Věty

o počítání s mocninami

Věta o násobení mocnin

Obrázek č. 1

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Radomír Macháň.Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.

Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Opakování: Druhá mocnina

2333

Součin dvou sobě rovných čísel (činitelů) se nazývá druhá mocnina.

2333 2303030

2303030 ,,,

Opakování: Třetí mocnina

32222

Součin tří sobě rovných čísel (činitelů) se nazývá třetí mocnina.

32222 320202020

320202020 ,,,,

Opakování: n-tá mocnina

n2222 ....

Součin n sobě rovných čísel (činitelů) se nazývá n-tá mocnina.

n2222 ...

n20202020 ...n20202020 ,,...,,

n činitelů

n činitelů

n činitelů

n činitelů

Opakování: jen pro úplnost

122

I s první mocninou se budeme setkávat, byť se o ní prakticky nemluví a ani se jako mocnina nezapisuje. Pro následující výpočty však i o tom musíme vědět.

122 12020

12020 ,,

1 činitel

1 činitel

1 činitel

1 činitel

Opakování: Sčítání mocnin Sčítat můžeme jen mocniny se stejným základem i exponentem.

Pro zopakování:

naZáklad

mocniny

Exponent neboli

mocnitel

Opakování: Sčítání mocnin Sčítat můžeme jen mocniny se stejným základem i exponentem.

22 aa 22 22 aa 33 43 aa 37a

222 95 aaa 215a 22 ba 32 aa

Nelze sčítat, protože není stejný základ!

Nelze sčítat, protože není stejný exponent!!

Sčítat lze najednou

libovolný počet mocnin.

Koeficienty sečteme, základ

a exponent opíšeme.

Opakování: Odčítání mocnin Odčítat můžeme jen mocniny se stejným základem i exponentem.

22 35 aa 22a 332 aa 331 aa

222 48 aaa 222 347 aaa

22 ba 32 aa

Nelze odčítat, protože není stejný základ!

Nelze odčítat, protože není stejný exponent!!

Odčítat lze mocniny,

podobně jako čísla, vždy jen

po dvou.

Koeficienty odečteme, základ a exponent opíšeme.

Věta o násobení mocninPokusíme se větu (vzorec) opět samozřejmě sami odvodit. Tak jdeme na to:

32 aaaa aaa

aaaaa 5a2 x 3 x

5 xZatím se dobře podívejte na exponenty a půjdeme odvozovat dále.

Věta o násobení mocninPokusíme se větu (vzorec) opět samozřejmě sami odvodit. Tak jdeme na to:

45 aaaaaaa aaaa

aaaaaaaaa9a

5 x 4 x9x

A opět se dobře podívejte na exponenty.

Věta o násobení mocninMohli bychom klidně pokračovat, ale myslím, že už vám je všem jasné, jak to s násobením mocnin je:

32 aa

Jak bychom tedy mohli naše zjištění zobecnit?

5a 32a 45 aa 9a 45a

Věta o násobení mocnin

Mocniny se stejným základem vynásobíme tak, že základ umocníme součtem exponentů.

nm aa nma

Všimněte si velice důležité podmínky, kterou jsem

v definici barevně zvýraznil. Násobit takto můžeme jen mocniny se

stejným základem!

Věta o násobení mocninDejme si pár příkladů:

83 aa 26 xx

5yy 34 22

557

42 33 95 7070 ,,

23

2

1

2

1

Věta o násobení mocninDejme si pár příkladů:

83 aa 26 xx

5yy 34 22

557

42 33 95 7070 ,,

23

2

1

2

1

11a8x6y7285

631470,5

2

1

Věta o násobení mocninPři násobení mocnin se samozřejmě mohou objevovat i mocniny s koeficienty, ať už kladnými či zápornými. V takových případech pak postupujeme následovně:

42 53 aa

1) Určíme znaménko výsledku.

Minus a plus dává …

Věta o násobení mocninPři násobení mocnin se samozřejmě mohou objevovat i mocniny s koeficienty, ať už kladnými či zápornými. V takových případech pak postupujeme následovně:

42 53 aa

1) Určíme znaménko výsledku.

3 . 5 =

2) Vynásobíme koeficienty (čísla).

15

Věta o násobení mocninPři násobení mocnin se samozřejmě mohou objevovat i mocniny s koeficienty, ať už kladnými či zápornými. V takových případech pak postupujeme následovně:

42 53 aa

1) Určíme znaménko výsledku.

2 + 4 =

2) Vynásobíme koeficienty (čísla).

15

3) Sečteme exponenty (vynásobíme mocniny).

6a

Věta o násobení mocninDejme si opět pár příkladů:

342 aa 25xx 634 yy

54 72 xx bb 35

32 321 aa,

25 7070 zz ,,

104

3

1

3

2aa

Věta o násobení mocninDejme si opět pár příkladů:

342 aa 25xx 634 yy

54 72 xx bb 35

32 321 aa,

25 7070 zz ,,

104

3

1

3

2aa

72a35x

712y914x

215b563 a,

7490 z,14

9

2a

Věta o násobení mocninStejně jako při násobení čísel můžeme najednou násobit i libovolný počet mocnin.

243 732 aaaa

1) Určíme znaménko výsledku.

Minus, minus, plus a minus

dává …

Věta o násobení mocninStejně jako při násobení čísel můžeme najednou násobit i libovolný počet mocnin.

243 732 aaaa

1) Určíme znaménko výsledku.

2 . 3 . 7 . 1 =

2) Vynásobíme koeficienty (čísla).

42

Věta o násobení mocninStejně jako při násobení čísel můžeme najednou násobit i libovolný počet mocnin.

243 732 aaaa

1) Určíme znaménko výsledku.

3 + 1 + 4 + 2 =

2) Vynásobíme koeficienty (čísla).

42

3) Sečteme exponenty (vynásobíme mocniny).

10a

Věta o násobení mocninDejme si opět pár příkladů:

aaa 35 22

423 2 xxx yyy 325 3

253 272 xxxx

23 432 bbbb

32 301051 aaa ,,

325 202020 zzz ,,,

324

4

3

3

1

2

1aaa

Věta o násobení mocninDejme si opět pár příkladů:

aaa 35 22

423 2 xxx yyy 325 3

253 272 xxxx

23 432 bbbb

32 301051 aaa ,,

325 202020 zzz ,,,

324

4

3

3

1

2

1aaa

515a92x

530y1128x724b654 a,

100080 z,

9

8

1a

[cit. 2010–13–07]. Dostupné pod licencí Creative Commons na WWW: <http://www.clker.com/clipart-blackboard.html>

<http://www.clker.com/clipart-notepad-1.html >

Použité obrázky: