vektorski prostori euklidskih vektora i prostorne...

Vektorski prostori euklidskih vektora i prostorne grupe

Franka Miriam Bruckler

PMF-MO, Zagreb

Svibanj 2015.

Franka Miriam Bruckler (PMF-MO, Zagreb)Vektorski prostori euklidskih vektora i prostorne grupe Svibanj 2015. 1 / 20

Geometrijski vektori

Vektori i skalari

Mnoge fizikalne velicine se uz odabir jedinice mogu jednoznacno opisatibrojevima (iznosima): duljina, povrsina, volumen, masa, gustoca, energija,rad, . . . Takve velicine zovu se skalarnim velicinama. Mozemo reci i da suto one velicine koje se ne mijenjaju promjenom koordinatnog sustava ukojem opisujemo neki objekt. Vektorske velicine su one fizikalne velicine zakoje nije dovoljan samo broj (iznos) s jedinicom da ih opise, primjericebrzina, ubrzanje, sila, dipolni moment, . . . Pomocu vektora se mogu opisatii razlicita preslikavanja ravnine ili prostora, recimo translacije, rotacije,. . . Za opis takvih velicina koriste se geometrijski vektori, za ciji opis trebanavoditi tri osobine: iznos, smjer i orijentaciju. Racun s takvim vektorimanaziva se vektorskom algebrom i u tom kontekstu se brojevi s kojima semogu mnoziti vektori nazivaju skalarima; u klasicnoj algebri vektorapodrazumijeva se da su skalari realni brojevi.



Orijentirane duzine i vektorski prostori V 2, V 3, V 2(O) iV 3(O)

Definicija

Orijentirana duzina−→AB je duzina kojoj je definirano koja od dvije krajnje

tocke je pocetak (A), a koja kraj (B). Vektori u V 2(O) su sve orijentiraneduzine u istoj ravnini koje imaju zajednicki pocetak O; vektori u V 3(O) susve orijentirane duzine u prostoru koje imaju zajednicki pocetak O; u obaslucaja O zovemo ishodistem.

U prostorima V 2 odnosno V 3 se uzima da sve orijentirane duzine koje semogu dobiti translacijom1 jedne odabrane orijentirane duzine predstavljajuisti vektor −→v ; svaka od tih orijentiranih duzina zove se reprezentantomvektora −→v .Iako bi prema gornjem formalno u prostorima V i trebalo imati razlicite oznake za vektor i njegov

reprezentant, uobicajeno je pisati −→v =−→AB ako je

−→AB odabrani reprezentant vektora −→v . U

prostorima V i (O) svaki vektor ima samo jednog reprezentanta (onog s pocetkom O), a u V i

svaki vektor ima beskonacno mnogo reprezentanata.1−−→A′B ′ je translatirana

−→AB ako je ABB ′A′ paralelogram.



Iznos, smjer i orijentacija

Uz odabranu jedinicu 1 (1 = 1 A, 1 pm, 1 N, 1 m/s, . . . ),2 duljina

reprezentanta vektora−→OA zove se njegovim iznosom, oznaka |

−→OA|. Ako je

vektor oznacen s −→v , duljina mu se oznacava s v . Vektori duljine 1 zovu sejedinicni vektori.Za vektore koji leze na paralelnim pravcima kazemo da imaju isti smjer; uprostorima V i (O)

”biti istog smjera” svodi se na

”biti na istom pravcu”.

Dva nenul vktora−→OA i

−→OB istog smjera imaju istu orijentaciju ako su tocke

A i B s iste strane tocke O, a ako je O izmedu A i B kazemo da imajusuprotnu orijentaciju. Za dani vektor −→v se vektor istog iznosa i smjera, alisuprotne orijentacije oznacava s −−→v i zove suprotnim vektorom.Nulvektor je vektor

−→0 kojem se pocetak i kraj podudaraju. Nulvektor ima

iznos 0, a uzima se da je istog smjera i orijentacije kao svaki vektor.2Zeli se reci: ako orijentiranom duzinom predstavljamo vektorsku fizikalnu

velicinu cija jedinica nema dimenziju duljine, duljina te orijentirane duzine bit cerazmjerna iznosu odgovarajuce vektorske velicine u prikladno odabranoj jedinici;u svakom slucaju, uzima se da se iznosi svih vektora odnose na istu jedinicumjere.



