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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Binomialverteilung: Beispiel
0729.0729.001.010)9.0(1.02
5)2(
329.0656.01.05)9.0(1.01
5)1(
591.0591.011)9.0(1.00
5)0(
32
41
50
XP
XP
XP
Wahrscheinlichkeit für Antibiotika positiv P = 1/10
gezogene Stichprobe n = 5
• Hormonuntersuchung bei Kälbern
etc.
Anzahl der Erfolge bei n Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p
:X
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Stetige Zufallsgrößen
b
adxxfbXaP )()(
• Darstellung durch Dichtefunktion f
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
:
dxxfbFXPb
)()(b)(
Verteilungsfunktion stetiger Zufallsgrößen
-4 -2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
Dic
hte
b
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
a b
Stetige Gleichverteilung
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Stetige Gleichverteilung
]);([~ baGX
)(1
)(
1)(
axab
xF
abxf
für
für
12
)()(
2)(
2abXVar
baXE
bxa
bxa
Beschreibung: X ist eine Größe zwischen a und b, kein Punkt wird bevorzugt
Beispiel: a=0, b=10, Wartezeit auf S-Bahn
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Erwartungswert und Varianz stetiger Zufallsgrößen
Ist stetig mit Dichtefunktion , so definiert man:xf
dxxfXExXEXEXVar
dxxxfXE
)())(()))((()(
)()(
22
X
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Erwartungswert von linear transformierten Zufallsgrößen
Für eine Zufallsvariable X gilt (mit beliebigen Konstanten a und b):
)()(
)()(2 XVarbXbaVar
XEbaXbaE
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Eine stetige Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den Parametern , kurz X~N , falls sie die folgende Dichtefunktion besitzt:
2,
2
2)(
2
1exp
2
1:)(
x
Xf X
2 und
Erwartungswert Varianz 2)( XVar
Normalverteilung: Definition
)(XE
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
3210-1-2-3
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Dichte der Normalverteilung (müh=0, sigma=1)
3210-1-2-3
1.0
0.5
0.0
Verteilungsfunktion der Normalverteilung (müh=0, sigma=1)
Normalverteilung
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Normalverteilung
);(~ 2NX
dtexF
sfunktionVerteilung
dtexf
tx
x
2)(5,0
2)(5,0
2
1)(
2
1)(
Beschreibung: „Glockenkurve“
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Anwendung der Normalverteilung
Die Normalverteilung dient als Verteilungsmodellin vielen praktischen Fragestellungen, z.B. bei
• Metrische Größen einer Population• Summen und Durchschnitte von Zufallsgrößen• Natürliche Variabilität• Messfehler
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Beispiel zur Normalverteilung
Bei 250 Katzen wurde der Creatinwert im Blut gemessen:
Studie:Judit Zapirain Gastón et al. Prävalenzen des felinen Herpesvirus-1 felinen Calicivirus und von Chlamydophila felis in Mehrkatzenhaushalten
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Quantile der Normalverteilung: Beispiel
Beispiel: Fehler bei Messung
• P (X > 20)
• P (5 < X < 20)
• P (-2 < X < 15)
Es sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit =10 und =25.Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
2
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Chi-Quadrat Verteilung
nYVar
nYE
nXXY
NX
nXY
n
ii
i
2)(
)(
)(~
)1;0(~
)(~
2
1
2
2
Beschreibung: Summe der Quadrate von n normalverteilten Zufallsgrößen
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3020100
0.2
0.1
0.0
Dichte der Chi-squared-Verteilung (v)
v=4
v=10
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i.i.d. Zufallsgrößen
seien unabhängig und identisch verteilt.
Man schreibt auch dafür:
i.i.d. steht für „independent and identically distributed“.
Ist und ,
so gilt:
...,...,, 21 diiXXX n
nXXX
nVar
XXXn
E
nXXXVar
nXXXE
n
n
n
n
2
21
21
221
21
))...(1
(
))...(1
(
)...(
)...(
nXXX ,...,, 21
)( iXE2)( iXVar
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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Grenzwertsätze
• Gesetz der großen Zahlen: Ist der Erwartungswert einer ZG X, so
liegt das der Mittelwert mit wachsendem n nahe bei
• Zentraler Grenzwertsatz: ist für große n annähernd normalverteilt. X
Bei einer Stichprobenziehung werden n Personen gefragt odern unabhängige Experimente durchgeführt. Man ordnet jedem Versuch eine Zufallsgröße Xn zu. Die n Zufallsgrößen sind dann i.i.d.Von Interesse ist dann u.a. die Verteilung des Stichprobenmittels
)...(1
: 21 nXXXn
X
X