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Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
Capítulo 5
Asignación del agua de un río
mediante reglas de reparto
secuencial
5.1 Introducción
En este capítulo, nos vamos a centrar en la redistribución de un recurso entre una
serie de agentes que reclaman una cierta cantidad del mismo para cubrir sus
necesidades. El conjunto de agentes va a estar localizado de forma lineal y ordenada. Un
conocido ejemplo de esta situación particular es el conocido problema de reparto del
agua de un río. Aprovechándonos de la ordenación lineal en la situación de los agentes,
vamos a transformar el problema original de reparto de un río en otro tipo de problema
formado por una secuencia de pequeños problemas de reparto entre dos agentes. Esta
actuación se traduce en la transformación matemática hacia un tipo de problema
equivalente denominado problema de bancarrota y pueden ser resueltos usando todas
las reglas asociadas a este tipo de problemas. Vamos a proponer una clase de
soluciones, que denominaremos reglas de reparto secuencial, resolviendo el problema
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
de reparto de un río. Nuestras suposiciones abarcan la literatura de bancarrota para
establecer con una estructura secuencial de agentes el reparto de un recurso cualquiera.
En este capítulo, primero vamos a caracterizar una clase de reglas de reparto
secuencial. Además, analizamos estas reglas de reparto secuencial basadas en cuatro
reglas clásicas de los problemas de bancarrota, estableciendo sus propiedades y
comparándolos con algunas de las soluciones típicas de los problemas de reparto de un
río.
Vamos a analizar la redistribución de un recurso entre una serie de agentes que
reclaman una cierta cantidad, estando ordenados de forma lineal. Un ejemplo típico es
el problema de reparto del agua de un río (Ambec y Sprumont (2002), Parrachino et al.
(2006), Carraro et al. (2007)). En los problemas de reparto de un río, los agentes vienen
representados por ciudades (o demandantes de agua), ordenados de forma lineal a lo
largo de un río. Sobre el territorio de cada agente el nivel de agua se ve incrementado
por la aportación de los afluentes y de la lluvia sobre el territorio. Esto da lugar a la
dotación del agente al flujo del río. Además, cada ciudad reclama una cantidad de agua
para cubrir sus necesidades. Estas cantidades pueden estar establecidas por cualquiera
de los principales principios en el reparto de agua. Los dos principios más usados son
los que ya hemos visto hasta el momento. Por un lado, tenemos el principio ATS
(Absolute Territorial Sovereignty) y por otro tenemos el ATI (Absolute Territorial
Integrity). Aunque estos principios extremos no se usan con frecuencia, la cantidad de
recurso que requiere cada agente es muchas veces superior a los que aporta.
En este ejemplo, la redistribución del recurso de agua puede ser deseada, por
ejemplo, cuando algunos agentes tienen grandes aportaciones pero demandan muy poca
cantidad de recurso. Tenemos en cuenta la ordenación lineal de los agentes para
determinar la redistribución, usando aproximaciones axiomáticas. Aplicando dos
requerimientos muy naturales, el orden de los agentes nos permite transformar el
problema de reparto de un río en una secuencia de problemas de reparto formada
únicamente por dos agentes. Los problemas reducidos de reparto de un río son
matemáticamente equivales a los problemas de bancarrota (Aumann anda Maschler
(1985), Young (1987) Moulin (2002)). Así pues, podemos usar reglas de reparto
basadas en la literatura de los problemas de bancarrota para resolver estos problemas
reducidos de reparto de un río. En cada uno de estos problemas de reparto reducidos, el
derecho de agua está asignado al agente y al conjunto de sus vecinos aguas abajo. Al
igual que en los problemas de bancarrota, vamos a proponer unas clases de soluciones, a
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
la que vamos a denominar reglas de reparto secuencial, basadas en las exigencias de los
agentes. Las reglas de reparto secuencial están construidas por la aplicación recursiva de
las reglas de bancarrota a una secuencia de problemas de reparto de un río reducidos.
En los problemas de bancarrota, el recurso puede dividirse perfectamente y va a
ser repartido sobre un conjunto de agentes con exigencias superpuestas. Una solución a
los problemas de bancarrota es una regla de reparto basada en las exigencias de recurso
de cada agente. Vamos a analizar varias aproximaciones axiomáticas para la
construcción de las reglas de reparto.
En un problema de reparto de un río, los agentes van a estar ordenados
linealmente, caracterizados por una dotación inicial de recurso y una demanda para
cubrir sus necesidades. Las demandas pueden ser mayores o menores a las dotaciones.
Al igual que en los problemas de bancarrota, vamos a asumir escasez de recurso. Los
problemas de reparto de un río se diferencian de los problemas de bancarrota en dos
aspectos fundamentales. El primero de ellos es que existe una diferencia en la posición
de los agentes. En el problema estándar de bancarrota, todos los agentes tienen la misma
posición. En los problemas de reparto de un río, los agentes están ordenados
linealmente, reflejando la dirección de la corriente fluvial. Por lo tanto, las demandas de
los agentes tienen una estructura secuencial, uniendo los problemas de reparto de un río
a los problemas de bancarrota con prioridad de orden. El segundo aspecto es que existe
una diferencia en el estado inicial del recurso. En los problemas de bancarrota,
inicialmente el recurso está totalmente separado de los agentes. En los problemas de
reparto de un río, los agentes inicialmente tienen una dotación de recurso. Esta dotación
de recurso enlaza nuestras aproximaciones a la reasignación de problemas. Ambas
diferencias son muy importantes a la hora de construir la clase de reglas de reparto
secuencial.
Hay dos motivos o razones para resolver los problemas de reparto de un río
usando las reglas de bancarrota. El primero de ellos es el que hemos indicado
anteriormente. Ambos tipos de problemas tienen muchas cosas en común. Debido a que
las propiedades de los problemas de bancarrota están muy bien definidas, estas reglas
son buenas candidatas para ser aplicadas a los problemas de reparto de un río. La
segunda razón está basada en las actuales prácticas en la asignación de agua. Muchas
disputas entre dos agentes sobre los derechos de agua se resuelven usando varias reglas
de bancarrota, por ejemplo las reglas de mismo reparto para cada agente o de reparto
proporcional en base a cualquier criterio. Frecuentemente, estas soluciones están
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
explícitamente propuestas por terceras partes pero estas son también un resultado de las
negociaciones entre agentes. En este capítulo, vamos a mostrar una extensión lógica de
las reglas de reparto para los problemas de reparto de un río con más de dos agentes.
Así pues, primero vamos a extender las aproximaciones de la literatura de
bancarrota para establecer una estructura secuencial de los agentes y del recurso a
repartir. Después vamos a proporcionar fundamentos axiomáticos para una clase de
solución de los problemas de reparto de un río que satisfacen ciertas propiedades.
5.2 El problema de reparto de agua en un río
Consideremos un conjunto N ordenado de agentes, con n>2, localizados a lo
largo del río, con el agente 1 el situado aguas más arriba y el agente n el situado aguas
más abajo. Un agente cualquiera i está situado aguas arriba de j si se cumple que i< j.
Denotaremos U i= { j∈ N : j<i } al conjunto de agentes aguas arriba de i, y llamaremos
Di= { j∈N : j>i } al conjunto de agentes aguas abajo de i. Sobre el territorio de i, las
lluvias o las entradas procedentes de los afluentes incrementan el flujo del río total por
e i≥ 0 ;e=( e1 , …, en ) . Las entradas del río e i pueden ser consideradas como la dotación
de i. Esto no implica que el agente i tenga derecho de propiedad de e i . Los derechos
están asignados en un solución del problema de reparto del río, como se ha discutido
anteriormente. Además de la entrada al río e i, cada agente está caracterizado por una
demanda de agua c i ≥0 ;c=(c1 , …,cn ) de la corriente del río. Nosotros no imponemos
que porción de la demanda de un agente viene directamente de e1 ,e2 , …,en.
Toda está información es suficiente para definir nuestro problema de reparto de
agua de río.
Definición 5.1 (El problema de reparto de un río). Un problema de reparto de un río
está compuesto por la triada w= ⟨ N ,e , c ⟩ , con N un conjunto ordenado de un
número finito de agentes, e∈ R+¿n yc∈ R+¿n¿ ¿.
Para establecer la configuración de los problemas de reparto de un río vamos a usar
la siguiente representación gráfica.
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Figura 5.1 El problema de reparto de un río para 4 agentes
Notar que en la Figura 5.1, los nodos representan a los agentes y las flechas
indican los flujos de agua. El agua sobre el territorio del agente i viene definida por
Ei=ei+ ∑j∈U i
( e j−x j ) .
Donde x=( x1 , …, xn ) es el vector de asignación de los derechos del agua. Esta es la
suma de todas las entradas del río sobre el territorio del agente i y el agua del río aguas
arriba no asignada. Para el problema de reparto del río vamos a realizar las siguientes
suposiciones.
Suposición 5.1 El agente n siempre va a demandar más agua que la que él tiene
disponible, es decir, cn>En.
Esta suposición implica que cn>en, y por tanto, se asegura que se va a disputar el
agua del río. Sin esta suposición, el agente n podría satisfacer su demanda
completamente y, por tanto, no existiría ningún problema.
Denotaremos Ω al conjunto de problemas de reparto del río que satisfacen la
suposición 5.1. Las reglas de reparto asignarán los derechos del agua a cada agente.
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
Definición 5.2 (Regla de reparto). Una regla de reparto es una aplicación F:Ω → R+¿n¿
que asigna a cada problema de reparto de un río w∈Ω un vector de asignación de
los derechos de agua x=( x1 , …,xn ) , x∈R+¿n ,¿ tal que
a) ∑i∈N
x i=∑i∈N
e i ,
b) 0≤ xi ≤ ci ,
c) x i≤ e i+ ∑j∈U i
e j ,∀ i∈N .
La asignación de los derechos de agua del agente i es F i (w )=x i. El primer
requerimiento de la regla de reparto es eficiencia, es decir, los derechos del agua no
quedan sin asignar. El segundo requerimiento implica que la asignación destinada a
cada agente esté siempre acotada por un valor máximo y cero. Para finalizar, la última
restricción representa la limitación de viabilidad.
5.3 Caracterización de las reglas de reparto secuencial
Las soluciones procedentes de la literatura de bancarrota no pueden ser
directamente aplicadas a los problemas de reparto de un río. El orden lineal de los
agentes situados a lo largo del río y la uni-direccionalidad del flujo del agua nos
permite, sin embargo, representar el problema del reparto del río como una secuencia de
problemas de reparto reducidos formados cada uno de ellos únicamente por dos agentes.
Estos problemas de reparto reducidos son matemáticamente equivalentes a los
problemas de bancarrota. Esto lleva a la definición de los problemas de reparto y a la
caracterización de una clase de reglas de reparto secuencial usando estas definiciones.
Únicamente n sobrepasa la demanda de materia. Para cada problema de reparto de
un río w= ⟨ N ,e , c ⟩ , y cada problema relacionado w '= ⟨ N , e ' , c ' ⟩ tal que
e '=(e1 ,…,en−1 , en' ) y c '=(c1, …, cn−1 , cn
' ) , con en' =0 y cn
' =cn−en, tenemos que
F i (w )=F i ( w ' ) ,∀ i∈N .
Esta propiedad nos indica que la asignación de agua, aguas arriba no debe estar
afectada por la parte de la demanda del agente n que puede estar satisfecho con la
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dotación del agente n. En otras palabras, únicamente el agente n sobrepasa la demanda
cn−en. Este hecho, es un leve requerimiento ya que n no está confrontada con ninguna
demanda procedente de los agentes aguas abajo. Además, no hay ninguna alternativa de
uso para en de su asignación a n; la dotación en esta destinada al agente n. De esta
forma, parece natural que en se use para satisfacer parcialmente a cn.
Sin ventajas en las mezclas aguas abajo. Para cada problema de reparto de un río
w= ⟨ N ,e , c ⟩ , y cada problema relacionado w '= ⟨ N , e ' , c ' ⟩ tal que N '=N ¿ {n¿} y
e '=(e1 ,…,en−2 , en−1' ) con c '=(c1 ,…,cn−2 , cn−1
' ) y en−1' =en−1+en y cn−1
' =cn−1+cn,
tenemos que F i (w )=F i ( w ' ) ,∀ i<n−1.
Esta propiedad permite la posibilidad que los agentes n y n-1 consoliden sus
demandas y dotaciones y se presenten conjuntamente como un demandante único. El
axioma indica que la asignación de los agentes situados aguas arriba no está afectada
por este comportamiento.
