INTRODUCCION

Curso: Mecnica de Fluidos I

Docente: Ing. Felix G. Prrigo Sarmiento________________________________________________________________________

FUERZAS HIDROSTTICAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS

El diseo de estructuras de cavitacion y todo objeto sumergido (obstrucciones del flujo, superficies de embarcaciones), requiere del clculo de longitudes y posiciones de fuerzas que actan sobre su superficie.

Fuerzas Hidrostticas Sobre Superficies Planas Sumergidas

1) Superficies Planas Hidrostticas.- En todos los puntos de la superficie plana la presin es la misma.

Magnitud de la Fuerza:

Divisin de la Fuerza: P es perpendicular a la superficie plana.

Lnea de accin de la Fuerza Resultante: La fuerza P esta dirigida hacia la superficie plana.

Considerando que la superficie horizontal esta contenida en el plano x,y:

Siendo P la resultante de un conjunto de fuerzas paralelas, se cerifica que el momento de la resultante es igual a la suma de los momentos de las fuerzas.

Anlogamente:

el centro de presiones coincide con el centroide del area de la superficie plana horizontal.

2) Superficies Planas Inclinadas: En la figura, BC es la traza de la superficie plana inclinada. Se toma como eje X la interseccin de los planos de la superficie libre y de la superficie inclinada. El eje Y es tomado en el plano de la superficie inclinada con el origen en la superficie libre. De esta manera el plano XY contiene a la superficie dada.

Magnitud: Considrese un elemento horizontal de rea, dA

Es decir la magnitud es igual a la presin en el centroide de la superficie inclinada multiplicada por el rea de la superficie inclinada.

Direccin: perpendicular a la superficie plana inclinada.

Sentido: hacia la superficie plana.

Aplicaci6n: el centro de presiones C.

En superficies horizontales el C coincida con el G, ahora

veremos que en superficies inclinadas el C cae por debajo del G.

Valor YC: Se usa el mismo elemento horizontal de rea dA y se toma momentos con respecto al eje X.

La integral es el momento de inercia del rea A respecto del eje X:

De acuerdo al teorema del eje paralelo:

El segundo trmino del segundo miembro es siempre positivo de manera que el C queda por debajo del G. Obsrvese como la separacin entre estos dos puntos es tanto menor cuanto mayor es la profundidad.

Valor XC: Se usa un nuevo elemento de rea dX . dY y se toma momentos con respecto al eje Y.

El valor puede positivo o negativo de modo que el C puede encontrarse a uno u otro lado del G. Basta que la superficie plana inclinada tenga un eje de simetra para que = =0, en cuyo caso:

Comentario.- Por lo general, las situaciones de inters se relacionan con superficies planas que tienen uno o dos ejes de simetra, de modo que slo se trata de determinar el valor YC.

CENTRO DE GRAVEDAD, MOMENTO DE INERCIA Y RADIO DE GIRO DE FIGURAS USUALES

El diagrama de presiones.- Es la representacin grafica de la expresin.

P = ( h, sobre superficies planas.

Sobre la superficie plana rectangular ABCD el diagrama espacial de presiones es un prisma recto de base triangular y el diagrama en el plano de simetra es un tringulo. En la prctica basta dibujar este tringulo de presiones.

Como se puede ver el empuje resulta numricamente igual al volumen del di- grama espacial de presiones. Su punto de aplicacin es el centroide de este diagrama espacial o bien el centroide del tringulo de presiones.

FUERZA HIDROSTTICA SOBRE SUPERFICIES CURVAS

Considerando la superficie curva de la figura, la fuerza de presin que acta en el Momento de rea es:

La Fuerza Resultante:

Fig: Superficie curva sumergida.Se puede escribir:

Donde: son las componentes de en las direcciones positivas , respectivamente.

