vje be - statistika iii. dioiii. dio metode ropcjene parametara metoda momenata metoda maksimalne...
TRANSCRIPT
Metode procjene parametara Metoda momenata Metoda maksimalne vjerodostojnosti
Vjeºbe - Statistika
III. dio
Metode procjene parametara Metoda momenata Metoda maksimalne vjerodostojnosti
Princip supstitucije
�esto ºelimo procijeniti parametre koji ovise o funkciji distribucijeuzorka - funkcionalni parametar.
Primjer: (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak s funkcijomdistribucije F s nepoznatim parametrom µ = EX1
µ(F ) =
∫ ∞−∞
xdF (x) (ovisi o F )
ili npr. s nepoznatim parametrom σ2 = Var(X1)
σ2(F ) =
∫ ∞−∞
(x − µ(F ))2dF (x)
Metode procjene parametara Metoda momenata Metoda maksimalne vjerodostojnosti
Primjer:
Ekonomiste £esto zanima raspodjela osobnog dohotka u populaciji,posebno mjerenje neravnomjernosti dohotka po segmentimapopulacije.
Lorenzova krivulja predstavlja gra�£ki prikaz raspodjele dohotka.To je postotak dohotka koji dobije 100t% najsiroma²nijih kaofunkcija od t.
Ako je F funkcija distribucije osobnog dohotka populacije, Lorenzovakrivulja qF (t) : [0, 1]→ [0, 1] de�nira se kao
qF (t) =
∫ t
0F−1(s)ds∫
1
0F−1(s)ds
gdje jeF−1(s) = inf{x : F (x) ≥ s}, s ∈ (0, 1).
Metode procjene parametara Metoda momenata Metoda maksimalne vjerodostojnosti
Distribucija koja dobro opisuje distribucije dohotka u populaciji jeParetova
F (x) =
(1−
(1x
)α)1(1,∞)(x).
Sljede¢a slika prikazuje Lorenzovu krivulju za Pareto distribuciju zadvije vrijednosti parametra α.
Metode procjene parametara Metoda momenata Metoda maksimalne vjerodostojnosti
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
postotak najsiromašnijeg stanovništva
post
otak
doh
otka
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
α = 1.4α = 2
Metode procjene parametara Metoda momenata Metoda maksimalne vjerodostojnosti
Gini indeks - numeri£ki pokazatelj neravnomjernosti raspodjeledohotka u populaciji.
θ(F ) = 2∫
1
0
(t − qF (t))dt = 1− 2∫
1
0
qF (t)dt.
Metode procjene parametara Metoda momenata Metoda maksimalne vjerodostojnosti
Princip supstitucije temelji se na sljede¢oj ideji:Ako treba procijeniti funkcionalan parametar θ = θ(F ), umjestodirektne procjene, na�emo procjenitelj F̂ za F , a onda procijenimo θsa
θ̂ = θ(F̂ ).
Kako procijenitit F?
Empirijska funkcija distribucije (EDF) za jednostavan slu£ajanuzorak (X1, . . . ,Xn)
F̂ (x) =1n
n∑i=1
1{Xi≤x}.
Nepristran procjenitelj jer
EF̂ (x)) =1n
n∑i=1
P(Xi ≤ x) = P(X1 ≤ x) = F (x).
Metode procjene parametara Metoda momenata Metoda maksimalne vjerodostojnosti
Primjer 1.
µ(F ) i σ2(F ).
Primjer 2.
Problem procjene funkcije gusto¢e.
Primjer 3.
Principom supstitucije na�ite procjenitelj za Gini indeks θ(F ) na osnovu
jednostavnog slu£ajnog uzorka (X1, . . . ,Xn) ako je procjenitelj za F−1(t)metodom supstitucije
F̂−1n (t) =n∑
i=1
X(i)1{ i−1n<t≤ i
n}.
Metode procjene parametara Metoda momenata Metoda maksimalne vjerodostojnosti
Metoda momenata
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak.
Populacijski momenti:
moment reda k
mk = EXk
sredi²nji moment reda k
µk = E(X − EX )k
Uzora£ki momenti:uzora£ki moment reda k
Ak =1
n
n∑i=1
Xk
i
sredi²nji uzora£ki moment reda k
Bk =1
n
n∑i=1
(Xi − A1)k
Uo£imo A1 = X̄n,B1 = 0,B2 = S̄2
n
Metode procjene parametara Metoda momenata Metoda maksimalne vjerodostojnosti
Metoda momenata specijalan je slu£aj principa supstitucije.
