1

1.SLUCAJNI DOGADJAJI. RELACIJE I OPERACIJE SA DOGADJAJIMA. OSOBINE. ........................................ 2 2. POLJE DOGADJAJA. AKSIOME I OSOBINE VEROVATNOCE. ........................................................................ 3 3. KLASICNA DEFINICIJA VEROVATNOCE .......................................................................................................... 5 4. GEOMETRIJSKE VEROVATNOCE ...................................................................................................................... 6 5. USLOVNE VEROVATNOCE. NEZAVISNOST DOGADJAJA. ............................................................................. 6 6. POTPUN SISTEM DOGADJAJA. FORMULA POTPUNE VEROVATNOCE I BAJESOVA FORMULA. ........... 7 7. BINOMNA SEMA. HIPERGEOMETRIJSKE VEROVATNOCE ............................................................................ 8 8. SLUCAJNE VELICINE. FUNKCIJA RASPODELE. DEFINICIJA I OSOBINE .................................................... 9 9.Diskretne slučajne veličine. Zakon i funkcija raspodele ................................................................................. 9 10. Neprekidne slučajne veličine. Gustina i funkcija raspodele. Primeri ....................................................... 10 11. Dvodimenzionalne slučajne veličine. Nezavisnost slučajnih veličina. Koeficijent korelacije ................ 14 12. Binomna raspodela. Muavr-Laplasova teorema. ........................................................................................ 15 13. Puasonova raspodela. Geometrijska raspodela ......................................................................................... 16 14. Uniformna raspodela. Eksponencijalna raspodela ..................................................................................... 17 15. Normalna raspodela. Korišćenje tablica ...................................................................................................... 17 16. -raspodela. Studentova raspodela. Veze sa normalnom raspodelom. .............................................. 18 17. Matematičko očekivanje. Disperzija. Nejednakost Čebiševa. .................................................................. 19 18. Još neke numeričke karakteristike slučajnih veličinai njihove osobine .................................................. 20 19. Funkcije slučajnih veličina i njihove raspodele ........................................................................................... 21 20. Mešavine slučajnih veličina i njihove raspodele ......................................................................................... 21 21. Aproksimacije slučajnih veličina zasečene slučajne veličine .................................................................... 22 22. Zakoni velikih brojeva. Bernujijev, i još neki .............................................................................................. 22 23. Konvergencija u zakonu raspodele i centralna granična teorema .......................................................... 23 24. Populacija. Uzorak. Grafičko predstavljanje. Reprezentativnost. Prost slučajni uzorak. Uzorak sa vraćanjem i uzorak bez vraćanja. ....................................................................................................................... 24 25.Узорачка средина и узорачка дисперзија. Израчунаванје у зависности од начина задавања података. Још неке статистике. ....................................................................................................................... 24 26. Empirijska fukcija raspodele. Centralna teorema matematičke statistike. ............................................ 27 27. Ocenjivanje parametra. Osobine ocena. ..................................................................................................... 28 28. Ocenjivanje matematičkog očekivanja, disperzije, koeficijenta korelacije. ........................................... 29 29. Metoda maksimalne verodostojnosti ........................................................................................................... 29 30. Intervali poverenja. Definicija. Primeri za intervale poverenja za matematičko očekivanje kod obeležja sa normalnom raspodelom ................................................................................................................... 29 31. Testiranje hipoteza. Osnovni pojmovi: nulta i alternativna hipoteza, kritična oblast, prag značajnosti, greška prve i druge vrste. .............................................................................................................. 30 32. Testiranje hipoteze o matematičkom očekivanju obeležja koje ima normalnu raspodelu (poznata disperzija i nepoznata disperzija) ........................................................................................................................ 31 33. Testiranje hipoteze o jednakosti matematičkih očekivanja za 2 nezavisna obeležja sa normalnom raspodelom. ........................................................................................................................................................... 31 34. - test. Test frekvencija (primena testa za proveru tablica sučajnih cifara). .............................. 32 35. - test. Testiranje nezavisnosti. (tabele kontigencije) .......................................................................... 33 36. Test Kolomogrova .......................................................................................................................................... 34 37. Test Vilkinson-Man-Vitni ................................................................................................................................ 34 38. Jednofaktorska disperziona analiza ............................................................................................................. 35 39. Modeliranje diskretnih slučajnih veličina. Modeliranje slučajnih događaja. Modeliranje mešavina slučajnih veličina. .................................................................................................................................................. 36 40. Modeliranje neprekidnih slučajnih veličina: metoda inverzne f-je, Nojmanova metoda i modeliranje normalne raspodele. ............................................................................................................................................. 36

2

1.SLUCAJNI DOGADJAJI. RELACIJE I OPERACIJE SA DOGADJAJIMA. OSOBINE. Slucajni dogadjaji Def.: Akko je A podskup skupa Ω, tada je A slučajni događaj.

Akko je A slučajni događaj i ako je rezultat eksperimenta jedan od elementarnih događaja koji pripada A , tj. elementarni događaj koji ima osobinu kojom se događaj A definiše, tada se kaže: događaj A se ostvario (realizovao). Skup A može biti i jednočlan. Znači, svaki elementarni događaj je slučajni događaj. Ceo skup Ω i prazan skup Φ su takođe slučajni događaji i imaju posebne nazive: skup datih elementarnih događaja Ω je siguran (izvestan, pouzdan) događaj, a prazan skup Φ u Ω je nemoguć događaj. Slučajni događaji se označavaju velikim slovima abecede A, B, C,... ili, po potrebi, sa indeksima A1, A2, A3, … Relacije u skupu dogadjaja U skupu slučajnih događaja definišu se neke relacije kojima se opisuju međusobni odnosi događaja. Def.: (Relacija inkluzije) Akko svako ostvarivanje događaja A povlači (implicira) ostvarivanje događaja B, tada događaj A povlači (implicira) događaj B. To znači da svaki elementarni događaj koji pripada A je istovremeno elementarni događaj koji pripada B. Zbog toga se za ovu relaciju koristi ista oznaka koja se koristi u teoriji skupova i piše: BA . Takođe se kaže da su događaji A i B u relaciji inkluzije. Def.: (Jednakost događaja) Akko je BA i AB , tada su događaji A i B jednaki (ekvivalentni). Takođe se kaže da su A i B u relaciji jednakosti. U slučaju jednakosti događaja A i B svaki elementarni ishod koji pripada događaju A, pripada i događaju B, i obrnuto. Znači, ako se događaji posmatraju kao skupovi elementarnih ishoda, ti skupovi će biti jednaki i zato se za jednakost događaja A i B koristi oznaka: A = B. Operacije u skupu dogadjaja U skupu slučajnih događaja definišu se neke operacije kojima se, po određenim pravilima, od zadatih (poznatih) događaja fomiraju novi.

Def.: (Komplement događaja) Događaj A koji se realizuje ako i samo ako se događaj A ne realizuje je komplement događaja A. Kaže se i: događaj A je suprotan događaju A ili događaj A je komplementaran događaju A. Koristi se još i oznaka CA . Def.: (Presek događaja) Akko se događaj C realizuje ukoliko se realizuju i događaj A i događaj B, tada je događaj C presek događaja A i B. Događaju C pripadaju svi elementarni ishodi koji pripadaju i događaju A i događaju B, pa se stoga za presek događaja koristi oznaka za presek skupova i pišemo BAC , ili, kraće, C=AB. Akko je AB = Φ (što znači da se A i B ne mogu ostvariti istvremeno), tada se kaže da su A i B međusobno disjunktni događaji (isključuju se). Na taj način se pomoću operacije presek i relacije jednakosti definiše nova relacija među događajima – relacija disjunkcije.

Neka je nAAA ,...,, 21 konačan niz događaja. Njihov presek 1 2 ... nC A A A je događaj koji se ostvaruje ako i

samo ako se ostvare svi događaji iz posmatranog niza. Slično važi i za presek beskonačno mnogo događaja. Def.: (Unija događaja) Akko se događaj F realizuje ukoliko se realizuje bar jedan od događaja A i B, tada je događaj F unija događaja A i B. Događaju F pripadaju elementarni ishodi koji pripadaju događaju A ili koji pripadaju događaju B, pa se zato za uniju događaja koristi ista oznaka kao i za uniju skupova i piše: BAF .Ukoliko su događaji A i B disjunktni, tada se za uniju tih događaja može da koristi i oznaka: A+B. Neka je nAAA ,...,, 21 konačan niz događaja. Njihova unija D je

3

n

jjn AAAAD

121 ...

i predstavlja događaj koji se ostvaruje ako se ostvari bar jedan od događaja iz posmatranog niza. Slično važi i za uniju beskonačno mnogo događaja. Def.: (Razlika događaja) Akko se događaj C realizuje ukoliko se realizuje događaj A i ne realizuje događaj B, tada je događaj C razlika događaja A i B. Na osnovu definicije zaključuje se da je razlika događaja A i B jednaka događaju BA . Za razliku događaja koristi se oznaka: A\B. Def.: (Simetrična razlika događaja) Akko se događaj D realizuje ukoliko se realizuje A\B ili ukoliko se realizuje B\A, onda je događaj D simetrična razlika događaja A i B. Na osnovu definicije zaključuje se da je simetrična razlika događaja A i B jednaka uniji događaja A\B i B\A. Za simetričnu razliku se koristi oznaka AΔB. Osobine Neke od osobina definisanih relacija i operacija daje sledeća teorema: Teorema: Osobine relacija i operacija sa događajima Za slučajne događaje A, B, C,... iz istog prostora elementarnih ishoda važi:

BAAAB 1

AA 2 ABBA 3

ABBA 4 ABBA 5

CBACBA 6

CBACBA 7

CACACBA 8

CACACBA 9

BABA

BABA

11

10 (De Morganovi obrasci)

De Morganovi obrasci se mogu uopštiti i posmatrati za konačne ili beskonačne prebrojive unije

i preseke slučajnih događaja:

k

kk

k AA

,

kk

kk AA

2. POLJE DOGADJAJA. AKSIOME I OSOBINE VEROVATNOCE. Polje dogadjaja Def.:( σ-polje događaja) Neka je Y familija događaja iz Ω sa osobinama:

1A Pouzdan događaj Ω pripada familiji Y 2A Akko neki događaj A pripada familiji Y, onda i A pripada familiji YA

3A Akko je ,...,...,, 21 nAAA bilo koji konačan ili prebrojiv niz događaja koji pripadaju Y, tada i

njihova unija pripada YA Takva familija događaja Y je σ-polje ili σ-algebra događaja.

4

Akko je skup svih elementarnih ishod konačan skup, tada je i svaka familija događaja iz Ω konačna familija. Akko za jednu takvu familiju Y važe uslovi A1o i A2o, a umesto A3o važi da za svaki konačan niz događaja iz familije Y i njihova unija pripada toj familiji, onda je posmatrana familija Y - polje događaja. Nad istim prostorom elementarnih ishoda možemo posmatrati više različitih polja ili σ-polja događaja. Presek dva polja (σ-polja) je polje (σ-polje) događaja. Unija dva polja (σ-polja) ne mora biti polje (σ-polje) događaja. Akko neka familija događaja predstavlja polje (ili σ-polje), onda toj familiji događaja obavezno pripadaju i preseci i razlike događaja koje sadrži. Teorema: (Osobina polja događaja) Akko su A i B događaji koji pripadaju polju (ili σ-polju) događaja Y? tada i događaji BA , A\B pripadaju polju (ili σ-polju) YA

Dokaz: Na osnovu 2A je A Y i B YA Tada je, na osnovu 3A i BA Y? pa je na osnovu 2A događaj BAC YAPo De Morganovim obrascima je BAC , čime je završen dokaz prvog

dela tvrđenja. Aksiome i osobine verovatnoce Pri aksiomatskom zasnivanju teorije verovatnoće, verovatnoće događaja definišu se samo za događaje koji pripadaju nekom polju (ili σ-polju) događaja. Def.: (Verovatnoća) Neka realna funkcija P definisana na σ-polju Y događaja iz Ω ima osobine:

1B Za svaki događaj A koji pripada Y važi 0)( AP . 2B Za siguran događaj Ω važi 1)( P . 3B Za svaki niz (konačan ili prebrojiv) događaja koji pripadaju Y i koji su međusobno

disjunktni u parovima važi:

)(

jj

jj APAP

Tada je funkcija P verovatnoća na σ-polju Y A Osobine 1B , 2B , 3B su aksiome i nazivaju se, redom: nenegativnost, normiranost i aditivnost. Aksiome teorije verovatnoće su 1A , 2A , 3A , 1B , 2B , 3B , a uređena trojka (Ω, Y? P) se naziva prostor verovatnoća. Aksiome verovatnoće 1B , 2B , 3B ne daju način za određivanje verovatnoće u konkretnim zadacima, ali se, polazeći od definicije verovatnoće mogu izvesti mnoge opšte osobine verovatnoće. Neke od tih osobina su date u sledećoj teoremi. Smatra se da svi događaji koji se javljaju u iskazu teoreme pripadaju istom prostoru elementarnih ishoda i istom polju događaja. Teorema: Osobine verovatnoće 1 Akko je BA , tada je )()( BPAP . (monotonost) 2 Akko je P(A) verovatnoća događaja A, tada je APAP 1 , i specijalno P(Φ)=0. 3 Akko su A i B dva događaja, tada je

ABPBPAPBAP 4 Akko je ,..., 21 AA konačan ili prebrojiv niz događaja, tada je

j jjj

P A P A

(Bulova nejednakost)

5 Akko događaji ,...,...,, 21 nAAA čine monotono neopadajući niz događaja, tada je

1

limj nn

j

P A P A

a ako događaji ,...,...,, 21 nAAA čine monotono nerastući niz događaja, tada je

5

1

limj nn

j

P A P A

(neprekidnost)

Napomenimo da se koristi sledeća oznaka: jj

jj AA

lim1 za monotono neopadajući niz događaja,

odnosno jj

jj AA

lim1 za monotono nerastući niz događaja. Stoga se navedene osobine za monotone

nizove događaja mogu napisati u obliku:

jj

jj

APAP

limlim .

Zbog ovoga se navedena osobina naziva neprekidnost verovatnoće.

3. KLASICNA DEFINICIJA VEROVATNOCE Klasična definicija verovatnoće se odnosi na prostor elementarnih ishoda Ω koji je konačan skup, pri čemu su verovatnoće pojavljivanja svih elementarnih ishoda iste. Tada se zapravo posmatra specijalni slučaj prostora elementarnih ishoda sa konačno mnogo elemenata: n ,...,, 21 . Elementarnom

događaju j pridružuje se broj ,...2,1,0 jp j , tako da je:

1...21 nppp

i broj jp se naziva verovatnoća elementarnog događaja njj ,...2,1, .

Događaj A koji sadrži k elementarnih događaja može se predstaviti u obliku:

kjjjA ,...,,21

Verovatnoća događaja A se definiše kao zbir verovatnoća elementarnih događaja koji pripadaju događaju A:

kjjj pppAP ...

21.

To je tzv. verovatnoća u konačnoj šemi. Akko se svakom elementarnom događaju j dodeli ista verovatnoća

,/1 np jj j=1,2,...n.

dobija se da je verovatnoća događaja A, koji sadrži k elementarnih događaja, jednaka

n

kAP

To je tzv. klasična definicija verovatnoće. Dakle, ako prostor elementarnih ishoda ima n jednakoverovatnih elementarnih ishoda i ako događaj A ima k elementarnih događaja iz Ω, tada je verovatnoća pojavljivanja događaja A jednaka k/n. Za elementarne ishode iz A kaže se da su povoljni ishodi za događaj A. Znači, u klasičnoj definiciji je verovatnoća događaja A jednaka količniku broja povoljnih ishoda za događaj A i broja svih mogućih ishoda. Za verovatnoću u konačnoj šemi, pa prema tome i za verovatnoću u klasičnoj definiciji važe svi zahtevi iz definicije verovatnoće. Dakle, verovatnoće u konačnoj šemi i verovatnoće u klasičnoj definiciji su jedan konkretan model aksiomatike. Klasičnu definiciju verovatnoće je dao francuski matematičar Laplas (Pierre Simone Laplace, 1749 – 1827). Na osnovu klasične definicije verovatnoće se može pokazati da je:

(1) APAP 1 (2) P(Φ)=0 (3) P(Ω)=1

6

(4) 1)(0 AP

(5) BPAPBA (6) Za disjunktne događaje A i B važi:

BPAPBAP a za uniju dva događaja u opštem slučaju važi:

ABPBPAPBAP . Ove osobine se dokazuju neposredno iz definicije. Tako, na primer, iz P(A)=k/n i s obzirom da za broj povoljnih ishoda k važi nk 0 , sledi 1)(0 AP .

4. GEOMETRIJSKE VEROVATNOCE Kad prostor elementarnih ishoda ima beskonačno, prebrojivo ili neprebrojivo mnogo, elementarnih ishoda, mogu postojati elementarni ishodi čija je verovatnoće jednaka nuli. Teorema: Akko prostor elementarnih ishoda ima beskonačno mnogo elementarnih ishoda, onda najviše prebrojivo mnogo elementarnih ishoda ima verovatnoću različitu od nule.

Akko prostor elementarnih ishoda ima beskonačno neprebrojivo mnogo elementarnih ishoda moguće je i da svi elementarni ishodi imaju verovatnoću jednaku nuli. Upravo takvu situaciju opisuje sledeći model. Tačka M je slučajno izabrana u oblasti S u prostoru ,...3,2,1, kR k ako je verovatnoća “izbora”

podoblasti 1S (tj. verovatnoća izbora tačke iz podoblasti 1S ) oblasti S proporcionalna meri te podoblasti i ne zavisi od položaja i forme te podoblasti:

11

mera SP M S

mera S

U jednodimenzionalnom slučaju mera je dužina, u dvodimenzi-onalnom slučaju to je površina, a u trodimenzionalnom – zapremina. Akko su, na primer, C i D tačke na duži AB, tada je u smislu gornje definicije, verovatnoća “pogađanja” duži CD ako se bira tačka sa duži AB jednaka količniku dužina |CD| i |AB|. U dvodimenzionalnom slučaju je verovatnoća izbora tačke iz podoblasti 1S oblasti S jednaka količniku površina podoblasti 1S i oblasti S, dok je u trodimenzionalnom slučaju jednaka količniku zapremina. U opisanoj situaciji govori se o geometrijskoj verovatnoći. Izbor neke tačke posmatrane oblasti S je elementaran ishod i prema navedenom svi elementarni ishodi su jednakoverovatni. Verovatnoća izbora jedne tačke jednaka je 0 (u bilo kom od tri navedena slučaja mera tačke je jednaka 0). Elementaran ishod stoga predstavlja skoro nemoguć događaj: verovatnoća da se desi je jednaka 0, iako se u svakom biranju izabere neka tačka. Suprotan skoro nemogućem je skoro siguran događaj: njegova verovatnoća je jednaka 1, ali se on ne mora ostvariti.

5. USLOVNE VEROVATNOCE. NEZAVISNOST DOGADJAJA. Definicija uslovne verovatnoce Def.: (Uslovna verovatnoca) Neka su A i B dogadjaji iz istog prostora verovatnoce (Ω,F, P) i neka je P(B) > 0. Tada je uslovna verovatnoca dogadjaja A, ako se ostvario dogadjaj B jednaki

|

Za uslovnu verovatnocu P(A|B) koristi se i oznaka PB(A). Uslovne verovatnoce dogadjaja iz istog prostora verovatnoca, u odnosu na neki dogadjaj iz tog prostora imaju sve osobine verovatnoce, tj. zadovoljavaju aksiome B1o , B2o, B3o:

7

B1o P(A|B) ≥ 0 B2o P(Ω|B) = 1

B3o ∑ | ∑ | Akko se posmatra vise dogadjaja iz istog prostora verovatnoca, tada se pri odredjivanju verovatnoce njihovog preseka mogu koristiti uslovne verovatnoce. Naime, neka su A1, A2, A3,...An dogadjaji iz istog prostora elementarnih ishoda i neka j presek tih dogadjaja neprazan skup. Tada je A1, A2, A3,...Ak ≠ 0 za svako k=1, 2, ..., n-1 vazi: P(A1A2A3,...An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1) Nezavisnost dogadjaja Def.: (Nezavisnost dogadjaja) Neka su A i B iz istog prostora verovatnoca. Akko vazi P(AB) = P(A)P(B) tada su dogadjaji A i B nezavisni. Na osnovu definicije zakljucuje se da za nezavisne dogadjaje A i B vazi:

P(A|B) = P(A) i P(B|A) = P(B) Akko su dogadjaji A i B nezavisni, tada realizacija dogadjaja B ne utice na realizaciju dogadjaja A, ali ako su dogadjaji A i B zavisni, tada je verovatnoca P(A|B) razlicita od P(A) i tada je moguce da bude P(A|B) > P(A), ali takodje i da bude P(A|B) < P(A). Sledece tvrdjenje daje vezu nezavisnosti i operacija sa dogadjajima. Teorema: Neka su dogadjaji A, B, C nezavisni i neka je B1 = B ili B1 = odnosno C1=C ili C1= . Tada su nezavisni dogadjaji

1. i , , 2. A , , , , , 3. A i B1 C1 , A i B1 C1

Data teorema se moze uopstiti na slucaj vise dogadjaja. Sustina je u tome da ce novofirmirani dogadjaji biti nezavisni ako su njihove komponente iz razlicitih dogadjaja. Znaci, ako su A,B,C i D nezavisni u ukupnosti, onda su nezavisni I dogadjaji A, BC, i .

6. POTPUN SISTEM DOGADJAJA. FORMULA POTPUNE VEROVATNOCE I BAJESOVA FORMULA. Potpun sistem dogadjaja Def.: (Potpun sistem događaja) Ako su događaji nAAA ,...,, 21 međusobno disjunktni u parovima i ako

je njihova unija siguran događaj, tada događaji nAAA ,...,, 21 čine potpun sistem događaja.

Na osnovu definicije za događaje iz potpunog sistema događaja važi:

1

1 1 2

2

i j

n

jj

A A ,i j,i, j , ,...,n ,

A

Ako događaji nAAA ,...,, 21 čin potpun sistem događaja, tada se kaže da oni čine razlaganje (razbijanje)

Ω. Formula potpune verovatnoce i Bajesova formula Neka su H1, H2, …., Hn slucajni dogadjaji koji cine potpun sistem dogadjaja i neka je A neki dogadjaj iz istog prostora elementarnih ishoda. Verovatnoca dogadjaja A se moze izracunati po formuli

∑ | (*) Slucajni dogadjaji H1, H2, …., Hn se nazivaju hipoteze, dok se formula (*) naziva formula potpune verovatnoce. Dokaz:Dokaz se zasniva na razlaganju dogadjaja A na disjunktne delove, sto proizilazi iz

Ω + … + ∑ Kako su dogadjaji AHi i AHj za i≠j, disjunktni, dobija se da je verovatnoca dogadjaja A:

8

Kad se verovatnoce preseka AHj izraze preko uslovnih verovatnoca |

dobija se formula potpune verovatnoce (*). Znaci da se koriscenjem uslovnih verovatnoca P(A|Hj) dobija verovatnoca dogadjaja A. Verovatnoce P(Hj) se nazivaju apriorne verovatnoce hipoteza. Ako se zna da se realizovao dogadjaj A mozemo odrediti verovatnoce | , za svako j=1,2,…,n. Te verovatnoce se nazivaju aposteriorne verovatnoce hipoteza. Koristeci formulu potpune verovatnoce aposteriorne verovatnoce se racunaju po formuli :

| |

∑ | (**)

Formula (**) se naziva Bajesova formula.

7. BINOMNA SEMA. HIPERGEOMETRIJSKE VEROVATNOCE Binomna sema Posmatra se opit u kome dogadjaj A moze da se realizuje sa verovatnocom P(A) = p. Neka se taj opt izvodi n puta pod istim uslovima, tj. neka je u svakom opitu P(A) = p, 1 i neka su sva izvodjenja medjusobno nezavisna. Tada je verovatnoca da se u n opita dogadjaj A realizuje tacno k puta (a da se dogadjaj realizuje puta) jednaka:

, , 0,1, … ,

Opisana situacija se naziva binomna sema. Koristi se i naziv Bernulijeva sema. Kada se za razne vrednosti n i p, racunaju binomne verovatnoce Pn,k primecuju se sledece mogucnosti:

a) neke vrednosti k opadaju,ili b) Stalno opadaju, ili c) Stalno rastu.

Znaci, u slucaju a), dace za neku vrednost k vaziti , , , .

Iz poslednje nejednakosti dobija se da broj k’ , za koji je verovatnoca Pn,k’ pojavljivanja dogadaja A najveca moguca, zadovoljava nejednakosti:

1 (*) Binomna sema se po svojoj dediniciji vezuje za ponavljanje eksperimenata pod istim uslovima, a tome odgovara slucajni izbor elemenata sa vracanjem. Hipergeometrijske verovatnoce Ako se uzima n artikala odjednom (ili n puta po jedan artikal, ali bez vracanja), verovatnoca da ce se dobiti ukupno k artikala prve vrste je

, , 0,1,2…

(za one vrednosti k za koje binomni koeficijenti u izrazu za , imaju smisla). Verovatnoce , su hipergeometrijske verovatnoce i primecuje se da je

, ,

Medjutim ako se m i a povecavaju i teze beskonacnosti, ali tako da , 0 1, tada

hipergeometrijske verovatnoce teze binomnim verovatnocama:

, ,

9

8. SLUCAJNE VELICINE. FUNKCIJA RASPODELE. DEFINICIJA I OSOBINE Def.: (Slucajna velicina) Neka je dat proctor verovatnoca Ω, , i neka je X funkcija koja preslikava proctor elementarnih ishoda Ω u skup realnih brojeva R tako da vazi:

(1) Skup | je dogadjaj koji pripada za svako . (2) | ∞ | ∞ 0.

Tada je X slucajna velicina. Osobina (1) se naziva merljivost i omogucava racunanje verovatnoca dogadjaja vezanih za slucajnu velicinu. Osobina (2) je finitnost slucajne velicine X. Kraci zapisi: | , | i slicno. Funkcija raspodele Funkcija raspodele se odnosi na svaku slucajnu velicinu,bez obzira na to koliko ona ima vrednosti. Def.: (Funkcija raspodele) Neka je X slucajna velicina. Realna funkcija F definisana jednakoscu

| , je funkcija raspodele slucajne velicine X. Osobine funkcije raspodele Teorema: (Osobine funkcije raspodele) Ako je F funkcija raspodele neke slucajne velicine, a tada

1) F je neopadajuca f-ja 2) ∞ 0, ∞ 1, 3) F je neprekidna sa desne strane za svako .

Sa teorijske tacke gledista veoma je znacajna cinjenica da za svaku funkciju F koja zadovoljava uslove ove teoreme postoji slucajna velicina X kojoj je F funkcija raspodele. U praksi je od posebng znacaja mogucnost da se koriscenjem funkcije raspodele racunaju verovatnoce u vezi sa odgovarajucom slucajnom velicinom. Naime ako je F funkcija raspodele slucajne velicine X i a i b proizvoljni realni brojevi , tada je:

Takodje vaze i jednakosti:

1 1

1 ,

9.Diskretne slučajne veličine. Zakon i funkcija raspodele Diskretne slučajne veličine Neka je x1,x2,...,xn skup vrednosti slučajne veličine X i neka je:

PX = x k = pk , k=1,2,...,n Smatramo da su te verovatnoće pozitivne i da su navedene sve moguće vrednosti koje slučajna veličina može imati sa verovatnoćom većom od nule i zato je

pl+p2+... + pn=1. Skup svih verovatnoća zajedno sa svim vrednostima slučajne veličine X određuje zakon raspodele (verovatnoća) slučajne veličine X . Uobičajeni zapis je oblika:

: … …

i kaže se da je X diskretna slučajna veličina (sa konačno mnogo vrednosti). Obično se vrednosti slučajne veličine X pišu u rastućem poretku: x1, < x2 <... < xn. Neka su dati: prostor elementarnih ishoda ,slučajni događaj Ω , polje događaja Ω,Φ, Α, A i neka je P verovatnoća na

10

F. Preslikavanje : Ω zadato sa: 1, ; 0, je slučajna veličina u odnosu na posmatrano polje, a i u odnosu na svako drugo polje koje sadrži posmatrano. Ta slučajna veličina je najjednostavnija moguća i zove se indikator slučajnog događaja i obično označava sa I A , a njen zakon raspodele je prema navedenom:

:0 1

Na taj način se svakom slučajnom događaju pridružuje odgovarajuća slučajna veličina, pa se proučavanjem slučajne veličine - indikatora, zapravo proučava i odgovarajući slučajni događaj. Ako je skup vrednosti slučajne veličine X prebrojiv, tj. ako je njen zakon raspodele oblika

: … …

gde je p1+p2+…+pn+…=1, pj>0, jN, tada se kaže da je X elementarna slučajna veličina, a koristi se često i termin diskretna slučajna veličina sa prebrojivo mnogo vrednosti. Funkcija raspodele Funkcija raspodele je važna karakteristika i odnosi se na svaku slučajnu veličinu, bez obzira na to koliko ona ima vrednosti. Definicija 2. Funkcija raspodele Neka je X slučajna veličina. Realna funkcija F definisana – jednakošću

F x P ω|X ω x P X x , x R je funkcija raspodele slučajne veličine X. Osobine funkcije raspodele Teorema 1. Osobine funkcije raspodele Ako je F funkcija raspodele neke slučajne veličine, tada 1 o F j e neopadajuća funkcija 2° F ∞ 0, F ∞ 1. 3o F je neprekidna sa desne strane za svako xR . Osobine funkcije raspodele date u Teoremi 1 se dokazuju po definiciji slučajne veličine i na osnovu osobina verovatnoće. Tako je osobina 1 posledica monotonosti verovatnoće, osobina 2 posledica finitnosti slučajne veličine, dok osobina 3 proizilazi iz neprekidnosti verovatnoće (podsetite se u Lekciji 1). Sa teorijske tačke gledišta veoma je značajna činjenica da za svaku funkciju F koja zadovoljava uslove Teoreme 1 postoji slučajna veličina X. kojoj je F funkcija raspodele. U praksi je od posebnog značaja mogućnost da se korišćenjem funkcije raspodele računaju verovatnoće u vezi sa odgovarajućom slučajnom veličinom. Naime, ako je F funkcija raspodele slučajne veličine X i a i b proizvoljni realni brojevi, tada je:

Takođe važe i jednakosti:

1 1

1 ,

10. Neprekidne slučajne veličine. Gustina i funkcija raspodele. Primeri Apsolutno neprekidne slučajne veličine Pored diskretnih slučajnih veličina, koje imaju konačno ili prebrojivo mnogo vrednosti, postoje i slučajne veličine sa neprebrojivo mnogo vrednosti. Postoje dve vrste takvih slučajnih veličina: apsolutno neprekidne i singularne slučajne veličine.

11

Definicija 3. Apsolutno neprekidna slučajna veličina Ako je F funkcija raspodele slučajne veličine X i ako postoji funkcija g definisana na R i takva da za svako x R važi: 1o 0 2o tada je F funkcija raspodele apsolutno neprekidne slučajne veličine X. Funkcija g se naziva gustina raspodele apsolutno neprekidne slučajne veličine X. Gustina raspodele je značajna pri proučavanju slučajnih veličina, .a može biti korišćena pri zadavanju slučajnih veličina. Diskretna slučajna veličina nema gustinu raspodele. Na osnovu osobina funkcije raspodele i uslova 2° prethodne definicije zaključuje se da gustina raspodele mora imati svojstvo:

1

Ako je X apsolutno neprekidna slučajna veličina sa gustinom raspodele g(x) i funkcijom raspodele F(x), tada je 1o

2o , , , 3o 0, za svaki realni broj a. Osim diskretnih i neprekidnih slučajnih veličina u Teoriji verovatnoće postoje i tzv. singularne slučajne veličine, kod kojih izvod funkcije raspodele slučajne veličine X postoji i jednak je nuli skoro svuda. U okviru ovog kursa neće biti govora o takvim slučajnim veličinama. - Primer 7. Slučajna veličina sa neprebrojivo mnogo vrednosti Strelac gađa u kružnu metu poluprečnika r. Rastojanje mesta pogotka od

centra mete je slučajna veličina X. Odrediti verovatnoću . Rešenje: Slučajna veličina X ima neprebrojivo mnogo vrednosti. Skup vrednosti te slučajne veličine je skup realnih brojeva iz intervala [0,r], ako se smatra da strelac sigurno pogađa metu. Takođe se smatra da strelac sa jednakom verovatnoćom pogađa u bilo koju oblast mete i da je verovatnoća pogađanja neke oblasti mete proporcionalna površini te oblasti. U tom slučaju tražena verovatnoća se računa po pravilima za geometrijske verovatnoće, pa se dobija da je jednaka

.

Primer 8. Gustina i funkcija raspodele neprekidne slučajne veličine Odrediti konstantu c tako da funkcija g(x), x R , predstavlja gustinu raspodele, a zatim odrediti odgovarajuću funkciju raspodele, ako je:

1, 1,0, 0,20, 1,2

Ako je g gustina raspodele slučajne veličine X, odrediti verovatnoću 1,0 .

Rešenje: Iz uslova, 1, tj. 0 1 0 1 ,

12

dopija se c=l/4. Zatim, na osnovu formule se nalazi funkcija, se nalazi funkcija raspodele. U zavisnosti od realnog broja x se dobijaju vrednosti funkcije raspodele, a time i mogućnost da se skicira njen grafik - za x<-1 važi: 0 0

- za 1 0 važi: 0 1 1 /2

- za 0 2 važi: 0 1

- za x>2 važi: 1. Tražeća verovatnoća je: 0,1 1 0 Funkcije slučajne veličine Ako je X slučajna veličina i neprekidna funkcija, tada je Y=(x) slučajna veličina u smislu Definicije 1. Ako je slučajna veličina X data, tada je moguće odrediti osobine slučajne veličine Y, počevši od njene raspodele. Neka je X diskretna slučajna veličina sa zakonom raspodele

, , 0, 0, … , 1 (sa konačno ili prebrojivo mnogo -vrednosti, zavisno od toga da li je skup I konačan ili prebrojiv) i neka je Y=(x) nova slučajna, određena neprekidnom funkcijom . Zakon raspodele slučajne veličine Y je

……

Zatim se vrednosti novodobijene slučajne veličine napišu u rastućem poretku. Pri tome će, možda, neke vrednosti, zajedno sa odgovarajućim verovatnoćama, da zamene mesto, a ako se desi da je, na primer,

, tada će biti . Neka je X neprekidna slučajna veličina sa funkcijom raspodele Fx i gustinom raspodele fx, i neka je Y=(x) slučajna veličina sa funkcijom raspodele Fy i gustinom raspodele fY. Važi: Ako je , neprekidna monotono rastuća funkcija i njena inverzna funkcija, tada važi: Ako je (t), t neprekidna monotono opadajuća funkcija, tada važi: 1 1 Ako nije monotona funkcija na čitavoj oblasti definisanosti, tada se oblast definisanosti deli na intervale na kojima jeste monotona, pa se na svakom od tih intervala primenjuju gornje formule. U slučaju apsolutno neprekidnih raspodela i diferencijabilnih funkcija i , gustina za Y, ako je monotono rastuća funkcija: , odnosno, ako je monotono opadajuća funkcija: , Primer 9. Funkcije slučajnih veličina

a) Odrediti zakon raspodele slučajne veličine Y=X2-4, ako je da zakon raspodele slučajne veličine X:

: 1 0 10.2 0.3 0.5

b) Slučajna veličina X ima gustinu raspodele g(x)=2(x+1)/9, za 1,2 , van tog interval gustina je jednaka 0. Odrediti gustinu raspodele slučajne veličine Y=X3.

Rešenje:

a) Vrednosti slučajne veličine Y su (-1)2-4 = -3, 02-4 = -4, 12 -4 = -3, a odgovarajuće verovatnoće su, redom: 0.2, 0.3, 0.5. Pošto su dve vrednosti -3, to je: 3 0.20.5 0.7

i zakon raspodele za Y je:

13

: 4 30.3 0.7

b) Funkcija je monotono rastuća, pa je gustina raspodele za Y jednaka:

2 1

913

227

1

(Inverzna funkcija funkcije je jednaka (x) = √ ) Primer 10. Eksperimenti i raspodele slučajnih veličina Zakon raspodele

1 10.5 0.5

je zakon raspodele neke slučajne veličine koja može da ima vrednosti -1 i 1, svaku sa verovatnoćom 0.5. Ako se posmatra bacanje numerisane kocke i igra u kojoj se dobija 1 dinar ako se dobije paran broj na kocki, a plaća jedan dinar ako se dobije neparan broj, onda slučajna veličina X koja je jednaka dobitku u ovoj igri ima datu raspodelu. Međutim, može da se posmatra bacanje dinara i pretpostavi da je dobitak 1 dinar ako se dobije "pismo", a u suprotnom se plaća 1 dinar. Slučajna veličina Y koja je jednaka dobitku u ovakvoj igri ima datu raspodelu. Primer 11. Raspodele funkcija slučajnih veličina U eksperimentu se na slučajan način bira jedna tačka sa intervala (1,6) i beleži njeno rastojanje X od koordinatnog početka. Odrediti funkciju i gustinu raspodele slučajne veličine X, kao i slučajnih veličina Y i Z određenih jednakostima Y=2X+5, Z = -X +3 Rešenje. Neka je interval (1,6) označen sa AB, i neka je C jedna proizvoljna, ali fiksirana tačka te duži, takva da je na rastojanju x od koordinatnog početka. Neka je T tačka koja je slučajno izabrana na duži. Prema principu za računanje geometrijskih verovatnoća je

15

Na osnovu toga, ako X označava rastojanje tačke T od koordinatnog početka, prethodni rezultat može da se napiše u obliku

,

ako je 1<x<6. Ako je pak x<l onda je ta verovatnoća jednaka 0, jer tačka T ne može biti levo od A. Ako je x>6, ta verovatnoća je jednaka 1, jer su rastojanja svih tačaka sa duži AB manja od 6. Za slučajnu veličinu Y je funkcija raspodele

2 5 ,

Uslov da je argument b u intervalu (1,6) daje interval za x: (7,17). Za slučajnu veličinu Z je funkcija raspodele

3 3 1 , c 3

Uslov daje argument c u intervalu (1,6) daje interval za x: (-3,2). Grafici funkcija raspodele za slučajne veličine X, Y i Z su:

Odgovarajuće gustine raspodele se dobijaju kao prvi izvodi funkcija raspodele, pa je

0, 1,61/5, 1,6 ,

0, 7,171/10, 7,17 ,

0, 3,21/5, 3,2

a grafici tih raspodela su na slici:

14

Napomena. Funkcije i gustine raspodela za Y i Z su dobijene direktno, bez eksplicitnog korišćenja formula datih na strani 11 i 12. Rešite zadatak i korišćenjem datih formula.

11. Dvodimenzionalne slučajne veličine. Nezavisnost slučajnih veličina. Koeficijent korelacije DVODIMENZIONALNE SLUČAJNE VELIČINE Definicija. Dvodimenzionalna slučajna veličina Neka su X i Y slučajne veličine definisane nad Ω, F, P . Tada uređeni par (X,Y) predstavlja dvodimenzionalnu slučajnu veličinu (dvodimenzionalni slučajni vektor).

Ako u R2 postoji diskretan skup tačaka S takav da je tada je , 1, tada je (X,Y) diskretna slučajna veličina. Ako su X i Y diskretne slučajne veličine, tada će i (X,Y) biti diskretna dvodimenzionalna slučajna veličina. Za takvu slučajnu veličinu se određuje zakon raspodele, analogno određivanju zakona raspodele jednodimenzionalne slučajne veličine. Znači, treba odrediti sve moguće vrednosti slučajne veličine (X,Y) i odgovarajuće verovatnoće. Neka su x1, x2,... vrednosti slučajne veličine X, i neka su y1,y2,... vrednosti slučajne veličine Y. Slučajna veličina (X,Y) će imati vrednosti sa verovatnoćama

, , Umesto često se piše , .

Ako su X i Y slučajne veličine nad istim prostorom verovatnoća Ω, F, P , tada događaji oblika , , itd. imaju verovatnoću (tj. pripadaju F ), odnosno moguće je porediti slučajne veličine.

Definicija. Funkcija raspodele Neka je data dvodimenzionalna slučajna veličina (X,Y). Tada je funkcija F x, y P ω|X ω x Y ω y , x, y R funkcija raspodele slučajne veličine (X,Y). Obično se piše: , , Uočava se analogija sa definicijom funkcije raspodele jednodimenzionalne slučajne veličine. Iz definicije funkcije raspodele proizilaze i osobine:

1. funkcija raspodele je monotono neopadajuća funkcija po svakom argumentu, 2. F-∞,y) = Fx,- ∞) = 0, F(+∞,+∞) = 1, 3. ako su a , a , b , b realni brojevi takvi da je a b , a b tada Pa1 <X b1,a2 <Y b2 = Fb1,b2)-Fb1,a2)-Fa1,b2)+Fa1,a2) 4. funkcija raspodele je neprekidna sa desne strane po svakom

argumentu. Definicija. Apsolutno neprekidna slučajna veličina Neka je data dvodimenzionalna slučajna veličina (X,Y) čija je funkcija raspodele F. Ako postoji funkcija g(x,y) tako da je

1o g(x,y)>0,(x,y) R2, 2o F(x , y)= g t, s dtds,

tada je (X,Y) apsolutno neprekidna dvodimenzionalna slučajna veličina i g(x,y) je njena gustina raspodele.

Osobine gustine raspodele apsolutno neprekidne dvodimenzionalna slučajne veličine su analogne osobinama gustine raspodele jednodimenzionalne slučajne veličine. Naime, važi:

1 , ,

2 g t, s dtds 1

Neka je (X,Y) diskretna slučajna veličina i neka su x1,x2,...,xn moguće vrednosti slučajne veličine X, a yl,y2,...,ym moguće vrednosti slučajne veličine Y. Neka je poznat zajednički zakon raspodele: Pij =P X =xi, Y = y j , i = 1,2,...n, j = 1,2,...m.

Zakon raspodele za X se naziva marginalni zakon raspodele i može se odrediti iz zajedničkog zakona raspodele:

15

rk =P X = xk= ∑ P X = xk,Y = yJ, (1) za Y analogno: s P Y y ∑ P X x , Y y (2) Ovo pokazuje da zajednički zakon raspodele jednoznačno određuje marginalne zakone raspodele.

Funkcije raspodele slučajnih veličina X i Y se mogu dobiti takođe iz zajedničke funkcije raspodele. Funkcija

lim , , ∞

je marginalna funkcija raspodele veličine X, a funkcija lim , ∞,

je marginalna funkcija raspodele veličine Y. U slučaju neprekidnih slučajnih veličuja X i Y se od margi-nalnih funkcija raspodele dobijaju marginalne

gustine raspodele: , ,

Margina gustine raspodele se mogu dobiti i iz zajedničke gustine raspodele dvodimenzionalne slučajne veličine:

g x g x, y dy, g x g x, y dx Nezavisnost slučajnih veličina Definicija. Nezavisnost slučajnih veličina

Neka su S1 i S2 skupovi realnih brojeva koji se dobijaju od najviše prebrojivo mnogo intervala oblika (a,b) primenom najviše prebrojivo mnogo operacija unija, presek I komplement. Ako za slučajne velicine X i Y važi

, ,

tada s u X i Y nezavisne slučajne veličine. U slučaju nezavisnosti zajednička funkcija raspodele je proizvod marginalnih funkcija raspodele:

F ( x , y ) = F 1 ( x ) * F 2 ( y ) . Pri tom za nezavisne diskretne slučajne veličine važi i:

, , za svaki par vrednosti ( x i , y j ) .To znači daje u slučaju nezavisnosti moguće dobiti zajedničku raspodelu na osnovu marginalnih raspodela. Za nezavisne neprekidne slučajne veličine zajednička gustina raspodele je proizvod marginalnih gustina raspodele:

, Koeficijent korelacije Definicija. Koeficijent korelacije Količnik

,,

je koeficijent korelacije slučajnih veličina X i Y. Ako su X i Y nezavisne slučajne veličine, tada je , 0 , dok obrnuto ne važi. Vrednosti koeficijenata korelacije se nalaze u intervalu [-1,1]. Ako je Y=aX+b, a<0, tada je , 1 , a ako je a<0 tada je , 1. Isto tako, ako je , 1 ili , 1, tada je Y linearna funkcija od X (sa verovatnoćom 1).

Koeficijent korelacije je način merenja stepena zavisnosti slučajnih veličina X i Y. Ako je zavisnost tih veličina linearna, koeficijent korelacije je, po modulu, jednak 1. Ali, ako je koeficijent korelacije blizak 1 (ili -1) ne mora značiti da su X i Y medusobno zavisne, već da postoji treća slučajna veličina Z, od koje zavise i X i Y. Stoga se definiše parcijalni koeficijent korelacije pomoću kojeg se nalazi zavisnost X od Y bez uticaja Z. Neka su r12,r13, r23, koeficijenti korelacija, redom, između slučajnih veličina X i Y, bez uticaja Z

r r r

1 r 1 r

12. Binomna raspodela. Muavr-Laplasova teorema. Binomna raspodela

16

Neka se izvodi n eksperimenata pod istim uslovima i nezavisno jedan od drugog i neka je verovatnoća realizacije događaja A u svakom od tih eksperimenata konstantna i jednaka p. Ako je slučajna veličina X jednaka broju realizacija događaja A pri opisanim uslovima, tada se kaže da X ima binomnu raspodelu sa parametrima n i p što se zapisuje X: B(n,p) Često se sreće i naziv Bernulijeva raspodela kao i oznaka Sn za slučajnu veličinu sa B(n,p) raspodelom. Dakle, za slučajnu veličinu sa binomnom raspodelom je:

:0 1 …, , …

,

,

, 1 , 0,1, … ,

Ako slučajna veličina X ima B(n1,p) raspodelu, a slučajna veličina Y, B(n2,p) raspodelu, i ako su X i Y nezavisne, tada slučajna veličina Z=X+Y ima B(n1+ n2,p) raspodelu. Raspodela za Y uslovno u odnosu na Z=X+Y=k, u slučaju nezavisnih veličina X i Y sa B(n1,p) i B(n2,p) raspodelama je

||

gde mora biti max0, k- mink, Neka slučajna veličina X ima B(n,p) raspodelu. Za fiksirano n, u zavisnosti od p, menjaće se međusobni odnos verovatnoća pn,k, k0,1,…,n, ali se može uočiti da će postojati jedna ili dve (međusobno jednake) najveće verovatnoće u zakonu raspodele. Neka je X slučajna veličina sa B(n,p) raspodelom. Izračunavanje vrednosti izraza

1!

! !1 ,

k0,1,…,n, za konkretne vrednosti n i p može biti složeno čak i kada se koristi elektronski kalkurator. Navedene verovatnoće zadovoljavaju relaciju

1 ,

pa na osnovu te jednakosti se mogu računati potrebne verovatnoće jedna za drugom. Muavr-Laplasova teorema Neka je slučajna veličina Sn ima B(n,p) raspodelu. Tada za verovatnoću iz zakona raspodele za Sn važi, kada n:

(1) √ √

,

(2) ,

gde je q=1-p, √

, √

, √

Muavr-Laplasovom teoremom se utvrđuje da je, pri velikom n, raspodela slučajne veličine √

približno normalna raspodela N(0,1), pri čemu slučajna veličina Sn ima B(n,p). Napomena: U zadacima se primenjuje aproksimacija binomne raspodele normalnom raspodelom ako je n dovoljno veliko (n>30) i ako je pritom np>10.

13. Puasonova raspodela. Geometrijska raspodela Puasonova raspodela Ako je >0 i

:0 1 …

… …… ,

!, j=0,1,2…

17

tada se kaže da X ima Puasonovu raspodelu sa parametrom , što se zapisuje X:P(). Ova slučajna veličina ima prebrojivo mnogo vrednosti, a uspešno se koristi pri opisivanju slučajnih pojava kod kojih se najverovatnije javlja mali broj realizacija posmatranog događaja, iako je potencijalno moguće i da ih bude mnogo. U slučaju kada je u binomnom zakonu raspodele B(n,p) broj n veliki, izračunavanje binomnih verovatnoća pn,k može biti komplikovano. Ako je n 30 i np<10 razlika između verovatnoća iz binomnog zakona raspodele i Puasonove raspodele P(np) je vrlo mala. Preciznije, važi tvrđenje:

Ako se posmatra binomna raspodela Sn:B(n,pn) kod koje verovatnoća pn realizacije događaja A u n-tom opitu zavisi od n, tako da npn, n, tada važi tzv. Puasonova aproksimacija binomne raspodele, tj.:

!

, ∞, 0,1,2…

Aproksimacija

!

,

se obično koristi za velike vrednosti n (n veće od 30) i ako je =np<10. Odatle takođe sledi da za velike vrednosti n, pri čemu je np=<10 važi i:

∑ ∑!

gde su , 0,1,2… i Ako parametar Puasonove raspodele nije prirodan broj, tada raspodela ima jedan mod jednak celom

delu broja , a ako je prirodan broj, tada Puasonova raspodela ima dva moda i to su (-1) i . Geometrijska raspodela Neka je verovatnoća realizacije nekog događaja A u svakom eksperimentu jednaka p i neka se eksperimenti ponavljaju (pri istim uslovima) dok se prvi put ne ostvari događaj A. Sluačajna veličina X koja je jednaka broju izvedenih eksperimenata je slučajna veličina sa geometrijskom raspodelom. Njen zakon raspodele je:

:1 2 3

1 1 … …… 1 …

14. Uniformna raspodela. Eksponencijalna raspodela Uniformna raspodela Ako je gustina raspodele slučajna veličina X jednaka

, ,

0, ,

tada se kaže da je X slučajna veličina sa uniformnom raspodelom na intervalu (a,b), a koristi se i termin ravnomerna raspodela. Uobičajena oznaka uniformne raspodele je X:U(a,b). Eksponencijalna raspodela Ako je gustina raspodele slučajne veličine oblika

0, 0, 0

tada se kaže da slučajna veličina X ima eksponencijalnu raspodelu sa parametrom , >0, što se označava sa X: ().

15. Normalna raspodela. Korišćenje tablica Normalna raspodela U teoriji verovatnoće i matematičkoj statistici posebno značajno mesto zauzima tzv. normalna ili Gausova raspodela. To je jedna neprekidna raspodela, koja je povezana sa mnogim drugim diskretnim i neprekidnim raspodelama. Ako je gustina raspodele za slučajnu veličinu X:

√

2

2 2 , , 0, ,

tada se kaže da X ima normalnu raspodelu sa parametrima m i 2 što se označava X:N(m,2).

18

Specijalni slučaj predstavlja normalna raspodela sa parametrima m=0 i =1. Za takvu slučajnu veličinu se kaže da ima normalnu normiranu raspodelu N(0,1). Značaj ove raspodele proizilazi iz sledećeg tvrđenja: Teorema 1. Ako slučajna veličina X ima N(m,2) raspodelu, tada slučajna veličina Y=(X-m)/ ima N(0,1) raspodelu. Ova teorema se primenjuje pri izračunavanju verovatnoća vezanih za slučajne veličine sa normalnom raspodelom. Teorema pokazuje da je za računanje vrednosti funkcije raspodele bilo koje slučajne veličine sa normalnom raspodelom, dovoljno znati vrednosti funkcije raspodele slučajne veličine sa normalnom normiranom raspodelom. Pošto se vrednost integrala

1

√2

ne može dobiti elementarnim putem, odgovarajućom numeričkom metodom su izračunate vrednosti tog integrala, tj. vrednosti funkcije raspodele za normalnu normiranu slučajnu veličinu i date su u tablicama. Korišćenje tablica

Osobina funkcije F(x) omogućava da se u tablicama daju vrednosti funkcije

Φ√

2

2 , za x[0,5]

Ako X:N(0,1) tada se iz tablica čitaju verovatnoće 0.5 Φ , za x[0;2.99], pri čemu se vrednosti za x date na dve decimale.

16. -raspodela. Studentova raspodela. Veze sa normalnom raspodelom.

-raspodela Neka su slučajne veličine , , … , nezavisne i neka sve imaju N(0,1) raspodelu. Za slučajnu veličinu

se kaže da ima χ -raspodelu sa n stepeni slobode, što se označava sa X: Veza χ raspodele sa normalnom raspodelom. Za dovoljno velike vrednosti n, raspodela može se aproksimirati normalnom raspodelom N(n,2n), a

raspodela slučajne veličine √

normalnom normiranom raspodelom.

Ova aproksimacija se primanjuje za 30, pa je to ujedno i razlog što u tablicama često ne figuriše vrednosti za n veće od 30.

Može se koristiti i Fišerova aproksimacija po kojoj 2 ima približno normalnu √2 1, 1 raspodelu. Studentova raspodela Ako su slučajne veličine Y:N(0,1) i Z: nezavisne, tada slučajna veličina

ima Studentovu raspodelu sa n stepeni slobode, u oznaci X:tn. Dakle, ako su slučajne veličine Y, X1, X2,…, Xn nezavisne i sve imaju istu normalnu normiranu raspodelu N(0,1), tada slučajna veličina

√

ima Studentovu tn raspodelu. Verovatnoće vezane za Studentovu raspodelu se daju u tablicama, jer je neposredno izračunavanje tih verovatnoća na osnovu odgovarajućeg integrala gustine raspodele komplikovano. Tablice za Studentovu t-raspodelu daju vrednosti t za koje je verovatnoća

| | gde je zadato i jednako 0.99, 0.95,…, 0.01 a slučajna veličina X ima t-raspodelu sa n stepeni slobode.

19

Za one vrednosti koje nisu date u tablicama moguće je traženu verovatnoću, odnosno vrednost dobiti interpolacijom ili neposrednim izračunavanjem odgovarajućeg izraza.

Veza Studentove i normalne raspodele Ukoliko je 30, tn raspodela se može aproksimirati N(0,1) raspodelom, pa je to ujedno i razlog što u tablicama često ne figurišu vrednosti za n veće od 30.

17. Matematičko očekivanje. Disperzija. Nejednakost Čebiševa.

Matematičko očekivanje Def.1 Neka je diskretna slučajna veličina sa zakonom raspodele

……

Tada je matematičko očekivanje slučajne veličine jednako:

Neka je elementarna slučajna veličina sa zakonom raspodele: Ako je red ∑ konvergentan, tada se kaže da slučajna veličina ima matematičko očekivanje jednako

Neka je apsolutno neprekidna slučajna veličina sa gustinom raspodele . Ako integral

apsolutno konvergira, tada se kaže da slučajna veličina ima matematičko očekivanje, in da je ono jednako

Ako u predhodnj definiciji posmatrani red/integral ne konvergira apsolutno tada odgovarajuća slučajna veličina nema matematičko očekivanje. Teo.1 Osobine matematičkog očekivanja: Osobine matematičkog očekivanja proizilaze iz date definicije i osobina konačnih suma, redova i određenih integrala.

1. i | | istovremeno postoje ili nepostoje 2. Ako je 1 gde je neka konstanta, tada je 3. Ako je 0 1, tada je 0 4. Ako je 1, tada je 5. Ako je konstanta, tada je 6. Ako su i dve slučajne veličine koje imaju matematička očekivanja, tada je

7. Ako je neprekidna f-ja i diskretna ili elementarna slučajna veličina čiji je zakon raspodele

, , tada je matematičko očekivanje slučajne veličine

Ukoliko je na desnoj strani red, taj red mora da bude apsolutno konvergentan. Ako je neprekidna slučajna veličina sa gustinom raspodele , tada je matematičko očekivanje slučajne veličine

20

Ako je integral na desnoj strani apsolutno konvergentan.

Disperzija

Def.1 Neka je data slučajna veličina . Ako postoji kažemo da slučajna veličina ima disperziju i

da je njena disperzija (varijansa):

Pozitivna vrednost korena disperzije se naziva standardna devijacija i često se označava Iz definicije neposredno sledi:

Teo.1 Osobine disperzije 1. Ako je 1 gde je neka konstanta, tada je 0 2. Ako je konstanta, tada je 3. Ako su i dve nezavisne slučajne veličine koje imaju disperziju i i proizvoljne konstante,

tada je

a ako su zavisne 2

Nejednakost Čebiševa

Neke je i slučana veličina. Ako postoje , odnosno nazivaju se k-tim momentom, i k-tim centralnim momentom respektivno slučajne veličine. Ako postoji momenat reda tada postoje i svi momenti reda za sve . Ako je za slučajnu veličinu matematičko očekivanje konačno tada važi nejednakost Čebiševa

| |

Ako je disperzija slučajne veličine konačna, nejednakost Čebiševa može dati i u obliku

| |

18. Još neke numeričke karakteristike slučajnih veličinai njihove osobine

Kovarijansa

Matematičko očekivanje slučajne veličine je kovarijansa slučajnih veličina i

označava se sa ,

Ako je , 0 slučajne veličine i su nekorelisane.

Koeficijent korelacije Količnik

,,

Je koeficijent korelacije slučajnih veličina i . Ako su i nezavisne slučajne veličine, onda je , 0, ali obrnute nevaži. , 1, 1

21

Ako je , 0 tada je , 1, a ako je 0 , 1 koeficijent korelacije je način merenja stepena zavisnosti slučajnih veličina i .

Koeficijent asimetrije i spljoštenosti Neka su i matematičko očekivanje i disperzija slučajne veličine , ako postoje

, 3

tada su to, redom, koeficijent asimetrije, i koeficijent spljočtenosti. Ako je raspodela slučajne veličine simetrična oko vrednosti , tada je koeficijent asimetrije jednak nuli. Za svaku slučajnu veličinu koeficijent spljoštenosti je veći ili jednak 2

Mod

Neka je data diskretna slučajna veličina svojim zakonom raspodele , . Svaka vrednost slučajne veličine čije su odgovarajuće vrednosti veće od susednih je mod raspodele. Neka je date neprekidna slučajna veličina svojim gustinom raspodele , . Apcisa svake tačkelokalnog maksimuma funkcije je mod raspodele. Na osnovu definicije zaključuje se da raspodela može imati jedan mod i tada za nju kažemo da je unimodalna, dva (bimodalna), ili više (polimodalna).

Medijana Neka je funkcija raspodele slučajne veličine . Medijana je vrednost argumenta funkcije raspodele za koju je 0.5

19. Funkcije slučajnih veličina i njihove raspodele vidi pitanje 9 i 10

20. Mešavine slučajnih veličina i njihove raspodele Od datih slučajnih veličina se mogu formirati nove slučajne veličine i na sledeći način: Neka su X1,X2,…,Xn slučajne veličine, a p,,p2,...,pn verovatnoće tako da je p1 + p2,...+pn=1. Slučajna veličina Y za koju važi: , , … , je konačna mešavina slučajnih veličina X1,X2,...,Xn, koje su njene komponente. Ako su Fj(x), j =1,2,…,n funkcije raspodele slučajnih veličina Xj, j = 1,2,...,n tada, po formuli potpune verovatnoće, nalazimo da je funkcija raspodele slučajne veličine Y jednaka

∑ (*) Izraz na desnoj strani jednakosti predstavlja konveksnu kombinaciju funkcija Fj(x), j = 1,2,...,n. Ukoliko su gj(x) gustine raspodela slučajnih veličina Xj, j = 1,2,...,n, tada je gustina raspodele slučajne veličine Y:

∑ (**) Važi i obrnuto: ako su gj(x) gustine raspodela, a p nenegativni brojevi takvi da je p1 + p2,...+pn=1, tada je izrazom (**) određena gustina raspodele neke slučajne veličine. Svaka funkcija koja jeste funkcija raspodele može se predsta-viti u obliku konveksne kombinacije diskretne, apsolutno neprekidne i singularne funkcije raspodele. Mešavine slučajnih veličina se, naravno, inogu formirati samo od diskretnih ili samo od neprekidnih slučajnih veličina, a takođe i od diskretnih i neprekidnih slučajnih veličina.

22

21. Aproksimacije slučajnih veličina zasečene slučajne veličine Neka je diskretna slučajna veličina sa prebrojivo mnogo vrednosti i neka je poznat njen zakon raspodele:

:… …… … , 1,

Neka je n prirodni broj takav da je , gde je proizvoljno mali (unapred izabrani) pozitivan realan broj. Umesto slučaje veličine X posmatra se zasečena slučajna veličina:

:……

gde je , … , , 1 . Vrednost ove slučajne veličine se modelira na način koji je već opisan za modeliranje vrednosti diskretne slučajne veličine sa konačno mnogo vrednosti. Neka je jedan (pseudo)slučajan broj. Ako je , smatra se da se realizovala vrednost slučajne veličine , odnosno slučajne veličine . Ako je , smatramo da se realizovala vrednost slučajne veličine , odnosno slučajne veličine , i tako dalje do vrednosti . Na taj način se neće dobiti ni jedna od vrednosti slučajne veličine koja je veća od . Međutim, verovatnoća dobijanja bilo koje vrednosti veće od je manja od , a kako je kao mali pozitivan broj, to su i verovatnoće dobijanja vrednosti slučajne veličine koje su veće od zanemarljivo male. Npr,

0.001 znači da se sa verovatnoćom manjom od 0.001, tj. U manje nego 1 od 1000 slučajeva, može očekivati neka od vrednosti koje su veće od . U zavisnosti od zadatka koji se rešava i broja vrednosti koje je potrebno modelirati bira se .

22. Zakoni velikih brojeva. Bernujijev, i još neki Def 1: Zakon velikih brojeva Neka je , ,… niz nezavisnih slučajnih veličina definisanih nad istim prostorom verovatnoća. Ako za svaki pozitivan broj važi:

1 10, ∞

Oznaka se koristi za ovu vrstu konvergencije koja se naziva konvergencija u verovatnoći. Jedan od zakona velikih brojeva je i Bernulijev zakon velikih brojeva:

0, ∞

Bernulijev zakon se dokazuje primenom nejednakosti Čebiševa:

| | | |

10, ∞

Sledeće teoreme daju dovoljne uslove pri kojima važi slabi zakon velikih brojeva: Teorema 1: Teorema Hinčina Neka je dat niz , , … niz nezavisnih slučajnih veličina sa istom raspodelom sa konačnim matematičkim očekivanjem jednakim m. Tada za posmatrani niz slučajnih veličina važi slabi zakon velikih brojeva, tj.

1 , ∞

Teorema 2: Teorema Čebiševa Neka je dat niz , , … niz nezavisnih slučajnih veličina sa konačnim matematičkim očekivanjima i neka postoji konstanta c tako da važi:

∞, 1,2, …

23

Tada za posmatrani niz slučajnih veličina važi slabi zakon velikih brojeva. Teorema 3: Teorema Markova Neka je dat niz , , … niz nezavisnih slučajnih veličina sa konačnim matematičkim očekivanjima i neka važi:

lim1

0

Tada za posmatrani niz slučajnih veličina važi slabi zakon velikih brojeva. U teoremi Hinčina i teoremi Čebiševa uslov nezavisnosti se može zameniti nezavisnošću u parovima. Zaključci ostaju isti. Uslov nezavisnosti se može drugim uslovom, kao što je dato u sledećoj teoremi. Kovarijansa slučajnih veličina i je označena sa , ). Teorema 4: Teorema Bernštajna Neka je dat niz , , … niz slučajnih veličina sa konačnim matematičkim očekivanjima i neka postoji konstanta c tako da važi:

∞,n 1,2, … Takođe, neka , 0 ravnomerno kad | | ∞. Tada za posmatrani niz slučajnih veličina važi slabi zakon velikih brojeva. Osim konvergencije u verovatnoći, definišu se i druge vrste konvergencije. U sledećoj definiciji se navodi još jedna od konvergencija koje se razmatraju u teoriji verovatnoće. Definicija 2: Konvergencija u zakonu raspodele Neka je dat niz , , … niz slučajnih veličina i neka je , , … niz njegovih funkcija raspodele. Ako , za svako , kad ∞, gde je funkcija raspodele, tada se kaže da niz , , … konvergira u zakonu raspodele (ili u raspodeli) ka slučajnoj veličini X kojoj je f-ja

raspodele. Oznaka za ovu vrstu konvergencije je:

, ∞.

23. Konvergencija u zakonu raspodele i centralna granična teorema Ako za niz clučajnih veličina , , … , , … važi

1 10, ∞, 0

Onda za niz slučajnih veličina važi zakon velikih brojeva.

1 1, ∞

Teo.1 Ako su slučajne veličine , , … , , … nezavisne, i ,

onda , ∞ Teo.2 Ako su slučajne veličine , , … , , … nezavisne sa istom raspodelom, matemetičkim

očekivanjem i konačnom disperzijom, onda , ∞ Teo.2 Ako su slučajne veličine , , … , , … nezavisne sa istom raspodelom, matemetičkim

očekivanjem i uniformno ograničenim disperzijama onda , ∞

Centralna granična teorema Teo.1 Neka je dat niz nezavisnih slučajnih veličina , , … , , … sa istom raspodelom, matematičkim očekivanjem i konačnom disperzijom . Tada raspodela clučajne veličine

∑ konvergira ka normalnoj raspodeli ,

24

24. Populacija. Uzorak. Grafičko predstavljanje. Reprezentativnost. Prost slučajni uzorak. Uzorak sa vraćanjem i uzorak bez vraćanja. Skup objekata koji posmatramo naziva se populacija (osnovni skup ili generalna kolekcija) u odnosu na izvesnu varijablinu kvantitativnu ili kvalitativnu osbinu koju nazivamo obeležje. Podatke možemo prikupljati iz cele populacije i tako izučavati populaciju u celini. Međutim ako populacija sadrži veliki broj elemenata, izučavanje može predugo trajati ili prouzrokovati veće materijalne troškove (posebno ako pri proučavanju elemenat može biti uništen). Stoga iz populacije na slučajan način uzima jedan deo koji se dalje proučava – uzorak. Broj elemenata u uzorku je obim uzorka. Uzorak se najčešće dobija na jedan od sledećih načina:

a) Izabrani element se posle beleženja vraća u populaciju, da bi se zatim iz celokupne populacije na slučajan način uzimao sledeći element (izbor sa vraćanjem)

b) Izabrani element se posle beleženja ne vraća u populaciju, a sledeći element uzorka se bira među preostalim elementima populacije (izbor bez vraćanjem)

Kako je krajnji cilj statistike određivanje raspodele obeležja na populaciji na osnovu obeležja na uzorku, od velike je važnosti obezbeđivanje reprezentativnosti uzorka. Neophodno je obezbediti uzorak koji dobro predstavlja populaciju, tj. predstavlja njenu “umanjenu”, a nikako “iskrivljenu” niti “uveličanu” sliku jednog dela populacije.

Prost slučajan uzorak Def.1 Neka se u populacije posmatra neko obeležje . Prost slučajan uzorak obima n za posmatrano obležje je n-dimenziona slučajna promenjiva , … , pri čemu su , … , nezavisne i sve imaju istu raspodelu kao posmatrano obležje . Realizovan uzorak predstavlja konkretan niz vrednosti obeležja dobijenih na elementima populacije koji su izabrani u uzorak.

Grafičko predstavljanje podataka

Neka je dat uzorak obima . Kada u koordinatnom sistemu redom predstavimo tačke , , 1, i spojimo linijom poštujući redosled dobija se poligon apsolutnih frekvencija. Ako se tačke , redom spoje linijom dobija se poligon relativnih frekvencija. Za konstrukciju histograma koristimo sličan postupak samo sto nad svakom tačkom konstruišemo pravouganik čija je površina jednaka apsolutnoj (odnosno relativnoj frekvrnciji) datog intervala. Postoje i drugi načini za prikaz podataka kao čto su piktogrami, i kružni diragrami. Visina i širina grafika bi trebalo da budu u odnosu 1: √2

25.Узорачка средина и узорачка дисперзија. Израчунаванје у зависности од начина задавања података. Још неке статистике. Дефиниција Узорачке средине: Нека је ( Х1, …, Хn) прост случајни узорак обима n за посматрано обележје Х. Узорачка средина је статистика:

= (X1 + ... + Xn)

Математичко очекиванје узорачке средине једнако је математичком очекивању обележја: Е( ) = E(X) = m

Веза дисперзије узорачке средине и дисперзије σ2 обележја Х у популацији је:

D( ) = D(X) = σ2 / n

Ако су подаци у узорку дати као низ вредности х1, ..., хn без сређивања у облику табличних приказивања података тада је реализована вредност узорачке средине:

х

25

Ако је узорак дат у облику табеле где су вредности обележја дати као низ вредности х1, ..., хn, реализована вредност статистике се рачуна по формули:

х

Ако је узорак дат у облику табеле где су вредности обележја дати као интервали (а1, а2), најпре се одреде представници интервала [aj, aj+1), на пример, нјихове хj’ па се реализована вредност сатистике рачуна по формули (претпостављамо да су а1 и ак+1 коначни):

х 1

Нека су подаци дати у облику табеле где су вредности обележја дати као низ вредност х1, ..., хn. Израчунавање реализоване вредности узорачке средине може се поједноставити трансформацијом података. Постоје две могућности: транслација података и линеарна транслација података.

1) Транслација података Уместо х1, ..., хn узимамо хј

*= хј – а, ј= 1, 2, ..., k, где је а неки реални број. Често се за а узима нека од средишњих вредности из варијационог низа. За узорачку средину за новодобијене податке важи:

1

1

Веза узорачке средине полазних и трансформисаних података је:

Реални број а се назива радна нула. 2) Линеарна трансформација података

Уместо х1, ..., хк узимамо хј*= bхј – а, ј= 1, 2, ..., k, где су b и a неки реални бројеви. За узорачку

средину за новодобијене податке важи:

1

Веза узорачке средине полазних и трансформисаних података је: /

Ова трансформација се најчешће примењује кад су вредности у узорку или врло велики бројеви или бројеви врло блиски нули. Ако је b=1, добијамо транслацију података. Узорачка дисперзија Дефиниција: Нека је ( Х1, …, Хn) прост случајни узорак обима n за посматрано обележје Х. Уколико се сматра да је за обележје Х познато математичко очекивање Е(Х)=m, тада је узорачка дисперзија статистика:

1 …

Ако математичко очекиванје обележја није познато, тада је статистика:

1 …

Узорачка дисперзија, док је коригована узорачка дисперзија

11 …

Узорачка дисперзија из друге формуле се може рачунати и по формули 1

…

Веза узорачке дисперзије и кориговане узорачке дисперзије је:

1

На основу дефиниције узорачке дисперзије и особина математичког очекиванја налазимо да је: … , 1

… 1

,

26

1

Узорачка дисперзија је инваријантна у односу на транслацију података. Исто важи и за кориговану узорачку дисперзију и за узорачку дисперзију при познатом очекиванју обележја.

3) Узорачки мод и узорачка медијана Мод узорка је свака вредност хј обележја за чију одговарајућу фреквенцију nј важи: nj > nj-1 и nj > nj+1 . У случају да су вредности обележја дата интервалом и ако су дужине интервала једнаке с, а мод се налази у интервалу [aj, aj+1) (који се назива модалана класа, и за који важи: nj > nj-1 и nj > nj+1) , тада је мод узорка mo једнак:

∆

Где је , ∆ . Ако постоји само један мод онда је то унимодална расподела (обележја на узорку), а за више од једног мода онда је то бимодална (два) и полимодална. Медијана узорка се добија тако што се прво напише варијациони низ у коме се свака вредност обележја понавља онолико пута колика је одговарајућа фреквенција. Нека је варијациони низ:

Тада је узорачка медијана me једнака: , 2 1

12

, 2

Ако су подаци дати табеларно и дужине интервала једнаке с, а медијана се налази у интервалу [aj, aj+1) , тада је узорачка медијана:

2

4) Узорачки коефицијенти варијације, асиметрије и спољоштености Нека је (х1, ..., хn ) реализовани прост случајни узорак обима n за обележје Х. Обични узорачки момент реда k је:

1

А централни момент реда k је : 1

Узорачки коефицијент варијације је:

Узорачки коефицијент асиметрије је:

Узорачки коефицијент спљоштености је:

3 3

5) Статистике као случајне променљиве:

Нека је дат прост случајни узорак ( Х1, …, Хn). Уз стандардну ознаку ∑

Узорачки коефицијент варијације је статистика:

27

1 ∑

Узорачки коефицијент асиметрије је статистика: 1 ∑

1 ∑

Узорачки коефицијент спљоштености је статистика 1∑

1 ∑

3

Статистика првог ранга је: min

Статистика поретка n-тог ранга је:

m

Статистике поретка првог (минималног), другог, ..., n-тог (максималног) ранга, су редом први, други, n-ти елемент варијационог низа. Распон узорка је разлика статистике поретка n-тог и статистике поретка првог ранга. Распон узорка се означава са R. Ако је дат узорак обима n и ако су Xmin и Xmax означене статистике поретка првог и n-тог ранга, тада је распон узорка:

R= Xmin - Xmax Нека су Y1, ..., Yn елементи варијационог низа. Имамо да је Y1≤…≤Yn. Узорачка медијана је статистика:

, 2 112

, 2

26. Empirijska fukcija raspodele. Centralna teorema matematičke statistike. Definicija: Neka je (X1, ..., Xn) prost slučajni uzorak obima n za posmatrano obeležje. Funkcija

gde je I indikator događaja je empirijska funkcija raspodele. Neka je nx broj elemenata uzorka za koje je vrednost obeležja X manja od realnog broja x. Tada se realizovana vrednost empirijske raspodele u tački x dobija po formuli:

I često se, takođe, zove empirijska funckija raspodele obeležja X.Empirijska funckija raspodele je jednaka relativnoj učestalosti događaja [X<x]. To je jedna stepenasta funckija koja uzima vrednosti sa segmenta [0, 1], neopadajuća je za svako x, levo od najmanje varijante i u njoj jednaka je nuli, a desno od najveće varijante jednaka je jedinici. Posmatrana kao slučajna promenljiva empirijska funckija raspodele ima binomni zakon raspodele

1 , 0, 1, … ,

Ovde je F(x) odgovarajuća teorijska funckija raspodele za posmatrano obeležje.

28

Iz Bernilijevog zakona velikih brojeva sleda da empirijska funkcija raspodele konvergira u verovatnoći ka funkciji raspodele obeležja:

, ∞ Centralna teorema matemati;ke statistike: Ako je F(x) teorijska funkcija raspodele obeležja X, a Fn

*(x) empirijska funkcija raspodele dobijena na osnovu prostog slučajnog uzorka obima n, tada, uniformno po x, funkcija Fn

*(x) teži ka F(x) sa verovatnoćom 1, tj.:

sup | | 0 1

Teorema Kolmogorova: Ako je funkcija raspodele F posmatranog obeležja neprekidna i ako je sup| |,

Onda za svaki realan broj t važi:

√ 1 2 1

Teorema Kolmogorova određuje raspodelu maksimalnog odstupanja empirijske funkcije raspodele od funkcije raspodele obeležja i posebno je važna jer pokazuje da rezultat ne zavisi od raspodele obeležja! Ona se primenjuje pri proveri (testiranju) saglasnosti empirijske funkcije raspodele obeležja i neke funkcije raspodele da koju pretpostavljamo da bi mogla biti funkcija raspodele posmatranog obeležja.

27. Ocenjivanje parametra. Osobine ocena. Pri proučavanju obeležja srećemo se sa dva osnovna zadatka:

1. Odrediti na osnovu uzorka raspodelu obeležja na populaciji 2. Ako je tip raspodele poznat, odrediti nepoznate parametre raspodele (na osnovu uzorka, pomoću

realizovanih vrednosti statistika) Neka je (x1,x2,... , xn) prost slučajan uzorak obima n. Statistika Y=f(x1,x2,... , xn) – f-ja uzorka, zavisi od nepoznatog parametra θ raspodele obeležja X. Ako se parametar θ ocenjuje statistikom Y=f(x1,x2,... , xn), kaže se da je statistika Y ocena parametra θ i još se označava sa . Pošto je realizovana vrednost statistike Y=f(x1,x2,... , xn) neki realan broj, odnosno tačka na realnoj pravoj, statistika Y se naziva tačkasta ocena parametra θ. Def1. (Nepristrasna ocena) Neka je (x1,x2,... , xn) prost slučajan uzorak obima n i θ nepoznati parametar raspodele obeležja X. Statistika Y=f(x1,x2,... , xn) je nepristrasna ocena parametra θ ako važi E(Y)= θ. Ako ocena nema osobinu nepristrasnosti, ona je pristrasna i veličina njene pristrasnosti se meri razlikom E(Y)- θ. Ako je lim lim f x , x , … , x onda se statistika Y=f(x1,x2,... , xn) naziva asimptotski nepristrasna ocena parametra θ. Def2. (Postojanost ili stabilnost) Neka je (x1,x2,... , xn) prost slučajan uzorak obima n i θ nepoznati parametar raspodele obeležja X. Statistika Y=f(x1,x2,... , xn) je postojana ocena parametra θ ako je nepristrasna i važi | | 0 .

Postojanost označava da kako se povećava obim uzorka razlika između realizovane vrednosti statistike i stvarne vrednosti parametra se smanjuje. Def3. (Efikasnost) Neka je (x1,x2,... , xn) prost slučajan uzorak obima n i θ nepoznati parametar obeležja X. Neka su statistike Y=f(x1,x2,... , xn) i Z=g(x1,x2,... , xn) nepristrasne ocene parametra θ. Statistika Y je efikasnija ocena parametra θ od statistike Z ako važi: D(Y) ≤ D(Z) Ako za bilo koje Z (nepristrasna ocena parametra θ) važi D(Y) ≤ D(Z) (i važi E(X)=E(Y)= θ) onda se statistika Y naziva najefikasnija ocena parametra θ.

29

28. Ocenjivanje matematičkog očekivanja, disperzije, koeficijenta korelacije. Neka obeležje X ima N(m, σ2) raspodelu i neka je dat prost slučajni uzorak obima n za posmatrano obeležje: (X1, ..., Xn).

Statistika ∑ je nepristrasna i stabilna ocena za m, a njena raspodela je N(m, ), a

statistika √ ima N(0, 1) raspodelu.

Statistika ∑ ima χ raspodelu, pa je matematičko očekivanje za jednako

σ2, a disperzija za jednaka . Donja granica za ocenu disperzije u slučaju poznatog matetatičkog

očekivanja je , što znači da je najbolja ocena za disperziju, ako je matematičko očekivanje

poznato.

Statistika ∑ ima χ raspodelu, pa je matematičko očekivanje za

jednako (n-1) σ2/n, a disperzija jednaka .

Statistike su nezavisne slučajne promenljive.

Statistika ∑ je nepristrasna ocena za σ, ako je m poznato.

Statistika ∑ je nepristrasna ocena za σ, ako m nije poznato.

29. Metoda maksimalne verodostojnosti Neka je (x1, x2, ..., xn) prost slučajan uzorak obima n i θ nepoznat parametar raspodele obeležja X. Neka je g(X, θ) gustina raspodele. F-ja

, , , … , Se naziva f-ja verodostojnosti. Parametar θ ćemo oceniti statistikom za čiju vrednost f-ja L (ili lnL) postiže supremum (u nekim slučajevima to će biti i maksimum f-je L). Ako je L diferencijabilna

, 0 , 0

Rešavanjem ove jednačine biramo vrednost u kojoj f-ja L dostiže supremum. Diskretni slučaj:

, θ p x , θ p x , θ …p x , θ , , 1,

Zatim određujemo ekstremnu vrednost f-je L.

30. Intervali poverenja. Definicija. Primeri za intervale poverenja za matematičko očekivanje kod obeležja sa normalnom raspodelom Realizovana vrednost tačkaste ocene parametra može dosta odstupati od stvarne vrednosti parametra, a da pri tom ne znamo koliko je to odstupanje. Stoga se, na osnovu prostog slučajnog uzorka određuje slučajni interval koji, sa unapred zadatom verovatnoćom sadrži nepoznati parametar. Neka je θ nepoznati parametar u raspodeli obeležja X i neka je (X1, ..., Xn) prost slučajni uzorak obima n za to obeležje. Na osnovu posmatranog uzorka definišu se statistike f(X1, ..., Xn) i g(X1, ..., Xn) tako da veže uslovi:

30

1, , 0, 1 .

Tada kažemo da je [f, g] interval poverenja za nepoznat parametar θ sa nivoom poverenja β. Postoje dva slučaja za interval poverenja za matematičko očekivanje kod obeležja sa normalnom raspodelom.

1. Slučaj Interval poverenja za matematičko očekivanje m obeležja X, sa normalnom raspodelom i poznatom disperzijom

Taj interval ćemo određujemo polazeći od činjenice da se statistikom ocenjuje matematičko očekivanje obeležja. Kako je, u slučaju normalne raspodele, gustina raspodele simetrična u odnosu na pravu x = m, statistike f i g biramo simetrično u odnosu na u obliku , . Treba odrediti ε iz uslova

, Odnosno iz uslova: | | . Pošto statistika ako je σ2 poznato, ima normalnu raspodelu N(n, σ2/n) iz toga sledi

√

Ima normalnu raspodelu N 0, 1 , pa se može odrediti iz:

|m √

Gde je √ . Koristeći tablice za normalnu raspodelu za dato β nalazimo i tako dobijamo

interval poverenja za matematičko očekivanje obeležja X:

√σ,

√σ

Posle toga na osnovu vrednosti n i realizovane vrednosti uzoračke sredine dobijamo realizovani interval poverenja:

√σ,

√σ

2. Interval poverenja za matematičko očekivanje m obeležja koje ima normalnu raspodelu i nepoznatu disperziju

Taj interval se nalazi na sličan način kao i u prethodnom slučaju s tim što se sad koristi slučajna promenljiva

√ 1

Koja ima Studentovu raspodelu ili t raspodelu sa n‐1 stepeni slobode. Stoga iz tablica za Studentovu raspodelu nalazimo tn‐1;β tako da za dato β važi:

√ 1

I na osnovu vrednosti iz uzorka za n, i dobijamo interval poverenja za m: ;

√ 1,

;

√ 1

31. Testiranje hipoteza. Osnovni pojmovi: nulta i alternativna hipoteza, kritična oblast, prag značajnosti, greška prve i druge vrste. Zaključci o posmatranom obeležju se donose na osnovu uzorka. S obzirom da su podaci iz dva uzorka, istog obima n i za isto obeležje X, mogu znatno razlikovati, jer predstavljaju realizacije n – dimenzionalnih slučajnih promenljivih, to zaključci do kojih dolazimo moraju biti formulisani i interpretirani u terminima teorije verovatnoće.

31

Svaka pretpostavka (hipoteza) o parametru raspodele zove se parametarska hipoteza, a postupak njenog potvrđivanja ili odbacivanja na osnovu podataka iz uzorka je parametarski test. Ako hipoteza u potpunosti određuje raspodelu obeležja kaže se da je to prosta hipoteza. Na primer, hipoteza da je nepoznati parametar θ jednak broju θ0, što označavamo H0(θ= θ0), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza nije prosta, onda je složena, kao što su hipoteze θ>θ0, θ<θ0 ili θ≠θ0. Obično imamo dve hipoteze: hipoteza koju testiramo H0 (tzv. nulta hipoteza) i hipoteza H1 (alternativna hipoteza), koja na neki način protivreči hipotezi H0. Alternativna hipoteza može, takođe, biti prosta ili složena. Ako se odbacuje nulta hipoteza H0 kada ona jeste tačna, čini se greška prvog tipa, a ako se prihvata H0 kada je tačna hipoteza H1, čini se greška drugog tipa. Verovatnoća α odbacivanja hipoteze H0, ako je ona zaista tačna treba da bude mala. Broj α je verovatnoća greške prvog tipa i naziva se prag značajnosti ili nivo značajnosti. U primenama je to veličina bliska nuli. Postupak testiranja neke hipoteze samo ukzuje na stepen saglasnosti te hipoteze i podataka iz uzorka, ali ne daje dokaz da li je postavljena hipoteza zaista tačna ili ne.

32. Testiranje hipoteze o matematičkom očekivanju obeležja koje ima normalnu raspodelu (poznata disperzija i nepoznata disperzija) 1. Testiranje hipoteze H0(m=m0) o matematičkom očekivanju obeležja X koje ima normalnu raspodelu N(m, σ2), ako je σ2 poznato. Neka je alternativna hipoteza H1(m≠m0). Ako je H0 tačna, statistika ima N(m0, σ

2/n) raspodelu. Stoga nalazimo ε iz uslova:

| || m |

√ √ .

Gde je . označava verovatnoću izračunatu pri hipotezi H0.

Pomoću tablica za normalnu raspodelu za dato α nalazimo √ i izračunamo ε, pa ako je |

| hipotezu H0 odbacujemo. Ovde je realizovana vrednost statistike . Znači, ako je ∞, ,∞ , onda hipotezu H0 odbacujemo. Oblast

∞, ,∞ Je kritična oblast za hipotezu H0(m=m0) pri alternativi H1(m≠m0). Drugi način je da pomoću tablica za normalnu raspodelu izračunamo α* iz uslova:

| | | || |

√| |

√

I ako je α*< α hipotezu H0 odbacujemo. 2. Testiranje hipoteze H0(m=m0) ako obeležje ima normalnu raspodelu N(m, σ2), ako disperzija σ2 nije poznata. Neka je alternativna hipoteza H1(m≠m0). Ako je H0 tačna, onda statistika:

m√ 1

Ima tn-1 raspodelu. Pomoću tablica za t-raspodelu nalazimo ε iz:

| || m |

√ 1 √ 1 .

I H0 odbacujemo ako je ε manje ili jednako od realizovane vrednosti | | iz uzorka.

33. Testiranje hipoteze o jednakosti matematičkih očekivanja za 2 nezavisna obeležja sa normalnom raspodelom. Obeležja i nezavisna.

, … , , , … , : , , : , , poznato

32

, , ili ,

√

: 0,1 ,

√

: 0,1

: , Σ ? , Σ ?

, , ∞

Ako je , odbacujemo , inače prihvatamo.

