vol 2, no.1 januari 2016repository.lppm.unila.ac.id/7005/1/karakteristik fungsi...dari keluarga...

my computer

Rectangle

my computer

Text Box

Vol 2, No.1 Januari 2016

Jurnal e-DuMath Volume 2 No. 1, Januari 2016 Hlm. 38-51

Diterbitkan Oleh: http://ejournal.stkipmpringsewu-lpg.ac.id/index.php/edumath

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP Muhammadiyah Pringsewu Lampung 38

KARAKTERISTIK FUNGSI DISTRIBUSI FOUR-PARAMETER

GENERALIZED-t

Rahman Cahyadi

1, Warsono

2, Mustofa Usman

3, Dian Kurniasari

4

1Pendidikan Matematika, STKIP Muhammadiyah Pringsewu

Email: [email protected] 2Matematika, Universitas Lampung

3Matematika, Universitas Lampung

4Matematika, Universitas Lampung

Abstract

This research is about the characteristic function of four-parameter generalized t

distribution. Four-parameter generalized t distribution has four parameters which

are µ as a location parameter, σ as a scale parameter, p and q as a shape

parameter, and B as a function of beta. The characteristic function are retrieved

from the expectation ofitxe , where i as a imaginary number. Then, the characteristic

function of four-parameter generalized t distribution was able to be determined by

using definition and trigonometric expansions. Based on those two methods this

study got the same results and then will be continued proving the fundamental

properties of the characteristic function of four-parameter generalized t distribution.

Furthermore, it needs graph simulation on a characteristic function of four-

parameter generalized t distribution. Graph simulation result on the characteristic

function of four- parameter generalized t distribution was formed a closed curve

(circle) are smooth.

Keywords: four-parameter generalized t distribution, characteristic function,

graph simulation

1. PENDAHULUAN

Distribusi t merupakan salah satu

dari keluarga distribusi peluang

kontinu yang penurunannya

berdasarkan distribusi normal baku dan

distribusi khi-kuadrat. Distribusi four-

parameter generalized t merupakan

bentuk perumuman dari distribusi t

dengan menambahkan lagi parameter

yang lain. Distribusi four-parameter

generalized t memiliki empat

parameter yaitu parameter bentuk

(p,q), parameter lokasi (µ), dan

parameter skala (σ) serta B sebagai

fungsi beta. Sudah banyak peneliti

yang membahas tentang distribusi

four-parameter generalized t

diantaranya yaitu: McDonald dan

Newey (1988), Boyer dkk (2003),

Chan dkk (2007), Lee dkk (2012).

Fungsi karakteristik adalah salah

satu jenis transformasi yang sering

digunakan pada teori peluang dan

statistika. Fungsi karakteristik dapat

digunakan untuk menentukan fungsi

distribusi dari suatu peubah acak yang

dikenal sebagai teorema inversi fungsi

mailto:[email protected]




karakteristik. Teorema inversi fungsi

karakteristik merupakan salah satu sifat

yang menjadi ciri khas fungsi

karakteristik. Fungsi karakteristik juga

memiliki sifat-sifat dasar. Namun

demikian, sejauh penelusuran yang

telah penulis lakukan bahwa belum

ditemukan penjelasan tentang fungsi

karakteristik khususnya fungsi

karakteristik distribusi four-parameter

generalized t.

Pada penelitian ini, penulis akan

membahas lebih dalam mengenai

fungsi karakteristik, dan pembuktian

sifat-sifat dasar fungsi karakteristik

dari distribusi four-parameter

generalized t (1), kemudian akan

dilanjutkan dengan melakukan

simulasi grafik fungsi kepekatan

peluang dan fungsi karakteristik dari

distribusi four-parameter generalized t

dengan software MATLAB R2010b.

Menurut McDonald dan Newey (1988)

distribusi generalized t memiliki fungsi

kepekatan peluang berbentuk :

q

p p

px

qq

pBq

pqpxGT

1

1 11,

12

,,,;

for x (1)

Dimana μ ∈ R adalah parameter lokasi

, σ > 0 adalah parameter skala , p > 0

dan q > 0 keduanya parameter bentuk

dan B ( . ) Apakah fungsi beta (Chan et

al , 2007),

Fungsi karakteristik dari


dapat diperoleh dari fungsi pembangkit

momen dengan menambahkan i

sebagai bagian imaginer dan ekspansi

trigonometri. Dalam penelitian ini

digunakan dua cara tersebut untuk

mencari fungsi karakteristik dari

distribusi four-parameter generalized t.

Selanjutnya akan dibuktikan sifat-sifat

dasar fungsi karakteristik dari


dan melakukan simulasi grafik gambar

fungsi kepekatan peluang dan fungsi

karakteristik dari distribusi four-

parameter generalized t. Berdasarkan

latar belakang yang telah diuraikan

dalam penelitian ini akan dibahas

kajian tentang “Fungsi Karakteristik

dari Distribusi four-parameter

generalized t”.

2. PEMBAHASAN

1) Distribusi Four-Parameter

Generalized t

Suatu peubah acak X dikatakan

memiliki distribusi generalized t ,

dengan parameter , , p dan q , dan

jika dan hanya jika fungsi kepekatan

peluang dari X adalah




q

p p

px

qq

pBq

pqpxGT

1

1 11,

12

,,,;

for x (2)

Dimana μ ∈ R adalah parameter lokasi

, σ > 0 adalah parameter skala , p > 0

dan q > 0 keduanya parameter bentuk

dan B ( . ) Adalah fungsi beta (Chan et

al, 2007).

Gambar 1. Grafik Fungsi Kepekatan

Peluang dari Distribusi four-parameter

generalized t dengan p=1, q=20, σ=100, µ=0

2) Simulasi Grafik Fungsi Kepekatan

Peluang Distribusi Four-Parameter

Generalized t

Pada bagian ini akan dibahas

mengenai simulasi grafik fungsi

kepekatan peluang dari ditribusi four-

parameter generalized t dengan

menggunakan software MATLAB

R2010b.

(1) Simulasi grafik fungsi kepekatan

peluang dari distribusi four-


nilai p tetap, q meningkat, σ

meningkat, µ tetap

Gambar 2. Grafik Fungsi kepekatan

peluang distribusi four-parameter

generalized t dengan p=1, q=(1,2,3,4),

σ=(50,75,100,125), µ=0




nilai p tetap, q menurun, σ

menurun, µ tetap




σ=(125,100,75,50), µ=0




nilai p meningkat, q meningkat, σ

menurun, µ tetap

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 2000

1

2

3

4

5

6

7x 10

-3

x

f(x)

PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 2000

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

x

f(x)


p1=1,q1=1,sigma1=50,µ1=0

p2=1,q2=2,sigma2=75,µ2=0

p3=1,q3=3,sigma3=100,µ3=0

p4=1,q4=4,sigma4=125,µ4=0

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 2000

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

x

f(x)


p1=1,q1=4,sigma1=125,µ1=0

p2=1,q2=3,sigma2=100,µ2=0

p3=1,q3=2,sigma3=75,µ3=0

p4=1,q4=1,sigma4=50,µ4=0






generalized t dengan p=(1,2,3,4),

q=(1,2,3,4), σ=(125,100,75,50), µ=0 .




nilai p meningkat, q menurun, σ

meningkat, µ tetap




q=(4,3,2,1), σ=(50,75,100,125), µ=0




nilai p menurun, q meningkat, σ

meningkat, µ tetap




q=(1,2,3,4), σ=(50,75,100,125), µ=0




nilai p menurun, q menurun, σ

meningkat, µ tetap




q=(4,3,2,1), σ=(50,75,100,125), µ=0




nilai p meningkat, q tetap, σ

menurun, µ berbeda

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 2000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

x

f(x)


p1=1,q1=1,sigma1=125,µ1=0

p2=2,q2=2,sigma2=100,µ2=0

p3=3,q3=3,sigma3=75,µ3=0

p4=4,q4=4,sigma4=50,µ4=0

-200 -150 -100 -50 0 50 100 1500

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

x

f(x)


p1=1,q1=4,sigma1=50,µ1=0

p2=2,q2=3,sigma2=75,µ2=0

p3=3,q3=2,sigma3=100,µ3=0

p4=4,q4=1,sigma4=125,µ4=0

-200 -150 -100 -50 0 50 100 1500

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

x

f(x)