Zbrajanje i oduzimanje vektora

Definicija (Zbrajanje vektora)

Zbroj dvaju vektora−→OA i

−→OB je vektor

−→OC takav da je AOBC

paralelogram. Oduzimanje vektora definirano je kao pribrajanje suprotnogvektora: −→v −−→w = −→v + (−−→w ).

Primijetimo da za sve vektore −→u ,−→v ,−→w u istom prostoru vrijedi

(−→u +−→v ) +−→w = −→u + (−→v +−→w ), −→v +−→0 =

−→0 +−→v = −→v ,

−→v + (−−→v ) = −−→v +−→v =−→0 , −→v +−→w = −→w +−→v .



Mnozenje vektora skalarom

Definicija (Mnozenje vektora skalarom)

nulvektor pomnozen bilo kojim brojem daje nulvektor i bilo koji vektorpomnozen s nulom daje nulvektor (x · −→0 = 0 · −→v =

−→0 za sve skalare

x i vektore −→v );

za sve ostale slucajeve umnozak sa brojem daje vektor istog smjera, stim da vrijedi:

ako je −→v vektor i x broj, onda je duljina vektora x−→v jednaka |x | · |−→v | iako je −→v vektor i x > 0 broj, onda x−→v ima istu orijentaciju kao −→v , aako je x < 0, onda x−→v ima suprotnu orijentaciju od −→v .

Primijetimo da za sve vektore −→v i −→w te sve skalare x , y vrijedi

1 · −→v = −→v , x(−→v +−→w ) = x−→v + x−→w ,

(x + y)−→v = x−→v + y−→v , (xy)−→v = x(y−→v ).



Kolinearnost i komplanarnost

Zadatak

Kako cete za proizvoljni vektor −→v dobiti jedinicni vektor −→v 1 istog smjera iorijentacije?

−→v 1 =1

v−→v .

Vektore istog smjera zovemo kolinearnima. Vektori −→v i −→w su kolinearnitocno ako postoji skalar x takav da je −→v = x−→w . Nulvektor je kolinearansvakom vektoru.Vektore paralelne istoj ravnini zovemo komplanarnima. Vektori −→u , −→v i −→wsu komplanarni tocno ako postoje skalari x i y takvi da je −→u = x−→v + y−→w .Svaki vektor je kolinearan samom sebi, a svaka dva vektora sukomplanarna. Stoga je pitanje kolinearnosti zanimljivo samo ako imamo 2(ili vise) vektora, a pitanje komplanarnosti za 3 (ili vise) njih.

Zadatak

Mogu li zbroj ili razlika dva (ili vise) vektora biti s njima nekomplanarni?




Zadatak


−→v 1 =1

v−→v .

Vektore istog smjera zovemo kolinearnima. Vektori −→v i −→w su kolinearnitocno ako postoji skalar x takav da je −→v = x−→w . Nulvektor je kolinearansvakom vektoru.

Vektore paralelne istoj ravnini zovemo komplanarnima. Vektori −→u , −→v i −→wsu komplanarni tocno ako postoje skalari x i y takvi da je −→u = x−→v + y−→w .Svaki vektor je kolinearan samom sebi, a svaka dva vektora sukomplanarna. Stoga je pitanje kolinearnosti zanimljivo samo ako imamo 2(ili vise) vektora, a pitanje komplanarnosti za 3 (ili vise) njih.

Zadatak

Mogu li zbroj ili razlika dva (ili vise) vektora biti s njima nekomplanarni?




Zadatak


−→v 1 =1

v−→v .

Vektore istog smjera zovemo kolinearnima. Vektori −→v i −→w su kolinearnitocno ako postoji skalar x takav da je −→v = x−→w . Nulvektor je kolinearansvakom vektoru.Vektore paralelne istoj ravnini zovemo komplanarnima. Vektori −→u , −→v i −→wsu komplanarni tocno ako postoje skalari x i y takvi da je −→u = x−→v + y−→w .Svaki vektor je kolinearan samom sebi, a svaka dva vektora sukomplanarna. Stoga je pitanje kolinearnosti zanimljivo samo ako imamo 2(ili vise) vektora, a pitanje komplanarnosti za 3 (ili vise) njih.

Zadatak

Mogu li zbroj ili razlika dva (ili vise) vektora biti s njima nekomplanarni?Franka Miriam Bruckler (PMF-MO, Zagreb)Vektorski prostori euklidskih vektora i prostorne grupe Svibanj 2015. 7 / 20


Baza i koordinate u ravnini

Bazu vektorskog prostora V 2, odnosno V 2(O), cine bilo koja dva

nekolinearna vektora −→a i−→b . Ako smo takva dva odabrali, svaki vektor −→v

u ravnini se moze zapisati kao

−→v = x−→a + y−→b = [x , y ]

s jedinstveno odredenim skalarima x i y . Te skalare zovemo njegovimkoordinatama.

Primjer

−→v = 2−→a + 12

−→b = [2, 1/2],

−→b = 0−→a + 1

−→b = [0, 1].



Baza i koordinate u prostoru

Bazu vektorskog prostora V 3, odnosno V 3(O), cine bilo koja tri

nekomplanarna vektora −→a ,−→b i −→c cine bazu. Ako smo takva tri odabrali,

svaki vektor −→v u prostoru se moze zapisati kao

−→v = x−→a + y−→b + z−→c = [x , y , z ]

s jedinstvenim skalarima x , y i z (koje zovemo koordinatama od −→v ).

Vazno!!!

Ako netko govori o vektoru, primjerice, −→v = [2,−1, 3], bez da se kazeobzirom na koju bazu su koordinate dane, to moze biti bilo koji vektor (u

prostoru); samo znamo da se radi o vektoru 2−→a −−→b + 3−→c za neku bazu

prostora {−→a ,−→b ,−→c }.

Zadatak

Koje koordinate mogu imati vektori baze {−→a ,−→b ,−→c } obzirom na tu istu

bazu?Franka Miriam Bruckler (PMF-MO, Zagreb)Vektorski prostori euklidskih vektora i prostorne grupe Svibanj 2015. 9 / 20


Koordinatno zbrajanje i mnozenje skalarom

Uz koordinatni prikaz, lako je opisati zbrajanje vektora i mnozenje vektoraskalarom. Ipak, budite oprezni: koordinatne operacije s vektorimaimaju smisla samo ako smo odabrali i fiksirali bazu prostora. Vektoreu koordinatnom prikazu zbrajamo tako da zbrojimo odgovarajucekoordinate, a mnozimo skalarom tako da im sve koordinate pomnozimotim skalarom:

[x , y , z ] + [x ′, y ′, z ′] = [x + x ′, y + y ′, z + z ′],

α[x , y , z ] = [αx , αy , αz ].

Primjer

Ako su −→v = [1, 2, 0] i −→w = [−5, 1, 1] (oba vektora imaju koordinate

obzirom na istu bazu {−→a ,−→b ,−→c }), onda je −→v − 2−→w =

[1, 2, 0]− 2[−5, 1, 1] = [1, 2, 0] + [10,−2,−2] = [11, 0,−2](= 11−→a − 2−→c ).



Zadatak

Odredite koordinate vektora koji pocinje u tocki (4,−2, 1), a zavrsava utocki (1, 0,−3). Odredite i njegov suprotni vektor.

Rjesenje: [−3, 2,−4] odnosno [3,−2, 4].

Zadatak

Obzirom na istu bazu u ravnini dani su vektori −→a = [2, 1] i−→b = [−2, 5].