Estas dos definiciones que acabamos de ver, de forma conjunta proporcionan
que el flujo del río aguas abajo se usa primero para satisfacer las demandas de los
agentes situados aguas abajo. Únicamente las demandas en exceso del flujo del río
aguas abajo pueden afectar a la asignación de agua de los agentes situados aguas arriba.
Así pues, las soluciones que podemos usar para el exceso de demanda aguas abajo, que
denotaremos como c Di, vienen dadas por la siguiente expresión.
c Di=∑j∈Di
(c j−e j ).
Consecuentemente, la dotación correspondiente aguas abajo es eDi=0.
Únicamente n sobrepasa la demanda de materia y Sin ventajas en las mezclas aguas
abajo son el primer paso para aproximar el problema de reparto del río usando las reglas
de bancarrota, asumiendo que los agentes situados aguas abajo no pueden demandar
algo que ya poseen.
Usando la expresión anterior, los dos axiomas llevan directamente a la
representación del problema de reparto del río w como una secuencia ( w1 ,…, wn ) de
problemas de reparto del río reducidos w i.
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
Definición 5.3 (Problema de reparto de un río reducido). Un problema de reparto de
un río reducido esta compuesto por la triada w i=⟨ N i , E i , Ci ⟩, con dos agentes
N i= {i , Di }, quienes tienen unas demandas C i={c i , cDi }, en un recurso Ei.
Notar que, en un abuso de notación, vamos a llamar al segundo agente del
problema de reparto de un río reducido como Di. Este conjunto de agentes son tratados
como un demandante único. En cada problema de reparto reducido w i, el flujo del río
disponible Ei es distribuido o repartido entre i y Di. Pasamos ahora a ver el siguiente
teorema sobre la disputa del agua.
Teorema 5.1 En cada problema de reparto reducido las sumas de las demandas excede
siempre a la cantidad de agua disponible: Ei<c i+c Di∀ i∈N
El Teorema 5.1 asegura que un problema de reparto de un río reducido es un
problema de reparto, de acuerdo con la Definición 5.1, compuesto por dos agentes y sin
ninguna dotación de agua, aguas abajo. Así pues, una regla de reparto asigna a cada
problema de reparto reducido w i , un vector de asignación de los derechos del agua
x=( x i , x Di )=Ei.
Un problema de reparto reducido es matemáticamente equivalente al problema de
bancarrota. De esta forma, las reglas de bancarrota pueden ser aplicadas a cualquier
problema de reparto reducido. Para poder resolver un problema de reparto de un río, las
reglas de bancarrota son aplicadas a la secuencia ( w1 ,…, wn ) de problemas reducidos.
Debido a la expresión Ei, el problema reducido y sus soluciones dependen unas de otras.
Ya que E1=e1 , por definición, w1 es el único problema reducido cuyas salidas no
dependen de las salidas de otros problemas reducidos. Su solución (la asignación x1 al
agente 1) determina E2 con la formulación correspondiente y proporcionando la
solución w2, etc. Así, la secuencia de problemas reducidos puede ser resulto
recursivamente en el orden lineal de los agentes situados a lo largo del curso del río.
Todo esto queda reflejado en la siguiente proposición.
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
Proposición 5.1 Para cada problema de reparto de un riow= ⟨ N ,e , c ⟩ y
sucorrespondiente secuencia de problemas de reparto reducidos ( w1 ,…, wn ), tenemos
que F i (w )=F i ( wi )∀ i∈N .
Los derechos de agua asignados a cada agente, son igual para la solución del
problema de reparto de un río y para la resolución recursiva de la secuencia de los
distintos problemas de reparto reducidos. Dado el vector de demandas y dotaciones, la
asignación del agente i es independiente del número de agentes en Di, la distribución de
sus demandas (c i+1, …, cn ) y la distribución de sus dotaciones (e i+1 , …,en); únicamente
depende de las demandas agregadas ∑j∈Di
c j y las dotaciones de materia ∑j∈Di
e j.
Antes de aplicar estas reglas en un ejemplo, vamos a ver cuatro reglas de reparto
secuencial, basadas en cuatro reglas básicas de la literatura de bancarrota. Estas cuatro
reglas clásicas son la regla proporcional, la limitación por premios iguales, la limitación
por pérdidas iguales y la regla del Talmud.
Regla proporcional (PRO). Para cada problema de reparto de un río reducido
w i=⟨ N i , E i , Ci ⟩∈Ω, existe un valor λ>0, tal que x iPRO= λc i y xD i
PRO= λ cDi.
PRO asigna a cada agente un reparto del recurso proporcional a la demanda del
agente.
Limitación de premios iguales (CEA). Para cada problema de reparto de un río
reducido w i=⟨ N i ,E i , Ci ⟩∈Ω, existe un valor λ>0, tal que x iCEA=min (c i , λ ) y
xDiCEA=min (cDi , λ ).
CEA asigna a cada agente un reparto equitativo de un recurso, sujeto a que
ningún agente reciba más de lo que demanda.
Limitación de pérdidas iguales (CEL). Para cada problema de reparto de un río
reducido w i=⟨ N i , E i , Ci ⟩∈Ω, existe un valor λ>0, tal que x iCEL=max (0 , ci−λ ) y
xDiCEL=max (0 , cDi−λ ).
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
CEL asigna a cada agente un reparto de un recurso tal que sus pérdidas
comparadas a sus demandas sean iguales, sujeto a que ningún agente reciba un reparto
negativo.
Regla del Talmud (TAL). Para cada problema de reparto de un río reducido
w i=⟨ N i , E i ,Ci ⟩∈Ω, existe un valor λ>0, tal que
x iTAL={min {1
2 c i , λ}, si E i≤12 ( c i+cDi ) ,
ci−min {12
c i , λ},en otro caso .
xDiTAL={min {1
2 c Di , λ}, si Ei ≤12 (c i+c Di) ,
ci−min {12
c Di , λ}, enotro caso .
La regla TAL asigna a cada agente su reparto no impugnado del recurso
dividiéndolo en dos partes iguales.
5.4 Propiedades
Estudiamos ahora algunas propiedades que se van a dar en los problemas de
reparto reducidos. Estas propiedades van a ser las demandas monótonas, el recurso
monótono, la invariancia de escala y la consistencia.
Demandas monótonas. Para cada problema de reparto de un río w= ⟨ N ,e , c ⟩, cada
i∈N , y cada problema relacionado w '=⟨ N , e , (ci' , c i )⟩ tal que c i
'>c i , tenemos
F i (w ' )≥ F i ( w ).
Esta propiedad indica que para un agente i, su reparto no debe empeorar si su
demanda se ve incrementada por cualquier motivo.
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
Recurso monótono. Para cada problema de reparto de un río w= ⟨ N ,e , c ⟩, cada
i∈N , y cada problema relacionado w '=⟨ N , (e i' , ei ) , c ⟩ tal que e i
'>e i , tenemos
F ( w ' ) ≥ F (w ).
Esta propiedad nos dice que la asignación de un agente no debe empeorar
cuando un agente cuenta con una dotación mayor por cualquier motivo.
Invariancia de escala. Para cada problema de reparto de un río w= ⟨ N ,e , c ⟩, cada
i∈N , todo λ>0 y cada problema relacionado w '=⟨ N , λe , λc ⟩ , tenemos F ( w ' )= λF (w )
.
Esta propiedad nos dice que escalando las dotaciones y las demandas de todos
los agentes, esta acción no afectará a la solución de ninguno de los agentes.
Consistencia. Para cada problema de reparto de un río w= ⟨ N ,e , c ⟩, cada
i , j∈N ,i ≠ j , y cada problema relacionado w '=⟨ N ' , e ' , c ' ⟩ tal que
N '=N ¿ { j¿}, c '=c ¿ {c j¿}, y e'=(e1' ,…,e j−1
' , e j+1' , …,en
' ) , con e ' factible y eficiente tal
que ∑i≤ k
(e i'−e i )≤0 , ∀ k< j y ∑
k∈N '(ek
' −ek )=e j−x j, tenemos F i (w )=F i ( w ' ).
Vemos ahora la siguiente proposición.
Proposición 5.2 Las siguientes relaciones entre las propiedades de los problemas de
bancarrota y sus correspondientes reglas de reparto secuencial se satisfacen
a) Si una regla de bancarrota satisface las demandas monótonas, su
correspondiente regla de reparto secuencial satisface las demandas monótonas.
b) Si una regla de bancarrota satisface el recurso monótono, su correspondiente
regla de reparto secuencial satisface el recurso monótono.
c) Si una regla de bancarrota satisface invariancia de escala, su correspondiente
regla de reparto secuencial satisface invariancia de escala.
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
d) Si una regla de bancarrota satisface las demandas monótonas y recurso
monótono, entonces existe un vector e ' tal que su correspondiente regla de
reparto secuencial satisface consistencia.
Debido a que PRO, CEA, CEL y TAL satisfacen Demandas monótonas, Recurso
monótono e Invariancia de escala, esta proposición lleva inmediatamente al siguiente
corolario.
Corolario 5.1 Las reglas de reparto secuencial basadas en PRO, CEA, CEL y TAL
satisfacen Demandas monótonas, Recurso monótono, Invariancia de escala y
Consistencia.
5.5 Aplicación
5.5.1 Presentación del problema
Vamos a pasar a ver una aplicación donde podamos ilustrar todos los conceptos
teóricos que hemos visto hasta ahora a lo largo del capítulo. En esta sección,
presentamos un problema ejemplo sobre el reparto del agua de un río que atraviesa
cierto número de ciudades que demandan cantidades diferentes de agua. Así, vamos a
presentar el siguiente ejemplo. Sea un río que desea satisfacer la demanda de cuatro
ciudades instaladas en su curso, siendo la ciudad 1 la situada aguas más arriba y la
ciudad 4 la situada aguas más abajo. Cada una de las ciudades reclama una cierta
demanda de agua para cubrir sus necesidades y que viene representada por el siguiente
vector de demanda c= (50,10,20,90 ). La suma de todas las demandas representa un total
de 170 unidades de agua. Además, a cada municipio o nodo de nuestro problema le
debemos añadir su dotación que nos es más que la suma de las cantidades de agua de los
distintos afluentes que pueda tener el río más la cantidad de agua procedente de las
lluvias en los distintos periodos del año. La dotación de cada agente va estar
representada por el siguiente vector e=(80,10,10,10 ). La suma de las cantidades de agua
disponibles para el reparto es de 110 unidades de
agua.
En la siguiente imagen
representamos de manera esquemática la
situación que vamos a utilizar para resolver nuestro
problema de reparto de agua de un río entre una
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
serie de agentes. El problema se centra básicamente en repartir las 110 unidades de agua
de la manera más justa posible ante una demanda 60 unidades superior a la oferta, es
decir, que no hay agua para que todos los agentes puedan cubrir el 100% de sus
necesidades.
Primero nos centramos en resolver el problema de forma analítica usando los
cuatro métodos que hemos visto en este capítulo. Estos métodos son el PRO, el CEA, el
CEL y el TAL. Vamos a ver como realizan el reparto cada uno de ellos. Después de ver
los cuatro métodos por separado vamos a realizar dos análisis de sensibilidad. Primero
veremos como afecta la asignación de cada uno de los cuatro métodos cuando se realiza
un incremento de la cantidad de demanda de recurso por un agente, es decir, como varía
la asignación al incrementar la demanda de un agente cualquiera. El segundo análisis de
sensibilidad va a consistir en ver cómo varía la asignación de cada uno de los cuatro
métodos al incrementar la oferta de un agente una cierta cantidad. Una vez realizados
los análisis de sensibilidad pasaremos a comparar los métodos de reparto que hemos
visto a lo largo del capítulo. Para finalizar, realizaremos una serie de discusiones y
conclusiones sobre todos los resultados obtenidos en los distintos estudios.
5.5.2 Métodos de reparto secuencial: resolución analítica
Pasamos ahora a ver como se van a resolver cada uno de los cuatro métodos de
reparto secuencial que se han propuesto a lo largo del capítulo. Estos métodos son el
PRO, el CEA, el CEL y el TAL. Vamos a centrarnos en cada uno de ellos de manera
individual, viendo cuales son los criterios que usan para establecer un buen reparto.
5.5.2.1 Método de reparto proporcional (PRO)
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
El método PRO asigna a cada agente un reparto del recurso proporcional a la
demanda del agente. Así, los agentes que más demandan tendrán una asignación mayor
pero, a todos ellos se le va a asignar la misma cantidad proporcional. Es un método muy
sencillo matemáticamente aunque, como ya se ha comentado, establece un reparto
únicamente usando como criterio la creación de la variable lambda.
