vje zbe iz uvoda u astro ziku kre simir tisani cktisanic/ua/uvod-u-astrofiziku.pdf · vje zbe iz...

Vjezbe iz Uvoda u astrofiziku

Kresimir Tisanic

Verzija 12. lipnja 2017.Prirodoslovno-matematicki fakultet

Zagreb

Izvori slika / Image credits:

• naslovna strana: Galaksija NGC 2146. Credit: ESA/Hubble & NASA.• Sadrzaj : M 45. Credit: Davide De Martin & the ESA/ESO/NASA Photoshop FITS Liberator• Suncev sustav : Jupiter Credit: NASA, ESA• Koordinatni sustavi : Napravljeno TiKz paketom• Intenzitet svjetlosti i magnitude: M 45. Credit: Davide De Martin & the ESA/ESO/NASA

Photoshop FITS Liberator• Zvijezde: M 13. Credit: NASA, ESA• Galaksije: M 51. Credit: NASA, ESA, S. Beckwith (STScI), and The Hubble Heritage Team

(STScI/AURA)

Napomena

Poglavlje Suncev sustav nije obavezno, a poglavlje Koordinatni sustavi odnosi se na profesorskismjer.

Sadrzaj

1 Suncev sustav 31.1 Opcenito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Sunce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Planeti i mala tijela Suncevog sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Merkur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Venera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.3 Zemlja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.4 Mars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.5 Asteroidni pojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.6 Jupiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.7 Saturn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.8 Uran i Neptun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.9 Patuljasti planeti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Heliopauza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Oortov oblak i kometi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Koordinatni sustavi 112.1 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Intenzitet svjetlosti i magnitude 173.1 Mjerne jedinice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Zracenje i fizikalne velicine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.1 Jedinice zracenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2.2 Magnitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.3 Detektori i indeksi boje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.4 Prolazak svjetlosti kroz materiju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Zvijezde 274.1 Zvjezdane atmosfere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Jednadzbe zvjezdane strukture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2.1 Hidrostatska ravnoteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2.2 Luminozitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2.3 Idealni plin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2.4 Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2.5 Kriterij adijabatske konvekcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3 Degenerirani plin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.4 Nuklearne reakcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

SADRZAJ 1

4.5 Spektralne klasifikacije i Hertzsprung-Russelov dijagram . . . . . . . . . . . . . . . . 344.6 Evolucija zvijezda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.7 Promjenjive zvijezde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.8 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 Galaksije 535.1 Meduzvjezdani medij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1.1 Prasina i opticka dubina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.1.2 Plin i prasina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.1.3 Jeansov kriterij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2 Mlijecni put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2.1 Oortove konstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.3 Hubbleova klasifikacija i svojstva galaksija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.4 Rotacijske krivulje galaksija i tamna tvar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.5 Sirenje svemira i Hubbleov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.6 Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Dodaci 66

2 SADRZAJ

1. Suncev sustav

1.1 Opcenito

Suncev se sustav sastoji od mnogih tijela: Sunca, planeta, patuljastih planeta... Kako bi se moglibolje snaci u velikim brojevima, koristimo astronomsku jedinicu - udaljenost Zemlje od Sunca (slika1.1 i tablica 1.1). U sredistu se nalazi Sunce - nama najbliza zvijezda koja utjece Suncevim vjetrom,krivcem za polarne svjetlosti na Zemlji i drugim planetima, na svoju okolinu sve do heliopauze,podrucja gdje se Suncev vjetar zaustavlja.

Slika 1.1: Udaljenosti planeta od Sunca.

Slika 1.2: Radijusi Sunca i planeta.

3

4 POGLAVLJE 1. SUNCEV SUSTAV

Tablica 1.1: Podaci o Suncevom sustavu

Udaljenost od Sunca Ekvatorski Masa TrAUs rMms rRCs rMCs r1024kgs rKs

Sunce 695.7 109.04 334673 1998000 5772Merkur 0.4 2.44 0.38 0.055 0.3 452Venera 0.7 6.05 0.95 0.82 4.9 733Zemlja 1 6.38 1.00 1 6.0 287Mars 1.5 3.40 0.53 0.11 0.7 226

Jupiter 5.2 71.49 11.21 317.83 1897.4 165Saturn 9.5 60.27 9.45 95.16 568.1 134Uran 19.2 25.56 4.01 14.54 86.8 64

Neptun 30.1 24.76 3.88 17.15 102.4 62

1.2 Sunce

Sunce je zvijezda povrsinske temperature „ 5700 K, mase „ 2ˆ 1030 kg i radijusa „ 700 Mm. Kadapromatramo Suncev disk, prividni oblik Sunca kakav ga vidimo sa Zemlje, vidimo samo najdubljisloj Sunceve atmosfere, fotosferu. Unutar nje, temperatura se krece u rasponu od 4000 K u najvisemdijelu do 8000 K u najdubljem dijelu fotosfere.

1.3 Planeti i mala tijela Suncevog sustava

Po polozaju u odnosu na Zemlju, razlikujemo unutarnje i vanjske planete. Planeti mogu doci uposebne polozaje naspram Zemlje (slika 1.3), za unutarnje planete to su:

• Donja konjunkcija: planet prelazi preko Suncevog diska. Kut Sunce-Zemlja-planet, ε “ 0.• Elongacije (istocna i zapadna): polozaji s najvecim ε. Gledano sa Zemlje, to su tocke

kada su unutarnji planeti najdalje od Zemlje.• Gornja konjunkcija: planet se nalazi iza Sunca, ε “ 0.

Vanjski planeti imaju posebne polozaje:

• Opozicija: planet nasuprot Sunca, nabolje se vidi po noci. Kut Sunce-Zemlja-planet je ε “ π.• Kvadrature (istocna i zapadna): ε “ π2.• Konjunkcija: ε “ 0.

Terestricki planeti su planeti koji su po sastavu slicni Zemlji, odnosno, nisu plinoviti. Usporedbuvelicina planeta moze se vidjeti na slici 1.2. Nakon asteroidnog pojasa, slijede 4 plinovita diva, a imejovijanski dobili su po najvecem: Jupiteru (lat. Iuppiter, gen. Iovis).

1.3. PLANETI I MALA TIJELA SUNCEVOG SUSTAVA 5

Opozicija

Zapadna kvadraturaIstocna kvadratura

Konjunkcija

Donja konjunkcija

Gornja konjunkcija

Zapadna elongacijaIstocna elongacija

Slika 1.3: Polozaji planeta.

1.3.1 Merkur

Merkur je najblizi planet Suncu (trecina astronomske jedinice). Ujedno je i planet najmanjeg radijusai najcudnije orbite. Naime, njegova orbita se zakrece zbog toga sto je dovoljno blizu Suncu da sepri opisu njegova gibanja mora koristiti Opca teorija relativnosti. Gotovo da nema atmosferu pa muse temperatura po danu i po noci znacajno razlikuje (varira od 100 K po noci do vise od 600 K podanu) [1].

1.3.2 Venera

Venera je planet po velicini najslicniji i najblizi Zemlji, a nalazi se na trecini astronomske jedinice odZemlje. Ona je ujedno i vrlo vruc planet. Naime, njezina atmosfera se sastoji od ugljikovog dioksidapa efektom staklenika postize temperature oko 800 K.

1.3.3 Zemlja

Zemlja je treci planet od Sunca, ujedno i jedini na kojemu je potvrden zivot. Ima jedan satelit:Mjesec, ciji je radijus otprilike 4 puta manji od Zemljinog. On je plimno zakljucan u odnosu naZemlju: uvijek vidimo samo jednu njegovu stranu.

1.3.4 Mars

Mars je planet malog atmosferskog tlaka i atmosfere vecinski sastavljene od ugljikovog dioksida.Temperatura na njemu krece se u rasponu od 100 do 300 K. Ima dva satelita: Phobos (slika ??) iDeimos. Nalazi se otprilike na pola astronomske jedinice od Zemlje, odnosno 1.5 AU od Sunca.


1.3.5 Asteroidni pojas

Asteroidni pojas nalazi se izmedu Marsa i Jupitera. Najpoznatiji objekt iz ove skupine je Ceres. Iakoje u proslosti bio smatran planetom, kao i Pluton, danas se smatra patuljastim planetom. Asteroideklasificiramo po njihovom sastavu: C - bogati ugljikom, S - bogati silicijem i M - bogati metalima[2]. Meteori su razmrvljeni asteroidi koji sagorijevaju u Zemljinoj atmosferi. Crtez ovog podrucjaprikazan je na slici ??

1.3.6 Jupiter

Jupiter je plinoviti div koji se sastoji vecinom od vodika i helija. Unutrasnjost mu je tolike gustoce dase vodik pocinje ponasati kao metal, opravdavajuci tako svoju poziciju medu metalima u periodnomsustavu. Na njemu vec vise od 300 godina bjesni oluja [1] - Velika crvena tocka koja polako jenjava(slika ??). Oko Jupitera postoji jedva vidljivi prsten i mnostvo satelita. Cetiri najveca i najpoznatijasu: Io, Europa, Ganimed i Callisto (slika ??). (Njih je otkrio jos Galileo Galilei.) Io je najbliziJupiteru te je zbog toga i geoloski najaktivniji objekt u Suncevu sustavu: prepun je vulkana. Europaje mjesec kojemu se povrsina sastoji vecinski od vodenog leda.

1.3.7 Saturn

Saturn je planet koji je laksi od vode. Atmosfera mu se sastoji pretezito od vodika i helija, a uunutrasnjosti postoji i metalni vodik. Okruzen je velikim prstenovima, vidljivima i dalekozorom.Iako ih ima mnogo, najpoznatiji mu je satelit Titan, na kojeg se 2005. spustila i sonda Huygensiz misije Cassini-Huygens. Ova misija omogucila je izradu preciznih mapa Titana, cija se povrsinainace ne bi vidjela zbog guste atmosfere. Misija je omogucila i bolje promatranje heksagona naSaturnovom sjevernom polu koji su posljedica razlicitih brzina vjetrova u Saturnovoj atmosferi (slika??).

1.3.8 Uran i Neptun

Uran je plinoviti div 4 puta veci od Zemlje. Za razliku od ostalih planeta, njegova os rotacije je skorookomita na os vrtnje oko Sunca. Neptun je najvjetrovitiji planet u Suncevom sustavu, a plava muboja potjece od metana. Oba planeta imaju mnostvo mjeseca i prstene.

1.3.9 Patuljasti planeti

Patuljasti planeti su manji od planeta te nisu uspjeli ocistiti svoju putanju od drugih tijela. Primjerisu Pluton, Ceres, Sedna i Eris. Plutonova je specificnost to sto prakticki cini dvojni sustav s mjesecomHaronom: centar mase tog sustava je izvan Plutona. Pluton i Haron su plimno zakljucani: uvijek jeista strana Plutona okrenuta prema Haronu i obrnuto.

1.4 Heliopauza

Suncev vjetar stvara pritisak na rijedak plin meduzvjezdanog medija formirajuci mjehur oko Sunca.Heliopauza oznacava predio u kojemu zavrsava utjecaj suncevog vjetra. Trenutacno ovo podrucjeistrazuju letjelice Voyager 1 i 2.

1.5. OORTOV OBLAK I KOMETI 7

1.5 Oortov oblak i kometi

Kometi su tijela koja se gibaju po izduzenim stazama. To su maleni objekti, u radijusa od 1 do 10km koji dolaze iz Oortovog oblaka - podrucja koje se proteze na udaljenostima 50´200 kAU. Kometise sastoje od 3 dijela: jezgre, kome (naziv za atmosferu kometa) i repa. Opcenito, kometi imaju 2repa: ionski i rep od prasine (slika ??). Misija Rosetta prva se spustila na neki komet: Churyumov-Gerasimenko. Poznati kometi su jos Hubbleov i Shoemaker-Levy 9 (sudario se s Jupiterom ostavivsitrag u njegovoj atmosferi (slika ??).

1.6 Zadaci

Zadatak 1.1. Nadite kut maksimalne elongacije za Merkur ako je velika poluos Merkurove orbiteaA “ 0.387 AU, a numericki ekscentricitet eA “ 0.205 (slika 1.4).

Rjesenje. Neka su dC i dA udaljenosti Zemlje i Merkura od Sunca, a α kut Sunce-Merkur-Zemlja.Sinusov poucak daje

ε “ arcsindA sinα

dC

,

Udaljenosti Sunce-Merkur u perihelu i afelu dobivamo pomocu numerickog ekscentriciteta

d`A “ aAp1` eq “ 0.466 AU

d´A “ aAp1´ eq “ 0.308 AU

Vidimo da ce ε biti maksimalan za α “ π2, to mozemo pogledati npr. deriviranjem sin ε po α:

d sin ε

dα“dA cosα

dC

“ 0 Ñ α “ π2.

Zanemarujuci ekscentricitet Zemljine orbite, dobivamo:

ε˘ “ arcsin aArAUsp1˘ eAq,

ovisno o tome je li Merkur u perihelu ili afelu (najmanjoj ili najvecoj udaljenosti od Sunca) tavrijednost iznosi ε´ “ 17.9 ˝, odnosno ε` “ 27.9 ˝. 4

Zadatak 1.2. Izracunajte vrijeme izmedu dvije opozicije za vanjske planete, odnosno izmedu dvijedonje konjunkcije za unutarnje planete (sinodicka godina, S), ako je period revolucije planeta dan sPi (sidericka godina).

Rjesenje. Planeti imaju razlicite kutne brzine, ωi “ 2πPi. Vanjski planeti imaju duze siderickegodine od Zemljine, a unutarnji krace od Zemljine. Razlika kuteva izmedu Zemlje i planeta dana jesa

∆φ “ t |ωC ´ ωi| .

Stavljajuci ∆φ “ 2π, dobivamo izraz za sinodicku godinu planeta

1

S“

#

1PC´ 1

P, vanjski planeti

1P´ 1

PC, unutarnji planeti

4


Zadatak 1.3. Izvedite izraz za plimnu silu (slika 1.5).

Rjesenje. U tocki P imamo silu zbog utjecaja mase m

FP “GMm

s2pcosφx´ sinφyq .

Kut φ moramo povezati s kutom θ

sinφ “R

ssin θ “

R

rsin θ `OppRrq2q.

Ñ cosφ « 1.

Razvojem nazivnika u red i zadrzavanjem samo Rr clanova, dobivamo

FP “GMm

r2pp1` 2Rr cos θqx´Rr sin θyq .

Kada od ovog izraza oduzmemo silu u tocki C dobivamo izraz za plimnu silu

∆F “GMmR

r3p2 cos θx´ sin θyq .

4

Zadatak 1.4. Izvedite Rocheovu granicu. Diskutirajte kako se ovaj izraz mijenja ako mjeseca imasinkronu rotaciju. Pojasnite Rocheovu granicu na primjeru Saturnovih prstena te Jupiterovog satelitaIo-a.

b

dC

dC

d`'

d´'

a

ε`

ε´

α

Slika 1.4: Maksimalna elongacija Merkura.

1.6. ZADACI 9

Rjesenje. Uvjet nestabilnosti je da je privlacenje djelica povrsine satelita mase mm manje od plimnesile uzrokovane planetom mase mp. Ako je ovaj uvjet zadovoljen, satelit ce se ili raspasti ili uopce nijemoglo doci do njegovog nastanka. Promatramo tocku koja je najblize planetu (koji je na udaljenostir, planet ima radijus Rp, a satelit Rm)

Gmm

R2m

ď2GmpRm

r3.

r

Rs

P

C M

φ

φθ

m

Slika 1.5: Lijevo: Skica nastanka plimnih sila. Desno: Smjer ∆F je prikazan strelicama dok je bojomprikazan |∆F|.

Uvrstavanjem gustoca dolazimo do izraza

r ď fR

ˆ

ρpρm

˙13

Rp “ fR

ˆ

mp

mm

˙13

Rm,

gdje je u ovom slucaju fR “ 213 “ 1.26. U ovom smo izvodu zanemarili rotaciju satelita. Akopretpostavimo da je ona sinkrona (tj. satelit se jednakom kutnom brzinom vrti oko svoje osi kao stose vrti oko planeta), ukljucujemo centrifugalnu silu

FC “ ω2mmRm “Gmp

mmr3mmRm “

Gmp

r3.

Vidimo da smo dobili izraz koji mozemo zbrojiti s plimnom silom te dobivamo fR “ 313 “ 1.442.Precizniji izracun daje jos vecu vrijednost, fR “ 2.456.