p1=4,q1=1,sigma1=50,µ1=0

p2=3,q2=2,sigma2=75,µ2=0

p3=2,q3=3,sigma3=100,µ3=0

p4=1,q4=4,sigma4=125,µ4=0

-200 -150 -100 -50 0 50 100 1500

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

x

f(x)


p1=4,q1=4,sigma1=50,µ1=0

p2=3,q2=3,sigma2=75,µ2=0

p3=2,q3=2,sigma3=100,µ3=0

p4=1,q4=1,sigma4=125,µ4=0






generalized t dengan p=(1,2,3,4), q=1,

σ=(125,100,75,50), µ=(-50,-25,0,25)




nilai p menurun, q tetap, σ

menurun, µ berbeda




σ=(125,100,75,50), µ=(-50,-25,0,25)




nilai p meningkat, q meningkat, σ

tetap, µ tetap




q=(1,2,3,4), σ=75, µ=0




nilai p menurun, q menurun, σ

tetap, µ tetap




q=(4,3,2,1), σ=75, µ=0




nilai p tetap, q meningkat, σ tetap,

µ tetap

-200 -150 -100 -50 0 50 100 1500

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

x

f(x)


p1=1,q1=1,sigma1=125,µ1=-50

p2=2,q2=1,sigma2=100,µ2=-25

p3=3,q3=1,sigma3=75,µ3=0

p4=4,q4=1,sigma4=50,µ4=25

-200 -150 -100 -50 0 50 100 1500

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

x

f(x)


p1=4,q1=1,sigma1=125,µ1=-50

p2=3,q2=1,sigma2=100,µ2=-25

p3=2,q3=1,sigma3=75,µ3=0

p4=1,q4=1,sigma4=50,µ4=25

-200 -150 -100 -50 0 50 100 1500

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

-3

x

f(x)


p1=1,q1=1,sigma1=75,µ1=0

p2=2,q2=2,sigma2=75,µ2=0

p3=3,q3=3,sigma3=75,µ3=0

p4=4,q4=4,sigma4=75,µ4=0

-200 -150 -100 -50 0 50 100 1500

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

-3

x

f(x)


p1=4,q1=4,sigma1=75,µ1=0

p2=3,q2=3,sigma2=75,µ2=0

p3=2,q3=2,sigma3=75,µ3=0

p4=1,q4=1,sigma4=75,µ4=0







σ=75, µ=0




nilai p meningkat, q tetap, σ tetap,

µ tetap




σ=75, µ=0

Dari gambar grafik fungsi

kepekatan peluang distribusi four-

parameter generalized t dapat di lihat

bahwa σ adalah parameter skala, p dan

q adalah parameter bentuk sehingga

semakin menurun nilai σ maka

semakin kecil skala dari grafik yang

terbentuk dan sebaliknya, semakin

meningkat nilai σ maka semakin besar

skala dari grafik yang terbentuk.

Sedangkan puncak grafik yang

terbentuk dipengaruhi oleh meningkat

atau menurun nilai p dan q. Kemudian

µ adalah parameter lokasi sehingga

dapat di lihat pada gambar bahwa

grafik selalu simetri pada µ.

3) Fungsi Karakteristik Distribusi Four-

Parameter Generalized t

(1) Fungsi Karakteristik Distribusi

Four-Parameter Generalized t

dengan definisi

Pada bagian ini akan dijelaskan fungsi


generalized t . Fungsi karakteristik


generalized t dapat diperoleh dari

fungsi pembangkit momen dengan

menambahkan i sebagai bagian

imajiner .

