2Versuch 1.1 und 1.2

Kreisprozesse, Wärmekraftmaschinen undWärmepumpen

In diesem Versuch untersuchen Sie das Druck- und Temperaturverhalten eines (simu-lierten) Carnot Kreisprozesses unter Verwendung einer elektrischen Kompressions-Wärmepumpe und die Leistungse�zienz eines realen Stirling Prozesses. Speziell mes-sen und diskutieren Sie den Wirkungsgrad der jeweiligen Maschine.

2.1. Allgemeine theoretische Grundlagen

2.1.1. Kreisprozesse

Das Funktionsprinzip einer Wärmekraftmaschine mit zwei Wärmereservoirs ist in Ab-bildung 2.2 vereinfacht dargestellt.Wird einem wärmeren Reservoir die Wärmemenge Q entzogen, so nimmt seine Entropieum Q/TW ab; wird die Wärmemenge Q′ dem kälteren Reservoir zugeführt, so erhöht sichdessen Entropie um Q′/TK. Für reversible Prozesse gilt ∆S = Q/T . Da Q/TW = Q′/TK,ergibt sich für den reversiblen Kreisprozess ∆SGesamt = 0. Enthält der Kreisprozess hin-gegen irreversible Teilschritte, so wird ∆S positiv (2. Hauptsatz). Wird die Di�erenzQ−Q′ = W als Arbeit entnommen, bezeichnet man die Apparatur als Wärmekraftma-schine: Wärme wird (teilweise) in Arbeit umgewandelt.Die E�zienz einer Wärmekraftmaschine wird über ihren Wirkungsgrad η charakterisiert,der über das Verhältnis aus vom Arbeitsmittel geleisteter Arbeit W und dem wärmerenReservoir entzogener Wärmemenge Q de�niert ist. Hierbei sind jeweils die Beträge vonW und Q zu betrachten. Für den Wirkungsgrad gilt somit:

η =|Wges|Q

= 1− TKTW

. (2.1)

Beachten Sie, dass η stets kleiner als eins ist (auÿer TK = 0 K). Es ist also nicht möglich,eine Wärmemenge Q ohne Verluste (Q′) direkt in Arbeit W zu überführen. Der in

A

B

C

D

WAB = -nRTW ln (VB/VA)QAB = nRTW ln (VB/VA)

WBC = CV(TK - TW)

QDA = 0WDA = CV(TW - TK)

WCD = -nRTK ln (VD/VC)QCD = nRTK ln (VD/VC)

TW

TK

QBC = 0

p

V

Abbildung 2.1.: Carnotscher Kreisprozess

Gleichung (2.1) angegebene Wert ist ein oberer Grenzwert für Kreisprozesse mit strengreversiblen Teilschritten im Falle von zwei Wärmereservoirs.

2.2. Carnot Kreisprozess, Versuch 1.1

Die Versuchsdurchführung besteht aus zwei Teilversuchen: zunächst bestimmen Sie dieWärmekapazitäten, danach untersuchen Sie die Kompressions-Wärmepumpe für ein Sys-tem mit jeweils Wasser in den Austauschbehältern.

2.2.1. Theoretische Grundlagen

Es wird eine Maschine betrachtet, die mit einem idealen Gas betrieben wird und in dersich rein reversible Expansion und Kompression in einem Kreisprozess abwechseln. DieserKreisprozess, auch Carnotscher Kreisprozess genannt, ist in Abbildung 2.1 dargestellt:von A nach B wird das Gas isotherm, von B nach C adiabatisch expandiert, von C nachD erfolgt eine isotherme Kompression und der Kreislauf wird durch eine adiabatischeKompression von D nach A geschlossen. Die zu den jeweiligen Schritten gehörendenArbeitsbeiträge W sowie die dem wärmeren Reservoir entzogenen bzw. dem kälterenzugeführten Wärmemengen Q sind in Abbildung 2.1 angegeben. Die gesamte während

27

Tk

Tw

Q

Q'

W

S = - QTw

S = + Q'Tk

Abbildung 2.2.: Wärmekraftmaschine

Tk

Tw

Q

Q'

W

S = + QTw

S = - Q'Tk

Abbildung 2.3.: Wärmepumpe

eines Kreisdurchlaufs geleistete Arbeit entspricht der eingeschlossenen Fläche und istgegeben durch

W = Wges =N∑i

Wi

= −nRTW ln

(VBVA

)+ CV (TK − TW)− nRTK ln

(VDVC

)+ CV (TW − TK) .

(2.2)

Für die dem wärmeren Reservoir während eines Kreislaufes entzogene Wärmemenge QAB

ergibt sich

QAB = −WAB = nRTW ln

(VBVA

), (2.3)

während auf das kältere Reservoir die folgende Wärmemenge übertragen wird

QCD = −WCD = nRTK ln

(VDVC

). (2.4)

Für einen reversiblen adiabatischen Prozess gilt

TV 1/c = const. mit c =CV

nR(2.5)

und daher gilt für die adiabatischen Teilprozesse

VBVC

=

(TKTW

)c=VAVD. (2.6)

28

Für den Wirkungsgrad ergibt sich somit das bereits bekannte Ergebnis

η =|−Wges|QW

= 1− TKTW

. (2.7)

Die in Abbildung 2.2 skizzierte Maschine kann auch rückwärts, d.h. als Wärmepumpe,betrieben werden indem Arbeit W zugeführt wird. In diesem Falle wird dem kälterenReservoir die Wärmemenge Q′ entzogen und dem wärmeren Reservoir die gröÿere Wär-memenge Q zugeführt. Somit ist die Wärmepumpe eine Maschine, die Wärme von einemkalten Wärmereservoir unter Aufwand von Arbeit auf ein wärmeres Reservoir überträgt.In Abbildung 2.3 wird dieser Prozess vereinfacht dargestellt, welcher auch prinzipiell injedem Kühlschrank Anwendung �ndet.Im Praktikum wird eine Kompressionswärmepumpe mit einem realen Gas als Arbeits-mittel eingesetzt. Die Wärmemengen werden in diesem Fall nicht durch isotherme Kom-pression bzw. Expansion des Arbeitsmittels, sondern im Wesentlichen in Form von Pha-senumwandlungsenthalpien, d.h. Kondensationsenthalpie und Verdampfungsenthalpie,übertragen. Die Leistungszahl einer Wärmepumpe ε ist der Quotient aus abgegebenerWärmeleistung QW bzw. QKondensor und investierter Arbeit W an einem genau festge-legten Arbeitspunkt.