Para cada problema de reparto de un río reducido, w i=⟨ N i , E i , Ci ⟩∈Ω, el método
PRO establece que existe un valor λ>0, tal que x iPRO= λ c i y xDi
PRO= λ cDi. Donde el valor
de lambda viene dado por la siguiente expresión λ=Ei
c i+cDi .
Para desarrollar tanto este método como los demás, nos centramos en la
siguiente tabla explicando paso a paso la obtención de cada término.
i ei ci Ei cDi xiPRO xDi
PRO PiPRO
1 80 50 A B D E F
2 10 10 G H J K L
3 10 20 M N O P Q
4 10 90 R S U V W
Vamos a explicar el significado de cada una de las columnas de la tabla anterior
antes dela obtención de todos los valores necesarios. La primera columna representa la
ciudad, es decir, la fila 1 se refiere a la ciudad situada aguas más arriba mientras que la
ciudad 4 es la situada agua más abajo. La segunda columna muestra la dotación que
cada ciudad puede aportar. En la tercera columna aparecen las demandas de cada una
de las ciudades. Las tres primeras columnas son los datos de nuestro problema, a partir
de ellos, debemos ser capaces de obtener el resto de los valores de la tabla. La cuarta
columna representa la cantidad de agua disponible en cada nodo. Esta variable ya se ha
explicado anteriormente y su obtención se realiza a través de la expresión Ei. Notar que,
al igual que comentamos antes, para el agente 1, E1=e1=80 por ser el situado aguas
más arriba. La quinta columna representa el exceso de demanda aguas abajo de cada
nodo. Para la obtención de esta variable hacemos uso de la expresión de c j que ya
hemos visto antes en el desarrollo teórico del capítulo. La variable lambda, como
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
comentamos antes, viene dada por la expresión λ=Ei
c i+cDi . La sexta y séptima
columnas representan la cantidad de agua asignada a cada ciudad y la asignación de
agua aguas abajo, respectivamente. Esta variables, para el caso de la resolución del
método PRO vienen dadas por las siguiente expresiones x iPRO= λc i y xDi
PRO= λ cDi. Por
último, en la octava columna se representa (en tanto por uno) la porción de demanda
que queda cubierta con la asignación a cada una de las ciudades, es decir, Pi=x i
ci .
Una vez explicadas todas las variables de la tabla, procedemos a calcular cada
una de las variables mediante el método PRO.
E1=80 λ1=80
50+90=0,57 x1=28,5 xD 1=51,3 P1=0,57
E2=61,5 λ2=61,5
10+90=0,62 x2=6,2 xD 2=55,8 P2=0,62
E3=65,3 λ3=65,3100
=0,65 x3=13 xD 3=52 P3=0,65
E4=62,3 λ4=62,390
=0,69 x4=62,1 xD 4=−−¿ P4=0,69
Trasladando todos los valores a la tabla tenemos,
i ei ci Ei cDi λ xiPRO xDi
PRO PiPRO
1 80 50 80 90 0,57 28,5 51,3 0,57
2 10 10 61,5 90 0,62 6,2 55,8 0,62
3 10 20 65,3 80 0,65 13 52 0,65
4 10 90 62,3 - 0,65 62,1 - 0,65
Notar que la suma de las asignaciones proporcionadas por el método PRO
coincide con la cantidad de oferta del nivel de agua, es decir, unas 110 unidades de
agua.
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
5.5.2.2 Método de reparto de beneficios equitativos (CEA)
El método CEA es un método basado en la igualdad pero respetando siempre los
limites superiores máximos que podemos alcanzar con cada agente. Lo que se hace con
este método es repartir de forma equitativa toda la oferta, entre todo el conjunto de
agentes del problema de reparto reducido, sin sobrepasar en ningún caso la cantidad
demandada por cada agente. Si realizando esta actuación sobra recurso, porque puede
ocurrir que haya agentes que demanden menos cantidad que la partición equitativa de la
demanda, el sobrante se vuelve a repartir entre todos los agentes que aún no hayan
llegado al nivel máximo de su demanda.
Para este método vamos a utilizar la siguiente tabla,
i ei ci Ei cDi xiCEA xDi
CEA PiCEA
1 80 50 A B C D E
2 10 10 F G H I J
3 10 20 K L M N O
4 10 90 P Q R S T
El vector de demandas es c= (50 ;10 ;20 ;90 ) y la suma de la cantidad de oferta
que disponemos es de 110 unidades de agua. Dividimos la cantidad de oferta entre los
cuatro agentes, siendo la asignación teórica de 27,5 unidades de agua. Realizamos la
primera asignación, teniendo en cuenta la máxima demanda posible de cada agente,
obteniendo x=(27,5 ;10 ;20 ;27,5 ). Aún faltan por asignar un total de 25 unidades de
agua que repartido entre los dos agentes que aún no han llegado a su limite superior
caben a 12,5 u.a. por agente. De esta forma la asignación final es la siguiente
x=[ 40 ;10 ;20 ;40 ]. Los demás valores de la tabla son
Agente 1 2 3 4
E 80 50 50 60
c D 90 90 80 --
xD 40 40 50 --
P 0,8 1,00 1,00 0,44
La tabla con todos los resultados reflejados quedaría de la siguiente forma,
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
i ei ci Ei cDi xiCEA xDi
CEA PiCEA
1 80 50 80 90 40 40 0,8
2 10 10 50 90 10 40 1,00
3 10 20 50 80 20 50 1,00
4 10 90 60 -- 40 -- 0,44
Notar que la suma de las asignaciones proporcionadas por el método CEA
coincide con la cantidad de oferta del nivel de agua, es decir, 110 unidades de agua.
5.5.2.3 Método de reparto de pérdidas equitativas (CEL)
El método CEL tiene el mismo espíritu que el método CEA con la diferencia de
que este se centra en las pérdidas que incurren los demandantes. De esta forma, el
método CEL consiste en asignar la misma cantidad de pérdidas a todos los demandantes
sujetos a que ninguno de ellos reciba una cantidad negativa. Este método consiste
básicamente en tomar el sumatorio de la demanda total, ver la cantidad de recurso que
falta por cubrir con la cantidad de oferta disponible. Esa cantidad necesitada se divide
entre los cuatro agentes y se le resta a su demanda máxima. Si alguna es inferior a cero,
se le asignará cero y producirá un nuevo sobrante que se asignará en la siguiente
iteración. El método finalizará cuando no sobre demanda por restar. De esta forma
vamos a tener la siguiente tabla,
i ei ci Ei cDi xiCEL xDi
CEL PiCEL
1 80 50 A B C D E
2 10 10 F G H I J
3 10 20 K L M N O
4 10 90 P Q R S T
Como se puede comprobar tiene exactamente la mima estructura que la tabla que
usamos con el método CEA.
Para resolver el problema, lo primero es calcular la suma de demandas de
nuestro problema c= (50 ;10 ;20 ;90 ). Esta cantidad es de 170 unidades de agua. Por
otra parte, la oferta de nuestro problema es de 110 unidades de agua. Por lo tanto,
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
tenemos un exceso de demanda de 60 unidades de agua. Dicho exceso, se va a repartir
entre los cuatro agentes, resultando un exceso por agente de 15 unidades de agua. La
primera asignación se realiza restando a cada agente 15 unidades de la demanda
máxima permitida. Si esta cantidad es inferior a cero se le asignará el limite inferior, es
decir, cero unidades de agua. La primera asignación proporciona el vector
x=(35 ;0 ;5 ;75 ) en el que tenemos un exceso de demanda de tan solo 5 unidades de
agua. Esta cantidad se va a repartir entre los tres agentes que aún no han alcanzado su
límite inferior. De esta forma, para la segunda iteración se restan 5 unidades de agua
entre los tres agentes proporcionando un reparto final de x=(33,33 ;0 ;3,33 ;73,33 ).
Dicho reparto, ya no tiene ninguna unidad de exceso de demanda. Las demás variables
se han calculado de forma análoga al caso anterior, obteniendo los siguientes resultados.
Agente 1 2 3 4
E 80 56,67 66,67 73,34
c D 90 90 80 --
xD 46,67 56,67 63,34 --
P 0,66 0 0,16 0,81
La tabla con todos los resultados reflejados quedaría de la siguiente forma,
i ei ci Ei cDi xiCEA xDi
CEA PiCEA
1 80 50 80 90 33,33 46,67 0,66
2 10 10 56,67 90 0 56,67 0,00
3 10 20 66,67 80 3,33 63,34 0,16
4 10 90 73,34 -- 73,33 -- 0,81
Notar que el sumatorio de las asignaciones proporcionadas por el método CEL
coincide con la cantidad de oferta del nivel de agua, es decir, unas 110 unidades de
agua.
5.5.2.4 Método de reparto de la regla del Talmud (TAL)
Pasamos ahora a ver el último de los cuatro métodos que vamos a usar para resolver
nuestro problema de reparto de un río. El método TAL define dos regímenes basados en
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
las semisumas de las demandas. Si dicha cantidad es inferior a la cantidad a repartir, se
aplica el método CEA. En caso contrario, cada agente recibe la mitad de su demanda y
se aplica el método CEL a la cantidad sobrante. Notar que estamos usando la mitad de
las demandas y no la demanda entera. De esta forma vamos a tener la siguiente tabla,
i ei ci Ei cDi xiCEL xDi
CEL PiCEL
1 80 50 A B C D E
2 10 10 F G H I J
3 10 20 K L M N O
4 10 90 P Q R S T
Como podemos comprobar, tiene exactamente la mima estructura que las tablas
que hemos usado en los métodos CEA y CEL. Para resolver nuestro problema, lo
primero que debemos hacer es comprobar que nuestra oferta es mayor a la semisuma de
las demandas. Así, para nuestro caso tenemos una oferta de 110 unidades de agua
mientras que la semisuma de las demandas es de 85 unidades de agua. Por lo tanto se
cumple que la oferta sea mayor que la semisuma de las demandas. Aplicamos entonces
el método CEA a un vector formado por la mitad de la demanda c= (25;5 ;10 ;45 ).
Como ya hemos visto, tenemos una oferta de 110 unidades de agua que repartida entre
los cuatro agentes corresponde a 27,5 unidades de agua por agente. Realizando la
asignación mediante el método CEA obtenemos x1=(25 ;5 ;10;27.5 ). Dado que el
sumatorio de la semi-demanda es de 85 y la primera asignación otorga 67,5 unidades de
agua, tenemos un sobrante de 85-67,5=17,5 unidades de agua que, cediéndolas al único
agente que aún no ha llegado a su limitación máxima de demanda, obtenemos una
asignación final de x1=(25 ;5 ;10; 45 ).
En este primer paso, hemos asignado ya 85 unidades de agua de las 110
correspondientes. Ahora debemos aplicar el método CEL pero, ¿qué cantidad de
pérdidas debemos considerar? La semisuma de las demandas suman 85 unidades de
agua, luego nos falta aún por asignar 110-85=25 unidades más. Así pues, la cantidad de
pérdidas que debemos considerar para que la segunda semisuma de las demandas sea 25
unidades de agua es de 85-25=60 unidades de agua en pérdidas. Aplicamos entonces el
método CEL con 60 unidades de agua en pérdidas. Para ello, repartimos estas pérdidas
entre todos los agentes, es decir, cada agente acarrea unas pérdidas de 15 unidades de
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
agua cada uno. Realizando la primera asignación obtenemos x2=(10 ;0 ;0 ;30 ). El
sumatorio de esta asignación es de 40 unidades de agua, por lo que tenemos un sobrante
de 40-25=15 unidades de agua. Repartiendo estas 15 unidades de agua entre los dos
agentes que aún no han llegado a su límite inferior, obtenemos finalmente la siguiente
asignación x2=(2.5 ;0 ;0 ;22,5 ).
Para concluir, sólo queda sumar las dos asignaciones obtenidas por este método
x=x1+x2=(25 ,5 , 10 ,45 )+ (2.5,0,0,22 .5 )=(27.5 , 5 ,10 ,67.5 ). Las demás variables se han
calculado de forma análoga a los casos vistos anteriormente.
Agente 1 2 3 4
E 80 62,5 67,5 67,5
c D 90 90 80 --
xD 52,5 57,5 57,5 --
P 0,34 0,50 0,50 0,75
La tabla con todos los resultados reflejados quedaría de la siguiente forma,
i ei ci Ei cDi xiTAL xDi
TAL PiTAL
1 80 50 80 90 27,5 52,5 0,34
2 10 10 62,5 90 5 57,5 0,50
3 10 20 67,5 80 10 57,5 0,50
4 10 90 67,5 -- 67,5 -- 0,75
Notar que la suma de las asignaciones proporcionadas por el método TAL,
coincide con la cantidad de oferta del nivel de agua, es decir, 110 unidades de agua.
5.5.3 Análisis de sensibilidad
Una vez visto la resolución del problema de reparto de agua de un río entre un
conjunto de agentes situados a lo largo de su curso, pasamos ahora a ver dos análisis de
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
sensibilidad aplicados a cada uno de los métodos introducidos hasta ahora. El primero
de los análisis va a consistir en incrementar la demanda de uno de los agentes que
participan en el reparto. De esta forma, en el primer caso incrementaremos la demanda
del agente dos en veinte unidades de agua, es decir, c2 va a pasar de valer 10 unidades a
30 unidades de agua. Estableceremos el reparto de acuerdo a los cuatro métodos ante
esta variación en la demanda y comprobaremos que se cumple la propiedad de
Demandas monótonas introducida en la parte teórica del capítulo. El segundo análisis
de sensibilidad que realizamos va a consistir en la variación en la dotación de un agente
cualquiera que participa en el reparto. De esta forma, resolveremos el problema de
reparto utilizando los cuatro métodos al incrementar la dotación proporcionada por el
agente dos. Así, e2 va a pasar de valer 10 unidades a 30 unidades de agua. Además,
podremos comprobar que se cumple la propiedad de recurso monótono que
introducimos anteriormente.
Notar que, para la representación de los resultados, se van a presentar
únicamente las tablas ya que la resolución de cada método es totalmente análoga a la
que hemos explicado en la sección anterior.
5.5.3.1 Análisis de sensibilidad: Demanda incrementada
Método PRO
i ei ci Ei λ cDi xiPRO xDi
PRO PiPRO
1 80 50 80 0,5 110 25 55 0,5
2 10 30 65 0,54 90 16 48,6 0,54
3 10 20 59 0,59 80 12 47,2 0,59
4 10 90 57 0,63 -- 57 -- 0,63
Caso BaseDemanda
incrementada
Incremento
producido
x1 28,5 25 -3,5
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
x2 6,2 16 +9,8
x3 13 12 -1,0
x4 62,1 57 -5,1
p1 0,57 0,5 -0,07
p2 0,62 0,54 -0,08
p3 0,65 0,59 -0,06
p4 0,65 0,63 -0,02
Notar que las asignaciones son unidades de agua, el resto son tantos por uno.
Método CEA
i ei ci Ei cDi xiCEA xDi
CEA PiCEA
1 80 50 80 110 30 50 0,60
2 10 30 60 90 30 70 1,00
3 10 20 80 80 20 80 1,00
4 10 90 90 -- 30 -- 0,33
Caso BaseDemanda
incrementada
Incremento
producido
x1 40 30 -10,0
x2 10 30 +20,0
x3 20 20 +0,00
x4 40 30 -10,0
p1 0,8 0,60 -0,20
p2 1,00 1,00 +0,00
p3 1,00 1,00 +0,00
p4 0,44 0,33 -0,11
Método CEL
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
i ei ci Ei cDi xiCEL xDi
CEL PiCEL
1 80 50 80 110 30 50 0,60
2 10 30 60 90 10 50 0,33
3 10 20 60 80 0 60 0,00
4 10 90 70 -- 70 -- 0,78
Caso BaseDemanda
incrementada
Incremento
producido
x1 33,33 30 -3,33
x2 0 10 +10,0
x3 3,33 0 -3,33
x4 73,33 70 -3,33
p1 0,66 0,60 -0,06
p2 0,00 0,33 +0,33
p3 0,16 0,00 -016
p4 0,81 0,78 -0,03
Notar que las asignaciones son unidades de agua, el resto son tantos por uno.
Método TAL
i ei ci Ei cDi xiTAL xDi
TAL PiTAL
1 80 50 80 110 25 55 0,50
2 10 30 65 90 15 60 0,50
3 10 20 70 80 10 60 0,50
4 10 90 70 -- 60 -- 0,67
Caso BaseDemanda
incrementada
Incremento
producido
x1 27,5 25 -2,5
x2 5 15 +10,0
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
x3 10 10 +0,0
x4 67,5 60 -7,5
p1 0,34 0,50 +0,16
p2 0,50 0,50 +0,00
p3 0,50 0,50 +0,00
p4 0,75 0,67 -0,08
Notar que las asignaciones son unidades de agua, el resto son tantos por uno.
Como se puede apreciar en todos los casos el sumatorio de la cuantía total
asignada es exactamente la misma que la asignación en el caso base, es decir, de 110
unidades de agua ya que la cantidad de oferta no se ha visto modificada.
Además, podemos comprobar como se cumple la propiedad sobre las Demandas
monótonas ya que, en todos los casos, el porcentaje de agua asignada al agente dos se ve
incrementado al aumentar la cantidad demandada por él mismo.
5.5.3.2 Análisis de sensibilidad: Dotación incrementada
Método PRO
i ei ci Ei λ cDi xiPRO xDi
PRO PiPRO
1 80 50 80 0,67 70 33,33 46,9 0,67
2 30 10 76,67 0,77 90 7,67 69,3 0,77
3 10 20 79 0,79 80 15,8 63,2 0,79
4 10 90 73 0,81 -- 73 -- 0,81
Caso BaseDotación
incrementada
x1 28,5 33,33
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
x2 6,2 7,67
x3 13 15,8
x4 62,1 73
p1 0,57 0,67
p2 0,62 0,77
p3 0,65 0,79
p4 0,65 0,81
Notar que las asignaciones son unidades de agua, el resto son tantos por uno.
Método CEA
i ei ci Ei cDi xiCEA xDi
CEA PiCEA
1 80 50 80 70 50 30 1,00
2 30 10 60 90 10 50 1,00
3 10 20 60 80 20 60 1,00
4 10 90 70 -- 50 -- 0,55
Caso BaseDotación
incrementada
x1 40 50
x2 10 10
x3 20 20
x4 40 50
p1 0,8 1,00
p2 1,00 1,00
p3 1,00 1,00
p4 0,44 0,55
Método CEL
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
i ei ci Ei cDi xiCEL xDi
CEL PiCEL
1 80 50 80 70 40 40 0,80
2 30 10 70 90 0 70 0,00
3 10 20 80 80 10 70 0,50
4 10 90 80 -- 80 -- 0,89
Caso BaseDotación
incrementada
x1 33,33 40
x2 0 0
x3 3,33 10
x4 73,33 80
p1 0,66 0,80
p2 0,00 0,00
p3 0,16 0,50
p4 0,81 0,89
Notar que las asignaciones son unidades de agua, el resto son tantos por uno.
Método TAL
i ei ci Ei cDi xiTAL xDi
TAL PiTAL
1 80 50 80 70 37,5 42,5 0,75
2 30 10 72,5 90 5 67,5 0,50
3 10 20 77,5 80 10 67,5 0,50
4 10 90 77,5 -- 77,5 -- 0,86
Caso BaseDotación
incrementada
x1 27,5 37,5
x2 5 5
x3 10 10
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
x4 67,5 77,5
p1 0,34 0,75
p2 0,50 0,50
p3 0,50 0,50
p4 0,75 0,86
Notar que las asignaciones son unidades de agua, el resto son tantos por uno.
Como se puede apreciar en todos los casos la suma de la cuantía total asignada
ya no es la misma que en el caso base. Ahora, ya que la dotación del agente dos ha sido
incrementada en veinte unidades, todas las asignaciones propuestas ya no suman 110
unidades de agua sino 130. Este es el motivo por el cual se ha suprimido la última
columna de la comparación entre el caso base y el caso de la dotación incrementada.
Además, podemos comprobar como se cumple la propiedad sobre el Recurso
monótono ya que en todos los casos el agente dos que ha tenido un incremento de la
dotación nunca se ve afectado por un reparto inferior que en el caso base, siendo
siempre su asignación mayor o igual.
5.5.4 Comparación de los métodos secuenciales con sus alternativas
En esta sección vamos a comparar nuestra solución con un par de alternativas
que pueden ser aplicadas para resolver los problemas de reparto de agua de un río. La
primera comparación la vamos a realizar con la propuesta por Ambec y Sprumont
(2002). La segunda comparación va a ser únicamente importante para el caso especial
donde toda la dotación del agua del río que se va a repartir viene a cargo del agente uno
mientras que el resto de los agentes no tiene dotación alguna. En este caso, las reglas de
bancarrota pueden ser aplicadas de forma directa, mientras se mantenga el tratamiento
de las dotaciones y el orden lineal de los agentes.
Aunque estas alternativas poseen una serie de ventajas, en esta sección veremos
las desventajas frente a las soluciones mostradas en este capítulo. En el primer caso, esta
solución va a favorecer notablemente a los agentes situados aguas abajo mientras que en
el segundo caso, esa solución es únicamente válida para un caso especial de los
problemas de reparto de agua de un río.
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
5.5.4.1 Comparación con los problemas de reparto de Ambec y Sprumont
Ambec y Sprumont propusieron en 2002 una solución axiomática basada en las
teorías ATS y ATI. Estos dos principios son usados como un límite inferior y superior en
la aspiración sobre el bienestar de una coalición de agentes. Ambec y Sprumont (2002)
demostraron que hay una única distribución de beneficio tal que proporciona una
solución de compromiso entre estos dos principios. El agua queda asignada de tal
manera que el bienestar de cada agente sea igual a su contribución marginal a la
coalición compuesta por todos los agentes aguas arriba.
La comparación de los problemas de reparto secuencial con la solución
propuesta por Ambec y Sprumont (2002) no es sencilla ya que su solución se basa en
términos de bienestar mientras que la literatura de bancarrota proporciona una solución
en términos de recurso distribuido. La comparación es posible únicamente si asumimos
que los beneficios son lineales al uso del agua. En este caso, la solución propuesta por
Ambec y Sprumont (2002) cae en la clase de problemas de reparto secuencial. De
hecho, es un caso extremo de este tipo de problemas con x i=e i ,∀ i∈N . La solución
asigna a cada agente el derecho de su propia dotación. Obviamente, esta solución es
independiente del vector de demandas ya que Ambec y Sprumont (2002) no consideran
demandas en su modelo.
Esta alternativa puede ser un compromiso atractivo entre las teorías ATS y ATI
pero nos vamos a cuestionar su aplicabilidad por dos razones. La primera es que Ambec
y Sprumont (2002) encontraron una solución al problema de reparto de un río usando
una combinación de límites inferiores y superiores del bienestar. De esta forma, se
asume que los agentes situados aguas arriba no aspiran a un nivel de bienestar más alto
que el que se pueden asegurar ellos mismos. La segunda razón es que la solución
proporcionada por Ambec y Sprumont (2002) asigna todas las ganancias procedentes de
la cooperación a los agentes situados aguas abajo sin que sea muy convincente.
5.5.4.2 Comparación con los problemas de bancarrota sin dotación
Si todo el agua que se va a repartir entre un serie de agentes se origina en la
cabeza del río, es decir, e i=0 ∀ i>1, y el orden de los agentes no se considera, entonces
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
las reglas de bancarrota pueden ser directamente aplicadas a esta clase tan especial de
problemas de reparto de un río.
Como primer comentario, esta aproximación parece no estar relacionada con las
reglas de reparto secuencial. Hay una serie de reglas, sin embargo, para estas
aproximaciones aplicadas a las reglas de reparto secuencial. Esta clase de reglas
incluyen a todas las de bancarrota que satisfacen ventajas de la fusión o la división
(O`Neill (1982), Thomson (2003)). La regla PRO es una de las reglas de bancarrota
perteneciente a esta clase. Así, la solución proporcionada por la aplicación de la regla de
reparto secuencial basada en PRO corresponde con la solución dada por este método
PRO aplicada a los problemas de reparto de un río. Esto queda reflejado en la siguiente
proposición.
Proposición 5.3 La regla de reparto secuencial basada en el método PRO satisface la
siguiente propiedad. Si e i=0 , ∀ i>1 , entonces piPRO=
e1
∑j∈N
c j
,∀ i∈ N .
Esta proposición nos indica que para esta clase de problemas de reparto de un
río, las propiedades que caracterizan al método PRO, también lo hacen para su
correspondiente regla de reparto secuencial. Consecuentemente, cada agente recibe la
misma proporción de su demanda. De esta forma, las diferencias entre las soluciones
inducidas por PRO y su correspondiente regla de reparto secuencial vienen dadas por la
distribución de las demandas sobre los agentes. Estas diferencias no son como resultado
del orden lineal de los agentes.
Este resultado implica que la solución proporcional de un problema de
bancarrota iguala la solución proporcional a una secuencia de problemas de bancarrota
reducidos. Por lo tanto, esta clase de problemas de reparto de un río son una
generalización de los problemas de bancarrota. Notar, sin embargo, que desde la
perspectiva del reparto de un río esta clase de problemas reflejan un caso muy especial
debido a la específica suposición sobre el abastecimiento del agua del río.
5.5.5 Análisis de resultados, discusión y conclusiones
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
Empezamos analizando las distintas soluciones que nos han proporcionado cada
uno de los métodos usados en el problema de reparto del agua de un río. Para ello,
representamos en la siguiente tabla todas las soluciones obtenidas.
PRO CEA CEL TAL
x1 28,5 40 33,33 27,5
x2 6,2 10 0 5
x3 13 20 3,33 10
x4 62,1 40 73,33 67,5
p1 0,57 0,8 0,66 0,34
p2 0,62 1,00 0,00 0,50
p3 0,65 1,00 0,16 0,50
p4 0,65 0,44 0,81 0,75
Como podemos apreciar en la tabla anterior, mostramos cuatro soluciones
diferentes dadas por cada uno de los métodos anteriores. De esta forma, el método PRO
se centra en realizar un reparto en el cual todos los agentes cubran un porcentaje de su
demanda muy similar unos de otros. Así, aplicando el método PRO y con dotaciones de
partida se consigue que cada agente, independientemente de su demanda, cubra
aproximadamente el sesenta por ciento de su demanda. El segundo método que
resolvimos fue el CEA. Este método intenta repartir a cada agente la misma cantidad de
agua hasta llegar al límite máximo de cada agente. Para nuestro caso, como el límite de
los agentes dos y tres es inferior al de los agente uno y cuatro, su demanda se satisface
por completo a consta de perjudicar la del último agente. El tercer método es el CEL.
Este método restaba una cantidad constante a cada agente procedente del reparto de la
cantidad de agua que faltaba para cumplir con toda la demanda, sin que la asignación
sea nunca negativa. De esta forma y dado los límites de cada agente, los agentes que
menos demandan son los que menos perciben mientras que los agentes que más
demandan son los que más agua reciben. En nuestro caso, el agente dos se queda sin
reparto alguno, el agente tres cubre muy poca parte de su demanda pero, sin embargo
los agentes uno y cuatro cubren gran parte de su demanda, en especial el agente cuatro
que es el que más agua demanda de todo el conjunto de agentes. El último de los
métodos que aplicamos fue el método TAL. Este método es el más complejo de todos y
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
posiblemente es el que de un reparto más “justo” frente a sus alternativas. Con este
método todos los agentes cubren un buen porcentaje de su demanda siendo el menos
beneficiado el agente uno al no llegar a un cuarenta por ciento de su demanda.
Un tema sobre el que podemos discutir es cuando un problema reducido de
reparto de un río, aunque matemáticamente equivale a un problema de bancarrota,
pueda ser de hecho interpretado como tal. La respuesta de esta cuestión depende de la
interpretación de Ei, el recurso que va a ser distribuido entre i y Di. En los problemas de
bancarrota, el recurso está separado de los agentes. En un problema reducido de reparto
de un río, Ei es el flujo de agua disponible al agente i. Si no se consideran las demandas,
la dotación podría ser interpretada como la propiedad de derechos, es decir, la dotación
de cada agente es la cantidad de agua de la que dispone.
En nuestra interpretación, la superposición de las demandas implica que las
dotaciones no representen derechos de propiedad. Así, una regla de reparto necesita ser
introducida como un derecho. El flujo disponible del agente i, Ei , no se interpreta como
un derecho de propiedad, pero si como un recurso cuyo nivel puede influenciar la
solución del reparto del agua de un río, dependiendo de la regla de reparto usada. En
este caso, Ei es separada de los agentes y, por lo tanto, un problema reducido de reparto
de un río es completamente equivalente al problema de bancarrota. Aunque esta
interpretación proporciona un apoyo adicional al uso de reglas de reparto secuencial, no
podemos afirmar que esta interpretación sea más convincente que las alternativas.
En este capítulo hemos analizado los problemas de reparto de un río con un
orden lineal de los agentes quienes poseen una dotación y demanda de recurso. Hemos
construido una clase de reglas de reparto secuencial mediante la transformación del
problema de reparto del río a una secuencia de problemas reducidos de reparto de un
río. Estos problemas reducidos son matemáticamente equivalentes a los problemas de
bancarrota y, por lo tanto, pueden ser resueltos usando las reglas de bancarrota.
Los resultados de este capítulo pueden ser perfectamente adaptados a
aplicaciones sobre la negociación en reparto del agua de un río a nivel nacional o
internacional. La suposición a seguir es estar de acuerdo en una regla de reparto que
asigne el derecho de agua a cada uno de los agentes.
5.6 Estado del arte: Líneas actuales de negociación
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
En esta última sección, vamos a exponer las líneas más novedosas de
negociación en este contexto basada en la teoría de juegos cooperativos. Para ello,
consideraremos el problema del reparto de agua entre unos agentes situados a lo largo
de un río. Cada agente, tiene preferencias cuasi-lineales sobre el agua del río y el dinero,
donde el beneficio sobre el consumo de una cantidad de agua viene proporcionado por
una función de beneficio continua y cóncava. Una solución eficiente del problema
repartirá el agua del río entre todos los agentes sin malgastar dinero. Introducimos
varios axiomas para caracterizar cuatro soluciones distintas.
5.6.1 Introducción
Consideramos el problema de reparto del agua entre varios agentes, que pueden
ser pueblos, ciudades, industrias, etc., ubicados a lo largo de un río. Dado que el número
de agentes involucrados en el reparto del agua de un río es normalmente pequeño y que,
los intercambios de agua son escasos, el comercio de agua del río tiene lugar por la
firma de contratos entre las partes involucradas. Estos contratos directamente
especifican la cantidad de agua a repartir, así como, la cantidad de dinero que debe ser
pagada por el agua. El objetivo de la teoría de juegos cooperativos es el de proporcionar
el resultado de la elección de un agente, que depende de decisiones tomadas por otros,
siendo los agentes que toman decisiones, los encargados de firmar contratos vinculantes
bilaterales o multilaterales para hacer cumplir dicha cooperación. Por este motivo, la
teoría de juegos cooperativos es una de las principales herramientas usadas para el
modelado de problemas hidráulicos.
Ambec y Sprumont (2002) presentaron un modelo en el que una serie de agentes
están situados a lo largo de un río simple, de un sólo flujo desde aguas arriba hasta
aguas abajo. Cada agente, suponemos que tiene preferencias cuasi-lineales sobre el
agua del río y el dinero, donde el beneficio del consumo de una cantidad de agua viene
dado por una función de beneficio diferencial, estrictamente creciente y estrictamente
cóncava. La asignación de reparto del agua entre todos los agentes es eficiente cuando
ésta maximiza la suma total de beneficio. A fin de mantener una asignación de agua
eficiente, los agentes pueden ser compensados cada uno por el pago de transferencias
monetarias. Cada asignación de agua y transferencia proporciona una distribución de
bienestar, donde la utilidad de un agente es equivalente a su beneficio del consumo de
agua más su transferencia monetaria, que puede ser negativa. Mediante la derivación de
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
un juego cooperativo a partir de su modelo, Ambec y Sprumont (2002) encontraron la
forma de cómo el agua del río debe asignarse a los agentes y proponen que las
transferencias monetarias se deben realizar a fin de lograr una distribución justa del
bienestar. Ellos propusieron la solución incremental aguas abajo como la distribución
de bienestar que satisface tanto los límites inferiores como los limites superiores de la
aspiración. Dicha solución, puede ser considerada como el vector de contribución
marginal de su juego cooperativo correspondiente al orden de los agentes ubicados a lo
largo del río, desde aguas arriba hasta aguas abajo.
Ambec y Ehlers (2008), Khmelnitskaya (2010), van den Brink, van der Laan y
Moes (2010) y Wang (2011) generalizaron el modelo de Ambec y Sprumont (2002) de
una forma específica. Ambec y Ehlers (2008) permitieron que la función de beneficio de
cada agente fuese diferenciable y estrictamente cóncava, pero no necesariamente
incremental. Khmelnitskaya (2010) consideró ríos con estructura de tipo árbol
permitiendo múltiples salidas o deltas. Van den Brink, van der Laan y Moes (2010)
estudiaron ríos con múltiples salidas y propusieron una nueva clase de solución basada
en la distribución de agua según el principio conocido como Territorial Integration of
all Basin States (TIBS). Finalmente, Wang (2011) propuso una solución al modelo
original tipo línea en donde el comercio de agua está restringido a parejas de agentes
vecinos.
En este apartado, primero, vamos a tomar la suposición de Ambec y Ehlers
(2008) sobre que la función de beneficio únicamente se le exija continuidad y
concavidad. La segunda consideración consiste en caracterizar dos soluciones existentes
mediante el modelo de flujo único, introduciendo algunos axiomas. La última
consideración es proponer y caracterizar dos nuevas soluciones para el modelo de flujo
único usando nuevos axiomas.
En contraste con los documentos mencionados anteriormente, en este apartado
evitamos el desvío de modelar la situación del río como un juego cooperativo. En su
lugar, vamos a imponer inmediatamente axiomas sobre la clase de todos los problemas
de distribución del agua del río. Esto tiene como principal ventaja que los axiomas que
proponemos directamente pueden ser interpretados en términos de asignación de agua
(Beneficio).
Mientras que la mayoría de los axiomas utilizados en la literatura también
derivan de los principios de distribución de agua, ellos son axiomas sobre juegos
cooperativos y no problemas de asignación de agua. Esto a menudo induce a error
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
cuando se trata de interpretar los axiomas de juego cooperativos en términos de
asignación de agua.
5.6.2 Problemas de ríos con funciones de beneficio cóncavas
En el trabajo “Sharing a river”, Ambec y Sprumont (2002) consideraron el
problema de encontrar una distribución justa del bienestar resultante a la asignación de
flujos de agua a lo largo de un río internacional a los agentes situados en su cauce. Sea
N= {1, …,n } un conjunto de agentes, que supusieron países, a lo largo del río,
numerados sucesivamente desde aguas arriba hasta aguas abajo, y sea e i≥ 0 las entradas
de agua sobre el territorio del agente i, i=1 , …, n. Para cada agente i, se va a suponer
una función de utilidad cuasi-lineal asignada a cada pareja ( x i ,t i ) con x i∈R+¿¿ una
cantidad de agua asignada a i y t i∈R+¿¿ una compensación monetaria a i, la utilidad
vi ( x i ,t i )=b i ( x i )+t i,
donde b i : R+¿→ R ¿ es una función continua dando un beneficio b i ( x i ) al agente i del
consumo x i de agua. En lo siguiente, denotaremos una situación del río por la terna
( N ,e ,b ), donde N es el conjunto de agentes, e∈ R+¿n¿ es el vector de las entradas no
negativas y b=(b i) i∈N es el conjunto de las funciones de beneficio.
Por la uni-direccionalidad del flujo de agua desde aguas arriba hasta aguas abajo,
a cada agente se le puede asignar la entrada de agua a su territorio y su agente aguas
arriba, pero la entrada de agua de algunos agentes aguas abajo no puede ser asignada a
este agente. De esta forma, una asignación de agua x∈ R+¿n¿ asigna una cantidad de agua
x i al agente i ,i=1 , …, n, bajo la restricción
1. ∑i=1
j
x i ≤∑i=1
j
ei , j=1 ,…, n.
Es decir, x∈ R+¿n¿ es una asignación de agua si, para cada agente j, la suma de las
asignaciones de agua x1 , …, x j es como máximo igual a la suma de las entradas e1 ,…, e j
. Los rendimientos totales de bienestar de una asignación de agua x son ∑i=1
n
bi ( x i ). Un
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
esquema de compensación t∈ Rn proporciona una compensación monetaria t i al agente
i ,i=1 , …, n, bajo la restricción
∑i=1
n
t i ≤0 .
Como se mencionó anteriormente, una pareja ( x ,t ) de una asignación de agua x y
un esquema de compensación t proporcionan utilidades v ( x i ,t i ) dado por la expresión
anterior para cada i=1 ,…,n. Una pareja ( x ,t ) es Pareto eficiente si no se malgasta ni
agua ni dinero, es decir, ( x ,t ) es Pareto eficiente si y sólo si x∈ Rn maximiza el
beneficio del problema Dado por
max∑i=1
n
b i ( x i ) s .t .∑i=1
j
x i ≤∑i=1
j
ei , j=1 , …, n y x i≥ 0 , i=1 ,…, n ,
y el esquema de compensación t∈ Rn está en el balance del presupuesto: ∑i=1
n
t i=0.