Jika X adalah distribusi peubah acak

distribusi generalized t dengan

parameter μ∈R dan σ , p , q > 0 , maka

fungsi karakteristik X adalah sebagai

berikut :

dxxfeeEt itxitx

x

Oleh karena batas x pada fungsi


parameter generalized t adalah

x ,dan berdasarkan simulasi

grafik fungsi kepekatan peluang

-200 -150 -100 -50 0 50 100 1500

1

2

3

4

5

6

7x 10

-3

x

f(x)


p1=1,q1=1,sigma1=75,µ1=0

p2=1,q2=2,sigma2=75,µ2=0

p3=1,q3=3,sigma3=75,µ3=0

p4=1,q4=4,sigma4=75,µ4=0

-200 -150 -100 -50 0 50 100 1500

1

2

3

4

5

6

7x 10

-3

x

f(x)


p1=1,q1=1,sigma1=75,µ1=0

p2=2,q2=1,sigma2=75,µ2=0

p3=3,q3=1,sigma3=75,µ3=0

p4=4,q4=1,sigma4=75,µ4=0




distribusi four-parameter generalized

t diperoleh grafik plot yang simetri

pada µ, maka berdasarkan teorema

simetri berlaku:

dxxfet xit

x

)(2

dx

x

qq

pBq

pe

qp

xit

p

p

i

1

11,

12

2 )(

Misalkan p

x

qy

1 kita dapat

menulis ulang persamaan ( 2 ) dalam

bentuk berikut

0

1)(11

11

1

1

1

,1

dyqypy

e

qp

Bq

pt pp

pp

q

xit

x

dy

y

ye

qp

Bq

xit

p

p

1

1

1.

,1

11

)(

(3)

Menggunakan MacLaurin dari fungsi

)( xite , maka persamaan ( 3 ) dapat

ditulis sebagai

dy

y

y

n

xit

qp

B

tq

n

n

xp

p

0

1

0

1

1

1.

!

)(

,1

1

0

,1

,1

!

1

n

n

qp

B

p

nq

p

n

pB

n

itq p

0

1

1

.

.

!

1

n p

pn

pn

p

n

q

q

n

itq p

Dengan pendekatan Stirling, diperoleh

0 !

1111

1

n

n

xn

qpitq

t

pp

p

(4)

Dengan menggunakan ekspansi deret

MacLaurin, persamaan (4) dapat

dinyatakan sebagai

pp

p

qpitq

x et

111

11

Jadi fungsi karakteristik dari distribusi

four-parameter generalized t adalah

pp

pit

pit

it

x

itxitititx

x

eee

teeEeeEt

11 1

1

)(

.

.

(2) Fungsi karakteristik distribusi

four-parameter generalized t

dengan ekspansi trigonometri

Selain menggunakan metode yang

dijelaskan sebelumnya , pada bagian

ini akan dijelaskan cara lain untuk

menentukan fungsi dari karakteristik ,

sebagai berikut :

Akan ditunjukkan bahwa

txSinitxCosEeEt itx

x

txSinEitxCosE

p

pit

e

1

1

Bukti :

dxxfet itx

x

Oleh karena batas x pada fungsi


parameter generalized t adalah

x , dan berdasarkan simulasi

grafik fungsi kepekatan peluang


t diperoleh grafik plot yang simetri

pada µ, maka berdasarkan teorema

simetri berlaku:

dxxfet xit

x

)(2




dxxfxtSinixtCos )()(2

(5)

Persamaan (5) akan diselesaikan

berikut ini

)( xtCosxf dan

)( xtSinxf

0

)(n

n

n xCxf ; dimana 0!

1 n

n fn

C

Oleh karena,

nn

xtn

xtxtxtCos242

)(!2

1)(

!4

1)(

!2

11)(

1253)(

!12

1)(

!5

1)(

!3

1)()(

nn

xtin

xtixtixitxtSini

Dengan memisahkan menjadi dua

bagian, kita selesaikan secara terpisah

dari persamaan (5) yang kita miliki,

Bagian pertama

dx

x

qq

pBq

pxCdxxfxtCos

qpn

n

np

p

1

1 11,

1

)()(0

dx

x

q

xtxt

qp

Bq

p

qp p

p

1

1

11

1

!4

)(

!2

)(1

,1

42

(6)

