TẬP HUẤN CHUYÊN ĐỀ“ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY”

I. TÍNH TOÁN VỚI KẾT QUẢ VƯỢT QUÁ KHẢ NĂNG HIỂN THỊ CỦA MÀN HÌNH:Bài 1: Tính chính xác tổng S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16!.Giải: Vì n . n! = (n + 1 – 1).n! = (n + 1)! – n! nên:S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16! = (2! – 1!) + (3! – 2!) + ... + (17! – 16!)S = 17! – 1!.Không thể tính 17! bằng máy tính vì 17! là một số có nhiều hơn 10 chữ số (tràn màn hình) nên ta tính theo cách sau:Biểu diễn S dưới dạng : a.10n + b với a, b phù hợp để khi thực hiện phép tính, máy không bị tràn, cho kết quả chính xác.Ta có : 17! = 13! . 14 . 15 . 16 . 17 = 6227020800 . 57120Lại có: 13! = 6227020800 = 6227 . 106 + 208 . 102 nên S = (6227 . 106 + 208 . 102) . 5712 . 10 – 1 = 35568624 . 107 + 1188096 . 103 – 1 = 355687428096000 – 1 = 355687428095999.Bài tập thực hành: 1) Tính chính xác các phép tính sau:a) A = 15!(1+2+3+4+......+15).b) B = 5555566666 . 6666677777c) C = 20032003 . 20042004d) 10384713

e) 201220032

2) Tính giá trị chính xác dạng phân số tối giản của tổng:

II. TÌM THƯƠNG VÀ SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA SỐ NGUYÊN:a) Khi số bị chia bé hơn hoặc bằng 13 chữ số, số chia bé hơn hoặc

bằng 10 chữ số:Dùng máy Vinacal: Ấn "Shift 6" chọn "1"

Ví dụ : Tìm số dư trong các phép chia 2345678901234 cho 4567: Được kết quả thương là 513614824, số dư là 26.

b) Khi số bị chia nhiều hơn 13 chữ số, số chia bé hơn hoặc bằng 10 chữ số:

Phương pháp: Tìm số dư của A khi chia cho B ( A là số có nhiều hơn 13 chữ số)- Cắt ra thành từng nhóm , nhóm đầu có 13 chữ số (kể từ bên trái). Tìm số

dư phần đầu khi chia cho B.- Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa 13 chữ số) rồi tìm số dư lần

hai. Nếu còn nữa tính liên tiếp như vậy.Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 1234567890987654321 cho123456 .Ta tìm số dư của phép chia 1234567890987 cho 123456: Được kết quả số dư là : 113259Tìm tiếp số dư của phép chia 113259654321 cho 123456.Kết quả số dư cuối cùng là 8817.

Bài tập áp dụng:Khi chia các số 1059; 1417 và 2312 cho cùng một số tự nhiên d ( d > 1) ta đều nhận được 1 số dư là r. Tính d và r?Giải:Ta có 1059, 1417, 2312 chia cho d ta được cùng 1 số dư r nên: 1059= dq1 + r1417= dq2 + r2312= dq3 + rDo đó: 895=2312-1417 chia hết cho d 358=1417-1059 chia hết cho dnên d là ước chung của 358 và 895.Ta có: UCLN(358;895) = 179 ( 179 là số nguyên tố)

358 và 895 chỉ có một ước chung ( trừ số 1) là 179⇒ d = 179 ⇒ r = 164⇒

Vậy d = 179 và r = 164c) Dùng kiến thức về đồng dư để tìm số dư.* Phép đồng dư: + Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu + Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+

Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 2004376 cho 1975Giải:Biết 376 = 62 . 6 + 4Ta có:

Vậy

Kết quả: Số dư của phép chia 2004376 cho 1975 là 246Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia cho Ta có: (mod )

(mod )(mod )

(mod )(mod )

(mod )(mod )

(mod )(mod )

(mod )Suy ra (mod )Vậy số dư của phép chia cho là .Ví dụ 3: Tìm số dư của phép chia cho Vì là số nguyên tố. Theo định lý Fermat (với p là số nguyên tố thì ap-1≡1 mod (p) với mọi số nguyên a ), ta có:

(mod )Suy ra:

(mod )(mod 2003)

Vậy số dư của phép chia cho là .

