Vektoru algebra. Pamatjēdzieni

Pamatjēdzieni• Par vektoru sauc orientētu taisnes nogriezni,kuram dots

sākumpunkts un galapunkts.

• Vektora skaitlisko vērtību sauc par vektora moduli, pieraksta

• Par nullvektoru sauc tādu vektoru, kura modulis ir nulleNullvektora virziens nav noteikts.

• Par vienības vektoru sauc tadu vektoru, kura modulis ir viena vienība. Vienības vektoru, kas ir vienādi vērsts ar doto vektoru sauc par vektora ortu un apzīmēa

r

A

B

AB

ABa ,r

00 =r

ar

1,00

=aarr

ar • Vektorus sauc par

kolineāriem, ja to darbības taisnes ir paralelas vai sakrīt

vienādi vērsti jeb paraleli

pretēji vērsti • Divus vektorus sauc par

vienādiem, ja tie ir kolineāri, vienādi vērsti un to moduļi ir vienādi:

pretējie vektori • Trīs vektorus, kas atrodas

vienā plaknē, sauc par komplanāriem.

, , komplanāri, , nav komplanāri

br

cr

ar

br

br

cr

ar

dr

ar

= dr

fr

ar

= - fr

arb

r

cr

cr

dr

ar

br

cr

ar

br

dr

dr

Lineāras darbības ar vektoriem• Vektoru saskaitīšana

• Vektoru reizināšana ar skaitli

ar

br

br

ar

ar c

rdr

barr

+

barr

+

barr

−

ar

3

ar

2−

Vektora projekcija uz ass• Par vektora projekciju uz ass u sauc

nogriežņa A1B1 garumu, kas ir pozitīvs, ja A1B1 vērsums sakrīt ar u ass pozitīvo virzienu, bet negatīvs, ja šis vērsums ir pretējais. Pieraksta proj

u

• Projekciju īpašības:

ABa =r

ar

u

A

B

B1A1

α

αcosaaproju

rr=

( ) bprojaprojbaproj uuu

rrrr+=+

( ) bprojkbkproj uu

rr⋅=

Vektoru lineāra atkarība

• Lai ir doti vektori .Ja vektoru var uzrakstīt veidā: tad saka, ka vektors ir vektoru lineāra kombinācija.

• Ja vienu vektoru var izteikt kā pārējo vektoru lineāru kombināciju, tad vektorus sauc par lineāri atkarīgiem, ja to izdarīt nevar, tad vektori ir lineāri neatkarīgi.

• Divi kolineāri vektori ir lineāri atkarīgi.Savukārt, divi nekolineāri vektori ir lineari neatkarīgi.

• Trīs komplanāri vektori ir lineāri atkarīgi. Savukārt, trīs nekomplanāri vektori ir lineari neatkarīgi.

• Četri nekomplanāri vektori ir lineari atkarīgi.• Visu to lineāri neatkarīgo vektoru kopu, ar kuriem

izsaka pārējos vektorus, sauc par bāzi.

cbarrr

,, dr

cmbnakdrrrr

++=cbarrr

,,

Vektora koordinātes

ir

Pēc vektoru saskaitīšanas likuma Viegli redzēt, Tad .

un sauc par vektora komponentēm, betvektora proekcijas uz asīm sauc par vektorakoordinātām.

Vektora koordinātas parasti pieraksta

jr

x

y

O

A

ax

ay Uz koordinātu asīm ņemam vienības vektorus un

projx = , projy =

ir

jr

ar

ar

ar

ax ayA1

A2

21OAOAOA +=

jaOAiaOA yx

rr==

21,

jaiaOA yx

rr+=

ax ir

ay jr

( )yx aaa ,=

r

x

y

z

ir j

r

kr a

r

Ja vektors ir dots telpā, tad analogi viņu var sadalīt komponentēs :

Vektora koordinatas ir

ar

kajaiaa zyx

rrrr++=

( )zyx aaaa ,,=

r

ax

ay

az

αβ

γ

Pamatformulas

• Pēc zīmējuma var redzēt, ka vektora moduli (garumu) var aprēķināt:

• leņķi, ko veido vektors ar Ox, Oy un Oz asīm. Šo leņķu kosinusus sauc par vektora virzienu kosinusiem.

222

zyx aaaa ++=r

γβα ,,

a

a

a

a

a

a zyxrrr === γβα cos,cos,cos

ar

ar

Vektora koordinātas, ja dotas tās galapunktu koordinātas

OAOBAB −=x y

z

o

A(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2)

projx = projx - projx = x2 - x1

projy = projy - projy = y2 – y1

projz = projz - projz = z2 – z1AB

( )121212

,, zzyyxxAB −−−=

AB OB OA

AB OB OA

OB OA

Linearas darbības ar vektoriem dotiem koordinātās

( )zyx aaaa ,,=

r• Ja divi vektori irvienādi, tad to koordinātas ir vienādas• Vektorus saskaitot vaiatņemot, jāsaskaita vaijāatņem atbilstošas koordinātas• Ja vektoru reizina arskaitli k, tad ar šoskaitli jāreizina katrakoordināta• Kolineāru vektorukoordinātas ir proporcionālas

( )zyx bbbb ,,=

r;

zzyyxx bababa === ;;

( )zzyyxx babababa ±±±=± ,,

rr

( )zyx kakakaak ,,=

r

akbrr

=z

z

y

y

x

x

a

b

a

b

a

b==;