Dengan memisalkan px

qy

1 kita dapat

menuliskan persamaan ( 6 ) dalam bentuk

berikut

dyqy

py

xtxt

qp

Bq

pdxxfxtCos pp

pp

q

11

11

142

1

1

1

!4

)(

!2

)(1

,1

)(

dy

y

yxtxt

qp

Bq

p

p

1

1

1!4

)(

!2

)(1

,1

11

0

42

0 0 0

14121

1

1

1

1

1

1

1!4

)(

1!2

)(

1,

1

1dy

y

yxtdy

y

yxtdy

y

y

qp

Bqqq

p

p

p

p

p

p

0 0 0

1441221

1

1

11

1

1

11

1

1

1!41!21,

1

1dy

y

yqy

tdy

y

yqy

tdy

y

y

qp

Bqqq

p

p

pp

p

p

pp

p

p

0 0 0

1

441

221

1

1

44

1

1

22

1

1

1!41!21,

1

1dy

y

yyq

tdy

y

yyq

tdy

y

y

qp

Bqqq

p

p

pp

p

p

pp

p

p

0 0 0

1

441

221

441

41

44

221

21

2

1

1

1!41!21,

1

1dy

y

yyq

tdy

y

yq

tdy

y

y

qp

Bppp

pp

pp

ppp

pp

p

p

p

qqq

Selanjutnya, dengan menggunakan fungsi

Beta, kita memiliki

p

qpp

Bqt

pq

ppBq

tq

pB

qp

B

dxxfxtCos

pp4

,41

!4

2,

21

!2,

1

,1

1

)(

44

22 42

qp

B

pq

ppBtq

qp

B

pq

ppBtq pp

,1

4,

41

!4,

1

2,

21

!21

42 11

(7)

Bagian kedua ,

dx

x

qq

pBq

pxCdxxfxtSini

qpn

n

np

p

1

1 11,

1

)()(0

dx

x

q

xtixtixit

qp

Bq

pq

p pp

1

1

11

1

!5

)(

!3

)()(

,1

53

(8)

Dengan memisalkan px

qy

1 kita dapat

menuliskan persamaan (8) dalam bentuk

berikut

dyqy

py

xtixtixit

qp

Bq

p

dxxfxtSini

pp

pp

q

11

11

1

0

531

1

1

!5

)(

!3

)()(

,1

)(2




dy

y

yxtixtiitx

qp

Bq

p

p

1

1

1!5

)(

!3

3)(

,1

11

0

5

0 0 0

15131

1

1

1

1

1

1

1!5

)(

1!3

)(

1)(

,1

1dy

y

yxtidy

y

yxtidy

y

yxit

qp

Bqqq

p

p

p

p

p

p

0 0 0

155133

1

1

1

11

1

1

11

1

1

11

1!51!31,1

1dy

y

yqy

itdy

y

yqy

itdy

y

yqyit

qp

Bqqq

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

0 0 0

1

55

1

33

1

1

1

55

1

1

33

1

1

11

1!51!31,

1

1

)(

dyy

yyq

itdy

y

yyq

itdy

y

yyitq

qp

B

dxxfxtSini

qqqp

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

0 0 0

1

551

331

551

51

5

331

31

3

111

11

1

1!51!31,

1

1dy

y

yq

itdy

y

yq

itdy

y

yitq

qp

Bppp

pp

p

ppp

pp

p

ppp

pp

p

qqq

Selanjutnya, dengan menggunakan fungsi

Beta , kita memiliki

p

qpp

Bqit

pq

ppBq

it

pq

ppBitq

qp

B

dxxfxtSini

ppp5

,51

!5

3,

31

!3

1,

11

,1

1

)(

55

33 531

qp

B

pq

ppBtqi

qp

B

pq

ppBtqi

qp

B

pq

ppB

itq

pp

p

,1

5,

51

!5,

1

3,

31

!3,

1

1,

11 53 11

1

(9)

Mensubstitusikan Persamaan ( 7 ) dan

Persamaan ( 9 ) ke dalam Persamaan ( 5 ),

jadi

qp

B

pq

ppBtqi

qp

B

pq

ppBtqi

qp

B

pq

ppB

itq

qp

B

pq

ppBtq

qp

B

pq

ppBtq

dxxfxtSinidxxfxtCos

pp

p

pp

,1

5,

51

.!5

,1

3,

31

.!3

,1

1,

11

.

,1

4,

41

.!4

,1

2,

21

.!2

1

)()(

53

42

11

1

11

qp

B

pq

ppBtqi

qp

B

pq

ppBtq

qp

B

pq

ppBtqi

qp

B

pq

ppBtq

qp

B

pq

ppB

itq

pp

pp

p

,1

5,

51

.!5

,1

4,

41

.!4

,1

3,

31

.!3

,1

2,

21

.!2

,1

1,

11

.1

54

32

11

11

1

Diketahui bahwa 1i , i adalah bagian

dari imajiner , sehingga persamaan

menjadi

0

1

1

1

1

.

.

!

)())(()())((

1

n

p

p

p

n

p

n

p

p

n

p

n

pn

q

q

q

q

n

itq

dxxfxtSinidxxfxtCos

p

011

11

..

..

!

)())(()())((

1

n pp

pp

n

p

n

p

n

qq

qq

n

itq

dxxfxtSinidxxfxtCos

p

01

1

.

.

!

)())(()())((

1

n p

p

n

p

n

p

n

q

q

n

itq

dxxfxtSinidxxfxtCos

p

Dengan pendekatan Stirling , kita

memperoleh

0 1

1

2

1

2

111

2

1

2

1111

.2..2

.2..2

!

)()(

nqq

p

qq

p

n

qee

qee

n

itq

dxxfxtSinidxxfxtCos

pp

p

n

p

n

ppp

0

11

!

)()(

1

n

n

p

n

p

np

qpn

itq

dxxfxtSinidxxfxtCos

0 !

11

)())(()())((

11

1

n

n

n

qpitq

dxxfxtSinidxxfxtCos

pp

p

(10)

dan persamaan ( 10 ) dapat ditulis

kembali sebagai bentuk berikut

pp

p

qpitq

x et

111

11

Jadi fungsi karakteristik dari distribusi





pp

pit

pit

it

x

itxitititx

x

eee

teeEeeEt

11 1

1

)(

.

.

Dengan demikian , fungsi karakteristik

dari distribusi four-parameter generalized

t adalah

p

pit

x et

1

1

Berdasarkan penjabaran tersebut dalam

menentukan fungsi karakteristik

menggunakan definisi dan menggunakan

ekspansi trigonometri diperoleh hasil

yang sama. Sehingga dapat disimpulkan

fungsi karakteristik dari distribusi four-

parameter generalized t adalah :

p

pit

x et

1

1

(3) Pembuktian Sifat-Sifat Dasar Fungsi

Karakteristik dari Fungsi

Karakteristik Distribusi Four-

Parameter Generalized t

Pada bagian ini akan dibahas tentang

sifat-sifat dasar fungsi karakteristik dari

fungsi karakteristik distribusi four-

parameter generalized t . Akan

ditunjukkan bahwa fungsi karakteristik


memenuhi sifat-sifat dasar dari fungsi

karakteristik.

Sifat 1. Misalkan fungsi karakteristik


adalah

p

pit

x et

1

1

Maka 1)0( x .

Bukti:

Perhatikan bahwa

p

pit

x et

1

1

Masukan t = 0 , maka kita mendapatkan

1)0(

)0( 0

10

1

x

p

x ee

p

Sifat 2.

1)( tx

Bukti:

Menurut definisi , diketahui bahwa :

)(sin)(cos xtixteitx

dan 1i , sehingga

11

1)(sin)(cos 222

itx

itx

e

txtxe

jadi diperoleh

dFe

t

itx

x dFitx

e

2

2)(

~

.

~

1

11,

11

2

.2

2

2

.12

dx

qpp

x

qq

pB

pq

p

dxxf

dF

dF

~

1

11

.

,11

dx

x

q

p

qp

Bq

p

qppp

(15)

Misalkan p

x

qy

1 kita dapat menulis

ulang persamaan ( 15 ) dalam bentuk

berikut




0

1

~

0

1

1

1

1

11

1

1,

1

1

1

1

1.

,1

)(

dyy

y

qp

B

dyqyp

yqp

Bq

pt

q

qp

x

p

p

pp

p

Karena

dy

y

yq

pB

qp

p

0

1

1

1

1,

1 , maka

1

,1

,1

1

q

pB

qp

B

tx

▄

Sifat 3.

Misalkan

p

pit

x et

1

1

adalah fungsi

karakteristik dari peubah acak X dari


Maka fungsi karakteristik peubah acak -X

adalah )(tx

Bukti.

