vibraciones mecÁnicas univ san simon - bolivia

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SIMON

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GEN I ER I A

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA MECANICA

Cochabamba, Marzo del 2001

UMSS

“Índice” Página: I

Facultad de Ciencias y TecnologíaIngeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas

VIBRACIONES MECÁNICAS

Detalles Pág.

INTRODUCCIÓN..................................................................................... 1

Vibración libre.......................................................................................................................... 1Vibración forzada..................................................................................................................... 1Ecuación del movimiento......................................................................................................... 2Periodo y frecuencia................................................................................................................. 2Frecuencia natural.................................................................................................................... 2Frecuencia natural amortiguada............................................................................................... 2

I. VIBRACIÓN LIBRE.............................................................................. 3

Sistema de un solo grado de libertad........................................................................................ 3Movimiento armónico.............................................................................................................. 4Ecuación del movimiento - frecuencia natural......................................................................... 5Péndulo simple......................................................................................................................... 11Péndulo compuesto o péndulo físico........................................................................................ 13Combinación de resortes.......................................................................................................... 16En paralelo................................................................................................................................ 16En serie..................................................................................................................................... 18Método de la energía................................................................................................................ 24Método Newton........................................................................................................................ 27Método de Rayleigh................................................................................................................. 28Vibración forzada sin amortiguamiento................................................................................... 41Tipos de amortiguamiento........................................................................................................ 46Vibración libre amortiguada..................................................................................................... 47Sistema con amortiguamiento crítico....................................................................................... 48Movimiento sub-amortiguado.................................................................................................. 50Movimiento sobre-amortiguado............................................................................................... 52

II. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO................ 60

Excitación indirecta.................................................................................................................. 66Desbalanceamiento rotacional.................................................................................................. 69Decremento logarítmico........................................................................................................... 71

“Índice” Página: II


Aislamiento de las vibraciones................................................................................................. 79Transmisibilidad....................................................................................................................... 80Energía disipada por amortiguamiento..................................................................................... 83

III. SISTEMAS CON DOS GRADOS DE LIBERTAD............................. 85

Coordenadas principales........................................................................................................... 87Modo normal de vibración....................................................................................................... 87Acoplamiento de coordenadas.................................................................................................. 98Acoplamiento estático.............................................................................................................. 99Acoplamiento dinámico........................................................................................................... 100Acoplamiento estático – dinámico........................................................................................... 101Ecuación de Lagrange.............................................................................................................. 102Ecuación de Lagrange para una partícula................................................................................. 103Cálculo de las fuerzas generalizadas........................................................................................ 106Ecuación de Lagrange para un sistema de partículas............................................................... 107Ecuación de Lagrange para cuerpos rígidos............................................................................. 109Vibración armónica forzada..................................................................................................... 113Absorbedor de vibraciones dinámicas...................................................................................... 115Vibración libre amortiguada..................................................................................................... 118Vibración forzada con amortiguamiento.................................................................................. 120

IV. SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD.......................... 122

Introducción.............................................................................................................................. 122Ecuación del movimiento......................................................................................................... 122Ecuación de Lagrange.............................................................................................................. 124Matrices de flexibilidad y rigidez............................................................................................. 125Coeficientes de influencia........................................................................................................ 136

V. VIBRACIÓN TORSIONAL.................................................................. 143

Péndulo de torsión.................................................................................................................... 143Vibración torsional................................................................................................................... 147Método Holzer.......................................................................................................................... 149Método Holzer para vibración torsional................................................................................... 152Sistemas con rotores acoplados por engranajes......................................................................... 157

“Índice” Página: III


VI. VELOCIDADES CRÍTICAS EN ROTORES...................................... 161

Introducción.............................................................................................................................. 161Método Prohl-Myklestad para vibración flexotorsional.......................................................... 161Balanceo de rotores.................................................................................................................. 164Desbalance rotatorio................................................................................................................. 164Equilibrado............................................................................................................................... 164Causas de desequilibrio............................................................................................................ 164Balanceo en un plano............................................................................................................... 165Método vectorial de balanceo en un plano............................................................................... 166Tipos de desequilibrio.............................................................................................................. 167Estático..................................................................................................................................... 167Por par de fuerzas..................................................................................................................... 167Dinámico.................................................................................................................................. 168Cuasi estático............................................................................................................................ 168Balanceo en dos planos............................................................................................................ 168

VII. VIBRACIONES EN MEDIOS CONTINUOS..................................... 170

Vibración longitudinal de barras.............................................................................................. 170

Problema de la cuerda vibrante................................................................................................ 174

Vibración transversal de vigas................................................................................................. 178

“Introducción” Página: 1


INTRODUCCIÓN.

Detalles Pág.

Vibración libre.......................................................................................................................... 1Vibración forzada..................................................................................................................... 1Ecuación del movimiento......................................................................................................... 2Periodo y frecuencia................................................................................................................. 2Frecuencia natural.................................................................................................................... 2Frecuencia natural amortiguada............................................................................................... 2

Todo sistema que posee masa y tiene elasticidad, está capacitados para tener movimiento vibratorio.

El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos oscilatorios de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con

ellos.

La vibración, en general es una forma de energía disipada y en muchos casos es inconveniente, especialmente en

maquinarias; ya que debido a las vibraciones se producen ruidos, se transmiten fuerzas y movimientos no deseados.

Vibración libre.

Es la que ocurre cuando un sistema oscila bajo la acción de fuerzas inherentes al sistema mismo, es decir, cuando no

actúa ninguna fuerza externa. El sistema bajo vibración libre vibrará a una o más de sus frecuencias naturales que

son propiedades del sistema dinámico que dependen de su distribución de masa y de rigidez.

Vibración forzada.

Es la que ocurre cuando la vibración tiene lugar bajo la excitación de fuerzas externas. Cuando la excitación es

oscilatoria, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitación. Si esta coincide con una de las frecuencias

naturales del sistema, se produce una situación de resonancia y ocurren oscilaciones peligrosamente grandes.

Ecuación del movimiento.

Para poder eliminar todos los efectos perjudiciales, es necesario hacer un estudio completo de la ecuación del

movimiento del sistema en cuestión.

Este sistema es idealizado y simplificado en términos de masa, resorte y amortiguador, los cuales representan a la

masa, elasticidad y la fricción respectivamente.

Entonces la ecuación del movimiento expresa el desplazamiento como una función del tiempo.

“Introducción” Página: 2


Periodo y frecuencia.

En los casos de las vibraciones “Rectilíneo” y “Torsional”, El PERIODO es el tiempo necesario para que un

movimiento periódico se repita.

La FRECUENCIA es el número de ciclos por unidad de tiempo. Además se puede decir que es el inverso del

periodo.

Frecuencia natural.

Es la frecuencia de un sistema que tiene vibración libre sin fricción o amortiguación.

Frecuencia natural amortiguada.

Es la frecuencia de un sistema que tiene vibración libre con fricción.

En una vibración forzada, cuando la excitación es oscilatoria, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de

excitación. Si esta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, se produce una situación de

RESONANCIA que es peligrosa.

La falla de estructuras como puentes, edificios o alas de aviones es una horrible posibilidad bajo resonancia. Es por

eso, que el cálculo de las frecuencias naturales es de importancia capital en el estudio de las vibraciones.

“Vibración Libre” Página: 3


VIBRACIÓN LIBRE

Detalles Pág.

Sistema de un solo grado de libertad........................................................................................ 3Movimiento armónico.............................................................................................................. 4Ecuación del movimiento - frecuencia natural......................................................................... 5Péndulo simple......................................................................................................................... 11Péndulo compuesto o péndulo físico........................................................................................ 13Combinación de resortes.......................................................................................................... 16En paralelo................................................................................................................................ 16En serie..................................................................................................................................... 18Método de la energía................................................................................................................ 24Método Newton........................................................................................................................ 27Método de Rayleigh................................................................................................................. 28Vibración forzada sin amortiguamiento................................................................................... 41Tipos de amortiguamiento........................................................................................................ 46Vibración libre amortiguada..................................................................................................... 47Sistema con amortiguamiento crítico....................................................................................... 48Movimiento sub-amortiguado.................................................................................................. 50Movimiento sobre-amortiguado............................................................................................... 52

Sistema de un solo grado de libertad.

Muchos sistemas pueden vibrar en más de una manera y dirección. Si un sistema está restringido

a vibrar de una manera o necesita solo una coordenada independiente para determinar por

completo la localización geométrica de las masas del sistema en el espacio, este es un sistema de

un solo grado de libertad.

Por Ej.:



Movimiento armónico.

El movimiento oscilatorio puede repetirse a si mismo regularmente, como es el caso de un

balancín de reloj o desplegar considerable irregularidad, como es el casos de los movimientos

sísmicos.

Cuando el movimiento se repite a intervalos de tiempo “t”, se le llama PERIÓDICO donde “τ” es

el periodo de oscilación.

Si se designa el movimiento por x(t), todo movimiento periódico debe satisfacer la relación:

x(t) = x(t + τ)

El movimiento periódico más simple es el MOVIMIENTO ARMÓNICO. Este movimiento

puede ilustrarse por medio de una masa suspendida de un resorte liviano (Ver Fig.) Si la masa se

desplaza de su posición de reposo y se la libera, oscilará hacia arriba y abajo; si se coloca una

fuente de luz en la masa, su movimiento puede ser registrado en una tira de película sensible a la

luz que es movida a velocidad constante.

Este movimiento registrado en la película

puede representarse por medio de la ecuación:

τ

π tAsenx 2=

Donde :

A = Amplitud de oscilación, medida desde

su posición de equilibrio.

τ = Periodo y se repite cuando τ=t

m

K c

x F s

enw

t0

J

K

mx

K

m

K

tx

A



Ecuación del movimiento – frecuencia natural.

El sistema oscilatorio más simple consta de una masa y un resorte (Fig.). Se supone despreciable

la masa del resorte cuya rigidez es K (N/m). Note que el sistema tiene un grado de libertad, ya

que su movimiento está descrito por una coordenada “x”.

Cuando se pone en movimiento, la oscilación tendrá lugar a la frecuencia natural que es una

propiedad del sistema.

La segunda ley de Newton es la primera base para examinar el movimiento del sistema.

La posición del equilibrio estático:

mgK =δ (1)

Si se desplaza un “x” a partir del equilibrio estático, las fuerzas que actúan son:

En el resorte ( )xK +δ

Debido al peso mgW =

Si se toma a “x” como positivo hacia abajo, entonces todas las cantidades, fuerza, velocidad y

aceleración son también positivas por estar dirigidas hacia abajo.

( ) xmxKmg &&=+− δ

xmKxKmg &&=−− δ

Según (1) mgK =δ

xmKxKgm &&=−//−//⇒ δ

Por tanto: 0Kxxm =+&& (2)

m

K

m

m

x

0,71

K

mg

mg

K(G + x)

Posición de

Equilibrio estáticoesforzada

Posición no

x x



Note que el hecho de haber elegido como referencia la posición de equilibrio estático a la medida

“x”, ha eliminado a la fuerza debida a la gravedad ( )mgW = y a la fuerza estática del resorte

( )δKF = de la ecuación del movimiento (Ver ecuación (2)) y la fuerza resultante es solamente

debida al desplazamiento “x”.

0Kxxm =+&& [ ]m÷

0xmKx =+&& (3)

La frecuencia natural circular 2nω será:

mK2

n =ω

La ecuación (3) queda por tanto:

0xx 2n =+ ω&& (4)

El movimiento definido por la ecuación (4) se llama “Movimiento Armónico Simple” y se

caracteriza porque la aceleración es proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto.

Note que tcos,tsen ωω satisfacen la ecuación; por tanto constituyen soluciones particulares.

La solución a esta ecuación es de la forma: stex = (5)

Derivando dos veces: stsex =& (6)

st2esx =&& (7)

Reemplazando (5) y (7) en (4)

0ees st2st2 =+ ω

( ) 0se 22st =+ ω

is0s 22 ωω ±=⇒=+

Como: ti2

ti1 eses ωω −=∧= son soluciones linealmente independientes

Entonces ti22

ti11 eCseCs ωω −=∧= también son soluciones

Y también será: ti2

ti1 eCeCx ωω −+= (8)



Pero: tsenitcose ti ωωω += (9)

tsenitcose ti ωωω −=− (10)

(9) y (10) en (8)

( ) ( )tsenitcosCtsenitcosCx 21 ωωωω −++= tsenCtcosCtseniCtcosCx 2211 ωωωω −++=

( ) ( ) tcosCCtseniCiCxB

21

A

21 ωω 434 214 34 21 ++−=

tcosBtsenAx ωω += (11)

Donde: A, B son constantes a determinarse por condiciones de contorno.

Suponiendo que:

0=tp

0xx = Condiciones de contorno

0=tp 0xx &&= o Condiciones iniciales

Derivando (11)

tsenBtAx ωωωω −= cos& (12)

Reemplazando las condiciones de contorno en (11) y (12) se obtiene las cts.. A y B

En (11) 00 0cos0 xBBAsenx =⇒+=

En (12) ω

ωω 00 00cos

xAsenBAx &

& =⇒−=

Reemplazando las cts. A y B en (11)

txtsenx

x ωωω

cos00 += &

Donde mK

=ω frecuencia natural circular

El periodo natural de oscilación es: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ =

tθω pero: τπθ =⇒= t2

Por tanto: ωπτπωτ 22 =⇒= o también:

Kmπτ 2=

La frecuencia natural: ff n =



⇒=τ1f

Estas cantidades pueden expresarse en función a la deflexión o deformación estática δ ya que:

δδ mgKmgK =⇒=

Reemplazando en estas últimas ecuaciones:

* Frecuencia natural circular: δ

ωδω gm

mg=⇒=

* Periodo natural: gδπτ

ωπτ 22

=⇒=

* Frecuencia natural: δπτgff

211

=⇒=

La solución general también puede obtenerse multiplicando las dos soluciones particulares

ttsen ωω cos∧ por cts.. arbitrarias y sumándolas, es decir:

tBtAsenx ωω cos+= (a)

tsenBtAx ωωωω −= cos& (b)

tBtsenAx ωωωω cos22 −=&& (c)

(a) y (c) en (4)

0coscos2

2222 =++−− 4444 34444 214444 34444 21&& xx

tBtAsentBtsenAω

ωωωωωωωω

Cumple la igualdad, por tanto es solución de (4) la ecuación (a)

Como esta expresión contiene 2 cts. arbitrarias A y B, la solución obtenida (a) es la solución

general y A y B dependen de las condiciones iniciales.

mKf

π21

=

tXm

x

t

Xm

wt wt

B

P

A

O



Las expresiones del desplazamiento velocidad y aceleración obtenidas para una partícula, pueden

escribirse en forma más compacta si nota que (a) expresa el desplazamiento x = OP como la suma

de las componentes en “x” de los vectores A y B respectivamente.

Note que la magnitud de OQ es igual a la amplitud mx

El M.A.S. de “P” a lo largo del eje “x” puede obtenerse proyectando sobre este eje el movimiento

de un punto “Q” que describe un círculo de radio mx con una velocidad angular constante “ω ”.

Representando por “φ ” el ángulo formado por los vectores OQ y A, se escribe:

( )φω += tOQsenOP

Que conduce a otras formas de expresión del desplazamiento, velocidad y aceleración.

( )φω += tsenxx m

( )φωω += txx m cos&

( )φωω += tsenxx m2&&

Ejm. Una masa de ¼ Kg. está suspendida de un resorte, cuya rigidez es 0.1533 N/mm. Determine

su frecuencia natural en ciclos por segundo. Calcule la deflexión estática y verifique la frecuencia

natural.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

mN3.153

m1mm1000

mmN1533.0K

a) Frecuencia natural Kg25.0

mN3.153

21

mK

21f

ππ== [ ]Hz

segciclos94.3f =

b) La deflexión estática mgK =δ 3.153

81.925.0K

mg ∗==δ [ ]m016.0=δ

[ ] [ ]mm981.15m015981.0 ==δ

Ejm. Determinar la frecuencia natural de la masa “M” en el extremo de un voladizo de masa

despreciable.

Primero se encuentra la deformación de la viga en el extremo (Donde está la carga).



( )LxPPLPxdx

ydEI 2

2

−=−=

( ) 12 CLx

2P

dxdyEI +−=

( ) 213 CxCLx

6PEIy ++−=

Por condiciones de contorno:

0xP= y = 0 ( )

2

3

C6LP0 +

−= 3

2 PL61C =

0xP= 0

dxdy

= ( ) 12 CLP

210 +−= 2

1 PL21C =

Por tanto la deformación es: ( ) 323 PL61xPL

21LxP

61EIy +−−=

La deformación máxima ocurre en x = L

33 PL61PL

210EI +−=δ

EI3PL3

−=δ

Como δKP = siendo δ la deformación, entonces la ecuación (*) se adecua a:

3LEI3PK ==

δ

Se sabe que la frecuencia natural circular es: mK

21fπ

=

Entonces. mLEI3

21f

3

π= 3mL

EI321fπ

=

m

y

LM

P

x

M = PL



1. Si la masa de la viga es despreciable comparada con la masa m, derive una expresión para la

frecuencia de la masa.

Según tablas: La deformación en el centro de la viga doblemente empotrada (Donde está m)

viene dada por:

EI192PLy

3

=

Adecuando a nuestro caso:

yPK = ⇒ 3L

EI192K =

Se sabe que la frecuencia natural está dada por:

mK

=ω

Entonces: m

LIE192 3

=ω ⇒

Péndulo simple.

3mLEI192

=ω ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡segRad

m y

L

T

mg

mg

Ft

FN

Tm



El péndulo simple se compone de una masa puntual “m” que cuelga en el extremo inferior de un

hilo resistente de longitud “L” de peso despreciable.

Desplazada la partícula de la posición de equilibrio en un ángulo “ mθ ”y luego liberada, el

péndulo oscila en un plano vertical a lo largo del arco de circunferencia de centro “O” y radio

“L”, bajo la influencia de la fuerza restauradora “ tF ”que es la componente del peso “W” en la

dirección tangencial.

Para un tiempo cualquiera “t”, la cuerda forma un ángulo “θ ” con la vertical y el sistema de

fuerzas que actúa sobre la partícula lo constituyen el peso “W” y la tensión “T” en la cuerda.

Por la segunda ley de Newton para el movimiento circular se tiene:

tmasenmg =− θ

Donde Rat α= θθ

α &&=== 2

2

dtdnangularaceleració

Radio de la curva =R L

Entonces: θθ &&mLsenmg =−

θθ &&Lseng =−

0sengL =+ θθ&&

0senLg

=+ θθ&&

Comparando con la ecuación del M.A.S. ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ =+ 0x

mKx&& se ve que el movimiento del péndulo no

es M.A.S.; sin embargo, Si la amplitud de oscilación es pequeña:

θθ ≅sen (En radianes)

Luego puede escribirse:

0Lg

=+ θθ&& (Solución aproximada)

Por comparación se tiene que la frecuencia natural circular está dada por:



Lg

Lg2 =⇒= ωω

Llegando a la conclusión que el péndulo simple es un M.A.S. para pequeñas oscilaciones.

Su periodo está dado (Fórmula de HUYHENS):

ωπ

τθ

ω2

t=⇒=

gL2πτ =

Ejm. Suponiendo que el péndulo de un reloj sigue la teoría del péndulo simple. ¿Cuál será la

longitud si tiene el periodo de un segundo?

Se sabe que el periodo está dado por: gL2πτ =

Despejando: 2

222

4gL

gL4

πτ

πτ =⇒=

Trabajando en [pies]

Péndulo compuesto o péndulo físico.

Un cuerpo rígido que puede oscilar libremente

alrededor de un punto en suspensión que es su

centroide, constituye un péndulo compuesto.

Los distintos puntos materiales del rígido,

constituyen otros tantos péndulos simples que si

están a diferentes distancias del eje de giro

tendrían que oscilar con periodos distintos.

Pero como se trata de un péndulo físico, este se

mueve con un periodo propio de oscilación

.lgP78.9L =L

T

mg

b

Ox



Si el péndulo compuesto es desplazado de su posición de equilibrio, esta vuelve por efecto del

momento de su peso “W” respecto al eje.

mgbM −=

pero θsenLb =

θsenmgLM −=

θθ senmgl

dtdI 2

2

−=

donde:

Momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación I= 2mr

Radio de giro r

Aceleración angular αθ=2

2

dtd

Para oscilaciones pequeñas θθ ≅sen [Rad]

Ordenando (1) y teniendo en cuenta lo dicho:

0mglI =+ θθ&& I÷

0I

mgl=+ θθ&& como 2mrI =

0rgL0

mrmgl

22 =+⇒=+ θθθθ &&&& (2)

Analizando esta fórmula (2), se nota que para oscilaciones pequeñas, el movimiento oscilatorio

del péndulo físico es M.A.S. siendo:

22

rgL

=ω Frecuencia natural circular

y su periodo de oscilación es:

Ejm. Una chapa cuadrada homogénea de lado “L” (Pies) y masa “m” está suspendida del punto

medio de uno de sus lados. Encuentre su frecuencia de oscilación.

gLr 2

2πτ =



[ ]∑ = θ&&IM

θθ &&Isen2Lmg =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

Para oscilaciones pequeñas:

θθ ≅sen

0mgL21I =+θ&& (1)

Donde I = Momento de inercia respecto al eje de giro

De tablas se tiene que: ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ += 22

x cbm121I

El momento respecto al eje X es:

( ) ( )222x L2m

121LLm

121I =+=

2x mL

61I =

En este caso la rotación es respecto al eje X por tanto según STEINER

[ ]2xx mdII +=

22x

22

x mL41mL

61I

2LmmL

61I +=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

2x mL

125I = (2)

Reemplazando (2) en (1)

G

L

L G

mg

L/2x'

G

y

x

x'

c

b



0mgL21mL

125 2 =+ θθ&&

0gL65

=+ θθ&&

0L5g6

=+ θθ&&

Combinación de resortes.

Cuando la deformación de la masa vibratoria implica a más de un resorte. Para facilitar el cálculo

de la frecuencia natural, es necesario determinar la constante del resorte equivalente.

En paralelo.

Las características son:

- Todos los resortes tienen la misma deformación

L5g6

=ω

K1 K2 K3

m

P1 P2 P3

P



δδδδ === 321 (1)

- La fuerza total es la suma de todas las fuerzas en los resortes ( )∑ = 0Fv ; es decir:

.....PPPP 321 +++= (2)

- Se sabe que: δKP = adecuando a (2) según (1) se tiene:

.....KKKK 321eq +++= δδδδ [ ]δ÷

∑=

=+++=n

1ii321eq K.....KKKK

Ahora bien: El sistema mostrado en la sgt. Figura también representa un sistema en paralelo.

- Considerando la masa “m” descompuesta en dos partes “ 1m ” y

“ 2m ” tales que

21 mmm += (1)

- Sean las frecuencias naturales de cada una:

1

121 m

K=ω

2

222 m

K=ω (2)

Estas frecuencias deben ser iguales, ya que se trata de una sola masa.

Por tanto: 22

221 ωωω == (3)

(2) en (3) 2

2

1

1eq

mK

mK

mK

==

mKKm

eq

11 = (4)

mKKm

eq

22 = (5)

(4) y (5) en (1) mKKm

KKm

eq

2

eq

1 += ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∗

mK eq

21eq KKK +=

K2

m

K1

m1m2



En serie.

El sistema mostrado representa un sistema vibratorio en serie y tiene las sgts. Características:

- La fuerza o peso es la misma en todos los resortes, ya que se supone despreciable la masa de

los resortes; es decir:

.....PPPP 321 ==== (1)

- El desplazamiento total es la suma de los desplazamientos.

.....321 +++= δδδδ (2)

Pero: KPKP =⇒= δδ

Teniendo en cuenta (1) reemplazamos en (2)

.....KP

KP

KP

KP

321eq

+++= P÷

Ejm. Determine la frecuencia natural del vibración del bloque, si sabe que los resortes están

inicialmente comprimidos.

∑=

=+++=n

1i i321eq K1......

K1

K1

K1

K1

K1

K2

m

K3

m

K

KK

K



rR

C

R

mg

Por la figura, se puede decir que el sistema está en paralelo, por tanto:

KKKKK eq +++=

K4K eq =

Luego la figura se reduce a :

xmKx4 &&=−

0xmK4x0Kx4xm =+⇒=+ &&&&

donde: mK42 =ω pero f2πω =

ππω

2mK4

2f ==

Ejercicios:

1. Un disco homogéneo semi-circular de radio “r” y masa “m” está pivotado en su centro y gira

libremente alrededor de este. Determine su frecuencia natural de oscilación para desplazamientos

pequeños.

∑ = αIM

θθ &&IsenmgR =−

Para oscilaciones pequeñas: θθ ≅sen

mK1f

π=

m

mx

Kx

x



K

rxm

mg

Grr A

To+

0mgRI =+ θθ&& I÷

I = Momento de inercia del cuerpo respecto al eje de giro. 0I

mgR=+ θθ&&

Extrayendo de tablas: π3r4R = 2mr

21I =

Reemplazando: 0mr

21

3r4mg

2=+ θπθ&&

0r3

g8=+ θ

πθ&&

2. Un cilindro homogéneo de masa “m” está suspendido por un resorte de constante “K” [lb/Plg]

y una cuerda inextensible. Encuentre la frecuencia natural de vibración del cilindro.

D.C.L. para la posición de equilibrio estático:

[ ]∑ = 0Fv 0mgTK 0 =−+δ

[ ]∑ = 0M A 0mgrrK2 =−δ (1)

r3g8π

ω = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡segRad



D.C.L. para un desplazamiento x:

( ) θδ &&AImgrxrK2 =++−

( )θδ &&2G mrImgrrKx2rK2 +=+−−

Donde: 2G mr

21I = Para un cilindro

Según (1)

θδ &&⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+−− 22 mrmr

21mgrrKx2rK2

θ&&2mr23rKx2 =−

Ordenando ( ) 0r2rK2mr23 2 =+ θθ&& (2)

0Kr8mr3 22 =+ θθ&&

0m3K80K8m3 =+⇒=+ θθθθ &&&&

3. Una varilla rígida de peso despreciable está restringida a oscilar en un plano vertical.

Determine la frecuencia natural de la masa “m”.

En la posición que se ve en la fig. note que el resorte ya tiene deformación 0x , por tanto en su

equilibrio estático:

m3K8

=ω

mg

K

Gr

+

r A

FRx

KO

m

3/4L 1/4L



[ ]∑ = 0M 0

LKx41mgL

43

0= (1)

Cuando se desplaza un “x”, la sumatoria de momentos será:

[ ]∑ = αIM 0

( ) θ&&IL41xxKL

43mg 0 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Pero 2mrI =

Donde L43r =

θ&&2

0 L43mKLx

41KLx

41mgL

43

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−− (2)

Según (1) queda:

θ&&2mL169KLx

41

=− (3)

Pero θrx = donde en este caso θL41xL

41r =⇒=

(4) en (3)

θθ &&2mL169L

41KL

41

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

0KL161mL

169 22 =+ θθ&& ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∗ 2L

16

0Km9 =+ θθ&&

0m9K

=+ θθ&&

3/4L 1/4L

mgK (xo + x)

O



⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡segrad

4. Una varilla delgada tiene una masa despreciable y soporta una masa de 5 Kg. En su extremo.

Determine el periodo natural de vibración.

Inicialmente para estar en esa posición, el resorte debe estar comprimido.