Procjenitelje metodom momenata traºimo tako da izjedna£avamoodgovaraju¢e populacijske i uzora£ke momente (onoliko jednadºbikoliko nam treba da izrazimo nepoznate parametre - naj£e²¢e takoda iskoristimo uobi£ajene procjenitelje A1,A2,B2).
Metode procjene parametara Metoda momenata Metoda maksimalne vjerodostojnosti
Zadaci
Zadatak 1.
Metodom momenata na�ite procjenitelj θ̂ za nepoznati parametar θ, akoje (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz U [−θ, θ].
Metode procjene parametara Metoda momenata Metoda maksimalne vjerodostojnosti
Zadatak 2.
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz E(λ), λ > 0.
(a) Na�ite procjenitelj λ̂ nepoznatog parametra λ metodom momenta.
(b) Koriste¢i se metodom momenta na�ite standardnu gre²ku
procjenitelja λ̂.
Metode procjene parametara Metoda momenata Metoda maksimalne vjerodostojnosti
Zadatak 3.
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz gama distribucije s
pripadnom funkcijom gusto¢e
f(α,β)(x) =1
Γ(α)βαxα−1e−
x
β 1(0,∞)(x),
pri £emu su α, β > 0. Procjenite nepoznate parametre α i β metodom
momenata.
Metode procjene parametara Metoda momenata Metoda maksimalne vjerodostojnosti
Metoda maksimalne vjerodostojnosti
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak.
Uz danu realizaciju x = (x1, . . . , xn) tog uzorka de�niramo funkcijuvjerodostojnosti Lx : θ → R
Lx(θ) =
n∏
i=1
Pθ(Xj = xj), X1 diskretna s.v.,
n∏i=1
fθ(xj), X1 neprekidna s.v.
Procjenitelj maksimalne vjerodostojnosti (ML procjenitelj) S(X )nepoznatog parametra θ je procjenitelj za koji je
Lx(S(x)) = supθ∈Θ
Lx(θ),
kad je taj supremum kona£an.
Ponekad je jednostavnije traºiti maksimum od ln Lx(θ), ²to jeekvivalentan problem.
Metode procjene parametara Metoda momenata Metoda maksimalne vjerodostojnosti
Zadaci
Zadatak 4.
Neka je dana diskretna slu£ajna varijabla
X ∼(−2 0 7θ5
θ5
1− 2θ5
), 0 < θ <
52
Na�ite procjenitelj nepoznatog parametra θ ML metodom na osnovu
jednostavnog slu£ajnog uzorka (X1,X2,X3,X4) gdje su Xi ∼ X, te je
njihova pripadaju¢a realizacija x = (0,−2, 7,−2).
Metode procjene parametara Metoda momenata Metoda maksimalne vjerodostojnosti
Zadatak 5.
ML metodom na�ite procjenitelj za nepoznati parametar λ, na osnovu
jednostavnog slu£ajnog uzorka (X1,X2, . . . ,X6) iz P(λ), λ > 0,distribucije £ija je realizacija (0, 1, 0, 2, 3, 0).
Metode procjene parametara Metoda momenata Metoda maksimalne vjerodostojnosti
Zadatak 6.
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz distribucije s
funkcijom gusto¢e
fθ(x) =x
θ2e−
x
θ 1(0,∞)(x), θ > 0.
Na�ite ML procjenitelj nepoznatog parametra θ.
Metode procjene parametara Metoda momenata Metoda maksimalne vjerodostojnosti
Zadatak 7.
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz E(α), α > 0. Na�iteML procjenitelj za nepoznati parametar α.
Metode procjene parametara Metoda momenata Metoda maksimalne vjerodostojnosti
Zadatak 8.
Neka je (X1, . . . ,Xn) jednostavan slu£ajan uzorak iz B(m, p), m poznato.
Na�ite ML procjenitelj nepoznatog parametra p.
Metode procjene parametara Metoda momenata Metoda maksimalne vjerodostojnosti
Zadatak 9.
Neka je (X1, . . . ,Xn) slu£ajan uzorak iz N (µ, σ2) s pripadaju¢om
funkcijom gusto¢e
f (x) =1
σ√2π
e−(x−µ)2
2σ2
gdje su µ i σ2 nepoznati parametri. ML metodom na�ite procjenitelje
nepoznatih parametara.
Metode procjene parametara Metoda momenata Metoda maksimalne vjerodostojnosti
Zadatak 10.
Neka je (X1, . . . ,Xn) slu£ajan uzorak iz distribucije(0 1 2 3 · · ·1
θθ−1θ
1
θ
(θ−1θ
)2 1
θ
(θ−1θ
)3 1
θ · · ·
), θ > 1.
Na osnovu danog uzorka na�ite procjenitelj nepoznatog parametra θ ML
metodom.