ε(t) =QW(t)

W (t)=

TW(t)

TW(t)− TK(t). (2.8)

2.2.2. Versuchsaufbau

Abbildung 2.4 zeigt die im Praktikum verwendete elektrische Kompressions-Wärmepumpe.Die Wärmepumpe wird mit ihrer festen Anschlussleitung an das Wechselstromnetz ange-schlossen. Der Netzschalter be�ndet sich seitlich am Gehäuse. Isolierte Wasserbehälter,die zur Bestimmung der Energiebilanz jeweils mit einer de�nierten Menge Wasser gefülltwerden, be�nden sich unter den Metallspiralen von Verdampfer und Kondensor. AchtenSie vor Inbetriebnahme der Wärmepumpe darauf, dass die Temperatur im Kondensor-gefäÿ nicht kälter ist als im Verdampfergefäÿ.Als Arbeitsmittel wird Tetra�uorethan verwendet. Die Kompressorleistung beträgt un-gefähr 120 Watt, was der ArbeitW entspricht, und die Drehzahl ist mit 1450 min−1, d.h.1450 Zyklen pro Minute, gegeben. Die verschiedenen Elemente dieser Maschine sind:

1. Kompressor: Der Kompressor verdichtet das gasförmige Arbeitsmittel. Die dazunotwendige Energie wird in Form von elektrischer Energie Qel zugeführt. DurchKompression werden Druck p und Temperatur T erhöht. Die zum Kompressorführende Leitung ist aus diesem Grund gepunktet und blau (gasförmig und kalt)und die vom Kompressor wegführende Leitung gepunktet und rot (gasförmig undwarm) gekennzeichnet.

2. Kondensor: Auf der Seite des Kondensors wird vom Arbeitsmittel WärmeenergieQw an die Umgebung abgegeben. Dabei wird der gröÿte Teil der Energie durchVer�üssigen des Arbeitsmittels frei (reales Gas, Phasenübergänge) und ein geringer

29

413

57

8

6 21

Abbildung 2.4.: Elektrische-Kompressions-Wärmepumpe

Teil durch Abkühlung des Arbeitsmittels. Die Leitung hinter dem Kondensor istdurchgehend rot (�üssig und warm) gekennzeichnet.

3. Schauglas: Im Schauglas hinter dem Kondensor sind während des Betriebs das�üssige Arbeitsmittel sowie einige Gasblasen zu erkennen.

4. Manometer: Das Manometer zeigt den Überdruck des Arbeitsmittels auf der Kon-densorseite in bar an. Zur Bestimmung des Absolutdruckes ist jeweils der aktuelleLuftdruck von ca. 1 bar zu addieren.

5. Drosselventil: Durch das Drosselventil strömt das Arbeitsmittel aus dem Bereichmit hohem Druck in den Bereich mit niedrigem Druck und kühlt sich dabei ab.Die Leitung hinter dem Drosselventil ist durchgehend blau (kalt und �üssig) ge-kennzeichnet.

6. Verdampfer: Auf der Seite des Verdampfers nimmt das Arbeitsmittel Wärme-energie Qk aus der Umgebung auf. Dabei wird der gröÿte Teil dieser Energie zumVerdampfen des Arbeitsmittels benötigt. Ein Temperatursensor, der direkt an denWendeln des Verdampfers angebracht ist, steuert das Drosselventil, da nur dampf-förmiges Arbeitsmittel in den Kompressor gelangen darf.

7. Schauglas: Im Schauglas hinter dem Verdampfer ist während des Betriebs derWärmepumpe gasförmiges Arbeitsmittel oder gerade noch verdampfendes �üssigesArbeitsmittel zu erkennen.

30

8. Manometer: Das Manometer zeigt den Überdruck des Arbeitsmittels auf der Ver-dampferseite in bar an. Zur Bestimmung des Absolutdruckes ist jeweils der aktuelleLuftdruck von ca. 1 bar zu addieren.

2.2.2.1. Vorgehen

Der Versuch besteht aus zwei Teilversuchen. Zuerst bestimmen Sie die Wärmekapazitätdes Verdampfers und des Kondensors. Im Anschluss daran betreiben Sie die Maschineals Wasser/Wasser-Wärmepumpe.

1. Bestimmung der Wärmekapazität von Verdampfer und Kondensor: BefüllenSie das Kondensorgefäÿ bis die Metallspirale mit Wasser bedeckt ist (ca. 6 L) underwärmen Sie das Wasser mit Hilfe des Tauchsieders. Stecken Sie den Tauchsiedererst in die Steckdose, wenn er ins Wasser taucht. Nehmen Sie den Startwert aufund messen Sie alle 60 Sekunden die Temperatur des Wassers als Funktion der ZeitT (t), bis die Temperatur 50◦C erreicht ist. Wiederholen Sie die Bestimmung fürdas Verdampfergefäÿ mit derselben Menge Wasser. Die Leistung des Tauchsiederswird mit Hilfe eines Leistungsmessers bestimmt und der Mittelwert verwendet.

2. Bestimmung der Variation von p und T im Kreislauf der Wärmepumpe:Als nächstes soll die Funktionsweise der Kompressionswärmepumpe untersuchtwerden. Füllen Sie zunächst in beide Wärmebecken die gleiche Menge an kaltemLeitungswasser und bestimmen Sie die Temperatur des Wassers in beiden Gefäÿenvor Start der Pumpe und nach dem Start für maximal 25 Minuten als Funktion derZeit alle 120 Sekunden. Notieren Sie parallel auch die Drücke des Arbeitsmittelsund die Leistung der Pumpe. Schalten Sie die Pumpe aus, wenn die Temperaturim Kondensorgefäÿ 50◦C erreicht hat oder wenn der abgelesene Druck an einemder Wärmebecken gröÿer als 14 bar wird.