Equilibrio estático:

[ ]∑ = 0M ( )2.0mgK1.0 =δ (1)

Si se desplaza un cierto ángulo θ o distancia x

[ ]∑ = θ&&IM ( ) ( )( ) θδ &&I1.0xK2.0mg =+−

( ) ( ) ( ) θδ &&2mL1.0Kx1.0K2.0mg =−−

Según (1)

( ) ( ) 0Kx1.04002.0m 2 =+θ&&

Pero θ1.0x =

( ) ( )( ) 01.04001.052.0 2 =+ θθ&&

042.0 =+ θθ&& 2.0÷

m9K

=ω

200 mm.

100

mm

.

K = 400 N/m.

5 Kg.C

A

B

mg

0.2 m.

0.1 m.0.2 m.

mg

0.1 m.

K K( + x)



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒=+ 2

2

segrad20020 ωθθ&&

ωπ

ττπ

ω22

=⇒=

202π

τ =

Método de la energía.

El movimiento armónico simple de un cuerpo es generado solo por las fuerzas gravitacionales y

elásticas de restauración que actúan sobre el cuerpo. Estas fuerzas son del tipo conservativos.

Entonces la conservación de la energía puede usarse para determinar la ecuación diferencial de

movimiento y a partir de esta hallar la frecuencia natural o el periodo de vibración del cuerpo.

Para vibraciones libres sin amortiguamiento, la energía total es parte cinética y parte potencial.

La energía cinética “T” es almacenada en la masa en virtud de la velocidad, mientras que la

energía potencial “V” es almacenada en forma de energía elástica de deformación o de trabajo

realizado en un campo de fuerza gravitacional.

Coma la energía total se mantiene constante, su rata de cambio es cero, es decir:

.ctteVT =+

( ) 0VTdtd

=+

Como el interés se limita a la frecuencia natural del sistema, se puede plantear:

2211 VTVT +=+

Donde (1) es el instante en que la masa está pasando por su posición de equilibrio estático(por

( )seg4.1=τ



tanto 0V1 = ) (Ya que el N. R. Está ahí).

Sea (2) el instante en que ocurre el máximo desplazamiento de la masa ( )0T2 =

21 V00T +=+

Sin embargo, si el sistema está experimentando un movimiento armónico, 1T y 2V son valores

máximos y por tanto:

maxmax VT =

que conduce de inmediato a la frecuencia natural.

Ejm. Considerando el bloque y el resorte (fig.). Hallar la frecuencia natural, cuando el bloque se

desplaza una cantidad arbitraria “x” desde su posición de equilibrio.

La energía cinética es: 2xm21T &=

La energía potencial es: 2Kx21V =

Según la conservación de la energía .ctteVT =+

.ctteKx21xm

21 22 =+&

El movimiento del bloque puede obtenerse diferenciando esta ecuación respecto a “t”:

0xKxxxm =+ &&&& Factorizando x&

( ) 0Kxxmx =+&&&

0Kxxm =+&&

0xmKx =+&&

mK2 =ω

Km



Si se escribe la ecuación de energía para “Un sistema de cuerpos conectados”, también puede

determinarse la frecuencia natural o ecuación del movimiento por medio de la derivación.

(Este método permite determinar “Directamente” la frecuencia circular “ω ”)

Procedimiento para el análisis.

1. Trazar un dibujo del cuerpo cuando se desplaza una pequeña distancia “x” desde la posición

de equilibrio estático. (L. R.)

2. Formule la ecuación de energía para el cuerpo .ctteVT =+ , recordando que la energía

cinética es para traslación y rotación, es decir: 2G

2G I

21xm

21T ω+= & y la energía potencial es:

eg VVV += (Gravitacional y elástica).

3. Se procede a la derivación y se factoriza los términos comunes.

4. La ecuación resultante representa la ecuación del movimiento para el sistema.

Ejm. Un cilindro sólido homogéneo de masa “m” se sujeta por medio de un resorte de constante

“K” lb/plg y reposa sobre un plano inclinado. Si el cilindro rueda sin deslizar; demostrar que la

frecuencia es: m3K2 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡segrad .

Por el método energético

2G

2G I

21mV

21T ω+=

Pero θ&rVG = ; 2G mr

21I = ; θω &=

Kx

mr



Por tanto: ( ) 222mr

21

21rm

21T θθ && ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

2222 mr41mr

21T θθ && += (1)

La energía potencial

2e Kx

21V = Pero: θrx =

22e Kr

21V θ= (2)

( ) 0VTdtd

=+

0Krmr21mr 222 =++ θθθθθθ &&&&&&&

0Km21m =+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + θθ&&

0Km23

=+ θθ&& ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛÷ m

23

0m3K2

=+ θθ&&

Método Newton:

ESTÁTICA DINÁMICA

m3K2

=ω

mg

A

K + +K ( + x)

A

mg



Estática:

[ ]∑ = 0M A 0rKrsenmg =− δβ (1)

Dinámica:

[ ]θ&&∑ = AA IM ( ) θδβ &&⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=+− 22 mrmr21rxKrsenmg

θδβ &&2mr23KxrrKrsenmg =−− (2)

Reemplazando (1) en (2) y ordenando

0Kxrmr23 2 =+θ&&

Como no existe deslizamiento

θrx =

0Krmr23 22 =+ θθ&& ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∗

m32

0m3K2

=+ θθ&&

Método de Rayleigh:

El método de energía, puede ser usado para sistemas con masas concentradas o distribuidas,

siempre que el movimiento de cada punto del sistema sea conocido.

En sistemas donde las masas están unidas por conectores rígidos, palancas o engranajes, el

movimiento de las diferentes masas puede expresarse en términos del movimiento “x” de algún

punto específico y el sistema es simplemente de un solo grado de libertad.

La energía cinética puede escribirse como:

2ef xm

21T &=

m3K2

=ω



m

K

x

dy

y

L

Masa efectiva o equivalente, concentrada en un punto específico.= efm

Ahora bien, si la rigidez “K” de este punto es también conocida, la frecuencia natural puede

calcularse por:

efmK

=ω

En sistemas con masas distribuidas, como resortes y vigas, es necesario primero conocer la

distribución de la amplitud de vibración antes de calcular la energía cinética “RAYLEIGH”.

1. Determinar el efecto de la masa del resorte en la frecuencia natural del sistema.

Sea “ x&” la velocidad de la masa “M”

Se supone que la velocidad de cualquier punto del resorte en “y” varía linealmente.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ =

Vdt x

Lyy

yx

yL &&

&&

=⇒=

La energía cinética del sistema puede ser ahora:

dyyLm

21T 2&∫=

Masa por unidad de longitud= Lm

∫∫ =⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

L

0

23

22L

0

dyyLxm

21Tdyx

Ly

Lm

21T

&&



233

2

x3m

21TL

31

Lxm

21T &

&⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ /

/=

Se concluye que el efecto de la masa del resorte sobre la masa “M” es 1/3m; es decir:

m31mef =

Añadiendo esto a la masa concentrada “M”, la frecuencia natural será:

2. Una viga simplemente apoyada de masa “m” tiene una masa concentrada “M” en el centro de

la luz. Determine la masa efectiva del sistema en el centro de la luz y halle su frecuencia.

Primero se halla la variación de la amplitud (Deformación) con respecto a “x” según tablas:

La ecuación de la elástica y la flecha máxima están dadas por:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 22 xL

43

12PxEIy Para

2Lx0 <<

δ==EI48

PLy3

máx

Operando en la ecuación de la elástica se tiene:

[ ]2222

x4L3EI48

Pxy4

x4L3EI12

Pxy −=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

m31M

K

+=ω

y

Mm



⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

33

3

332

Lx4

Lx3

EI48PLy

LLx4

LLxL3

EI48Py

Por tanto: ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

3

máx Lx4

Lx3yy

La energía cinética será:

dxLx4

Lx3y

Lm2

21Tdx

Lx4

Lx3y

2Lm

21T

2

3

3

máx

2L

0

2

3

3

máx ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= ∫∫ &&

∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

2L

06

6

4

4

2

22máx

22L

03

32máx dx

Lx16

Lx24

Lx9y

Lm2

21Tdx

Lx4

Lx3y

Lm2

21T &&

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ //

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ //

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ //

=128L

L716

32L

L524

8L

L3ym2

21T

7

7

5

5

3

32máx&

( ) ( ) 2máx

2máx ym4857.0

21T

89616

16024

83ym2

21T && =⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

De donde la masa efectiva es:

Por tanto la frecuencia es: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+=

efmMK

ω

Pero se sabe que: δ

δPKKP =⇒=

33 LEI48K

EI48PL

PK =⇒=

⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

2L

06

7

4

5

2

32máx L

x7

16Lx

524

Lx3y

Lm2

21T &

m4857.0mef =

( )m4857.0MLEI48

3 +=ω



O

LK

h

x

a

3. La masa de la varilla delgada de sección uniforme es pequeña comparada con la masa que

tiene colocada en su extremo. Calcule la frecuencia natural de oscilación de la masa, suponiendo

que la oscilación es pequeña.

La energía potencial es la gravitacional y la elástica:

mghVg = Pero: θcosLLh −=

( )θcos1mgLVg −= (1)

2e Kx

21V = Pero: θatagx = Para oscilaciones pequeñas θθ ≈tag

( ) 22e

2e Ka

21VaK

21V θθ =⇒= (2)

La energía cinética es de traslación:

2mV21T = Pero: ωθ LLV == &

( ) 222mL

21TLm

21T θθ && =⇒= (3)

La derivada temporal [ ]0VVT eg =++

( ) 0mLKasenmgL 22 =/+/+/ θθθθθθ &&&&&

( ) 0KamgLmL 22 =++ θθ&&

0mL

KamgL2

2

=+

+ θθ&&

2

2

mLKamgL +

=ω



4. Una esfera homogénea de radio “r” y masa “m” puede rodar libremente sin deslizar sobre una

superficie esférica de radio “R”. Si el movimiento de la esfera se restringe al plano vertical.

Determine la frecuencia natural de oscilación de la esfera.

La energía potencial es: [ ]mghV =

( ) ( )[ ] ( )( )θθ cos1rRmgVcosrRrRmgV −−=⇒−−−=

La energía cinética es de traslación y rotación ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ += 2

G2G I

21mV

21T ω

2G1 mV

21T = donde: ( )θ&rRVG −= (Respecto del punto “O”)

( )[ ] ( ) 221

21 rRm

21TrRm

21T θθ && −=⇒−=

2G2 I

21T ω= Pero: 2

G mr52I = (Considerando A centro instantáneo)

( )r

rRr

VG θωω

&−=⇒=

( ) 22

22

2

22

2 rrRrm

51T

rrRmr

52

21T θθ &&

/

−/=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

( ) 222 rRm

51T θ&−=

hr

R R - r

AB

VG



10

K K

Por tanto: ( ) 0TTVdtd

21 =++

( )( ) ( ) ( ) 0rRm52rRmsenrRmg 2 =/−+/−+/− θθθθθθ &&&&&&&

( ) ( ) ( ) 0senrRmgrRm52rRm 22 =−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+− θθ&& Pero: θθ ≅sen

( ) ( ) ( ) 0rRmgrR57rRm =−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −− θθ&&

( )0

rR57

g=

−+ θθ&&

5. Un disco homogéneo circular tiene un momento de inercia alrededor de su centro igual a 10 lb-

plg-seg2. En la posición de equilibrio estático ambos resortes están estirados 1 plg.. Encuentre la

frecuencia natural angular de oscilación del disco, cuando se le da un pequeño desplazamiento

angular y se le deja en libertad. K=10 lb/plg.

( )rR7g5−

=ω



La energía cinética: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ = 2I

21T ω

2GI

21T θ&= (1)

La energía potencia elástica: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ = 2K

21V δ

21 VVV +=

( ) ( )1xK211xK

21V 22 ++−=

222 KxK21Kx

21K

21Kx

21V =++−=

Como: ( ) 222 KrVrKVrx θθθ =⇒=⇒= (2)

Pero: ( ) 0VTdtd

=+

0KrI21

dtd 222 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + θθ&

0Kr2I 2 =/+/ θθθθ &&&&

0Kr2I 2 =+ θθ&& I÷

0I

Kr2 2

=+ θθ&&

Reemplazando valores:

( ) 010

10102 2

=⋅⋅

+ θθ&&

2000200 2 =⇒=+ ωθθ&&

6. Un cilindro homogéneo de masa “m” está suspendido por un resorte “K” y una cuerda

inextensible. Encuentre la frecuencia natural de vibración del cilindro.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

segrad14.14ω



Energía cinética:

212

G2G TTTI

21mV

21T +=⇒+= ω

θ&rVG =

( ) 2221 mr

21rm

21T θθ && ==

22222 mr

41mr

21

21T θθ && =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Por tanto: 222222 mr43Tmr

41mr

21T θθθ &&& =⇒+=

Energía potencial:

2Kx21V = Pero: θr2x =

( ) 222 Kr2r2K21V θθ ⇒=

( ) 0VTdtd

=+ 0Kr2mr43

dtd 2222 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + θθ&

0rK4rm23 22 =//+// θθθθ &&&&

0K4m23

=+ θθ&& 2m3

÷

0m3K8

=+ θθ&&

K

xm

rVG

A



7. El disco tiene una masa de 8 Kg. Determine su frecuencia natural de vibración “f” si los

resortes están originalmente no estirados.

Energía cinética:

2G

2G I

21I

21T θω &==

Pero: 2G mr

21I =

2222 mr41Tmr

21

21T θθ && =⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= (1)

Energía potencial (Elástica solamente):

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ = 2Kx

21V 21 VVV +=

22 Kx21Kx

21V += pero: θrx =

222 KrVKxV θ=⇒= (2)

( ) 0TVdtd

=+ 0mr41Kr

dtd 2222 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + θθ &

0rm21rK2 22 =//+// θθθθ &&&&

m3K8

=ω

K = 400 N/m

m100 mm.

x

xK = 400 N/m



0K2m21

=+ θθ&& 2m

÷

mK2

mK40

mK4 2 =⇒=⇒=+ ωωθθ&&

Se sabe que: 2mK2

2ff2

/

/==⇒=

πω

πω

84001

mK1f

ππ==

8. Determine La ecuación diferencial de movimiento del carrete de 3 Kg., suponiendo que no se

desliza en la superficie de contacto a medida que oscila. El radio de giro del carrete en torno de

su centro de masa es .mm125K G =

R = 100 mm. = 0.1 m.

R = 200 mm. = 0.2 m.

GK = 125 mm. = 0.125 m.

Energía cinética (Traslación y rotación):

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ = 2

Gt mV21T Pero: 22

tG mr21TrV θθ && =⇒= (1)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ = 2

Gr I21T ω pero: 22

Gr2GG mK

21TmKI θθω && =⇒=∧= (2)

( )Hz25.2f =

K = 400 N/m

200 mm.

100 mm.VG

x

G



r 3r

rr

r

K1

K2

Energía potencial (Elástica solamente):

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ = 2Kx

21V Pero: ( ) ( ) 22RrK

21VRrx θθ +=⇒+= (3)

( ) 0RrK21mK

21mr

21

dtd 2222

G22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++ θθθ &&

( ) 0RrKmKmr 22G

2 =+++ θθθθθθ &&&&&&& θ&÷

( ) ( ) 0RrKmKmr 22G

2 =+++ θθ&&

Reemplazando valores:

( ) ( ) 02.01.0400125.0301.3 222 =++⋅+ θθ&&

036077.0 =+ θθ&& ( )077.0÷

9. Para ángulos pequeños de oscilación, encuentre la frecuencia de oscilación del sistema.

Por el método de la Energía

2G

2G

2G I

21TI

21Vm

21T θω &=⇒+/=

222

211

2 xK21xK

21VhmgKx

21V +=⇒/+=

Pero θrx1 =

θθθ r4r3rx2 =+=

0468 =+ θθ&&



2G mr

21I =

Reemplazando

( ) ( ) 0r4K21rK

21mr

21

21 2

22

122 =++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ θθθ&

( ) 0r16K21rK

21mr

41 22

222

122 =++ θθθ&

Derivando

0rK16rKmr21 2

22

12 =++ θθθθθθ &&&&& θ&2r÷

0K16Km21

21 =++ θθθ&&

0m

K32K2 21 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++ θθ&&

10. Hallar la ecuación del movimiento de un péndulo invertido que está restringido por un

resorte, cuya constante es “K”. Se supone que la masa del péndulo está concentrada a una

distancia “L” del punto de apoyo y que el resorte es lo suficientemente rígido para que el péndulo

sea estable.

mK32K2 21 +=ω

m

K

m x

1

2

a

L



⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ = 2mV

21T Pero θ&& Lx = = velocidad

( ) 222 mL21Lm

21T θθ && ==

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ = 2

E K21V δ Pero θδ a=

( ) Ka21aK

21V 222

E θθ ==

[ ]mghVG =

( )1cosmglmgLcosmgLVG −=−= θθ

( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++⇒=++ 1cosmgLKa

21mL

21

dtd0VVT

dtd 2222

GE θθθ&

0senmglKamL 22 =/−+/ θθθθθθ &&&&& Pero θθ ≈sen

( ) 0mgLKamL 22 =−+ θθ&& ( )2mL÷

Vibración forzada sin amortiguamiento.

Para este caso la ecuación diferencial tiene la forma siguiente:

tsenPKxxm o ω=+&& (1)

Este tipo de ecuaciones tiene dos soluciones: pc xxx +=

a) Solución a-transitoria complementaria: Cuando la ecuación es homogénea, es decir:

0Kxxm =+&&

La cual tiene como solución:

tcosBtsenAx ωω +=

0Lg

mLKa

2

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+ θθ&&



b) Solución estacionaria o particular: Cuando la ecuación es:

tsenPKxxm o ω=+&&

Su solución es del tipo:

( ) tsenGtx ω= (2)

Derivando dos veces:

( ) tcosGtx ωω=&

( ) tsenGtx 2 ωω−=&& (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1)

( ) ( ) tsenPtsenGKtsenGm o2 ωωωω =+−

tsenPtsenKGtsenmG o2 ωωωω =+− ( )tsenω÷

o2 PKGmG =+− ω ( )K÷

KP

GK

mG o2

=+−ω

Factorizando G y ordenando

KP

GKm1 o2 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − ω Pero:

mK2 =ω

KP

G1 o2

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ωω Sea: 2

2

ωω

β =

( )KP

G1 o2 =−β

( )2o

1KP

Gβ−

= (4)


( ) ( ) tsen1KP

tx 2o

p ωβ−

= (Solución particular)

Como la solución general es del tipo:

( ) pc xxtx +=

Entonces: ( ) ( ) tsen1KP

tcosBtsenAtx 2o ωβ

ωω−

++= (5)



Las constantes A y B se determinan por las condiciones de contorno

Si ( ) 00x0t =⇒= (a)

Si ( ) 00x0t =⇒= & (b)

Reemplazando (a) en (5)

( )o

2ooo 0sen

1KP

0cosB0senA0β−

++=

0B =

Derivando (5)

( ) ( ) tcos1KP

tsenBtcosAtx 2o ωβω

ωωωω−

+−=& (6)

Reemplazando (b) en (6)

( )o

2ooo 0cos

1KP

0senB0cosA0βω

ωω−

+−=

( ) ( ) ωω

ββω

ω 2o

2o

1KP

A1KP

A0−

−=⇒−

+=

Pero ( )2o

2

2

1KP

Aββ

ωω

β−

=⇒=

Reemplazando las constantes A y B en (5)

( ) ( ) ( ) tsen1KP

tsen1KP

tx 2o

2o ω

βω

ββ

−+

−−=

(7)

Donde:

=oP Amplitud de la fuerza externa

=K Rigidez del resorte

=ω Frecuencia circular del movimiento

=ω Frecuencia circular de carga

Si se analiza la ecuación (7), se nota que:

( ) ( )( )tsentsen1KP

tx 2o ωβωβ

−−

=



23456

21 3

Si 1=β , es decir; ωω = entonces el factor ( ) 01 2 =−β lo que implica que al estar en el

denominador se hace infinita la expresión. Esta situación se llama RESONANCIA.

La solución particular para el caso ωω = tiene la forma:

( ) tsentGtx 1p ω&=

Donde : ωm2

PG o

1 =

Esta expresión muestra que la amplitud crece ilimitadamente con el tiempo.

Ejm. Un bloque de masa “m” está soportado por un resorte de ctte. “K” el cual está montado

sobre una base de peso despreciable que tiene un movimiento armónico tsenAo ω hacia arriba y

hacia abajo. Determine el movimiento del bloque.

( ) tsentm2P

tx op ω

ω=

( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡− 2

0

1 βKP

22

2

βωω

=

=KP0

t



( ) xmyxK &&=−−

xmKyKx &&=+−

tsenKAKxxm o ω=+&&

Solución complementaria tcosBtsenAxc ωω +=

Solución particular:

Por uno de los métodos abreviados, se tiene que la solución es de la forma:

( ) ( ) ( ) ( )baxsenaF

1baxsenDF1y 22 +

−=+= : ( ) 0aF 2 ≠−

Por tanto en este caso, la ecuación diferencial será:

Sea xDx 2=&&

( ) tsenKAxKmD o2 ω=+

tsenKAKmD

1x o2p ω+

=

tsenKAKm

1x o2p ωω +−

=

tsenKA

mK

m1

x o2

p ωω +−

= Pero mK2 =ω

A

senw

t0

x

K

K (x - y)

m



( ) tsenmKA

x 22o

p ωωω −

=

( )tsen

Ax 2

2

222

op ωω

ωω

ωω ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

tsen1

Ax

2

2o

p ω

ωω

−=

Por tanto la solución general es:

Tipos de amortiguamiento.

a) Amortiguamiento viscoso. Para cuerpos que se mueven con velocidad moderada a

través de fluidos.

cVF −= =c Ctte. De proporcionalidad

=V Velocidad

b) Amortiguamiento turbulento. Ocurre cuando la rapidez con que se mueve un cuerpo

dentro un fluido es alta. 2bVF −= =b Ctte. De proporcionalidad

=V Velocidad

c) Amortiguamiento Coulombiano. Cuando una superficie seca se desliza sobre otra

superficie.

NF μ= =μ Coeficiente de roce cinético

=N Fuerza normal

tsen1

AtcosBtsenAx

2

2o ω

ωω

ωω−

++=



m

K

c

x

K( + x)

mg

mg

FR Fa

cxx

Vibración libre amortiguada.

En la situación de equilibrio estático (caso b) no actúa todavía la amortiguación

mgK =δ (1)

En la situación (c) se tiene:

[ ]∑ = xmF &&

( ) xmmgxcxK &&& =+−+− δ

xmmgxcKxK &&& =+−−− δ Según (1)

xmxcKx &&&=−−

Ordenando: 0Kxxcxm =++ &&& (2)

Si Dxdtdx

= y xDdt

xd 22

2

=

0KxcDxxmD2 =++ (3)

Dividiendo entre “m” la ecuación (3)

0mKD

mcD2 =++ (4)

Resolviendo cual si fuese una ecuación de segundo grado.

2mK4

mc

mc

D2

2

−±−=

Como mK2 =ω



2

4m4c4

mc

D

22

2

ω−±−=

22

m2c

m2cD ω−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛±−=

Analizando el discriminante, se ve tres situaciones posibles:

Si ⇒=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 0

m2c 2

2

ω El sistema tiene amortiguamiento CRITICO

Si ⇒<−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 0

m2c 2

2

ω El sistema es SUB-AMORTIGUADO

Si ⇒>−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 0

m2c 2

2

ω El sistema está SOBRE-AMORTIGUADO

Sistema con amortiguamiento crítico.

Como ωωω =⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

m2c

m2c0

m2c 2

22

2

De ahí ωm2Cc = =cC Amortiguamiento crítico

Por tanto la raíz de la ecuación (4) son iguales y serán:

m2m2

m2C

D2

4mc

mc

D c

0

22

2

////−

=−=⇒−±−

=ω

ω

4 84 76

Por tanto la solución de la ecuación (4) tendrá la forma:

( ) Dt2

Dt1 teGeGtx += Donde =21 G,G Ctts. a determinar

Factorizando ( ) ( ) Dt21 etGGtx +=

Como ω−=D ( ) ( ) t21 etGGtx ω−+= (5)

ω−=D



( ) ( ) tm2c

21 etGGtx−

+= (5´)

Conforme ∞→t se tiene que 0et

m2c

→−

más rápidamente que t se aproxima a ∞ ; el movimiento

se disipa exponencialmente.

De hecho, el caso de amortiguamiento crítico es el caso límite de sobre-amortiguamiento.

“El amortiguamiento crítico, representa una condición en la que e tiene el valor mínimo necesario

para hacer que el sistema sea NO VIBRATORIO”

Para hallar las constantes 21 G,G de la ecuación (5) se realiza según condiciones de contorno.

Se sabe que: tsenhtcoshe t ωωω −=− (6)

(6) en (5)

( ) ( )( )tsenhtcoshtGGtx 21 ωω −+=

( ) tsenhtGtcoshtGtsenhGtcoshGtx 2211 ωωωω −+−= (7)

( ) ( )0xtx0tP

=⇒= Reemplazando en (7)

( ) ( ) ( ) o2

o2

o1

o1 0senh0G0cosh0G0senhG0coshG0x −+−=

( )0xG1 =

Derivando (7)

( ) tsenhGtcoshtGtcoshGtsentGtcoshGtsenhGtx 222211 ωωωωωωωωωω −−+−−−=&

( ) ( )0xtx0tP && =⇒=

( ) ( ) ( ) o2

o2

o2

o2

o1

o1 0senhG0cosh0G0coshG0sen0G0coshG0senhG0x ωωωωωωωωωω −−+−−−=&

( ) 21 GG0x +−= ω&

( ) ( ) ( )ωω 0x0xGG0xG 212 +=⇒+= &&

Reemplazando las constantes 1G y 2G en (5)



( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] tet0x0x0xtx ωω −++= &

Ordenando:

Movimiento sub-amortiguado.

Esta situación ocurre cuando:

0m2c 2

2

<−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

Que implica tener un discriminante negativo, por tanto tendrá soluciones imaginarias.

Sea =ξ Razón de amortiguamiento

ωξξξ m2CCCCC

cc

=⇒=⇒=

Reemplazando en: 22

m2c

m2cD ω−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛±−=

( ) ( ) 22

m2m2

m2m2D ω

ωξωξ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

////±

////−=

1DD 2222 −±−=⇒−±−= ξωξωωωξξω

21iD ξωξω −±−=

( ) ( )( ) ( )[ ] tet0xt10xtx ωω −++= &

t

X(0)

X(0)>0

X(0)=0

X(0)<0



Sea: 20 1 ξωω −= Velocidad angular amortiguado

Frecuencia de oscilaciones amortiguadas

0iD ωξω±−= (a)

La solución a la ecuación diferencial tendrá la forma:

( ) tD2

tD1

21 eGeGtx += (b)

Reemplazando (a) en (b)

( ) ( ) ( )ti2

ti1

00 eGeGtx ωξωωξω −−+− +=

( ) tit2

tit1

00 eeGeeGtx ωξωωξω −−− +=

( ) ( )ti2

ti1

t 00 eGeGetx ωωξω −− += (c)

Como: tsenitcose 00ti 0 ωωω +=

tsenitcose 00ti 0 ωωω −=−

Reemplazando en (c)

( ) ( ) ( )[ ]tsenitcosGtsenitcosGetx 002001t ωωωωξω −++= −

( ) [ ]tseniGtcosGtseniGtcosGetx 02020101t ωωωωξω −++= −

( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−++= − tsenGGitcosGGetx 0

B

210

A

21t ωωξω

434 21434 21

( ) ( )tsenBtcosAetx 00t ωωξω += − (d)

Para ( ) ( )0xtx0t =⇒=

( ) ( ) ( )0xA0senB0cosAe0x oo0 =⇒+= ⋅−ξω

Derivando (d):

( ) ( ) ( ) ( )tsenBtcosAetcosBtsenAetx 00t

0000t ωωξωωωωω ξωξω +−++−= −−&

Para ( ) ( )0xtx0t && =⇒=

( ) ( ) ( )oo0o0

o0

0 0senB0cosAe0cosB0senAe0x +−+−= ξωωω&

( ) AB0x 00 ξωω −=& Pero ( )0xA =



( ) ( ) ( ) ( )0

000

0x0xB0xB0x

ωξω

ξωω+

=⇒−=&

&

Movimiento sobre-amortiguado.