Ako uvrstimo u ovaj izraz srednju gustocu i radijus Saturna ρY “ 0.687 gcm3; RY „ 54 Mm

te procijenimo gustocu prstena prema npr. gustoce Enceladusa, ρE „ 1.6 gcm3 i Tethysa, ρT „0.97 gcm3, dobivamo r „ 100 Mm, odnosno r „ 120 Mm. Ove brojke su daleko vece od unutarnjegradijusa unutrasnjeg Saturnovog prstena (D prstena), 67 Mm. Teoriju da su prstenovi nastali raspa-dom nekog mjeseca predlozio je jos Roche, a danas postoje varijante te teorije. Canup je predlozioda su prstenovi mozda nastali od ledene kore Enceladusa, sto bi objasnilo njegovu vecu gustocu(referenca u odjeljku Detaljnije).

U slucaju Jupiterovog mjeseca Io-a, ρX “ 1.326 gcm3, RX „ 71.5 Mm te ρI „ 3.528 gcm3,sto daje Rocheovu granicu „ 126 Mm. Ovo je mala udaljenost naspram Iovog periapsisa, 420 Mm,


ali Rocheova granica nije jedini efekt nastao plimnim silama. Naime, Io-a ”razvlace” plimne sile iJupitera i ostalih njegovih mjeseca uzrokujuci zagrijavanje.

Tablica 1.2: Pregled radijusa Saturnovih prstenova.

Struktura unutarnji radijus (Mm) vanjski radijus (Mm)

D prsten 66.9 74.5C prsten 75 92B prsten 92 118

Cassinijeva podjela 118 122A prsten 122 137

Rocheova podjela 137 139F prsten 140 500

Janus/Epimetheusov prsten 149 154G prsten 166 175

Methonin prstenov luk 194Antheov prstenov luk 198

Pallene prsten 211 214E prsten 180 480

Phoebe prsten 4 Gm ą 13 Gm

4

Zadaci za vjezbu

1. Koliko ima planeta u Suncevom sustavu? Koji su jovijanski, a koji terestricki?2. Sto je Jupiterova crvena tocka? Nabrojati 4 Jupiterova mjeseca.3. Po cemu je poznat Io, po cemu Europa?4. Koji planeti imaju prstenove? Koji planeti nemaju mjesece?5. Nabrojati 2 patuljasta planeta6. Kako klasificiramo asteroide?7. Izracunajte kuteve maksimalne elongacije za Zemlju gledano sa Jupitera ako je glavna

poluos njezine orbite 1 AU, a ekscentricitet e “ 0.017. Udaljenost Marsa od Sunca je5.2 AU.

8. Procijenite Rocheovu granicu za sustav Zemlja-Mjesec. ( Za Zemlju, 3.53 Mm a za Mjesec18.6 Mm. Prava udaljenost Zemlje i Mjeseca je „ 380 Mm).

Detaljnije

Vladis Vujnovic: Astronomija 1.Gary Mechler: Planets and Their Moons.Robin M. Canup: Origin of Saturn’s rings and inner moons by mass removal from a lost Titan-sized satellite, Nature 468, 943–946

2. Koordinatni sustavi

Pri opisu gibanja na nebu, koristi se nekoliko sustava, ovisno o tome koje informacije imamo naraspolaganju npr.:

1. Horizontski koordinatni sustav koristi visinu objekta nad horizontom h i kut azimuta A -kutna udaljenost izmedu juznog pola i projekcije objekta na horizont. Ekvivalentno se mozekoristiti npr. zenitna udaljenost z “ 90˝ ´ h.

2. Ekvatorski koordinatni sustav je sustav najblizi sustavu paralela i meridijana na Zemlji:paralelama odgovara deklinacija δ, a meridijanima rektascenzija α. Rektascenziji je polazisnatocka pozicija Sunca za vrijeme proljetnog ekvinocija (proljetna tocka, ), a mjeri se u satima,minutama i sekundama, dok se deklinacija mjeri u stupnjevima i slicna je kutu θ u sfernomsustavu, ali je u intervalu r´90 ˝, 90 ˝s. Ovako definiran koordinatni sustav zove se nebeskiekvatorski koordinatni sustav. Za razliku od njega, mozemo uvesti velicinu ekvivalentnu rek-tascenziji - satni kut, H, koji se mjeri kao udaljenost od opazacevog meridijana (linije kojapovezuje zenit i jug). Satni kut proljetne tocke zove se lokalno sidericko vrijeme. Pomocusatnog kuta i deklinacije definiran je mjesni ekvatorski koordinatni sustav (slika ??).

3. Eklipticki koordinatni sustav je sustav kojemu je ekvator ravnina ekliptike (nagnuta podkutem ε « 23 ˝ u odnosu na nebeski ekvator, oznacena zutom bojom na slici ??)

4. Galakticki koordinatni sustav je sustav kojemu je ekvator ravnina diska Mlijecne staze, aishodiste galakticke longitude je polozaj galaktickog centra (slika ??)

N S

Z

E

Z’

W

Ah

z

z1

N S

Z

E

Z’

P

φ

W

α

Hδ

Slika 2.1: Lijevo: Horizontski koordinatni sustav. Zvijezde su oznacene zutom i cijan bojom. Desno:Nebeski ekvatorski koordinatni sustav.

2.1 Zadaci

Zadatak 2.1. Dokazati izraz ST “ H ` α.

Rjesenje. Neka je X pozicija objekta na nebu. Sidericko je vrijeme satni kut proljetne tocke, H.Projicirajmo poziciju X na nebeski ekvator (linija δ “ 0), to je tocka D. Duz nebeskog ekvatora,

11

12 POGLAVLJE 2. KOORDINATNI SUSTAVI

vidimo da je udaljenost RD jednaka satnom kutu H, dok je rektascenzija tocke udaljenost D. Iztoga slijedi izraz

H “ α `H.

4

Zadatak 2.2. Izvedite sinusov i kosinusov poucak u sfernoj trigonometriji.

Rjesenje. Na slici 2.2 prikazan je sferni trokut sa stranicama a, b i c i kutevima A, B i C te ishodistemO. Skalarni produkt izmedu vektora ~OB i ~OC je

~OB ¨ ~OC “ | ~OB|| ~OC| cos a “ cos a.

S druge strane, raspisujuci komponente

~OB ¨ ~OC “ psin c, 0, cos cq ¨ psin b cosA, sin b sinA, cos bq.

Izjednacavajuci, dobivamo kosinusov poucak:

cos a “ cosA sin b sin c` cos b cos c

Primijetimo da jednadzba jednako tretira susjedne stranice stranici a, kao i kosinusov poucak uravnini. Koristeci relaciju sin2A “ 1´ cos2A dobivamo

sinA “

a

sin2 b sin2 c´ pcos a´ cos b cos cq2

sin b sin c.

A

a

bc

O

A

bc

a

x

y

z

A

B

C

Slika 2.2: Sferni trokut za izvod sinusovog i kosinusovog poucka.

Zamjenom sin2 b “ 1´cos2 b i sin2 c “ 1´cos2 c te dijeljenjem sa sin a dobivamo izraz invarijantanna permutaciju stranica i kuteva

sinA

sin a“

a

1´ pcos2 a` cos2 b` cos2 cq ` 2 cos a cos b cos cq

sin a sin b sin c,

odnosno, dobili smo sinusov poucak

sinA

sin a“

sinB

sin b“

sinC

sin c.

4

2.1. ZADACI 13

Zadatak 2.3. Zvijezda Betelgez se u trenutku prolaska kroz nebeski meridijan nalazi na zenitnojudaljenosti od 37 ˝ 361, odredite geografsku sirinu opazaca. Kolika joj je zenitna udaljenost nakonjednog sata? Kada ce doseci horizont?

Rjesenje. Prateci definicije koordinata, znamo da je zenitna udaljenost nebeskog ekvatora jednakageografskoj sirini φ “ zekv (provjera: Sjeverni pol, φ “ 90 ˝ Ñ zekv “ 90 ˝). Prema tome, z ` δ “zekv. Dakle, φ “ 45 ˝. Za jedan sat, zvijezda vise nije na meridijanu, te moramo koristiti sfernutrigonometriju

cos zpHq “ cosp90´ φq cosp90´ δq ` sinp90´ φq sinp90´ δq cosH. (2.1)

Satni kut je H “ 360ˆ124 “ 15 ˝ te dobivamo z „ 39 ˝ 441. Dakle zvijezda se spustila za priblizno 2 ˝

prema horizontu. Vrijeme dostizanja horizonta dobivamo tako da u jednadzbu 2.1 uvrstimo z “ 90 ˝

te dobivamo H “ 97.5 ˝ “ 6.5 h. 4

N S

Z

E

Z’

P

W

z90 ˝ δ

H

90 ˝´φ

A

Slika 2.3: Sferni trokut s odredenim parametrima horizontskog i ekvatorskog koordinatnog sustava.

Zadatak 2.4. Koliko dugo traje sumrak ako mozemo smatrati da je pocela noc kada sunce zade 18 ˝

ispod horizonta?

Rjesenje. Neka je Hi satni kut Sunca u trenutku i. Kosinusov poucak daje

cos zi “ cospπ2´ φq cospπ2´ δq ` sinpπ2´ φq sinpπ2´ δq cosHi,

odnosno

cos 90 ˝ “ sinpφq sinpδq ` cospφq cospδq cosH1

cos 108 ˝ “ sinpφq sinpδq ` cospφq cospδq cosH2,

gdje su H1 i H2 kutevi za pocetak (Sunce na horizontu) i kraj sumraka (Sunce 18 ˝ ispod horizonta),iz cega slijedi ∆Hrhs “ pH2 ´ H1qr

˝s. Za proljetni ekvinocij, trajanje sumraka (astronomskog) je« 1h45min.

4

Zadatak 2.5. Sunce se giba po ekliptici koja je u odnosu na nebeski ekvator pod kutem ε. Nacirektascenziju i deklinaciju Sunca.


Rjesenje. Oznacimo sa ∆ udaljenost Sunca od proljetne tocke po ekliptici (slika 2.4). Kosinusovpoucak daje

cos ∆ “ cosα cos δ, (2.2)

Sinusov poucak je sin δ “ sin ∆ sin ε. Rektascenziju mozemo izraziti iz jednadzbe 2.2

cosα “cos ∆

cos δ.

P

δε

∆

α

Slika 2.4: Ekvatorski sustav i ekliptika.

4

Zadaci za vjezbu

1. Pronadite zenitnu udaljenost Sjevernjace u Zagrebu (φ “ 45 ˝ 481) i Kairu (φ “ 30 ˝ 301).Je li zvijezda Kaph (β Cas, δ “ 59 ˝ 141) cirkumpolarna u nekom od tih gradova? Iz kojegod ova dva grada mozemo promatrati zvijezdu Ahernar (α Eri, δ “ ´57 ˝ 091)?

2. Zvijezda se nalazi na A “ 45 ˝ i h “ 60 ˝. Odredite joj satni kut i deklinaciju akopromatramo• sa Sjevernog pola• sa Juznog pola• sa Ekvatora• iz Zagreba φ “ 45 ˝.

3. Koja je od sljedecih zvijezdi cirkumpolarne a koje anticirkumpolarne:• ν Aqr, α “ 21 h 09 m δ “ ´11 ˝ 221

• ψ And, α “ 23 h 46 m δ “ 46 ˝ 251

• α Cam, α “ 4 h 54 m δ “ 66 ˝ 201

• α Eri, α “ 1 h 37 m δ “ ´57 ˝ 141

• β Cen, α “ 14 h 03 m δ “ ´60 ˝ 221

U sjedecim gradovima:• Zagreb, φ “ 45 ˝

• Rio de Janeiro φ “ ´23 ˝

• Kyoto, φ “ 35 ˝

• Capte Town, φ “ ´34 ˝

• Uppsala, φ “ 60 ˝

2.1. ZADACI 15

• Ushuaia, φ “ ´55 ˝

4. Pripremate opazanje u pustinji Atacami (φ “ ´23.369543 ˝). Koja je maksimalna visinanad horizontom maglice M77 (δ “ ´0 ˝ 011, α “ 0 h 43 m)?

5. Na sljedecoj je slici prikazan M45 izbliza. Odredite udaljenost u lucnim sekundamai minutama izmedu η Tau (α “ 03 h 48 m 26.224 s, δ “ 24 ˝ 09112.15”)i 17 Tau (α “

03 h 45 m 49.631 s, δ “ 24 ˝ 09144.69”). (Rjesenje: 35144.62)

Detaljnije

W. M. Smart & R. M. Green: Textbook on Spherical Astronomy.

3. Intenzitet svjetlosti i magnitude

3.1 Mjerne jedinice

U ovisnosti o udaljenosti, imamo razliciti skup prikladnih jedinica:• unutar Suncevog sustava udaljenost izrazavamo astronomskim jedinicama - udaljenoscu Zemlje

od Sunca 1 AU “ 149.6 Gm• unutar galaksije prikladni su godina svjetlosti 1ly “ 9.46 Pm i parsek (udaljenost pod kojim

vidimo jednu astronomsku jedinicu kao kut od jedne lucne sekunde) 1 pc “ 3.262 ly “ 30.9 Pmi kiloparseke 1 kpc “ 3.262 kly “ 30.9 Em• izmedu galaksija, koristimo primjerice megaparseke 1 Mpc “ 3.262 Mly “ 30.9 Zm

3.2 Zracenje i fizikalne velicine

U ovome poglavlju uvodimo osnovne karakteristike zracenja koje ce nam trebati u opisu fizikalnih po-java. Iako bi, gledano iz elektrodinamike, trebali stati na potpoglavlju Jedinice zracenja, u astrofizicise, zbog ogromnih razlika u jacini zracenja, uvode i logaritamske varijante ovih jedinica - magni-tude. Na kraju, prije zadataka, opisujemo komplikacije natastale zbog koristenja realnih detektorate prolaz zracenja kroz materiju.

3.2.1 Jedinice zracenja

U fizici smo se upoznali sa snagom kao fizikalnom velicinom, u astrofizicije za snagu zracenja uobicajennaziv luminozitet, L i mjeri se u wattima, W (ili nazalost i dalje koristen erg s´1, gdje je 1 erg “100 nJ). Buduci da objekti zrace u svim smjerovima, na jedinicnu ce povrsinu na udaljenosti r odizvora, pasti manja kolicina svjetlosti, pa je za mjerenje puno pogodnija jedinica fluks, F ,

F “L

4πr2, (3.1)

cija je mjerna jedinica W m2. Gledano pojmovima elektrodinamike, fluks je zapravo fizikana velicinakoja je pridijeljena Poyntingovom vektoru, S,

S “1

µ0

EˆB, (3.2)

dok bi snaga odgovarala integralu Poyntingovog vektora po prostornom kutu

L “

¿

S ¨ da “

¿

S ¨ n r2dΩ, (3.3)

gdje je n normala plohe po kojoj integriramo, u nasem slucaju sfere.Ako pak fluks raspodijelimo po prostornom kutu koji zauzima izvor kojeg vidimo na nebu, Ω,

dobivamo intenzitet I,dF “ I cos θ dΩ, (3.4)

17

18 POGLAVLJE 3. INTENZITET SVJETLOSTI I MAGNITUDE

gdje je θ kut kod kojim se objekt nalazi s obzirom na plohu promatranja. Mjerna jedinica intenzitetaje W m2 sr, gdje je sr, steradijan, mjerna jedinica prostornog kuta analogna radijanu, ali u dvijedimenzije. Uz intenzitet se veze jedan vazan teorem.

Teorem 3.1. Intenzitet je sacuvan duz svake linije u praznom prostoru.

Dokaz. Promotrimo sliku 3.1. Energija koja tece kroz povrsinu dA1 i koja zavrsava u plohi dA2 je

dE1 “ I1 cos θ1dA1dΩ1,

gdje je dΩ1 prostorni kut povrsine dA2 kako ga vidi opazac u centru dA1

dΩ1 “cos θ2dA2

r2.

Analogno vrijedi

dE2 “ I2 cos θ2dA2dΩ2,

dΩ2 “cos θ1dA1

r2.

Buduci da je izmedu ove dvije povrsine vakuum, energija je sacuvana

r

θ1 θ2

dA1

dA2

Slika 3.1: Intenzitet i dvije povrsine.

dE1 “ dE2,

iz cega slijedi

I1 cos θ1 cos θ2dA1dA2dΩ1dΩ2 “ I2 cos θ1 cos θ2dA1dA2dΩ1dΩ2,

odnosno

I1 “ I2.

2

Luminozitet, fluks i intenzitet ne ovise u frekvenciji svjetlosti i ukljucuju informacije iz cijelogspektra. Bitno je naglasiti da fizikalni fenomeni koje zelimo promatrati ovise o frekvenciji svjetlosti,tako da ove ukupne velicine u praksi nisu jednostavno mjerljive i cesto se mogu numericki izracunatiako se poznaju njihove vrijednosti na nekim odredenim frekvencijama. Kako bi se istaknulo da seradi o ukupnom zracenju po svim frekvencijama, cesto se za njih kaze da su to bolometrijske velicine.

3.2. ZRACENJE I FIZIKALNE VELICINE 19

Tablica 3.1: Fizikalne velicine za zracenje.

Ime Oznaka Mjerna jedinica Definicija

Luminozitet L W dE “ LdtFluks F W m´2 dE “ FdtdA

Intenzitet I W m´2 sr´1 dE “ I cos θdtdAdΩSpektralni Luminozitet Lλ W nm´1 dE “ LλdtdλSpektralni Luminozitet Lν W Hz´1 dE “ Lνdtdν

Gustoca fluksa Fλ W m´2 nm´1 dE “ FλdtdAdλGustoca fluksa Fν W m´2 Hz´1 dE “ FνdtdAdν

Specificni intenzitet Iλ W m´2 sr´1 nm´1 dE “ Iλ cos θdtdAdΩdλSpecificni intenzitet Iν W m´2 sr´1 Hz´1 dE “ Iν cos θdtdAdΩdν

U praksi mjerimo zracenje na odredenoj frekvenciji, sto nas dovodi do definicije spektralne snage,odnosno spektralnog luminoziteta. Njega mozemo izraziti ili po valnoj duljini, Lλ, ili po frekven-ciji Lν , a one su povezane na jednostavan nacin

dL “ Lλdλ “ Lνdν, (3.5)

s mjernim jedinicama W nm, odnosno W Hz. Iz jednadzbe (3.5) vidimo da je konverzija medunjima dana s

dλ “ ´cν2 dν, (3.6)

na sto trebamo paziti prilikom koristenja velicina ovisnima o frekvenciji ili valnoj duljini, jer se,statisticki receno, radi o distribucijama definiranima preko integrala izraza (3.5).

Analogno definiramo gustocu fluksa/monokromatski fluks

dF “ Fλdλ “ Fνdν, (3.7)

s mjernim jedinicama W m2 nm, odnosnoW m2 Hz. Cesto je za monokromatski fluks pogod-nija jedinica Jansky, 1 Jy “ 10´26 W m2Hz. Postoji i specificni intenzitet, Iλ [W m2 nmsr],odnosno Iν [W m2 Hzsr], definiran s

dI “ Iλdλ “ Iνdν. (3.8)

Teorem o sacuvanju intenziteta mozemo poopciti i na specificni intenzitet, uvrstavajuci

dE1 “ Iν1 cos θ1dνdA1dΩ1 “ Iλ1 cos θ1dλdA1dΩ1. (3.9)

Specificni intenzitet je vazan jer je uz njega vezana Planckova funkcija

Bλ “2hc2

λ51

e´hcλkT ´ 1

, (3.10)

Bν “2hν3

c21

e´hνkT ´ 1

, (3.11)

koja opisuje specificni intenzitet crnog tijela. U tablici (3.1) dan je pregled fizikalnih velicina. Usljedecem odlomku uvodimo pojam magnitude, kao mjere sjaja objekta. Ona moze biti vezana zabilo koju od gore navedenih fizikalnih velicina.


Tablica 3.2: Magnitude nekih objekata.

Objekt Prividna magnituda Udaljenost Apsolutna magnituda

Sunce ´26.74 1 AU 4.83Puni Mjesec ´12.74 „ 380 Mm 31.8

Sirius ´1.46 2.64 pc 1.4Vega 0.03 7.7 pc 0.58ρ Cas 4.1 do 6.2 2.5 kpc ´9.5

3.2.2 Magnitude

Sjaj nekog objekta mozemo prikadnije izraziti u logaritamskoj skali. Za pocetak, definirajmo pri-vidnu magnitudu kao omjer fluksa objekta i nekog referentnog objekta s fluksom F0 kojemu pri-djeljujemo magnitudu m0

m´m0 “ ´2.5 logF

F0

(3.12)

Iako se cesto ne pise, ovako definirana magnituda je bolometrijska magnituda, mbol a precizna defi-nicija ukljucuje informaciju u valnoj duljini, odnosno frekvenciji

mλ ´mλ0 “ ´2.5 logFλFλ0

, (3.13)

Magnituda je vrlo stara jedinica, a cudni faktor ´2.5 je povezan s time kako nase oci vide omjereflukseva. Ako se zeli naglasiti da se radi o magnitudi kakvu vidimo glim okom, koristi se nazivvizualna magnituda, mV . Bolometrijsku magnitudu mozemo izracunati ako znako kako korigirativizualnu magnitudu, a to se radi ako znamo bolometrijsku korekciju BC

BC “ mbol ´mV . (3.14)

Magnitudu mozemo povezati i s luminozitetom, cime dobivamo apsolutnu magnitudu, M . Onaje magnituda koju bi objekt imao da se nalazi na udaljenosti od 10 pc

m´M “ ´2.5 logF

F10 pc

“ ´2.5 log

ˆ

10 pc

d

˙2

“ 5 logd

10 pc. (3.15)

Izraz m ´M se naziva modul udaljenost jer ako nekako uspijemo izracunati prividnu i apsolutnumagnitudu, udaljenost je lako naci invertiranjem izraza (3.15)

drpcs “ 10m´M`5

5 . (3.16)

Treba napomenuti da je bolometrijska korekcija ”slijepa” na to koristimo li prividne ili apsolutnemagnitude,

BC “ mbol ´ V “Mbol ´MV , (3.17)

sto je jako bitna informacija jer je udaljenosti tesko mjeriti. Za dobivanje boljeg osjecaja za magni-tude, moze se pogledati tablica (3.2). Sjajniji objekti imaju brojcano manju magnitudu, a najtamnijiobjekt vidljiv golim okom ima m “ 6´ 7 (ovisno o osobi i uvjetima opazanja).

3.2. ZRACENJE I FIZIKALNE VELICINE 21

3.2.3 Detektori i indeksi boje

Buduci da Svemir vise ne promatramo golim okom kao primarnim instrumentom, moramo nekakookarakterizirati njegovu osjetljivost u ovisnosti o frekvenciji. To radimo uvodeci funkciju osjetljivosti,Spλq, a najjednostavniji sustav sa tri filtera zove se Johnsonov sustav (slika (3.2)). Ovaj sistem sesastoji od 3 filtera, U za ultraljubicasti, B za plavi dio spektra i V za vidljivi dio spektra. Fizikalnonam je zanimljiva razlika magnituda izmjerenih svakim od ovih filtera te stoga uvodima indeks boje,npr. U ´B

U ´B “ ´2.5 log

8ş

0

FλSUpλq dλ

8ş

0

FλSBpλq dλ

` ZPU,B, (3.18)

gdje su ZP zero-point korekcije (tablica 3.3). Buduci da se radi o istom objektu, indeks boje jeneovisan o udaljenosti, U ´B “MU ´MB.

Slika 3.2: Funkcije osjetljivosti za Johnsonov UBV sustav. Preuzeto iz [3]

Tablica 3.3: Zero-point vrijednosti za razlicite indekse boje. Preuzeto iz [4]


3.2.4 Prolazak svjetlosti kroz materiju

Zamislimo da imamo cilindar debljine dr koji je ispunjen materijalom koji moze i apsorbirati iemitirati svjetlost. Tada je promjena energije koja prolazi kroz dvije baze cilindra dana s (uz cos θ “1)

dE “ dIνdAdΩdt. (3.19)

Promjenu energije mozemo rastaviti na doprinos od apsorpcije i doprinos od emisije

dE “ ´dEabs ` dEem. (3.20)

Apsorpciju prikazimo opacitetom, κν , koji je proporcionalan s udarnim presjekom, i gustocom, ρ,

dEabs “ κνρdrIνdAdΩdt, (3.21)

a misiju funkcijom jνdEem “ jνdrdAdΩdt. (3.22)

Kombiniranjem (3.19)-(3.22), dobivamo

dIνdr

“ ´κνρIν ` jν . (3.23)

Ovu jednadzbu mozemo lakse zapisati uvodeci opticku dubinu dτ “ κνρdr, cime dolazimo do jed-nadzbe prijenosa zracenja

dIνdτ

“ ´Iν ` Sν , (3.24)

gdje smo uveli Sν “ jνκνρ, funkciju koja karakterizira izvor zracenja. U najjednostavnijem slucaju,imamo materijal koji ne emitira svjetlost, nego je samo apsorbira. Ovakvu pojavu zovemo ekstinkcija.Tada jednadzbu prijenosa zracenja mozemo jednostavno rijesiti

Iνpτq “ Iνp0qe´τν . (3.25)

Vidimo da materijal eksponencijalno smanjuje intenzitet te da dva materijala iste opticke dubineizazivaju jednako smanjenje sjaja. To znaci da su im i opacitet i debljine razlicite. Promjenamagnitude je onda mνpτq ´ mνp0q “ 2.5τν log e “ 1.086τν “ Aν , odnosno, objektu se magnitudapovecala za Aν .

3.3. ZADACI 23

3.3 Zadaci

Zadatak 3.1. Izvedite vezu izmedu kuta i udaljenosti u parsecima.

Rjesenje. Promotrimo sliku 3.3. Parsek je definiran kao udaljenost pod kojom se udaljenost Sunce-Zemlja vidi pod kutem od 1”. Polozaj Sunca oznacen je sa S, a Zemlje sa E. Njihova medusobnaudaljenost je 1 AU. Udaljenost Sunce-objekt D je oznacena sa d. Vrijedi relacija

d “1 AU

tan 1”« 648000

1 AU

π,

gdje smo kuteve preracunali u radijane i aproksimirali tangens za male kuteve. Buduci da i naj-bliza zvijezda (osim Sunca) ima paralaksu p ă 1”, ova relacija ce uvijek biti zadovoljena i vrijedijednostavna skala

drpcs “1

pr”s.

4

206265 AU

1 AU

C

d D12

Slika 3.3: Definicija parseka

Zadatak 3.2. Ako je udaljenost nama najblize zvijezde (osim Sunca) α Cen 1.325˘ 0.007 pc, kolikoje on udaljen u godinama svjetlosti i petametrima?

Rjesenje. Znamo da je 1 pc “ 3.262 ly “ 30.86 Pm, a buduci da je konverzija linearna, jednostavnodobivamo pogresku. Preracunato u svjetlosne godine, udaljenost α Cen je 4.32˘0.02 ly, a preracunatou metre, to je 40.9 ˘ 0.2 Pm. Iako relativna pogreska zvuci odlicno, 5h, pogreska je 200 Tm, to jevise od 1300 AU! Za usporedbu, heliopauza se nalazi na „ 100 AU, Sedna se krece u rasponu od70´900 AU, a najdalji poznati objekti u Oortovom oblaku krecu se na udaljenosti od„ 70000 AU. 4

Zadatak 3.3. Zasto prividna magnituda ima faktor 2.5?

Rjesenje. Dogovoreno je da magnitude ovise kao 5?

100 te vrijedi

F1F2 “ 10m2´m1

5 “ 2.512m2´m1 ,

logaritmiranjem dobivamo

pm2 ´m1qlog 100

5“ log

F1

F2

,

iz cega slijedi

m1 ´m2 “ ´2.5 logF1

F2

4


Zadatak 3.4. Izvedite izraz za ukupan sjaj visestrukih zvijezda. Primijenite ga na dvojnu zvijezduAlbrieo.

Rjesenje. Znamo da je ukupni fluks F “ř

i Fi. Buduci da je

FiF0

“ 2.512m0´mi ,

sumiranjem dobivamo2.512m0´m “

ÿ

i

2.512m0´mi ,

odnosno2.512´m “

ÿ

i

2.512´mi .

Albireo se sastoji od tri zvijezde magnituda 3.18, 5.82 i 5.09, sto za ukupnu magnitudu daje m “

2.93. 4

Zadatak 3.5. Povrsinski sjaj M42 je izmedu S “ 17´21 magarcsec2, izracunati ukupnu magnituduM42 ako se nalazi na 5 h 35 m, ´5 ˝ 231. Isto napraviti za NGC 1973/5/7 (5 h 35 m, ´4 ˝ 481).

Rjesenje. Izraz za ukupnu magnitudu mozemo poopciti

2.512´m “

ż

2.512´S cos δdαdδ.

Mozemo S aproksimirati jednom vrijednosti. Logaritmiranjem dobivamo

m “ S ´ log2.512 ppsin δ2 ´ sin δ1q∆αq .

Koristeci izraz za razliku sinusa i aproksimirajuci za male kuteve, dobivamo

m « S ´ 2.5 log pcos δ∆δ∆αq .

Na slici 3.4 vidimo povrsinski sjaj u poprecnom presjeku M42 . Pretpostavljajuci da je srednjidijametar « 201 i prosjecan povrsinski sjaj SM42 “ 20, dobivamo mM42 “ 4.6. Za NGC 1973/5/7, uzS « 21 i dijametar « 151, dobivamo m « 6.2. Ovo je blisko vrijednostima iz literature: 4.0, odnosno7.0.

Slika 3.4: Profil sjaja M42 i NGC 1973/5/7 [5].

4

3.3. ZADACI 25

Zadatak 3.6. Zvijezda Dubhe (α UMa) ima prividnu magnitudu 1.79 i paralaksu p “ 26.54 mas(mili-lucne sekunde). Odrediti joj apsolutnu magnitudu.

Rjesenje. Udaljenost u parsecima je povezana kao d “ 1p, sto pomocu

m´M “ 5 logd

10 pc

daje izraz

M “ m` 5´ 5 logd

1 pc“ m` 5` 5 log

`

prmass10´3˘

“ ´1.09.

Ovo je u skladu vrijednostima iz literature ´1.10˘ 0.04. 4

Zadatak 3.7. Sirius (α CMa, T “ 9970 K) ima sljedece magnitude U “ ´1.47, B “ ´1.43, iV “ ´1.44 i bolometrijsku korekciju BC “ ´0.09. Usporediti informacije koje daju indeksi boje svalnom duljinom maksimalnog zracenja koju daje Wienov zakon.

Rjesenje. Oduzimanjem dobivamo: U ´ B “ ´0.04 i B ´ V “ 0.01. Kako protumaciti ove brojke?magnituda ima obrnutu skalu pa sjajniji objekt ima brojcano manju magnitudu. Dakle, B ´ Vindeks boje nam govori da je zvijezda sjajnija u vidljivom dijelu spektra nego u plavom, ali namindeks U ´B govori da je ipak najsjajnija u ultraljubicastom. S druge strane, Wienov zakon daje

λmax “2.9 mm K

T rKs“ 291 nm,

sto je u ultraljubicastom dijelu spektra. Prividna bolometrijska magnituda je samo izraz mbol “

V `BC “ ´1.53 (bolometrijska korekcija je cesto negativna). 4

Zadatak 3.8. Sirius B (α CMa) je bijeli patuljak koji ima temperaturu od 25200 K, izracunati U´Bindeks boje i usporediti s izmjerenom vrijednoscu ako su poznate informacije: λeff,U “ 365 nm,∆λU “ 66 nm i λeff,B “ 445 nm, ∆λB “ 94 nm. (hck “ 0.0144 m K)

Rjesenje. Aproksimirajmo integrale u izrazu

U ´B “ ´2.5 log

8ş

0

FλSUpλq dλ

8ş

0

FλSBpλq dλ

` ZPU,B

s efektivnim sirinama. Dobivamo izraz

U ´B « ´2.5 logB365 nm∆λUB445 nm∆λB

` ZPU,B

Za U ´B dobivamo U ´B “ ´1.09, a za B ´ V “ ´0.47. Izmjerene su vrijednosti U ´B “ ´1.04i B ´ V “ ´0.03. Vidimo da ova aproksimacija nije uvijek zadovoljavajuca. 4

Zadatak 3.9. Kolika je gustoca fluksa Sunca na frekvenciji ν kada Sunce promatramo sa Zemlje?

Rjesenje. Kada gledamo sa Zemlje, prostorni kut Sunca je disk otvora θd

sin θd “Rdr,


gdje je Rd radijus Sunca, a r udaljenost Zemlje od Sunca. Integrirajmo specificni intenzitet poprostornom kutu po kojemu vidimo Sunce, uz pretpostavku da Sunce ne mijenja intenzitet po svojojpovrsini

Fν “

2πż

0

θdż

0

Iνpθ, φq cos θ sin θdθdφ “ πIν sin2 θd.

Fν “ πIνR2d

r2

Sto smo dalje od Sunca, to je fluks koji dolazi sa njega manji, odnosno davat ce manje Wm2 stosmo dalje od Sunca. Za Iν mozemo uzeti npr. Planckovu funkciju. 4

Zadaci za vjezbu

1. Zemlja se oko Sunca giba po elipsi, udaljenost do Sunca u najblizoj tocki (perihelu) je147.1 Gm, a udaljenost u najdaljoj tocki (afelu) je 152.1 Gm. Kolika je razlika u magnitudiSunca tijekom godine?

2. Luminozitet Sunca je 3.8 ˆ 1026 W. Izracunati fluks na povrsini Zemlje (rjesenje se zoveSolarna konstanta, « 1.36 kWm2).

3. Algol (β Per) je trojna zvijezda, magnituda: -0.07 (β Per Aa1), 2.9 (β Per Aa2) i 2.3 (βPer Ab). Izracunati njihovu ukupnu magnitudu.

4. Jedna od komponenti, β Per Aa1, ima temperaturu od 13000 K. Sto iz Wienovog zakonamozete reci o U ´ B indeksu boje ove zvijezde? Ako je paralaksa ovog trojnog sus-tava 36.27 mas, kolike su apsolutne magnitude njezinih komponenti te ukupna apsolutnamagnituda ovog sustava?

5. Zvijezda ima temperaturu od 42000 K. Odrediti joj U-B i B-V indekse boje i usporeditis izmjerenima (-1.19 i -0.33).

Detaljnije

M.S. Bessell, F. Castelli, & B. Plez: Model atmospheres broad-band colors, bolometric correcti-onsand temperature calibrations for O - M stars, 1998A&A...333..231B.Bradley W. Carroll & Dale A. Ostlie: An Introduction to Modern Astrophysics.

4. Zvijezde

4.1 Zvjezdane atmosfere

Od zvijezda nam je jedini vidljivi dio njihova atmosfera, a mnoge informacije mozemo izvuci koristecipoznavanje spektralnih linija, a njihove intenzitete povezujemo s brojem elektrona u pobudenomstanju i sa brojem ioniziranih atoma.

Zamislimo za pocetak da atom ima samo dva energetska nivoa E1 i E2, s pripadnim degeneraci-jama g1 i g2. Omjer broa atoma u stanjima 1 i 2 dan je Boltzmannovom jednadzbom

N1

N2

“g1g2e´

E1´E2kT . (4.1)

Ako opcenito imamo vise nivoa j “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , izraz mozemo zapisti pomocu particijske funkcije iukupnog broja atoma

Nj

N“gjZe´

EjkT . (4.2)

Ovo je samo polovica price, buduci da atomi generalno imaju odozgo ogranicen kontinuirani spektar,a ako elektron dobije energiju vecu od energije ionizacije atoma bez r elektrona, χr, biti ce izbacen izatoma, odnosno bit ce u kontinuiranom dijelu spektra. Energiju takvog kada je ionizirano r elektronaopisujemo s

Er “ χr `p2

2me

. (4.3)

Zamislimo da ioniziramo jos jedan elektron koji ima impuls p P rp, p ` dps, tada je omjer brojaelektrona dan s

dNr`1

Nr

“gr`1dg

gre´

ErkT , (4.4)

gdje je dg gustoca stanja

dg “ p2s` 1qdV d3p

h3. (4.5)

Spin elektrona je 12, a dV aproksimiramo s inverznom brojcanom gustocom elektrona, dV “ 1ne.Integriranjem po d3p dobivamo Sahinu jednadzbu

Nr`1

Nr

“gr`1gr

8πe´χrkT

neh3

ż

p2e´p2

2mekT dp “gr`1gr

2 p2πmekT q32

neh3e´

χrkT . (4.6)

Ovaj izraz mozemo zapisati i preko particijskih funkcija

Nr`1

Nr

“Zr`1Zr

2 p2πmekT q32

neh3e´

χrkT . (4.7)

27

28 POGLAVLJE 4. ZVIJEZDE

4.2 Jednadzbe zvjezdane strukture

4.2.1 Hidrostatska ravnoteza

Zvijezdu za pocetak mozemo gledati kao kuglu fluida odredene gustoce. Opcenito za kuglu vrijedida je diferencijal mase dan s

dm “ ρpr,ΩqdrdA, (4.8)

gdje je dr diferencijal radijalne koordinate, dA diferencijal povrsine, a Ω prostorni kut. Pojednostavitcemo model pretpostavljajuci sfernu simetriju, ρpr,Ωq “ ρprq. Uz ovu pretpostavku odmah vidimoprvu jednadzbu koja opisuje strukturu zvijezde

dm

dr“ 4πr2ρprq, (4.9)

a njezin integral daje masu do nekog odredenog radijusa

Mprq “

rż

0

4πr12ρpr1qdr1. (4.10)

Na dm djeluje gravitacijska sila, a ako orijentiramo koordinatni sustav tako da je smjer r pozitivnaos, znamo da je diferencijal gravitacijske sile jednak

dFg “ ´GMprqdm

r2. (4.11)

S druge strane, gravitacijskoj se sili mora usprotiviti sila nastala zbog postojanja gradijenta tlaka,dFp, inace bi se zvijezda urusila u samu sebe. Pri tome moramo paziti da ova sila ima smjer obrnutod smjera gradijenta tlaka,

dFp “ ´pP pr ` drq ´ P prqqdA “ ´dP

drdrdA. (4.12)

Opcenito je ukupna sila jednaka umnosku mase i akceleracije komadica dm

dm:r “ dFg ` dFp “ ´dP

drdrdA´

GMprqdm

r2. (4.13)

Ako ovu jednadzbu podijelimo sa drdA, dobivamo

ρ:r “ ´dP

dr´GMprqρ

r2. (4.14)

Pretpostavimo da zvijezda ne mijenja svoj radijus, dakle ρ:r “ 0. U tom slucaju dosli smo dojednadzbe hidrostatske ravnoteze

dP

dr“ ´

GMprqρ

r2. (4.15)

U slucaju politropskog modela, mozemo na relativno jednostavan nacin izracunati tlak. Politropski semodel zasniva na ovisnosti P “ Kρ1`1n. Prebacivanjem r2 i ρ na lijevu stranu jednadzbe dobivamo

r2

ρ

dP

dr“ ´GM.

4.2. JEDNADZBE ZVJEZDANE STRUKTURE 29

Tablica 4.1: Rjesenja Lane-Emdenove jednadzbe (Chandrasekhar, 1939).

n ξ1 ´ξ21dθdξ

ˇ

ˇ

ˇ

ξ1ρCρ θ

0 2.4494 4.8988 1.0000 1´ ξ261 3.14159 3.14159 3.28987 sin ξξ

1.5 3.65375 2.71406 5.990712 4.35287 2.41105 11.402543 6.89685 2.01824 54.18254 14.97155 1.79723 622.408

4.5 31.8365 1.73780 6189.475 8 1.73205 8 p1´ ξ23q´12

Derivirajmo jos jednom po rd

dr

ˆ

r2

ρ

dP

dr

˙

“ ´4πGr2ρ.

Promijenimo ρ u povoljni oblik ρ “ ρCθn ñ P “ Kρ

1`1nC θn`1

1

r2d

dr

ˆ

r2

ρCθnPCpn` 1qθn

dθ

dr

˙

“ ´4πGρCθn.

Konstanti se mozemo rijesiti uvodeci parametar

r2n “pn` 1qPC

4πGρ2C

pomocu kojeg dobivamo1

r2d

dr

ˆ

r2r2ndθ

dr

˙

“ ´θn.

Jednadzba je skoro gotova. Jedino trebamo izabrati povoljno skaliranje radijalne koordinate r “ ξrniz cega slijedi

1

ξ2d

dξ

ˆ

ξ2dθ

dξ

˙

“ ´θn.

Buduci da je model analiticki rjesiv samo za mali broj vrijednosti n, moramo pronaci nacin kakoiz modela izvuci masu zvijezde i njen radijus. Buduci da ne ocekujemo da ce unutar zvijezde bilogdje tlak biti 0, kao radijus zvijezde mozemo staviti udaljenost ξ1 na kojoj tlak opada na 0. Iz ovogpodatka mozemo izracunati masu integrirajuci gustocu

M “ 4πr3n

ξ1ż

0

ξ2ρcθn dξ.

Ako u ovaj izraz uvrstimo Lane-Emdenovu jednadzbu, dobivamo

M “ ´4πr3nρCξ21

dθ

dξ

ˇ

ˇ

ˇ

ξ1. (4.16)

Neka rjesenja nalaze se u tablici 4.1. Iz tablice vidimo da smo se vec upoznali s jednim modelom,n “ 0.


4.2.2 Luminozitet

Luminozitet koji emitira komadic dm mozemo opisati jednom vrijednoscu, emisivnosti, ε, iz cegaslijedi

dL “ εdm. (4.17)

Uvrstavanjem jednadzbe (4.8), dobivamo jednadzbu koja opisuje kako se ponasa luminozitet

dL

dr“ 4πr2ρε. (4.18)

4.2.3 Idealni plin

Ako u zvijezdi vrijedi jednadzba stanja idealnog plina, znamo da je tlak plina jednak

Pg “ρkT

µmH

, (4.19)

gdje je mH masa vodika, a µ srednja molekulska tezina definirana izrazom

µ “xmy

mH

. (4.20)

U slucaju neutralnog plina, nema slobodnih elektrona pa relativne tezine kod usrednjavanja mozemoizraziti s brojcanim gustocama nj, (broj atoma u nekom volumenu jer usrednjujemo s brojem atomasvakog pojedinog elementa, a brojcanu gustocu dobivamo dijeleci taj broj s volumenom nj “ NjV )

µ “

ř

j

Ajnj

ř

j

nj, (4.21)

Ako Xj oznacimo maseni udio svake vrste atoma, a s Aj atomski broj, brojcana gustoca postaje

nj “ρXj

mHAj, (4.22)

pa srednju molekulsku tezinu mozemo izraziti kao

µ “

ř

j

Xj

ř

j

XjAj“

1ř

j

XjAj(4.23)

U Svemiru nisu svi elementi jednako zastupljeni te su stoga maseni udjeli vodika i helija dobiliposebne oznake XH Ñ X, XHe Ñ Y te sa Z srednji udio svih ostalih elemenata. U ovim oznakamaizraz (4.23) postaje

µ “1

X ` Y4` Zx 1

Ajy. (4.24)

Ako je plin u potpunosti ioniziran, u izraz (4.21) moramo uvrstiti i brojcanu gustocu elektrona

µ “

ř

j

mjnj `mene

ř

j

nj ` ne, (4.25)

4.2. JEDNADZBE ZVJEZDANE STRUKTURE 31

ali buduci da je masa elektrona zanemarivo mala naspram mase bilo kojeg atoma, mene u brojnikumozemo zanemariti. Treba pripaziti da ne u nazivniku nije zanemariv i mozemo ga izraziti prekoprotonskog broja svake vrste atoma, Zj

µ “1

ř

j

XjAj `ř

j

XjZjAj“

1ř

j

XjAjp1` Zjq. (4.26)

Uvrstavanjem dobivamo

µ “1

X ` 3Y4` Zx

ZjAjy. (4.27)

U prosjeku mozemo reci da je protonski broj pola atomskog broja, pomocu cega dobivamo

µ “1

X ` 3Y4` Z

2

. (4.28)

Za Sunce vrijedi X “ 0.735, Y “ 0.249 te Z “ 0.016, iz cega dobivamo srednju molekulsku tezinu zaneutralan plin µn “ 1.3, a za potpuno ionizirani plin µi “ 0.6, te vidimo da su ove vrijednosti bliske.

4.2.4 Temperatura

Ako imamo samo zracenje i materijal apsorptivnosi κ, mozemo iskoristiti jednadzbu prijenosa zracenja

dL

drdA“ κρ

L

rπr2. (4.29)

S druge strane, znamo da je tlak zracenja jednak Pr “4σ3cT 4, a deriviranjem uz zamjenu dr “ cdt,

imamo jednadzbu temperaturnog gradijenta

dT

dr“

3κρ

4σT 3

L

4πr2. (4.30)

U ovoj se jednadzbi cesto Stefan-Boltzmannova konstanta zamjenjuje sa a “ 4σc.U slucaju adijabatske konvekcije, postoji i drugi izvor temperaturnog gradijenta. Promotrimo

vruci mjehuric koji se adijabatski siri. Jednadzba stanja idealnog plina je P “ ρkT µmH . Derivi-rajmo ovu jednadzbu po r pazeci na to da u jednadzbi stanja idealnog plina tlak ne ovisi eksplicitnoo r, P prq Ñ P pρprq, T prq, µprqq

dP

dr“

kT

µmH

dρ

dr`

kρ

µmH

dT

dr´

kTρ

µ2mH

dµ

dr. (4.31)

Ponovnim uvrstavanjem jednadzbe idealnog plina, dobivamo

d lnP

dr“

d ln ρ

dr`

d lnT

dr´

d lnµ

dr. (4.32)

Ako pretpostavimo da je µ konstanta za zvijezdu, uvrstavanjem derivirane jednadzbe za adija-batsku ekspanziju

dP

dr“ P

γ

ρ

dρ

dr(4.33)

dobivamoP

T

ˆ

dT

dr

˙

ad

“P

ρ

dρ

drpγ ´ 1q “

ˆ

1´1

γ

˙

dP

dr. (4.34)

Ako u dobiveni izraz uvrstimo jednadzbu hidrostatske ravnoteze, dobivamo trazeni izrazˆ

dT

dr

˙

ad

“ ´

ˆ

1´1

γ

˙

µmH

k

GMr

r2. (4.35)


4.2.5 Kriterij adijabatske konvekcije

Sila uzgona ovisi o gustoci mjehurica m i okolnog medija, s kao ´gpρm ´ ρsq, uvjet da mjehuric nepada je ρm ă ρs. Kada je mjehuric gusci od okoline, on pada i konvekcija prestaje. Zamislimo da semjehuric uzdize iz pozicije i na poziciju f . Razvijmo gustoce u Taylorove redove

ρmf “ ρmi ` 9ρmdr (4.36)

ρsf “ ρsi ` 9ρsdr (4.37)

S lijeve strane iskoristimo jednadzbu (4.33), a s desne jednadzbu (4.32)

ρmPm

9Pm ăρsPs

ˆ

9Ps ´PsTs

9Ts

˙

. (4.38)

Tlakovi i derivacije tlakova su iste u mjehuricu i izvan njega te slijedi

ρm9P

γă ρs

ˆ

9P ´P

T9Ts

˙

. (4.39)

Iskoristimo li uvjet ρm ă ρs, dobivamo

9P

γă 9P ´

P

T9Ts, (4.40)

odnosno

9Ts “ 9Tp ă

ˆ

1´1

γ

˙

T 9P

P“ 9Tad. (4.41)

Ovu jednadzbu mozemo ekvivalentno izraziti preko derivacija logaritama (γ ą 1)

d lnP

d lnTă

γ

γ ´ 1. (4.42)

Za idealni plin γ “ CpCV “ 53, sto daje uvjet konvekcije

d lnP

d lnTă

5

2(4.43)

U literaturi se ovaj izraz cesto nalazi u obliku u kojemu se koristi pokrata

∇ad “γ ´ 1

γ. (4.44)

4.3 Degenerirani plin

Ideja je da je energija plina manja od fermijeve energije. Brojevna gustoca elektrona je umnozakbroja elektrona po nukleonu, ZA, i broja nukleona po volumenu iz cega slijedi

ne “Z

A

ρ

mH

Iz statisticke fizike znamo izraz za Fermijevu energiju,

εF “h2

2me

`

3π2ne˘23

.

4.4. NUKLEARNE REAKCIJE 33

Uvjet je3

2kT ă εF ,

odnosno,T

ρ23ă 1261 Km2kg´23.

Za jezgru Sunca vrijedi TC “ 1.57 MK, ρC “ 1.527ˆ 105 kgm´3, sto daje

T

ρ23“ 5500 Km2kg´23 ą 1261 Km2kg´23.

4.4 Nuklearne reakcije

Ako sudarimo 2 protona, jedan ce od njih postati neutron. Buduci da je naboj u procesu sacuvan,kao produkt mora nastati i cestica pozitivnog naboja, pozitron e`. Ali to nije sve! Poznat je josjedan podatak: leptonski broj (elektron, mion, tau i pripadni im neutrini) je sacuvan. Elektron imaleptonski broj +1, pozitron -1, neutrino +1, antineutrino -1. Kako u sudaru dva protona nemamoleptone, kombinacija e` ` νe ce zadovoljiti i sacuvanje naboja i leptonskog broja, prema tome

21H Ñ2 H` e` ` νe.

Sljedeca reakcija ide ispustanjem svjetlosti

2H`1 H Ñ3 He` γ.

Ovo su bile reakcije koje su zajednicke svim pp ciklusima. Najcesci nacin produkcije helija 4 je

23He Ñ4 He` 21H.

Ovaj je proces najjaci na niskim temperaturama i dogada vazan je za cijelu jezgru i ovime je komple-tiran ppI ciklus. U manjem broju slucajeva, nastanak dvije jezgre helija 4 ide pomocu jedne jezgrehelija 4

3He`4 He Ñ7 Be` γ.

Ovaj je proces zajednicki i ppII i ppIII ciklusima. Sljedeci ciklus, ppII, dogada se u vise od 99%slucajeva. Njegova prva reakcija je uhvat elektrona

7Be` e´ Ñ7 Li` γ,

a kompletiran je sudarom litija 7 s protonom

7Li`1 H Ñ 24He.

Vjerojatnost ovog procesa raste s temperaturom, a bitniji je u centru jezgre. Sljedeci je ppIII ciklus

7Be`1 H Ñ8 B` γ

8B Ñ8 Be` e` ` νe8Be Ñ 24He.

Za zvijezde masivnije od 1.5Md, u jezgrama se dogada CNO ciklus

12C ` 1H Ñ13N ` γ


13N Ñ13C ` e` ` νe

13C ` 1H Ñ14N ` γ

14N ` 1H Ñ15O ` γ

15O Ñ 15N ` e` ` νe15N ` 1H Ñ

12C ` 4He.

4.5 Spektralne klasifikacije i Hertzsprung-Russelov dijagram

Harvardska je klasifikacija temeljena na spektralnim linijama koje su najosjetljivije na temperaturuzvijezde.• Balmerove linije vodika: prijelaz sa n ą 2 u n “ 2 stanje. Numerirane su grckim slovima α,β,... u ovisnosti o visem stanju, npr.Hα 3´ 2, 656 nm (crvena)Hβ 4´ 2, 486 nm (plava)Hγ 5´ 2, 434 nm (ljubicasta)

• linije neutralnog helija (HeI)• linije zeljeza• linije kalcija. Poznat je dublet jednostruko ioniziranog kalcija (CaII):

H 396.8 nm (ljubicasta)K 393.3 nm (ljubicasta)

• Molekulske vrpce molekula poput CH, CN, TiO.Imena linija Hα, H, K i slicna su povijesne oznake prvog klasificiranog spektra Sunca (Fraunhofer,1814.). Zvijezde temperature iznad 30000 K nose oznaku O i imaju slabo izrazene vodikove linije.S druge strane klasifikacije su crvenkaste M zvijezde s temperaturom ispod 3700 K, one su ujedno inajzastupljenije.

Pomocu slike 4.1 mozemo opisati evoluciju svake od klasaO Visoka temperatura oko 30000 K, ima malo neutralnog vodika, spektar pun (visestruko) ioni-

ziranih linija (HeII, CIII, NIII, OIII). Linije HeI i HI su slabe. Primjer je Mintaka (δ Ori)B Temperatura iznad 10000 K. Nema HeII, javlja se HeI. Primjer je Rigel (β Ori)A Temperatura iznad 7500 K. Vise se ne vidi HeI, najjace su linije HI. Pocinju se javljati linije

kalcija (H i K) i neutralni metali. Primjer su Vega (α Ori) i Deneb (α Cyg).F Temperatura iznad 6000 K. Slabe linije HI, dok jacaju H i K linije kalcija i ostalih metala.

Primjer je Procyon A (α CMi).G Temperatura iznad 5200 K. Najjace linije kalcija H i K, jacaju i linije metala. Primjer je Sunce.K Temperatura iznad 3700 K. Spektar dominiran metalnim linijama, jake su H i K linije kalcija,

vodik HI se vise ne vidi. Primjer je α Cen B (zvijezda ciji se sustav od 3 zvijezde najbliziZemlji).

M Temperatura je iznad 2700 K. Jacaju TiO linije, jaka CaI linija. Neutralne metalne linije.Primjer je Betelgez.

Postoji i prosirenje ove skale do smedih patuljaka (klasa T) s jos nekoliko klasa. Klase se dijelena brojcane skupine. Npr M0 je najblizi K5 klasi. Iza ovih oznaka stavlja se klasa iz Yerkesoveklasifikacije.

Yerkesova (MKK) spektralna klasifikacija uvedena jer zvijezde iste efektivne temperature moguimati razlicite luminozitete. Luminozitet ovisi o gravitacijskom ubrzanju na povrsini zvijezde

g “GM

R2.

4.5. SPEKTRALNE KLASIFIKACIJE I HERTZSPRUNG-RUSSELOV DIJAGRAM 35

Slika 4.1: Jacine spektralnih linija za harvardsku klasifikaciju. Preuzeto iz [3].

Ako ovaj izraz podijelimo s podacima za Sunce i logaritmiramo, dobivamo

log g “ logM

Md

´ 2 logR

Rd` 4.473,

gdje je log gd “ 4.473 u c.g.s. sustavu.

I superdivovi (Ia su sjajniji, Ib manje sjajni). Primjer je γ Cyg. log g „ ´0.5II sjajni divovi. Primjer je Rasalgethi (α Her). log g „ 0.5

III normalni divovi. Primjer je Arktur (α Boo). log g „ 1.5IV poddivovi. Primjer je Procyon A. log g „ 3V zvijezde glavnog niza (patuljci). Primjer je Sunce i α Cen A. log g „ 4.5

HR dijagram je dijagram na kojemu je na x-osi npr. B-V indeks boje, a na y-osi apsolutnamagnituda. Teorijska varijanta je apsolutna temperatura na x-osi i LLd na y-osi. Paznja, ostemperature se izvrce tako da vece temperature budu s lijeve strane (negativni B-V). Buduci davrijedi Stefan-Boltzmannov zakon, vrijedi sljedeca relacija

L

Ld“

ˆ

R

Rd

˙2ˆT

Td

˙4

.

Ako dvije zvijezde imaju istu temperaturu, veci luminozitet ce imati ona koja ima veci radijus. Naslici 4.2 vidimo izrazen glavni niz (V u MKK) koji je malo ”nagnut” na liniju R “ Rd. Sliku mozemopovezati i sa log g, buduci da veci radijus znaci manji log g, MKK klase ce biti nanizane od V najnizedo I najvise.


Slika 4.2: HR dijagram. Preuzeto iz [3]. Slika 4.3: HR dijagram. Preuzeto iz [6].

4.6 Evolucija zvijezda

Za razvoj zvijezda koje se nalaze na donjem dijelu glavnoga niza (tj. M ă 1.5 Md), moramo pogledatisamo dva podrucja mase

x0.08,0.26y Md one su cijele konvektivne, sto znaci da je njihova cjelokupna zaliha vodikarasploziva za fuziju. One polako evoluiraju lijevo gore po HR dijagramu te zavrsavaju kaocjelokupna zvijezda helija, ali temperatura im nije dovoljna za gorenje helija.x0.26,1.5y Md Ovaj tip zvijezda ima radijativnu jezgru i konvektivni omotac.

Glavni niz Reakcije se odvijaju preko pp lanaca. Vodik se najvise trosi u centru jezgreSGB (Grana poddivova) Zvijezda izlazi s glavnog niza kada im je potrosen vodik ucentru jezgre, te ostaje u omotacu oko centra. Po HR dijagramu se u ovoj fazi krecehorizontalno udesno sve do Hayashijeve linije, kada krece prema gore.RGB (Grana crvenih divova) Plin helija postaje degeneriran, a temperatura jezgreim moze prijeci 100 MK, sto znaci da moze doci do fuzije helija. Dolazi do povecanjatemperature, ali se radijus jezgre ne mijenja jer se radi o degeneriranom plinu. Nekolikosekundi nakon pocetka fuzije, dogada se eksplozija - helijev bljesak, a vanjski dio zvijezdeju apsorbiraHB (Horizontalna grana) Nakon helijevog bljeska, plin prestaje biti degeneriran, a usredistu jezgre helij se pretvara u ugljik, uz omotace vodika i helija. Kada se helij potrosiu centru, gorenje se nastavlja u helijevom omotacu, a ostata zvijezde se siri, stvarajuciplanetarnu maglicuBijeli patuljak Jezgra zvijezde nakon nastanka planetarne maglice. Sastoji se preteznood helija, s tankim omotacem od vodika.

Za zvijezde na gornjem dijelu glavnog niza (tj. M ą 1.5 Md). moramo preciznije podijeliti HRdijagram

Glavni niz U ovome je tipu zvijezda CNO ciklus na glavnom nizu efikasniji od pp lanaca.Imaju konvektivnu jezgru, a ostatak zvijezde je radijativan. Zvijezda silazi s glavnog niza kadase potrosi vodik u jezgri.x1.5,2.6y Md

SGB (Grana poddivova) Zvijezda izlazi s glavnog niza kada im je potrosen vodik ucentru jezgre, te ostaje u omotacu oko centra. Po HR dijagramu se u ovoj fazi krece

4.6. EVOLUCIJA ZVIJEZDA 37

horizontalno udesno sve do Hayashijeve linije, kada krece prema gore.RGB (Grana crvenih divova) Plin helija postaje degeneriran, a temperatura jezgreim moze prijeci 100 MK, sto znaci da moze doci do fuzije helija. Dolazi do povecanjatemperature, ali se radijus jezgre ne mijenja jer se radi o degeneriranom plinu. Nekolikosekundi nakon pocetka fuzije, dogada se eksplozija - helijev bljesak, a vanjski dio zvijezdeju apsorbiraHB (Horizontalna grana) Nakon helijevog bljeska, plin prestaje biti degeneriran, a usredistu jezgre helij se pretvara u ugljik, uz omotace vodika i helija. Kada se helij potrosiu centru, gorenje se nastavlja u helijevom omotacu, a ostatak zvijezde se siri, stvarajuciplanetarnu maglicuBijeli patuljak Jezgra zvijezde nakon nastanka planetarne maglice. Sastoji se preteznood helija, s tankim omotacem od vodika.

ą 2.6 Md

SGB-RGB Jezgra helija nije degenerirana i on pocinje gorjeti bez promjena.HB (Horizontalna grana) Zvijezda se pomice opet prema visim temperaturama dokse ne potrosi helij u sredistu jezgre, kada se proces nastavlja u omotacu te zvijezda kreceprema nizim temperaturama do Hayashijeve linijeE-AGB (Rana grana asimptotskih crvenih divova) Zvijezda se penje uzduz Haya-shijeve linijeTP-AGB (Termalno pulsirajuci AGB) Helijev i vodikov omotac se naizmjenicno palei gase.x2.6,8y Md

Bijeli patuljak Zvijezde nemaju dovoljnu temperaturu da zapale ugljik/kisik koji senalaze u sredistu jezgre te postaju bijeli patuljci od ugljika/kisika

ą 8 Md

x8,15y Md

Ugljikov/kisikov bljesak Puno je jaci nego helijev bljesak, jezgra je takoderdegenerirana.

ą 15 Md

Nema bljeska Jezgra nije degenerirana, dogada se redom gorenje ugljika, silicija,... sve do zeljeza-56

Supernova


Tablica 4.2: Tipovi pulsirajucih promjenjivih zvijezda.

Tip Pmin Pmax Populacija

LPV 100 d 700 d I/IIKlasicne cefeide 1 d 50 d I

W Vir 2 d 45 d IIRR Lyr 1.5 h 24 h IIβ Cep 3 h 7 h Iδ Scut 1 h 3 h IZZ Cet 100 s 1 ks I

4.7 Promjenjive zvijezde

U HR dijagramu postoji podrucje nazvano traka nestabilnosti. Zvijezde u svom evolucijskom putumogu u nju uci i iz nje izaci. Najpoznatiji tip su klasicne cefeide, nazvane po δ Cep. Za njih vrijediveza izmedu apsolutne magnitude u V pojasu i perioda pulsacija, sto ih cini idealnim za odredivanjeudaljenosti

xMV y “ ´2.81 logP

rdans´ 1.43.

Ako koristimo opazanja golim okom, relacija ima oblik

xMvy “ p´2.43˘ 0.12q logP

rdans´ 1.62˘ 0.12.

W Virginis zvijezde su takoder cefeide, ali su 4 puta manje sjajne od obicnih cefeida te imaju manjakmetala (element rednog broja Z ě 3) te ih stoga svrstavamo u populaciju II [7].

xMV y “ ´2.35 logP

rdans´ 0.28.

Populaciji II pripadaju i RR Lyrae zvijezde, koje se nalaze na horizontalnoj grani, a nalazimo ih ukuglastim skupovima zvijezda. Tip δ Scuti su starije F zvijezde (blizu glavnog niza). Izvan trakenestabilnosti se nalaze ZZ Ceti zvijezde koje su pulsirajuci bijeli patuljci, te β Cephei zvijezde, kojeimaju vlastitu traku. LPV su promjenjive zvijezde dugog perioda promjene sjaja, vise od 100 dana,a primjer je zvijezda Mira (o Cet). Pregled pulsirajucih promjenjivih zvijezda moze se vidjeti na slici4.4 i tablici 4.2.

4.7. PROMJENJIVE ZVIJEZDE 39

Slika 4.4: Pregled pulsirajucih promjenjivih zvijezda. Posudeno iz [3].


Slika 4.5: Lijevi okvir:Omjer slobodnih elektrona naspram svih elektrona te omjer elektrona u pobudenomstanju naspram onih u osnovnom. Desni okvir: Omjeri ioniziranih atoma Helija.

4.8 Zadaci

Zadatak 4.1. Koliki je omjer broja atoma neutralnog vodika H I i ioniziranog vodika H II u ovis-nosti o temperaturi? Izvrijednite izraz na 10 kK.(ZI « gI “ 2, ZII « 1, χr “ 13.6 eV, n “ 1020 m´3)

Rjesenje. Uvrstavanjem particijskih funkcija dobivamo sljedeci izraz

NII

NI

“2ZIIZIne

ˆ

2πmekT

h2

˙32

e´χrkT “

1

neλ3the´χrkT , (4.45)

gdje smo iskoristili pokratu za termalnu valnu duljinu λth “`

2πmekTh2

˘´12. Kolika je brojevna gustoca

slobodnih elektrona, ne? Buduci da postoje samo 2 stupnja ionizacije, nII “ ne. Uz pokraten “ nI ` nII i x “ nen, dobivamo da je broj neioniziranih atoma jednak nI “ np1´ xq, te vrijedi

NII

NI

“xn

p1´ xqn“

1

nxλ3the´χrkT . (4.46)

Termalnu valnu duljinu mozemo izracunati, buduci da su nam u njoj znane sve konstante

λ´3th “ 2.4ˆ 1021T 32rKsm´3

“ 2.4ˆ 1015T 32rKs cm´3 (4.47)

te jednadzba postajex2

p1´ xq“

2.4ˆ 1021

nrm´3sT 32

rKse´11605χrreVs

T rKs . (4.48)

Na 10 kK, dobivamo x2p1 ´ xq « 4 te je x « 0.8. Na slici 4.5 vidimo kako se ponasa xpT q te brojelektrona u pobudenom stanju vodikovog atoma, xB “ n2pn1 ` n2q koji je dan Boltzmannovomjednadzbom

n2

n1

“g2g1e´11605χrreVs

T rKs pn´21 ´n´2

2 q. (4.49)

4

Zadatak 4.2. Zvijezda je sacinjena od helija. (ZI “ 1, ZII “ 2, ZIII “ 1, χI “ 24.6 eV, χ2 “

54.4 eV, n “ 1020 m´3). Odredite omjere pobudenja u ovisnosti o temperaturi.

4.8. ZADACI 41

Rjesenje. Omjere racunamo na isti nacin kao u proslom zadatku, ali moramo paziti da je ukupanbroj atoma jednak NI ` NII ` NIII , a da je ukupan broj ioniziranih jednak NII ` NIII , te je brojioniziranih dan s

NII `NIII

NI `NII `NIII

“ 1´1

1` NIINI

´

1` NIIINII

¯ . (4.50)

Rezultat je prikazan na slici 4.5. 4

Zadatak 4.3. Kako se Sahina jednadzba modificira ako je umjesto brojevne gustoce elektrona zadantlak?

Rjesenje. Elektronski tlak je zadan jednadzbom stanja idealnog plina

Pe “nekT

, (4.51)

te za gustocu dobivamo

ne “724ˆ PerPas1020m´3

T rKs. (4.52)

Sahina jednadzba postaje

Nr`1

Nr

“0.03

PerPas

2Zr`1Zr

T 52rKse

´11605χrreVsT rKs . (4.53)

4

Zadatak 4.4. Ako pretpostavimo da je gustoca unutar zvijezde konstantna izracunati ρ, raspodjelumase, tlaka i temperature unutar zvijezde. Izracunajte potencijalnu energiju zvijezde.

Rjesenje. Masu dobivamo jednostavnom integracijom

Mprq “ 4πρC

ż

ρ r2dr “4πρ

3r3.

Buduci da nam je za razliku od ρ, masa zvijezde poznat parametar, koristeci izraz MpRq “ Mdobivamo ρ

ρ “3M

4πR3. (4.54)

Tlak racunamo preko izraza

P prq ´ P0 “ ´G

ż

Mprqρprq

r2dr “ ´

2πGρ2r2

3. (4.55)

Koristeci uvjet da je tlak na povrsini zvijezde 0, dobivamo

PC “3

8

GM2

πR4. (4.56)

Uvrstavanjem (4.59) i (4.56) u (4.55) dobivamo

P prq “3

8

GM2

πR4

ˆ

1´´ r

R

¯2˙

.


Temperaturu o ovisnosti o radijusu dobivamo direktno iz jedadzbe stanja idealnog plina

T prq “GM

2R

µmH

k

ˆ

1´´ r

R

¯2˙

,

a uvrstavanjem r “ 0 dobivamo tlak u centru

TC “GM

2R

µmH

k.

Unutarnju energiju racunamo na jednostavan nacin

dU “ ´GMprqdm

r, (4.57)

U “ ´

Rż

0

GMprq

rρprq 4πr2dr “ ´

3

5

GM2

R. (4.58)

Sveukupno, vrijedi

Mprq “M´ r

R

¯3

P prq “ PC

ˆ

1´´ r

R

¯2˙

T prq “ TC

ˆ

1´´ r

R

¯2˙

.

U “ ´3

5

GM2

R.

Slika 4.6: Usporedba modela konstantne gustoce i linearnog modela

4

4.8. ZADACI 43

Zadatak 4.5. Ako pretpostavimo linearnu ovisnost gustoce unutar zvijezde o udaljenosti od sredista,

ρprq “ ρC

´

1´r

R

¯

,

izracunati ρC , raspodjelu mase, tlaka i temperature unutar zvijezde.

Rjesenje. Masu dobivamo jednostavnom integracijom

Mprq “ 4πρC

ż

´

1´r

R

¯

r2dr “4πρc

3r3ˆ

1´3

4

r

R

˙

.

Buduci da nam je za razliku od ρC , masa zvijezde poznat parametar, koristeci izraz MpRq “ Mdobivamo ρC

ρC “3M

πR3. (4.59)

Tlak racunamo preko izraza

P prq ´ P0 “ ´G

ż

Mprqρprq

r2dr “ ´

2Gρ2cπ

3r2ˆ

1´7

6

r

R`

3

8

´ r

R

¯2˙

. (4.60)

Koristeci uvjet da je tlak na povrsini zvijezde 0, dobivamo

PC “5

4

GM2

πR4. (4.61)

Uvrstavanjem (4.59) i (4.61) u (4.60) dobivamo

P prq “5

4

GM2

πR4

ˆ

1´24

5

´ r

R

¯2

`28

5

´ r

R

¯3

´9

5

´ r

R

¯4˙

.

Temperaturu o ovisnosti o radijusu dobivamo direktno iz jedadzbe stanja idealnog plina

T prq “5GM

12R

µmH

k

1´ 245

`

rR

˘2` 28

5

`

rR

˘3´ 9

5

`

rR

˘4

1´ rR

,

a uvrstavanjem r “ 0 dobivamo tlak u centru

TC “5GM

12R

µmH

k.

Odnosno, vrijedi

Mprq “M

ˆ

4´ r

R

¯3

´ 3´ r

R

¯4˙

P prq “ PC

ˆ

1´24

5

´ r

R

¯2

`28

5

´ r

R

¯3

´9

5

´ r

R

¯4˙

T prq “ TC1´ 24

5

`

rR

˘2` 28

5

`

rR

˘3´ 9

5

`

rR

˘4

1´ rR

.

Na slici 4.6 prikazana su rjesenja prosla dva zadatka. 4

Zadatak 4.6. Provjerite modele konstantne i linearne gustoce na konvenkcijsku stabilnost.


Slika 4.7: Konvektivni gradijent za model konstantne gustoce i linearni model.

Rjesenje. Za model konstantne gustoce, uz ξ “ rR, pisemo

T

P

dP

dT“T

P

dP dξ

dT dξ“ 1 ă 2.5

Ovaj model bi u sebi imao konvekciju kroz cijelu zvijezdu. Za linearni model najlakse je pisatiP prq “ αprqPC i T prq “ TCαp1´ ξq.

1

P

dP

dξ“PCPα1pξq “

ξ

5

`

´48` 84ξ ´ 36ξ2˘ 1

α“α1

α

Ovaj put je lakse logaritamski derivirati temperaturu

d lnT

dξ“

d lnα

dξ´

1

1´ ξ

d lnp1´ ξq

dξ.

Dijeljenjem dobivamoˇ

ˇ

ˇ

ˇ

d lnP

d lnT

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

α1

α1 ` α1´ξ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

.

Na slici 4.7 dan jeˇ

ˇ

d lnPd lnT

ˇ

ˇ za ove modele. U ovim smo modelima koristili jednadzbu stanja idealnogplina i potpuno zanemarili procese koji se dogadaju u zvijezdi. 4

Zadatak 4.7. Ako pretpostavimo da ukupnom tlaku P doprinosi i tlak zracenja Pr “ p1´ βqP

Rjesenje. Oznacimo li sa Pp tlak idealnog plina, dobivamo sustav jednadzbi

P “ Pp ` Pr

Pp “ βP

Pr “ p1´ βqP


Pr “1´ β

βPp,

4.8. ZADACI 45

odnosno1

3aT 4

“1´ β

β

ρkT

µmH

.

Mozemo izraziti temperaturu

T “

ˆ

3k

µmHa

1´ β

β

˙13

ρ13.

Buduci da je P “ Ppβ, dobivamo politropski model

P “ρkT

µmHβ“

ˆ

ρkT

µmHβ

˙43ˆ3

a

1´ β

β

˙13

ρ43 “ Kρ43

te iz γ “ 1` 1n dobivamo n “ 3. Iz izraza (4.16) mozemo izracunati K invertiranjem

K “ p4πq13M23 G

n` 1ρ13´1nC

1´

ξ21dθdξ

¯23. (4.62)

Usporedbom dobivamo izraz1´ β

β4“ 0.003µ4

ˆ

M

Md

˙2

.

Na slici 4.8 je prikazana ovisnost β o µ2MMd. Sa slike se vidi da je za Sunce β « 1. Za supermasivnezvijezde β je bliska 0 sto znaci da u supermasivnim zvijezdama dominira tlak zracenja.

Slika 4.8: Ovisnost β o µ i masi.

4

Zadatak 4.8. Odredite visinu kulonske barijere za reakciju 1H+1H i usporedite je s temperaturomSunceve jezgre 15 MK. Sto je s reakcijom 4He+4He?


Rjesenje. Kada se dogada neka reakcija? Dvije jezgre moraju savladati kulonsku barijeru

V “ 1.44Z1Z2

RrfmsMeV,

gdje je R njihova medusobna udaljenost. Mozemo zamisliti jezgre kao kugle koje se dodiruju. Buducida radijus jezgre mozemo aproksimativno izracunati kao 1.2A13 fm, njihova medusobna udaljenostce biti 1.2pA

131 ` A

132 q fm. Dobivamo da je visina kulonske barijere V “ 600 keV. Znajuci da

je k “ 8.617 ˆ 10´2 keVMK, dobivamo kT “ 1.3 keV. Dakle, iako direktni prijelaz Coulombovebarijere nije moguc jer smo u klasicno zabranjenom podrucju, tuneliranje je nezanemarivo. Zareakciju 4He+4He dobivamo 1.5 MeV, sto je ipak previsoko u odnosu na kT za odvijanje reakcije. Daje temperatura Sunceve jezgre desetak puta visa, ova reakcija bi vec mogla teci, iako joj je produktnestabilan. Sljedeci stabilan korak je sudar triju jezgri helija, 3α proces koji je moguc i dovodi do12C:

4He` 4Heô 8Be

8Be` 4HeÑ 12C ` γ.

4

Zadatak 4.9. Ako neutrini odnose 0.26 MeV energije, odredite koliko je energije oslobodeno u ppIprocesu.

Rjesenje. Energiju mjerimo razlikom Q “ př

prije´ř

poslijeqc2, za ppI proces dobivamo

reakcija QrMeVs21H Ñ2 H` e` ` νe 1.4422H`1 H Ñ3 He` γ 5.49323He Ñ4 He` 21H. 12.859

4

Zadatak 4.10. Procijenite nuklearnu vremensku skalu zvijezda ako se 7h energije oslobodi ppreakcijama, a u njih ude 10% mase vodika u zvijezdi.

Rjesenje. Vrijeme dobivamo kao energija/luminozitet, odnosno za Sunce imamo

tn “0.007ˆ 0.1mH, tot

L“

1.26ˆ 1044

3.8ˆ 1026s “ 1.05ˆ 1010god “ 10 Ggod.

Za druge zvijezde time dobivamo

tn “MMd

LLdˆ 10 Ggod.

Koristeci empirijsku relaciju, M „ L27, ovaj izraz mozemo pretvoriti u korisnu

tn “ pLLdq´57

ˆ 10 Ggod.

4

Zadatak 4.11. Klasificirajte spektar Procyona i Betelgez! Slika 4.9

4.8. ZADACI 47

Slika 4.9: Spektri nekih zvijezda. Preuzeto iz [8].

Rjesenje. Temperatura (efektivna) Procyona je „ 6500 K koja ovu zvijezdu svrstava temperaturnou F klasu. To mozemo vidjeti i iz spektralnih linija: prisutne su Balmerove linije, ali ima i linijametala. Uz masu Procyona M „ 1.5 Md i R „ 2 Rd dobivamo log g „ 4, sto ga svrstava u patuljke(prava oznaka je F5 IV–V)

Betelgez ima TiO u atmosferi, vidimo sa slike 4.1 da se on javlja tek od M kategorije, a i tem-peratura iz literature odgovara M klasi („ 3500 K). Uz masu Betelgeza „ 10 Md i R „ 1000 Rd,dobivamo log g „ ´0.5, sto ju stavlja u superdivove. (Njezin puni tip je M2Iab)

4

Zadatak 4.12. Pretpostavite da je zvijezda zavrsila kao neutronska zvijezda i da pritom nije izgubilana masi. Procijenite joj period rotacije ako je zvijezda imala period rotacije Ti.

Rjesenje. Angularni moment je sacuvan i vrijedi

IfT´1f “ IiT

´1i ,

gdje su I momenti inercije. Oni ovise kao „ R2, sto daje

Tf “

ˆ

Rf

Ri

˙2

Ti.

Za Betelgez, R “ 1000Rd “ 396 Gm; T “ 500 Ms te pretpostavimo da ce radijus neutronske zvijezdebiti „ 10 km. Dobivamo period rotacije „ 300 ns. 4

Zadatak 4.13. Na slici 4.10, prikazana je krivulja sjaja zvijezde δ Cep, mjerena u periodu od1.7.2015 do 1.8.2015. godine. Svaka okomita linija prikazuje raspon od 0.5 dana. Crvenom je linijomprikazana usrednjena krivulja za svaka dva dana. Izracunajte udaljenost do δ Cep i usporedite srezultatom paralakse, p “ 3.66˘ 0.15 mas [9].

Rjesenje. Sa slike mozemo procijeniti razmak izmedu dva maksimuma: 6, 4, 5.5, 6, 5 dana, sto uprosjeku daje

P “1

5

5ÿ

i“1

Pi “ 5.3,

MP “

g

f

f

e

1

5p5´ 1q

5ÿ

i“1

pPi ´ P q2 “ 0.4,


Slika 4.10: Krivulja sjaja zvijezde δ Cep. Izvor: AAVSO.

odnosno, procjena perioda je 5.3˘ 0.4 d, sto se slaze s vrijednostima iz literature, „ 5.37 d. Uz oblikMv “ a logP ` b, imamo da je pogreska magnitude

MMv “

d

plogPMaq2 `M2

b `

ˆ

aMP

P

˙2

“ 0.2,

sto dajeMv “ ´3.4˘ 0.2,

a ovaj je podatak blizak vrijednosti iz literature, ´3.47 ˘ 0.10. Sa slike mozemo takoder procijenitiprividnu magnitudu, mv “ 3.9 ˘ 0.1. Modul udaljenosti je m ´M “ 7.3 ˘ 0.2, sto daje udaljenostd “ 290 ˘ 30 pc. Ako uracunamo i korekciju zbog ekstikcije, AV „ 0.2, dobivamo iz krivulje sjajavrijednost 260˘ 20 pc. Ovaj je podatak blizak vrijednosti dobivenoj iz paralakse, 270˘ 10 pc. 4

Zadatak 4.14. Kuglasti skup ima radijus 40 pc te da se u njemu nalazi 100000 zvijezda slicnihSuncu. Pronadite prosjecnu brzinu zvijezda uz pretpostavku da je njihova prosjecna medusobnaudaljenost xdy “ 40 pc i odredite brzinu oslobadanja.

Rjesenje. Potencijalna energija sustava n zvijezda je potencijalna energija jedne zvijezde pomnozenas brojem parova

xUy “ ´Gm

xdy

ˆ

n2

˙

« ´Gmn2

2xdy, (4.63)

gdje je m masa zvijezde. S druge strane, srednja kineticka energija je

xKy “1

2mxv2yn, (4.64)

pa koristeci virijalni teorem xKy “ ´12xUy dobivamo da je prosjecna brzina

a

xv2y “

d

Gmn

2xdy“ 2.3 kms. (4.65)

4.8. ZADACI 49

S druge strane, brzina oslobadanja je

ve “

d

2Gmn

xdy“ 6 kms ą

a

xv2y. (4.66)

Iz ovoga se moze naslutiti da je ovaj sustav stabilan, jer zvijezde tesko mogu iz njega pobjeci.Naravno, ovo je cirkularni argument jer smo na pocetku pretpostavili da vrijedi virijalni teorem. 4

Zadatak 4.15. Dvojni sustav zvijezda ima period od P “ 8.6 god. Za vecu je zvijezdu izmjerenpomak Hα linije od ∆λ1 “ 6.8 pm, a za manju ∆λ2 “ 72 pm. Odredite im mase.

Rjesenje. Postavimo se u sustav centra mase

m1r1 `m2r2m1 `m2

“ 0,

iz cega slijedi, u apsolutnim iznosima,m1

m2

“r1r2

Ako pretpostavimo da im je brzina rotacije konstantna, imamo izraz koji povezuje radijalne brzine,a time i Dopplerov pomak

m1

m2

“v1rv2r

“∆λ1∆λ2

“ 10.6

Iz treceg Keplerovog zakona znamo (mase u masama Sunca, periodi u godinama, udaljenost u AU)

m1 `m2 “a3

P 2.

Moramo samo izracunati a. Pretpostavimo da je kut inklinacije 90˝, odnosno da im putanju vidimokao ravnu crtu. Tada mozemo a povezati s radijalnim brzinama

2πarms

P rss“ vr1 ` vr2 “

c

656 nmp∆λ1 `∆λ2q ,

sto daje a “ 10 AU, odnosno m1 `m2 “ 13.5 Md. Iz ovoga uvrstavanjem slijedi

m1 “ 1.3 Md

m2 “ 13.5 Md

4

Zadatak 4.16. Na slici 4.11 se nalaze HR dijagrami za 3 kuglasta skupa. Odrediti im starost.

Rjesenje. Koristeci poveznicu izmedu mase i luminoziteta, izveli smo

tn “ pLLdq´57

ˆ 10 Ggod.

Koristeci definiciju apsolutne magnitude

L

Ld“ 2.512Md´M ,

mozemo izracunati starosti ovih skupova ako odredimo tocku odvajanja s glavnog niza. Za M3 to jeM „ 4.2, a za M15 i M92 M „ 4, sto daje 1.79Ld za M3, odnosno 2.15Ld za ostale. Ovi podaci


daju starosti 6.6 Ggod za M3 i 5.6 Ggod. Vrijednosti izracunate u [10] su dvostruko vece, ali trebaimati na umu da je ovdje dana jednostavna varijanta ove metode.

Slika 4.11: HR dijagrami kuglastih skupova[10]

4

Zadaci za vjezbu

1. Odredite koliko je Ca atoma u Ca II osnovnom stanju za zvijezdu tipa Sunce (T “

5777 K) ako se prvo pobudeno stanje Ca II nalazi na 3.12 eV, a energija ionizacije kalcijaje 6.11 eV te je zadan elektronski tlak od 1.5Pa.

2. Provjerite sacuvanje naboja i leptonskog broja za pp procese.3. Provjerite sacuvanje naboja i leptonskog broja za CNO ciklus.4. Procijenite koliko traje nuklearna vremenska skala za Rigel ako je zadano 32 Md i 1.2ˆ

105 Ld.5. Rijesiti model konstantne gustoce ako je tlak na povrsini zvijezde P0

6. Rijesiti model gustoce ρ “ ρCp1´ prRqαq, α ą 0

7. Pokazati da se Lane-Emdenova jednadzba moze svesti na Poissonovu jednadzbu ∇2φ “4πGρ, gdje je φ “ ´GM

r.

8. Usporediti koju temperaturu u Sredistu Sunca daju modeli konstantne gustoce i linearnegustoce.

9. Izvedite izraz za srednju gustocu u politropskom modelu (ρ “ masavolumen). (Rjesenje3ρCξ1 pdθdξqξ1).

10. Pomocu definicije rnp“ Rq i izraza (4.62) pokazite da radijus zvijezde ovisi kao

R „Mn´1n´3 .

11. Procijenite gustocu i tlak u sredistu Sunca pomocu politropskog modela s n “ 3.12. Naci tlak u centru zvijezde za politropske modele iz tablice 4.1.

4.8. ZADACI 51

13. Klasificirajte spektar Rigela ako mu je masa 21 Md i radijus 79 Rd. (Podatak iz literature,B9V). Izvor: [8].

14. Opisite ukratko evoluciju Sunca. Sto je helijev bljesak?15. Sto je horizontalna grana? Koliku zvijezda mora imati masu da bi mogla imati horizon-

talnu granu u razvoju? Sto se dogada na njezinom desnom vrhu?16. Sto je Hayashijeva linija?17. Nacrtajte izgled (tj. koji element je gdje) jezgre mase 5 Md u razlicitim etapama njezina

zivota.18. Procijenite nalazi li se u bijelom patuljku u sustavu Sirius (α CMa B) degenerirani plin

(R “ 0.0084 Rd; M “ 0.978 Md; T “ 25000 K)19. Opisite razliku izmedu δ Cep i W Vir zvijezda. Sto su RR Lyr?20. Koje vrste promjenjivih zvijezda nastaju u traci nestabilnosti?

21. Na sljedecoj se slici nalazi krivulja sjaja cefeide η Aql. Izracunajte joj udaljenost.(Rjesenje: „ 400 pc)


Detaljnije

Bradley W. Carroll & Dale A. Ostlie: An Introduction to Modern Astrophysics.Hannu Karttunen, Pekka Kroger, Heikki Oja, Markku Poutanen & Karl Johan Donner: Fun-damental Astronomy.Rudolf Kippenhahn, Alfred Weigert & Achim Weiss: Stellar Structure and Evolution.

5. Galaksije

5.1 Meduzvjezdani medij

Meduzvjezdani medij cine plin i prasina koji se nalaze izmedu zvijezda. U ovom cemo se odjeljkubaviti njihovim utjecajem na sjaj objekta i popisati njihova svojstva.

5.1.1 Prasina i opticka dubina

Vec smo definirali opticku dubinu kao mjeru koliko je svjetlost objekta smanjena zbog prisutstvanekog materijala na putu izmedu objekta i nas. Promjenu opticke dubine na putu dr mozemoprikazati pomocu gustoce, ρ,

dτν “ κνρ dr, (5.1)

gdje je κν apsorpcijski koeficijent (opacitet) koji opisuje svojstvo materijala i ima mjernu jedinicucm2g. Njega smo mogli rastaviti na doprinos od apsorpcije i rasprsenja. Iz ovoga odmah vidimo daje opticka dubina bezdimenzionalna velicina. S druge strane, ovaj smo izraz mogli zapisati i prekobrojcane gustoce materijala, n, i udarnog presjeka, σ,

κνρ “ pQrasp `Qapsqnσ, (5.2)

gdje su Qrasp i Qaps efikasnosti procesa rasprsenja i apsorpcije. Integrirajuci jednadzbu 5.1, uzpretpostavku da n i Q ne ovise o r te da se materijal ne mijenja po sastavu,

τ “ Qnσr, (5.3)

vidimo da opticka dubina ovisi linearno o udaljenosti, a intenzitet svjetlosti ce se na tom putupromijeniti sa Ipτ “ 0q na Ipτq “ Ip0qe´τ . Iz ovoga vidimo da ce se prividna magnituda objektapovecati za vrijednost koju nazivamo ekstinkcija, A,

A ” mpτq ´mp0q “ ´2.5 lgIpτq

Ip0q“ 2.5 lg eτ “ 1.086τ. (5.4)

Vidimo da u slucaju postojanja prasine moramo modificirati formulu za modul udaljenosti

m´M “ 5 lg rr10 pcs ` A, (5.5)

kako bi dobili pravu vrijednost. Trumpler je 1930-tih pokazao da ekstinkcija ovisi linearno o uda-ljenosti, A “ ar, a lokalno konstanta a iznosi a « 2 magkpc. Na slici 5.1 prikazano je koliko semodificira modul udaljenosti ako ukljucimo informaciju o ekstinkciji te koliko bismo puta precijeniliudaljenost ako bismo pretpostavili a “ 0.

53

54 POGLAVLJE 5. GALAKSIJE

Slika 5.1: Utjecaj ekstinkcije na odredivanje udaljenosti objekta.

Kod odredivanja ekstinkcije zgodno je posluziti se indeksima boje. Razlika dvaju izmjerenihmagnituda, primjerice B i V filterom, jednaka je razlici njihovih apsolutnih magnituda i njihovihrazlici ekstinkcija

B ´ V “MB ´MV ` AB ´ AV “ pB ´ V q0 ` EB´V . (5.6)

Razlika EB´V “ AB´AV naziva se suvisak boje (color excess) i empirijski je povezana s ekstinkcijomu V pojasu

AV « 3EB´V . (5.7)

Indeks boje bez ekstinkcije, MB ´MV odredujemo iz spektra promatrane zvijezde, a B´V mjerimopomocu fotometrije, tako da suvisak boje mozemo lako odrediti. Dobro je sto onda ne moramo voditiracuna o udaljenosti, jer mjerimo ukupnu ekstinkciju na putu od nas do objekta, pa je korekcijamodula udaljenosti jednostavna mV ´MV “ 5 lg rr10 pcs ` AV .

5.1.2 Plin i prasina

Meduzvjezdani se plin sastoji pretezito od neutralnog i ioniziranog vodika, H I i H II, te moleku-larnog vodika H2 te u manjoj mjeri He, C, N , O, Si, i S. Brojcana gustoca plina je priblizno1 cm´3 a temperatura varira od 50-tak kelvina kod molekularnog vodika, stotinjak kelvina kod H Ipodrucja pa sve do desetak tisuca kelvina kod H II podrucja. U vidljivom dijelu spektra, vidimoapsorpcijske linije primjerice Ca I, Ca II, Na I, K I, CN , CH i CH`, u ultraljubicastom H2, CO iHD, dok (sub)milimetarskom podrucju vidimo linije molekula a u radio podrucju vidimo primjericeliniju vodika na 21 cm.

Meduzvjezdana prasina se sastoji pretezito od vodenog leda, silikata i grafita i ima dimenzijea P r0.1, 1sµm. Gustoca prasine je priblizno 10´13 cm´3 i nalazi se na temperaturama od desetakdo dvadesetak kelvina. Prasina dovodi do stvaranja dvaju vrsta maglica, refleksijskih kod kojih sesvjetlost zvijezde rasprsi na zrncima prasine i tamnih, kod kojih se svjetlost zvijezda apsorbira, a uspektru se moze vidjeti u infracrvenom.

5.2. MLIJECNI PUT 55

5.1.3 Jeansov kriterij

Svaki dovoljno masivni oblak plina i prasine ce se poceti urusavati pod vlastitom gravitacijom.Granicnu masu oblaka mozemo procijeniti dimenzionalnom analizom. Znamo da ona mora ovisiti otlaku plina, gravitacijskoj konstanti i gustoci plina.

M9P aGbρc, (5.8)

a kako znamo da masu mjerimo u kilogramima, dobivamo sustav jednadzbi

a´ b` c “ 1 (5.9)

´a` 3b´ 3c “ 0 (5.10)

´2a´ 2b “ 0, (5.11)

iz kojeg zakljucujemo da tzv. Jeansova masa, MJ ovisi kao

MJ9

ˆ

P

G

˙321

ρ2. (5.12)

Koristeci jednadzbu idealnog plina, dolazimo do izraza

MJ “ C

ˆ

kT

µmHG

˙321?ρ, (5.13)

gdje je C konstanta koju treba odrediti preko pravog izvoda, ali joj je vrijednost blizu jedinice imozemo je zanemariti. Ako pretpostavimo da je gustoca konstantna, radijus ovakvog oblaka mozemoprocijeniti kao

RJ “3

d

3

4π

MJ

ρ. (5.14)

5.2 Mlijecni put

Mlijecni put (MWG) je spiralna galaksija s preckom (bar). Spiralna se struktura moze podijelitina krakove, nazvane pretezito po imenima zvijezda u kojima se nalaze, gledano sa Zemlje. Kra-kovi su: Krak 3 kiloparseka (najblizi centralnom dijelu), Pravilo (Norma), Kriz-Stit (crux-Scutum),Kobilica-Strijelac (Carina-sagittarius), Orion-Labud (Orion-Cygnus) te Vanjski krak. Sunce se nalaziu Orionovom kraku. Na slici 5.2 se vide imena krakova.

Galakticki koordinatni sustav ima ishodiste u centru galaksije koji je od Sunca udaljen „ 8.5 kpc.Na slici 5.3 prikazan je prikaz sa strane. Vidimo da sam disk galaksije mozemo podijeliti na tankidisk, u kojemu se nalazi 95% svih zvijezda diska, i debeli disk.

Tanki disk se sastoji od dva dijela, mladi i stari. Mladi tanki disk je centralno podrucje galaktickogdiska visine (scale height) h „ 50 pc. Ova visina zapravo oznacava brojevnu gustocu zvijezda,npzq “ np0qe´zh. Plin se u galaksiji takoder nalazi blize centralnoj plohi diska, proteze se samo„ 100 pc od sredisnje ravnine. Buduci da se u ovom dijelu diska nalazi plin, u njemu se nalaze inajmlade zvijezde (populacija I). U tankom se disku takoder nalazi i Sunce, „ 30 pc od sredisnjeravnine diska. Stari tanki disk je visine h „ 325 pc i ima starije zvijezde od mladog tankog diska.Debeli disk ima visinu h „ 4.25kpc, a brojevna gustoca zvijezda mu je puno manja nego u tankomdisku. Takoder sadrzi puno starije zvijezde od tankog diska (ali ne onoliko stare kao u halou).


Disk se rotira brzinom „ 300 kms. Disk je okruzen zvjezdanim halo-om u kojemu se nalazekuglasti skupovi, blize disku su oni koji imaju veci udio metala, dalje oni koji su siromasni metalima.Takoder, postoji i veci halo, halo tamne tvari, koji se proteze vise stotina kiloparseka.

Molekularni se vodik nalazi pretezito unutar Sunceve orbite (3´8 kpc) i dolazi do visine h „ 90 pc,dok se atomski vodik proteze do ruba galaksije (3´ 25 kpc) i do visine „ 190 pc.

Oko Mlijecnog puta takoder kruze galaksije sateliti. Najpoznatiji su Veliki i Mali Magellanovoblak. Navedimo jos neke, nazvane prema zvijezdima u kojima se prividno nalaze: Veliki Medvjed I iII (Ursa Major), Mali Medvjed (Ursa Minor), Sekstant (Sextans), Strijelac (Sagittarius), Volar I-III(Bootes), Herkul, Lav I-V (Leo), Pec (Fornax), Lovacki psi I i II (Canes Venatici), Zmaj (Draco),Berenikina kosa (Coma Berenices), Ribe I i II (Pisces) [11].

Slika 5.2: Skica Mlijecnog puta. Izvor: NASA [12]

Slika 5.3: Skica Mlijecnog puta [13].

5.2.1 Oortove konstante

Ooortove konstante su konstante koje povezuju radijalnu i transverzalnu brzinu zvijezde u galaksijis udaljenosti zvijezde od Sunca, d, te kutom, l , izmedu centra galaksije i zvijezde.

l

α

R

dRd

Slika 5.4: Skica uz izvod Oortovih konstanti.

5.2. MLIJECNI PUT 57

Raspisimo brzinu pomocu kutne brzine i udaljenosti od centra galaksije Θprq “ rΩprq, gdje smos Ωprq uzeli u obzir diferencijalnu rotaciju galaksije. Sa slike 5.4 odmah vidimo

vr “ Θ cosα ´Θd sin l

vt “ Θ sinα ´Θd cos l.

Sinusov poucak dajesinpα ` π2q

Rd“

sin l

R

Rd sin l “ R cosα,

a pravokutni trokut sa slike daje

R sinα “ Rd ´ d.


vr “ pΩ´ ΩdqR cosα “ pΩ´ ΩdqRd sin l

vt “ ΩR sinα ´ ΩdR cosα “ pΩ´ ΩdqRd cos l ´ Ωd

Pretpostavljajuci da se Ωprq sporo mijenja

Ω´ Ωd “

ˆ

dω

dr

˙

d

pR ´Rdq “

ˆ

1

r

dΘ

dr´

Θ

r2

˙

d

pR ´Rdq “1

Rd

ˆ

dΘ

drpRdq ´

Θd

Rd

˙

.

Kosinusov se poucak uz aproksimaciju R ´Rd ăă d svodi na

R ´Rd “ ´d cos l.

Uvrstavanjem u izraze za radijalni i tangencijalni dio brzine dobivamo

vr “

ˆ

dΘ

drpRdq ´

Θd

Rd

˙ˆ

´d

2sin 2l

˙

vt “

ˆ

dΘ

drpRdq ´

Θd

Rd

˙ˆ

´d

2p1` cos 2lq

˙

.

Koristenjem pokrata

A “ ´1

2

ˆ

dΘ

drpRdq ´

Θd

Rd

˙

B “ ´1

2

ˆ

dΘ

drpRdq `

Θd

Rd

˙

µ “vtd

dolazimo do konacnih izraza

vr “ Ad sin 2l

µ “ A cos 2l `B

Vidimo da ce postojati ovisnost u obliku dvostruke sinusoide za radijalne brzine. Vrijednosti Oortovihkonstanti su A „ 14.8 kmskpc i B „ ´12.4 kmskpc. Komponente vr i vt prikazane su na slici 5.5.


Slika 5.5: Radijalna i tangencijalna brzina u ovisno o kutu l i udaljenosti od Sunca.

5.3 Hubbleova klasifikacija i svojstva galaksija

Hubbleova klasifikacija ugrubo dijeli galaksije na elipticne, spiralne, spiralne s preckom i nepravilne.Spiralne galaksije se dijele u dvije grupe, obicne (S) i spiralne s preckom (bar Ñ SB). Tipovi

S0-Sc imaju otvorene krakove dok kasniji tipovi Sd-Sm imaju zgusnute krakove. Takoder tipovi S0-Sc imaju malo mladih zvijezda i plina, dok tipovi Sd-Sm ih imaju znatno vise. Tip Sa je masivnijiod Sc, sadrzi vise starijih zvijezda i ima vecu maskimalnu brzinu rotacije. Disk se moze modeliratieksponencijalnim profilom povrsinskog sjaja (magasec2).

µprq “ µ0 ` 1.09 lgr

hr, (5.15)

dok se zadebljanje (bulge) opisuje de Vaucouleursovim profilom

µprq “ µe ` 8.3268 lgr

hr, (5.16)

gdje µe odgovara povrsinskom sjaju na efektivniom radijusu, re. Efektivni radijus je definiran takoda je pola sjaja unutar re,

reż

0

Irdrdφ “1

2

8ż

0

Irdrdφ. (5.17)

Ova dva profila mozemo generalizirati u Sersicov profil,

Iprq “ Iee´bnp

´

p rre q1n´1

¯

. (5.18)

Maksimalna radijalna brzina unutar galaksije povezana je empirijski s luminozitetom, tako dapoznajuci maksimalnu brzinu, mozemo odrediti udaljenost galaksije

M “ ´A lg vmax `B, (5.19)

5.4. ROTACIJSKE KRIVULJE GALAKSIJA I TAMNA TVAR 59

gdje je konstanta A « 10 i razlikuje se za S0, Sa, Sb i Sc galaksije. Ovo relacije se zove Tully-Fisherrelacija.

Elipticne galaksije se klasificiraju prema obliku (slika 5.6). Naravno, ako elipticnu galaksijupromatramo pod razlicitim kutevima, njezina klasifikacija ce se mijenjati. Svakoj elipticnoj galaksijise uz oznaku E pridjeljuje i broj 10ε gdje je

ε “ 1´β

α.

Nisu pronadene galaksije s oznakom vecom od E7. Elipticne galaksije imaju vrlo malo plina i prasinete se sastoje od starih zvijezda. Dobro se opisuju de Vaucouleursovim profilom. Za elipticne galaksijevrijedi slicna relacija Tully-Fisherovoj, Faber-Jackson relacija koja povezuje apsolutnu magnitudu idisperziju radijalnih brzina

M “ ´A lg σ `B. (5.20)

Slika 5.6: Izgled elipticnih galaksija (posudeno iz [3]).

5.4 Rotacijske krivulje galaksija i tamna tvar

Unutar odredenog radijusa, mozemo pretpostaviti da se galaksija giba kao kruto tijelo v9r. Za veceudaljenosti, sva je masa koncentrirana unutar putanje i vrijedi Mprq “M

mv2

r“GMm

r2(5.21)

v “?GMr´12,

ovakav tip rotacije se zove Keplerova rotacija. On je konzistentan sa sferom konstantne gustoce.Ako pogledamo sliku 5.7 na kojoj se nalaze mjerenja rotacijskih krivulja spiralnih galaksija, vidimoda mjerenja ne pokazuju Keplerovu rotaciju za velike udaljenosti od centra galaksije. Vidimo da zavelike udaljenosti brzina skoro pa ne ovisi o udaljenosti. Derivirajmo izraz 5.21

dM

dr“

1

G

ˆ

v2 ` 2rvdv

dr

˙

«v2

G.

Pretpostavljajuci sfernu simetriju, dolazimo do izraza

ρ “v2

4πGr2.

Dakle, iako vidimo samo galakticki disk, distribucija mase na velikim udaljenostima poprima sfernosimetricni oblik! Radi se o tamnoj materiji.


Slika 5.7: Rotacijske krivulje spiralnih galaksija (posudeno iz [3]).

5.5 Sirenje svemira i Hubbleov zakon

Hubble je pronasao ovisnost izmedu radijalnih brzina galaksija i njihove udaljenosti, x,

v “ Hx, (5.22)

gdje je velicina H (priblizno) konstanta dimenzije s´1. Obicno se Hubbleova konstanta, zbog razlikau razlicitim mjerenjima definira uz bezdimenzionalni parametar h « 0.7 kao H “ 100h kmsMpc.Cak i ne poznavajuci fiziku koja ju generira, mozemo izracunati Hubbleovo vrijeme, odnosno 1H “

1p100hqMpc skm „ 9.8hGyr « 14 Gyr, sto odgovara starosti Svemira. Kako stvoriti tako ovis-nost? Pretpostavimo da se svemir siri, odnosno da je udaljenost koju vidimo sada x, povezana sudaljenosti kakva je bila kad je svjetlost s objekta emitirana, xc (suputujuca udaljenost, comovingdistance), preko faktora skale ovisnog o vremenu, aptq,

xptq “ aptqxc. (5.23)

Pretpostavljajuci da se objekt u trenutku emitiranja nije gibao 9xc “ 0, izraz (5.23) mozemo deriviratipo vremenu

v “ 9axc “9a

ax “ Hptqx. (5.24)

Vidimo da smo dobili Hubbleov zakon. Mozemo pogledati kada je Hubbleova konstanta zapravokonstanta rjesavajuci jednadzbu

9a

a“ H, (5.25)

cije je rjesenje aptq “ apt0qeHt. Ona ukazuje na to da se Svemir siri eksponencijalno. Faktor skale

cesto normiramo na vrijednost danasnjeg trenutka, to, i time dobivamo

aptq “ eHpt´toq. (5.26)

5.5. SIRENJE SVEMIRA I HUBBLEOV ZAKON 61

S druge strane, znamo da brzinu mjerimo preko crvenog pomaka 1 ` z “ λeλo. Moze se pokazatida se energija i impuls cestice smanjuju s vecim faktorom skale, E „ 1a, te crveni pomak ovisi kao

1` z “aemitiranao

. (5.27)

Deriviranjem dobivamo

dz “ ´aeaptq2

9aptqdt. (5.28)

U slucaju eksponencijalnog sirenja, uz zpteq “ z, zptoq “ 0, dobivamo

zż

0

dz “ ´H

też

to

e´Hpt´teqdt “ e´Hpt´teq ´ 1, (5.29)

odnosno

to ´ te “1

Hlnp1` zq. (5.30)

Za male z vidimo da vrijedi veza izmedu udaljenosti, d i crvenog pomaka

cz “ Hd. (5.31)


5.6 Zadaci

Zadatak 5.1. Procijenite Jeansovu masu u modelu konstantne gustoce.

Rjesenje. Koristeci virijalni teorem, Ekin “ ´12U , dobivamo

3

2NkT “

3

2ˆ 5

GM2

R. (5.32)

U ovom izrazu, broj cestica mozemo izraziti preko mase

N “M

µmH

, (5.33)

a radijus preko gustoce

R “

ˆ

3

4π

M

ρ

˙13

. (5.34)


MJ “

ˆ

375

4π

˙12ˆM

µmHG

˙321?ρ« 5.4

ˆ

M

µmHG

˙321?ρ. (5.35)

Uvrstavanjem u izraz za Jeansov radijus, dobivamo

RJ “ 1.09

ˆ

kT

µmHρ

˙12

. (5.36)

4

Zadatak 5.2. Sunce se oko centra galaksije giba brzinom od Rd “ 220 km/s na udaljenosti odvd “ 8.5 kpc od sredista Mlijecne staze. Koliko mu vremena treba za jedan obilazak?

Rjesenje. Uvrstavanjem udaljenosti Rd i brzine vd dobivamo

T “2πRdvd

« 240 Mgod.

Usporedujuci ovaj podatak s dosadasnjim vremenom zivota Sunca, 5 Ggod, dolazimo do zakljuckada je Sunce u svome zivotu imalo 20 revolucija oko sredista galaksije. 4

Zadatak 5.3. Procijenite dio mase galaksije koji se nalazi unutar Sunceve putanje.

Rjesenje. Koriteci 3. Keplerov zakon (u jedinicama 1 AU, 1 godina, 1 Md)

T 2

R3“

4π2

Md `Mgal

,

dolazimo do mase od „ 1011 Md. 4

Zadatak 5.4. Odredite Oortove konstante za razlicite tipove rotacijse (kruto tijelo, Keplerova rota-cija, ravni profil) i usporedite ih s izmjerenim vrijednostima (A “ 14.8 kmskpc, B “ ´12.4 kmskpc).

5.6. ZADACI 63

Rjesenje. Oortove konstante dane su izrazima

A “ ´1

2

ˆ

dΘ

dR´

Θ

R

˙

, (5.37)

B “ ´1

2

ˆ

dΘ

dR`

Θ

R

˙

. (5.38)

Za kruto tijelo vrijedi ΘpRq “ ΩR, iz cega slijedi

A “ 0, (5.39)

B “ ´Ωd “ ´27.3 kmskpc. (5.40)

Za Keplerovu rotaciju vrijedi ΘpRq “a

GMr, a Ω je zadana jednadzbom ΩpRq “a

GMR3 tedobivamo

A “3

4Ωd “ 20.4 kmskpc, (5.41)

B “ ´1

4Ωd “ ´6.8 kmskpc. (5.42)

Za ravni rotacijski profil, promjena brzine po radijusu iscezava, dΘdR “ 0 i dobivamo

A “1

2Ωd “ 13.6 kmskpc, (5.43)

B “ ´1

2Ωd “ ´13.6 kmskpc. (5.44)

Vidimo da opazanjima najbolje odgovara ravni rotacijski profil. 4

Zadatak 5.5. Pretpostavljajuci da se tamna materija distribuira tako da joj je gustoca dana izrazom

ρ “1

4πG

V 2H

r2 ` a2θpR ´ rq

procijenite rotacijsku krivulju galaksije na velikim udaljenostima za koje vrijedi r ă R.

Rjesenje. Masa je dana s

Mprq “4πV 2

H

4πG

rż

0

r2

r2 ` a2dr.

Uvrstavanjem u 5.21, dobivamo

vprq “ VH

c

1´a

rarctan

r

a.

4

Zadatak 5.6. Plummerova sfera je dobar model kuglastih galaksija s potencijalom

φP “ ´GM

?r2 ` a2

.

Izracunajte gustocu mase galaksije. Ako galaksiju gledamo s velike udaljenosti, izracunajte njezinupovrsinsku gustocu.


Rjesenje. Poissonova jednadzba za gravitacijski potencijal u sferno simetricnom slucaju glasi

4πGρ “ ∇2φ “1

r2d

dr

ˆ

r2dφ

dr

˙

.

Deriviranjem dobivamo

ρP prq “3a2M

4π pr2 ` a2q52.

Povrsinsku gustocu dobivamo integrirajuci po z osi (duz dogledice)

ΣP pρq “

8ż

´8

3a2M

4π pρ2 ` z2 ` a2q52dz

Supstitucijom z “ bshξ, gdje je b2ρ2 ` a2, dobivamo

ΣP pρq “3a2M

4πb4

8ż

´8

dξ

ch4ξ.

Iz tablica integrala slijedi

8ż

´8

dξ

ch4ξ“

1

ξshξsech2ξ

ˇ

ˇ

8

´8`

2

3

8ż

´8

dξ

ch2ξ“

4

3

te dobivamo

ΣP pρq “a2M

π pρ2 ` a2q2.

4

Zadatak 5.7. Izvedite ukupni luminozitet Sersic profila.

Rjesenje. Luminozitet je integral

L “ 2π

8ż

0

Irdr. (5.45)

Uvrstavanjem intenziteta za Sersic profil

Iprq “ Ie10´25bnpprreq1n´1q, (5.46)

i koristenjem pokrata c “ 2bn ln 105 i u “ cprreq1n dobivamo

Ln “ 2πecnIer

2e

c2n

8ż

0

u2n´1e´udu “ecp2nq!

c2nπr2eIe. (5.47)

Za de Vaucouleursov profil dobivamoL “ 7.2πr2eIe. (5.48)

4

5.6. ZADACI 65

Zadatak 5.8. Pokazite da za de Vaucouleursov profil efektivni radijus odgovara polovici ukupnogsjaja.

Rjesenje. Koristeci pokrate iz proslog zadatka c “ 2ˆ 8.3268 ln 105 i u “ cprreq14, dobivamo

Lpreq “2nec

c2nπr2eIe

cż

0

u2n´1e´udu “2nec

c2nγp2n, cqπr2eIe, (5.49)

gdje je γ nepotpuna gamma funkcija. Uvrstavanjem dobivamo Lpreq “ L2 jer je 8γp8, cq8! « 0.5.4

Zadatak 5.9. Objasnite porijeklo Tully-Fisherove i Faber-Jacksonove relacije pretpostavljajuci daje omjer mase i luminoziteta konstantan.

Rjesenje. U spiralnim galaksijama smo izracunali brzinu u podrucju ravnog dijela radijalnog profilabrzina, vprq « vmax,

v2max “GM

r. (5.50)

Uvrstavajuci M “ c1L te pretpostavljajuci da je prosjecni intenzitet galaksija podjednak, L “

4πr2xIy “ c2r2, dobivamo

V 2max “

G?Lc1

?c2

, (5.51)

odnosnoL „ v4max. (5.52)

Buduci da znamo konverziju luminoziteta u magnitude, dobivamo

M “ ´10 lg vmax `B, (5.53)

sto je blizu izmjerenim vrijednostima. Za elipticne galaksije moramo koristiti virijalni teorem xKy “´12xUy. Ukupna kineticka energije, ako pretpostavimo da su sve zvijezde jednake mase m, je

K “m

2

ÿ

i

v2i “mN

2xv2y. (5.54)

Pretpostavljajuci da su sve komponente brzine jednako distribuirane, σ2 “ 3σ2r ,

xKy “3m

2σ2r , (5.55)

te da je srednja potencijalna energija

xUy “ ´3

5

Gm2

xry

NpN ´ 1q

2N, (5.56)

dobivamo, uz pretpostavke o masi i luminozitetu te intenzitetu, Faber-Jacksonovu relaciju

M “ ´10 lg σr `B. (5.57)

4


Zadaci za vjezbu

1. Pokazite da vrijede izraziΩd “ A´B

dΘ

drpRdq “ ´pA`Bq

2. Numericke simulacije tamne materije predvidaju NFW model gustoce tamne materije

ρNFW “ρ0

ra

`

1` ra

˘2 .

Izracunatje rotacijsku krivulju zvijezda na velikim udaljenostima. Izracunajte ukupnumasu tamne tvari u ovom modelu i komentirajte zasto bi u izraz trebali dodati thetafunkciju kod izracuna mase.

Detaljnije

Linda S. Sparke & John S. Gallagher III: Galaxies in the Universe:An Introduction

Dodaci

67

Bibliografija

[1] Gary Mechler. Planets and Their Moons. 1995.

[2] Vladis Vujnovic. Astronomija 1. 2005.

[3] Bradley W. Carroll and Dale A. Ostlie. An Introduction to Modern Astrophysics. AddisonWesley, 2007.

[4] M. S. Bessell, F. Castelli, and B. Plez. Model atmospheres broad-band colors, bolometric cor-rections and temperature calibrations for O-M stars. 1998A&A...333..231B.

[5] http://www.clarkvision.com/astro/surface-brightness-profiles/introduction.html.

[6] https://commons.wikimedia.org.

[7] J. D. Fernie. The period-luminosity relation for W Virginis stars. AJ, 69:258–261, 1964.

[8] http://zeus.colorado.edu/astr1040-toomre/Observatory nights/April 14 2014/

index.html.

[9] G. F. Benedict, B. E. McArthur, L. W. Fredrick, T. E. Harrison, C. L. Slesnick, J. Rhee, R. J.Patterson, M. F. Skrutskie, O. G. Franz, L. H. Wasserman, W. H. Jefferys, E. Nelan, W. vanAltena, P. J. Shelus, P. D. Hemenway, R. L. Duncombe, D. Story, A. L. Whipple, and A. J.Bradley. Astrometry with the Hubble Space Telescope: A Parallax of the Fundamental DistanceCalibrator δ Cephei. AJ, 124:1695–1705, September 2002.

[10] A. Sandage. Main-sequence photometry, color-magnitude diagrams, and ages for the globularclusters M3, M13, M15, and M92. ApJ, 162:841, December 1970.

[11] M. Ackermann, A. Albert, B. Anderson, L. Baldini, J. Ballet, G. Barbiellini, D. Bastieri, K. Bec-htol, R. Bellazzini, E. Bissaldi, E. D. Bloom, E. Bonamente, A. Bouvier, T. J. Brandt, J. Bre-geon, M. Brigida, P. Bruel, R. Buehler, S. Buson, G. A. Caliandro, R. A. Cameron, M. Caragiulo,P. A. Caraveo, C. Cecchi, E. Charles, A. Chekhtman, J. Chiang, S. Ciprini, R. Claus, J. Cohen-Tanugi, J. Conrad, F. D’Ammando, A. de Angelis, C. D. Dermer, S. W. Digel, E. do Coutoe Silva, P. S. Drell, A. Drlica-Wagner, R. Essig, C. Favuzzi, E. C. Ferrara, A. Franckowiak,Y. Fukazawa, S. Funk, P. Fusco, F. Gargano, D. Gasparrini, N. Giglietto, M. Giroletti, G. God-frey, G. A. Gomez-Vargas, I. A. Grenier, S. Guiriec, M. Gustafsson, M. Hayashida, E. Hays,J. Hewitt, R. E. Hughes, T. Jogler, T. Kamae, J. Knodlseder, D. Kocevski, M. Kuss, S. Larsson,L. Latronico, M. Llena Garde, F. Longo, F. Loparco, M. N. Lovellette, P. Lubrano, G. Martinez,M. Mayer, M. N. Mazziotta, P. F. Michelson, W. Mitthumsiri, T. Mizuno, A. A. Moiseev, M. E.Monzani, A. Morselli, I. V. Moskalenko, S. Murgia, R. Nemmen, E. Nuss, T. Ohsugi, E. Orlando,J. F. Ormes, J. S. Perkins, F. Piron, G. Pivato, T. A. Porter, S. Raino, R. Rando, M. Razzano,S. Razzaque, A. Reimer, O. Reimer, S. Ritz, M. Sanchez-Conde, N. Sehgal, C. Sgro, E. J. Si-skind, P. Spinelli, L. Strigari, D. J. Suson, H. Tajima, H. Takahashi, J. B. Thayer, L. Tibaldo,

69

http://www.clarkvision.com/astro/surface-brightness-profiles/introduction.html

https://commons.wikimedia.org

http://zeus.colorado.edu/astr1040-toomre/Observatory_nights/April_14_2014/index.html

http://zeus.colorado.edu/astr1040-toomre/Observatory_nights/April_14_2014/index.html

70 BIBLIOGRAFIJA

M. Tinivella, D. F. Torres, Y. Uchiyama, T. L. Usher, J. Vandenbroucke, G. Vianello, V. Vitale,M. Werner, B. L. Winer, K. S. Wood, M. Wood, G. Zaharijas, S. Zimmer, and Fermi-LATCollaboration. Dark matter constraints from observations of 25 MilkyA Way satellite galaxieswith the Fermi Large Area Telescope. Phys. Rev. D, 89(4):042001, February 2014.

[12] http://solarsystem.nasa.gov/galleries/milky-way-annotated.

[13] Linda S. Sparke and John S. Gallagher. Galaxies in the Universe: An Introduction.

http://solarsystem.nasa.gov/galleries/milky-way-annotated

vje zbe iz uvoda u astro ziku kre simir tisani cktisanic/ua/uvod-u-astrofiziku.pdf · vje zbe iz...

Documents