Jesu li kolinearni? Po cemo to vidite?Nisu. Ako su kolinearni, prvi je skalar puta drugi, pa bi im koordinatemorale biti razmjerne.



Zadatak

Odredite koordinate vektora koji pocinje u tocki (4,−2, 1), a zavrsava utocki (1, 0,−3). Odredite i njegov suprotni vektor.Rjesenje: [−3, 2,−4] odnosno [3,−2, 4].

Zadatak





Zadatak


Zadatak


Jesu li kolinearni? Po cemo to vidite?

Nisu. Ako su kolinearni, prvi je skalar puta drugi, pa bi im koordinatemorale biti razmjerne.



Zadatak


Zadatak





Koordinatni sustav u ravnini i prostoru

Koordinatni sustav se sastoji od odabrane tocke O (ishodista) i bazeodgovarajuceg vektorskog prostora V i (O).

Svaku tocku T jednoznacno mozemo opisati njenim radij-vektorom−→OT , a

on se jednoznacno moze zapisati kao linearna kombinacija vektora baze.Koeficijenti u toj linearnoj kombinaciji zovu se koordinatama tocke T .


Translacijska simetrija

Translacije

Ako svim vektorima istog vektorskog prostora V pribrojimo isti vektor,kazemo da smo translatirali prostor za taj vektor. Drugim rijecima:translacija je funkcija t : V → V oblika t(−→v ) = −→v +−→a . Translacija zanulvektor je 1. Ako govorimo o translaciji tocaka prostora, mislimo nanjihovo poistovjecivanje s radij-vektorima. Stoga je za −→a translatirana

pozicija tocke T tocno ona tocka ciji radij-vektor je−→OT +−→a .

Translacija je izometrija (cuva udaljenost) i operacija prve vrste, ali ako jeona3 simetrija nekog objekta, taj je objekt sigurno beskonacan.

Takoder,ako objekt kao simetriju posjeduje translaciju za −→a , onda je i translacijaza svaki cjelobrojni visekratnik od −→a takoder simetrija istog objekta.

3Misli se naravno na translaciju za vektor koji nije nulvektor.Franka Miriam Bruckler (PMF-MO, Zagreb)Vektorski prostori euklidskih vektora i prostorne grupe Svibanj 2015. 13 / 20


Translacije

Ako svim vektorima istog vektorskog prostora V pribrojimo isti vektor,kazemo da smo translatirali prostor za taj vektor. Drugim rijecima:translacija je funkcija t : V → V oblika t(−→v ) = −→v +−→a . Translacija zanulvektor je 1. Ako govorimo o translaciji tocaka prostora, mislimo nanjihovo poistovjecivanje s radij-vektorima. Stoga je za −→a translatirana

pozicija tocke T tocno ona tocka ciji radij-vektor je−→OT +−→a .

Translacija je izometrija (cuva udaljenost) i operacija prve vrste, ali ako jeona3 simetrija nekog objekta, taj je objekt sigurno beskonacan.Takoder,ako objekt kao simetriju posjeduje translaciju za −→a , onda je i translacijaza svaki cjelobrojni visekratnik od −→a takoder simetrija istog objekta.

3Misli se naravno na translaciju za vektor koji nije nulvektor.Franka Miriam Bruckler (PMF-MO, Zagreb)Vektorski prostori euklidskih vektora i prostorne grupe Svibanj 2015. 13 / 20


Geometrijska periodicnost

Ako neki objekt posjeduje translacijsku simetrijuu samo jednom smjeru, kazemo da jejednodimenzionalno periodican.

Ako neki objekt u ravnini ili prostoru posjedujetranslacijsku simetriju u dva nekolinearnasmjera, kazemo da je taj objektdvodimenzionalno periodican.Ako neki objekt u prostoru posjedujetranslacijsku simetriju u tri nekomplanarnasmjera, kazemo da je taj objekt prostornoperiodican. Kristali su objekti cija unutrasnjagrada, ako bismo zamislili da se proteze ubeskonacnost, posjeduje translacijsku simetriju utri nekomplanarna smjera: unutrasnja gradakristala (kristalna struktura) je periodicna.