En Ambec y Sprumont (2002) se asume que cada función de beneficio es una
función incremental y estrictamente cóncava, que es diferenciable para cada x i>0 , cuya
derivada tiende a infinito cuando x i tiende a cero. Bajo esta suposición, el problema de
maximización anterior tiene una única solución x¿. Decimos que z∈ Rn , es una
distribución de beneficio si existe una pareja Pareto eficiente ( x¿ , t ) tal que
z i=b i ( x i¿)+ ti , i=1 ,…,n .
Así, una distribución de bienestar z distribuye el máximo beneficio disponible
entre todos los agentes de la asignación x i¿ al agente i ,i=1 ,…,n, e implementando un
balance en el presupuesto monetario del esquema de compensación t. Inversamente, se
puede apreciar que para la asignación optima x¿ , cada balance del presupuesto del
esquema de compensación t, induce a una distribución de bienestar.
En Ambec y Sprumont (2002) el problema de encontrar un balance del
presupuesto del esquema de compensación “justo” o, equivalentemente una justa
distribución del beneficio, está modelada por un juego cooperativo de utilidad
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
transferible. Así, se propone una solución para el juego cooperativo tomando en
cuenta dos principios para un reparto justo de bienestar dados en Kilgour y Dinar
(1995). Estos principios son los que ya hemos visto a lo largo de todo el proyecto y que
vamos a recordar ahora. El principio ATS (Absolute Territorial Sovereignty) consideraba
que cada país no tiene limitaciones sobre el uso de sus propios recursos naturales.
Para un río internacional estas leyes sobre la doctrina de Harmon, declaran que un país
tiene absoluta soberanía sobre las entradas a un río situado en su propio territorio y
así, cada agente es el dueño legal de sus propias entradas de agua. Este principio,
favorece los países situados aguas arriba mediante la implantación que, para cada
j=1 ,…, n, la coalición {1 , …, j } del primer país j aguas arriba tiene derecho a usar las
entradas totales de agua en sus propios territorios sin tener en cuenta las
consecuencias que puedan tener para los países agua abajo. Por otra parte, el principio
de Territorial Integration of all Basin States (TIBS) favorece a los países aguas abajo
declarando que todas las entradas de agua pertenecen a todos los países juntos, sin
importar en que parte del río se tome. Esto convierte a todos los países dueños legales
de todas las entradas de agua, sin considerar a su propia contribución de flujo.
Teniendo en cuenta la uni-direccionalidad de flujo de agua desde aguas arriba hasta
aguas abajo, la interpretación del principio TIBS viene dada por el principio de
Unlimited Territorial Integrity (UTI), puntualizando que, sin restricciones usadas por un
país en sus propios recursos naturales, se permite únicamente si no causa daño alguno
a la soberanía de otros países. Este principio implica que un país j tiene derecho a usar
todas las entradas de agua situadas en su propio territorio y en los territorios de todos
sus países situados aguas arriba. Como consecuencia, esto lleva a situaciones de
conflicto en el sentido de que la entrada e i al territorio del país i , tiene derecho hacia
cada país j ≥ i.
Como se argumenta en Ambec y Sprumont (2002), la doctrina Harmon implica
estabilidad en el sentido que para cada i y cada j ≥ i el bienestar total que el conjunto de
los países consecutivos {i ,i+1 , …, j } , entiende que una pareja de Pareto eficiente ( x¿ , t )
debe ser al menos igual a la suma de beneficios que esos países pueden garantizar por si
mismos, mediante la asignación óptima de sus propias entradas e i ,…, e j. En el caso
j=i , esta noción de estabilidad se reduce a racionalidad individual, imponiendo que el
pago de un país i debe ser al menos igual al beneficio b i (e i ) de la entrada de agua en su
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
propio territorio. Sea i=1 y j ≥ i, la estabilidad implica estabilidad aguas arriba,
significando que para cada conjunto de países consecutivos situados aguas arriba
{1 ,…, j }, j=1 ,…, n, el total de beneficio del primer país j aguas arriba en la pareja
de Pareto eficiente ( x¿ , t ) debe ser al menos igual al máximo que estos países puedan
garantizar por sí mismos, mediante la resolución del siguiente problema de
maximización del beneficio
max∑i=1
n
b i ( x i ) s .t .∑i=1
k
x i ≤∑i=1
k
ei , k=1 ,…, j y x i ≥0 , i=1 , …, j .
Bajo la suposición tomada sobre la función de beneficio en Ambec y Sprumont
(2002), para cada j este problema de maximización tiene una única solución. Vamos a
llamar esta solución como x j=( x1j ,…, x j
j ) y el beneficio total correspondiente por
v j=∑i=1
j
bi ( xij ). Notar que x i
n=x i¿ , i=1 ,…,n y vn∑
i=1
n
b i (x i¿ ). Esto lleva a que la estabilidad
aguas arriba requiera que ∑i=1
j
zi ≥ v j , para cada j=1 ,…, n.
Por un lado, basándose en el principio UTI favoreciendo a los países aguas
abajo, Ambec y Sprumont (2002) impusieron la condición que para cada coalición
aguas arriba {1 , …, j }, j=1 ,…,n, el beneficio total de estos países esta limitado como
mucho por su nivel de aspiración, siendo el máximo beneficio que ellos pueden obtener
la distribución de sus propias entradas de agua. Así, el propio nivel de aspiración
requiere que para cada j el beneficio total ∑i=1
j
zi del primer país j situado aguas arriba es
al menos igual al beneficio obtenido de resolver el problema de maximización de
beneficio, es decir, ∑i=1
j
zi ≤ v j para cada j=1 ,…, n. Esto proporciona que los
requerimientos de la estabilidad aguas arriba y la propiedad del nivel de aspiración
juntos necesiten que ∑i=1
j
z i=v j para cada j=1 ,…, n, y así, determinar la única
distribución de beneficio z i=v i−v i−1 ,i=1, …, n, con v0 definido como igual a cero. La
correspondiente solución incremental aguas abajo asignan a cada problema de río
( N ,e ,b ), la distribución de beneficio d ( N ,e ,b )∈Rn dada por
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
d i ( N ,e , b )=vi−v i−1 , i=1 ,…,n .
Aunque esta distribución de beneficio quede determinada por los requerimientos
de estabilidad aguas arriba y por la propiedad del nivel de aspiración, es también estable
para cada coalición {i ,i+1 , …, j } ,1 ≤i ≤ j≤ n de agentes consecutivos.
Ambec y Ehlers (2008) generalizaron el juego básico de un río descrito
anteriormente por la permisión de saciar o satisfacer a los agentes. Esto significa que
ellos debilitan la consideración sobre los beneficios en Ambec y Sprumont (2002)
mediante la eliminación de requerimientos para que la función de beneficios vaya
estrictamente incrementándose. Ellos asumieron para cada función de beneficio
b i : R+¿→ R ,¿ una función estrictamente cóncava, diferenciable para cada x i>0 , cuya
derivada tiende a infinito cuando x i tiende a cero. Bajo esta suposición, es posible que
para algunos puntos c i>0, llamados puntos de saciedad del agente i, el beneficio va
incrementándose desde x i=0 hasta c i, alcanzando su máximo valor en c i, y decreciendo
para x i>c i. La existencia de puntos de saciedad tiene una seria consecuencia para el
correspondiente juego cooperativo. Sin el punto de saciedad, únicamente las coaliciones
de agentes consecutivos pueden operar, con el objetivo de maximizar su beneficio de
unión mediante la asignación óptima de sus propias entradas de agua entre cada una de
ellas (bajo el principio ATS, diciendo que los agentes en cada coalición tienen el
derecho de usar sus propias entradas de agua). Una coalición no consecutiva de dos
subconjuntos de agentes no pueden nunca transferir agua desde la parte aguas arriba
hasta la parte aguas abajo ya que la función incremental de beneficio podría hacer que
toda el agua enviada desde los agentes aguas arriba hasta los agentes aguas abajo sea
tomada por los agentes situados en una posición intermedia. A cambio, bajo la débil
suposición de Ambec y Ehlers (2008), podría ser rentable para una coalición de agentes
no consecutivos el transferir aguas desde aguas arriba hacia aguas abajo cuando todos
los agentes situados en una posición intermedia tienen un punto de saciedad. Aunque
algunos de estos flujos puedan tomarse por los agentes en situación intermedia, estos
agentes únicamente podrán coger agua de los puntos de saciedad. Cuando el flujo es
demasiado grande, una parte será destinada a los agentes aguas abajo, posibilitando la
cooperación entre las dos partes de la coalición. Este fenómeno podría causar
externalidades positivas sobre los agentes situados entre las dos partes de la coalición no
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
consecutiva. Como resultado, en el correspondiente juego cooperativo, la ganancia que
puede ser obtenido por la coalición depende del comportamiento del resto de los
agentes, dando lugar a un modelo más complicado, denominado juego con función
particionada. Sin embargo, parece claro que para cada j, la coalición aguas arriba
{1 ,…, j } tiene externalidades libres, es decir, el máximo beneficio que cada coalición
puede obtener por la asignación de sus propias entradas de agua óptimamente repartidas
entre ellas mismas, no depende del comportamiento de los agentes después de j, y ese
máximo nivel de bienestar viene dado por los valores v j , j=1 , …,n, de la solución de
problemas donde se maximiza el beneficio anterior. Así, la solución incremental aguas
abajo d ( N , e , b ) queda bien definida para los problemas de rio ( N ,e ,b ) con puntos de
saciedad, y en Ambec y Ehlers (2008) se muestra que también para situaciones de rio
con agentes saciables esta solución está únicamente determinada por el requerimiento
de la estabilidad aguas arriba y la propiedad de nivel de aspiración. Aunque ellos
modelaron el problema del río con agentes de saciedad como un juego en una función
partitiva, algunas veces caracterizan una solución la cual únicamente usa los niveles de
beneficio que pueden ser obtenidos por coaliciones consecutivas que contengan al
agente 1. Estos niveles son externalidades libres. Bajo la suposición de e i≤ ci para cada
i, la solución es también estable para cada coalición {i ,i+1 , …, j } ,1 ≤i ≤ j≤ n, de agentes
consecutivos.
Vamos a debilitar las suposiciones de Ambec y Ehlers (2008), y Ambec y
Sprumont (2002), mediante la imposición a la función de beneficio de ser cóncava en
lugar de estrictamente cóncava.
Suposición 5.2 En una situación de río (N , e , b), cada función de beneficio b i : R+¿→ R ¿
es cóncava y continua para x i>0.
La suposición dice que b i puede no estar decreciendo, pero además permite que
exista un intervalo [c i , c i ] , c i ≥ ci tal que b i este incrementándose para x i<c i, constante
para x i∈ [c i ,ci ], y decreciendo cuando x i>ci. En el último caso, el punto c i es el punto
de saciedad del agente i. El agente i alcanza su mayor beneficio en c i. Todo el nivel del
consumo de agua entre c i y c i también alcanza su máximo beneficio, pero el consumo
de agua mayor a c i proporciona un menor beneficio. Asignamos que para c i=0 y c i=∞
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
(significando que b i es constante para x i≥ c i≥ 0). En particular, esta asigna a
b i ( x i )=bi (0 ) , para cada x i≥ 0.
Bajo esta suposición, el problema de maximización anterior no tiene por qué
tener una única solución, aunque sigue estando bien definido. Sea X j un conjunto de
soluciones del problema de maximización para un país j, j=1 ,…, n, para cada solución
x j∈X j tenemos que v j=∑i=1
j
bi ( xij ) y para cada xn∈ Xn, la pareja de presupuesto ( xn ,t )
proporciona una distribución de beneficio
z i=b i (x in )+ ti , i=1 ,…, n ,
Con la suma de las cuotas igual a el beneficio total de Pareto eficiente
vn=∑i=1
n
bi (x in ).
Bajo esta suposición, el correspondiente juego cooperativo no esta bien definido
a menos que hagamos una suposición adicional sobre el consumo de agua de agentes
que tengan una función de beneficio cóncava pero no estrictamente cóncava.
