vjerojatnost i statistika - e-studente-student.fpz.hr/predmeti/v/vjerojatnost_i_statistika/...3...
TRANSCRIPT
Vjerojatnost i statistika
Bozidar Ivankovic
Ljeto, 2012, izvanredni
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ukratko
Kolegij ”Vjerojatnost i statistika” sastoji se od cetiri povezanapodrucja:
1 Kombinatorika
2 Vjerojatnost
3 Slucajne varijable
4 Statistika
Literatura:E. Kovac Striko, T. Fratrovic, B. Ivankovic: Vjerojatnosti statistika s primjerima iz tehnologije prometa
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ukratko
Kolegij ”Vjerojatnost i statistika” sastoji se od cetiri povezanapodrucja:
1 Kombinatorika
2 Vjerojatnost
3 Slucajne varijable
4 Statistika
Literatura:E. Kovac Striko, T. Fratrovic, B. Ivankovic: Vjerojatnosti statistika s primjerima iz tehnologije prometa
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ukratko
Kolegij ”Vjerojatnost i statistika” sastoji se od cetiri povezanapodrucja:
1 Kombinatorika
2 Vjerojatnost
3 Slucajne varijable
4 Statistika
Literatura:E. Kovac Striko, T. Fratrovic, B. Ivankovic: Vjerojatnosti statistika s primjerima iz tehnologije prometa
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ukratko
Kolegij ”Vjerojatnost i statistika” sastoji se od cetiri povezanapodrucja:
1 Kombinatorika
2 Vjerojatnost
3 Slucajne varijable
4 Statistika
Literatura:E. Kovac Striko, T. Fratrovic, B. Ivankovic: Vjerojatnosti statistika s primjerima iz tehnologije prometa
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ukratko
Kolegij ”Vjerojatnost i statistika” sastoji se od cetiri povezanapodrucja:
1 Kombinatorika
2 Vjerojatnost
3 Slucajne varijable
4 Statistika
Literatura:E. Kovac Striko, T. Fratrovic, B. Ivankovic: Vjerojatnosti statistika s primjerima iz tehnologije prometa
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ukratko
Kolegij ”Vjerojatnost i statistika” sastoji se od cetiri povezanapodrucja:
1 Kombinatorika
2 Vjerojatnost
3 Slucajne varijable
4 Statistika
Literatura:E. Kovac Striko, T. Fratrovic, B. Ivankovic: Vjerojatnosti statistika s primjerima iz tehnologije prometa
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ukratko
Kolegij ”Vjerojatnost i statistika” sastoji se od cetiri povezanapodrucja:
1 Kombinatorika
2 Vjerojatnost
3 Slucajne varijable
4 Statistika
Literatura:
E. Kovac Striko, T. Fratrovic, B. Ivankovic: Vjerojatnosti statistika s primjerima iz tehnologije prometa
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ukratko
Kolegij ”Vjerojatnost i statistika” sastoji se od cetiri povezanapodrucja:
1 Kombinatorika
2 Vjerojatnost
3 Slucajne varijable
4 Statistika
Literatura:E. Kovac Striko, T. Fratrovic, B. Ivankovic: Vjerojatnosti statistika s primjerima iz tehnologije prometa
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Rjesavanje ispita
1 Potpis:1 Domace zadace2 Aktivna prisutnost
2 Prolaz:1 Izvanredni pismeno-usmeni rok za prisutne2 Na redovnom roku najmanje dva boda iz pismenog.
3 Usmeni dio obavezan nakon prolaska pismenog
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Rjesavanje ispita
1 Potpis:
1 Domace zadace2 Aktivna prisutnost
2 Prolaz:1 Izvanredni pismeno-usmeni rok za prisutne2 Na redovnom roku najmanje dva boda iz pismenog.
3 Usmeni dio obavezan nakon prolaska pismenog
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Rjesavanje ispita
1 Potpis:1 Domace zadace
2 Aktivna prisutnost
2 Prolaz:1 Izvanredni pismeno-usmeni rok za prisutne2 Na redovnom roku najmanje dva boda iz pismenog.
3 Usmeni dio obavezan nakon prolaska pismenog
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Rjesavanje ispita
1 Potpis:1 Domace zadace2 Aktivna prisutnost
2 Prolaz:1 Izvanredni pismeno-usmeni rok za prisutne2 Na redovnom roku najmanje dva boda iz pismenog.
3 Usmeni dio obavezan nakon prolaska pismenog
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Rjesavanje ispita
1 Potpis:1 Domace zadace2 Aktivna prisutnost
2 Prolaz:
1 Izvanredni pismeno-usmeni rok za prisutne2 Na redovnom roku najmanje dva boda iz pismenog.
3 Usmeni dio obavezan nakon prolaska pismenog
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Rjesavanje ispita
1 Potpis:1 Domace zadace2 Aktivna prisutnost
2 Prolaz:1 Izvanredni pismeno-usmeni rok za prisutne
2 Na redovnom roku najmanje dva boda iz pismenog.
3 Usmeni dio obavezan nakon prolaska pismenog
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Rjesavanje ispita
1 Potpis:1 Domace zadace2 Aktivna prisutnost
2 Prolaz:1 Izvanredni pismeno-usmeni rok za prisutne2 Na redovnom roku najmanje dva boda iz pismenog.
3 Usmeni dio obavezan nakon prolaska pismenog
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Rjesavanje ispita
1 Potpis:1 Domace zadace2 Aktivna prisutnost
2 Prolaz:1 Izvanredni pismeno-usmeni rok za prisutne2 Na redovnom roku najmanje dva boda iz pismenog.
3 Usmeni dio obavezan nakon prolaska pismenog
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
KOMBINATORIKA
Teorem ( o uzastopnom prebrojavanju)
Neka se u uredenoj m-torki (a1, a2, . . . , am)
- prva komponenta a1 moze se birati na k1 razlicitih nacina,
- nakon vec odabrane komponente a1, druga komponentu a2
moze se izabrati na k2 razlicitih nacina,
...
- sve dok se nakon svih prethodnih, posljednja moze birati nakm razlicitih nacina,
Tada skup T svih uredenih m-torki (a1, a2, . . . , am) imak1 · k2 · · · km elemenata.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
KOMBINATORIKA
Teorem ( o uzastopnom prebrojavanju)
Neka se u uredenoj m-torki (a1, a2, . . . , am)
- prva komponenta a1 moze se birati na k1 razlicitih nacina,
- nakon vec odabrane komponente a1, druga komponentu a2
moze se izabrati na k2 razlicitih nacina,
...
- sve dok se nakon svih prethodnih, posljednja moze birati nakm razlicitih nacina,
Tada skup T svih uredenih m-torki (a1, a2, . . . , am) imak1 · k2 · · · km elemenata.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
KOMBINATORIKA
Teorem ( o uzastopnom prebrojavanju)
Neka se u uredenoj m-torki (a1, a2, . . . , am)
- prva komponenta a1 moze se birati na k1 razlicitih nacina,
- nakon vec odabrane komponente a1, druga komponentu a2
moze se izabrati na k2 razlicitih nacina,
...
- sve dok se nakon svih prethodnih, posljednja moze birati nakm razlicitih nacina,
Tada skup T svih uredenih m-torki (a1, a2, . . . , am) imak1 · k2 · · · km elemenata.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
KOMBINATORIKA
Teorem ( o uzastopnom prebrojavanju)
Neka se u uredenoj m-torki (a1, a2, . . . , am)
- prva komponenta a1 moze se birati na k1 razlicitih nacina,
- nakon vec odabrane komponente a1, druga komponentu a2
moze se izabrati na k2 razlicitih nacina,
...
- sve dok se nakon svih prethodnih, posljednja moze birati nakm razlicitih nacina,
Tada skup T svih uredenih m-torki (a1, a2, . . . , am) imak1 · k2 · · · km elemenata.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
KOMBINATORIKA
Teorem ( o uzastopnom prebrojavanju)
Neka se u uredenoj m-torki (a1, a2, . . . , am)
- prva komponenta a1 moze se birati na k1 razlicitih nacina,
- nakon vec odabrane komponente a1, druga komponentu a2
moze se izabrati na k2 razlicitih nacina,
...
- sve dok se nakon svih prethodnih, posljednja moze birati nakm razlicitih nacina,
Tada skup T svih uredenih m-torki (a1, a2, . . . , am) imak1 · k2 · · · km elemenata.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
KOMBINATORIKA
Teorem ( o uzastopnom prebrojavanju)
Neka se u uredenoj m-torki (a1, a2, . . . , am)
- prva komponenta a1 moze se birati na k1 razlicitih nacina,
- nakon vec odabrane komponente a1, druga komponentu a2
moze se izabrati na k2 razlicitih nacina,
...
- sve dok se nakon svih prethodnih, posljednja moze birati nakm razlicitih nacina,
Tada skup T svih uredenih m-torki (a1, a2, . . . , am) imak1 · k2 · · · km elemenata.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
KOMBINATORIKA
Teorem ( o uzastopnom prebrojavanju)
Neka se u uredenoj m-torki (a1, a2, . . . , am)
- prva komponenta a1 moze se birati na k1 razlicitih nacina,
- nakon vec odabrane komponente a1, druga komponentu a2
moze se izabrati na k2 razlicitih nacina,
...
- sve dok se nakon svih prethodnih, posljednja moze birati nakm razlicitih nacina,
Tada skup T svih uredenih m-torki (a1, a2, . . . , am) imak1 · k2 · · · km elemenata.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
KOMBINATORIKA
Teorem ( o uzastopnom prebrojavanju)
Neka se u uredenoj m-torki (a1, a2, . . . , am)
- prva komponenta a1 moze se birati na k1 razlicitih nacina,
- nakon vec odabrane komponente a1, druga komponentu a2
moze se izabrati na k2 razlicitih nacina,
...
- sve dok se nakon svih prethodnih, posljednja moze birati nakm razlicitih nacina,
Tada skup T svih uredenih m-torki (a1, a2, . . . , am) imak1 · k2 · · · km elemenata.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer i zadatak
Primjer
Za rucak su ponudena dva glavna jela i tri deserta. Na koliko serazlicitih nacina moze objedovati tako da se uzme tocno jednoglavno jelo i tocno jedan desert? (2 · 3)
Zadatak
Profesor ima tri odijela, osam kosulja, 10 kravata i dva para cipela.Na koliko se razlicitih nacina moze obuci? (3 · 8 · 11 · 2, ne morakravatu.)
Zadatak
U zatvoru za rucak su ponudene dvije vrste juhe, tri vrste glavnogjela i cetiri vrste kolaca. Na koliko se nacina moze objedovati, akokorisnik KPD-a moze uzeti najvise po jednu juhu, glavno jelo ikolac? (3 · 4 · 5− 1, ako strajka gladu, ne ruca.)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer i zadatak
Primjer
Za rucak su ponudena dva glavna jela i tri deserta. Na koliko serazlicitih nacina moze objedovati tako da se uzme tocno jednoglavno jelo i tocno jedan desert?
(2 · 3)
Zadatak
Profesor ima tri odijela, osam kosulja, 10 kravata i dva para cipela.Na koliko se razlicitih nacina moze obuci? (3 · 8 · 11 · 2, ne morakravatu.)
Zadatak
U zatvoru za rucak su ponudene dvije vrste juhe, tri vrste glavnogjela i cetiri vrste kolaca. Na koliko se nacina moze objedovati, akokorisnik KPD-a moze uzeti najvise po jednu juhu, glavno jelo ikolac? (3 · 4 · 5− 1, ako strajka gladu, ne ruca.)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer i zadatak
Primjer
Za rucak su ponudena dva glavna jela i tri deserta. Na koliko serazlicitih nacina moze objedovati tako da se uzme tocno jednoglavno jelo i tocno jedan desert? (2 · 3)
Zadatak
Profesor ima tri odijela, osam kosulja, 10 kravata i dva para cipela.Na koliko se razlicitih nacina moze obuci? (3 · 8 · 11 · 2, ne morakravatu.)
Zadatak
U zatvoru za rucak su ponudene dvije vrste juhe, tri vrste glavnogjela i cetiri vrste kolaca. Na koliko se nacina moze objedovati, akokorisnik KPD-a moze uzeti najvise po jednu juhu, glavno jelo ikolac? (3 · 4 · 5− 1, ako strajka gladu, ne ruca.)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer i zadatak
Primjer
Za rucak su ponudena dva glavna jela i tri deserta. Na koliko serazlicitih nacina moze objedovati tako da se uzme tocno jednoglavno jelo i tocno jedan desert? (2 · 3)
Zadatak
Profesor ima tri odijela, osam kosulja, 10 kravata i dva para cipela.Na koliko se razlicitih nacina moze obuci?
(3 · 8 · 11 · 2, ne morakravatu.)
Zadatak
U zatvoru za rucak su ponudene dvije vrste juhe, tri vrste glavnogjela i cetiri vrste kolaca. Na koliko se nacina moze objedovati, akokorisnik KPD-a moze uzeti najvise po jednu juhu, glavno jelo ikolac? (3 · 4 · 5− 1, ako strajka gladu, ne ruca.)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer i zadatak
Primjer
Za rucak su ponudena dva glavna jela i tri deserta. Na koliko serazlicitih nacina moze objedovati tako da se uzme tocno jednoglavno jelo i tocno jedan desert? (2 · 3)
Zadatak
Profesor ima tri odijela, osam kosulja, 10 kravata i dva para cipela.Na koliko se razlicitih nacina moze obuci? (3 · 8 · 11 · 2,
ne morakravatu.)
Zadatak
U zatvoru za rucak su ponudene dvije vrste juhe, tri vrste glavnogjela i cetiri vrste kolaca. Na koliko se nacina moze objedovati, akokorisnik KPD-a moze uzeti najvise po jednu juhu, glavno jelo ikolac? (3 · 4 · 5− 1, ako strajka gladu, ne ruca.)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer i zadatak
Primjer
Za rucak su ponudena dva glavna jela i tri deserta. Na koliko serazlicitih nacina moze objedovati tako da se uzme tocno jednoglavno jelo i tocno jedan desert? (2 · 3)
Zadatak
Profesor ima tri odijela, osam kosulja, 10 kravata i dva para cipela.Na koliko se razlicitih nacina moze obuci? (3 · 8 · 11 · 2, ne morakravatu.)
Zadatak
U zatvoru za rucak su ponudene dvije vrste juhe, tri vrste glavnogjela i cetiri vrste kolaca. Na koliko se nacina moze objedovati, akokorisnik KPD-a moze uzeti najvise po jednu juhu, glavno jelo ikolac? (3 · 4 · 5− 1, ako strajka gladu, ne ruca.)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer i zadatak
Primjer
Za rucak su ponudena dva glavna jela i tri deserta. Na koliko serazlicitih nacina moze objedovati tako da se uzme tocno jednoglavno jelo i tocno jedan desert? (2 · 3)
Zadatak
Profesor ima tri odijela, osam kosulja, 10 kravata i dva para cipela.Na koliko se razlicitih nacina moze obuci? (3 · 8 · 11 · 2, ne morakravatu.)
Zadatak
U zatvoru za rucak su ponudene dvije vrste juhe, tri vrste glavnogjela i cetiri vrste kolaca. Na koliko se nacina moze objedovati, akokorisnik KPD-a moze uzeti najvise po jednu juhu, glavno jelo ikolac?
(3 · 4 · 5− 1, ako strajka gladu, ne ruca.)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer i zadatak
Primjer
Za rucak su ponudena dva glavna jela i tri deserta. Na koliko serazlicitih nacina moze objedovati tako da se uzme tocno jednoglavno jelo i tocno jedan desert? (2 · 3)
Zadatak
Profesor ima tri odijela, osam kosulja, 10 kravata i dva para cipela.Na koliko se razlicitih nacina moze obuci? (3 · 8 · 11 · 2, ne morakravatu.)
Zadatak
U zatvoru za rucak su ponudene dvije vrste juhe, tri vrste glavnogjela i cetiri vrste kolaca. Na koliko se nacina moze objedovati, akokorisnik KPD-a moze uzeti najvise po jednu juhu, glavno jelo ikolac? (3 · 4 · 5− 1,
ako strajka gladu, ne ruca.)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer i zadatak
Primjer
Za rucak su ponudena dva glavna jela i tri deserta. Na koliko serazlicitih nacina moze objedovati tako da se uzme tocno jednoglavno jelo i tocno jedan desert? (2 · 3)
Zadatak
Profesor ima tri odijela, osam kosulja, 10 kravata i dva para cipela.Na koliko se razlicitih nacina moze obuci? (3 · 8 · 11 · 2, ne morakravatu.)
Zadatak
U zatvoru za rucak su ponudene dvije vrste juhe, tri vrste glavnogjela i cetiri vrste kolaca. Na koliko se nacina moze objedovati, akokorisnik KPD-a moze uzeti najvise po jednu juhu, glavno jelo ikolac? (3 · 4 · 5− 1, ako strajka gladu, ne ruca.)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ukljucivanje i iskljucivanje
Primjer
U studentskoj grupi su 24 studenta. Engleski govori 20 studenata,a njemacki 10. Kako je to moguce?
Zadatak
Od svih studenata upisanih na prvoj godini 40% ih je poloziloMatematiku, 50% Osnove elektrotehnike i 80% Racunarstvo.Nadalje, 30% studenata polozilo je Matematiku i Osnoveelektrotehnike, 40% Osnove elektrotehnike i Racunarstvo, dok ih je25% polozilo Matematiku i Racunarstvo. Ako se zna da je 20%studenata polozilo sva tri predmeta, koliki postotak studenata nijepolozio niti jedan od navedena tri kolegija?
rjesenja: bar 6 zna oba jezika, 5% niti jedan
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ukljucivanje i iskljucivanje
Primjer
U studentskoj grupi su 24 studenta. Engleski govori 20 studenata,a njemacki 10. Kako je to moguce?
Zadatak
Od svih studenata upisanih na prvoj godini 40% ih je poloziloMatematiku, 50% Osnove elektrotehnike i 80% Racunarstvo.Nadalje, 30% studenata polozilo je Matematiku i Osnoveelektrotehnike, 40% Osnove elektrotehnike i Racunarstvo, dok ih je25% polozilo Matematiku i Racunarstvo. Ako se zna da je 20%studenata polozilo sva tri predmeta, koliki postotak studenata nijepolozio niti jedan od navedena tri kolegija?
rjesenja: bar 6 zna oba jezika, 5% niti jedan
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ukljucivanje i iskljucivanje
Primjer
U studentskoj grupi su 24 studenta. Engleski govori 20 studenata,a njemacki 10. Kako je to moguce?
Zadatak
Od svih studenata upisanih na prvoj godini 40% ih je poloziloMatematiku, 50% Osnove elektrotehnike i 80% Racunarstvo.Nadalje, 30% studenata polozilo je Matematiku i Osnoveelektrotehnike, 40% Osnove elektrotehnike i Racunarstvo, dok ih je25% polozilo Matematiku i Racunarstvo. Ako se zna da je 20%studenata polozilo sva tri predmeta, koliki postotak studenata nijepolozio niti jedan od navedena tri kolegija?
rjesenja: bar 6 zna oba jezika,
5% niti jedan
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ukljucivanje i iskljucivanje
Primjer
U studentskoj grupi su 24 studenta. Engleski govori 20 studenata,a njemacki 10. Kako je to moguce?
Zadatak
Od svih studenata upisanih na prvoj godini 40% ih je poloziloMatematiku, 50% Osnove elektrotehnike i 80% Racunarstvo.Nadalje, 30% studenata polozilo je Matematiku i Osnoveelektrotehnike, 40% Osnove elektrotehnike i Racunarstvo, dok ih je25% polozilo Matematiku i Racunarstvo. Ako se zna da je 20%studenata polozilo sva tri predmeta, koliki postotak studenata nijepolozio niti jedan od navedena tri kolegija?
rjesenja: bar 6 zna oba jezika, 5% niti jedan
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra skupova. Vennovi dijagrami
Skup i element skupa - osnovni matematicki pojmovi.
Skupovi su zatvorene cjeline i predocavaju se krugovima -Vennovim dijagramima.
Brojnost - brojevi unutar skupa.
Zadatak
Primjenom Vennovih dijagrama rijesite prethodni zadatak
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra skupova. Vennovi dijagrami
Skup i element skupa
- osnovni matematicki pojmovi.
Skupovi su zatvorene cjeline i predocavaju se krugovima -Vennovim dijagramima.
Brojnost - brojevi unutar skupa.
Zadatak
Primjenom Vennovih dijagrama rijesite prethodni zadatak
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra skupova. Vennovi dijagrami
Skup i element skupa -
osnovni matematicki pojmovi.
Skupovi su zatvorene cjeline i predocavaju se krugovima -Vennovim dijagramima.
Brojnost - brojevi unutar skupa.
Zadatak
Primjenom Vennovih dijagrama rijesite prethodni zadatak
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra skupova. Vennovi dijagrami
Skup i element skupa - osnovni matematicki pojmovi.
Skupovi su zatvorene cjeline i predocavaju se krugovima -Vennovim dijagramima.
Brojnost - brojevi unutar skupa.
Zadatak
Primjenom Vennovih dijagrama rijesite prethodni zadatak
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra skupova. Vennovi dijagrami
Skup i element skupa - osnovni matematicki pojmovi.
Skupovi su zatvorene cjeline i predocavaju se krugovima -
Vennovim dijagramima.
Brojnost - brojevi unutar skupa.
Zadatak
Primjenom Vennovih dijagrama rijesite prethodni zadatak
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra skupova. Vennovi dijagrami
Skup i element skupa - osnovni matematicki pojmovi.
Skupovi su zatvorene cjeline i predocavaju se krugovima -Vennovim dijagramima.
Brojnost - brojevi unutar skupa.
Zadatak
Primjenom Vennovih dijagrama rijesite prethodni zadatak
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra skupova. Vennovi dijagrami
Skup i element skupa - osnovni matematicki pojmovi.
Skupovi su zatvorene cjeline i predocavaju se krugovima -Vennovim dijagramima.
Brojnost
- brojevi unutar skupa.
Zadatak
Primjenom Vennovih dijagrama rijesite prethodni zadatak
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra skupova. Vennovi dijagrami
Skup i element skupa - osnovni matematicki pojmovi.
Skupovi su zatvorene cjeline i predocavaju se krugovima -Vennovim dijagramima.
Brojnost -
brojevi unutar skupa.
Zadatak
Primjenom Vennovih dijagrama rijesite prethodni zadatak
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra skupova. Vennovi dijagrami
Skup i element skupa - osnovni matematicki pojmovi.
Skupovi su zatvorene cjeline i predocavaju se krugovima -Vennovim dijagramima.
Brojnost - brojevi unutar skupa.
Zadatak
Primjenom Vennovih dijagrama rijesite prethodni zadatak
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
PERMUTACIJE. Permutacije bez ponavljanja
Zadatak
Na koliko nacina mogu uvijek ista prva petorica socijalnih slucajevastajati u redu za pucku kuhinju?
Definicija
Permutacija n-clanog skupa S je svaki niz od n medusobnorazlicitih elemenata iz S.
Faktorijela je unarna operacija:
n! = 1 · 2 · · · n.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
PERMUTACIJE. Permutacije bez ponavljanja
Zadatak
Na koliko nacina mogu uvijek ista prva petorica socijalnih slucajevastajati u redu za pucku kuhinju?
Definicija
Permutacija n-clanog skupa S je svaki niz od n medusobnorazlicitih elemenata iz S.
Faktorijela je unarna operacija:
n! = 1 · 2 · · · n.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
PERMUTACIJE. Permutacije bez ponavljanja
Zadatak
Na koliko nacina mogu uvijek ista prva petorica socijalnih slucajevastajati u redu za pucku kuhinju?
Definicija
Permutacija n-clanog skupa S je svaki niz od n medusobnorazlicitih elemenata iz S.
Faktorijela je unarna operacija:
n! = 1 · 2 · · · n.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
PERMUTACIJE. Permutacije bez ponavljanja
Zadatak
Na koliko nacina mogu uvijek ista prva petorica socijalnih slucajevastajati u redu za pucku kuhinju?
Definicija
Permutacija n-clanog skupa S je svaki niz od n medusobnorazlicitih elemenata iz S.
Faktorijela je unarna operacija:
n! = 1 · 2 · · · n.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Broj permutacija bez ponavljanja
Teorem
Broj permutacija skupa od n elemenata iznosi n!.
Zadatak
Koliko se 4-slovnih zaporki moze sloziti od rijeci FRKA?
Zadatak
Koliko ima telefonskih brojeva u kojima se po jednom javljajuznamenake 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
Zadatak
Na koliko nacina mogu Andrija, Blaz, Cvetko i Dragec igrati Belu ucetvero? (Andrija sjedne, a ostali popunjavaju slobodna mjesta: 6)
Zadatak
Na koliko nacina moze 11 vitezova sjesti za okrugli stol? 10!
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Broj permutacija bez ponavljanja
Teorem
Broj permutacija skupa od n elemenata iznosi n!.
Zadatak
Koliko se 4-slovnih zaporki moze sloziti od rijeci FRKA?
Zadatak
Koliko ima telefonskih brojeva u kojima se po jednom javljajuznamenake 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
Zadatak
Na koliko nacina mogu Andrija, Blaz, Cvetko i Dragec igrati Belu ucetvero? (Andrija sjedne, a ostali popunjavaju slobodna mjesta: 6)
Zadatak
Na koliko nacina moze 11 vitezova sjesti za okrugli stol? 10!
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Broj permutacija bez ponavljanja
Teorem
Broj permutacija skupa od n elemenata iznosi n!.
Zadatak
Koliko se 4-slovnih zaporki moze sloziti od rijeci FRKA?
Zadatak
Koliko ima telefonskih brojeva u kojima se po jednom javljajuznamenake 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
Zadatak
Na koliko nacina mogu Andrija, Blaz, Cvetko i Dragec igrati Belu ucetvero? (Andrija sjedne, a ostali popunjavaju slobodna mjesta: 6)
Zadatak
Na koliko nacina moze 11 vitezova sjesti za okrugli stol? 10!
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Broj permutacija bez ponavljanja
Teorem
Broj permutacija skupa od n elemenata iznosi n!.
Zadatak
Koliko se 4-slovnih zaporki moze sloziti od rijeci FRKA?
Zadatak
Koliko ima telefonskih brojeva u kojima se po jednom javljajuznamenake 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
Zadatak
Na koliko nacina mogu Andrija, Blaz, Cvetko i Dragec igrati Belu ucetvero? (Andrija sjedne, a ostali popunjavaju slobodna mjesta: 6)
Zadatak
Na koliko nacina moze 11 vitezova sjesti za okrugli stol? 10!
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Broj permutacija bez ponavljanja
Teorem
Broj permutacija skupa od n elemenata iznosi n!.
Zadatak
Koliko se 4-slovnih zaporki moze sloziti od rijeci FRKA?
Zadatak
Koliko ima telefonskih brojeva u kojima se po jednom javljajuznamenake 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
Zadatak
Na koliko nacina mogu Andrija, Blaz, Cvetko i Dragec igrati Belu ucetvero?
(Andrija sjedne, a ostali popunjavaju slobodna mjesta: 6)
Zadatak
Na koliko nacina moze 11 vitezova sjesti za okrugli stol? 10!
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Broj permutacija bez ponavljanja
Teorem
Broj permutacija skupa od n elemenata iznosi n!.
Zadatak
Koliko se 4-slovnih zaporki moze sloziti od rijeci FRKA?
Zadatak
Koliko ima telefonskih brojeva u kojima se po jednom javljajuznamenake 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
Zadatak
Na koliko nacina mogu Andrija, Blaz, Cvetko i Dragec igrati Belu ucetvero? (Andrija sjedne, a ostali popunjavaju slobodna mjesta:
6)
Zadatak
Na koliko nacina moze 11 vitezova sjesti za okrugli stol? 10!
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Broj permutacija bez ponavljanja
Teorem
Broj permutacija skupa od n elemenata iznosi n!.
Zadatak
Koliko se 4-slovnih zaporki moze sloziti od rijeci FRKA?
Zadatak
Koliko ima telefonskih brojeva u kojima se po jednom javljajuznamenake 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
Zadatak
Na koliko nacina mogu Andrija, Blaz, Cvetko i Dragec igrati Belu ucetvero? (Andrija sjedne, a ostali popunjavaju slobodna mjesta: 6)
Zadatak
Na koliko nacina moze 11 vitezova sjesti za okrugli stol?
10!
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Broj permutacija bez ponavljanja
Teorem
Broj permutacija skupa od n elemenata iznosi n!.
Zadatak
Koliko se 4-slovnih zaporki moze sloziti od rijeci FRKA?
Zadatak
Koliko ima telefonskih brojeva u kojima se po jednom javljajuznamenake 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
Zadatak
Na koliko nacina mogu Andrija, Blaz, Cvetko i Dragec igrati Belu ucetvero? (Andrija sjedne, a ostali popunjavaju slobodna mjesta: 6)
Zadatak
Na koliko nacina moze 11 vitezova sjesti za okrugli stol? 10!
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Permutacije s ponavljanjem
Primjer
Koliko se zaporki moze napraviti od rijeci TATA?
Primjer
Koliko se PIN-ova moze napraviti od PIN-a 3272?
Primjer
Na koliko se nacina mogu posloziti slova u rijeci KRAPINA? A urijeci OTORINOLARINGOLOGIJA?
Teorem
Permutacija s ponavljanjem ima onoliko puta manje odpermutacija bez ponavljanja, koliko iznosi umnozak faktorijelaelemenata koji se ponavljaju.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Permutacije s ponavljanjem
Primjer
Koliko se zaporki moze napraviti od rijeci TATA?
Primjer
Koliko se PIN-ova moze napraviti od PIN-a 3272?
Primjer
Na koliko se nacina mogu posloziti slova u rijeci KRAPINA? A urijeci OTORINOLARINGOLOGIJA?
Teorem
Permutacija s ponavljanjem ima onoliko puta manje odpermutacija bez ponavljanja, koliko iznosi umnozak faktorijelaelemenata koji se ponavljaju.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Permutacije s ponavljanjem
Primjer
Koliko se zaporki moze napraviti od rijeci TATA?
Primjer
Koliko se PIN-ova moze napraviti od PIN-a 3272?
Primjer
Na koliko se nacina mogu posloziti slova u rijeci KRAPINA? A urijeci OTORINOLARINGOLOGIJA?
Teorem
Permutacija s ponavljanjem ima onoliko puta manje odpermutacija bez ponavljanja, koliko iznosi umnozak faktorijelaelemenata koji se ponavljaju.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Permutacije s ponavljanjem
Primjer
Koliko se zaporki moze napraviti od rijeci TATA?
Primjer
Koliko se PIN-ova moze napraviti od PIN-a 3272?
Primjer
Na koliko se nacina mogu posloziti slova u rijeci KRAPINA?
A urijeci OTORINOLARINGOLOGIJA?
Teorem
Permutacija s ponavljanjem ima onoliko puta manje odpermutacija bez ponavljanja, koliko iznosi umnozak faktorijelaelemenata koji se ponavljaju.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Permutacije s ponavljanjem
Primjer
Koliko se zaporki moze napraviti od rijeci TATA?
Primjer
Koliko se PIN-ova moze napraviti od PIN-a 3272?
Primjer
Na koliko se nacina mogu posloziti slova u rijeci KRAPINA? A urijeci OTORINOLARINGOLOGIJA?
Teorem
Permutacija s ponavljanjem ima onoliko puta manje odpermutacija bez ponavljanja, koliko iznosi umnozak faktorijelaelemenata koji se ponavljaju.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Permutacije s ponavljanjem
Primjer
Koliko se zaporki moze napraviti od rijeci TATA?
Primjer
Koliko se PIN-ova moze napraviti od PIN-a 3272?
Primjer
Na koliko se nacina mogu posloziti slova u rijeci KRAPINA? A urijeci OTORINOLARINGOLOGIJA?
Teorem
Permutacija s ponavljanjem ima onoliko puta manje odpermutacija bez ponavljanja, koliko iznosi umnozak faktorijelaelemenata koji se ponavljaju.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Varijacije bez ponavljanja
Primjer
Na koliko nacina moze 10 umirovljenika zauzeti 5 mjesta utramvaju?
Definicija
Varijacija r -tog razreda skupa S od n elemenata je svaka uredenar-torka medjusobno razlicitih elemenata iz skupa S.Broj varijacija:V rn = n!
(n−r)! = n · (n − 1) · · · (n − r + 1). Dzepna racunaljka imaprogram nPr koji racuna varijacije bez ponavljanja.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Varijacije bez ponavljanja
Primjer
Na koliko nacina moze 10 umirovljenika zauzeti 5 mjesta utramvaju?
Definicija
Varijacija r -tog razreda skupa S od n elemenata je svaka uredenar-torka medjusobno razlicitih elemenata iz skupa S.Broj varijacija:V rn = n!
(n−r)! = n · (n − 1) · · · (n − r + 1). Dzepna racunaljka imaprogram nPr koji racuna varijacije bez ponavljanja.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Varijacije bez ponavljanja
Primjer
Na koliko nacina moze 10 umirovljenika zauzeti 5 mjesta utramvaju?
Definicija
Varijacija r -tog razreda skupa S od n elemenata je svaka uredenar-torka medjusobno razlicitih elemenata iz skupa S.
Broj varijacija:V rn = n!
(n−r)! = n · (n − 1) · · · (n − r + 1). Dzepna racunaljka imaprogram nPr koji racuna varijacije bez ponavljanja.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Varijacije bez ponavljanja
Primjer
Na koliko nacina moze 10 umirovljenika zauzeti 5 mjesta utramvaju?
Definicija
Varijacija r -tog razreda skupa S od n elemenata je svaka uredenar-torka medjusobno razlicitih elemenata iz skupa S.Broj varijacija:V rn = n!
(n−r)! = n · (n − 1) · · · (n − r + 1).
Dzepna racunaljka imaprogram nPr koji racuna varijacije bez ponavljanja.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Varijacije bez ponavljanja
Primjer
Na koliko nacina moze 10 umirovljenika zauzeti 5 mjesta utramvaju?
Definicija
Varijacija r -tog razreda skupa S od n elemenata je svaka uredenar-torka medjusobno razlicitih elemenata iz skupa S.Broj varijacija:V rn = n!
(n−r)! = n · (n − 1) · · · (n − r + 1). Dzepna racunaljka imaprogram nPr koji racuna varijacije bez ponavljanja.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Varijacije s ponavljanjem
Zadatak
Na koliko se nacina, teoretski, moze popuniti listic sportskeprognoze ako se za svaki od 13 parova smije ponuditi bilo koji odtri znaka: X , 0 ili 1?
Zadatak
Tri prijatelja kupuju Peugeote koji su ponudeni u cetiri boje. Nakoliko nacina oni mogu izabrati boje?
Zadatak
U grupi je 6 studenata i 4 studentice. Na koliko se nacina mogustudentima svidati studentice? Na koliko se nacina mogu studentisvidati studenticama?
Broj varijacija r -tog razreda skupa od n elemenata s ponavljanjemjednak je nr
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Varijacije s ponavljanjem
Zadatak
Na koliko se nacina, teoretski, moze popuniti listic sportskeprognoze ako se za svaki od 13 parova smije ponuditi bilo koji odtri znaka: X , 0 ili 1?
Zadatak
Tri prijatelja kupuju Peugeote koji su ponudeni u cetiri boje. Nakoliko nacina oni mogu izabrati boje?
Zadatak
U grupi je 6 studenata i 4 studentice. Na koliko se nacina mogustudentima svidati studentice? Na koliko se nacina mogu studentisvidati studenticama?
Broj varijacija r -tog razreda skupa od n elemenata s ponavljanjemjednak je nr
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Varijacije s ponavljanjem
Zadatak
Na koliko se nacina, teoretski, moze popuniti listic sportskeprognoze ako se za svaki od 13 parova smije ponuditi bilo koji odtri znaka: X , 0 ili 1?
Zadatak
Tri prijatelja kupuju Peugeote koji su ponudeni u cetiri boje. Nakoliko nacina oni mogu izabrati boje?
Zadatak
U grupi je 6 studenata i 4 studentice. Na koliko se nacina mogustudentima svidati studentice? Na koliko se nacina mogu studentisvidati studenticama?
Broj varijacija r -tog razreda skupa od n elemenata s ponavljanjemjednak je nr
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Varijacije s ponavljanjem
Zadatak
Na koliko se nacina, teoretski, moze popuniti listic sportskeprognoze ako se za svaki od 13 parova smije ponuditi bilo koji odtri znaka: X , 0 ili 1?
Zadatak
Tri prijatelja kupuju Peugeote koji su ponudeni u cetiri boje. Nakoliko nacina oni mogu izabrati boje?
Zadatak
U grupi je 6 studenata i 4 studentice. Na koliko se nacina mogustudentima svidati studentice?
Na koliko se nacina mogu studentisvidati studenticama?
Broj varijacija r -tog razreda skupa od n elemenata s ponavljanjemjednak je nr
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Varijacije s ponavljanjem
Zadatak
Na koliko se nacina, teoretski, moze popuniti listic sportskeprognoze ako se za svaki od 13 parova smije ponuditi bilo koji odtri znaka: X , 0 ili 1?
Zadatak
Tri prijatelja kupuju Peugeote koji su ponudeni u cetiri boje. Nakoliko nacina oni mogu izabrati boje?
Zadatak
U grupi je 6 studenata i 4 studentice. Na koliko se nacina mogustudentima svidati studentice? Na koliko se nacina mogu studentisvidati studenticama?
Broj varijacija r -tog razreda skupa od n elemenata s ponavljanjemjednak je nr
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Varijacije s ponavljanjem
Zadatak
Na koliko se nacina, teoretski, moze popuniti listic sportskeprognoze ako se za svaki od 13 parova smije ponuditi bilo koji odtri znaka: X , 0 ili 1?
Zadatak
Tri prijatelja kupuju Peugeote koji su ponudeni u cetiri boje. Nakoliko nacina oni mogu izabrati boje?
Zadatak
U grupi je 6 studenata i 4 studentice. Na koliko se nacina mogustudentima svidati studentice? Na koliko se nacina mogu studentisvidati studenticama?
Broj varijacija r -tog razreda skupa od n elemenata s ponavljanjemjednak je nr
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
KOMBINACIJE. Kombinacije bez ponavljanja
Primjer
Kosarkaski trener prijavio je 11 igraca. Koliko razlicitih petorkimoze biti na parketu?
Jedan nacin odabira petorke. Svi igraci poredaju se u vrstu. Nakoliko je nacina to moguce? Prvih pet se u dresovima posalje uigru. Ostalih 6 u trenirkama sjede.
11!
5!6!.
Isto bi bilo da trener bira kojih 6 ce sjediti na klupi.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
KOMBINACIJE. Kombinacije bez ponavljanja
Primjer
Kosarkaski trener prijavio je 11 igraca. Koliko razlicitih petorkimoze biti na parketu?
Jedan nacin odabira petorke. Svi igraci poredaju se u vrstu. Nakoliko je nacina to moguce? Prvih pet se u dresovima posalje uigru. Ostalih 6 u trenirkama sjede.
11!
5!6!.
Isto bi bilo da trener bira kojih 6 ce sjediti na klupi.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
KOMBINACIJE. Kombinacije bez ponavljanja
Primjer
Kosarkaski trener prijavio je 11 igraca. Koliko razlicitih petorkimoze biti na parketu?
Jedan nacin odabira petorke.
Svi igraci poredaju se u vrstu. Nakoliko je nacina to moguce? Prvih pet se u dresovima posalje uigru. Ostalih 6 u trenirkama sjede.
11!
5!6!.
Isto bi bilo da trener bira kojih 6 ce sjediti na klupi.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
KOMBINACIJE. Kombinacije bez ponavljanja
Primjer
Kosarkaski trener prijavio je 11 igraca. Koliko razlicitih petorkimoze biti na parketu?
Jedan nacin odabira petorke. Svi igraci poredaju se u vrstu. Nakoliko je nacina to moguce?
Prvih pet se u dresovima posalje uigru. Ostalih 6 u trenirkama sjede.
11!
5!6!.
Isto bi bilo da trener bira kojih 6 ce sjediti na klupi.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
KOMBINACIJE. Kombinacije bez ponavljanja
Primjer
Kosarkaski trener prijavio je 11 igraca. Koliko razlicitih petorkimoze biti na parketu?
Jedan nacin odabira petorke. Svi igraci poredaju se u vrstu. Nakoliko je nacina to moguce? Prvih pet se u dresovima posalje uigru.
Ostalih 6 u trenirkama sjede.
11!
5!6!.
Isto bi bilo da trener bira kojih 6 ce sjediti na klupi.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
KOMBINACIJE. Kombinacije bez ponavljanja
Primjer
Kosarkaski trener prijavio je 11 igraca. Koliko razlicitih petorkimoze biti na parketu?
Jedan nacin odabira petorke. Svi igraci poredaju se u vrstu. Nakoliko je nacina to moguce? Prvih pet se u dresovima posalje uigru. Ostalih 6 u trenirkama sjede.
11!
5!6!.
Isto bi bilo da trener bira kojih 6 ce sjediti na klupi.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
KOMBINACIJE. Kombinacije bez ponavljanja
Primjer
Kosarkaski trener prijavio je 11 igraca. Koliko razlicitih petorkimoze biti na parketu?
Jedan nacin odabira petorke. Svi igraci poredaju se u vrstu. Nakoliko je nacina to moguce? Prvih pet se u dresovima posalje uigru. Ostalih 6 u trenirkama sjede.
11!
5!6!.
Isto bi bilo da trener bira kojih 6 ce sjediti na klupi.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
KOMBINACIJE. Kombinacije bez ponavljanja
Primjer
Kosarkaski trener prijavio je 11 igraca. Koliko razlicitih petorkimoze biti na parketu?
Jedan nacin odabira petorke. Svi igraci poredaju se u vrstu. Nakoliko je nacina to moguce? Prvih pet se u dresovima posalje uigru. Ostalih 6 u trenirkama sjede.
11!
5!6!.
Isto bi bilo da trener bira kojih 6 ce sjediti na klupi.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Broj kombinacija bez ponavljanja
Definicija
Kombinacija od k-tog razreda skupa od n elemenata svaki je izborpodskupa od k elemenata izuzet iz skupa od n elemenata.
Propozicija
Broj kombinacija jednak je
(nk
)=
n!
k!(n − k)!
Binomni koeficijent
(nk
)moguce je na boljim dzepnim
racunaljkama dobiti programom nCr .
Primjer
Koliko kombinacija ima Lotto 7/39? A koliko Lotto 6/45?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Broj kombinacija bez ponavljanja
Definicija
Kombinacija od k-tog razreda skupa od n elemenata svaki je izborpodskupa od k elemenata izuzet iz skupa od n elemenata.
Propozicija
Broj kombinacija jednak je
(nk
)=
n!
k!(n − k)!
Binomni koeficijent
(nk
)moguce je na boljim dzepnim
racunaljkama dobiti programom nCr .
Primjer
Koliko kombinacija ima Lotto 7/39? A koliko Lotto 6/45?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Broj kombinacija bez ponavljanja
Definicija
Kombinacija od k-tog razreda skupa od n elemenata svaki je izborpodskupa od k elemenata izuzet iz skupa od n elemenata.
Propozicija
Broj kombinacija jednak je
(nk
)=
n!
k!(n − k)!
Binomni koeficijent
(nk
)moguce je na boljim dzepnim
racunaljkama dobiti programom nCr .
Primjer
Koliko kombinacija ima Lotto 7/39? A koliko Lotto 6/45?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Broj kombinacija bez ponavljanja
Definicija
Kombinacija od k-tog razreda skupa od n elemenata svaki je izborpodskupa od k elemenata izuzet iz skupa od n elemenata.
Propozicija
Broj kombinacija jednak je
(nk
)=
n!
k!(n − k)!
Binomni koeficijent
(nk
)moguce je na boljim dzepnim
racunaljkama dobiti programom nCr .
Primjer
Koliko kombinacija ima Lotto 7/39? A koliko Lotto 6/45?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Broj kombinacija bez ponavljanja
Definicija
Kombinacija od k-tog razreda skupa od n elemenata svaki je izborpodskupa od k elemenata izuzet iz skupa od n elemenata.
Propozicija
Broj kombinacija jednak je
(nk
)=
n!
k!(n − k)!
Binomni koeficijent
(nk
)moguce je na boljim dzepnim
racunaljkama dobiti programom nCr .
Primjer
Koliko kombinacija ima Lotto 7/39?
A koliko Lotto 6/45?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Broj kombinacija bez ponavljanja
Definicija
Kombinacija od k-tog razreda skupa od n elemenata svaki je izborpodskupa od k elemenata izuzet iz skupa od n elemenata.
Propozicija
Broj kombinacija jednak je
(nk
)=
n!
k!(n − k)!
Binomni koeficijent
(nk
)moguce je na boljim dzepnim
racunaljkama dobiti programom nCr .
Primjer
Koliko kombinacija ima Lotto 7/39? A koliko Lotto 6/45?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinacije s ponavljanjem
Primjer
Na koliko nacina mogu cura i decko pojesti tri kremsnite?
Svaki od nacina je objekt koji se u teoriji skupova nazivamultiskup:
c , c , c cura je pojela sve tri kremsnite
c , c , d = c , d , c = d , c , c cura dvije, decko jednu
c , d , d = · · · dvije je pojeo decko
d , d , dUkupan broj je (
2 + 3− 13
).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinacije s ponavljanjem
Primjer
Na koliko nacina mogu cura i decko pojesti tri kremsnite?
Svaki od nacina je objekt koji se u teoriji skupova nazivamultiskup:
c , c , c cura je pojela sve tri kremsnite
c , c , d = c , d , c = d , c , c cura dvije, decko jednu
c , d , d = · · · dvije je pojeo decko
d , d , dUkupan broj je (
2 + 3− 13
).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinacije s ponavljanjem
Primjer
Na koliko nacina mogu cura i decko pojesti tri kremsnite?
Svaki od nacina je objekt koji se u teoriji skupova nazivamultiskup:
c , c , c cura je pojela sve tri kremsnite
c , c , d = c , d , c = d , c , c cura dvije, decko jednu
c , d , d = · · · dvije je pojeo decko
d , d , dUkupan broj je (
2 + 3− 13
).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinacije s ponavljanjem
Primjer
Na koliko nacina mogu cura i decko pojesti tri kremsnite?
Svaki od nacina je objekt koji se u teoriji skupova nazivamultiskup:
c , c , c cura je pojela sve tri kremsnite
c , c , d = c , d , c = d , c , c cura dvije, decko jednu
c , d , d = · · · dvije je pojeo decko
d , d , dUkupan broj je (
2 + 3− 13
).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinacije s ponavljanjem
Primjer
Na koliko nacina mogu cura i decko pojesti tri kremsnite?
Svaki od nacina je objekt koji se u teoriji skupova nazivamultiskup:
c , c , c
cura je pojela sve tri kremsnite
c , c , d = c , d , c = d , c , c cura dvije, decko jednu
c , d , d = · · · dvije je pojeo decko
d , d , dUkupan broj je (
2 + 3− 13
).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinacije s ponavljanjem
Primjer
Na koliko nacina mogu cura i decko pojesti tri kremsnite?
Svaki od nacina je objekt koji se u teoriji skupova nazivamultiskup:
c , c , c cura je pojela sve tri kremsnite
c , c , d = c , d , c = d , c , c cura dvije, decko jednu
c , d , d = · · · dvije je pojeo decko
d , d , dUkupan broj je (
2 + 3− 13
).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinacije s ponavljanjem
Primjer
Na koliko nacina mogu cura i decko pojesti tri kremsnite?
Svaki od nacina je objekt koji se u teoriji skupova nazivamultiskup:
c , c , c cura je pojela sve tri kremsnite
c , c , d = c , d , c = d , c , c
cura dvije, decko jednu
c , d , d = · · · dvije je pojeo decko
d , d , dUkupan broj je (
2 + 3− 13
).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinacije s ponavljanjem
Primjer
Na koliko nacina mogu cura i decko pojesti tri kremsnite?
Svaki od nacina je objekt koji se u teoriji skupova nazivamultiskup:
c , c , c cura je pojela sve tri kremsnite
c , c , d = c , d , c = d , c , c cura dvije, decko jednu
c , d , d = · · · dvije je pojeo decko
d , d , dUkupan broj je (
2 + 3− 13
).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinacije s ponavljanjem
Primjer
Na koliko nacina mogu cura i decko pojesti tri kremsnite?
Svaki od nacina je objekt koji se u teoriji skupova nazivamultiskup:
c , c , c cura je pojela sve tri kremsnite
c , c , d = c , d , c = d , c , c cura dvije, decko jednu
c , d , d = · · · dvije je pojeo decko
d , d , dUkupan broj je (
2 + 3− 13
).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinacije s ponavljanjem
Primjer
Na koliko nacina mogu cura i decko pojesti tri kremsnite?
Svaki od nacina je objekt koji se u teoriji skupova nazivamultiskup:
c , c , c cura je pojela sve tri kremsnite
c , c , d = c , d , c = d , c , c cura dvije, decko jednu
c , d , d = · · · dvije je pojeo decko
d , d , d
Ukupan broj je (2 + 3− 1
3
).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinacije s ponavljanjem
Primjer
Na koliko nacina mogu cura i decko pojesti tri kremsnite?
Svaki od nacina je objekt koji se u teoriji skupova nazivamultiskup:
c , c , c cura je pojela sve tri kremsnite
c , c , d = c , d , c = d , c , c cura dvije, decko jednu
c , d , d = · · · dvije je pojeo decko
d , d , dUkupan broj je (
2 + 3− 13
).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinacije s ponavljanjem
Problem
Kako moze pet djecaka podijeliti 12 bombona?
Definicija
Kombinacija r -tog razreda skupa od n elemenata s ponavljanjem jemultiskup od r elemenata u kojem je najvise n vrsta elemenata.
Teorem
Broj kombinacija racuna se po formuli: Krn =
(n + r − 1
r
)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinacije s ponavljanjem
Problem
Kako moze pet djecaka podijeliti 12 bombona?
Definicija
Kombinacija r -tog razreda skupa od n elemenata s ponavljanjem jemultiskup od r elemenata u kojem je najvise n vrsta elemenata.
Teorem
Broj kombinacija racuna se po formuli: Krn =
(n + r − 1
r
)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinacije s ponavljanjem
Problem
Kako moze pet djecaka podijeliti 12 bombona?
Definicija
Kombinacija r -tog razreda skupa od n elemenata s ponavljanjem jemultiskup od r elemenata u kojem je najvise n vrsta elemenata.
Teorem
Broj kombinacija racuna se po formuli: Krn =
(n + r − 1
r
)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinacije s ponavljanjem
Problem
Kako moze pet djecaka podijeliti 12 bombona?
Definicija
Kombinacija r -tog razreda skupa od n elemenata s ponavljanjem jemultiskup od r elemenata u kojem je najvise n vrsta elemenata.
Teorem
Broj kombinacija racuna se po formuli: Krn =
(n + r − 1
r
)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Da li je jasno?
1 Dobavljac narucuje pet glacala koja mogu biti ispravna ilineispravna. Na koliko nacina se mogu dobiti?
2 Na koliko se nacina mogu 3 jednake knjige razdijeliti medu 12ucenika, tako da svaki ucenik dobije najvise jednu knigu?
3 Registarska plocica zagrebackog registarskog podrucja ima uizboru 3 i 4-znamenkasti broj, te jedno ili dva slova abecedekoja ne mogu biti palatali, koliko se razlicitih tablica mozeizdati?
4 Na nekom je sahovskom turniru odigrano 78 partija. Turnir jeigran po principu da je svaki igrac odigrao sa svakim samojedan mec. Koliko je bilo sahista na turniru?
5 U skupu od 100 studenata engleski jezik zna 28 studenata,njemacki 30, francuski 42, engleski i njemacki zna njih 8,engleski i francuski 10, njemacki i francuski pet, dok sva trijezika znaju samo tri studenta. Koliko studenata ne znanijedan jezik?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Da li je jasno?
1 Dobavljac narucuje pet glacala koja mogu biti ispravna ilineispravna. Na koliko nacina se mogu dobiti?
2 Na koliko se nacina mogu 3 jednake knjige razdijeliti medu 12ucenika, tako da svaki ucenik dobije najvise jednu knigu?
3 Registarska plocica zagrebackog registarskog podrucja ima uizboru 3 i 4-znamenkasti broj, te jedno ili dva slova abecedekoja ne mogu biti palatali, koliko se razlicitih tablica mozeizdati?
4 Na nekom je sahovskom turniru odigrano 78 partija. Turnir jeigran po principu da je svaki igrac odigrao sa svakim samojedan mec. Koliko je bilo sahista na turniru?
5 U skupu od 100 studenata engleski jezik zna 28 studenata,njemacki 30, francuski 42, engleski i njemacki zna njih 8,engleski i francuski 10, njemacki i francuski pet, dok sva trijezika znaju samo tri studenta. Koliko studenata ne znanijedan jezik?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Da li je jasno?
1 Dobavljac narucuje pet glacala koja mogu biti ispravna ilineispravna. Na koliko nacina se mogu dobiti?
2 Na koliko se nacina mogu 3 jednake knjige razdijeliti medu 12ucenika, tako da svaki ucenik dobije najvise jednu knigu?
3 Registarska plocica zagrebackog registarskog podrucja ima uizboru 3 i 4-znamenkasti broj, te jedno ili dva slova abecedekoja ne mogu biti palatali, koliko se razlicitih tablica mozeizdati?
4 Na nekom je sahovskom turniru odigrano 78 partija. Turnir jeigran po principu da je svaki igrac odigrao sa svakim samojedan mec. Koliko je bilo sahista na turniru?
5 U skupu od 100 studenata engleski jezik zna 28 studenata,njemacki 30, francuski 42, engleski i njemacki zna njih 8,engleski i francuski 10, njemacki i francuski pet, dok sva trijezika znaju samo tri studenta. Koliko studenata ne znanijedan jezik?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Da li je jasno?
1 Dobavljac narucuje pet glacala koja mogu biti ispravna ilineispravna. Na koliko nacina se mogu dobiti?
2 Na koliko se nacina mogu 3 jednake knjige razdijeliti medu 12ucenika, tako da svaki ucenik dobije najvise jednu knigu?
3 Registarska plocica zagrebackog registarskog podrucja ima uizboru 3 i 4-znamenkasti broj, te jedno ili dva slova abecedekoja ne mogu biti palatali, koliko se razlicitih tablica mozeizdati?
4 Na nekom je sahovskom turniru odigrano 78 partija. Turnir jeigran po principu da je svaki igrac odigrao sa svakim samojedan mec. Koliko je bilo sahista na turniru?
5 U skupu od 100 studenata engleski jezik zna 28 studenata,njemacki 30, francuski 42, engleski i njemacki zna njih 8,engleski i francuski 10, njemacki i francuski pet, dok sva trijezika znaju samo tri studenta. Koliko studenata ne znanijedan jezik?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Da li je jasno?
1 Dobavljac narucuje pet glacala koja mogu biti ispravna ilineispravna. Na koliko nacina se mogu dobiti?
2 Na koliko se nacina mogu 3 jednake knjige razdijeliti medu 12ucenika, tako da svaki ucenik dobije najvise jednu knigu?
3 Registarska plocica zagrebackog registarskog podrucja ima uizboru 3 i 4-znamenkasti broj, te jedno ili dva slova abecedekoja ne mogu biti palatali, koliko se razlicitih tablica mozeizdati?
4 Na nekom je sahovskom turniru odigrano 78 partija. Turnir jeigran po principu da je svaki igrac odigrao sa svakim samojedan mec. Koliko je bilo sahista na turniru?
5 U skupu od 100 studenata engleski jezik zna 28 studenata,njemacki 30, francuski 42, engleski i njemacki zna njih 8,engleski i francuski 10, njemacki i francuski pet, dok sva trijezika znaju samo tri studenta. Koliko studenata ne znanijedan jezik?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Da li je jasno?
1 Dobavljac narucuje pet glacala koja mogu biti ispravna ilineispravna. Na koliko nacina se mogu dobiti?
2 Na koliko se nacina mogu 3 jednake knjige razdijeliti medu 12ucenika, tako da svaki ucenik dobije najvise jednu knigu?
3 Registarska plocica zagrebackog registarskog podrucja ima uizboru 3 i 4-znamenkasti broj, te jedno ili dva slova abecedekoja ne mogu biti palatali, koliko se razlicitih tablica mozeizdati?
4 Na nekom je sahovskom turniru odigrano 78 partija. Turnir jeigran po principu da je svaki igrac odigrao sa svakim samojedan mec. Koliko je bilo sahista na turniru?
5 U skupu od 100 studenata engleski jezik zna 28 studenata,njemacki 30, francuski 42, engleski i njemacki zna njih 8,engleski i francuski 10, njemacki i francuski pet, dok sva trijezika znaju samo tri studenta. Koliko studenata ne znanijedan jezik?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Rjesenja
1 Rjesenje: 6
2 Rjesenje: 1320 nacina
3 Rjesenje: 5 566 000
4 Rjesenje: 13 ucesnika
5 Rjesenje: 20 studenata
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Rjesenja
1 Rjesenje: 6
2 Rjesenje: 1320 nacina
3 Rjesenje: 5 566 000
4 Rjesenje: 13 ucesnika
5 Rjesenje: 20 studenata
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Intuitivna vjerojatnost
Slucajan pokus je pokus s vrlinama
- nepoznat ishod- poznati svi ishodi- ponavljanje po volji
Odrediti postotak sansi dogadaja prije pokusa.
1 Kolika je vjerojatnost da ce kod bacanja simetricnog novcicapasti ”pismo”?
2 Kolika je vjerojatnost da ce kod bacanja kocke pasti broj 6?
3 Kolika je vjerojatnost da ce kod izvlacenja jedne karte iz spilaod 32 biti izvucena karta boje ”karo”?
4 Kolika je vjerojatnost da razlika brojeva na bacene dvije kockebude manja od tri?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Intuitivna vjerojatnost
Slucajan pokus je pokus s vrlinama
- nepoznat ishod- poznati svi ishodi- ponavljanje po volji
Odrediti postotak sansi dogadaja prije pokusa.
1 Kolika je vjerojatnost da ce kod bacanja simetricnog novcicapasti ”pismo”?
2 Kolika je vjerojatnost da ce kod bacanja kocke pasti broj 6?
3 Kolika je vjerojatnost da ce kod izvlacenja jedne karte iz spilaod 32 biti izvucena karta boje ”karo”?
4 Kolika je vjerojatnost da razlika brojeva na bacene dvije kockebude manja od tri?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Intuitivna vjerojatnost
Slucajan pokus je pokus s vrlinama
- nepoznat ishod
- poznati svi ishodi- ponavljanje po volji
Odrediti postotak sansi dogadaja prije pokusa.
1 Kolika je vjerojatnost da ce kod bacanja simetricnog novcicapasti ”pismo”?
2 Kolika je vjerojatnost da ce kod bacanja kocke pasti broj 6?
3 Kolika je vjerojatnost da ce kod izvlacenja jedne karte iz spilaod 32 biti izvucena karta boje ”karo”?
4 Kolika je vjerojatnost da razlika brojeva na bacene dvije kockebude manja od tri?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Intuitivna vjerojatnost
Slucajan pokus je pokus s vrlinama
- nepoznat ishod- poznati svi ishodi
- ponavljanje po volji
Odrediti postotak sansi dogadaja prije pokusa.
1 Kolika je vjerojatnost da ce kod bacanja simetricnog novcicapasti ”pismo”?
2 Kolika je vjerojatnost da ce kod bacanja kocke pasti broj 6?
3 Kolika je vjerojatnost da ce kod izvlacenja jedne karte iz spilaod 32 biti izvucena karta boje ”karo”?
4 Kolika je vjerojatnost da razlika brojeva na bacene dvije kockebude manja od tri?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Intuitivna vjerojatnost
Slucajan pokus je pokus s vrlinama
- nepoznat ishod- poznati svi ishodi- ponavljanje po volji
Odrediti postotak sansi dogadaja prije pokusa.
1 Kolika je vjerojatnost da ce kod bacanja simetricnog novcicapasti ”pismo”?
2 Kolika je vjerojatnost da ce kod bacanja kocke pasti broj 6?
3 Kolika je vjerojatnost da ce kod izvlacenja jedne karte iz spilaod 32 biti izvucena karta boje ”karo”?
4 Kolika je vjerojatnost da razlika brojeva na bacene dvije kockebude manja od tri?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Intuitivna vjerojatnost
Slucajan pokus je pokus s vrlinama
- nepoznat ishod- poznati svi ishodi- ponavljanje po volji
Odrediti postotak sansi dogadaja prije pokusa.
1 Kolika je vjerojatnost da ce kod bacanja simetricnog novcicapasti ”pismo”?
2 Kolika je vjerojatnost da ce kod bacanja kocke pasti broj 6?
3 Kolika je vjerojatnost da ce kod izvlacenja jedne karte iz spilaod 32 biti izvucena karta boje ”karo”?
4 Kolika je vjerojatnost da razlika brojeva na bacene dvije kockebude manja od tri?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Intuitivna vjerojatnost
Slucajan pokus je pokus s vrlinama
- nepoznat ishod- poznati svi ishodi- ponavljanje po volji
Odrediti postotak sansi dogadaja prije pokusa.
1 Kolika je vjerojatnost da ce kod bacanja simetricnog novcicapasti ”pismo”?
2 Kolika je vjerojatnost da ce kod bacanja kocke pasti broj 6?
3 Kolika je vjerojatnost da ce kod izvlacenja jedne karte iz spilaod 32 biti izvucena karta boje ”karo”?
4 Kolika je vjerojatnost da razlika brojeva na bacene dvije kockebude manja od tri?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Intuitivna vjerojatnost
Slucajan pokus je pokus s vrlinama
- nepoznat ishod- poznati svi ishodi- ponavljanje po volji
Odrediti postotak sansi dogadaja prije pokusa.
1 Kolika je vjerojatnost da ce kod bacanja simetricnog novcicapasti ”pismo”?
2 Kolika je vjerojatnost da ce kod bacanja kocke pasti broj 6?
3 Kolika je vjerojatnost da ce kod izvlacenja jedne karte iz spilaod 32 biti izvucena karta boje ”karo”?
4 Kolika je vjerojatnost da razlika brojeva na bacene dvije kockebude manja od tri?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Intuitivna vjerojatnost
Slucajan pokus je pokus s vrlinama
- nepoznat ishod- poznati svi ishodi- ponavljanje po volji
Odrediti postotak sansi dogadaja prije pokusa.
1 Kolika je vjerojatnost da ce kod bacanja simetricnog novcicapasti ”pismo”?
2 Kolika je vjerojatnost da ce kod bacanja kocke pasti broj 6?
3 Kolika je vjerojatnost da ce kod izvlacenja jedne karte iz spilaod 32 biti izvucena karta boje ”karo”?
4 Kolika je vjerojatnost da razlika brojeva na bacene dvije kockebude manja od tri?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Intuitivna vjerojatnost
Slucajan pokus je pokus s vrlinama
- nepoznat ishod- poznati svi ishodi- ponavljanje po volji
Odrediti postotak sansi dogadaja prije pokusa.
1 Kolika je vjerojatnost da ce kod bacanja simetricnog novcicapasti ”pismo”?
2 Kolika je vjerojatnost da ce kod bacanja kocke pasti broj 6?
3 Kolika je vjerojatnost da ce kod izvlacenja jedne karte iz spilaod 32 biti izvucena karta boje ”karo”?
4 Kolika je vjerojatnost da razlika brojeva na bacene dvije kockebude manja od tri?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra skupova
Skupovi (A,B,C . . .) su zatvorene cjeline. Univerzalni skup (Ω)cine elementi koji se uzimaju u provjeru pripadnosti definiranogskupa. Prazan skup jedini nema elemenata. Intuitivno!
Definicija
Operacije sa skupovima
unija A ∪ B,
presjek A ∩ B,
komplement u univerzalnom skupu Ac ,
razlika skupova A \ B
Zadatak
Vennovim dijagramima pokazite identitete: A ∩ Bc = A \ B,(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc , A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra skupova
Skupovi (A,B,C . . .) su zatvorene cjeline.
Univerzalni skup (Ω)cine elementi koji se uzimaju u provjeru pripadnosti definiranogskupa. Prazan skup jedini nema elemenata. Intuitivno!
Definicija
Operacije sa skupovima
unija A ∪ B,
presjek A ∩ B,
komplement u univerzalnom skupu Ac ,
razlika skupova A \ B
Zadatak
Vennovim dijagramima pokazite identitete: A ∩ Bc = A \ B,(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc , A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra skupova
Skupovi (A,B,C . . .) su zatvorene cjeline. Univerzalni skup (Ω)cine elementi koji se uzimaju u provjeru pripadnosti definiranogskupa.
Prazan skup jedini nema elemenata. Intuitivno!
Definicija
Operacije sa skupovima
unija A ∪ B,
presjek A ∩ B,
komplement u univerzalnom skupu Ac ,
razlika skupova A \ B
Zadatak
Vennovim dijagramima pokazite identitete: A ∩ Bc = A \ B,(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc , A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra skupova
Skupovi (A,B,C . . .) su zatvorene cjeline. Univerzalni skup (Ω)cine elementi koji se uzimaju u provjeru pripadnosti definiranogskupa. Prazan skup jedini nema elemenata.
Intuitivno!
Definicija
Operacije sa skupovima
unija A ∪ B,
presjek A ∩ B,
komplement u univerzalnom skupu Ac ,
razlika skupova A \ B
Zadatak
Vennovim dijagramima pokazite identitete: A ∩ Bc = A \ B,(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc , A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra skupova
Skupovi (A,B,C . . .) su zatvorene cjeline. Univerzalni skup (Ω)cine elementi koji se uzimaju u provjeru pripadnosti definiranogskupa. Prazan skup jedini nema elemenata. Intuitivno!
Definicija
Operacije sa skupovima
unija A ∪ B,
presjek A ∩ B,
komplement u univerzalnom skupu Ac ,
razlika skupova A \ B
Zadatak
Vennovim dijagramima pokazite identitete: A ∩ Bc = A \ B,(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc , A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra skupova
Skupovi (A,B,C . . .) su zatvorene cjeline. Univerzalni skup (Ω)cine elementi koji se uzimaju u provjeru pripadnosti definiranogskupa. Prazan skup jedini nema elemenata. Intuitivno!
Definicija
Operacije sa skupovima
unija A ∪ B,
presjek A ∩ B,
komplement u univerzalnom skupu Ac ,
razlika skupova A \ B
Zadatak
Vennovim dijagramima pokazite identitete: A ∩ Bc = A \ B,(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc , A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra skupova
Skupovi (A,B,C . . .) su zatvorene cjeline. Univerzalni skup (Ω)cine elementi koji se uzimaju u provjeru pripadnosti definiranogskupa. Prazan skup jedini nema elemenata. Intuitivno!
Definicija
Operacije sa skupovima
unija A ∪ B,
presjek A ∩ B,
komplement u univerzalnom skupu Ac ,
razlika skupova A \ B
Zadatak
Vennovim dijagramima pokazite identitete: A ∩ Bc = A \ B,(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc , A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra skupova
Skupovi (A,B,C . . .) su zatvorene cjeline. Univerzalni skup (Ω)cine elementi koji se uzimaju u provjeru pripadnosti definiranogskupa. Prazan skup jedini nema elemenata. Intuitivno!
Definicija
Operacije sa skupovima
unija A ∪ B,
presjek A ∩ B,
komplement u univerzalnom skupu Ac ,
razlika skupova A \ B
Zadatak
Vennovim dijagramima pokazite identitete: A ∩ Bc = A \ B,(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc , A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra skupova
Skupovi (A,B,C . . .) su zatvorene cjeline. Univerzalni skup (Ω)cine elementi koji se uzimaju u provjeru pripadnosti definiranogskupa. Prazan skup jedini nema elemenata. Intuitivno!
Definicija
Operacije sa skupovima
unija A ∪ B,
presjek A ∩ B,
komplement u univerzalnom skupu Ac ,
razlika skupova A \ B
Zadatak
Vennovim dijagramima pokazite identitete: A ∩ Bc = A \ B,(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc , A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra skupova
Skupovi (A,B,C . . .) su zatvorene cjeline. Univerzalni skup (Ω)cine elementi koji se uzimaju u provjeru pripadnosti definiranogskupa. Prazan skup jedini nema elemenata. Intuitivno!
Definicija
Operacije sa skupovima
unija A ∪ B,
presjek A ∩ B,
komplement u univerzalnom skupu Ac ,
razlika skupova A \ B
Zadatak
Vennovim dijagramima pokazite identitete:
A ∩ Bc = A \ B,(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc , A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra skupova
Skupovi (A,B,C . . .) su zatvorene cjeline. Univerzalni skup (Ω)cine elementi koji se uzimaju u provjeru pripadnosti definiranogskupa. Prazan skup jedini nema elemenata. Intuitivno!
Definicija
Operacije sa skupovima
unija A ∪ B,
presjek A ∩ B,
komplement u univerzalnom skupu Ac ,
razlika skupova A \ B
Zadatak
Vennovim dijagramima pokazite identitete: A ∩ Bc = A \ B,
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc , A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra skupova
Skupovi (A,B,C . . .) su zatvorene cjeline. Univerzalni skup (Ω)cine elementi koji se uzimaju u provjeru pripadnosti definiranogskupa. Prazan skup jedini nema elemenata. Intuitivno!
Definicija
Operacije sa skupovima
unija A ∪ B,
presjek A ∩ B,
komplement u univerzalnom skupu Ac ,
razlika skupova A \ B
Zadatak
Vennovim dijagramima pokazite identitete: A ∩ Bc = A \ B,(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc ,
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra skupova
Skupovi (A,B,C . . .) su zatvorene cjeline. Univerzalni skup (Ω)cine elementi koji se uzimaju u provjeru pripadnosti definiranogskupa. Prazan skup jedini nema elemenata. Intuitivno!
Definicija
Operacije sa skupovima
unija A ∪ B,
presjek A ∩ B,
komplement u univerzalnom skupu Ac ,
razlika skupova A \ B
Zadatak
Vennovim dijagramima pokazite identitete: A ∩ Bc = A \ B,(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc , A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra dogadaja
Elementarni dogadaj je svaki ishod slucajnog pokusa: ω
Prostor elementarnih dogadaja je univerzalni skup svih ishoda Ω
Dogadaj je skup
Nemogucim dogadajem naziva se
prazan skup ∅ ⊂ Ωbilo koji skup C : C ∩ Ω = ∅
Sigurnim dogadajem naziva se skup Ω.
Operacije s dogadajima su logicke:ili (unija); i (presjek); ne (komplement).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra dogadaja
Elementarni dogadaj je svaki ishod slucajnog pokusa:
ω
Prostor elementarnih dogadaja je univerzalni skup svih ishoda Ω
Dogadaj je skup
Nemogucim dogadajem naziva se
prazan skup ∅ ⊂ Ωbilo koji skup C : C ∩ Ω = ∅
Sigurnim dogadajem naziva se skup Ω.
Operacije s dogadajima su logicke:ili (unija); i (presjek); ne (komplement).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra dogadaja
Elementarni dogadaj je svaki ishod slucajnog pokusa: ω
Prostor elementarnih dogadaja je univerzalni skup svih ishoda Ω
Dogadaj je skup
Nemogucim dogadajem naziva se
prazan skup ∅ ⊂ Ωbilo koji skup C : C ∩ Ω = ∅
Sigurnim dogadajem naziva se skup Ω.
Operacije s dogadajima su logicke:ili (unija); i (presjek); ne (komplement).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra dogadaja
Elementarni dogadaj je svaki ishod slucajnog pokusa: ω
Prostor elementarnih dogadaja je univerzalni skup svih ishoda Ω
Dogadaj je skup
Nemogucim dogadajem naziva se
prazan skup ∅ ⊂ Ωbilo koji skup C : C ∩ Ω = ∅
Sigurnim dogadajem naziva se skup Ω.
Operacije s dogadajima su logicke:ili (unija); i (presjek); ne (komplement).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra dogadaja
Elementarni dogadaj je svaki ishod slucajnog pokusa: ω
Prostor elementarnih dogadaja je univerzalni skup svih ishoda Ω
Dogadaj je skup
Nemogucim dogadajem naziva se
prazan skup ∅ ⊂ Ωbilo koji skup C : C ∩ Ω = ∅
Sigurnim dogadajem naziva se skup Ω.
Operacije s dogadajima su logicke:ili (unija); i (presjek); ne (komplement).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra dogadaja
Elementarni dogadaj je svaki ishod slucajnog pokusa: ω
Prostor elementarnih dogadaja je univerzalni skup svih ishoda Ω
Dogadaj je skup
Nemogucim dogadajem naziva se
prazan skup ∅ ⊂ Ωbilo koji skup C : C ∩ Ω = ∅
Sigurnim dogadajem naziva se skup Ω.
Operacije s dogadajima su logicke:ili (unija); i (presjek); ne (komplement).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra dogadaja
Elementarni dogadaj je svaki ishod slucajnog pokusa: ω
Prostor elementarnih dogadaja je univerzalni skup svih ishoda Ω
Dogadaj je skup
Nemogucim dogadajem naziva se
prazan skup ∅ ⊂ Ω
bilo koji skup C : C ∩ Ω = ∅Sigurnim dogadajem naziva se skup Ω.
Operacije s dogadajima su logicke:ili (unija); i (presjek); ne (komplement).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra dogadaja
Elementarni dogadaj je svaki ishod slucajnog pokusa: ω
Prostor elementarnih dogadaja je univerzalni skup svih ishoda Ω
Dogadaj je skup
Nemogucim dogadajem naziva se
prazan skup ∅ ⊂ Ωbilo koji skup C : C ∩ Ω = ∅
Sigurnim dogadajem naziva se skup Ω.
Operacije s dogadajima su logicke:ili (unija); i (presjek); ne (komplement).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra dogadaja
Elementarni dogadaj je svaki ishod slucajnog pokusa: ω
Prostor elementarnih dogadaja je univerzalni skup svih ishoda Ω
Dogadaj je skup
Nemogucim dogadajem naziva se
prazan skup ∅ ⊂ Ωbilo koji skup C : C ∩ Ω = ∅
Sigurnim dogadajem naziva se skup Ω.
Operacije s dogadajima su logicke:ili (unija); i (presjek); ne (komplement).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra dogadaja
Elementarni dogadaj je svaki ishod slucajnog pokusa: ω
Prostor elementarnih dogadaja je univerzalni skup svih ishoda Ω
Dogadaj je skup
Nemogucim dogadajem naziva se
prazan skup ∅ ⊂ Ωbilo koji skup C : C ∩ Ω = ∅
Sigurnim dogadajem naziva se skup Ω.
Operacije s dogadajima su logicke:
ili (unija); i (presjek); ne (komplement).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra dogadaja
Elementarni dogadaj je svaki ishod slucajnog pokusa: ω
Prostor elementarnih dogadaja je univerzalni skup svih ishoda Ω
Dogadaj je skup
Nemogucim dogadajem naziva se
prazan skup ∅ ⊂ Ωbilo koji skup C : C ∩ Ω = ∅
Sigurnim dogadajem naziva se skup Ω.
Operacije s dogadajima su logicke:ili (unija);
i (presjek); ne (komplement).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra dogadaja
Elementarni dogadaj je svaki ishod slucajnog pokusa: ω
Prostor elementarnih dogadaja je univerzalni skup svih ishoda Ω
Dogadaj je skup
Nemogucim dogadajem naziva se
prazan skup ∅ ⊂ Ωbilo koji skup C : C ∩ Ω = ∅
Sigurnim dogadajem naziva se skup Ω.
Operacije s dogadajima su logicke:ili (unija); i (presjek);
ne (komplement).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Algebra dogadaja
Elementarni dogadaj je svaki ishod slucajnog pokusa: ω
Prostor elementarnih dogadaja je univerzalni skup svih ishoda Ω
Dogadaj je skup
Nemogucim dogadajem naziva se
prazan skup ∅ ⊂ Ωbilo koji skup C : C ∩ Ω = ∅
Sigurnim dogadajem naziva se skup Ω.
Operacije s dogadajima su logicke:ili (unija); i (presjek); ne (komplement).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Velicina skupa
Velicina skupa moze biti
- prirodan broj
- neogranicena ali prebrojiva
- neogranicena ali neprebrojiva
- ogranicena ali neprebrojiva
Zadatak
Odredite velicine vjerojatnosnih prostora
1 Potrosnja vode sutra u Zagrebu.
2 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc bez vracanjaizvucene karte.
3 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc sa vracanjemsvake izvucene karte.
4 Mjerenje vrelista vode
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Velicina skupa
Velicina skupa moze biti
- prirodan broj
- neogranicena ali prebrojiva
- neogranicena ali neprebrojiva
- ogranicena ali neprebrojiva
Zadatak
Odredite velicine vjerojatnosnih prostora
1 Potrosnja vode sutra u Zagrebu.
2 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc bez vracanjaizvucene karte.
3 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc sa vracanjemsvake izvucene karte.
4 Mjerenje vrelista vode
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Velicina skupa
Velicina skupa moze biti
- prirodan broj
- neogranicena ali prebrojiva
- neogranicena ali neprebrojiva
- ogranicena ali neprebrojiva
Zadatak
Odredite velicine vjerojatnosnih prostora
1 Potrosnja vode sutra u Zagrebu.
2 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc bez vracanjaizvucene karte.
3 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc sa vracanjemsvake izvucene karte.
4 Mjerenje vrelista vode
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Velicina skupa
Velicina skupa moze biti
- prirodan broj
- neogranicena ali prebrojiva
- neogranicena ali neprebrojiva
- ogranicena ali neprebrojiva
Zadatak
Odredite velicine vjerojatnosnih prostora
1 Potrosnja vode sutra u Zagrebu.
2 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc bez vracanjaizvucene karte.
3 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc sa vracanjemsvake izvucene karte.
4 Mjerenje vrelista vode
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Velicina skupa
Velicina skupa moze biti
- prirodan broj
- neogranicena ali prebrojiva
- neogranicena ali neprebrojiva
- ogranicena ali neprebrojiva
Zadatak
Odredite velicine vjerojatnosnih prostora
1 Potrosnja vode sutra u Zagrebu.
2 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc bez vracanjaizvucene karte.
3 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc sa vracanjemsvake izvucene karte.
4 Mjerenje vrelista vode
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Velicina skupa
Velicina skupa moze biti
- prirodan broj
- neogranicena ali prebrojiva
- neogranicena ali neprebrojiva
- ogranicena ali neprebrojiva
Zadatak
Odredite velicine vjerojatnosnih prostora
1 Potrosnja vode sutra u Zagrebu.
2 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc bez vracanjaizvucene karte.
3 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc sa vracanjemsvake izvucene karte.
4 Mjerenje vrelista vode
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Velicina skupa
Velicina skupa moze biti
- prirodan broj
- neogranicena ali prebrojiva
- neogranicena ali neprebrojiva
- ogranicena ali neprebrojiva
Zadatak
Odredite velicine vjerojatnosnih prostora
1 Potrosnja vode sutra u Zagrebu.
2 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc bez vracanjaizvucene karte.
3 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc sa vracanjemsvake izvucene karte.
4 Mjerenje vrelista vode
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Velicina skupa
Velicina skupa moze biti
- prirodan broj
- neogranicena ali prebrojiva
- neogranicena ali neprebrojiva
- ogranicena ali neprebrojiva
Zadatak
Odredite velicine vjerojatnosnih prostora
1 Potrosnja vode sutra u Zagrebu.
2 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc bez vracanjaizvucene karte.
3 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc sa vracanjemsvake izvucene karte.
4 Mjerenje vrelista vode
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Velicina skupa
Velicina skupa moze biti
- prirodan broj
- neogranicena ali prebrojiva
- neogranicena ali neprebrojiva
- ogranicena ali neprebrojiva
Zadatak
Odredite velicine vjerojatnosnih prostora
1 Potrosnja vode sutra u Zagrebu.
2 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc bez vracanjaizvucene karte.
3 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc sa vracanjemsvake izvucene karte.
4 Mjerenje vrelista vode
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Velicina skupa
Velicina skupa moze biti
- prirodan broj
- neogranicena ali prebrojiva
- neogranicena ali neprebrojiva
- ogranicena ali neprebrojiva
Zadatak
Odredite velicine vjerojatnosnih prostora
1 Potrosnja vode sutra u Zagrebu.
2 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc bez vracanjaizvucene karte.
3 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc sa vracanjemsvake izvucene karte.
4 Mjerenje vrelista vode
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Velicina skupa
Velicina skupa moze biti
- prirodan broj
- neogranicena ali prebrojiva
- neogranicena ali neprebrojiva
- ogranicena ali neprebrojiva
Zadatak
Odredite velicine vjerojatnosnih prostora
1 Potrosnja vode sutra u Zagrebu.
2 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc bez vracanjaizvucene karte.
3 Izvlacenje karata iz spila dok se ne izvuce herc sa vracanjemsvake izvucene karte.
4 Mjerenje vrelista vode
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Intuitivna definicija vjerojatnosti
Vjerojatnost dogadjaja - p(A) =k(A)
k(Ω), gdje je k(A) = |A| velicina
skupa A.
Zadatak
Koliko je vjerojatna sedmica na lotu ako igrac odigra sistem od 23broja?
Zadatak
Koliko je vjerojatno da mali Ivica pogodi prozor loptom ako nocunapucava zid 10× 5 metara na kojem je prozor 1.20× 1 metar.
Zadatak
Policiji je dojavljeno da nocu od dva do tri manijak prolazi krozcrveno. Koliko je vjerojatno da policija ulovi izgrednika ako
ceka u zasjedi od pola tri do petnaest do tri.
u dva i petnaest produ raskrscem
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Intuitivna definicija vjerojatnosti
Vjerojatnost dogadjaja -
p(A) =k(A)
k(Ω), gdje je k(A) = |A| velicina
skupa A.
Zadatak
Koliko je vjerojatna sedmica na lotu ako igrac odigra sistem od 23broja?
Zadatak
Koliko je vjerojatno da mali Ivica pogodi prozor loptom ako nocunapucava zid 10× 5 metara na kojem je prozor 1.20× 1 metar.
Zadatak
Policiji je dojavljeno da nocu od dva do tri manijak prolazi krozcrveno. Koliko je vjerojatno da policija ulovi izgrednika ako
ceka u zasjedi od pola tri do petnaest do tri.
u dva i petnaest produ raskrscem
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Intuitivna definicija vjerojatnosti
Vjerojatnost dogadjaja - p(A) =k(A)
k(Ω), gdje je k(A) = |A| velicina
skupa A.
Zadatak
Koliko je vjerojatna sedmica na lotu ako igrac odigra sistem od 23broja?
Zadatak
Koliko je vjerojatno da mali Ivica pogodi prozor loptom ako nocunapucava zid 10× 5 metara na kojem je prozor 1.20× 1 metar.
Zadatak
Policiji je dojavljeno da nocu od dva do tri manijak prolazi krozcrveno. Koliko je vjerojatno da policija ulovi izgrednika ako
ceka u zasjedi od pola tri do petnaest do tri.
u dva i petnaest produ raskrscem
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Intuitivna definicija vjerojatnosti
Vjerojatnost dogadjaja - p(A) =k(A)
k(Ω), gdje je k(A) = |A| velicina
skupa A.
Zadatak
Koliko je vjerojatna sedmica na lotu ako igrac odigra sistem od 23broja?
Zadatak
Koliko je vjerojatno da mali Ivica pogodi prozor loptom ako nocunapucava zid 10× 5 metara na kojem je prozor 1.20× 1 metar.
Zadatak
Policiji je dojavljeno da nocu od dva do tri manijak prolazi krozcrveno. Koliko je vjerojatno da policija ulovi izgrednika ako
ceka u zasjedi od pola tri do petnaest do tri.
u dva i petnaest produ raskrscem
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Intuitivna definicija vjerojatnosti
Vjerojatnost dogadjaja - p(A) =k(A)
k(Ω), gdje je k(A) = |A| velicina
skupa A.
Zadatak
Koliko je vjerojatna sedmica na lotu ako igrac odigra sistem od 23broja?
Zadatak
Koliko je vjerojatno da mali Ivica pogodi prozor loptom ako nocunapucava zid 10× 5 metara na kojem je prozor 1.20× 1 metar.
Zadatak
Policiji je dojavljeno da nocu od dva do tri manijak prolazi krozcrveno. Koliko je vjerojatno da policija ulovi izgrednika ako
ceka u zasjedi od pola tri do petnaest do tri.
u dva i petnaest produ raskrscem
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Intuitivna definicija vjerojatnosti
Vjerojatnost dogadjaja - p(A) =k(A)
k(Ω), gdje je k(A) = |A| velicina
skupa A.
Zadatak
Koliko je vjerojatna sedmica na lotu ako igrac odigra sistem od 23broja?
Zadatak
Koliko je vjerojatno da mali Ivica pogodi prozor loptom ako nocunapucava zid 10× 5 metara na kojem je prozor 1.20× 1 metar.
Zadatak
Policiji je dojavljeno da nocu od dva do tri manijak prolazi krozcrveno. Koliko je vjerojatno da policija ulovi izgrednika ako
ceka u zasjedi od pola tri do petnaest do tri.
u dva i petnaest produ raskrscem
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Intuitivna definicija vjerojatnosti
Vjerojatnost dogadjaja - p(A) =k(A)
k(Ω), gdje je k(A) = |A| velicina
skupa A.
Zadatak
Koliko je vjerojatna sedmica na lotu ako igrac odigra sistem od 23broja?
Zadatak
Koliko je vjerojatno da mali Ivica pogodi prozor loptom ako nocunapucava zid 10× 5 metara na kojem je prozor 1.20× 1 metar.
Zadatak
Policiji je dojavljeno da nocu od dva do tri manijak prolazi krozcrveno. Koliko je vjerojatno da policija ulovi izgrednika ako
ceka u zasjedi od pola tri do petnaest do tri.
u dva i petnaest produ raskrscem
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Intuitivna definicija vjerojatnosti
Vjerojatnost dogadjaja - p(A) =k(A)
k(Ω), gdje je k(A) = |A| velicina
skupa A.
Zadatak
Koliko je vjerojatna sedmica na lotu ako igrac odigra sistem od 23broja?
Zadatak
Koliko je vjerojatno da mali Ivica pogodi prozor loptom ako nocunapucava zid 10× 5 metara na kojem je prozor 1.20× 1 metar.
Zadatak
Policiji je dojavljeno da nocu od dva do tri manijak prolazi krozcrveno. Koliko je vjerojatno da policija ulovi izgrednika ako
ceka u zasjedi od pola tri do petnaest do tri.
u dva i petnaest produ raskrscem
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Vjerojatnostni prostor
σ - algebra je kolekcija F podskupova skupa Ω, koja sadrzi ∅, Ω,komplement svakog svojeg clana Ac = Ω \ A izatvorena je na prebrojivu uniju. Tada je zatvorena ina presjek.
Vjerojatnost je funkcija p : F → [0, 1] za koju vrijedi:
p(A) ≥ 0p(Ω) = 1p(Ω \ A) = p(Ac) = 1− p(A)p(A ∪ B) = p(A) + p(B)− p(A ∩ B).
Vjerojatnosni prostor je trojka (p,F ,Ω).
Vjerojatnost a’posteriori je statisticke prirode.
Zadatak
Prilikom 10000 pokusaja uspostave veze, ona uspostavljena 6789puta. Kolika je vjerojatnost uspostave veze?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Vjerojatnostni prostor
σ - algebra je kolekcija F podskupova skupa Ω, koja
sadrzi ∅, Ω,komplement svakog svojeg clana Ac = Ω \ A izatvorena je na prebrojivu uniju. Tada je zatvorena ina presjek.
Vjerojatnost je funkcija p : F → [0, 1] za koju vrijedi:
p(A) ≥ 0p(Ω) = 1p(Ω \ A) = p(Ac) = 1− p(A)p(A ∪ B) = p(A) + p(B)− p(A ∩ B).
Vjerojatnosni prostor je trojka (p,F ,Ω).
Vjerojatnost a’posteriori je statisticke prirode.
Zadatak
Prilikom 10000 pokusaja uspostave veze, ona uspostavljena 6789puta. Kolika je vjerojatnost uspostave veze?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Vjerojatnostni prostor
σ - algebra je kolekcija F podskupova skupa Ω, koja sadrzi ∅,
Ω,komplement svakog svojeg clana Ac = Ω \ A izatvorena je na prebrojivu uniju. Tada je zatvorena ina presjek.
Vjerojatnost je funkcija p : F → [0, 1] za koju vrijedi:
p(A) ≥ 0p(Ω) = 1p(Ω \ A) = p(Ac) = 1− p(A)p(A ∪ B) = p(A) + p(B)− p(A ∩ B).
Vjerojatnosni prostor je trojka (p,F ,Ω).
Vjerojatnost a’posteriori je statisticke prirode.
Zadatak
Prilikom 10000 pokusaja uspostave veze, ona uspostavljena 6789puta. Kolika je vjerojatnost uspostave veze?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Vjerojatnostni prostor
σ - algebra je kolekcija F podskupova skupa Ω, koja sadrzi ∅, Ω,
komplement svakog svojeg clana Ac = Ω \ A izatvorena je na prebrojivu uniju. Tada je zatvorena ina presjek.
Vjerojatnost je funkcija p : F → [0, 1] za koju vrijedi:
p(A) ≥ 0p(Ω) = 1p(Ω \ A) = p(Ac) = 1− p(A)p(A ∪ B) = p(A) + p(B)− p(A ∩ B).
Vjerojatnosni prostor je trojka (p,F ,Ω).
Vjerojatnost a’posteriori je statisticke prirode.
Zadatak
Prilikom 10000 pokusaja uspostave veze, ona uspostavljena 6789puta. Kolika je vjerojatnost uspostave veze?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Vjerojatnostni prostor
σ - algebra je kolekcija F podskupova skupa Ω, koja sadrzi ∅, Ω,komplement svakog svojeg clana Ac = Ω \ A
izatvorena je na prebrojivu uniju. Tada je zatvorena ina presjek.
Vjerojatnost je funkcija p : F → [0, 1] za koju vrijedi:
p(A) ≥ 0p(Ω) = 1p(Ω \ A) = p(Ac) = 1− p(A)p(A ∪ B) = p(A) + p(B)− p(A ∩ B).
Vjerojatnosni prostor je trojka (p,F ,Ω).
Vjerojatnost a’posteriori je statisticke prirode.
Zadatak
Prilikom 10000 pokusaja uspostave veze, ona uspostavljena 6789puta. Kolika je vjerojatnost uspostave veze?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Vjerojatnostni prostor
σ - algebra je kolekcija F podskupova skupa Ω, koja sadrzi ∅, Ω,komplement svakog svojeg clana Ac = Ω \ A izatvorena je na prebrojivu uniju.
Tada je zatvorena ina presjek.
Vjerojatnost je funkcija p : F → [0, 1] za koju vrijedi:
p(A) ≥ 0p(Ω) = 1p(Ω \ A) = p(Ac) = 1− p(A)p(A ∪ B) = p(A) + p(B)− p(A ∩ B).
Vjerojatnosni prostor je trojka (p,F ,Ω).
Vjerojatnost a’posteriori je statisticke prirode.
Zadatak
Prilikom 10000 pokusaja uspostave veze, ona uspostavljena 6789puta. Kolika je vjerojatnost uspostave veze?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Vjerojatnostni prostor
σ - algebra je kolekcija F podskupova skupa Ω, koja sadrzi ∅, Ω,komplement svakog svojeg clana Ac = Ω \ A izatvorena je na prebrojivu uniju. Tada je zatvorena ina presjek.
Vjerojatnost je funkcija p : F → [0, 1] za koju vrijedi:
p(A) ≥ 0p(Ω) = 1p(Ω \ A) = p(Ac) = 1− p(A)p(A ∪ B) = p(A) + p(B)− p(A ∩ B).
Vjerojatnosni prostor je trojka (p,F ,Ω).
Vjerojatnost a’posteriori je statisticke prirode.
Zadatak
Prilikom 10000 pokusaja uspostave veze, ona uspostavljena 6789puta. Kolika je vjerojatnost uspostave veze?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Vjerojatnostni prostor
σ - algebra je kolekcija F podskupova skupa Ω, koja sadrzi ∅, Ω,komplement svakog svojeg clana Ac = Ω \ A izatvorena je na prebrojivu uniju. Tada je zatvorena ina presjek.
Vjerojatnost je funkcija p : F → [0, 1] za koju vrijedi:
p(A) ≥ 0
p(Ω) = 1p(Ω \ A) = p(Ac) = 1− p(A)p(A ∪ B) = p(A) + p(B)− p(A ∩ B).
Vjerojatnosni prostor je trojka (p,F ,Ω).
Vjerojatnost a’posteriori je statisticke prirode.
Zadatak
Prilikom 10000 pokusaja uspostave veze, ona uspostavljena 6789puta. Kolika je vjerojatnost uspostave veze?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Vjerojatnostni prostor
σ - algebra je kolekcija F podskupova skupa Ω, koja sadrzi ∅, Ω,komplement svakog svojeg clana Ac = Ω \ A izatvorena je na prebrojivu uniju. Tada je zatvorena ina presjek.
Vjerojatnost je funkcija p : F → [0, 1] za koju vrijedi:
p(A) ≥ 0p(Ω) = 1
p(Ω \ A) = p(Ac) = 1− p(A)p(A ∪ B) = p(A) + p(B)− p(A ∩ B).
Vjerojatnosni prostor je trojka (p,F ,Ω).
Vjerojatnost a’posteriori je statisticke prirode.
Zadatak
Prilikom 10000 pokusaja uspostave veze, ona uspostavljena 6789puta. Kolika je vjerojatnost uspostave veze?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Vjerojatnostni prostor
σ - algebra je kolekcija F podskupova skupa Ω, koja sadrzi ∅, Ω,komplement svakog svojeg clana Ac = Ω \ A izatvorena je na prebrojivu uniju. Tada je zatvorena ina presjek.
Vjerojatnost je funkcija p : F → [0, 1] za koju vrijedi:
p(A) ≥ 0p(Ω) = 1p(Ω \ A) = p(Ac) = 1− p(A)
p(A ∪ B) = p(A) + p(B)− p(A ∩ B).
Vjerojatnosni prostor je trojka (p,F ,Ω).
Vjerojatnost a’posteriori je statisticke prirode.
Zadatak
Prilikom 10000 pokusaja uspostave veze, ona uspostavljena 6789puta. Kolika je vjerojatnost uspostave veze?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Vjerojatnostni prostor
σ - algebra je kolekcija F podskupova skupa Ω, koja sadrzi ∅, Ω,komplement svakog svojeg clana Ac = Ω \ A izatvorena je na prebrojivu uniju. Tada je zatvorena ina presjek.
Vjerojatnost je funkcija p : F → [0, 1] za koju vrijedi:
p(A) ≥ 0p(Ω) = 1p(Ω \ A) = p(Ac) = 1− p(A)p(A ∪ B) = p(A) + p(B)− p(A ∩ B).
Vjerojatnosni prostor je trojka (p,F ,Ω).
Vjerojatnost a’posteriori je statisticke prirode.
Zadatak
Prilikom 10000 pokusaja uspostave veze, ona uspostavljena 6789puta. Kolika je vjerojatnost uspostave veze?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Vjerojatnostni prostor
σ - algebra je kolekcija F podskupova skupa Ω, koja sadrzi ∅, Ω,komplement svakog svojeg clana Ac = Ω \ A izatvorena je na prebrojivu uniju. Tada je zatvorena ina presjek.
Vjerojatnost je funkcija p : F → [0, 1] za koju vrijedi:
p(A) ≥ 0p(Ω) = 1p(Ω \ A) = p(Ac) = 1− p(A)p(A ∪ B) = p(A) + p(B)− p(A ∩ B).
Vjerojatnosni prostor je trojka (p,F ,Ω).
Vjerojatnost a’posteriori je statisticke prirode.
Zadatak
Prilikom 10000 pokusaja uspostave veze, ona uspostavljena 6789puta. Kolika je vjerojatnost uspostave veze?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Vjerojatnostni prostor
σ - algebra je kolekcija F podskupova skupa Ω, koja sadrzi ∅, Ω,komplement svakog svojeg clana Ac = Ω \ A izatvorena je na prebrojivu uniju. Tada je zatvorena ina presjek.
Vjerojatnost je funkcija p : F → [0, 1] za koju vrijedi:
p(A) ≥ 0p(Ω) = 1p(Ω \ A) = p(Ac) = 1− p(A)p(A ∪ B) = p(A) + p(B)− p(A ∩ B).
Vjerojatnosni prostor je trojka (p,F ,Ω).
Vjerojatnost a’posteriori je statisticke prirode.
Zadatak
Prilikom 10000 pokusaja uspostave veze, ona uspostavljena 6789puta. Kolika je vjerojatnost uspostave veze?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Vjerojatnostni prostor
σ - algebra je kolekcija F podskupova skupa Ω, koja sadrzi ∅, Ω,komplement svakog svojeg clana Ac = Ω \ A izatvorena je na prebrojivu uniju. Tada je zatvorena ina presjek.
Vjerojatnost je funkcija p : F → [0, 1] za koju vrijedi:
p(A) ≥ 0p(Ω) = 1p(Ω \ A) = p(Ac) = 1− p(A)p(A ∪ B) = p(A) + p(B)− p(A ∩ B).
Vjerojatnosni prostor je trojka (p,F ,Ω).
Vjerojatnost a’posteriori je statisticke prirode.
Zadatak
Prilikom 10000 pokusaja uspostave veze, ona uspostavljena 6789puta. Kolika je vjerojatnost uspostave veze?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Konacan vjerojatnosni prostor
Primjer
Igra na srecu sastoji se od bacanja dviju kocaka. Odreditevjerojatnost da zbroj na kockama bude veci od 9? 6
36 .
Zadatak ( Chevalier de Mere oko 1655.godine)
Koliko je vjerojatno da se u 4 bacanja jedne kocke bar jednompojavi broj 6?
Zadatak
Kolika je vjerojatnost da se u 24 bacanja dviju kocaka baremjednom pojavi zbroj 12?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Konacan vjerojatnosni prostor
Primjer
Igra na srecu sastoji se od bacanja dviju kocaka. Odreditevjerojatnost da zbroj na kockama bude veci od 9?
636 .
Zadatak ( Chevalier de Mere oko 1655.godine)
Koliko je vjerojatno da se u 4 bacanja jedne kocke bar jednompojavi broj 6?
Zadatak
Kolika je vjerojatnost da se u 24 bacanja dviju kocaka baremjednom pojavi zbroj 12?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Konacan vjerojatnosni prostor
Primjer
Igra na srecu sastoji se od bacanja dviju kocaka. Odreditevjerojatnost da zbroj na kockama bude veci od 9? 6
36 .
Zadatak ( Chevalier de Mere oko 1655.godine)
Koliko je vjerojatno da se u 4 bacanja jedne kocke bar jednompojavi broj 6?
Zadatak
Kolika je vjerojatnost da se u 24 bacanja dviju kocaka baremjednom pojavi zbroj 12?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Konacan vjerojatnosni prostor
Primjer
Igra na srecu sastoji se od bacanja dviju kocaka. Odreditevjerojatnost da zbroj na kockama bude veci od 9? 6
36 .
Zadatak ( Chevalier de Mere oko 1655.godine)
Koliko je vjerojatno da se u 4 bacanja jedne kocke bar jednompojavi broj 6?
Zadatak
Kolika je vjerojatnost da se u 24 bacanja dviju kocaka baremjednom pojavi zbroj 12?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Konacan vjerojatnosni prostor
Primjer
Igra na srecu sastoji se od bacanja dviju kocaka. Odreditevjerojatnost da zbroj na kockama bude veci od 9? 6
36 .
Zadatak ( Chevalier de Mere oko 1655.godine)
Koliko je vjerojatno da se u 4 bacanja jedne kocke bar jednompojavi broj 6?
Zadatak
Kolika je vjerojatnost da se u 24 bacanja dviju kocaka baremjednom pojavi zbroj 12?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Prebrojiv vjerojatnostni prostor
Zadatak
Novcic se baca dok ne padne pismo. Kolika je vjerojatnost dapismo padne tek u petom pokusaju? 1
32 .
Zadatak
Kocka se baca dok se ne dobije 6. Koliko se puta mora bacati pada s vjerojatnosti od 90% mozemo tvrditi da ce bar jednom pasti6? 13, p = 0, 906536.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Prebrojiv vjerojatnostni prostor
Zadatak
Novcic se baca dok ne padne pismo. Kolika je vjerojatnost dapismo padne tek u petom pokusaju?
132 .
Zadatak
Kocka se baca dok se ne dobije 6. Koliko se puta mora bacati pada s vjerojatnosti od 90% mozemo tvrditi da ce bar jednom pasti6? 13, p = 0, 906536.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Prebrojiv vjerojatnostni prostor
Zadatak
Novcic se baca dok ne padne pismo. Kolika je vjerojatnost dapismo padne tek u petom pokusaju? 1
32 .
Zadatak
Kocka se baca dok se ne dobije 6. Koliko se puta mora bacati pada s vjerojatnosti od 90% mozemo tvrditi da ce bar jednom pasti6? 13, p = 0, 906536.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Prebrojiv vjerojatnostni prostor
Zadatak
Novcic se baca dok ne padne pismo. Kolika je vjerojatnost dapismo padne tek u petom pokusaju? 1
32 .
Zadatak
Kocka se baca dok se ne dobije 6. Koliko se puta mora bacati pada s vjerojatnosti od 90% mozemo tvrditi da ce bar jednom pasti6?
13, p = 0, 906536.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Prebrojiv vjerojatnostni prostor
Zadatak
Novcic se baca dok ne padne pismo. Kolika je vjerojatnost dapismo padne tek u petom pokusaju? 1
32 .
Zadatak
Kocka se baca dok se ne dobije 6. Koliko se puta mora bacati pada s vjerojatnosti od 90% mozemo tvrditi da ce bar jednom pasti6? 13,
p = 0, 906536.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Prebrojiv vjerojatnostni prostor
Zadatak
Novcic se baca dok ne padne pismo. Kolika je vjerojatnost dapismo padne tek u petom pokusaju? 1
32 .
Zadatak
Kocka se baca dok se ne dobije 6. Koliko se puta mora bacati pada s vjerojatnosti od 90% mozemo tvrditi da ce bar jednom pasti6? 13, p = 0, 906536.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Prebrojiv vjerojatnostni prostor
Zadatak
Novcic se baca dok ne padne pismo. Kolika je vjerojatnost dapismo padne tek u petom pokusaju? 1
32 .
Zadatak
Kocka se baca dok se ne dobije 6. Koliko se puta mora bacati pada s vjerojatnosti od 90% mozemo tvrditi da ce bar jednom pasti6? 13, p = 0, 906536.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Geometrijska vjerojatnost
Zadatak
Decko i cura dogovore susret izmedu 7 : 00 i 8 : 00 na trgu.Dogovore se, da ono koje dode prvo, ceka drugo 20min. Kolika jevjerojatnost da ce se ipak susresti?
Zadatak
Iz intervala [0, 2] biraju se na slucajan nacin dva broja. Kolika jevjerojatnost da umnozak brojeva bude manji od 1?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Geometrijska vjerojatnost
Zadatak
Decko i cura dogovore susret izmedu 7 : 00 i 8 : 00 na trgu.Dogovore se, da ono koje dode prvo, ceka drugo 20min. Kolika jevjerojatnost da ce se ipak susresti?
Zadatak
Iz intervala [0, 2] biraju se na slucajan nacin dva broja. Kolika jevjerojatnost da umnozak brojeva bude manji od 1?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Geometrijska vjerojatnost
Zadatak
Decko i cura dogovore susret izmedu 7 : 00 i 8 : 00 na trgu.Dogovore se, da ono koje dode prvo, ceka drugo 20min. Kolika jevjerojatnost da ce se ipak susresti?
Zadatak
Iz intervala [0, 2] biraju se na slucajan nacin dva broja. Kolika jevjerojatnost da umnozak brojeva bude manji od 1?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Vennovim dijagramima pokazite (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc iA ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
2 U studentskoj grupi su 24 studenta. Engleski govori 20studenata, a njemacki 10. Koliko ih govori oba jezika, akodvojica ne govore ni njemacki ni engleski? 8
3 Bacaju se tri novcica. Kolika je vjerojatnost da se na jednompojavi pismo? 0.375
4 Bacaju se dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da zbroj nakockama nece biti 9? 88.9%
5 U kvadrat je upisan krug. Kolika je vjerojatnost da pikadopogodi dio kruga izvan kvadrata, ako se pretpostavi da nestrijelac ne moze promasiti metu? 88.9%
6 Na zidu dimenzija 8× 5 metara nalaze se cetiri prozora svakidimenzija 1.8× 1.2 metra. Kolika je vjerojatnost da djecakkoji nasumice nocu napucava loptu u zid pogodi bilo kojiprozor? 21.6%
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Vennovim dijagramima pokazite (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc iA ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
2 U studentskoj grupi su 24 studenta. Engleski govori 20studenata, a njemacki 10. Koliko ih govori oba jezika, akodvojica ne govore ni njemacki ni engleski? 8
3 Bacaju se tri novcica. Kolika je vjerojatnost da se na jednompojavi pismo? 0.375
4 Bacaju se dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da zbroj nakockama nece biti 9? 88.9%
5 U kvadrat je upisan krug. Kolika je vjerojatnost da pikadopogodi dio kruga izvan kvadrata, ako se pretpostavi da nestrijelac ne moze promasiti metu? 88.9%
6 Na zidu dimenzija 8× 5 metara nalaze se cetiri prozora svakidimenzija 1.8× 1.2 metra. Kolika je vjerojatnost da djecakkoji nasumice nocu napucava loptu u zid pogodi bilo kojiprozor? 21.6%
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Vennovim dijagramima pokazite (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc iA ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
2 U studentskoj grupi su 24 studenta. Engleski govori 20studenata, a njemacki 10. Koliko ih govori oba jezika, akodvojica ne govore ni njemacki ni engleski?
83 Bacaju se tri novcica. Kolika je vjerojatnost da se na jednom
pojavi pismo? 0.3754 Bacaju se dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da zbroj na
kockama nece biti 9? 88.9%5 U kvadrat je upisan krug. Kolika je vjerojatnost da pikado
pogodi dio kruga izvan kvadrata, ako se pretpostavi da nestrijelac ne moze promasiti metu? 88.9%
6 Na zidu dimenzija 8× 5 metara nalaze se cetiri prozora svakidimenzija 1.8× 1.2 metra. Kolika je vjerojatnost da djecakkoji nasumice nocu napucava loptu u zid pogodi bilo kojiprozor? 21.6%
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Vennovim dijagramima pokazite (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc iA ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
2 U studentskoj grupi su 24 studenta. Engleski govori 20studenata, a njemacki 10. Koliko ih govori oba jezika, akodvojica ne govore ni njemacki ni engleski? 8
3 Bacaju se tri novcica. Kolika je vjerojatnost da se na jednompojavi pismo? 0.375
4 Bacaju se dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da zbroj nakockama nece biti 9? 88.9%
5 U kvadrat je upisan krug. Kolika je vjerojatnost da pikadopogodi dio kruga izvan kvadrata, ako se pretpostavi da nestrijelac ne moze promasiti metu? 88.9%
6 Na zidu dimenzija 8× 5 metara nalaze se cetiri prozora svakidimenzija 1.8× 1.2 metra. Kolika je vjerojatnost da djecakkoji nasumice nocu napucava loptu u zid pogodi bilo kojiprozor? 21.6%
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Vennovim dijagramima pokazite (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc iA ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
2 U studentskoj grupi su 24 studenta. Engleski govori 20studenata, a njemacki 10. Koliko ih govori oba jezika, akodvojica ne govore ni njemacki ni engleski? 8
3 Bacaju se tri novcica. Kolika je vjerojatnost da se na jednompojavi pismo? 0.375
4 Bacaju se dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da zbroj nakockama nece biti 9? 88.9%
5 U kvadrat je upisan krug. Kolika je vjerojatnost da pikadopogodi dio kruga izvan kvadrata, ako se pretpostavi da nestrijelac ne moze promasiti metu? 88.9%
6 Na zidu dimenzija 8× 5 metara nalaze se cetiri prozora svakidimenzija 1.8× 1.2 metra. Kolika je vjerojatnost da djecakkoji nasumice nocu napucava loptu u zid pogodi bilo kojiprozor? 21.6%
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Vennovim dijagramima pokazite (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc iA ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
2 U studentskoj grupi su 24 studenta. Engleski govori 20studenata, a njemacki 10. Koliko ih govori oba jezika, akodvojica ne govore ni njemacki ni engleski? 8
3 Bacaju se tri novcica. Kolika je vjerojatnost da se na jednompojavi pismo?
0.3754 Bacaju se dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da zbroj na
kockama nece biti 9? 88.9%5 U kvadrat je upisan krug. Kolika je vjerojatnost da pikado
pogodi dio kruga izvan kvadrata, ako se pretpostavi da nestrijelac ne moze promasiti metu? 88.9%
6 Na zidu dimenzija 8× 5 metara nalaze se cetiri prozora svakidimenzija 1.8× 1.2 metra. Kolika je vjerojatnost da djecakkoji nasumice nocu napucava loptu u zid pogodi bilo kojiprozor? 21.6%
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Vennovim dijagramima pokazite (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc iA ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
2 U studentskoj grupi su 24 studenta. Engleski govori 20studenata, a njemacki 10. Koliko ih govori oba jezika, akodvojica ne govore ni njemacki ni engleski? 8
3 Bacaju se tri novcica. Kolika je vjerojatnost da se na jednompojavi pismo? 0.375
4 Bacaju se dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da zbroj nakockama nece biti 9? 88.9%
5 U kvadrat je upisan krug. Kolika je vjerojatnost da pikadopogodi dio kruga izvan kvadrata, ako se pretpostavi da nestrijelac ne moze promasiti metu? 88.9%
6 Na zidu dimenzija 8× 5 metara nalaze se cetiri prozora svakidimenzija 1.8× 1.2 metra. Kolika je vjerojatnost da djecakkoji nasumice nocu napucava loptu u zid pogodi bilo kojiprozor? 21.6%
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Vennovim dijagramima pokazite (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc iA ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
2 U studentskoj grupi su 24 studenta. Engleski govori 20studenata, a njemacki 10. Koliko ih govori oba jezika, akodvojica ne govore ni njemacki ni engleski? 8
3 Bacaju se tri novcica. Kolika je vjerojatnost da se na jednompojavi pismo? 0.375
4 Bacaju se dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da zbroj nakockama nece biti 9? 88.9%
5 U kvadrat je upisan krug. Kolika je vjerojatnost da pikadopogodi dio kruga izvan kvadrata, ako se pretpostavi da nestrijelac ne moze promasiti metu? 88.9%
6 Na zidu dimenzija 8× 5 metara nalaze se cetiri prozora svakidimenzija 1.8× 1.2 metra. Kolika je vjerojatnost da djecakkoji nasumice nocu napucava loptu u zid pogodi bilo kojiprozor? 21.6%
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Vennovim dijagramima pokazite (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc iA ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
2 U studentskoj grupi su 24 studenta. Engleski govori 20studenata, a njemacki 10. Koliko ih govori oba jezika, akodvojica ne govore ni njemacki ni engleski? 8
3 Bacaju se tri novcica. Kolika je vjerojatnost da se na jednompojavi pismo? 0.375
4 Bacaju se dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da zbroj nakockama nece biti 9?
88.9%5 U kvadrat je upisan krug. Kolika je vjerojatnost da pikado
pogodi dio kruga izvan kvadrata, ako se pretpostavi da nestrijelac ne moze promasiti metu? 88.9%
6 Na zidu dimenzija 8× 5 metara nalaze se cetiri prozora svakidimenzija 1.8× 1.2 metra. Kolika je vjerojatnost da djecakkoji nasumice nocu napucava loptu u zid pogodi bilo kojiprozor? 21.6%
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Vennovim dijagramima pokazite (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc iA ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
2 U studentskoj grupi su 24 studenta. Engleski govori 20studenata, a njemacki 10. Koliko ih govori oba jezika, akodvojica ne govore ni njemacki ni engleski? 8
3 Bacaju se tri novcica. Kolika je vjerojatnost da se na jednompojavi pismo? 0.375
4 Bacaju se dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da zbroj nakockama nece biti 9? 88.9%
5 U kvadrat je upisan krug. Kolika je vjerojatnost da pikadopogodi dio kruga izvan kvadrata, ako se pretpostavi da nestrijelac ne moze promasiti metu? 88.9%
6 Na zidu dimenzija 8× 5 metara nalaze se cetiri prozora svakidimenzija 1.8× 1.2 metra. Kolika je vjerojatnost da djecakkoji nasumice nocu napucava loptu u zid pogodi bilo kojiprozor? 21.6%
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Vennovim dijagramima pokazite (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc iA ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
2 U studentskoj grupi su 24 studenta. Engleski govori 20studenata, a njemacki 10. Koliko ih govori oba jezika, akodvojica ne govore ni njemacki ni engleski? 8
3 Bacaju se tri novcica. Kolika je vjerojatnost da se na jednompojavi pismo? 0.375
4 Bacaju se dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da zbroj nakockama nece biti 9? 88.9%
5 U kvadrat je upisan krug. Kolika je vjerojatnost da pikadopogodi dio kruga izvan kvadrata, ako se pretpostavi da nestrijelac ne moze promasiti metu? 88.9%
6 Na zidu dimenzija 8× 5 metara nalaze se cetiri prozora svakidimenzija 1.8× 1.2 metra. Kolika je vjerojatnost da djecakkoji nasumice nocu napucava loptu u zid pogodi bilo kojiprozor? 21.6%
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Vennovim dijagramima pokazite (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc iA ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
2 U studentskoj grupi su 24 studenta. Engleski govori 20studenata, a njemacki 10. Koliko ih govori oba jezika, akodvojica ne govore ni njemacki ni engleski? 8
3 Bacaju se tri novcica. Kolika je vjerojatnost da se na jednompojavi pismo? 0.375
4 Bacaju se dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da zbroj nakockama nece biti 9? 88.9%
5 U kvadrat je upisan krug. Kolika je vjerojatnost da pikadopogodi dio kruga izvan kvadrata, ako se pretpostavi da nestrijelac ne moze promasiti metu?
88.9%6 Na zidu dimenzija 8× 5 metara nalaze se cetiri prozora svaki
dimenzija 1.8× 1.2 metra. Kolika je vjerojatnost da djecakkoji nasumice nocu napucava loptu u zid pogodi bilo kojiprozor? 21.6%
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Vennovim dijagramima pokazite (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc iA ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
2 U studentskoj grupi su 24 studenta. Engleski govori 20studenata, a njemacki 10. Koliko ih govori oba jezika, akodvojica ne govore ni njemacki ni engleski? 8
3 Bacaju se tri novcica. Kolika je vjerojatnost da se na jednompojavi pismo? 0.375
4 Bacaju se dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da zbroj nakockama nece biti 9? 88.9%
5 U kvadrat je upisan krug. Kolika je vjerojatnost da pikadopogodi dio kruga izvan kvadrata, ako se pretpostavi da nestrijelac ne moze promasiti metu? 88.9%
6 Na zidu dimenzija 8× 5 metara nalaze se cetiri prozora svakidimenzija 1.8× 1.2 metra. Kolika je vjerojatnost da djecakkoji nasumice nocu napucava loptu u zid pogodi bilo kojiprozor? 21.6%
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Vennovim dijagramima pokazite (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc iA ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
2 U studentskoj grupi su 24 studenta. Engleski govori 20studenata, a njemacki 10. Koliko ih govori oba jezika, akodvojica ne govore ni njemacki ni engleski? 8
3 Bacaju se tri novcica. Kolika je vjerojatnost da se na jednompojavi pismo? 0.375
4 Bacaju se dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da zbroj nakockama nece biti 9? 88.9%
5 U kvadrat je upisan krug. Kolika je vjerojatnost da pikadopogodi dio kruga izvan kvadrata, ako se pretpostavi da nestrijelac ne moze promasiti metu? 88.9%
6 Na zidu dimenzija 8× 5 metara nalaze se cetiri prozora svakidimenzija 1.8× 1.2 metra. Kolika je vjerojatnost da djecakkoji nasumice nocu napucava loptu u zid pogodi bilo kojiprozor? 21.6%
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Vennovim dijagramima pokazite (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc iA ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
2 U studentskoj grupi su 24 studenta. Engleski govori 20studenata, a njemacki 10. Koliko ih govori oba jezika, akodvojica ne govore ni njemacki ni engleski? 8
3 Bacaju se tri novcica. Kolika je vjerojatnost da se na jednompojavi pismo? 0.375
4 Bacaju se dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da zbroj nakockama nece biti 9? 88.9%
5 U kvadrat je upisan krug. Kolika je vjerojatnost da pikadopogodi dio kruga izvan kvadrata, ako se pretpostavi da nestrijelac ne moze promasiti metu? 88.9%
6 Na zidu dimenzija 8× 5 metara nalaze se cetiri prozora svakidimenzija 1.8× 1.2 metra. Kolika je vjerojatnost da djecakkoji nasumice nocu napucava loptu u zid pogodi bilo kojiprozor?
21.6%
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Vennovim dijagramima pokazite (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc iA ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
2 U studentskoj grupi su 24 studenta. Engleski govori 20studenata, a njemacki 10. Koliko ih govori oba jezika, akodvojica ne govore ni njemacki ni engleski? 8
3 Bacaju se tri novcica. Kolika je vjerojatnost da se na jednompojavi pismo? 0.375
4 Bacaju se dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da zbroj nakockama nece biti 9? 88.9%
5 U kvadrat je upisan krug. Kolika je vjerojatnost da pikadopogodi dio kruga izvan kvadrata, ako se pretpostavi da nestrijelac ne moze promasiti metu? 88.9%
6 Na zidu dimenzija 8× 5 metara nalaze se cetiri prozora svakidimenzija 1.8× 1.2 metra. Kolika je vjerojatnost da djecakkoji nasumice nocu napucava loptu u zid pogodi bilo kojiprozor? 21.6%
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uvjetna vjerojatnost
Vjerojatnost da se dogodi dogadaj A uz pouzdanu dojavu da se
dogodio dogadaj B: p(A/B) =p(A ∩ B)
p(B).
Primjer
Kocka je bacena i pao je neparan broj. Kolika je vjerojatnost da jepao tri? Kolika je vjerojatnost da je pao broj dva?
Primjer
Andrija, Blaz, Cvetko i Dragec kartaju belu. Andrija nema nitijednog herca. Kolika je vjerojatnost da Cvetko ima tri?
Zadatak
Mirko je zvao trefa iako u prvih sest madarskih karata nije imao nitijednog. Kolika je vjerojatnost da u talonu obje karte budu trefovi?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uvjetna vjerojatnost
Vjerojatnost da se dogodi dogadaj A uz pouzdanu dojavu da se
dogodio dogadaj B:
p(A/B) =p(A ∩ B)
p(B).
Primjer
Kocka je bacena i pao je neparan broj. Kolika je vjerojatnost da jepao tri? Kolika je vjerojatnost da je pao broj dva?
Primjer
Andrija, Blaz, Cvetko i Dragec kartaju belu. Andrija nema nitijednog herca. Kolika je vjerojatnost da Cvetko ima tri?
Zadatak
Mirko je zvao trefa iako u prvih sest madarskih karata nije imao nitijednog. Kolika je vjerojatnost da u talonu obje karte budu trefovi?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uvjetna vjerojatnost
Vjerojatnost da se dogodi dogadaj A uz pouzdanu dojavu da se
dogodio dogadaj B: p(A/B) =p(A ∩ B)
p(B).
Primjer
Kocka je bacena i pao je neparan broj. Kolika je vjerojatnost da jepao tri? Kolika je vjerojatnost da je pao broj dva?
Primjer
Andrija, Blaz, Cvetko i Dragec kartaju belu. Andrija nema nitijednog herca. Kolika je vjerojatnost da Cvetko ima tri?
Zadatak
Mirko je zvao trefa iako u prvih sest madarskih karata nije imao nitijednog. Kolika je vjerojatnost da u talonu obje karte budu trefovi?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uvjetna vjerojatnost
Vjerojatnost da se dogodi dogadaj A uz pouzdanu dojavu da se
dogodio dogadaj B: p(A/B) =p(A ∩ B)
p(B).
Primjer
Kocka je bacena i pao je neparan broj. Kolika je vjerojatnost da jepao tri? Kolika je vjerojatnost da je pao broj dva?
Primjer
Andrija, Blaz, Cvetko i Dragec kartaju belu. Andrija nema nitijednog herca. Kolika je vjerojatnost da Cvetko ima tri?
Zadatak
Mirko je zvao trefa iako u prvih sest madarskih karata nije imao nitijednog. Kolika je vjerojatnost da u talonu obje karte budu trefovi?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uvjetna vjerojatnost
Vjerojatnost da se dogodi dogadaj A uz pouzdanu dojavu da se
dogodio dogadaj B: p(A/B) =p(A ∩ B)
p(B).
Primjer
Kocka je bacena i pao je neparan broj. Kolika je vjerojatnost da jepao tri? Kolika je vjerojatnost da je pao broj dva?
Primjer
Andrija, Blaz, Cvetko i Dragec kartaju belu. Andrija nema nitijednog herca. Kolika je vjerojatnost da Cvetko ima tri?
Zadatak
Mirko je zvao trefa iako u prvih sest madarskih karata nije imao nitijednog. Kolika je vjerojatnost da u talonu obje karte budu trefovi?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uvjetna vjerojatnost
Vjerojatnost da se dogodi dogadaj A uz pouzdanu dojavu da se
dogodio dogadaj B: p(A/B) =p(A ∩ B)
p(B).
Primjer
Kocka je bacena i pao je neparan broj. Kolika je vjerojatnost da jepao tri? Kolika je vjerojatnost da je pao broj dva?
Primjer
Andrija, Blaz, Cvetko i Dragec kartaju belu. Andrija nema nitijednog herca. Kolika je vjerojatnost da Cvetko ima tri?
Zadatak
Mirko je zvao trefa iako u prvih sest madarskih karata nije imao nitijednog. Kolika je vjerojatnost da u talonu obje karte budu trefovi?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Nezavisni dogadaji
Dogadaji A i B su nezavisni, ako informacija o dogadaju B ne utice
na vjerojatnost dogadaja A: p(A/B) = p(A) =p(A ∩ B)
p(B),
p(A ∩ B) = p(A) · p(B).
Primjer
Dobar, los i zao strijelac gadaju vepra. Dobar strijelac na streljanipogada u 80% gadanja, los u 60% i zao u 90% gadanja. Koliko jevjerojatno da vepra pogodi samo jedan metak, ako sva trojicagadaju samo s po jednim metkom? Ako je vepra zaista pogodiojedan metak, koliko je vjerojatno da je metak ispalio dobarstrijelac?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Nezavisni dogadaji
Dogadaji A i B su nezavisni, ako informacija o dogadaju B ne utice
na vjerojatnost dogadaja A: p(A/B) = p(A) =p(A ∩ B)
p(B),
p(A ∩ B) = p(A) · p(B).
Primjer
Dobar, los i zao strijelac gadaju vepra. Dobar strijelac na streljanipogada u 80% gadanja, los u 60% i zao u 90% gadanja. Koliko jevjerojatno da vepra pogodi samo jedan metak, ako sva trojicagadaju samo s po jednim metkom? Ako je vepra zaista pogodiojedan metak, koliko je vjerojatno da je metak ispalio dobarstrijelac?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Nezavisni dogadaji
Dogadaji A i B su nezavisni, ako informacija o dogadaju B ne utice
na vjerojatnost dogadaja A: p(A/B) = p(A) =p(A ∩ B)
p(B),
p(A ∩ B) = p(A) · p(B).
Primjer
Dobar, los i zao strijelac gadaju vepra. Dobar strijelac na streljanipogada u 80% gadanja, los u 60% i zao u 90% gadanja. Koliko jevjerojatno da vepra pogodi samo jedan metak, ako sva trojicagadaju samo s po jednim metkom? Ako je vepra zaista pogodiojedan metak, koliko je vjerojatno da je metak ispalio dobarstrijelac?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Nezavisni dogadaji
Dogadaji A i B su nezavisni, ako informacija o dogadaju B ne utice
na vjerojatnost dogadaja A: p(A/B) = p(A) =p(A ∩ B)
p(B),
p(A ∩ B) = p(A) · p(B).
Primjer
Dobar, los i zao strijelac gadaju vepra. Dobar strijelac na streljanipogada u 80% gadanja, los u 60% i zao u 90% gadanja. Koliko jevjerojatno da vepra pogodi samo jedan metak, ako sva trojicagadaju samo s po jednim metkom?
Ako je vepra zaista pogodiojedan metak, koliko je vjerojatno da je metak ispalio dobarstrijelac?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Nezavisni dogadaji
Dogadaji A i B su nezavisni, ako informacija o dogadaju B ne utice
na vjerojatnost dogadaja A: p(A/B) = p(A) =p(A ∩ B)
p(B),
p(A ∩ B) = p(A) · p(B).
Primjer
Dobar, los i zao strijelac gadaju vepra. Dobar strijelac na streljanipogada u 80% gadanja, los u 60% i zao u 90% gadanja. Koliko jevjerojatno da vepra pogodi samo jedan metak, ako sva trojicagadaju samo s po jednim metkom? Ako je vepra zaista pogodiojedan metak, koliko je vjerojatno da je metak ispalio dobarstrijelac?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Tri strijelca gadaju jednu te istu metu. Vjerojatnost pogotkakod svakog strijelca redom iznosi 80%. Kolika je vjerojatnost
1 tocno jednog pogotka u metu2 bar jednog pogotka u metu3 najvise dva pogotka u metu
2 Vjerojatnost da avion bude oboren prije nego sto dospije docilja je 5%. Ako dospije do cilja, avion ga unistava svjerojatnosti od 40%. Koja je vjerojatnost da avion unisticilj?(0,38)
3 Vjerojatnost da se otac dobije sina je 0.502. Koliko bi Miroslavtrebao imati djece, pa da bude 99% siguran da ce dobiti sina?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Tri strijelca gadaju jednu te istu metu. Vjerojatnost pogotkakod svakog strijelca redom iznosi 80%.
Kolika je vjerojatnost1 tocno jednog pogotka u metu2 bar jednog pogotka u metu3 najvise dva pogotka u metu
2 Vjerojatnost da avion bude oboren prije nego sto dospije docilja je 5%. Ako dospije do cilja, avion ga unistava svjerojatnosti od 40%. Koja je vjerojatnost da avion unisticilj?(0,38)
3 Vjerojatnost da se otac dobije sina je 0.502. Koliko bi Miroslavtrebao imati djece, pa da bude 99% siguran da ce dobiti sina?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Tri strijelca gadaju jednu te istu metu. Vjerojatnost pogotkakod svakog strijelca redom iznosi 80%. Kolika je vjerojatnost
1 tocno jednog pogotka u metu2 bar jednog pogotka u metu3 najvise dva pogotka u metu
2 Vjerojatnost da avion bude oboren prije nego sto dospije docilja je 5%. Ako dospije do cilja, avion ga unistava svjerojatnosti od 40%. Koja je vjerojatnost da avion unisticilj?(0,38)
3 Vjerojatnost da se otac dobije sina je 0.502. Koliko bi Miroslavtrebao imati djece, pa da bude 99% siguran da ce dobiti sina?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Tri strijelca gadaju jednu te istu metu. Vjerojatnost pogotkakod svakog strijelca redom iznosi 80%. Kolika je vjerojatnost
1 tocno jednog pogotka u metu
2 bar jednog pogotka u metu3 najvise dva pogotka u metu
2 Vjerojatnost da avion bude oboren prije nego sto dospije docilja je 5%. Ako dospije do cilja, avion ga unistava svjerojatnosti od 40%. Koja je vjerojatnost da avion unisticilj?(0,38)
3 Vjerojatnost da se otac dobije sina je 0.502. Koliko bi Miroslavtrebao imati djece, pa da bude 99% siguran da ce dobiti sina?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Tri strijelca gadaju jednu te istu metu. Vjerojatnost pogotkakod svakog strijelca redom iznosi 80%. Kolika je vjerojatnost
1 tocno jednog pogotka u metu2 bar jednog pogotka u metu
3 najvise dva pogotka u metu
2 Vjerojatnost da avion bude oboren prije nego sto dospije docilja je 5%. Ako dospije do cilja, avion ga unistava svjerojatnosti od 40%. Koja je vjerojatnost da avion unisticilj?(0,38)
3 Vjerojatnost da se otac dobije sina je 0.502. Koliko bi Miroslavtrebao imati djece, pa da bude 99% siguran da ce dobiti sina?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Tri strijelca gadaju jednu te istu metu. Vjerojatnost pogotkakod svakog strijelca redom iznosi 80%. Kolika je vjerojatnost
1 tocno jednog pogotka u metu2 bar jednog pogotka u metu3 najvise dva pogotka u metu
2 Vjerojatnost da avion bude oboren prije nego sto dospije docilja je 5%. Ako dospije do cilja, avion ga unistava svjerojatnosti od 40%. Koja je vjerojatnost da avion unisticilj?(0,38)
3 Vjerojatnost da se otac dobije sina je 0.502. Koliko bi Miroslavtrebao imati djece, pa da bude 99% siguran da ce dobiti sina?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Tri strijelca gadaju jednu te istu metu. Vjerojatnost pogotkakod svakog strijelca redom iznosi 80%. Kolika je vjerojatnost
1 tocno jednog pogotka u metu2 bar jednog pogotka u metu3 najvise dva pogotka u metu
2 Vjerojatnost da avion bude oboren prije nego sto dospije docilja je 5%. Ako dospije do cilja, avion ga unistava svjerojatnosti od 40%. Koja je vjerojatnost da avion unisticilj?
(0,38)
3 Vjerojatnost da se otac dobije sina je 0.502. Koliko bi Miroslavtrebao imati djece, pa da bude 99% siguran da ce dobiti sina?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Tri strijelca gadaju jednu te istu metu. Vjerojatnost pogotkakod svakog strijelca redom iznosi 80%. Kolika je vjerojatnost
1 tocno jednog pogotka u metu2 bar jednog pogotka u metu3 najvise dva pogotka u metu
2 Vjerojatnost da avion bude oboren prije nego sto dospije docilja je 5%. Ako dospije do cilja, avion ga unistava svjerojatnosti od 40%. Koja je vjerojatnost da avion unisticilj?(0,38)
3 Vjerojatnost da se otac dobije sina je 0.502. Koliko bi Miroslavtrebao imati djece, pa da bude 99% siguran da ce dobiti sina?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Potpuna vjerojatnost
Potpun sistem dogadaja - hipoteze H1,H2, . . .Hn ⊂ Ω, ako vrijedi:
H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn = Ω i Hi ∩ Hj = ∅
Formula potpune vjerojatnosti - p(A) =∑n
i=1 p(A/Hi ) · p(Hi ).
Zadatak
Mercedes 60% proizvodnje ima u Turskoj, 30% u Kini i 10% uNjemackoj. Postotak Mercedesa koji imaju kvar u garantnom roku,a napravljeni su u Turskoj iznosi 1%, za Kinu to je 1.5%, dok je zaMercedese iz Njemacke 0.8%. Marko je kupio Mercedesa. Kolikaje vjerojatnost da ce se pokvariti u garantnom roku?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Potpuna vjerojatnost
Potpun sistem dogadaja -
hipoteze H1,H2, . . .Hn ⊂ Ω, ako vrijedi:
H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn = Ω i Hi ∩ Hj = ∅
Formula potpune vjerojatnosti - p(A) =∑n
i=1 p(A/Hi ) · p(Hi ).
Zadatak
Mercedes 60% proizvodnje ima u Turskoj, 30% u Kini i 10% uNjemackoj. Postotak Mercedesa koji imaju kvar u garantnom roku,a napravljeni su u Turskoj iznosi 1%, za Kinu to je 1.5%, dok je zaMercedese iz Njemacke 0.8%. Marko je kupio Mercedesa. Kolikaje vjerojatnost da ce se pokvariti u garantnom roku?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Potpuna vjerojatnost
Potpun sistem dogadaja - hipoteze H1,H2, . . .Hn ⊂ Ω, ako vrijedi:
H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn = Ω i Hi ∩ Hj = ∅
Formula potpune vjerojatnosti - p(A) =∑n
i=1 p(A/Hi ) · p(Hi ).
Zadatak
Mercedes 60% proizvodnje ima u Turskoj, 30% u Kini i 10% uNjemackoj. Postotak Mercedesa koji imaju kvar u garantnom roku,a napravljeni su u Turskoj iznosi 1%, za Kinu to je 1.5%, dok je zaMercedese iz Njemacke 0.8%. Marko je kupio Mercedesa. Kolikaje vjerojatnost da ce se pokvariti u garantnom roku?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Potpuna vjerojatnost
Potpun sistem dogadaja - hipoteze H1,H2, . . .Hn ⊂ Ω, ako vrijedi:
H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn = Ω i Hi ∩ Hj = ∅
Formula potpune vjerojatnosti - p(A) =∑n
i=1 p(A/Hi ) · p(Hi ).
Zadatak
Mercedes 60% proizvodnje ima u Turskoj, 30% u Kini i 10% uNjemackoj. Postotak Mercedesa koji imaju kvar u garantnom roku,a napravljeni su u Turskoj iznosi 1%, za Kinu to je 1.5%, dok je zaMercedese iz Njemacke 0.8%. Marko je kupio Mercedesa. Kolikaje vjerojatnost da ce se pokvariti u garantnom roku?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Potpuna vjerojatnost
Potpun sistem dogadaja - hipoteze H1,H2, . . .Hn ⊂ Ω, ako vrijedi:
H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn = Ω i Hi ∩ Hj = ∅
Formula potpune vjerojatnosti -
p(A) =∑n
i=1 p(A/Hi ) · p(Hi ).
Zadatak
Mercedes 60% proizvodnje ima u Turskoj, 30% u Kini i 10% uNjemackoj. Postotak Mercedesa koji imaju kvar u garantnom roku,a napravljeni su u Turskoj iznosi 1%, za Kinu to je 1.5%, dok je zaMercedese iz Njemacke 0.8%. Marko je kupio Mercedesa. Kolikaje vjerojatnost da ce se pokvariti u garantnom roku?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Potpuna vjerojatnost
Potpun sistem dogadaja - hipoteze H1,H2, . . .Hn ⊂ Ω, ako vrijedi:
H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn = Ω i Hi ∩ Hj = ∅
Formula potpune vjerojatnosti - p(A) =∑n
i=1 p(A/Hi ) · p(Hi ).
Zadatak
Mercedes 60% proizvodnje ima u Turskoj, 30% u Kini i 10% uNjemackoj. Postotak Mercedesa koji imaju kvar u garantnom roku,a napravljeni su u Turskoj iznosi 1%, za Kinu to je 1.5%, dok je zaMercedese iz Njemacke 0.8%. Marko je kupio Mercedesa. Kolikaje vjerojatnost da ce se pokvariti u garantnom roku?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Potpuna vjerojatnost
Potpun sistem dogadaja - hipoteze H1,H2, . . .Hn ⊂ Ω, ako vrijedi:
H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn = Ω i Hi ∩ Hj = ∅
Formula potpune vjerojatnosti - p(A) =∑n
i=1 p(A/Hi ) · p(Hi ).
Zadatak
Mercedes 60% proizvodnje ima u Turskoj, 30% u Kini i 10% uNjemackoj. Postotak Mercedesa koji imaju kvar u garantnom roku,a napravljeni su u Turskoj iznosi 1%, za Kinu to je 1.5%, dok je zaMercedese iz Njemacke 0.8%. Marko je kupio Mercedesa. Kolikaje vjerojatnost da ce se pokvariti u garantnom roku?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Bayesova formula
Bayesova formula -
p(Hi/A) =p(Hi ) · p(A/Hi )
p(A).
Zadatak
Kolika je vjerojatnost da je Markov Mercedes kineski?
Zadatak
Iz spila od 32 karte jedna je pala pod stol. Ako je Janko u prvihsest karata dobio tri trefa, kolika je vjerojatnost da pod stolom nijetref?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Bayesova formula
Bayesova formula -
p(Hi/A) =p(Hi ) · p(A/Hi )
p(A).
Zadatak
Kolika je vjerojatnost da je Markov Mercedes kineski?
Zadatak
Iz spila od 32 karte jedna je pala pod stol. Ako je Janko u prvihsest karata dobio tri trefa, kolika je vjerojatnost da pod stolom nijetref?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Bayesova formula
Bayesova formula -
p(Hi/A) =p(Hi ) · p(A/Hi )
p(A).
Zadatak
Kolika je vjerojatnost da je Markov Mercedes kineski?
Zadatak
Iz spila od 32 karte jedna je pala pod stol. Ako je Janko u prvihsest karata dobio tri trefa, kolika je vjerojatnost da pod stolom nijetref?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Bayesova formula
Bayesova formula -
p(Hi/A) =p(Hi ) · p(A/Hi )
p(A).
Zadatak
Kolika je vjerojatnost da je Markov Mercedes kineski?
Zadatak
Iz spila od 32 karte jedna je pala pod stol. Ako je Janko u prvihsest karata dobio tri trefa, kolika je vjerojatnost da pod stolom nijetref?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Bayesova formula
Bayesova formula -
p(Hi/A) =p(Hi ) · p(A/Hi )
p(A).
Zadatak
Kolika je vjerojatnost da je Markov Mercedes kineski?
Zadatak
Iz spila od 32 karte jedna je pala pod stol. Ako je Janko u prvihsest karata dobio tri trefa, kolika je vjerojatnost da pod stolom nijetref?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Strijelci Mate i Ante, svaki sa po jednim metkom, gadaju cilj.Mate pogada s vjerojatnosti 0, 8, a Ante s 0, 4. Utvrdeno jeda je meta pogodena jednim metkom. Kolika je vjerojatnostda je metu pogodio Mate?
2 U uzorku ispitanika, u kojem je dio muskaraca 55%, 70%muskaraca i 60% zena su vozaci. Kolika je vjerojatnost daslucajno odabrana osoba ima vozacku dozvolu? Kolika jevjerojatnost da je slucajno odabrani vozac muskarac?
3 U plavoj kutiji su tri bijele i dvije crne kuglice, a u crvenojcetiri bijele i pet crnih kuglica. Adam je iz crvene u plavukutiju prebacio jednu kuglicu. Kolika je vjerojatnost da tadaMartin iz plave kutije izvuce bijelu kuglicu? Ako je izvukaobijelu kuglicu, koliko je vjerojatno da je Adam bac crnukuglicu prebacio prije izvlacenja?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Strijelci Mate i Ante, svaki sa po jednim metkom, gadaju cilj.Mate pogada s vjerojatnosti 0, 8, a Ante s 0, 4. Utvrdeno jeda je meta pogodena jednim metkom. Kolika je vjerojatnostda je metu pogodio Mate?
2 U uzorku ispitanika, u kojem je dio muskaraca 55%, 70%muskaraca i 60% zena su vozaci. Kolika je vjerojatnost daslucajno odabrana osoba ima vozacku dozvolu? Kolika jevjerojatnost da je slucajno odabrani vozac muskarac?
3 U plavoj kutiji su tri bijele i dvije crne kuglice, a u crvenojcetiri bijele i pet crnih kuglica. Adam je iz crvene u plavukutiju prebacio jednu kuglicu. Kolika je vjerojatnost da tadaMartin iz plave kutije izvuce bijelu kuglicu? Ako je izvukaobijelu kuglicu, koliko je vjerojatno da je Adam bac crnukuglicu prebacio prije izvlacenja?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
1 Strijelci Mate i Ante, svaki sa po jednim metkom, gadaju cilj.Mate pogada s vjerojatnosti 0, 8, a Ante s 0, 4. Utvrdeno jeda je meta pogodena jednim metkom. Kolika je vjerojatnostda je metu pogodio Mate?
2 U uzorku ispitanika, u kojem je dio muskaraca 55%, 70%muskaraca i 60% zena su vozaci. Kolika je vjerojatnost daslucajno odabrana osoba ima vozacku dozvolu? Kolika jevjerojatnost da je slucajno odabrani vozac muskarac?
3 U plavoj kutiji su tri bijele i dvije crne kuglice, a u crvenojcetiri bijele i pet crnih kuglica. Adam je iz crvene u plavukutiju prebacio jednu kuglicu. Kolika je vjerojatnost da tadaMartin iz plave kutije izvuce bijelu kuglicu? Ako je izvukaobijelu kuglicu, koliko je vjerojatno da je Adam bac crnukuglicu prebacio prije izvlacenja?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uvjetna vjerojatnost. Bayesova formula
1 Statisticki podaci govore da autobus kasni u 10% slucajeva, avlak u 35% slucajeva. Ako putnici u javnom prijevozu tri putacesce biraju autobus od vlaka,
1 izracunajte kolika je vjerojatnost da slucajno odabrani putnikzakasni na odrediste?
2 Ako znamo da je odredeni putnik zakasnio, kolika jevjerojatnost da je isao vlakom?
2 Prilikom analize sudara dvaju automobila vjestaci u 5%slucajeva utvrduju da su oba vozaca pod utjecajem alkohola itada je vjerojatnost smrtnih ozljeda 20%. U 25% je samojedan vozac alkoholiziran, a vjerojatnost smrtnih ozljeda je15%. U 70% slucajeva oba su vozaca trijezna i tada jevjerojatnost smrtnog ishoda 1%. Nakon sudara sa smrtnimposljedicama alkotestom je utvrdena alkoholiziranost jednogvozaca. Kolika je vjerojatnost da je i onaj drugi pod utjecajemalkohola?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uvjetna vjerojatnost. Bayesova formula
1 Statisticki podaci govore da autobus kasni u 10% slucajeva, avlak u 35% slucajeva. Ako putnici u javnom prijevozu tri putacesce biraju autobus od vlaka,
1 izracunajte kolika je vjerojatnost da slucajno odabrani putnikzakasni na odrediste?
2 Ako znamo da je odredeni putnik zakasnio, kolika jevjerojatnost da je isao vlakom?
2 Prilikom analize sudara dvaju automobila vjestaci u 5%slucajeva utvrduju da su oba vozaca pod utjecajem alkohola itada je vjerojatnost smrtnih ozljeda 20%. U 25% je samojedan vozac alkoholiziran, a vjerojatnost smrtnih ozljeda je15%. U 70% slucajeva oba su vozaca trijezna i tada jevjerojatnost smrtnog ishoda 1%. Nakon sudara sa smrtnimposljedicama alkotestom je utvrdena alkoholiziranost jednogvozaca. Kolika je vjerojatnost da je i onaj drugi pod utjecajemalkohola?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uvjetna vjerojatnost. Bayesova formula
1 Statisticki podaci govore da autobus kasni u 10% slucajeva, avlak u 35% slucajeva. Ako putnici u javnom prijevozu tri putacesce biraju autobus od vlaka,
1 izracunajte kolika je vjerojatnost da slucajno odabrani putnikzakasni na odrediste?
2 Ako znamo da je odredeni putnik zakasnio, kolika jevjerojatnost da je isao vlakom?
2 Prilikom analize sudara dvaju automobila vjestaci u 5%slucajeva utvrduju da su oba vozaca pod utjecajem alkohola itada je vjerojatnost smrtnih ozljeda 20%. U 25% je samojedan vozac alkoholiziran, a vjerojatnost smrtnih ozljeda je15%. U 70% slucajeva oba su vozaca trijezna i tada jevjerojatnost smrtnog ishoda 1%. Nakon sudara sa smrtnimposljedicama alkotestom je utvrdena alkoholiziranost jednogvozaca. Kolika je vjerojatnost da je i onaj drugi pod utjecajemalkohola?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uvjetna vjerojatnost. Bayesova formula
1 Statisticki podaci govore da autobus kasni u 10% slucajeva, avlak u 35% slucajeva. Ako putnici u javnom prijevozu tri putacesce biraju autobus od vlaka,
1 izracunajte kolika je vjerojatnost da slucajno odabrani putnikzakasni na odrediste?
2 Ako znamo da je odredeni putnik zakasnio, kolika jevjerojatnost da je isao vlakom?
2 Prilikom analize sudara dvaju automobila vjestaci u 5%slucajeva utvrduju da su oba vozaca pod utjecajem alkohola itada je vjerojatnost smrtnih ozljeda 20%. U 25% je samojedan vozac alkoholiziran, a vjerojatnost smrtnih ozljeda je15%. U 70% slucajeva oba su vozaca trijezna i tada jevjerojatnost smrtnog ishoda 1%. Nakon sudara sa smrtnimposljedicama alkotestom je utvrdena alkoholiziranost jednogvozaca. Kolika je vjerojatnost da je i onaj drugi pod utjecajemalkohola?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uvjetna vjerojatnost. Bayesova formula
1 Statisticki podaci govore da autobus kasni u 10% slucajeva, avlak u 35% slucajeva. Ako putnici u javnom prijevozu tri putacesce biraju autobus od vlaka,
1 izracunajte kolika je vjerojatnost da slucajno odabrani putnikzakasni na odrediste?
2 Ako znamo da je odredeni putnik zakasnio, kolika jevjerojatnost da je isao vlakom?
2 Prilikom analize sudara dvaju automobila vjestaci u 5%slucajeva utvrduju da su oba vozaca pod utjecajem alkohola itada je vjerojatnost smrtnih ozljeda 20%. U 25% je samojedan vozac alkoholiziran, a vjerojatnost smrtnih ozljeda je15%. U 70% slucajeva oba su vozaca trijezna i tada jevjerojatnost smrtnog ishoda 1%.
Nakon sudara sa smrtnimposljedicama alkotestom je utvrdena alkoholiziranost jednogvozaca. Kolika je vjerojatnost da je i onaj drugi pod utjecajemalkohola?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uvjetna vjerojatnost. Bayesova formula
1 Statisticki podaci govore da autobus kasni u 10% slucajeva, avlak u 35% slucajeva. Ako putnici u javnom prijevozu tri putacesce biraju autobus od vlaka,
1 izracunajte kolika je vjerojatnost da slucajno odabrani putnikzakasni na odrediste?
2 Ako znamo da je odredeni putnik zakasnio, kolika jevjerojatnost da je isao vlakom?
2 Prilikom analize sudara dvaju automobila vjestaci u 5%slucajeva utvrduju da su oba vozaca pod utjecajem alkohola itada je vjerojatnost smrtnih ozljeda 20%. U 25% je samojedan vozac alkoholiziran, a vjerojatnost smrtnih ozljeda je15%. U 70% slucajeva oba su vozaca trijezna i tada jevjerojatnost smrtnog ishoda 1%. Nakon sudara sa smrtnimposljedicama alkotestom je utvrdena alkoholiziranost jednogvozaca.
Kolika je vjerojatnost da je i onaj drugi pod utjecajemalkohola?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uvjetna vjerojatnost. Bayesova formula
1 Statisticki podaci govore da autobus kasni u 10% slucajeva, avlak u 35% slucajeva. Ako putnici u javnom prijevozu tri putacesce biraju autobus od vlaka,
1 izracunajte kolika je vjerojatnost da slucajno odabrani putnikzakasni na odrediste?
2 Ako znamo da je odredeni putnik zakasnio, kolika jevjerojatnost da je isao vlakom?
2 Prilikom analize sudara dvaju automobila vjestaci u 5%slucajeva utvrduju da su oba vozaca pod utjecajem alkohola itada je vjerojatnost smrtnih ozljeda 20%. U 25% je samojedan vozac alkoholiziran, a vjerojatnost smrtnih ozljeda je15%. U 70% slucajeva oba su vozaca trijezna i tada jevjerojatnost smrtnog ishoda 1%. Nakon sudara sa smrtnimposljedicama alkotestom je utvrdena alkoholiziranost jednogvozaca. Kolika je vjerojatnost da je i onaj drugi pod utjecajemalkohola?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci s pismenih
1 Da bi osvojili iznos u TV-igri potrebno je tocno odgovoriti natri pitanja. Prvo pitanje zna otprilike 75% ljudi, drugo 50%, atrece 25%. Ako kandidat ne ponudi tocan odgovor, igra seprekida. Kolika je vjerojatnost da
1 TV kuca zadrzi primamnjivi iznos?2 kandidat ispadne za zadnjem pitanju?
2 Na posljednjem roku student ima 4 ispita. Ako je prolaznostna ispitima 40%, kolika je vjerojatnost da student
1 polozi sve ispite?2 jednog polozi, a ostale ne polozi?3 da prvog polozi, a ostale ne polozi?
3 Istrazivanjem drustvenih pojava dobiveno je da sindikat u 37%pregovora ostvari ciljeve. Ako se u sljedecih 10 godina ocekuje6 pregovora, kolika je vjerojatnost da sindikat
1 ostvari sve svoje ciljeve?2 polovicno ostvari svoje ciljeve?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci s pismenih
1 Da bi osvojili iznos u TV-igri potrebno je tocno odgovoriti natri pitanja. Prvo pitanje zna otprilike 75% ljudi, drugo 50%, atrece 25%. Ako kandidat ne ponudi tocan odgovor, igra seprekida. Kolika je vjerojatnost da
1 TV kuca zadrzi primamnjivi iznos?2 kandidat ispadne za zadnjem pitanju?
2 Na posljednjem roku student ima 4 ispita. Ako je prolaznostna ispitima 40%, kolika je vjerojatnost da student
1 polozi sve ispite?2 jednog polozi, a ostale ne polozi?3 da prvog polozi, a ostale ne polozi?
3 Istrazivanjem drustvenih pojava dobiveno je da sindikat u 37%pregovora ostvari ciljeve. Ako se u sljedecih 10 godina ocekuje6 pregovora, kolika je vjerojatnost da sindikat
1 ostvari sve svoje ciljeve?2 polovicno ostvari svoje ciljeve?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci s pismenih
1 Da bi osvojili iznos u TV-igri potrebno je tocno odgovoriti natri pitanja. Prvo pitanje zna otprilike 75% ljudi, drugo 50%, atrece 25%. Ako kandidat ne ponudi tocan odgovor, igra seprekida. Kolika je vjerojatnost da
1 TV kuca zadrzi primamnjivi iznos?
2 kandidat ispadne za zadnjem pitanju?
2 Na posljednjem roku student ima 4 ispita. Ako je prolaznostna ispitima 40%, kolika je vjerojatnost da student
1 polozi sve ispite?2 jednog polozi, a ostale ne polozi?3 da prvog polozi, a ostale ne polozi?
3 Istrazivanjem drustvenih pojava dobiveno je da sindikat u 37%pregovora ostvari ciljeve. Ako se u sljedecih 10 godina ocekuje6 pregovora, kolika je vjerojatnost da sindikat
1 ostvari sve svoje ciljeve?2 polovicno ostvari svoje ciljeve?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci s pismenih
1 Da bi osvojili iznos u TV-igri potrebno je tocno odgovoriti natri pitanja. Prvo pitanje zna otprilike 75% ljudi, drugo 50%, atrece 25%. Ako kandidat ne ponudi tocan odgovor, igra seprekida. Kolika je vjerojatnost da
1 TV kuca zadrzi primamnjivi iznos?2 kandidat ispadne za zadnjem pitanju?
2 Na posljednjem roku student ima 4 ispita. Ako je prolaznostna ispitima 40%, kolika je vjerojatnost da student
1 polozi sve ispite?2 jednog polozi, a ostale ne polozi?3 da prvog polozi, a ostale ne polozi?
3 Istrazivanjem drustvenih pojava dobiveno je da sindikat u 37%pregovora ostvari ciljeve. Ako se u sljedecih 10 godina ocekuje6 pregovora, kolika je vjerojatnost da sindikat
1 ostvari sve svoje ciljeve?2 polovicno ostvari svoje ciljeve?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci s pismenih
1 Da bi osvojili iznos u TV-igri potrebno je tocno odgovoriti natri pitanja. Prvo pitanje zna otprilike 75% ljudi, drugo 50%, atrece 25%. Ako kandidat ne ponudi tocan odgovor, igra seprekida. Kolika je vjerojatnost da
1 TV kuca zadrzi primamnjivi iznos?2 kandidat ispadne za zadnjem pitanju?
2 Na posljednjem roku student ima 4 ispita. Ako je prolaznostna ispitima 40%, kolika je vjerojatnost da student
1 polozi sve ispite?2 jednog polozi, a ostale ne polozi?3 da prvog polozi, a ostale ne polozi?
3 Istrazivanjem drustvenih pojava dobiveno je da sindikat u 37%pregovora ostvari ciljeve. Ako se u sljedecih 10 godina ocekuje6 pregovora, kolika je vjerojatnost da sindikat
1 ostvari sve svoje ciljeve?2 polovicno ostvari svoje ciljeve?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci s pismenih
1 Da bi osvojili iznos u TV-igri potrebno je tocno odgovoriti natri pitanja. Prvo pitanje zna otprilike 75% ljudi, drugo 50%, atrece 25%. Ako kandidat ne ponudi tocan odgovor, igra seprekida. Kolika je vjerojatnost da
1 TV kuca zadrzi primamnjivi iznos?2 kandidat ispadne za zadnjem pitanju?
2 Na posljednjem roku student ima 4 ispita. Ako je prolaznostna ispitima 40%, kolika je vjerojatnost da student
1 polozi sve ispite?
2 jednog polozi, a ostale ne polozi?3 da prvog polozi, a ostale ne polozi?
3 Istrazivanjem drustvenih pojava dobiveno je da sindikat u 37%pregovora ostvari ciljeve. Ako se u sljedecih 10 godina ocekuje6 pregovora, kolika je vjerojatnost da sindikat
1 ostvari sve svoje ciljeve?2 polovicno ostvari svoje ciljeve?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci s pismenih
1 Da bi osvojili iznos u TV-igri potrebno je tocno odgovoriti natri pitanja. Prvo pitanje zna otprilike 75% ljudi, drugo 50%, atrece 25%. Ako kandidat ne ponudi tocan odgovor, igra seprekida. Kolika je vjerojatnost da
1 TV kuca zadrzi primamnjivi iznos?2 kandidat ispadne za zadnjem pitanju?
2 Na posljednjem roku student ima 4 ispita. Ako je prolaznostna ispitima 40%, kolika je vjerojatnost da student
1 polozi sve ispite?2 jednog polozi, a ostale ne polozi?
3 da prvog polozi, a ostale ne polozi?
3 Istrazivanjem drustvenih pojava dobiveno je da sindikat u 37%pregovora ostvari ciljeve. Ako se u sljedecih 10 godina ocekuje6 pregovora, kolika je vjerojatnost da sindikat
1 ostvari sve svoje ciljeve?2 polovicno ostvari svoje ciljeve?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci s pismenih
1 Da bi osvojili iznos u TV-igri potrebno je tocno odgovoriti natri pitanja. Prvo pitanje zna otprilike 75% ljudi, drugo 50%, atrece 25%. Ako kandidat ne ponudi tocan odgovor, igra seprekida. Kolika je vjerojatnost da
1 TV kuca zadrzi primamnjivi iznos?2 kandidat ispadne za zadnjem pitanju?
2 Na posljednjem roku student ima 4 ispita. Ako je prolaznostna ispitima 40%, kolika je vjerojatnost da student
1 polozi sve ispite?2 jednog polozi, a ostale ne polozi?3 da prvog polozi, a ostale ne polozi?
3 Istrazivanjem drustvenih pojava dobiveno je da sindikat u 37%pregovora ostvari ciljeve. Ako se u sljedecih 10 godina ocekuje6 pregovora, kolika je vjerojatnost da sindikat
1 ostvari sve svoje ciljeve?2 polovicno ostvari svoje ciljeve?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci s pismenih
1 Da bi osvojili iznos u TV-igri potrebno je tocno odgovoriti natri pitanja. Prvo pitanje zna otprilike 75% ljudi, drugo 50%, atrece 25%. Ako kandidat ne ponudi tocan odgovor, igra seprekida. Kolika je vjerojatnost da
1 TV kuca zadrzi primamnjivi iznos?2 kandidat ispadne za zadnjem pitanju?
2 Na posljednjem roku student ima 4 ispita. Ako je prolaznostna ispitima 40%, kolika je vjerojatnost da student
1 polozi sve ispite?2 jednog polozi, a ostale ne polozi?3 da prvog polozi, a ostale ne polozi?
3 Istrazivanjem drustvenih pojava dobiveno je da sindikat u 37%pregovora ostvari ciljeve. Ako se u sljedecih 10 godina ocekuje6 pregovora, kolika je vjerojatnost da sindikat
1 ostvari sve svoje ciljeve?2 polovicno ostvari svoje ciljeve?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci s pismenih
1 Da bi osvojili iznos u TV-igri potrebno je tocno odgovoriti natri pitanja. Prvo pitanje zna otprilike 75% ljudi, drugo 50%, atrece 25%. Ako kandidat ne ponudi tocan odgovor, igra seprekida. Kolika je vjerojatnost da
1 TV kuca zadrzi primamnjivi iznos?2 kandidat ispadne za zadnjem pitanju?
2 Na posljednjem roku student ima 4 ispita. Ako je prolaznostna ispitima 40%, kolika je vjerojatnost da student
1 polozi sve ispite?2 jednog polozi, a ostale ne polozi?3 da prvog polozi, a ostale ne polozi?
3 Istrazivanjem drustvenih pojava dobiveno je da sindikat u 37%pregovora ostvari ciljeve. Ako se u sljedecih 10 godina ocekuje6 pregovora, kolika je vjerojatnost da sindikat
1 ostvari sve svoje ciljeve?
2 polovicno ostvari svoje ciljeve?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci s pismenih
1 Da bi osvojili iznos u TV-igri potrebno je tocno odgovoriti natri pitanja. Prvo pitanje zna otprilike 75% ljudi, drugo 50%, atrece 25%. Ako kandidat ne ponudi tocan odgovor, igra seprekida. Kolika je vjerojatnost da
1 TV kuca zadrzi primamnjivi iznos?2 kandidat ispadne za zadnjem pitanju?
2 Na posljednjem roku student ima 4 ispita. Ako je prolaznostna ispitima 40%, kolika je vjerojatnost da student
1 polozi sve ispite?2 jednog polozi, a ostale ne polozi?3 da prvog polozi, a ostale ne polozi?
3 Istrazivanjem drustvenih pojava dobiveno je da sindikat u 37%pregovora ostvari ciljeve. Ako se u sljedecih 10 godina ocekuje6 pregovora, kolika je vjerojatnost da sindikat
1 ostvari sve svoje ciljeve?2 polovicno ostvari svoje ciljeve?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinatorni zadaci s pismenih
1 U cetiri vagona na slucajan nacin ulazi 16 putnika. Znamo dau svakom vagonu ima tocno 12 slobodnih mjesta. Kolika jevjerojatnost da
1 u prvi vagon udu cetiri putnika?2 u svaki vagon ude jednaki broj putnika?3 se neki od vagona popuni do posljednjeg mjesta?
2 Naplatne kucice autoputa imaju otvorena tri izlaza i svi se onikoriste jednako cesto. Ako vozaci na slucajan nacin biraju kojice izlaz koristiti, kolika je vjerojatnost da
1 od pet vozila njih tri izade na istom izlazu?2 svih pet izadu kroz isti izlaz?
3 U posljednjem tjednu prije ljetnih praznika student u pet danaizlazi na tri ispita. Ako su svi rasporedi ispita jednakovjerojatni, kolika je vjerojatnost da
1 sve ispite polaze isti dan?2 u jednom danu polaze najvise jedan ispit?3 dva ispita polaze istog dana, a treci nekog drugog dana?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinatorni zadaci s pismenih
1 U cetiri vagona na slucajan nacin ulazi 16 putnika. Znamo dau svakom vagonu ima tocno 12 slobodnih mjesta. Kolika jevjerojatnost da
1 u prvi vagon udu cetiri putnika?2 u svaki vagon ude jednaki broj putnika?3 se neki od vagona popuni do posljednjeg mjesta?
2 Naplatne kucice autoputa imaju otvorena tri izlaza i svi se onikoriste jednako cesto. Ako vozaci na slucajan nacin biraju kojice izlaz koristiti, kolika je vjerojatnost da
1 od pet vozila njih tri izade na istom izlazu?2 svih pet izadu kroz isti izlaz?
3 U posljednjem tjednu prije ljetnih praznika student u pet danaizlazi na tri ispita. Ako su svi rasporedi ispita jednakovjerojatni, kolika je vjerojatnost da
1 sve ispite polaze isti dan?2 u jednom danu polaze najvise jedan ispit?3 dva ispita polaze istog dana, a treci nekog drugog dana?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinatorni zadaci s pismenih
1 U cetiri vagona na slucajan nacin ulazi 16 putnika. Znamo dau svakom vagonu ima tocno 12 slobodnih mjesta. Kolika jevjerojatnost da
1 u prvi vagon udu cetiri putnika?
2 u svaki vagon ude jednaki broj putnika?3 se neki od vagona popuni do posljednjeg mjesta?
2 Naplatne kucice autoputa imaju otvorena tri izlaza i svi se onikoriste jednako cesto. Ako vozaci na slucajan nacin biraju kojice izlaz koristiti, kolika je vjerojatnost da
1 od pet vozila njih tri izade na istom izlazu?2 svih pet izadu kroz isti izlaz?
3 U posljednjem tjednu prije ljetnih praznika student u pet danaizlazi na tri ispita. Ako su svi rasporedi ispita jednakovjerojatni, kolika je vjerojatnost da
1 sve ispite polaze isti dan?2 u jednom danu polaze najvise jedan ispit?3 dva ispita polaze istog dana, a treci nekog drugog dana?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinatorni zadaci s pismenih
1 U cetiri vagona na slucajan nacin ulazi 16 putnika. Znamo dau svakom vagonu ima tocno 12 slobodnih mjesta. Kolika jevjerojatnost da
1 u prvi vagon udu cetiri putnika?2 u svaki vagon ude jednaki broj putnika?
3 se neki od vagona popuni do posljednjeg mjesta?
2 Naplatne kucice autoputa imaju otvorena tri izlaza i svi se onikoriste jednako cesto. Ako vozaci na slucajan nacin biraju kojice izlaz koristiti, kolika je vjerojatnost da
1 od pet vozila njih tri izade na istom izlazu?2 svih pet izadu kroz isti izlaz?
3 U posljednjem tjednu prije ljetnih praznika student u pet danaizlazi na tri ispita. Ako su svi rasporedi ispita jednakovjerojatni, kolika je vjerojatnost da
1 sve ispite polaze isti dan?2 u jednom danu polaze najvise jedan ispit?3 dva ispita polaze istog dana, a treci nekog drugog dana?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinatorni zadaci s pismenih
1 U cetiri vagona na slucajan nacin ulazi 16 putnika. Znamo dau svakom vagonu ima tocno 12 slobodnih mjesta. Kolika jevjerojatnost da
1 u prvi vagon udu cetiri putnika?2 u svaki vagon ude jednaki broj putnika?3 se neki od vagona popuni do posljednjeg mjesta?
2 Naplatne kucice autoputa imaju otvorena tri izlaza i svi se onikoriste jednako cesto. Ako vozaci na slucajan nacin biraju kojice izlaz koristiti, kolika je vjerojatnost da
1 od pet vozila njih tri izade na istom izlazu?2 svih pet izadu kroz isti izlaz?
3 U posljednjem tjednu prije ljetnih praznika student u pet danaizlazi na tri ispita. Ako su svi rasporedi ispita jednakovjerojatni, kolika je vjerojatnost da
1 sve ispite polaze isti dan?2 u jednom danu polaze najvise jedan ispit?3 dva ispita polaze istog dana, a treci nekog drugog dana?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinatorni zadaci s pismenih
1 U cetiri vagona na slucajan nacin ulazi 16 putnika. Znamo dau svakom vagonu ima tocno 12 slobodnih mjesta. Kolika jevjerojatnost da
1 u prvi vagon udu cetiri putnika?2 u svaki vagon ude jednaki broj putnika?3 se neki od vagona popuni do posljednjeg mjesta?
2 Naplatne kucice autoputa imaju otvorena tri izlaza i svi se onikoriste jednako cesto. Ako vozaci na slucajan nacin biraju kojice izlaz koristiti, kolika je vjerojatnost da
1 od pet vozila njih tri izade na istom izlazu?2 svih pet izadu kroz isti izlaz?
3 U posljednjem tjednu prije ljetnih praznika student u pet danaizlazi na tri ispita. Ako su svi rasporedi ispita jednakovjerojatni, kolika je vjerojatnost da
1 sve ispite polaze isti dan?2 u jednom danu polaze najvise jedan ispit?3 dva ispita polaze istog dana, a treci nekog drugog dana?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinatorni zadaci s pismenih
1 U cetiri vagona na slucajan nacin ulazi 16 putnika. Znamo dau svakom vagonu ima tocno 12 slobodnih mjesta. Kolika jevjerojatnost da
1 u prvi vagon udu cetiri putnika?2 u svaki vagon ude jednaki broj putnika?3 se neki od vagona popuni do posljednjeg mjesta?
2 Naplatne kucice autoputa imaju otvorena tri izlaza i svi se onikoriste jednako cesto. Ako vozaci na slucajan nacin biraju kojice izlaz koristiti, kolika je vjerojatnost da
1 od pet vozila njih tri izade na istom izlazu?
2 svih pet izadu kroz isti izlaz?
3 U posljednjem tjednu prije ljetnih praznika student u pet danaizlazi na tri ispita. Ako su svi rasporedi ispita jednakovjerojatni, kolika je vjerojatnost da
1 sve ispite polaze isti dan?2 u jednom danu polaze najvise jedan ispit?3 dva ispita polaze istog dana, a treci nekog drugog dana?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinatorni zadaci s pismenih
1 U cetiri vagona na slucajan nacin ulazi 16 putnika. Znamo dau svakom vagonu ima tocno 12 slobodnih mjesta. Kolika jevjerojatnost da
1 u prvi vagon udu cetiri putnika?2 u svaki vagon ude jednaki broj putnika?3 se neki od vagona popuni do posljednjeg mjesta?
2 Naplatne kucice autoputa imaju otvorena tri izlaza i svi se onikoriste jednako cesto. Ako vozaci na slucajan nacin biraju kojice izlaz koristiti, kolika je vjerojatnost da
1 od pet vozila njih tri izade na istom izlazu?2 svih pet izadu kroz isti izlaz?
3 U posljednjem tjednu prije ljetnih praznika student u pet danaizlazi na tri ispita. Ako su svi rasporedi ispita jednakovjerojatni, kolika je vjerojatnost da
1 sve ispite polaze isti dan?2 u jednom danu polaze najvise jedan ispit?3 dva ispita polaze istog dana, a treci nekog drugog dana?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinatorni zadaci s pismenih
1 U cetiri vagona na slucajan nacin ulazi 16 putnika. Znamo dau svakom vagonu ima tocno 12 slobodnih mjesta. Kolika jevjerojatnost da
1 u prvi vagon udu cetiri putnika?2 u svaki vagon ude jednaki broj putnika?3 se neki od vagona popuni do posljednjeg mjesta?
2 Naplatne kucice autoputa imaju otvorena tri izlaza i svi se onikoriste jednako cesto. Ako vozaci na slucajan nacin biraju kojice izlaz koristiti, kolika je vjerojatnost da
1 od pet vozila njih tri izade na istom izlazu?2 svih pet izadu kroz isti izlaz?
3 U posljednjem tjednu prije ljetnih praznika student u pet danaizlazi na tri ispita. Ako su svi rasporedi ispita jednakovjerojatni, kolika je vjerojatnost da
1 sve ispite polaze isti dan?2 u jednom danu polaze najvise jedan ispit?3 dva ispita polaze istog dana, a treci nekog drugog dana?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinatorni zadaci s pismenih
1 U cetiri vagona na slucajan nacin ulazi 16 putnika. Znamo dau svakom vagonu ima tocno 12 slobodnih mjesta. Kolika jevjerojatnost da
1 u prvi vagon udu cetiri putnika?2 u svaki vagon ude jednaki broj putnika?3 se neki od vagona popuni do posljednjeg mjesta?
2 Naplatne kucice autoputa imaju otvorena tri izlaza i svi se onikoriste jednako cesto. Ako vozaci na slucajan nacin biraju kojice izlaz koristiti, kolika je vjerojatnost da
1 od pet vozila njih tri izade na istom izlazu?2 svih pet izadu kroz isti izlaz?
3 U posljednjem tjednu prije ljetnih praznika student u pet danaizlazi na tri ispita. Ako su svi rasporedi ispita jednakovjerojatni, kolika je vjerojatnost da
1 sve ispite polaze isti dan?
2 u jednom danu polaze najvise jedan ispit?3 dva ispita polaze istog dana, a treci nekog drugog dana?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinatorni zadaci s pismenih
1 U cetiri vagona na slucajan nacin ulazi 16 putnika. Znamo dau svakom vagonu ima tocno 12 slobodnih mjesta. Kolika jevjerojatnost da
1 u prvi vagon udu cetiri putnika?2 u svaki vagon ude jednaki broj putnika?3 se neki od vagona popuni do posljednjeg mjesta?
2 Naplatne kucice autoputa imaju otvorena tri izlaza i svi se onikoriste jednako cesto. Ako vozaci na slucajan nacin biraju kojice izlaz koristiti, kolika je vjerojatnost da
1 od pet vozila njih tri izade na istom izlazu?2 svih pet izadu kroz isti izlaz?
3 U posljednjem tjednu prije ljetnih praznika student u pet danaizlazi na tri ispita. Ako su svi rasporedi ispita jednakovjerojatni, kolika je vjerojatnost da
1 sve ispite polaze isti dan?2 u jednom danu polaze najvise jedan ispit?
3 dva ispita polaze istog dana, a treci nekog drugog dana?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kombinatorni zadaci s pismenih
1 U cetiri vagona na slucajan nacin ulazi 16 putnika. Znamo dau svakom vagonu ima tocno 12 slobodnih mjesta. Kolika jevjerojatnost da
1 u prvi vagon udu cetiri putnika?2 u svaki vagon ude jednaki broj putnika?3 se neki od vagona popuni do posljednjeg mjesta?
2 Naplatne kucice autoputa imaju otvorena tri izlaza i svi se onikoriste jednako cesto. Ako vozaci na slucajan nacin biraju kojice izlaz koristiti, kolika je vjerojatnost da
1 od pet vozila njih tri izade na istom izlazu?2 svih pet izadu kroz isti izlaz?
3 U posljednjem tjednu prije ljetnih praznika student u pet danaizlazi na tri ispita. Ako su svi rasporedi ispita jednakovjerojatni, kolika je vjerojatnost da
1 sve ispite polaze isti dan?2 u jednom danu polaze najvise jedan ispit?3 dva ispita polaze istog dana, a treci nekog drugog dana?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Razni zadaci s pismenih
1 Omjer putnickih, brzih i IC vlakova u zeljeznickom prometu je5:3:2. Poznato je da 85% putnickih, 90% brzih i 95% ICvlakova dolazi na vrijeme. Ako je vlak u stanicu stigao navrijeme, koliko je vjerojatno da je to IC vlak?
2 Poslodavac ima 25 zaposlenika koje moze poslati na sluzbeniput i od toga je 60% zena. Ako je na slucajan nacin odabrantim od petero ljudi, kolika je vjerojatnost da ce u ekipi bitibarem tri zene?
3 Od 20 postarskih paketa 12 ih se mora isporuciti u prigradskonaselje. Ako postar na slucajan nacin dobiva za isporuku 5paketa, kolika je vjerojatnost da ce barem jedan paket biti sisporukom u prigradsko naselje?
4 Vjerojatnost smanjene vidljivosti tijekom slijetanja zrakoplovaiznosi 0.3. Odredite vjerojatnost da pri slijetanju:
1 u nizu od 10 letova ne nastupi uvjet smanjene vidljivosti2 u nizu od 6 letova barem u polovici bude dobra vidljivost.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Razni zadaci s pismenih
1 Omjer putnickih, brzih i IC vlakova u zeljeznickom prometu je5:3:2. Poznato je da 85% putnickih, 90% brzih i 95% ICvlakova dolazi na vrijeme. Ako je vlak u stanicu stigao navrijeme, koliko je vjerojatno da je to IC vlak?
2 Poslodavac ima 25 zaposlenika koje moze poslati na sluzbeniput i od toga je 60% zena. Ako je na slucajan nacin odabrantim od petero ljudi, kolika je vjerojatnost da ce u ekipi bitibarem tri zene?
3 Od 20 postarskih paketa 12 ih se mora isporuciti u prigradskonaselje. Ako postar na slucajan nacin dobiva za isporuku 5paketa, kolika je vjerojatnost da ce barem jedan paket biti sisporukom u prigradsko naselje?
4 Vjerojatnost smanjene vidljivosti tijekom slijetanja zrakoplovaiznosi 0.3. Odredite vjerojatnost da pri slijetanju:
1 u nizu od 10 letova ne nastupi uvjet smanjene vidljivosti2 u nizu od 6 letova barem u polovici bude dobra vidljivost.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Razni zadaci s pismenih
1 Omjer putnickih, brzih i IC vlakova u zeljeznickom prometu je5:3:2. Poznato je da 85% putnickih, 90% brzih i 95% ICvlakova dolazi na vrijeme. Ako je vlak u stanicu stigao navrijeme, koliko je vjerojatno da je to IC vlak?
2 Poslodavac ima 25 zaposlenika koje moze poslati na sluzbeniput i od toga je 60% zena.
Ako je na slucajan nacin odabrantim od petero ljudi, kolika je vjerojatnost da ce u ekipi bitibarem tri zene?
3 Od 20 postarskih paketa 12 ih se mora isporuciti u prigradskonaselje. Ako postar na slucajan nacin dobiva za isporuku 5paketa, kolika je vjerojatnost da ce barem jedan paket biti sisporukom u prigradsko naselje?
4 Vjerojatnost smanjene vidljivosti tijekom slijetanja zrakoplovaiznosi 0.3. Odredite vjerojatnost da pri slijetanju:
1 u nizu od 10 letova ne nastupi uvjet smanjene vidljivosti2 u nizu od 6 letova barem u polovici bude dobra vidljivost.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Razni zadaci s pismenih
1 Omjer putnickih, brzih i IC vlakova u zeljeznickom prometu je5:3:2. Poznato je da 85% putnickih, 90% brzih i 95% ICvlakova dolazi na vrijeme. Ako je vlak u stanicu stigao navrijeme, koliko je vjerojatno da je to IC vlak?
2 Poslodavac ima 25 zaposlenika koje moze poslati na sluzbeniput i od toga je 60% zena. Ako je na slucajan nacin odabrantim od petero ljudi, kolika je vjerojatnost da ce u ekipi bitibarem tri zene?
3 Od 20 postarskih paketa 12 ih se mora isporuciti u prigradskonaselje. Ako postar na slucajan nacin dobiva za isporuku 5paketa, kolika je vjerojatnost da ce barem jedan paket biti sisporukom u prigradsko naselje?
4 Vjerojatnost smanjene vidljivosti tijekom slijetanja zrakoplovaiznosi 0.3. Odredite vjerojatnost da pri slijetanju:
1 u nizu od 10 letova ne nastupi uvjet smanjene vidljivosti2 u nizu od 6 letova barem u polovici bude dobra vidljivost.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Razni zadaci s pismenih
1 Omjer putnickih, brzih i IC vlakova u zeljeznickom prometu je5:3:2. Poznato je da 85% putnickih, 90% brzih i 95% ICvlakova dolazi na vrijeme. Ako je vlak u stanicu stigao navrijeme, koliko je vjerojatno da je to IC vlak?
2 Poslodavac ima 25 zaposlenika koje moze poslati na sluzbeniput i od toga je 60% zena. Ako je na slucajan nacin odabrantim od petero ljudi, kolika je vjerojatnost da ce u ekipi bitibarem tri zene?
3 Od 20 postarskih paketa 12 ih se mora isporuciti u prigradskonaselje. Ako postar na slucajan nacin dobiva za isporuku 5paketa, kolika je vjerojatnost da ce barem jedan paket biti sisporukom u prigradsko naselje?
4 Vjerojatnost smanjene vidljivosti tijekom slijetanja zrakoplovaiznosi 0.3. Odredite vjerojatnost da pri slijetanju:
1 u nizu od 10 letova ne nastupi uvjet smanjene vidljivosti2 u nizu od 6 letova barem u polovici bude dobra vidljivost.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Razni zadaci s pismenih
1 Omjer putnickih, brzih i IC vlakova u zeljeznickom prometu je5:3:2. Poznato je da 85% putnickih, 90% brzih i 95% ICvlakova dolazi na vrijeme. Ako je vlak u stanicu stigao navrijeme, koliko je vjerojatno da je to IC vlak?
2 Poslodavac ima 25 zaposlenika koje moze poslati na sluzbeniput i od toga je 60% zena. Ako je na slucajan nacin odabrantim od petero ljudi, kolika je vjerojatnost da ce u ekipi bitibarem tri zene?
3 Od 20 postarskih paketa 12 ih se mora isporuciti u prigradskonaselje. Ako postar na slucajan nacin dobiva za isporuku 5paketa, kolika je vjerojatnost da ce barem jedan paket biti sisporukom u prigradsko naselje?
4 Vjerojatnost smanjene vidljivosti tijekom slijetanja zrakoplovaiznosi 0.3. Odredite vjerojatnost da pri slijetanju:
1 u nizu od 10 letova ne nastupi uvjet smanjene vidljivosti2 u nizu od 6 letova barem u polovici bude dobra vidljivost.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Razni zadaci s pismenih
1 Omjer putnickih, brzih i IC vlakova u zeljeznickom prometu je5:3:2. Poznato je da 85% putnickih, 90% brzih i 95% ICvlakova dolazi na vrijeme. Ako je vlak u stanicu stigao navrijeme, koliko je vjerojatno da je to IC vlak?
2 Poslodavac ima 25 zaposlenika koje moze poslati na sluzbeniput i od toga je 60% zena. Ako je na slucajan nacin odabrantim od petero ljudi, kolika je vjerojatnost da ce u ekipi bitibarem tri zene?
3 Od 20 postarskih paketa 12 ih se mora isporuciti u prigradskonaselje. Ako postar na slucajan nacin dobiva za isporuku 5paketa, kolika je vjerojatnost da ce barem jedan paket biti sisporukom u prigradsko naselje?
4 Vjerojatnost smanjene vidljivosti tijekom slijetanja zrakoplovaiznosi 0.3. Odredite vjerojatnost da pri slijetanju:
1 u nizu od 10 letova ne nastupi uvjet smanjene vidljivosti
2 u nizu od 6 letova barem u polovici bude dobra vidljivost.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Razni zadaci s pismenih
1 Omjer putnickih, brzih i IC vlakova u zeljeznickom prometu je5:3:2. Poznato je da 85% putnickih, 90% brzih i 95% ICvlakova dolazi na vrijeme. Ako je vlak u stanicu stigao navrijeme, koliko je vjerojatno da je to IC vlak?
2 Poslodavac ima 25 zaposlenika koje moze poslati na sluzbeniput i od toga je 60% zena. Ako je na slucajan nacin odabrantim od petero ljudi, kolika je vjerojatnost da ce u ekipi bitibarem tri zene?
3 Od 20 postarskih paketa 12 ih se mora isporuciti u prigradskonaselje. Ako postar na slucajan nacin dobiva za isporuku 5paketa, kolika je vjerojatnost da ce barem jedan paket biti sisporukom u prigradsko naselje?
4 Vjerojatnost smanjene vidljivosti tijekom slijetanja zrakoplovaiznosi 0.3. Odredite vjerojatnost da pri slijetanju:
1 u nizu od 10 letova ne nastupi uvjet smanjene vidljivosti2 u nizu od 6 letova barem u polovici bude dobra vidljivost.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Slucajna varijabla. Vrednovanje ishoda
Kakve su oklade moguce u sljedecim primjerima?
Novcic se baca dok se ne dobije pismo.
Broje se bacanja kocke dok se ne dobije sestica.
U igri se bacaju dvije igrace kocke. Dobitak je zbroj nakockama.
Oklada je na trenutak zavrsetka nastave? Kakve mogu bitioklade?
Ako se kladimo na masu koju ce nam ujutro pokazati vaga,kakve su oklade moguce?
Zadatak
Koje su oklade zajednicke?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Slucajna varijabla. Vrednovanje ishoda
Kakve su oklade moguce u sljedecim primjerima?
Novcic se baca dok se ne dobije pismo.
Broje se bacanja kocke dok se ne dobije sestica.
U igri se bacaju dvije igrace kocke. Dobitak je zbroj nakockama.
Oklada je na trenutak zavrsetka nastave? Kakve mogu bitioklade?
Ako se kladimo na masu koju ce nam ujutro pokazati vaga,kakve su oklade moguce?
Zadatak
Koje su oklade zajednicke?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Slucajna varijabla. Vrednovanje ishoda
Kakve su oklade moguce u sljedecim primjerima?
Novcic se baca dok se ne dobije pismo.
Broje se bacanja kocke dok se ne dobije sestica.
U igri se bacaju dvije igrace kocke. Dobitak je zbroj nakockama.
Oklada je na trenutak zavrsetka nastave? Kakve mogu bitioklade?
Ako se kladimo na masu koju ce nam ujutro pokazati vaga,kakve su oklade moguce?
Zadatak
Koje su oklade zajednicke?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Slucajna varijabla. Vrednovanje ishoda
Kakve su oklade moguce u sljedecim primjerima?
Novcic se baca dok se ne dobije pismo.
Broje se bacanja kocke dok se ne dobije sestica.
U igri se bacaju dvije igrace kocke. Dobitak je zbroj nakockama.
Oklada je na trenutak zavrsetka nastave? Kakve mogu bitioklade?
Ako se kladimo na masu koju ce nam ujutro pokazati vaga,kakve su oklade moguce?
Zadatak
Koje su oklade zajednicke?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Slucajna varijabla. Vrednovanje ishoda
Kakve su oklade moguce u sljedecim primjerima?
Novcic se baca dok se ne dobije pismo.
Broje se bacanja kocke dok se ne dobije sestica.
U igri se bacaju dvije igrace kocke. Dobitak je zbroj nakockama.
Oklada je na trenutak zavrsetka nastave? Kakve mogu bitioklade?
Ako se kladimo na masu koju ce nam ujutro pokazati vaga,kakve su oklade moguce?
Zadatak
Koje su oklade zajednicke?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Slucajna varijabla. Vrednovanje ishoda
Kakve su oklade moguce u sljedecim primjerima?
Novcic se baca dok se ne dobije pismo.
Broje se bacanja kocke dok se ne dobije sestica.
U igri se bacaju dvije igrace kocke. Dobitak je zbroj nakockama.
Oklada je na trenutak zavrsetka nastave? Kakve mogu bitioklade?
Ako se kladimo na masu koju ce nam ujutro pokazati vaga,kakve su oklade moguce?
Zadatak
Koje su oklade zajednicke?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Slucajna varijabla. Vrednovanje ishoda
Kakve su oklade moguce u sljedecim primjerima?
Novcic se baca dok se ne dobije pismo.
Broje se bacanja kocke dok se ne dobije sestica.
U igri se bacaju dvije igrace kocke. Dobitak je zbroj nakockama.
Oklada je na trenutak zavrsetka nastave? Kakve mogu bitioklade?
Ako se kladimo na masu koju ce nam ujutro pokazati vaga,kakve su oklade moguce?
Zadatak
Koje su oklade zajednicke?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Slucajna varijabla. Vrednovanje ishoda
Kakve su oklade moguce u sljedecim primjerima?
Novcic se baca dok se ne dobije pismo.
Broje se bacanja kocke dok se ne dobije sestica.
U igri se bacaju dvije igrace kocke. Dobitak je zbroj nakockama.
Oklada je na trenutak zavrsetka nastave? Kakve mogu bitioklade?
Ako se kladimo na masu koju ce nam ujutro pokazati vaga,kakve su oklade moguce?
Zadatak
Koje su oklade zajednicke?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Definicija slucajne varijable
Definicija
Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor, a neka je x neka je realanbroj. Slucajna varijabla je ona funkcija X : Ω→ R za koju postojiP(X ≤ x) za svaki realan broj x.
Zadatak
Definirati u prethodnim primjerima slucajne varijable.
Zadatak
Navedite po jedan primjer diskretne i jedan primjer kontinuiraneslucajne varijable.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Definicija slucajne varijable
Definicija
Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor, a neka je x neka je realanbroj.
Slucajna varijabla je ona funkcija X : Ω→ R za koju postojiP(X ≤ x) za svaki realan broj x.
Zadatak
Definirati u prethodnim primjerima slucajne varijable.
Zadatak
Navedite po jedan primjer diskretne i jedan primjer kontinuiraneslucajne varijable.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Definicija slucajne varijable
Definicija
Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor, a neka je x neka je realanbroj. Slucajna varijabla je ona funkcija X : Ω→ R za koju postojiP(X ≤ x) za svaki realan broj x.
Zadatak
Definirati u prethodnim primjerima slucajne varijable.
Zadatak
Navedite po jedan primjer diskretne i jedan primjer kontinuiraneslucajne varijable.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Definicija slucajne varijable
Definicija
Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor, a neka je x neka je realanbroj. Slucajna varijabla je ona funkcija X : Ω→ R za koju postojiP(X ≤ x) za svaki realan broj x.
Zadatak
Definirati u prethodnim primjerima slucajne varijable.
Zadatak
Navedite po jedan primjer diskretne i jedan primjer kontinuiraneslucajne varijable.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Definicija slucajne varijable
Definicija
Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor, a neka je x neka je realanbroj. Slucajna varijabla je ona funkcija X : Ω→ R za koju postojiP(X ≤ x) za svaki realan broj x.
Zadatak
Definirati u prethodnim primjerima slucajne varijable.
Zadatak
Navedite po jedan primjer diskretne i jedan primjer kontinuiraneslucajne varijable.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Funkcija razdiobe
Definicija
Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor i neka je X slucajnavarijabla. Funkcija razdiobe F : R→ [0, 1] definirana je prekovjerojatnosti: F (x) = P(X ≤ x).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije razdiobe ako je u bacanju dviju kocakaslucajna varijabla jednaka zbroju brojeva na kockama.
Svojstva funkcije razdiobe:
- neopadajuca: x1 ≤ x2 ⇒ F (x1) ≤ F (x2)
- neprekidna sdesna limε→0
F (x + ε) = F (x)
- vrijedi: limx→−∞
F (x) = 0;limx→∞ F (x) = 1.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Funkcija razdiobe
Definicija
Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor i neka je X slucajnavarijabla. Funkcija razdiobe F : R→ [0, 1] definirana je prekovjerojatnosti: F (x) = P(X ≤ x).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije razdiobe ako je u bacanju dviju kocakaslucajna varijabla jednaka zbroju brojeva na kockama.
Svojstva funkcije razdiobe:
- neopadajuca: x1 ≤ x2 ⇒ F (x1) ≤ F (x2)
- neprekidna sdesna limε→0
F (x + ε) = F (x)
- vrijedi: limx→−∞
F (x) = 0;limx→∞ F (x) = 1.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Funkcija razdiobe
Definicija
Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor i neka je X slucajnavarijabla. Funkcija razdiobe F : R→ [0, 1] definirana je prekovjerojatnosti: F (x) = P(X ≤ x).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije razdiobe ako je u bacanju dviju kocakaslucajna varijabla jednaka zbroju brojeva na kockama.
Svojstva funkcije razdiobe:
- neopadajuca: x1 ≤ x2 ⇒ F (x1) ≤ F (x2)
- neprekidna sdesna limε→0
F (x + ε) = F (x)
- vrijedi: limx→−∞
F (x) = 0;limx→∞ F (x) = 1.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Funkcija razdiobe
Definicija
Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor i neka je X slucajnavarijabla. Funkcija razdiobe F : R→ [0, 1] definirana je prekovjerojatnosti: F (x) = P(X ≤ x).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije razdiobe ako je u bacanju dviju kocakaslucajna varijabla jednaka zbroju brojeva na kockama.
Svojstva funkcije razdiobe:
- neopadajuca: x1 ≤ x2 ⇒ F (x1) ≤ F (x2)
- neprekidna sdesna limε→0
F (x + ε) = F (x)
- vrijedi: limx→−∞
F (x) = 0;limx→∞ F (x) = 1.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Funkcija razdiobe
Definicija
Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor i neka je X slucajnavarijabla. Funkcija razdiobe F : R→ [0, 1] definirana je prekovjerojatnosti: F (x) = P(X ≤ x).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije razdiobe ako je u bacanju dviju kocakaslucajna varijabla jednaka zbroju brojeva na kockama.
Svojstva funkcije razdiobe:
- neopadajuca: x1 ≤ x2 ⇒ F (x1) ≤ F (x2)
- neprekidna sdesna limε→0
F (x + ε) = F (x)
- vrijedi: limx→−∞
F (x) = 0;limx→∞ F (x) = 1.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Funkcija razdiobe
Definicija
Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor i neka je X slucajnavarijabla. Funkcija razdiobe F : R→ [0, 1] definirana je prekovjerojatnosti: F (x) = P(X ≤ x).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije razdiobe ako je u bacanju dviju kocakaslucajna varijabla jednaka zbroju brojeva na kockama.
Svojstva funkcije razdiobe:
- neopadajuca: x1 ≤ x2 ⇒ F (x1) ≤ F (x2)
- neprekidna sdesna limε→0
F (x + ε) = F (x)
- vrijedi: limx→−∞
F (x) = 0;limx→∞ F (x) = 1.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Funkcija razdiobe
Definicija
Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor i neka je X slucajnavarijabla. Funkcija razdiobe F : R→ [0, 1] definirana je prekovjerojatnosti: F (x) = P(X ≤ x).
Zadatak
Nacrtajte graf funkcije razdiobe ako je u bacanju dviju kocakaslucajna varijabla jednaka zbroju brojeva na kockama.
Svojstva funkcije razdiobe:
- neopadajuca: x1 ≤ x2 ⇒ F (x1) ≤ F (x2)
- neprekidna sdesna limε→0
F (x + ε) = F (x)
- vrijedi: limx→−∞
F (x) = 0;limx→∞ F (x) = 1.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Diskretna slucajna varijabla
Zadatak
U kutiji su tri crne i pet bijelih kuglica. Kuglice se mogu izvlacitidok se ne izvuce bijela. Slucajna varijabla je broj izvlacenja.
1 Koliko vrijednosti moze imati slucajna varijabla?
2 Odredite pripadne vjerojatnosti za svaku vrijednost slucajnevarijable.
Definicija
Skup parova (xi , pi ) gdje je xi vrijednost slucajne varijable, a pi
pripadna vjerojatnost, naziva se diskretnom razdiobom ilidiskretnom distribucijom vjerojatnosti. Funkcijaf : X (Ω)→ [0, 1] ⊂ R zadana s f (xi ) = p(X = xi ) naziva sefunkcijom (gustoce) vjerojatnosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Diskretna slucajna varijabla
Zadatak
U kutiji su tri crne i pet bijelih kuglica. Kuglice se mogu izvlacitidok se ne izvuce bijela. Slucajna varijabla je broj izvlacenja.
1 Koliko vrijednosti moze imati slucajna varijabla?
2 Odredite pripadne vjerojatnosti za svaku vrijednost slucajnevarijable.
Definicija
Skup parova (xi , pi ) gdje je xi vrijednost slucajne varijable, a pi
pripadna vjerojatnost, naziva se diskretnom razdiobom ilidiskretnom distribucijom vjerojatnosti. Funkcijaf : X (Ω)→ [0, 1] ⊂ R zadana s f (xi ) = p(X = xi ) naziva sefunkcijom (gustoce) vjerojatnosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Diskretna slucajna varijabla
Zadatak
U kutiji su tri crne i pet bijelih kuglica. Kuglice se mogu izvlacitidok se ne izvuce bijela. Slucajna varijabla je broj izvlacenja.
1 Koliko vrijednosti moze imati slucajna varijabla?
2 Odredite pripadne vjerojatnosti za svaku vrijednost slucajnevarijable.
Definicija
Skup parova (xi , pi ) gdje je xi vrijednost slucajne varijable, a pi
pripadna vjerojatnost, naziva se diskretnom razdiobom ilidiskretnom distribucijom vjerojatnosti. Funkcijaf : X (Ω)→ [0, 1] ⊂ R zadana s f (xi ) = p(X = xi ) naziva sefunkcijom (gustoce) vjerojatnosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Diskretna slucajna varijabla
Zadatak
U kutiji su tri crne i pet bijelih kuglica. Kuglice se mogu izvlacitidok se ne izvuce bijela. Slucajna varijabla je broj izvlacenja.
1 Koliko vrijednosti moze imati slucajna varijabla?
2 Odredite pripadne vjerojatnosti za svaku vrijednost slucajnevarijable.
Definicija
Skup parova (xi , pi ) gdje je xi vrijednost slucajne varijable, a pi
pripadna vjerojatnost, naziva se diskretnom razdiobom ilidiskretnom distribucijom vjerojatnosti. Funkcijaf : X (Ω)→ [0, 1] ⊂ R zadana s f (xi ) = p(X = xi ) naziva sefunkcijom (gustoce) vjerojatnosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Diskretna slucajna varijabla
Zadatak
U kutiji su tri crne i pet bijelih kuglica. Kuglice se mogu izvlacitidok se ne izvuce bijela. Slucajna varijabla je broj izvlacenja.
1 Koliko vrijednosti moze imati slucajna varijabla?
2 Odredite pripadne vjerojatnosti za svaku vrijednost slucajnevarijable.
Definicija
Skup parova (xi , pi ) gdje je xi vrijednost slucajne varijable, a pi
pripadna vjerojatnost, naziva se diskretnom razdiobom ilidiskretnom distribucijom vjerojatnosti.
Funkcijaf : X (Ω)→ [0, 1] ⊂ R zadana s f (xi ) = p(X = xi ) naziva sefunkcijom (gustoce) vjerojatnosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Diskretna slucajna varijabla
Zadatak
U kutiji su tri crne i pet bijelih kuglica. Kuglice se mogu izvlacitidok se ne izvuce bijela. Slucajna varijabla je broj izvlacenja.
1 Koliko vrijednosti moze imati slucajna varijabla?
2 Odredite pripadne vjerojatnosti za svaku vrijednost slucajnevarijable.
Definicija
Skup parova (xi , pi ) gdje je xi vrijednost slucajne varijable, a pi
pripadna vjerojatnost, naziva se diskretnom razdiobom ilidiskretnom distribucijom vjerojatnosti. Funkcijaf : X (Ω)→ [0, 1] ⊂ R zadana s f (xi ) = p(X = xi ) naziva sefunkcijom (gustoce) vjerojatnosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Funkcija distribucije diskretne slucajne varijable
Teorem
Neka je (Ω,F , p) vjerojatnosti prostor. Neka je f : X (Ω)→ [0, 1]funkcija vjerojatnosti slucajne varijable X : Ω→ R. Tada je
F (x) = p(X ≤ x) =∑xi≤x
p(X = xi ) =∑xi≤x
f (xi )
Zadatak
Kocka se baca sve dok ne padne jedinica, a najvise cetiri puta.Neka slucajna varijabla X oznacava broj bacanja kocke. Odrediterazdiobu vjerojatnosti. Zapisite funkciju distribucije F (x).Nacrtajte funkciju razdiobe.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Funkcija distribucije diskretne slucajne varijable
Teorem
Neka je (Ω,F , p) vjerojatnosti prostor. Neka je f : X (Ω)→ [0, 1]funkcija vjerojatnosti slucajne varijable X : Ω→ R. Tada je
F (x) = p(X ≤ x) =∑xi≤x
p(X = xi ) =∑xi≤x
f (xi )
Zadatak
Kocka se baca sve dok ne padne jedinica, a najvise cetiri puta.Neka slucajna varijabla X oznacava broj bacanja kocke. Odrediterazdiobu vjerojatnosti. Zapisite funkciju distribucije F (x).Nacrtajte funkciju razdiobe.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Funkcija distribucije diskretne slucajne varijable
Teorem
Neka je (Ω,F , p) vjerojatnosti prostor. Neka je f : X (Ω)→ [0, 1]funkcija vjerojatnosti slucajne varijable X : Ω→ R. Tada je
F (x) = p(X ≤ x) =∑xi≤x
p(X = xi ) =∑xi≤x
f (xi )
Zadatak
Kocka se baca sve dok ne padne jedinica, a najvise cetiri puta.Neka slucajna varijabla X oznacava broj bacanja kocke. Odrediterazdiobu vjerojatnosti.
Zapisite funkciju distribucije F (x).Nacrtajte funkciju razdiobe.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Funkcija distribucije diskretne slucajne varijable
Teorem
Neka je (Ω,F , p) vjerojatnosti prostor. Neka je f : X (Ω)→ [0, 1]funkcija vjerojatnosti slucajne varijable X : Ω→ R. Tada je
F (x) = p(X ≤ x) =∑xi≤x
p(X = xi ) =∑xi≤x
f (xi )
Zadatak
Kocka se baca sve dok ne padne jedinica, a najvise cetiri puta.Neka slucajna varijabla X oznacava broj bacanja kocke. Odrediterazdiobu vjerojatnosti. Zapisite funkciju distribucije F (x).
Nacrtajte funkciju razdiobe.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Funkcija distribucije diskretne slucajne varijable
Teorem
Neka je (Ω,F , p) vjerojatnosti prostor. Neka je f : X (Ω)→ [0, 1]funkcija vjerojatnosti slucajne varijable X : Ω→ R. Tada je
F (x) = p(X ≤ x) =∑xi≤x
p(X = xi ) =∑xi≤x
f (xi )
Zadatak
Kocka se baca sve dok ne padne jedinica, a najvise cetiri puta.Neka slucajna varijabla X oznacava broj bacanja kocke. Odrediterazdiobu vjerojatnosti. Zapisite funkciju distribucije F (x).Nacrtajte funkciju razdiobe.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Matematicko ocekivanje
Definicija
Matematicko ocekivanje diskretne slucajne varijable X je broj
E (X ) =∑i
xi f (xi )
gdje su f (xi ) vrijednosti funkcije vjerojatnosti za vrijednostislucajne varijable xi .
Zadatak
Odredite ocekivanu razliku koja padne pri bacanju dviju kocaka.Ako igrac dobiva onoliko kuna kolika je razlika na kockama, kolikitreba biti upad u igru, pa da igra bude fer?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Matematicko ocekivanje
Definicija
Matematicko ocekivanje diskretne slucajne varijable X je broj
E (X ) =∑i
xi f (xi )
gdje su f (xi ) vrijednosti funkcije vjerojatnosti za vrijednostislucajne varijable xi .
Zadatak
Odredite ocekivanu razliku koja padne pri bacanju dviju kocaka.Ako igrac dobiva onoliko kuna kolika je razlika na kockama, kolikitreba biti upad u igru, pa da igra bude fer?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Matematicko ocekivanje
Definicija
Matematicko ocekivanje diskretne slucajne varijable X je broj
E (X ) =∑i
xi f (xi )
gdje su f (xi ) vrijednosti funkcije vjerojatnosti za vrijednostislucajne varijable xi .
Zadatak
Odredite ocekivanu razliku koja padne pri bacanju dviju kocaka.
Ako igrac dobiva onoliko kuna kolika je razlika na kockama, kolikitreba biti upad u igru, pa da igra bude fer?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Matematicko ocekivanje
Definicija
Matematicko ocekivanje diskretne slucajne varijable X je broj
E (X ) =∑i
xi f (xi )
gdje su f (xi ) vrijednosti funkcije vjerojatnosti za vrijednostislucajne varijable xi .
Zadatak
Odredite ocekivanu razliku koja padne pri bacanju dviju kocaka.Ako igrac dobiva onoliko kuna kolika je razlika na kockama, kolikitreba biti upad u igru, pa da igra bude fer?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ocekivanje beskonacne diskretne slucajne varijable
Programirajte u EXCEL-u.
Zadatak
Novcic se baca dok se ne dobije pismo. Po svakoj dobivenoj glaviigrac ima pravo na 10 kuna. Koliki bi morao biti upad u fer-play?
Zadatak
Po svakom bacanju kocke na kojem padne 6 igrac ima pravo na josjedno bacanje. Ako padne 6, dobiva 10 kn. Koliki bi sada trebaobiti ulaz u igru?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ocekivanje beskonacne diskretne slucajne varijable
Programirajte u EXCEL-u.
Zadatak
Novcic se baca dok se ne dobije pismo. Po svakoj dobivenoj glaviigrac ima pravo na 10 kuna. Koliki bi morao biti upad u fer-play?
Zadatak
Po svakom bacanju kocke na kojem padne 6 igrac ima pravo na josjedno bacanje. Ako padne 6, dobiva 10 kn. Koliki bi sada trebaobiti ulaz u igru?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ocekivanje beskonacne diskretne slucajne varijable
Programirajte u EXCEL-u.
Zadatak
Novcic se baca dok se ne dobije pismo. Po svakoj dobivenoj glaviigrac ima pravo na 10 kuna. Koliki bi morao biti upad u fer-play?
Zadatak
Po svakom bacanju kocke na kojem padne 6 igrac ima pravo na josjedno bacanje. Ako padne 6, dobiva 10 kn. Koliki bi sada trebaobiti ulaz u igru?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Varijanca i standardna devijacija
Definicija
Varijanca, disperzija ili rasipanje u oznakamaV (X ) = Var(X ) = D(X ) mjeri se u odnosu na matematickoocekivanje: V (X ) = E [X − E (X )]2 = E (X 2)− (EX )2.
Definicija
Standardna devijacija je srednje kvadraticno odstupanje:σX =
√V (X ).
Primjer
Vjerojatnost da se na sajmu proda auto je 15%. Covjek odluci icina sajam dok ne proda auto, ali najvise cetiri puta. Izracunajteocekivani broj odlazaka na sajam i standardnu devijaciju.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Varijanca i standardna devijacija
Definicija
Varijanca, disperzija ili rasipanje u oznakamaV (X ) = Var(X ) = D(X ) mjeri se u odnosu na matematickoocekivanje:
V (X ) = E [X − E (X )]2 = E (X 2)− (EX )2.
Definicija
Standardna devijacija je srednje kvadraticno odstupanje:σX =
√V (X ).
Primjer
Vjerojatnost da se na sajmu proda auto je 15%. Covjek odluci icina sajam dok ne proda auto, ali najvise cetiri puta. Izracunajteocekivani broj odlazaka na sajam i standardnu devijaciju.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Varijanca i standardna devijacija
Definicija
Varijanca, disperzija ili rasipanje u oznakamaV (X ) = Var(X ) = D(X ) mjeri se u odnosu na matematickoocekivanje: V (X ) = E [X − E (X )]2 = E (X 2)− (EX )2.
Definicija
Standardna devijacija je srednje kvadraticno odstupanje:σX =
√V (X ).
Primjer
Vjerojatnost da se na sajmu proda auto je 15%. Covjek odluci icina sajam dok ne proda auto, ali najvise cetiri puta. Izracunajteocekivani broj odlazaka na sajam i standardnu devijaciju.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Varijanca i standardna devijacija
Definicija
Varijanca, disperzija ili rasipanje u oznakamaV (X ) = Var(X ) = D(X ) mjeri se u odnosu na matematickoocekivanje: V (X ) = E [X − E (X )]2 = E (X 2)− (EX )2.
Definicija
Standardna devijacija je srednje kvadraticno odstupanje:
σX =√
V (X ).
Primjer
Vjerojatnost da se na sajmu proda auto je 15%. Covjek odluci icina sajam dok ne proda auto, ali najvise cetiri puta. Izracunajteocekivani broj odlazaka na sajam i standardnu devijaciju.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Varijanca i standardna devijacija
Definicija
Varijanca, disperzija ili rasipanje u oznakamaV (X ) = Var(X ) = D(X ) mjeri se u odnosu na matematickoocekivanje: V (X ) = E [X − E (X )]2 = E (X 2)− (EX )2.
Definicija
Standardna devijacija je srednje kvadraticno odstupanje:σX =
√V (X ).
Primjer
Vjerojatnost da se na sajmu proda auto je 15%. Covjek odluci icina sajam dok ne proda auto, ali najvise cetiri puta. Izracunajteocekivani broj odlazaka na sajam i standardnu devijaciju.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Varijanca i standardna devijacija
Definicija
Varijanca, disperzija ili rasipanje u oznakamaV (X ) = Var(X ) = D(X ) mjeri se u odnosu na matematickoocekivanje: V (X ) = E [X − E (X )]2 = E (X 2)− (EX )2.
Definicija
Standardna devijacija je srednje kvadraticno odstupanje:σX =
√V (X ).
Primjer
Vjerojatnost da se na sajmu proda auto je 15%. Covjek odluci icina sajam dok ne proda auto, ali najvise cetiri puta. Izracunajteocekivani broj odlazaka na sajam i standardnu devijaciju.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
Zadatak
Bezicni modem pokusava uspostaviti vezu sest puta dnevno. Akoje vjerojatnost uspostave veze pri svakom pokusaju 70%, odrediteocekivani broj uspjesnih spajanja toga dana i standardnu devijaciju.
Zadatak
Igra na srecu sastoji se u bacanju cetiri novcica jednog za drugim,ali se prekida ako padne glava. Za svaki baceni novcic dobivaju se2 kn, a za svaki koji nije bacen gube se 2 kn. Da li je igra postena?
Zadatak
Igrac ima pravo izvlaciti karte sve dok izvlaci herceve. U Spilu od32 karte ima 8 herceva. Ako po svakom hercu koji nasumce izvucedobiva po 20 kn, koliko mora biti ucesce igraca?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
Zadatak
Bezicni modem pokusava uspostaviti vezu sest puta dnevno. Akoje vjerojatnost uspostave veze pri svakom pokusaju 70%, odrediteocekivani broj uspjesnih spajanja toga dana i standardnu devijaciju.
Zadatak
Igra na srecu sastoji se u bacanju cetiri novcica jednog za drugim,ali se prekida ako padne glava. Za svaki baceni novcic dobivaju se2 kn, a za svaki koji nije bacen gube se 2 kn. Da li je igra postena?
Zadatak
Igrac ima pravo izvlaciti karte sve dok izvlaci herceve. U Spilu od32 karte ima 8 herceva. Ako po svakom hercu koji nasumce izvucedobiva po 20 kn, koliko mora biti ucesce igraca?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
Zadatak
Bezicni modem pokusava uspostaviti vezu sest puta dnevno. Akoje vjerojatnost uspostave veze pri svakom pokusaju 70%, odrediteocekivani broj uspjesnih spajanja toga dana i standardnu devijaciju.
Zadatak
Igra na srecu sastoji se u bacanju cetiri novcica jednog za drugim,ali se prekida ako padne glava. Za svaki baceni novcic dobivaju se2 kn, a za svaki koji nije bacen gube se 2 kn. Da li je igra postena?
Zadatak
Igrac ima pravo izvlaciti karte sve dok izvlaci herceve. U Spilu od32 karte ima 8 herceva. Ako po svakom hercu koji nasumce izvucedobiva po 20 kn, koliko mora biti ucesce igraca?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
Zadatak
Bezicni modem pokusava uspostaviti vezu sest puta dnevno. Akoje vjerojatnost uspostave veze pri svakom pokusaju 70%, odrediteocekivani broj uspjesnih spajanja toga dana i standardnu devijaciju.
Zadatak
Igra na srecu sastoji se u bacanju cetiri novcica jednog za drugim,ali se prekida ako padne glava. Za svaki baceni novcic dobivaju se2 kn, a za svaki koji nije bacen gube se 2 kn. Da li je igra postena?
Zadatak
Igrac ima pravo izvlaciti karte sve dok izvlaci herceve. U Spilu od32 karte ima 8 herceva. Ako po svakom hercu koji nasumce izvucedobiva po 20 kn, koliko mora biti ucesce igraca?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Pikado
Zadatak
Meta za pikado izgleda kao na slici. Sredisnji krug nosi 10 bodova,prvi srednji 5, a vanjski vijenac 1 bod. Igrac gada metu s tri pikadostrelice. Pod pretpostavkom da metu ne promasuje, izracunajteocekivani broj bodova, varijancu i standardnu devijaciju
25cm
25cm
30cm
25cm
25cm
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Pikado
Zadatak
Meta za pikado izgleda kao na slici. Sredisnji krug nosi 10 bodova,prvi srednji 5, a vanjski vijenac 1 bod. Igrac gada metu s tri pikadostrelice. Pod pretpostavkom da metu ne promasuje, izracunajteocekivani broj bodova, varijancu i standardnu devijaciju
25cm
25cm
30cm
25cm
25cm
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Binomna razdioba
Pretpostavlja n ponavljanja jednog slucajnog pokusa s dva ishoda:
- ”uspjeh”, s vjerojatnosti p
- ”neuspjeh”, s vjerojatnosti q = 1− p
Slucajna varijabla X broji uspjehe.
Funkcija (gustoce) vjerojatnosti -f (x) = P(X = x) =(
nx
)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n
0, x 6= 0, 1, . . . n
Funkcija distribucije vjerojatnosti:
F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x
(nk
)· pk · qn−k .
Matematicko ocekivanje: E (X ) = np
Varijanca: V (X ) = npq
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Binomna razdioba
Pretpostavlja n ponavljanja jednog slucajnog pokusa s dva ishoda:
- ”uspjeh”, s vjerojatnosti p
- ”neuspjeh”, s vjerojatnosti q = 1− p
Slucajna varijabla X broji uspjehe.
Funkcija (gustoce) vjerojatnosti -f (x) = P(X = x) =(
nx
)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n
0, x 6= 0, 1, . . . n
Funkcija distribucije vjerojatnosti:
F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x
(nk
)· pk · qn−k .
Matematicko ocekivanje: E (X ) = np
Varijanca: V (X ) = npq
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Binomna razdioba
Pretpostavlja n ponavljanja jednog slucajnog pokusa s dva ishoda:
- ”uspjeh”, s vjerojatnosti p
- ”neuspjeh”, s vjerojatnosti q = 1− p
Slucajna varijabla X broji uspjehe.
Funkcija (gustoce) vjerojatnosti -f (x) = P(X = x) =(
nx
)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n
0, x 6= 0, 1, . . . n
Funkcija distribucije vjerojatnosti:
F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x
(nk
)· pk · qn−k .
Matematicko ocekivanje: E (X ) = np
Varijanca: V (X ) = npq
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Binomna razdioba
Pretpostavlja n ponavljanja jednog slucajnog pokusa s dva ishoda:
- ”uspjeh”, s vjerojatnosti p
- ”neuspjeh”, s vjerojatnosti q = 1− p
Slucajna varijabla X broji uspjehe.
Funkcija (gustoce) vjerojatnosti -f (x) = P(X = x) =(
nx
)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n
0, x 6= 0, 1, . . . n
Funkcija distribucije vjerojatnosti:
F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x
(nk
)· pk · qn−k .
Matematicko ocekivanje: E (X ) = np
Varijanca: V (X ) = npq
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Binomna razdioba
Pretpostavlja n ponavljanja jednog slucajnog pokusa s dva ishoda:
- ”uspjeh”, s vjerojatnosti p
- ”neuspjeh”, s vjerojatnosti q = 1− p
Slucajna varijabla X broji uspjehe.
Funkcija (gustoce) vjerojatnosti -f (x) = P(X = x) =(
nx
)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n
0, x 6= 0, 1, . . . n
Funkcija distribucije vjerojatnosti:
F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x
(nk
)· pk · qn−k .
Matematicko ocekivanje: E (X ) = np
Varijanca: V (X ) = npq
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Binomna razdioba
Pretpostavlja n ponavljanja jednog slucajnog pokusa s dva ishoda:
- ”uspjeh”, s vjerojatnosti p
- ”neuspjeh”, s vjerojatnosti q = 1− p
Slucajna varijabla X broji uspjehe.
Funkcija (gustoce) vjerojatnosti -
f (x) = P(X = x) =(
nx
)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n
0, x 6= 0, 1, . . . n
Funkcija distribucije vjerojatnosti:
F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x
(nk
)· pk · qn−k .
Matematicko ocekivanje: E (X ) = np
Varijanca: V (X ) = npq
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Binomna razdioba
Pretpostavlja n ponavljanja jednog slucajnog pokusa s dva ishoda:
- ”uspjeh”, s vjerojatnosti p
- ”neuspjeh”, s vjerojatnosti q = 1− p
Slucajna varijabla X broji uspjehe.
Funkcija (gustoce) vjerojatnosti -f (x) = P(X = x) =(
nx
)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n
0, x 6= 0, 1, . . . n
Funkcija distribucije vjerojatnosti:
F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x
(nk
)· pk · qn−k .
Matematicko ocekivanje: E (X ) = np
Varijanca: V (X ) = npq
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Binomna razdioba
Pretpostavlja n ponavljanja jednog slucajnog pokusa s dva ishoda:
- ”uspjeh”, s vjerojatnosti p
- ”neuspjeh”, s vjerojatnosti q = 1− p
Slucajna varijabla X broji uspjehe.
Funkcija (gustoce) vjerojatnosti -f (x) = P(X = x) =(
nx
)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n
0, x 6= 0, 1, . . . n
Funkcija distribucije vjerojatnosti:
F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x
(nk
)· pk · qn−k .
Matematicko ocekivanje: E (X ) = np
Varijanca: V (X ) = npq
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Binomna razdioba
Pretpostavlja n ponavljanja jednog slucajnog pokusa s dva ishoda:
- ”uspjeh”, s vjerojatnosti p
- ”neuspjeh”, s vjerojatnosti q = 1− p
Slucajna varijabla X broji uspjehe.
Funkcija (gustoce) vjerojatnosti -f (x) = P(X = x) =(
nx
)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n
0, x 6= 0, 1, . . . n
Funkcija distribucije vjerojatnosti:
F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x
(nk
)· pk · qn−k .
Matematicko ocekivanje: E (X ) = np
Varijanca: V (X ) = npq
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Binomna razdioba
Pretpostavlja n ponavljanja jednog slucajnog pokusa s dva ishoda:
- ”uspjeh”, s vjerojatnosti p
- ”neuspjeh”, s vjerojatnosti q = 1− p
Slucajna varijabla X broji uspjehe.
Funkcija (gustoce) vjerojatnosti -f (x) = P(X = x) =(
nx
)· px · qn−k , x = 0, 1, . . . n
0, x 6= 0, 1, . . . n
Funkcija distribucije vjerojatnosti:
F (x) = p(X ≤ x) =∑k≤x
(nk
)· pk · qn−k .
Matematicko ocekivanje: E (X ) = np
Varijanca: V (X ) = npq
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadatak
Zadatak
Marko na putu do posla prolazi kroz 5 nesinhroniziranih semaforana kojima zeleno traje 2
5 faze. Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz. Koliki je ocekivani brojprolaza? Koliki je ocekivani broj stajanja? Kolika je varijancaprolaza? Kolika je varijanca stajanja? Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza? Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadatak
Zadatak
Marko na putu do posla prolazi kroz 5 nesinhroniziranih semaforana kojima zeleno traje 2
5 faze.
Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz. Koliki je ocekivani brojprolaza? Koliki je ocekivani broj stajanja? Kolika je varijancaprolaza? Kolika je varijanca stajanja? Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza? Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadatak
Zadatak
Marko na putu do posla prolazi kroz 5 nesinhroniziranih semaforana kojima zeleno traje 2
5 faze. Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz.
Koliki je ocekivani brojprolaza? Koliki je ocekivani broj stajanja? Kolika je varijancaprolaza? Kolika je varijanca stajanja? Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza? Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadatak
Zadatak
Marko na putu do posla prolazi kroz 5 nesinhroniziranih semaforana kojima zeleno traje 2
5 faze. Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz. Koliki je ocekivani brojprolaza?
Koliki je ocekivani broj stajanja? Kolika je varijancaprolaza? Kolika je varijanca stajanja? Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza? Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadatak
Zadatak
Marko na putu do posla prolazi kroz 5 nesinhroniziranih semaforana kojima zeleno traje 2
5 faze. Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz. Koliki je ocekivani brojprolaza? Koliki je ocekivani broj stajanja?
Kolika je varijancaprolaza? Kolika je varijanca stajanja? Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza? Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadatak
Zadatak
Marko na putu do posla prolazi kroz 5 nesinhroniziranih semaforana kojima zeleno traje 2
5 faze. Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz. Koliki je ocekivani brojprolaza? Koliki je ocekivani broj stajanja? Kolika je varijancaprolaza?
Kolika je varijanca stajanja? Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza? Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadatak
Zadatak
Marko na putu do posla prolazi kroz 5 nesinhroniziranih semaforana kojima zeleno traje 2
5 faze. Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz. Koliki je ocekivani brojprolaza? Koliki je ocekivani broj stajanja? Kolika je varijancaprolaza? Kolika je varijanca stajanja?
Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza? Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadatak
Zadatak
Marko na putu do posla prolazi kroz 5 nesinhroniziranih semaforana kojima zeleno traje 2
5 faze. Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz. Koliki je ocekivani brojprolaza? Koliki je ocekivani broj stajanja? Kolika je varijancaprolaza? Kolika je varijanca stajanja? Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza?
Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadatak
Zadatak
Marko na putu do posla prolazi kroz 5 nesinhroniziranih semaforana kojima zeleno traje 2
5 faze. Na putovanju do posla brojisemafore na kojima je imao prolaz. Koliki je ocekivani brojprolaza? Koliki je ocekivani broj stajanja? Kolika je varijancaprolaza? Kolika je varijanca stajanja? Kolika je vjerojatnost zanajvise 3 prolaza? Kolika je vjerojatnost za bar tri prolaza?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispitni zadaci
Zadatak
Vjerojatnost smanjene vidljivosti tijekom slijetanja zrakoplova je30%. Odredite vjerojatnos da pri slijetanju:
a) u nizu od 10 letova nastupi 3 uvjeta smanjene vidljivosti.
b) u nizu od 6 letova dobra vidljivost bude u vise od poloviceslucajeva?
Zadatak
Vjerojatnost da se postigne dogovor vlade i opozicije je 0.25.Kolika je vjerojatnost da u cetiri sastanka do dogovora
uopce dode.
Koji je ocekivani broj plodnih sastanaka i kolika je standardnadevijacija?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispitni zadaci
Zadatak
Vjerojatnost smanjene vidljivosti tijekom slijetanja zrakoplova je30%. Odredite vjerojatnos da pri slijetanju:
a) u nizu od 10 letova nastupi 3 uvjeta smanjene vidljivosti.
b) u nizu od 6 letova dobra vidljivost bude u vise od poloviceslucajeva?
Zadatak
Vjerojatnost da se postigne dogovor vlade i opozicije je 0.25.Kolika je vjerojatnost da u cetiri sastanka do dogovora
uopce dode.
Koji je ocekivani broj plodnih sastanaka i kolika je standardnadevijacija?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispitni zadaci
Zadatak
Vjerojatnost smanjene vidljivosti tijekom slijetanja zrakoplova je30%. Odredite vjerojatnos da pri slijetanju:
a) u nizu od 10 letova nastupi 3 uvjeta smanjene vidljivosti.
b) u nizu od 6 letova dobra vidljivost bude u vise od poloviceslucajeva?
Zadatak
Vjerojatnost da se postigne dogovor vlade i opozicije je 0.25.Kolika je vjerojatnost da u cetiri sastanka do dogovora
uopce dode.
Koji je ocekivani broj plodnih sastanaka i kolika je standardnadevijacija?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispitni zadaci
Zadatak
Vjerojatnost smanjene vidljivosti tijekom slijetanja zrakoplova je30%. Odredite vjerojatnos da pri slijetanju:
a) u nizu od 10 letova nastupi 3 uvjeta smanjene vidljivosti.
b) u nizu od 6 letova dobra vidljivost bude u vise od poloviceslucajeva?
Zadatak
Vjerojatnost da se postigne dogovor vlade i opozicije je 0.25.Kolika je vjerojatnost da u cetiri sastanka do dogovora
uopce dode.
Koji je ocekivani broj plodnih sastanaka i kolika je standardnadevijacija?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispitni zadaci
Zadatak
Vjerojatnost smanjene vidljivosti tijekom slijetanja zrakoplova je30%. Odredite vjerojatnos da pri slijetanju:
a) u nizu od 10 letova nastupi 3 uvjeta smanjene vidljivosti.
b) u nizu od 6 letova dobra vidljivost bude u vise od poloviceslucajeva?
Zadatak
Vjerojatnost da se postigne dogovor vlade i opozicije je 0.25.Kolika je vjerojatnost da u cetiri sastanka do dogovora
uopce dode.
Koji je ocekivani broj plodnih sastanaka i kolika je standardnadevijacija?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispitni zadaci
Zadatak
Vjerojatnost smanjene vidljivosti tijekom slijetanja zrakoplova je30%. Odredite vjerojatnos da pri slijetanju:
a) u nizu od 10 letova nastupi 3 uvjeta smanjene vidljivosti.
b) u nizu od 6 letova dobra vidljivost bude u vise od poloviceslucajeva?
Zadatak
Vjerojatnost da se postigne dogovor vlade i opozicije je 0.25.Kolika je vjerojatnost da u cetiri sastanka do dogovora
uopce dode.
Koji je ocekivani broj plodnih sastanaka i kolika je standardnadevijacija?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispitni zadaci
Zadatak
Vjerojatnost smanjene vidljivosti tijekom slijetanja zrakoplova je30%. Odredite vjerojatnos da pri slijetanju:
a) u nizu od 10 letova nastupi 3 uvjeta smanjene vidljivosti.
b) u nizu od 6 letova dobra vidljivost bude u vise od poloviceslucajeva?
Zadatak
Vjerojatnost da se postigne dogovor vlade i opozicije je 0.25.Kolika je vjerojatnost da u cetiri sastanka do dogovora
uopce dode.
Koji je ocekivani broj plodnih sastanaka i kolika je standardnadevijacija?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Poissonova distribucija
Granicni slucaj binomne distribucije kada n→∞, a vjerojatnost
”uspjeha” je mala: limn→∞
(nx
)· px · qn−x = e−λ · λ
x
x!, gdje je
λ = np
x = 0, 1, 2, . . .
Dobri rezultati za np ≤ 10. Funkcija gustoce vjerojatnosti,distribucije, ocekivanje i varijanca:
f (x) = e−λ · λx
x!
F (x) =∑y≤x
e−λ · λy
y !
E (X ) = λ
V (X ) = λ
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Poissonova distribucija
Granicni slucaj binomne distribucije kada n→∞, a vjerojatnost
”uspjeha” je mala:
limn→∞
(nx
)· px · qn−x = e−λ · λ
x
x!, gdje je
λ = np
x = 0, 1, 2, . . .
Dobri rezultati za np ≤ 10. Funkcija gustoce vjerojatnosti,distribucije, ocekivanje i varijanca:
f (x) = e−λ · λx
x!
F (x) =∑y≤x
e−λ · λy
y !
E (X ) = λ
V (X ) = λ
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Poissonova distribucija
Granicni slucaj binomne distribucije kada n→∞, a vjerojatnost
”uspjeha” je mala: limn→∞
(nx
)· px · qn−x = e−λ · λ
x
x!,
gdje je
λ = np
x = 0, 1, 2, . . .
Dobri rezultati za np ≤ 10. Funkcija gustoce vjerojatnosti,distribucije, ocekivanje i varijanca:
f (x) = e−λ · λx
x!
F (x) =∑y≤x
e−λ · λy
y !
E (X ) = λ
V (X ) = λ
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Poissonova distribucija
Granicni slucaj binomne distribucije kada n→∞, a vjerojatnost
”uspjeha” je mala: limn→∞
(nx
)· px · qn−x = e−λ · λ
x
x!, gdje je
λ = np
x = 0, 1, 2, . . .
Dobri rezultati za np ≤ 10. Funkcija gustoce vjerojatnosti,distribucije, ocekivanje i varijanca:
f (x) = e−λ · λx
x!
F (x) =∑y≤x
e−λ · λy
y !
E (X ) = λ
V (X ) = λ
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Poissonova distribucija
Granicni slucaj binomne distribucije kada n→∞, a vjerojatnost
”uspjeha” je mala: limn→∞
(nx
)· px · qn−x = e−λ · λ
x
x!, gdje je
λ = np
x = 0, 1, 2, . . .
Dobri rezultati za np ≤ 10. Funkcija gustoce vjerojatnosti,distribucije, ocekivanje i varijanca:
f (x) = e−λ · λx
x!
F (x) =∑y≤x
e−λ · λy
y !
E (X ) = λ
V (X ) = λ
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Poissonova distribucija
Granicni slucaj binomne distribucije kada n→∞, a vjerojatnost
”uspjeha” je mala: limn→∞
(nx
)· px · qn−x = e−λ · λ
x
x!, gdje je
λ = np
x = 0, 1, 2, . . .
Dobri rezultati za np ≤ 10.
Funkcija gustoce vjerojatnosti,distribucije, ocekivanje i varijanca:
f (x) = e−λ · λx
x!
F (x) =∑y≤x
e−λ · λy
y !
E (X ) = λ
V (X ) = λ
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Poissonova distribucija
Granicni slucaj binomne distribucije kada n→∞, a vjerojatnost
”uspjeha” je mala: limn→∞
(nx
)· px · qn−x = e−λ · λ
x
x!, gdje je
λ = np
x = 0, 1, 2, . . .
Dobri rezultati za np ≤ 10. Funkcija gustoce vjerojatnosti,distribucije, ocekivanje i varijanca:
f (x) = e−λ · λx
x!
F (x) =∑y≤x
e−λ · λy
y !
E (X ) = λ
V (X ) = λ
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Poissonova distribucija
Granicni slucaj binomne distribucije kada n→∞, a vjerojatnost
”uspjeha” je mala: limn→∞
(nx
)· px · qn−x = e−λ · λ
x
x!, gdje je
λ = np
x = 0, 1, 2, . . .
Dobri rezultati za np ≤ 10. Funkcija gustoce vjerojatnosti,distribucije, ocekivanje i varijanca:
f (x) = e−λ · λx
x!
F (x) =∑y≤x
e−λ · λy
y !
E (X ) = λ
V (X ) = λ
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Poissonova distribucija
Granicni slucaj binomne distribucije kada n→∞, a vjerojatnost
”uspjeha” je mala: limn→∞
(nx
)· px · qn−x = e−λ · λ
x
x!, gdje je
λ = np
x = 0, 1, 2, . . .
Dobri rezultati za np ≤ 10. Funkcija gustoce vjerojatnosti,distribucije, ocekivanje i varijanca:
f (x) = e−λ · λx
x!
F (x) =∑y≤x
e−λ · λy
y !
E (X ) = λ
V (X ) = λ
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Poissonova distribucija
Granicni slucaj binomne distribucije kada n→∞, a vjerojatnost
”uspjeha” je mala: limn→∞
(nx
)· px · qn−x = e−λ · λ
x
x!, gdje je
λ = np
x = 0, 1, 2, . . .
Dobri rezultati za np ≤ 10. Funkcija gustoce vjerojatnosti,distribucije, ocekivanje i varijanca:
f (x) = e−λ · λx
x!
F (x) =∑y≤x
e−λ · λy
y !
E (X ) = λ
V (X ) = λ
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispitni zadaci
Zadatak
Otprilike 4% autobusa kasni. Na kolodvor dolazi dnevno 125autobusa. Odredite vjerojatnost da tijekom dana
1 kasni manje od 4 autobusa
2 kasni vise od 3 autobusa
3 kasni samo jedan autobus.
Zadatak
Broj vozila koja dolaze na servis tijekom jednog dana imaPoissonovu razdiobu. Prosjecno u 20 radnih dana servis primi 45vozila.
1 Izracunajte standardnu devijaciju.
2 Kolika je vjerojatnost da u jednom danu bar jedno vozilo dodena servis?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispitni zadaci
Zadatak
Otprilike 4% autobusa kasni. Na kolodvor dolazi dnevno 125autobusa. Odredite vjerojatnost da tijekom dana
1 kasni manje od 4 autobusa
2 kasni vise od 3 autobusa
3 kasni samo jedan autobus.
Zadatak
Broj vozila koja dolaze na servis tijekom jednog dana imaPoissonovu razdiobu. Prosjecno u 20 radnih dana servis primi 45vozila.
1 Izracunajte standardnu devijaciju.
2 Kolika je vjerojatnost da u jednom danu bar jedno vozilo dodena servis?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispitni zadaci
Zadatak
Otprilike 4% autobusa kasni. Na kolodvor dolazi dnevno 125autobusa. Odredite vjerojatnost da tijekom dana
1 kasni manje od 4 autobusa
2 kasni vise od 3 autobusa
3 kasni samo jedan autobus.
Zadatak
Broj vozila koja dolaze na servis tijekom jednog dana imaPoissonovu razdiobu. Prosjecno u 20 radnih dana servis primi 45vozila.
1 Izracunajte standardnu devijaciju.
2 Kolika je vjerojatnost da u jednom danu bar jedno vozilo dodena servis?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispitni zadaci
Zadatak
Otprilike 4% autobusa kasni. Na kolodvor dolazi dnevno 125autobusa. Odredite vjerojatnost da tijekom dana
1 kasni manje od 4 autobusa
2 kasni vise od 3 autobusa
3 kasni samo jedan autobus.
Zadatak
Broj vozila koja dolaze na servis tijekom jednog dana imaPoissonovu razdiobu. Prosjecno u 20 radnih dana servis primi 45vozila.
1 Izracunajte standardnu devijaciju.
2 Kolika je vjerojatnost da u jednom danu bar jedno vozilo dodena servis?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispitni zadaci
Zadatak
Otprilike 4% autobusa kasni. Na kolodvor dolazi dnevno 125autobusa. Odredite vjerojatnost da tijekom dana
1 kasni manje od 4 autobusa
2 kasni vise od 3 autobusa
3 kasni samo jedan autobus.
Zadatak
Broj vozila koja dolaze na servis tijekom jednog dana imaPoissonovu razdiobu. Prosjecno u 20 radnih dana servis primi 45vozila.
1 Izracunajte standardnu devijaciju.
2 Kolika je vjerojatnost da u jednom danu bar jedno vozilo dodena servis?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispitni zadaci
Zadatak
Otprilike 4% autobusa kasni. Na kolodvor dolazi dnevno 125autobusa. Odredite vjerojatnost da tijekom dana
1 kasni manje od 4 autobusa
2 kasni vise od 3 autobusa
3 kasni samo jedan autobus.
Zadatak
Broj vozila koja dolaze na servis tijekom jednog dana imaPoissonovu razdiobu. Prosjecno u 20 radnih dana servis primi 45vozila.
1 Izracunajte standardnu devijaciju.
2 Kolika je vjerojatnost da u jednom danu bar jedno vozilo dodena servis?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispitni zadaci
Zadatak
Otprilike 4% autobusa kasni. Na kolodvor dolazi dnevno 125autobusa. Odredite vjerojatnost da tijekom dana
1 kasni manje od 4 autobusa
2 kasni vise od 3 autobusa
3 kasni samo jedan autobus.
Zadatak
Broj vozila koja dolaze na servis tijekom jednog dana imaPoissonovu razdiobu. Prosjecno u 20 radnih dana servis primi 45vozila.
1 Izracunajte standardnu devijaciju.
2 Kolika je vjerojatnost da u jednom danu bar jedno vozilo dodena servis?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispitni zadaci
Zadatak
Otprilike 4% autobusa kasni. Na kolodvor dolazi dnevno 125autobusa. Odredite vjerojatnost da tijekom dana
1 kasni manje od 4 autobusa
2 kasni vise od 3 autobusa
3 kasni samo jedan autobus.
Zadatak
Broj vozila koja dolaze na servis tijekom jednog dana imaPoissonovu razdiobu. Prosjecno u 20 radnih dana servis primi 45vozila.
1 Izracunajte standardnu devijaciju.
2 Kolika je vjerojatnost da u jednom danu bar jedno vozilo dodena servis?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispitni zadaci
Zadatak
Prosjecni vremenski interval izmedu dva poziva u centrali taxisluzbe je 20 sekundi. Ako se broj poziva u minuti ravna poPoissonovoj razdiobi, kolika je vjerojatnost da u minuti bude:
1 barem 4 poziva
2 samo jedan poziv?
Zadatak
Centrala taxi sluzbe primi prosjecno 120 poziva na sat, a moguobraditi u minuti najvise 3 zahtjeva. Ako se broj poziva u minutiravna po Poissonovoj razdiobi, kolika je vjerojatnost:
1 preopterecenja centrale
2 da u minuti bude samo jedan poziv?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispitni zadaci
Zadatak
Prosjecni vremenski interval izmedu dva poziva u centrali taxisluzbe je 20 sekundi. Ako se broj poziva u minuti ravna poPoissonovoj razdiobi, kolika je vjerojatnost da u minuti bude:
1 barem 4 poziva
2 samo jedan poziv?
Zadatak
Centrala taxi sluzbe primi prosjecno 120 poziva na sat, a moguobraditi u minuti najvise 3 zahtjeva. Ako se broj poziva u minutiravna po Poissonovoj razdiobi, kolika je vjerojatnost:
1 preopterecenja centrale
2 da u minuti bude samo jedan poziv?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispitni zadaci
Zadatak
Prosjecni vremenski interval izmedu dva poziva u centrali taxisluzbe je 20 sekundi. Ako se broj poziva u minuti ravna poPoissonovoj razdiobi, kolika je vjerojatnost da u minuti bude:
1 barem 4 poziva
2 samo jedan poziv?
Zadatak
Centrala taxi sluzbe primi prosjecno 120 poziva na sat, a moguobraditi u minuti najvise 3 zahtjeva. Ako se broj poziva u minutiravna po Poissonovoj razdiobi, kolika je vjerojatnost:
1 preopterecenja centrale
2 da u minuti bude samo jedan poziv?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispitni zadaci
Zadatak
Prosjecni vremenski interval izmedu dva poziva u centrali taxisluzbe je 20 sekundi. Ako se broj poziva u minuti ravna poPoissonovoj razdiobi, kolika je vjerojatnost da u minuti bude:
1 barem 4 poziva
2 samo jedan poziv?
Zadatak
Centrala taxi sluzbe primi prosjecno 120 poziva na sat, a moguobraditi u minuti najvise 3 zahtjeva. Ako se broj poziva u minutiravna po Poissonovoj razdiobi, kolika je vjerojatnost:
1 preopterecenja centrale
2 da u minuti bude samo jedan poziv?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispitni zadaci
Zadatak
Prosjecni vremenski interval izmedu dva poziva u centrali taxisluzbe je 20 sekundi. Ako se broj poziva u minuti ravna poPoissonovoj razdiobi, kolika je vjerojatnost da u minuti bude:
1 barem 4 poziva
2 samo jedan poziv?
Zadatak
Centrala taxi sluzbe primi prosjecno 120 poziva na sat, a moguobraditi u minuti najvise 3 zahtjeva. Ako se broj poziva u minutiravna po Poissonovoj razdiobi, kolika je vjerojatnost:
1 preopterecenja centrale
2 da u minuti bude samo jedan poziv?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispitni zadaci
Zadatak
Prosjecni vremenski interval izmedu dva poziva u centrali taxisluzbe je 20 sekundi. Ako se broj poziva u minuti ravna poPoissonovoj razdiobi, kolika je vjerojatnost da u minuti bude:
1 barem 4 poziva
2 samo jedan poziv?
Zadatak
Centrala taxi sluzbe primi prosjecno 120 poziva na sat, a moguobraditi u minuti najvise 3 zahtjeva. Ako se broj poziva u minutiravna po Poissonovoj razdiobi, kolika je vjerojatnost:
1 preopterecenja centrale
2 da u minuti bude samo jedan poziv?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispitni zadaci
Zadatak
Prosjecni vremenski interval izmedu dva poziva u centrali taxisluzbe je 20 sekundi. Ako se broj poziva u minuti ravna poPoissonovoj razdiobi, kolika je vjerojatnost da u minuti bude:
1 barem 4 poziva
2 samo jedan poziv?
Zadatak
Centrala taxi sluzbe primi prosjecno 120 poziva na sat, a moguobraditi u minuti najvise 3 zahtjeva. Ako se broj poziva u minutiravna po Poissonovoj razdiobi, kolika je vjerojatnost:
1 preopterecenja centrale
2 da u minuti bude samo jedan poziv?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
Zadatak
U spilu od 52 karte ima 4 asa. U pokeru se dijeli pet karata.Slucajna varijabla je broj dobivenih aseva. Kolika je vjerojatnostpara aseva? Koliki je ocekivani broj aseva? Koliko bi se karatamoralo udijeliti, pa da broj dobivenih karata u uzorku bude 2?
Zadatak
U spilu od 20 karata ima 4 decka. Igrac dobiva 5 karata. Kolika jevjerojatnost da u dobivenim kartama ima
1 dva decka
2 barem dva decka
3 najvise dva decka?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
Zadatak
U spilu od 52 karte ima 4 asa. U pokeru se dijeli pet karata.Slucajna varijabla je broj dobivenih aseva. Kolika je vjerojatnostpara aseva? Koliki je ocekivani broj aseva? Koliko bi se karatamoralo udijeliti, pa da broj dobivenih karata u uzorku bude 2?
Zadatak
U spilu od 20 karata ima 4 decka. Igrac dobiva 5 karata. Kolika jevjerojatnost da u dobivenim kartama ima
1 dva decka
2 barem dva decka
3 najvise dva decka?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
Zadatak
U spilu od 52 karte ima 4 asa. U pokeru se dijeli pet karata.Slucajna varijabla je broj dobivenih aseva. Kolika je vjerojatnostpara aseva? Koliki je ocekivani broj aseva? Koliko bi se karatamoralo udijeliti, pa da broj dobivenih karata u uzorku bude 2?
Zadatak
U spilu od 20 karata ima 4 decka. Igrac dobiva 5 karata. Kolika jevjerojatnost da u dobivenim kartama ima
1 dva decka
2 barem dva decka
3 najvise dva decka?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
Zadatak
U spilu od 52 karte ima 4 asa. U pokeru se dijeli pet karata.Slucajna varijabla je broj dobivenih aseva. Kolika je vjerojatnostpara aseva? Koliki je ocekivani broj aseva? Koliko bi se karatamoralo udijeliti, pa da broj dobivenih karata u uzorku bude 2?
Zadatak
U spilu od 20 karata ima 4 decka. Igrac dobiva 5 karata. Kolika jevjerojatnost da u dobivenim kartama ima
1 dva decka
2 barem dva decka
3 najvise dva decka?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
Zadatak
U spilu od 52 karte ima 4 asa. U pokeru se dijeli pet karata.Slucajna varijabla je broj dobivenih aseva. Kolika je vjerojatnostpara aseva? Koliki je ocekivani broj aseva? Koliko bi se karatamoralo udijeliti, pa da broj dobivenih karata u uzorku bude 2?
Zadatak
U spilu od 20 karata ima 4 decka. Igrac dobiva 5 karata. Kolika jevjerojatnost da u dobivenim kartama ima
1 dva decka
2 barem dva decka
3 najvise dva decka?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
Zadatak
U spilu od 52 karte ima 4 asa. U pokeru se dijeli pet karata.Slucajna varijabla je broj dobivenih aseva. Kolika je vjerojatnostpara aseva? Koliki je ocekivani broj aseva? Koliko bi se karatamoralo udijeliti, pa da broj dobivenih karata u uzorku bude 2?
Zadatak
U spilu od 20 karata ima 4 decka. Igrac dobiva 5 karata. Kolika jevjerojatnost da u dobivenim kartama ima
1 dva decka
2 barem dva decka
3 najvise dva decka?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Neprekinuta slucajna varijabla
Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor. Slucajna varijablaX : Ω→ R je neprekinuta ako vrijedi P(X = x) = 0 i ako postojif : R→ R tako da
P(a < X < b) =
∫ b
af (t)dt.
Svojstva funkcije gustoce vjerojatnosti f :
(i)
∫ +∞
−∞f (t)dt = 1
(ii) f (t) ≥ 0 za svaki t ∈ R.
Primjer
Odredite a2, tako da f (t) = a2 − t2 bude funkciju gustocevjerojatnosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Neprekinuta slucajna varijabla
Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor.
Slucajna varijablaX : Ω→ R je neprekinuta ako vrijedi P(X = x) = 0 i ako postojif : R→ R tako da
P(a < X < b) =
∫ b
af (t)dt.
Svojstva funkcije gustoce vjerojatnosti f :
(i)
∫ +∞
−∞f (t)dt = 1
(ii) f (t) ≥ 0 za svaki t ∈ R.
Primjer
Odredite a2, tako da f (t) = a2 − t2 bude funkciju gustocevjerojatnosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Neprekinuta slucajna varijabla
Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor. Slucajna varijablaX : Ω→ R je neprekinuta ako vrijedi
P(X = x) = 0 i ako postojif : R→ R tako da
P(a < X < b) =
∫ b
af (t)dt.
Svojstva funkcije gustoce vjerojatnosti f :
(i)
∫ +∞
−∞f (t)dt = 1
(ii) f (t) ≥ 0 za svaki t ∈ R.
Primjer
Odredite a2, tako da f (t) = a2 − t2 bude funkciju gustocevjerojatnosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Neprekinuta slucajna varijabla
Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor. Slucajna varijablaX : Ω→ R je neprekinuta ako vrijedi P(X = x) = 0
i ako postojif : R→ R tako da
P(a < X < b) =
∫ b
af (t)dt.
Svojstva funkcije gustoce vjerojatnosti f :
(i)
∫ +∞
−∞f (t)dt = 1
(ii) f (t) ≥ 0 za svaki t ∈ R.
Primjer
Odredite a2, tako da f (t) = a2 − t2 bude funkciju gustocevjerojatnosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Neprekinuta slucajna varijabla
Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor. Slucajna varijablaX : Ω→ R je neprekinuta ako vrijedi P(X = x) = 0 i ako postoji
f : R→ R tako da
P(a < X < b) =
∫ b
af (t)dt.
Svojstva funkcije gustoce vjerojatnosti f :
(i)
∫ +∞
−∞f (t)dt = 1
(ii) f (t) ≥ 0 za svaki t ∈ R.
Primjer
Odredite a2, tako da f (t) = a2 − t2 bude funkciju gustocevjerojatnosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Neprekinuta slucajna varijabla
Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor. Slucajna varijablaX : Ω→ R je neprekinuta ako vrijedi P(X = x) = 0 i ako postojif : R→ R tako da
P(a < X < b) =
∫ b
af (t)dt.
Svojstva funkcije gustoce vjerojatnosti f :
(i)
∫ +∞
−∞f (t)dt = 1
(ii) f (t) ≥ 0 za svaki t ∈ R.
Primjer
Odredite a2, tako da f (t) = a2 − t2 bude funkciju gustocevjerojatnosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Neprekinuta slucajna varijabla
Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor. Slucajna varijablaX : Ω→ R je neprekinuta ako vrijedi P(X = x) = 0 i ako postojif : R→ R tako da
P(a < X < b) =
∫ b
af (t)dt.
Svojstva funkcije gustoce vjerojatnosti f :
(i)
∫ +∞
−∞f (t)dt = 1
(ii) f (t) ≥ 0 za svaki t ∈ R.
Primjer
Odredite a2, tako da f (t) = a2 − t2 bude funkciju gustocevjerojatnosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Neprekinuta slucajna varijabla
Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor. Slucajna varijablaX : Ω→ R je neprekinuta ako vrijedi P(X = x) = 0 i ako postojif : R→ R tako da
P(a < X < b) =
∫ b
af (t)dt.
Svojstva funkcije gustoce vjerojatnosti f :
(i)
∫ +∞
−∞f (t)dt = 1
(ii) f (t) ≥ 0 za svaki t ∈ R.
Primjer
Odredite a2, tako da f (t) = a2 − t2 bude funkciju gustocevjerojatnosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Neprekinuta slucajna varijabla
Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor. Slucajna varijablaX : Ω→ R je neprekinuta ako vrijedi P(X = x) = 0 i ako postojif : R→ R tako da
P(a < X < b) =
∫ b
af (t)dt.
Svojstva funkcije gustoce vjerojatnosti f :
(i)
∫ +∞
−∞f (t)dt = 1
(ii) f (t) ≥ 0 za svaki t ∈ R.
Primjer
Odredite a2, tako da f (t) = a2 − t2 bude funkciju gustocevjerojatnosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Neprekinuta slucajna varijabla
Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor. Slucajna varijablaX : Ω→ R je neprekinuta ako vrijedi P(X = x) = 0 i ako postojif : R→ R tako da
P(a < X < b) =
∫ b
af (t)dt.
Svojstva funkcije gustoce vjerojatnosti f :
(i)
∫ +∞
−∞f (t)dt = 1
(ii) f (t) ≥ 0 za svaki t ∈ R.
Primjer
Odredite a2, tako da f (t) = a2 − t2 bude funkciju gustocevjerojatnosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Neprekinuta slucajna varijabla
Neka je (Ω,F ,P) vjerojatnosni prostor. Slucajna varijablaX : Ω→ R je neprekinuta ako vrijedi P(X = x) = 0 i ako postojif : R→ R tako da
P(a < X < b) =
∫ b
af (t)dt.
Svojstva funkcije gustoce vjerojatnosti f :
(i)
∫ +∞
−∞f (t)dt = 1
(ii) f (t) ≥ 0 za svaki t ∈ R.
Primjer
Odredite a2, tako da f (t) = a2 − t2 bude funkciju gustocevjerojatnosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Funkcija distribucije neprekinute slucajnevarijable
Kljucna za racunanje vjerojatnosti:
F (x) =
∫ x
−∞f (t)dt,
zbog P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = F (b)− F (a).
Zadatak
Zapisati formulama funkciju gustoce vjerojatnosti za zavrsetakdanasnje nastave. Izracunati vjerojatnost da nastava zavrsinajkasnije 5 min poslije najranijeg predvidenog zavrsetka.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Funkcija distribucije neprekinute slucajnevarijable
Kljucna za racunanje vjerojatnosti:
F (x) =
∫ x
−∞f (t)dt,
zbog P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = F (b)− F (a).
Zadatak
Zapisati formulama funkciju gustoce vjerojatnosti za zavrsetakdanasnje nastave. Izracunati vjerojatnost da nastava zavrsinajkasnije 5 min poslije najranijeg predvidenog zavrsetka.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Funkcija distribucije neprekinute slucajnevarijable
Kljucna za racunanje vjerojatnosti:
F (x) =
∫ x
−∞f (t)dt,
zbog P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = F (b)− F (a).
Zadatak
Zapisati formulama funkciju gustoce vjerojatnosti za zavrsetakdanasnje nastave. Izracunati vjerojatnost da nastava zavrsinajkasnije 5 min poslije najranijeg predvidenog zavrsetka.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Funkcija distribucije neprekinute slucajnevarijable
Kljucna za racunanje vjerojatnosti:
F (x) =
∫ x
−∞f (t)dt,
zbog P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = F (b)− F (a).
Zadatak
Zapisati formulama funkciju gustoce vjerojatnosti za zavrsetakdanasnje nastave. Izracunati vjerojatnost da nastava zavrsinajkasnije 5 min poslije najranijeg predvidenog zavrsetka.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Funkcija distribucije neprekinute slucajnevarijable
Kljucna za racunanje vjerojatnosti:
F (x) =
∫ x
−∞f (t)dt,
zbog P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = F (b)− F (a).
Zadatak
Zapisati formulama funkciju gustoce vjerojatnosti za zavrsetakdanasnje nastave.
Izracunati vjerojatnost da nastava zavrsinajkasnije 5 min poslije najranijeg predvidenog zavrsetka.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Funkcija distribucije neprekinute slucajnevarijable
Kljucna za racunanje vjerojatnosti:
F (x) =
∫ x
−∞f (t)dt,
zbog P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = F (b)− F (a).
Zadatak
Zapisati formulama funkciju gustoce vjerojatnosti za zavrsetakdanasnje nastave. Izracunati vjerojatnost da nastava zavrsinajkasnije 5 min poslije najranijeg predvidenog zavrsetka.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Numericke karakteristike
Matematicko ocekivanje µ = E (X ) =
∫ +∞
−∞tf (t)dt.
Standardna devijacija σ =√
V (X ), gdje jeV (X ) = E
[(X − E (X ))2
]= E (X 2)− E (X )2.
Zadatak
Izracunati matematicko ocekivanje i standardnu devijaciju za nekiprimjer graficki zadane kontinuirane razdiobe gustoce vjerojatnosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Numericke karakteristike
Matematicko ocekivanje µ = E (X ) =
∫ +∞
−∞tf (t)dt.
Standardna devijacija σ =√
V (X ), gdje jeV (X ) = E
[(X − E (X ))2
]= E (X 2)− E (X )2.
Zadatak
Izracunati matematicko ocekivanje i standardnu devijaciju za nekiprimjer graficki zadane kontinuirane razdiobe gustoce vjerojatnosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Numericke karakteristike
Matematicko ocekivanje µ = E (X ) =
∫ +∞
−∞tf (t)dt.
Standardna devijacija σ =√
V (X ), gdje jeV (X ) = E
[(X − E (X ))2
]= E (X 2)− E (X )2.
Zadatak
Izracunati matematicko ocekivanje i standardnu devijaciju za nekiprimjer graficki zadane kontinuirane razdiobe gustoce vjerojatnosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uniformna razdioba
Zadana je funkcijom gustoce vjerojatnosti
f (x) =
k , a ≤ x ≤ b0, ostalo
Zadatak
Izracunati parametar k ako je poznat interval [a, b]. Zapisatifunkciju distribucije. Izracunati sve numericke karakteristikeuniformne razdiobe.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uniformna razdioba
Zadana je funkcijom gustoce vjerojatnosti
f (x) =
k , a ≤ x ≤ b0, ostalo
Zadatak
Izracunati parametar k ako je poznat interval [a, b]. Zapisatifunkciju distribucije. Izracunati sve numericke karakteristikeuniformne razdiobe.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uniformna razdioba
Zadana je funkcijom gustoce vjerojatnosti
f (x) =
k , a ≤ x ≤ b0, ostalo
Zadatak
Izracunati parametar k ako je poznat interval [a, b]. Zapisatifunkciju distribucije. Izracunati sve numericke karakteristikeuniformne razdiobe.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uniformna razdioba
Zadana je funkcijom gustoce vjerojatnosti
f (x) =
k , a ≤ x ≤ b0, ostalo
Zadatak
Izracunati parametar k ako je poznat interval [a, b].
Zapisatifunkciju distribucije. Izracunati sve numericke karakteristikeuniformne razdiobe.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uniformna razdioba
Zadana je funkcijom gustoce vjerojatnosti
f (x) =
k , a ≤ x ≤ b0, ostalo
Zadatak
Izracunati parametar k ako je poznat interval [a, b]. Zapisatifunkciju distribucije.
Izracunati sve numericke karakteristikeuniformne razdiobe.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uniformna razdioba
Zadana je funkcijom gustoce vjerojatnosti
f (x) =
k , a ≤ x ≤ b0, ostalo
Zadatak
Izracunati parametar k ako je poznat interval [a, b]. Zapisatifunkciju distribucije. Izracunati sve numericke karakteristikeuniformne razdiobe.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Eksponencijalna razdioba
Eksponencijalna razdioba zadana je pozitivnom konstantom λ > 0.Funkcija gustoce vjerojatnosti slucajne varijable:
f (t) =
λe−λt , t ≥ 0
0, ostalo
Zadatak
Odrediti λ tako da bude zadovoljen uvjet normiranosti. Napisatiformulu funkcije distribucije. Izracunati matematicko ocekivanje istandardnu devijaciju. Izracunati eksces i asimetricnost.
Zadatak
Prosjecan dnevni promet na autocesti sirokoj 30 m u spici sezoneiznosi 24000 automobila. Medvjed trci 54 km/h. Koliko jevjerojatno da nece biti udaren onaj medo koji preskoci zicu ipretrcava autocestu?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Eksponencijalna razdioba
Eksponencijalna razdioba zadana je pozitivnom konstantom λ > 0.
Funkcija gustoce vjerojatnosti slucajne varijable:
f (t) =
λe−λt , t ≥ 0
0, ostalo
Zadatak
Odrediti λ tako da bude zadovoljen uvjet normiranosti. Napisatiformulu funkcije distribucije. Izracunati matematicko ocekivanje istandardnu devijaciju. Izracunati eksces i asimetricnost.
Zadatak
Prosjecan dnevni promet na autocesti sirokoj 30 m u spici sezoneiznosi 24000 automobila. Medvjed trci 54 km/h. Koliko jevjerojatno da nece biti udaren onaj medo koji preskoci zicu ipretrcava autocestu?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Eksponencijalna razdioba
Eksponencijalna razdioba zadana je pozitivnom konstantom λ > 0.Funkcija gustoce vjerojatnosti slucajne varijable:
f (t) =
λe−λt , t ≥ 0
0, ostalo
Zadatak
Odrediti λ tako da bude zadovoljen uvjet normiranosti. Napisatiformulu funkcije distribucije. Izracunati matematicko ocekivanje istandardnu devijaciju. Izracunati eksces i asimetricnost.
Zadatak
Prosjecan dnevni promet na autocesti sirokoj 30 m u spici sezoneiznosi 24000 automobila. Medvjed trci 54 km/h. Koliko jevjerojatno da nece biti udaren onaj medo koji preskoci zicu ipretrcava autocestu?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Eksponencijalna razdioba
Eksponencijalna razdioba zadana je pozitivnom konstantom λ > 0.Funkcija gustoce vjerojatnosti slucajne varijable:
f (t) =
λe−λt , t ≥ 0
0, ostalo
Zadatak
Odrediti λ tako da bude zadovoljen uvjet normiranosti. Napisatiformulu funkcije distribucije. Izracunati matematicko ocekivanje istandardnu devijaciju. Izracunati eksces i asimetricnost.
Zadatak
Prosjecan dnevni promet na autocesti sirokoj 30 m u spici sezoneiznosi 24000 automobila. Medvjed trci 54 km/h. Koliko jevjerojatno da nece biti udaren onaj medo koji preskoci zicu ipretrcava autocestu?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Eksponencijalna razdioba
Eksponencijalna razdioba zadana je pozitivnom konstantom λ > 0.Funkcija gustoce vjerojatnosti slucajne varijable:
f (t) =
λe−λt , t ≥ 0
0, ostalo
Zadatak
Odrediti λ tako da bude zadovoljen uvjet normiranosti. Napisatiformulu funkcije distribucije. Izracunati matematicko ocekivanje istandardnu devijaciju. Izracunati eksces i asimetricnost.
Zadatak
Prosjecan dnevni promet na autocesti sirokoj 30 m u spici sezoneiznosi 24000 automobila. Medvjed trci 54 km/h. Koliko jevjerojatno da nece biti udaren onaj medo koji preskoci zicu ipretrcava autocestu?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Eksponencijalna razdioba
Eksponencijalna razdioba zadana je pozitivnom konstantom λ > 0.Funkcija gustoce vjerojatnosti slucajne varijable:
f (t) =
λe−λt , t ≥ 0
0, ostalo
Zadatak
Odrediti λ tako da bude zadovoljen uvjet normiranosti. Napisatiformulu funkcije distribucije. Izracunati matematicko ocekivanje istandardnu devijaciju. Izracunati eksces i asimetricnost.
Zadatak
Prosjecan dnevni promet na autocesti sirokoj 30 m u spici sezoneiznosi 24000 automobila. Medvjed trci 54 km/h. Koliko jevjerojatno da nece biti udaren onaj medo koji preskoci zicu ipretrcava autocestu?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Normalna razdioba
Normalna razdioba : X ∼ N(µ, σ2)
Parametri : µ ∈ R i σ > 0.
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
f (t) =1
σ√
2πe−
(t − µ)2
2σ2
Matematicko ocekivanje : EX = µ.
Varijanca : V (X ) = σ2.
Funkcija razdiobe :
F (x) =1
σ√
2π
∫ x
−∞e−
(t − ν)2
2σ2 dt
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Normalna razdioba
Normalna razdioba : X ∼ N(µ, σ2)
Parametri : µ ∈ R i σ > 0.
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
f (t) =1
σ√
2πe−
(t − µ)2
2σ2
Matematicko ocekivanje : EX = µ.
Varijanca : V (X ) = σ2.
Funkcija razdiobe :
F (x) =1
σ√
2π
∫ x
−∞e−
(t − ν)2
2σ2 dt
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Normalna razdioba
Normalna razdioba :
X ∼ N(µ, σ2)
Parametri : µ ∈ R i σ > 0.
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
f (t) =1
σ√
2πe−
(t − µ)2
2σ2
Matematicko ocekivanje : EX = µ.
Varijanca : V (X ) = σ2.
Funkcija razdiobe :
F (x) =1
σ√
2π
∫ x
−∞e−
(t − ν)2
2σ2 dt
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Normalna razdioba
Normalna razdioba : X ∼ N(µ, σ2)
Parametri : µ ∈ R i σ > 0.
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
f (t) =1
σ√
2πe−
(t − µ)2
2σ2
Matematicko ocekivanje : EX = µ.
Varijanca : V (X ) = σ2.
Funkcija razdiobe :
F (x) =1
σ√
2π
∫ x
−∞e−
(t − ν)2
2σ2 dt
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Normalna razdioba
Normalna razdioba : X ∼ N(µ, σ2)
Parametri :
µ ∈ R i σ > 0.
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
f (t) =1
σ√
2πe−
(t − µ)2
2σ2
Matematicko ocekivanje : EX = µ.
Varijanca : V (X ) = σ2.
Funkcija razdiobe :
F (x) =1
σ√
2π
∫ x
−∞e−
(t − ν)2
2σ2 dt
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Normalna razdioba
Normalna razdioba : X ∼ N(µ, σ2)
Parametri : µ ∈ R i σ > 0.
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
f (t) =1
σ√
2πe−
(t − µ)2
2σ2
Matematicko ocekivanje : EX = µ.
Varijanca : V (X ) = σ2.
Funkcija razdiobe :
F (x) =1
σ√
2π
∫ x
−∞e−
(t − ν)2
2σ2 dt
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Normalna razdioba
Normalna razdioba : X ∼ N(µ, σ2)
Parametri : µ ∈ R i σ > 0.
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
f (t) =1
σ√
2πe−
(t − µ)2
2σ2
Matematicko ocekivanje : EX = µ.
Varijanca : V (X ) = σ2.
Funkcija razdiobe :
F (x) =1
σ√
2π
∫ x
−∞e−
(t − ν)2
2σ2 dt
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Normalna razdioba
Normalna razdioba : X ∼ N(µ, σ2)
Parametri : µ ∈ R i σ > 0.
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
f (t) =1
σ√
2πe−
(t − µ)2
2σ2
Matematicko ocekivanje : EX = µ.
Varijanca : V (X ) = σ2.
Funkcija razdiobe :
F (x) =1
σ√
2π
∫ x
−∞e−
(t − ν)2
2σ2 dt
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Normalna razdioba
Normalna razdioba : X ∼ N(µ, σ2)
Parametri : µ ∈ R i σ > 0.
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
f (t) =1
σ√
2πe−
(t − µ)2
2σ2
Matematicko ocekivanje : EX = µ.
Varijanca : V (X ) = σ2.
Funkcija razdiobe :
F (x) =1
σ√
2π
∫ x
−∞e−
(t − ν)2
2σ2 dt
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Normalna razdioba
Normalna razdioba : X ∼ N(µ, σ2)
Parametri : µ ∈ R i σ > 0.
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
f (t) =1
σ√
2πe−
(t − µ)2
2σ2
Matematicko ocekivanje :
EX = µ.
Varijanca : V (X ) = σ2.
Funkcija razdiobe :
F (x) =1
σ√
2π
∫ x
−∞e−
(t − ν)2
2σ2 dt
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Normalna razdioba
Normalna razdioba : X ∼ N(µ, σ2)
Parametri : µ ∈ R i σ > 0.
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
f (t) =1
σ√
2πe−
(t − µ)2
2σ2
Matematicko ocekivanje : EX = µ.
Varijanca : V (X ) = σ2.
Funkcija razdiobe :
F (x) =1
σ√
2π
∫ x
−∞e−
(t − ν)2
2σ2 dt
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Normalna razdioba
Normalna razdioba : X ∼ N(µ, σ2)
Parametri : µ ∈ R i σ > 0.
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
f (t) =1
σ√
2πe−
(t − µ)2
2σ2
Matematicko ocekivanje : EX = µ.
Varijanca : V (X ) = σ2.
Funkcija razdiobe :
F (x) =1
σ√
2π
∫ x
−∞e−
(t − ν)2
2σ2 dt
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Normalna razdioba
Normalna razdioba : X ∼ N(µ, σ2)
Parametri : µ ∈ R i σ > 0.
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
f (t) =1
σ√
2πe−
(t − µ)2
2σ2
Matematicko ocekivanje : EX = µ.
Varijanca :
V (X ) = σ2.
Funkcija razdiobe :
F (x) =1
σ√
2π
∫ x
−∞e−
(t − ν)2
2σ2 dt
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Normalna razdioba
Normalna razdioba : X ∼ N(µ, σ2)
Parametri : µ ∈ R i σ > 0.
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
f (t) =1
σ√
2πe−
(t − µ)2
2σ2
Matematicko ocekivanje : EX = µ.
Varijanca : V (X ) = σ2.
Funkcija razdiobe :
F (x) =1
σ√
2π
∫ x
−∞e−
(t − ν)2
2σ2 dt
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Normalna razdioba
Normalna razdioba : X ∼ N(µ, σ2)
Parametri : µ ∈ R i σ > 0.
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
f (t) =1
σ√
2πe−
(t − µ)2
2σ2
Matematicko ocekivanje : EX = µ.
Varijanca : V (X ) = σ2.
Funkcija razdiobe :
F (x) =1
σ√
2π
∫ x
−∞e−
(t − ν)2
2σ2 dt
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Normalna razdioba
Normalna razdioba : X ∼ N(µ, σ2)
Parametri : µ ∈ R i σ > 0.
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
f (t) =1
σ√
2πe−
(t − µ)2
2σ2
Matematicko ocekivanje : EX = µ.
Varijanca : V (X ) = σ2.
Funkcija razdiobe :
F (x) =1
σ√
2π
∫ x
−∞e−
(t − ν)2
2σ2 dt
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Normalna razdioba
Normalna razdioba : X ∼ N(µ, σ2)
Parametri : µ ∈ R i σ > 0.
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
f (t) =1
σ√
2πe−
(t − µ)2
2σ2
Matematicko ocekivanje : EX = µ.
Varijanca : V (X ) = σ2.
Funkcija razdiobe :
F (x) =1
σ√
2π
∫ x
−∞e−
(t − ν)2
2σ2 dt
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Standardna normalna razdioba
Standardna normalna razdioba : Z ∼ N (0, 1).
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
ϕ(z) =1√2π
e−z2
2 .
Funkcija distribucije :
Φ(z) =1√2π
∫ z
−∞e−
u2
2 du.
Tablice.
Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.
Supstitucija : z =x − νσ
daje F (x) = Φ(z)
Racunanje vjerojatnosti :
p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Standardna normalna razdioba
Standardna normalna razdioba :
Z ∼ N (0, 1).
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
ϕ(z) =1√2π
e−z2
2 .
Funkcija distribucije :
Φ(z) =1√2π
∫ z
−∞e−
u2
2 du.
Tablice.
Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.
Supstitucija : z =x − νσ
daje F (x) = Φ(z)
Racunanje vjerojatnosti :
p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Standardna normalna razdioba
Standardna normalna razdioba : Z ∼ N (0, 1).
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
ϕ(z) =1√2π
e−z2
2 .
Funkcija distribucije :
Φ(z) =1√2π
∫ z
−∞e−
u2
2 du.
Tablice.
Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.
Supstitucija : z =x − νσ
daje F (x) = Φ(z)
Racunanje vjerojatnosti :
p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Standardna normalna razdioba
Standardna normalna razdioba : Z ∼ N (0, 1).
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
ϕ(z) =1√2π
e−z2
2 .
Funkcija distribucije :
Φ(z) =1√2π
∫ z
−∞e−
u2
2 du.
Tablice.
Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.
Supstitucija : z =x − νσ
daje F (x) = Φ(z)
Racunanje vjerojatnosti :
p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Standardna normalna razdioba
Standardna normalna razdioba : Z ∼ N (0, 1).
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
ϕ(z) =1√2π
e−z2
2 .
Funkcija distribucije :
Φ(z) =1√2π
∫ z
−∞e−
u2
2 du.
Tablice.
Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.
Supstitucija : z =x − νσ
daje F (x) = Φ(z)
Racunanje vjerojatnosti :
p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Standardna normalna razdioba
Standardna normalna razdioba : Z ∼ N (0, 1).
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
ϕ(z) =1√2π
e−z2
2 .
Funkcija distribucije :
Φ(z) =1√2π
∫ z
−∞e−
u2
2 du.
Tablice.
Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.
Supstitucija : z =x − νσ
daje F (x) = Φ(z)
Racunanje vjerojatnosti :
p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Standardna normalna razdioba
Standardna normalna razdioba : Z ∼ N (0, 1).
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
ϕ(z) =1√2π
e−z2
2 .
Funkcija distribucije :
Φ(z) =1√2π
∫ z
−∞e−
u2
2 du.
Tablice.
Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.
Supstitucija : z =x − νσ
daje F (x) = Φ(z)
Racunanje vjerojatnosti :
p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Standardna normalna razdioba
Standardna normalna razdioba : Z ∼ N (0, 1).
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
ϕ(z) =1√2π
e−z2
2 .
Funkcija distribucije :
Φ(z) =1√2π
∫ z
−∞e−
u2
2 du.
Tablice.
Uociti :
Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.
Supstitucija : z =x − νσ
daje F (x) = Φ(z)
Racunanje vjerojatnosti :
p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Standardna normalna razdioba
Standardna normalna razdioba : Z ∼ N (0, 1).
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
ϕ(z) =1√2π
e−z2
2 .
Funkcija distribucije :
Φ(z) =1√2π
∫ z
−∞e−
u2
2 du.
Tablice.
Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.
Supstitucija : z =x − νσ
daje F (x) = Φ(z)
Racunanje vjerojatnosti :
p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Standardna normalna razdioba
Standardna normalna razdioba : Z ∼ N (0, 1).
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
ϕ(z) =1√2π
e−z2
2 .
Funkcija distribucije :
Φ(z) =1√2π
∫ z
−∞e−
u2
2 du.
Tablice.
Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.
Supstitucija :
z =x − νσ
daje F (x) = Φ(z)
Racunanje vjerojatnosti :
p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Standardna normalna razdioba
Standardna normalna razdioba : Z ∼ N (0, 1).
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
ϕ(z) =1√2π
e−z2
2 .
Funkcija distribucije :
Φ(z) =1√2π
∫ z
−∞e−
u2
2 du.
Tablice.
Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.
Supstitucija : z =x − νσ
daje F (x) = Φ(z)
Racunanje vjerojatnosti :
p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Standardna normalna razdioba
Standardna normalna razdioba : Z ∼ N (0, 1).
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
ϕ(z) =1√2π
e−z2
2 .
Funkcija distribucije :
Φ(z) =1√2π
∫ z
−∞e−
u2
2 du.
Tablice.
Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.
Supstitucija : z =x − νσ
daje F (x) = Φ(z)
Racunanje vjerojatnosti :
p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Standardna normalna razdioba
Standardna normalna razdioba : Z ∼ N (0, 1).
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
ϕ(z) =1√2π
e−z2
2 .
Funkcija distribucije :
Φ(z) =1√2π
∫ z
−∞e−
u2
2 du.
Tablice.
Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.
Supstitucija : z =x − νσ
daje F (x) = Φ(z)
Racunanje vjerojatnosti :
p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Standardna normalna razdioba
Standardna normalna razdioba : Z ∼ N (0, 1).
Funkcija gustoce vjerojatnosti :
ϕ(z) =1√2π
e−z2
2 .
Funkcija distribucije :
Φ(z) =1√2π
∫ z
−∞e−
u2
2 du.
Tablice.
Uociti : Φ(z < −3) = 0 i Φ(z > 3) = 1.
Supstitucija : z =x − νσ
daje F (x) = Φ(z)
Racunanje vjerojatnosti :
p(a < x < b) = F (b)− F (a) = Φ(b)− Φ(a)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjena standardne normalne razdiobe
Zadatak
Maksimalna dnevna temperatura zraka u sijecnju je slucajnavarijabla normalne razdiobe s ocekivanih −20C ± 50C . Odredite
1 vjerojatnost da dnevna temperatura bude u minusu.
2 vjerojatnost da maksimalna dnevna temperatura bude iznad−100C .
3 najvecu maksimalnu temperaturu koja se postize svjerojatnoscu od 70%.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjena standardne normalne razdiobe
Zadatak
Maksimalna dnevna temperatura zraka u sijecnju je slucajnavarijabla normalne razdiobe s ocekivanih −20C ± 50C . Odredite
1 vjerojatnost da dnevna temperatura bude u minusu.
2 vjerojatnost da maksimalna dnevna temperatura bude iznad−100C .
3 najvecu maksimalnu temperaturu koja se postize svjerojatnoscu od 70%.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kolokvij...
1 Broj vozila koja dolaze na servis ima Poissonovu razdiobu.Prosjecno u roku 15 radnih dana servis primi 50 vozila.
1 Izracunajte standardnu devijaciju.2 Kolika je vjerojatnost da u jednom danu barem jedno vozilo
dode na servis?
2 Prilikom ocjenjivanja nekog ispita koristi se normalna razdiobabodova na ispitu. Pozitivnu ocjenu dobiva gornjih 60%studenata na listi. Ako je na zadnjem roku ocekivanje iznosilo49 bodova, a standardna devijacija 16 bodova, koji je biominimalni broj bodova za prolaznu ocjenu?
3 Funkcija je zadana formulom
f (x) =
0 za x < 3
a(x − 3) za 3 ≤ x < 50 za x ≤ 5
Odredite a tako da f
bude funkcija gustoce vjerojatnosti slucajne varijable X .Nacrtati graf funkcije razdiobe F (x). IzracunatiP(1 < X < 4), P(4 < X < 6) i P(X ≥ 4).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kolokvij...
1 Broj vozila koja dolaze na servis ima Poissonovu razdiobu.Prosjecno u roku 15 radnih dana servis primi 50 vozila.
1 Izracunajte standardnu devijaciju.2 Kolika je vjerojatnost da u jednom danu barem jedno vozilo
dode na servis?
2 Prilikom ocjenjivanja nekog ispita koristi se normalna razdiobabodova na ispitu. Pozitivnu ocjenu dobiva gornjih 60%studenata na listi. Ako je na zadnjem roku ocekivanje iznosilo49 bodova, a standardna devijacija 16 bodova, koji je biominimalni broj bodova za prolaznu ocjenu?
3 Funkcija je zadana formulom
f (x) =
0 za x < 3
a(x − 3) za 3 ≤ x < 50 za x ≤ 5
Odredite a tako da f
bude funkcija gustoce vjerojatnosti slucajne varijable X .Nacrtati graf funkcije razdiobe F (x). IzracunatiP(1 < X < 4), P(4 < X < 6) i P(X ≥ 4).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kolokvij...
1 Broj vozila koja dolaze na servis ima Poissonovu razdiobu.Prosjecno u roku 15 radnih dana servis primi 50 vozila.
1 Izracunajte standardnu devijaciju.
2 Kolika je vjerojatnost da u jednom danu barem jedno vozilodode na servis?
2 Prilikom ocjenjivanja nekog ispita koristi se normalna razdiobabodova na ispitu. Pozitivnu ocjenu dobiva gornjih 60%studenata na listi. Ako je na zadnjem roku ocekivanje iznosilo49 bodova, a standardna devijacija 16 bodova, koji je biominimalni broj bodova za prolaznu ocjenu?
3 Funkcija je zadana formulom
f (x) =
0 za x < 3
a(x − 3) za 3 ≤ x < 50 za x ≤ 5
Odredite a tako da f
bude funkcija gustoce vjerojatnosti slucajne varijable X .Nacrtati graf funkcije razdiobe F (x). IzracunatiP(1 < X < 4), P(4 < X < 6) i P(X ≥ 4).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kolokvij...
1 Broj vozila koja dolaze na servis ima Poissonovu razdiobu.Prosjecno u roku 15 radnih dana servis primi 50 vozila.
1 Izracunajte standardnu devijaciju.2 Kolika je vjerojatnost da u jednom danu barem jedno vozilo
dode na servis?
2 Prilikom ocjenjivanja nekog ispita koristi se normalna razdiobabodova na ispitu. Pozitivnu ocjenu dobiva gornjih 60%studenata na listi. Ako je na zadnjem roku ocekivanje iznosilo49 bodova, a standardna devijacija 16 bodova, koji je biominimalni broj bodova za prolaznu ocjenu?
3 Funkcija je zadana formulom
f (x) =
0 za x < 3
a(x − 3) za 3 ≤ x < 50 za x ≤ 5
Odredite a tako da f
bude funkcija gustoce vjerojatnosti slucajne varijable X .Nacrtati graf funkcije razdiobe F (x). IzracunatiP(1 < X < 4), P(4 < X < 6) i P(X ≥ 4).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kolokvij...
1 Broj vozila koja dolaze na servis ima Poissonovu razdiobu.Prosjecno u roku 15 radnih dana servis primi 50 vozila.
1 Izracunajte standardnu devijaciju.2 Kolika je vjerojatnost da u jednom danu barem jedno vozilo
dode na servis?
2 Prilikom ocjenjivanja nekog ispita koristi se normalna razdiobabodova na ispitu. Pozitivnu ocjenu dobiva gornjih 60%studenata na listi. Ako je na zadnjem roku ocekivanje iznosilo49 bodova, a standardna devijacija 16 bodova, koji je biominimalni broj bodova za prolaznu ocjenu?
3 Funkcija je zadana formulom
f (x) =
0 za x < 3
a(x − 3) za 3 ≤ x < 50 za x ≤ 5
Odredite a tako da f
bude funkcija gustoce vjerojatnosti slucajne varijable X .Nacrtati graf funkcije razdiobe F (x). IzracunatiP(1 < X < 4), P(4 < X < 6) i P(X ≥ 4).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kolokvij...
1 Broj vozila koja dolaze na servis ima Poissonovu razdiobu.Prosjecno u roku 15 radnih dana servis primi 50 vozila.
1 Izracunajte standardnu devijaciju.2 Kolika je vjerojatnost da u jednom danu barem jedno vozilo
dode na servis?
2 Prilikom ocjenjivanja nekog ispita koristi se normalna razdiobabodova na ispitu. Pozitivnu ocjenu dobiva gornjih 60%studenata na listi. Ako je na zadnjem roku ocekivanje iznosilo49 bodova, a standardna devijacija 16 bodova, koji je biominimalni broj bodova za prolaznu ocjenu?
3 Funkcija je zadana formulom
f (x) =
0 za x < 3
a(x − 3) za 3 ≤ x < 50 za x ≤ 5
Odredite a tako da f
bude funkcija gustoce vjerojatnosti slucajne varijable X .
Nacrtati graf funkcije razdiobe F (x). IzracunatiP(1 < X < 4), P(4 < X < 6) i P(X ≥ 4).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kolokvij...
1 Broj vozila koja dolaze na servis ima Poissonovu razdiobu.Prosjecno u roku 15 radnih dana servis primi 50 vozila.
1 Izracunajte standardnu devijaciju.2 Kolika je vjerojatnost da u jednom danu barem jedno vozilo
dode na servis?
2 Prilikom ocjenjivanja nekog ispita koristi se normalna razdiobabodova na ispitu. Pozitivnu ocjenu dobiva gornjih 60%studenata na listi. Ako je na zadnjem roku ocekivanje iznosilo49 bodova, a standardna devijacija 16 bodova, koji je biominimalni broj bodova za prolaznu ocjenu?
3 Funkcija je zadana formulom
f (x) =
0 za x < 3
a(x − 3) za 3 ≤ x < 50 za x ≤ 5
Odredite a tako da f
bude funkcija gustoce vjerojatnosti slucajne varijable X .Nacrtati graf funkcije razdiobe F (x).
IzracunatiP(1 < X < 4), P(4 < X < 6) i P(X ≥ 4).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kolokvij...
1 Broj vozila koja dolaze na servis ima Poissonovu razdiobu.Prosjecno u roku 15 radnih dana servis primi 50 vozila.
1 Izracunajte standardnu devijaciju.2 Kolika je vjerojatnost da u jednom danu barem jedno vozilo
dode na servis?
2 Prilikom ocjenjivanja nekog ispita koristi se normalna razdiobabodova na ispitu. Pozitivnu ocjenu dobiva gornjih 60%studenata na listi. Ako je na zadnjem roku ocekivanje iznosilo49 bodova, a standardna devijacija 16 bodova, koji je biominimalni broj bodova za prolaznu ocjenu?
3 Funkcija je zadana formulom
f (x) =
0 za x < 3
a(x − 3) za 3 ≤ x < 50 za x ≤ 5
Odredite a tako da f
bude funkcija gustoce vjerojatnosti slucajne varijable X .Nacrtati graf funkcije razdiobe F (x). IzracunatiP(1 < X < 4), P(4 < X < 6) i P(X ≥ 4).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
... s nastavkom
1 Tri izlaza s autoputa koriste se jednako cesto. Kolika jevjerojatnost da od pet vozila
1 tri vozila izadu na isti izlaz2 svi izadu kroz isti izlaz?
2 Ante pogodi vuka u 60%, Brane u 70%, a Caruga u 90%slucajeva. Ako sva trojica zapucaju s po jednim metkom, a uvuku nadu dva metka, koliko je vjerojatno da Brane nijepogodio?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
... s nastavkom
1 Tri izlaza s autoputa koriste se jednako cesto. Kolika jevjerojatnost da od pet vozila
1 tri vozila izadu na isti izlaz
2 svi izadu kroz isti izlaz?
2 Ante pogodi vuka u 60%, Brane u 70%, a Caruga u 90%slucajeva. Ako sva trojica zapucaju s po jednim metkom, a uvuku nadu dva metka, koliko je vjerojatno da Brane nijepogodio?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
... s nastavkom
1 Tri izlaza s autoputa koriste se jednako cesto. Kolika jevjerojatnost da od pet vozila
1 tri vozila izadu na isti izlaz2 svi izadu kroz isti izlaz?
2 Ante pogodi vuka u 60%, Brane u 70%, a Caruga u 90%slucajeva. Ako sva trojica zapucaju s po jednim metkom, a uvuku nadu dva metka, koliko je vjerojatno da Brane nijepogodio?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
... s nastavkom
1 Tri izlaza s autoputa koriste se jednako cesto. Kolika jevjerojatnost da od pet vozila
1 tri vozila izadu na isti izlaz2 svi izadu kroz isti izlaz?
2 Ante pogodi vuka u 60%, Brane u 70%, a Caruga u 90%slucajeva. Ako sva trojica zapucaju s po jednim metkom, a uvuku nadu dva metka, koliko je vjerojatno da Brane nijepogodio?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kolokvij...
1 Zlatko je iskovao novcic potpuno nalik obicnom, ali koji naPismo pada s vjerojatnosti duplo vise nego na glavu. Imao ga,pa izgubio.Puno poslije, nasao je slican novcic i odlucio uciniti pokus:
a) ako novcic u 10 bacanja na Pismo padne barem 7 puta, Zlatkoce ga zadrzati (i varati s njim)
b) ako novcic padne manje od 7 puta, Zlatko ce ga potrositizajedno s drugima.
Koliko je vjerojatno1 da Zlatko baci dugo trazeni novcic?2 da Zlatko nadalje koristi obican novcic?
2 U folklornom drustvu na dva muska clana dolaze tri zenska.30% muskaraca i 20% zena ima svjetliju kosu. Koliko jevjerojatno
1 da slucajno odabrana osoba ima svjetliju kosu?2 da je izabrana osoba sa svjetlom kosom muskarac?
3 Dva cartera trebaju sletjeti izmedu 18:00 i 19:00 sati. Kolikoje vjerojatno da ce izmedu slijetanja proci barem pola sata?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kolokvij...
1 Zlatko je iskovao novcic potpuno nalik obicnom, ali koji naPismo pada s vjerojatnosti duplo vise nego na glavu. Imao ga,pa izgubio.Puno poslije, nasao je slican novcic i odlucio uciniti pokus:
a) ako novcic u 10 bacanja na Pismo padne barem 7 puta, Zlatkoce ga zadrzati (i varati s njim)
b) ako novcic padne manje od 7 puta, Zlatko ce ga potrositizajedno s drugima.
Koliko je vjerojatno1 da Zlatko baci dugo trazeni novcic?2 da Zlatko nadalje koristi obican novcic?
2 U folklornom drustvu na dva muska clana dolaze tri zenska.30% muskaraca i 20% zena ima svjetliju kosu. Koliko jevjerojatno
1 da slucajno odabrana osoba ima svjetliju kosu?2 da je izabrana osoba sa svjetlom kosom muskarac?
3 Dva cartera trebaju sletjeti izmedu 18:00 i 19:00 sati. Kolikoje vjerojatno da ce izmedu slijetanja proci barem pola sata?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kolokvij...
1 Zlatko je iskovao novcic potpuno nalik obicnom, ali koji naPismo pada s vjerojatnosti duplo vise nego na glavu. Imao ga,pa izgubio.Puno poslije, nasao je slican novcic i odlucio uciniti pokus:
a) ako novcic u 10 bacanja na Pismo padne barem 7 puta, Zlatkoce ga zadrzati (i varati s njim)
b) ako novcic padne manje od 7 puta, Zlatko ce ga potrositizajedno s drugima.
Koliko je vjerojatno1 da Zlatko baci dugo trazeni novcic?2 da Zlatko nadalje koristi obican novcic?
2 U folklornom drustvu na dva muska clana dolaze tri zenska.30% muskaraca i 20% zena ima svjetliju kosu. Koliko jevjerojatno
1 da slucajno odabrana osoba ima svjetliju kosu?2 da je izabrana osoba sa svjetlom kosom muskarac?
3 Dva cartera trebaju sletjeti izmedu 18:00 i 19:00 sati. Kolikoje vjerojatno da ce izmedu slijetanja proci barem pola sata?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kolokvij...
1 Zlatko je iskovao novcic potpuno nalik obicnom, ali koji naPismo pada s vjerojatnosti duplo vise nego na glavu. Imao ga,pa izgubio.Puno poslije, nasao je slican novcic i odlucio uciniti pokus:
a) ako novcic u 10 bacanja na Pismo padne barem 7 puta, Zlatkoce ga zadrzati (i varati s njim)
b) ako novcic padne manje od 7 puta, Zlatko ce ga potrositizajedno s drugima.
Koliko je vjerojatno1 da Zlatko baci dugo trazeni novcic?2 da Zlatko nadalje koristi obican novcic?
2 U folklornom drustvu na dva muska clana dolaze tri zenska.30% muskaraca i 20% zena ima svjetliju kosu. Koliko jevjerojatno
1 da slucajno odabrana osoba ima svjetliju kosu?2 da je izabrana osoba sa svjetlom kosom muskarac?
3 Dva cartera trebaju sletjeti izmedu 18:00 i 19:00 sati. Kolikoje vjerojatno da ce izmedu slijetanja proci barem pola sata?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kolokvij...
1 Zlatko je iskovao novcic potpuno nalik obicnom, ali koji naPismo pada s vjerojatnosti duplo vise nego na glavu. Imao ga,pa izgubio.Puno poslije, nasao je slican novcic i odlucio uciniti pokus:
a) ako novcic u 10 bacanja na Pismo padne barem 7 puta, Zlatkoce ga zadrzati (i varati s njim)
b) ako novcic padne manje od 7 puta, Zlatko ce ga potrositizajedno s drugima.
Koliko je vjerojatno
1 da Zlatko baci dugo trazeni novcic?2 da Zlatko nadalje koristi obican novcic?
2 U folklornom drustvu na dva muska clana dolaze tri zenska.30% muskaraca i 20% zena ima svjetliju kosu. Koliko jevjerojatno
1 da slucajno odabrana osoba ima svjetliju kosu?2 da je izabrana osoba sa svjetlom kosom muskarac?
3 Dva cartera trebaju sletjeti izmedu 18:00 i 19:00 sati. Kolikoje vjerojatno da ce izmedu slijetanja proci barem pola sata?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kolokvij...
1 Zlatko je iskovao novcic potpuno nalik obicnom, ali koji naPismo pada s vjerojatnosti duplo vise nego na glavu. Imao ga,pa izgubio.Puno poslije, nasao je slican novcic i odlucio uciniti pokus:
a) ako novcic u 10 bacanja na Pismo padne barem 7 puta, Zlatkoce ga zadrzati (i varati s njim)
b) ako novcic padne manje od 7 puta, Zlatko ce ga potrositizajedno s drugima.
Koliko je vjerojatno1 da Zlatko baci dugo trazeni novcic?
2 da Zlatko nadalje koristi obican novcic?2 U folklornom drustvu na dva muska clana dolaze tri zenska.
30% muskaraca i 20% zena ima svjetliju kosu. Koliko jevjerojatno
1 da slucajno odabrana osoba ima svjetliju kosu?2 da je izabrana osoba sa svjetlom kosom muskarac?
3 Dva cartera trebaju sletjeti izmedu 18:00 i 19:00 sati. Kolikoje vjerojatno da ce izmedu slijetanja proci barem pola sata?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kolokvij...
1 Zlatko je iskovao novcic potpuno nalik obicnom, ali koji naPismo pada s vjerojatnosti duplo vise nego na glavu. Imao ga,pa izgubio.Puno poslije, nasao je slican novcic i odlucio uciniti pokus:
a) ako novcic u 10 bacanja na Pismo padne barem 7 puta, Zlatkoce ga zadrzati (i varati s njim)
b) ako novcic padne manje od 7 puta, Zlatko ce ga potrositizajedno s drugima.
Koliko je vjerojatno1 da Zlatko baci dugo trazeni novcic?2 da Zlatko nadalje koristi obican novcic?
2 U folklornom drustvu na dva muska clana dolaze tri zenska.30% muskaraca i 20% zena ima svjetliju kosu. Koliko jevjerojatno
1 da slucajno odabrana osoba ima svjetliju kosu?2 da je izabrana osoba sa svjetlom kosom muskarac?
3 Dva cartera trebaju sletjeti izmedu 18:00 i 19:00 sati. Kolikoje vjerojatno da ce izmedu slijetanja proci barem pola sata?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kolokvij...
1 Zlatko je iskovao novcic potpuno nalik obicnom, ali koji naPismo pada s vjerojatnosti duplo vise nego na glavu. Imao ga,pa izgubio.Puno poslije, nasao je slican novcic i odlucio uciniti pokus:
a) ako novcic u 10 bacanja na Pismo padne barem 7 puta, Zlatkoce ga zadrzati (i varati s njim)
b) ako novcic padne manje od 7 puta, Zlatko ce ga potrositizajedno s drugima.
Koliko je vjerojatno1 da Zlatko baci dugo trazeni novcic?2 da Zlatko nadalje koristi obican novcic?
2 U folklornom drustvu na dva muska clana dolaze tri zenska.30% muskaraca i 20% zena ima svjetliju kosu. Koliko jevjerojatno
1 da slucajno odabrana osoba ima svjetliju kosu?2 da je izabrana osoba sa svjetlom kosom muskarac?
3 Dva cartera trebaju sletjeti izmedu 18:00 i 19:00 sati. Kolikoje vjerojatno da ce izmedu slijetanja proci barem pola sata?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kolokvij...
1 Zlatko je iskovao novcic potpuno nalik obicnom, ali koji naPismo pada s vjerojatnosti duplo vise nego na glavu. Imao ga,pa izgubio.Puno poslije, nasao je slican novcic i odlucio uciniti pokus:
a) ako novcic u 10 bacanja na Pismo padne barem 7 puta, Zlatkoce ga zadrzati (i varati s njim)
b) ako novcic padne manje od 7 puta, Zlatko ce ga potrositizajedno s drugima.
Koliko je vjerojatno1 da Zlatko baci dugo trazeni novcic?2 da Zlatko nadalje koristi obican novcic?
2 U folklornom drustvu na dva muska clana dolaze tri zenska.30% muskaraca i 20% zena ima svjetliju kosu. Koliko jevjerojatno
1 da slucajno odabrana osoba ima svjetliju kosu?
2 da je izabrana osoba sa svjetlom kosom muskarac?3 Dva cartera trebaju sletjeti izmedu 18:00 i 19:00 sati. Koliko
je vjerojatno da ce izmedu slijetanja proci barem pola sata?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kolokvij...
1 Zlatko je iskovao novcic potpuno nalik obicnom, ali koji naPismo pada s vjerojatnosti duplo vise nego na glavu. Imao ga,pa izgubio.Puno poslije, nasao je slican novcic i odlucio uciniti pokus:
a) ako novcic u 10 bacanja na Pismo padne barem 7 puta, Zlatkoce ga zadrzati (i varati s njim)
b) ako novcic padne manje od 7 puta, Zlatko ce ga potrositizajedno s drugima.
Koliko je vjerojatno1 da Zlatko baci dugo trazeni novcic?2 da Zlatko nadalje koristi obican novcic?
2 U folklornom drustvu na dva muska clana dolaze tri zenska.30% muskaraca i 20% zena ima svjetliju kosu. Koliko jevjerojatno
1 da slucajno odabrana osoba ima svjetliju kosu?2 da je izabrana osoba sa svjetlom kosom muskarac?
3 Dva cartera trebaju sletjeti izmedu 18:00 i 19:00 sati. Kolikoje vjerojatno da ce izmedu slijetanja proci barem pola sata?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Kolokvij...
1 Zlatko je iskovao novcic potpuno nalik obicnom, ali koji naPismo pada s vjerojatnosti duplo vise nego na glavu. Imao ga,pa izgubio.Puno poslije, nasao je slican novcic i odlucio uciniti pokus:
a) ako novcic u 10 bacanja na Pismo padne barem 7 puta, Zlatkoce ga zadrzati (i varati s njim)
b) ako novcic padne manje od 7 puta, Zlatko ce ga potrositizajedno s drugima.
Koliko je vjerojatno1 da Zlatko baci dugo trazeni novcic?2 da Zlatko nadalje koristi obican novcic?
2 U folklornom drustvu na dva muska clana dolaze tri zenska.30% muskaraca i 20% zena ima svjetliju kosu. Koliko jevjerojatno
1 da slucajno odabrana osoba ima svjetliju kosu?2 da je izabrana osoba sa svjetlom kosom muskarac?
3 Dva cartera trebaju sletjeti izmedu 18:00 i 19:00 sati. Kolikoje vjerojatno da ce izmedu slijetanja proci barem pola sata?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
...s nastavkom
1 Tjelesna visina iznosi za zene 168cm sa standardnomdevijacijom σ = 6cm. Odredite:
1 postotak zena koje su vise od 1.8m2 vjerojatnost da vasa sefica nece biti izmedu 160 i 170 cm visine3 donju granicu ispod koje je 10% zena.
2 Zdenka uspjesno parkira u 60% slucajeva. Koliko je vjerojatnoda ce u 5 pokusaja bar dvaput parkirati uspjesno? Koliko jevjerojatno da ce iz pet pokusaja najvise triput pogrijesiti?Kolika bi bila vjerojatnost dobivanja oklade da ce se Zdenkiprilikom 5 uzastopnih parkiranja dogoditi nesto odnavedenog? Pretpostavite binomnu razdiobu.
3 U kutiji je 10 proizvoda, od kojih su tri neispravna. Uzastopnose izvlace proizvodi dok se ne izvuce ispravan. Koliko jeocekivanje broja izvucenih proizvoda, a kolika je standardnadevijacija ovakovog izvlacenja?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
...s nastavkom
1 Tjelesna visina iznosi za zene 168cm sa standardnomdevijacijom σ = 6cm. Odredite:
1 postotak zena koje su vise od 1.8m2 vjerojatnost da vasa sefica nece biti izmedu 160 i 170 cm visine3 donju granicu ispod koje je 10% zena.
2 Zdenka uspjesno parkira u 60% slucajeva. Koliko je vjerojatnoda ce u 5 pokusaja bar dvaput parkirati uspjesno? Koliko jevjerojatno da ce iz pet pokusaja najvise triput pogrijesiti?Kolika bi bila vjerojatnost dobivanja oklade da ce se Zdenkiprilikom 5 uzastopnih parkiranja dogoditi nesto odnavedenog? Pretpostavite binomnu razdiobu.
3 U kutiji je 10 proizvoda, od kojih su tri neispravna. Uzastopnose izvlace proizvodi dok se ne izvuce ispravan. Koliko jeocekivanje broja izvucenih proizvoda, a kolika je standardnadevijacija ovakovog izvlacenja?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
...s nastavkom
1 Tjelesna visina iznosi za zene 168cm sa standardnomdevijacijom σ = 6cm. Odredite:
1 postotak zena koje su vise od 1.8m2 vjerojatnost da vasa sefica nece biti izmedu 160 i 170 cm visine3 donju granicu ispod koje je 10% zena.
2 Zdenka uspjesno parkira u 60% slucajeva. Koliko je vjerojatnoda ce u 5 pokusaja bar dvaput parkirati uspjesno? Koliko jevjerojatno da ce iz pet pokusaja najvise triput pogrijesiti?Kolika bi bila vjerojatnost dobivanja oklade da ce se Zdenkiprilikom 5 uzastopnih parkiranja dogoditi nesto odnavedenog? Pretpostavite binomnu razdiobu.
3 U kutiji je 10 proizvoda, od kojih su tri neispravna. Uzastopnose izvlace proizvodi dok se ne izvuce ispravan. Koliko jeocekivanje broja izvucenih proizvoda, a kolika je standardnadevijacija ovakovog izvlacenja?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
...s nastavkom
1 Tjelesna visina iznosi za zene 168cm sa standardnomdevijacijom σ = 6cm. Odredite:
1 postotak zena koje su vise od 1.8m
2 vjerojatnost da vasa sefica nece biti izmedu 160 i 170 cm visine3 donju granicu ispod koje je 10% zena.
2 Zdenka uspjesno parkira u 60% slucajeva. Koliko je vjerojatnoda ce u 5 pokusaja bar dvaput parkirati uspjesno? Koliko jevjerojatno da ce iz pet pokusaja najvise triput pogrijesiti?Kolika bi bila vjerojatnost dobivanja oklade da ce se Zdenkiprilikom 5 uzastopnih parkiranja dogoditi nesto odnavedenog? Pretpostavite binomnu razdiobu.
3 U kutiji je 10 proizvoda, od kojih su tri neispravna. Uzastopnose izvlace proizvodi dok se ne izvuce ispravan. Koliko jeocekivanje broja izvucenih proizvoda, a kolika je standardnadevijacija ovakovog izvlacenja?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
...s nastavkom
1 Tjelesna visina iznosi za zene 168cm sa standardnomdevijacijom σ = 6cm. Odredite:
1 postotak zena koje su vise od 1.8m2 vjerojatnost da vasa sefica nece biti izmedu 160 i 170 cm visine
3 donju granicu ispod koje je 10% zena.
2 Zdenka uspjesno parkira u 60% slucajeva. Koliko je vjerojatnoda ce u 5 pokusaja bar dvaput parkirati uspjesno? Koliko jevjerojatno da ce iz pet pokusaja najvise triput pogrijesiti?Kolika bi bila vjerojatnost dobivanja oklade da ce se Zdenkiprilikom 5 uzastopnih parkiranja dogoditi nesto odnavedenog? Pretpostavite binomnu razdiobu.
3 U kutiji je 10 proizvoda, od kojih su tri neispravna. Uzastopnose izvlace proizvodi dok se ne izvuce ispravan. Koliko jeocekivanje broja izvucenih proizvoda, a kolika je standardnadevijacija ovakovog izvlacenja?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
...s nastavkom
1 Tjelesna visina iznosi za zene 168cm sa standardnomdevijacijom σ = 6cm. Odredite:
1 postotak zena koje su vise od 1.8m2 vjerojatnost da vasa sefica nece biti izmedu 160 i 170 cm visine3 donju granicu ispod koje je 10% zena.
2 Zdenka uspjesno parkira u 60% slucajeva. Koliko je vjerojatnoda ce u 5 pokusaja bar dvaput parkirati uspjesno? Koliko jevjerojatno da ce iz pet pokusaja najvise triput pogrijesiti?Kolika bi bila vjerojatnost dobivanja oklade da ce se Zdenkiprilikom 5 uzastopnih parkiranja dogoditi nesto odnavedenog? Pretpostavite binomnu razdiobu.
3 U kutiji je 10 proizvoda, od kojih su tri neispravna. Uzastopnose izvlace proizvodi dok se ne izvuce ispravan. Koliko jeocekivanje broja izvucenih proizvoda, a kolika je standardnadevijacija ovakovog izvlacenja?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
...s nastavkom
1 Tjelesna visina iznosi za zene 168cm sa standardnomdevijacijom σ = 6cm. Odredite:
1 postotak zena koje su vise od 1.8m2 vjerojatnost da vasa sefica nece biti izmedu 160 i 170 cm visine3 donju granicu ispod koje je 10% zena.
2 Zdenka uspjesno parkira u 60% slucajeva. Koliko je vjerojatnoda ce u 5 pokusaja bar dvaput parkirati uspjesno? Koliko jevjerojatno da ce iz pet pokusaja najvise triput pogrijesiti?Kolika bi bila vjerojatnost dobivanja oklade da ce se Zdenkiprilikom 5 uzastopnih parkiranja dogoditi nesto odnavedenog? Pretpostavite binomnu razdiobu.
3 U kutiji je 10 proizvoda, od kojih su tri neispravna. Uzastopnose izvlace proizvodi dok se ne izvuce ispravan. Koliko jeocekivanje broja izvucenih proizvoda, a kolika je standardnadevijacija ovakovog izvlacenja?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
...s nastavkom
1 Tjelesna visina iznosi za zene 168cm sa standardnomdevijacijom σ = 6cm. Odredite:
1 postotak zena koje su vise od 1.8m2 vjerojatnost da vasa sefica nece biti izmedu 160 i 170 cm visine3 donju granicu ispod koje je 10% zena.
2 Zdenka uspjesno parkira u 60% slucajeva. Koliko je vjerojatnoda ce u 5 pokusaja bar dvaput parkirati uspjesno? Koliko jevjerojatno da ce iz pet pokusaja najvise triput pogrijesiti?Kolika bi bila vjerojatnost dobivanja oklade da ce se Zdenkiprilikom 5 uzastopnih parkiranja dogoditi nesto odnavedenog? Pretpostavite binomnu razdiobu.
3 U kutiji je 10 proizvoda, od kojih su tri neispravna. Uzastopnose izvlace proizvodi dok se ne izvuce ispravan. Koliko jeocekivanje broja izvucenih proizvoda, a kolika je standardnadevijacija ovakovog izvlacenja?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Statistika
State=drzava: vjestina upravljanja drzavom
temelj: Teorija vjerojatnosti
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Statistika
State=drzava: vjestina upravljanja drzavom
temelj: Teorija vjerojatnosti
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Statistika
State=drzava: vjestina upravljanja drzavom
temelj: Teorija vjerojatnosti
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Osnovni pojmovi. Vrste statistika
Deskriptivna statistika: prikupljanje, selekcija, grupiranje,graficka prezentacija, kvalitativna analiza.
Inferencijalna statistika: zakljucci na temelju Teorijevjerojatnosti, induktivni pristup
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Osnovni pojmovi. Vrste statistika
Deskriptivna statistika: prikupljanje, selekcija, grupiranje,graficka prezentacija, kvalitativna analiza.
Inferencijalna statistika: zakljucci na temelju Teorijevjerojatnosti, induktivni pristup
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Osnovni pojmovi. Vrste statistika
Deskriptivna statistika: prikupljanje, selekcija, grupiranje,graficka prezentacija, kvalitativna analiza.
Inferencijalna statistika: zakljucci na temelju Teorijevjerojatnosti, induktivni pristup
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Statisticki skup. Modaliteti
Skup statistickih jedinica
Pojmovna definicija: jednoznacna odredenost elemenata
Prostorna definicija: pripadnost podrucju
Vremenska definicija: trenutak ili interval prikupljanja
Populacija je osnovni skup podataka o promatranom svojstvu zasvaku jedinicu statistickog skupa.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Statisticki skup. Modaliteti
Skup statistickih jedinica
Pojmovna definicija: jednoznacna odredenost elemenata
Prostorna definicija: pripadnost podrucju
Vremenska definicija: trenutak ili interval prikupljanja
Populacija je osnovni skup podataka o promatranom svojstvu zasvaku jedinicu statistickog skupa.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Statisticki skup. Modaliteti
Skup statistickih jedinica
Pojmovna definicija: jednoznacna odredenost elemenata
Prostorna definicija: pripadnost podrucju
Vremenska definicija: trenutak ili interval prikupljanja
Populacija je osnovni skup podataka o promatranom svojstvu zasvaku jedinicu statistickog skupa.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Statisticki skup. Modaliteti
Skup statistickih jedinica
Pojmovna definicija: jednoznacna odredenost elemenata
Prostorna definicija: pripadnost podrucju
Vremenska definicija: trenutak ili interval prikupljanja
Populacija je osnovni skup podataka o promatranom svojstvu zasvaku jedinicu statistickog skupa.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Statisticki skup. Modaliteti
Skup statistickih jedinica
Pojmovna definicija: jednoznacna odredenost elemenata
Prostorna definicija: pripadnost podrucju
Vremenska definicija: trenutak ili interval prikupljanja
Populacija je osnovni skup podataka o promatranom svojstvu zasvaku jedinicu statistickog skupa.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Statisticki skup. Modaliteti
Skup statistickih jedinica
Pojmovna definicija: jednoznacna odredenost elemenata
Prostorna definicija: pripadnost podrucju
Vremenska definicija: trenutak ili interval prikupljanja
Populacija je osnovni skup podataka o promatranom svojstvu zasvaku jedinicu statistickog skupa.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Obiljezje (kvalitativno)
Svojstvo po kojem su jedinice statistickog skupa slicne ili serazlikuju.
nominalno obiljezje:
atributno, geografsko, alternativnonisu dopustene brojcane operacije
ordinalno ili redosljedno obiljezje
strucna sprema, ekonomska razvijenostosim usporedbe, nikakve brojcane operacije nisu dozvoljene
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Obiljezje (kvalitativno)
Svojstvo po kojem su jedinice statistickog skupa slicne ili serazlikuju.
nominalno obiljezje:
atributno, geografsko, alternativnonisu dopustene brojcane operacije
ordinalno ili redosljedno obiljezje
strucna sprema, ekonomska razvijenostosim usporedbe, nikakve brojcane operacije nisu dozvoljene
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Obiljezje (kvalitativno)
Svojstvo po kojem su jedinice statistickog skupa slicne ili serazlikuju.
nominalno obiljezje:
atributno, geografsko, alternativnonisu dopustene brojcane operacije
ordinalno ili redosljedno obiljezje
strucna sprema, ekonomska razvijenostosim usporedbe, nikakve brojcane operacije nisu dozvoljene
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Obiljezje (kvalitativno)
Svojstvo po kojem su jedinice statistickog skupa slicne ili serazlikuju.
nominalno obiljezje:
atributno, geografsko, alternativno
nisu dopustene brojcane operacije
ordinalno ili redosljedno obiljezje
strucna sprema, ekonomska razvijenostosim usporedbe, nikakve brojcane operacije nisu dozvoljene
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Obiljezje (kvalitativno)
Svojstvo po kojem su jedinice statistickog skupa slicne ili serazlikuju.
nominalno obiljezje:
atributno, geografsko, alternativnonisu dopustene brojcane operacije
ordinalno ili redosljedno obiljezje
strucna sprema, ekonomska razvijenostosim usporedbe, nikakve brojcane operacije nisu dozvoljene
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Obiljezje (kvalitativno)
Svojstvo po kojem su jedinice statistickog skupa slicne ili serazlikuju.
nominalno obiljezje:
atributno, geografsko, alternativnonisu dopustene brojcane operacije
ordinalno ili redosljedno obiljezje
strucna sprema, ekonomska razvijenostosim usporedbe, nikakve brojcane operacije nisu dozvoljene
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Obiljezje (kvalitativno)
Svojstvo po kojem su jedinice statistickog skupa slicne ili serazlikuju.
nominalno obiljezje:
atributno, geografsko, alternativnonisu dopustene brojcane operacije
ordinalno ili redosljedno obiljezje
strucna sprema, ekonomska razvijenost
osim usporedbe, nikakve brojcane operacije nisu dozvoljene
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Obiljezje (kvalitativno)
Svojstvo po kojem su jedinice statistickog skupa slicne ili serazlikuju.
nominalno obiljezje:
atributno, geografsko, alternativnonisu dopustene brojcane operacije
ordinalno ili redosljedno obiljezje
strucna sprema, ekonomska razvijenostosim usporedbe, nikakve brojcane operacije nisu dozvoljene
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Obiljezje (kvantitativno)
Intervalno obiljezje
temperatura, ocjenasve racunske operacije osim dijeljenja (omjera)
Numericko obiljezje
neprekinuto ili kontinuirano - masa, vrijeme putovanjadiskretno - broj vozila koja ulaze u raskrscesve racunske operacijediskretno obiljezje s puno modaliteta - kontinuirano
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Obiljezje (kvantitativno)
Intervalno obiljezje
temperatura, ocjenasve racunske operacije osim dijeljenja (omjera)
Numericko obiljezje
neprekinuto ili kontinuirano - masa, vrijeme putovanjadiskretno - broj vozila koja ulaze u raskrscesve racunske operacijediskretno obiljezje s puno modaliteta - kontinuirano
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Obiljezje (kvantitativno)
Intervalno obiljezje
temperatura, ocjena
sve racunske operacije osim dijeljenja (omjera)
Numericko obiljezje
neprekinuto ili kontinuirano - masa, vrijeme putovanjadiskretno - broj vozila koja ulaze u raskrscesve racunske operacijediskretno obiljezje s puno modaliteta - kontinuirano
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Obiljezje (kvantitativno)
Intervalno obiljezje
temperatura, ocjenasve racunske operacije osim dijeljenja (omjera)
Numericko obiljezje
neprekinuto ili kontinuirano - masa, vrijeme putovanjadiskretno - broj vozila koja ulaze u raskrscesve racunske operacijediskretno obiljezje s puno modaliteta - kontinuirano
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Obiljezje (kvantitativno)
Intervalno obiljezje
temperatura, ocjenasve racunske operacije osim dijeljenja (omjera)
Numericko obiljezje
neprekinuto ili kontinuirano - masa, vrijeme putovanjadiskretno - broj vozila koja ulaze u raskrscesve racunske operacijediskretno obiljezje s puno modaliteta - kontinuirano
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Obiljezje (kvantitativno)
Intervalno obiljezje
temperatura, ocjenasve racunske operacije osim dijeljenja (omjera)
Numericko obiljezje
neprekinuto ili kontinuirano - masa, vrijeme putovanja
diskretno - broj vozila koja ulaze u raskrscesve racunske operacijediskretno obiljezje s puno modaliteta - kontinuirano
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Obiljezje (kvantitativno)
Intervalno obiljezje
temperatura, ocjenasve racunske operacije osim dijeljenja (omjera)
Numericko obiljezje
neprekinuto ili kontinuirano - masa, vrijeme putovanjadiskretno - broj vozila koja ulaze u raskrsce
sve racunske operacijediskretno obiljezje s puno modaliteta - kontinuirano
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Obiljezje (kvantitativno)
Intervalno obiljezje
temperatura, ocjenasve racunske operacije osim dijeljenja (omjera)
Numericko obiljezje
neprekinuto ili kontinuirano - masa, vrijeme putovanjadiskretno - broj vozila koja ulaze u raskrscesve racunske operacije
diskretno obiljezje s puno modaliteta - kontinuirano
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Obiljezje (kvantitativno)
Intervalno obiljezje
temperatura, ocjenasve racunske operacije osim dijeljenja (omjera)
Numericko obiljezje
neprekinuto ili kontinuirano - masa, vrijeme putovanjadiskretno - broj vozila koja ulaze u raskrscesve racunske operacijediskretno obiljezje s puno modaliteta
- kontinuirano
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Obiljezje (kvantitativno)
Intervalno obiljezje
temperatura, ocjenasve racunske operacije osim dijeljenja (omjera)
Numericko obiljezje
neprekinuto ili kontinuirano - masa, vrijeme putovanjadiskretno - broj vozila koja ulaze u raskrscesve racunske operacijediskretno obiljezje s puno modaliteta - kontinuirano
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer prvi
Tabela 1.8 Struktura zaposlenih u grani Proizvodnja obojenihmetala u Republici Hrvatskoj u rujnu 1990 godine
Placa u HRD Struktura zaposlenih u %
HRD Pi
1 2
4000.5-5000.5 8.85000.5-6000.5 17.16000.5-8000.5 50.7
8000.5-10000.5 20.010000.5-12000.5 3.0
12000.5-(20000.5) 0.4
UkupnoNapomena: U izvoru su dane nominalne granice razreda.Izvor: Statisticki godisnjak Republike Hrvatske, 1991
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer prvi
Tabela 1.8 Struktura zaposlenih u grani Proizvodnja obojenihmetala u Republici Hrvatskoj u rujnu 1990 godine
Placa u HRD Struktura zaposlenih u %
HRD Pi
1 2
4000.5-5000.5 8.85000.5-6000.5 17.16000.5-8000.5 50.7
8000.5-10000.5 20.010000.5-12000.5 3.0
12000.5-(20000.5) 0.4
UkupnoNapomena: U izvoru su dane nominalne granice razreda.Izvor: Statisticki godisnjak Republike Hrvatske, 1991
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer prvi
Tabela 1.8 Struktura zaposlenih u grani Proizvodnja obojenihmetala u Republici Hrvatskoj u rujnu 1990 godine
Placa u HRD Struktura zaposlenih u %
HRD Pi
1 2
4000.5-5000.5 8.85000.5-6000.5 17.16000.5-8000.5 50.7
8000.5-10000.5 20.010000.5-12000.5 3.0
12000.5-(20000.5) 0.4
UkupnoNapomena: U izvoru su dane nominalne granice razreda.Izvor: Statisticki godisnjak Republike Hrvatske, 1991
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Standardi
Tablica mora imati
naslov
zaglavlje
oznaku stupca
brojcani dio tablice sa svim popunjenim poljima
izvor
Tablica moze imati
oznaku retka
zbirni redak, odnosno stupac
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Standardi
Tablica mora imati
naslov
zaglavlje
oznaku stupca
brojcani dio tablice sa svim popunjenim poljima
izvor
Tablica moze imati
oznaku retka
zbirni redak, odnosno stupac
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Standardi
Tablica mora imati
naslov
zaglavlje
oznaku stupca
brojcani dio tablice sa svim popunjenim poljima
izvor
Tablica moze imati
oznaku retka
zbirni redak, odnosno stupac
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Standardi
Tablica mora imati
naslov
zaglavlje
oznaku stupca
brojcani dio tablice sa svim popunjenim poljima
izvor
Tablica moze imati
oznaku retka
zbirni redak, odnosno stupac
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Standardi
Tablica mora imati
naslov
zaglavlje
oznaku stupca
brojcani dio tablice sa svim popunjenim poljima
izvor
Tablica moze imati
oznaku retka
zbirni redak, odnosno stupac
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Standardi
Tablica mora imati
naslov
zaglavlje
oznaku stupca
brojcani dio tablice sa svim popunjenim poljima
izvor
Tablica moze imati
oznaku retka
zbirni redak, odnosno stupac
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Standardi
Tablica mora imati
naslov
zaglavlje
oznaku stupca
brojcani dio tablice sa svim popunjenim poljima
izvor
Tablica moze imati
oznaku retka
zbirni redak, odnosno stupac
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Standardi
Tablica mora imati
naslov
zaglavlje
oznaku stupca
brojcani dio tablice sa svim popunjenim poljima
izvor
Tablica moze imati
oznaku retka
zbirni redak, odnosno stupac
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Standardi
Tablica mora imati
naslov
zaglavlje
oznaku stupca
brojcani dio tablice sa svim popunjenim poljima
izvor
Tablica moze imati
oznaku retka
zbirni redak, odnosno stupac
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Standardi
Tablica mora imati
naslov
zaglavlje
oznaku stupca
brojcani dio tablice sa svim popunjenim poljima
izvor
Tablica moze imati
oznaku retka
zbirni redak, odnosno stupac
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Nejasnoca nominalne granice
Ako su podaci grupirani tako da se gornja i donja granica razlikuju,onda se radi o nominalnim granicama. Tako je moguce naslutiti dasu u godisnjaku podaci dani na slijedeci nacin:
Placa u HRD Struktura zaposlenih u %
HRD Pi
1 2
4001-5000 8.85001-6000 17.16001-8000 50.7
8001-10000 20.010001-12000 3.0
12001 -(20000 ) 0.4
Ukupno
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Nejasnoca nominalne granice
Ako su podaci grupirani tako da se gornja i donja granica razlikuju,onda se radi o nominalnim granicama.
Tako je moguce naslutiti dasu u godisnjaku podaci dani na slijedeci nacin:
Placa u HRD Struktura zaposlenih u %
HRD Pi
1 2
4001-5000 8.85001-6000 17.16001-8000 50.7
8001-10000 20.010001-12000 3.0
12001 -(20000 ) 0.4
Ukupno
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Nejasnoca nominalne granice
Ako su podaci grupirani tako da se gornja i donja granica razlikuju,onda se radi o nominalnim granicama. Tako je moguce naslutiti dasu u godisnjaku podaci dani na slijedeci nacin:
Placa u HRD Struktura zaposlenih u %
HRD Pi
1 2
4001-5000 8.85001-6000 17.16001-8000 50.7
8001-10000 20.010001-12000 3.0
12001 -(20000 ) 0.4
Ukupno
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Nejasnoca nominalne granice
Ako su podaci grupirani tako da se gornja i donja granica razlikuju,onda se radi o nominalnim granicama. Tako je moguce naslutiti dasu u godisnjaku podaci dani na slijedeci nacin:
Placa u HRD Struktura zaposlenih u %
HRD Pi
1 2
4001-5000 8.85001-6000 17.16001-8000 50.7
8001-10000 20.010001-12000 3.0
12001 -(20000 ) 0.4
Ukupno
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Granice u primjeru
granice u primjeru su prave i mogu se dobiti izjednacavanjem
Placa u HRD Struktura zaposlenih u %
HRD Pi
1 2
4000-5001 8.85001-6001 17.16001-8001 50.7
8001-10001 20.010001-12001 3.0
12001 -(20000 ) 0.4
UkupnoKada se sirovi podaci trpaju u razrede, onda se granicna vrijednostuvijek stavlja u veci razred ai ≤ xi < b.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Granice u primjeru
granice u primjeru su prave i mogu se dobiti izjednacavanjem
Placa u HRD Struktura zaposlenih u %
HRD Pi
1 2
4000-5001 8.85001-6001 17.16001-8001 50.7
8001-10001 20.010001-12001 3.0
12001 -(20000 ) 0.4
UkupnoKada se sirovi podaci trpaju u razrede, onda se granicna vrijednostuvijek stavlja u veci razred ai ≤ xi < b.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Granice u primjeru
granice u primjeru su prave i mogu se dobiti izjednacavanjem
Placa u HRD Struktura zaposlenih u %
HRD Pi
1 2
4000-5001 8.85001-6001 17.16001-8001 50.7
8001-10001 20.010001-12001 3.0
12001 -(20000 ) 0.4
Ukupno
Kada se sirovi podaci trpaju u razrede, onda se granicna vrijednostuvijek stavlja u veci razred ai ≤ xi < b.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Granice u primjeru
granice u primjeru su prave i mogu se dobiti izjednacavanjem
Placa u HRD Struktura zaposlenih u %
HRD Pi
1 2
4000-5001 8.85001-6001 17.16001-8001 50.7
8001-10001 20.010001-12001 3.0
12001 -(20000 ) 0.4
UkupnoKada se sirovi podaci trpaju u razrede, onda se granicna vrijednostuvijek stavlja u veci razred ai ≤ xi < b.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Prirodne granice
U slucaju inferencijalne statistike, granice u primjeru mogu sekorigirati bez vece stete na konacan rezultat
Placa u HRD Struktura zaposlenih u %
HRD Pi
1 2
4000-5000 8.85000-6000 17.16000-8000 50.7
8000-10000 20.010000-12000 3.0
12000 -(20000 ) 0.4
Ukupno
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Prirodne granice
U slucaju inferencijalne statistike, granice u primjeru mogu sekorigirati bez vece stete na konacan rezultat
Placa u HRD Struktura zaposlenih u %
HRD Pi
1 2
4000-5000 8.85000-6000 17.16000-8000 50.7
8000-10000 20.010000-12000 3.0
12000 -(20000 ) 0.4
Ukupno
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Prirodne granice
U slucaju inferencijalne statistike, granice u primjeru mogu sekorigirati bez vece stete na konacan rezultat
Placa u HRD Struktura zaposlenih u %
HRD Pi
1 2
4000-5000 8.85000-6000 17.16000-8000 50.7
8000-10000 20.010000-12000 3.0
12000 -(20000 ) 0.4
Ukupno
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Pitanja
Za podatke iz tablice, objasnite pojmove:
Statisticki skup: pojmovna, prostorna, vremenska definicija
Populacija
Obiljezje
Modaliteti
Vrstu skale
Moguca deskriptivna statistika: histogram, poligon frekvencijei kartogram
Moguca inferencijalna statistika: srednja placa?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Pitanja
Za podatke iz tablice, objasnite pojmove:
Statisticki skup: pojmovna, prostorna, vremenska definicija
Populacija
Obiljezje
Modaliteti
Vrstu skale
Moguca deskriptivna statistika: histogram, poligon frekvencijei kartogram
Moguca inferencijalna statistika: srednja placa?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Pitanja
Za podatke iz tablice, objasnite pojmove:
Statisticki skup: pojmovna, prostorna, vremenska definicija
Populacija
Obiljezje
Modaliteti
Vrstu skale
Moguca deskriptivna statistika: histogram, poligon frekvencijei kartogram
Moguca inferencijalna statistika: srednja placa?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Pitanja
Za podatke iz tablice, objasnite pojmove:
Statisticki skup: pojmovna, prostorna, vremenska definicija
Populacija
Obiljezje
Modaliteti
Vrstu skale
Moguca deskriptivna statistika: histogram, poligon frekvencijei kartogram
Moguca inferencijalna statistika: srednja placa?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Pitanja
Za podatke iz tablice, objasnite pojmove:
Statisticki skup: pojmovna, prostorna, vremenska definicija
Populacija
Obiljezje
Modaliteti
Vrstu skale
Moguca deskriptivna statistika: histogram, poligon frekvencijei kartogram
Moguca inferencijalna statistika: srednja placa?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Pitanja
Za podatke iz tablice, objasnite pojmove:
Statisticki skup: pojmovna, prostorna, vremenska definicija
Populacija
Obiljezje
Modaliteti
Vrstu skale
Moguca deskriptivna statistika: histogram, poligon frekvencijei kartogram
Moguca inferencijalna statistika: srednja placa?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Pitanja
Za podatke iz tablice, objasnite pojmove:
Statisticki skup: pojmovna, prostorna, vremenska definicija
Populacija
Obiljezje
Modaliteti
Vrstu skale
Moguca deskriptivna statistika: histogram, poligon frekvencijei kartogram
Moguca inferencijalna statistika: srednja placa?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Pitanja
Za podatke iz tablice, objasnite pojmove:
Statisticki skup: pojmovna, prostorna, vremenska definicija
Populacija
Obiljezje
Modaliteti
Vrstu skale
Moguca deskriptivna statistika: histogram, poligon frekvencijei kartogram
Moguca inferencijalna statistika: srednja placa?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Pitanja
Za podatke iz tablice, objasnite pojmove:
Statisticki skup: pojmovna, prostorna, vremenska definicija
Populacija
Obiljezje
Modaliteti
Vrstu skale
Moguca deskriptivna statistika: histogram, poligon frekvencijei kartogram
Moguca inferencijalna statistika: srednja placa?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Prikupljanje statistickih podataka
Sekundarni podaci - statisticki ljetopisi...
Primarni podaci - promatranja
jednokratnaperiodicnatekuca
Pogreske u promatranju
sistemske - svaki podatak - ne ponistavaju seslucajna - svaki podatak - ponistavaju se medusobno
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Prikupljanje statistickih podataka
Sekundarni podaci -
statisticki ljetopisi...
Primarni podaci - promatranja
jednokratnaperiodicnatekuca
Pogreske u promatranju
sistemske - svaki podatak - ne ponistavaju seslucajna - svaki podatak - ponistavaju se medusobno
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Prikupljanje statistickih podataka
Sekundarni podaci - statisticki ljetopisi...
Primarni podaci - promatranja
jednokratnaperiodicnatekuca
Pogreske u promatranju
sistemske - svaki podatak - ne ponistavaju seslucajna - svaki podatak - ponistavaju se medusobno
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Prikupljanje statistickih podataka
Sekundarni podaci - statisticki ljetopisi...
Primarni podaci - promatranja
jednokratna
periodicnatekuca
Pogreske u promatranju
sistemske - svaki podatak - ne ponistavaju seslucajna - svaki podatak - ponistavaju se medusobno
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Prikupljanje statistickih podataka
Sekundarni podaci - statisticki ljetopisi...
Primarni podaci - promatranja
jednokratnaperiodicna
tekuca
Pogreske u promatranju
sistemske - svaki podatak - ne ponistavaju seslucajna - svaki podatak - ponistavaju se medusobno
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Prikupljanje statistickih podataka
Sekundarni podaci - statisticki ljetopisi...
Primarni podaci - promatranja
jednokratnaperiodicnatekuca
Pogreske u promatranju
sistemske - svaki podatak - ne ponistavaju seslucajna - svaki podatak - ponistavaju se medusobno
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Prikupljanje statistickih podataka
Sekundarni podaci - statisticki ljetopisi...
Primarni podaci - promatranja
jednokratnaperiodicnatekuca
Pogreske u promatranju
sistemske - svaki podatak - ne ponistavaju seslucajna - svaki podatak - ponistavaju se medusobno
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Prikupljanje statistickih podataka
Sekundarni podaci - statisticki ljetopisi...
Primarni podaci - promatranja
jednokratnaperiodicnatekuca
Pogreske u promatranju
sistemske
- svaki podatak - ne ponistavaju seslucajna - svaki podatak - ponistavaju se medusobno
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Prikupljanje statistickih podataka
Sekundarni podaci - statisticki ljetopisi...
Primarni podaci - promatranja
jednokratnaperiodicnatekuca
Pogreske u promatranju
sistemske - svaki podatak -
ne ponistavaju seslucajna - svaki podatak - ponistavaju se medusobno
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Prikupljanje statistickih podataka
Sekundarni podaci - statisticki ljetopisi...
Primarni podaci - promatranja
jednokratnaperiodicnatekuca
Pogreske u promatranju
sistemske - svaki podatak - ne ponistavaju se
slucajna - svaki podatak - ponistavaju se medusobno
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Prikupljanje statistickih podataka
Sekundarni podaci - statisticki ljetopisi...
Primarni podaci - promatranja
jednokratnaperiodicnatekuca
Pogreske u promatranju
sistemske - svaki podatak - ne ponistavaju seslucajna
- svaki podatak - ponistavaju se medusobno
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Prikupljanje statistickih podataka
Sekundarni podaci - statisticki ljetopisi...
Primarni podaci - promatranja
jednokratnaperiodicnatekuca
Pogreske u promatranju
sistemske - svaki podatak - ne ponistavaju seslucajna - svaki podatak
- ponistavaju se medusobno
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Prikupljanje statistickih podataka
Sekundarni podaci - statisticki ljetopisi...
Primarni podaci - promatranja
jednokratnaperiodicnatekuca
Pogreske u promatranju
sistemske - svaki podatak - ne ponistavaju seslucajna - svaki podatak - ponistavaju se medusobno
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Grupiranje
Metodom steam and leaf poredajte podatke o racunima kupnje(kn)
600 100 500 100 150 400 170 2000 100 400100 1300 500 100 200 250 400 500 800 700510 180 800 250 100 1500 380 2600 1000 800250 1000 1500 250 500 700 100 100 100 1500500 600 100 250 150 1000 500 1600 2000 350200 100 100 150 500 100 2000 150 1500 100
1100 400 700 300 200 2400 100 1500 600 200400 300 300 500 200 600 500 800 100 200500 800 200 300 300 800 1000 1500 1800 200200 2000 100 200 100 260 500 500 150 1000300 1400 250 200 100 200 200 300 250 1250
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Grupiranje
Metodom steam and leaf poredajte podatke o racunima kupnje(kn)
600 100 500 100 150 400 170 2000 100 400100 1300 500 100 200 250 400 500 800 700510 180 800 250 100 1500 380 2600 1000 800250 1000 1500 250 500 700 100 100 100 1500500 600 100 250 150 1000 500 1600 2000 350200 100 100 150 500 100 2000 150 1500 100
1100 400 700 300 200 2400 100 1500 600 200400 300 300 500 200 600 500 800 100 200500 800 200 300 300 800 1000 1500 1800 200200 2000 100 200 100 260 500 500 150 1000300 1400 250 200 100 200 200 300 250 1250
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Grupiranje
Metodom steam and leaf poredajte podatke o racunima kupnje(kn)
600 100 500 100 150 400 170 2000 100 400100 1300 500 100 200 250 400 500 800 700510 180 800 250 100 1500 380 2600 1000 800250 1000 1500 250 500 700 100 100 100 1500500 600 100 250 150 1000 500 1600 2000 350200 100 100 150 500 100 2000 150 1500 100
1100 400 700 300 200 2400 100 1500 600 200400 300 300 500 200 600 500 800 100 200500 800 200 300 300 800 1000 1500 1800 200200 2000 100 200 100 260 500 500 150 1000300 1400 250 200 100 200 200 300 250 1250
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Mjere centralne tendencije. Mod i medijan
Medijan je vrijednost numerickog obiljezja koje dijeli niznumerickih podataka poredanih po velicini na dva jednaka dijela.Kvartili su vrijednosti koje dijele niz numerickih podatakaporedanih po velicini na cetiri jednaka dijela.Mod je vrijednost obiljezja koje se najcesce javlja.Mod, medijan i kvartili ocitavaju se kod sirovih podataka
Zadatak
Odredite mod i medijan za sirove podatke.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Mjere centralne tendencije. Mod i medijan
Medijan je vrijednost numerickog obiljezja koje dijeli niznumerickih podataka poredanih po velicini na dva jednaka dijela.
Kvartili su vrijednosti koje dijele niz numerickih podatakaporedanih po velicini na cetiri jednaka dijela.Mod je vrijednost obiljezja koje se najcesce javlja.Mod, medijan i kvartili ocitavaju se kod sirovih podataka
Zadatak
Odredite mod i medijan za sirove podatke.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Mjere centralne tendencije. Mod i medijan
Medijan je vrijednost numerickog obiljezja koje dijeli niznumerickih podataka poredanih po velicini na dva jednaka dijela.Kvartili su vrijednosti koje dijele niz numerickih podatakaporedanih po velicini na cetiri jednaka dijela.
Mod je vrijednost obiljezja koje se najcesce javlja.Mod, medijan i kvartili ocitavaju se kod sirovih podataka
Zadatak
Odredite mod i medijan za sirove podatke.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Mjere centralne tendencije. Mod i medijan
Medijan je vrijednost numerickog obiljezja koje dijeli niznumerickih podataka poredanih po velicini na dva jednaka dijela.Kvartili su vrijednosti koje dijele niz numerickih podatakaporedanih po velicini na cetiri jednaka dijela.Mod je vrijednost obiljezja koje se najcesce javlja.
Mod, medijan i kvartili ocitavaju se kod sirovih podataka
Zadatak
Odredite mod i medijan za sirove podatke.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Mjere centralne tendencije. Mod i medijan
Medijan je vrijednost numerickog obiljezja koje dijeli niznumerickih podataka poredanih po velicini na dva jednaka dijela.Kvartili su vrijednosti koje dijele niz numerickih podatakaporedanih po velicini na cetiri jednaka dijela.Mod je vrijednost obiljezja koje se najcesce javlja.Mod, medijan i kvartili ocitavaju se kod sirovih podataka
Zadatak
Odredite mod i medijan za sirove podatke.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Mjere centralne tendencije. Mod i medijan
Medijan je vrijednost numerickog obiljezja koje dijeli niznumerickih podataka poredanih po velicini na dva jednaka dijela.Kvartili su vrijednosti koje dijele niz numerickih podatakaporedanih po velicini na cetiri jednaka dijela.Mod je vrijednost obiljezja koje se najcesce javlja.Mod, medijan i kvartili ocitavaju se kod sirovih podataka
Zadatak
Odredite mod i medijan za sirove podatke.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Grupiranje podataka numerickih nizova
Ako diskretno obiljezje ima veliki broj modaliteta, onda se onotretira kao neprekidno i svrstava se u razrede. Odredivanje broja isirine razreda individualno. Sturgerovo pravilo:
k = 1 + 3.3 · log N,
gdje je N ukupan broj podataka.
Zadatak
Svrstajte podatke u razrede s pravim granicama i izracunajtearitmeticku sredinu.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Grupiranje podataka numerickih nizova
Ako diskretno obiljezje ima veliki broj modaliteta, onda se onotretira kao neprekidno i svrstava se u razrede.
Odredivanje broja isirine razreda individualno. Sturgerovo pravilo:
k = 1 + 3.3 · log N,
gdje je N ukupan broj podataka.
Zadatak
Svrstajte podatke u razrede s pravim granicama i izracunajtearitmeticku sredinu.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Grupiranje podataka numerickih nizova
Ako diskretno obiljezje ima veliki broj modaliteta, onda se onotretira kao neprekidno i svrstava se u razrede. Odredivanje broja isirine razreda individualno.
Sturgerovo pravilo:
k = 1 + 3.3 · log N,
gdje je N ukupan broj podataka.
Zadatak
Svrstajte podatke u razrede s pravim granicama i izracunajtearitmeticku sredinu.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Grupiranje podataka numerickih nizova
Ako diskretno obiljezje ima veliki broj modaliteta, onda se onotretira kao neprekidno i svrstava se u razrede. Odredivanje broja isirine razreda individualno. Sturgerovo pravilo:
k = 1 + 3.3 · log N,
gdje je N ukupan broj podataka.
Zadatak
Svrstajte podatke u razrede s pravim granicama i izracunajtearitmeticku sredinu.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Grupiranje podataka numerickih nizova
Ako diskretno obiljezje ima veliki broj modaliteta, onda se onotretira kao neprekidno i svrstava se u razrede. Odredivanje broja isirine razreda individualno. Sturgerovo pravilo:
k = 1 + 3.3 · log N,
gdje je N ukupan broj podataka.
Zadatak
Svrstajte podatke u razrede s pravim granicama i izracunajtearitmeticku sredinu.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Grupiranje podataka numerickih nizova
Ako diskretno obiljezje ima veliki broj modaliteta, onda se onotretira kao neprekidno i svrstava se u razrede. Odredivanje broja isirine razreda individualno. Sturgerovo pravilo:
k = 1 + 3.3 · log N,
gdje je N ukupan broj podataka.
Zadatak
Svrstajte podatke u razrede s pravim granicama i izracunajtearitmeticku sredinu.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Grupiranje podataka numerickih nizova
Ako diskretno obiljezje ima veliki broj modaliteta, onda se onotretira kao neprekidno i svrstava se u razrede. Odredivanje broja isirine razreda individualno. Sturgerovo pravilo:
k = 1 + 3.3 · log N,
gdje je N ukupan broj podataka.
Zadatak
Svrstajte podatke u razrede s pravim granicama i izracunajtearitmeticku sredinu.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Osnovne vrijednosti
Apsolutna frekvencija: fi intenzitet pojavnosti∑
fi = N.
Kumulativna frekvencija: Fi , zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta Fn = N
Relativna frekvencija Pi , pi ili fir , udio u ukupnom broju
podataka: pi =fiN.
Aritmeticka sredina
x =
∑ni=1 xi fi∑ni=1 fi
=n∑
i=1
xipi .
Statisticki niz: parovi modalitet-frekvencija
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Osnovne vrijednosti
Apsolutna frekvencija:
fi intenzitet pojavnosti∑
fi = N.
Kumulativna frekvencija: Fi , zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta Fn = N
Relativna frekvencija Pi , pi ili fir , udio u ukupnom broju
podataka: pi =fiN.
Aritmeticka sredina
x =
∑ni=1 xi fi∑ni=1 fi
=n∑
i=1
xipi .
Statisticki niz: parovi modalitet-frekvencija
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Osnovne vrijednosti
Apsolutna frekvencija: fi
intenzitet pojavnosti∑
fi = N.
Kumulativna frekvencija: Fi , zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta Fn = N
Relativna frekvencija Pi , pi ili fir , udio u ukupnom broju
podataka: pi =fiN.
Aritmeticka sredina
x =
∑ni=1 xi fi∑ni=1 fi
=n∑
i=1
xipi .
Statisticki niz: parovi modalitet-frekvencija
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Osnovne vrijednosti
Apsolutna frekvencija: fi intenzitet pojavnosti
∑fi = N.
Kumulativna frekvencija: Fi , zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta Fn = N
Relativna frekvencija Pi , pi ili fir , udio u ukupnom broju
podataka: pi =fiN.
Aritmeticka sredina
x =
∑ni=1 xi fi∑ni=1 fi
=n∑
i=1
xipi .
Statisticki niz: parovi modalitet-frekvencija
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Osnovne vrijednosti
Apsolutna frekvencija: fi intenzitet pojavnosti∑
fi = N.
Kumulativna frekvencija: Fi , zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta Fn = N
Relativna frekvencija Pi , pi ili fir , udio u ukupnom broju
podataka: pi =fiN.
Aritmeticka sredina
x =
∑ni=1 xi fi∑ni=1 fi
=n∑
i=1
xipi .
Statisticki niz: parovi modalitet-frekvencija
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Osnovne vrijednosti
Apsolutna frekvencija: fi intenzitet pojavnosti∑
fi = N.
Kumulativna frekvencija:
Fi , zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta Fn = N
Relativna frekvencija Pi , pi ili fir , udio u ukupnom broju
podataka: pi =fiN.
Aritmeticka sredina
x =
∑ni=1 xi fi∑ni=1 fi
=n∑
i=1
xipi .
Statisticki niz: parovi modalitet-frekvencija
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Osnovne vrijednosti
Apsolutna frekvencija: fi intenzitet pojavnosti∑
fi = N.
Kumulativna frekvencija: Fi ,
zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta Fn = N
Relativna frekvencija Pi , pi ili fir , udio u ukupnom broju
podataka: pi =fiN.
Aritmeticka sredina
x =
∑ni=1 xi fi∑ni=1 fi
=n∑
i=1
xipi .
Statisticki niz: parovi modalitet-frekvencija
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Osnovne vrijednosti
Apsolutna frekvencija: fi intenzitet pojavnosti∑
fi = N.
Kumulativna frekvencija: Fi , zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta
Fn = N
Relativna frekvencija Pi , pi ili fir , udio u ukupnom broju
podataka: pi =fiN.
Aritmeticka sredina
x =
∑ni=1 xi fi∑ni=1 fi
=n∑
i=1
xipi .
Statisticki niz: parovi modalitet-frekvencija
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Osnovne vrijednosti
Apsolutna frekvencija: fi intenzitet pojavnosti∑
fi = N.
Kumulativna frekvencija: Fi , zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta Fn = N
Relativna frekvencija Pi , pi ili fir , udio u ukupnom broju
podataka: pi =fiN.
Aritmeticka sredina
x =
∑ni=1 xi fi∑ni=1 fi
=n∑
i=1
xipi .
Statisticki niz: parovi modalitet-frekvencija
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Osnovne vrijednosti
Apsolutna frekvencija: fi intenzitet pojavnosti∑
fi = N.
Kumulativna frekvencija: Fi , zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta Fn = N
Relativna frekvencija
Pi , pi ili fir , udio u ukupnom broju
podataka: pi =fiN.
Aritmeticka sredina
x =
∑ni=1 xi fi∑ni=1 fi
=n∑
i=1
xipi .
Statisticki niz: parovi modalitet-frekvencija
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Osnovne vrijednosti
Apsolutna frekvencija: fi intenzitet pojavnosti∑
fi = N.
Kumulativna frekvencija: Fi , zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta Fn = N
Relativna frekvencija Pi , pi ili fir ,
udio u ukupnom broju
podataka: pi =fiN.
Aritmeticka sredina
x =
∑ni=1 xi fi∑ni=1 fi
=n∑
i=1
xipi .
Statisticki niz: parovi modalitet-frekvencija
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Osnovne vrijednosti
Apsolutna frekvencija: fi intenzitet pojavnosti∑
fi = N.
Kumulativna frekvencija: Fi , zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta Fn = N
Relativna frekvencija Pi , pi ili fir , udio u ukupnom broju
podataka:
pi =fiN.
Aritmeticka sredina
x =
∑ni=1 xi fi∑ni=1 fi
=n∑
i=1
xipi .
Statisticki niz: parovi modalitet-frekvencija
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Osnovne vrijednosti
Apsolutna frekvencija: fi intenzitet pojavnosti∑
fi = N.
Kumulativna frekvencija: Fi , zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta Fn = N
Relativna frekvencija Pi , pi ili fir , udio u ukupnom broju
podataka: pi =fiN.
Aritmeticka sredina
x =
∑ni=1 xi fi∑ni=1 fi
=n∑
i=1
xipi .
Statisticki niz: parovi modalitet-frekvencija
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Osnovne vrijednosti
Apsolutna frekvencija: fi intenzitet pojavnosti∑
fi = N.
Kumulativna frekvencija: Fi , zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta Fn = N
Relativna frekvencija Pi , pi ili fir , udio u ukupnom broju
podataka: pi =fiN.
Aritmeticka sredina
x =
∑ni=1 xi fi∑ni=1 fi
=n∑
i=1
xipi .
Statisticki niz: parovi modalitet-frekvencija
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Osnovne vrijednosti
Apsolutna frekvencija: fi intenzitet pojavnosti∑
fi = N.
Kumulativna frekvencija: Fi , zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta Fn = N
Relativna frekvencija Pi , pi ili fir , udio u ukupnom broju
podataka: pi =fiN.
Aritmeticka sredina
x =
∑ni=1 xi fi∑ni=1 fi
=n∑
i=1
xipi .
Statisticki niz: parovi modalitet-frekvencija
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Osnovne vrijednosti
Apsolutna frekvencija: fi intenzitet pojavnosti∑
fi = N.
Kumulativna frekvencija: Fi , zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta Fn = N
Relativna frekvencija Pi , pi ili fir , udio u ukupnom broju
podataka: pi =fiN.
Aritmeticka sredina
x =
∑ni=1 xi fi∑ni=1 fi
=n∑
i=1
xipi .
Statisticki niz:
parovi modalitet-frekvencija
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Osnovne vrijednosti
Apsolutna frekvencija: fi intenzitet pojavnosti∑
fi = N.
Kumulativna frekvencija: Fi , zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta Fn = N
Relativna frekvencija Pi , pi ili fir , udio u ukupnom broju
podataka: pi =fiN.
Aritmeticka sredina
x =
∑ni=1 xi fi∑ni=1 fi
=n∑
i=1
xipi .
Statisticki niz: parovi
modalitet-frekvencija
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Osnovne vrijednosti
Apsolutna frekvencija: fi intenzitet pojavnosti∑
fi = N.
Kumulativna frekvencija: Fi , zbraja pojavnosti do i-togmodaliteta Fn = N
Relativna frekvencija Pi , pi ili fir , udio u ukupnom broju
podataka: pi =fiN.
Aritmeticka sredina
x =
∑ni=1 xi fi∑ni=1 fi
=n∑
i=1
xipi .
Statisticki niz: parovi modalitet-frekvencija
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer
Primjer
U mjesecnom statistickom izvjescu DSZ, br. 4, 2001, na str. 92.nalaze se podaci o mirovinama u Republici Hrvatskoj, stanjepotkraj travnja 2001. Podaci se odnose na umirovljenike bezzastitnog dodatka. Mirovina u kn, broj korisnika u (000),
Mirovina Broj korisnika Udio Kumulativno
xi fi pi Fi
(300)-500 95.4500-1000 215.3
1000-1500 254.31500-2000 219.32000-4000 180.44000-8000 12.4
UkupnoPopunite tablicu. Izracunajte prosjecnu mirovinu.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer
Primjer
U mjesecnom statistickom izvjescu DSZ, br. 4, 2001, na str. 92.nalaze se podaci o mirovinama u Republici Hrvatskoj, stanjepotkraj travnja 2001. Podaci se odnose na umirovljenike bezzastitnog dodatka. Mirovina u kn, broj korisnika u (000),
Mirovina Broj korisnika Udio Kumulativno
xi fi pi Fi
(300)-500 95.4500-1000 215.3
1000-1500 254.31500-2000 219.32000-4000 180.44000-8000 12.4
UkupnoPopunite tablicu. Izracunajte prosjecnu mirovinu.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer
Primjer
U mjesecnom statistickom izvjescu DSZ, br. 4, 2001, na str. 92.nalaze se podaci o mirovinama u Republici Hrvatskoj, stanjepotkraj travnja 2001. Podaci se odnose na umirovljenike bezzastitnog dodatka. Mirovina u kn, broj korisnika u (000),
Mirovina Broj korisnika Udio Kumulativno
xi fi pi Fi
(300)-500 95.4500-1000 215.3
1000-1500 254.31500-2000 219.32000-4000 180.44000-8000 12.4
Ukupno
Popunite tablicu. Izracunajte prosjecnu mirovinu.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer
Primjer
U mjesecnom statistickom izvjescu DSZ, br. 4, 2001, na str. 92.nalaze se podaci o mirovinama u Republici Hrvatskoj, stanjepotkraj travnja 2001. Podaci se odnose na umirovljenike bezzastitnog dodatka. Mirovina u kn, broj korisnika u (000),
Mirovina Broj korisnika Udio Kumulativno
xi fi pi Fi
(300)-500 95.4500-1000 215.3
1000-1500 254.31500-2000 219.32000-4000 180.44000-8000 12.4
UkupnoPopunite tablicu. Izracunajte prosjecnu mirovinu.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Geometrijska sredina
r1, r2, . . . , rN > 0Geometrijska sredina:
xG = N√
r1 · r2 · · · rN .
Tablica 2. zaposleni gradani Republike Hrvatske po godinama utisucama.
godina 1995 1996 1997 1998 1999
zaposleni 1818 2033 2377 2681 3055izvor: statisticki ljetopis 2000, str 133.Odredite prosjecan rast broja zaposlenih u navedenim godinama.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Geometrijska sredina
r1, r2, . . . , rN > 0
Geometrijska sredina:
xG = N√
r1 · r2 · · · rN .
Tablica 2. zaposleni gradani Republike Hrvatske po godinama utisucama.
godina 1995 1996 1997 1998 1999
zaposleni 1818 2033 2377 2681 3055izvor: statisticki ljetopis 2000, str 133.Odredite prosjecan rast broja zaposlenih u navedenim godinama.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Geometrijska sredina
r1, r2, . . . , rN > 0Geometrijska sredina:
xG = N√
r1 · r2 · · · rN .
Tablica 2. zaposleni gradani Republike Hrvatske po godinama utisucama.
godina 1995 1996 1997 1998 1999
zaposleni 1818 2033 2377 2681 3055izvor: statisticki ljetopis 2000, str 133.Odredite prosjecan rast broja zaposlenih u navedenim godinama.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Geometrijska sredina
r1, r2, . . . , rN > 0Geometrijska sredina:
xG = N√
r1 · r2 · · · rN .
Tablica 2. zaposleni gradani Republike Hrvatske po godinama utisucama.
godina 1995 1996 1997 1998 1999
zaposleni 1818 2033 2377 2681 3055izvor: statisticki ljetopis 2000, str 133.Odredite prosjecan rast broja zaposlenih u navedenim godinama.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Geometrijska sredina
r1, r2, . . . , rN > 0Geometrijska sredina:
xG = N√
r1 · r2 · · · rN .
Tablica 2. zaposleni gradani Republike Hrvatske po godinama utisucama.
godina 1995 1996 1997 1998 1999
zaposleni 1818 2033 2377 2681 3055izvor: statisticki ljetopis 2000, str 133.
Odredite prosjecan rast broja zaposlenih u navedenim godinama.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Geometrijska sredina
r1, r2, . . . , rN > 0Geometrijska sredina:
xG = N√
r1 · r2 · · · rN .
Tablica 2. zaposleni gradani Republike Hrvatske po godinama utisucama.
godina 1995 1996 1997 1998 1999
zaposleni 1818 2033 2377 2681 3055izvor: statisticki ljetopis 2000, str 133.Odredite prosjecan rast broja zaposlenih u navedenim godinama.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ponos i predrasude
Tijek broja nezaposlenih po mjesecima u tisucamamjesec I II III IV V VI
nezaposleni 254 186 203 316 196 198izvor: nepouzdanDa li u prosjeku broj nezaposlenih raste ili pada?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ponos i predrasude
Tijek broja nezaposlenih po mjesecima u tisucamamjesec I II III IV V VI
nezaposleni 254 186 203 316 196 198izvor: nepouzdan
Da li u prosjeku broj nezaposlenih raste ili pada?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ponos i predrasude
Tijek broja nezaposlenih po mjesecima u tisucamamjesec I II III IV V VI
nezaposleni 254 186 203 316 196 198izvor: nepouzdanDa li u prosjeku broj nezaposlenih raste ili pada?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Harmonijska sredina
x1, x2, . . . , xN 6= 0Harmonijska sredina:
xH =N
1x1
+ 1x2
+ · · ·+ 1xN
.
Zadatak
Do Splita smo vozili u prosjeku 160 km/h, a natrag 100 km/h.Kolika je bila prosjecna brzina tog putovanja?
Zadatak
Andrija iskopa kanal za kanalizaciju za 15 dana, Blaz za 20, dokCvetku treba 25 dana. Kolika im je prosjecna brzina kopanja?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Harmonijska sredina
x1, x2, . . . , xN 6= 0
Harmonijska sredina:
xH =N
1x1
+ 1x2
+ · · ·+ 1xN
.
Zadatak
Do Splita smo vozili u prosjeku 160 km/h, a natrag 100 km/h.Kolika je bila prosjecna brzina tog putovanja?
Zadatak
Andrija iskopa kanal za kanalizaciju za 15 dana, Blaz za 20, dokCvetku treba 25 dana. Kolika im je prosjecna brzina kopanja?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Harmonijska sredina
x1, x2, . . . , xN 6= 0Harmonijska sredina:
xH =N
1x1
+ 1x2
+ · · ·+ 1xN
.
Zadatak
Do Splita smo vozili u prosjeku 160 km/h, a natrag 100 km/h.Kolika je bila prosjecna brzina tog putovanja?
Zadatak
Andrija iskopa kanal za kanalizaciju za 15 dana, Blaz za 20, dokCvetku treba 25 dana. Kolika im je prosjecna brzina kopanja?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Harmonijska sredina
x1, x2, . . . , xN 6= 0Harmonijska sredina:
xH =N
1x1
+ 1x2
+ · · ·+ 1xN
.
Zadatak
Do Splita smo vozili u prosjeku 160 km/h, a natrag 100 km/h.Kolika je bila prosjecna brzina tog putovanja?
Zadatak
Andrija iskopa kanal za kanalizaciju za 15 dana, Blaz za 20, dokCvetku treba 25 dana. Kolika im je prosjecna brzina kopanja?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Harmonijska sredina
x1, x2, . . . , xN 6= 0Harmonijska sredina:
xH =N
1x1
+ 1x2
+ · · ·+ 1xN
.
Zadatak
Do Splita smo vozili u prosjeku 160 km/h, a natrag 100 km/h.Kolika je bila prosjecna brzina tog putovanja?
Zadatak
Andrija iskopa kanal za kanalizaciju za 15 dana, Blaz za 20, dokCvetku treba 25 dana. Kolika im je prosjecna brzina kopanja?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Harmonijska sredina
x1, x2, . . . , xN 6= 0Harmonijska sredina:
xH =N
1x1
+ 1x2
+ · · ·+ 1xN
.
Zadatak
Do Splita smo vozili u prosjeku 160 km/h, a natrag 100 km/h.Kolika je bila prosjecna brzina tog putovanja?
Zadatak
Andrija iskopa kanal za kanalizaciju za 15 dana, Blaz za 20, dokCvetku treba 25 dana. Kolika im je prosjecna brzina kopanja?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Mjere rasprsenja. Raspon varijacije
Raspon varijacije je razlika najvece i najmanje vrijednostnumerickog obiljezja u numerickom nizu.
Zadatak
Potrosnja goriva biljezena na 30 kamiona voznog parka dana je utablici:
14 22 15 21 17 32 25 23 33 3112 13 12 31 12 13 14 25 24 1322 12 14 21 13 23 22 13 12 25
Odredite raspon varijacije.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Mjere rasprsenja. Raspon varijacije
Raspon varijacije je razlika najvece i najmanje vrijednostnumerickog obiljezja u numerickom nizu.
Zadatak
Potrosnja goriva biljezena na 30 kamiona voznog parka dana je utablici:
14 22 15 21 17 32 25 23 33 3112 13 12 31 12 13 14 25 24 1322 12 14 21 13 23 22 13 12 25
Odredite raspon varijacije.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Mjere rasprsenja. Raspon varijacije
Raspon varijacije je razlika najvece i najmanje vrijednostnumerickog obiljezja u numerickom nizu.
Zadatak
Potrosnja goriva biljezena na 30 kamiona voznog parka dana je utablici:
14 22 15 21 17 32 25 23 33 3112 13 12 31 12 13 14 25 24 1322 12 14 21 13 23 22 13 12 25
Odredite raspon varijacije.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Varijanca, standardna devijacija, koeficijent varijacije
Varijanca: σ2 =1
N
k∑i=1
(xi − x)2fi =1
N
k∑i=1
x2i fi − x2. Koeficijent
varijacije ρ =σ
x.
Zadatak
Dani su podaci o broju prekrsaja koje su u mjesec dana evidentiralipripadnici patrole prometne policije:
21 25 35 36 39 31 32 31 27 3235 32 24 35 26 29 24 35 26 2834 25 27 40 37 41 41 24 23 39
.
Odredite standardnu devijaciju i koeficijent varijacije statistickogskupa.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Varijanca, standardna devijacija, koeficijent varijacije
Varijanca: σ2 =1
N
k∑i=1
(xi − x)2fi =1
N
k∑i=1
x2i fi − x2. Koeficijent
varijacije ρ =σ
x.
Zadatak
Dani su podaci o broju prekrsaja koje su u mjesec dana evidentiralipripadnici patrole prometne policije:
21 25 35 36 39 31 32 31 27 3235 32 24 35 26 29 24 35 26 2834 25 27 40 37 41 41 24 23 39
.
Odredite standardnu devijaciju i koeficijent varijacije statistickogskupa.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Varijanca, standardna devijacija, koeficijent varijacije
Varijanca: σ2 =1
N
k∑i=1
(xi − x)2fi =1
N
k∑i=1
x2i fi − x2. Koeficijent
varijacije ρ =σ
x.
Zadatak
Dani su podaci o broju prekrsaja koje su u mjesec dana evidentiralipripadnici patrole prometne policije:
21 25 35 36 39 31 32 31 27 3235 32 24 35 26 29 24 35 26 2834 25 27 40 37 41 41 24 23 39
.
Odredite standardnu devijaciju i koeficijent varijacije statistickogskupa.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Varijanca, standardna devijacija, koeficijent varijacije
Varijanca: σ2 =1
N
k∑i=1
(xi − x)2fi =1
N
k∑i=1
x2i fi − x2. Koeficijent
varijacije ρ =σ
x.
Zadatak
Dani su podaci o broju prekrsaja koje su u mjesec dana evidentiralipripadnici patrole prometne policije:
21 25 35 36 39 31 32 31 27 3235 32 24 35 26 29 24 35 26 2834 25 27 40 37 41 41 24 23 39
.
Odredite standardnu devijaciju i koeficijent varijacije statistickogskupa.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Momenti oko nule
Neka je N broj podataka.
1 Aritmeticka sredina: x =
N∑i=1
xi fi
N.
2 Aritmeticka sredina kvadrata: (x2) =
N∑i=1
x2i fi
N.
3 Aritmeticka sredina kubova: (x3) =
N∑i=1
x3i fi
N.
4 Aritmeticka sredina cetvrtih potencija: (x2) =
N∑i=1
x4i fi
N.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Momenti oko nule
Neka je N broj podataka.
1 Aritmeticka sredina: x =
N∑i=1
xi fi
N.
2 Aritmeticka sredina kvadrata: (x2) =
N∑i=1
x2i fi
N.
3 Aritmeticka sredina kubova: (x3) =
N∑i=1
x3i fi
N.
4 Aritmeticka sredina cetvrtih potencija: (x2) =
N∑i=1
x4i fi
N.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Momenti oko nule
Neka je N broj podataka.
1 Aritmeticka sredina: x =
N∑i=1
xi fi
N.
2 Aritmeticka sredina kvadrata: (x2) =
N∑i=1
x2i fi
N.
3 Aritmeticka sredina kubova: (x3) =
N∑i=1
x3i fi
N.
4 Aritmeticka sredina cetvrtih potencija: (x2) =
N∑i=1
x4i fi
N.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Momenti oko nule
Neka je N broj podataka.
1 Aritmeticka sredina: x =
N∑i=1
xi fi
N.
2 Aritmeticka sredina kvadrata: (x2) =
N∑i=1
x2i fi
N.
3 Aritmeticka sredina kubova: (x3) =
N∑i=1
x3i fi
N.
4 Aritmeticka sredina cetvrtih potencija: (x2) =
N∑i=1
x4i fi
N.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Momenti oko nule
Neka je N broj podataka.
1 Aritmeticka sredina: x =
N∑i=1
xi fi
N.
2 Aritmeticka sredina kvadrata: (x2) =
N∑i=1
x2i fi
N.
3 Aritmeticka sredina kubova: (x3) =
N∑i=1
x3i fi
N.
4 Aritmeticka sredina cetvrtih potencija: (x2) =
N∑i=1
x4i fi
N.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Momenti oko nule
Neka je N broj podataka.
1 Aritmeticka sredina: x =
N∑i=1
xi fi
N.
2 Aritmeticka sredina kvadrata: (x2) =
N∑i=1
x2i fi
N.
3 Aritmeticka sredina kubova: (x3) =
N∑i=1
x3i fi
N.
4 Aritmeticka sredina cetvrtih potencija: (x2) =
N∑i=1
x4i fi
N.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Mjere oblika
Centralni moment r -tog reda µr = 1N
∑ki=1(xi − x)r fi
Centralni moment drugog reda µ2 = σ2 = (x2)− (x)2
Centralni moment treceg reda µ3 = (x3)− 3(x2)(x) + 2(x)3
Centralni moment cetvrtog redaµ4 = (x4)− 4(x3)(x) + 6(x2)(x)2 − 3(x)4
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Mjere oblika
Centralni moment r -tog reda µr = 1N
∑ki=1(xi − x)r fi
Centralni moment drugog reda µ2 = σ2 = (x2)− (x)2
Centralni moment treceg reda µ3 = (x3)− 3(x2)(x) + 2(x)3
Centralni moment cetvrtog redaµ4 = (x4)− 4(x3)(x) + 6(x2)(x)2 − 3(x)4
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Mjere oblika
Centralni moment r -tog reda µr = 1N
∑ki=1(xi − x)r fi
Centralni moment drugog reda µ2 = σ2 = (x2)− (x)2
Centralni moment treceg reda µ3 = (x3)− 3(x2)(x) + 2(x)3
Centralni moment cetvrtog redaµ4 = (x4)− 4(x3)(x) + 6(x2)(x)2 − 3(x)4
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Mjere oblika
Centralni moment r -tog reda µr = 1N
∑ki=1(xi − x)r fi
Centralni moment drugog reda µ2 = σ2 = (x2)− (x)2
Centralni moment treceg reda µ3 = (x3)− 3(x2)(x) + 2(x)3
Centralni moment cetvrtog redaµ4 = (x4)− 4(x3)(x) + 6(x2)(x)2 − 3(x)4
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Mjere oblika
Centralni moment r -tog reda µr = 1N
∑ki=1(xi − x)r fi
Centralni moment drugog reda µ2 = σ2 = (x2)− (x)2
Centralni moment treceg reda µ3 = (x3)− 3(x2)(x) + 2(x)3
Centralni moment cetvrtog redaµ4 = (x4)− 4(x3)(x) + 6(x2)(x)2 − 3(x)4
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Koeficijent asimetrije
Racuna se po formuli γ =µ3
σ3.
Zadatak
Statisticki skup cini 30 studenata koji su na izvanrednom rokupolucili slijedeci uspjeh:
4 2 5 1 1 2 5 3 3 12 3 2 1 2 3 4 5 4 32 2 4 1 3 3 2 3 2 5
Odredite koeficijent asimetrije.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Koeficijent asimetrije
Racuna se po formuli γ =µ3
σ3.
Zadatak
Statisticki skup cini 30 studenata koji su na izvanrednom rokupolucili slijedeci uspjeh:
4 2 5 1 1 2 5 3 3 12 3 2 1 2 3 4 5 4 32 2 4 1 3 3 2 3 2 5
Odredite koeficijent asimetrije.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Koeficijent asimetrije
Racuna se po formuli γ =µ3
σ3.
Zadatak
Statisticki skup cini 30 studenata koji su na izvanrednom rokupolucili slijedeci uspjeh:
4 2 5 1 1 2 5 3 3 12 3 2 1 2 3 4 5 4 32 2 4 1 3 3 2 3 2 5
Odredite koeficijent asimetrije.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Koeficijent asimetrije
Racuna se po formuli γ =µ3
σ3.
Zadatak
Statisticki skup cini 30 studenata koji su na izvanrednom rokupolucili slijedeci uspjeh:
4 2 5 1 1 2 5 3 3 12 3 2 1 2 3 4 5 4 32 2 4 1 3 3 2 3 2 5
Odredite koeficijent asimetrije.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Koeficijent spljostenosti
Ili eksces: ε =µ4
σ4− 3.
Zadatak
Kontrolor pregledava sjedala u autobusima i zapisuje broj ostecenihsjedala u svakom:
0 2 1 0 1 3 4 2 3 11 0 0 1 4 3 3 2 1 11 2 2 1 0 4 1 0 1 3
Izracunajte koeficijent spljostenosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Koeficijent spljostenosti
Ili eksces: ε =µ4
σ4− 3.
Zadatak
Kontrolor pregledava sjedala u autobusima i zapisuje broj ostecenihsjedala u svakom:
0 2 1 0 1 3 4 2 3 11 0 0 1 4 3 3 2 1 11 2 2 1 0 4 1 0 1 3
Izracunajte koeficijent spljostenosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Koeficijent spljostenosti
Ili eksces: ε =µ4
σ4− 3.
Zadatak
Kontrolor pregledava sjedala u autobusima i zapisuje broj ostecenihsjedala u svakom:
0 2 1 0 1 3 4 2 3 11 0 0 1 4 3 3 2 1 11 2 2 1 0 4 1 0 1 3
Izracunajte koeficijent spljostenosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Koeficijent spljostenosti
Ili eksces: ε =µ4
σ4− 3.
Zadatak
Kontrolor pregledava sjedala u autobusima i zapisuje broj ostecenihsjedala u svakom:
0 2 1 0 1 3 4 2 3 11 0 0 1 4 3 3 2 1 11 2 2 1 0 4 1 0 1 3
Izracunajte koeficijent spljostenosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uvod u teoriju uzoraka
1 Kod uzorka od n podataka, svaki je podatak odabran slucajnoi nezavisno iz populacije: (X1,X2, . . . ,Xn)
2 Svaka slucajna varijabla ima isto (nepoznato) matematickoocekivanje µ
3 Aritmeticka sredina uzorka X =X1 + X2 + · · ·+ Xn
novisi o
uzorku, ali je E (X ) = µ.
4 Svaka slucajna varijabla ima istu (nepoznatu) varijancu σ
5 Varijanca uzorka slucajnih varijabli X1,X2, . . . ,Xn:
S2 =1
n − 1
n∑i=1
(Xi − X
)2.
6 Veza varijance uzorka S2 i varijance statistickog skupa:
S2 =n
n − 1σ2.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uvod u teoriju uzoraka
1 Kod uzorka od n podataka, svaki je podatak odabran slucajnoi nezavisno iz populacije: (X1,X2, . . . ,Xn)
2 Svaka slucajna varijabla ima isto (nepoznato) matematickoocekivanje µ
3 Aritmeticka sredina uzorka X =X1 + X2 + · · ·+ Xn
novisi o
uzorku, ali je E (X ) = µ.
4 Svaka slucajna varijabla ima istu (nepoznatu) varijancu σ
5 Varijanca uzorka slucajnih varijabli X1,X2, . . . ,Xn:
S2 =1
n − 1
n∑i=1
(Xi − X
)2.
6 Veza varijance uzorka S2 i varijance statistickog skupa:
S2 =n
n − 1σ2.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uvod u teoriju uzoraka
1 Kod uzorka od n podataka, svaki je podatak odabran slucajnoi nezavisno iz populacije: (X1,X2, . . . ,Xn)
2 Svaka slucajna varijabla ima isto (nepoznato) matematickoocekivanje µ
3 Aritmeticka sredina uzorka X =X1 + X2 + · · ·+ Xn
novisi o
uzorku, ali je E (X ) = µ.
4 Svaka slucajna varijabla ima istu (nepoznatu) varijancu σ
5 Varijanca uzorka slucajnih varijabli X1,X2, . . . ,Xn:
S2 =1
n − 1
n∑i=1
(Xi − X
)2.
6 Veza varijance uzorka S2 i varijance statistickog skupa:
S2 =n
n − 1σ2.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uvod u teoriju uzoraka
1 Kod uzorka od n podataka, svaki je podatak odabran slucajnoi nezavisno iz populacije: (X1,X2, . . . ,Xn)
2 Svaka slucajna varijabla ima isto (nepoznato) matematickoocekivanje µ
3 Aritmeticka sredina uzorka X =X1 + X2 + · · ·+ Xn
novisi o
uzorku, ali je E (X ) = µ.
4 Svaka slucajna varijabla ima istu (nepoznatu) varijancu σ
5 Varijanca uzorka slucajnih varijabli X1,X2, . . . ,Xn:
S2 =1
n − 1
n∑i=1
(Xi − X
)2.
6 Veza varijance uzorka S2 i varijance statistickog skupa:
S2 =n
n − 1σ2.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uvod u teoriju uzoraka
1 Kod uzorka od n podataka, svaki je podatak odabran slucajnoi nezavisno iz populacije: (X1,X2, . . . ,Xn)
2 Svaka slucajna varijabla ima isto (nepoznato) matematickoocekivanje µ
3 Aritmeticka sredina uzorka X =X1 + X2 + · · ·+ Xn
novisi o
uzorku, ali je E (X ) = µ.
4 Svaka slucajna varijabla ima istu (nepoznatu) varijancu σ
5 Varijanca uzorka slucajnih varijabli X1,X2, . . . ,Xn:
S2 =1
n − 1
n∑i=1
(Xi − X
)2.
6 Veza varijance uzorka S2 i varijance statistickog skupa:
S2 =n
n − 1σ2.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uvod u teoriju uzoraka
1 Kod uzorka od n podataka, svaki je podatak odabran slucajnoi nezavisno iz populacije: (X1,X2, . . . ,Xn)
2 Svaka slucajna varijabla ima isto (nepoznato) matematickoocekivanje µ
3 Aritmeticka sredina uzorka X =X1 + X2 + · · ·+ Xn
novisi o
uzorku, ali je E (X ) = µ.
4 Svaka slucajna varijabla ima istu (nepoznatu) varijancu σ
5 Varijanca uzorka slucajnih varijabli X1,X2, . . . ,Xn:
S2 =1
n − 1
n∑i=1
(Xi − X
)2.
6 Veza varijance uzorka S2 i varijance statistickog skupa:
S2 =n
n − 1σ2.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uvod u teoriju uzoraka
1 Kod uzorka od n podataka, svaki je podatak odabran slucajnoi nezavisno iz populacije: (X1,X2, . . . ,Xn)
2 Svaka slucajna varijabla ima isto (nepoznato) matematickoocekivanje µ
3 Aritmeticka sredina uzorka X =X1 + X2 + · · ·+ Xn
novisi o
uzorku, ali je E (X ) = µ.
4 Svaka slucajna varijabla ima istu (nepoznatu) varijancu σ
5 Varijanca uzorka slucajnih varijabli X1,X2, . . . ,Xn:
S2 =1
n − 1
n∑i=1
(Xi − X
)2.
6 Veza varijance uzorka S2 i varijance statistickog skupa:
S2 =n
n − 1σ2.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Uvod u teoriju uzoraka
1 Kod uzorka od n podataka, svaki je podatak odabran slucajnoi nezavisno iz populacije: (X1,X2, . . . ,Xn)
2 Svaka slucajna varijabla ima isto (nepoznato) matematickoocekivanje µ
3 Aritmeticka sredina uzorka X =X1 + X2 + · · ·+ Xn
novisi o
uzorku, ali je E (X ) = µ.
4 Svaka slucajna varijabla ima istu (nepoznatu) varijancu σ
5 Varijanca uzorka slucajnih varijabli X1,X2, . . . ,Xn:
S2 =1
n − 1
n∑i=1
(Xi − X
)2.
6 Veza varijance uzorka S2 i varijance statistickog skupa:
S2 =n
n − 1σ2.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Statisticka procjena aritmeticke sredine
Uzorak treba imati barem 30 elemenata populacije.
1 Varijanca aritmeticke sredine
V (X ) = V
(X1 + X2 + · · ·+ Xn
n
)=
V (X1) + V (X2) + · · ·+ V (Xn)
n2=
nσ2
n2≈ S2
n.
2 VarijablaX − µ
S√n
ima standardnu normalnu razdiobu.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Statisticka procjena aritmeticke sredine
Uzorak treba imati barem 30 elemenata populacije.
1 Varijanca aritmeticke sredine
V (X ) = V
(X1 + X2 + · · ·+ Xn
n
)=
V (X1) + V (X2) + · · ·+ V (Xn)
n2=
nσ2
n2≈ S2
n.
2 VarijablaX − µ
S√n
ima standardnu normalnu razdiobu.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Statisticka procjena aritmeticke sredine
Uzorak treba imati barem 30 elemenata populacije.
1 Varijanca aritmeticke sredine
V (X ) = V
(X1 + X2 + · · ·+ Xn
n
)=
V (X1) + V (X2) + · · ·+ V (Xn)
n2=
nσ2
n2≈ S2
n.
2 VarijablaX − µ
S√n
ima standardnu normalnu razdiobu.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Statisticka procjena aritmeticke sredine
Uzorak treba imati barem 30 elemenata populacije.
1 Varijanca aritmeticke sredine
V (X ) = V
(X1 + X2 + · · ·+ Xn
n
)=
V (X1) + V (X2) + · · ·+ V (Xn)
n2=
nσ2
n2≈ S2
n.
2 VarijablaX − µ
S√n
ima standardnu normalnu razdiobu.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Statisticka procjena aritmeticke sredine
Uzorak treba imati barem 30 elemenata populacije.
1 Varijanca aritmeticke sredine
V (X ) = V
(X1 + X2 + · · ·+ Xn
n
)=
V (X1) + V (X2) + · · ·+ V (Xn)
n2=
nσ2
n2≈ S2
n.
2 VarijablaX − µ
S√n
ima standardnu normalnu razdiobu.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Statisticka procjena aritmeticke sredine
Uzorak treba imati barem 30 elemenata populacije.
1 Varijanca aritmeticke sredine
V (X ) = V
(X1 + X2 + · · ·+ Xn
n
)=
V (X1) + V (X2) + · · ·+ V (Xn)
n2=
nσ2
n2≈ S2
n.
2 VarijablaX − µ
S√n
ima standardnu normalnu razdiobu.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer
Primjer
Duljina putovanja na posao izmjerena na 100 gradana iznosila je15± 2 minute. Izracunajte interval duljine moguceg putovanja naposao koji vrijedi u 95% slucajeva.
Rijesiti jednadzbu c =?
P(X − c < µ < X + c) = 95%
P(−c < µ− X < c
)= 0.95
P
(− c
σ√n
<µ− X
σ√n
<cσ√n
)= 0.95
Φ
(cσ√n
)− Φ
(− c
σ√n
)= 0.95
D
(cσ√n
)= 0.95
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer
Primjer
Duljina putovanja na posao izmjerena na 100 gradana iznosila je15± 2 minute. Izracunajte interval duljine moguceg putovanja naposao koji vrijedi u 95% slucajeva.
Rijesiti jednadzbu c =?
P(X − c < µ < X + c) = 95%
P(−c < µ− X < c
)= 0.95
P
(− c
σ√n
<µ− X
σ√n
<cσ√n
)= 0.95
Φ
(cσ√n
)− Φ
(− c
σ√n
)= 0.95
D
(cσ√n
)= 0.95
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer
Primjer
Duljina putovanja na posao izmjerena na 100 gradana iznosila je15± 2 minute. Izracunajte interval duljine moguceg putovanja naposao koji vrijedi u 95% slucajeva.
Rijesiti jednadzbu c =?
P(X − c < µ < X + c) = 95%
P(−c < µ− X < c
)= 0.95
P
(− c
σ√n
<µ− X
σ√n
<cσ√n
)= 0.95
Φ
(cσ√n
)− Φ
(− c
σ√n
)= 0.95
D
(cσ√n
)= 0.95
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer
Primjer
Duljina putovanja na posao izmjerena na 100 gradana iznosila je15± 2 minute. Izracunajte interval duljine moguceg putovanja naposao koji vrijedi u 95% slucajeva.
Rijesiti jednadzbu c =?
P(X − c < µ < X + c) = 95%
P(−c < µ− X < c
)= 0.95
P
(− c
σ√n
<µ− X
σ√n
<cσ√n
)= 0.95
Φ
(cσ√n
)− Φ
(− c
σ√n
)= 0.95
D
(cσ√n
)= 0.95
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer
Primjer
Duljina putovanja na posao izmjerena na 100 gradana iznosila je15± 2 minute. Izracunajte interval duljine moguceg putovanja naposao koji vrijedi u 95% slucajeva.
Rijesiti jednadzbu c =?
P(X − c < µ < X + c) = 95%
P(−c < µ− X < c
)= 0.95
P
(− c
σ√n
<µ− X
σ√n
<cσ√n
)= 0.95
Φ
(cσ√n
)− Φ
(− c
σ√n
)= 0.95
D
(cσ√n
)= 0.95
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer
Primjer
Duljina putovanja na posao izmjerena na 100 gradana iznosila je15± 2 minute. Izracunajte interval duljine moguceg putovanja naposao koji vrijedi u 95% slucajeva.
Rijesiti jednadzbu c =?
P(X − c < µ < X + c) = 95%
P(−c < µ− X < c
)= 0.95
P
(− c
σ√n
<µ− X
σ√n
<cσ√n
)= 0.95
Φ
(cσ√n
)− Φ
(− c
σ√n
)= 0.95
D
(cσ√n
)= 0.95
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer
Primjer
Duljina putovanja na posao izmjerena na 100 gradana iznosila je15± 2 minute. Izracunajte interval duljine moguceg putovanja naposao koji vrijedi u 95% slucajeva.
Rijesiti jednadzbu c =?
P(X − c < µ < X + c) = 95%
P(−c < µ− X < c
)= 0.95
P
(− c
σ√n
<µ− X
σ√n
<cσ√n
)= 0.95
Φ
(cσ√n
)− Φ
(− c
σ√n
)= 0.95
D
(cσ√n
)= 0.95
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
Zadatak
Odredite interval moguceg putovanja na posao koji bi vrijedio u60% slucajeva?
Trik: uzeti z =x − µ
S√n
i odrediti c =?, P(−c < z < c) = 60%.
Zadatak
Broj popusenih cigarettesa dnevno kod teenagersa nakon anketedan je u tablici
teenagers 30 21 14 13 8 3 3 2 4 2
cigarettes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Koliko prosjecno cigareta jedan tinejder popusi dnevno? Odrediteinterval za koji mozete garantirati uz 95% pouzdanosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
Zadatak
Odredite interval moguceg putovanja na posao koji bi vrijedio u60% slucajeva?
Trik: uzeti z =x − µ
S√n
i odrediti c =?, P(−c < z < c) = 60%.
Zadatak
Broj popusenih cigarettesa dnevno kod teenagersa nakon anketedan je u tablici
teenagers 30 21 14 13 8 3 3 2 4 2
cigarettes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Koliko prosjecno cigareta jedan tinejder popusi dnevno? Odrediteinterval za koji mozete garantirati uz 95% pouzdanosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
Zadatak
Odredite interval moguceg putovanja na posao koji bi vrijedio u60% slucajeva?
Trik: uzeti z =x − µ
S√n
i odrediti c =?, P(−c < z < c) = 60%.
Zadatak
Broj popusenih cigarettesa dnevno kod teenagersa nakon anketedan je u tablici
teenagers 30 21 14 13 8 3 3 2 4 2
cigarettes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Koliko prosjecno cigareta jedan tinejder popusi dnevno? Odrediteinterval za koji mozete garantirati uz 95% pouzdanosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
Zadatak
Odredite interval moguceg putovanja na posao koji bi vrijedio u60% slucajeva?
Trik: uzeti z =x − µ
S√n
i odrediti c =?, P(−c < z < c) = 60%.
Zadatak
Broj popusenih cigarettesa dnevno kod teenagersa nakon anketedan je u tablici
teenagers 30 21 14 13 8 3 3 2 4 2
cigarettes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Koliko prosjecno cigareta jedan tinejder popusi dnevno? Odrediteinterval za koji mozete garantirati uz 95% pouzdanosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
Zadatak
Odredite interval moguceg putovanja na posao koji bi vrijedio u60% slucajeva?
Trik: uzeti z =x − µ
S√n
i odrediti c =?, P(−c < z < c) = 60%.
Zadatak
Broj popusenih cigarettesa dnevno kod teenagersa nakon anketedan je u tablici
teenagers 30 21 14 13 8 3 3 2 4 2
cigarettes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Koliko prosjecno cigareta jedan tinejder popusi dnevno? Odrediteinterval za koji mozete garantirati uz 95% pouzdanosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
Zadatak
Odredite interval moguceg putovanja na posao koji bi vrijedio u60% slucajeva?
Trik: uzeti z =x − µ
S√n
i odrediti c =?, P(−c < z < c) = 60%.
Zadatak
Broj popusenih cigarettesa dnevno kod teenagersa nakon anketedan je u tablici
teenagers 30 21 14 13 8 3 3 2 4 2
cigarettes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Koliko prosjecno cigareta jedan tinejder popusi dnevno? Odrediteinterval za koji mozete garantirati uz 95% pouzdanosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadaci
Zadatak
Odredite interval moguceg putovanja na posao koji bi vrijedio u60% slucajeva?
Trik: uzeti z =x − µ
S√n
i odrediti c =?, P(−c < z < c) = 60%.
Zadatak
Broj popusenih cigarettesa dnevno kod teenagersa nakon anketedan je u tablici
teenagers 30 21 14 13 8 3 3 2 4 2
cigarettes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Koliko prosjecno cigareta jedan tinejder popusi dnevno? Odrediteinterval za koji mozete garantirati uz 95% pouzdanosti.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Sirovi uzorak
Zadatak
Uzorak se sastoji od podataka o prodaji goriva (supera95) poputnickom automobilu na benzinskoj postaji.
35 24 19 10 11 16 9 33 38 29 7 7
24 5 33 33 11 15 17 11 11 22 7 15
39 14 17 27 21 28 35 24 26 20 28 9
14 31 31 5 18 11 25 15 37 36 11 23
10 34 15 14 25 23 25 21 36 13 6 27
Procijenite prosjecnu prodaju benzina po automobilu. Odreditegranice intervala procjene prosjecne prodaje benzina po automobiluuz razinu pouzdanosti od 95%, odnosno 90%.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Sirovi uzorak
Zadatak
Uzorak se sastoji od podataka o prodaji goriva (supera95) poputnickom automobilu na benzinskoj postaji.
35 24 19 10 11 16 9 33 38 29 7 7
24 5 33 33 11 15 17 11 11 22 7 15
39 14 17 27 21 28 35 24 26 20 28 9
14 31 31 5 18 11 25 15 37 36 11 23
10 34 15 14 25 23 25 21 36 13 6 27
Procijenite prosjecnu prodaju benzina po automobilu. Odreditegranice intervala procjene prosjecne prodaje benzina po automobiluuz razinu pouzdanosti od 95%, odnosno 90%.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Sirovi uzorak
Zadatak
Uzorak se sastoji od podataka o prodaji goriva (supera95) poputnickom automobilu na benzinskoj postaji.
35 24 19 10 11 16 9 33 38 29 7 7
24 5 33 33 11 15 17 11 11 22 7 15
39 14 17 27 21 28 35 24 26 20 28 9
14 31 31 5 18 11 25 15 37 36 11 23
10 34 15 14 25 23 25 21 36 13 6 27
Procijenite prosjecnu prodaju benzina po automobilu. Odreditegranice intervala procjene prosjecne prodaje benzina po automobiluuz razinu pouzdanosti od 95%, odnosno 90%.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Sirovi uzorak
Zadatak
Uzorak se sastoji od podataka o prodaji goriva (supera95) poputnickom automobilu na benzinskoj postaji.
35 24 19 10 11 16 9 33 38 29 7 7
24 5 33 33 11 15 17 11 11 22 7 15
39 14 17 27 21 28 35 24 26 20 28 9
14 31 31 5 18 11 25 15 37 36 11 23
10 34 15 14 25 23 25 21 36 13 6 27
Procijenite prosjecnu prodaju benzina po automobilu. Odreditegranice intervala procjene prosjecne prodaje benzina po automobiluuz razinu pouzdanosti od 95%, odnosno 90%.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena varijance. Teorijske pretpostavke.
Gama funkcija: Γ(n) =
∫ ∞0
e−xxn−1dx .
Zanimljivo: Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1).
Interesantno: Γ(
12
)=√π.
Funkcija gustoce χ2 distribucije X ∼ χ2(n) sa n stupnjevaslobode:
f (x) =
1
2n2 Γ( n
2 )e−
x2 x
n2−1, x ≥ 0
0 x ≤ 0.
Funkcija distribucije F (x) je
tabelirana u knjizitabelirana u Excel-programu - ispitati
Za n > 30 prelazi u Normalnu X ∼ N(n, 2n).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena varijance. Teorijske pretpostavke.
Gama funkcija:
Γ(n) =
∫ ∞0
e−xxn−1dx .
Zanimljivo: Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1).
Interesantno: Γ(
12
)=√π.
Funkcija gustoce χ2 distribucije X ∼ χ2(n) sa n stupnjevaslobode:
f (x) =
1
2n2 Γ( n
2 )e−
x2 x
n2−1, x ≥ 0
0 x ≤ 0.
Funkcija distribucije F (x) je
tabelirana u knjizitabelirana u Excel-programu - ispitati
Za n > 30 prelazi u Normalnu X ∼ N(n, 2n).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena varijance. Teorijske pretpostavke.
Gama funkcija: Γ(n) =
∫ ∞0
e−xxn−1dx .
Zanimljivo: Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1).
Interesantno: Γ(
12
)=√π.
Funkcija gustoce χ2 distribucije X ∼ χ2(n) sa n stupnjevaslobode:
f (x) =
1
2n2 Γ( n
2 )e−
x2 x
n2−1, x ≥ 0
0 x ≤ 0.
Funkcija distribucije F (x) je
tabelirana u knjizitabelirana u Excel-programu - ispitati
Za n > 30 prelazi u Normalnu X ∼ N(n, 2n).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena varijance. Teorijske pretpostavke.
Gama funkcija: Γ(n) =
∫ ∞0
e−xxn−1dx .
Zanimljivo: Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1).
Interesantno: Γ(
12
)=√π.
Funkcija gustoce χ2 distribucije X ∼ χ2(n) sa n stupnjevaslobode:
f (x) =
1
2n2 Γ( n
2 )e−
x2 x
n2−1, x ≥ 0
0 x ≤ 0.
Funkcija distribucije F (x) je
tabelirana u knjizitabelirana u Excel-programu - ispitati
Za n > 30 prelazi u Normalnu X ∼ N(n, 2n).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena varijance. Teorijske pretpostavke.
Gama funkcija: Γ(n) =
∫ ∞0
e−xxn−1dx .
Zanimljivo: Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1).
Interesantno: Γ(
12
)=√π.
Funkcija gustoce χ2 distribucije X ∼ χ2(n) sa n stupnjevaslobode:
f (x) =
1
2n2 Γ( n
2 )e−
x2 x
n2−1, x ≥ 0
0 x ≤ 0.
Funkcija distribucije F (x) je
tabelirana u knjizitabelirana u Excel-programu - ispitati
Za n > 30 prelazi u Normalnu X ∼ N(n, 2n).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena varijance. Teorijske pretpostavke.
Gama funkcija: Γ(n) =
∫ ∞0
e−xxn−1dx .
Zanimljivo: Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1).
Interesantno: Γ(
12
)=√π.
Funkcija gustoce χ2 distribucije X ∼ χ2(n) sa n stupnjevaslobode:
f (x) =
1
2n2 Γ( n
2 )e−
x2 x
n2−1, x ≥ 0
0 x ≤ 0.
Funkcija distribucije F (x) je
tabelirana u knjizitabelirana u Excel-programu - ispitati
Za n > 30 prelazi u Normalnu X ∼ N(n, 2n).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena varijance. Teorijske pretpostavke.
Gama funkcija: Γ(n) =
∫ ∞0
e−xxn−1dx .
Zanimljivo: Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1).
Interesantno: Γ(
12
)=√π.
Funkcija gustoce χ2 distribucije X ∼ χ2(n) sa n stupnjevaslobode:
f (x) =
1
2n2 Γ( n
2 )e−
x2 x
n2−1, x ≥ 0
0 x ≤ 0.
Funkcija distribucije F (x) je
tabelirana u knjizitabelirana u Excel-programu - ispitati
Za n > 30 prelazi u Normalnu X ∼ N(n, 2n).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena varijance. Teorijske pretpostavke.
Gama funkcija: Γ(n) =
∫ ∞0
e−xxn−1dx .
Zanimljivo: Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1).
Interesantno: Γ(
12
)=√π.
Funkcija gustoce χ2 distribucije X ∼ χ2(n) sa n stupnjevaslobode:
f (x) =
1
2n2 Γ( n
2 )e−
x2 x
n2−1, x ≥ 0
0 x ≤ 0.
Funkcija distribucije F (x) je
tabelirana u knjizitabelirana u Excel-programu - ispitati
Za n > 30 prelazi u Normalnu X ∼ N(n, 2n).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena varijance. Teorijske pretpostavke.
Gama funkcija: Γ(n) =
∫ ∞0
e−xxn−1dx .
Zanimljivo: Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1).
Interesantno: Γ(
12
)=√π.
Funkcija gustoce χ2 distribucije X ∼ χ2(n) sa n stupnjevaslobode:
f (x) =
1
2n2 Γ( n
2 )e−
x2 x
n2−1, x ≥ 0
0 x ≤ 0.
Funkcija distribucije F (x) je
tabelirana u knjizi
tabelirana u Excel-programu - ispitati
Za n > 30 prelazi u Normalnu X ∼ N(n, 2n).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena varijance. Teorijske pretpostavke.
Gama funkcija: Γ(n) =
∫ ∞0
e−xxn−1dx .
Zanimljivo: Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1).
Interesantno: Γ(
12
)=√π.
Funkcija gustoce χ2 distribucije X ∼ χ2(n) sa n stupnjevaslobode:
f (x) =
1
2n2 Γ( n
2 )e−
x2 x
n2−1, x ≥ 0
0 x ≤ 0.
Funkcija distribucije F (x) je
tabelirana u knjizitabelirana u Excel-programu -
ispitati
Za n > 30 prelazi u Normalnu X ∼ N(n, 2n).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena varijance. Teorijske pretpostavke.
Gama funkcija: Γ(n) =
∫ ∞0
e−xxn−1dx .
Zanimljivo: Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1).
Interesantno: Γ(
12
)=√π.
Funkcija gustoce χ2 distribucije X ∼ χ2(n) sa n stupnjevaslobode:
f (x) =
1
2n2 Γ( n
2 )e−
x2 x
n2−1, x ≥ 0
0 x ≤ 0.
Funkcija distribucije F (x) je
tabelirana u knjizitabelirana u Excel-programu - ispitati
Za n > 30 prelazi u Normalnu X ∼ N(n, 2n).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena varijance. Teorijske pretpostavke.
Gama funkcija: Γ(n) =
∫ ∞0
e−xxn−1dx .
Zanimljivo: Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1).
Interesantno: Γ(
12
)=√π.
Funkcija gustoce χ2 distribucije X ∼ χ2(n) sa n stupnjevaslobode:
f (x) =
1
2n2 Γ( n
2 )e−
x2 x
n2−1, x ≥ 0
0 x ≤ 0.
Funkcija distribucije F (x) je
tabelirana u knjizitabelirana u Excel-programu - ispitati
Za n > 30 prelazi u Normalnu X ∼ N(n, 2n).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena varijance. Praksa
Teorem
Neka je S standardna devijacija uzorka od n elemenata. Neka je σ
standardna devijacija populacije. Tada je X =S2
σ2(n − 1) slucajna
varijabla χ2 distribucije s n − 1 stupnjem slobode.
Primjer
U slucajnom uzorku 20 kucanstava ustanovljen je sljedeci brojclanova po kucanstvu:
4 5 3 3 2 1 3 2 2 2
4 3 1 5 7 2 4 2 1 4 5Procjenite uz 90%
pouzdanosti interval standardne devijacije populacije.
c1, c2 =?, tako da P(c1 ≤ X ≤ c2) = 90% uz
P(X < c1) = P(X > c2) = 5%, a X =S2
σ2(n − 1)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena varijance. Praksa
Teorem
Neka je S standardna devijacija uzorka od n elemenata. Neka je σ
standardna devijacija populacije. Tada je X =S2
σ2(n − 1) slucajna
varijabla χ2 distribucije s n − 1 stupnjem slobode.
Primjer
U slucajnom uzorku 20 kucanstava ustanovljen je sljedeci brojclanova po kucanstvu:
4 5 3 3 2 1 3 2 2 2
4 3 1 5 7 2 4 2 1 4 5Procjenite uz 90%
pouzdanosti interval standardne devijacije populacije.
c1, c2 =?, tako da P(c1 ≤ X ≤ c2) = 90% uz
P(X < c1) = P(X > c2) = 5%, a X =S2
σ2(n − 1)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena varijance. Praksa
Teorem
Neka je S standardna devijacija uzorka od n elemenata. Neka je σ
standardna devijacija populacije. Tada je X =S2
σ2(n − 1) slucajna
varijabla χ2 distribucije s n − 1 stupnjem slobode.
Primjer
U slucajnom uzorku 20 kucanstava ustanovljen je sljedeci brojclanova po kucanstvu:
4 5 3 3 2 1 3 2 2 2
4 3 1 5 7 2 4 2 1 4 5
Procjenite uz 90%
pouzdanosti interval standardne devijacije populacije.
c1, c2 =?, tako da P(c1 ≤ X ≤ c2) = 90% uz
P(X < c1) = P(X > c2) = 5%, a X =S2
σ2(n − 1)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena varijance. Praksa
Teorem
Neka je S standardna devijacija uzorka od n elemenata. Neka je σ
standardna devijacija populacije. Tada je X =S2
σ2(n − 1) slucajna
varijabla χ2 distribucije s n − 1 stupnjem slobode.
Primjer
U slucajnom uzorku 20 kucanstava ustanovljen je sljedeci brojclanova po kucanstvu:
4 5 3 3 2 1 3 2 2 2
4 3 1 5 7 2 4 2 1 4 5Procjenite uz 90%
pouzdanosti interval standardne devijacije populacije.
c1, c2 =?, tako da P(c1 ≤ X ≤ c2) = 90% uz
P(X < c1) = P(X > c2) = 5%, a X =S2
σ2(n − 1)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena varijance. Praksa
Teorem
Neka je S standardna devijacija uzorka od n elemenata. Neka je σ
standardna devijacija populacije. Tada je X =S2
σ2(n − 1) slucajna
varijabla χ2 distribucije s n − 1 stupnjem slobode.
Primjer
U slucajnom uzorku 20 kucanstava ustanovljen je sljedeci brojclanova po kucanstvu:
4 5 3 3 2 1 3 2 2 2
4 3 1 5 7 2 4 2 1 4 5Procjenite uz 90%
pouzdanosti interval standardne devijacije populacije.
c1, c2 =?, tako da P(c1 ≤ X ≤ c2) = 90% uz
P(X < c1) = P(X > c2) = 5%, a X =S2
σ2(n − 1)
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena varijance za veliki uzorak
Zadatak
U slucajni uzorak izabrana su 64 studenta. Izmjerena im je visina iustanovljeno je prosjecno odstupanje od 2.5 cm.
a) Odredite granice 95% - tnog intervala procjene standardnedevijacije u populaciji.
b) Kolike su granice ako je visina mjerena na 640 studenata prvegodine?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena varijance za veliki uzorak
Zadatak
U slucajni uzorak izabrana su 64 studenta. Izmjerena im je visina iustanovljeno je prosjecno odstupanje od 2.5 cm.
a) Odredite granice 95% - tnog intervala procjene standardnedevijacije u populaciji.
b) Kolike su granice ako je visina mjerena na 640 studenata prvegodine?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena udjela u populaciji
Neka je p postotak odabranih u populaciji (simpatizeri)
Neka je n brojnost uzorka iz populacije
Neka je Y broj odabranih u uzorku
Tada je p∗ =Y
npostotak odabranih u uzorku.
Nadalje:
E (Y ) = np i σ2(Y ) = np(1− p) zbog binomne razdiobe
Zbog linearnosti: E
(Y
n
)= E (p∗) =
1
nE (Y ) =
1
n· np = p
Analogno: V
(Y
n
)=
1
n2V (Y ) =
p(1− p)
n
Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)
n
∼ N(0, 1) (Φ).
Varijanca uzorka S2 = np∗(1− p∗) ∼ σ2.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena udjela u populaciji
Neka je p postotak odabranih u populaciji (simpatizeri)
Neka je n brojnost uzorka iz populacije
Neka je Y broj odabranih u uzorku
Tada je p∗ =Y
npostotak odabranih u uzorku.
Nadalje:
E (Y ) = np i σ2(Y ) = np(1− p) zbog binomne razdiobe
Zbog linearnosti: E
(Y
n
)= E (p∗) =
1
nE (Y ) =
1
n· np = p
Analogno: V
(Y
n
)=
1
n2V (Y ) =
p(1− p)
n
Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)
n
∼ N(0, 1) (Φ).
Varijanca uzorka S2 = np∗(1− p∗) ∼ σ2.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena udjela u populaciji
Neka je p postotak odabranih u populaciji (simpatizeri)
Neka je n brojnost uzorka iz populacije
Neka je Y broj odabranih u uzorku
Tada je p∗ =Y
npostotak odabranih u uzorku.
Nadalje:
E (Y ) = np i σ2(Y ) = np(1− p) zbog binomne razdiobe
Zbog linearnosti: E
(Y
n
)= E (p∗) =
1
nE (Y ) =
1
n· np = p
Analogno: V
(Y
n
)=
1
n2V (Y ) =
p(1− p)
n
Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)
n
∼ N(0, 1) (Φ).
Varijanca uzorka S2 = np∗(1− p∗) ∼ σ2.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena udjela u populaciji
Neka je p postotak odabranih u populaciji (simpatizeri)
Neka je n brojnost uzorka iz populacije
Neka je Y broj odabranih u uzorku
Tada je p∗ =Y
npostotak odabranih u uzorku.
Nadalje:
E (Y ) = np i σ2(Y ) = np(1− p) zbog binomne razdiobe
Zbog linearnosti: E
(Y
n
)= E (p∗) =
1
nE (Y ) =
1
n· np = p
Analogno: V
(Y
n
)=
1
n2V (Y ) =
p(1− p)
n
Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)
n
∼ N(0, 1) (Φ).
Varijanca uzorka S2 = np∗(1− p∗) ∼ σ2.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena udjela u populaciji
Neka je p postotak odabranih u populaciji (simpatizeri)
Neka je n brojnost uzorka iz populacije
Neka je Y broj odabranih u uzorku
Tada je p∗ =Y
npostotak odabranih u uzorku.
Nadalje:
E (Y ) = np i σ2(Y ) = np(1− p) zbog binomne razdiobe
Zbog linearnosti: E
(Y
n
)= E (p∗) =
1
nE (Y ) =
1
n· np = p
Analogno: V
(Y
n
)=
1
n2V (Y ) =
p(1− p)
n
Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)
n
∼ N(0, 1) (Φ).
Varijanca uzorka S2 = np∗(1− p∗) ∼ σ2.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena udjela u populaciji
Neka je p postotak odabranih u populaciji (simpatizeri)
Neka je n brojnost uzorka iz populacije
Neka je Y broj odabranih u uzorku
Tada je p∗ =Y
npostotak odabranih u uzorku.
Nadalje:
E (Y ) = np i σ2(Y ) = np(1− p) zbog binomne razdiobe
Zbog linearnosti: E
(Y
n
)= E (p∗) =
1
nE (Y ) =
1
n· np = p
Analogno: V
(Y
n
)=
1
n2V (Y ) =
p(1− p)
n
Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)
n
∼ N(0, 1) (Φ).
Varijanca uzorka S2 = np∗(1− p∗) ∼ σ2.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena udjela u populaciji
Neka je p postotak odabranih u populaciji (simpatizeri)
Neka je n brojnost uzorka iz populacije
Neka je Y broj odabranih u uzorku
Tada je p∗ =Y
npostotak odabranih u uzorku.
Nadalje:
E (Y ) = np i σ2(Y ) = np(1− p) zbog binomne razdiobe
Zbog linearnosti: E
(Y
n
)=
E (p∗) =1
nE (Y ) =
1
n· np = p
Analogno: V
(Y
n
)=
1
n2V (Y ) =
p(1− p)
n
Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)
n
∼ N(0, 1) (Φ).
Varijanca uzorka S2 = np∗(1− p∗) ∼ σ2.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena udjela u populaciji
Neka je p postotak odabranih u populaciji (simpatizeri)
Neka je n brojnost uzorka iz populacije
Neka je Y broj odabranih u uzorku
Tada je p∗ =Y
npostotak odabranih u uzorku.
Nadalje:
E (Y ) = np i σ2(Y ) = np(1− p) zbog binomne razdiobe
Zbog linearnosti: E
(Y
n
)= E (p∗) =
1
nE (Y ) =
1
n· np = p
Analogno: V
(Y
n
)=
1
n2V (Y ) =
p(1− p)
n
Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)
n
∼ N(0, 1) (Φ).
Varijanca uzorka S2 = np∗(1− p∗) ∼ σ2.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena udjela u populaciji
Neka je p postotak odabranih u populaciji (simpatizeri)
Neka je n brojnost uzorka iz populacije
Neka je Y broj odabranih u uzorku
Tada je p∗ =Y
npostotak odabranih u uzorku.
Nadalje:
E (Y ) = np i σ2(Y ) = np(1− p) zbog binomne razdiobe
Zbog linearnosti: E
(Y
n
)= E (p∗) =
1
nE (Y ) =
1
n· np = p
Analogno: V
(Y
n
)=
1
n2V (Y ) =
p(1− p)
n
Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)
n
∼ N(0, 1) (Φ).
Varijanca uzorka S2 = np∗(1− p∗) ∼ σ2.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena udjela u populaciji
Neka je p postotak odabranih u populaciji (simpatizeri)
Neka je n brojnost uzorka iz populacije
Neka je Y broj odabranih u uzorku
Tada je p∗ =Y
npostotak odabranih u uzorku.
Nadalje:
E (Y ) = np i σ2(Y ) = np(1− p) zbog binomne razdiobe
Zbog linearnosti: E
(Y
n
)= E (p∗) =
1
nE (Y ) =
1
n· np =
p
Analogno: V
(Y
n
)=
1
n2V (Y ) =
p(1− p)
n
Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)
n
∼ N(0, 1) (Φ).
Varijanca uzorka S2 = np∗(1− p∗) ∼ σ2.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena udjela u populaciji
Neka je p postotak odabranih u populaciji (simpatizeri)
Neka je n brojnost uzorka iz populacije
Neka je Y broj odabranih u uzorku
Tada je p∗ =Y
npostotak odabranih u uzorku.
Nadalje:
E (Y ) = np i σ2(Y ) = np(1− p) zbog binomne razdiobe
Zbog linearnosti: E
(Y
n
)= E (p∗) =
1
nE (Y ) =
1
n· np = p
Analogno: V
(Y
n
)=
1
n2V (Y ) =
p(1− p)
n
Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)
n
∼ N(0, 1) (Φ).
Varijanca uzorka S2 = np∗(1− p∗) ∼ σ2.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena udjela u populaciji
Neka je p postotak odabranih u populaciji (simpatizeri)
Neka je n brojnost uzorka iz populacije
Neka je Y broj odabranih u uzorku
Tada je p∗ =Y
npostotak odabranih u uzorku.
Nadalje:
E (Y ) = np i σ2(Y ) = np(1− p) zbog binomne razdiobe
Zbog linearnosti: E
(Y
n
)= E (p∗) =
1
nE (Y ) =
1
n· np = p
Analogno: V
(Y
n
)=
1
n2V (Y ) =
p(1− p)
n
Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)
n
∼ N(0, 1) (Φ).
Varijanca uzorka S2 = np∗(1− p∗) ∼ σ2.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena udjela u populaciji
Neka je p postotak odabranih u populaciji (simpatizeri)
Neka je n brojnost uzorka iz populacije
Neka je Y broj odabranih u uzorku
Tada je p∗ =Y
npostotak odabranih u uzorku.
Nadalje:
E (Y ) = np i σ2(Y ) = np(1− p) zbog binomne razdiobe
Zbog linearnosti: E
(Y
n
)= E (p∗) =
1
nE (Y ) =
1
n· np = p
Analogno: V
(Y
n
)=
1
n2V (Y ) =
p(1− p)
n
Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)
n
∼ N(0, 1) (Φ).
Varijanca uzorka S2 = np∗(1− p∗) ∼ σ2.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena udjela u populaciji
Neka je p postotak odabranih u populaciji (simpatizeri)
Neka je n brojnost uzorka iz populacije
Neka je Y broj odabranih u uzorku
Tada je p∗ =Y
npostotak odabranih u uzorku.
Nadalje:
E (Y ) = np i σ2(Y ) = np(1− p) zbog binomne razdiobe
Zbog linearnosti: E
(Y
n
)= E (p∗) =
1
nE (Y ) =
1
n· np = p
Analogno: V
(Y
n
)=
1
n2V (Y ) =
p(1− p)
n
Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)
n
∼ N(0, 1) (Φ).
Varijanca uzorka S2 = np∗(1− p∗) ∼ σ2.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena udjela u populaciji
Neka je p postotak odabranih u populaciji (simpatizeri)
Neka je n brojnost uzorka iz populacije
Neka je Y broj odabranih u uzorku
Tada je p∗ =Y
npostotak odabranih u uzorku.
Nadalje:
E (Y ) = np i σ2(Y ) = np(1− p) zbog binomne razdiobe
Zbog linearnosti: E
(Y
n
)= E (p∗) =
1
nE (Y ) =
1
n· np = p
Analogno: V
(Y
n
)=
1
n2V (Y ) =
p(1− p)
n
Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)
n
∼ N(0, 1)
(Φ).
Varijanca uzorka S2 = np∗(1− p∗) ∼ σ2.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena udjela u populaciji
Neka je p postotak odabranih u populaciji (simpatizeri)
Neka je n brojnost uzorka iz populacije
Neka je Y broj odabranih u uzorku
Tada je p∗ =Y
npostotak odabranih u uzorku.
Nadalje:
E (Y ) = np i σ2(Y ) = np(1− p) zbog binomne razdiobe
Zbog linearnosti: E
(Y
n
)= E (p∗) =
1
nE (Y ) =
1
n· np = p
Analogno: V
(Y
n
)=
1
n2V (Y ) =
p(1− p)
n
Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)
n
∼ N(0, 1) (Φ).
Varijanca uzorka S2 = np∗(1− p∗) ∼ σ2.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena udjela u populaciji
Neka je p postotak odabranih u populaciji (simpatizeri)
Neka je n brojnost uzorka iz populacije
Neka je Y broj odabranih u uzorku
Tada je p∗ =Y
npostotak odabranih u uzorku.
Nadalje:
E (Y ) = np i σ2(Y ) = np(1− p) zbog binomne razdiobe
Zbog linearnosti: E
(Y
n
)= E (p∗) =
1
nE (Y ) =
1
n· np = p
Analogno: V
(Y
n
)=
1
n2V (Y ) =
p(1− p)
n
Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)
n
∼ N(0, 1) (Φ).
Varijanca uzorka S2 = np∗(1− p∗)
∼ σ2.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Procjena udjela u populaciji
Neka je p postotak odabranih u populaciji (simpatizeri)
Neka je n brojnost uzorka iz populacije
Neka je Y broj odabranih u uzorku
Tada je p∗ =Y
npostotak odabranih u uzorku.
Nadalje:
E (Y ) = np i σ2(Y ) = np(1− p) zbog binomne razdiobe
Zbog linearnosti: E
(Y
n
)= E (p∗) =
1
nE (Y ) =
1
n· np = p
Analogno: V
(Y
n
)=
1
n2V (Y ) =
p(1− p)
n
Dakle, Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)
n
∼ N(0, 1) (Φ).
Varijanca uzorka S2 = np∗(1− p∗) ∼ σ2.Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Anketa
Primjer
Ispitivanjem javnog miljenja utvrdeno je da ulazak u EU opravdava44% anketiranih. Ispitati toleranciju standardne devijacije. Za kojiinterval procjene je moguce garantirati uz vjerojatnost pogreske5%, ako je broj ispitanih bio
1 130
2 1300
3 13000
4 13
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Anketa
Primjer
Ispitivanjem javnog miljenja utvrdeno je da ulazak u EU opravdava44% anketiranih. Ispitati toleranciju standardne devijacije. Za kojiinterval procjene je moguce garantirati uz vjerojatnost pogreske5%, ako je broj ispitanih bio
1 130
2 1300
3 13000
4 13
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Anketa
Primjer
Ispitivanjem javnog miljenja utvrdeno je da ulazak u EU opravdava44% anketiranih. Ispitati toleranciju standardne devijacije. Za kojiinterval procjene je moguce garantirati uz vjerojatnost pogreske5%, ako je broj ispitanih bio
1 130
2 1300
3 13000
4 13
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Anketa
Primjer
Ispitivanjem javnog miljenja utvrdeno je da ulazak u EU opravdava44% anketiranih. Ispitati toleranciju standardne devijacije. Za kojiinterval procjene je moguce garantirati uz vjerojatnost pogreske5%, ako je broj ispitanih bio
1 130
2 1300
3 13000
4 13
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Anketa
Primjer
Ispitivanjem javnog miljenja utvrdeno je da ulazak u EU opravdava44% anketiranih. Ispitati toleranciju standardne devijacije. Za kojiinterval procjene je moguce garantirati uz vjerojatnost pogreske5%, ako je broj ispitanih bio
1 130
2 1300
3 13000
4 13
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Anketa
Primjer
Ispitivanjem javnog miljenja utvrdeno je da ulazak u EU opravdava44% anketiranih. Ispitati toleranciju standardne devijacije. Za kojiinterval procjene je moguce garantirati uz vjerojatnost pogreske5%, ako je broj ispitanih bio
1 130
2 1300
3 13000
4 13
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Testiranje statistickih hipoteza
Pogreske prilikom testiranja
1 Prihvatiti pogresnu pretpostavku - manja greska - druge vrste
2 Odbaciti dobru pretpostavku - veca greska - prve vrste
Konstrukcija testa
1 odrediti dopustenu vjerojatnost greske prve vrste - α - nivosignifikantnosti
2 konstruirati test - minimalna vjerojatnost greske druge vrste -β
3 pouzdanost testa: 1− α4 jakost ili ostrina testa: 1− β
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Testiranje statistickih hipoteza
Pogreske prilikom testiranja
1 Prihvatiti pogresnu pretpostavku - manja greska - druge vrste
2 Odbaciti dobru pretpostavku - veca greska - prve vrste
Konstrukcija testa
1 odrediti dopustenu vjerojatnost greske prve vrste - α - nivosignifikantnosti
2 konstruirati test - minimalna vjerojatnost greske druge vrste -β
3 pouzdanost testa: 1− α4 jakost ili ostrina testa: 1− β
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Testiranje statistickih hipoteza
Pogreske prilikom testiranja
1 Prihvatiti pogresnu pretpostavku -
manja greska - druge vrste
2 Odbaciti dobru pretpostavku - veca greska - prve vrste
Konstrukcija testa
1 odrediti dopustenu vjerojatnost greske prve vrste - α - nivosignifikantnosti
2 konstruirati test - minimalna vjerojatnost greske druge vrste -β
3 pouzdanost testa: 1− α4 jakost ili ostrina testa: 1− β
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Testiranje statistickih hipoteza
Pogreske prilikom testiranja
1 Prihvatiti pogresnu pretpostavku - manja greska -
druge vrste
2 Odbaciti dobru pretpostavku - veca greska - prve vrste
Konstrukcija testa
1 odrediti dopustenu vjerojatnost greske prve vrste - α - nivosignifikantnosti
2 konstruirati test - minimalna vjerojatnost greske druge vrste -β
3 pouzdanost testa: 1− α4 jakost ili ostrina testa: 1− β
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Testiranje statistickih hipoteza
Pogreske prilikom testiranja
1 Prihvatiti pogresnu pretpostavku - manja greska - druge vrste
2 Odbaciti dobru pretpostavku - veca greska - prve vrste
Konstrukcija testa
1 odrediti dopustenu vjerojatnost greske prve vrste - α - nivosignifikantnosti
2 konstruirati test - minimalna vjerojatnost greske druge vrste -β
3 pouzdanost testa: 1− α4 jakost ili ostrina testa: 1− β
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Testiranje statistickih hipoteza
Pogreske prilikom testiranja
1 Prihvatiti pogresnu pretpostavku - manja greska - druge vrste
2 Odbaciti dobru pretpostavku -
veca greska - prve vrste
Konstrukcija testa
1 odrediti dopustenu vjerojatnost greske prve vrste - α - nivosignifikantnosti
2 konstruirati test - minimalna vjerojatnost greske druge vrste -β
3 pouzdanost testa: 1− α4 jakost ili ostrina testa: 1− β
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Testiranje statistickih hipoteza
Pogreske prilikom testiranja
1 Prihvatiti pogresnu pretpostavku - manja greska - druge vrste
2 Odbaciti dobru pretpostavku - veca greska -
prve vrste
Konstrukcija testa
1 odrediti dopustenu vjerojatnost greske prve vrste - α - nivosignifikantnosti
2 konstruirati test - minimalna vjerojatnost greske druge vrste -β
3 pouzdanost testa: 1− α4 jakost ili ostrina testa: 1− β
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Testiranje statistickih hipoteza
Pogreske prilikom testiranja
1 Prihvatiti pogresnu pretpostavku - manja greska - druge vrste
2 Odbaciti dobru pretpostavku - veca greska - prve vrste
Konstrukcija testa
1 odrediti dopustenu vjerojatnost greske prve vrste - α - nivosignifikantnosti
2 konstruirati test - minimalna vjerojatnost greske druge vrste -β
3 pouzdanost testa: 1− α4 jakost ili ostrina testa: 1− β
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Testiranje statistickih hipoteza
Pogreske prilikom testiranja
1 Prihvatiti pogresnu pretpostavku - manja greska - druge vrste
2 Odbaciti dobru pretpostavku - veca greska - prve vrste
Konstrukcija testa
1 odrediti dopustenu vjerojatnost greske prve vrste - α - nivosignifikantnosti
2 konstruirati test - minimalna vjerojatnost greske druge vrste -β
3 pouzdanost testa: 1− α4 jakost ili ostrina testa: 1− β
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Testiranje statistickih hipoteza
Pogreske prilikom testiranja
1 Prihvatiti pogresnu pretpostavku - manja greska - druge vrste
2 Odbaciti dobru pretpostavku - veca greska - prve vrste
Konstrukcija testa
1 odrediti dopustenu vjerojatnost greske prve vrste -
α - nivosignifikantnosti
2 konstruirati test - minimalna vjerojatnost greske druge vrste -β
3 pouzdanost testa: 1− α4 jakost ili ostrina testa: 1− β
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Testiranje statistickih hipoteza
Pogreske prilikom testiranja
1 Prihvatiti pogresnu pretpostavku - manja greska - druge vrste
2 Odbaciti dobru pretpostavku - veca greska - prve vrste
Konstrukcija testa
1 odrediti dopustenu vjerojatnost greske prve vrste - α -
nivosignifikantnosti
2 konstruirati test - minimalna vjerojatnost greske druge vrste -β
3 pouzdanost testa: 1− α4 jakost ili ostrina testa: 1− β
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Testiranje statistickih hipoteza
Pogreske prilikom testiranja
1 Prihvatiti pogresnu pretpostavku - manja greska - druge vrste
2 Odbaciti dobru pretpostavku - veca greska - prve vrste
Konstrukcija testa
1 odrediti dopustenu vjerojatnost greske prve vrste - α - nivosignifikantnosti
2 konstruirati test - minimalna vjerojatnost greske druge vrste -β
3 pouzdanost testa: 1− α4 jakost ili ostrina testa: 1− β
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Testiranje statistickih hipoteza
Pogreske prilikom testiranja
1 Prihvatiti pogresnu pretpostavku - manja greska - druge vrste
2 Odbaciti dobru pretpostavku - veca greska - prve vrste
Konstrukcija testa
1 odrediti dopustenu vjerojatnost greske prve vrste - α - nivosignifikantnosti
2 konstruirati test -
minimalna vjerojatnost greske druge vrste -β
3 pouzdanost testa: 1− α4 jakost ili ostrina testa: 1− β
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Testiranje statistickih hipoteza
Pogreske prilikom testiranja
1 Prihvatiti pogresnu pretpostavku - manja greska - druge vrste
2 Odbaciti dobru pretpostavku - veca greska - prve vrste
Konstrukcija testa
1 odrediti dopustenu vjerojatnost greske prve vrste - α - nivosignifikantnosti
2 konstruirati test - minimalna vjerojatnost greske druge vrste -
β
3 pouzdanost testa: 1− α4 jakost ili ostrina testa: 1− β
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Testiranje statistickih hipoteza
Pogreske prilikom testiranja
1 Prihvatiti pogresnu pretpostavku - manja greska - druge vrste
2 Odbaciti dobru pretpostavku - veca greska - prve vrste
Konstrukcija testa
1 odrediti dopustenu vjerojatnost greske prve vrste - α - nivosignifikantnosti
2 konstruirati test - minimalna vjerojatnost greske druge vrste -β
3 pouzdanost testa: 1− α4 jakost ili ostrina testa: 1− β
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Testiranje statistickih hipoteza
Pogreske prilikom testiranja
1 Prihvatiti pogresnu pretpostavku - manja greska - druge vrste
2 Odbaciti dobru pretpostavku - veca greska - prve vrste
Konstrukcija testa
1 odrediti dopustenu vjerojatnost greske prve vrste - α - nivosignifikantnosti
2 konstruirati test - minimalna vjerojatnost greske druge vrste -β
3 pouzdanost testa:
1− α4 jakost ili ostrina testa: 1− β
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Testiranje statistickih hipoteza
Pogreske prilikom testiranja
1 Prihvatiti pogresnu pretpostavku - manja greska - druge vrste
2 Odbaciti dobru pretpostavku - veca greska - prve vrste
Konstrukcija testa
1 odrediti dopustenu vjerojatnost greske prve vrste - α - nivosignifikantnosti
2 konstruirati test - minimalna vjerojatnost greske druge vrste -β
3 pouzdanost testa: 1− α
4 jakost ili ostrina testa: 1− β
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Testiranje statistickih hipoteza
Pogreske prilikom testiranja
1 Prihvatiti pogresnu pretpostavku - manja greska - druge vrste
2 Odbaciti dobru pretpostavku - veca greska - prve vrste
Konstrukcija testa
1 odrediti dopustenu vjerojatnost greske prve vrste - α - nivosignifikantnosti
2 konstruirati test - minimalna vjerojatnost greske druge vrste -β
3 pouzdanost testa: 1− α4 jakost ili ostrina testa:
1− β
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Testiranje statistickih hipoteza
Pogreske prilikom testiranja
1 Prihvatiti pogresnu pretpostavku - manja greska - druge vrste
2 Odbaciti dobru pretpostavku - veca greska - prve vrste
Konstrukcija testa
1 odrediti dopustenu vjerojatnost greske prve vrste - α - nivosignifikantnosti
2 konstruirati test - minimalna vjerojatnost greske druge vrste -β
3 pouzdanost testa: 1− α4 jakost ili ostrina testa: 1− β
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Hipoteza o vjerojatnosti
Neka je p∗ empirijska vjerojatnost za uzorak velicine n. Neka je p
hipotetska vjerojatnost. Neka je Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)
n
. Testiranje
dileme
H0 : p∗ = p
H1 : p∗ < p
daje H0 ako je
P (−c < Z (p∗) < c) = 1− α,
dok s vjerojatnosti α nalazimo uzorak s bitnim p∗ 6= p.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Hipoteza o vjerojatnosti
Neka je p∗ empirijska vjerojatnost za uzorak velicine n. Neka je p
hipotetska vjerojatnost.
Neka je Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)
n
. Testiranje
dileme
H0 : p∗ = p
H1 : p∗ < p
daje H0 ako je
P (−c < Z (p∗) < c) = 1− α,
dok s vjerojatnosti α nalazimo uzorak s bitnim p∗ 6= p.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Hipoteza o vjerojatnosti
Neka je p∗ empirijska vjerojatnost za uzorak velicine n. Neka je p
hipotetska vjerojatnost. Neka je Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)
n
.
Testiranje
dileme
H0 : p∗ = p
H1 : p∗ < p
daje H0 ako je
P (−c < Z (p∗) < c) = 1− α,
dok s vjerojatnosti α nalazimo uzorak s bitnim p∗ 6= p.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Hipoteza o vjerojatnosti
Neka je p∗ empirijska vjerojatnost za uzorak velicine n. Neka je p
hipotetska vjerojatnost. Neka je Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)
n
. Testiranje
dileme
H0 : p∗ = p
H1 : p∗ < p
daje H0 ako je
P (−c < Z (p∗) < c) = 1− α,
dok s vjerojatnosti α nalazimo uzorak s bitnim p∗ 6= p.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Hipoteza o vjerojatnosti
Neka je p∗ empirijska vjerojatnost za uzorak velicine n. Neka je p
hipotetska vjerojatnost. Neka je Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)
n
. Testiranje
dileme
H0 : p∗ = p
H1 : p∗ < p
daje H0 ako je
P (−c < Z (p∗) < c) = 1− α,
dok s vjerojatnosti α nalazimo uzorak s bitnim p∗ 6= p.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Hipoteza o vjerojatnosti
Neka je p∗ empirijska vjerojatnost za uzorak velicine n. Neka je p
hipotetska vjerojatnost. Neka je Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)
n
. Testiranje
dileme
H0 : p∗ = p
H1 : p∗ < p
daje H0 ako je
P (−c < Z (p∗) < c) = 1− α,
dok s vjerojatnosti α nalazimo uzorak s bitnim p∗ 6= p.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Hipoteza o vjerojatnosti
Neka je p∗ empirijska vjerojatnost za uzorak velicine n. Neka je p
hipotetska vjerojatnost. Neka je Z (p∗) =p∗ − p√p(1−p)
n
. Testiranje
dileme
H0 : p∗ = p
H1 : p∗ < p
daje H0 ako je
P (−c < Z (p∗) < c) = 1− α,
dok s vjerojatnosti α nalazimo uzorak s bitnim p∗ 6= p.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer
Primjer
Celnici stranke A tvrde da njihovu stranku podupire barem 22%biraca. Ispitivanje se provodi na uzorku od 1 000 ljudi.
1 Formirajte test koji ce s greskom 1. vrste α = 0.05 odbacivatiili prihvacati gornju tvrdnju.
2 Kolika je vjerojatnost da ce Vas test prihvatiti gornju tvrdnjuako u stvarnosti tek 18% biraca podrzava stranku A?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer
Primjer
Celnici stranke A tvrde da njihovu stranku podupire barem 22%biraca. Ispitivanje se provodi na uzorku od 1 000 ljudi.
1 Formirajte test koji ce s greskom 1. vrste α = 0.05 odbacivatiili prihvacati gornju tvrdnju.
2 Kolika je vjerojatnost da ce Vas test prihvatiti gornju tvrdnjuako u stvarnosti tek 18% biraca podrzava stranku A?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Primjer
Primjer
Celnici stranke A tvrde da njihovu stranku podupire barem 22%biraca. Ispitivanje se provodi na uzorku od 1 000 ljudi.
1 Formirajte test koji ce s greskom 1. vrste α = 0.05 odbacivatiili prihvacati gornju tvrdnju.
2 Kolika je vjerojatnost da ce Vas test prihvatiti gornju tvrdnjuako u stvarnosti tek 18% biraca podrzava stranku A?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadatak
Zadatak
Celnici jedne stranke tvrde da vladu podupire najvise 40% biraca.Ispitivanje se provodi na uzorku od 500 ljudi.
1 Formirajte test koji ce s greskom prve vrste α = 2% prihvatitiili odbaciti gornju tvrdnju.
2 Kolika je vjerojatnost da ce vas test prihvatiti gornju tvrdnjuako u stvarnosti 50% biraca podrzava vladu?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadatak
Zadatak
Celnici jedne stranke tvrde da vladu podupire najvise 40% biraca.Ispitivanje se provodi na uzorku od 500 ljudi.
1 Formirajte test koji ce s greskom prve vrste α = 2% prihvatitiili odbaciti gornju tvrdnju.
2 Kolika je vjerojatnost da ce vas test prihvatiti gornju tvrdnjuako u stvarnosti 50% biraca podrzava vladu?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadatak
Zadatak
Celnici jedne stranke tvrde da vladu podupire najvise 40% biraca.Ispitivanje se provodi na uzorku od 500 ljudi.
1 Formirajte test koji ce s greskom prve vrste α = 2% prihvatitiili odbaciti gornju tvrdnju.
2 Kolika je vjerojatnost da ce vas test prihvatiti gornju tvrdnjuako u stvarnosti 50% biraca podrzava vladu?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadatak
Zadatak
Celnici jedne stranke tvrde da vladu podupire najvise 40% biraca.Ispitivanje se provodi na uzorku od 500 ljudi.
1 Formirajte test koji ce s greskom prve vrste α = 2% prihvatitiili odbaciti gornju tvrdnju.
2 Kolika je vjerojatnost da ce vas test prihvatiti gornju tvrdnjuako u stvarnosti 50% biraca podrzava vladu?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadatak
Zadatak
Vlada tvrdi da je protiv ulaska Hrvatske u EU manje od 50%gradana.
1 Formirajte test na uzorku od 500 ljudi koji ce uz gresku prvevrste α = 0.05 prihvatiti ili odbaciti tvrdnju Vlade.
2 Kolika je vjerojatnost da ce Vas test prihvatiti tvrdnju Vladeako je u stvarnosti 55% gradana protiv?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadatak
Zadatak
Vlada tvrdi da je protiv ulaska Hrvatske u EU manje od 50%gradana.
1 Formirajte test na uzorku od 500 ljudi koji ce uz gresku prvevrste α = 0.05 prihvatiti ili odbaciti tvrdnju Vlade.
2 Kolika je vjerojatnost da ce Vas test prihvatiti tvrdnju Vladeako je u stvarnosti 55% gradana protiv?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadatak
Zadatak
Vlada tvrdi da je protiv ulaska Hrvatske u EU manje od 50%gradana.
1 Formirajte test na uzorku od 500 ljudi koji ce uz gresku prvevrste α = 0.05 prihvatiti ili odbaciti tvrdnju Vlade.
2 Kolika je vjerojatnost da ce Vas test prihvatiti tvrdnju Vladeako je u stvarnosti 55% gradana protiv?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadatak
Zadatak
Vlada tvrdi da je protiv ulaska Hrvatske u EU manje od 50%gradana.
1 Formirajte test na uzorku od 500 ljudi koji ce uz gresku prvevrste α = 0.05 prihvatiti ili odbaciti tvrdnju Vlade.
2 Kolika je vjerojatnost da ce Vas test prihvatiti tvrdnju Vladeako je u stvarnosti 55% gradana protiv?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadatak
Zadatak
Vlada tvrdi da je protiv ulaska Hrvatske u EU manje od 50%gradana.
1 Formirajte test na uzorku od 500 ljudi koji ce uz gresku prvevrste α = 0.05 prihvatiti ili odbaciti tvrdnju Vlade.
2 Kolika je vjerojatnost da ce Vas test prihvatiti tvrdnju Vladeako je u stvarnosti 55% gradana protiv?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
χ2 test
Testiranje podudarnosti empirijskih frekvencija fi i teoretskihfrekvencija f ∗i vrsi se pomocu velicine
χ2 =k∑
i=1
(fi − f ∗i )2
f ∗i.
i hipoteza o podudarnosti se odbacuje ako je χ2 > c savjerojatnosti
F (c) = 1− α
da se frekvencije zaista ne podudaraju.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadatak
Mjerenjem vijeka trajanja transformatora u mjesecima za 5000transformatora dobiveni su slijedeci rezultati.
trajanje 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70transformatori 1825 1225 950 600 250 100 25
Uz razinu pouzdanosti 1% testirajte hipotezu da je vijek trajanjatransformatora velicina eksponencijalne distribucije.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadatak
Dani su podaci pruzatelja internet usluga o sekundama trajanjaprekida veze (linka):
sekunde 0-0.1 0.1-0.2 0.2-0.3 0.3-0.4 0.4-0.5prekidi 4 83 281 79 3
Testirajte hipotezu o normalnoj razdiobi uz nivo signifikantnoati5% .
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Korelacija i regresija
Koeficijent korelacije dvaju obiljezja mjerenih na istih n statistickihjedinica jednak je
r =Sxy
SxSy,
gdje je
Sxy =1
n − 1
∑i
(xi − x)(yi − y), kovarijanca
S2x =
1
n − 1
∑i
(xi − x)2
S2y =
1
n − 1
∑i
(yi − y)2
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Koeficijent operativno
Razradena formula zax x1 x2 · · · xny y1 y2 · · · yn
glasi
r =
∑i xiyi − nx y√
(∑
i x2i − nx2) · (
∑i y 2
i − ny 2).
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadatak
Odredite koeficijent korelacije potrosnje vina i pive kroz godine utisucama litara
god 1995. 1996. 1997. 1998. 1999.
vino 13297 12197 11769 10659 10489
pivo 2943 2671 2652 2385 2353
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Pravac regresije za uzorak
U slucaju apsolutno velikih r -ova, isplati se pisati pravac regresijey = a + bx o ovisnosti y -a o x-u:
a =
∑i yi ·
∑i x2
i −∑
i xi ·∑
i xiyin ·∑
i x2i − (
∑i xi )2
b =n ·∑
i xiyi −∑
i xi ·∑
i yin ·∑
i x2i − (
∑i xi )2
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Pravac regresije za uzorak
Odredite jednadzbu pravca regresije ovisnosti potrosnje piva opotrosnji vina
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Korelacija na uzorku s visestrukim parovimapodataka
Ako parovi imaju visestruke frekvencije, zapis se komplicira:
xy y1 y2 · · · ynx1 f11 f12 · · · f1n
x2 f21 f11 · · · f11...
......
......
xm fm1 fm1 · · · fmn
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Formula nije jednostavna
r =n ·∑∑
xiyj fij − (∑
xi fi )(∑
yj fj)√[n ·∑
x2i fi − (
∑xi fi )2][n ·
∑y 2j fj − (
∑yj fj)2]
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Zadatak
Izracunajte koeficijent korelacije izmedu place u tisucama kuna ibroja automobila koje su razbili za nekoliko ispitanih osoba.
placa\auti 5 4 3 2
4 2 38 5 2 2
12 4 3
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Dopunski zadaci
1 Broj zaposlenih i ukupan prihod zadani su u tablici:
zaposleni 22 31 90 82 43
prihod 250 300 920 850 410
Izracunajte koeficijent korelacije i napisite pravac regresije po kojemprihod ovisi o broju zaposlenih.
2 Testirajte hipotezu Poissonove distribucije uz nivo signifikantnosti 0.05 zakontrolu 200 serija nekog proizvoda:
neispravnih u seriji 0 1 2 3 4
broj serija 112 54 28 4 2
3 Izracunajte koeficijent korelacije za parove podataka cije su frekvencijedane u tablici
X/Y 10 8 6 4
2 1 2
4 4 1 1
6 3 2
4 Mjerenjem vijeka trajanja akumulatora u godinama dobiveni su podaci:
trajanje 0-1 2-3 3-4 4-5 5-6
broj akumulatora 150 100 70 45 25
Testirajte hipotezu o eksponencijalnoj distribuciji.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Rjesenja dopunskih zadataka
1 y = 10.285x − 5.28
2 Odbacuje se uz χ2 = 6.04. x = 0.65
3 r = 0.8
4 x = 2, λ = 0.5, χ2 = 111.508 > 7.81.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Rjesenja dopunskih zadataka
1 y = 10.285x − 5.28
2 Odbacuje se uz χ2 = 6.04. x = 0.65
3 r = 0.8
4 x = 2, λ = 0.5, χ2 = 111.508 > 7.81.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Rjesenja dopunskih zadataka
1 y = 10.285x − 5.28
2 Odbacuje se uz χ2 = 6.04. x = 0.65
3 r = 0.8
4 x = 2, λ = 0.5, χ2 = 111.508 > 7.81.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Rjesenja dopunskih zadataka
1 y = 10.285x − 5.28
2 Odbacuje se uz χ2 = 6.04. x = 0.65
3 r = 0.8
4 x = 2, λ = 0.5, χ2 = 111.508 > 7.81.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Rjesenja dopunskih zadataka
1 y = 10.285x − 5.28
2 Odbacuje se uz χ2 = 6.04. x = 0.65
3 r = 0.8
4 x = 2, λ = 0.5, χ2 = 111.508 > 7.81.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispit iz vjerojatnosti ...
1 U plavoj kutiji su cetiri crne i tri bijele kuglice, a u zutoj kutijisu tri crne i cetiri bijele kuglice. Martin je iz plave u zutukutiju prebacio jednu kuglicu. Koliko je vjerojatno da ceAdam iz zute kutije nakon toga izvuci crnu kuglicu?
2 Mjesecni broj prometnih nesreca u Republici Hrvatskojslucajna je varijabla normalne razdiobe s ocekivanim brojemod 350 i standardnim odstupanjem od 70 prometnih nesreca.
1 Koliko je vjerojatno da u lipnju bude najvise 400 prometnihnesreca?
2 Do danas je zabiljezeno 150 prometnih nesreca. Koliko jevjerojatno da ih do kraja mjeseca nece biti vise od 150?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispit iz vjerojatnosti ...
1 U plavoj kutiji su cetiri crne i tri bijele kuglice, a u zutoj kutijisu tri crne i cetiri bijele kuglice. Martin je iz plave u zutukutiju prebacio jednu kuglicu. Koliko je vjerojatno da ceAdam iz zute kutije nakon toga izvuci crnu kuglicu?
2 Mjesecni broj prometnih nesreca u Republici Hrvatskojslucajna je varijabla normalne razdiobe s ocekivanim brojemod 350 i standardnim odstupanjem od 70 prometnih nesreca.
1 Koliko je vjerojatno da u lipnju bude najvise 400 prometnihnesreca?
2 Do danas je zabiljezeno 150 prometnih nesreca. Koliko jevjerojatno da ih do kraja mjeseca nece biti vise od 150?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispit iz vjerojatnosti ...
1 U plavoj kutiji su cetiri crne i tri bijele kuglice, a u zutoj kutijisu tri crne i cetiri bijele kuglice. Martin je iz plave u zutukutiju prebacio jednu kuglicu. Koliko je vjerojatno da ceAdam iz zute kutije nakon toga izvuci crnu kuglicu?
2 Mjesecni broj prometnih nesreca u Republici Hrvatskojslucajna je varijabla normalne razdiobe s ocekivanim brojemod 350 i standardnim odstupanjem od 70 prometnih nesreca.
1 Koliko je vjerojatno da u lipnju bude najvise 400 prometnihnesreca?
2 Do danas je zabiljezeno 150 prometnih nesreca. Koliko jevjerojatno da ih do kraja mjeseca nece biti vise od 150?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispit iz vjerojatnosti ...
1 U plavoj kutiji su cetiri crne i tri bijele kuglice, a u zutoj kutijisu tri crne i cetiri bijele kuglice. Martin je iz plave u zutukutiju prebacio jednu kuglicu. Koliko je vjerojatno da ceAdam iz zute kutije nakon toga izvuci crnu kuglicu?
2 Mjesecni broj prometnih nesreca u Republici Hrvatskojslucajna je varijabla normalne razdiobe s ocekivanim brojemod 350 i standardnim odstupanjem od 70 prometnih nesreca.
1 Koliko je vjerojatno da u lipnju bude najvise 400 prometnihnesreca?
2 Do danas je zabiljezeno 150 prometnih nesreca. Koliko jevjerojatno da ih do kraja mjeseca nece biti vise od 150?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
Ispit iz vjerojatnosti ...
1 U plavoj kutiji su cetiri crne i tri bijele kuglice, a u zutoj kutijisu tri crne i cetiri bijele kuglice. Martin je iz plave u zutukutiju prebacio jednu kuglicu. Koliko je vjerojatno da ceAdam iz zute kutije nakon toga izvuci crnu kuglicu?
2 Mjesecni broj prometnih nesreca u Republici Hrvatskojslucajna je varijabla normalne razdiobe s ocekivanim brojemod 350 i standardnim odstupanjem od 70 prometnih nesreca.
1 Koliko je vjerojatno da u lipnju bude najvise 400 prometnihnesreca?
2 Do danas je zabiljezeno 150 prometnih nesreca. Koliko jevjerojatno da ih do kraja mjeseca nece biti vise od 150?
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
... i statistike
1 Broj neispravnih autobusa po danima zabiljezen je u tablici:neispr. bus. 0 1 2 3
dani 10 12 6 2Testirajte hipotezu o Poissonovoj razdiobi uz signifikantnostα = 1%. Koliko je vjerojatno da ce sutra bar jedan autobusbiti neispravan?
2 Izracunajte koeficijent korelacije za visinu mladenca imladenke u sljedecim vjencanjima, a u cm:
mladenka 162 164 158 170 160
mladenac 172 175 178 168 182Nacrtajte pravac regresije.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
... i statistike
1 Broj neispravnih autobusa po danima zabiljezen je u tablici:neispr. bus. 0 1 2 3
dani 10 12 6 2
Testirajte hipotezu o Poissonovoj razdiobi uz signifikantnostα = 1%. Koliko je vjerojatno da ce sutra bar jedan autobusbiti neispravan?
2 Izracunajte koeficijent korelacije za visinu mladenca imladenke u sljedecim vjencanjima, a u cm:
mladenka 162 164 158 170 160
mladenac 172 175 178 168 182Nacrtajte pravac regresije.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
... i statistike
1 Broj neispravnih autobusa po danima zabiljezen je u tablici:neispr. bus. 0 1 2 3
dani 10 12 6 2Testirajte hipotezu o Poissonovoj razdiobi uz signifikantnostα = 1%. Koliko je vjerojatno da ce sutra bar jedan autobusbiti neispravan?
2 Izracunajte koeficijent korelacije za visinu mladenca imladenke u sljedecim vjencanjima, a u cm:
mladenka 162 164 158 170 160
mladenac 172 175 178 168 182Nacrtajte pravac regresije.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
... i statistike
1 Broj neispravnih autobusa po danima zabiljezen je u tablici:neispr. bus. 0 1 2 3
dani 10 12 6 2Testirajte hipotezu o Poissonovoj razdiobi uz signifikantnostα = 1%. Koliko je vjerojatno da ce sutra bar jedan autobusbiti neispravan?
2 Izracunajte koeficijent korelacije za visinu mladenca imladenke u sljedecim vjencanjima, a u cm:
mladenka 162 164 158 170 160
mladenac 172 175 178 168 182Nacrtajte pravac regresije.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
... i statistike
1 Broj neispravnih autobusa po danima zabiljezen je u tablici:neispr. bus. 0 1 2 3
dani 10 12 6 2Testirajte hipotezu o Poissonovoj razdiobi uz signifikantnostα = 1%. Koliko je vjerojatno da ce sutra bar jedan autobusbiti neispravan?
2 Izracunajte koeficijent korelacije za visinu mladenca imladenke u sljedecim vjencanjima, a u cm:
mladenka 162 164 158 170 160
mladenac 172 175 178 168 182
Nacrtajte pravac regresije.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika
... i statistike
1 Broj neispravnih autobusa po danima zabiljezen je u tablici:neispr. bus. 0 1 2 3
dani 10 12 6 2Testirajte hipotezu o Poissonovoj razdiobi uz signifikantnostα = 1%. Koliko je vjerojatno da ce sutra bar jedan autobusbiti neispravan?
2 Izracunajte koeficijent korelacije za visinu mladenca imladenke u sljedecim vjencanjima, a u cm:
mladenka 162 164 158 170 160
mladenac 172 175 178 168 182Nacrtajte pravac regresije.
Bozidar Ivankovic Vjerojatnost i statistika