Ako neki objekt posjeduje translacijsku simetrijuu samo jednom smjeru, kazemo da jejednodimenzionalno periodican.Ako neki objekt u ravnini ili prostoru posjedujetranslacijsku simetriju u dva nekolinearnasmjera, kazemo da je taj objektdvodimenzionalno periodican.

Ako neki objekt u prostoru posjedujetranslacijsku simetriju u tri nekomplanarnasmjera, kazemo da je taj objekt prostornoperiodican. Kristali su objekti cija unutrasnjagrada, ako bismo zamislili da se proteze ubeskonacnost, posjeduje translacijsku simetriju utri nekomplanarna smjera: unutrasnja gradakristala (kristalna struktura) je periodicna.




Ako neki objekt posjeduje translacijsku simetrijuu samo jednom smjeru, kazemo da jejednodimenzionalno periodican.Ako neki objekt u ravnini ili prostoru posjedujetranslacijsku simetriju u dva nekolinearnasmjera, kazemo da je taj objektdvodimenzionalno periodican.Ako neki objekt u prostoru posjedujetranslacijsku simetriju u tri nekomplanarnasmjera, kazemo da je taj objekt prostornoperiodican. Kristali su objekti cija unutrasnjagrada, ako bismo zamislili da se proteze ubeskonacnost, posjeduje translacijsku simetriju utri nekomplanarna smjera: unutrasnja gradakristala (kristalna struktura) je periodicna.



Ravninska i prostorna primitivna resetka

Definicija

Ako je fiksirano ishodiste, primitivna resetka je skup tocaka ravnineodnosno prostora koje obzirom na odabranu bazu imaju cjelobrojnekoordinate.



Kristalografska baza

Ako je objekt dvodimenzionalno odnosno prostorno periodican, uz njega seodabirom dva odnosno tri vektora koji opisuju dvije nekolinearne odnosnonekomplanarne translacijske simetrije prirodno veze ravninska odnosno prostornaprimitivna resetka.

Periodicnost unutrasnje grade kristala znaci da se medu njenim simetrijama

nalaze i translacije u tri nekomplanarna smjera. Odaberemo li tri odgovarajuca

vektora −→a ,−→b , −→c 4, oni cine bazu prostora. Tako odabranu bazu nazivamo

kristalografskom bazom, a uz odabri ishodista pripadnu resetku zovemo

(primitivnom) kristalnom resetkom. Kristalografska se baza obicno opisuje

kristalografskim parametrima, tj. duljinama vektora baze (a, b, c) i kutovima

medu njima (α = ∠(−→b ,−→c ), β = ∠(−→a ,−→c ), γ = ∠(−→a ,

−→b )).

4Postoje kristalografske konvencije kako se medu svih beskonacnomogucnosti oni biraju.


Prostorne grupe

Prostorne grupe

Definicija

Grupa svih simetrija neke kristalne strukture, tj. nekog prostornoperiodicnog objekta, naziva se prostornom grupom.

Uocimo: u svakoj se prostornoj grupi moraju nalaziti translacije u trinekomplanarna smjera i te stoga prostorne grupe ne mogu biti konacne.

Svaka simetrija kristalne strukture (svaki element prostorne grupe) mozese opisati kao kompozicija jedne simetrije A koja fiksira odabranu tocku Oprostora (

”ishodiste”) i jedne translacije odredene nekim vektorom −→v .

Definicija

Za odabranu kristalografsku bazu i ishodiste, jedinicna celija je skup svihtocaka prostora cije koordinate poprimaju vrijednosti u intervalu [0, 1〉.

Primijetimo: jedinicna celija je uvijek paralelepiped razapet vektorimakristalografske baze.


Prostorne grupe

Prostorne grupe

Definicija

Grupa svih simetrija neke kristalne strukture, tj. nekog prostornoperiodicnog objekta, naziva se prostornom grupom.

Uocimo: u svakoj se prostornoj grupi moraju nalaziti translacije u trinekomplanarna smjera i te stoga prostorne grupe ne mogu biti konacne.Svaka simetrija kristalne strukture (svaki element prostorne grupe) mozese opisati kao kompozicija jedne simetrije A koja fiksira odabranu tocku Oprostora (

”ishodiste”) i jedne translacije odredene nekim vektorom −→v .

Definicija

Za odabranu kristalografsku bazu i ishodiste, jedinicna celija je skup svihtocaka prostora cije koordinate poprimaju vrijednosti u intervalu [0, 1〉.

Primijetimo: jedinicna celija je uvijek paralelepiped razapet vektorimakristalografske baze.


Prostorne grupe

Holoedrija resetke

Koordinatni sustav s odabranim ishodistem i osima koje leze paralelenosmjerovima vektora kristalografske baze (a jedinica na pojedinoj osijednaka je duljini odgovarajuceg vektora baze) zove se kristalografskikoordinatni sustav. Vec smo rekli: sve tocke koje u tom koordinatnomsustavu imaju cjelobrojne koordinate cine (primitivnu) kristalnu resetku.Tockina grupa (primitivne) kristalne resetke zove se njenom holoedrijom iodreduje kristalni sustav. Tockine grupe kristala pojedinog sustava supodgrupe holoedrije.Primjerice, svi kristali cija primitivna resetka ima holoedriju Ci = 1nazivaju se kristalima triklinskog sustava. Pojedini kristali tog sustava kaotockinu grupu mogu imati jednu od Ci i C1 jer su to jedine podgrupe odCi. Moze se pokazati da su moguci samo sedam tipova holoedrija resetki.


Prostorne grupe

Kristalni sustavi i Bravaisove resetke

Monoklinski sustav sastoji se od kristala s holoedrijom C2h, rompski sustavsastoji se od kristala s holoedrijom D2h, trigonski sustav sastoji se odkristala s holoedrijom D3d, heksagonski sustav sastoji se od kristala sholoedrijom D6h, tetragonski sustav sastoji se od kristala s holoedrijomD4h, a kubicni sustav se sastoji od kristala s holoedrijom Oh. Svaku odkristalografskih tockinih grupa mozemo shvatiti kao podgrupu neke odholoedrija i tako definiramo kristalne klase unutar pojedinih sustava.

Za danu prostornu grupu, sve njene translacije cine (komutativnu)podgrupu, koja odreduje Bravaisovu resetku kao skup svih tocaka prostorakojima su radij-vektori vektori tih svih translacija. Kristalografska baza

{−→a ,−→b ,−→c } je primitivna ako Bravaisova resetka sadrzi samo tocke s

cjelobrojnim koordinatama obzirom na tu bazu. Postoji 14 Bravaisovihresetki.


Prostorne grupe

Kristalni sustavi i Bravaisove resetke

Monoklinski sustav sastoji se od kristala s holoedrijom C2h, rompski sustavsastoji se od kristala s holoedrijom D2h, trigonski sustav sastoji se odkristala s holoedrijom D3d, heksagonski sustav sastoji se od kristala sholoedrijom D6h, tetragonski sustav sastoji se od kristala s holoedrijomD4h, a kubicni sustav se sastoji od kristala s holoedrijom Oh. Svaku odkristalografskih tockinih grupa mozemo shvatiti kao podgrupu neke odholoedrija i tako definiramo kristalne klase unutar pojedinih sustava.Za danu prostornu grupu, sve njene translacije cine (komutativnu)podgrupu, koja odreduje Bravaisovu resetku kao skup svih tocaka prostorakojima su radij-vektori vektori tih svih translacija. Kristalografska baza

{−→a ,−→b ,−→c } je primitivna ako Bravaisova resetka sadrzi samo tocke s

cjelobrojnim koordinatama obzirom na tu bazu. Postoji 14 Bravaisovihresetki.


vektorski prostori euklidskih vektora i prostorne...

Documents