Consideremos de nuevo una coalición no consecutiva formada por partes consecutivas
aguas arriba y partes consecutivas aguas abajo. Si algún agente j situado entre estas dos
partes tiene una función de beneficio con un punto de saciedad c j y un punto c j>c j tal
que su beneficio sea constante entre c j y c j y decreciendo a partir de ese punto, entonces
el juego cooperativo no está bien definido sin una suposición adicional sobre el
consumo de agua del agente j en caso de flujo de agua enviado desde aguas arriba hasta
aguas abajo llegando a ser tan grande que la disponibilidad de agua del agente j exceda
su punto de saciedad c j. En lugar de hacer tal suposición impondremos más adelante
axiomas relacionados directamente a la situación de río ( N . e , b ) y a partir de estos
obtendremos soluciones únicas para un problema de distribución de bienestar sin
modelar la situación del río como un juego cooperativo. Haciendo esto no
necesitaremos una suposición adicional.
5.6.3 Soluciones analíticas
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
Vamos a estudiar cuatro soluciones para este tipo de problemas. Para cada una
de ellas se van a definir una serie de axiomas (nueve en total) para poder caracterizar las
cuatro soluciones.
5.6.3.1 La solución incremental aguas abajo
El primer resultado es que en la clase W N de problemas de río ( N ,e , b ) la
solución incremental aguas abajo d esta caracterizada por los cuatro axiomas que se van
a definir a continuación:
Eficiencia. Para cualquier problema de río ( N ,e , b ) tenemos que
∑i∈N
f i ( N , e ,b )=vn (e ,b ).
Disminución de las propiedades compartidas. Para cualquier problema de río
( N ,e ,b ) tenemos que f i ( N , e ,b )≥ bi (0 ) para todo i∈N .
Nivel de propiedad débil en la aspiración. Para cualquier problema de río ( N ,e , b )
tenemos que f i ( N , e , b )≤ maxx i ≤∑
j∈Ne j
bi ( xi ) para todo i∈N .
Independencia de los beneficios aguas abajo. Para cada pareja de problemas de río
( N ,e ,b ) y ( N , e , b ' ) tal que b j=( b' ) j , para todo j ≤ i, tenemos que
f i ( N ,e , b )=f i ( N , e , b ' ).
Teorema 5.2 Una solución f en la clase W Nde problemas de ríos es igual a la solución
incremental aguas abajo d si y sólo si f satisface eficiencia, disminución de las
propiedades compartidas, nivel de propiedad débil en la aspiración e independencia de
los beneficios aguas abajo.
El axioma de independencia es usado en el Teorema 5.2 y en su caracterización.
Notar que la solución está totalmente determinada por los niveles de bienestar obtenidos
mediante la resolución de problemas de maximización de beneficio y que estos
problemas están bien definidos cuando la función de beneficios satisface la suposición
de la Sección 3. Así pues, no tenemos necesidad de tomar una suposición adicional
correspondiente a agentes con una función de beneficio cóncava pero no estrictamente
cóncava.
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
5.6.3.2 La solución incremental aguas arriba
Como se vio en la sección anterior, la propiedad del nivel de aspiración pone un
límite superior sobre la cuota total a los miembros de una coalición aguas arriba
{1 ,…, j } , j=1 ,…,n. Además, acorde a la solución incremental aguas abajo todas las
ganancias en beneficios obtenidas cuando algunas de las entradas a los territorios de las
coaliciones aguas arribas {1 , …, j }, quedan asignadas a sus agentes aguas abajo i ,i> j,
yendo desde los agentes aguas abajo en el sentido que una coalición aguas arribas es
únicamente compensada por su pérdida de beneficio total. Alternativamente, van der
Brink, van der Laan y Vasil’ev (2007) introdujeron la solución incremental aguas
arriba. De acorde a esta solución todas las ganancias en beneficios que ocurren cuando
algunas de las entradas a los territorios de una coalición aguas arriba {1 , …, j } están
asignadas a sus agentes aguas abajo i ,i> j, que van desde los agentes aguas arriba
teniendo en cuenta que la cuota total a la coalición aguas abajo { j+1 ,…,n } es
exactamente igual al beneficio total que ellos pueden lograr mediante la asignación de
sus propias entradas óptimamente repartidas entre ellos. En van den Brink, van der Laan
y Moes (2010) unaxioma denominada justa-TIBS es introducido, junto a eficiencia,
proporciona la solución incremental aguas abajo y las solución incremental aguas arriba
en los casos extremos.
Para definir la solución incremental aguas arriba, vamos a considerar para cada
j=1 ,…, n, el problema de maximización de bienestar
max∑i= j
n
b i ( x i ) s .t .∑i= j
k
x i ≤∑i= j
k
ei , k=1 , …, n y x i ≥0 , i= j ,…, n .
Es decir, para el agente j el óptimo del problema de maximización asigna las
entradas e j , …, en entre todos los agentes en la coalición { j , j+1 ,…,n }, dado la uni-
direccionalidad del flujo. Bajo la suposición de la sección tres, estos problemas de
maximización no tienen una solución única aunque estén bien definidos. Para una
solución y j=( y jj , …, yn
j ) del problema de maximización para el agente j, llamaremos
w j (e , b )=∑i= j
n
b i ( yij ) como el máximo beneficio que los agentes en { j , j+1 ,…,n } pueden
obtener mediante la distribución de sus propias entradas. Notar que para j=1 el
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
problema de maximización actual es equivalente al problema anterior, ya que
w1 (e , b )=vn (e , b ) es el beneficio total máximo que puede ser obtenido cuando se
asignan todas las entradas de forma óptima entre todos los agentes. Para cada solución
y1 el balance presupuestado de la pareja ( y1 , t ) proporciona una distribución de
beneficio
z i=b i ( yi1 )+ ti , i=1 ,…, n .
Con la suma de las cuotas igual al beneficio total Pareto eficiente
w1 (e , b )=∑i= j
n
bi ( y i1 ).
La solución incremental aguas arriba asigna a cada agente i su contribución
marginal al beneficio cuando los agentes entran posteriormente desde los agentes
situados aguas más abajo hasta los agentes emplazados aguas más arriba. Así, la
solución incremental aguas arriba asigna a cada situación de río ( N ,e ,b ) la distribución
de beneficio u ( N , e , b )∈Rn dada por
ui ( N , e ,b )=wi (e , b )−w i+1 (e ,b ) , i=1 , …,n .
Con wn+1 (e , b )=0.
El siguiente teorema, en la clases W N de problemas de río ( N , e , b ) , la solución
incremental aguas arriba u está caracterizada por los siguientes cuatro axiomas.
Eficiencia. Para cualquier problema de río ( N ,e , b ) , tenemos que
∑i∈N
f i ( N , e ,b )=vn (e ,b ).
Disminución de las propiedades compartidas. Para cualquier problema de río
( N ,e ,b ) , tenemos que f i ( N , e , b )≥ bi (0 ) , para todo i∈ N .
Propiedad de sequía. Para cualquier problema de río ( N ,e , b ) con e j=0, para todo
j ≤ i, tenemos que f i ( N , e , b )≤ bi (0 ).
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
Independencia de las entradas aguas arriba. Para cada pareja de problemas de río
( N ,e ,b ) y ( N ,e , b ' ) tal que e j=e ' j para todo j ≥ i, tenemos que f i ( N ,e , b )= f i ( N , e ,b ' ).
Teorema 5.3 Una solución f de la clase W Nde problemas de río es igual a la solución
incremental aguas arriba u si y sólo si satisface los axiomas de eficiencia, disminución
de las propiedades compartidas, la propiedad de sequía y la independencia de los flujos
aguas arriba.
Notar que la solución está completamente determinada por los niveles de
bienestar, obtenidos mediante la resolución de los problemas de maximización. Así,
según la definición de la solución incremental aguas arriba satisface estabilidad para
cada coalición aguas abajo {i ,i+1 , …, n }. Al igual que la solución incremental aguas
abajo, esta también cumple los requerimientos de estabilidad para cada coalición de
agentes consecutivos, tal como aparece en los documentos de van den Brink, van der
Laan y Vasil’ev (2007).
5.6.3.3 La solución aguas abajo
Como se ha mencionado antes, las soluciones incrementales aguas arriba y aguas
abajo satisfacen estabilidad para cada coalición de agentes consecutivos y, por tanto,
ambas están acorde a la doctrina de Harmon afirmando que cada agente es el dueño
legal de su propia entrada de agua. Bajo esta doctrina la solución incremental aguas
abajo favorece a los agentes situados aguas abajo en todo lo posible. La solución
incremental aguas arriba favorece pues a todos los agentes situados aguas arriba.
Como se discutió anteriormente, la doctrina Harmon entraba en conflicto con el
principio TIBS el cual toma a todos los agentes como dueños legales de todas las
entradas de agua. Por ejemplo, de acorde con el principio TIBS todos los agentes tienen
derecho a obtener un reparto de las entradas de agua e i en el territorio del agente uno.
Siguiendo el principio TIBS en su forma más extrema, un posible argumento
comprende que la mayoría de los agentes situados aguas abajo tienen derecho a recibir
todas las entradas de agua. Bajo esta condición, los agentes aguas arriba tienen la
posibilidad de “comprar” agua para compensar a la mayoría de los agentes situados
aguas abajo por su pérdida de agua. Teniendo en cuenta este punto de vista sobre los
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
derechos del agua, vamos a definir la solución aguas abajo s, la cual asigna a una
situación de rio (N , e , b)∈W N la distribución de beneficio s ( N , e , b )dada por
si ( N ,e , b )=wi (e , b )−w i+1 ( e , b ) , i=1 ,…,n .
Donde wn+1 (e , b )=0 y w j (e , b )=∑i= j
n
b i ( yij ) , j=1 , …, n con y j=( y j
j , …, ynj ) una
solución del problema de maximización de beneficio,
max∑i= j
n
b i ( x i ) s .t .∑i= j
k
x i ≤∑i= j
k
ei , k= j ,…, n y xi ≥ 0 ,i= j , …,n .
Hablemos de las diferencias entre los dos últimos problemas de maximización.
En el primero, los agentes en una coalición aguas abajo { j , j+1 ,…,n } pueden
únicamente consumir su propia entrada de agua, mientras que en el último, dichos
agentes pueden usar sus propias entradas de agua y también todas las entradas de agua
en su territorio de cualquier agente aguas arriba. Así, para una coalición { j , j+1 ,…,n } el
problema de maximización actual optimaliza la asignación de entradas e1 ,…, en entre
los agentes en la coalición, dada la uni-direccionalidad del flujo de agua. Notar que para
j=1 el problema de maximización es de nuevo igual al problema que le precede. Así
pues, w1 (e , b )=vn (e , b ) es el beneficio total máximo que puede ser obtenido cuando la
asignación de todas las entradas ha sido optimizada entre todos los agentes. Debido a
que ∑i=1
n
s i ( N ,e ,b )=w 1 (e ,b )=vn (e , b ), también la solución aguas abajo distribuye el
máximo beneficio total alcanzable entre todos los agentes y así, esta solución es también
eficiente.
Resulta que la solución aguas abajo puede ser caracterizada, análogamente a
como se hizo con la solución incremental aguas abajo en el Teorema 5.2, pero ahora la
independencia de los beneficios aguas abajo es remplazada por la independencia de los
beneficios aguas arriba.
En el siguiente teorema, en las clases W N de problemas de río ( N ,e , b ) la
solución aguas abajo s esta caracterizada por los siguientes cuatro axiomas.
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
Eficiencia. Para cualquier problema de río ( N ,e , b ) tenemos que
∑i∈N
f i ( N , e ,b )=vn (e ,b ).
Disminución de las propiedades compartidas. Para cualquier problema de río
( N ,e ,b ) tenemos que f i ( N , e , b )≥ bi (0 ) , para todo i∈ N .
Nivel de propiedad débil en la aspiración. Para cualquier problema de río ( N ,e , b )
tenemos que f i ( N , e , b )≤ maxx i ≤∑
j∈Ne j
bi ( xi ) , para todo i∈N .
Independencia de los beneficios aguas arriba. Para cada pareja de problemas de río
( N ,e ,b ) y ( N ,e , b ' ) tal que b j=( b' ) j para todo j ≥ i, tenemos que f i ( N , e , b )=f i ( N ,e , b ' )
.
Teorema 5.4 Una solución f en la clase W Nde problemas de ríos es igual a la
solución aguas abajo si y sólo si f satisface eficiencia, disminución de las propiedades
compartidas, nivel de propiedad débil en la aspiración e independencia de los
beneficios aguas arriba.
Notar que en los problemas de maximización de beneficio, los agentes en la
coalición aguas abajo { j , …,n } tienen derecho a obtener el agua total de la entrada ∑i∈N
ei.
Cuando alguna cantidad de agua es asignada a otros agentes, de acorde con la solución
aguas abajo la mayoría de los agentes situados aguas abajo están completamente
compensados por sus pérdidas de beneficios mediante la compensación económica de
los otros agentes. Esto es una interpretación extrema del principio TIBS.
Consecuentemente, la solución aguas abajo nos satisface estabilidad aguas arriba y, por
lo tanto, viola la doctrina de Harmon: claramente todos los derechos de agua les son
otorgados a la mayoría de los agentes situados aguas abajo.
5.6.3.4 La solución aguas arriba
Como se ha visto en puntos anteriores, la solución incremental aguas arriba
favorece a los agentes situados aguas arriba en todo lo posible bajo la restricción de
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
estabilidad para las coaliciones aguas abajo. Al igual que la solución aguas abajo
homóloga, ahora vamos a introducir la solución aguas arriba r la cual favorece a los
agentes aguas arriba tanto como sea posible dada la uni-direccionalidad del flujo de
agua. Esto toma parte en el principio de Harmon en su forma más extrema mediante el
requerimiento de los agentes desde aguas arriba hasta aguas abajo en recibir el mayor
beneficio adicional alcanzable de sus entradas de agua dado que las entradas de sus
agentes aguas arriba han sido también distribuidas.
Para definir la solución aguas arriba, primero vamos a reconsiderar la
distribución de beneficio acorde con la solución incremental aguas arriba. Esta solución,
proporciona una cuota un ( N , e , b )=wn (e ,b ) al último agente n, donde wn ( e , b ) es el
máximo beneficio que el agente n puede lograr por el consumo de únicamente sus
propias entradas de agua. Después, el agente n−1 recibe
un−1 ( N ,e ,b )=wn−1 (e , b )−wn (e ,b ), donde wn−1 (e ,b ) es el beneficio total que los agentes
n−1 y n pueden conjuntamente conseguir mediante la distribución de sus aguas
óptimamente. De esta forma el agente n−1 recibe su contribución marginal al beneficio
total desde su entrada de agua en−1 hasta la entrada de agua en, teniendo en cuenta todas
las entradas situadas aguas arriba igual a cero. En general el agente i recibe su
contribución marginal al beneficio total de su entrada de agua e i a las entradas situadas
aguas abajo e j , j>i, teniendo en cuenta todas las entradas situadas aguas arriba e j , j>i,
igual a cero.
Al igual que hicimos con la solución incremental aguas arriba, la solución aguas
arriba puede ser definida de otra manera, empezando con el agente 1. Cuando todas las
entradas son cero, cada agente tiene una cuota b i (0 ) , i=1 , …, n. Ahora, sea la mayor
entrada aguas arriba e1 de tal forma que esté distribuida óptimamente entre todos los
agentes. Así, el agente uno recibe además de b1 (0 ) una cuota igual a la contribución
marginal del beneficio total cuando distribuyendo sus entradas e1 óptimamente entre
todos los agentes y asumiendo todas las demás entradas igual a cero, es decir, la
solución aguas arriba r proporciona al agente uno un pago r1 ( N , e , b )= v1 ( e , b ), donde
v1 (e ,b )=b1 (0 )+∑j=1
n
(b j ( y j1 )−b j (0 ))=b1 ( y1
1 )+∑j=2
n
(b j ( y j1)−b j (0 ) ) .
Con y1=( y11 , …, yn
1 ) una solución del problema de maximización de beneficio
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
max∑j=1
n
b j ( x j ) s .t .∑j=1
n
x j≤ e1 , x j ≥0 , j=1 , …,n .
A continuación, las entradas e1 y e2 están distribuidas óptimamente sobre todos
los agentes asumiendo todas las demás entradas igual a cero, y el agente dos recibe su
pago inicial b2 (0 ) más el beneficio total adicional que la distribución de su entrada e2
genera al beneficio obtenido de e1. Consecuentemente, para el agente i todas las
entradas e j , j ≤i están distribuidas óptimamente sobre todos los agentes asumiendo
todas las entradas a los agentes situados aguas abajo j>i,igual a cero, y el agente i
recibe su cuota inicial b i (0 ) , más el beneficio total adicional que la distribución de su
entrada e i genera al beneficio obtenido desde e i hasta e i−1. En general, la solución aguas
arriba r asigna a la situación del río ( N ,e , b )∈W N , la distribución de beneficio
r ( N , e ,b ) dada por
r i ( N ,e ,b )= v i (e , b )−v i−1 ( e ,b ) , i=1 ,… ,n .
Donde v0 (e ,b )=0 y vi (e ,b )=∑j=1
i
b j ( y ji )+ ∑
j=n+1
n
(b j ( y ji )−b j (0 ) ), i=1 , …, n , con
y i=( y1i ,…, yn
i ) una solución del problema de maximización de beneficio
max∑j=1
n
b j ( x j ) s .t .{ ∑j=1
n
x j≤∑j=1
i
e j ,
∑j=1
k
x j ≤∑j=1
k
e j , k=1 , …,i−1
x j≥ 0 , j=1, …, n .
Notar que este problema de maximización optimiza la distribución de entrada de
agua de los agentes en {1 ,…,i } sobre todos los agentes, teniendo en cuenta que para
cada agente k<i el consumo total de los primeros k agentes es al menos igual a la suma
de sus propias entradas. Los pagos de la distribución de beneficio r ( N , e , b ) puede ser
también escrita como
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
ri ( N , e , b )= v i (e ,b )−v i−1 ( e , b )
¿∑j=1
i
b j ( y ji )+ ∑
j=i+1
n
(b j ( y ji )−b j (0 ) )−(∑j=1
i−1
b j ( y ji−1)+∑
j=1
n
(b j ( y ji−1 )−b j ( 0 ) ))
¿bi (0 )+∑j=i
n
(b j ( y ji )−b j ( y j
i−1 )) ,i=1 ,…, n .
Para j=n, el problema de maximización anterior vuelve a ser igual al problema
inicial, siendo vn (e , b )=vn ( e ,b ) , el beneficio total máximo que puede ser obtenido
cuando se asigna todas las entradas de agua entre los agentes. Debido a que
∑i=1
n
ri ( N , e ,b )=vn (e ,b )=vn (e , b ), también la solución aguas arriba distribuye el bienestar
total máximo alcanzable que los agentes pueden conseguir juntos y, por lo tanto también
se considera una solución eficiente. Resulta que la solución aguas arriba puede ser
caracterizada de forma similar a como se realizó en la solución incremental aguas arriba
mediante los axiomas de eficiencia y de la disminución de propiedades compartidas,
pero ahora se van a cambiar un par de propiedades. La propiedad de sequía va a ser
sustituida por la propiedad de no contribución y el axioma de independencia de las
entradas aguas arriba se va a remplazar por la independencia de las entradas aguas
abajo.
El siguiente teorema establece que en la clase W N de problemas de río ( N ,e , b )
la solución aguas abajo s esta caracterizada por los siguientes cuatro axiomas.
Eficiencia. Para cualquier problema de río ( N ,e , b ) tenemos que
∑i∈N
f i ( N , e ,b )=vn (e ,b ).
Disminución de las propiedades compartidas. Para cualquier problema de río
( N ,e ,b ) tenemos que f i ( N , e , b )≥ bi (0 ) , para todo i∈ N .
La propiedad de no contribución. Para cualquier problema de río ( N ,e , b ) donde
i∈N con e i=0, tenemos que f i ( N ,e , b )≤ bi (0 ).
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
Independencia de los beneficios aguas abajo. Para cada pareja de problemas de río
( N ,e ,b ) y ( N ,e , b ' ) tal que b j=( b' ) j para todo j ≤ i, tenemos que f i ( N , e , b )=f i ( N ,e , b ' )
.
Teorema 5.5 Una solución f en la clase W Nde problemas de ríos es igual a la solución
aguas arriba r si y sólo si f satisface eficiencia, disminución de las propiedades
compartidas, la propiedad de no contribución y la independencia de las entradas aguas
abajo.
Acorde a la solución aguas arriba, cada coalición aguas arriba {1 , …, j } recibe el
beneficio total que puede ser alcanzado mediante la asignación óptima de las entradas
de agua a cada coalición sobre todos los agentes. Claramente, el bienestar de una
solución del correspondiente problema de maximización anterior, es al menos tan alto
como el bienestar de una solución del problema de maximización inicial de beneficio en
donde las entradas de una coalición {1 , …, j } están distribuidas óptimamente entre ellas.
Así pues, la solución aguas arriba ciertamente satisface estabilidad para las coaliciones
aguas arriba y, además, también satisface el principio de Harmon para las coaliciones
aguas arriba. Sin embargo, la solución aguas arriba no suele satisfacer estabilidad por lo
general. Por ejemplo, el agente n recibe un beneficio marginal de vn (e , b )− vn−1 (e ,b ),
siendo la diferencia entre el beneficio total de los consumos de agua yn e yn−1. No se
puede decir nada sobre esta diferencia y el beneficio bn ( en ) que el agente n puede
obtener mediante el consumo de su propia agua. Además, es posible que ocurra que
rn ( N ,e , b )<bn ( en ), violando la racionalidad individual y, por tanto, estabilidad. Sin
embargo, podríamos decir que para cada coalición {i ,i+1 , …, j } de agentes consecutivos
la solución aguas arriba refleja una débil similitud al principio de Harmon en el sentido
de que cada coalición recibe lo máximo posible bajo la limitación del pago total a sus
coaliciones aguas arriba, siendo igual al bienestar total máximo alcanzable de todos los
países que pueden estar involucrados en la asignación de sus entradas e1 ,…, e i−1.
5.6.4 Comparaciones y conclusiones de las cuatro soluciones
Hemos considerado el problema del reparto de agua entre agentes situados a lo
largo de un río. Hemos adaptado el modelo de Ambec y Sprumont (2002) mediante una
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
débil suposición de la función de beneficio de los agentes. Usando nueve axiomas
diferentes hemos sido capaces de caracterizar cuatro soluciones para este modelo. La
solución incremental aguas abajo, originalmente sugerida por Ambec y Sprumont
(2002), puede ser caracterizada por eficiencia, disminución de las propiedades
compartidas, nivel de propiedad débil en la aspiración y la independencia de los
beneficios aguas abajo. La solución incremental aguas arriba, originalmente sugerida
por van der Brink, van der Laan y Vasil’ev (2007), puede ser caracterizada por
eficiencia, disminución de las propiedades compartidas, la propiedad de sequía y la
independencia de las entradas aguas arriba. La nueva solución aguas abajo puede ser
caracterizada por eficiencia, disminución de las propiedades compartidas, nivel de
propiedad débil en la aspiración y la independencia de los beneficios aguas arriba. Por
último, la nueva solución aguas arriba puede ser caracterizada por eficiencia,
disminución de las propiedades compartidas, la propiedad de no contribución y la in-
dependencia de las entradas aguas abajo.
La taxonomía se muestra en la siguiente tabla (donde, para cada solución, los
cuatro “si” en negrita proporcionan la axiomatización de la respectiva solución.
Como se puede apreciar en la tabla, ninguna de las cuatro soluciones satisface
simultáneamente la propiedad de nivel débil de aspiración y la independencia de las
entradas aguas arriba. Análogamente ninguna de las cuatro soluciones satisface a la vez
la propiedad de no contribución y la independencia de beneficios aguas abajo. Además,
la independencia de los beneficios aguas abajo queda únicamente satisfecha por la
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
solución incremental aguas abajo y la independencia de entradas aguas arriba es
satisfecha sólo por la solución incremental aguas arriba.
Ante los axiomas elegidos, parece que la independencia de los beneficios aguas
abajo, proporcionan una baja compensación a los países situados aguas arriba,
comparados con la independencia de las entradas aguas arriba. Las otras dos
propiedades de independencia son satisfechas por dos soluciones. La independencia de
los beneficios aguas arriba queda satisfecha por la solución aguas abajo y la solución
incremental aguas arriba, la independencia de las entradas aguas abajo queda satisfecha
por la solución aguas abajo y la solución incremental aguas abajo.
Finalmente, consideremos un caso donde aplicamos las cuatro soluciones a
un caso particular, donde cada agente tiene un beneficio marginal constante de más de
un punto de saciedad y un beneficio marginal de cero para lo posterior. En este caso,
únicamente la solución incremental aguas abajo y la solución aguas abajo pueden ser
implementadas sin transferencia monetaria entre los agentes. Esto significa que, cuando
los países situados a lo largo de un río internacional que únicamente demandan el agua
del río y que no están dispuestos a transferir dinero a cada uno, de las cuatro soluciones
presentadas en este capítulo sólo pueden usarse dos.
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial
Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial