CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE DUCACIÓN SUPERIOR “CUN” DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

BÁSICASPRECALCULO - GUÍA DIDÁCTICA

FUNCIONES

Una función es una relación que existe entre dos variables de manera que a cada

elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo conjunto.

Si tenemos dos conjuntos A y B , donde x es un elemento del conjunto A, se le

debe hacer corresponder un único elemento y de B. En otras palabras, una función es una

relación funcional y totalmente definida

Elementos de una función

Al conjunto A se le denomina conjunto de salida o dominio de la función

Al conjunto B se le denomina conjunto de llegada o codominio de la función

el subconjunto del codominio, formado por las imágenes de los elementos del

dominio se denominado rango de la función, es decir al conjunto de los elementos de B

que son imágenes de algún elemento de A.

Para demostrar que una relación es una función de A en B, se simboliza: f : A → B

Notación:

Al elemento y ∈ B le llamamos la imagen de x mediante f y lo anotamos y=f ( x ) .

En la expresión y= f ( x )a la variable x se le denomina variable independiente, y a

la variable y variable dependiente debido a que sus valores dependen de los valores que

tome x.

Ejemplo:

Sea Z el conjunto de los enteros y f = {( x , y ) : x2−10 , x∈Z }

De manera que y=x2−10 es la función.

De acuerdo al tipo de expresión se clasifican en:

Funciones polinómicas: Función constante, la recta (función lineal o afín), la

parábola (función de segundo grado o cuadrática) y los polinomios de grado

superior; luego tenemos funciones racionales, funciones irracionales, Funciones

exponenciales, funciones logarítmicas.

Función constante: Es una función f de la forma y=f ¿) = k ,donde k , es un

número real fijo (constante). Es decir esta función asigna a cada x , la misma imagen k “

y su pendiente m=0

Funciones lineales:

Una función f de la forma f ( x )=mx , donde m , es constantes. Se denomina

función lineal, debido a que su representación en el plano cartesiano, es una línea recta que

pasa por el punto (0, 0).

Función Lineal: observando la figura 2. Se puede apreciar el grupo de rectas

y=mxtiene como pendiente m y todas las rectas pasan por el origen.

Función afín: Es toda función de la forma y=mx+b donde m yb son constantes

no nulas. Tienen como representación gráfica una recta que no pasa por el origen del plano

no cartesiano

Donde el dominio de la función son todos los numeros R.

Rango serian todos los números R : (−α , α )

Pendiente De Una Recta: En las actividades que realizamos alguna vez, hemos

tenido la experiencia de viajar por carreteras, subir y bajar escaleras, caminar por terrenos

planos y hemos observado que el esfuerzo que tenemos que realizar para efectuar estas

actividades es mayor o menor de acuerdo con la inclinación o pendiente del recorrido, es

por tal razón que es importante tener un conocimiento de la pendiente de una recta.

En la expresión y=mx+b, el valor m es una constante diferente de cero,

denominada pendiente .

La pendiente de una recta está directamente relacionada con el grado de

inclinación de la recta cuya ecuación es y=mx+b y se define así:

m=pediente= cambio en ycambio en x

=∆ y∆ x

Luego, la pendiente es la razón que existe en la recta entre Y y X

m=pediente=∆ y∆ x

=y2−Y 1

x2−X 1

Ejemplo1.

Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (3, 5) y B (2,3)

m=∆ y∆ x

=y2−Y1

x2−X 1

= 3−52−3

=−2−1

=2

Signo de la pendiente de una recta: El signo de la pendiente de una recta depende

del ángulo de inclinación de dicha recta con respecto al eje x .

Se distinguen cuatro casos:

formas de la ecuación de una recta:

a) Si se conocemos la pendiente y un ponto de la recta

Sila pendiente es m(x1 , y1) y esun punto de larecta , paracualquier punto

( x , y ) tenemos:

y− y1=¿ ¿ m(x−x1)

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la recta que contiene al punto ( 3, 7 ) y pendiente m=2

.

y− y1=¿ ¿ m(x−x1)

y−7=¿ 2(x−3)

y= 2x-6+7

y=2 x+1 o2 x− y+1=0

Función cuadrática: son las que se expresan de la forma f ( x )=ax2+bx+c,

donde a , b , c son constantes y a ≠ o

Ejemplo 1: Determinar el dominio, el rango y la gráfica de la función

f ( x )=x2−2 x−3

a. Primer paso : Encontrar el vértice de la parábola , teniendo en cuenta que

a=1 , b=−2 y c=−3

V( x )=−b

2 a=−(−2 )

2( 1)=

22=1

V( y )=4 ac−b2

4 a =4 (1 )(−3 )− (−2)2

4(1)=

−12−(4 )4 =

−−164 =−4

b. Segundo paso: es hallar los puntos de corte con el eje x , mediante la

fórmula de la cuadrática: a=1 , b=−2 y c=−3

x=−b±√b2−4 ac2 a

x=−(−2 ) ±√(−2)2−4 (1 )(−3)2(1)

x=−(−2 ) ±√4+122

= 2±√162

x=2± 42 ,

x1= 2+42

=62=3 ,

x2= 2−42

=−22

=−1 ,

y=f ( x )=x2−2 x−3 y=f ( x )=(−2)2−2 (−2 )−3=4+4−3=5

y=f ( x )=(4)2−2 (4 )−3=16−8−3=5

c. Representación gráfica

La función decrece desde (−∞ ,1¿y crece (1, +∞ ¿

Ejemplo 2. Determinar el dominio , el rango y su representación gráfica de la

siguiente función:

f ( x )=−x2+5 x−4, donde: a=−1 , b=5 y c=−4

Primer paso: Encontrar el vértice de la parbola

V( x )=−b

2 a=−5

−2=5

2

V( y )=4 ac−b2

4 a =4 (−1) (− 4)−(5 )2

4 (−1)=

16−25−4 =

94

Segundo paso: Encontrara los puntos de corte con el eje x

a=−1 , b=5 y c=−4

x=−b±√b2−4ac2a

x=−5√(5)2−4 (−1 )(−4 )2(−1)

x=−5 ±√25−16−2

=−5 ±√9−2

x1=−5+3

−2=−2

−2=1 ,

x2=−5−3

−2= 8

2=4 ,

Tercer paso: Representación gráfica:

El eje “Y” empieza a tomar valores ( de abajo hacia arriba) desde menos y llega

hasta el vértice de la parábola ( hasta Y= 2,25); por lo tanto el rango es : (- ∞, 2,25] y la

función es creciente des (-∞ , 2,5)

Funciones Racionales : Una función racional es aquella que se obtiene de dividir

dos polinomios. Una de las condiciones es que el denominador tiene que ser diferente de

cero y se deben encontrar los valores que hacen que el denominador se igual a cero , para

excluirlos del dominio de la función.

Ejemplo 1.: determinar el dominio y el rango de la siguiente función:

f ( x )= x+2x−3 ; Es lo mismo y= x+2

x−3

Como f ( x ) es el cociente de dos funciones , debe hallarse los valores de x ; para los

cuales el denominador x−3 se hace cero.

Si x−3 = 0 , entonces en x=3 la función no esta definida, por lo tanto no pertenece

a su dominio y representa la asintota vertical, esto quiere decir no puede tocar ese valor.

El dominio de la función ( x )= x+2x−3 es : R -{3 } ; (−α ,3 )U (3 ,+α )

Para encontrar el rango se calcula buscando los valores que pueden tomar la

variable dependiente después de excluir los valores que anulan el denominador en el

dominio.

x -10 -6 -4 -2 -1 0 1 4 6 8 10

y 0.61 0,44 0,28 0 -0,25 -0,66 -1.5 6 2,66 2 1,71

Una vez encontrados valores , se construye la grafica que es la que nos ayuda a

determinar el rango.

Esta grafica presenta una asintota horizontal en Y = 1. Luego la función estará

definida en todos los valores de y menos en y = 1., por lo tanto el rango = R-{1};

(−α ,1 )U (1 ,+α ), que me da el valor de la asintota horizontal ; dejando la función en

terminos de x

y= x+2x−3

y ( x−3 )=x+2

xy−3 y=x+2

xy−x=2+3 y

x ( y−1 )=2+3 y

x=2+3 yy−1 ; el valor que hace que el denominador sea igual a cero seria 1

Funciones irracionales: Son las que vienen expresadas a través de un radical que

lleve en su radicando la variable independiente.

Se debe tener en cuenta que, si el radical tiene índice impar, entonces el dominio

será todo el conjunto de los números reales, debido a que al darle cualquier valor a x,

siempre se va a poder calcular su raíz.

Una de las condiciones es que si el radical tiene índice par lo primero que se debe

hacer es tomar lo que hay dentro de la raíz y hacer que sea mayor o igual que cero.

Ejemplo 1.: Determinar el dominio y el rango de la siguiente función:

f ( x )= 3√−2 x+4

Solución: Dominio de la función es todos los numero reales y el rango también

serían todos los números reales. De acuerdo con la definición.

Su representación grafica es:

Ejemplo 2.: Determinar el dominio y el rango de la siguiente función:

f ( x )=√−2 x+4

Solución: para hallar el dominio de este tipo de función el primer paso es coger lo

que hay dentro de la raíz y hacer que sea mayor o igual a cero. A continuación, se resuelve

la inecuación y su solución será el valor correspondiente al dominio de la función.

−2 x+4≥ 0

−2 x≥−4

x≤ −4−2

x ≤ 2

Dominio f ( x )=¿

x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 2

y 4 3,74 3,46 3,16 2,82 2,44 2 0

Rangof ( x )=(0 ,+∞,), según los valores que va toman do la variable y de la tabla y

la observación de la gráfica.

FUNCIONES EXPONENCIALES : Son aquellas funciones de la forma f ( x )=ax

,. Siendo a ∈R, donde el “a” tiene que ser mayor que cero y diferente de 1.Todas las

funciones exponenciales su dominio y su rango son los números reales positivos sin

incluir el cero..

Dominio f ( x )=R

Rango :(0 ,+∞)

Ejemplo: Determinar el dominio y el rango de la siguiente función: f ( x )=5x

Funciones Logarítmicas: Son de la forma f ( x )=loga ( x ) , a∈R+ ¿, a≠ 1.¿ Su dominio

son todos los R+¿ ¿ y su rango son todos los números reales R.

Nota: Se debe tener en cuenta que los logaritmos de números negativos y el cero no

existen.

Ejemplo 1. Determinar el dominio y el rango de la siguiente función:

f ( x )= log (x+2)

Solución: se toma lo que está dentro del logaritmo y hacemos que sea mayor que

cero y se resuelve la inecuación, para encontrar el valor correspondiente a su dominio.

f ( x )= log (x+2)

x+2>0

x>−2

Dominio de la f ( x )= log (x+2) = (−2 ,+∞ )

Rango = todos los R

Representación gráfica:

BIBLIOGRAFIA

(Prado, S. et al., 2006), Precálculo, México, S. A. Pearson Educación

Allendoerfer C.4ed. (1990), Matemáticas Universitarias, Bogotá, Mc Graw Hill.

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