Para calcular las componentes de la fuerza a lo largo de una direccin dada, se toma el producto puntual de la fuerza por el vector unitario y la direccin considerada, as:

De la misma manera,

Donde:

es la proyeccin del elemento de rea dA sobre el plano perpendicular al eje x.

es la proyeccin del elemento de rea dA sobre el plano perpendicular al eje y.

es la proyeccin del elemento de rea dA sobre el plano perpendicular al eje z.

La componente de la fuerza resultante en la direccin l est dada, en general, por:

Donde es la proyeccin del elemento de rea sobre el plano perpendicular a la direccin l, y el signo (positivo o negativo) depende de la magnitud del ngulo , entre y el vector unitario correspondiente a la direccin l.

Para determinar la fuerza resultante sobre una superficie curva sumergida se necesita determinar cada una de sus componentes.

Al considerar la componente vertical, , de la fuerza resultante, observamos que la presin ejercida por el lquido est dada por:

Donde zs es la coordenada vertical de la superficie sumergida y z0 es la coordenada vertical de la superficie libre.

Esta integral representa el peso de un elemento cilndrico diferencial de lquido que se encuentra por encima del elemento de superficie, dicho cilindro se extiende desde la superficie curva hasta la superficie libre del lquido. La componente vertical de la fuerza resultante se obtiene al integrar en toda la superficie sumergida.

La magnitud de la componente vertical de la fuerza resultante es igual al peso total del lquido que se encuentra directamente encima de la superficie.

Para superficies cilndricas se tiene donde R es el radio y w es el ancho de la superficie cilndrica.

Reemplazando:

Donde es el ngulo entre y el vector unitario de la direccin i.

La lnea de accin de cada uno de los componentes de la Fuerza Resultante ser:

Las componentes de la Fuerza se expresan como:

La componente de FR en la direccin z, tiene como magnitud y acta en la direccin z negativa. Llamando , a la componente vertical de la fuerza resultante, se tiene . Para encontrar la lnea de accin de las componentes:

De estas dos ecuaciones se obtiene:

Problema:La compuerta mostrada en la figura tiene un ancho constante, w, de 5m. La ecuacin que describe su superficie es , donde El nivel del agua en el lado derecho de la compuerta est a 4m. Determine las componentes de la fuerza resultante debido al agua y la lnea de accin de cada una de ellas.

Solucin:

Datos:Compuerta de ancho constante,

Ecuacin de la superficie en el plano donde

Nivel del agua, a la derecha de la compuerta.Ecuaciones fundamentales:

Momento de una fuerza:

Si suponemos que constante, entonces:

Como la presin atmosfrica acta tanto en la parte superior de la compuerta como en la superficie libre del lquido, no existe una contribucin neta por parte de la presin atmosfrica. Por lo tanto, determinar la fuerza debida al lquido, se puede tomar .

A lo largo de la superficie de la compuerta . Como

Reemplazando se tiene:

(El signo negativo indica que realmente acta hacia la izquierda)

Para determinar la lnea de accin ,

Por lo tanto:

De manera anloga para :

Por lo tanto:

Problema:

El tanque abierto mostrado en la figura se llena con agua hasta un nivel de 10pies. Determinar las magnitudes y las lneas de accin de las componentes vertical y horizontal de la fuerza resultante que ejerce el agua sobre la parte curva en el fonde del tanque.

Solucin:

Datos:

Tanque de ancho, , lleno de agua hasta el nivel 10 pies.

Ecuaciones fundamentales:

Momento de una fuerza

Puesto que para una superficie cilndrica, , resulta lgico seleccionar como variable de integracin, . Sustituyendo los lmites resulta:

Necesitamos ahora expresar p como una funcin de

Para = constante, . Como nos interesa la fuerza resultante debida al agua ( acta tanto en el fondo de la superficie curva como en la superficie libre del agua), tomamos . Por lo tanto:

Teniendo en cuenta el diagrama, , mientras que a lo largo de la superficie curva, : Por lo tanto,

(El signo negativo indica que la componente horizontal de acta hacia la derecha.)