34. - test. Test frekvencija (primena testa za proveru tablica sučajnih cifara). Neka je potrebno, sa pragom značajnosti , testirati hipotezu da obeležje X za koje imamo prost slučajni uzorak , … , ima datu funkciju raspodele . Tada pišemo : ili

. Neka je u raspodeli obeležja X nepoznato s parametara. Te parametre ćemo oceniti na osnovu datog uzorka, kao što je opisano u Poglavlju 13 (oh fuck). Skup mogućih vrednosti obeležja se razbija na r disjunktnih delova , , … , , tako da je broj elemenata iz uzorka koji su u skupu najmanje 5. Brojevi se realizovane vrednosti slučajnih veličina , čije su raspodele , ,1, . Prema postavljenoj hipotezi se nalaze verovatnoće . Statistika kojom se testira postavljena hipoteza (test statistika) je:

i može se dokazati, ako je hipoteza tačna, da ta statistika ima raspodelu. Na osnovu datog uzorka izračunamo realizovanu vrednost test-statistike. Test statistika je označena sa da bi se naglasilo njeno određivanje na osnovu uzorka. Za dati nivo značajnosti čitamo vrednost ; iz uslova

; u tablicama. Ako je u uzorku registrovana vrednost test-statistike veća od tablične, hipoteza se odbacuje; u suprotnom se na osnovu datih podataka i za dati prag značajnosti, hipoteza prihvata. !!!IZ SVESKE!!!: Primenljiv na:

‐ Diskretne parametre ‐ Neprekidne parametre

Primenljiv ako su: ‐ Svi parametri poznati ‐ Neki parametri nepoznati 3, ; , 1 ; ,

Uzorak , … , se deli na klase , , … , (disjunktne, obuhvata sve moguće vrednosti za X)

33

- broj elemenata uzorka u – verovatnoća pri da : je očekivana vrednost broja elemenata iz

uzorka u Test statistika kada ∞:

Osobine: ‐ : , – raspodela test statistike

‐ Uslov: 5, 1… 5

Primena: provera ispravnosti tablica slucajnih cifara 00.1

10.1

20.1

…0.1

90.1

10

10:

35. - test. Testiranje nezavisnosti. (tabele kontigencije) Ispitivanje da li su dva obeležja X i Y nezavisna ili zavisna je čest zadatak u matematičkoj statistici. Odgovor treba dati na osnovu dvodimenzionalnog prostog slučajnog uzorka obima : , , … , , .

Podsetimo se prvo definicije nezavisnosti dve slučajne promenljive X i Y: ako je , zajednička funkcija raspodele para (dvodimenzionalne slučajne promenljive) (X i Y), a i funkcije raspodele njenih koordinata, tada je , , za sve , potreban i dovoljan uslov nezavisnosti. Na osnovu toga se formuliše i hipoteza o nezavisnosti. Hipoteza , biće hipoteza nezavisnosti, a testira se protiv alternativne hipoteze , . Ako dvodimenzionalno obeležje (X,Y) ima normalnu raspodelu, tada testiranje hipoteze o nezavisnosti može biti preformulisano na sledeći način: testirati hipotezu o jednakosti sa nulom koeficijenta korelacije slučajnih promenljivih X i Y, protiv alternativne hipoteze da je koeficijent korelacije različit od 0. Testiranje hipoteze o nezavisnosti se može ostvariti i tzv. testom rangova o kome će kasnije biti reči. Sada će najpre biti reči o jednom načinu testiranja nezavisnosti koji se zasniva na primeni testa. Koristeći ideje iz testa može se testirati hipoteza o nezavisnosti dva obeležja X i Y, koja, čak ne moraju ni biti kvantitatvna obeležja. Neka su podaci iz dvodimenzionalnog uzorka obima n poređani u r kategorija po vrednostima obeležja X, a u s kategorija po vrednostima obeležja Y. Ti podaci se onda daju u tabeli kontigencije (tabeli povezanosti):

X/Y … zbir … …

… … … … … … …

zbir … Broj označava da se par , pojavio puta u uzorku. Zbir ∑∑ je jednak obimu uzorka. Neka su marginalni zbirovi po vrstama (tj. po vrednostima obeležja X): , , … , , a po

34

kolonama , , … , . Na osnovu pretpostavke da su X i Y nezavisne slučajne promenljive može se pokazati da je

realizovana vrednost slučajne promenljive koja ima raspodelu. Na osnovu izračunate

vrednosti koja se za gornji zbir dobija iz uzorka i tablične vrednosti određene pomoću datog praga značajnosti iz

ε odlučujemo da se hipoteza o nezavisnosti odbacuje ako je , odnosno ne odbacuje ako je .

36. Test Kolomogrova To je jedan od neparametarskih testova (slobodan, nezavisan od raspodele obeležja) i primenjuje se za obeležja koja imaju neprekidne raspodele. Nulta hipoteza je da je raspodela posmatranog obeležja X jednaka nekoj raspodeli , alternativna hipoteza je da je raspodela različita od raspodele . Ako sa označimo uzoračku funkciju raspodele za posmatrano obeležje, dobijenu na osnovu jednog prostog slučajnog uzorka, tada će test statistika biti statistika Kolomogrova.

sup∞ ∞ | |

A.N. Kolomogrov je pokazao da za neprekidne funkcije raspodela važi

lim √ lim√

1

za svako 0 Konvergencija je brza i aproksimacija je zadovoljavajuća već za 20. Naravno, 0 za svako 0. Sa određena je tzv. raspodela Kolomogrova. Neka je

sup | |

realizovana vrednosti statistike Kolomogrova. Jasno je da velike vrednosti govore u prilog nesaglasnosti raspodele sa . Zato je kritična oblast određena uslovom . Dakle, , ∞ , , ∞ . Dakle, broj , koji je granica

kritične oblasti nalazi se iz odgovarajućih tablica. Ako je , , tada hipotezu odbacujemo (za dati prag značajnosti i za dati uzorak).

37. Test Vilkinson-Man-Vitni ‐ Neparametarski test (tj. Hipoteza je o raspodeli) ‐ Dva obeležja X i Y ‐ Uzorak , … , , uzorak , … , ,

‐ Hipoteza

35

‐ Objedinjeni uzorak I varijacioni niz

1 3 4 5 2 3 5 6 a) Ukupan broj elemenata “ ” ispred svih “ ”

3 -a 2 -a

b) Rangovi elemenata uzorka

Rang 1 2 3 4 5 6 7 8

Vrednost 1 2 3 3 4 5 5 6 rang 1 2 3.5 3.5 5 6.5 6.5 8 – zbir rangova svih “ ”: 1 3.5 5 6.5 = 16 - zbir rangova svih “ ”: 2 3.5 6.5 8 20

1 2 1

2

Testiranje: 1. Određivanje 2. Određivanje kritične oblasti 3. Korišćenje tablica

a. , 8 – sprecijalne tablice b. , 8

: , Σ pri 12

Σ vrednost vrednosti za Y)

broj vrednosti “ ” ispred “ ” Velika vrednost za odgovara ako je alternativna hipoteza

38. Jednofaktorska disperziona analiza ‐ ANOVA (analysis of variance)

Uticaj različitih faktora na neko obeležje (različiti nivoi, isti faktor) Primer: - isti proizvod iz različitih fabrika Uzorak: Vrednost obeležja Podpopulacija Podpopulacija ... ... Podpopulacija

- prosek za objedinjeni uzorak , , 1…

,

(alternativa tesova upoređivanja matematičkog očekivanja)

36

39. Modeliranje diskretnih slučajnih veličina. Modeliranje slučajnih događaja. Modeliranje mešavina slučajnih veličina. Modeliranje diskretnih slučajnih promenljivih sa konačno mnogo vrednosti Neka je X diskretna slučajna veličina sa konačno mnogo vrednosti i neka je poznat zakon raspodele

:…… , 1,

Neka je jedan (pseudo)slučajan broj. Ako je , smatra se da se realizovala vrednost slučajne veličine X. Ako je , smara se da se realizovala vrednost slučajne veličine X, ako je

, smatra se da se realizovala vrednost , i tako dalje do . Znači da se za dobijanje jedne realizacije slučajne veličine koristi jedan (pseudo) slučajan broj. Na osnovu ovog postupka se može modelirati i realizacije slučajnih događaja. Ako je verovatnoća događaja A jednaka p, tada je indikator događaja A slučajna promenljiva :

:0 1

1

Modeliranjem te slučajne veličine dobija se da se događaj A realizovao ako je dobijena modelirana vrednost 1, a da se događaj A nije realizovao ako je dobijena modelirana vrednost 0. Modeliranje diskretnih slučajnih veličina sa prebrojivo mnogo vrednosti. Neka je diskretna slučajna veličina sa prebrojivo mnogo vrednosti i neka je poznat njen zakon raspodele:

:… …… … , 1,

Neka je n prirodni broj takav da je , gde je proizvoljno mali (unapred izabrani) pozitivan realan broj. Umesto slučaje veličine X posmatra se zasečena slučajna veličina:

:……

gde je , … , , 1 . Vrednost ove slučajne veličine se modelira na način koji je već opisan za modeliranje vrednosti diskretne slučajne veličine sa konačno mnogo vrednosti. Neka je jedan (pseudo)slučajan broj. Ako je , smatra se da se realizovala vrednost slučajne veličine , odnosno slučajne veličine . Ako je , smatramo da se realizovala vrednost slučajne veličine , odnosno slučajne veličine , i tako dalje do vrednosti . Na taj način se neće dobiti ni jedna od vrednosti slučajne veličine koja je veća od . Međutim, verovatnoća dobijanja bilo koje vrednosti veće od je manja od , a kako je kao mali pozitivan broj, to su i verovatnoće dobijanja vrednosti slučajne veličine koje su veće od zanemarljivo male. Npr,

0.001 znači da se sa verovatnoćom manjom od 0.001, tj. U manje nego 1 od 1000 slučajeva, može očekivati neka od vrednosti koje su veće od . U zavisnosti od zadatka koji se rešava i broja vrednosti koje je potrebno modelirati bira se .

40. Modeliranje neprekidnih slučajnih veličina: metoda inverzne f-je, Nojmanova metoda i modeliranje normalne raspodele. Metoda inverzne f-je: Neka je X neprekidna slučajna veličina sa funkcijom raspodele , za koju se može odrediti inverzna f-ja. Modeliranjem vrednosti slučjane veličine X se može ostvariti na osnovu sledeće teoreme:

Neka je data slučajna veličina X čija je funkcija raspodele strogo monotona i neprekidna i neka je njena inverzna funkcija. Neka je slučajna veličina sa uniformnom raspodelom 0,1 . Tada slučajna veličina ima funkciju raspodele .

37

Dakle, realizovana vrednost x slučajne veličine X se dobija pomoću jednog (pseudo) slučajnog broja , po formuli . Metoda inverzne f-je je primenjljiva i ako f-ja raspodele ima skok ili ako ima interval konstantnosti, ali se ne primenjuje ako se ne može odrediti inverzna f-ja raspodele slučajne veličine koja se modelira. Nojmanova metoda: Za slučajne veličine čija je gustina raspodele različita od nule i ograničena na konačnom intervalu, modeliranje se može ostvariti na osnovu sledeće teoreme:

Neka je gustina raspodele slučajne veličine definisana na konačnom intervalu , I neka je , , . Neka su i modelirane vrednosti nezavisnih slučajnih promenljivih čije su raspodele, redom , i 0, . Ako je , tada je realizovana vrednost slučajne veličine X jednaka .

Da bi se Nojmanovom metodom dobila jedna realizacija slučajne veličine koja se modelira, potrebna su bar dva (pseudo) slučajna broja. Ako nejednakost nije zadovoljena, treba modelirati sledeći par vrednosti i , itd. dok se ne dobije par vrednosti i koji zadovoljava uslove teoreme. Nojmanova metoda se može primeniti i na slučajne veličine čija je gustina raspodele različita od 0 na beskonačnom intervalu, ali prvo je potrebno formirati odgovarajuću zasečenu slučajnu veličinu. Neka

slučajna veličina ima gustinu raspodele , , tj. Neka je 1. Za slučajnu veličinu se kaže da ima zasečenu raspodelu ako se sve vrednosti slučajne veličine nalaze u intervalu , , za koji važi , , , i tu se poklapaju sa vrednostima . Ako se sa označi gustina raspodele slučajne veličine biće:

,

Primećuje se da važi , , . Interval , se bira tako da unapred izabrani mali pozitivan broj važi:

1

Modeliranje normalne raspodele: Postoje različite metode za modeliranje normalne raspodele, jer je modeliranju vrednosti normalne raspodele posvećena posebna pažnja zbog značaja i česte primene normalne raspodele. S obzirom na tvrđenje: Ako slučajna veličina X ima normalnu raspodelu , , tada slučajna veličina / ima normalnu normiranu raspodelu 0,1 , dovoljno je navesti postupke modeliranja slučajne veličine koja ima normalnu normiranu raspodelu 0,1 .

Metoda inverzne f-je nije pimenljiva za modeliranje normalne raspodele jer je f-ja raspodele slučajne veličine X sa normalnom raspodelom , , čiji su parametri i , oblika:

1

√2

pa se njena inverzna f-ja ne može izraziti preko elementarnih f-ja. Postoji mogućnost modeliranja normalne raspodele korišćenjem gustine raspodele ako se formira odgovarajuća zasečena veličina i primeni Nojmanova metoda. Neke od metoda modeliranja normalne raspodele: Modeliranje normalne raspodele na osnovu centralne granične teoreme, modeliranje normalne raspodele korišćenjem tablica sa vrednostima f-je raspodele, modeliranje normalne raspodele korišćenjem polarnih koordinata, modeliranje normalne raspodele korišćenjem jedne (ili dve) eksponencijalne raspodele.