotaso.

Edelleen joukko

on taso, sillä on helpohko todentaa, että se on muotoa , missä esimerkiksi. �

11 KANTA JA DIMENSIO

Pykälässä 4 olemme todenneet, että jokaisella avaruuden vektorilla on luonnollisessa kannassaesitys . Tämä merkitsee, että . Samassa pykälässäolemme myös todenneet, että tämä esitys on aina yksikäsitteinen. Siten erikoisesti yhtälöllä

on vain ratkaisu .Näin ollen kantavektorit ovat lineaarisesti riippumattomat.

Onko muillakin vektorijoukoilla kuin luonnollisen kannan vektoreilla yhtaikaisesti samat kaksiominaisuutta, virittäminen ja lineaarinen riippumattomuus? Lukumäärävaatimuksiltaan nämä ovatmielikuvallisesti toisilleen vastakkaiset: virittäminen vaatii yleensä useita vektoreita, kun taas lineaari-nen riippumattomuus sallii yleensä vain vähän vektoreita. Onko mahdollista löytää tasatilanne?

a �4 v1 1 1 0 1 �

v2 1� 1 1� 0 � v3 a 2 3 5 �

1 1� a � 0 1 1 2 � 0 0 1� 3 � 0

1 0 5 � 0

A12 1�

A14 1�

1 1� a � 0 0 2 2 a� � 0 0 1� 3 � 0 0 1 5 a� � 0

A42 2�

A43 1

1 1� a � 0 0 0 8� a� � 0 0 0 8 a� � 0 0 1 5 a� � 0

P24

1 1� a � 0 0 1 5 a� � 0 0 0 8 a� � 0 0 0 8� a� � 0

A34 1

1 1� a � 0 0 1 5 a� � 0 0 0 8 a� � 0 0 0 0 � 0

8 a� 0�

8 a� 0� a 8�

a 8�

�n n 3�

T u v1 v2 � u �1v1 �2v2� � �1 �2 ��

u v1 v2

U x x1 x2 x3 � �3� � x1 x2 x3� � 0� v1 v2 � �

v1 1 0 1� � v2 0 1 1� � v1 v2U

T x x1 x2 x3 � �3� � x1 x2 x3� � 9� �

T u v1 v2 ��

u 0 0 9 �

�n xx x1e1 x2e2 xnen� � �� e1 e2 en �n�

x1e1 x2e2 xnen� � � 0 0e1 0e2 0en� � �� x1 x2 xn 0� � � �

e1 e2 en

11 KANTA JA DIMENSIO 49

Määrittelemme, että avaruuden aliavaruuden vektorit muodostavatsen kannan (engl. basis), jos vektorit

(a) virittävät aliavaruuden eli ja

(b) ovat lineaarisesti riippumattomat.

Vektorit ovat tällöin kantavektoreita. Tarkkaan ottaen kannan vektorien luettelojärjestyk-sellä on merkitystä, ts. jos vektorit ilmoitetaan eri järjestyksessä, kyseessä on eri kanta. Esimerkiksi in-deksoitujen vektorien, kuten luonnollisten kantavektorien, oletamme kuitenkin olevan indeksijärjestyk-sessä, ellei muuta erikseen mainita.

11.1 Esimerkki. Avaruuden luonnollinen kanta on eräs sen kanta.

11.2 Esimerkki. Tason vektorit ja ovat erisuuntaisina vektoreina li-neaarisesti riippumattomat.

Lisäksi jokaisella vektorilla on esitys , missä ja (ks. s. 43), joten vektorit ja virittävät koko tason. Näin ollen ne muodostavat

tason kannan. �

11.3 Esimerkki. Esimerkissä 10.9 totesimme, että

,

missä ja , on origotasona aliavaruus. Lineaarisesti riippumattomatvektorit ja muodostavat silloin sen kannan. �

Aivan samoin kuin totesimme pykälässä 4 luonnolliselle kannalle, myös yleisen kannan suhteen to-distetaan, että jokaisella aliavaruuden vektorilla on kannan suhteenyksikäsitteinen esitys

.

Tätä esitystä sanotaan vektorin koordinaattiesitykseksi ja kertoimia sen koordinaateiksikannan suhteen. Merkitsemme myös silloin, että

.

Tämän merkinnän käytössä on kuitenkin huomattava, että vain koko avaruuden luonnollisen kannansuhteen koordinaattijonosta voidaan alaindeksi jättää pois. Näin ollen esimerkiksi merkintä

tarkoittaisi, että vektori olisi avaruuden vektori ja luvut olisivat senkoordinaatit tämän avaruuden luonnollisen kannan suhteen.

11.4 Esimerkki. Esimerkin 11.3 origotason vektoreilla , missä ,on esimerkin 4.4 mukaan esitys aliavaruuden kannassa , missä

ja . Siten . Konkreettina esimerkkinä vektorilla on esitys . �

Seuraava tulos ilmaisee, että aliavaruuksissa voi olla lineaarisesti riippumattomia vektoreita kor-keintaan niin monta kuin niillä on virittäjävektoreita.

11.5 Lause. Olkoot avaruuden vektorit , , …, lineaarisesti riippumattomat ja niiden virittämä aliavaruus. Jos myös vektorit , , …, virittävät sa-

man aliavaruuden , on oltava .

�n V 0 � v1 v2 vk v1 v2 vk � v1 v2 vk

V v1 v2 vk V�

v1 v2 vk

�n

�2 v1 1 1 � v2 1� 1 �

x x1 x2 � x �1v1 �2v2�� 112--- x1 x2� �

�212--- x2 x1� � v1 v2

U x x1 x2 x3 � �3� � x1 x2 x3� � 0� v1 v2 � �

v1 1 0 1� � v2 0 1 1� �

v1 v2

V x V� v1 v2 vk �

x �1v1 �2v2 �kvk� � ��

x V� �i

x �1 �2 �k �

x �1 �2 �k � x �k �i

U x x1 x2 x3 � x3 x1� x2��

x x1v1 x2v2�� U v1 v2 �

v1 1 0 1� � v2 0 1 1� � x x1 x2 �

x 5 11� 6 U�� x 5 11� �

�n u1 u2 umU u1 u2 um � v1 v2 vk

U m k


Todistus. Koska myös vektorit , , …, virittävät aliavaruuden eli , vek-torilla on esitys

.

Tässä esityksessä jokin kerroin eroaa nollasta, sillä muutoin vastoin vektoreiden , ,…, lineaarista riippumattomuutta. Olkoon (muut tapaukset voidaan indeksejä muutta-malla hoitaa vastaavasti). Yltä voimme silloin ratkaista, että

.

Lauseen 4.3 (s. 18) mukaan on täten

.

Tämän mukaan vektorilla on jokin esitys

.

Jos tässä olisi , olisi ja siten vektorijoukko olisi vas-toin oletusta lineaarisesti riippuva. Jonkin näistä kertoimista onkin oltava nollasta eroava, olkoon se (muut tapaukset voidaan hoitaa taas indeksejä muuttamalla). Samaan tapaan kuin edellä voimme rat-kaista

ja päätellä edelleen, että

.

Tällä tavalla jatkamme, ts. korvaamme jokaisen vektorin vuorollaan vektorilla ja joka vai-heessa päättelemme, että näin saatu vektorijoukko virittää edelleen koko avaruuden. Sivuutamme tar-kan todistuksen tässä, pääosin teknisyytensä vuoksi.

Jos nyt olisi vastoin väitettä, saisimme tulokseksi, että

.

Tällöin korvaamatta jäänyt vektori olisi kyseisessä viritetyssä aliavaruudessa, ts. se olisi mui-den vektoreiden lineaarikombinaatio. Tämä tarkoittaisi, että vektorit , , …, olisivat vas-toin oletusta lineaarisesti riippuvat. Ei siis voi olla , vaan täytyy olla , kuten väitettiin. �

Avaruuden kanta ja dimensio

Tarkastelemme ensin koko avaruuden osalta lineaarisesti riippumattomien vektorien, virittäjävektorienja kantavektorien lukumääriä. Ensimmäiseksi esitämme kuitenkin eräässä mielessä kielteiset tulokset.

11.6 Lause.

(a) Jokainen avaruuden vektorijoukko, missä on enemmän kuin eri vektoria, on lineaari-sesti riippuva.

(b) Mikään avaruuden vektorijoukko, missä on vähemmän kuin eri vektoria, ei voi virittääsitä.

Todistus. Koska avaruuden luonnolliset kantavektorit , , …, ovat lineaarisesti riippumat-tomat ja virittävät koko avaruuden, lauseen 11.5 mukaan toisaalta missä tahansa lineaarisesti riippu-mattomassa joukossa on korkeintaan vektoria ja toisaalta missä tahansa virittäjäjoukossa on vähin-tään vektoria. Tämä huomio todistaa molemmat väitteet. �

v1 v2 vk U U v1 v2 vk �

u1

u1 �1v1 �2v2 �kvk� � ��

�i u1 0� u1 u2um �1 0�

v11�1-----u1

�2�1-----� v2 �

�k�1-----� vk�

u1 v2 vk u1 v1 v2 vk v1 v2 vk U� � �

u2

u2 1u1 2v2 kvk� � ��

2 k 0� � � u2 1u1� u1 u2 um 2

v21

2------u2

1 2------� u1

3 2------� v3

k 2------�� vk�

u1 u2 v3 vk u1 u2 v2 vk u1 v2 vk U� � �

vi ui

m k�

u1 u2 uk U�

um U�

ui u1 u2 umm k� m k

�n n

�n n

�n e1 e2 en

nn


Seuraavaa tulosta voisi sanoa työnpuolituslauseeksi, sillä sen mukaan kannan kahdesta vaatimuk-sesta toinen voidaankin korvata pelkällä lukumäärätarkistuksella.

11.7 Lause. Jos avaruuden vektorit, joita on täsmälleen kappaletta, (a) ovat lineaarisesti riippumattomat, ne myös virittävät koko avaruuden, tai (b) virittävät koko avaruuden, ne ovat myös lineaarisesti riippumattomat. Kummassakin tapauksessa kyseiset vektorit muodostavat avaruuden kannan.

Todistus. (a) Mikäli annetut lineaarisesti riippumattomat vektorit eivät virittäisi koko avaruutta, voi-simme lisätä niihin jonkin vektorin, joka ei ole niiden lineaarikombinaatio, jolloin saisimme lauseen 10.5mukaan lineaarisesti riippumatonta vektoria. Toisaalta luonnollisen kannan vektoria virit-tävät koko avaruuden. Niinpä lineaarisesti riippumattomia vektoreita olisi enemmän kuin virittäjävek-toreita, mikä on vastoin lauseen 11.5 tulosta.

(b) Mikäli annetut virittäjävektorit eivät olisi lineaarisesti riippumattomia, jokin niistä olisi muidenlineaarikombinaatio, jolloin nämä muut vektoria virittäisivät jo koko avaruuden. Toisaalta luon-nollisen kannan vektoria ovat lineaarisesti riippumattomat. Taaskin lineaarisesti riippumattomiavektoreita olisi enemmän kuin virittäjävektoreita. �

Vielä seuraavakin tulos on seurausta edellisistä tuloksista.

11.8 Lause. Jokaisessa avaruuden kannassa on täsmälleen vektoria.

Todistus. Kantavektorit ovat lineaarisesti riippumattomat, joten lauseen 11.6 kohdan (a) mukaan niitäon korkeintaan kappaletta. Toisaalta ne virittävät koko avaruuden, joten saman lauseen kohdan (b)mukaan niitä on vähintään kappaletta. Niitä on siten täsmälleen kappaletta. �

Lukua sanotaan avaruuden dimensioksi eli ulottuvuudeksi, merkitään .

11.9 Esimerkki. Esimerkissä 10.6 olemme selvittäneet, että avaruuden vektorit , ja ovat lineaarisesti riippumattomat. Koska niitä on kappa-

letta, ne muodostavat avaruuden kannan. �

Aliavaruuden kanta ja dimensio

Edellä olemme saaneet tuloksia koko avaruuden kannan osalta. Seuraavaksi tarkastelemme aliavaruuk-sien kantojen olemassaoloa ja niissä olevien kantavektorien lukumääriä.

11.10 Kannaksi täydentäminen. Avaruuden aliavaruuden jokainen lineaarisesti riip-pumaton vektorijoukko voidaan täydentää sen kannaksi (tarkoittaen, että joko se on jo kanta tai sit-ten se voidaan muita vektoreita lisäämällä laajentaa kannaksi).

Todistus. Olkoot aliavaruuden lineaarisesti riippumattomat vektorit, jotka eivät vieläviritä koko aliavaruutta (muutoinhan lauseen väite pitää ilman muuta paikkansa). Tällöin on ole-massa jokin sellainen vektori , että . Silloin lauseen 10.5 mukaan vek-torit ovat lineaarisesti riippumattomat. Jos tällöin ,olemme löytäneet aliavaruuden kannan. Muutoin voimme lisätä lineaarisesti riippumattomien vek-torien listaan toisen aliavaruuden vektorin.

Edellä kuvattua lisäysmenettelyä voimme induktiivisesti toistaa, kunnes olemme löytäneet lineaa-risesti riippumattomat vektorit, jotka myös virittävät aliavaruuden . Tämä lisäysmenettely nimittäinvälttämättä päättyy viimeistään silloin, kun olemme löytäneet lineaarisesti riippumatonta vektoria,sillä tällaiset vektorit virittävät jo koko avaruuden. �

�n n

n 1� n

n 1�

n

�n n

nn n

n �n n dim �n�

�3 v1 1 2 1� �

v2 1 1 0 � v3 1� 1 1� � n 3�

�3

�n V 0 �

v1 v2 vk VV

vk 1� V� vk 1� v1 v2 vk �

v1 v2 vk vk 1� v1 v2 vk vk 1� V�

VV

Vn


11.11 Lause. Avaruuden aliavaruuden jokaisessa kannassa on yhtä monta vektoria.

Todistus. Olkoot aliavaruuden kahdessa kannassa ja vastaavasti ja vektoria. Koskakanta on lineaarisesti riippumaton ja kanta virittää aliavaruuden , lauseen 11.5 mukaan on

. Vaihtamalla kantojen roolit saamme, että . Siten . �

Tätä edellisen lauseen mukaista yhteistä lukua sanotaan aliavaruuden dimensioksi eli ulottu-vuudeksi, merkitään . Sanotaan myös, että aliavaruus on –ulotteinen, kun .Triviaalilla aliavaruudella ei ole kantaa, mutta sen dimensioksi sovimme kuitenkin nollan.

11.12 Esimerkki. Avaruuden vektorit ja ovat erisuuntaisina vek-toreina lineaarisesti riippumattomat, joten . �

11.13 Esimerkki. Avaruuden dimensio on kolme, joten sen aliavaruuden dimensio voi olla nolla,yksi, kaksi tai kolme. Epätriviaalin aliavaruuden dimensio voi täten olla yksi tai kaksi. Yksiulotteisetaliavaruudet ovat origosuoria ja kaksiulotteiset origotasoja. �

Lauseen 11.10 todistus antaa myös konkreetin menettelyn, miten annettu lineaarisesti riippumatonvektorijoukko voidaan täydentää sellaisen aliavaruuden (tai koko avaruuden) kannaksi, jonka vekto-reita ne ovat: Lineaarisesti riippumattomiin vektoreihin lisätään jokin aliavaruuden vektori, jota ne ei-vät viritä. Tätä jatketaan, kunnes on löydetty dimension verran vektoreita (jos dimensio tiedetään) taikoko aliavaruus on tullut viritettyä.

Täydentämisen sijasta aliavaruuden kanta voidaan muodostaa myös karsimalla virittäjävektoreita.

11.14 Kannaksi karsiminen. Avaruuden aliavaruuden jokainen äärellinen virittäjä-joukko voidaan karsia sen kannaksi (tarkoittaen, että joko se on jo kanta tai sitten se voidaan joitakinvektoreita poistamalla supistaa kannaksi).

Todistus. Olkoon . Jos esimerkiksi vektori on muiden vektorien lineaari-kombinaatio, aliavaruus virittyy jo näillä muilla vektoreilla, ts. . Poistamallayksi kerrallaan sellaiset vektorit, jotka ovat muiden lineaarikombinaatioita, päädymme lopulta lineaari-sesti riippumattomaan virittäjäjoukkoon, joka näin ollen on aliavaruuden kanta. �

Myös aliavaruuksille pätee seuraava ’työnpuolitustulos’.

11.15 Lause. Olkoon avaruuden aliavaruus, ja vektorit aliava-ruuden vektoreita (joita on täsmälleen dimension verran).

(a) Jos vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat, ne muodostavat aliavaruuden kannan.

(b) Jos vektorit virittävät koko aliavaruuden , ne muodostavat sen kannan.

Todistus. Väitteet osoitetaan tosiksi kuten lauseessa 11.7. �

11.16 Esimerkki. Avaruuden vektorit , ja ovat esimerkin 10.8 mukaan lineaarisesti riippumattomat, joten .

Saman esimerkin mukaan vektorit , ja ovatkuitenkin lineaarisesti riippuvat, joten . Koska esimerkiksi javektorit ja ovat lineaarisesti riippumattomat, muodostavat vektorit ja aliavaruuden

kannan. Siten tässä tapauksessa . �

�n V 0 �

V m kV

m k m k� m k�

Vdim V V k dim V k�

0

�3 v1 1 2 3 � v2 4� 1 5 �

dim v1 v2 2�

�3

�n V 0 �

V v1 v2 vk � vk viV V v1 v2 vk 1� �

V �n dim V k 1�� v1 v2 vk V

v1 v2 vk V

v1 v2 vk V

�4 v1 1 1 0 1 � v2 1� 1 1� 0 � v3 1 2 3 5 �

dim v1 v2 v3 3�

v1 1 1 0 1 � v2 1� 1 1� 0 � v3 8 2 3 5 �

dim v1 v2 v3 3 v3 5v1 3v2��

v1 v2 v1 v2v1 v2 v3 dim v1 v2 v3 dim v1 v2 2� �


11.17 Lause. Olkoot ja avaruuden aliavaruuksia ja .

(a) Tällöin .

(b) Jos lisäksi , niin .

Todistus. (a) Jokainen aliavaruuden kanta on aliavaruuden lineaarisesti riippumaton vektori-joukko, joka voidaan täydentää sen kannaksi. Täydentämisessä vektorien lukumäärä ei ainakaan pie-nene, joten . Samasta syystä .

(b) Kun , ei edellisen kohdan täydentämisessä voida lisätä yhtään vektoria. Si-ten aliavaruuden kanta on myös aliavaruuden kanta ja saman kannan virittäminä aliavaruuk-sina ja ovat samat. �

Yleinen taso ja hypertaso

Olkoon avaruuden –ulotteinen aliavaruus ja jokin vektori. Tällöin affiinia aliava-ruutta

sanotaan myös –ulotteiseksi (yleiseksi) tasoksi tai hypertasoksi. Pelkäksi hypertasoksi sanotaan kui-tenkin usein –ulotteista affiinia aliavaruutta.

Avaruuden suorat ovat siten tässä mielessä yksiulotteisia tasoja ja tasot ovat kaksiulotteisia ta-soja. Erikoisesti avaruuden tasot ovat myös hypertasoja.

V1 V2 �n V1 V2�

dim V1 dim V2 n

dim V1 dim V2� V1 V2�

V1 V2

dimV1 dimV2 dim V2 dim �n n�

dim V1 dim V2�

V1 V2V1 V2

V �n k u �n�

T u V� u v� � v V� � �

kn 1�

�n

�3

54

IV LINEAARIKUVAUS

Tässä luvussa siirrymme tarkastelemaan vektoriavaruuksien objektien eli vektorien kuvauksia vekto-reiksi. Tarkoituksen mukaisinta on tarkastella kuvauksia, jotka säilyttävät tietyssä mielessä vektoriava-ruuksien struktuurit, ts. säilyttävät vektorien laskutoimitukset eli yhteenlaskun ja reaaliluvulla kertomi-sen. Tällaisia kuvauksia sanotaan lineaarikuvauksiksi.

12 KUVAUSTEN PERUSKÄSITTEITÄ

Aluksi kertaamme luettelomaisesti muutamia perusasioita kuvauksista.

• Funktio eli kuvaus on sääntö (relaatio), joka liittää kuhunkin lähtö- eli määrittelyjoukon alkioon yhden (ja vain yhden) maalijoukon alkion . Tätä yhteyttä merkitään

ja alkiota sanotaan alkion kuvaksi tai funktion arvoksi kohdassa .

• Kuvauksessa osajoukon kuva(joukko) on kaikkien joukon alkioiden kuvienmuodostama joukko

. Tästä erikoistapauksena funktion kuva- eli arvojoukko on koko joukon kuvajoukko

. Tästä joukosta käytetään myös merkintojä ja (engl. image, range).

• Kuvauksessa osajoukon alkukuva on joukon osajoukko

. Tästä erikoistapauksena alkion alkukuva on joukko

. Se on yhtälön ratkaisujoukko. Joukon ja alkion alkukuvista käytetään myös merkintöjä

ja erotukseksi käänteiskuvauksen kuvista.

• Funktion rajoittuma osajoukkoon on kuvaus , jolle kaikille (itse kuvaussääntö ei siten muutu, vain sen kohdejoukko pienenee).

• Funktio on injektio (engl. injection, one-to-one mapping), jos se kuvaa kaikki alkiot erialkioiksi ts. jos aina, kun . On sama asia vaatia (mikä on usein lausekkeitakäsiteltäessä edullista huomata), että ehdosta seuraa aina, että . Injektiossajokaisen alkion alkukuva muodostuu vain yhdestä alkiosta ja tätä sanotaan alkion alkukuvaksi.

• Funktio on surjektio (eli epijektio, engl. surjection, mapping onto), jos sen kuvajoukkoon koko maalijoukko, ts. jos jokaiselle löytyy sellainen , että .

• Funktio on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio eli jos jokaista vastaatäsmälleen yksi , jolle . Injektiosta saadaan bijektio, kun sen maalijoukko rajataankuvajoukoksi. Tarkkaan ottaen kuvaus muuttuu tällaisessakin rajauksessa toiseksi, mutta koskasiinä ei yhtään kuvaustulosta poisteta, käytetään näin rajatusta kuvauksesta usein samaa merkintää.

• Identtinen kuvaus on kuvaus , jolle kaikilla .

f : X YX x Y y y f x �

y x f x

f : X Y C X� C

f C y Y� y f x jollekin x C��

f : X Y X

f X y Y� y f x jollekin x X��

Im f f

f : X Y D Y� X

f 1� D x X� f x D� � �

y Y�

f 1� y x X� y f x � � �

y f x �

f≠ D f≠ y

f : X Y C X� f C : C Y f C

x f x �

C

f : X Yf x1 f x2 � x1 x2�

f x1 f x2 � x1 x2�

y f X � y

f : X Yy Y� x X� y f x �

f : X Y y Y�

x X� f x y�

idX : X X idX x x� x X�

13 LINEAARIKUVAUS 55

• Funktioiden ja yhdistetty kuvaus on se kuvaus , jolle kaikille .

• Bijektion käänteiskuvaus on se kuvaus , jolle täsmälleen sil-loin, kun . On yhtäpitävää vaatia, että kaikilla ja kaikilla . Nämä ehdot voidaan ilmoittaa myös muodossa ja .

• Kahden bijektion ja yhdistetty kuvaus on myös bijektio. Täl-löin .

12.1 Esimerkki. Kuvaus , , on bijektio. Käy läpi sen injektiivisyys ja surjek-tiivisuus! Sen käänteiskuvaus on , jolle .

Jos lisäksi on kuvaus, jolle (joka ei ole bijektio), saamme yhdistetynkuvauksen lausekkeeksi

. Tässä esimerkkitapauksessa myös yhdistetty kuvaus on määritelty ja sen lauseke on

. Kumpikaan näistä yhdistetyistä funktioista ei ole bijektio. �

12.2 Esimerkki. Kuvauksista voimme koota myös moniosaisia kuvauksia. Esimerkiksi edellisen esi-merkin kuvauksille ja voimme määritellä kuvauksen asettamalla

kaikilla .

Edelleen voimme määritellä vaikkapa kuvaukset ja asettamalla

ja

kaikilla . �

Yleisesti kuvaukset ovat muotoa kaikilla .Osakuvaukset ovat kuvauksen komponenttikuvauksia.

13 LINEAARIKUVAUS

Luvuissa I ja III olemme käsitelleet avaruuden geometrista struktuuria, jonka pohjana ovat vektorit,niiden laskutoimitukset ja keskinäiset riippuvuudet. Nyt siirrymme objekteista tarkastelemaan niidenvälisiä kuvauksia eli sellaisia kuvauksia, joiden kohteina eli lähtöalkioina ovat vektorit ja joiden antamattulokset eli kuva-alkiot ovat myös vektoreita. Koska vektorit ovat havainnollistusten mukaan suoravii-vaisia ja niiden yhdistelmiäkin sanotaan lineaarisiksi, myös niiden välisten kuvaustenkin tulisi olla jo-tenkin suoraviivaisia eli ’lineaarisia’. Mitä tämä voisi tarkoittaa?

Lineaarikuvauksen määrittely ja esimerkkejä

Kuvauksen lineaarisuuden mieltämiseksi tarkastelemme ensin geometrisesti seuraavia yksinkertaisiatason muunnoksia (ks. jäljempänä olevat kuvat):

• 90 asteen kierto origon suhteen vastapäivään on kuvaus , jolle .

• Peilaus eli heijastus vaaka-akselin suhteen on kuvaus , jolle .

• Projektio vaaka-akselille on kuvaus , jolle .

• Skaalaus eli venytys kertoimella puoli on kuvaus , jolle .

• (Eräs) vinoutus on kuvaus , .

f : X Y g : Y Z g f� : X Zg f� x g f x � x X�

f : X Y f 1� : Y X f 1� y x�

y f x � f 1� f x x� x X� f f 1� y y�

y Y� f 1� f� idX� f f 1�� idY�

f : X Y g : Y Z g f� : X Zg f� 1� f 1� g 1��

f : � � f x x3 5��

f 1� : � � f 1� y y 5�3�

g : � � g x 2x2 1��

g f� x 2 x3 5� 2 1� 2x6 20x3 51� ��

f g�

f g� x 2x2 1� 3 5� 8x6 12x4 6x2 6� � ��

f g h1 : � �2

h1 x f x g x x3 5� 2x2 1� � � x ��

h2 : �2 � h3 : �2 �2

h2 x y f x g y � x3 2y2 6� ��

h3 x y f x g y x3 5� 2y2 1� � � x y ��

f : �n �m f x f1 x f2 x fm x � x �n�

fi : �n � f

�n

K : �2 �2 K x1 x2 x2� x1 �

H : �2 �2 H x1 x2 x1 x� 2 �

P : �2 �2 P x1 x2 x1 0 �

S : �2 �2 S x1 x2 12---x1

12---x2 �

V : �2 �2 V x1 x2 x1 x2� x2 �

56 IV LINEAARIKUVAUS

Seuraavissa kuvissa ovat kuvattuina tasoon sijoitetun kirjaimen F kuvautumiset edellä mainituissakuvauksissa. Tarkastelemalla näitä kuvia voimme huomata, että jokaisessa näistä muunnoksista F–kir-jaimen muotoinen kuvio säilyy suoraviivaisena, mahdollisesti vain sen asema muuttuu ja se kutistuu taivenyy muodoltaan. Erityisesti kaikissa tapauksissa kaksinkertaiset vektorit kuvautuvat kaksinkertai-siksi, kolminkertaiset kolminkertaisiksi jne. Samoin voimme kussakin esimerkissä vakuuttua siitä, ettäminkä tahansa kahden (origo)vektorin summavektorin kuva on aina sama kuin näiden vektorien kuva-vektorien summa. Tämän tapaisia muunnoksia tarkastelemmekin lähemmin jatkossa.

Myös tason siirto , jolle , kun on siirtovektori,täyttää ’suoraviivaisuuden’ vaatimuksen, mutta se poikkeaa edellisistä siinä, että origo ei pysy origona(ellei siirretä nollavektorilla) eivätkä esimerkiksi samalla origosuoralla alunperin olleet pisteet ole enääsiirron jälkeen samalla origosuoralla (ks. kuvasta vaikkapa alunperin samalla suoralla olevien origon,kirjaimen F keskisakaran alkupisteen ja yläsakaran loppupisteen kuvautumista).

Annamme nyt täsmällisen määrittelyn suoraviivaisuudelle: Kuvaus on lineaarineneli se on lineaarikuvaus, jos seuraavat ehdot toteutuvat:

(1) kaikilla ja

(2) kaikilla ja .

Ehdot ilmaisevat siten, että vektorien summan kuvan on oltava sama kuin kuvien summa ja että vekto-rin reaalikerran kuvan on oltava kuvan sama reaalikerta.

Erikoisuutensa takia lineaarikuvausta merkitään yleensä isolla kirjaimella ja pelkän argumentin ym-päriltä jätetään sulut pois. Sen mukaisesti voimme edellä olevat ehdot kirjoittaa hieman lyhyemminmuodoissa ja . Kaikkien muuttujalausekkeitten ympärillä on kui-tenkin aina oltava sulut.

90°

K

HP

Kierto Heijastus Projektio

S

V

Skaalaus Vinoutus

S : �2 �2 S x1 x2 x1 a1� x2 a2� � a1 a2

S

Siirtoa

L : �n �m

L x y� L x L y �� x y �n�

L �x �L x � � �� x �n�

L x y� Lx Ly�� L �x �Lx�

13 LINEAARIKUVAUS 57

13.1 Esimerkki. Kuvaus , jolle kaikilla , on lineaarinen, sillä

kaikilla ja kaikilla ja . �

13.2 Esimerkki. Jos yleisesti on lineaarikuvaus ja , on

. Kaikki lineaarikuvaukset ovat näin ollen yksinkertaisesti skaalauksia eli jollain reaaliluvullakertomisia. Tällaisten kuvausten kuvaajat eli joukot ovat muuten vektorien virittämiä origosuoria. �

13.3 Esimerkki. Kuvaus , jolle kaikilla , ei ole lineaarinen, sillä esi-merkiksi , mutta . Huomaa, että lineaarisuuden yleis-ten vaatimusten kumoamiseen riittää yksikin vastaesimerkki. �

13.4 Esimerkki. Osoitamme, että kuvaus , jolle , on lineaari-nen. Ensinnäkin, jos ja , on

ja toisaalta

Näin ollen . Toiseksi, jos ja , on

.

Kuvaus on näin ollen lineaarinen. �

13.5 Esimerkki. Vastaavasti kuin edellinen esimerkki voimme osoittaa laskemalla, että kaikki tämänpykälän johdannossa mainitut kuvaukset eli kierto, peilaus, projektio, skaalaus ja vinoutus ovat todellalineaarikuvauksia. Siirto (muulla kuin nollavektorilla) ei sen sijaan ole lineaarikuvaus. Se osoitetaanvastaavasti kuin esimerkin 13.3 kuvaukselle. �

13.6 Esimerkki. Kuvaus , , ei ole lineaarinen. Koska esimerkiksi, ja , on , päin-

vastoin kuin mitä lineaarikuvaukselle pitäisi olla. Tässä lineaarisuus kumoutuu olennaisesti neliöön ko-rotuksen takia. �

13.7 Esimerkki. Identtinen kuvaus , jolle aina, on lineaarinen, sillä

kaikilla ja kaikilla ja . �

13.8 Esimerkki. GJ–menetelmässä käytettävät MPA–operaatiot ovat itse asiassa lineaarikuvauksia. Joskyseessä on sellaisen yhtälöryhmän ratkaiseminen, jossa on yhtälöä ja muuttujaa, MPA–operaa-tiot kohdistuvat laajennetun matriisin sarakkeisiin, jotka ovat avaruuden vektoreita. Kutakin ope-raatiota käytetään kaikkiin sarakkeeseen yhtaikaisesti. Esimerkkeinä MPA–operaatioita vastaa-vista lineaarikuvauksista (samoin merkiten) olkoot

,

ja

L : � � Lx 3x� x ��

L x y� 3 x y� 3x 3y� Lx Ly�� x y ��

L �x 3 �x � 3x � Lx � � � � �� x ��

L : � � a L 1 �

Lx L x 1� xL 1 xa ax� � � �

L : � �x Lx x �� 1 a

f : � � f x 3 x�� x ��

f 2 3� f 5 8� � f 2 f 3 � 5 6� 11� �

L : �2 �2 L x1 x2 3x1 x1 x2� �

x x1 x2 �2�� y y1 y2 �2��

Lx Ly� 3x1 x1 x2� 3y1 y1 y2� � 3x1 3y1� x1 x2 y1 y2� � � � �

L x y� L x1 y1� x2 y2� 3 x1 y1� x1 y1� x2 y2� �

3x1 3y1� x1 x2 y1 y2� � � .

� �

�

L x y� Lx Ly��

� �� x x1 x2 �2��

L �x L �x1 �x2 3 �x1 �x1 �x2� � 3x1 x1 x2� �Lx� � � �

L

f : �2 � f x1 x2 x12 x2��

2 0 2 1 0 � f 2 0 22 0� 4� � 2f 1 0 2 12 0� 2� � f 2 1 0 2f 1 0 �

I In id� � : �n �n Ix x�

I x y� x y� Ix Iy�� x y �n�

I �x �x � Ix � � � �� x �n�

m n�m

n 1�

M1 � x1 x2 xm �x1 x2 xm �

P12 x1 x2 xm x2 x1 x3 xm �


.

Kaikki nämä, kuten yleisesti kaikki MPA–operaatiot, ovat helpohkoja todeta lineaarikuvauksiksi. �

13.9 Lause. Lineaarikuvaukselle pätevät seuraavat:

(a) .

(b) kaikilla ja kaikilla .

(c) kaikilla , ja ( ).

Todistus. (a) Väitteen yhtälössä edellinen nolla tarkoittaa lähtöavaruuden nollavektoria ja jälkim-mäinen nolla maaliavaruuden nollavektoria. Itse väitteen todistamme vaikkapa seuraavasti (missä0 tarkoittaa lukua nolla ja em. nollavektoreita):

. (b) Todista harjoitustehtävänä. (c) Todista harjoitustehtävänä induktiolla. �

Käänteisesti ajatellen yllä olevan lauseen ensimmäinen kohta ilmaisee, että sellainen kuvaus, joka eikuvaa nollavektoria nollavektoriksi (eli origoa origoksi), ei voi olla lineaarikuvaus. Esimerkiksi kuvaus

ei ole lineaarinen, sillä . Yllä olevan lauseen kolmas kohta ilmaistaan summausmerkin avulla seuraavasti:

.

Lineaarikuvausten summa ja reaalikerta

Kahden lineaarikuvauksen ja summa(kuvaus) määri-tellään säännöllä kaikilla . Edelleen lineaarikuvauksen reaalikerta , missä , määritellään säännöllä kaikilla .Vastaavasti kuin vektoreille, merkitsemme myös lineaarikuvausten erotusta javastakuvausta .

13.10 Lause. Lineaarikuvauksille ja sekä reaaliluvulle kuvaukset ja ovat lineaarikuvauksia.

Todistus. Kuvauksen lineaarisuuden osoittaminen jääköön harjoitustehtäväksi. Osoitamme kuvauksen lineaarisuuden: Kun ja , pätevät

ja

. �

13.11 Esimerkki. Esimerkin 13.4 mukaan kuvaus , jolle , onlineaarinen. Toisaalta esimerkin 13.7 mukaan myös identtinen kuvaus , jolle

, on lineaarinen. Näin ollen myös kuvaus on lineaarinen ja senlauseke on

�

A12 � x1 x2 xm x1 �x1 x2� x3 xm �

L : �n �m

L 0 0�

L �x y� �Lx Ly�� x y �n�

L �1x1 �2x2 �kxk� � � �1Lx1 �2Lx2 �kLxk� � �� k 1� �i ��

xi �n� i 1 k �

�n

�m

0

L 0 L 0 0� 0 L 0 � 0� � �

f x1 x2 x1 x2 3� �� f 0 0 3 0��

L �ixii 1�

k

� �iLxii 1�

k

��

L : �n �m K : �n �m L K� : �n �mL K� x Lx Kx�� x �n� L : �n �m

�L : �n �m � �� L x �Lx� x �n�

L K� � L K��

1� L L��

L : �n �m K : �n �m � ��

L K� �L

L K�

�L x y �n� ��

�L x y� �L x y� � Lx Ly� �Lx �Ly� �L x �L y ��

�L x �L x � Lx �Lx �L x � � � �

L : �2 �2 L x1 x2 3x1 x1 x2� �

I : �2 �2I x1 x2 x1 x2 � L 2I� : �2 �2

L 2I� x1 x2 L x1 x2 2I x1 x2 � 3x1 x1 x2� 2 x1 x2 �

5x1 3x1 2x2� .

� �

�

14 LINEAARIKUVAUS JA KANTA 59

Yhdistetty kuvaus

13.12 Lause. Lineaarikuvauksille ja myös niiden yhdistetty kuvaus on lineaarikuvaus.

Todistus. Jätämme harjoitustehtäväksi. �

Kun lineaarikuvauksia merkitään isoin kirjaimin, jätetään yleensä myös yhdistetyn kuvauksen väli-merkki pois, ts. kirjoitetaan ja .

13.13 Esimerkki. Tämän pykälän alun johdattelussa esiintyivät mm. 90 asteen kierto ,, ja peilaus vaaka-akselin suhteen , . Ne

molemmat ovat lineaarikuvauksia. Muodostamme niiden yhdistetyn kuvauksen . Kun, on

.

Geometrisesti tämä lineaarikuvaus on peilaus 45 asteen kulmassa laskevan origosuoran suhteen. Myös yhdistetty kuvaus on määritelty ja sen lauseke on

.

Geometrisesti tämä lineaarikuvaus on peilaus 45 asteen kulmassa nousevan origosuoran suhteen. �

13.14 Esimerkki. Esimerkin 13.4 lineaarikuvaus , jolle , voi-daan yhdistää itsensä kanssa, jolloin saamme lineaarikuvauksen (jota merkitään myös

). Sen lauseke on

. �

13.15 Esimerkki. Esimerkissä 13.8 olemme todenneet, että kaikki GJ–menetelmän MPA–operaatiotovat lineaarikuvauksia, joitten kohteena ovat laajennetun kerroinmatriisin sarakkeet. Siten myös kaikkiniiden yhdistetyt kuvaukset ovat lineaarikuvauksia. Koska GJ–menetelmässä kerroinmatriisi voidaanMPA–operaatioin muuntaa porrasmuotoon ja mahdollisesti edelleen perusmuotoon, koko ratkaisuope-raatiossa on loppujen lopuksi kyse vain yhden lineaarikuvauksen käytöstä (kaikkiin sarakkeisiin yhtai-kaisesti). Palaamme tähän asiaan tarkemmin pykälässä 21. �

14 LINEAARIKUVAUS JA KANTA

Jo kaksiulotteisessa avaruudessa on äärettömän paljon vektoreita äärettömän moneen suuntaan, jotentällaisen avaruuden lineaarikuvauksia tuntuisi olevan haastavaa kartoittaa. Lineaarikuvaus kuitenkinsitoo vektorien monikertojen ja summien kuvautumiset ja se helpottaakin kartoitusta olennaisesti. En-simmäinen huomio on seuraava.

14.1 Lause. Lineaarikuvaus määräytyy täysin siitä, miten se kuvaa avaruuden kan-nan (esimerkiksi luonnollisen kannan).

Todistus. Olkoon avaruuden kanta. Jokaisella vektorilla on silloin koor-dinaattiesitys

,

jolloin kuvauksen lineaarisuuden perusteella

.

Tulos on näin ollen täysin määrätty, kun tiedämme tulokset . �

L : �n �m K : �m �kK L� : �n �k

K L� KL� K L� x KLx�

K : �2 �2K x1 x2 x2� x1 � H : �2 �2 H x1 x2 x1 x� 2 �

HK : �2 �2x x1 x2 �2��

HKx H Kx H x2� x1 x2� x1� � � �

KH : �2 �2

KHx K Hx K x1 x� 2 x2 x1 � � �

L : �2 �2 L x1 x2 3x1 x1 x2� �

LL : �2 �2L2

LLx L 3x1 x1 x2� 3 3x1� 3x1 x1 x2� � 9x1 4x1 x2� � � �

L : �n �m �n

v1 v2 vn �n x �n�

x �1v1 �2v2 �nvn� � ��

L

Lx �1Lv1 �2Lv2 �nLvn� � ��

Lx Lv1 Lv2 Lvn


14.2 Seuraus. Lineaarikuvauksen kuvajoukolle on , missä on mikä tahansa avaruuden kanta.

Todistus. Edellisen lauseen todistuksen mukaan on

�

Tarkastelemme seuraavaksi lineaarikuvauksia yksiulotteiseen avaruuteen. Olkoon täl-lainen lineaarikuvaus ja olkoon avaruuden luonnollinen kanta. Kuten edellä olevanlauseen todistuksessa olemme huomanneet, vektorin kuvavektori on muo-toa . Tässä lausekkeessa kantavektorien kuvat ovat nyt reaali-lukuja ja jos merkitsemme niitä ( ), silloin on

.

Tuloksena on näin ollen muuttujien ensimmäisen asteen polynomi ilman vakiotermiä eli muuttujien muodollinen lineaarikombinaatio (muodollinen sen takia, että nämä muuttujat eivät ole avaruuden

vektoreita – mutta kylläkin yksiulotteisen avaruuden). Tarkastelemme sitten lineaarikuvauksia . Avaruuden vektoreista komponentteja

poimivat kuvaukset

, ( ),

ovat ns. komponenttikuvauksia tai -projektioita ja edellä olleen tarkastelun mukaan ne ovat selvästi li-neaarisia. Lineaarikuvauksen komponenttikuvaukset ovat tämän jälkeen lineaarikuvauksina

. Näiden kuvauslausekkeet ovat lineaarikuvauksen komponenttilausekkeita ja toisaaltaitse lineaarikuvauksen lauseke muodostuu niistä vektorina, ts. kaikilla

.

14.3 Esimerkki. Esimerkin 13.4 lineaarikuvauksen , , kompo-nenttikuvaukset ovat

, , ja

, . �

Edellä olleen yksiulotteisen tarkastelun mukaan jokaisen komponenttikuvauksen lau-seke on muuttujien muodollinen lineaarikombinaatio. Näin olemme perustelleet seuraavantuloksen toisen puolen.

14.4 Lause. Kuvaus on lineaarinen täsmälleen silloin, kun sen kaikki komponenttilau-sekkeet ovat muuttujavektorin komponenttien muodollisia lineaarikombinaatioita.

Todistus. Edellä on perusteltu, että lineaarikuvauksen lausekkeet ovat muuttujavektorin komponenttienmuodollisia lineaarikombinaatioita.

Olkoot sitten kuvauksen lausekkeet muuttujavektorin komponenttien muodollisia linearikom-binaatioita. Tarkastelemme ensin yhtä komponenttikuvausta . Olkoon sille

.

Tämä on suoraviivaisena harjoitustehtävänä osoitettavissa lineaariseksi. Koko kuvaus on muotoa , ts. kaikilla .

Koska jokainen komponenttikuvaus on kahden lineaarikuvauksen yhdistettynä kuvauk-sena lineaarinen, on edelleen suoraviivaista osoittaa, että myös on lineaarinen. �

L : �n �m Im L Lv1 Lv2 Lvn �

v1 v2 vn �n

Im L Lx x �1v1 �2v2 �nvn� � �� n� �

�1Lv1 �2Lv2 �nLvn� � � �i �� Lv1 Lv2 Lvn .

�

� �

L : �n �e1 e2 en �n

x x1 x2 xn �n��

Lx x1Le1 x2Le2 xnLen� � �� LeiLei ai �� i 1 2 n �

Lx a1x1 a2x2 anxn� � ��

xixi

L : �n �m �m

Pk : �m � Pkx Pk x1 x2 xm xk� � k 1 m �

LLk PkL� Lkx

Lx L1x L2x Lmx �

x �n�

L : �2 �2 L x1 x2 3x1 x1 x2� �

L1 : �2 � L1 x1 x2 3x1�

L2 : �2 � L2 x1 x2 x1 x2��

Lk PkL�

Lkx xi

L : �n �m

LLk PkL�

Lk x1 x2 xn a1x1 a2x2 anxn� � ��

L L L1 L2 Lm � Lx L1x L2x Lmx � x �n�

Lk : �n �Lk PkL� L

14 LINEAARIKUVAUS JA KANTA 61

14.5 Esimerkki. Kuvaus ,

on lineaarinen, sillä sen komponenttilausekkeet , ja ovatmuuttujien , , ja muodollisia lineaarikombinaatioita. �

14.6 Esimerkki. Kuvaus ,

ei ole lineaarinen, sillä yksi sen komponenttilausekkeista ei ole muuttujien , , ja muo-dollinen lineaarikombinaatio. �

Edellä olevaa tulosta voi tietenkin käyttää vain, jos kuvaus on esitetty lausekemuodossa. Lineaari-kuvaus voi kuitenkin olla ilmaistu muullakin tavalla, esimerkiksi geometrisena operaationa. Silloin li-neaarisuus tulee todentaa määritelmän mukaisesti tai, jos se on mahdollista, muodostaa kuvauksellelauseke ja tarkistaa sitten sen muoto.

14.7 Esimerkki. Olkoon P tason peilaus 45 asteen kulmassa nousevan origosuoran suhteen.Koska geometrisesti on selvää, että , on kuvaus lausekkeensa perusteella line-aarikuvaus. Tämä oli toki selvää operaation suoraviivaisuuden takiakin. �

14.8 Esimerkki. Oletamme lineaarikuvauksesta tiedettävän lineaarisuuden lisäksi vain,että ja . Koska vektorit ja muo-dostavat tason kannan, määräytyy lineaarikuvaus annetuista kuvautumisista täysin. Määräämmelineaarisuutta käyttäen sen lausekkeen. Koska

,

riittää selvittää ensin kuvat ja . Kun huomaamme, että (ks. s. 43),saamme, että

.

Vastaavasti (ks. s. 43), joten

.

Siten kuvauksen lauseke on

.

Tässä ratkaisussa keksimme ensin luonnollisen kannan vektoreiden koordinaatit vektorien ja muodostamassa kannassa, koska sen jälkeen kuvauksen yleinen lauseke oli selkeätä lineaa-risuuden avulla muodostaa. Toinen vaihtoehto olisi ollut selvittää ensin yleisen vektorin koordinaatit vektorien ja muodostamassa kannassa (ks. esimerkki 11.2) ja käyttää sittenlineaarisuutta kuvan määräämiseen. Tee näin harjoitustehtävänä. �

L : �4 �3

L x1 x2 x3 x4 4x1 3x2� 2x3 x4�� 3x1 2x2� x3� x1 �

4x1 3x2� 2x3 x4�� 3x1 2x2� x3� x1x1 x2 x3 x4

L : �4 �3

L x1 x2 x3 x4 4x1 3x2� 2x3 x4�� 3x1 2x2� x3� x12 �

x12 x1 x2 x3 x4

�2

P x1 x2 x2 x1 � P

L : �2 �3L 1 1 2 3 4 � L 1 1� 4 5 6 � f1 1 1 � f2 1 1� �

L

L x1 x2 L x1e1 x2e2� x1Le1 x2Le2��

Le1 Le2 e112--- 1 1 1 1� � �

Le112--- L 1 1 L 1 1� � 1

2--- 2 3 4 4 5 6 � 3 4 5 � � �

e212--- 1 1 1 1� � �

Le212--- L 1 1 L 1 1� � 1

2--- 2 3 4 4 5 6 � 1� 1� 1� � � �

L

L x1 x2 x1 3 4 5 x2 1� 1� 1� � 3x1 x2� 4x1 x2� 5x1 x2� � �

1 1 1 1�

x x1 x2 �

1 1 1 1� Lx


15 LINEAARIKUVAUKSEN YDIN JA KUVA

Lineaarikuvauksen injektiivisyyden tutkiminen voidaan siirtää seuraavassa mielessä nol-laan: ehdosta saamme nimittäin, että , ja kääntäen. Toisinsanoen vektoreiden ja kuvien vertaaminen on yhtäpitävää vektorin kuvan nollavek-toriin vertaamisen kanssa. Yhtälön sijasta riittääkin siten tarkastella yhtälöä .

Lineaarikuvauksen ydin

Määrittelemme, että lineaarikuvauksen ydin eli nollajoukko (engl. kernel, nullspace) onjoukko

. Todistamme, että ydin on aliavaruus ja että sen avulla voimme selvittää lineaarikuvauksen injektiivisyy-den.

15.1 Lause. Lineaarikuvauksen ydin on avaruuden aliavaruus ja lineaari-kuvaus on injektio täsmälleen silloin, kun .

Todistus. Ydin ei ole tyhjä joukko, sillä se sisältää ainakin nollavektorin, koskapa . Jossitten ja , myös

ja

kaikilla . Ydin sisältää siten vektoriensa summat ja reaalikerrat. Niinpä se on aliavaruus.

Jos sitten kuvaus on injektio ja vektori on ytimessä, on , joten injektiivisyydenperusteella .

Jos taas ytimessä on vain nollavektori, ehdosta ja siitä, että

,

seuraa, että vektorin on oltava ytimen ainoan vektorin eli nollavektorin, jolloin . Ku-vaus on siten injektio. �

15.2 Esimerkki. Selvitämme, onko lineaarikuvaus , , injektio.Kun , on . Tällöin välttämättä . Kuvauksen ydin on siten nolla-avaruus ja lineaarikuvaus on näin ollen injektio. �

15.3 Esimerkki. Selvitämme, onko esimerkin 14.5 lineaarikuvaus ,

,

injektio. Helpohkosti huomaamme, että esimerkiksi , joten lineaarikuvaus ei ole injektio.

Selvitämme kuitenkin koko ytimen. Kun , tästä saamme yhtälöryhmän

Kun huomioimme yhtälön , jää jäljelle yhtälöryhmä

L : �n �mLx1 Lx2� L x1 x2� Lx1 Lx2� 0� �

x1 x2 x1 x2�

Lx1 Lx2� Lx 0�

L : �n �m

Ker L x �n� Lx 0� � L � �

L : �n �m Ker L �n

L Ker L 0 �

Ker L L0 0�

Lx1 0� Lx2 0�

L x1 x2� Lx1 Lx2� 0 0� 0� � �

L �x1 �Lx1 � 0� 0� � � � ��

L x Lx 0 L0� �

x 0�

Lx1 Lx2�

L x1 x2� Lx1 Lx2� 0� �

x1 x2� x1 x2�

L

L : �2 �2 L x1 x2 3x1 x1 x2� �

L x1 x2 0 0 � 3x1 x1 x2� 0� � x1 x2 0� � LL

L : �4 �3

L x1 x2 x3 x4 4x1 3x2� 2x3 x4�� 3x1 2x2� x3� x1 �

L 0 1 2 1 0 0 0 � L

L x1 x2 x3 x4 0 0 0 �

4x1 3x2� 2x3 x4�� 0�

3x1 2x2� x3� 0�

x1 0 .�

x1 0�

3x2� 2x3 x4�� 0�

2x2� x3� 0 .�

15 LINEAARIKUVAUKSEN YDIN JA KUVA 63

Valitsemalla tässä parametriksi näemme, että ja . Yhtälöryhmän ratkaisutovat siten muotoa , joten lineaarikuvauksen ydin on yksiulotteinen ali-avaruus . �

Yleisen lineaarisen yhtälön ratkaisemisessa seuraavan tuloksen periaate on hyödyllinen.

15.4 Lause. Lineaarikuvaukselle yhtälön , missä , ratkaisut (silloin kunniitä on) ovat muotoa , missä on jokin ko. yhtälön ratkaisu eli ja

on yhtälön ratkaisu eli .

Todistus. Jos on jokin yksittäisratkaisu ja on yhtälön ratkaisu, on

,

joten on eräs ratkaisu. Jos myös on ratkaisu, on

,

mikä ilmaisee, että . Siten jollekin ytimen vektorille on eli. �

Edellisen lauseen mukaan yhtälön ratkaisujoukko on affiini aliavaruus .Lauseen tilanteessa on yhtälön yksittäisratkaisu ja yhtälö on yhtälöä vastaava homogeeninen yhtälö, jonka yleinen ratkaisu vektori z on.

15.5 Esimerkki. Ratkaisemme lineaarikuvaukselle , ,yhtälön . Määräämme ensin lineaarikuvauksen ytimen. Nyt

joten

Yhtälön eli yhtälöryhmän

eräs ratkaisu on helppo huomata (kuten monia muitakin). Siten tämän yhtälönkaikki ratkaisut ovat muotoa

( )

eli muotoa

Geometrisesti ratkaisut sijaitsevat pisteen kautta kulkevalla ja vektorin suuntaisellasuoralla. Merkinnöin ja ratkaisujoukko on siten suora . �

x2 t� x3 2t� x4 t�

x1 x2 x3 x4 0 t 2t t � LKer L 0 1 2 1 �

Lx y�

L : �n �m Lx y� y �m�

x x0 z� �n�� x0 Lx0 y�

z Lx 0� z Ker L �

x0 z Lx 0�

L x0 z� Lx0 Lz� y 0� y� � �

x0 z�

x

L x x0� Lx Lx0� y y� 0� � �

x x0� Ker L � z x x0� z�

x x0 z��

Lx y� x0 Ker L �

x0 Lx y� Lx 0� Lx y�

L : �3 �2 L x1 x2 x3 x2 x3� x1 x3� �

L x1 x2 x3 1� 1 �

L x1 x2 x3 0 0 � x2 x3� x1 x3� 0 � � x1 x2 x3 ,� �

Ker L x1 x2 x3 �3� x1 x2 x3� � �

t t t �3� t �� 1 1 1 .

�

� �

L x1 x2 x3 1� 1 �

x2 x3� 1��

x1 x3� 1�

x1 x2 x3 2 0 1 �

x1 x2 x3 2 0 1 t 1 1 1 �� t ��

x1 2 t��

x2 t�

x3 1 t t �� .��

2 0 1 1 1 1 u 2 0 1 � v 1 1 1 � S u v ��


Lineaarikuvauksen kuvajoukko

Ytimen lisäksi lineaarikuvaukseen liittyy toinenkin luontainen aliavaruus, jonka suuruus vuorostaan il-maisee kuvauksen surjektiivisuuden. Kyseessä on kuvajoukko eli arvojoukko .

15.6 Lause. Lineaarikuvauksen kuvajoukko on avaruuden aliavaruus jalineaarikuvaus on surjektio täsmälleen silloin, kun .

Todistus. Kuvajoukko on aliavaruus, sillä seurauksen 14.2 mukaan se on minkä tahansa lähtöavaruudenkannan vektorien kuvien virittämä aliavaruus. Surjektiivisuusväite taas on jo määrittelystä selvä. �

15.7 Esimerkki. Selvitämme, onko lineaarikuvaus , , surjektio.Olkoon sitä varten mielivaltainen maalijoukon vektori ja katsomme sitten löydäm-mekö yhtälölle ratkaisun. Löydämme, sillä yhtälöryhmälle

saamme helposti ratkaisun . Näin ollen lineaarikuvaus on surjektio. �

15.8 Esimerkki. Esimerkin 15.3 lineaarikuvaukselle ,

,

mille tahansa vektorille on , kun valitsemme esimerkiksi

.

Siten kuvaus L on surjektio. Ratkaise vektorin alkukuvat täydellisesti! �

15.9 Lause. Olkoon lineaarikuvaus ja avaruuden aliavaruus. Tällöin onavaruuden aliavaruus.

Todistus. Olkoon aliavaruuden kanta ja , missä . Koska vek-torilla on esitys

,

vektorilla on esitys

.

Näin ollen on vektoreiden virittämä aliavaruus. �

Dimensiolause

Jokaiseen lineaarikuvaukseen liittyy, kuten edellä on esitetty, kaksi merkittävää aliavaruutta, nimittäinydin ja kuvajoukko. Seuraava tulos antaa yhteyden näiden aliavaruuksien dimensioille.

15.10 Dimensiolause. Lineaarikuvauksen ytimen ja kuvajoukon dimensioille on voi-massa yhtälö

.

Todistus. Olkoon ensin ja . Olkoon tällöin jokinytimen kanta, jolloin voimme täydentää sen koko avaruuden kannaksi . Ol-koon sitten mielivaltainen. Koska , kun , on

.

Tästä näemme, että .

Im L L �

L : �n �m Im L �m

L Im L �m�

L : �2 �2 L x1 x2 3x1 x1 x2� �

y y1 y2 �2��

L x1 x2 y1 y2 �

3x1 y1�

x1 x2� y2�

x1 x2 13---y1 y2

13---y1� � L

L : �4 �3

L x1 x2 x3 x4 4x1 3x2� 2x3 x4�� 3x1 2x2� x3� x1 �

y y1 y2 y3 �3�� Lx y�

x y3 y3 y2 y3� y1� 2y2 y3��

y

L : �n �m U �n L U �m

v1 v2 vk U y Lx L U �� x U�

x

x �1v1 �2v2 �kvk� � ��

y

y Lx �1Lv1 �2Lv2 �kLvk� � ��

L U Lv1 Lv2 Lvk

L : �n �m

dim Ker L dim Im L � n dim �n� �

0 Ker L �n� � k dim Ker L � v1 v2 vk v1 v2 vk vk 1� vn

x �1v1 �2v2 �nvn� � � �n�� Lvi 0� 1 i k

Lx �1Lv1 �2Lv2 �nLvn� � � �k 1� Lvk 1� �nLvn� � ��

Im L Lvk 1� Lvn �

15 LINEAARIKUVAUKSEN YDIN JA KUVA 65

Osoitamme seuraavaksi, että vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat. Jos

joillekin ,

lineaarisuuden perusteella on

ja siten

.

Tällöin

joillekin .

Kantavektoreina vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat, joten viimeisessä yhtälössäkaikki kertoimet ovat molemmin puolin nollia, erityisesti . Näin olemme osoit-taneet, että vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat ja muodostavat siten virittä-mänsä kuvajoukon kannan. Tämän dimensio on silloin . Koska ,olemme todistaneet väiteyhtälön tässä tapauksessa.

Jos eli , edellä oleva todistus toimii sillä muutoksella, että emme lähde yti-men kannasta, koska sitä ei ole, vaan suoraan koko avaruuden kannasta. Väiteyhtälö toteutuu nyt muo-dossa .

Jos sitten vielä eli , se tarkoittaa, että koko lineaarikuvaus on pelkkä nolla-kuvaus, jolloin ja . Silloinkin väitteen yhtälö toteutuu, nyt muodossa

. �

Seuraava kuva havainnollistaa dimensiolauseen todistusta tilanteessa ja , jol-loin ja .

Jos lineaarikuvaukselle on ja , dimensiolauseenyhtälö on muotoa . Koska kuvajoukko on maaliavaruuden aliavaruus, pätee lisäksi, että

eli . Ytimen dimensio on nimeltään myös lineaarikuvauksen nolluus (engl. nullity) ja

kuvajoukon dimensio on sen ranki tai aste (engl. rank).

15.11 Seuraus. Jos lineaarikuvaus on injektio ja vektorit muodostavat ava-ruuden kannan, vektorit muodostavat kuvajoukon kannan. Erityi-sesti ja .

Todistus. Injektiolle on , jolloin päälauseen todistuksessa on ja vek-torit ovat sen mukaan lineaarisesti riippumattomat. Siten . Koska

on avaruuden aliavaruus, pätee epäyhtälö . �

Tällä seurauksella on seuraava yleisempi muoto.

Lvk 1� Lvn

�k 1� Lvk 1� �nLvn� � 0� �k 1� �n ��

L �k 1� vk 1� �nvn� � 0�

�k 1� vk 1� �nvn� � Ker L �

�k 1� vk 1� �nvn� � �1v1 �kvk� �� 1 �k ��

v1 v2 vn �k 1� �n 0� � �

Lvk 1� Lvn Im L n k� k n k� � n�

Ker L 0 � k 0�

0 n 0� � n�

Ker L �n� k n�

Im L 0 � dim Im L 0�

n 0� n�

n m 3� � k 1�

Ker L v1 � Im L Lv2 Lv3 �

v1

v2

v3

Lv2

Lv3

�3 �3L

L

L : �n �m k dim Ker L � r dim Im L �

k r� n�

r m n k� m

k dim Ker L �

r dim Im L �

L : �n �m v1 v2 vn �n Lv1 Lv2 Lvn Im L

dim Im L n dim �n� � n m

k dim Ker L 0� � k 1� 1�

Lv1 Lv2 Lvn dim Im L n�

Im L �m n m


15.12 Lause. Olkoon lineaarikuvaus injektio.

(a) Jos avaruuden vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat, myös kuvavektorit ovat lineaarisesti riippumattomat.

(b) Jos on avaruuden aliavaruus, on .

Todistus. (a) Harjoitustehtävä. (b) Aliavaruuden kannan vektorien kuvavektorit virittävät lauseen 15.9 mukaan aliavaruuden

. Kohdan (a) perusteella nämä kuvavektorit ovat myös lineaarisesti riippumattomat ja täten nemuodostavat aliavaruuden kannan. Näin ollen . �

15.13 Esimerkki. Kuvaus , , on lausekemuodon perus-teella lineaarinen. Onko se injektio tai surjektio?

Esimerkin 15.5 mukaan ytimen dimensio on , joten kuvaus ei ole injektio. Tässä esi-merkissä on , ja . Kuvajoukon dimensio on näin ollen . Koskase on sama kuin koko maaliavaruuden dimensio eli , kuvajoukko on koko maaliavaruuseli kuvaus on surjektio. Esimerkiksi vektorit ja virittävättodella koko avaruuden . �

15.14 Esimerkki. Kuvaus , , on lineaarinen. Mää-räämme sen ytimen ja kuvajoukon sekä niiden dimensiot. Nyt

,

joten ydin on nolla-avaruus ja kuvaus on näin ollen injektio. Koska ytimen dimensio on , kuvajoukon dimensio on . Kuva-

joukko on siten maaliavaruuden aito aliavaruus eikä kuvaus näin ole surjektio. Seurauksen15.11 mukaan on

,

missä on sen kanta. Kuvajoukko on siten avaruuden origotaso. Sen vektorit ovat muotoa eli parametrimuodossa

Eliminoimalla parametrit saamme tästä yhtälömuodon . �

15.15 Esimerkki. Lineaarikuvauksen ,

,

ytimen dimensio on esimerkin 15.3 mukaan , joten kuvajoukon dimensio on. Se on sama kuin maaliavaruuden dimensio, joten kuvaus L on surjek-

tio, kuten myös esimerkissä 15.8 totesimme. �


.

Voimme osoittaa sen aliavaruudeksi (arvatenkin origotasoksi) ainakin seuraavilla tavoilla:

(1) Aliavaruuden määritelmän mukaan.

(2) Osoittamalla se joidenkin vektorien virittämäksi aliavaruudeksi.

(3) Osoittamalla se jonkin lineaarikuvauksen ytimeksi.

(4) Osoittamalla se jonkin lineaarikuvauksen kuvajoukoksi.

L : �n �m

�n v1 v2 vk Lv1 Lv2 Lvk

U �n dim L U dim U�

UL U

L U dim L U dim U�

L : �3 �2 L x1 x2 x3 x2 x3� x1 x3� �

k 1 0�� Ln 3� m 2� k 1� r 3 1� 2� �

�2 r m�

L L 1 0 0 0 1 � L 0 1 0 1 0 �

�2

L : �2 �3 L x1 x2 x2 x1 x2� x1 x2� �

L x1 x2 0 0 � x2 x1 x2� x1 x2� 0 � � � x1 x2 0� �

Lk 0� r n k� 2 0� 2� � �

�3 L

Im L Le1 Le2 L 1 0 L 0 1 0 1 1 1 1� 1 � � �

0 1 1 1 1� 1 �3

y1 y2 y3 y1 y2 y3 s 0 1 1 t 1 1� 1 ��

y1 t�

y2 s t��

y3 s t s t �� .��

2y1 y2 y3�� 0�

L : �4 �3

L x1 x2 x3 x4 4x1 3x2� 2x3 x4�� 3x1 2x2� x3� x1 �

Ker L k 1� Im L r n k� 4 1� 3� � � �3

�3

T x1 x2 x3 2x1 x2� x3� 0� � �

16 LINEAARINEN BIJEKTIO, KÄÄNTEISKUVAUS JA ISOMORFISMI 67

Tavan (1) ohitamme tässä yhteydessä ja selvitämme muut tavat. (2) Yhtälön ratkaisu huomioiden joukon vektorit ovat

muotoa

.

Näin ollen on kahden, selvästi lineaarisesti riippumattoman, vektorin virittämä aliavaruus ja sitenorigotaso.

(3) Asetamme lineaarikuvaukseksi esimerkiksi , . Tä-män ydin on juuri joukko . Lisäksi kuvaus L on selvästi surjektio. Ytimen dimensio on siten

, joten ydin on origotaso. (4) Asetamme lineaarikuvaukseksi esimerkiksi , . Tä-

män kuvajoukko on kohdan (2) mukaan juuri joukko . Lisäksi näin määritelty kuvaus on selvästi in-jektio, joten kuvajoukon dimensio on sama kuin lähtöavaruuden, eli se on kaksi. Nytkin olemme pää-telleet, että on origotaso. �

16 LINEAARINEN BIJEKTIO, KÄÄNTEISKUVAUS JA ISOMORFISMI

Lineaarinen bijektio ja käänteiskuvaus

Dimensiolauseesta 15.10 seuraa lineaarikuvaukselle , että (a) jos , kuvaus ei voi olla injektio, ja (b) jos , kuvaus ei voi olla surjektio.

Niinpä lineaarikuvaus voi olla bijektio vain, jos . Toteamme, että tällaisessa ti-lanteessa itse asiassa bijektiivisyyden osoittamiseen riittääkin osoittaa joko injektiivisyys tai surjektiivi-suus – toinen seuraa automaattisesti. (Taas yksi ’työnpuolituslause’!)

16.1 Lause. Lineaarikuvaus on bijektio, jos se on injektio tai jos se on surjektio.

Todistus. Huomaa, että edeltävän huomion mukaan lähtö- ja maaliavaruuksien dimensioiden on oltavabijektiolle samat. Jos on injektio, on ja siten . Dimensiolauseenmukaan on , joten kuvajoukko on koko avaruus eli kuvaus on surjektiokin.

Jos taas on surjektio, on , jolloin dimensiolauseen mukaan eli . Kuvaus on siten injektiokin. �

Toteamme seuraavassa, että lineaarisen bijektion käänteiskuvaus on myös lineaarinen. Tulos ontässä vaiheessa kuitenkin vielä sikäli teoreettinen, että se ei, eikä sen todistus, anna hyvää keinoa kään-teiskuvauksen määräämiseen. Tämän konkreettiin laskemiseen palaamme myöhemmin käänteismat-riisien yhteydessä pykälässä 20.

16.2 Lause. Lineaarisen bijektion käänteiskuvaus on myös lineaarinen.

Todistus. Olkoot ja (maali)avaruuden vektoreita. Surjektiivisuuden perusteella ja joillekin vektoreille . Silloin ja . Lineaarisuuden perus-

teella taas . Siten

. Jos sitten , on , ja siten

. Kuvaus on siten osoitettu lineaariseksi. �

2x1 x2� x3� 0� x3 x2 2x1�� T

x1 x2 x3 x1 x2 x2 2x1� x1 1 0 2� x2 0 1 1 ��

T

L : �3 � L x1 x2 x3 2x1 x2� x3��

T3 1� 2�

L : �2 �3 L x1 x2 x1 x2 x2 2x1� �

T

T

L : �n �mn m� Ln m L

L : �n �m n m�

L : �n �n

L Ker L 0 � dim Ker L 0�

dim Im L n 0� n� �

L dim Im L n� dim Ker L 0�

Ker L 0 � L

L : �n �n L 1� : �n �n

u v �n u Lx�

v Ly� x y �n� L 1� u x� L 1� v y�

L x y� u v��

L 1� u v� x y� L 1� u L 1� v ��

� �� L �x �Lx �u� �

L 1� �u �x �L 1� u � �

L 1�


16.3 Esimerkki. Kuvaus , , on lineaarinen. Lisäksi se onhelppo todeta injektioksi ja siten samaulotteisten avaruuksien välisenä kuvauksena se on lauseen 16.1mukaan bijektio. Todistamme lisäksi laskemalla, että sen käänteiskuvauksen lauseke on

.

Asetamme eli

Tällöin

joten . Vastaavasti toteamme, että myös . Siten on todella kuvauksen käänteiskuvaus.

Lauseen 16.2 perusteella käänteiskuvaus on lineaarinen. Sen voimme myös nähdä lineaariseksi, kunhuomaamme, että tässä tapauksessa . �

Lineaariselle bijektiolle yhtälö toteutuu täsmälleen silloin, kun .

16.4 Esimerkki. Edellisen esimerkin kuvaukselle yhtälön ratkaisu on

. �

Isomorfismi

Edellä lineaarikuvaukset ovat olleet Eukleideen avaruuksien välisiä kuvauksia. Joskus on tarpeellistatarkastella myös aliavaruuksien välisiä kuvauksia. Olkoon sitä varten avaruuden aliavaruusja avaruuden aliavaruus (missä avaruudet voivat olla samatkin eli voi olla ). Kutenkoko avaruuksien väliset kuvaukset myös kuvaus on lineaarinen silloin, kun se kuvaa vek-torien summat ja reaalikerrat summiksi ja reaalikerroiksi. Tyypillisen esimerkin saamme rajoittumaku-vauksesta: Olkoon lineaarikuvaus, avaruuden aliavaruus ja sellainen ava-ruuden aliavaruus, että . Tällöin rajoittumakuvaus , jolle kaikilla , on lineaarinen kuvaus kyseisten aliavaruuksien välillä.

Aliavaruuksien välisille kuvauksille pätevät soveltuvin osin kaikki edellä todetut koko avaruuksienvälisten lineaarikuvausten tulokset. Erityisesti aliavaruuksien ja välistä lineaarista bijektiota sa-notaan isomorfismiksi ja aliavaruuksia ja tällöin keskenään isomorfisiksi. Toteamme seuraa-vaksi, että isomorfisuus on itse asiassa yhtäpitävää samaulotteisuuden kanssa.

16.5 Lause. Avaruuden aliavaruus ja avaruuden aliavaruus ovat keskenään isomor-fiset täsmälleen silloin, kun niillä on samat dimensiot.

Todistus. Jos ja ovat keskenään isomorfiset, ts. jos on olemassa lineaarinen bijektio ,näemme vastaavasti kuin dimensiolauseen 15.10 todistuksessa, että .

Jos toisaalta , aliavaruuksien ja kannoissa on yhtä monta vektoria. Mää-rittelemällä lineaarikuvauksen niin, että aliavaruuden kantavektorit kuvautuvat yksi-tellen aliavaruuden eri kantavektoreiksi, saamme kantavektorien lineaarisen riippumattomuudenja virittämisen perusteella kuvauksen, joka on sekä injektio että surjektio. Perustelu tapahtuu vastaa-vasti kuin seurauksien 14.2 ja 15.11 todistuksissa. �

L : �2 �2 L x1 x2 x1 x2� x1 x2� �

L 1� y1 y2 12--- y1 y2� 1

2--- y1 y2� �

y Lx�

y1 x1 x2��

y2 x1 x2 .��

L 1� L x1 x2 L 1� x1 x2� x1 x2� L 1� y1 y2

12--- y1 y2� 1

2--- y1 y2� 1

2--- x1 x2 x1 x2�� 1

2--- x1 x2 x1� x2� �

12--- 2x1 1

2--- 2x2 x1 x2 ,

� �

� �

� �

L 1� L I� LL 1� I� L 1� L

L 1� 12---L�

L Lx y� x L 1� y�

Lx 3 7 �

x L 1� 3 7 12--- 3 7� 1

2--- 3 7� 5 2� � � �

U �n

V �m n m�

L : U V

L : �n �m U �n V�m L U V� L U

: U V L U x Lx�

x U�

U VU V

�n U �m V

U V L : U Vdim U dim V�

dim U dim V� U VL : U V U

V

16 LINEAARINEN BIJEKTIO, KÄÄNTEISKUVAUS JA ISOMORFISMI 69

16.6 Seuraus. Avaruuden jokainen –ulotteinen ( ) aliavaruus on isomorfinen avaruuden kanssa.

Erityisesti lineaariselle injektiolle avaruus ja kuvajoukko ovat dimensio-lauseen perusteella keskenään isomorfiset. Toisaalta jokainen aliavaruus on isomorfinen jokaisen isom-piulotteisen avaruuden jonkun aliavaruuden kanssa (valintamahdollisuuksia on yleensä loputtomasti).

16.7 Esimerkki. Esimerkissä 15.16 totesimme, että avaruuden aliavaruus

on kaksiulotteinen. Siten taso ja origotaso ovat keskenään isomorfiset. Tämä näkyy myös siitä,että mainitussa esimerkissä määritelty lineaarikuvaus , , onsurjektio ja selvästi myös injektio, kaiken kaikkiaan siten isomorfismi. �

�n k k 1� U�k

L : �n �m �n Im L

�3

T x1 x2 x3 2x1 x2� x3� 0� � �

�2 TL : �2 T L x1 x2 x1 x2 x2 2x1� �

70

V MATRIISI

Tässä luvussa tarkastelemme yhtälöryhmien ratkaisemiseen ja lineaarikuvausten käsittelyyn usein käy-tettävää työkalua, matriisia. Luvussa II olemme jo liittäneet lineaariseen yhtälöryhmään laajennetunmatriisin ja MPA–muokkausten avulla ratkaisseet yhtälöryhmän. Toisaalta luvun IV pykälässä 14olemme nähneet, että lineaarikuvauksen lausekkeet ovat muuttujien muodollisia lineaarikombinaati-oita ja siten muotoa oleva kuvausyhtälö on komponentit eroteltuna itse asiassa lineaarinen yh-tälöryhmä. Tätä kautta myös lineaarikuvaukseen voidaan liittää matriisi. Selvitämme, kuinka tätä yh-teyttä voimme hyödyntää muutenkin lineaarikuvauksia tutkittaessa.

17 LINEAARIKUVAUKSEN MATRIISI

Olemme todenneet lauseessa 14.1, että lineaarikuvaus määräytyy täysin siitä, miten se kuvaa lähtöava-ruuden kantavektorit. Lausumalla näiden kuvavektorit jossakin maaliavaruuden kannassa saammekoordinaateista kerroinlistoja, jotka voimme lajitella esimerkiksi taulukoksi. Johdatteluna tarkaste-lemme ensin yksinkertaista esimerkkiä.

17.1 Esimerkki. Olkoon tason lineaarikuvaus, jolle

eli

Yleisesti se kuvaa vektorin seuraavasti:

Kun merkitsemme, että , saamme yhtälöt

Kirjoitamme tämän ’muodollisesti’

,

missä ns. matriisin

luvut tulevat kantavektorien kuvavektorien koordinaateista ilman mitään laskuja. Tämän matriisin japystyyn kirjoitetun vektorin tulo lasketaan auki ’kertomalla sisätulomaisesti rivit ja sarakkeet’.Edellä siis

• matriisin sarakkeet ja muodostuvat vektorien ja koordinaateista ja

• yksisarakkeiset matriisit ja muodostuvat vektorien ja koordinaateista. �

Lx b�

L : �2 �2

Le1 e1 2e2��

Le2 3e1 4e2�� L 1 0 1 2 �

L 0 1 3 4 .�

x x1e1 x2e2��

Lx L x1e1 x2e2� x1Le1 x2Le2� x1 e1 2e2� x2 3e1 4e2� �

x1 3x2� e1 2x1 4x2� e2� x1 3x2� 2x1 4x2� .

� � �

� �

y Lx y1e1 y2e2��

y1 x1 3x2��

y2 2x1 4x2 .��

y1

y2

x1 3x2�

2x1 4x2�

1 3 2 4

x1

x2� �

1 3 2 4

x1 x2

1 32 4

12

34

Le1 Le2

x1x2

y1y2

x y

17 LINEAARIKUVAUKSEN MATRIISI 71

Lineaarikuvauksen matriisi

Teemme edellisestä esimerkistä yleistyksen mielivaltaiselle lineaarikuvaukselle . Olkoonsitä varten jokin avaruuden kanta (joka voi, mutta jonka ei tarvitse olla vält-tämättä luonnollinen kanta) ja jokin avaruuden kanta sekä olkoot kuvavek-torien koordinaattiesitykset seuraavat:

Saman voimme lausua summausmerkkiä ja -indeksiä käyttäen seuraavasti

kaikilla .

Silloin mielivaltaisen vektorin kuvalle saamme esityksen

Tässä esiintyvistä kertoimista muodostamme taulukon

.

Tätä taulukkoa sanotaan tyyppiä tai kokoa olevaksi matriisiksi tai –matriisiksi, jossaon riviä ja saraketta (engl. row ja column). Alaindeksejä käyttäen taulukko esitetään muodossa

,

missä ensimmäinen indeksi ilmaisee rivinumeron ja toinen indeksi sarakenumeron muuttumisen.Jos haluamme näkyviin matriisin koon, voimme käyttää merkintää . Lukua sanotaan mat-riisin paikassa olevaksi alkioksi tai –alkioksi. Käytämme myös merkintää ,mikä saattaa olla myöhemmin tarpeen, kun matriisin A tilalla on matriisilauseke.

Lineaarikuvaukseen liitimme edellä kantavektorien kuvien koordinaateista muodostetun mat-riisin . Tämän päättelyn voimme tehdä myös kääntäen: annetusta matriisista läh-tien voimme säännöllä

L : �n �m e1 e2 en � �n

f1 f2 fm � �m

Lei

Le1 a11f1 a21f2 am1fm� � ��

Le2 a12f1 a22f2 am2fm� � ��

�

Len a1nf1 a2nf2 amnfm .� � ��

Leiaki fk

k 1�

m

�� i 1 2 n �

x x1e1 x2e2 xnen� � ��

Lx L x1e1 x2e2 xnen� � �

x1Le1 x2Le2 xnLen� � �

x1 a11f1 a21f2 am1fm� � �

x2 a12f1 a22f2 am2fm� � �

xn a1nf1 a2nf2 amnfm� � �

� �

�

a11x1 a12x2 a1nxn� � � f1

a21x1 a22x2 a2nxn� � � f2

am1x1 am2x2 amnxn� � � fm .

� �

�

�

�

�

�

A

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

� � �

am1 am2 amn

�

m n� m n�

m n

A aij aij i 1 m �j 1 n �

� �

i jAm n� aij

i j i j aij A ij�

LA A aij m n�

�

L x1e1 x2e2 xnen� � �

a11x1 a12x2 a1nxn� � � f1 a21x1 a22x2 a2nxn� � � f2

am1x1 am2x2 amnxn� � � fm

� �

�

�

72 V MATRIISI

määritellä lineaarikuvauksen . Lineaarikuvaukset ja matriisit vastaavat siten toisiaan. Se,mikä lineaarikuvaus ja mikä matriisi vastaavat toisiaan, riippuu toki kantojen valinnoista.

Kun edelleen merkitsemme, että

,

saamme yhtälöryhmän

Kirjoitamme tämän taas lyhyesti muodossa

,

ja vielä lyhyemmin vain

. Edellä muodostettu taulukko on lineaarikuvausta kannoissa ja vastaava mat-riisi. Samalla tulee määriteltyä se, mitä tarkoitetaan matriisin ja vektorin tulolla . Merkitsemmematriisin riippuvuutta lineaarikuvauksesta ja päinvastaista riippuvuutta seuraavasti:

ja .

Mikäli sekä lähtö- että maaliavaruudessa ovat käytössä luonnolliset kannat, ei kantariippuvuuksia tar-vitse merkitä, muutoin ne on mainittava.

Matriisi muodostetaan siis sijoittamalla kantavektoreiden kuvien koordinaatit sen sa-rakkeiksi:

eli sama asia kaavamuodossa

Kaiken kaikkiaan olemme saaneet seuraavat tulokset:

17.2 Lause. (a) Jokaista lineaarikuvausta vastaa yksi matriisi – ja kääntäen (kunhan lähtö- ja maaliavaruuksien

kannat pidetään muuttumattomina). (b) Lineaarikuvauksen komponenttilausekkeet ovat muuttujien muodollisia lineaarikombinaatioi-

ta. Kääntäen tällä tavalla tulee aina lineaarikuvaus määriteltyä. (c) Lineaarisesta yhtälöryhmästä voidaan muodostaa yllä olevan mukaisesti matriisiesitys ja siitä

edelleen lineaarikuvaus. Lineaarikuvaus, matriisi ja yhtälöryhmä ovat siten saman asian eri il-mentymiä.

L : �n �m

y Lx y1f1 y2f2 ymfm� � ��

y1 a11x1 a12x2 a1nxn� � ��

y2 a21x1 a22x2 a2nxn� � ��

�

ym am1x1 am2x2 amnxn .� � ��

y1

y2

�

ym

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

� � �

am1 am2 amn

x1

x2

�

xn

�

y Ax�

A L : �n �m Ax

A Mat L Mat L � �

L Lin A Lin A � �

A ei Lei

Le1 Le2 Lek Len

a11 a12 a1k a1n

a21 a22 a2k a2n

� � � �

am1 am2 amk amn

Lek a1kf1 a2kf2 amkfm� � � aik fi kaikilla k 1 2 n . �i 1�

m

��


17.3 Esimerkki. (a) Lineaarikuvaukselle , , on

joten sitä vastaa (luonnollisissa kannoissa) –matriisi

.

(b) Lineaarikuvaukselle , , on

joten kuvausta vastaa (luonnollisissa kannoissa) –matriisi

. �

Samastamme jatkossa vektorit ja niiden komponenteista muodostetutyksisarakkeiset –matriisit:

.

Tällöin voimme tulossa puhua matriisin soveltamisesta vektoriin aivan kuin kuvauksillekin.Lisäksi samastuksen jälkeen voimme ymmärrettävästi kirjoittaa, että silloin, kun matriisi ja lineaarikuvaus vastaavat toisiaan.

Merkitsemme yleiselle matriisille sen rivivektoreita

kaikilla

ja vastaavasti sarakevektoreita

kaikilla .

Tällöin voimme itse matriisin ilmaista myös muodoissa

(tai jälkimmäinen myös välimerkein ).

Erityisesti merkitsemme, että . Katsomme vielä lähemmin, mitä matriisin soveltaminen vektoriin tarkoittaa. Kun

ja , on

.

Tuloksena olevan vektorin komponentit saadaan siten matriisin rivivektorien ja vektorin si-sätuloina.

L : �2 �3 L x1 x2 x1 x2 x1 x2� �

L 1 0 1 0 1 �

L 0 1 0 1 1 ,�

3 2�

A Mat L 1 00 11 1

� �

K : �3 �2 K x1 x2 x3 x1 x2� x3� x2 �

K 1 0 0 1 0 �

K 0 1 0 1� 1 �

K 0 0 1 1� 0 ,�

K 2 3�

B Mat K 1 1� 1�

0 1 0� �

x x1 x2 xn �n��

n 1�

x1 x2 xn

x1x2�

xn

�

Ax xAx Lx� A

LA aij m n�

�

ai ai1 ai2 ain �n�� i 1 m �

aj a1j a2j amj �m�� j 1 n �

A

a1

a2�

am

a1 a2 an � � a1 a2 an

ai j aij aj i� �

A aij m n��

x x1 x2 xn xi n 1��

Ax

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

� � �

am1 am2 amn

x1

x2

�

xn

a11x1 a12x2 a1nxn� � �

a21x1 a22x2 a2nxn� � �

�

am1x1 am2x2 amnxn� � �

a1 x�

a2 x� �

am x�

� � �

A ai x

74 V MATRIISI

17.4 Esimerkki. Edellä olevassa esimerkissä 17.3 voimme saatujen matriisien avulla muodostaa takai-sin (vaikkapa tarkistuksen vuoksi) lineaarikuvauksen lausekkeet seuraavasti:

ja

. �

Matriisille , lineaarikuvaukselle ja avaruuden luonnollisellekannalle on kaikilla ja siten

,

ts. lineaarikuvauksen kuvajoukko on vastaavan matriisin sarakevektorien virittämä aliavaruus. Tätäaliavaruutta sanotaan myös matriisin sarakeavaruudeksi ja sen dimensiota asteeksi tai ran-giksi (engl. rank), merkitään tai myös . Aina on voimassa rajoite . Mat-riisin nolluus (engl. nullity) on sitä vastaavan lineaarikuvauksen ytimen dimensio.Lineaarikuvausten dimensiolauseesta seuraa silloin seuraava tulos.

17.5 Dimensiolause matriiseille. Matriisin nolluus ja aste toteuttavat yhtälön

.

17.6 Esimerkki. Matriisien

ja

asteet ovat ja , sillä matriisin sarakevektorit ovat toistensa reaalikertoja,kun taas matriisin sarakevektorit ovat lineaarisesti riippumattomat (totea!). Näiden matriisien nol-luudet ovat ja . �

Matriisinimityksiä

Matriisi on rivimatriisi, jos , ja sarakematriisi (eli samastuksemme mukaan vek-tori), jos . Se on neliömatriisi, jos . Neliömatriisin alkiot , , …,

muodostavat sen lävistäjän eli diagonaalin. Edelleen erikoistyyppisille neliömatriiseille käytetään mm. seuraavia nimityksiä:

• on yläkolmiomatriisi (engl. upper triangular), jos aina, kun .

• on alakolmiomatriisi (engl. lower triangular), jos aina, kun .

• on kolmiomatriisi, jos se on joko yläkolmiomatriisi tai alakolmiomatriisi.

• on diagonaali- eli lävistäjämatriisi, jos se on sekä yläkolmiomatriisi että alakolmiomatriisi, ts. jos aina, kun . Merkitsemme tällöin, että .

• on yksikkömatriisi (tai identtinen matriisi, engl. identity matrix), jos se on diagonaalimatriisi,jonka kaikki lävistäjäalkiot ovat ykkösiä, ts. jos aina, kun , ja kaikilla

. Yksikkömatriisia merkitsemme .

Ax1

x2

1 00 11 1

x1

x2

x1 0 �

0 x2�

x1 x2�

x1

x2

x1 x2�

x1 x2 x1 x2� L x1 x2 � � � � �

Bx1

x2

x3

1 1� 1�

0 1 0

x1

x2

x3

x1 x2� x3�

x2x1 x2� x3� x2 K x1 x2 x3 � � � �

A a1 a2 an � L Lin A � �n

e1 e2 en Lej aj� j 1 n �

Im L Le1 Le2 Len a1 a2 an � �

Am n�

rank A � A 0 rank A m

A null A � A �

A Am n��

null A rank A� n�

A 1 2� 3 3� 6 9 �

� B1 1 0 1 0 1

0 1 1 �

rank A 1� rank B 3� AB

null A 3 1� 2� � null B 3 3� 0� �

A Am n�� m 1�

n 1� m n� A aij n n�� a11 a22

annA aij n n�

�

A aij 0� i j�

A aij 0� i j

A

Aaij 0� i j� A Diag a11 a22 ann �

Aaij 0� i j� aii 1�

i 1 n � I In In n��


Matriisien yhtäsuuruus, summa ja reaalikerta

Jos lineaarikuvausta muutetaan, muuttuvat ainakin yhden kantavektorin kuvan koordinaatit, jolloinmyös vastaavassa matriisissa muuttuu ainakin yksi alkio. Ja kääntäen: yhdenkin matriisialkion muut-tuminen muuttaa ainakin yhtä vastaavan lineaarikuvauksen kuvavektoria. Lineaarikuvaus ja matriisivastaavat siten yksikäsitteisesti toisiaan. Näin ollen on tarkoituksen mukaista määritellä, että samanko-koiset matriisit ovat samat eli yhtäsuuret silloin, kun kaikki vastinpaikkojen alkiot ovat samat.

Aikaisemmin olemme todenneet, että lineaarikuvausten summat ja reaalikerrat ovat edelleen line-aarikuvauksia. Jos ja ovat lineaarikuvauksia, summan jokaisenkuvavektorin koordinaatit ovat kuvauksien ja kuvavektorien koordinaattien summia. Vastaa-vasti reaalikerralle kuvavektorien koordinaatit ovat kuvauksen kuvavektorien koordinaattiensamoja reaalikertoja. Näin ollen, jos ja , voimme mielek-käästi asettaa matriisien ja summaksi

ja matriisin reaalikerraksi

( ).

Tällöin ja . Myös käänteisesti ja.

Huomaa, että matriiseja voidaan laskea yhteen vain, jos ne liittyvät samojen avaruuksien välisiin li-neaarikuvauksiin eli kun niiden koot ovat täsmälleen samat. Kuten lineaarikuvauksille, merkitsemmemyös matriisien erotusta ja vastamatriisia .

17.7 Esimerkki. Esimerkiksi

,

ja

. �

Seuraavassa on joukko sääntöjä lineaarikuvauksien ja matriisien lineaarisille yhdistämisille. Todis-tukset sivuutamme helppoina ja ilmeisinä. Lauseen kohdissa A (3)–(4) merkki edustaa nollaku-vausta ja nollamatriisia vastaavasti; edellinen kuvaa kaikki vektorit nollavektoriksi ja jälkimmäisessäkaikki sen alkiot ovat nollia.

L : �n �m K : �n �m L K�

L K�L L

A aij Mat L � � B bij Mat K � �

A B

A B� aij bij�

a11 b11� a12 b12� a1n b1n�

a21 b21� a22 b22� a2n b2n�

� � �

am1 bm1� am2 bm2� amn bmn�

� �

A

�A �aij

�a11 �a12 �a1n

�a21 �a22 �a2n

� � �

�am1 �am2 �amn

� � � ��

Mat L K� A B�� Mat �L �A� Lin A B� L K��

Lin �A �L�

A B� � A B�� 1� A A��

2 1 01 3 1

1 4 2 20 31 11

� 3 5 2 21 34 12

�

3� 1 4 2 20 31 11

3� 12� 6�

60� 93� 33��

2 1 01 3 1

3 1 4 2 20 31 11

� 1� 11� 6�

59� 90� 32��

0

76 V MATRIISI

17.8 Lause. Lineaarikuvauksille ja niitä vastaaville –matriiseille sekä reaaliluvuille ja pätevät seuraavat säännöt.

A (1) (2) (3) (4)

B (1) (2) (3) (4)

17.9 Esimerkki. Matriisiyhtälöstä (missä kaikki esiintyvät matriisit ovat keskenään sa-mankokoisia) voimme ylläolevien sääntöjen avulla ratkaista matriisin X:

Konkreeteille matriiseille

ja

ratkaisuna on siten

�

18 MATRIISIEN TULO

Selvitämme seuraavaksi, millä tavalla yhdistettyjen lineaarikuvausten matriisit muodostuvat alkuperäi-siä lineaarikuvauksia vastaavista matriiseista. Tarkastelemme ensin yksinkertaista tilannetta.

18.1 Esimerkki. Tarkastelemme lineaarikuvauksia ja , joille

ja

. Näitä vastaavat matriisit

ja .

Yhdistetyn lineaarikuvauksen lauseke on

.

Siten tätä vastaava matriisi on

.

Erityisesti

L K M : �n �m m n� A B C �

L K� M� L K M� �� A B� C� A B C� ��

L K� K L�� A B� B A��

L 0� L� A 0� A�

L 1� L� 0� A 1� A� 0�

� L � L � � A � A �

� L K� �L �K�� A B� �A �B��

� � L �L L�� A �A A��

1 L� L� 1 A� A�

A 3X� 2B�

A 3X� 2B� 3X 2B A�� X 13--- 2B A� .�

A2� 2 03 1� 1�

1� 1 1�

� B2 1 3�

0 2� 1 1 1� 2�

�

X 13---

4 2 6�

0 4� 2 2 2� 4�

2� 2 03 1� 1�

1� 1 1�

�

1

3---

6 0 6�

3� 3� 33 3� 3�

2 0 2�

1� 1� 11 1� 1�

.� � �

L : �2 �3 K : �3 �2

L x1 x2 x1 x2 x1 x2� �

K x1 x2 x3 x1 x2� x3� x2 �

A Mat L 1 0 0 1

1 1 � � B Mat K 1 1� 1 �

0 1 0 � �

KL : �2 �2

KL x1 x2 K x1 x2 x1 x2� x1 x2� x1 x2� � x2 2x2� x2 � � �

C Mat KL 0 2� 0 1

� �

KL 1 0 K 1 0 1 0 0 matriisin C ensimmäinen sarake� � �

KL 0 1 K 0 1 1 2� 1 matriisin C toinen sarake.� � �

18 MATRIISIEN TULO 77

Nämä tulokset voimme johtaa myös matriisiteknisesti, kun muistamme, että matriisit ja vastaa-vat lineaarikuvauksia ja : Ensinnäkin

ja ,

ja toiseksi

ja .

Yhdistettyä lineaarikuvausta vastaavan matriisin sarakkeet saamme siten, ainakin tässäesimerkissä, soveltamalla ensin kuvausta vastaavaa matriisia lähtöavaruuden kantavektoreihinja soveltamalla sen jälkeen kuvausta vastaavaa matriisia näin saatuihin tulosvektoreihin. �

Yleistämme edellisen esimerkin tilanteen. Olkoot ja lineaarikuvauksia

sekä ja näitä vastaavat matriisit. Olkoon edel-

leen yhdistettyä lineaarikuvausta vastaava matriisi. Sel-

vitämme nyt, miten matriisi riippuu matriiseista ja .

Palautamme ensin mieliin seuraavat matriisin muodostamiseen ja käyttämiseen liittyvät asiat:

• Matriisin sarakkeet saadaan vastaavan lineaarikuvauksen kuvina kantavektoreista. Esimerkiksi ja siten (eli kuvan :s komponentti – huomaa indeksien järjes-

tyksen muuttuminen).

• Kun , on

ja tämän :s komponentti on siten

.

Selvitämme nyt matriisin muodostumisen. Sen :s sarake on muotoa

,

joten

.

Saadun tuloksen mukaisesti määrittelemmekin, että matriisien ja tuloon matriisi , missä

kaikilla ja .

Koska , voimme myös sanoa, että matriisin sarakkeet saadaan soveltamalla matriisia vuoronperään matriisin sarakkeisiin.

Juuri tekemämme selvityksen mukaan pätevät seuraavat tulokset.

A BL K

A 10

1 0 0 1

1 1

10

101

� � A 01

1 0 0 1

1 1

01

011

� �

B101

1 1� 1 �

0 1 0

101

00

� � B011

1 1� 1 �

0 1 0

011

2�

1� �

KL : �2 �2L A

K B

L : �n �m K : �m �p

A aij m n�Mat L � � B bij p m�

Mat K � �

C cij p n�Mat KL � � KL : �n �p

C A B

aj Lej� aij aj i Lej i� � Lej i

x x1 x2 xn xi n 1��n��

Ax

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

� � �

am1 am2 amn

x1

x2

�

xn

a11x1 a12x2 a1nxn� � �

a21x1 a22x2 a2nxn� � �

�

am1x1 am2x2 amnxn� � �

�m��

j

Ax j ajkxkk 1�

n

� Lx j� �

C j

cj KL ej K Lej Kaj Baj� � � �

cij cj i bik aj kk 1�

m

� bikakjk 1�

m

��

B bij p m�� A aij m n�

�

BA C cij p n��

cij bikakjk 1�

m

�� i 1 p � j 1 n �

cj Baj� BA BA

78 V MATRIISI

18.2 Lause. (a) Lineaarikuvauksia ja vastaaville matriiseille on

. (b) Matriiseja ja vastaaville lineaarikuvauksille on

.

Todistus. (a) Tämä on juuri matriisitulon määrittely. (b) Tulos johtuu edellisestä kohdasta ja siitä, että matriisit ja lineaarikuvaukset vastaavat toisiaan yk-

sikäsitteisesti. �

Muistisääntöjä matriisitulolle(1) Muistisääntö matriisien kooille:

Huomaa, että tulo on määritelty vain, kun tekijämatriisien vierekkäin asettuvat koot ( ) ovat sa-mat, ts. kun matriisissa on sarakkeita täsmälleen yhtä monta kuin matriisissa on rivejä.

(2) Muistisääntö tulomatriisien alkioille:

Tulomatriisin alkio paikassa saadaan matriisin :nnen rivin ja matriisin :nnen sa-rakkeen sisätulona, ts. . Tulos sijoittuu :nnen rivin ja :nnen sarakkeen leikkauskohtaan.

(3) Muistisääntö tulomatriisin alkion summakaavalle:

Summausindeksi esiintyy kahteen kertaan keskimmäisenä indeksinä, alkuperäiset indeksit säilyttä-vät paikkansa laitimmaisina ja summaus ulottuu siihen kokoon (m) asti, joka on matriiseille yhteinen.

18.3 Esimerkki. Esimerkissä 18.1 on

Toisaalta myös yhdistetty lineaarikuvaus on määritelty ja sitä vastaava matriisi on

L : �n �m K : �m �p

Mat KL Mat K Mat L �

Am n� Bp m�

Lin BA Lin B Lin A �

Bp m� Am n� Cp n��

BA mB A

* * *

� * �

� * �

� * �

� cij

�

�i i

j j

B A C

BA i j B i A jcij bi aj� � i j

cij bikakjk 1�

m��

k

BA 1 1� 1 �

0 1 0

1 0 0 1

1 1

1 1 1� 0 1� 1 �� 1 0 1� 1 1� 1��

0 1 1 0 0 1�� 0 0 1 1 0 1��

0 2 �

0 1 C .

� �

� �

LK : �3 �3

Mat LK Mat L Mat K AB1 0 0 1

1 1

1 1� 1 �

0 1 0 � � �

1 1 0 0�� 1 1� � 0 1�� 1 1� � 0 0 ��

0 1 1 0�� 0 1� � 1 1�� 0 1� � 1 0 ��

1 1 1 0�� 1 1� � 1 1�� 1 1� � 1 0 ��

1 1� 1 �

0 1 0 1 0 1 �

.� �

18 MATRIISIEN TULO 79

Kuvauksen lauseke on siten

. �

Huomaa, että matriisitulot ja ovat vain harvoin samat. Ne eivät välttämättä ole edes sa-mankokoisia, kuten edellä olevassa esimerkissä on tilanne. Voi myös olla, että vain toinen tulo on mää-ritelty: jos esimerkiksi ja , tulo on määritelty,mutta tuloa ei ole, koska . Vaikka molemmat tulot olisivat määriteltyjä ja samanko-koisiakin, eivät ne siltikään yleensä ole samoja, kuten mm. seuraava esimerkki osoittaa.

18.4 Esimerkki. Matriiseille

ja ,

ovat

ja

,

joten nämä tulot eivät ole samat. �

Matriisituloille ovat kuitenkin voimassa seuraavat laskusäännöt.

18.5 Lause. Yhteensopiville matriisityypeille (eli kun kaikki kussakin yhtälössä esiintyvät tulot ja sum-mat on määritelty) pätevät seuraavat muokkaussäännöt:

(a) , jota voidaan merkitä .

(b) .

(c) .

(d) kaikilla , jota voidaan merkitä .

(e) ja .

(f) ja .

Todistus. (a) Olkoot , ja . Tällöin tulo on –

matriisi ja tulo on –matriisi, joten sekä että ovat –matriiseja. Nämä

matriisit ovat siten ainakin samaa kokoa. Niiden alkiotkin näemme samoiksi seuraavasti:

Yllä on käytetty kerto- ja yhteenlaskun osittelulakeja sekä summausjärjestyksen vaihtoa. (b) Harjoitustehtävä. (c) Vastaavasti. (d) Helpohko. (e) ja (f) Helppoja. �

LK

LK x1 x2 x3 1 1� 1 �

0 1 0 1 0 1 �

x1

x2

x3

�

x1 x2� x3�

x2

x1 x3�

x1 x2� x3� x2 x1 x3� � �

AB BA

A A3 5�� B B4 3�� B4 3� A3 5� BA 4 5��

A3 5� B4 3� 5 4�

A 1 1 0 1

� B 2 0 0 1

�

AB 1 1 0 1

2 0 0 1

2 1 0 1

� �

BA 2 0 0 1

1 1 0 1

2 2 0 1

� �

AB C A BC � ABC

A B C� AB AC��

A B� C AC BC��

�A B A �B � AB � � � �� AB

AI A� IB B�

A0 0� 0B 0�

A aij m n�� B bij n p�

� C cij p q�� AB m p�

BC n q� AB C A BC m q�

AB C ij AB ikckjk 1�

p

� ailblkl 1�

n

� ckj

k 1�

p

� ailblkl 1�

n

� ckjk 1�

p

�

ailblkk 1�

p

� ckjl 1�

n

� ail blkk 1�

p

� ckjl 1�

n

� ail BC ljl 1�

n

� A BC ij .

� � �

� � � �

80 V MATRIISI

Vastaavuuden perusteella samat laskusäännöt kuin edeltävässä lauseessa ovat voimassa myös yh-teensopiville lineaarikuvauksille. Tätä olisimme voineet hyödyntää myös todistamisessa.

Matriisitulossa voivat tekijät olla samoja matriiseja, mikäli ne ovat neliömatriiseja. Neliömatriisien potenssit määritelläänkin rekursiivisesti:

Huomaa kuitenkin, että yleensä ja . Mieti miksi näin on!

18.6 Esimerkki. Neliömatriisille

on

.

Tällaista matriisia, jolle , sanotaan itseispotenssiseksi tai idempotentiksi. �

19 KÄÄNTEISMATRIISI

Olkoon lineaarinen bijektio (jolloin avaruuksien dimensioiden on oltava samat). Tällöinsillä on käänteiskuvaus , mikä on myös lineaarinen bijektio. Jos näitä kuvauksia vas-taavat matriisit ovat ja , miten matriisi riippuu matriisista ? Vas-taus on seuraava: Koska , lauseen 18.2 mukaan on

eli

. Tämän perusteella voimmekin järkevästi määritellä: Jos neliömatriisille on olemassa sellainen

(samankokoinen) neliömatriisi , että , sanomme, että matriisi on kääntyvä taisäännöllinen (engl. invertible, nonsingular, regular) ja matriisi on sen käänteismatriisi(engl. inverse). Tällöin siis . Tällaisessa tilanteessa myös matriisi onkääntyvä ja vastaavasti . Näin ollen kääntyvälle matriisille on .

19.1 Lause. Jos neliömatriisi on kääntyvä, sillä on vain yksi käänteismatriisi.

Todistus. Olkoot sekä B että C neliömatriisin A käänteismatriiseja, jolloin mm. . Täl-löin on

. �

Kaikki nollasta eroavat matriisit eivät suinkaan ole kääntyviä, kuten myöhempi esimerkki 19.4osoittaa. Epäkääntyviä matriiseja sanotaan myös singulaarisiksi.

19.2 Seuraus. Jos neliömatriisi on kääntyvä, sitä vastaava lineaarikuvaus on bijektio ja .

Todistus. Koska , matriisia ja sen käänteismatriisia vastaaville lineaariku-vauksille on

. Näin ollen kuvaus on bijektio ja . �

A

A1 A ja �

Ak 1� AAk, kun k 1 .��

AB 2 A2B2� A B� 2 A2 2AB B2� ��

A 12--- 1 1�

1� 1 �

A2 12--- 1 1�

1� 1 12--- 1 1�

1� 1 14--- 2 2�

2� 2 12--- 1 1�

1� 1 A� � � �

A2 A�

L : �n �nL 1� : �n �n

A Mat L � B Mat L 1� � B ALL 1� Id L 1� L� �

Mat L 1� Mat L Mat Id Mat L Mat L 1� � �

BA I AB� �

AB BA I AB� � A

B A 1��

A 1� A I AA 1�� B A 1��

A B 1�� A A 1� 1� A�

BA I AC� �

B BI B AC BA C IC C� � � � �

A L Lin A �

L 1� Lin A 1� Lin A 1� � �

A 1� A I AA 1�� A

Lin A 1� Lin A Lin A 1� A Lin I Id Lin AA 1� Lin A Lin A 1� � � � � �

L L 1� Lin A 1� �

19 KÄÄNTEISMATRIISI 81

Edessämme on taas yksi ’työnpuolituslause’.

19.3 Lause. Jos neliömatriiseille ja on voimassa yhtälö , myös yhtälö toteu-tuu, ts. matriisit ja ovat toistensa käänteismatriiseja.

Todistus. Olkoot ja vastaavat lineaarikuvaukset. Koska , on. Erityisesti kuvaus on sekä injektio että surjektio. Tällöin sisäfunktion on oltava in-

jektio, sillä muutoin ei yhdistetty kuvauskaan voisi olla injektio. Vastaavasti ulkofunktion on oltavasurjektio, sillä muutoin ei yhdistetty kuvauskaan voisi olla surjektio. Dimensiolauseesta seuranneenlauseen 16.1 mukaan sekä että ovat bijektioita. Nyt jokaiselle on

. Niinpä myös . Vastaaville matriiseille on siten . �

19.4 Esimerkki. Selvitämme, onko matriisi

kääntyvä. Olkoon tuntematon matriisi ja tutkimme yhtälöä :

Kun sijoitamme saadussa yhtälöryhmässä toisen yhtälön ensimmäiseen, saamme mahdottoman yhtä-lön . Yhtälöryhmällä ei siten ole ratkaisua eikä etsittyä matriisia ole olemassa. Matriisi A einäin ollen ole kääntyvä. �

19.5 Esimerkki. Selvitämme, onko (yhdellä luvulla edellisestä muutettu) matriisi

kääntyvä. Olkoon nytkin tuntematon matriisi ja tutkimme yhtälöä :

A B AB I� BA I�

A B

L Lin A � K Lin B � AB I�

LK Id� LK KL

L K x �n�

KLx KLIdx KLKK 1� x KIdK 1� x KK 1� x x� � � � �

KL Id� BA I�

A 1 2 �

2� 4 �

B2 2� bij � AB I�

1 2 �

2� 4

b11 b12

b21 b22

1 0 0 1

�

b11 2b21� b12 2b22�

2b11� 4b21� 2b12� 4b22�

1 0 0 1

�

b11 2b21� 1�

2b11� 4b21� 0�

erillinen yhtälöryhmä!

b12 2b22� 0�

2b12� 4b22� 1�


b11 2b21� 1�

b11 2b21�

b12 2b22�

2b12� 4b22� 1 .�

0 1� B

A 1 2 �

2� 3 �

B2 2� bij � AB I�

1 2 �

2� 3

b11 b12

b21 b22

1 0 0 1

�

b11 2b21� b12 2b22�

2b11� 3b21� 2b12� 3b22�

1 0 0 1

�

82 V MATRIISI

Matriisi A on siten kääntyvä ja edellä ratkaistu matriisi B on sen käänteismatriisi. Tarkistuksen vuoksi laskemme vielä tulon

Kun käänteismatriisi ratkaistaan yhtälöstä , virheiden ilmenemisen kannalta on usein tehok-kaampaa tarkistaa yhtälön toimivuus. �

Lauseen 15.4 (s. 63) mukaan lineaarisen yhtälön ratkaisujoukko on affiini aliavaruus, missä on yksittäisratkaisu. Matriisipuolella tätä yhtälöä vastaa yhtälö . Jos

matriisi A on kääntyvä, sitä vastaava lineaarikuvaus on bijektio ja erityisesti sen ydin on nolla-avaruus.Yhtälöllä on silloin aina yksikäsitteinen ratkaisu. Matriisein muotoiltuna tulos on seuraavan-lainen.

19.6 Lause. Jos neliömatriisi on kääntyvä, yhtälöllä on kaikilla yksikäsit-teinen ratkaisu .

Todistus. Edellä oleva johto jo perustelee väitteen, mutta todistamme sen myös matriisiteknisesti. En-sinnäkin, jos , on

, joten on yhtälön ratkaisu. Ja toisaalta, jos , on

, joten on yhtälön ainoa ratkaisu. �

19.7 Esimerkki. Ratkaisemme matriisiyhtälön , missä

ja .

Esimerkissä 19.5 olemme laskeneet käänteismatriisin , joten edellä olevan tuloksen mukaan yhtä-lön ratkaisuksi saamme nyt

.

b11 2b21� 1�

2b11� 3b21� 0�


b12 2b22� 0�

2b12� 3b22� 1�


b11 2b21� 1�

b1132---b21�

b12 2b22�

2b12� 3b22� 1�

12---b21� 1�

b1132---b21�

b12 2b22�

b22� 1�

b11 3��

b21 2��

b12 2��

b22 1��

B 3� 2 �

2� 1� A 1� .� �

BA 3� 2 �

2� 1� 1 2 �

2� 3 1 0

0 1 I .� � �

AB I�

BA I�

Lx y�

x0 Ker L � x0 Ax y�

Lx y�

An n� Ax y� y �n�

x A 1� y �n��

x A 1� y�

A A 1� y AA 1� y Iy y� � �

A 1� y Ax y� Ax y�

x A 1� Ax A 1� y� �

A 1� y Ax y�

Ax y�

A 1 2 �

2� 3 � y 4 1 �

A 1�

Ax y�

x A 1� y 3� 2 �

2� 1� 41

14�

9�14� 9� � � � �

19 KÄÄNTEISMATRIISI 83

Yleisemmin yhtälöllä on ratkaisu

.

Käänteismatriisin hyödyllisyys tulee hyvin esiin tällaisessa tilanteessa, jossa ratkaistaan useita sellaisiayhtälöryhmiä, joiden kerroinosa on sama, mutta vakio-osat muuttuvat tai ovat yleisessä muodossa. �

Kääntyvälle matriisille matriisiyhtälöllä on kaikilla yksikäsitteinen ratkaisu. Tästä johtuen myös yhtälön ainoa ratkaisu on . Tällainen ’supistamis-

sääntö’ toimii yleistyksenä myös matriisituloille.

19.8 Lause. Olkoon A kääntyvä matriisi ja olkoot matriisit B ja C sellaisia samankokoisia matriiseja,että tulot AB ja AC ovat olemassa ja . Tällöin . Vastaavasti, jos tulot BA ja CAovat olemassa, yhtälöstä seuraa, että .

Todistus. Kun kerromme yhtälön matriisitulot vasemmalta matriisin A käänteismatriisilla,saamme yhtälön , mistä sääntö huomioiden saammekin väitteen

. Toinen yhtälö ratkaistaan kertomalla nyt annetun yhtälön matriisitulot oikealta käänteismat-riisilla . �

Pienikokoisen matriisin käänteismatriisin ratkaiseminen on mahdollista tehdä edellä kuvatulla ta-valla, jossa käänteismatriisin alkiot merkitään tuntemattomiksi muuttujiksi ja yhtälön määräämistä yhtälöryhmistä ratkaistaan kyseiset muuttujat. Gaussin ja Jordanin menetelmällä kään-teismatriisin laskeminen onnistuu kuitenkin systemaattisemmin, kuten seuraavassa pykälässä 20 tar-kemmin ilmenee.

Seuraavassa ovat matriisien reaalikertojen ja tulojen käänteismatriisien muodostamiseen liittyvätsäännöt.

19.9 Lause. Jos luku sekä matriisit A, B ja toisaalta matriisit ovat samankokoisiakääntyviä neliömatriiseja, seuraavat säännöt pätevät.

(a) Matriisi on kääntyvä ja .

(b) Matriisi on kääntyvä ja .

(c) Matriisi on kääntyvä ja .

Todistus. Yleisesti matriisi todistetaan helpoimmin matriisin käänteismatriisiksi osoittamalla,että (tai vaihtoehtoisesti ). Todistamme väitteet tämän periaatteen mukaisesti.

(a) Väite seuraa siitä, että

.

(b) Tämä väite seuraa nyt siitä, että

. (c) Todistetaan edellisen kohdan tuloksesta lähtien induktiolla. Huomaa edellisen ja tämän kohdan

säännössä, että matriisien kääntymisen lisäksi myös matriisien kertojärjestys vaihtuu. �

Ax b b1 b2 � �

x A 1� b 3� 2 �

2� 1� b1b2

3b1� 2b2�

2b1� b2�3b1� 2b2� 2b1� b2� � � � �

A Ax b� b �n�

x �n� Ax1 Ax2� x1 x2�

AB AC� B C�

BA CA� B C�

AB AC�

A 1� AB A 1� AC� A 1� A I�

B C�

A 1�

X AX I�

� 0� A1 A2 Ak

�A �A 1� 1�---A 1��

AB AB 1� B 1� A 1��

A1A2Ak A1A2Ak 1� Ak1� A2

1� A11��

B AAB I� BA I�

�A 1�---A 1� �

1�--- AA 1� 1 I� I� � �

AB B 1� A 1� A BB 1� A 1� AIA 1� AA 1� I� � � �

84 V MATRIISI

20 KÄÄNTEISMATRIISIN LASKEMINEN

Tiedämme aikaisemmasta, että kääntyvälle neliömatriisille A yhtälöllä on jokaisella yksikäsitteinen ratkaisu . Tästä syystä matriisin A normitetun porrasmuodon on ol-tava sellainen, että sen kaikki lävistäjäalkiot ovat ykkösiä, ja edelleen sen perusmuodon on oltava yksik-kömatriisi I. Porras- ja perusmuodothan saadaan GJ-menetelmässä aikaan rivioperaatioin eli MPA–muunnoksin , ja (ks. pykälä 8). Jos taas matriisi A ei ole kääntyvä, sen porrasmuo-dossa jonkin lävistäjäalkion on oltava nolla eikä perusmuoto voi olla yksikkömatriisi. Yhteenvetonaolemme siten perustelleet seuraavan tuloksen.

20.1 Lause. Neliömatriisi A on kääntyvä täsmälleen silloin, kun se voidaan rivioperaatioin muuntaayksikkömatriisiksi.

Tiedämme edelleen, että neliömatriisi on kääntyvä täsmälleen silloin, kun on olemassa ne-liömatriisi , jolle , ja tällöin . Kun merkitsemme matriisia X sarakevekto-rien avulla , yhtälö on silloin yhtäpitävää sen kanssa, että

eli

kaikilla .

Näistä jokaisen yhtälön ratkeamisen voimme selvittää GJ–menetelmällä, missä kaavioista py-rimme rivioperaatioin muotoihin . Koska näissä yhtälöissä kerroinosa on aina sama matriisi A,voimme jokaisessa kaaviossa tehdä muunnoksen aina samalla tavalla. Näin ollen sijoittamalla vakio-osien vektorit peräkkäisiksi sarakkeiksi, jolloin niistä muodostuu yksikkömatriisi, voimme tehdäGJ–muunnokset yhtaikaisesti kaikille näille sarakkeille. Yhtälöön tulee näin liitettyä laajen-nettu matriisi, joka on muotoa . Käänteismatriisin löytämiseksi pyrimme tämän kaavion rivi-operaatioin muuntamaan muotoon . Jos se onnistuu, matriisi X on matriisin A käänteismat-riisi. Jos se ei onnistu eli vastaan tulee jokin mahdoton yhtälö, matriisi A ei ole kääntyvä. Olemme pe-rustelleet seuraavan tuloksen.

20.2 Lause. Neliömatriisi A on kääntyvä täsmälleen silloin, kun laajennettu matriisi voidaanrivioperaatioin muuntaa muotoon . Tällöin .


kääntyvä ja mikä on sen mahdollinen käänteismatriisi. Lähdemme kaaviosta ja selvitämme,voimmeko muuntaa sen muotoon :

Viimeiselle riville saimme yhtälöt , ja , jotka kaikki ovat mahdottomia (yksikinolisi riittänyt). Matriisi A ei siten ole kääntyvä. �

Ax b� b �n�

x A 1� b �n��

Mi � Pij Aij �

An n�

Xn n� AX I� X A 1��

X x1 x2 xn � AX I�

Ax1 Ax2 Axn I e1 e2 en � �

Axi ei� i 1 n �

A ei � I xi �

eiAX I�

A I � I X �

A I � I X � X A 1��

A1 2 3 0 1 2

1 1 1 �

A I � I X �

A I � 1 2 3 � 1 0 0 0 1 2 � 0 1 0

1 1 1 � 0 0 1 �

A13 1�

A23 1

1 2 3 � 1 0 0 0 1 2 � 0 1 0

0 0 0 � 1� 1 1 .

0 1�� 0 1� 0 1�

20 KÄÄNTEISMATRIISIN LASKEMINEN 85


kääntyvä ja mikä on sen mahdollinen käänteismatriisi. Lähdemme nytkin kaaviosta ja selvi-tämme, voimmeko muuntaa sen muotoon :

Näin ollen matriisi A on kääntyvä ja sen käänteismatriisi on

.

Tarkista laskemalla, että todella . �

Kolmiomatriisien kääntyvyys on helppo todeta. Lisäksi niiden käänteismatriisit osoittautuvat sa-manmuotoisiksi.

20.5 Lause. Yläkolmiomatriisi on kääntyvä täsmälleen silloin, kun kaikki sen lävistäjäalkiot ovat nol-lasta eroavia. Tällöin sen käänteismatriisi on myös yläkolmiomatriisi. Lisäksi käänteismatriisin lä-vistäjäalkiot ovat alkuperäisen matriisin lävistäjäalkioiden käänteisluvut. Vastaava tulos pätee ala-kolmiomatriiseille.

Todistus. Täsmälleen mainitulla ehdolla yläkolmiomatriisi voidaan M–muunnoksilla muuntaa ensinnormitettuun porrasmuotoon ja A–muunnoksilla edelleen muuntaa perusmuotoon, joka on silloin yk-sikkömatriisi. Tällaisessa GJ–muunnoksessa oikean puolen yksikkömatriisi muuntuu yläkolmiomatrii-siksi, joka on silloin alkuperäisen matriisin käänteismatriisi.

Alakolmiomatriisille muunnos porrasmuotoon tapahtuu MA–muunnoksilla ja saatu normitettuporrasmuoto on samalla jo yksikkömatriisi. Tässä GJ–muunnoksessa oikean puolen yksikkömatriisimuuntuu alakolmiomatriisiksi, joka on alkuperäisen matriisin käänteismatriisi.

Lävistäjäalkioiden muuntumiset käänteisluvuiksi näemme selvimmin siitä, että kun kolmiomatrii-sille merkitsemme , on kaikille . �

20.6 Seuraus. Diagonaalimatriisi on kääntyvä täsmälleen silloin, kun kaikki sen lävistäjäalkiot ovat nol-lasta eroavia. Tällöin sen käänteismatriisi on myös diagonaalimatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat al-kuperäisen matriisin lävistäjäalkioiden käänteisluvut, ts. jos kaikilla , on

.

Tässä ja edeltävässä pykälässä olemme käyneet läpi kaikki seuraavan yhteenvedon yhtäpitävyydet.Etsi väitepareittain tulokset, jotka osoittavat yhtäpitävyyden. Kaikkia pareja ei tarvitse käydä läpi, vainsellaiset, että niistä saadaan yhtäpitävyysketju, jossa kaikki väitekohdat ovat mukana, esimerkiksi mal-liin .

A0 1 1 1� 0 1

1 1� 1 �

�

A I � I X �

A I � 0 1 1 � 1 0 0 1� 0 1 � 0 1 0

1 1� 1� � 0 0 1 �

A32 1

P13

1 1� 1� � 0 0 1 0 1� 0 � 0 1 1

0 1 1 � 1 0 0

A23 1

M2 1�

1 1� 1� � 0 0 1 0 1 0 � 0 1� 1�

0 0 1 � 1 1 1

A21 1

A31 1

1 0 0 � 1 0 1 0 1 0 � 0 1� 1�

0 0 1 � 1 1 1 I X � .�

A 1�1 0 1 0 1� 1�

1 1 1 �

A 1� A I�

A aij � B bij A 1�� AB ii aiibii 1� � i 1 n �

�i 0� i 1 n �

Diag �1 �2 �n 1� Diag �11� �2

1� �n1� �

a j d

86 V MATRIISI

20.7. Yhteenveto. Neliömatriisille kaikki seuraavat ovat keskenään yhtäpitäviä väitteitä:

(a) Matriisi A on kääntyvä.

(b) Matriisilla A on porrasmuoto, jossa kaikki lävistäjäalkiot ovat nollasta eroavia.

(c) Matriisi A voidaan rivioperaatioin muuntaa yksikkömatriisiksi.

(d) Matriisin A sarakevektorit ovat lineaarisesti riippumattomat.

(e) Yhtälöllä on vain ratkaisu .

(f) Matriisin A sarakevektorit virittävät koko avaruuden eli .

(g) Yhtälöllä on kaikilla ratkaisu .

(h) Matriisiyhtälö toteutuu jollekin matriisille .

(i) Matriisiyhtälö toteutuu jollekin matriisille .

(j) Matriisia A vastaava lineaarikuvaus on bijektio (tai vain injektio tai vain surjek-tio).

21 ALKEISMATRIISIT

Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseen Gaussin ja Jordanin menetelmällä käytimme pykälässä 8MPA–operaatioita , ja . Selvitämme seuraavassa, miten näiden operaatioiden vaiku-tukset kerroinmatriisiin saadaan aikaan myös kertomalla matriisi vasemmalta sopivilla matriiseilla.

Otamme käyttöön ensin ns. kantamatriisit , missä on ykkönen paikassa ja nolla kaikissamuissa paikoissa, ts.

eli (nollat kaikissa muissa paikoissa)

Tällaisen kantamatriisin koko on vähintään , mutta se voi olla isompi. Tarvittaessa on ilmoitettavalisäksi matriisin koko.

Näiden kantamatriisien keskinäisille tuloille, silloin kun ne ovat määritellyt, pätee, että

Lisäksi näiden avulla voimme minkä tahansa matriisin esittää (yksikäsitteisesti) muo-dossa

,

mistä ’koordinaattiesityksestä’ kantamatriisi-nimitys johtuukin. Merkitsemme Gaussin ja Jordanin menetelmän rivioperaatioita vastaavia kertojamatriiseja samoin

merkinnöin. Nämä ns. alkeismatriisit ovat neliömatriiseja ja ne voimme esittää seuraavasti:

( ),

( ) ja

( ).

Matriisi saadaan yksikkömatriisista muuttamalla paikkaan ykkösen tilalle luku . Mat-riisi saadaan yksikkömatriisista muuttamalla ykkösten tilalle nollat paikkoihin ja sekämuuttamalla nollien tilalle ykköset paikkoihin ja . Matriisi saadaan yksikkömatrii-sista muuttamalla paikkaan nollan tilalle luku .

An n�

Ax 0� x 0�

a1 a2 an �n�

Ax b� b �n� x �n�

AB I� Bn n�

CA I� Cn n�

L : �n �n

Mi � Pij Aij �

Eij i j

Eij kl1 kun i k� ja j l�0 muulloin.

� Eij � i

� 1 �

ji j�

EijEklEil kun j k�

0 muulloin.

�

Am n� aij �

A aijEijj 1�

n

�i 1�

m

��

Mi � I � 1� Eii�� 0�

Pij I Eii� Ejj� Eij Eji� �� i j�

Aij � I �Eji�� i j�

Mi � i i �

Pij i i j j i j j i Aij �

j i �

21 ALKEISMATRIISIT 87

Pykälässä 8 totesimme, että rivioperaatiot ovat käännettäviä operaatioita. Vastaavasti alkeismatrii-sit ovat kääntyviä matriiseja ja niiden käänteismatriisit ovatkin seuraavat:

, ja .

Erityisesti alkeismatriisien käänteismatriisit ovat näin ollen aina samantyyppisiä alkeismatriiseja.

21.1 Esimerkki. Seuraavien –alkeismatriisien

, ja

käänteismatriisit ovat

, ja

. �

Yhteenvedon 20.7 mukaan neliömatriisi on kääntyvä täsmälleen silloin, kun se voidaan rivioperaa-tioin muuntaa yksikkömatriisiksi. Koska rivioperaatioita vastaavat alkeismatriiseilla kertomiset,saamme seuraavan tuloksen.

21.2 Lause. Neliömatriisi on kääntyvä täsmälleen silloin, kun se on alkeismatriisien tulo.

Todistus. Koska alkeismatriisit ovat kääntyviä matriiseja, ovat myös niiden tulot kääntyviä matriiseja.Olkoon sitten kääntäen matriisi A kääntyvä, jolloin lausetta edeltäneen päättelyn mukaan on olemassasellaiset alkeismatriisit , että . Tällöin ja siten

.

Koska alkeismatriisien käänteismatriisit ovat alkeismatriiseja, matriisi A on alkeismatriisien tulo. �

21.3 Esimerkki. Esimerkissä 8.1 (s. 38) ratkaisimme yhtälöryhmän

Gaussin ja Jordanin menetelmällä. Kun siinä käytetyt rivioperaatiot kohdistamme vain kerroinmatrii-siin, saamme seuraavan päättelyketjun:

.

Muutettuna operoinnit alkeismatriiseilla kertomisiksi saamme, että (huomaa kirjoitusjärjestys: myö-hempää muunnosta vastaava matriisi sijoitetaan tuloon vasemmalle puolelle)

.

Mi � 1� Mi 1 �� Pij1� Pij� Aij � 1� Aij ��

3 3�

M2 3 1 0 0 0 3 0

0 0 1 � P12

0 1 0 1 0 0

0 0 1 � A21 1�

1 1� 0 0 1 0

0 0 1 �

M2 3 1� M213---

1 0 0

0 13--- 0

0 0 1

� � P121� P12

0 1 0 1 0 0

0 0 1 � �

A21 1� 1� A21 1 1 1 0 0 1 0

0 0 1 � �

E1 E2 Ek EkE2E1A I� A 1� EkE2E1�

A EkE2E1 1� E11� E2

1� Ek1��

x y z�� 0�

2x y z� � 0�

x� z� 1 .�

A1 1 1 �

2 1 1 1� 0 1 �

�A12 2�

A13 1

1 1 1 �

0 1� 3 0 1 2 �

A23 1

M2 1�

1 1 1 �

0 1 3 �

0 0 1

A31 1

A32 3

1 1 0 0 1 0

0 0 1

A21 1�

1 0 0 0 1 0

0 0 1 I�

A21 1� A32 3 A31 1 M2

1� A23

1 A13

1 A12

2� A I�

88 V MATRIISI

Näin ollen matriisi A on kääntyvä ja sen käänteismatriisi on

Tarkista tulos! Käänteismatriisin avulla saamme itse yhtälöryhmän ratkaisuksi

. �

Pykälän lopuksi johdamme tuloksen matriisin rangin selvittämiseksi sen porrasmuodosta.

21.4 Lause. Olkoon kääntyvä matriisi ja mielivaltainen matriisi. Tällöin.

Todistus. Olkoot ja matriiseja ja vastaavat lineaarikuvaukset, jolloinnäistä kuvaus on bijektio. Lauseen 15.12 mukaan on tällöin . Tämänavulla saammekin, että

. �

21.5 Lause. Matriisin ranki on sama kuin sen porrasmuodon ranki. Porrasmuodon ranki on taas senporrasalkioiden määrä.

Todistus. Gaussin menetelmän perusteella on , missä on alkeismatriisien tulo ja on por-rasmuoto. Koska matriisi on kääntyvä, edellisen lauseen 21.4 mukaan on .

Toisaalta on porrasalkioiden lukumäärä, sillä selvästikin porrasmuodossa täsmälleenne sarakkeet, joilla porrasalkiot esiintyvät, ovat lineaarisesti riippumattomat. Tässä on huomattava, ettämahdollisilla nollariveillä ei ole määrittelyn mukaan porrasalkioita. �

21.6 Esimerkki. Olkoon matriisi sellainen, että sen porrasmuoto on muotoa

,

missä kunkin jokerimerkin * kohdalla voi olla mikä tahansa luku. Tällöin porrasmuodossa ensim-mäinen, toinen, neljäs ja seitsemäs sarake ovat keskenään lineaarisesti riippumattomat ja muut sarak-keet saadaan näiden lineaarikombinaatioina. Siten matriisin ranki on sen porrasalkioiden määrä eli

. Myös alkuperäiselle matriisille on täten . Lisäksi sen nolluus on näinollen . �

A 1� A21 1� A32 3 A31 1 M2

1� A23

1 A13

1 A12

2� �

1 1� 0 0 1 0

0 0 1

1 0 0 0 1 3

0 0 1

1 0 1 0 1 0

0 0 1

1 0 0 0 1� 0

0 0 1

1 0 0 0 1 0

0 1 1

1 0 0 0 1 0

1 0 1

1 0 0 2� 1 0 0 0 1

�

1 1� 3 �

0 1 3 0 0 1

1 0 1 0 1� 0

0 0 1

1 0 0 0 1 0

1 1 1

1 0 0 2� 1 0 0 0 1

�

1 1 2 �

0 1� 3 0 0 1

1 0 0 2� 1 0 1� 1 1

1 1� 2 �

1� 2 3 1� 1 1

.� �

xyz

1 1� 2 �

1� 2 3 1� 1 1

001

2�

31

� �

Bn n� An p�

rank BA rank A�

L Lin A � K Lin B � A BK dim K Im L dim Im L �

rank BA dim Im KL dim K Im L dim Im L rank A� � � �

EA P� E PE rank A rank P�

rank P P

A5 9�

P

1 * * * * * * * *0 2 * * * * * * *0 0 0 3 * * * * *0 0 0 0 0 0 4 * *

0 0 0 0 0 0 0 0 0

�

P

Prank P 4� A rank A 4�

null A 9 4� 5� �

22 TRANSPONOITU MATRIISI 89

22 TRANSPONOITU MATRIISI

Neliömatriisi on helppo ajatella peilatuksi esimerkiksi lävistäjänsä suhteen, mikä tarkoittaa samaa kuin,että sen rivit ja sarakkeet vaihdetaan toisikseen. Yleisesti tyyppiä olevan matriisin transponoitu matriisi eli sen transpoosi on –matriisi , jolle kaikille indek-seille . Muita käytettyjä merkintöjä ovat mm. , , ja .

Mutta mitä tällä transponoinnilla on tekemistä lineaarikuvausten kanssa? Tähän emme vielä pystyvastaamaan, mutta myöhemmin tähän vastaamme, ainakin osittain, ortogonaalisen matriisin yhtey-dessä pykälässä 32 (s. 112).

Neliömatriisia A sanotaan kuvaavasti symmetriseksi, mikäli . Symmetrisen matriisin lä-vistäjäalkiot saavat olla mitä tahansa, mutta muille on aina eli kun .

22.1 Esimerkki. –matriisin transpoosi on tyyppiä . Esimerkiksi

. �

22.2 Esimerkki. Yleinen –matriisi

on symmetrinen täsmälleen silloin, kun . �

22.3 Esimerkki. Olemme samastaneet vektorin sarakematriisiin . Täl-löin sen transpoosi on rivimatriisi . Erityisesti kahden vektorin sisätulon voimmeesittää matriisimuodossa

. �

Seuraavassa on eräitä laskusääntöjä transpoosin muodostamiselle.

22.4 Lause. Kun alla esiintyvien matriisien tyypit ovat lausekkeiden muodostamisen kannalta keske-nään yhteensopivat (eri kohdissa ehdot voivat olla erilaiset), pätevät seuraavat säännöt.

(a) .

(b) .

(c) kaikille .

(d) .

(e) Jos A on kääntyvä neliömatriisi, myös on kääntyvä ja erityisesti .

Todistus. Osoitamme kohdat (d) ja (e) oikeiksi. Muut kohdat ovat ilmeisiä tai helposti todennettavia. (d) Olkoon matriisi tyyppiä ja tyyppiä . Silloin tulomatriisi on määritelty,

on tyyppiä ja sen alkio paikassa on

.

Matriisi on taas tyyppiä ja matriisi tyyppiä . Tulomatriisi on siten mää-ritelty, on tyyppiä ja sen alkio paikassa on

m n� A aij �

n m� B AT� bij aji�

i j AT At Atr A*

AT A�

aij aji� i j�

2 3� 3 2�

1 3 5 2 4 6

T 1 23 4

5 6�

2 2�

a b c d

b c�

x x1 x2 xn � �n� xn 1�

xT x1 x2 xn �

x y� x1y1 x2y2 xnyn� � � xTy� �

AT T A�

A B� T AT BT��

�A T �AT� � ��

AB T BTAT�

AT AT 1� A 1� T�

A m n� B n p� ABm p� i j

AB ij ai1b1j ai2b2j ainbnj� � ��

BT p n� AT n m� BTAT

p m� j i

BTAT ji BT j1 AT 1i BT j2 AT 2i BT jn AT ni� � �

b1jai1 b2jai2 bnjain .� � �

�

�

90 V MATRIISI

Se on siten sama kuin matriisin alkio paikassa . Niinpä . Huomaa erityisestitässä säännössä kertomisjärjestyksen muuttuminen!

(e) Edellisen kohdan perusteella on

, mikä todistaakin väitteen. �

Edellä olevan lauseen kohdan (d) voimme induktiolla yleistää useammallekin kuin kahdelle tulontekijälle: Jos matriisien tulo on määritelty, on

.

Alkeismatriisien transpoosien huomaamme helposti olevan samantyyppisiä alkeismatriiseja. Tar-kemmin ilmaisten seuraavat pätevät:

, ja .

AB i j AB T BTAT�

AT A 1� T A 1� A T IT I� � �

A1 A2 Ak A1A2Ak

A1A2Ak T AkTA2

TA1T�

Mi � T Mi � � PijT Pij� Aij � T Aji � �

91

VI DETERMINANTTI

Sen selvittämiseen, onko annettu neliömatriisi kääntyvä, emme tähän mennessä ole esittäneet oleelli-sesti muuta keinoa, käänteismatriisin keksimisen lisäksi, kuin yrittää ratkaista käänteismatriisi jokomäärittelyehdon mukaisesta yhtälöryhmästä tai Gaussin ja Jordanin menetelmää käyttäen. Riippuensiitä, tuottavatko nämä tuloksen vai ei, päättelemme tästä matriisin kääntyvyyden tai kääntymättömyy-den.

Tässä luvussa esitämme vaihtoehtoisen menettelyn, jossa laskemme matriisille erään karakteristisenluvun, ns. determinantin, jonka nollasta eroavuudesta voimme päätellä matriisin kääntyvyyden suo-raan. Tätä determinanttia voimme käyttää sitten myös käänteismatriisin määräämisessä hyväksi.

23 KÄÄNTYVYYSMITTARI

Tiedämme aikaisemmasta (pykälät 19 ja 20), että neliömatriisi on kääntyvä täsmälleen silloin, kun sensarakevektorit ovat lineaarisesti riippumattomat tai kun se voidaan rivioperaatioin tai alkeismatriiseillakertomalla muuntaa yksikkömatriisiksi. Näitä tietoja käyttäen johdamme kääntyvyysmittarin, jonka ar-von voimme laskea suoraan matriisista yrittämättä etsiä käänteismatriisia. Totuttuun tapaan aloitammejohdattelulla ja pienikokoisten matriisien tarkastelulla.

Tapaus . Pienikokoisimman mahdollisen eli –matriisin (eli luvun) kääntyvyyden tiedämme: täsmäl-leen silloin, kun .

Tapaus . Tarkastelemme –matriisia

.

Algebrallinen näkökulma. Olettaen ensin, että , muunnamme matriisia A rivioperaatioinseuraavasti

.

Saatu porrasmuoto on kääntyvä matriisi, mikäli . Jos sitten on , vaihdamme ensin matriisin rivit keskenään ja saamme porrasmuodon

.

Tämä on kääntyvä matriisi, mikäli . Ehto huomioiden tämä on sama ehto kuinedellä.

Olemme saaneet tulokseksi, että –matriisi on kääntyvä matriisi täsmälleen silloin,kun .

n 1�

1 1� a a 0�

n 2�

2 2�

A a11 a12

a21 a22 �

a11 0�

a11 a12

a21 a22

M2 a11

a11 a12

a11a21 a11a22

A12 a21�

a11 a12

0 a11a22 a21a12�

a11a22 a21a12� 0�

a11 0�

a21 a22

0 a12

a21a12 0� a11 0�

2 2� A aij �

a11a22 a21a12� 0�

92 VI DETERMINANTTI

Geometrinen näkökulma. Merkitsemme matriisin A sarakevektoreita ja. Tällöin matriisi A on kääntyvä matriisi täsmälleen silloin, kun vektorit x ja y ovat

lineaarisesti riippumattomat. Tämä on edelleen yhtäpitävää sen kanssa, että ne ovat erisuuntaiset vek-torit tai että niiden virittämän suunnikkaan ala eroaa nollasta.

Laskemme seuraavaksi vektoreiden x ja y virittämän suunnik-kaan S alan. Viereisen kuvan mukaisesti se on

Määräämme jälkimmäisen vektorin komponenttimuodon:

Tämän vektorin pituus on siten

.

Näin ollen suunnikkaan S ala on , minkä nollasta eroavuudesta olimme kiinnostu-neet. Tämänkin tuloksen mukaan –matriisi on kääntyvä matriisi täsmälleen silloin,kun .

Tapaus . Tarkastelemme vielä –matriisia

.

Algebrallinen näkökulma. Olettaen ensin, että , muunnamme matriisia A rivioperaatioinseuraavasti

,

missä saatuja tulojen erotuksia on merkitty lyhyemmin luvuilla . Tapauksen perusteella tie-dämme, että saatu matriisi on muunnettavissa edelleen normitettuun porrasmuotoon eli se on kääntyvätäsmälleen silloin, kun . Sijoittamalla tähän arvot ja sieventämällä näemme,että tämä ehto on muotoa

.

Saman ehdon saamme pääteltyä myös tapauksessa . Myöhempää tarvetta varten ryhmittelemme luvun d lausekkeen vielä muotoon

.

x a11 a21 �

y a12 a22 �

y

x

hS

Pxy

x h x y Pxy� x y y x� x 2

---------------x�

1x

------- x 2y y x� x � .

� �

�

x 2y y x� x� a112 a21

2� a12 a22 a11a12 a21a22� a11 a21 �

a112 a12 a21

2 a12 a112 a12� a11a21a22�� a11

2 a22 a212 a22 a11a12a21� a21

2 a22��

a21 a11a22 a21a12� � a11 a11a22 a21a12� a11a22 a21a12� a21� a11 .

�

�

� �

a11a22 a21a12� a21� 2 a112� a11a22 a21a12� x�

a11a22 a21a12�

2 2� A aij �

a11a22 a21a12� 0�

n 3�

3 3�

A a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

�

a11 0�

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

M2 a11

M3 a11

a11 a12 a13

a11 a21 a11a22 a11a23

a11 a31 a11a32 a11a33

A12 a21�

A13 a31�

a11 a12 a13

0 a11a22 a21a12� a11a23 a21a13�

0 a11a32 a31a12� a11a33 a31a13�

a11 a12 a13

0 b11 b12

0 b21 b22

�

bij n 2�

b11b22 b21b12� 0� bij

d a11a22a33 a11a32a23� a21a12a33� a21a32a13 a31a12a23 a31a22a13�� 0��

a11 0�

d a11 a22a33 a32a23� a21 a12a33 a32a13� � a31 a12a23 a22a13� ��

24 DETERMINANTIN REKURSIIVINEN MÄÄRITTELY 93

Geometrinen näkökulma. Voidaan osoittaa, että matriisin A sarakevektoreiden virittämän suuntais-särmiön tilavuus on täsmälleen , missä d on edellä saatu luku. Tämän käyminen läpi olisi teknisestipitkä (emmekä ole vielä johtaneet tilavuuden laskentatapaakaan) ja sivuutammekin siksi sen. Kutenkaksiulotteisessa tapauksessa suuntaissärmiön tilavuuden nollasta eroavuus on yhtäpitävää sen kanssa,että särmiön virittävät vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat, ja se edelleen yhtäpitävää sen kanssa,että näistä vektoreista muodostettu matriisi on kääntyvä.

24 DETERMINANTIN REKURSIIVINEN MÄÄRITTELY

Edellisen pykälän tapauksesta voimme huomata, että –matriisin kääntyvyyden selvittä-misessä voidaan käyttää hyväksi –matriisin kääntyvyyskriteeriä. Saadun kääntyvyysmittarin dkirjoitimme nimittäin muotoon

,

missä sulkulausekkeet ovat –matriisien

, ja

kääntyvyysmittarien arvot. Kun tämän palautuspäättelyn yleistämme rekursiivisesti isompikokoisillematriiseille, saamme seuraavassa esitettävän määrittelyn.

Palautuskaava

Olkoon neliömatriisi, missä . Kun tästä matriisista poistamme i:nnen rivin jaj:nnen sarakkeen, saamme –matriisin, jota sanomme matriisin A alimatriisiksi (engl.minor) paikan suhteen ja merkitsemme , tai , jos tämä on selvyyden takia tarpeen.

24.1 Esimerkki. –matriisin

,

alimatriisit ovat vain pelkkiä lukuja: , , ja . �

24.2 Esimerkki. Matriisin

alimatriisit ovat seuraavat:

, , ,

, , ,

, , . �

d

n 3� 3 3�

2 2�

d a11 a22a33 a32a23� a21 a12a33 a32a13� � a31 a12a23 a22a13� ��

2 2�

a22 a23

a32 a33

a12 a13

a32 a33

a12 a13

a22 a23

An n� aij � n 2�

n 1� n 1� �

i j Aij Mij A

2 2�

Aa11 a12

a21 a22 �

A11 a22� A12 a21� A21 a12� A22 a11�

A1 2 3 0 1 2

1 1 1 �

A111 2

1 1 � A12

0 2 1 1

� A130 1

1 1 �

A212 3

1 1 � A22

1 3 1 1

� A231 2

1 1 �

A312 3

1 2 � A32

1 3 0 2

� A331 2

0 1 �

94 VI DETERMINANTTI

Määrittelemme nyt rekursiivisesti neliömatriisin determinantin :

(1) , kun , ja

(2)

Tuloksena oleva determinantti on siis pelkkä reaaliluku. Kun matriisi esitetään auki kirjoitettuna taulukkona, sen determinantti esitetään samanlaisena tau-

lukkona, jossa matriisin hakasulut korvataan pystyviivoilla:

.

Jos matriisi on esitetty indeksoidussa muodossa , voi sen determinantin kirjoittaa pystyvii-voja käyttäen muodossa , mutta ei yhden alkion itseisarvoa tarkoittavassa muodossa . Suo-siteltavampaa onkin kirjoittaa .

Tapauksessa determinantin lauseke on

.

Myös tapauksessa determinantin lauseke on juuri se, minkä edellisessä pykälässä johdimmekääntyvyysmittariksi:

Yleisessä tapauksessa determinantin lauseketta sanotaan myös determinantin kehityssään-nöksi tai palautuskaavaksi (ensimmäisen sarakkeen suhteen), koska siinä sen laskeminen siirretään re-kursiivisesti vain pienempikokoisten matriisien determinanttien laskemiseen. Esimerkiksi –mat-riisin determinantin laskemiseksi joudumme laskemaan neljän –alimatriisin determinantit ja kun-kin niistä laskemiseksi edelleen kolmen –alimatriisin determinantit; yhteensä joudumme –matriisien determinantteja laskemaan 12 kappaletta. Kun matriisin kokoa kasvatetaan, tarvittavien

–matriisien determinanttien kokonaismäärä kasvaa nopeasti lausekkeen mukaisesti, missä on luvun n kertoma.


determinantti on määritelmän mukaan

An n� aij � det A A�

det A a11� n 1�

det A a11det A11 a21det A21� a31det A31 1� n 1� an1det An1� � �

1� k 1� ak1det Ak1k 1�

n

� , kun n 2 .�

�

�

det A

det A

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

� � �

an1 an2 ann

�

A aij �

aij aijdet aij

n 2�

det A a11det A11 a21det A21� a11a22 a21a12��

n 3�

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11a22 a23

a32 a33a21

a12 a13

a32 a33� a31

a12 a13

a22 a23��

a11 a22a33 a32a23� a21 a12a33 a32a13� � a31 a12a23 a22a13� � .�

n 2�

4 4�

3 3�

2 2� 2 2�

2 2�12---n!

n! 1 2 3 n� � � ��

A1 2 3 0 1 2

1 1 1 �

det A1 2 30 1 21 1 1

a11det A11 a21det A21� a31det A31��

1 1 21 1

� 0 2 31 1

�� 1 2 31 2

��

1 1� 1 2�� 0� 2 2� 1 3�� 1� 1� 0 .� � �

25 ALKEISMUUNNOKSET JA DETERMINANTTI 95

Koska determinantin arvoksi saimme nollan, matriisi A ei edellisen pykälän johdattelun mukaan olekääntyvä. Tähän tulokseen tulimme myös esimerkissä 20.3 etsiessämme käänteismatriisia. �


determinantti on kehityssäännön mukaan (edellisen esimerkin tulos kehittämisessä alimatriisin determinanttina huomioiden)

Determinantin arvoksi saimme nollasta eroavan luvun, joten edellisessä pykälässä tarkasteltujen– ja –tilanteiden perusteella ennakoimme myös tässä tapauksessa, että matriisi A osoittau-

tuisi kääntyväksi. Tähän saamme varmistuksen myöhemmin esimerkissä 25.14. �

25 ALKEISMUUNNOKSET JA DETERMINANTTI

Olemme lauseessa 20.1 (s. 84) todenneet, että neliömatriisi on kääntyvä täsmälleen silloin, kun se voi-daan rivioperaatioin muuntaa yksikkömatriisiksi. Tarkastelemme nyt, miten rivioperaatiot ja niitä vas-taavat alkeismatriiseilla kertomiset muuttavat determinanttia. Koska determinantti määritellään rekur-siivisesti, on luonnollista, että useat determinanttia koskevat tulokset todistetaan myös induktiolla. En-simmäinen huomio on seuraava.

25.1 Lause. Yksikkömatriisien determinantit ovat ykkösiä, ts. kaikilla .

Todistus. Induktiotodistuksen harjoittelutehtävä.

25.2 Lause. Jos neliömatriisin yksi rivi kerrotaan luvulla , tulee myös sen determinantti kerrottuasamalla luvulla . Toisin sanoen, neliömatriisille on kaikilla

ja .

Todistus. Teemme todistuksen induktiolla matriisin A koon suhteen. Olkoon ensin : Koska silloin , väite pätee

tässä tapauksessa. Vaikka tapausta ei välttämättä tarvitsisikaan induktiotodistuksen takia käydä läpi, teemme

sen kuitenkin väitteen selventämiseksi. Nyt matriisin indeksi voi olla tai . Sel-vitämme molemmat vaihtoehdot:

A

0 1 2 3 1 0 4 5

2 0 1 2 0 1 1 1

�

A21

detA

0 1 2 3 1 0 4 5

2 0 1 2 0 1 1 1

a11det A11 a21det A21� a31det A31 a41det A41��

00 4 50 1 21 1 1

� 11 2 30 1 21 1 1

�� 21 2 30 4 51 1 1

� 01 2 30 4 50 1 2

��

1 0�� 2 1 4 51 1

� 0� 1 2 34 5

��

2 4 5� 10 12� � � 6 .��

2 2� 3 3�

det In 1� n 1�

�

� An n� det Mi � A �det A�

� �� i 1 n �

n n�

n 1� det M1 � a det �a �a �det A� � �

n 2�

Mi � i 1� i 2�

96 VI DETERMINANTTI

,

.

Induktio-oletuksena olkoon sitten, että väite pätee kaikille kokoa oleville matrii-seille (missä ), ja osoitamme sen kokoa oleville matriiseille. Olkoon A –matriisi,

, ja . Matriisin determinantin lausekkeessa

on ja , kun . Edelleen alimatriiseille on ensinnäkin ja kun, alimatriisi eroaa alimatriisista vain sen rivin kohdalla, joka on tullut luvulla ker-

rottua. Induktio-oletuksen mukaan on , kun . Siten matriisin B determi-nantin summalausekkeessa on kaikilla . Näin ollen on

, mikä olikin osoitettava. �

25.3 Seuraus. Jos neliömatriisissa on yksikin nollarivi, sen determinantti on nolla.

Todistus. Jos kerromme neliömatriisin nollarivin kaksinkertaiseksi, ei matriisi siitä muutu, mutta pää-lauseen mukaan sen determinantti kaksinkertaistuu. Tämä on mahdollista vain, jos sen determinanttion nolla. �

25.4 Seuraus. Neliömatriisille on kaikilla .

Todistus. Matriisi saadaan matriisista A kertomalla kaikki rivit luvulla . Päälauseen mukaannäistä jokainen kertominen muuttaa determinantin luvulla kerrotuksi. �

25.5 Lause. Jos neliömatriisin kaksi riviä vaihdetaan keskenään, muuttuu sen determinantti vastalu-vuksi, ts. matriisille ( ) on kaikilla , joille .

Todistus. Teemme todistuksen induktiolla matriisin A koon suhteen. Olkoon ensin , jolloin voimme vaihtaa vain ensimmäisen ja toisen rivin keskenään, ts.

voimme olettaa, että ja . Tällöin

,

joten väite pätee tässä tapauksessa. Induktio-oletuksena olkoon sitten, että väite pätee kaikille kokoa oleville matrii-

seille, ja osoitamme sen kokoa oleville matriiseille. Olkoon A –matriisi, ja. Tarkastelemme matriisin B determinantin lausekkeen tuloja .

Indekseille k, joille ja , on ja alimatriisi on saatu alimatriisista kahden rivin vaihdolla. Tällöin induktio-oletuksen mukaan ja näin ollen

. Tarkastelemme sitten alimatriisia . Se saadaan alimatriisista tekemällä rivien-

vaihtoa (matriisin j:s rivi vaihdetaan välissä olevien rivien kanssa vuorotellen i:ksi riviksi). Siten in-duktio-oletuksen mukaan . Toisaalta , joten

.

Vastaavasti voimme osoittaa, että . Kaiken kaikkiaan, kuten pitikin todistaa. �

det M1 � A �a11 �a12

a21 a22�a11a22 a21�a12� � a11a22 a21a12� �det A� � � �

det M2 � A a11 a12

�a21 �a22a11�a22 �a21a12� � a11a22 a21a12� �det A� � � �

n 1� n 1� �

n 2� n n� n n�

1 i n � �� B Mi � A� B bij �

det B b11det B11 b21det B21� 1� n 1� bn1det Bn1� ��

bi1 �ai1� bk1 ak1� k i� Bi1 Ai1�

k i� Bk1 Ak1 �

det Bk1 �det Ak1� k i�

bk1det Bk1 �ak1det Ak1� k 1 n �

det B �det A�

An n� det �A �ndet A� � ��

�A �

�

An n� n 2� det PijA det A�� i j 1 n � i j�

n n�

n 2�

i 1� j 2�

det P12A a21 a22

a11 a12a21a12 a11a22� a11a22 a21a12� � det A��

n 1� n 1� �

n n� n n� 1 i j n

B bij PijA� � 1� k 1� bk1det Bk1k i� k j� bk1 ak1� Bk1 Ak1

det Bk1 det Ak1��

bk1det Bk1 ak1det Ak1��

Bi1 Aj1 j i� 1�

Adet Bi1 1� j i� 1� det Aj1� bi1 aj1�

1� i 1� bi1det Bi1 1� i 1� aj1 1� j i� 1� det Aj1 1� j 1� aj1det Aj1��

1� j 1� bj1det Bj1 1� i 1� ai1det Ai1��

det B det A��


25.6 Seuraus. Jos neliömatriisissa on kaksi samaa riviä, sen determinantti on nolla.

Todistus. Jos vaihdamme neliömatriisin samansuuruiset rivit keskenään, ei matriisi siitä muutu, muttapäälauseen mukaan sen determinantti vaihtuu vastakkaismerkkiseksi. Tämä on mahdollista vain, jossen determinantti on nolla. �

Selvittääksemme, miten kolmas alkeismuunnostyyppi muuttaa matriisin determinanttia,tarvitsemme ensin aputuloksen.

25.7 Apulause. Olkoon neliömatriisi ja matriisi B sellainen, joka saadaan matriisistaA korvaamalla sen ensimmäisen rivin luvut luvuilla . Olkoon edelleen matriisi Csellainen, joka saadaan matriisista A lisäämällä sen ensimmäisen rivin lukuihin luvut

. Tällöin .

Todistus. Todistamme väitteen induktiolla matriisin A koon suhteen. Kun , on

joten väite pätee tässä tapauksessa. Induktio-oletuksena olkoon sitten, että väite pätee kaikille kokoa oleville matrii-

seille, ja osoitamme sen kokoa oleville matriiseille. Olkoon sitä varten A –matriisi. Mat-riisille C on ja , kun ja . Näin ollen .Kun , alimatriisi saadaan alimatriisista lisäämällä sen ensimmäisen rivin lukuihin luvut . Induktio-oletuksen mukaan on tällöin . Täten saamme mat-riisin C determinantiksi

Apulause on todistettu. �

25.8 Lause. Jos neliömatriisissa jonkin rivin reaalikerta lisätään toiseen riviin, sen determinantti eimuutu, ts. neliömatriisille ( ) on kaikilla ja kaikilla

, joille .

Todistus. Jälleen todistamme väitteen induktiolla matriisin A koon suhteen. Tapauksessa käymme ensin läpi tapauksen, jossa ja . Silloin

Tarkoituksellisesti emme lausekkeessa poistaneet lauseketta , vaan myöhempää tar-vetta varten muunsimme sen determinantiksi, jossa on kaksi samaa riviä. Tapauksen ja voimme vuorostaan hoitaa rivinvaihdolla ja lauseen 25.5 käytöllä.

Aij �

An n� aij �

b11 b12 b1n

b11 b12 b1n det C det A det B��

n n� n 2�

a11 b11� a12 b12�

a21 a22a11 b11� a22 a21 a12 b12� �

a11a22 a21a12� b11a22 a21b12� �a11 a12

a21 a22

b11 b12

a21 a22 ,�

�

� �

n 1� n 1� �

n n� n n�

c1j a1j b1j�� ckj akj bkj� � k 1� j 1� C11 A11 B11� �

k 1� Ck1 Ak1 a1jb1j det Ck1 det Ak1 det Bk1��

det C c11det C11 ck1det Ck1k 2�

n

�� a11 b11� det A11 ak1 det Ak1 det Bk1� k 2�

n

��

ak1det Ak1k 1�

n

� bk1det Bk1k 1�

n

�� det A det B� .

� �

� �

An n� n 2� det Aij � A det A� � ��

i j 1 n � i j�

n n�

n 2� i 1� j 2�

det A12 � A a11 a12

a21 �a11� a22 �a12�a11 a22 �a12� a21 �a11� a12�

a11a22 a21a12� � a11a12 a11a12� �

a11 a12

a21 a22�

a11 a12

a11 a12�

a11 a12

a21 a22�0� det A .

� �

�

� � �

a11a12 a11a12�

i 2� j 1�

98 VI DETERMINANTTI

Induktio-oletuksena olkoon sitten, että väite pätee kaikille kokoa oleville matrii-seille (missä ), ja osoitamme sen kokoa oleville matriiseille. Olkoon sitä varten A –matriisi ja – muut indeksiparit voimme hoitaa vastaavasti tai vaihtoehtoisestirivinvaihdoilla ja lauseen 25.5 käytöllä. Tarkastelemme taas matriisin B determinantin lausekkeen tu-loja .

Indeksille on ja . Indekseille on ja ali-matriisi saadaan alimatriisista lisäämällä sen ensimmäisen rivin lukuihin luvut , …,

. Tällöin apulauseen 25.7 ja lauseen 25.2 mukaan on , missä mat-riisi saadaan alimatriisista korvaamalla sen ensimmäisen rivin luvut luvuilla .

Näin ollen

missä matriisi C on saatu matriisista A korvaamalla sen ensimmäinen rivi toisella rivillä. Mutta tällöinmatriisissa C on kaksi samaa riviä, joten seurauksen 25.6 mukaan . Näin ollen

, kuten piti todistaakin. �

25.9 Seuraus. Alkeismatriisien determinantit ovat

, ja .

Todistus. Tulokset saamme soveltamalla lauseita 25.2, 25.5 ja 25.8 matriisiin , kun huomioimmelisäksi sen, että . �

25.10 Esimerkki. Laskemme, että

,

sillä A–muunnos ei muuta determinanttia ja saadussa determinantissa on kaksi samaa riviä. �

25.11 Lause. Jos matriisit ovat samankokoisia alkeismatriiseja ja , on

.

Jos edelleen matriisi A on samankokoinen neliömatriisi, on

.

Todistus. Lauseiden 25.2, 25.5 ja 25.8 sekä seurauksen 25.9 mukaan on kai-kille alkeismatriiseille ja kaikille samankokoisille neliömatriiseille . Lisäksi aina . In-duktiolla saamme tästä väitteet. �

n 1� n 1� �

n 3� n n� n n�

B bij A21 � A� �

bk1det Bk1k 1� b11 a11 �a21�� B11 A11� k 1� bk1 ak1�

Bk1 Ak1 �a22�a2n det Bk1 det Ak1 �det Ck1��

Ck1 Ak1 a22 a2n

det B b11det B11 1� k 1� bk1det Bk1k 2�

n

��

a11 �a21� det A11 1� k 1� ak1 det Ak1 �det Ck1� k 2�

n

��

1� k 1� ak1det Ak1k 1�

n

� � 1� k 1� ck1det Ck1k 1�

n

�� det A �det C ,�

�

�

� �

det C 0�

det B det A�

det Mi � �� det Pij 1�� det Aij � 1�

A I�

det I 1�

3 1� 2 5�

0 5 3� 6�

6� 7 7� 45� 8� 0 9

A13 2

�

3 1� 2 5�

0 5 3� 6�

0 5 3� 6�

5� 8� 0 9

0�

E1 E2 Ek E E1E2Ek�

det E det E1 det E2 det Ek� � � 0��

det EA det E det A��

det EiA det Ei det A��

Ei A det Ei 0�


Determinantti kääntyvyysmittarina

Nyt olemme vihdoin valmiit lausumaan tavoittelemamme kääntyvyyskriteerin neliömatriiseille. Ensinpäättelemme sen yläkolmiomatriiseille.

25.12 Lause. Yläkolmiomatriisin determinantti on lävistäjäalkioiden tulo, ts. jos on ylä-kolmiomatriisi, on . Lisäksi tällainen yläkolmiomatriisi on kääntyvä täsmäl-leen silloin, kun .

Todistus. Jälleen kerran induktiolla matriisin koon suhteen. Todistuksen sivuutamme helpohkona. �

25.13 Lause. Neliömatriisi on kääntyvä täsmälleen silloin, kun sen determinantti eroaa nollasta.

Todistus. Gaussin menetelmän mukaan jokaiselle neliömatriisille A on olemassa sellainen alkeismatrii-sien tulo E, että on yläkolmiomatriisi. Lauseen 25.11 mukaan on ,missä . Näin ollen täsmälleen silloin, kun .

Yhtälössä matriisi E on kääntyvä, joten matriisit A ja U ovat yhtaikaisesti kääntyviä.Kun huomioimme lauseen 25.12 jälkimmäisen tuloksen, saammekin väitteen todennettua. �

25.14 Esimerkki. Esimerkeissä 24.3 ja 24.4 laskimme, että matriisien

ja

determinantit ovat 0 ja –6, vastaavasti. Edellinen matriisi ei siten ole kääntyvä, kun taas jälkimmäinenon kääntyvä. �

Determinantin laskeminen Gaussin menetelmällä

Edellä oleva lause 25.12 on teoreettisesti tärkeä, mutta toisaalta sen todistus antaa myös determinantinmäärittelystä eroavan keinon determinantin laskemiseen. Voimme nimittäin Gaussin menetelmällämuokata annetun neliömatriisin yläkolmiomatriisiksi, jolloin sen determinantti saadaan käytettyjen al-keismatriisien ja yläkolmiomatriisin helposti määrättävien determinanttien avulla.

25.15 Lause. Olkoon neliömatriisi ja matriisi E sellainen alkeismatriisien tulo ,että on yläkolmiomatriisi. Tällöin

.

Todistus. Yhdistämme lauseiden 25.11 ja 25.12 tulokset. �

Isokokoisille matriiseille determinantin laskeminen Gaussin menetelmällä on huomattavasti no-peampaa kuin määritelmän mukaisesti palautuskaavalla. Olemme todenneet, että palautuskaavalla tar-vitsemme yleisessä tilanteessa –determinantteja yhteensä kappaletta. Kun yhden –determinantin laskemiseen tarvitaan kaksi kertolaskua, tarvitaan koko determinantin laskemiseenenimmillään kertolaskua. Tämä määrä kasvaa hyvin nopeasti, kun matriisin kokoa kasvatetaan.

Gaussin menetelmässä ensimmäisen sarakkeen ensimmäistä alkiota alempien lukujen nollaamiseenA-muunnoksella tarvitaan n kertolaskua (joista yksi on jakolasku). Seuraavalla sarakkeella tarvitaan

kertolaskua jne. Matriisin muuntamiseen yläkolmiomatriisiksi tarvitaan näin ollen

Un n� uij �

det U u11u22unn�

det U 0�

EA U� det U det E det A��

det E 0� det A 0� det U 0�

EA U�

A3

1 2 3 0 1 2

1 1 1 � A4

0 1 2 3 1 0 4 5

2 0 1 2 0 1 1 1

�

An n� E E1E2Ek�

EA U uij � �

det A det Udet E---------------

u11u22unndet E1 det E2 det Ek� � �----------------------------------------------------------------------� �

2 2�12---n! 2 2�

n!

n 1�

n n 1� 2� � �12---n n 1� 1��

100 VI DETERMINANTTI

kertolaskua (ks. esimerkki 2.5, s. 9). Saadun yläkolmiomatriisin determinantin laskemiseen tarvitaanvielä kertolaskua. Matriisin determinantin laskemiseen tarvitaan tällä menettelyllä siten kor-keintaan kertolaskua. Kun tietokoneella laskettaessa kertolaskut vievät oleellisesti enemmänaikaa kuin yhteenlaskut, huomaamme, että isoille matriiseille Gaussin menetelmä on huomattavasti no-peampi tapa kuin palautuskaavan käyttö.

25.16 Esimerkki. Esimerkissä 24.4 olemme laskeneet palautuskaavalla matriisin

determinantin. Laskemme sen nyt Gaussin menetelmällä:

�

Alkeismuunnosten käyttö ei muuta determinanttia, mutta muunnokset muuttavat senvastakkaismerkkiseksi. Muunnokset taas kertovat determinantin luvulla . ViimemainittujaM–muunnoksia ei kuitenkaan determinantin laskemisessa välttämättä tarvitse ollenkaan käyttää, sillämatriisit voidaan aina muuntaa porrasmuotoihin PA–muunnoksin. Tällöin neliömatriisin A determi-nantti saadaan lausekkeesta

, missä yläkolmiomatriisi U on PA–muunnoksin saatava porrasmuoto ja p on käytettyjen P–muunnos-ten määrä. Tässä esiintyvät matriisi U ja luku p eivät ole yksikäsitteisiä, mutta tulo onkuitenkin aina sama.

Kun haluamme selvittää neliömatriisin kääntyvyyden, on laskennallisesti edullisinta selvittää seGaussin menetelmällä. Jos saamme matriisin muunnettua yläkolmiomatriisiksi, jonka kaikki lävistäjä-alkiot ovat nollasta eroavia, on matriisi kääntyvä, muutoin epäkääntyvä. Jos tavoitteena on jo alun perinmyös käänteismatriisin etsiminen, kannattaa lähteä heti aluksi laajennetusta kaaviosta . Jossaamme muunnettua sen kerroinmatriisin yläkolmiomatriisiksi, jonka lävistäjällä ei ole nollia, tie-dämme, että käänteismatriisi on olemassa ja voimme sitten jatkaa kaavion muokkaamista aina muotoon

asti.

n 1�12---n2 3

2---n�

A

0 1 2 3 1 0 4 5

2 0 1 2 0 1 1 1

�

det A

0 1 2 31 0 4 52 0 1 20 1 1 1

�

A23 2�

�

P12

1 0 4 50 1 2 30 0 7� 8�

0 1 1 1

�

A24 1�

�

1 0 4 50 1 2 30 0 7� 8�

0 0 1� 2�

�

A43 7�

�

P34

1 0 4 50 1 2 30 0 1� 2�

0 0 0 6

1 1 1� 6� � � 6 .��

Aij � PijMi � �

det A 1� pdet U�

1� pdet U

A I �

I A 1� �

26 TULON JA TRANSPOOSIN DETERMINANTTI 101

26 TULON JA TRANSPOOSIN DETERMINANTTI

Selvitämme, kuinka matriisitulojen determinantit määräytyvät tekijämatriiseista ja toisaalta kuinkatranspoosien determinantit määräytyvät alkuperäisistä matriiseista.

26.1 Lause. Kahden samankokoisen neliömatriisin tulon determinantti on niiden determinanttien tulo,ts. matriiseille ja on .

Todistus. Olkoon ensin . Tällöin lauseen 25.13 mukaan matriisi A ei ole kääntyvä, jolloinmyöskään tulo AB ei voi olla kääntyvä: jos nimittäin olisi , olisi .Näin ollen lauseen 25.13 mukaan myös .

Olkoon sitten , jolloin matriisi A on kääntyvä. Silloin se on lauseen 21.2 mukaan alkeis-matriisien tulo. Lause 25.11 puolestaan ilmaisee, että tällöin . �

Edeltävän lauseen mukaan samankokoisille neliömatriiseille on aina , vaikkayleensä tulot AB ja BA ovat erisuuria matriiseja. Lauseen tuloksen voimme induktiolla yleistää use-ammankin matriisin tulolle. Erityisesti kaikilla .

26.2 Seuraus. Kääntyvälle neliömatriisille on

.

Todistus. Koska , on edellisen lauseen mukaan . �

Transpoosin determinantin määrittämiseksi tarkastelemme ensin alkeismatriisien transpooseja.

26.3 Lause. Jos matriisit ovat samankokoisia alkeismatriiseja ja , on kaikilla ja .

Todistus. Pykälässä 22 olemme todenneet, että alkeismatriisien transpoosit ovat , ja . Seuraus 25.9 huomioiden jokaisella alkeismatriisilla ja sen transpoo-

silla on näin ollen aina sama determinantti. Tuloa E koskeva väite seuraa lauseesta 25.11, kun huomioimme lisäksi tulon transpoosia koskevan

säännön lauseen 22.4 kohdasta (d). �

26.4 Lause. Neliömatriisin transpoosin determinantti on sama kuin itse matriisin determinantti, ts. kaikilla .

Todistus. Olkoon ensin . Tällöin lauseen 25.13 mukaan matriisi A ei ole kääntyvä, jolloinmyöskään transpoosi ei voi olla kääntyvä: muutoin olisi kääntyvä. Näin ollen lau-seen 25.13 mukaan myös .

Olkoon sitten , jolloin matriisi A on kääntyvä. Silloin se on lauseen 21.2 mukaan alkeis-matriisien tulo. Edellisen lauseen 26.3 mukaan tällöin . �

26.5 Esimerkki. Esimerkeissä 24.4 ja 25.16 olemme laskeneet matriisin

determinantin arvoksi –6. Laskemme nyt sen transpoosin determinantin Gaussin menetelmällä:

An n� Bn n� det AB det A det B��

det A 0�

AB AB 1� I� A 1� B AB 1��

det AB 0�

det A 0�

det AB det A det B��

det AB det BA �

det Ak det A k� k 1�

det A 1� 1det A--------------�

A 1� A I� det A 1� det A� det I 1� �

E1 E2 Ek E E1E2Ek�

det EiT det Ei� i 1 k � det ET det E�

Mi � T Mi � �

PijT Pij� Aij � T Aji � �

det AT det A� A An n��

det A 0�

AT A AT T�

det AT 0�

det A 0�

det AT det A�

A

0 1 2 3 1 0 4 5

2 0 1 2 0 1 1 1

�


Tuloksena on siten sama kuin itse matriisin determinantti, kuten pitikin. �

Koska neliömatriisin ja sen transpoosin determinantit ovat samat, saamme tästä eräitä ’peilattuja’tuloksia.

26.6 Lause. Jos neliömatriisissa on nollasarake tai kaksi samaa saraketta, sen determinantti on nolla.

Todistus. Seuraukset 25.6 ja 25.9 sekä lause 26.4.

26.7 Lause. Kolmiomatriisin determinantti on lävistäjäalkioiden tulo, ts. jos on kol-miomatriisi, on . Lisäksi tällainen kolmiomatriisi on kääntyvä täsmälleensilloin, kun .

Todistus. Lauseen 25.12 mukaan väite pätee yläkolmiomatriiseille. Transponoinnilla ja lause 26.4 huo-mioimalla saamme sen voimaan myös alakolmiomatriiseille. �

Kun kerromme neliömatriisin A vasemmalta alkeismatriiseilla, alkeismuunnokset kohdistuvat senriveihin. Jos taas kerromme neliömatriisin A oikealta alkeismatriiseilla, alkeismuunnokset kohdistuvatvuorostaan sen sarakkeisiin. Koska kaikille alkeismatriiseille E on , näemme,että muokattaessa matriisin sarakkeita alkeisoperaatioin muuttuu sen determinantti samoin säännöinkuin rivejä muokattaessa. Yhdistettynä lauseeseen 25.11 saamme seuraavan tuloksen, joka kiteyttää tä-män asian.

26.8 Lause. Olkoon neliömatriisi ja matriisit E ja F sellaisia alkeismatriisien tuloja, että on kolmiomatriisi. Tällöin

.

26.9 Esimerkki. Laskemme alkeismuunnosten avulla seuraavan determinantin (alleviivattu muunnostarkoittaa sarakeoperaatiota):

�

det AT

0 1 2 01 0 0 12 4 1 13 5 2 1

�

A23 2�

A24 3�

�P12

1 0 0 10 1 2 00 4 1 1�

0 5 2 2�

�

A23 4�

�

A24 5�

1 0 0 10 1 2 00 0 7� 1�

0 0 8� 2�

�

A43 1�

�

1 0 0 10 1 2 00 0 1 10 0 8� 2�

�

A34 8

�

1 0 0 10 1 2 00 0 1 10 0 0 6

� 1 1 1 6� � � � 6 .��

Un n� uij �

det U u11u22unn�

det U 0�

det AE detA detE��

An n�

EAF U�

det A det Udet E det F�--------------------------------�

0 5 6 �

1 2 91 6� 1 3� 1 2�

M3 6

�

16---

0 5 6�

1 2 91 2 3

M3 1 3�

�

16--- 3�

0 5 2�

1 2 31 2 1

A23 1�

�

P12

12--- 1� �

1 2 30 5 2�

0 0 2�

12---� 1 5 2� � � � 5 .� � �

27 KEHITYSSÄÄNNÖT 103

27 KEHITYSSÄÄNNÖT

Determinantin määrittelyssä olevassa palautuskaavassa esiintyy alimatriisien determinantteja ensim-mäisen sarakkeen alkioiden suhteen. Yleisesti matriisin A alimatriisien determinantteja sano-taan matriisin tai sen determinantin alideterminanteiksi paikan suhteen. Kun vielä edellä mää-ritellyt alideterminantit varustetaan vuorotellen etumerkeillä, saadaan matriisin tai sen determinantinliittoluvut, komplementit, alitekijät eli kofaktorit paikan suhteen (engl. cofactor):

.

Liittolukuja merkitään myös . Liittoluvuissa oleva etumerkki määräytyy paikansuhteen vuorotellen:

.

Liittolukuja käyttäen determinantin lauseke on tapauksessa muotoa

.

Olemme lauseessa 26.4 todenneet, että neliömatriisin ja sen transpoosin determinantit ovat samat.Koska matriisin ensimmäinen sarake on sen transpoosin ensimmäinen rivi, päättelemme tästä, että

.

Tämän kehityssäännön tarkka todistus tehtäisiin induktiolla, mutta sivuutamme sen tässä. Päättelemme seuraavassa vielä pidemmälle, että determinantti voidaan kehittää muidenkin kuin

ensimmäisen sarakkeen tai rivin suhteen. Olkoot sitä varten , ja matriisi Bsellainen, joka saadaan matriisista A siirtämällä sen j:s sarake ensimmäiseksi ja pitämällä muut sarak-keet alkuperäisessä järjestyksessä. Silloin ja kaikilla . Täten

Toisaalta matriisi B saadaan matriisista A tekemällä peräkkäin sarakkeidenvaihtoa (j:s sarakekuljetetaan aikaisempien sarakkeitten yli ensimmäiseksi), joten . Näin ollen

Matriisin determinantti voidaan siten laskea myös kehittämällä se minkä tahansa sarakkeen suhteen.Huomioimalla sen, että matriisin ja sen transpoosin determinantit ovat samat, voimme induktiolla osoit-taa, että determinantti voidaan laskea myös kehittämällä se minkä tahansa rivin suhteen. Olemme pe-rustelleet seuraavan tuloksen.

27.1 Lause. Matriisin determinantille on

kaikille (kehitys sarakkeen j suhteen) ja

kaikille (kehitys rivin i suhteen).

det Aiji j

i j

Cij Cij A 1� i j� det Aij� �

Cij cof A ij cof aij�

+ – + – + – + – + � � �

n 2�

det A a11C11 a21C21 an1Cn1� � ��

det A a11C11 a12C12 a1nC1n� � ��

An n� aij � 1 j n

bi1 aij� Bi1 Aij� i 1 n �

det B b11 1� 1 1� det B11 bn1 1� n 1� det Bn1� �

a1j 1� 1 1� det A1j anj 1� n 1� det Anj .� �

�

�

j 1�

det B 1� j 1� det A�

det A 1� j 1� det B

a1j 1� 1 j� det A1j anj 1� n j� det Anj� �

a1jC1j anjCnj .� �

�

�

�

An n� aij �

det A a1jC1j anjCnj� �� j 1 n �

det A ai1Ci1 ainCin� �� i 1 n �


27.2 Esimerkki. Laskemme esimerkin 24.3 matriisin

determinantin kehittämällä se toisen rivin suhteen:

Tulos on sama kuin esimerkissä 24.3. �

27.3 Esimerkki. Esimerkissä 24.4 olemme laskeneet matriisin

determinantin palautuskaavalla ensimmäisen sarakkeen suhteen (ja esimerkeissä 25.16 ja 26.5 Gaussinmenetelmällä). Laskemme nyt sen kehittämällä ensin kolmannen rivin suhteen ja sitten kaikki kehittä-misessä saadut alideterminantit toisen rivin suhteen:

Tulos on sama kuin aikaisemminkin saamamme. �

28 DETERMINANTIN MULTILINEAARISUUS

Merkitsemme avaruuden vektoreille (joita on täsmälleen n kappaletta), että niidendeterminantti on

,

missä matriisin A sarakevektoreina ovat vektorit , ts. kaikilla . Tie-dämme aikaisemmasta, että neliömatriisi on kääntyvä täsmälleen silloin, kun sen determinantti eroaanollasta tai kun sen sarakevektorit ovat lineaarisesti riippumattomat. Tätä voimme käyttää annettujenvektorien lineaarisen riippumattomuuden selvittämiseen silloin, kun niitä on täsmälleen dimension ver-ran.

A1 2 3 0 1 2

1 1 1 �

detA1 2 30 1 21 1 1

a21detA21� a22detA22 a23detA23��

0� 2 31 1

� 1 1 31 1

� 2 1 21 1

��

0 1 1� 1 3�� 2 1 1� 1 2�� 2� 2� 0 .� � �

A

0 1 2 3 1 0 4 5

2 0 1 2 0 1 1 1

�

detA

0 1 2 31 0 4 52 0 1 20 1 1 1

21 2 30 4 51 1 1

� 0� 10 1 31 0 50 1 1

� 20 1 21 0 40 1 1

��

2 4 1 31 1

� 5 1 21 1

�� 1� 1 31 1

� 5 0 10 1

�� 2 1� 1 21 1

� 4 0 10 1

��

8 1 3� 10 1 2� � 1 3� � 5 0 0� � 2 1 2� 8 0 0� � � 6� .� �

�n v1 v2 vn

det v1 v2 vn det A�

v1 v2 vn aj vj� j 1 n �

28 DETERMINANTIN MULTILINEAARISUUS 105

28.1 Esimerkki. Selvitämme, muodostavatko vektorit , ja avaruuden kannan. Koska niitä on täsmälleen dimension verran, riittää selvittää

niiden lineaarinen riippumattomuus. Teemme sen determinantin avulla. Merkitsemme seuraavassa al-keisoperaation kirjaimen alaviivalla, jos se kohdistuu rivien sijasta sarakkeisiin.

Koska determinantiksi saimme nollan, annetut vektorit ovat lineaarisesti riippuvat eivätkä näin ollenmuodosta avaruuden kantaa. �

28.2 Lause. Avaruuden vektorien determinantille pätevät seu-raavat:

(a) Se on multilineaarinen (tai monilineaarinen) eli se on lineaarinen jokaisen muuttujavektorinsasuhteen erikseen.

(b) Se on vuorotteleva eli alternoiva: jos kaksi muuttujavektoria vaihdetaan keskenään, determi-nantti muuttuu vastakkaismerkkiseksi.

(c) Se on siten normitettu, että luonnollisen kannan vektoreiden determinantti on yksi, ts..

Todistus. Kohta (a) tarkoittaa, että lineaarisuus pätee yhden muuttujavektorin suhteen, kun muut vek-torit pidetään muuttumattomina. Esimerkiksi ensimmäisen muuttujavektorin suhteen on

(a1) ja

(a2)

kaikille vektoreille ja reaaliluvuille . Kohta (b) tarkoittaa samaa kuin mitä aikaisemman mukaan matriisin rivivektoreille pätee. Esimer-

kiksi kaikille vektoreille . Itse todistuksen osalta muut kohdat kuin (a1) seuraavat matriisin determinantin ominaisuuksista.

Kohdan (a1) todistus tapauksessa on suoraviivainen harjoitustehtävä ja yleinen tapaus todiste-taan induktiolla. Apulauseessa 25.7 vastaava todistus on tehty ensimmäisen rivivektorin suhteen. Si-vuutamme todistuksen kuitenkin tässä. �

Neliömatriisin determinantti voidaan määritellä monella tavoin. Seuraavassa on neljä tapaa, joistaosan olemme jo todenneet keskenään yhtäpitäviksi. Tarkemmat tarkastelut ohitamme kuitenkin tässä.

28.3 Lause. Seuraavat neliömatriisin A determinantin määrittelytavat ovat keskenään yhtäpitävät:

(G) Gaussin muunnoksesta saatava (ks. pykälä 25)

, missä yläkolmiomatriisi U on PA–muunnoksin saatava porrasmuoto, on matriisin lävistäjäalkioiden tulo ja p on käytettyjen P–muunnosten määrä.

(K) Kaikki kehityssäännöillä määritellyt (ks. lause 27.1):

kaikille ja

kaikille .

v1 5 7� 9 � v2 3� 3 5� �

v3 2 7� 5 � �3

det v1 v2 v3 5 3� 27� 3 7�

9 5� 5�

A32 1

�

5 1� 27� 4� 7�

9 0 5

A12 4�

�

5 1� 227� 0 15�

9 0 5

1� 1 2� 1� 27� 15�

9 527� 5� 9 15� �� 0 .� � �

�3

�n v1 v2 vn det v1 v2 vn

det e1 e2 en 1�

det u1 v1� v2 vn det u1 v2 vn det v1 v2 vn ��

det �v1 v2 vn �det v1 v2 vn �

u1 v1 v2 vn �

det v2 v1 v3 vn det v1 v2 vn �� v1 v2 vn

n 2�

det A 1� pdet U�

det U U

det A a1jC1j anjCnj� �� j 1 n �

det A ai1Ci1 ainCin� �� i 1 n �


(M) Sarakevektorien alternoivan ja normitetun multilineaarikuvauksen arvo (ks. lause 28.2):

.

(P) Merkkipermutoitu alkiotulojen summa:

,

missä permutaatiot ovat indeksien erilaiset järjestykset ja , kun saadaan alkuperäisestä järjestyksestä p:llä kahden indeksin vaihdolla.

Määrittelyt (M) ja (P) ovat teoreettiset, kun taas (G) ja (K) ovat laskennallisia. Kuten todettu (ks. s. 99),isoille matriiseille näistä (G) on laskennallisesti tehokkaampi. Määrittelyn (P) käsittelyn sivuutammetässä esityksessä kokonaan (ks. esimerkiksi [Purmonen 2009] tai [Lang 1987]).

Lineaarikuvauksen determinantti

Olkoon lineaarikuvaus ja sitä vastaava neliömatriisi. Matriisin A deter-minanttia sanotaan myös lineaarikuvauksen L determinantiksi . Tällöin

,

missä on avaruuden luonnollinen kanta. On mahdollista osoittaa, että lineaariku-vauksen determinantti ei riipu kannan valinnasta, mutta sen perustelun sivuutamme tässä. Geometri-sesti lineaarikuvauksen determinantti ilmaisee yleistettyjen tilavuuksien muunnossuhteen silloin, kunse kuvaa yksikkökuution suuntaissärmiöksi. Yksikkökuution, jonka samasta kärjestä lähtevinä särminäovat kantavektorit, tilavuus on yksi ja sen kuvana oleva suuntaissärmiö on surkastunut, jos .Negatiivinen muunnossuhde tarkoittaa mielikuvallisesti, että parillinen määrä kuvavektoreita on vaih-tanut järjestystä (esimerkiksi peilautunut toisikseen) lähtötilanteeseen verrattuna.

29 LIITTOMATRIISI

Neliömatriisin determinantin kehityssäännön mukaan

kaikille . Saadut summat voimme tulkita erään matriisitulon eräiksi alkioiksi. Muodos-tamme sitä varten liittoluvuista ns. liittomatriisin eli adjungoidun matriisin (engl. adjoint matrix)

,

jolloin kaikilla . Tällöin tulon lävistäjäalkiot ovat

.

Osoittautuu, että tässä matriisitulossa muut kuin lävistäjäalkiot ovat nollia.

29.1 Lause. Neliömatriisille A on .

Todistus. Edellä totesimmekin, että . Olkoon sitten . Silloin

.

det A det a1 a2 an �

det A sign � a� 1 1 a� 2 2 a� n n�

��

� 1 n sign � 1� p�

�

L : �n �n A Mat L �

det L

det L det Le1 Le2 Len �

e1 e2 en �n

det L 0�

A

det A a1jC1j anjCnj� � ai1Ci1 ainCin� �

akjCkjk 1�

n

� aikCikk 1�

n

�

� �

� �

i j 1 n �

Cij

A adj A Cij T� �

A ij Cji� i j 1 n � AA

AA ii aik A kik 1�

n

� aikCikk 1�

n

� det A� � �

AA det A I��

AA ii det A det A I� ii� � i j�

AA ij aikCjkk 1�

n

��

29 LIITTOMATRIISI 107

Tämä summa on itse asiassa sellaisen matriisin B determinantti, joka saadaan matriisista A korvaa-malla rivi j rivillä i. Koska silloin matriisissa B on kaksi samaa riviä, on . Niinpä saamme,että , kun . Olemme todistaneet lauseen väitteen. �

29.2 Seuraus. Kääntyvälle neliömatriisille A on

.

Todistus. Osoitamme, että matriisin A ja väitetyn käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi:

. �

29.3 Esimerkki. Yleinen –matriisi

on kääntyvä, kun . Tällöin

Tämä käänteismatriisin lauseke on helpohko muistaakin. Varoituksena mainittakoon kuitenkin, ettäisompikokoisille matriiseille ei ole olemassa mitään vastaavaa helposti muistettavaa käänteismatriisinyleistä muotoa. �


liittoluvut ovat seuraavat:

, , ,

, , ,

, , .

Lisäksi , joten

.

Tulos on sama kuin esimerkissä 20.4. �

Kuten determinantti, myös käänteismatriisi on isoille matriiseille oleellisesti nopeampi laskea GJ–menetelmällä kuin liittolukujen avulla. Voidaankin osoittaa, että –matriisin käänteismatriisin las-keminen liittolukujen avulla vaatii enimmillään kertolaskua, kun sen laskeminen Gaussin menetel-mällä vaatii korkeintaan kertolaskua.

det B 0�

AA ij 0 det A I� ij� � i j�

A 1� 1det A-------------- A�

A 1det A--------------A 1

det A--------------AA 1

det A-------------- det A I� � I� � �

2 2�

Aa11 a12

a21 a22�

det A a11a22 a21a12� 0��

A 1� 1det A--------------

C11 C12

C21 C22

T1

a11a22 a21a12�---------------------------------------

a22 a21�

a12� a11

T

1a11a22 a21a12�---------------------------------------

a22 a12�

a21� a11 .

� �

�

A0 1 1 1� 0 1 1 1� 1 �

�

C11 + 0 11� 1�

1� � C121� 11 1�

� 0� � C13 + 1� 01 1�

1� �

C211 11� 1�

� 0� � C22 + 0 11 1�

1�� C230 11 1�

� 1� �

C31 + 1 10 1

1� � C320 11� 1

� 1�� C33 + 0 11� 0

1� �

det A a11C11 a12C12 a13C13� � 0 1� 1 0� 1 1�� 1� � �

A 1� 1det A--------------A 1

1---

1 0 1 0 1� 1

1 1� 1

T 1 0 1 0 1� 1 �

1 1 1 � � �

n n�

n!13---n3 2

3---n�


30 BIJEKTIOT JA ALKEISKUVAUKSET

Bijektion karakterisointeja

Pykälässä 20 teimme yhteenvedon neliömatriisin kääntyvyysehdoista. Sen jälkeen kääntyvyydelle ontullut muutamia kriteereitä lisääkin. Teemmekin nyt uuden ja laajemman yhteenvedon, johon lisäämmemyös vastaavaa lineaarikuvausta koskevat yhtäpitävät ehdot. Suurimman osan yhtäpitävyyksistäolemme todistaneet jo aikaisemmin sellaisenaan, loput yhtäpitävyyksistä ovat perusteltavissa yhdistä-mällä aikaisempia tuloksiamme.

30.1 Lause. Lineaarikuvaukselle ja sitä vastaavalle matriisille kaikkiseuraavat ovat keskenään yhtäpitäviä väitteitä:

(1) Lineaarikuvaus L on bijektio.

(2) Lineaarikuvaus L on injektio.

(3) Lineaarikuvauksen L ydin on nolla-avaruus eli .

(4) Lineaarikuvaus L on surjektio eli .

(5) Lineaarikuvaus L kuvaa kannan kannaksi eli se on ns. kannanvaihtokuvaus.

(6) Matriisi A on kääntyvä.

(7) Matriisiyhtälö toteutuu jollekin matriisille .

(8) Matriisiyhtälö toteutuu jollekin matriisille .

(9) Matriisilla A on porrasmuoto, jossa kaikki lävistäjäalkiot ovat nollasta eroavia.

(10) Matriisi A voidaan rivioperaatioin muuntaa yksikkömatriisiksi.

(11) Matriisin A sarakevektorit ovat lineaarisesti riippumattomat.

(12) Yhtälöllä on vain ratkaisu .

(13) Matriisin A sarakevektorit virittävät koko avaruuden eli .

(14) Yhtälöllä on kaikilla ratkaisu .

(15) Matriisin A transpoosi on kääntyvä.

(16) Matriisi A on alkeismatriisien tulo.

(17) .

(18) Matriisin A liittomatriisi on kääntyvä.

Alkeiskuvaukset ja bijektio

Tarkastelemme vielä geometrisesti, millaiset lineaarikuvaukset vastaavat alkeismatriiseja , ja. Käytämme näistä vastaavista alkeiskuvauksista samoja merkintöjä. Näistä kuvaus

kertoo vain vektorin i:nnen komponentin luvulla , ts. se on i:nnen koordinaattiakselin skaa-laus. Kuvaus taas vain vaihtaa komponentit i ja j keskenään, ts. se on peilaus ij–tasossa. Lopuksikuvaus lisää j:nteen komponenttiin i:nnen komponentin luvulla kerrottuna, ts. se muuntaakantavektorin vektoriksi . Se on siten ij–tasossa vinoutus i:nnen akselin suuntaan. Seu-raavassa kuvassa on kuvattu näitä kuvauksia graafisesti.

L : �n �n An n� Mat L �

Ker L 0 �

Im L �n�

AB I� Bn n�

CA I� Cn n�

Ax 0� x 0�

a1 a2 an �n�

Ax b� b �n� x �n�

AT

det A 0�

A

Mi � PijAij � Mi �

x �n� �

PijAij � �

ej ej �ei�

30 BIJEKTIOT JA ALKEISKUVAUKSET 109

Koska kääntyvät matriisit ovat täsmälleen niitä, jotka ovat alkeismatriisien tuloja, ovat bijektiot yllämainittujen alkeiskuvausten eli skaalauksien, peilauksien ja vinoutusten yhdistettyjä kuvauksia.

Millaisia kuvauksia pitää sitten lisätä ’rakennuspalikoiksi’, jos lineaarikuvaus ei ole bijektio? Vas-taus on, että vain projektioita. Tämän perustelemme kuitenkin vasta pykälässä 32.

iei �ei ei

ej

ei

ej

�ei

ej �� ei

Skaalaus Peilaus Vinoutus

j

i i

j

110

VII ORTOGONAALISUUS

Tässä luvussa palaamme vektoriavaruuden geometriaan ja yleistämme kohtisuoruuden käsitteen ali-avaruuksille. Tarkastelemme myös, millaiset kuvaukset säilyttävät kohtisuoruuden, ja vastaamme sii-hen kysymykseen myös matriisien avulla.

31 KOHTISUORUUS JA KANTA

Kertaamme ensin vektorien pituuden ja kulman mittaamiseen liittyvät perusasiat pykälästä 5. Avaruu-den vektorit x ja y ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ( ), jos niiden sisätulo on nolla eli

.

Vektorin x pituus on

ja vektorien x ja y välisen kulman saamme ehdosta

( ).

Yleistämme kohtisuoruuden useammalle kuin kahdelle vektorille seuraavasti. Avaruuden vek-torit ovat (keskenään) ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos ainakun . Jos ne kaikki ovat lisäksi yksikkövektoreita, ne ovat ortonormaalit vektorit. Luonnollisenkannan vektorit ovat sekä ortogonaaliset että ortonormaalit.

31.1 Lause. Avaruuden nollasta eroavat ortogonaaliset vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat.

Todistus. Olkoot vektorit ortogonaaliset ja kaikilla . Olkoon edelleenjokin niiden lineaarikombinaatio nolla:

.

Tällöin jokaisella indeksillä on

Koska , on oltava . Tämä todistaa lineaarisen riippumattomuuden. �

Koska keskenään ortogonaaliset nollasta eroavat vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat, niitävoi olla korkeintaan avaruuden dimension verran. Ortonormaalit vektorit ovat aina nollasta eroavia, jo-ten sellaiset ovat aina lineaarisesti riippumattomat.

Sanomme luontevasti, että aliavaruuden kanta on ortogonaalinen tai ortonormaali, jos sen kanta-vektorit ovat ortogonaaliset tai ortonormaalit.

31.2 Esimerkki. Avaruuden luonnollinen kanta on ortonormaali kanta. Tasossa vektorit

ja

muodostavat myös ortonormaalin kannan. �

�n x y

x y� x1y1 x2y2 xnyn� � � 0� �

x x12 x2

2 xn2� � � x x� 1 2/

� �

�

�cos x y� x y

-----------------� 0 � � 180��

�n

v1 v2 vk vi vj

i j�

�n

v1 v2 vk vi 0� i 1 k �

�1v1 �2v2 �kvk� � � 0�

i 1 k �

0 vi 0� vi �1v1 �2v2 �kvk� � ��

�1 vi v1� �i vi vi� �k vi vk� � � � �

0 �i vi vi� 0� � � � �i vi .

� �

�

� �

vi 0� �i 0�

�n �2

v112

------- 1 1 � v212

------- 1� 1 �

31 KOHTISUORUUS JA KANTA 111

31.3 Lause. Olkoot avaruuden vektorit , , …, ortonormaalit vektorit ja niiden virittämä aliavaruus. Tällöin kaikille vektoreille pätevät seu-

raavat:

(a) ,

(b) ja

(c) (Parsevalin yhtälö).

Todistus. (a) Vektorien ortonormaaliuden perusteella on , kun , ja. Kun sitten , on kaikille

, joten

.

(b) Edellisen kohdan merkinnöin on

(c) Kun lisäksi myös , silläkin on esitys

ja siten

Olemme todistaneet lauseen väittämät. �

Edellä olevassa lauseessa annetut vektorit muodostavat aliavaruuden V ortonormaa-lin kannan ja .

31.4 Esimerkki. Tarkastelemme avaruuden vektoreita

ja .

Ne ovat keskenään ortogonaaliset yksikkövektorit, joten ne muodostavat koko avaruuden ortonor-maalin kannan. Tällöin kaikille vektoreille on

�

�n v1 v2 vkV v1 v2 vk � x y V�

x x vi� vii 1�

k

��

x 2 x vi� 2

i 1�

k

��

x y� x vi� y vi� i 1�

k

��

v1 v2 vk vi vj� 0� i j�

vi vi� 1� x �1v1 �2v2 �kvk� � � V�� x vi� �i vi vi� �i� �

i 1 k �

x x v1� v1 x v2� v2 x vk� vk� � ��

x 2 x x� �1v1 �kvk � � �1v1 �kvk� ��

�12 v1 v1� �k

2 vk vk� � � �12 �k

2� � x v1� 2 x vk� 2 .� �

� �

� � �

y V�

y y v1� v1 y v2� v2 y vk� vk� � ��

x y� x v1� v1 x vk� vk � � y v1� v1 y vk� vk� ��

x v1� y v1� v1 v1� x vk� y vk� vk vk� � �

x v1� y v1� x vk� y vk� .� �

�

�

�

v1 v2 vk 1 k dim V� n

�2

v112

------- 1 1 � v212

------- 1� 1 �

�2

x x1 x2 �

x x v1� v1 x v2� v2�

12

------- x1 x2� 12

------- 1 1 12

------- x1� x2� 12

------- 1� 1 �

12--- x1 x2� 1 1 1

2--- x1� x2� 1� 1 .�

�

�

�

112 VII ORTOGONAALISUUS

32 ORTOGONAALIKOMPLEMENTTI JA -PROJEKTIO

Tarkastelemme nyt, milloin vektorit ovat kohtisuorassa kokonaisia aliavaruuksia eli kaikkia sen vekto-reita vastaan. Avaruuden aliavaruuden V ortogonaalikomplementti (kohtisuora aliavaruus) on

. Osoitamme ensin, että se on avaruuden aliavaruus. Ainakin se sisältää nollavektorin. Jos sitten

, kaikilla on

, joten . Toisaalta, jos ja , kaikilla on

, joten myös . Näin ollen on aliavaruus.

Triviaalit aliavaruudet ovat toistensa ortogonaalikomplementit: ja .

32.1 Esimerkki. Osoitamme, että tasossa on . Ensiksikin, jos

ja , on . Siten . Toiseksi, jos , on

,

jolloin . �

Pykälässä 5 olemme selvittäneet, että avaruudessa vektorin projektio vektorille (tai tar-kemmin sen suuntaiselle origosuoralle) on

,

missä on vektorin x suuntainen yksikkövektori. Jokaisella vektorilla on tällöin esitys

,

missä ja . Yleistämme tämän projisoinnin nyt useampiulotteisille ali-avaruuksille.

Olkoot vektorit avaruuden ortonormaalit vektorit ja niidenvirittämä aliavaruus. Tällöin avaruuden (ortogonaali)projektio aliavaruudelle V on lineaariku-vaus , jolle

kaikilla .

Tällöin vektori on vektorin projektio aliavaruudelle V. Tämän nimityksen oikeutus näkyy seu-raavasta. Ensiksikin lineaarisuus seuraa lausekemuodosta. Kun sitten valitsemme , kai-killa on lauseen 31.3 mukaan

ja edelleen saman lauseen mukaan

Siten . Tällöin erityisesti vektorilla on esitys summana , missä ja .

�n

V x �n� x v� 0 kaikilla v V��

�n

x y V� v V�

x y� v� x v� y v� � 0 0� 0� � �

x y V�� x V� v V�

�x v� � x v� �0 0� � �

�x V� V

0 �n� �n 0 �

�2 1 1 1 1� �

y � 1 1� �� x � � 1 1 ��

y x� � �� 0� � y 1 1 � y y1 y2 1 1 ��

0 y 1 1 � y1 y2��

y y1 y1� y1 1 1� 1 1� ��

�n y x

Pxy y ex� exy x� x 2

---------------x� �

ex y

y Pxy z��

Pxy x � z y Pxy� x �

v1 v2 vk �n V v1 v2 vk �

�n

PV : �n V

PVx x vi� vii 1�

k

�� x �n�

PVx xz x PVx��

u V�

u u vi� vii 1�

k

��

z u� x u� PVx u� � x vi� u vi� i 1�

k

� x vi� u vi� i 1�

k

�� 0 .� � �

z V� x �n� x PVx z�� PVx V�

z V�

32 ORTOGONAALIKOMPLEMENTTI JA -PROJEKTIO 113

Koska tämä on voimassa kaikille avaruuden vektoreille, merkitsemme, että

. Lisäksi on , sillä jos , on eli , jolloin .

Edellä olemme tarkastelleet ortonormaalien vektoreiden virittämää aliavaruutta, jolloin kyseisetvektorit muodostavat tämän aliavaruuden ortonormaalin kannan. Nyt selvitämme kääntäen, onko an-netulla aliavaruudella ortonormaalia kantaa.

32.2 Lause. Jokaisella avaruuden aliavaruudella, joka ei ole nolla-avaruus, on ortonormaali kanta.

Todistus. Olkoon avaruuden aliavaruus ja . Jos ja , muo-dostaa normitettu vektori aliavaruuden V ortonormaalin kannan.

Oletamme induktio-oletuksena, että väite pätee kaikille k–ulotteisille aliavaruuksille, missä, ja osoitamme väitteen –ulotteisille aliavaruuksille.

Olkoon sitä varten , missä vektorit muodostavat sen jon-kin kannan. Silloin aliavaruus on k–ulotteinen aliavaruus, joten induktio-oletuk-sen mukaan sillä on jokin ortonormaali kanta . Projisoimme nyt vektorin aliava-ruudelle W ja valitsemme

ja .

Silloin , ja . Lisäksi

,

sillä ehdon perusteella vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat ja niitäon aliavaruuden V dimension verran. Näin ollen muodostaa aliavaruuden V or-tonormaalin kannan. �

32.3 Seuraus. Avaruuden aliavaruudelle V pätevät seuraavat:

(a) .

(b) .

(c) .

Todistus. Kohta (a) on todettu edellä. (b) Jos , on ja . Jos , aliavaruudella V on ortonor-

maali kanta ja jokaiselle on

.

Näin ollen . (c) Triviaaleille aliavaruuksille väite pätee. Muissa tilanteissa aliavaruuksilla V ja on kum-

mallakin ortonormaali kanta. Kun yhdistämme ne, kaikki vektorit säilyvät kohdan (a) ja kohtisuoruu-den perusteella lineaarisesti riippumattomina ja kohdan (b) perusteella ne muodostavat koko avaruu-den ortonormaalin kannan. �

Kun on avaruuden aliavaruus, jolloin , edellisen lauseen mukaan jo-kaisella on esitys , missä ja . Projektiovektori

on se aliavaruuden V vektori, joka on lähinnä vektoria x. Jos nimittäin on mieli-valtainen aliavaruuden V vektori, on

, missä . Näin ollen Pythagoraan lauseen 5.5 (s. 24) mukaan on

�n V V� x y �n�� x V ja y V��

V V� 0 � x V V�� x x x x� 0� x 0�

�n

V 0 � �n k dim V� k 1� V u1 �

v1 1 u1� u1�

1 k n k 1� V u1 u2 uk 1� � u1 u2 uk 1�

W u1 u2 uk �

v1 v2 vk uk 1�

v�k 1� uk 1� PWuk 1�� vk 1�

v�k 1�

v�k 1�

-------------------�

vk 1� V� vk 1� W� vk 1� 1�

v1 v2 vk 1� W vk 1� � V� �

vk 1� W� v1 v2 vk 1� v1 v2 vk 1�

�n

V V� 0 �

V V� �n�

dim V dim V� n�

V 0 � V �n� V V� �n� V 0 �

x �n�

x PVx x PVx� � V V��

V V� �n�

V

�n

V 0 � �n V V� �n�

x �n� x v w�� v PVx V�� w x PVx� V��

v PVx� v� V�

x v�� x v� v v�� w v v��

w v v��


. Avaruuden vektorin x etäisyyden aliavaruudesta V määrittelemmekin vektorin pituu-deksi, ts.

.

Hypertaso ja normaalivektori

Avaruuden hypertasot ovat sen –ulotteisia affiineja aliavaruuksia, jolloin ne ovat muotoa, missä aliavaruuden V dimensio on . Tällöin seurauksen 32.3 mukaan

, joten jollekin vektorille , .Tällöin

.

Vektorin a nollasta eroavia reaalikertoja sanotaan aliavaruuden V normaalivektoreiksi, koska ne ovatkohtisuorassa kaikkia aliavaruuden V vektoreita vastaan. Näin ollen –ulotteiset aliavaruudetovat muotoa

joillekin luvuille , joista ainakin yksi on nollasta eroava. Tällaiset aliavaruudet ovatmyös lineaarikuvausten , ytimiä, ts. .

Hypertasolle T pätee siten, että

. Näin ollen avaruuden hypertasot ovat muotoa (kun merkitsemme yllä )

.

Hypertasot ovat siten lineaaristen yhtälöiden ratkaisujoukkoja.

Matriisin ja transpoosin asteet

Tarkastelemme matriisia ja sen transpoosia sekä näitä vastaavia lineaarikuvauksia ja . Miten kuvaukset ja riippuvat toisis-

taan? Tarkastelemme apuna matriisituloja , missä ja , molemmat sarakevekto-

reiksi tulkittuna. Tällöin tulo on kokoa , siis pelkkä luku. Niinpä se on transpoosinsa,joten lauseessa 22.4 olevan tulon transpoosin säännön mukaan on

. Kun muistamme, että tulot voimme esimerkin 22.3 mukaan tulkita sisätuloiksi , ja siir-rymme samalla lineaarikuvausten käyttöön, saamme tulokseksi, että kaikilla

ja . Tämä ehto sitoo lineaarikuvauksen ja sen transpoosin eli adjungaatin toi-siinsa. Matriisivastaavuuden perusteella on selvää, että .

32.4 Lause. Lineaarikuvauksille ja on ja.

Todistus. Symmetrian takia riittää osoittaa ensimmäinen väite. Kun ja on täsmälleen silloin, kun . Toisin sanoen täsmälleen silloin,kun eli . �

x v�� 2 w 2 v v�� 2� w 2� x v� 2� �

�n x PVx�

d d x V x PVx��

�n n 1� T u V�� n 1�

dim V n n 1� � 1� � V a � a a1 a2 an �n�� a 0�

x V � a x� 0 a1x1 a2x2 anxn� � � 0��

n 1�

V x1 x2 xn �n� a1x1 a2x2 anxn� � � 0� � �

a1 a2 an ��

L : �n � Lx a1x1 a2x2 anxn� � �� V Ker L �

x T � a x u�� 0 � a x� a u� �

�n a u� b�

T x1 x2 xn �n� a1x1 a2x2 anxn� � � b� � �

Am n� An m�T

L Lin A : �n �m� LT Lin AT : �m �n� L LT

yTAx x �n� y �m�

yTAx 1 1�

yTAx yTAx T xTATy� �

yTx y x� y Lx� LTy x� �

x �n� y �m� L LT

LT T L�

L : �n �m LT : �m �n Im L Ker LT �

Im LT Ker L �

LT T L� x �n� y �m�

y Lx� 0� LTy x� 0� y Im L �

LTy 0� y Ker LT �

33 GRAMIN JA SCHMIDTIN MENETELMÄ 115

32.5 Lause. Lineaarikuvaukselle on eli .

Todistus. Seurauksen 32.3 ja edellisen lauseen mukaan on

. Toisaalta dimensiolauseen mukaan on

. Yhdistämällä nämä yhtälöt saamme väitteen. �

32.6 Seuraus. Jokaiselle matriisille on .

Koska matriisin sarakkeet ovat matriisin A rivejä, astetta sanotaan joskus matriisinA rivirangiksi erotukseksi määrittelemästämme (sarake)rangista, mutta tuloksemme mukaan niidenarvot eivät eroa toisistaan. Erityisesti matriisin ranki ei voi ylittää rivien eikä sarakkeiden määrää, ts.

.

Lineaarikuvausten yleinen rakenne

Pykälässä 30 osoitimme, että bijektiot ovat alkeiskuvausten eli skaalauksien, peilauksien ja vinoutustenyhdistettyjä kuvauksia, ja ennustimme, että muiden kuin bijektioiden muodostamiseen tarvitaan lisäksivain projektioita. Perustelemme tämän seuraavassa.

Jos lineaarikuvaus ei ole bijektio, sen ydin eroaa nolla-avaruudesta jaedelleen . Tällöin jokaisella on yksikäsitteinen esitys , missä ja

. Silloin . Olkoon rajoittumakuvaus aliavaruuteen .Tälle lineaarikuvaukselle on , joten se on injektio. Lisäksi kai-killa , joten . Näin ollen kuvaus on bijektio. Toisaalta

, joten

kaikilla .

Näin ollen kuvaus L on yhdistetty kuvaus , missä on bijektio ja on projektio.Kaiken kaikkiaan lineaarikuvaus L on projektion ja alkeiskuvausten yhdistetty kuvaus.

33 GRAMIN JA SCHMIDTIN MENETELMÄ

Lauseen 32.2 todistuksesta saamme algoritmisen menettelyn aliavaruuden ortonormaalin kannan mää-räämiseksi.

33.1. Gramin ja Schmidtin menetelmä. Olkoon V avaruuden aliavaruus ja jokinsen kanta. Aliavaruudelle V voimme muodostaa ortonormaalin kannan seuraavasti:

(1) Valitsemme

,

jolloin .

(2) Valitsemme (jos )

ja .

Silloin vektorit ja ovat ortonormaalit sekä .

L : �n �m dim Im L dim Im LT � rank L rank LT�

dim Im L m dim Im L � m dim Ker LT ��

dim Ker LT dim Im LT � m�

Am n� rank A rank AT�

AT rank AT

rank Am n� min m n

L : �n �m K Ker L �

K �n� x �n� x y z�� y K�

z K� Lx Ly Lz� Lz� � L� LK

� K

Ker L� K K� 0 � � L�z Lz�

z K� Im L� Im L � L� : K Im L PKx z�

Lx Lz L�z L�PKx� � � x �n�

L L�PK� L� PK

�n u1 u2 uk

v1u1u1

----------�

v1 u1 �

k 2�

v�2 u2 u2 v1� v1� u2 P v1 u2�� v2v�2v�2

-----------�

v1 v2 v1 v2 u1 u2 �


(3) Kun aliavaruudelle , missä , olemme muodostaneet ortonormaalinkannan , valitsemme

ja .

Silloin vektorit ovat ortonormaalit ja .

(4) Tällä tavalla jatkamme, kunnes .

Gramin ja Schmidtin menetelmällä voimme muodostaa mistä tahansa lineaarisesti riippumattomas-ta vektorijoukosta ortonormaalin vektorijoukon, joka virittää täsmälleen saman aliavaruuden. Vielä eri-tyisemmin menetelmässä kaikki vaiheittain viritetyt aliavaruudet pysyvät samoina jokaisen uuden vek-torin muodostamisen jälkeen, tarkoittaen sitä, että yllä olevin merkinnöin ai-na, kun .

33.2 Esimerkki. Määräämme avaruuden projektiokuvauksen aliavaruudelle ,missä ja . Jotta voimme muodostaa projektiokuvauksen lausekkeen, tar-vitsemme ensin aliavaruuteen V ortonormaalin kannan. Muodostamme sen Gramin ja Schmidtin me-netelmällä.

Koska , valitsemme . Sisätulon avulla saamme apuvektorin

.

Valitsemme sitten

.

Tuloksena on, että , missä on ortonormaali kanta. Seuraavaksi selvitämme kysytyn projektion lausekkeen. Kun , lauseen 31.3

mukaan on

Esimerkiksi . Lisäksi vektorin etäisyys aliavaruudesta V on

�

Uj u1 uj � 1 j k

v1 vj

v�j 1� uj 1� PUjuj 1�� vj 1�

v�j 1�

v�j 1�

------------------�

v1 vj 1� v1 vj 1� u1 uj 1� �

v1 vk u1 uk V� �

v1 vl u1 ul �

1 l k

�3 PV V u1 u2 �

u1 1 2 2 � u2 1 1 0 �

u1 3� v113---u1

13--- 1 2 2 � � u2 v1� 1

3--- 1 2 0� � 1� �

v�2 u2 u2 v1� v1� 1 1 0 1 13--- 1 2 2 ��

13--- 2 1 2� � � �

v2v�2v�2

----------- 2 1 2� 2 1 2�

-----------------------------13--- 2 1 2� � � �

V v1 v2 � v1 v2 x x1 x2 x3 �3��

PVx x v1� v1 x v2� v2�

13--- x1 2x2 2x3� � 1

3--- 1 2 2 �

13--- 2x1 x2 2x3�� 1

3--- 2 1 2� ��

19--- x1 2x2 2x3� � 2x1 4x2 4x3� � 2x1 4x2 4x3� �

19--- 4x1 2x2 4x3�� 2x1 x2 2x3�� 4x1� 2x2� 4x3� �

19--- 5x1 4x2 2x3�� 4x1 5x2 2x3� � 2x1� 2x2 8x3� � .

�

�

�

�

PV 1 1� 1� 19--- 3 3� 12� 1

3--- 1 1� 4� � � x 1 1� 1� �

d x PVx� 1 1� 1� 13--- 1 1� 4� �

13--- 2 2� 1 1

3--- 22 22 12� � 1 .� � � � �

34 ISOMETRIA 117

34 ISOMETRIA

Lineaarista bijektiota sanotaan isomorfismiksi. Tarkastelemme nyt kuvauksia, jotka säilyttävät myösvektorien pituudet. Lineaarinen kuvaus on isometria eli ortogonaalikuvaus, jos

kaikilla . Tällainen kuvaus on välttämättä bijektio, sillä se on seuraavan päättelynmukaan injektio:

. Pituuksien lisäksi isometria säilyttää myös sisätulot ja sitä kautta vektorien väliset kulmat.

34.1 Lause. Isometrialle on kaikille . Lisäksi vektorien Lxja Ly välinen kulma on sama kuin vektorien x ja y välinen kulma.

Todistus. Laskemme ensin summavektorin pituuden neliön:

Vastaavasti on

Koska kuvaus L on isometria, pätevät , ja . Nämä huo-mioiden edellisistä yhtälöistä ratkaisemme, että .

Vektorien x ja y välisen kulman ja vektorien Lx ja Ly välisen kulman yhtäsuuruuden päät-telemme siitä, että

. �

34.2 Esimerkki. Kuvaus , , on isometria, sillä

. �

Tarkastelemme sitten isometriaa vastaavaa matriisia. Olkoon isometria ja, jolloin matriisin A sarakevektorit ovat kaikilla . Koska luonnol-

liset kantavektorit ovat ortonormaalit ja

myös sarakevektorit ovat ortonormaalit. Sisätulot voimme tulkita erään matriisitulon al-kioiksi, kun muistamme, että yleisesti matriisitulolle on

.

Koska matriisin A sarake on transpoosin i:s rivi, huomaammekin, että

.

Olemme saaneet tulokseksi, että . Neliömatriisia A sanotaan ortogonaaliseksi, jos eli jos . Tämä pätee täs-

mälleen silloin, kun matriisin sarakevektorit ovat ortonormaalit.

L : �n �nLx x� x �n�

Lx 0 � x Lx 0 � � x 0�

L : �n �n Lx Ly� x y� � x y �n�

x y�

x y� 2 x y� x y�� x x� x y� y x� y y� � � �

x 2 2 x y� y 2 .� �

� �

�

L x y� 2 Lx Ly� Lx Ly�� Lx 2 2 Lx Ly� Ly 2 .� ��

Lx x� Ly y� L x y� x y��

Lx Ly� x y� �

� �

�cos Lx Ly� Lx Ly

----------------------- x y� x y

--------------- �cos� � �

L : �2 �2 L x1 x2 12

------- x1 x2� x1 x2� �

L x1 x2 2 12--- x1 x2� 2 x1 x2� 2� x1

2 x22� x1 x2 2� � �

L : �n �nA Mat L � ai Lei� i 1 n �

ei

ai aj� Lei Lej� ei ej� 1, kun i j�

0, kun i j ,�

� � �

ai ai aj�

BA ij bikakjk 1�

n

� bi aj� � �

ai AT

ai aj� ATA ij�

ATA I�

ATA I� A 1� AT�


34.3 Lause. Ortogonaaliselle matriisille A on .

Todistus. Väite seuraa siitä, että . �

Olemme perustelleet jo osittain seuraavan tuloksen.

34.4 Lause. Seuraavat väitteet ovat yhtäpitävät:

(a) Lineaarikuvaus on isometria.

(b) Matriisi on ortogonaalinen.

(c) Vektorit muodostavat avaruuden ortonormaalin kannan.

Todistus. Edellä olemme perustelleet päätelmät ja . Päättelyketjun sulkemiseksi riit-tää todistaa vielä päätelmä .

Oletamme, että vektorit muodostavat avaruuden ortonormaalin kannan. Sil-loin kaikille on Pythagoraan lauseen mukaan

�

34.5 Esimerkki. Tason kiertoa kulman verran vastaa matriisi

,

minkä osoittaminen on sopiva harjoitustehtävä. Tälle matriisille on

Täten matriisi on ortogonaalinen ja kuvaus on isometria (kuten geometrisesti on selvää). �

34.6 Esimerkki. Olkoon tason origosuora, jonka kulmavaaka-akselin suhteen on . Tason peilaus suoran suh-teen on geometrisesti selvästi isometria. Tarkistamme sen matrii-sien avulla. Viereisestä kuvasta näemme, että

missä

.

Siten ja . Tämä osoittaa, että vektori saadaan vektorista kiertämällä 90° myötäpäivään, mikä geometrisesti onkin selvää. Joka tapauksessa kuvausta

vastaa matriisi

.

Selvästikin , joten on ortogonaalinen ja on isometria. �

det A 1�

1 det I det ATA det AT det A� det A det A��

L : �n �n

A Mat L �

ai Lei� �n

(a) (b) (b) (c)(c) (a)Le1 Le2 Len �n

x x1 xn � �n�

Lx 2 x1Le1 xnLen� � 2 x1Le12 xnLen

2� �

x12 Le1

2 xn2 Len

2� � x12 xn

2� � x 2 .

� �

� � �

�2 K� : �2 �2 �

A��cos �sin�

�sin �cos�

ATA �cos �sin�sin� �cos

�cos �sin�

�sin �cos

�cos2 �sin2� �cos �sin� �sin �cos�

� �cossin� �cos �sin� �sin2 �cos2�

1 0 0 1

.

�

� �

A� K�

S�

e1

e2 H�e1

H�e2

S� �2

� H� S�

H�e1 2�cos 2�sin �

H�e2 �cos �sin ,�

� �2---- 2 �

2---- �� 2� �

2----��

�cos 2�sin� �sin 2cos �� H�e2H�e1 H�

B� Mat H� 2�cos 2�sin2�sin 2�cos�

� �

B�TB� I� B� H�

34 ISOMETRIA 119

Yleisesti avaruuden peilaus eli heijastus ali-avaruuden V suhteen saadaan projektion avulla seuraavasti (ks.kuva):

.

34.7 Esimerkki. Tarkastelemme avaruudessa peilausta esimerkin33.2 aliavaruuden suhteen, missä ja . Mainitussa esimer-kissä olemme laskeneet, että vektorit

ja

muodostavat aliavaruuden V ortonormaalin kannan, ja edelleen, että vektorin projektio on

.

Näin ollen peilauksen lauseke on

.

Konkreetisti vektorin peilikuva on . �

Suuntaissärmiön tilavuus

Tarkastelemme avaruuden vektoreiden virittämää suuntaissärmiötä eli joukkoa

.

Merkitsemme tämän (yleistettyä) tilavuutta . Miten saamme sen laskettua? Vastaustulee heti seuraavassa.

34.8 Lause. Avaruuden vektorien virittämän suuntaissärmiön tilavuus on.

Todistus. Otamme lähtökohdaksi sen, että ortogonaalisten vektorien virittämän suuntais-särmiön tilavuus on vektorien pituuksien tulo, ts.

.

Erityisesti luonnollisen kannan vektorien virittämän suuntaissärmiön tilavuus on yksi, jolloin

.

Jos taas vektorit ovat lineaarisesti riippuvat, sekä niiden determinantti että niiden virittä-män suuntaissärmiön tilavuus ovat nollia. Väite pätee siten näissä kahdessa erikoistapauksessa.

Olkoot sitten vektorit lineaarisesti riippumattomat. Kuten Gramin ja Schmidtin me-netelmässä 33.1 voimme näistä muokata ortonormaalin kannan . Käyttäen menetelmänkuvauksen merkintöjä on ortogonaalinen kanta, missä ja kaikilla . Menetelmässä tämän ortogonaalisen kannan seuraavat vektorit muodostetaan ai-kaisempien vektorien avulla käyttäen vain GJ–menetelmän A–muunnosten tyyppisiä muokkauksia. Si-ten vektorien determinantti ei muutu muokkauksessa, ts.

.

Kun esitämme vektorit ortonormaalien kantavektorien avulla ja käy-tämme determinantin multilineaarisuutta, saamme, että

V

HVx

PVx

x�n HV : �n �nPV

HVx x 2 x PVx� � 2PVx x��

�3

V u1 u2 � u1 1 2 2 � u2 1 1 0 �

v113--- 1 2 2 � v2

13--- 2 1 2� �

x x1 x2 x3 �3��

PVx 19--- 5x1 4x2 2x3�� 4x1 5x2 2x3� � 2x1� 2x2 8x3� � �

HV : �3 �3

HVx 2PVx x�19--- x1 8x2 4x3�� 8x1 x2 4x3� � 4x1� 4x2 7x3� � � �

x 1 1� 1� � HVx 13--- 1� 1 5� �

�n u1 u2 un

S x �n� x �1u1 �2u2 �nun, 0 �i 1 � � ��

vol u1 u2 un

�n u1 u2 un det u1 u2 un

v1 v2 vn

vol v1 v2 vn v1 v2 vn� � ��

vol e1 e2 en 1 det e1 e2 en � �

u1 u2 un

u1 u2 un v1 v2 vn

u1 v�2 v�n u1 u1 v1� v�i v�i vi�

i 2 n �

det u1 u2 un det u1 v�2 v�n �

u1 v�2 v�n v1 v2 vn


sillä vektorien ortonormaaliuden takia matriisi on ortogonaalinen ja siten (ks. lause 34.3).

Toisaalta vektorit virittävät tilavuudeltaan yhtäsuuren suuntaissärmiön kuin ortogo-naaliset vektorit (todistus induktiolla), joten tämän suuntaissärmiön tilavuus on

.

Näin ollen olemme todistaneet väitteen. �

35 ISOMETRIAN KARAKTERISOINTEJA

Pykälässä 30 teimme yhteenvedon lineaarikuvauksen bijektiivisyydestä ja neliömatriisin kääntyvyy-destä. Teemme nyt vastaavan yhteenvedon isometrialle. Nytkin olemme jo todistaneet yhtäpitävyydettai ne ovat perusteltavissa yhdistämällä aikaisempia tuloksiamme.

7.36. Yhteenveto. Lineaarikuvaukselle ja sitä vastaavalle matriisille kaikki seuraavat ovat keskenään yhtäpitäviä väitteitä.

(1) Lineaarikuvaus L on isometria, ts. kaikilla .

(2) Lineaarikuvaus L säilyttää sisätulon, ts. kaikille .

(3) Lineaarikuvaus L kuvaa luonnollisen kannan (ja jokaisen ortonormaalin kannan) ortonormaa-liksi kannaksi.

(4) Matriisi A on ortogonaalinen, ts. .

(5) Matriisin A sarakevektorit ovat ortonormaalit, ts. .

(6) Matriisin A rivivektorit ovat ortonormaalit, ts. .

det u1 u2 un det u1 v1 v�2 v2 v�n vn

u1 v�2 v�n det v1 v2 vn

u1 v�2 v�n ,

�

�

�

v1 v2 vn v1 v2 vn det v1 v2 vn 1�

u1 u2 un u1 v�2 v�n

vol u1 u2 un vol u1 v�2 v�n u1 v�2 v�n� �

L : �n �n An n� Mat L �

Lx x� x �n�

Lx Ly� x y� � x y �n�

A 1� AT�

ATA I�

AAT I�

121

HENKILÖITÄ

Seuraavassa on lyhyitä kuvauksia henkilöistä, joiden nimet esiintyvät tekstissä käsitteiden ja tulostenyhteydessä. Tarkempia kuvauksia voi lukea esimerkiksi lähteistä [Lehtinen 2000] ja [MacTutor His-tory…].

Bunjakovski, Viktor Jakovlevitš (1804–1889), oli venäläinen matemaatikko ja Cauchyn, B:n ja Schwarzinepäyhtälön integraalimuodon keksijä.

Cauchy, Augustin Louis (1789–1857), oli ranskalainen matemaatikko, joka antoi ensimmäisenä täsmäl-lisiä todistuksia useille analyysin tuloksille. Hän esitti nykyaikaisen raja-arvon määritelmän, tosinsanallisesti ilman --symboleita. Cauchy keksi myös useita uusia funktioteorian tuloksia ja alkoiensimmäisenä tutkia permutaatioryhmiä.

Descartes, René (1596–1650), eli latinalaistetulla nimellä Cartesius oli ranskalainen filosofi, joka omistau-tui matematiikalle vain ajoittain. Häntä pidetään analyyttisen geometrian perustajana, ja hänen mu-kaansa on nimetty mm. termit karteesinen koordinaatisto ja karteesinen tulo.

Eukleides (Aleksandrialainen, n. 365–300 eaa.) oli antiikin kreikkalainen, jonka teos Alkeet on kaikkienaikojen menestyksekkäimpiä matemaattis-luonnontieteellisiä teoksia.

Fibonacci eli Leonardo Pisano (1170–1250) julkaisi ensimmäisen kymmenjärjestelmän aritmetiikan op-paan. Hänen mukaansa on nimetty lukujono, jossa seuraava luku saadaan aina kahden edellisensummana.

Gauss, Carl Friedrich (1777–1855), ’matemaatikkojen kuningas’ oli jo nuorena nerokas matematiikan tai-taja. Saksalainen Gauss keksi, että säännöllinen 17-kulmio on konstruoitavissa harpin ja viivaimenavulla ja ilmaisi myöhemmin täsmällisen ehdon säännöllisten monikulmioiden konstruoitavuudel-le. Hänen väitöskirjansa v. 1799 sisälsi todistuksen algebran peruslauseelle, joka käsittelee polyno-mien jaollisuutta kompleksilukualueella. Gauss otti myös käyttöön lukukongruenssin käsitteen jakokonaiset kompleksiluvut, ns. Gaussin kokonaisluvut.

Gram, Jørgen Pedersen (1850–1916), oli tanskalainen lukuteorian harrastaja.

Jordan, Wilhelm (1842–1899), oli saksalainen geodeetikko, joka kehitti edelleen Gaussin ratkaisumene-telmää lineaarisille yhtälöryhmille.

Parseval, Marc-Antoine (1755–1836), oli ranskalainen matemaatikko.

Pythagoras (Samoslainen, 582–496 eaa.) oli antiikin Kreikassa elänyt filosofi ja tutkija. Hän perusti filo-sofis-uskonnollisen koulukunnan, jonka yli 600 oppilasta omistautuivat matemaattisluonteiselletutkimukselle ja henkiselle itsensä kehittämiselle. Sana matematiikka () johdoksineen lieneepythagoralaisten käyttöön ottama, ja sen alkuperäinen merkitys on 'se, mikä tulee tietää'. Keskeistäpythagoralaisten matematiikassa ja koko filosofiassa olivat (luonnolliset) luvut ja niiden luokittelut,kuten mm. parilliset ja parittomat luvut, alkuluvut, ’ystävälliset’ luvut ja kuvioluvut. Myös käsitteetaritmeettinen, geometrinen ja harmoninen keskiarvo ovat peräisin pythagoralaisilta.

Schmidt, Erhard (1876–1959), oli saksalainen (syntynyt Virossa) matemaatikko ja kuuluisan matemaati-kon David Hilbertin oppilas. Hänen pääalueenaan oli ns. funktionaalianalyysi.

Schwarz, Hermann Amandus (1843–1921), oli saksalainen kompleksianalyysin alueen matemaatikko.

Venn, John (1834–1923), oli englantilainen loogikko, joka otti käyttöön joukkoalgebran graafiset havain-nollistukset, ns. Vennin diagrammit.

122

KIRJALLISUUTTA

Anderson, Robert F.V.: Introduction to linear algebra. CBS Publishing 1986.

Axler, Sheldon Jay: Linear algebra done right. Springer 1999.

Bergendal, Gunnar och Inge Brinck: Linjär algebra. Studentlitteratur 1969.

Bretscher, Otto: Linear algebra with applications. Pearson Education 2009.

Brown, William C.: Matrices and vector spaces. Marcel Dekker 1991.

Curtis, Charles W.: Linear algebra: an introductory approach. Boston 1968.

Friedberg, Stephen H., Arnold J. Insel and Lawrence E.Spence: Linear algebra. Pearson Education 2003.

Grossman, Stanley I.: Elementary linear algebra. Wadsworth 1984.

Johnson, Eugene W.: Linear algebra with Mathematica. Brooks/Cole 1995.

Johnson, Lee W., R. Dean Riess and Jimmy T. Arnold: Introduction to linear algebra. Addison WesleyLongman 1998.

Kahanpää, Lauri ja Matti Hannukainen: Lineaarinen algebra ja geometria. Suoraviivaista ajattelua, osaI. Luentomoniste 43. Jyväskylän yliopisto, matematiikan laitos 1999.

Kivelä, Simo K.: Lineaarialgebra. Otakustantamo 1974.

Kolman, Bernard and David R. Hill: Introductory linear algebra, an applied first course. Pearson Edu-cation 2005.

Kolman, Bernard and David R. Hill: Elementary linear algebra with applications. Pearson Education2008.

Larson, Ron, Bruce H. Edwards and David C. Falvo: Elementary linear algebra. Pearson Education 2008.

Lang, Serge: Linear algebra. Springer 1987.

Lay, David C.: Linear algebra and its applications. Addison-Wesley 2003.

Lehtinen, Matti: Matematiikan historia. Internet: http://solmu.math.helsinki.fi/2000/mathist/ (luettu10.8.2012). Matematiikkalehti Solmu 2000.

Leon, Steven J.: Linear algebra with applications. Prentice Hall 2006.

Lipschutz, Seymour: 3000 solved problems in linear algebra (Schaum´s solved problems series). Mc-Graw-Hill 1989.

The MacTutor History of Mathematics archive. Internet: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ (luettu10.8.2012).

Matematiikan sanakirja (suomi-ruotsi-englanti-venäjä). Internet: http://www03.edu.fi/oppimateriaalit/matematiikansanakirja/ohjelma/matematik.htm (luettu 10.8.2012).

McMahon, David: Linear algebra demystified. Elektroninen aineisto: http://site.ebrary.com/lib/jyvasky-la/docDetail.action?docID=10226879 (luettu 10.8.2012). McGraw-Hill 2006.

Morris, A. O.: Linear algebra: an introduction. Van Nostrand Reinhold 1985.

Norman, Daniel: Introduction to linear algebra for science and engineering. Addison–Wesley 1995.

Olver, Peter J and Chehrzad Shakiban: Applied linear algebra. Pearson Education 2006.

Pohjolainen, Seppo, Jari Multisilta, Kostadin Antchev ja Kari Suomela: Matriisilaskenta I, hypermedia-oppimateriaalia. Internet: http://matwww.ee.tut.fi/matriisi/ (luettu 10.8.2012). Tampereen teknilli-nen yliopisto 1995.

123

Purmonen, Veikko T.: Vektorit ja matriisit, johdantoa lineaariseen algebraan ja geometriaan. Luentomo-niste 50. Jyväskylän yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos 2002.

Purmonen, Veikko T.: Lineaarinen algebra ja geometria 1. Luentomoniste 58. Jyväskylän yliopisto, ma-tematiikan ja tilastotieteen laitos 2009.

Smith, Larry: Linear algebra. Springer–Verlag 1985.

Spence, Lawrence E., Arnold J. Insel and Stephen H. Friedberg: Elementary linear algebra, a matrix ap-proach. Pearson Education 2008.

Väliaho, Hannu: Lineaarialgebra. Yliopistopaino 1987.

124

HAKEMISTO

Aadditiivisuus 22adjungaatti 114adjungoitu 106affiini aliavaruus 20aito aliavaruus 18aito osajoukko 5aksiooma

induktio- 8alakolmiomatriisi 74aliavaruus 18

affiini 20aito 18dimensio 52isomorfinen 68kanta 51normaalivektori 114triviaali 18ulottuvuus 52viritetty 17

alideterminantti 103alimatriisi 93alitekijä 103alkeiskuvaus 108alkeismatriisi 86

determinantti 98käänteismatriisi 87transpoosi 90

alkeismuunnos 34alkeisoperaatio 34, 37alkio 5, 7, 34, 71

alkukuva 54lukumäärä 7pienin 10

alkukuva 54alternoiva 105arvo

funktion 54arvojoukko 54aste 74avaruus 6, 14

dimensio 51Eukleideen 6, 11, 25euklidinen 6kanta 50lineaari- 14lineaarinen 14nolla- 18n–ulotteinen 6taso 6ulottuvuus 51vektori- 14

2–ulotteinen (taso) 63–ulotteinen 6

avaruus �n 6Bbijektio 54

lineaarinen 67Bunjakovski 23, 121

CCartesius 121Cauchy 23, 121Cauchyn, Bunjakovskin ja Schwarzin epäyhtälö 23CBS-epäyhtälö 23

DDescartes 121desimaaliluvut 5determinantti 94

alternoivuus 105kehitys rivin suhteen 103kehitys sarakkeen suhteen 103kehityssääntö 94, 103laskeminen 99lineaarikuvauksen 106monilineaarisuus 105multilineaarisuus 105normitus 105palautuskaava 94vektorien 104vuorottelevuus 105

diagonaali 74diagonaalimatriisi 74

käänteismatriisi 85dimensio 51, 52dimensiolause 64, 74

Eekvivalenssiluokka 12ekvivalenssirelaatio 12ekvivalentti

suuntajana 12yhtälö 28yhtälöryhmä 28

epijektio 54epäyhtälö

Cauchyn, Bunjakovskin ja Schwarzin 23erisuuntainen 15erotus

lineaarikuvausten 58matriisien 75vektorien 5, 13

erotusvektori 15

125

etäisyysaliavaruudesta 114suorasta 26vektorien 24

Eukleideen avaruus �n 6, 11, 25Eukleideen sisätuloavaruus 25Eukleides 6, 121euklidinen avaruus 6FFibonacci 121Fibonaccin luvut 11funktio 54

ks. kuvaus

GGauss 9, 33, 38, 121Gaussin ja Jordanin menetelmä 33, 38Gaussin kaava 9Gaussin (eliminointi)menetelmä 38GJ-menetelmä 38

algoritmin kuvaus 37ratkaisujen määrä 40

graafinen ratkaiseminen 28Gram 115, 121Gramin ja Schmidtin menetelmä 115

Hheijastus 55, 119homogeeninen yhtälö 28, 63homogeeninen yhtälöryhmä 28homogeenisuus 22, 24hypertaso 53, 114

Iidenttinen kuvaus 54, 57identtinen matriisi 74indeksi

rivi- 71sarake- 71summaus- 17, 71

induktiomatemaattinen 8täydellinen 8, 9

induktioaksiooma 8induktioaskel 8induktio-oletus 8induktiopäättely 8induktioväite 8injektio 54isometria 117

karakterisointi 120isomorfinen aliavaruus 68isomorfismi 68itseispotenssinen 80

Jjohtava alkio 36jono

järjestetty 6n– 6

Jordan 33, 38, 121Jordanin (sievennys)menetelmä 38joukko 5, 7

alkiomäärä 7alkukuva 54arvo- 54erotus- 5kuva- 54leikkaus- 5lähtö- 54maali- 54mahtavuus 7määrittely- 54osa- 5perus- 5sisältyvyys 5tulo- 6tyhjä 7yhdiste 5yhtäsuuruus 5äärellinen 7

järjestetty pari 6jäsen

lukujonon 6Kkaava

Gaussin 9kannaksi karsiminen 52kannaksi täydentäminen 51kanta 49

aliavaruuden 51karsiminen 52luonnollinen 13ortogonaalinen 110ortonormaali 110täydentäminen 51

kantamatriisi 86kantapiste 20kantavektori 49karteesinen tulo 6kehityssääntö 94kerroin 28kerroinmatriisi 32, 34, 71

laajennettu 33rivi 34sarake 34

kertoma 94kierto 55kofaktori 103kohtisuora

vektori 23, 110koko

matriisin 34, 71kokonaisluku

positiivinen 5kokonaisluvut (�) 5kolmioepäyhtälö 24kolmiomatriisi 74

126

determinantti 99, 102komplementti 5, 103

ortogonaali- 112komponentti

lukujonon 6pisteen 11

komponenttikuvaus 55, 60komponenttiprojektio 60koordinaatti 11, 17, 49koordinaattiesitys 49kosinilause 25kulma

vektorien 25kuva 54

alkion 54alku- 54

kuvajoukko 54kuvaus 54

bijektio 54epijektio 54identtinen 54injektio 54komponentti- 55, 60käänteis- 55lineaarinen 56, 68nolla- 75rajoittuma- 54, 68siirto 56surjektio 54yhdistetty 55

kuvioVennin 5

käänteiskuvaus 55, 67käänteismatriisi 80

laskeminen 84kääntyvä matriisi 80

Llaajennettu kerroinmatriisi 31, 33laajennettu matriisi 84LD (lineaarisesti riippuva) 44leikkausjoukko 5LI (lineaarisesti riippumaton) 44liittoluku 103liittomatriisi 106liitännäisyys 14lineaariavaruus 14lineaarikombinaatio 13, 17

muodollinen 60yksikäsitteinen 13

lineaarikuvaus 56adjungaatti 114alkeiskuvaus 108aste 65bijektio 67determinantti 106dimensiolause 64erotus 58heijastus 119

isometria 117isomorfismi 68komponenttikuvaus 60käänteiskuvaus 67matriisi 71, 72muunnossuhde 106nollajoukko 62nolluus 65ortogonaalikuvaus 117peilaus 108, 119ranki 65reaalikerta 58skaalaus 108summa 58transpoosi 114vastakuvaus 58vinoutus 108ydin 62yhdistetty kuvaus 59yleinen rakenne 115

lineaarinenavaruus 14bijektio 67kuvaus 56, 68peite 17verho 17

lineaarinen yhtälö 28lineaarinen yhtälöryhmä 28lineaarisesti riippumaton 44lineaarisesti riippuva 44luku

Fibonaccin 11luonnollinen 5, 7murto- 5rationaali- 5reaali- 5

lukujonojärjestetty 6jäsen 6komponentti 6

luonnollinen kanta 13luonnollinen luku 7luonnolliset luvut (�) 5lähtöjoukko 54lävistäjä 32, 74lävistäjämatriisi 74

Mmaalijoukko 54mahtavuus 7matriisi 71, 72

adjungoitu 106alakolmio- 74ali- 93alkeis- 86alkio 34aste 74diagonaali 74diagonaali- 74

127

dimensiolause 74erotus 75identtinen 74itseispotenssinen 80kanta- 86kerroin- 33, 34koko 34, 71kolmio- 74käänteis- 80kääntyvä 80laajennettu 84laajennettu kerroin- 33liitto- 106lävistäjä 32, 74lävistäjä- 74m x n– 71neliö- 74nolla- 75nolluus 74ortogonaalinen 117paikka 34, 71potenssi 80ranki 74reaalikerta 75rivi 71rivi- 74rivinumero 71riviranki 115rivivektori 73sarake 71sarake- 74sarakeavaruus 74sarakenumero 71sarakeranki 115sarakevektori 73singulaarinen 80summa 75symmetrinen 89säännöllinen 80transponoitu 89tulo 77tyyppi 34, 71vasta- 75yhtäsuuruus 75yksikkö- 74yksisarakkeinen 73yläkolmio- 74(i,j)–alkio 71

matriisin ja vektorin tulo 72matriisin soveltaminen vektoriin 73matriisitulo 77

determinantti 101muistisääntö 78muokkaussääntö 79

menetelmäGaussin 38Gaussin ja Jordanin 33, 38Gramin ja Schmidtin 115

merkki

summaus- 17, 71monilineaarinen 105MPA-operaatio 37multilineaarinen 105muodollinen lineaarikombinaatio 60murtoluvut (�) 5muunnossuhde

lineaarikuvauksen 106muuttuja 28määrittely

rekursiivinen 10määrittelyjoukko 54

N� (luonnolliset luvut) 5neliömatriisi 74n–jono 6nolla 7nolla-avaruus 18nollajoukko 62nollakuvaus 75nollamatriisi 75nollarivi 36nollavektori 13, 14

olemassaolo 14nolluus 65, 74normaalivektori 114normi 23

homogeenisuus 24kolmioepäyhtälö 24positiivinen definiittisyys 24

normitettumultilineaarikuvaus 105porrasmuoto 36vektori 23

Ooletus

induktio- 8origo 11origosuora 20origotaso 48ortogonaalikomplementti 112ortogonaalikuvaus 117ortogonaalinen 110

kanta 110matriisi 117vektori 23

ortogonaaliprojektio 112ortonormaali 110

Gramin ja Schmidtin menetelmä 115kanta 110

osajoukko 5aito 5

osittelulaki 14

Ppaikka 34, 71

alitekijä 103kofaktori 103

128

komplementti 103liittoluku 103matriisin 34, 71

palautuskaava 94parametriesitys 20pari

järjestetty 6Parseval 121Parsevalin yhtälö 111peilaus 55, 59, 108, 119peite

lineaarinen 17periaate

pienimmän alkion 10rajallisen laskeutumisen 10

perusjoukko 5perusmuoto 36, 38pienimmän alkion periaate 10piste 11

koordinaatti 11pistetulo 22pituus 23porrasalkio 36porrasmatriisi 36porrasmuoto 36

normitettu 36yksinkertainen 36, 38

positiivinen definiittisyys 24potenssi

matriisin 80projektio 55, 112

aliavaruudelle 112komponentti- 60ortogonaali- 112suoralle 26

Pythagoraan lause 24Pythagoras 121pääedustaja 12päättely

induktio- 8Q� (murtoluvut, rationaaliluvut) 5R� (reaaliluvut) 5�n (Eukleideen avaruus) 6, 11, 25rajallisen laskeutumisen periaate 10rajoittuma 54rajoittumakuvaus 68ranki

lineaarikuvauksen 65matriisin 74rivi- 115sarake- 115transpoosin 115

rationaaliluvut (�) 5ratkaisu 28

yksittäis- 63ratkaisuvektori 28

reaalikerran liitännäisyys 14reaalikerta

lineaarikuvauksen 58matriisin 75vektorin 13, 14

reaaliluvut (�) 5reaalinen muuttuja 28refleksiivisyys 12rekursiivinen määrittely 10relaatio

ekvivalenssi- 12riippumaton 44riippuva 44rivi

kerroinmatriisin 34matriisin 71

rivimatriisi 74rivimuunnos 34rivinumero 71rivioperaatio 34, 37riviranki 115rivivektori 73

Ssamansuuntaiset vektorit 15sarake

kerroinmatriisin 34matriisin 71

sarakeavaruus 74sarakematriisi 74sarakenumero 71sarakeranki 115sarakevektori 73Schmidt 115, 121Schwarz 23, 121sidottu 44siirto 56singulaarinen 80sisätulo 22

additiivisuus 22homogeenisuus 22symmetrisyys 22

sisätuloavaruus 25skaalaus 55, 108skalaaritulo 22summa

lineaarikuvausten 58matriisien 75vektorien 12, 14

summakuvaus 58summausindeksi 17, 71summausmerkki 17, 71summavektori 12suora 6, 14, 19

kantapiste 20origo- 20parametriesitys 20suuntavektori 20vektorimuoto 20

129

yhdensuuntainen 20yhtäsuuruus 20

suoraviivainen yhdistelmä 17surjektio 54suunnikas 12, 15suuntaissärmiö 119

tilavuus 119suuntajana 11, 12

ekvivalentti 12pääedustaja 12vektori 12

suuntavektorisuoran 20

symmetrinen matriisi 89symmetrisyys 12, 22, 89säännöllinen matriisi 80

Ttaso 6, 14, 19, 48

hyper- 53yleinen 53

tilavuussuuntaissärmiön 119

transitiivisuus 12transpoosi 89, 114

determinantti 101ranki 115

triviaali aliavaruus 18triviaaliratkaisu 41tukialkio 36tulo

karteesinen 6luvun ja vektorin 13matriisi- 77matriisin ja vektorin 72piste- 22sisä- 22skalaari- 22

tulojoukko 6tulomatriisi 77tuntematon muuttuja 28tyhjä joukko 7tyyppi

matriisin 34, 71täydellinen induktio 8, 9Uulottuvuus 51, 52

Vvaihdannaisuus 14vakio 28vakio-osa 28

yhtälöryhmän 34vakio-osavektori 28vapaa 44vastakkaissuuntainen 15vastakuvaus 58vastamatriisi 75vastavektori 13, 14

olemassaolo 14vektori 12

determinantti 104erisuuntainen 15erotus 13erotus- 15etäisyys 24, 26kohtisuora 23, 110koordinaatti 17, 49koordinaattiesitys 49kulma 25lineaarisesti riippumaton 44lineaarisesti riippuva 44monikerta 13nolla- 13, 14normi 23normitettu 23ortogonaalinen 23, 110ortonormaali 110pituus 23projektio 26, 112ratkaisu- 28reaalikerta 13, 14samansuuntainen 15sidottu 44skalaarilla kertominen ks. reaalikertasumma 12, 14vakio-osa- 28vapaa 44vasta- 13, 14vastakkaissuuntainen 15virittäminen 17yhdensuuntainen 15yksikkö- 23

vektorialiavaruus 18vektoriavaruus 14Venn 121Vennin kuvio 5venytys 55, 59verho

lineaarinen 17vinoutus 55, 108viritetty aliavaruus 17virittäminen 17vuorotteleva 105väite

induktio- 8Yydin 62yhdensuuntainen

suora 20vektori 15

yhdiste 5yhdistelmä

suoraviivainen 17yhdistetty kuvaus 55yhdistetty lineaarikuvaus 59yhtälö

130

ekvivalentti 28homogeeninen 28, 63lineaarinen 28Parsevalin 111yhtäpitävä 28yksittäisratkaisu 63yleinen ratkaisu 63

yhtälöryhmäekvivalentti 28homogeeninen 28lineaarinen 28ratkaisu 28triviaaliratkaisu 41vakio-osa 34yhtäpitävä 28

yhtäpitäväyhtälö 28yhtälöryhmä 28

ykkösellä kertominen 14yksikkömatriisi 74yksikkövektori 23yksikäsitteinen 13yksinkertainen porrasmuoto 36, 38yksisarakkeinen matriisi 73yksittäisratkaisu 63yleinen ratkaisu 63yläkolmiomatriisi 74

Z� (kokonaisluvut) 5Ääärellinen 7

vektorilaskentaa euklidisissa avaruuksissa · 2012-09-21 · 101 27 kehityssÄÄnnÖt ... mutta...

Documents