(El signo negativo indica que la componente vertical de , acta hacia abajo)

Para encontrar la lnea de accin de , el momento de respecto a O debe ser igual a la suma de momentos de con respecto a O.

Integrando:

Para determinar la lnea de accin de , el momento de pies respecto a O debe ser igual a la suma de momentos de con respecto a O.

Flotacin o Fuerza De Empuje y Estabilidad

Fuerza de Empuje o Flotacin: Es la fuerza que experimenta un objeto sumergido en un lquido o que flota sobre una superficie, debido a la presin del lquido.

Cuerpos Flotantes: Son aquellos cuyos pesos son inferiores a los pesos de los volmenes de lquido que ellos puedan desalojar.De acuerdo al Principio de Arqumedes, un cuerpo sumergido total o parcialmente en un fluido en reposo sobre un empuje vertical de abajo hacia arriba, de magnitud igual al peso del lquido desalojado y aplicada en el centro de gravedad del volumen de lquido desalojado.

La fuerza vertical que acta sobre el cuerpo debido a la presin hidrosttica dFZ es igual a:

Pero

S Si el peso del cuerpo es < que el empuje entonces el cuerpo flota.

Si el peso del cuerpo es > que el empuje entonces el cuerpo se hunde. Si el peso del cuerpo es = que el empuje entonces el cuerpo esta en equilibrio.

(estable, inestable o indiferentre)

El punto de aplicacin del empuje coincide con el centro de gravedad del volumen desalojado y se denomina generalmente Centro de Empuje.

La parte sumergida se le llama Carena en los cuerpos flotantes y en Centro de Empuje se denomina Centro de Carena y al Empuje mismo se le llama desplazamiento.

EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS TOTALMENTE SUMERGIDOS (SUBMARINOS, DIRIGIBLES)

En este caso se cumple W = FA,

Sin embargo, adems de la gravedad y del empuje hidrosttico los cuerpos sumergidos estn sometidos a otras fuerzas que pueden apartarles de la posicin de equilibrio, como el viento, o una corriente submarina. Al intervenir, aunque sea momentneamente, una fuerza extraa las fuerzas FA y W dejan de estar alineadas, y aunque el equilibrio de las fuerzas sigue existiendo, aparece un momento producido por el par de fuerzas FA y W, y pueden ocurrir tres casos:

a) Si el centro de gravedad G, punto de aplicacin de la fuerza W, a la figura est situado por debajo del centro de gravedad del fluido desplazado, O, punto de aplicacin de FA, el par M (en la figura en el sentido contrario a las agujas del reloj) tender a restaurar el equilibrio.

El equilibrio es estable

Equilibrio de un cuerpo sumergido en un fluido: (a) equilibrio estable: el par que surge al separar el cuerpo de su posicin de equilibrio tiende restaurar el equilibrio; (b) equilibrio inestable; (e) equilibrio indiferente.

b) Si G, en la fig. b, est por encima de O, el par M (en la figura en el sentido de las agujas del reloj) tender a aumentar la desviacin.

El equilibrio es inestable

(es decir, antes de la perturbacin el cuerpo estaba en equilibrio inestable ).

c) Si G, en la fig. c, coincide con O, la perturbacin por una fuerza extraa no produce par alguno.El equilibrio es indiferenteEQUILIBRIO DE LOS CUERPOS PARCIALMENTE SUMERGIDOS (BARCO)

En este caso el peso W del barco es igual al del lquido desalojado por la porcin sumergida, segn el principio de Arqumedes.

Se llama:

Plano de floracin al plano N-N en que la superficie libre del agua corta al barco totalmente cargado y en la posicin normal del barco (sin desviacin).

Eje de floracin al eje vertical que pasa por el centro de gravedad del barco y es normal al plano de flotacin, E-E en la Fig. (a)

Se consideran tres centros que se encuentran en el eje de flotacin, cuando no hay desviacin:

centro de gravedad del barco, G

centro de gravedad del liquido desalojado, O

metacentro, o punto de interseccin del eje de flotacin, con la direccin del empuje FA para un pequeo ngulo de desviacin del barco. En la fig b M es el metacentro.

