§ 3. Vektorski prostori

1° Definicija vektorskog prostora

Vektorski ili linearni prostor nad telom Φ je aditivna Abelova grupa X={x , y , z ,... } u kojoj je definisano množenje sa elementima iz Φ tj. za svaki x∈ X i svaki λ∈Φ definisan je elemenat λx∈ X . Pri tome su ispunjeni uslovi:

1) α (x+ y )=αx+αy (α∈Φ; x∈ X ) 2) (α+β ) x=αx+βx (α , β∈Φ; x∈ X ) 3) α (βx )=(αβ ) x (α , β∈Φ; x∈ X )4) 1 x=x (x∈ X).

Elementi vektorskog prostora zovu se vektori. Telo Φ nad kojim je vektorski prostor X zove se telo skalara a njegovi elementi skalari. Ako je Φ telo kompleksnih brojeva onda se X zove kompleksni vektorski prostor a ako je telo realnih brojeva onda je X realni vektorski prostor.

2° Linearna zavisnost

Neka suα 1α2 ,…,αn∈Φi x1 x2 ,…, xn∈ X , tada se vektor

∑k=1

n

αk xk

zove linearna kombinacija vektora x1 x2 ,…, xn

Kaže se da su vektori x1 x2 ,…, xnlinearno nezavisni ako iz

∑k=1

n

αk xk=0… (1)

slediα 1=α 2=…=α n=0.

Ako je jednakost (1) ispunjena bar za neko α n≠0 kaže se da su vektori x1 x2 ,…, xnlinearno zavisni.

3° Potprostor

Neprazan skup , S⊂X je potprostor vektorskog prostora X ako je Svektorski prostor u odnosu na operacije koje su definisane u X . Neka je S⊂X Skup svih linearnih kombinacija vektora iz S obrazuje potprostor L(S), prostora X . Kaže se da je prostor L(S) razapet nad skupom S.

4° Baza i dimenzija

Skup koji se sastoji od linearno nezavisnih eIemenata prostora prostor X zove se algebarska (Hamelova) baza prostora X .

Ako baza ima n elemenata, gde je n konačan broj, kaže se da je prostor konačno dimenzionalan i da mu je dimenzija jednaka n(dim X=n).

Ako se baza sastoji od beskonačno mnogo elemenata kaže se da je vektorski prostor X beskonačno dimenzionalan.

Označimo sa X n skup svih n-točlanih nizova x=(ξ1 , ξ2 , .. ,ξn ) u kome su definisane operacije sa

(ξ1 , ξ2 , .., ξn )+(η1 , η2 ,.. , ηn )=(ξ1+η1 ,ξ2+η2 ,.. , ξn+ηn )

λ (ξ1 , ξ2 , .. ,ξn )=(λξ1 , λξ2 , .. , λξn )

X n je n-dimenzionalni vektorski prostor, ξ i (i=1,2,…,n ) se nazivaju koordinate vektora

x=(ξ1 , ξ2 , .. ,ξn )U njemu je sistem vektora

e1=(1 ,0 ,0 ,. . .,0 ) ,

e2=(0 ,1 ,0 ,. . . ,0 ) ,

. . .,

en=(0 ,0 ,0 , . .,1 )

jedna baza.

PROBLEMI VEZANI ZA VEKTORSKE PROSTORE

1.Dokazivanje da li je određeni skup potprostor vektorskog skupa

- problem terminoloških formulacija, vektorsko polje , polje skalara, linearni podskup

Ovdje treba imati u vidu da za vektorsko polje Xpostoji skup skalara Φ koji ga pretvara (ili ne) u linearni podskup vektorskog prostora.Oko ga pretvara, kaže se da se vektorski prostor X“razapinje” skalarima Φ.Posebno treba imati u vidu da vektorski skup može biti bilo koji uređeni skup entiteta x1 x2 ,…, xn - to ne moraju biti klasični vektori kako smo ih učili.

Problem se svodi na dokazivanje da li je određeni podskup linearna kombinacija datog vektorskog skupa razapetog skalarima iz skupa Φ,i ima sledeće reperkusije

- Problem utvrđivanja pripadnosti potskupa datom vektorskom prostoru- Problem utvrđivanja broja nezavisnih potskupova u datom vektorskom prostoru

2.Problem analize linearne kombinacije vektora kao podskupa vektorskog skupa – dalji korak analize podskupova vektorskog prostora

Ovaj problem se svodi na analizu izraza

∑k=1

n

αk xk=0

Očigledno, ukoliko ne postoji linearana zavisnost najmanje dva vektora x i i x j ova suma može biti jednaka nuli samo ako je α 1=α 2=…=α n=0 i ova je uslov linaerne nezavisnosti skupa x1 x2 ,…, xn.

Ako je barem jedno α i≠0, skup x1 x2 ,…, xn je linearno zavistan.

3.Problem utvrđivanja baze vektorskog skupa – sledeći korak analize podskupova vektorskog prostora.

Svodi se na provjeru:

A Da li je pretpostavljeni skup baze nezavisna kobinacija iz matičnog skupa tj da li je

∑k=1

n

αk xk=0

Samo ako je α 1=α 2=…=α n=0

B Vekorski prostor može imati više baza, i ukoliko su one zadate treba svaku provjeriti u odnosu na prethodni stav

4.Problem utvrđivanja dimenzije vektorskog prostora

Dimenzija nekog vektorskog prostora jednaka je broju članova njegove baze.

5.Problem utvrđivanja koordinate vektorskog prostora

Problem se svodi na utvrđivanje da li postoji skup skalara α 1α2 ,…,αn∈Φ koji za datu bazu e1 ,e2 ,.. , en∈ Xdaju zavisnu linearnu kombinaciju tj:

∑k=1

n

αk ek=A