Achtung: Beachten Sie, dass die Pumpe nicht angeschalten werden darf, wenndie Temperatur am Verdampfer gröÿer ist als die am Kondensor. Helfen Sie imBedarfsfall etwas mit dem Tauchsieder nach.

2.2.3. Auswertung

1. Es ist zunächst die Wärmekapazität des Verdampfers und des Kondensors zu be-stimmen. Tragen Sie die gemessenen Temperaturen gegen die Zeit auf. Für dieTemperaturänderung gilt

Pel · t = Q = CV ·∆T (2.9)

Durch Linearisierung dieser Gleichung soll CV mit Hilfe einer linearen Regressionbestimmt werden. Was bedeutet der lineare Verlauf für CV und womit ist dies zuerklären? Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Literaturwert der entsprechendenMenge Wasser.

31

2. Werten Sie die gemessenen Daten wie im Folgenden beschrieben aus:

(a) Primärdatenauswertung: Tragen Sie die jeweils gemessenen Temperaturen vonVerdampfer- und Kondensorgefäÿ in einem Diagramm gegen die Laufzeit derPumpe auf und diskutieren Sie qualitativ den Verlauf. Verfahren Sie ebensomit den Drücken.

(b) Erstellen eines p-T -Diagramms: Tragen Sie den gemessenen Druck gegen diegemessene Temperatur für Verdampfer- und Kondensorgefäÿ in einem Dia-gramm auf. Was kann aus der Auftragung im Hinblick auf das Vorliegen einesthermodynamischen Kreisprozesses geschlossen werden?

(c) Bestimmung der in jedem Messintervall übertragenen Wärmemenge: Berech-nen Sie aus dem gemessenen Temperaturverlauf die in jedem Messintervall aufdas Kondensorgefäÿ übertragene Wärmemenge QKond(t) bzw. dem Verdamp-fergefäÿ entzogenen Wärmemenge QVerd(t). Es gilt (mit ∆T als Temperatur-änderung während des jeweiligen 60-Sekunden-Intervalls):

Q(t) = CV ·∆T (t) (2.10)

Tragen Sie die übertragenen Wärmemengen in einem Diagramm gegen dieLaufzeit der Pumpe auf. Als Zeitwert soll die Laufzeit in der Intervallmittedienen. Diskutieren Sie den Verlauf. Beachten Sie dabei, dass mit zunehmenderLaufzeit der Temperaturunterschied stetig zunimmt.

(d) Bestimmung der Leistungsbilanz: Berechnen Sie aus der in jedem Messinter-

vall auf das Kondensorgefäÿ übertragenen Wärmemenge QKond(t) bzw. demVerdampfergefäÿ entzogenen Wärmemenge QVerd(t) die Leistungsbilanz L(t)der Pumpe für das jeweilige Messintervall. Es gilt (mit Wel(t) als Arbeit derPumpe in dem jeweiligen Messintervall):

L(t) = QKond(t) +QVerd(t)−Wel(t) (2.11)

Tragen Sie die Leistungsbilanz L(t) gegen die Laufzeit der Pumpe auf. AlsZeitwert soll wiederum die Laufzeit in der Intervallmitte dienen. DiskutierenSie den Verlauf und beachten Sie wiederum, dass mit zunehmender Laufzeitder Temperaturunterschied stetig zunimmt. Was wird für die Leistungsbilanzbei einem Carnotschen Kreisprozess erhalten?

(e) Bestimmung der Leistungszi�er für jedes Messintervall: Berechnen Sie aus derin jedem Messintervall auf das Kondensorgefäÿ übertragenen WärmemengeQKond(t) die Leistungszi�er ε(t) der Pumpe für das jeweilige Messintervall. Esgilt:

ε(t) =QKond(t)

Wel(t)(2.12)

Bestimmen Sie die Leistungszi�er εCarnot(t) einer Carnotschen Wärmepum-pe, die zwischen den beiden Wärmereservoirs des Versuchsaufbaus arbeitet. Es

32

gilt (mit T (t) als gemessene Temperatur des jeweiligen Gefäÿes in Kelvin):

εCarnot(t) =QW(t)

W (t)= η−1

Carnot(t) =TW(t)

TW(t)− TK(t)(2.13)

Verwenden Sie hierbei den Mittelwert der gemessenen Temperaturen der In-tervallgrenzen.

Tragen Sie die Carnotsche Leistungszi�er und die der verwendeten Wärme-pumpe gegen die Laufzeit auf. Als Zeitwert soll die Laufzeit in der Intervall-mitte dienen (s.o.). Diskutieren Sie den Verlauf und beachten Sie wiederum,dass mit zunehmender Laufzeit der Temperaturunterschied stetig zunimmt.Warum muss die Leistungszi�er der Carnotschen Wärmepumpe gröÿer alsdie der realen Maschine sein? Betrachten Sie hierzu die Kopplung einer Car-notschen Wärmekraftmaschine zum einen mit einer Carnotschen Wärme-pumpe und zum anderen mit einer realen Wärmepumpe unter Beachtung des2. Hauptsatzes der Thermodynamik. Was bedeutet dies für die Reversibilitätder verwendeten Maschine?

2.3. Stirling Prozess, Versuch 1.2

Im Versuchsteil 1.1 wurde eine Wärmepumpe untersucht, deren Arbeitsmittel ein realesGas ist, und bei dem die Wärmemengen nicht wie im idealisierten Carnot-Prozess überdie Isothermen, sondern im Wesentlichen über Phasenumwandlungen gasförmig-�üssigzwischen Maschine und umgebenden Reservoirs (Kondensor, Verdampfer) ausgetauschtwurden. Im Versuchsteil 1.2 soll nun eine Wärmekraftmaschine, die mit einem nahezuidealen Gas als Arbeitsmittel funktioniert, hinsichtlich ihres Wirkungsgrades untersuchtwerden. Diese Maschine ist dem idealisierten Stirling-Prozess nachempfunden, dessentheoretische Grundlagen im Folgenden kurz vorgestellt werden sollen.

2.3.1. Theoretische Grundlagen

Im Jahre 1816 patentierte Robert Stirling eine Heissluft-Maschine, deren Kreislaufim p-V -Diagramm idealisiert in Abbildung 2.5 wiedergegeben ist. Dieser Prozess funktio-niert in ähnlicher Art und Weise wie der Carnotsche Kreisprozess, im Grunde werdennur die adiabatischen Teilschritte durch Isochoren ausgetauscht. Von B nach C erfährtdas System eine isochore Abkühlung und von D nach A eine isochore Erwärmung. Imidealen Fall kompensieren sich die Wärmemengen Q dieser beiden Teilschritte, sodasswie beim Carnot-Prozess QAB der dem wärmeren Reservoir entzogenen Wärmemengeentspricht. Die zu den Teilschritten gehörenden Arbeitsbeiträge W und WärmemengenQ sind in der Abbildung 2.5 angegegen. Die geleistete Arbeit entspricht wieder der graudargestellten Fläche. Die Gesamtarbeit ist gegeben durch

W = −nRTW ln (VBVA)− nRTK ln

(VDVC

). (2.14)

33

Auÿerdem gilt, da zwei isochore Teilschritte vorhanden sind

VA = VD und VB = VC. (2.15)

Die dem Wärmereservoir entzogene Wärmemenge ist analog der des CarnotschenKreisprozesses (siehe Gleichung (2.3))

QAB = −WAB = nRTW ln

(VBVA

). (2.16)

Für den Wirkungsgrad wird, sofern ein verlustfreies Arbeiten vorausgesetzt wird, dasselbe Ergebnis wie bei Carnot erhalten

η =|−Wges|QW

= 1− TKTW

. (2.17)

D

WAB = -nRTW ln (VB/VA)QAB = nRTW ln (VB/VA)

QBC = CV(TK - TW)

WDA = 0QDA = CV(TW - TK)

WCD = -nRTK ln (VD/VC)QCD = nRTK ln (VD/VC)

TW

TKWBC = 0

p

V

A

B

C

Abbildung 2.5.: Stirling-Kreisprozess

2.3.2. Durchführung

In Abbildung 2.6 ist der Versuchsaufbau dargestellt, wobei es sich bei 1 um die Stirling-maschine, bei 2 um einen Temperaturmesser, bei 3 um ein Oszilloskop und bei 4 umeinen Drehmomentsmesser handelt.

34

2

Die bei jedem Teilschritt vom Arbeitsmittel mit der Umgebung ausgetauschte Arbeit bzw. Wärmememengen sowie Änderungen der inneren Energie, jeweils aus Sicht des Arbeitsmittels, sind in folgender Tabelle aufgelistet: Teilschritt U∆ Q W I. Isotherme Expansion 0 1 2 1lnnRT V V 1 2 1lnnRT V V− II. Isochore Abkühlung ( )2 1Vc T T− ( )2 1Vc T T− 0

III. Isotherme Kompression 0 2 1 2lnnRT V V 2 1 2lnnRT V V− IV. Isochore Erwärmung ( )1 2Vc T T− ( )1 2Vc T T− 0

Die Herleitung dieser Ausdrücke ist analog zu denen beim Carnot-Prozeß. Beachten Sie jeweils die Gültigkeit des 1.Hauptsatzes: U Q W∆ = + . Für den Wirkungsgrad dieser Maschine erhalten wir, falls sie Verlust-frei arbeitet:

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 1

ln lnln

IV

iI

I

WnRT V V nRT V V T T

Q nRT V V Tη

− − −= = =∑

Dies ist der gleiche Wert wie für eine bei den entsprechenden beiden Temperaturen betriebene Carnot-Maschine, wie es nach dem 2ten Hauptsatz der Thermodynamik ja auch der Fall sein muss. (II) Experimentelle Durchführung: A) Aufbau: Der Versuchaufbau und die den 4 oben gezeigten Teilschritten des Kreisprozesses entsprechenden Vorgänge sind nachfolgend gezeigt:

Abb.2: Versuchsaufbau, 1: Stirlingmaschine, 2: Temperaturmesser, 3: Oszilloskop (p-V) 4: Drehmomentmesser

1

2

3

4

Abbildung 2.6.: Versuchsaufbau Stirling Prozess

Die den vier oben gezeigten Teilschritten des Kreisprozesses entsprechenden Vorgängesind in Abbildung 2.7 dargestellt.Der Temperatur-Gradient TW−TK wird wie gezeigt mittels eines kleinen Ethanolbrennerssowie der Umgebungstemperatur eingestellt. Entsprechend dem p-V -Diagramm (Abbil-dung 2.5) stellt Phase I (A→B) die isotherme Expansion des Gasraumes bei der wärme-ren Temperatur TW dar, Phase II (B→C) die isochore Abkühlung, Phase III (C→D) dieisotherme Kompression und Phase IV (D→A) die isochore Erwärmung. Die TemperaturTW entspricht der durch den Ethanolbrenner erwärmten Luft, die kältere TemperaturTK der Umgebungstemperatur. Der horizontale Kolben 1 (Verdränger) bewegt sich hier-bei um 90◦ phasenverschoben zum Arbeitskolben 2 und sorgt für den Wärmetransportwährend der isochoren Schritte. Da er, im Gegensatz zum Arbeitskolben, nicht mitdem Gefäÿrand abschlieÿt, ändert seine Bewegung nicht das Arbeitsvolumen des Motors3, sondern reguliert lediglich die durch die Ethanol�amme dem Arbeitsgas zugeführteWärmemenge und somit dessen Temperatur (Position I: komplette Wärmezufuhr beiTW; Position III: minimale Wärmezufuhr bei TK). Die mechanische Arbeit des Motorswird während des (isothermen) Kolbenhubes in den Phasen I und III geliefert.

2.3.2.1. Einstellen der Geräte

Die einzelnen Komponenten des Versuchs sind bereits wie in Abbildung 2.6 gezeigt voll-ständig aufgebaut. Die Messgeräte werden bei stehendem Motor wie folgt eingestellt.Achtung: Der Brenner muss bei den Einstellungen ausgeschaltet sein.

1. Temperatur-Kalibrierung: Nach Einschalten zeigt das pV n - Messgerät im Display

35

3

Abb.3: Funktionsprinzip des transparenten realen Stirling Motors Der Temperatur-Gradient 1 2T T− wird wie gezeigt mittels eines kleinen Ethanolbrenners sowie der Umgebungstemperatur eingestellt. Entsprechend dem p-V-Diagramm (Abb.1) stellt Phase I die isotherme Expansion des Gasraumes bei der wärmeren Temperatur 1T dar, Phase II die isochore Abkühlung, Phase III die isotherme Kompression und Phase IV die isochore Erwärmung. Die Temperatur 1T entspricht der durch den Ethanolbrenner erwärmten Luft, die kältere Temperatur 2T der Umgebungstemperatur. Der horizontale Kolben (1, Verdränger) bewegt sich hierbei 90°-phasenverschoben zum Arbeitskolben (2), und sorgt für den Wärmetransport während der isochoren Schritte. Da er, im Gegensatz zum Arbeitskolben, nicht mit dem Gefäßrand abschließt, ändert seine Bewegung nicht das Arbeitsvolumen des Motors (3), sondern reguliert lediglich die durch die Ethanolflamme dem Arbeitsgas zugeführte Wärmemenge und somit die Temperatur des Arbeitsgases (Position I: komplette Wärmezufuhr, 1T ; Position III: minimale Wärmezufuhr, 2T ). Die mechanische Arbeit des Motors wird während des (isothermen) Kolbenhubes in den Phasen I und III geliefert. Die einzelnen Komponenten des Versuchs sind bereits wie in Abb.2 gezeigt vollständig aufgebaut. Die Messgeräte werden bei stehendem Motor (Brenner aus !) wie folgt eingestellt: (i) Temperatur-Kalibrierung: nach Einschalten zeigt das pV n – Messgerät im Display “cal“ für Kalibrierung: Hierfür werden zunächst beide Temperaturmessfühler auf gleiche Temperatur gebracht, und anschließend der Kalibrierungs-Knopf “∆T“ gedrückt. Beachten Sie, dass durch diesen Vorgang lediglich die Anzeige der Temperaturdifferenz der beiden Messfühler, nicht jedoch die der absoluten Temperaturen, eingestellt wird.

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

33

3

311

11

2

2

2

2

Abbildung 2.7.: Funktionsprinzip des transparenten realen Stirling Motors

�cal� für Kalibrierung. Hierfür wird der Kalibrierungs-Knopf ∆T gedrückt, wobeibeide Temperaturmessfühler Raumtemperatur aufweisen sollen. Beachten Sie, dassdurch diesen Vorgang lediglich die Anzeige der Temperaturdi�erenz der beidenMessfühler, nicht jedoch die der absoluten Temperaturen, eingestellt wird.

2. Volumenkalibrierung: Hierauf erscheint im oberen Display �OT�, was für �obererTotpunkt� steht. Dieser Punkt entspricht dem minimalen Arbeitsvolumen desStirling Motors. Fahren Sie zum Erreichen dieses Volumens den Arbeitskolbenmanuell auf die niedrigste Position nach unten, indem Sie die Drehachse des Mo-tors bewegen, und justieren Sie anschlieÿend den Leuchtpunkt des Oszilloskops mitden +, − und Y-Reglern auf den linken Rand und mittlere Position des Displays.Drücken Sie hierauf den Knopf �calibration V�. Beachten Sie, dass bei falscherKalibrierung das vom Sensor ausgegebene p-V -Diagramm verzerrt erscheint.

Nun sollten auf den drei Displays des pV n - Messgerätes folgende Anzeigen zusehen sein: �0 min−1�, sowie die aktuellen Temperaturen T1 = TW und T2 = TK.

3. Kalibrierung des Drucksensors: Für eine quantitative Auswertung des auf dem Os-zilloskop angezeigten p-V -Diagrammes müssen Sie den Drucksensor vorher kali-brieren. Dies geschieht mittels einer Gasspritze wie folgt: lassen Sie zunächst denAssistenten den Messschlauch vom Stirling Motor entfernen, und justieren Sie

36

den Leuchtpunkt mit dem y-Regler auf die Mitte � diese Position (0 V) entsprichtdann dem Normaldruck.

Ziehen Sie anschlieÿend den Kolbenprober aus der Spritze bis zu einem de�niertenVolumen (15 mL) und verbinden Sie die Spritze mit dem Messschlauch. VerändernSie nun den Gasdruck (und entsprechend ändert sich die Oszilloskopanzeige) durchVeränderung der Position des Kolbenprobers, wobei Sie diesen Vorgang als isother-me Expansion bzw. Kompression eines idealen Gases betrachten (pV = const.).Das Volumen der Spritze wird hierbei zunächst in Schritten von 1 mL von 15 mLauf 20 mL erhöht und in einem zweiten Run von ursprünglich 20 mL auf 15 mLverrringert, wobei Sie das Volumen des Messschlauches vernachlässigen. NehmenSie nach diesem Prinzip elf verschiedene Messpunkte ∆U(p) auf, tragen Sie die-se auf (Anzeigespannung ∆U/Skalenteile gegen berechneten Druck p/hPa) undbestimmen Sie die zugehörige Eichgerade durch lineare Regression.

Ein Skalenteil entspricht 2 mm.

2.3.2.2. Betrieb des Motors

Ziel ist die Bestimmung der durch den Brenner freigesetzten Wärmemenge sowie dere�ektiven Arbeit und die Aufnahme des p-V -Diagrammes mit und ohne mechanischeLast.

1. Wiegen Sie den leeren Brenner, befüllen ihn mit ca. 25 - 30 mL Ethanol und wiegenSie ihn erneut. Um die Maschine de�niert mechanische Arbeit verrichten zu lassen,setzen Sie den Drehmoment-Sensor auf die Achse des Stirling Motors. Überdie Stellschraube des Zeigers lässt sich im laufenden Betrieb nun dessen Reibungmit dem Metallgegengewicht und somit die dem Motor abverlangte mechanischeLeistung, d.h. das entsprechende Drehmoment, einstellen. Zünden Sie nun denBrenner an, setzen Sie ihn in den Motor-Aufbau ein und notieren Sie sich dieStartzeit des Brenners.

2. Wenn nach Einsetzen des Brenners die Di�erenz der auf dem Display angezeig-ten Temperaturen ungefähr 80 K beträgt, versetzen Sie den Motor durch sanftesAnschubsen des Schwungrades im Uhrzeigersinn in Drehung. Stellen Sie ein Dreh-moment von 0 ein. Nach kurzer Anlaufphase sollte die Drehgeschwindigkeit etwa900 min−1 betragen und auf dem Oszilloskop das p-V -Diagramm eines (realen)Stirling-Prozesses sichtbar sein. Beginnen Sie mit der eigentlichen Messung je-doch erst, wenn die Drehzahl sowie die beiden Temperaturen in etwa konstantsind. Die niedrigere Temperatur T2 = TK beträgt in diesem Fall ca. 70 ◦C.

3. Notieren Sie sich die Temperaturen T1 = TW und T2 = TK sowie die Drehzahl desMotors und lesen Sie vom Oszilloskop die Spannungswerte ab, die dem maximalensowie dem minimalen Gasdruck entsprechen. Kopieren Sie anschlieÿend das p-V -Diagramm vom Bildschirm auf transparentes Millimeterpapier und vergessen Siehierbei nicht die Übertragung der y-Achse.

37

Um anschlieÿend die Fläche des Zyklus, die der Volumenarbeit entspricht, zu be-stimmen, benutzen Sie zum einen Ihre Kalibrierung des Drucksensors. Die Vo-lumenskala hingegen ergibt sich aus den Angaben des minimalen Volumens desMotors (bei Oszilloskopanzeige 0 V) V1 = 32 cm3 und des Maximalvolumens (beiOszilloskopanzeige 5 V) V2 = 44 cm3. Bestimmen Sie nun die Volumenarbeit proArbeitszyklus aus der eingeschlossenen Fläche (durch �Kästchen zählen� und zumVergleich durch Auswiegen der Fläche).

4. Verfahren Sie ebenso bei vier verschiedenen Drehmomenten im Bereich bis zu max.12 mNm (siehe Tabelle, jeweilige Bestimmung von Umdrehungen, TW und TK).

# Drehmoment/10−3Nm Umdrehungen/min−1 TW/◦C TK/◦C1 0

2

3

4

5

5. Lassen Sie abschlieÿend den Motor so lange weiter laufen bis die Ethanolmengevollständig verbrannt ist und notieren Sie die Zeit. Diese Gesamtbetriebsdauer desMotors mit einer Brennerfüllung sollte ungefähr 60 min betragen.

2.3.2.3. Auswertung

1. Die spezi�sche Verbrennungsenthalpie von Ethanol beträgt ∆H = 25kJ/g. Be-stimmen Sie aus ihrer Di�erenzwägung die Gesamtwärme sowie, mit Hilfe dergemessenen Gesamtbetriebsdauer des Motors, die durch den Brenner zugeführteLeistung P = Q/t.

2. Berechnen Sie aus Ihren Messdaten die mechanische Energie des Stirling Motorswie folgt:

• Die e�ektive mechanische Arbeit pro Arbeitszyklus ergibt sich aus dem Dreh-moment durch Multiplikation mit 2π.

• Die mechanische Leistung PM erhalten Sie, indem Sie diese Arbeit mit derDrehfrequenz (in s−1) multiplizieren.

• Die Hubleistung des Motors selbst PpV erhalten Sie, indem Sie die jeweiligenFlächen ihrer p-V -Diagramme mit der Drehfrequenz multiplizieren.

• Die Verlustleistung durch zusätzliche Reibung mit dem Drehmomentsensorergibt sich aus der Di�erenz dieser beiden Leistungen PFr = PpV − PM.

Erstellen Sie eine Tabelle mit den Spalten Drehmoment/min−1, PpV/W, PM/W,PFr/W ihrer Ergebnisse, wobei Sie auch den Messwert ohne mechanische Last(Aufgabe 2) berücksichtigen. Tragen Sie in einem Diagramm diese drei Leistungs-werte des Stirling Motors gegen die angelegte mechanische Last (ist gleich demDrehmoment) auf, und diskutieren Sie den Verlauf.

38

3. Berechnen Sie Wirkungsgrad und E�zienz des Stirling Motors (siehe Aufgabe2.) wie folgt: Bestimmen Sie zunächst die mittlere Sto�menge des Arbeitsgases,wobei Sie wie in der Skizze gezeigt zwei Punkte (pi, Vi) aus der Mitte des p-V -Diagrammes auswählen und diese der mittleren Temperatur Tm = (TW + TK) /2zuordnen. Die Sto�menge ergibt sich nun aus der idealen Gasgleichung

n =piViRTm

, (2.18)

wobei Sie den Mittelwert aus ihren beiden Ansätzen nehmen.

(i) Bestimmen Sie zunächst die mittlere Stoffmenge des Arbeitsgases, wobei Sie wie in der Skizze gezeigt 2 Punkte (pi, Vi) aus der Mitte des p-V-Diagrammes auswählen, und diese der

mittleren Temperatur 1 2

2mT TT += zuordnen. Die Stoffmenge ergibt sich nun aus der idealen

Gasgleichung: i i

m

pVnRT

= , wobei Sie den Mittelwert aus Ihren beiden Ansätzen nehmen.

Auswahl mittlerer Punkte aus dem p-V-Diagramm:Zeichnen Sie zunächst das umhüllende Rechteck (s.rote Linien).Lage des 1. (roten) Punktes auf der vertikalen Mittelsenkrechten, gleich weit vom oberen und unteren Rand des p-V-Diagrammes entfernt (s.Doppelpfeile); Lage des 2. (blauen) Punktes auf der horizontalen Mittelsenkrechten, gleich weit vom linken und rechten Rand des p-V-Diagrammes entfernt (s.Doppelpfeile).

Hinweis: Je nach Gestalt des p-V-Diagrammes können die beiden Mittelpunkte evtl. auf identischen Koordinaten liegen !

p

V

1.Mittelpunkt (p1,V

1)

2.Mittelpunkt (p2,V

2)

1

Abbildung 2.8.: Auswahl mittlerer Punkte aus dem p-V -Diagramm

Zur Auswahl mittlerer Punkte aus dem p-V -Diagramm zeichnen Sie zunächst wiein Abbildung 2.8 das umhüllende Rechteck (siehe rote Linien). Die Lage des erstenPunktes auf der vertikalen Mittelsenkrechten ist gleich weit vom oberen und unte-ren Schnittpunkt des p-V -Diagrammes mit der Mittelsenkrechten entfernt (sieheDoppelpfeile), die Lage des zweiten (blauen) Punktes auf der horizontalen Mittel-senkrechten gleich weit vom linken und rechten Rand des p-V -Diagrammes (sieheDoppelpfeile).

Hinweis: Je nach Gestalt des p-V -Diagrammes können die beiden Mittelpunkteevtl. auf identischen Koordinaten liegen!

4. Berechnen Sie die Gesamte�zienz des Motors aus der mechanischen Leistung PMsowie der Leistung des Brenners. Die Leistung des Brenners erhalten Sie aus ge-

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samter Verbennungswärme (Aufgabe 1) sowie Betriebsdauer und Drehzahl desMotors.

5. Berechnen Sie die E�zienz des Brenners aus Verbrennungswärme sowie bei derisothermen Expansion geleisteter Arbeit, wobei letztere gegeben ist durch

WI = −QI = nRT1 ln

(V1

V2

). (2.19)

6. Berechnen Sie die E�zienz (entspricht dem Wirkungsgrad) einer entsprechendenCarnot Maschine aus den beiden Temperaturen TW = T1 und TK = T2 nach

ηC =TW − TKTW

=WpV, C

QI

(2.20)

und aus dieser die interne E�zienz der Maschine

ηi =WpV

QIηC=

WpV

nRTW ln (V2/V1) ηC, (2.21)

wobei WpV die aus dem p-V -Diagramm bestimmbare Volumenarbeit des Stirling-motors ist.

7. Berechnen Sie schlieÿlich die mechanische E�zienz der Maschine gemäÿ

ηM =WM

WpV. (2.22)

8. Begründen Sie knapp, woher hauptsächlich die geringe E�zienz der untersuchtenHeissluft-Maschine rührt und vergleichen Sie die Gesamte�zienz mit dem Produktder Einzele�zienzen.

2.4. Weiterführende Theorie

Als Abschluÿ dieses Kapitels werden im Folgenden noch die Wärmekapazitäten vonGasen und Festkörpern betrachtet.

2.4.1. Wärmekapazität von Gasen

Für die Di�erenz der molaren isobaren und isochoren Wärmekapazitäten idealer Gasegilt

Cp,m − CV,m = T

(∂p

∂T

)V

(∂V

∂T

)p

= TRV

Rp

= R (2.23)

Um die Temperaturabhängigkeit von CV zu beschreiben, muss man berücksichtigen, dassWärmeenergie mikroskopisch in Form der Anregung von Bewegungsfreiheitsgraden über-tragen wird. Ein N-atomiges Gasmolekül besitzt insgesamt 3N Bewegungsfreiheitsgrade

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(Verschiebung der Koordinaten x, y, z für jedes einzelne Atom), welche sich auf Trans-lation, Rotation und Vibration verteilen. Bei voller Anregung ist der Wärmebeitrag zuCV für Translation und Rotation R/2 pro Freiheitsgrad, für die Vibration hingegen R,weil bei Vibration kinetische und potentielle Energien vorkommen. Als Beispiel werdendie einzelnen Freiheitsgrade folgender dreiatomigen Moleküle betrachtet

CO2 H2O

Translation 3 3

Rotation 2 3

Vibration 9− 5 = 4 9− 6 = 3

(2.24)

T

Cv (T)

3/2 R

5/2 R

7/2 R

Translation

Rotation

Schwingung

Abbildung 2.9.: CV in Abhängigkeit von T für ein zweiatomiges Gas

Als lineares Molekül besitzt CO2 kein Drehmoment bezüglich seiner Bindungsachse.Also ist die Anzahl der Rotationsfreiheitsgrade lediglich 2. Die Vibrationsfreiheitsgradebestimmt man am besten über die Di�erenz von 3N und der Summe der Freiheitsgradevon Translation und Rotation. Für die Wärmekapazitäten erhält man daher

CV, CO2 =3

2R +

2

2R + 4R = 6, 5R und CV,H2O =

3

2R +

3

2R + 3R = 6R (2.25)

Der Temperaturverlauf CV(T ) für Gase beschreibt, wie nacheinander die Freiheitsgradevon Translation, Rotation und Vibration angeregt werden. Für sehr niedrige Tempera-turen hat also jedes Gas die gleiche Wärmekapazität CV = 1, 5R, da nur Translationangeregt ist. Die Abbildung 2.9 zeigt einen solchen Temperaturverlauf anhand eineszweiatomigen Gases.

2.4.2. Wärmekapazität von Festkörpern

Bei Festkörpern werden die Atome zu Schwingungen um ihre Gleichgewichtslagen ange-regt, Rotation und Translation einzelner Atome oder Atomgruppen sind hingegen hiernicht möglich. Bei hohen Temperaturen sind sämtliche Schwingungsfreiheitsgrade des N-atomigen Festkörpers (f = 3N) angeregt, und somit gilt für die molare Wärmekapazitätvon jedem Festkörper die Dulong-Petit-Regel:

CV,m(T →∞) = 3R (2.26)

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Für sehr niedrige Temperaturen �ndet man experimentell

CV ∝(T

ΘD

)3

(T 3-Gesetz, Debye) (2.27)

Die Sto�konstante ΘD bezeichnet man als Debye-Temperatur.Zum Abschluss dieses Kapitels werden kurz zwei Modelle zur Ableitung der Tempera-turabhängigkeit der Wärmekapazität fester Sto�e betrachtet.

2.4.2.1. Einstein-Modell

Nach Einstein setzt sich der N-atomige Festkörper aus 3N Oszillatoren zusammen, diealle die gleiche Frequenz νE besitzen. Der Energiebeitrag pro Oszillator ist nach derQuantenmechanik gegeben durch E = hνE. Für die molare innere Energie erhält manhiermit nach Aufsummieren über alle energetischen Mikrozustände des Systems (derBegri� der Zustandssumme wird in der statistischen Thermodynamik behandelt. Zudiesem Zeitpunkt kommt es lediglich auf die Modellvorraussetzungen und die hierausresultierenden Ergebnisse betre�end CV(T ) an):

U =3

2NLhνE + 3NLhνE

exp

(−hνEkT

)1− exp

(−hνEkT

)

CV =

(∂U

∂T

)= 3R

(−hνEkT

)2

exp

(−hνEkT

)(

1− exp

(−hνEkT

))2

(2.28)

Hieraus folgt durch Anwendung der Regel von de L'Hospital

CV(T →∞) = 3R

(hνEkT

)2 1− exp

(−hνEkT

)(

1− 1 + exp

(hνEkT

))2 ≈ 3R (2.29)

Die Dulong-Petit-Regel wird also durch das Einstein-Modell erfüllt. Für niedrigeTemperaturen zeigt das Modell jedoch Abweichungen vom experimentellen T 3-Gesetz.

2.4.2.2. Debye-Modell

Das Debye-Modell liefert auch für niedrige Temperaturen eine gute Übereinstimmungder Temperaturabhängigkeit der Wärmekapazität von Festkörpern mit dem Experiment.Da eine genaue Ableitung an dieser Stelle zu kompliziert ist, sollen hier nur die Vor-aussetzungen skizziert werden. Statt von einer einzigen Oszillationsfrequenz, geht das

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An applet designed to help you understand some of the concepts of the heat capacity associated with vibrations in solids is shown below (Click here for information concerning applets; the relevant filenames, if you wish to download them, are respectively tutorials/statmech/EinsteinEtc.jar and tutorials/statmech/EinsteinEtcAppletJ.html). You can access other applets showing the two level heat capacity problem, the vibrational heat capacity of a diatomic gas and the rotational heat capacity of a diatomic gas.

The applet calculates the heat capacity, energy or entropy (on the left) for the energy level distribution shown on the right. The results for both Einstein and Debye models are shown so that you can compare them. The sliders on the right allow you to switch between heat capacity, energy and entropy, and between normal temperatures (T axis) and low temperatures (T3 axis). Values of the Debye cut-off for various solids are also shown when they are close to the slider value of the cut-off.

Seite 1 von 1The Thomas Group - PTCL, Oxford

05.02.2008http://physchem.ox.ac.uk/~rkt/tutorials/statmech/statMechanics_3.html

Abbildung 2.10.: Anzahl der Schwingungsfreiheitsgrade (re) und Konsequenzen fürCV,m(T ) (li)

Debye-Modell von einem kontinuierlichen Frequenzspektrum von ν = 0 bis zu einerGrenzfrequenz νmax aus, entsprechend:

p(ν) = 9Nν2

ν3max

. (2.30)

Hierbei ist p(ν) die Anzahl der Schwingungsfreiheitsgrade mit der Frequenz ν. Die Ge-samtzahl der Freiheitsgrade beträgt 3N, d.h.∫ νmax

0

p(ν)dν = 3N (2.31)

DasDebye-Modell impliziert, dass bereits bei sehr niedrigen Temperaturen schon Schwin-gungsfreiheitsgrade vorliegen, die thermisch leicht angeregt werden können. DerartigeSchwingungen entstehen aus der Kopplung der Bewegungen benachbarter Atome, die beiEinstein nicht berücksichtigt wurden. Je mehr Atome hierbei zu einer schwingendenEinheit gekoppelt sind, desto niedriger ist die Frequenz der betre�enden Schwingung.

2.5. Fragen zur Vorbereitung

1. Formulieren Sie den 0., 1., 2. und 3. Hauptsatz der Thermodynamik und gebenSie, falls möglich, die in dem betre�enden Hauptsatz de�nierte thermodynamischeZustandsgröÿe an.

2. Warum ist es nicht möglich einen Wirkungsgrad ηCarnot = 1 zu erreichen?

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3. Vollziehen Sie die Herleitungen für die Bestimmung einzelner thermodynamischerGröÿen in Kreisprozessen nach und füllen Sie nachfolgende Tabelle 2.1 aus.

Prozess Isotherm Isobar Isochor Adiabtisch

Konstante Gröÿe

Änderung Innere Energie

Wärmezufuhr

Arbeit

Änderung Entropie

Tabelle 2.1.: Übung Kreisprozesse

4. Was bedeutet Wärmekapazität? Wie ist sie de�niert?

5. Was charakterisiert einen thermodynamischen Kreisprozess? Ist es dafür von Be-deutung, ob die einzelnen Teilschritte reversibel oder irreversibel ablaufen?

6. Skizzieren Sie sowohl den Carnotschen als auch den Stirling Kreisprozess imp-V -Diagramm und benennen Sie die einzelnen Teilschritte. Geben Sie für jedenTeilschritt die Änderung der inneren Energie, Wärmemenge, Volumenarbeit undÄnderung der Entropie aus Sicht des Arbeitsmittels an.

7. Wieso ändern sich beim Carnotschen Kreisprozess die Temperaturen der Wär-mereservoirs nicht, obwohl stetig Wärmemengen transportiert werden?

8. Wie würde sich der Verlauf des p-V -Diagramm des Carnotschen Kreisprozessesändern, wenn die Teilschritte irreversibel, oder wenn die Wärmeresservoirs nichtunendlich groÿ wären?

9. Warum stellt der Wirkungsgrad einer Carnotschen Wärmekraftmaschine einenoberen Grenzwert dar? Welche Auswirkung haben irreversible Teilschritte auf denWirkungsgrad?

10. Zeichnen Sie den Carnotschen Kreisprozess in ein T -S-Diagramm.

11. Warum muss darauf geachtet werden, dass vor Inbetriebnahme der Wärmpepumpedie Temperatur im Kondensorgefäÿ nicht kälter als die im Verdampfergefäÿ ist?

12. Warum erhalten Sie bei Ermittlung des p-V -Diagramms des Stirling Prozesseseine Art Ellipse (siehe Abbildung 2.8) und nicht den in Abbildung 2.5 gezeigtenVerlauf?

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