Equilibrio de un cuerpo parcialmente sumergido. Las figuras (b) y (c) representan los casos de equilibrio estable e inestable respectivamente.

G, si la carga est fija, no se mueve con la desviacin del barco. O vara al variar con la desviacin la forma del volumen sumergido. M vara tambin con la desviacin; pero podemos suponer que esta variacin es despreciable si el ngulo de desviacin es menor de 15. Puede suponerse que en este caso O vara describiendo un arco de circulo con centro en el metacentro.

Pueden ocurrir tres casos:

a) Si e! metacentro est por encima de! centro de gravedad del barco, al producirse una desviacin las fuerzas W y FA forman un par que tiende a restablecer el equilibrio (fig b).

el equilibrio es estable

b) Si el metacentro se encuentra por debajo de! centro de gravedad del barco (por ejemplo, si la bodega est vaca y la cubierta cargada), al producirse una desviacin se crea un par W y FA que tiende a aumentar ms la desviacin:el equilibrio es inestable

c) Si el rnetacentro coincide con el centro de gravedad del barco:el equilibrio es indiferente

SEMINARIO DE PROBLEMAS

Problema 01:a. Cual es el empuje ejercido por el agua en una compuerta vertical, de 3 x 4m. como se presenta en la figura, cuyo tope se encuentra a 5m. de profundidad?

(fig. 1)Solucin:

La resultante de las presiones no est aplicada en el centro de gravedad de la figura, y si un poco abajo, en un punto denominado centro de presin el cual se ve en la siguiente figura.

b. Determinar la posicin del centro de presin para el caso de compuerta, indicada en la fig. 1.

Solucin:

Luego:

Problema 02:Un tanque de agua de 800 litros mide 1.00 x 1.00 x 0.80m. Determinar el empuje que acta en una de sus paredes laterales y su punto de aplicacin.

Solucin:

Donde:

Luego:

Problema 03:Sea, por ejemplo, un pequeo muro vertical de mampostera y de forma rectangular:

a) Clculo del empuje:

b) Determinacin del punto de aplicacin:

c) Dimensiones del muro.

Solucin:

El muro debe resistir al empuje del agua. Como se trata de mampostera que no debe trabajar a tensin, la resultante de las fuerzas F y P debe caer en el tercio medio de la base. Tomando los momentos con relacin al punto 0.

Problema 04:Se desea construir un pequeo dique de piedra, asentada sobre roca. La altura del dique y profundidad del agua: 1.20m. Determinar el espesor, de modo que satisfaga las condiciones de estabilidad.

Solucin:

Problema 05:Clculo de un pequeo dique de seccin triangular:

Solucin:

a) Clculo de empuje:

b) Determinacin del punto de aplicacin:

c) Peso del muro:

d) Dimensiones del muro:

Por no haber esfuerzos de traccin en la mampostera, la resultante R debe caer en el tercio medio, esto es, a lo sumo en

Tomando momentos con relacin al punto O

Sustituyendo valores:

De donde:

Problema 06:

Determinar la fuerza en toneladas sobre AB, si la gravedad especifica del agua varia linealmente de valor 1.00 en la superficie a un valor 1.02 en el fondo.

Solucin:

Problema 07:Determinar las componentes por metro de longitud, de la fuerza debida a la presin del agua sobre la compuerta del tipo tainter mostrada en la figura.

Solucin:

Problema 08:

La compuerta de la figura tiene 6m de longitud (perpendicularmente al papel). Determinar:

a) El valor de las componentes del empuje sobre la compuerta.

b) La posicin de cada componente.

Solucin:

Problema 09:

Si un cierto cuerpo ((C) flota en un lquido ((), qu porcin del volumen quedar por encima del nivel del lquido?

Solucin:

Problema 10:Calcular el momento respecto al eje de giro C de la fuerza debida. Los fluidos sobre la parte CD de la placa plana cuyo contorno tiene la ecuacin (ver figura)Solucin:

Problema 11:La compuerta de la figura que tiene la forma de un cuarto de cilindro est articulada con el punto A y tiene 2m. de ancho perpendicularmente al plano del papel. El fondo de la compuerta se encuentra 3m. debajo de la superficie del agua.

Determine:

a. La magnitud de la fuerza horizontal.

b. La lnea de accin de la fuerza horizontal.

c. La magnitud de la fuerza vertical.

d. La magnitud de la fuerza resultante y su direccin.

Solucin:

Clculo de :

a. Clculo de FH:

rea proyectada

b. Clculo de la Lnea de Accin de FH:La lnea de accin de FH pasa por el centro de presiones (Cp) del rea proyectada;

c. Clculo de la Lnea de Accin de FH:

La lnea de accin de FV pasa por el centro de gravedad del volumen considerado.

d. Clculo de la Fuerza Resultante:

La direccin de F es:

Problema 12:Un cubo de acero flota en mercurio , se vierte agua sobre la superficie del mercurio.

Determinar en funcin de la altura del bloque:

El espesor que debe tener la capa de agua para que cubra justamente la capa superior del cubo.Solucin:

Empuje debido al agua:

Empuje debido al mercurio:

PROBLEMAS POR RESOLVERProblema 01:c. Cual es el empuje ejercido por el agua en una compuerta vertical, de 3 x 4m. como se presenta en la figura, cuyo tope se encuentra a 5m. de profundidad?

(fig. 1)Problema 02:Un tanque de agua de 800 litros mide 1.00 x 1.00 x 0.80m. Determinar el empuje que acta en una de sus paredes laterales y su punto de aplicacin.

Problema 03:Sea, por ejemplo, un pequeo muro vertical de mampostera y de forma rectangular:

d) Clculo del empuje:

e) Determinacin del punto de aplicacin:

f) Dimensiones del muro.

Problema 04:Se desea construir un pequeo dique de piedra, asentada sobre roca. La altura del dique y profundidad del agua: 1.20m. Determinar el espesor, de modo que satisfaga las condiciones de estabilidad.

Problema 05:Clculo de un pequeo dique de seccin triangular:

Problema 06:

Determinar la fuerza en toneladas sobre AB, si la gravedad especifica del agua varia linealmente de valor 1.00 en la superficie a un valor 1.02 en el fondo.

Problema 07:Determinar las componentes por metro de longitud, de la fuerza debida a la presin del agua sobre la compuerta del tipo tainter mostrada en la figura.

Problema 08:

La compuerta de la figura tiene 6m de longitud (perpendicularmente al papel). Determinar:

c) El valor de las componentes del empuje sobre la compuerta.

d) La posicin de cada componente.

Problema 09:

Si un cierto cuerpo ((C) flota en un lquido ((), qu porcin del volumen quedar por encima del nivel del lquido?

Problema 10:Calcular el momento respecto al eje de giro C de la fuerza debida. Los fluidos sobre la parte CD de la placa plana cuyo contorno tiene la ecuacin (ver figura)Problema 11:La compuerta de la figura que tiene la forma de un cuarto de cilindro est articulada con el punto A y tiene 2m. de ancho perpendicularmente al plano del papel. El fondo de la compuerta se encuentra 3m. debajo de la superficie del agua.

Determine:

e. La magnitud de la fuerza horizontal.

f. La lnea de accin de la fuerza horizontal.

g. La magnitud de la fuerza vertical.

h. La magnitud de la fuerza resultante y su direccin.

Problema 12:Un cubo de acero flota en mercurio , se vierte agua sobre la superficie del mercurio.

Determinar en funcin de la altura del bloque:

El espesor que debe tener la capa de agua para que cubra justamente la capa superior del cubo. EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

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