Esto ocurre cuando:

0m2c 2

2

>−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

=ξ Razón de amortiguamiento

ωξξξ m2CCCCC

cc

=⇒=⇒=

Reemplazando en: 22

m2c

m2cD ω−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛±−=

1D 2 −±−= ξωξω

( )ωξξ 1D 2 −±−= (a)

La solución a la ecuación diferencial es del tipo:

( ) tDtD 21 BeAetx += (b)

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++= − tsen

0x0xtcos0xetx 0

0

00

t ωωξω

ωξω &

x senx

wt

txe ξω−



Reemplazando (a) en (b)

( ) t1t1 22

BeAetxωξξωξξ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−

+= (c)

Derivando (c)

( ) ( ) ( ) t12t1222

e1Be1Atxωξξωξξ

ωξξωξξ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−

−−−+−+−=& (d)

Las condiciones de contorno son:

Para: 0t = ; ( ) ( )0xtx = ; ( ) ( )0xtx && =

Reemplazando en (c)

( ) ( ) B0xABeAe0x 00 −=⇒+= (*)

Reemplazando en (d)

( ) ( ) ( ) 0202 e1Be1A0x ωξξωξξ −−−+−+−=& (**)

Reemplazando (*) en (**)

( ) ( )( )( ) B1B1B0x0x 22 ωξξωωξξ ⋅−−−−+−−=&

( ) ( ) ( ) B1BB1B0x10x0x 222 ωξωξωξωξωξξω ⋅−−///−⋅−−///+⋅−+−=&

( ) ( ) ( )0x0x0x1B12 22 &−−⋅−=⋅− ξωξωξω

( ) ( ) ( )12

0x0x1B

2

2

−

−−−=

ξω

ωξξ &

Reemplazando en (*)

( ) ( ) ( ) ( )12

0x0x10xA

2

2

−

−−−−=

ξω

ωξξ &

( ) ( ) ( ) ( )12

0x0x0x10x12A

2

22

−

++−−−=

ξω

ξωξωξω &

( ) ( ) ( )12

0x10xA

2

2

−

+−+=

ξω

ωξξ&*****

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t1

2

2t1

2

2 22

e12

0x0x1e

12

0x10xtx

ωξξωξξ

ξω

ωξξ

ξω

ωξξ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−

−

−−−+

−

+−+=

&&



m

cKx

L.R.t = 0h

El movimiento es una función exponencialmente decreciente con el tiempo y se la clasifica como

APERIODICA.

Ejm. Si el sistema mostrado en la figura, se suelta desde una altura “h” sobre una superficie dura.

¿Cuál será el movimiento resultante de la masa “m”?

La ecuación diferencial para este sistema es:

0Kxxcxm =++ &&& m÷

0xmKx

mcx =++ &&& (1)

La expresión se puede escribir como:

0mKD

mcD2 =++

wt

A

O

B

( ) tAe ωξξ 12−−−



La solución de esta ecuación es:

22

m2c

m2cD ω−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛±−= (2)

Como CC

c=ξ y ωξω m2cm2CC =⇒=

Reemplazando en (2)

( ) ( ) 22

m2m2

m2m2D ω

ωξωξ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

////±

////−=

1DD 2222 −±−=⇒−±−= ξωξωωωξξω

Cambiando el orden del discriminante; este se hace negativo, por tanto imaginario:

21iD ξωξω −±−=

Sea: 20 1 ξωω −=

0iD ωξω±−=

La solución a la ecuación (1) es de la forma:

( ) tD2

tD1

21 eGeGtx +=

( ) ( ) ( )ti2

ti1

00 eGeGtx ωξωωξω −−+− +=

( ) ( )ti2

ti1

t 00 eGeGetx ωωξω −− +=

Como: tsenitcose 00ti 0 ωωω +=

tsenitcose 00ti 0 ωωω −=−

Reemplazando y simplificando:

( ) ( )tsenBtcosAetx 00t ωωξω += − (3)

Derivando (3)


0000t ωωξωωωωω ξωξω +−++−= −−& (4)

Considerando el nivel de referencia (L.R) del gráfico, se tiene las consideraciones de contorno

0tP = ; 0x = ; gh2x =&

Reemplazando en (3) y (4) Se determina las constantes.



Kx

m

c

( ) tsenegh2

tx 0

tm2c

0

ωω

ωω

//−

= En (3)

( ) 0A0senB0cosAe0 oo0 =⇒+=

En (4)

( ) ( )oo0o0

o0

0 0senB0cosAe0cosB0senAegh2 +−+−= ξωωω

00

gh2BBgh2

ωω =⇒=

Reemplazando en (3)

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= − tsen

gh2tcos0etx 0

00

t ωω

ωωξ

( ) tsenegh2

tx 0t

0

ωω

ωξ−= Pero ω

ξm2c

=

( ) tsenegh2

tx 0

tm2c

0

ωω

ωω

//−

=

1. Una masa de 50 lb. Reposa sobre un resorte de 35 lb/Plg.y un amortiguador de 075 lb-seg/Plg..

Si se aplica una velocidad de 4 Plg/seg a la masa en su posición de reposo. ¿Cuál será el

desplazamiento al final del primer segundo?.

( ) tsenegh2

tx 0

tm2c

0

ωω

−=



La ecuación diferencial para este caso es:

0Kxxcxm =++ &&& m÷

0xmKx

mcx =++ &&&

La solución o primitiva de esta ecuación es:

( ) ( )tsenBtcosAetx 00t ωωξω += − (a)

20 1 ξωω −=

ωξ

m2c

=

0tP = ; ( ) 0tx = ; ( ) 40x =& [Plg/seg] (b)

Reemplazando en (a)

( ) 0A0senB0cosAe0 oo0 =⇒+=

Derivando (a)


0000t ωωξωωωωω ξωξω +−++−= −−&

( ) ( )oo0o0

o0

0 0senB0cosAe0cosB0senAe4 +−+−= ξωωω

AB4 0 ξωω −= Pero 0

4B0Aω

=⇒=

Reemplazando en (a)

( ) ( ) tsene4txtsen4etx 0t

00

0

t ωω

ωω

ωξωξ −− =⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (c)

Pero ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∗⎥⎦

⎤⎢⎣⎡==

segrad86.13

seglgp384

lblgp/lb

5025

mK

22 ωω

( )( ) 21.086.13502

288m2c

seglgp384

lgpseglb75.0c 2 =⇒==⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∗⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅= ξ

ωξ

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⇒−=−=

segrad55.1321.0186.131 0

220 ωξωω

Por tanto estos valores reemplazado en (c)



( ) ( ) ( )[ ]155.13sene55.13

41x 186.1321.0−=

2. Un péndulo simple está pivotado en “0”. Si la masa de la varilla es despreciable y las

oscilaciones pequeñas; encuentre la frecuencia natural amortiguada del péndulo.

[ ]∑ = αIM donde θ&&∑ =⇒= 22 mLMmLI

θθ &&& 22211 mLsenmgLLxcLKx =−−− (1)

pero θ11 Lx =

θθ && 2222 LxLx =⇒=

Reemplazando en (1)

θθθθ &&& 222

21 mLmgLcLKL =−−−

Ordenando

( ) 0mgLKLcLmL 21

22

2 =+++ θθθ &&& (2)

0mL

mgLKLmLcL

2

21

2

22 =

+++ θθθ &&&

La solución de esta ecuación de segundo grado es:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±−= 2

21

2

2

22

2

22

mLmgLKL14

mLcL

21

2mLcL

D

( ) [ ]lgp0013.01x =

K

m

L

L2

L1

c

O



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±−= 2

21

2

2

22

2

22

mLmgLKL4

mL2cL2

21

mL2cLD

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±−= 2

21

2

2

22

2

22

mLmgLKL

mL2cL

mL2cLD

De aquí, la frecuencia circular amortiguada es la raíz, pero cambiando los términos:

2

2

22

2

21

mL2cL

mLmgLKL

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=ω

“Vibración excitada armónicamente” Página: 60


m

c

K

x

mg

x

cx

K( + x)

F s

enw

t0

VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO

Detalles Pág.

Excitación indirecta.................................................................................................................. 66Desbalanceamiento rotacional.................................................................................................. 69Decremento logarítmico........................................................................................................... 71Aislamiento de las vibraciones................................................................................................. 79Transmisibilidad....................................................................................................................... 80Energía disipada por amortiguamiento..................................................................................... 83

Cuando un sistema está sometido a una excitación armónica forzada, su respuesta de vibración

tiene lugar a la misma frecuencia de excitación.

Una fuente común de excitación armónica es el desbalance en máquinas rotatorias, aunque la

excitación armónica es menos probable que la periódica u otros tipos de excitación. Pero se

estudia la excitación armónica para comprender como el sistema responde a tipos más generales

de excitación.

Considerando un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso, excitado por una

fuerza armónica tsenF0 ω

En el nivel de equilibrio estático

mgK =δ (1)



Aun desplazamiento “x”

( ) tsenFmgxcxKxm 0 ωδ ++−+−= &&&

tsenFgmxcKxKxm 0 ωδ +//+−−//−= &&&

tsenFKxxcxm 0 ω=++ &&& (2)

Se sabe que la solución de la ecuación (2) consta de dos partes: Una parte complementaria

(Solución homogénea) y una solución particular; es decir:

pc xxx += (3)

la solución complementaria o transitoria es la solución de un sistema libre amortiguado y está

dado por una de estas tres, según cual sea el caso

- Caso sobre - amortiguado ( )CCc >

ttc

21 BeAex λλ += ( 21 ,λλ son reales y diferentes)

- Caso amortiguado crítico ( )CCc =

( ) tc eBtAx λ−+= ( 21 ,λλ iguales y reales)

- Caso sub – amortiguado ( )CCc <

( )tsenBtcosAex 00t

c ωωξω += − ( 21 ,λλ son complejos)

La solución particular o estacionaria es una solución estacionaria de la misma frecuencia ω de

excitación.

Existen varias formas de resolución de la ecuación diferencial (2); una de ellas es:

Sea: tcosBtsenAxp ωω += (4)

O también: ( )φω −= tsenxxp (5)

Donde =x Amplitud de oscilación

=φ Fase de desplazamiento con respecto a la fuerza excitatriz.

Derivando dos veces (4)

tsenBtcosAxp ωωωω −=& (6)

tcosBtsenAx 22p ωωωω −−=&& (7)

Reemplazando (4), (6) y (7) en (2)



( ) ( ) ( ) tsenFtcosBtsenAKtsenBtcosActcosBtsenAm 022 ωωωωωωωωωωω =++−+−−

Multiplicando y factorizando senos y cosenos

( ) ( ) tsenFtcosKBAcBmtsenKABcAm 022 ωωωωωωω =++−++−−

Igualando términos según sean senos o cosenos se tiene:

02 FKABctm =+−− ωω (a)

0KBAcBm 2 =++− ωω (b)

Resolviendo el sistema: Despejando A de (b)

ωω

cKBBmA

2 −= (c)

Reemplazando (c) en (a)

0

222 F

cKBBmKBc

cKBBmm =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

ωω

ωω

ωω ωc∗

02222242 FcBKKBmBcKBmm ωωωωω =−+−+−

( ) 0222242 FccKKm2mB ωωωω =++−−

( ) ( ) ( ) 022222 FccKKm2mB ωωωω =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++−− 4444 34444 21 ( )1−∗

( ) ( )[ ]( ) ( )222

00

222

cKm

FcBFccKmB

ωω

ωωωω

++−=⇒−=++

Reemplazando en (c)

( )( ) ( )222

02

cKm

FmKA

ωω

ω

++

−=

Reemplazando en (4)

( )( ) ( ) ( ) ( )

tcoscKm

Fctsen

cKm

FmKx

222

0222

02

p ωωω

ωω

ωω

ω

+−−

+−

−=

Factorizando:

( ) ( )( )[ ]tcosctsenmK

cKm

Fx 2

222

0p ωωωω

ωω−−

+−= (7)

Según (3), la solución es:



Considerando la ecuación (5) también se puede resolver por el método de la impedancia

mecánica, que es un método sencillo y directo para la vibración del estado estacionario.

( )φω −= tsenxx (5)

( )φωω −= tcosxx& (8)

( )φωω −−= tsenxx 2& (9)

Recordando que en el movimiento armónico las fases de la velocidad y la aceleración están

delante del desplazamiento en 90° y 180° respectivamente.

.La suma vectorial es:

( ) 02 FxcxmKx =+− ωω la magnitud será:

( ) ( ) 20

22222 FxcxmK =+− ωω

( ) ( )222

0

cmK

Fx

ωω +−= (10)

La fase se obtiene del gráfico:

( ) 2mKcarctag

xmKxctag

ωω

φω

ωφ

−=⇒

/−/= (11)

Dividiendo entre K el numerador y denominador de (10) y (11) se obtiene:

( )( ) ( )

( )[ ]tcosctsenmKcKm

FtsenBtcosAex 2

222

000

t ωωωωωω

ωωξω −−−

++= −

Kxx

mw x

cwx

wt

x

o

Fo

2

o(K - mw)x

cwx



222

0

Kc

Km1

KF

x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=ωω

Km1

Kc

arctag 2ω

ω

φ−

=

Considerando las expresiones:

→=mK

ω Frecuencia natural de oscilación no amortiguado

→= ωm2Cc Amortiguamiento crítico

→=cC

cξ Factor de amortiguamiento

( )ωω

ξωω

ξωω

ωξωω 22

Km2

KC

Cc

Kc

2cc

===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= //

Reemplazando en estas últimas ecuaciones

22

2

2021

1FxK

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

ωω

ξωω

2

1

2arctag

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

ωωωω

ξφ

Estas ecuaciones indican que la amplitud adimensional 0F

xK y la fase φ son funciones solamente

0

1.0

1.0

2.0

3.0

2.0 3.0 4.0 5.0

-1.0 0.5

0.375

0.25

0.10

0.050.00

0 1 2 3 4 5

90°

180°

R azón de frecuencias w /w

Ang

ulo

de fa

se

R azón de frecuencias w /w

0.3750.150.05

0FxK

cCC

=ξ

1=ξ



de la razón de frecuencias ωω y el factor de amortiguación ξ , que gráficamente se representan

como:

Estas curvas muestran que el factor de amortiguación tiene gran influencia sobre la amplitud y el

ángulo de fase en la región de frecuencia próxima a resonancia.

Un entendimiento adicional sobre el comportamiento del sistema puede obtenerse estudiando el

diagrama de fuerzas para ωω , pequeño, igual a uno y grande.

Para valores pequeños, las fuerzas de inercia y las de amortiguamiento son pequeñas, lo que

implica un φ (ángulo de fase) pequeño. Por tanto la magnitud de la fuerza global es igual a la

fuerza del resorte.

Para 1=ωω el ángulo de fase es 90°, note que la fuerza de inercia es mayor y es equilibrada por

la fuerza del resorte, mientras que la fuerza aplicada supera a la fuerza de amortiguación.

Para 1>>ωω , φ se aproxima a 180° y la fuerza aplicada se emplea casi enteramente en vencer la

gran fuerza de inercia.

cwx

Kxx

Fo

o

mw x2

cwx

Kx

mw x2

o o = 90°

mw x2

cwx

KxFo xo



Por tanto : La solución a la ecuación diferencial (1) puede escribirse como:

Hasta aquí se ve que la fuerza externa actúa directamente sobre la masa vibratoria; pero puede

ocurrir también que esta fuerza actúe de forma indirecta.

Excitación indirecta.

Si la fuerza excitadora se origina en un elemento intermedio

Como tcosUy ω=

Considerando un sistema inercial se tiene:

( ) ( )xyKxycxKxcxm 2211 −+−=++ &&&&&

xKyKxcycxKxcxm 222211 −+−=++ &&&&&

( ) ( ) yKycxKKxccxm 22

K

21

c

21 +=++++ &434 21&434 21&&

yKycKxxcxm 22 +=++ &&&&

Pero tcosUy ω=

Derivando tsenUy ωω−=&

( ) ( )tcosUKtsenUcKxxcxm 22 ωωω +−=++ &&&

tsenUctcosUKKxxcxm 22 ωωω −=++ &&&

( )φω +=++ tcosPKxxcxm &&&

Donde: 22

22 cKUP ω+=

mx

K1

K2 c2

c1

yy (t) = Ucoswt



2

2

Kc

arctagω

φ =

a) Cuando no hay elementos intermedios conectados al sistema vibratorio y el movimiento

armónico de la fuente de excitación se transmite directamente al punto base del resorte y

amortiguador. Es el caso de los instrumentos sísmicos.

La ecuación diferencial del movimiento, se obtiene considerando un sistema inercial, por tanto la

deformación del resorte es:

( ) ( ) xmyxKyxc &&&& =−−−− (a)

sea

yzxyxz +=⇒−= (b)

yxz &&& −=

Derivando dos veces:

yzx &&&&&& += (c)

Reemplazando en (a)

( )yzmKzzc &&&&& +=−−

ymKzzczm &&&&& −=++

Pero ⇒= tsenAy ω tsenAy 2 ωω−=&&

( )tsenAmKzzczm 2 ωω−−=++ &&&

tsenAmKzzczm ωω=++ &&&

Note que la ecuación siempre es la misma y lo único que cambia es la amplitud de excitación.

c(x - y)

m

K

x

y

y = Asenwt



Ejm. El pistón mostrado en la Fig. oscila con un movimiento armónico tcosAx ω= dentro de un

cilindro de masa “m” el cual es soportado por un resorte de cte. “K”. Si entre el pistón y la pared

del cilindro hay amortiguamiento viscoso “c”; encuentre la amplitud del movimiento del cilindro

y su diferencia de fase con el pistón.

Sistema equivalente

( ) xmKxyxc &&&& =−−−

ycKxxcxm &&&& =++

Pero ⇒= tcosAy ω tsenAy ωω−=&

tsencAKxxcxm ωω=++ &&& (1)

La solución particular tiene la forma:

tcosGtsenGx 21 ωω +=

tsenGtcosGx 21 ωωωω −=&

tcosGtsenGx 22

21 ωωωω −−=&&

Reemplazando en (1)

tsencAtcosKGtsenKGtsencGtcoscGtcosmGtsenmG 21212

22

1 ωωωωωωωωωωωω −=++−+−−

Factorizando senos y cosenos

( )[ ] ( )[ ] tsencAtcosGcGmKtsenGcGmK 122

212 ωωωωωωω −=+−+−−

Igualando términos

( ) ωωω cAGcGmK 212 −=−−

( ) 0GmKGc 22

1 =−+ ωω

y = Acoswt

mc

K

m

Kx

cy

y = Acoswt

m

c(x - y)



wt

wt

o

x

G2

G1

x

Resolviendo este sistema, se halla las constantes 1G y 2G

Sea: 2mKa ω−=

ωcb =

Reemplazando a y b en el sistema

bAbGaG 21 −=−

0aGbG 21 =+

( )( ) ( )222

2

1221cmK

AcmKGba

abAGωω

ωω

+−

−−=⇒

+−=

( )( ) ( )222

2

222

2

2cmK

AcGba

AbGωω

ω

+−=⇒

+=

La amplitud

( )( )

( )( )222

22

222

222

21

ba

Ab

ba

abAxGGx+

++

−=⇒+=

( )( )( ) 2222

2

222

222

ba

bAba

Abxba

bAbax+

=+

=⇒+

+=

La fase: a

barctag

baabA

baAb

arctagGG

arctag

22

22

2

1

2

−=

+−+==φ

Desbalanceamiento rotacional.

El desbalance en máquinas rotatorias es una causa de excitación vibratoria.

( ) ( )222 cmK

Acxωω

ω

+−=

2mKcarctag

ωω

φ−

−=



wt

K/2

Fm

e

M

c K/2

esenwt

Existe desbalanceamiento rotacional en una máquina, si en centro de gravedad de la parte

rotatoria no coincide con el eje de rotación.

Considerando que el sistema está restringido a moverse en dirección vertical.

El desbalance está representado por una masa excéntrica “m” con excentricidad “e” que rota con

velocidad ω .

La fuerza centrífuga debido al desbalanceamiento en la parte rotatoria de la máquina es:

( )2N emmaF ω==

La proyección vertical de F es:

tsenmeF 2V ωω=

Por tanto la ecuación diferencial del movimiento es:

tsenmeKxxcxM 2 ωω=++ &&& (1)

Esta ecuación es idéntica al caso de la oscilación forzada con amortiguación; siendo

ωmeF0 =

( ) ( )tsen

cmK

mex222

2

p ωωω

ω

+−=

tsen

21

Kme

x22

2

2

2

p ω

ωω

ξωω

ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=



Decremento logarítmico.

Un modo conveniente de determinar la cantidad de amortiguamiento presente en un sistema,

consiste en medir la rata de caída de las oscilaciones libres.

Se sabe que a mayor amortiguamiento, mayor rata de caída.

Considerando una vibración amortiguada (Sub – amortiguada) expresada por la ecuación

( ) ( )tsenBtcosAetx 00t ωωξω += −

El decremento logarítmico, se define como el logaritmo natural de la razón de dos amplitudes

sucesivas cualesquiera.

( )( ) ( ) ( )[ ]τωτω

ωωδδ

τξω

ξω

++++

=⇒=+−

−

1010t

00t

2

1

tsenBtcosAetsenBtcosAe

lnxxln

1

1

Como el seno y el coseno son funciones periódicas, pueden simplificarse los factores y queda:

( ) ( )ξωτ

ξωττξω

ξω

τξω

ξω

δδδ elnee

elne

eln1

1

1

1

t

t

t

t

=⇒=⇒=−+−

−

+−

−

Como : 21

2

ξω

πτ

−=

ξωτδ =

x

t

X1

X2



22 1

2

1

2

ξ

πξδ

ξω

πωξδ

−=⇒

−//=

Cuando 111 2 ≈−⇒<< ξξ

Valor aproximado

El gráfico muestra los valores exactos y aproximados de δ como función de ξ

Al determinar δ experimentalmente; se debe notar que cualquier pequeño error al medir dos

amplitudes sucesivas dará resultados erróneos, ya que generalmente estas amplitudes son muy

próximas una de otra.

Para evitar esta dificultad, se mide dos amplitudes separadas “n” ciclos. Sea 0x la primera

amplitud medida y nx la amplitud después de “n” ciclos transcurridos.

Como n

1n

1n

2n

2

1

1

0

xxln

xxln...

xxln

xx

ln −

−

− =====δ

n

1n

1n

2n

2

1

1

0

xx

xx...

xx

xx

e −

−

− =====δ

La razón: ( ) δδ nn

n

1n

3

2

2

1

1

0

n

0 eex

x...xx

xx

xx

xx

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

πξδ 2=

0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0

2

4

6

8

1 0

1 2

F a c t o r d e a m o r t i g u a m ie n t o

Dec

rem

ento

loga

rítm

ico

ξπξδ−

=12

πξδ 2=

cCC

=ξ



n

0

xx

lnelnn =δ

Ejm. Los datos siguientes están dados para un sistema vibratorio con amortiguamiento viscoso,

donde m = 10 lb., K = 30 lb/plg y c = 0.12 (lb/plg)seg. Determine el decremento logarítmico y la

razón de dos amplitudes sucesivas cualesquiera.

Se sabe que 21

2

ξ

πξδ

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⋅==

segrad94.33seglg/p384

lb10lgp/lb30

mK 2ω

0698.0seglg/p384seg/rad94.33lb102

lgp/seglb12.0m2c 2 =⋅

⋅⋅⋅

==ω

ξ

( )20698.01

0698.02

−=

πδ

44.0

1

0

1

0

1

0 exx

exx

xx

ln =⇒=⇒= δδ

1. Encuentre los cuatro primeros términos de la representación en series de Fourier de la onda

cuadrada o función quebrada.

n

0

xx

lnn1

=δ

44.0=δ

55.1xx

1

0 =



Se sabe que:

( ) ( )∑∞

=

++=1n

0n0n0 tnsenbtncosaa21tf ωω

Donde T2

0π

ω = T = Periodo

Según el gráfico ( ) =tf 1 π<≤ t0

1 ππ 2t <≤

Según las fórmulas:

( )dttfT2a 2

T

2T0 ∫−= (1)

( ) ( )dttmcostfT2a 0

2T

2Tn ω∫−= (2)

( ) ( )dttnsentfT2b 0

2T

2Tn ω∫−= (3)

Cálculo de 0a

[ ] ( ) 0201tt1dt22dt

22a 2

0

2

00 =+−−=−=−+= ∫∫ πππππππ

π

π

ππ

π

π

Cálculo de nb

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−=−+=

ππ

π

π

ωω

ωωπ

ωπ

ωπ 0

2

000

00

00n dttncosn

1tncosn

11dttnsen22dttnsen

22b

x

1

-1

2 3 4 5 t



Como T2

0π

ω = ; 12T 0 =⇒= ωπ

( ) ( ) ( ) ( )[ ]ππππ

ncosn2cos0ncosncosn11bn −++−=

Si n = impar

( ) ( )[ ]ππ n41111

n1bn =−−++−−=

Si n = par

( ) 01111n1bn =−++−=π

Cálculo de na

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+= ∫ ∫

π

π

ππ π

πω

ωω

ωπωω

π

2

000

00

0

2

00n tnsenn

1tnsenn

11dttncosdttncos22a

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0nsenn2sen0sennsenn1an =+−− ππππ

Para todo n par o impar

Por tanto:

( ) ( ) ( ) 0tnsenn40

21tf 0

7

1n

++= ∑=

ωπ

Para los cuatro primeros términos; es decir: n = 1, 3, 5, 7

( ) ...t7sen74t5sen

54t3sen

34tsen4tf ++++=

ππππ

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++= ...t7sen

71t5sen

51t3sen

31tsen4tf

π

0



2. Encuentre los cuatro primeros términos de la representación en series de Fourier de la onda

triangular.

( ) =tf ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −1t2π

Para π≤≤ t0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − t23

π Para ππ 2t <≤

Como T2

0π

ω = ; 12T 0 =⇒= ωπ

Cálculo de 0a

dtt2322dt1t

22

22a

2

00 ∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

π

π

π

ππππ

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+−=

ππ

πππ

ππππππππ

π

π

π 222

22

0

20 3460011t1t3tt11a

[ ] 022001a0 =−+−= πππ

Cálculo de na

( ) ( )dtntcost2322dtntcos1t2

22a

2

0n ∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

π

π

π

ππππ

( ) ( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −+−= ∫ ∫ ∫ ∫

π π π

π

π

ππππ 0 0

2 2

n dtntcost2dtntcos3dtntcosdtntcost21a

(1) (2) (3) (4)

Integrando por partes

(1) = (4)

-1

x

1

2 3 t



sea dtdutu =→=

( ) ( )ntsenn1vdtntcosdv =→=

( ) ( )∫∫ −= dtntsenn1ntsen

ntudv

( ) ( )ntcosn1ntsen

ntI 2+=

Desarrollando

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−+−+=π

π

π

π

ππ

πππ

2

2

2

002n ntcos

n1ntsen

nt2ntsen

n13ntsen

n1ntcos

n1ntsen

nt21a

(1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1ncosn2

n1ncos

n120cos

n10sen

n02ncos

n10sen

n2

22222 −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +⇒ π

ππ

πππ

ππ

(2) ( ) ( ) 00senn1nsen

n1

=−⇒ π

(3) ( ) ( ) 0nsenn1n2sen

n13 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −⇒ ππ

(4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−+⇒ ππ

πππ

πππ

ππ

ncosn1n2cos

n12ncos

n1nsen

nn2cos

n1n2sen

n22

2222

Por tanto:

( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−= π

ππ

ππ

ππncos

n2n2cos

n21ncos

n21a 222n

Si n es par

( ) ( ) ( ) 01n21

n211

n21a 222n =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−−=

ππππ

Si n es impar

2n n8a

π−=

Cálculo de nb

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ∫ ∫

π π

π πππ 0

2

n ntsent23ntsen1t222b



( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−= ∫ ∫ ∫ ∫

π π π

π

π

ππππ 0 0

2 2

n dtntsent2dtntsen3dtntsendtntsent21b

De tabla: ( ) ( ) ( )ntcosntntsen

n1dtntsent 2 −=∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−+−−−=

π

π

π

π

ππ

πππ

2

2

2

002n ntcos

ntntsen

n12ntcos

n13ntcos

n1ntcos

ntntsen

n121b

(1) (2) (3) (4)

(1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )πππ

ππ

ππ

πncos

n2ncos

n20cos

n00sen

n1ncos

nnsen

n12

22 −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−−⇒

(2) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]πππ ncos1n1

n1ncos

n10cos

n1ncos

n1

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−⇒

(3) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ππππ n2cosncosn3ncos

n1n2cos

n13 −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−⇒

(4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ππππ

πππ

π ncosn2cos2n2ncos

nnsen

n1n2cos

n2n2sen

n1

n2

22 +−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−⇒

Por tanto:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−−+−−−= ππππππ

πncosn2cos2

n2n2cosncos

n3ncos1

n1ncos

n21bn

Si n es par

( ) ( ) ( ) ( )( ) 0n2

n21112

n211

n311

n11

n21bn =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−−−+−−−=

ππ

Si n es impar

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0n6

n6

n2

n21112

n211

n311

n11

n21bn =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+−−−−++−−−=

ππ

Por tanto:

( ) ( ) 0ntcosn80

21tf

7

1n2 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+= ∑

= π p/n = 1,3,5,7

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−= t7cos

491t5cos

251t3cos

91tcos8tf

π



Aislamiento de las vibraciones.

A menudo se presentan dificultades durante la instalación de máquinas, ya que fuerzas de inercia

no compensadas producen vibraciones en las máquinas y éstas pasan a través del bastidor de la

máquina a la fundación, de donde se transmiten a otras máquinas.

La manera más simple de evitar estas vibraciones es suprimirlas en su origen, asegurando un

equilibrado correcto, sin embargo, es difícilmente practicable, por tanto la única alternativa es

aislar el equipo montándolas sobre resortes y amortiguadores.

El aislamiento puede llevarse a cabo de dos maneras:

a) Impidiendo que la vibración pase de su fuente a la fundación de la máquina; este tipo se

denomina “Aislamiento Activo”.

b) Impidiendo que la vibración transmitida a través del suelo pase al bastidor de la máquina y se

le llama “Aislamiento Pasivo”.

El aislamiento activo y pasivo difieren el uno del otro, solamente en cuanto que el primero

supone una acción directa de la fuerza perturbadora sobre la masa (Fig. a); mientras que el

segundo es el punto base del resorte – amortiguador, lo que es excitado por la fuerza perturbadora

(Fig. b).

K

P

m

c

P

m

K

(a) (b)



Transmisibilidad.

Con el propósito de reducir tanto como sea posible la cantidad de fuerza transmitida a los

cimientos debido a la vibración de la maquinaria; las máquinas generalmente están aisladas de los

cimientos, montándolas sobre resortes y amortiguadores.

La “transmisibilidad” se define como la razón entre la fuerza transmitida a la fuerza impresa.

Cada una de estas razones es conocida como trasmisibilidad de fuerza o de desplazamiento. Las

curvas muestran que la transmisibilidad es menor que la unidad sólo para 2>ωω , estableciendo

por lo tanto el hecho de que el aislamiento vibratorio es posible únicamente cuando 2>ωω , un

resorte no amortiguado es superior a un resorte amortiguado, para efectos de reducir la

transmisibilidad.

22

2

2

2

021

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

==

ωωξ

ωω

ωωξ

FFTR t

0ωω =

Demostración.

Como resultado la fuerza transmitida a los cimientos es la suma de las fuerzas del resorte y del

amortiguador; es decir:

xcKxFt &+= (1)

Bajo las condiciones estudiadas anteriormente (Vibración en estado estacionario px )

La solución está dada por:

( )φω

ωω

ξωω

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= tsen

21

KF

x

A

22

2

2

0

p

4444 34444 21



22

2

2

0 21 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ωωξ

ωωAKF

( )φω −= tsenAxp ( )φωω −= tcosAxp& (2)

(2) en (1)

( ) ( )φωωφω −+−= tcosActsenKAFt (3)

Pero la fuerza en el resorte es máxima cuando la velocidad es cero ( es decir, x es máximo) y la

amortiguación es máxima cuando la velocidad es máxima y el desplazamiento es cero.

Como entre la fuerza del resorte y la fuerza de amortiguación forman 90°, la fuerza resultante es:

( )22t cKAF ω+= (4)

La fuerza impresa está dada por: 2

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

KcAKFtω

==mKω Frecuencia natural

== ωmcc 2 Amortiguamiento crítico

==cccξ Factor o razón de amortiguamiento

ωωξ

ωωωξωωξωω 2222 ====

Km

Kc

cc

Kc c

c

2

21 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

ωωξAKFt

22

2

2

2

021

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

==

ωωξ

ωω

ωωξ

FFTR t

Cuando el amortiguamiento es despreciable, la ecuación de transmisibilidad se reduce a:



1

12

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

ωω

TR

Ejm. Un motor pesa 200 lb. y está girando a una velocidad de 1800 rpm., si la transmisibilidad

de la fuerza entre el motor y el piso es 0.1 o 10 %.¿Cuál será la constante elástica de la armadura

del motor?

lgpseg.lb52.0m

seglgp384

1.lb200m2

2

=⇒=

( )segrad5.188

seg60min1

minrev18002f2 =⇒⋅== ωππω

Suponiendo que tiene muy poca amortiguación: 0≅⇒ ξ

Reemplazando en:

22

2

2

2

0

t

21

21

FF.R.T

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

==

ωω

ξωω

ωω

ξ

⇒−

=1

1.R.T

2

2

ωω

Note el cambio de orden en el denominador

1011

11.0 2

2

2

2 =−⇒−

=ωω

ωω

11mK

1111

222

2

2 ωωω

ωω

=⇒=⇒=

11seg15.188

lgpseglb52.0

11mK

22

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

==ω



Energía disipada por amortiguamiento.

El amortiguamiento está presente en todos los sistemas oscilatorios. Su efecto es retirar energía

del sistema, que se disipa en forma de calor o de radiación. La pérdida de energía se traduce en

decrementos de la amplitud de la vibración libre. En el estado estacionario de las vibraciones

forzadas, la pérdida de energía es compensada por la energía suministrada por la excitación.

Un sistema vibratorio puede encontrar muchos tipos de fuerzas de amortiguación, desde la

fricción interna molecular hasta la fricción de deslizamiento y la resistencia de un fluido.

La disipación de energía es determinada usualmente bajo condiciones de oscilaciones cíclicas.

Dependiendo del tipo de amortiguamiento presente, la relación fuerza desplazamiento, cuando se

la grafica puede variar grandemente. En todos los casos, la curva fuerza desplazamiento encerrará

un área, llamada “Bucla de histéresis” que es proporcional a la energía disipada por ciclo. La

energía perdida por ciclo, debido a la fuerza de amortiguación “ dF ” se calcula de la ecuación

general.

dxFW dd ∫= (1)

En general, “ dW ” dependerá de muchos factores, tales como temperatura, frecuencia o amplitud.

Se considerará en este caso la más simple disipación de energía, el de un sistema resorte-masa

con amortiguación viscosa.

xcFd &=

( )φω −= tAsenx

( )φωω −= tAx cos&

Reemplazando en (1)

dtxcdxxcWd ∫ ∫== 2&&

( ) 2/2

0

222 cos AcdttAcWd ωπφωωωπ

=−= ∫ (2)

lgplb7.1679K =



De interés particular es la energía disipada en vibración forzada a resonancia. Sustituyendo:

KmcmK ξω 2=∧= en (2)

22 KAWd ξπ= (3)

La energía disipada por ciclo de la fuerza de amortiguación puede representarse como sigue.

Escribiendo la velocidad en la forma:

( ) ( )φωωφωω −−±=−= tsenAtAx 21cos&

22 xAx −±=&

Por tanto: 22 xAcxcFd −±== ω& (4)

Reordenando la ecuación se tiene:

122

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Ax

AcFd

ω (5)

Esta ecuación se conoce como la de una elipse con “ dF ” y “x” representada a lo largo de los ejes

vertical y horizontal. La energía disipada por ciclo está dada por el área encerrada por la elipse.

Fd

x

x

“Sistemas con dos grados de libertad” Página: 85


SISTEMAS CON DOS GRADOS DE LIBERTAD

Detalles Pág.

Coordenadas principales........................................................................................................... 87Modo normal de vibración....................................................................................................... 87Acoplamiento de coordenadas.................................................................................................. 98Acoplamiento estático.............................................................................................................. 99Acoplamiento dinámico........................................................................................................... 100Acoplamiento estático – dinámico........................................................................................... 101Ecuación de Lagrange.............................................................................................................. 102Ecuación de Lagrange para una partícula................................................................................. 103Cálculo de las fuerzas generalizadas........................................................................................ 106Ecuación de Lagrange para un sistema de partículas............................................................... 107Ecuación de Lagrange para cuerpos rígidos............................................................................. 109Vibración armónica forzada..................................................................................................... 113Absorbedor de vibraciones dinámicas...................................................................................... 115Vibración libre amortiguada..................................................................................................... 118Vibración forzada con amortiguamiento.................................................................................. 120

Se dice que un sistema tiene dos grados de libertad, cuando se requieren dos coordenadas para

describir su movimiento. Este sistema es la clave para el estudio de sistemas con varios grados

de libertad.

Si las masas “ 1m ” y “ 2m ” se restringen a moverse

verticalmente; se necesita por lo menos una coordenada

“ ( )tx ” para definir la localización de cada una de las masas en

un instante cualquiera, así el sistema necesita en total dos

coordenadas para determinar su posición (Es de dos grados de

libertad).

K 1

m 2

K 2

m 1x1

x2



L1

L2m1

m2

1

2

y1

y2

x1

x2

Si la masa “m” se restringe a moverse verticalmente, se necesitan

dos coordenadas para determinar el comportamiento del sistema.

Una de estas coordenadas es un desplazamiento rectilíneo ( )tx y

la otra coordenada será un desplazamiento angular ( )tθ que tiene

que ver con la rotación de la masa.

Las dos coordenadas son independientes una de la otra.

Para el sistema de péndulo doble, es claro que se necesitan dos

coordenadas para especificar la posición de las masas “ 1m ” y

“ 2m ” en un instante cualquiera; por tanto el sistema es de dos

grados de libertad “ 1x ” y “ 2x ” con “ 1y ”, “ 2y ” o “ 1θ ” y “ 2θ ”

son los posibles pares de coordenadas.

Un sistema de dos grados de libertad tiene dos ecuaciones de movimiento, una para cada masa; es

decir, un sistema con dos grados de libertad tendrá dos frecuencias naturales.

Las frecuencias naturales se encuentran resolviendo “La ecuación de frecuencia” en un sistema

sin amortiguación o la “Ecuación característica” de un sistema amortiguado.

Cuando las masas de un sistema oscilan de tal forma que llegan simultáneamente a los

desplazamientos máximos y pasan por sus puntos de equilibrio también simultáneamente, o sea,

que todas las partes móviles del sistema están oscilando en fase con una frecuencia. Tal estado se

llama modo normal o modo principal de vibración.

Cuando la vibración libre tiene lugar a una de estas frecuencias naturales, existe una relación

definida entre las amplitudes de las dos coordenadas y la configuración correspondiente es un

modo normal.

x2

K K

(t)

m



Coordenadas principales.

Es posible encontrar un par de coordenadas, tal que cada ecuación de movimiento contenga

únicamente una cantidad desconocida, entonces cada ecuación puede resolverse

independientemente una de la otra.

A este par particular de coordenadas se denomina coordenadas principales.

Los dos grados de libertad del sistema tendrán dos modos normales de vibración

correspondientes a las dos frecuencias naturales.

La vibración libre iniciada bajo cualquier condición será en general la superposición de los dos

modos normales de vibración.

Sin embargo, la vibración armónica forzada ocurriría a la frecuencia de excitación y la amplitud

de las dos coordenadas tenderá a un máximo a las dos frecuencias naturales.

Modo normal de vibración.

Considerando el sistema no amortiguado, usando las coordenadas “ 1x ” y “ 2x ”, medidas desde

una referencia inercial.

Las ecuaciones del movimiento son:

( )211 xxKKxxm −−−=&& (1)

( ) 22122 KxxxKmx −−= (2)

KKm 2m

x1 x2K

m 2mK(x 1 - x2) Kx 2Kx 1



Se define un modo normal de oscilación, como uno en el cual cada masa experimenta un

movimiento armónico de la misma frecuencia, pasando simultáneamente por la posición de

equilibrio.

Para tal movimiento se puede escribir: ti

11 eAx ω= (3) ti

22 eAx ω= (4)

Derivando (3) y (4) ti

11 eAix ωω=& ; ti1

221 eAix ωω=&& pero ti

12

12 eAx1i ωω−=⇒−= &&

ti22 eAix ωω=& ; ti

222

2 eAix ωω=&& pero ti2

22

2 eAx1i ωω−=⇒−= &&

Sustituyendo en (1) y (2)

En (1)

( ) ( )ti2

ti1

ti1

ti1

2 eAeAKeKAeAm ωωωωω −−−=−

( ) ti211

ti1

2 eKAKAKAeAm ωωω +−−=−

2112 KAKA2Am +−=− ω

( ) 0KAAmK2 212 =−− ω (5)

En (2)

( ) ( ) ti2

ti2

ti1

ti2

2 eKAeAeAKeAm2 ωωωωω −−=−

( ) ti21

ti2

2 eKA2KAeAm2 ωωω −=−

2122 KA2KAAm2 −=− ω

( ) 0KAAm2K2 122 =−− ω (6)

Formando un sistema con (5) y (6)

( )( )⎩

⎨⎧

=−+−=−−

02202

22

1

212

AmKKAKAAmKω

ω

Estas son ecuaciones lineales homogéneas y la solución A=B=0 define la condición de equilibrio.

La otra ecuación se obtiene igualando a cero el determinante.

1A y 2A se satisfacen, si el determinante siguiente es cero



022

22

2

=−−−−

ωω

mKKKmK

Haciendo cambio de variable 2ωλ = , el determinante cambia a:

022

2=

−−−−

λλ

mKKKmK

Desarrollando:

( )( ) 0222 2 =−−− KmKmK λλ

02244 2222 =−+−− KmmKmKK λλλ

0362 222 =+− KmKm λλ [ ]22m÷

0233

22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

mK

mK λλ

Resolviendo:

2

33

2

69322

mK

mK

mK

mK

mK

±=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛±

=λ

mK

mK 366.2

233

1 =⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ±= λλ

mK634.02 =λ

Retornando a la variable inicial 2ωλ =

mK366.2111 =⇒= ωλω

mK634.0222 =⇒= ωλω



m2x2

K2

m1x1

K1

K3

Sustituyendo cada una de estas frecuencias en las condiciones (5) y (6) permite hallar la razón de

las amplitudes.

Para 73.2366.22

12

366.2)1(

2

121

)1(

2

121 −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒

−=

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒=

AA

mKK

AA

mK

ωω

Para 731.0634.02

12

634.0)2(

2

122

)2(

2

122 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒

−=

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒=

AA

mKK

AA

mK

ωω

1. El sistema libre masa resorte de dos grados de libertad, está restringido a tener oscilaciones

verticales únicamente. Determinar la ecuación de la frecuencia y las razones de amplitud del

sistema.

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

Planteando [ ]∑ = maF a cada cuerpo

( ) 1121211 xmxxKxK &&=−−−

( ) 2223212 xmxKxxK &&=−−

Ordenando

( ) 0xKxKKxm 2212111 =−++&& (1)

( ) 0xKKxKxm 2321222 =++−&& (2)

Suponiendo que el sistema es periódico y se compone de movimientos armónicos de diferentes

amplitudes y frecuencias

( )φω −= tsenAx1 (3)

( )φω −= tsenBx2 (4)

m1 m2

K1x1

K2(x1 - x2)

K2(x1 - x2)

K2x2



Donde A, B, φ son constantes arbitrarias y ω una de las frecuencias naturales del sistema

Derivando (3) y (4)

( )φωω −= tcosAx1&

( )φωω −−= tsenAx 21&& (5)

( )φωω −= tcosBx2&

( )φωω −−= tsenBx 22&& (6)

(5) y (6) en (1) y (2)

( ) ( ) ( ) ( ) 0tsenBKtsenAKKtsenAm 2212

1 =−−−++−− φωφωφωω ( )φω −÷ tsen

( ) 0BKAKKAm 2212

1 =−++− ω

( ) 0BKAmKK 22

121 =−−+ ω (7)

( ) ( ) ( ) ( )0tsenBKKtsenAKtsenBm 3222

2 =−++−−−− φωφωφωω ( )φω −÷ tsen

( ) 0BKKAKBm 3222

2 =++−− ω

( ) 0BmKKAK 22322 =−++− ω (8)

Formando un sistema con (7) y (8)

( )( )⎩

⎨⎧

=−++−=−−+

0BmKKAK0BKAmKK

22322

22

121

ωω

Es una ecuación lineal homogénea: La solución A=B=0; define la condición de equilibrio del

sistema.

La otra solución se obtiene igualando a cero el determinante.

0mKKK

KmKK2

2322

22

121 =−+−

−−+ω

ω sea 2ωλ =

Desarrollando el sistema

( )( ) 0KmKKmKK 22232121 =−−+−+ λλ

0KmmKmKmKmKKKKmKKKK 22

22131212232

22123121 =−+−−−++−+ λλλλλ

Ordenando

( ) 0KKKKKKKmKmKmKmmm 323121312122122

21 =++++++− λλ



-2.73

1.0

( ) ( )[ ] 0KKKKKKKKmKKmmm 3231213212122

21 =++++++− λλ 21mm÷

( ) 0mm

KKKKKKm

KKm

KK

21

3231212

2

32

1

2122 =++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++

+− ωω (9)

De esta ecuación saldrán dos frecuencias 1ω y 2ω

La razón de amplitudes o forma modal se obtiene de las ecuaciones (7) y(8)

( ) 2121

22

2121 mKK

KBABKAmKK

ωω

−+=⇒=−+

( )2

2232

22

232 KmKK

BAAKBmKK

ωω

−+=⇒=−+

2

21232

21121

2

1

1

KmKK

mKKK

BA ω

ω−+

=−+

=

2

22232

22121

2

2

2

KmKK

mKKK

BA ω

ω−+

=−+

=

Cualquier vibración libre puede considerarse como la superposición de sus modos normales; así

los dos desplazamientos pueden escribirse como:

Llamadas soluciones generales:

( ) ( )2221111 tsenAtsenAx φωφω +++=

( ) ( )2221112 tsenBtsenBx φωφω +++=

Se puede representar gráficamente los dos modos normales:

mk634.02

1 =ω mK366.22

2 =ω

Para la función de forma del modo normal, se esa la siguiente notación:

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=0.1

731.01 xψ

0.731 1.0



( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=0.173.2

2 xψ

2. La figura muestra dos cilindros circulares idénticos de masa “m” y radio “r” unidos por medio

de un resorte “K”. Si los cilindros pueden rodar libremente sobre la superficie horizontal,

deduzca las ecuaciones de movimiento del sistema.

( ) ( ) 1211 IrmarxxK θ&&+=−−

Pero 11 rx θ=

22 rx θ=

2mr21I =

( ) θθθθ &&&& 22211 mr

21mrrrrK +=−

0rKrKmr23

22

112

12 =−+ θθθ&& ( )2r÷

( ) ( ) 22211 IrmarKrxxK θ&&+=−−

( ) 0rrrKrKmr23

21122

222 =−−+ θθθθ&&

0KKm23

21111 =−+ θθθ&&

1 2

x1 x2

K1 K2

K1(x1 - x2) K2x2



1x1

2

L

LL

x2

Km

m

0rKrKrKmr23

22

112

122

222 =+−+ θθθθ&&

3. Encuentre la ecuación de frecuencia del péndulo acoplado.

[ ]∑ = θ&&IM

( ) 1211211 cosLxxKmgxI θθ −−−=&&

( ) 0cosLsenLsenLKsenmgLI 1211211 =−++ θθθθθ&&

Para oscilaciones pequeñas

θθ ≈sen 1cos ≈θ

( ) 0LLLKmgLI 211211 =−++ θθθθ&&

( ) 0KLKLmgLI 22

122

11 =−++ θθθ&& (1)

( ) 2212222 cosLxxKsenL2mgI θθθ −+−=&&

( ) 0LLLKmgL2I 212222 =−−+ θθθθ&&

( ) 0KLmgL2KLI 22

122

22 =++− θθθ&& (2)

Sean: ( ) ( )φωωθφωθ −−=⇒−= tsenAtsenA 211&&

( ) ( )φωωθφωθ −−=⇒−= tsenBtsenB 222&&

En (1) y (2)

( ) 0KKKm23

112212 =−++ θθθ&&



L 2L L

m m

1

1

3

2

2

3

T T T

Tx1

x2

Como ( ) 222

21

2 mL4L2mImLImRI ==∧=⇒=

( ) ( ) ( ) ( ) 0tsenBKLtsenAKLmgLtsenAmL 2222 =−−−++−− φωφωφωω ( )[ ]φω −÷ tsen

( ) 0BKLAKLmgLAmL 2222 =−++− ω ( )L÷

( ) 0KLBAmLKLmg 2 =−−+ ω (3)

( ) ( ) ( ) ( ) 0tsenBKLmgL2tsenAKLtsenBmL4 2222 =−++−−−− φωφωφωω ( )[ ]φω −÷ tsen

( ) 0BKLmgL2AKLBmL4 2222 =++−− ω

( ) 0BmL4KLmg2KLA 2 =−++− ω (4)

0mL4KLmg2KL

KLmLKLmg2

2

=−+−

−−+ω

ω

Desarrollando

0LKLm4mKL5LKgLm6mgKL3gm2 2242222222222 =−+−+−+ ωωω

( ) 0mgKL3gm2mKL5gLm6Lm4 22222422 =+++− ωω ( )m÷

4. En la figura, suponga que la tensión en el alambre permanece constante cuando los ángulos de

oscilación son pequeños. Deduzca las expresiones de las frecuencias naturales.

121 xmsenTsenT &&=−− θθ

( ) ( ) 0gKL3mg2KL5mgL6mL4 22242 =+++− ωω



Pero 11

1 tangLxsen θθ ==

221

2 tangL2

xxsen θθ =

−=

Por tanto: 0TL2

xxT

Lx

xm 2111 =

−++&&

0TxTxTx2xmL2 2111 =−++&&

0TxTx3xmL2 211 =−+&& (1)

232 xmsenTsenT &&=− θθ

2221 xm

Lx

TL2

xxT &&=−

−

0TxTxTx2xmL2 2122 =+−+&&

0Tx3TxxmL2 212 =+−&& (2)

Sean: ( )φω −= tsenAx1 ( )φωω −−= tsenAx 21&& (3)

( )φω −= tsenBx2 ( )φωω −−= tsenBx 22&&

(3) en (1)

( )[ ] ( ) ( ) 0tsenTBtsenTA3tsenAmL2 2 =−−−+−− φωφωφωω ( )[ ]φω −÷ tsen

0TBTA3AmL2 2 =−+− ω

( ) 0TB3AmL2T3 2 =+− ω (4)

(3) en (2)

( ) ( ) ( ) 0tsenTB3tsenTAtsenBmL2 2 =−+−−−− φωφωφωω ( )[ ]φω −÷ tsen

0TB3TABmL2 2 =+−− ω

( ) 0BmL2T3TA 2 =−+− ω (5)

0mL2T3TTmL2T3

2

2

=−−−−

ωω

( ) 0TmL2T3 222 =−− ω Diferencia de cuadrados

( )( ) 0TmL2T3TmL2T3 22 =+−−− ωω



⇒=−⇒=−mL2T40mL2T4 22 ωω

⇒=⇒=−mLT0mL2T2 22 ωω

5. La masa “m” suspendida dentro de un marco rígido por medio de cuatro resortes. Determine

las frecuencias naturales de vibración.

11211 xmxKxK &&=−−

( ) 0xKKxm 1211 =++&& (1)

22423 xmxKxK &&=−−

( ) 0xKKxm 2432 =++&& (2)

Sean: ( )φω −= tsenAx1 ( )φωω −−= tsenAx 21&& (3)

( )φω −= tsenBx2 ( )φωω −−= tsenBx 22&&

(3) en (1)

( ) ( ) ( ) 0tsenAKKtsenAm 212 =−++−− φωφωω ( )[ ]φω −÷ tsenA

0KKm 212 =++− ω

⇒+= 212 KKmω

(3) en (2)

( ) ( ) ( ) 0tsenBKKtsenBm 432 =−++−− φωφωω ( )[ ]φω −÷ tsenB

mLT2

1 =ω

mLT

2 =ω

mKK 21

1+

=ω

mm

K1x1

K2x2

K3x2 K4x2

K2

m

K1

K3 K4



0KKm 432 =++− ω

⇒+= 432 KKmω

Acoplamiento de coordenadas.

Las ecuaciones de movimiento para el sistema de dos grados de libertad, están generalmente

“Acopladas” en el sentido de que las dos coordenadas aparecen en cada ecuación.

En el caso más general, las dos ecuaciones tienen la forma:

0xKxKxmxm 212111212111 =+++ &&&&

0xKxKxmxm 222121222121 =+++ &&&&

Que en forma matricial:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛00

xx

KKKK

xx

mmmm

2

1

2221

1211

2

1

2221

1211

&&&&

Que inmediatamente revela el tipo de acoplamiento presente.

* Existe acoplamiento dinámico o de masa, si la matriz de masas es no diagonal

* Existe acoplamiento estático o de rigidez, si la matriz de rigidez es no diagonal.

- Dependiendo del sistema de coordenadas elegido, tanto el acoplamiento dinámico y estático

pueden estar presentes.

- También es posible encontrar un sistema de coordenadas con ninguna forma de acoplamiento.

Cada ecuación puede ser resuelta independientemente. Tales coordenadas son las

“Coordenadas principales” (Llamadas también coordenadas normales).

mKK 43

2+

=ω



Aunque es posible siempre desacoplar las ecuaciones de movimiento para el sistema no

amortiguado, esto no siempre es posible en el sistema amortiguado.

La siguiente ecuación matricial muestra un sistema que no tiene acoplamiento estático ni dinámico, pero las coordenadas están acopladas por la matriz de amortiguamiento.

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛00

xx

K00K

xx

cccc

xx

m00m

2

1

22

11

2

1

2221

1211

2

1

22

11

&&

&&&&

Si se da que 0cc 2112 == se dice que el amortiguamiento es proporcional (A la matriz de rigidez o de masa) y las ecuaciones del sistema se desacoplan.

Ejm. Una barra rígida está soportada por dos resortes 1K y 2K . La figura representa un sistema

de dos grados de libertad, puesto que se requieren dos coordenadas para describir su movimiento.

Acoplamiento estático:

El centro de masa no coincide con su centro geométrico

[La decisión de escoger las coordenadas, definirá el tipo de acoplamiento que tiene]

[ ]∑ = xmF &&&&

( ) ( ) xmLxKLxK &&=+−−− θθ 2211

0222111 =++−+ θθ LKxKLKxKxm&&

LINEA DE REFERENCIA

OK1(x - L1 )

K2(x - L2 )

x

K1 K2

L1 L2

L1

L2

mg

G



( ) ( ) 0LKLKxKKxm 112221 =−+++ θ&&

[ ]∑ = θ&&IM 0

( ) ( ) θθθ &&ILLxKLLxK 222111 =+−−

0LKxLKLKxLKI 22222

21111 =+++− θθθ&&

( ) ( ) 0LKLKxLKLKI 222

2111122 =++−+ θθ&&

Formando el sistema:

( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

=++−+=−+++

0LKLKxLKLKI0LKLKxKKxm

222

2111122

112221

θθθ

&&&&

En forma matricial:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛00x

LKLKLKLKLKLKKKx

I00m

222

2111122

112221

θθ&&&&

Por la teoría se dice que tiene un acoplamiento estático. Si 2211 LKLK = el acoplamiento

estático desaparece.

Acoplamiento dinámico:

K2(x - L4 )

L3

K1(x - L3 )

K1

LINEA DE REFERENCIA

L3

L4

mx

x

mg K2

L4

Ge

m (e )Fuerza de inercia



Existe algún punto C a lo largo de la barra en donde una fuerza aplicada normalmente produce

traslación pura; es decir:

4231 LKLK =

[ ]∑ = xmF &&

( ) ( ) xmmeLxKLxK 4231 &&&&=−+−−− θθθ

0meLKxKLKxKxm 422311 =+++−+ θθθ &&&&

( ) ( ) 0LKLKxKKmexm 314221 =−++++ θθ&&&&

[ ]∑ = θ&&IM 0

( ) ( ) θθθ &&&& IxmeLLxKLLxK 442331 =−+−−

0xmeLKxLKLKxLKI 24242

23131 =++++− &&&& θθθ

( ) ( ) 0LKLKxLKLKxmeI 242

2313142 =++−++ θθ &&&&

En forma matricial:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛00x

LKLKLKLKLKLKKKx

Imemem

242

2313142

314221

θθ&&&&

Pero como 4231 LKLK =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛00x

LKLK00KKx

Imemem

242

231

21

θθ&&&&

En este caso, las coordenadas elegidas eliminan el acoplamiento estático e introducen el

dinámico.

Acoplamiento estático – dinámico:

Se obtiene al elegir “x” en el extremo de la barra.



K2(x - L )

L1

K1x

K1

LINEA DE REFERENCIA

L1

L2

O

K2

GL

mx = mL1

x

[ ]∑ = xmF &&

( ) xmmLLxKxK 121 &&&&=−+−− θθ

0LKxKxKmLxm 2211 =++++ θθ&&&&

( ) 0LKxKKmLxm 2211 =++++ θθ&&&&

[ ]∑ = θ&&IM A

( ) ( ) θθ &&&& ILLxKLxm0xK 211 =+−−

0LKxLKxmLI 2221 =+++ θθ &&&&

0LKLxKxmLI 2221 =+++ θθ &&&&

En forma matricial:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛00x

LKLKLKKKx

ImLmLm

222

221

1

1

θθ&&&&

Ecuación de Lagrange.

Son ecuaciones diferenciales de movimiento, expresadas en términos de coordenadas

generalizadas.



Ecuación de Lagrange para una partícula:

Considerando la ecuación del movimiento de una partícula

[ ]amF ϖϖ=

De aquí se obtiene tres ecuaciones escalares

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

zmFymFxmF

z

y

x

&&&&&& (0)

Considerando un desplazamiento virtual: kzjyixr)))ϖ δδδδ ++=

El trabajo virtual realizado por la fuerza es:

zFyFxFrF zyx δδδδ ++=⋅ ϖϖ (1)

zzmyymxxmrF δδδδ &&&&&&ϖϖ++=⋅ (2)

Sean 321 q,q,q un conjunto de coordenadas generalizadas para la partícula, entonces se tiene:

( )tqqqxx ,,, 321=

( )tqqqyy ,,, 321= (*)

( )tqqqzz ,,, 321=

Se puede expresar los desplazamientos virtuales z,y,x δδδ en términos de 321 q,q,q δδδ

33

22

11

qqxq

qxq

qxx δδδδ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

33

22

11

qqyq

qyq

qyy δδδδ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

33

22

11

qqzq

qzq

qzz δδδδ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Sustituyendo en (1):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅ 33

22

11

z33

22

11

y33

22

11

x qqzq

qzq

qzFq

qyq

qyq

qyFq

qxq

qxq

qxFrF δδδδδδδδδδϖ

ϖ

3321

2321

1321

qqzz

qzy

qzxmq

qyz

qyy

qyxmq

qxz

qxy

qxxmrF δδδδ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅ &&&&&&&&&&&&&&&&&&ϖϖ



Como el miembro izquierdo es el trabajo virtual y 321 q,q,q son coordenadas generalizadas, se

llamará a los coeficientes 321 q,q,q δδδ fuerzas generalizadas y se designará por 321 Q,Q,Q .

Por tanto:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=111

1 qzz

qyy

qxxmQ &&&&&& ó

1z

1y

1x1 q

zFqyF

qxFQ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=222

2 qzz

qyy

qxxmQ &&&&&& ó

2z

2y

2x2 q

zFqyF

qxFQ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=333

3 qzz

qyy

qxxmQ &&&&&& ó

3z

3y

3x3 q

zFqyF

qxFQ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Ahora se transformará los miembros derechos de estas ecuaciones. Se hará solo para el

término:1qxx

∂∂

&&

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

111 qx

dtdx

qxx

qxx

dtd

&&&& Derivada de un producto

Despejando: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂

11 qx

dtdx

qxx

dtd

qxx &&&& (a)

Derivando (*) 33

22

11

qqxq

qxq

qxx &&&&

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

11 qx

qx

∂∂

=∂∂&& (Se deriva a todos pero 32 qq && ∧ en este caso son cts..) (b)

111 qx

dtdx

qqx

dtd

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ & (c)

(b) y (c) en (a)

111 qxx

qxx

dtd

qxx

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂ &

&&&

&&&

22

2

1

2

11

xq

xqdt

dqxx &&

&&&

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂



Haciendo las transformaciones de las partes derechas ,se llega por ejm. Para 1Q

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

=2z

2y

2x

q2z

2y

2x

qdtdmQ

222

1

222

11

&&&&&&&

De donde: 11

1 qT

qT

dtdQ

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=&

Siendo: ( )222 zyxm21T &&& ++= Energía cinética de la partícula

Análogamente se puede obtener para 32 Q,Q y en general:

3,2,1i = (Ecuación de Lagrange)

Si las fuerzas son conservativas (Las generalizadas) iQ Se tiene:

ii q

VQ∂∂

−=

Donde V es la energía potencial de la partícula y la ecuación de Lagrange puede escribirse:

iii qV

qT

qT

dtd

∂∂

−=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂&

0=∂∂

+∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

iii qV

qT

qT

dtd

&

Como V es función de iq solamente, 0qV

i

=∂∂

⇒&

Sea VTL −= (Lagrangiano)

Entonces la ecuación de Lagrange tiene la forma:

Si iQ consiste tanto de fuerzas conservativas como no conservativas, entonces iQ sería:

iii q

TqT

dtdQ

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=&

0=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ii qL

qL

dtd

&



( ) ( )i

nii

i qEDQ

qVQ

&∂∂

−+∂∂

−= ( ) =niQ Parte no conservativa

ED = Energía disipativa ED= 2

21 xc&

Por tanto la ecuación de Lagrange será:

Cálculo de las fuerzas generalizadas.

Se puede calcular por medio de tres métodos:

a) A partir de la fórmula: i

j3

1jji q

xFQ

∂

∂= ∑

=

3,2,1i =

1z

1y

1x1 q

zFqyF

qxFQ

∂∂

+∂∂

+∂∂

= Ctte.

a) Este método se aplica solamente con fuerzas conservativas; es decir:

1i q

yQ∂∂

−=

Ejm. Deducir la ecuación de movimiento para las vibraciones libre y forzada de un sistema de un

grado de libertad, que consiste en una masa y un resorte.

Usando la ecuación de Lagrange de la forma:

( )niii

QqL

qL

dtd

=∂∂

−∂∂

⋅&

(*)

( )niii

QqL

qL

dtd

=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂&

mK

Fcoswt



La energía cinética es: 2xm21T &=

La energía potencial es: 2Kx21V =

El lagrangiano es: 22 Kx21xm

21VTL −⇒=−= &

Encontrando los términos de (*)

( ) xmxmdtd

xL

dtd

&&&&

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

KxxL

−=∂∂

La fuerza generalizada no conservativa es: ⎩⎨⎧

=tcosF

0Qnx ω

Para vibración libre – forzada

Por tanto la ecuación de movimiento es:

Ecuación de Lagrange para un sistema de partículas.

Puede extenderse directamente hasta cubrir un sistema de partículas y sea “n” el número de

partículas.

Nótese que se requieren “n” coordenadas independientes n321 q,...,q,q,q para describir un

sistema de “n” grados de libertad, donde nn 3≤ .

1) Forma general.

iii

QqT

qT

dtd

=∂∂

−∂∂&

n,...,3,2,1i =

Donde ∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

i

jzj

i

jyj

i

jxji q

zF

qy

Fqx

FQ

2) Sistemas conservativos.

⎩⎨⎧

=+tcosF

0Kxxm

ω&& Para vibración libre - forzada



0qL

qL

dtd

ii

=∂∂

−∂∂&

Donde VTL −=

3) Para la forma alternativa.

( )niii

QqL

qL

dtd

=∂∂

−∂∂

⋅&

T y V son la energía cinética y potencial del sistema de partículas en conjunto.

Ejm. Dos partículas en vibración libre. Deducir las ecuaciones de movimiento para el sistema de

dos grados de libertad.

Como el sistema es conservativo:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

∂∂

−∂∂

⋅ 0qL

qL

dtd

ii&

Donde: 11 xq = y 22 xq =

La energía cinética del sistema es: 222

211 xm

21xm

21T && +=

La energía potencial del sistema es: ( ) 223

2122

211 xK

21xxK

21xK

21V +−+=

El Lagrangiano: ( ) 223

2122

211

222

211 xK

21xxK

21xK

21xm

21xm

21L −−−−+= &&

Para la coordenada 1x :

( )

( )( ) ( )⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−+−=−−−−=∂∂

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

12211122111

11111

xxKxK1xxKxKxL

xmxmdtd

xL

dtd

&&&& ( ) 0xxKxKxm 1221111 =−−+&&

K1 K2m1 m2

K3



Para la coordenada 2x :

( )

( )⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−−−−=∂∂

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

23122222

22222

xKxxKxKxL

xmxmdtd

xL

dtd

&&&& ( ) 0xKxxKxm 2312222 =−−+&&

Ecuación de Lagrange para cuerpos rígidos.

Un cuerpo rígido puede considerarse como un conglomerado de partículas infinitamente grande

distribuidas continuamente.

Usando las energías cinética “T” y potencial “V” del cuerpo rígido, de un sistema de cuerpos

rígidos o de un sistema de partículas y cuerpos rígidos.

Ejm. Un disco circular homogéneo y uniforme de masa “m” y radio “R” está oscilando alrededor

de su posición de equilibrio. Deducir las ecuaciones del movimiento para la vibración libre

La energía cinética: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ += 2

G2G I

21mV

21T ω

2xVG&= θθ && R2xR2x =⇒= a)

( ) 0xKxKKxm 2212111 =−++&&

( ) 0xKxKKxm 1223222 =−++&&

K

mR

M coswta

R

R

x/2



( ) θθ

&&

RR221VG ==

Como 2mR21I = (Disco) y θω &=

( ) 2222222 mR41mR

21mR

21

21Rm

21T θθθθ &&&& +=+=

22mR43T θ&= (1)

La energía potencial: 21Kx

21V =

Según el gráfico:

Por proporcionalidad Ra

xR2x 1

+=

xR2Rax1

+= Pero: ( )θθ RaxR2x 1 +=⇒= (b)

( ) 22RaK21V θ+= (2)

El Lagrangiano es: ( ) 2222 RaK21mR

43L θθ +−= &

( ) ⎪

⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+−=∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

θθ

θθθ

2

22

RaKL

mR23mR

23

dtdL

dtd &&&

&

Para vibración forzada:

( ) tcosMRaKmR23 22 ωθθ =++&&

1. Usando las ecuaciones de Lagrange, deducir las ecuaciones del movimiento para pequeñas

vibraciones del péndulo doble, que consiste en dos cuerpos rígidos suspendidos en “O” y

articulados en “A”. Los centros de gravedad son 1G y 2G y los momentos de inercia respecto de

1G y 2G son 1I y 2I respectivamente, siendo las masas 1m y 2m

( ) 0RaKmR23 22 =++ θθ&&

x1



Sean las coordenadas generalizadas de 1G y 2G

111 senax θ=

111 cosay θ=

2212 senasenLx θθ +=

2212 cosacosLy θθ +=

jcosaisenar 11111 θθ +=ϖ (1)

( ) ( )jcosacosLisenasenLr 2212212 θθθθ +++=ϖ (2)

Derivando (1) se obtiene la velocidad 211

221

21

221

211111111 senacosaVjsenaicosaV θθθθθθθθ &&&& +=⇒−=

Factorizando: ( ) 21

21

211

21

221

21

21 aVsencosaV θθθθ && =⇒+=

Derivando (2):

( ) ( )jsenasenLicosacosLV 22211222112 θθθθθθθθ &&&& −−++=

( ) ( ) jsenasenLicosacosLV 222211

222211

22 θθθθθθθθ &&&& −−++=

Desarrollando y simplificando:

( )1221222

22

21

222 cosLa2aLV θθθθθθ −++= &&&&

La energía cinética del sistema es:

( ) ( )44 344 2144 344 21

2

2G

2G

1

2G

2G I

21mV

21I

21mV

21T ωω +++=

a1

a2

L

G1

G2

O



( )[ ] 22212212

22

22

21

22

211

21

211 I

21cosLa2aLm

21I

21am

21T θθθθθθθθθ &&&&&&& +−++++= (3)

La energía potencial es: 21 VVV +=

( ) ( ) ( )[ ]2212111 cos1acos1Lgmcos1gamV θθθ −+−+−= (4)

( )( )1222212

211211

1

cosLamLmIamdtdT

dtd

θθθθθθθ

−+++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ &&&&&

( ) ( )( )12122221222212

2111211

1

senLamcosLamLmIamTdtd

θθθθθθθθθθθθ

&&&&&&&&&&&&

−−−−+++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

( ) ( ) ( ) ( )12122221222212

22111

1

senLamcosLamLmamITdtd

θθθθθθθθθθ

−−−−+++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ &&&&&&&&

2. Deducir las ecuaciones del movimiento para el sistema mostrado en la figura.

Energía Potencial ( )θcos1mgLKx21V 2 −+= (1)

Energía Cinética 21 TTT +=

21 xM

21T &= (*)

Para 2T :

⎭⎬⎫

=+=

θθ

cosLysenLxx

1

1 ( ) jcosLisenLxr ++= θϖ

Derivando respecto al tiempo Vrϖϖ

&=

( ) ( )222 senLcosLxV θθθθ &&& −++=

1P

MK

L

x1

x

y1



θθθθθθ 22222222 senLcosLcosxL2xV &&&&& +++=

( )θθθθθ 222222 cossenLcosxL2xV +++= &&&& 2222 LcosxL2xV θθθ &&&& ++= (a)

Por tanto: ( )2222 LcosxL2xm

21T θθθ ++= &&& (**)

La energía cinética total es: 2222 mL21cosxmLxm

21xM

21T θθθ &&&&& +++= (2)

Lagrangiano: ( )θθθθ cos1mgLKx21mL

21cosxmLxm

21xM

21T 22222 −−−+++= &&&&&

( ) ( )θθθθθθ cossenmLxmxMcosmLxmxMdtd

xL

dtd 2 &&&&&&&&&&

&+−++=++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

( ) ( )θθθθ sencosmLxmMxL

dtd 2&&&&&

&−++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

KxxL

−=∂∂

Por tanto: ( ) ( ) 0KxsencosmLxmM 2 =+−++ θθθθ &&&&&

( ) ( ) ( )θθθθθθθθθθθ

senxcosxLmLmLcosxmLsenxmLmLcosxmLdtdL

dtd 22 &&&&&&&&&&&&&&&

−+=++−=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

θθθθ

senmgLsenxmLL−−=

∂∂

&&

Por tanto: ( ) 0senmgLsenxmLsenxcosxLmL =++−+ θθθθθθθ &&&&&&&&

Vibración armónica forzada.

Considerando un sistema excitado por una fuerza armónica tsenFF 0 ω=

0sengcosxL =++ θθθ &&&&



m1

m2x2

x1

K2

K1

F m1K2 (x1 - x2)

K1x1

m2K2 (x1 - x2)

F

De los diagramas de cuerpo libre:

( ) 1121211 xmFxxKxK &&=+−−−

( ) tsenFxKxKKxm 02212111 ω=−++&& (1)

( ) 22212 xmxxK &&=−

0xKxKxm 221222 =+−&& (2)

Suponiendo que el movimiento es periódico y se compone de movimientos armónicos de

diferentes amplitudes y frecuencias: Sea uno de los componentes armónicos.

tsenAx1 ω= tsenBx2 ω=

tcosAx1 ωω=& tcosBx2 ωω=&

tsenAx 21 ωω−=&& tsenBx 2

2 ωω−=&&

Reemplazando en (1):

( ) tsenFtsenBKtsenAKKtsenAm 02212

1 ωωωωω =−++− ( )tsenω÷

( ) 02212

1 FBKAKKAm =−++− ω

Ordenando: ( ) 022

121 FBKAmKK =−−+ ω (3)

Reemplazando en (2)

( )( ) 21

2221221

421

2220

KKKmKmKmmmmKF

A+++−

−=

ωωω



0tsenBKtsenAKtsenBm 222

2 =+−− ωωωω ( )tsenω÷

( ) 0BmKAK 2222 =−+− ω (4)

Formando el sistema:

( )( )⎩

⎨⎧

=−+−=−−+0BmKAKFBKAmKK

2222

022

121

ωω

Resolviendo por determinantes:

( )( )( ) 2

22

222

121

2220

2222

22

121

222

20

KmKmKKmKF

mKKKmKK

mK0KF

A−−−+

−=

−−−−+

−−

=ωω

ω

ωω

ω

( )( ) 21

2221221

421

2220

KKKmKmKmmmmKF

A+++−

−=

ωωω

( ) 212

2212214

21

2

02

121

KKKmKmKmmm0K

FmKK

B+++−

−−+

=ωω

ω

( ) 212

2212214

21

02

KKKmKmKmmmFK

B+++−

=ωω

Por tanto la solución es:

Absorbedor de vibraciones dinámicas.

Es sencillamente un sistema de un grado de libertad, generalmente de la forma simple masa–

resorte.

( )( ) tsen

KKKmKmKmmmmKFx

212

2212214

21

2220

1 ωωω

ω+++−

−=

( ) tsenKKKmKmKmmm

FKx

212

2212214

21

022 ω

ωω +++−=



Cuando a este sistema se adiciona como sistema auxiliar otro sistema de un grado de libertad,

transformará todo el sistema en uno de dos grados de libertad, en dos frecuencias naturales de

vibración.

Una de las frecuencias naturales está por encima de la frecuencia de excitación, mientras que la

otra por debajo, de tal forma que la masa principal del sistema completo tendrá una amplitud de

vibración muy pequeña, en lugar de una amplitud muy grande bajo la excitación dada.

Sea una masa “M” que tiene vibración forzada. Con el fin de disminuir la amplitud de “M”

agregar un sistema auxiliar masa-resorte.

El sistema acoplado tiene dos grados de libertad y las ecuaciones de movimiento son:

( ) 121211 xMxxKxKF &&=−−−

tsenFxKxKxKxM 02212111 ω=−++&&

( ) tsenFxKxKKxM 0221211 ω=−++&& (1)

( ) 2212 xmxxK &&=−

0xKxKxm 22122 =+−&& (2)

( )aeAsx

AsexAex

st21

st1

st1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

===

&&& ( )b

eBsxBsexBex

st22

st2

st2

⎪⎭

⎪⎬

⎫

===

&&&

(a) y (b) en (1)

( ) tsenFtsenBKtsenAKKtsenMA 02212 ωωωωω =−++− ( )tsenω÷

K1

M M

K1

mx2

x1

0F s

enw

t

F s

enw

t0

K2

M

K1x1

K2 (x1 - x2)

m

K2 (x1 - x2)



( ) 02212 FBKAKKMA =−++− ω

( ) 022

21 FBKAMKK =−−+ ω (3)

(a) y (b) en (2)

0tsenBKtsenAKtsenmB 222 =+−− ωωωω ( )tsenω÷

0BKAKmB 222 =+−− ω

( ) 0BmKAK 222 =−+− ω (4)

Formando un sistema entre (3) y (4)

( )( )⎩

⎨⎧

=−+−=−−+0BmKAK

FBKAMKK2

22

022

21

ωω

( )( )

( )

( )( )( ) 2

22

22

21

220

222

22

21

22

20

KmKMKKmKF

mKKKMKK

mK0KF

A−−−+

−=

−−−−+

−−

=ωω

ω

ωω

ω

Para anular la vibración de M, se hace A=0 entonces:

0mK 22 =− ω

Por consiguiente se debe diseñar el absorbedor de modo que su frecuencia natural sea igual a la

frecuencia impresa. (Cuando esto ocurre, la amplitud de “M” es prácticamente cero).

En general, un absorbedor se usa únicamente cuando la frecuencia natural del sistema original es

casi igual a la frecuencia de la fuerza. Por tanto, mK

MK 21 = es aproximadamente cierto para el

sistema completo.

mK 2=ω



Vibración libre amortiguada.

( ) ( ) 112122121111 xmxxcxxKxcxK &&&&& =−−−−−−

( ) ( ) 0xKxcxKKxccxm 222212112111 =−−++++ &&&& (1)

( ) ( ) 22212212 xmxxKxxc &&&& =−+−

( ) ( ) 0xxKxxcxm 21221222 =−−−− &&&&

0xKxcxKxcxm 1212222222 =−−++ &&&& (2)

Como las componentes de vibración de un sistema amortiguado no son periódicos, es decir, son

movimientos oscilatorios con amplitudes decrecientes.

( )aeAsx

AsexAex

st21

st1

st1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

===

&&& ( )b

eBsxBsexBex

st22

st2

st2

⎪⎭

⎪⎬

⎫

===

&&&

Reemplazando (a) y (b) en (1)

( ) ( ) 0BeKABsecAeKKAsecceAsm st2

st2

st21

st21

st21 =−−++++− ( )ste÷

( ) ( ) 0BKABscAKKAsccAsm 2221212

1 =−−++++−

Ordenando: ( ) ( )[ ] ( ) 0BKscAKKsccsm 2221212

1 =+−++++ (3)

x1

x2

m2

K2c2

m1

K1

c1 m1

K1x1 c1x1

K2 (x1 - x2) c2 (x1 - x2)

m1

c2 (x1 - x2)K2 (x1 - x2)



Reemplazando (a) y (b) en (2)

0AeKAsecBeKBseceBsm st2

st2

st2

st2

st22 =−−++ ( )ste÷

( ) ( ) 0BKscsmAKsc 222

222 =++++− (4)

Cuando el sistema es homogéneo, la solución únicamente tiene sentido si:

( ) ( ) ( )( ) 0

KscsmKscKscKKsccsm

222

222

2221212

1 =+++−

+−++++

Desarrollando el determinante:

( ) ( )[ ]( ) ( ) 0KscKscsmKKsccsm 22222

222121

21 =+−++++++ Ecuación característica.

La solución de esta ecuación de to4 grado dará 4 valores de s ( )4321 s,s,s,s

Por tanto, el movimiento general completo puede expresarse como:

( ) ts4

ts3

ts2

ts11

4321 eAeAeAeAtx +++=

( ) ts4

ts3

ts2

ts12

4321 eBeBeBeBtx +++=

Donde los cuatro coeficientes desconocidos ( )4321 A,A,A,A .

(Las B no son incógnitas diferentes, puesto que ( )444111 AB,.....,AB λλ == ).

Se hallan de las cuatro condiciones iniciales, a saber: ( ) ( ) ( ) ( )0x,0x,0x,0x 2121 &&

Las razones de amplitud se hallan de (3) y (4)

( ) ( ) i2i2

2i22i2

21i212ii

2i2

i

i 1Ksc

KscsmKKsccsm

KscBA

λ=

+++

=++++

+=

Donde 4,3,2,1i =



Vibración forzada con amortiguamiento.

( ) ( ) 112122121111 xmFxxcxxKxcxK &&&&& =+−−−−−−

tsenFxcxcxKxKxcxKxm 022122212111111 ω=−+−+++ &&&&&

( ) ( ) tsenFxKxcxKKxccxm 0222212112111 ω=−−++++ &&&& (1)

( ) ( ) 22212212 xmxxcxxK &&&& =−+−

0xcxcxKxKxm 2212221222 =+−+− &&&&

0xKxcxKxcxm 1212222222 =−−++ &&&& (2)

Formando el sistema entre (1) y (2)

( ) ( )⎩⎨⎧

=−−++=−−++++0xKxcxKxcxm

tsenFKxcxKKxccxm

1212222222

022212112111

&&&&&&&& ω

La solución general de estas ecuaciones, consiste en la solución general de la ecuación

homogénea y una solución particular de las ecuaciones no homogéneas.

x1 F s

enw

t

m1

K1

c1

0

x2

m2

K2c2

m1

K1x1 c1x1

K2 (x1 - x2) c2 (x1 - x2)

m1

c2 (x1 - x2)K2 (x1 - x2)



La solución homogénea representa una vibración amortiguada (No tiene interés en el estudio de

problemas del absorbedor dinámico amortiguado, ya que esta vibración se amortigua

rápidamente).

La solución particular de las ecuaciones no homogéneas, que representa la vibración forzada se

halla haciendo:

tsenBtcosAx 111 ωω +=

tsenBtcosAx 222 ωω +=

“Sistemas de varios grados de libertad” Página: 122


mx2

K3

m

x1

K2

m

K1

x3

L1

L2

L3

L4

K1m1

y1

m2

y2

m3K2 K3

y3 y4

m4

SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

Detalles Pág.

Introducción.............................................................................................................................. 122Ecuación del movimiento......................................................................................................... 122Ecuación de Lagrange.............................................................................................................. 124Matrices de flexibilidad y rigidez............................................................................................. 125Coeficientes de influencia........................................................................................................ 136

Introducción.

Cuando se necesitan “n” coordenadas independientes para determinar las posiciones de las masas

de un sistema, el sistema es de “n” grados de libertad.

En principio, el análisis vibracional de un sistema de “n” grados de libertad, es similar al de dos

grados de libertad. Sin embargo, debido al gran número de posibilidades que existen, hace que se

realice más trabajo.

Ecuación del movimiento.

El movimiento de un sistema de “n” grados de libertad está representado por “n” ecuaciones

diferenciales, las que se obtienen del movimiento de Newton y de la ecuación de Lagrange.



Como las ecuaciones de movimiento no son enteramente independientes, se necesita la

evaluación completa de determinantes de orden “n” para obtener la solución simultánea de estas

ecuaciones.

La evaluación de tales determinantes producirá todas las frecuencias naturales del sistema.

Otros métodos que se usan son: Método Stodola, método de Holzer y la iteración matricial, que

son métodos numéricos más directos utilizados en sistemas vibratorios de varios grados de

libertad.

Ejm. Determinar la ecuación del sistema masa resorte.

( ) ( ) 0xKxKKxmxxKxKxm 22121112121111 =−++⇒−−−= &&&& (1)

( ) ( ) ( ) 0xKxKxKKxmxxKxxKxm 12332322232321222 =−−++⇒−−−= &&&& (2)

( ) ( ) 0xKxKKxmxKxxKxm 23343333432333 =−++⇒−−= &&&& (3)

Suponiendo el movimiento periódico, que se compone de movimientos armónicos de diferentes

amplitudes y frecuencias

( )φω += tsenAx1 ( )φωω +−= tsenAx 21&&

( )φω += tsenBx2 ( )φωω +−= tsenBx 22&&

( )φω += tsenCx3 ( )φωω +−= tsenCx 23&&

Reemplazando estos valores en (1), (2), (3)

( ) ( ) ( ) ( ) 0tsenBKtsenAKKtsenAm 2212

1 =+−++++− φωφωφωω ( )[ ]φω +÷ tsen

( ) 0BKAKKAm 2212

1 =−++− ω

K1 K2m1 m2 m3

K3 K4

m2m1 m3K1x1 K2 (x1 - x2) K3 (x2 - x3) K4x3




( ) 0BKAmKK 22

121 =−−+ ω (4)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0tsenAKtsenCKtsenBKKtsenBm 23322

2 =+−+−++++− φωφωφωφωω ( )[ ]φω +÷ tsen

( ) 0AKCKBKKBm 23322

2 =−−++− ω

( ) 0CKBmKKAK 32

2322 =−−++− ω (5)

( ) ( ) ( ) ( ) 0tsenBKtsenCKKtsenCm 3432

3 =+−++++− φωφωφωω ( )[ ]φω +÷ tsen

( ) 0BKCKKCm 3432

3 =−++− ω

( ) 0CmKKBK 23433 =−++− ω (6)

La ecuación de frecuencias se encuentra igualando a cero el determinante de A, B, C,es decir:

0mKKK0

0mKKK0KmKK

23433

22322

22

121

=−+−

−+−−−+

ωω

ω

Desarrollando el determinante:

( )( )( ) ( ) ( ) 0mKKKmKKKmKKmKKmKK 2121

23

2343

22

2343

2232

2121 =−+−−+−−+−+−+ ωωωωω

( )( )−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +++

+++

+++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++

++

+− 2

31

4321

32

424332

21

3132214

3

43

2

32

1

216

mmKKKK

mmKKKKKK

mmKKKKKK

mKK

mKK

mKK

ωωω

0mmm

KKKKKKKKKKKK

321

421431432321 =+++

−

Ecuación de Lagrange.

Para el mismo sistema del caso anterior. El sistema es conservativo; por tanto:

0qL

qL

dtd

ii

=∂∂

−∂∂&

Donde: L = T – V

233

222

211 xm

21xm

21xm

21T &&& ++=



( ) ( ) 234

2323

2212

211 xK

21xxK

21xxK

21xK

21V +−+−+=

L = 233

222

211 xm

21xm

21xm

21

&&& ++ ( ) ( ) 234

2323

2212

211 xK

21xxK

21xxK

21xK

21

−−−−−−

( )

( ) ( )( ) 0xKxKKxm

xKxKKxxKxKxL

xmxmdtd

xL

dtd

2212111

22121212111

11111 =−++

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

++−=−−−=∂∂

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

&&&&&

&

( )( ) ( )( )( ) 0xKxKxKKxm

xKxKxKxK1xxK1xxKxL

xmxL

dtd

123323222

332322123232122

222 =−−++

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+−−=−−−−−=∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

&&&&

&

( )( )( ) 0xKxKKxm

xKxKxKxK1xxKxL

xmxL

dtd

2334333

343323343233

333 =−++

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−−−=−−−−=∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

&&&&

&

El resto es igual que el caso anterior.

Matrices de flexibilidad y rigidez.

El uso de matrices en el análisis vibracional, no solo simplifica el trabajo, sino que también ayuda

a comprender el procedimiento usado en la solución. Esto particularmente para sistemas de varios

grados de libertad.

Las ecuaciones diferenciales del movimiento para un sistema de “n” masas puede expresarse en

general como:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++++++

=+++++++=+++++++

0qK...qKqKqm...qmqm....................................................................................................

0qK...qKqKqm...qmqm0qK...qKqKqm...qmqm

nnn22n11nnnn22n11n

nn2222121nn2222121

nn1212111nn1212111

&&&&&&

&&&&&&&&&&&&

En forma matricial



⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0...00

q...

qq

K...KK............

K...KKK...KK

q...

qq

m...mm............

m...mmm...mm

n

2

1

nn2n1n

n22221

n11211

n

2

1

nn2n1n

n22221

n11211

&&

&&&&

En forma simple

[ ]{ } [ ]{ } 0qKqM =+&& (1)

[ ] =M Matriz de inercia

[ ] =K Matriz de rigidez

Si se multiplica por [ ] 1M − a la ecuación (1) se tiene:

[ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ]

{ } 0qKMqMMC

1

I

1 =+ −−

434 21&&434 21

{ } [ ]{ } 0=+ qCq&& (2)

Donde: [ ] [ ] [ ] == − KMC 1 Matriz dinámica o matriz del sistema

Suponiendo movimiento armónico { } { }qq λ−=&& siendo 2ωλ = (Frecuencia natural)

{ } [ ]{ } 0=+− qCqλ

Ordenando y factorizando: [ ]{ } 0=− qC λ

Por concepto de diferencia y producto de matrices:

[ ]{ } 0=− qIC λ

Las frecuencias naturales se obtienen de la ecuación característica: 0=− IC λ que es el

determinante igual a cero.

Las raíces iλ de la ecuación característica son los valores propios y las frecuencias naturales se

obtienen a partir de ellas por medio de la relación: 2ii ωλ =



Sustituyendo cada iλ en la ecuación matricial, se obtiene la correspondiente forma MODAL ix

denominada vector propio.

Así para un sistema con “n” grados de libertad, se tiene “n” valores propios y “n” vectores

propios.

Se sabe que, según se escojan las coordenadas, un sistema tiene acoplamiento estático o

dinámico.

Para todo sistema existe un conjunto de “Coordenadas principales” que expresa la ecuación de

movimiento en la forma no acoplada, tales coordenadas no acopladas son deseables, puesto que

cada ecuación puede resolverse independientemente.

Es posible desacoplar las ecuaciones de movimiento de un sistema con “n” grados de libertad,

siempre que se conozca los modos normales del sistema. Cuando se arreglan los “n” modos

normales (Vectores propios) en una matriz cuadrada, con cada modo norma como columna, se

llama MATRIZ MODAL.

Así, la matriz modal para un sistema de tres grados de libertad será:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

33

2

1

23

2

1

13

2

1

xxx

xxx

xxx

P

La transpuesta de P se denomina como P’ y es :

( )( )( ) ⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3321

2321

1321

'xxxxxxxxx

P

Si se forma el producto P’MP se obtiene:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

00

'M

MMPP



Como [ ]{ } [ ]{ } [ ]0=+ xKxM &&

[ ]{ } [ ][ ] [ ]0'' =+ xMPPxMPP &&

021 =+ yDyD &&

Donde los términos iM son la masa generaliza

También si se realiza el producto P’KP se obtiene

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

00

'K

KKPP

Donde iK es la rigidez generalizada

Si cada una de las columnas de la matriz modal “P” se divide por la raíz cuadrada de la masa

generalizada iM , la nueva matriz es la MATRIZ MODAL REDUCIDA y se la designa como P~

Se puede ver que si se diagonaliza la matriz de masa con la matriz modal reducida, se obtiene la

matriz modal.

IPMP =~'~

Como iii KM λ=−1 , entonces la matriz de rigidez tratada similarmente por la matriz modal

reducida se convierte en la matriz diagonal de los valores propios.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

n

PKP

λ

λλ

...00......

0...00...0

~'~2

1

Ejm. Aplicación en el siguiente problema:

KKm m

x1 x2K



22

21 2

121 xmxmT && +=

( ) 22

212

21 2

121

21 KxxxKKxV +−+=

L= 22

21 2

121 xmxm && + ( ) 2

22

1221 2

121

21 KxxxKKx −−−−

( )⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−+−=∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

1211

11

xxKKxxL

xmxL

dtd

&&& ( )

00

1211

1211

=+−+=−−+

KxKxKxxmxxKKxxm

&&&&

02 211 =−+⇒ KxKxxm&&

( )⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−−−=∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

2122

22

KxxxKxL

xmxL

dtd

&&& ( )

00

2122

2122

=+−+=+−+

KxKxKxxmKxxxKxm

&&&&

02 212 =+−⇒ KxKxxm&&

La forma Matricial:

[ ]{ } [ ]{ } { } [ ]{ } 0000

22

00

2

1

2

1 =+⇒=+⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xCxxKxM

xx

KKKK

xx

mm

&&&&&&&&

Sea: [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

mm

M0

0 [ ]

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=−

m

mM 10

011

[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⇒= −

mK

mK

mK

mK

KKKK

m

mCKMC2

22

210

011

La ecuación característica: [ ]{ } 00 =−⇒=− ICxIC λλ (*)

00

02

2=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−

λλ

mK

mK

mK

mK

( )( ) 02

2=

−−

−−

λ

λ

mK

mK

mK

mK

Desarrollando: ( ) ( ) 0222=−− m

Km

K λ

( )( ) 022 =−−+− mK

mK

mK

mK λλ



mK

mK

mK 33..........03 2

1 =⇒==− ωλλ

mK

mK

mK =⇒==− 2

2..........0 ωλλ

Ahora se hallará la matriz Modal. Para ello se reemplaza cada λ en (*)

mK

P3=λ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−

00

30

03

2

2

2

1

xx

mK

mK

mK

mK

mK

mK

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

−−

00

2

1

xx

mK

mK

mK

mK

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−

=−−

0

0

21

21

xmKx

mK

xmKx

mK

Como es la misma, solo se toma una ecuación

021 =−− xmKx

mK ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡÷

mK

21 xx −=

Si α=2x ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛11

2

1

2

1 ααα

xx

xx

mK

P=λ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−

00

0

0

2

2

2

1

xx

mK

mK

mK

mK

mK

mK

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−

00

2

1

xx

mK

mK

mK

mK

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−

=−

0

0

21

21

xmKx

mK

xmKx

mK

Como es la misma, solo se toma una ecuación

021 =− xmKx

mK ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡÷

mK

21 xx =



Si β=2x ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛11

2

1

2

1 βββ

xx

xx

Entonces la matriz Modal es: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

1111

P y su transpuesta ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

1111

'P

Realizando el producto: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

1111

00

1111

'm

mMPP

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

mm

MPP2002

'

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

1111

22

1111

'KKKK

KPP

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

KK

KPP2006

'

Ahora es posible desacoplar el sistema:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡00

2006

2002

2

1

2

1

xx

KK

xx

mm

&&&&

Desarrollando:

⎩⎨⎧

=+=+

022062

22

11

KxxmKxxm

&&&&

1. Determinar la matriz dinámica del sistema bifurcado. ¿Cuáles son las coordenadas principales?

La energía cinética:

23

22

21 xm

21xm

21xm

23T &&& ++= (1)

m

m3m K K

2Kx1 x2

x3



( )( ) ( ) 23

231

221 Kx

21xxK

21xxK2

21V +−+−=

La energía potencial:

( ) ( ) 23

231

221 Kx

21xxK

21xxKV +−+−= (2)

Lagrangiano:

=L 23

22

21 xm

21xm

21xm

23

&&& ++ - ( ) ( ) 23

231

221 Kx

21xxK

21xxK −−−− (3)

m3/P ( ) ( )

0KxKx2Kx3xm3xxKxxK2

xL

xm3xL

dtd

3211

31211

11 =−−+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−−−−=∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

&&&&

& (4)

m/P ( )

0Kx2Kx2xmxxK2

xL

xmxL

dtd

122

212

22 =−+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

&&&&

& (5)

m/P ( )

0KxKx2xmKxxxK

xL

xmxL

dtd

133

3313

33 =−+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−−=∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

&&&&

& (6)

Estas tres ecuaciones en forma matricial son:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

000

xxx

K20K0K2K2KK2K3

xxx

m000m000m3

3

2

1

3

2

1

&&&&&&

Donde la matriz de inercia es:

[ ]⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

m000m000m3

M



Su inversa es:

[ ]

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=−

m100

0m10

00m31

M 1

La matriz de rigidez es:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−=

K20K0K2K2KK2K3

K

La matriz dinámica [ ]C está dada por: [ ] [ ] [ ]KMC 1−=

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=K20K0K2K2KK2K3

m100

0m10

00m31

C

Para hallar las frecuencias naturales se recurre a la ecuación característica: 0CI =−λ

0

mK20m

K0m

K2m

K2m3

Km3

K2m

K

000000

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

λλ

λ

0

mK20m

K0m

K2m

K2m3

Km3

K2m

K

=

−

−

−

λ

λ

λ

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−

=

mK20m

K0m

K2m

K2m3

Km3

K2m

K

C



0mK2

m3K4

mK2

m3K

mK2

mK

2

2

2

22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − λλλλ

Desarrollando y ordenando:

0mK

32

mK4

mK

34

mK

37

mK

3

3

2

2

2

223 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+− λλλ

Resolviendo se obtiene las frecuencias naturales.

2. Si ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡== lgp

seglb1mm 21 y 200K 1 = , ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= lgplb400K 2 . Encuentre las frecuencias del

sistema que se muestra en la figura.

222

211 xm

21xm

21T && +=

( )2212

211 xxK

21xK

21V −+=

Lagrangiano: 222

211 xm

21xm

21L && += ( )2

212211 xxK

21xK

21

−−−

1m/P ( )

0xKxKxKxmxxKxK

xL

xmxL

dtd

22121111

212111

111 =−++

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−−−=∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

&&&&

&

( ) 0xKxKKxm 2212111 =−++&& (1)

2m/P ( )( )

0xKxKxm1xxK

xL

xmxL

dtd

121222

2122

222 =+−

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−−−=∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

&&&&

&

K1 K2m1 m2



0xKxKxm 122222 =−+&& (2)

Método matricial

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡00

xx

KKKKK

xx

m00m

2

1

22

221

2

1

2

1

&&&&

La forma matricial [ ]{ } [ ]{ } [ ]0xKxM =+&&

Despejando: { } [ ] [ ]{ } [ ] { } [ ]{ } [ ]0xCx0xKMx 1 =+⇒=+ −&&&&

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−

2

11

m10

0m1

M

[ ] [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+

=⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

2

2

2

2

1

2

1

21

22

221

2

1

mK

mK

mK

mKK

CKKKKK

m10

0m1

C

Ecuación característica:

0

mK

mK

mK

mKK

00

0CI

2

2

2

2

1

2

1

21

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⇒=−

λλ

λ

0

mK

mK

mK

mKK

2

2

2

2

1

2

1

21

=−

+−

λ

λ

Si K2KKK 21 =⇒= y 1mm 21 == Entonces

0K2K2

K2K3=

−−

λλ

Resolviendo el determinante:

( )( ) 0K4K2K3 2 =−−− λλ

0K4K6K5 222 =−+− λλ

0K2K5 22 =+− λλ



2K123.4K5

2K8K25K5 22 ±

=−±

=λ

( ) 4.912200562.4K562.42

K123.911 ===⇒= λλ

( ) 8.87200439.0K439.02

K877.022 ===⇒= λλ

⇒= 211 ωλ

⇒= 222 ωλ

Coeficientes de influencia.

El coeficiente de influencia de flexibilidad ija se define como el desplazamiento en “i” debido a

la fuerza unitaria aplicada en “j”, con fuerzas 321 ,, fff actuando en los puntos 1,2 y 3 y se puede

aplicar el principio de superposición para determinar los desplazamientos en términos del

coeficiente de influencia a la flexibilidad.

3132121111 fafafax ++=

3232221212 fafafax ++=

3332321313 fafafax ++=

En forma matricial:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

fff

aaaaaaaaa

xxx

{ } [ ]{ }fax = (1)

Donde: [ ] =a Matriz de flexibilidad

Si se multiplica (1) por [ ] 1−a

{ } [ ] { }xaf 1−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= segrad206.301ω

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= segrad37.92ω



Pero: [ ] [ ] { } [ ]{ }xKfaK =⇒= −1 (2)

Donde [ ]K es la matriz de rigidez y nótese que es la matriz inversa de [ ]a

En forma matricial

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

xxx

KKKKKKKKK

fff

(3)

Los elementos de la matriz de rigidez tienen la siguiente interpretación:

Si ⇒==∧= 01 321 xxx Las fuerzas en 1,2 y 3 que se requieren para mantener este

desplazamiento según (3)son: 313212111 ;; KfKfKf === , es decir, la primera columna de [ ]K .

Si 323222121321 ;;0,1,0 KfKfKfxxx ===⇒=== que es la segunda columna de [ ]K .

En general para establecer los elementos de rigidez de cualquier columna, es hacer el

desplazamiento correspondiente a esa columna igual a la unidad, con todos los demás

desplazamientos igual a cero y medir las fuerzas requeridas en cada estación.

Se puede demostrar que jiij aa =

Este es el teorema recíproco de MAXWELL.

=ija Deflexión en la posición “i” debido a una fuerza unitaria aplicada en la posición “j”

=jia Deflexión en la posición “j” debido a una fuerza unitaria aplicada en la posición “i”

Ejm. Determinar los coeficientes de influencia del sistema masa resorte.

m 2m 3m2K3K K



[ ]δKF =

aDeflexionKF

===δ

Al aplicar una fuerza unitaria a la masa “m” se estira K

a31

11 =

Las masas “2m” y “3m” como no sufren deformaciones, entonces deben recorrer la misma

distancia; es decir:

Kaa

31

3121 ==

Además por el teorema recíproco de MAXWELL K

aaK

aa31

31

12211331 ==∧==

Para hallar 22a se aplica una fuerza unitaria 2f a la masa “2m”

Pero los resortes “3K” y “2K” están en serie, por lo que se debe hallar el eqK

KKK

KKKKKK eq

eqeq 56

6321

21

311

2 =⇒+

=⇒+=

Ka

65

22 =

Como la masa “3m” no debe deformarse, entonces K

aa65

2332 ==

Para hallar 33a se aplica una fuerza unitaria en “3m”, pero nuevamente están en serie los resortes:

KKK

KKKKKKKK eq

eqeq 116

663211

21

311

3

222

=⇒++

=⇒++=

Ka

611

33 =

Por tanto:

Ka

Ka

Ka

Ka

Ka

Ka

Ka

Ka

Ka

611

65

31

65

65

31

31

31

31

333231

232221

131211

===

===

===



1. Determinar el movimiento general del sistema que se muestra

( ) 12112 xmxxKKx &&=−−−

( ) 02 2111 =−++ xxKKxxm&&

03 211 =−+ KxKxxm&& (1)

( ) ( ) 23221 xmxxKxxK &&=−−−

( ) ( ) 032212 =−+−− xxKxxKxm&&

02 3212 =−+− KxKxKxxm&& (2)

( ) 3332 2 xmKxxxK &&=−−

( ) 02 3323 =+−− KxxxKxm&&

03 323 =+− KxKxxm&& (3)

Suponiendo el movimiento como periódico compuesto de tres movimientos armónicos:

( ) ( )φωωφω −−=⇒−= tsenAxtAsenx 211 &&

( ) ( )φωωφω −−=⇒−= tsenBxtBsenx 222 &&

( ) ( )φωωφω −−=⇒−= tsenCxtCsenx 233 &&

Reemplazando en 1,2 y 3

( )[ ] ( ) ( ) 032 =−−−+−− φωφωφωω tKBsentKAsentsenAm ( )[ ]φω −÷ tsen

032 =−+− KBKAmAω

( ) 03 2 =−− KBAmK ω (4)

( ) ( ) ( ) ( ) 022 =−−−+−−−− φωφωφωφωω tKCsentKBsentKAsentsenmB ( )[ ]φω −÷ tsen

022 =−+−− KCKBKAmBω

( ) 02 2 =−−+− KCBmKKA ω (5)

( ) ( ) ( ) 032 =−+−−−− φωφωφωω tKCsentKBsentCsenm ( )[ ]φω −÷ tsen

2K

m

m

m

K

K

2K

x3

x2

x1

m

m

m2Kx1

K (x1 - x2)

K (x1 - x2)

K (x2 - x3)

K (x2 - x3)

2Kx3



032 =+−− KCKBmCω

( ) 03 2 =−+− CmKKB ω (6)

Con 4,5 y 6 se forma un sistema lineal homogéneo:

( )( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−=−−−=−−

030203

2

2

2

CmKKBKCBmKKA

KBAmK

ωω

ω

Una solución del sistema es A = B = C = 0 (la trivial), la cual define la condición de equilibrio

del sistema.

LA otra solución se obtiene igualando a cero el determinante de los coeficientes:

030

203

2

2

2

=−−−−−

−−

ωω

ω

mKKKmKK

KmK

Resolviendo:

( )( )( ) ( ) ( ) 033323 2222222 =−−−−−−− ωωωωω mKKmKKmKmKmK

( ) ( ) ( ) 03223 22222 =−−−− ωωω mKKmKmK

Sea 2ωma =

( ) ( ) ( ) 03223 22 =−−−− aKKaKaK

( ) ( )( )[ ] 02233 2 =−−−− KaKaKaK

Igualando a cero cada factor:

mKmKaK 30303 2

12 =⇒=−⇒=− ωω

0256 222 =−+− KaKaK

045 22 =+− KKaa

045 2242 =+− KmKm ωω

( )( ) 04 22 =−− KmKm ωω

mKKm 404 2

22 =⇒=− ωω



mKKm =⇒=− 2

32 0 ωω

Por tanto la solución general está compuesto de tres movimientos armónicos cuyas frecuencias

son: 321 ,, ωωω .

Estas frecuencias son: La frecuencia fundamental y el primer y segundo armónico.

( ) ( ) ( )φωφωφω −+−+−= tsenAtsenAtsenAx 3322111

( ) ( ) ( )φωφωφω −+−+−= tsenBtsenBtsenBx 3322112

( ) ( ) ( )φωφωφω −+−+−= tsenCtsenCtsenCx 3322113

Expresando las amplitudes B y C en función de A en virtud a las razones de amplitud

De la ecuación (4) K

mKAB 23 ω−=

mKP 32

1=ω 0033

11

1

1

1 =⇒=⇒−

=⇒ BAB

KKK

AB

mKP 42

2=ω 22

2

2

2

2 143 ABAB

KKK

AB

−=⇒−=⇒−

=⇒

mKP =2

3ω 333

3

3

3 223 ABAB

KKK

AB

=⇒=⇒−

=⇒

Para hallar C en función de A, se recurre a la ecuación (5)

( ) 02 2 =−−+− KCBmKKA ω [ ]KA÷

0212

=−−

+−AC

AB

KmK ω

12 2

−−

=AB

KmK

AC ω

( ) ( )( ) 111

1

1

1

1

1

1

1

21

110111132

3AC

AC

AB

AB

KKK

AC

mK

P −=⇒−=⇒−−=−−=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⇒=ω



( ) 222

2

2

2

2

2

22

1112142

4AC

AC

AB

KKK

AC

mK

P =⇒=⇒−−−=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⇒=ω

( )( ) 333

3

3

3

3

3

23

112112 ACAC

AB

KKK

AC

mK

P =⇒=⇒−=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⇒=ω

Reemplazando estos valores se tiene el movimiento general.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= φφφ t

mKsenAt

mKsenAt

mKsenAx 3211 43

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= φφ t

mKsenAt

mKsenAx 322 24

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= φφφ t

mKsenAt

mKsenAt

mKsenAx 3213 43

“Vibración torsional” Página: 143


VIBRACIÓN TORSIONAL

Detalles Pág.

Péndulo de torsión.................................................................................................................... 143Vibración torsional................................................................................................................... 147Método Holzer.......................................................................................................................... 149Método Holzer para vibración torsional................................................................................... 152Sistemas con rotores acoplados por engranajes......................................................................... 157

Es el movimiento angular periódico de ejes elásticos que tienen discos rígidamente unidos a ellos.

Péndulo de torsión.

El péndulo de torsión está formado por un cuerpo rígido restringido a girar alrededor de un eje

fijo en el espacio.

Cuando el cuerpo rota en un ángulo “θ ” desde su posición de equilibrio, el momento para

retorcer el árbol es proporcional a “θ ”

Por resistencia de materiales:

θL

GIM p

t =

K

J



Donde: G = Módulo de elasticidad al cizalle (Módulo de rigidez transversal)

pI = Momento polar de inercia de la sección transversal del eje.

Para una sección transversal circular maciza se tiene:

2

4rI pπ

=

Entonces: θπLGrMt 2

4

= (1)

El momento restaurador producido por el árbol es opuesto y de igual magnitud que (1)

tr MM = (2)

donde: αIM r =

J = Momento de inercia del volante o cuerpo

α = aceleración angular.

Según (2): θπθLGrJ

2

4

−=&&

Sea : LGrK

2

4π= Rigidez rotacional o torsional

Entonces: θθ KJ −=&&

0=+ θθ KJ && [ ]J÷

0=+ θθJK&& (3)

La ecuación (3) es un M.A.S., por tanto, la frecuencia circular es: JK

=2ω

y el periodo KJπτ 2=

En la vibración torsional existen también conexiones en serie y en paralelo.

L1 L2

Volante

1 2

D

PARALELO

L1 L2

D1 2

SERIE



21 KKKeq += (En Paralelo) 21

111KKKeq

+= (En Serie)

La configuración de la figura tiene dos grados de

libertad (Correspondientes a los ángulos de torsión de

las dos ruedas).

Sin embargo puede considerarse como un sistema de

un solo grado de libertad, considerando la variación

con el tiempo del ángulo relativo de torsión de las dos

ruedas.

Cuando el sistema vibra, las ruedas giran en sentido

contrario.

Existe una sección transversal fija al que se denomina

NODO y las secciones transversales a distintos lados

del nodo giran en direcciones opuestas.

Se puede considerar que el radio divide al sistema en dos sistemas componentes, cada uno de los

cuales está empotrado en un extremo.

Como las frecuencias naturales de los sistemas componentes deben ser iguales: 202

201 ωω =

2

2

1

1

IK

IK

=

Como: GLrK

2

4π=

2,93 1,71

K

C

K1

K2

I1I2

1 2

01

02



K

0.2 m.

0.3 m.

L

12212

2

4

1

1

4

22 ILILI

GLr

I

GLr

=⇒=

ππ

Como: 1

1

2

11221 L

LLIILLLLLL −=⇒−=⇒+=

1. La placa rectangular de 10 Kg. Está suspendida por su centro, por una varilla que presenta una

rigidez a la torsión K=1.5 Nm/rad. Determine el periodo natural de vibración de la placa cuando

experimenta un pequeño desplazamiento angular “θ ” en el plano de la placa.

[ ]∑ = θ&&IMt

Por resistencia de materiales:

θL

GIM p

t =

Para una sección circular maciza 2

4rI pπ

=

θππθLGrr

LGMt 22

44

=⋅=

Por tanto: 022

44

=+⇒=− θπθθθπLGrII

LGr &&&&

Sea: ==LGrK

2

4π Rigidez a la torsión



b x

y

a

0=+ θθ KI && [ ]I÷

0=+ θθIK&& Siendo I = Momento de inercia de la placa

Como es un M.A.S.

2

121 mbIx =

2

121 maI y =

( )22

121 bamIz +=

Según la tabla: ( ) ( ) 108.03.02.010121

121 2222 =+⋅=+= bamIz [ ]2mKg −

Reemplazando en *

727.3108.05.1

==ω

El periodo natural de vibración es:

⇒==727.322 π

ωπτ

Vibración torsional.

Es el movimiento angular periódico de ejes elásticos que tienen discos rígidamente unidos a ellos.

Existe semejanza muy estrecha entre las vibraciones rectilíneas y las vibraciones torsionales, por

lo que la teoría para la vibración lineal puede ser aplicada en la vibración torsional.

θ=x

θ&&=x

[ ]seg686.1=τ

IK

=ω



θ&&&&=x

xmF &&= θτ &&J=

K K (Rigidez torsional)

2

21 xm& 2

21 θ&J (Energía cinética)

2

21 Kx 2

21 θK (Energía potencial elástica)

mK

=ω JK

=ω (Frecuencia natural)

tsenFKxxcxm ω0=++ &&& tsenTKcJ ωθθθ 0=++ &&&

Ejm. Sea el siguiente sistema. Determinar las frecuencias de vibración si

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=∧= 2

52

51 10*210*1

segKgKK

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=∧==.

2211,5 321 radmKgJJJ

( ) 02211111211 =−+⇒=−− θθθθθθ KKJJK &&&& (1)

( ) ( ) ( ) 032221112222322211 =−++−⇒=−−− θθθθθθθθθ KKKKJJKK &&&& (2)

( ) 032223333322 =+−⇒=− θθθθθθ KKJJK &&&& (3)

Suponiendo que el movimiento es periódico y se compone de movimientos armónicos de

diferentes amplitudes y frecuencias

tsenAtAsen ωωθωθ 211 ..... −== &&

tsenBtBsen ωωθωθ 222 ..... −== &&

J1J2

J3

K1 K2 K1( - )

J1J2

J3

1 2 K2( - )32




tsenCtCsen ωωθωθ 233 ..... −== &&

Reemplazando en (1), (2) y (3) se obtiene:

( )( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−=−−++−

=−−

00

0

2322

22

2211

12

11

CJKBKCKBJKKAK

KBAJK

ωω

ω

Determinante igual a cero

00

0

2322

22

2211

12

11

=−−−−+−

−−

ωω

ω

JKKKJKKK

KJK

Reemplazando los valores de ii JK ∧ se obtiene la ecuación de frecuencias y haciendo 2ωλ =

010*210*4.510*2.681210 1511263 =++− λλλ

De donde:

Método Holzer.

Método tabular que se emplea para determinar la frecuencia natural de vibraciones libres o

forzadas, con amortiguamiento o sin él.

El método se basa en suposiciones sucesivas de la frecuencia natural del sistema, cada una de las

cuales se hace con base en el cálculo de la configuración regida por la frecuencia supuesta

inmediatamente antes.

El método HOLZER es particularmente útil para calcular las frecuencias torsionales en ejes.

• Para sistemas con ambos extremos libres.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

segrad

segrad

658.202

666.123

2

1

ω

ω



j

i

ij

iii xm

Kxx ∑

−

=− −=

1

1

2

1ω

• Para sistemas con un extremo fijo y uno libre.

j

i

ji

ii xmK

xx ∑−

− −=1

1

2

1ω

• Para sistemas con ambos extremos fijos.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+= ∑

−

−

1

1

21

1 i

jjiii

ii xmxKK

xx ω

PASOS.

1. Suponer una frecuencia natural “ω ” y una amplitud unitaria de vibración para la

primera masa.

2. Se calculan las amplitudes por la fórmula y fuerzas de inercia para todas las demás

masas.

3. Para sistemas con extremos fijos, la amplitud de vibración de la última masa será cero.

4. Para sistemas con extremos libres, la fuerza total de inercia es cero

Los demás valores (Amplitud o fuerza de inercia) para cada una de las frecuencias supuestas se

grafican contra los valores supuestos de la frecuencia natural, para hallar las frecuencias

verdaderas del sistema.

Utilizar el método HOLZER para determinar las frecuencias naturales del sistema de 4 masas, si

K=1 lb/Plg. y m=1 lb-seg2/Plg.

m 2m 3m3K4K 2K

(4)K

3m

(3) (2) (1)



Para sistemas con un extremo libre y otro fijo:

j

i

ji

ii xmK

xx ∑−

− −=1

1

2

1ω

ITEM MASA 2ωm ix 2ωmx ∑ 2ωmx K ∑ Kmx 2ω

2.0=ω 1

2

3

4

5

4

3

2

1

∞

0.16

0.12

0.08

0.04

∞

1

0.84

0.7096

0.604

0.519

0.16

0.101

0.0568

0.0242

-

0.16

0.261

0.318

0.342

-

1

2

3

4

-

0.16

0.1305

0.106

0.0855

-

3.0=ω 1

2

3

4

5

4

3

2

1

∞

0.32

0.27

0.18

0.02

∞

1

Resolver el siguiente ejercicio.

m1m2K1K2

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −== lg1

2

21 Pseglbmm

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= lg4001 PlbK

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= lg2002 PlbK



ω 2ω

11 xx =

12

1 xmF ω=

1

12 1

KFx −=

22

212 xmFF ω+= 2

223 K

Fxx −=

5 25

10 100

9 81

20 400

30 900

31 961

11 =x ( ) 2512511 ==F

11 =x ( ) 100110011 ==F

11 =x ( ) 8118111 ==F

11 =x

( ) 400140011 ==F

11 =x ( ) 900190011 ==F

11 =x ( ) 961196111 ==F

9375.04002512 =−=x

( ) 4375.489375.0251252 =+=F

75.040010012 =−=x

( ) 17575.010011002 =+=F

7975.04008112 =−=x

( ) 5975.1157975.0811812 =+=F

00.040040012 =−=x

( ) 40000.040014002 =+=F

25.140090012 −=−=x

( )( ) 22525.190019002 −=−+=F

4025.140096112 −=−=x

( )( ) 8025.3864025.196119612 −=−+=F

6953.02004375.489375.03 =−=x

125.020017575.03 −=−=x

⇒=−= 0695.0200

5975.1157975.03x

220040000.03 −=−=x

125.020022525.13 −=

−−−=x

⇒=−

−−= 3365.3200

8026.3864025.13x

Método Holzer para vibración torsional.

Este método se basa en suposiciones sucesivas de la frecuencia natural del sistema y empezando

con una amplitud unitaria en un extremo del sistema y calculando progresivamente el torque y el

desplazamiento angular en el otro extremo.

Las frecuencias que resulten en torque externo cero o condiciones de borde compatibles en el otro

extremo, son las frecuencias naturales del sistema.

J3J1 J2 J4

12

3

4

K1 K2 K3

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

segrad91ω

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡segrad302ω



Sea el sistema torsional mostrado en la figura.

K = Rigidez torsional

J = Momento de inercia del disco

El momento restaurador producido por el árbol es opuesto y de igual magnitud al momento

torsor.

tr MM −=

θθ KJ −=&& (1)

Donde: ==LGrK

2

4π Rigidez torsional (Para un eje macizo)

De (1) 0=+ θθJK&& (ecuación del movimiento armónico simple)

02 =+ θωθ&& =ω Frecuencia natural

Despejando: θωθ 2−=&& (2)

Reemplazar (2) en (1)

( )K

JKJ θωθθθω2

2 =⇒−=− (3)

Suponiendo una frecuencia “ω ” y una amplitud 11 =θ para el primer disco

Reemplazar en (3)

211

21 θθω

−=K

J Pero 11 =θ

21

21 1 θω

−=K

J

De donde: 1

21

2 1K

J ωθ −= (4)

Conocido “ 2θ ”, el torque de inercia del segundo disco se calcula como: 22

2 θωJ y la suma de los

dos primeros torques de inercia actúan sobre el eje “ 2K ” torsionandolo en:

322

22

22

1 θθθωω

−=+K

JJ (5)

De esta manera, la amplitud y el torque de cada disco se puede calcular.

El torque resultante en el extremo más alejado es:



Repitiendo los cálculos con otros valores de “ω ”, las frecuencias naturales se encuentran cuando

0=extT , los desplazamientos angulares “ iθ ” correspondientes a las frecuencias son las formas

modales.

Ejm. Determinar las frecuencias naturales y formas modales del sistema mostrado si se tiene:

J3J1 J2

K1 K2

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=∧==rad

mKgJJJ 2211,5 321

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=∧= 2

62

61 10*2.010*1.0

segKgKK

2ω

ω

12

11

11

θω

θθ

JT =

= 1

12 1

KT

−=θ

22

212 θωJTT +=

2

223 K

T−=θθ

32

323 θωJTT +=

I 20

400

11 =θ

( ) 2000140051 ==T

98.010*1.020001 62 =−=θ

( ) 631298.04001120002 =+=T

94844.010*2.0631298.0 63 =−=θ

( ) 272.1465894844.04002263123 =+=T

40

1600

11 =θ

( ) 80001160051 ==T

92.010*1.080001 62 =−=θ

( ) 2419292.016001180002 =+=T

79904.010*2.02419292.0 63 =−=θ

( ) 208.5231879904.0160022241923 =+=T

100

10000

11 =θ

( ) 5000011000051 ==T

5.010*1.0500001 62 =−=θ

( ) 1050005.01000011500002 =+=T

263 10*5.210*2.0

1050005.0 −−=−=θ

( )( ) 9950010*5.21000022105000 23 =−+= −T

120

14400

11 =θ

( ) 7200011440051 ==T

28.010*1.0720001 62 =−=θ

( ) 11635228.01440011720002 =+=T

30176.010*2.011635228.0 63 −=−=θ

( )( ) 432.2075430176.014400221163523 =−+=T

123.666

15293.279 11 =θ 235336.02 =θ 344944258.03 −=θ

i

n

iiext JT θω 2

1∑=

=



J3J1 J2

K1 K2

1.0

-1.0

W = 123.6660.235

-1.053

-0.345

0.299

W =

202.6

580 W

FORMAS MODALES

3978.764661 =T 0517.1160562 =T 181562.13 −=T

II 180

32400

11 =θ

1620001 =T

62.02 −=θ

589682 −=T

32516.03 −=θ

048.2907423 −=T

202.658

41070.265

11 =θ

3248.2053511 =T

05351.12 −=θ

4262.2705972 −=T

29948.03 =θ

1133.63 −=T

La cantidad “ 3T ” es el torque a la derecha del disco (3) que debe ser cero a las frecuencias

1 6 0

- 1 0 0 0 0

- 2 9 0 7 4 2 . 0 4 8

- 3 0 0 0 0

- 1 5 0 0 0

- 2 0 0 0 0

- 2 5 0 0 0

1 0 0 0 0

- 6 . 1 1 3 3- 1 . 1 8 1 5 6 2

- 5 0 0 0

5 0 0 0

4 02 0

2 0 7 5 4 . 4 3 2

1 4 6 5 8 . 2 7 21 5 0 0 0

2 0 0 0 0

2 5 0 0 0

1 0 08 06 0 1 2 0 1 4 0

3 0 0 0 0

3 5 0 0 0

4 0 0 0 0

4 5 0 0 0

5 2 3 1 8 . 2 0 85 5 0 0 0

5 0 0 0 0

9 9 5 0 0T 3

2 2 01 8 0 2 0 0 W

658.202666.123

0

3

2

1

===

ωωω



K1 K2

J1J2

J3

1. Utilizar el método HOLZER para determinar las frecuencias naturales de vibración torsional

del sistema si 1321 === JJJ y 121 == KK

La ecuación correspondiente sería:

∑−= −

i

iii J

K 1

2

1 θωθθ

ÍTEM iJ 2ωiJ iθ 2ωθ iJ i

i

iJ θω 2

1∑ ijK

ij

ii K

J θω 2∑

5.0=ω

1

2

3

1

1

1

0.25

0.25

0.25

1

0.75

0.3125

0.25

0.1875

0.0781

0.25

0.4375

0.5156

1

1

0.25

0.4375

0.1=ω

1

2

3

1

1

1

1

1

1

1

0

-1

1

0

-1

1

1

0

1

1

1

1

5.1=ω

1

2

3

1

1

1

2.25

2.25

2.25

1

-1.25

-0.687

2.25

-2.8125

-1.546

2.25

-0.5625

-2.1085

1

1

2.25

-0.5625

79.1=ω

1

2

3

1

1

1

3.2041

3.2041

3.2041

1

-2.2041

1.654

3.2041

-7.062

5.299

3.2041

-3.8579

1.4411

1

1

3.2041

-3.8579



0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.51.11.00.9 1.31.2 1.4 1.6 1.91.7 1.8 2.0

1

2

3

4

5

-3

-2

-1

Por tanto:

01 =ω segRad

0.12 =ω segRad

7.13 =ω segRad

Sistemas con rotores acoplados por engranajes. Considerando un conjunto de dos rotores con momentos de inercia “ 21 JJ ∧ ” que están acopladas por engranajes. Donde la relación de transmisión está definida como la razón entre la velocidad angular de la rueda conducida a la conductora.

JK

11

J22K



2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

TT

ZZ

DD

nn

i ======θθ

ωω

(1)

Donde: =ω Velocidad angular

n = Frecuencia angular =θ Desplazamiento angular

D = Diámetro Z = Número de dientes T = Torsión

Para reducir el sistema dado a otro más simple, se tiene dos posibilidades:

a) Todos los elementos para el eje de entrada de potencia. b) Todos los elementos para el eje de salida de potencia.

En ambas posibilidades se debe asegurar que el sistema real y el sistema reducido tengan energía cinética y potencial iguales.

La energía cinética de (2) es: 2222 2

1 θ&JT = Pero según (1) 12 θθ i=

( ) ( ) 22'

21222

122 21

21 JiJJiiJT =⇒== θθ && (2)

La energía potencial es: ( ) 22'

22

122222 2

121 KiKiKKV =⇒== θθ (3)

Por consiguiente, el sistema reducido queda: A partir de este sistema reducido, también se puede hacer que este eje escalonado pueda ser sustituido por un único eje, es decir; por un eje equivalente, lo que se determina por conexión en serie, es decir:

21

'21

'21

111KK

KKKKKK eq

eq +=⇒+=

Quedando el sistema equivalente como:

22

1

221

KiKiKKKeq +

=

J1 2J1K K2 ,



EJM. Si los momentos de inercia de las ruedas dentadas son despreciables y 21 2JJ = , también

KKK == 21 y la razón de engrane es 3=i . Determinar la frecuencia de vibración torsional.

De la relación de transmisión: 121

2 θθθθ

ii =⇒=

La energía cinética 2222 2

1 θ&JT = ( ) ( ) 22'

21222

122 21

21 JiJJiiJT =⇒== θθ &&

Como 3=i ; 1'21221 2

9212 JJJJJJ =⇒=⇒= (1)

Sistema equivalente: Hallando las ecuaciones de movimiento:

( ) 02111 =++ θθθ eqKJ && (2)

( ) 0212'2 =++ θθθ eqKJ && (3)

Multiplicando por “ '2J ” a (2) y por “ 1J ” a (3)

( ) 021'21

'21 =++ θθθ JJJ &&

( ) 02112'21 =++ θθθ eqKJJJ &&

Sumando: ( ) ( )( ) 021

'2121

'21 =++++ θθθθ JJKJJ eq

&&&& [ ]'21JJ÷

( ) ( )( ) 021'21

'21

21 =++

++ θθθθJJ

JJKeq&&&&

Comparando con la ecuación del M.A.S.

1J,

J2

Keq

J1

K

2

KJ

1J,

J2

Keq



( )'21

'212

JJJJKeq +

=ω (4)

Como la rigidez equivalente es: KKK

KKiKiKKKeq 10

9332

22

22

1

221 =

+⋅

=+

= (5)

(1), (5) en (4)

21

1

21

112

29

211

109

29

29

109

J

JK

J

JJK ⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=ω

11

2 1.11011

JK

JK

=⇒= ωω

1

05.1JK

=ω

“Velocidades críticas en rotores” Página: 161


VELOCIDADES CRITICAS EN ROTORES

Detalles Pág.

Introducción.............................................................................................................................. 161Método Prohl-Myklestad para vibración flexotorsional.......................................................... 161Balanceo de rotores.................................................................................................................. 164Desbalance rotatorio................................................................................................................. 164Equilibrado............................................................................................................................... 164Causas de desequilibrio............................................................................................................ 164Balanceo en un plano............................................................................................................... 165Método vectorial de balanceo en un plano............................................................................... 166Tipos de desequilibrio.............................................................................................................. 167Estático..................................................................................................................................... 167Por par de fuerzas..................................................................................................................... 167Dinámico.................................................................................................................................. 168Cuasi estático............................................................................................................................ 168Balanceo en dos planos............................................................................................................ 168

Introducción.

Cuando una viga es reemplazada por masas concentradas, conectadas por elementos de viga sin

masa, se puede utilizar el método desarrollado por MYKLESTAD para el cálculo progresivo de

deflexión, pendiente, momento y cortante de una sección a la próxima en forma similar al método

HOLZER.

El método de MYKLESTAD puede extenderse al problema de la viga rotante, tal como hélice y

cuchillas de turbina que vibran en un plano perpendicular al eje de rotación.

Método Prohl-Myklestad para vibración flexotorsional.

Los modos naturales de vibración de un aeroplano y otras estructuras tipo viga están a menudo

acoplados en flexo-torsión.



Para tratar este problema, se considera la siguiente figura.

CONDICIONES.

- El eje elástico de la viga relativo al cual la rotación torsional tiene lugar, es supuesto

inicialmente recto.

- Es capaz de sufrir torsión puro, su desplazamiento de flexión está limitado al plano vertical.

- Los ejes principales de flexión para todas las secciones transversales son paralelos en el

estado no deformado.

- Las masas se concentran en cada estación con su centro de gravedad a “ iC ” del eje elástico y

“ iJ ” es el momento de inercia de la sección con respecto al eje elástico.

Es decir, según STEINNER: 2iicgi cmJJ +=

De la segunda ley de Newton para sistemas de fuerzas y sistemas torsionales, además utilizando

los coeficientes de influencia, se tiene:

Ci G

Eje Elástico

iimJ

Yi

Yi+1

Ti

M i Vi

Mi+1Vi+1

Li

Ti+1

i

i+1

i+1

iYi

iGEi

mi Ji Respecto a G

Sección transversal



( )iiiiii cymVV φω +−=+2

1

iiii LVMM 11 ++ −=

iiiiiii ycmJTT 221 ωφω ++=+

ii

iiii EI

LMEILV ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= +++ 1

2

11 2θθ

ii

iiiiii EI

LMEILVLyy ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= +++ 23

2

1

3

11 θ

iiii hT 11 ++ += φφ

Donde:

T = Torque

h = Coeficiente de influencia torsional = pGI

L

φ = Rotación torsional del eje elástico

θ = Pendiente

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

iEIL Pendiente en ”i + 1”, medida a partir de la tangente en “i” debido a un momento

unitario en ”i + 1”.

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

iEIL

2

2

Pendiente en ”i + 1”, medida a partir de la tangente en “i” debido a una fuerza

cortante unitaria en ”i + 1”.

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

iEIL

3

3

Pendiente en ”i + 1”, medida a partir de la tangente en “i” debido a una fuerza

cortante unitaria en ”i + 1”.

Para vigas que tienen extremos libres, se tiene las siguientes condiciones de contorno para

inicializar el cálculo.

0111 === TMV

φφθθ === 111 ;0.1; y



Las frecuencias naturales se generan, satisfaciendo las condiciones de borde del otro extremo.

Balanceo de rotores:

Desbalance rotatorio.

El desvalance en máquinas rotatorias es una fuente común de excitación vibratoria.

Existe desbalanceamiento rotacional en una máquina, si el centro de gravedad de la parte

rotatoria no coincide con el eje de rotación.

Generalmente la cantidad de desbalanceamiento rotacional se expresa por “ em ” donde “m” es la

masa excéntrica equivalente y “e” es la excentricidad.

Equilibrado.

Las condiciones que deben existir para poder equilibrar una pieza con el analizador de

vibraciones son:

- La vibración debe ser el resultado de un desequilibrio.

- Se debe poder efectuar correcciones de peso en el rotor.

En la mayor parte de los casos, las correcciones de peso se puede efectuar cuando el rotor está

colocado en su instalación normal y funcionando como de costumbre y se llama EQUILIBRADO

EN SITIO.

En otros casos es necesario extraer el rotor de su instalación para equilibrarlo en una máquina de

equilibrio.

Causas de desequilibrio.

- Sopladuras ocasionadas por fundiciones.

- Excentricidad

- Distorsión térmica

- Tolerancias de claro.



- Corrosión y desgaste

- Acumulación de depósitos.

Balanceo en un plano.

De entrada no se conoce la ubicación del punto pesado, ni su concentración. Entonces con un

equipo medidor de vibraciones se determina las medidas de amplitud y vibración y de fase, que

representan las medidas iniciales.

Una vez registrado el desequilibrio inicial, se le agrega un peso de prueba a la pieza para cambiar

el desequilibrio inicial, lo que producirá una nueva vibración de amplitud y fase.

Cuando se agrega el peso de prueba a la pieza desequilibrada puede ocurrir tres posibilidades:

1.- Si se tiene suerte, es posible que se coloque el peso de prueba exactamente en el punto pesado,

si esto sucede, la amplitud de vibración aumentará y la señal de referencia permanecerá en la

misma posición. Entonces para equilibrar la pieza se debe trasladar el peso de prueba al sitio

directamente expuesto a la posición inicial y adoptar la cantidad de peso, hasta lograr un

equilibrio satisfactorio.

2.- Puede ocurrir que se coloque el peso de prueba en la posición exactamente opuesta al punto

pesado y si el peso de prueba es menor que el desequilibrio se observa disminución de vibración

y la señal de referencia permanecerá en la misma posición que al comienzo y su equilibrado se

consigue aumentando el peso de prueba, hasta lograr un nivel de vibración satisfactorio.

Si el peso de la prueba es mayor que el desequilbrio, la señal de referencia cambiará 180°, es

decir, en la dirección exactamente opuesta, en este caso se debe disminuir el peso de prueba hasta

obtener el nivel de vibración satisfactoria.

3.- La tercera alternativa es que se coloque el peso de prueba en un punto que no esté ubicado ni

en el punto pesado, ni en el opuesto. Si esto sucede cambiará tanto la posición de la señal de

referencia, como también el grado de amplitud de vibración.



En este caso se debe cambiar el ángulo y dirección del peso de prueba y si se usa un

DIAGRAMA VECTORIAL se puede determinar el aumento o reducción de peso que se necesita

para que sea igual y opuesto al punto pesado de desequilibrio inicial.

Método vectorial de balanceo en un plano.

Es un vector que tiene como magnitud la amplitud de vibración y su dirección indica el ángulo de

desequilibrio (Fase).

Los pasos que se siguen son:

1.- Se acciona el rotor en la velocidad de equilibrio y se registra la información inicial de

desequilibrio, amplitud y fase con el filtro del analizador sintonizado a 1 rpm. “0”

2.- Se apaga el rotor y se le agrega un peso de prueba a la pieza. Se registra la cantidad del peso

de prueba.

3.- De nuevo se acciona el rotor a la velocidad de equilibrio y se observa y registra la nueva

información de desequilibrio de amplitud y fase “0 + T”.

4.- Se trazan los vectores que representan “0” y “0 + T” con un papel polar.

5.- Se traza el vector “T” al conectar los extremos de los vectores “0” y “0 + T”. El vector “T”

debe apuntar de “0” hacia “0 + T”.

6.- Se mide la longitud del vector “T” y se usa la fórmula para determinar el peso correcto de

equilibrio que se necesita.

Peso correcto = Peso de prueba*T0

7.- Se mide el ángulo comprendido entre “0” y “T”. Se cambia la posición del peso según el

ángulo medido desde la posición inicial del peso de prueba. La dirección de este cambio es

opuesta a la dirección del cambio de fase de “0” a “0 + T”.



0 + T = Vector que representa el peso de prueba + el peso inicial

Existen otros métodos para el balanceo de rotores: Como ser el “Método a cuatro pasos”.

Tipos de desequilibrio.

Existen cuatro tipos de desequilibrio.

Estático.

Se produce al quedar desplazado el eje central

principal en paralelo con la línea central

rotatoria.

Por par de fuerzas.

Ocurre cuando cruce el eje central principal, la

línea central rotatoria en el centro de gravedad

del rotor.

O

O + T T

Línea centralEje central principal

Línea central del ejeEje central principal



2 1/4

1

3

2

3/4

1

Dinámico.

Ocurre cuando el eje central principal y la línea

central rotatoria no coinciden ni se tocan.

Cuasi estático.

Ocurre cuando el eje central principal cruza la

línea central rotacional, pero no en el centro de

gravedad del rotor.

Balanceo en dos planos.

Un rotor largo puede ser balanceado, adicionándolo o removiendo pesos de corrección en dos

planos paralelos cualquiera.

Suponiendo un rotor de 4 Plg. De largo que tiene un desbalance de 3 onz-Plg. En un plano

ubicado a 1 Plg. Del extremo izquierdo y un desbalance de 2 onz-Plg. En la mitad del rotor

desplazado angularmente en 90°del primer desbalance.

Línea central del ejeEje central principal

C

Línea central del ejeEje ce

ntral princip

al

C



Cada una de las fuerzas debalanceadoras es reemplazada por dos fuerzas paralelas, una en cada

plano extremo.

La corrección se determina a partir de su resultante en los dos planos extremos.

BALANCEO EN “n” PLANOS. Para el balanceo en “n” planos, se puede indicar que es una

generalización del balanceo en dos planos.

“Vibraciones en medios continuos” Página: 170


VIBRACIONES EN MEDIOS CONTINUOS

Detalles Pág.

Vibración longitudinal de barras.............................................................................................. 170

Problema de la cuerda vibrante................................................................................................ 174

Vibración transversal de vigas................................................................................................. 178

Los sistemas mecánicos como ser cables, varillas, vigas, placas, etc. Tienen sus masas y sus

fuerzas elásticas “Distribuidas” en lugar de tener masas concentradas separadas por resortes y son

susceptibles a vibraciones llamadas vibraciones de medios continuos.

Estos sistemas constan de un número infinito de partículas y por tanto requieren igual cantidad de

coordenadas para especificar su configuración.

Por tanto, los sistemas mecánicos de esta clase, tienen un número infinito de frecuencias y de

modos naturales de vibración.

En general, las vibraciones de medios continuos están gobernadas por ecuaciones diferenciales

parciales y para su análisis se supone que todos los materiales son homogéneos r isentrópicos y

obedecen a la ley de HOOKE.

Vibración longitudinal de barras.

En general las vibraciones de medios continuos están gobernadas por ecuaciones diferenciales

parciales y para su análisis se supone que todos los materiales son homogéneos e isentrópicos y

obedecen a la ley de HOOKE.

AF

AF



Considérese una barra de sección transversal “A” sujeta a una fuerza “F” según su eje.

La fuerza “F” no necesariamente es la misma en todas las secciones y puede variar a lo largo de

la barra.

Sobre cada sección transversal actúan dos fuerzas iguales y opuestas.

El esfuerzo normal o tensión ""σ sobre la sección de la barra es:

AF

=σ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

2mN (1)

Este esfuerzo puede ser de tracción o compresión.

Bajo la acción de tales fuerzas, cada sección de la barra experimenta un desplazamiento

""ξ paralelo al eje, que es diferente para cada punto de la barra, puesto que si fueran iguales,

existiría un desplazamiento rígido de la barra.

Sea ""ξ una función de “x” y considerando dos secciones “A y A´” separadas una distancia “dx”

inicialmente. Cuando las fuerzas se manifiestan, la sección “A” se desplaza una distancia

""ξ mientras que la sección “A´” lo hace ´""ξ ; siendo ξξξ −= ´´d el desplazamiento neto.

La deformación unitaria ""ε normal en la barra, es la deformación de la barra por unidad de

longitud a lo largo del eje de la barra.

x∂∂

=ξε (Cantidad adimensional) (2)

F F'

A A'

x dx x+dx



Obsérvese que cuando no hay deformación, ""ξ es constante, por tanto 0=∂ξ , o sea 0=ε

Se sabe que existe una relación entre el esfuerzo normal ""σ y la deformación unitaria ""ε

llamada LEY DE HOOKE que establece que “Dentro del límite de elasticidad del material, la

normal es proporcional a la deformación unitaria”.

Donde: E = Módulo de elasticidad (Young) εσ E= (3)

Reemplazando (1), (2) en (3) se tiene:

xEAF

xE

AF

∂∂

=⇒∂∂

=ξξ (4)

La fuerza neta sobre la sección es:

dxxFdFFFdF∂∂

=⇒−= ´ Hacia la derecha (5)

Sea δ la densidad del material de la barra

dVdmdVdm δδ =⇒= pero AdxdV =

Por tanto: Adxdm δ= (6)

Aplicando la segunda ley de Newton [ ]maF =

dmadF = (7)

Reemplazando (5), (6) en (7)

2

2

tAdxdx

xF

∂∂

=∂∂ ξδ

2

2

tA

xF

∂∂

=∂∂ ξδ (8)

Derivando (4) respecto de x

2

2

xEA

xF

∂∂

=∂∂ ξ (9)


2

2

2

2

xE

t ∂∂

=∂∂ ξ

δξ



O como: gδγ = ( =γ Peso específico) gγδ =⇒

Ecuación diferencial del movimiento

Para resolver esta ecuación diferencial, se supone que la solución tiene la forma:

( ) ( ) ( )tTxXtx =,ξ (Método de superposición de variables)

Reemplazando Esta expresión en la ecuación del movimiento se obtiene:

γEga =2

2

2

2

22

txa

∂∂

=∂∂ ξξ

Tdt

Td

Xdx

Xd

a2

2

2

2

2 =

Como el miembro de la izquierda es función únicamente de “x” y el miembro de la derecha

únicamente de “t”, entonces es igual a una constante. Sea esta constante igual a “- 2ω ”, entonces

se obtiene dos ecuaciones diferenciales:

00 222

222

2

=+⇒=+⇒−= TTTdt

TdT

dtTd

ωωω &&

002

2

2

2

222

2

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⇒=+⇒−= X

adxXdX

adxXd

Xdx

Xd

a ωωω

Cuyas soluciones son :

( ) tDtCsentT ωω cos+=

( ) xa

Bxa

AsenxX ωω cos+=

La solución general de la ecuación diferencial es:

( ) ( )tDtCsenxa

Bxa

Asentx ωωωωξ coscos, +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= (10)

02

2

2

2

=∂∂

−∂∂

xEg

tξ

γξ



Donde A,B,C Y D son constantes arbitrarias, determinadas de las condiciones iniciales y de

contorno del problema y iω las frecuencias naturales del sistema.

a) Si los extremos están libres Las condiciones de contorno son:

000

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∧=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

== Lxx xxξξ

Derivando (10) respecto de “x”

( )tDtCsenxa

Bsena

xa

Aax

ωωωωωωξ coscos +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

∂∂

0=xP ( ) 0cos0 =⇒+= AtDtCsenA

aωωω

LxP

= ( ) 0cos0 =⇒+−= La

sentDtCsenLa

Bsena

ωωωωω

Que es la ecuación de frecuencias y su resolución:

L

nanLa

πωπω=⇒= Donde n = 1,2,3,....

b) Si un extremo es fijo y el otro libre las condiciones de contorno son:

( ) 000 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∧==

=Lx

x xξξ

Sus frecuencias son:

Lnaπω = Donde n = 1,2,3,....

c) Si los dos extremos están empotrados las condiciones de contorno son:

( ) ( ) 000 =∧= == Lxx ξξ

Problema de la cuerda vibrante.

La cuerda vibrante tiene una masa repartida uniformemente a lo largo de toda su longitud y es el

caso más sencillo de un sistema que tenga infinito número de frecuencias de vibración

Considérese una cuerda sometida a una tensión “T”. En condiciones de equilibrio, la cuerda está

en línea recta.



y

x

Tx

TyT

Tx'

Ty'T'

'

u

x dx

A

B

Si se desplaza la cuerda perpendicularmente a su longitud, entonces una pequeña porción de la

cuerda “AB” de longitud “dx” se desplaza de su posición de equilibrio una distancia μ .

Suponiendo que la deflexión es pequeña, el cambio de la tensión puede ser ignorado.

Debido a la curvatura de la cuerda, estas dos tensiones no son opuestas.

La fuerza resultante sobre la porción “AB” de la cuerda en las direcciones “X e Y” son:

[ ]∑= xx FF

( )αααα cosćoscosćos −⇒−= TTTFx

Si la curvatura de la cuerda no es muy grande, los ángulos ´α y α son pequeños, por tanto:

1ćoscos ≈= αα

Entonces: 0=xF

[ ]∑= yy FF

( )αααα sensenTFTsenTsenF yy −=⇒−= ´´

Para ángulos pequeños αα tagsen ≈

( )αα tagtagTFy −= ´

( )αtagTddFy =



( )dxtagx

TdFy α∂∂

= ya que “α ” depende de “x” y de “t” (1)

Pero αtag es la pendiente de la curva formada por la cuerda; entonces;

xutag∂∂

=α (2)

dxxuTdFdx

xu

xTdF yy 2

2

∂∂

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

=

Esta fuerza debe ser igual según la segunda ley de Newton [ ]maF =

Donde dxdmdxdm

tua μμ =⇒=∧

∂∂

= 2

2

=μ Masa por unidad de longitud

Reemplazando

dxxuT

tudx 2

2

2

2

∂∂

=∂∂μ

Donde μTc = = Velocidad de propagación de las ondas a lo largo de la cuerda

Un método para resolver ecuaciones diferenciales es el de la superposición de variables y se

puede expresar como:

( ) ( ) ( )ctxfctxftxu ++−= 21,

Donde 21 ff ∧ son funciones arbitrarias

( )ctxf −1 representa la onda que viaja en sentido positivo de “x” con velocidad “c”

( )ctxf +1 representa la onda que viaja en sentido negativo de “x” con velocidad “c”

Como “u” es función de “x” y “t” se puede representar como:

( ) ( ) ( )tTxXtxu ⋅=, (4)

Entonces: 2

2

2

2

xXT

xu

∂∂

=∂∂

2

2

2

2

xuT

tu

∂∂

=∂∂

μ 2

22

2

2

xuc

tu

∂∂

=∂∂

(3)



2

2

2

2

tTX

xu

∂∂

=∂∂

Reemplazando en (3)

2

22

2

2

xXTc

tTX

∂∂

=∂∂

XxX

cTtT

2

2

22

2

∂∂

=∂∂

(5)

Como “X” y “T” son independientes una de otra, la ecuación (5) debe ser igual a una ctte.

Sea “ 2ω− ” la ctte. De aquí se obtiene dos ecuaciones diferenciales.

022

22

2

2

=+⇒−= Tdt

TdTdt

Td ωω (6)

02

2

2

2

2

2

2

2

=+⇒−= Xcdx

XdXcdx

Xd ωω (7)

Las soluciones de (6) y (7) ya se sabe y luego reemplazar en (4)

Si los extremos de la cuerda están fijos, las condiciones de contorno son:

( ) ( ) 0,0,0 =∧= tLutu

Reemplazando cada uno en (8)

( ) 0cos0cos0 2212 =⇒+= AtBtsenBA ωω (9)

( )tBtsenBLc

senA ωωω cos0 211 +=

De este triple producto la única posibilidad es que 0=Lc

senω ya que 1A no puede ser todo el

tiempo igual a cero

Entonces: πωω nLc

Lc

sen =⇒= 0 Donde n= 1,2,3,....

Y las frecuencias naturales de la cuerda están dadas por:

( ) ( )tBtsenBxc

Axc

senAtxu ωωωω coscos, 2121 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += (8)



x

x dx

y

O

yQ

Q+ Q/ x dx

M+ M/ x dxM

x dx

Lcnπω = (10)

En general al reemplazar (9) y (10) en (8) se obtiene:

Vibración transversal de vigas.

Las bancadas o columnas en máquinas herramientas están sometidas a este tipo de perturbación.

La ecuación diferencial del movimiento de vibración transversal de las vigas puede deducirse así:

Por la teoría de la flexión de la viga recta se tiene:

Mdx

ydEI −=2

2

(1)

Donde E = Módulo de elasticidad

I = Momento de inercia

M = Momento flector en una sección cualquiera

y = deflexión de la viga

Si EI es constante y derivando (1)

ya que Vdx

dM= (V = Fuerza cortante) V

dxydEI −=3

3

(2)

( ) ( )∑ += tBtsenBL

xnsentxu nn ωωπ cos, 21



ya que qdxdV

= (q = Intensidad de carga) qdx

ydEI −=4

4

(3)

En las vibraciones transversales libres de vigas que no tienen carga externa, se considera las

fuerzas de inercia 2

2

ty

gA

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

γ como la intensidad de carga a lo largo de toda la longitud de la

viga.

maFq == (4)

Pero AxVVmVm

=∧=⇒= δδ

Entonces: Axm δ=

gδγ = Peso específico

xgAm γ

=

Reemplazando en (4)

2

2

ty

gAq∂∂

=γ (5)


2

2

4

4

ty

gA

xyEI

∂∂

−=∂∂ γ

Si 04

42

2

22 =

∂∂

+∂∂

⇒=x

yatyEIga

γ (6)

Se usan derivadas parciales porque “y” es función de “x” y de “t”

Se supone que:

( ) ( ) ( )tTxXtxy =,

Derivando: 2

2

2

2

4

4

4

4

tTX

ty

xXT

xy

∂∂

=∂∂

∧∂∂

=∂∂

Reemplazando en (6)

04

4

2

2

=∂∂

+∂∂

xy

AEIg

ty

γ



04

42

2

2

=∂∂

+∂∂

xXTa

tTX

Resolviendo por el método de cambio de variable.

4

42

2

2

xXTa

tTX

∂∂

−=∂∂

XxX

aTtT

4

4

22

2

∂∂

−=∂∂

En esta ecuación el primer miembro es función únicamente de “t” y el segundo miembro función

únicamente de “x”, por tanto solo pueden ser iguales a una ctte.. Esta ctte. Es designada por

“ 2ω− ”.

022

22

2

2

=+∂∂

⇒−=∂∂

TtT

TtT

ωω (7)

02

4

42

4

4

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

∂∂

⇒−=∂∂

− Xax

XXxX

a ωω (8)

La solución de (7) es:

( ) tAtsenAtT ωω cos21 +=

Y se encuentra que la ctte. “ 2ω− ” es la frecuencia angular de vibración y 21 AA ∧ son cttes. A

determinarse por las condiciones de contorno.

La solución de (8) es:

( ) bxBsenhbxBbxBsenbxBxX coshcos 4321 +++=

Donde: 2

24

ab ω

= y 4321 ,,, BBBB se determinan por condiciones de contorno

Estas cuatro cttes. De integración exigen de los extremos cuatro condiciones, dos de cada

extremo de la viga y estos dependen del tipo de apoyo o empotramiento en los extremos.

I. Para un extremo apoyado

Deformación ( ) 0=xX

Momento flector 02

2

=dx

Xd



II. Para un extremo empotrado

Deformación ( ) 0=xX

Inclinación 0=dxdX

III. Para un extremo libre

Momento flector 02

2

=dx

Xd

Fuerza cortante

“Apéndice A” Página: 182


Sistemas con un grado de libertad. 1.- Para el sistema de la figura, obtener las expresiones de la frecuencia natural y de la frecuencia “f”.

Resp.: ( )22

2

bamKa+

=ω ( )22

2

21

bamKaf+

=π

2.- Para el sistema de la figura, obtener la frecuencia natural. Considerar la barra AB como infinitamente rígida.

Resp.: mK

La

=ω

3.- Para el sistema de la figura, obtener la frecuencia natural. Considerar la barra AB como infinitamente rígida.

Resp.: a

gmaKb 12 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=ω

m

K

b

a

Om B

K

a

L

m

O

BK K

a

b

A



4.- Determine la frecuencia natural amortiguada del sistema.

Resp.: 2222 4

21 acKmL

mLa

−=ω

5.- El sistema de la figura está sometida a una fuerza armónica tsenFFt ω0= con una amplitud de

[ ]NF 100000 = y cuya frecuencia circular de carga aplicada es ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= segrad20ω

La masa del sistema es [ ]Kgm 20= , el amortiguador tiene un coeficiente de

amortiguamiento ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= m

segNc 400 , cada uno de los resortes tiene una constante de rigidez

[ ]mNK 20000= . [ ]ma 1= y [ ]mb 5.0= . Halle la ecuación del ángulo de desplazamiento.

Resp.: ( ) ( )8367.02071.3 −=−= tsentsen φωρθ 6.- Una viga simplemente apoyada tiene una masa concentrada “M” que actúa en su punto medio. Encuentre la frecuencia natural del sistema, si la masa de la viga es “m”

Resp.: ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+= seg

radmML

EI486.0

483ω

m

K

c

a

L

m

Kc

B O

C

K

b

b

a

b



7.- Determine la frecuencia natural de vibración de una masa “M” sujeta al extremo de una viga en voladizo que tiene una longitud “L” y una masa “m”, cuando la masa de la viga no es despreciable.

Resp.: ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+= seg

radmML

EI236.0

33ω

8.- La figura muestra un bloque rectangular de masa “m”, que reposa sobre una superficie semicilíndrica. Si el bloque se inclina ligeramente en un extremo, encuentre su frecuencia de oscilación.

Resp.: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= segrad

Ld

gdr

224247.3ω

9.- Cuál será la respuesta del estado estacionario de la masa de la figura, si la función fuerza es:

( ) tsentttsentF 2cos20205.1cos105.010 +++=

Siendo: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=∧⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= lg1lg10

2

pseglbmp

lbK

Resp.: ttsentsenx 2cos33.35.1cos29.122.25.003.1 +++= 10.- En la figura anterior, la deflexión estática del resorte debida a la masa es 1.2 [ ]lgp y la amplitud de vibración debida a una excitación armónica t20cos10 es 0.02 [ ]lgp . Cuál es el peso de la masa? Resp.: 15.12 [ ]lb

r

L

d

K

m f (t)

“Apéndice B” Página: 185


Sistemas con dos grados de libertad. 1.- Deduzca la ecuación de movimiento del sistema mostrado. El cilindro circular tiene una masa “m” y un radio “r” y rueda sin deslizar dentro de la acanaladura circular de radio “R”. 2.- Dos péndulos idénticos están rígidamente unidos a los extremos de un eje, el cual tiene una rigidez torsional “K”. Las masas de los discos de los péndulos son iguales a “m” y la longitud de las varillas (Que son rígidas y sin peso) es”L”. Suponiendo que el eje descansa sobre un cojinete sin fricción, deduzca las ecuaciones de movimiento del sistema. Resp. ( ) 0211

2 =−++ θθθ KKmgLmL && ( ) 0122

2 =−++ θθθ KKmgLmL && 3.- Deduzca la ecuación de frecuencia del sistema. El peso de las poleas se supone despreciable Resp. ( ) ( ) 04 21

2221221

421 =+++−+ KKmKmKmKmm ωω

KM

K

R

1 2

m m m m

L L

K

K

m

K2

1

m2

1



4.- Un bloque rectangular de masa “m” está soportado por medio de cuatro resortes colocados en sus esquinas. Determine la ecuación de frecuencia, si únicamente es permitido el movimiento en el plano vertical. Resp. ( ) 04222 2222

04

0 =+++− bKKmbKmhKJKmJ yxyxx ωω 5.- Una varilla rígida sin peso que tiene dos masas “m” fijas en sus extremos, está unida a dos resortes. Deduzca una expresión para la ecuación de frecuencia del sistema. Resp. ( ) ( ) ( ) 02

21212

22110214

0 =+++++− LLKKmLKLKJKKmJ ωω 6.- Suponiendo que la varilla de conexión no tiene peso, determine las frecuencias de oscilación del sistema mostrado.

Resp. mK

=1ω , ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= segrad

mK22ω

xK Kx

yK yK

2b

h

1K 2K

m m1L L 2

O

K K

K K

m m



7.- Calcule las frecuencias naturales del sistema.

Resp. mK96.11 =ω , ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= segrad

mK16.22ω

8.- Si ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −== lg1

2

21 pseglbmm , ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=∧= lg400200 21 plbKK , calcule ( ) ( )txtx 21 ∧ para las

siguientes condiciones iniciales: a) ( ) 3.001 =x , ( ) 001 =x& , ( ) 002 =x , ( ) 002 =x& b) ( ) 3.001 =x , ( ) 001 =x& , ( ) 002 =x , ( ) 502 =x& Resp. a) ( ) ( ) ( )tttx 2.30cos186.037.9cos114.01 +=

( ) ( ) ( )tttx 2.30cos145.037.9cos145.02 −=

b) ( ) ( ) ( )oo tttx 1772.30cos186.016737.9cos117.01 −−+−= ( ) ( ) ( )oo tttx 1772.30cos145.016737.9cos149.02 −++−=

9,- Un péndulo doble está unido a cuatro resortes de igual rigidez. Encuentre sus frecuencias por medio de la ecuación de Lagrange, para ángulos de oscilación pequeños.

Resp. L

gmK 12.32

1 +=ω , ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+= segrad

Lg

mK 58.02

2ω

K

K

K K K

K K

m

m

K K1 2

1m m2



10.- Un bloque de masa “M” se mueve a lo largo de un plano horizontal liso y conduce un péndulo simple de longitud “L” y una masa “m” como se muestra en la figura. En el punto “A” están unidos al péndulo dos resortes iguales de módulo “K”. Determine las ecuaciones de movimiento del sistema para pequeñas oscilaciones alrededor del punto de equilibrio, utilizando la ecuación de Lagrange. Resp. ( ) 022 =++++ θθ aKmLKxxmM &&&&

( ) 022 22 =++++ aKxxmLKamgLmL &&&& θθ

K

K K

Km

m

L

L

K K

m

M

A

a

“Apéndice C” Página: 189


Sistemas de varios grados de libertad. 1.- Deducir las ecuaciones de movimiento del sistema. Las varillas de unión no tienen peso y su movimiento está restringido al plano del papel. Resp. 024 211 =−+ θθθ KKm &&

024 1322 =−−+ θθθθ KKKm && 024 233 =−+ θθθ KKm &&

2.- Un cilindro circular homogéneo de masa total “M” y radio “2ª” está suspendido por medio de un resorte de rigidez “ 1K ” y es libre de girar con respecto a su centro de masa “O”. Deducir las ecuaciones de movimiento. Resp. ( ) 036293 322221211 =−−−++ xKxKxMxKKxM &&&& ( ) 0622422 12132222 =−−+++ xKxMxKxKxmM &&&&

023 2212323 =+−+ xKxKxKxm&&

3.- La constante de elasticidad equivalente del voladizo es ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= lg10 plbK y además

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= lg1 plbK y ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −= lg1

2

pseglbm . Calcular las frecuencias naturales del sistema que se

muestra.

K

K

K

K

m

m

m

L L

LL

LL

M

K

2a

m

K2m

1

2

x

x2

3



Resp. 16.31 =ω , 34.32 =ω , ⎥⎦⎤


4.- Determinar las frecuencias naturales del sistema masa-resorte que se muestra. m = K = 1

Resp. 62.01 =ω , 18.12 =ω , 62.13 =ω , ⎥⎦⎤


5.- Encontrar los coeficientes de influencia del sistema masa-resorte.

Resp. K21

11 =α , K21

12 =α , K21

21 =α , K23

22 =α

6.- Una locomotora que pesa [ ]lb64400 está acoplada a tres vagones. Los vagones primero y tercero pesan [ ]lb32200 cada uno y el segundo pesa [ ]lb16100 . La constante de elasticidad de los

resortes de acoplamiento es ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= lg10000 plbK . Cuál será la frecuencia natural más baja?

m

m

m

K

K

mK K

mK

mK

mK

m

2K

m

K



Resp. ⎥⎦⎤


7.- Utilizar el método Holzer para determinar las frecuencias naturales del sistema masa-resorte que se muestra en la figura. 01 =K y todas las demás constantes de elasticidad son iguales a “K”, todas las masas son iguales a “m”.

Resp. mK24.01 =ω ,

mK71.02 =ω ,

mK14.13 =ω ,

mK49.14 =ω ,

mK77.15 =ω ,

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= segrad

mK95.16ω

8.- Determinar las frecuencias de oscilación del sistema que se muestra en la figura.

Resp. 01 =ω , mK

=2ω , ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= segrad

mK3

3ω

K1 2

K3

K

Km

Km m

Km

K K Km

Km

1

1 2

2

3

3

4

4

5

5

6

6 7

Km

Km

m

“Apéndice D” Página: 192


Vibración torcional. 1.- Los extremos de un eje que tiene un disco pesado con momento de inercia “J” están apoyados como se encuentra en la figura. Encontrar la frecuencia natural de la vibración torsional del disco.

Resp. ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+

= segrad

LJLLLGd

21

214

32πω

2.- Encontrar el eje equivalente del sistema que se muestra en la figura.

Resp. 1dd = , 2

2

1

2

4

2

11 L

aa

ddLL ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

3.- Un momento torsional externo “ tsenTe ω0 ” actúa sobre el rotor “ 2J ”. Determinar las respuestas del estado estacionario del sistema.

Resp. ( )( ) 22

222

2121

021 KJKJKK

tsenTK−−−+

=ωω

ωθ , ( )( )( ) 2

22

222

121

02

1212 KJKJKK

tsenTJKK−−−+

−+=

ωωωωθ

L1 L2

d

L1

L2

a1

2a

d1

d2

1J2J

K1 K2

T senwt0



4.- Calcular las frecuencias naturales del sistema torsional.

Resp. JK39.01 =ω ,

JK47.12 =ω , ⎥⎦


JK36.23ω

5.- Calcular las frecuencias naturales del sistema torsional que se muestra en la figura. El eje lleva tres rotores y tiene ambos extremos fijos.

Resp. JK54.01 =ω ,

JK17.12 =ω , ⎥⎦


JK82.13ω

6.- Si J = K = 1. Determinar el movimiento general del sistema, si al primer disco se le aplica un desplazamiento angular inicial de 1 [ ]rad .

Resp. ( ) ( )ttt 3cos61cos

21

31

1 +−=θ

( ) ( )tt 3cos31

31

2 −=θ

( ) ( )ttt 3cos61cos

21

31

3 ++=θ

J

2J

3JK

2K

3K

2J 6J 3J

2K 4K K 3K

K K



7.- Utilizar el método Holzer para determinar las frecuencias naturales del sistema. El sistema

está fijo en ambos extremos y tiene una vibración torsional. ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= rad

lbpK lg1000 y

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−= rad

seglbpJ2lg10

8.- Emplear el método Holzer para determinar las frecuencias naturales del sistema que se

muestra. ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= rad

lbpK lg1010 6 y ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−= rad

seglbpJ2

3 lg10

Resp. 461 =ω , 1002 =ω , ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= segrad1343ω

J J J

KKK K

J

2J

4J

K

K

3K

“Apéndice E” Página: 195


Vibraciones en medios contínuos. 1.- Determinar el periodo del modo fundamental de vibración de una varilla de acero de longitud

1000 [ ]pies y peso específico ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

3lg28.0 plb , si esta varilla se considera como una barra con

ambos extremos libres. Resp. [ ]segT 12.0= 2.- Una barra uniforme de longitud “L” tiene el extremo superior empotrado y el inferior libre. Demostrar que una fuerza aplicada repentinamente en el extremo libre produce una deflexión que es el doble de la producida por esta misma fuerza aplicada gradualmente. 3.- Una fuerza axial constante” 0F ” actúa sobre el centro de gravedad de una barra uniforme de longitud “L”. Encontrar la vibración que se produce si esta fuerza se quita repentinamente.

Resp. ( ) ( )( )

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=

−∞

=∑ t

Lai

Lxisen

iAELFtxu

i

i

πππ

cos112, 2

21

,...2,12

0

4.- Deducir la ecuación de frecuencia de la vibración transversal de una viga uniforme de longitud “L”, si uno de los extremos de ésta está fijo y el otro libre. Resp. 1coshcos −+KLKL

x

x

F0

L/2 L/2

“Apéndice E” Página: 196


5.-Deducir la ecuación de frecuencia de la vibración transversal de una viga uniforme de longitud “L”, si los dos extremos de ésta están fijos. Resp. 1coshcos =KLKL 6.- Deducir la ecuación de frecuencia de la vibración longitudinal de una varilla que tiene dos secciones transversales diferentes, cuyas áreas son “ 1A y 2A ” respectivamente como se muestra en la figura.

Resp. 222

11

21

1

tantanρρ

aAaA

aLp

aLp q

i =

xL L

A1 2A

vibraciones mecÁnicas univ san simon - bolivia

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