Misalkan )(tx adalah konjugat kompleks

dari )(tx , akan ditunjukkan bahwa fungsi

karakteristik (-t) adalah )(tx , maka :

p

p

pit

pit

x

e

et

1

1

1

1

1

)(

)(

)(

1

t

t

x

x

Jadi, fungsi karakteristik (-t) dari


adalah

p

pit

x

e

t1

1

1

Dari pembuktian ketiga sifat fungsi

karakteristik tersebut, maka dapat

disimpulkan bahwa fungsi karakteristik

dari distribusi four-parameter generalized

t memenuhi sifat-sifat dasar dari fungsi

karakteristik. Selanjutnya akan dilakukan

simulasi grafik fungsi karakteristik dari


3) Simulasi Grafik Fungsi Karakteristik

Distribusi Four-Parameter

Generalized t

Pada bagian ini akan dibahas mengenai

simulasi grafik fungsi karakteristik dari

ditribusi four-parameter generalized t

dengan menggunakan software MATLAB

R2010b.

1. Simulasi grafik fungsi Karakteristik


generalized t dengan µ=0,σ=1 dan

p=1.

Gambar 14. Grafik Fungsi karakteristik


dengan µ=0,σ=1 dan p=1.




p=1,5.

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Characteristic Function of Four-Parameter Generalized t distribution with Mu=0,sigma=1, p=1






dengan µ=0, σ=1 dan p=1,5




p=2



dengan µ=0,σ=1 dan p=2




p=2,5.



dengan µ=0,σ=1 dan p=2,5.




p=3,5.



dengan µ=0,σ=1 dan p=3,5




p=5.







p=10.

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Characteristic Function of Four-Parameter Generalized t distribution with Mu=0,sigma=1, p=1.5

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


-1 -0.5 0 0.5 1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


-1 -0.5 0 0.5 1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8











p=100.



dengan µ=0,σ=1 dan p=100.

Berdasarkan hasil simulasi grafik

fungsi karakteristik dari distribusi

four-parameter generalized t dengan

menggunakan software MATLAB

R2010b dapat disimpulkan bahwa

semakin meningkat nilai parameter

bentuk yaitu p, maka grafik fungsi


generalized t akan membentuk kurva

tertutup (lingkaran) yang mulus.

3. KESIMPULAN

Kita dapat menyimpulkan beberapa poin

dari paparan diatas sebagai berikut :

1. Fungsi karakteristik dari distribusi


p

pit

x et

1

1

2. Fungsi karakteristik distribusi four-

parameter generalized t memenuhi

sifat-sifat dasar fungsi karakteristik.

3. Hasil simulasi grafik menunjukan

bahwa semakin meningkat nilai

parameter p yaitu parameter bentuk,

maka grafik fungsi karakteristik


t membentuk kurva tertutup

(lingkaran) yang mulus.

4. DAFTAR PUSTAKA

Boyer, Brian H., James B. McDonald,

Whitney K. Newey. (2003). A

Comparison of Partially Adaptive

and Reweighted Least Squares

Estimation. Econometric Reviews

Vol.22. No.2 pp: 115-134.

Chan, J.S.K, Choy, S.T.B, and Markov

U.E: 2007. Robust Bayesian

Analysis of Loss Reserves Data

Using the Generalized-t

Distribution. Quantitative Finance

Research Centre. University of

Technology Sydney.

www.qfrc.uts.edu.au

Lee, Anthony, Francois Caron, Arnaud

Doucet, and Chris Holmes.

(2012). Bayesian Sparsity-Path-

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


http://www.qfrc.uts.edu.au/




Analysis of Genetic Association

Signal using Generalized t Priors.

Statistical Applications in

Genetics and Molecular Biology.

Computational Statistical Methods

For Genomics And Systems

Biology.

McDonald ,James B and Whitney K.

Newey. (1988). Partially

Adaptive Estimation of

Regression Models Via The

Generalized t Distribution.

Econmet Theory 4: 428-457.

vol 2, no.1 januari 2016repository.lppm.unila.ac.id/7005/1/karakteristik fungsi...dari keluarga...

Documents