Ví dụ 4:Tìm số dư của phép chia:22008 chia cho 25Giải:Ta có: 25=52

Áp dụng hệ quả của định lí Ferma nhỏ ( với p là số nguyên tố, (a,p)=1 thì ap(p-1) ≡1 mod (p2) ), ta có:2 5(5-1} ≡1mod (52)220 ≡1mod 25Ta có: 2008 = 20 × 100 +8suy ra 22008≡28 mod 25suy ra 22008≡256 mod 25suy ra 22008≡6 mod 25Vậy số dư trong phép chia 22008 chia cho 25 là 6Bài tập thực hành:1) Tìm số dư của phép chia :a) 1111201020112012 cho 2013b) 138 cho 27c) 2514 cho 65d) 197838 cho 3878.e) 20059 cho 2007f) 715 cho 20012) Tìm số tự nhiên A lớn nhất để các số 367222, 440659, 672268 khi lần lượt chia cho A đều có cùng số dư.

III. TÌM N CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LŨY THỪA: Tìm 1 chữ số tận cùng của : * Nếu a có chữ số tận cùng là 0 , 1 , 5 hoặc 6 thì lần lượt có chữ số tận cùng là 0 , 1 , 5 hoặc 6 . * Nếu a có chữ số tận cùng là 2 , 3 hoặc 7 , ta có nhận xét sau với k thuộc tập hợp số tự nhiên khác 0 : 24k đồng dư 6 ( mod 10 ) 34k đồng dư 1 ( mod 10 ) 74k đồng dư 1 ( mod 10 ) Do đó để tìm 1 chữ số tận cùng của an với a có số tận cùng là 2 , 3 , 7 ta lấy n chia cho 4 . Giả sử n = 4k + r với r {0 , 1 , 2 , 3} Nếu a đồng dư 2 ( mod 10 ) thì an dồng dư 2n = 24k+r đồng dư 6.2r ( mod 10 ) Nếu a đồng dư 3 hoặc 7 ( mod 10 ) thì an = a4k+r đồng dư ar (mod 10) Tìm 2 chữ số tận cùng của an :Ta có nhận xét sau : 220 đồng dư 76 ( mod 100 ) 320 đồng dư 1 ( mod 100 )

65 đồng dư 76 ( mod 100 ) 74 đồng dư 01 ( mod 100 ) Mà 76n đồng dư 76 ( mod 100 ) với n 1 và 5n đồng dư 25 ( mod 100 ) với n 2 Suy ra kết quả sau với k là các số tự nhiên khác 0 : a20k đồng dư 00 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 ) a20k đồng dư 01 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 1 ; 3 ; 7 ; 9 (mod 10 ) a20k đồng dư 25 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 ) a20k đồng dư 76 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 2 ; 4 ; 6 ; 8 (mod 10 ) Vậy để tìm 2 chữ số tận cùng của an ta lấy số mũ 2 chia cho 20 Ta có : a100k đồng dư 000 ( mod 103 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 ) a100k đồng dư 001 ( mod 103 ) nếu a đồng dư 1 ; 3 ; 7 ; 9 ( mod 10 ) a100k đồng dư 625 ( mod 103 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 ) a100k đồng dư 376 ( mod 103 ) nếu a đồng dư 2 ; 4 ; 6 ; 8 ( mod 10 ) Để tìm 3 chữ số tận cùng của 1 luỹ thừa , ta tìm 2 chữ số tận cùng của số mũ . IV. TÌM CHỮ SỐ HÀNG ĐƠN VỊ, HÀNG CHỤC, HÀNG TRĂM... CỦA MỘT LUỸ THỪA:Ví dụ 1: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số 232005.Giải:+ Tìm chữ số hàng chục của số 232005

Do đó:

Vậy chữ số hàng chục của số 232005 là 4 (hai chữ số tận cùng của số 232005 là 43)+ Tìm chữ số hàng trăm của số 232005

Vậy chữ số hàng trăm của số 232005 là số 3 (ba chữ số tận cùng của số 232005 là số 343)Ví dụ 2:Tìm các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm của số tự nhiên:

Giải:

Ta có:

Do đó chu kỳ lặp lại là 10, nên có ba chứ số cuối là: 752.

Bài tập thực hành: 1) Tìm các chữ số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm và hàng nghìn của số tự nhiên: 2) Tìm ba chữ số tận cùng của số 112012

V. TÌM BCNN, UCLN:* Dùng máy Vinacal 570 ES Plus : Khi cả hai số A và B có ít hơn hoặc

bằng 13 chữ số, Tìm BCNN ấn "Shift 6" chọn "2", tìm ƯCLN ấn "Shift 6" chọn "3"

Ví dụ : Tìm UCLN và BCNN của 2419580247 và 3802197531 Ấn "Shift 6" chọn "3". Ghi vào màn hình GCD(2419580247,3802197531) và ấn =, màn hình hiện 345654321. Ấn "Shift 6" chọn "2". Ghi vào màn hình LCM(2419580247,3802197531) và ấn =, màn hình hiện 2.661538272 . 1010. Ấn tiếp -2.1010màn hình hiện 6615382717. Kết quả: 26615382717.

* Máy tính Vinacal 570 ES cài sẵn chương trình rút gọn phân số thành

phân số tối giản

Ta áp dụng chương trình này để tìm UCLN, BCNN như sau: + UCLN (A; B) = A : a + BCNN (A; B) = A . bVí dụ : Tìm UCLN và BCNN của 2419580247 và 3802197531

HD: Ghi vào màn hình : và ấn =, màn hình hiện

UCLN: 2419580247 : 7 = 345654321BCNN: 2419580247 . 11 = 2.661538272 . 1010 (tràn màn hình)Cách tính đúng: Đưa con trỏ lên dòng biểu thức xoá số 2 để chỉ còn 419580247 . 11Kết quả : BCNN: 4615382717 + 2.109 . 11 = 26615382717Bài tập thực hành:Cho 3 số 1939938; 68102034; 510510.a) Hãy tìm UCLN của 1939938; 68102034.b) Hãy tìm BCNN của 68102034; 510510.c) Gọi B là BCNN của 1939938 và 68102034. Tính giá trị đúng của B2.

VI. SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN .Chuyển số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số Dùng công thức tổng quát sau đây:* Dạng 1/ Ví dụ: Ta có: (123 gồm 3 số)

*Dạng 2/Ví dụ: Ta có: gồm 4 số), (36 gồm 2 số)

* Có thể sử dụng máy fx500VN PLUS để chuyển nhanh ra kết quả.Bài 1: Phân số nào đã sinh ra số thập phân tuần hoàn 3,15(321)Giải: Đặt 3,15(321) = a.Hay 100.000 a = 315321,(321) (1) 100 a = 315,(321) (2)Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta có 999000a = 315006 Vậy

Bài 2:

Tìm các ước nguyên tố của A.Giải:Đặt 0,0019981998... = a.Ta có:

Trong khi đó : 100a = 0,19981998... = 0,(0001) . 1998 =

Vậy A =

Các ước nguyên tố của A là: 11, 101.Bài tập thực hành:Viết F = 0,4818181.... dưới dạng phân số tối giản thì mẫu lớn hơn tử là bao nhiêu?

VII. PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ:Giả sử muốn kiểm tra a là số nguyên tố hay không ? Sử dụng máy 570MS Cách 1: |a| |shift| |sto| |A| (gán a vào biến A trong máy) |1| |shift| |sto| |B|

B=B+2:A/B CALC = = = .... nếu A/B là số nguyên thì B là 1 ước của A. Kiểm tra cho đến khi A/B hạ xuống dưới căn A thì ngưng. (Chú ý: với cách này xem A có chia hết cho 2 không?) Cách 2: |a| |shift| |sto| |A| Xem A có chia hết cho 2, cho 3 hay không? Lấy A chia cho 3: A/3 = Ấn tiếp: A/(A/Ans+2) Sau đó ấn = = = ... để kiểm tra, khi số trên màn hình hạ xuống dưới căn A thì ngưng.

VIII. TÌM CHỮ SỐ THẬP PHÂN THỨ N SAU DẤU PHẨY.Ví dụ 1:Tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia 250000 cho 19Giải:

Ta có . Vậy chỉ cần tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu

phẩy trong phép chia 17 : 19Bước 1: Ấn 17 : 19 = 0,8947368421. (các chữ số hiện trên máy)Ta được 9 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy là 894736842+ Lấy 17 – 0, 894736842 * 19 = 2 . 10-9

Bước 2:Lấy 2 : 19 = 0,1052631579. Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157+ Lấy 2 – 0,105263157 * 19 = 1,7 . 10-8 = 17 . 10-9

Bước 3:Lấy 17 : 19 = 0,8947368421.Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 894736842+ Lấy 17 – 0,0894736842 * 19 = 2 . 10-9

Bước 4: Lấy 2 : 19 = 0,1052631579. Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157...Vậy 17 : 19 = 0, 894736842105263157894736842105263157 ... = 0,(894736842105263157) . Chu kỳ gồm 18 chữ số.Ta có

Kết quả số dư là 1, suy ra số cần tìm là sồ đứng ở vị trí đầu tiên trong chu kỳ gồm 18 chữ số thập phân.Kết quả : số 8Ví dụ 2:Tìm chữ số thập phân thứ sau dấu phẩy, trong dạng số thập phân của

phân số .

Ta có: : số thập phân vô hạn tuần hoàn

chu kỳ 28.

.

Ta lại có: , do đó .

Vậy chữ số thập phân thứ của dạng thập phân của phân số là chữ số 5

Bài tập thực hành:Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy khi chia:a) 1 chia cho 49b) 10 chia cho 23

IX. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨCMột số kiến thức cần nhớ:

1. Định lý BezoutSố dư trong phép chia f(x) cho nhị thức x – a chính là f(a).Hệ quả: Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x – a.2. Sơ đồ Hor nơTa có thể dùng sơ đồ Hor nơ để tìm kết quả của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a.

Thuật toánHorner:Thuật toán: Giả sử chia đa thức Pn(x) cho nhị thức x – m ta được đa thức

Qn–1(x) và số dư r. Pn(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0.Qn–1(x) = bn–1xn + bn–2xn–1 + ... + b1x + b0.Pn(x) = (x– m) Qn–1(x) + r.Các hệ số của hai đa thức Pn(x) và Qn–1(x) có mối liên hệ như sau:an an–1 an–2 ... a1 a0

m bn–1 = an bn–2 = mbn–1 + bn–3 = mbn–2 ... b0 = mb1 + a1 r = mb0 + a0

an–1 + an–2

Ví dụ: Chia đa thức cho đa thức C(x) = x – 4 ta lập bảng sau:

a4 = 5 a3 = – 9 a2 = – 8 a1 = – 21 a0 = 17m = 4 b3 = a4

= 5b2 = mb3 + a3

= 4.5 – 9 = 11b1 = mb2 + a2

= 4.11 –8 = 36

b0 = mb1 + a1

= 4.36 –21 = 123

r = mb0 + a0

= 4.123 +17=509

Vậy: Đa thức thương D(x) = 5x3 + 11x2 + 36x + 123. Số dư r = 509.

DẠNG 1: SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA ĐA THỨC1. Tìm số dư của phép chia đa thức:

Ví dụ: Tìm đa thức dư của phép chia đa thức x101 -3x52 +2 cho x2 - 1 GiảiPhép chia P(x) cho tam thức ax2+bx+c có phần dư là mx+n với P(x0)=mx0+n trong đó x0 là nghiệm của tam thức.Tam thức x2- 1 có 2 nghiệm là x=±1Ta có:P(1)= 0 =m+nP(-1)= -2 = -m+nVậy m=1,n=-1Phần dư của phép chia trên là x-1.

2. Tìm điều kiện để đa thức P(x) chia hết cho đa thức ax + b.Ví dụ: Cho đa thức: . Với giá trị nào của m

thì C(x) chia hết cho 2x + 7. Giải: Đặt .

m = - =

3 . Tìm điều kiện để m là nghiệm của đa thức F(x).Ví dụ: Cho đa thức: . Với giá trị nào của

m thì C(x) có nghiệm là 3. Giải: Đặt .

m = - = 228 Bài tập thực hành:Bài 1: Tìm số dư trong các phép chia sau:a) x3 – 3,256 x + 7,321 cho x – 1,1617.

b)

Bài 2: Tính a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + 6.Bài 3:Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625

a) Tính P(2 )b) Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3.

Bài 4:Tìm số dư trong phép chia đa thức x5 – 7,834x3 + 7,581x2 – 4,568x + 3,194 cho x – 2,652. Tìm hệ số của x2 trong đa thức thương của phép chia trên.

DẠNG 2: XÁC ĐỊNH ĐA THỨC. Bài 1 : Cho đa thức và cho biết P(1)= 4; P(–2) = 7; P(3)

= 12. Tính P(30) ?Giải:Cách 1:

với P(1) = 4; P(–2) = 7; P(3) = 12 cho nên (a; b; c) là nghiệm của hệ phương trình:

Nghiệm của hệ là: (a = – 1; b = – 5; c = 9)

Cách 2:Do P(x) là đa thức bậc ba nên: .Bậc của đa thức Q(x) không lớn hơn 2 nên P(x) có dạng:

.Ta có hệ phương trình: Giải ra được: (m = 1; n = 0; p = 3)Suy ra: .Cách 3:Dự đoán: P(1) = 4 = 12 + 3 P(–2) = 7 = (–2)2 + 3 P(3) = 12 = 32 + 3. Xét đa thức: P'(x) = P(x) – x2 – 3Ta có: P'(1) = P'(–2) = P'(3) = 0.Suy ra 1; –2; 3 là nghiệm của đa thức P'(x).Vì hệ số của x3 là 1 nên:

Vậy:

P(30) = 29.32.27 + 302 + 3 = 25959Bài 2: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f . Biết P(1) = 1 , P(2) = 4 , P(3) = 9 , P(4) = 16 , P(5) = 15 . Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9)Giải: Ta có P(1)=1=12; P(2) = 4 = 22 ; P(3) = 9 = 32 ; P(4) = 16 = 42 ; P(5) = 25 = 52

Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2.Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0.Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x).Vì hệ số của x5 bằng 1 nên Q(x) có dạng:Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5).Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 62

Hay P(6) = 5! + 62 = 156.Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 72

Hay P(7) = 6! + 72 = 769Bài tập thực hành:Bài 1:Cho Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q . Biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 , Q(3) = 9 , Q(4) = 11 .Tính các giá trị của Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q(13) Hướng dẫn Q(1) = 5 = 2.1 + 3; Q(2) = 7 = 2.2 + 3; Q(3) = 9 = 2.3 + 3 ; Q(4) = 11 =2.4 +3Xét đa thức Q1(x) = Q(x) – (2x + 3)Bài 2 : Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e . Biết P(1) = 3 , P(2) = 9 , P(3) = 19 , P(4) = 33 , P(5) = 51 . Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) , P(11) . Bài 3: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Có P(1) = 0,5 ; P(2) = 2 ; P(3) = 4,5 ; P(4) = 8. Tính P(2002), P(2003)Bài 4:Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 5; P(2) = 14; P(3) = 29; P(4) = 50. Hãy tính P(5) , P(6) , P(7) , P(8)Bài 5:Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 0; P(2) = 4 ; P(3) = 18 ; P(4) = 48. Tính P(2007)Bài 6 : Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m .

a) Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003 .b) Tìm giá trị của m để P(x) chia hết cho x – 2,5 c) P(x) có nghiệm x = 2 . Tìm m .

Bài 7: Cho P(x) = .

a) Tìm biểu thức thương Q(x) khi chia P(x) cho x – 5.b) Tìm số dư của phép chia P(x) cho x – 5 chính xác đến 3 chữ số thập phân.Bài 8:Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m .a) Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3b) Với m tìm được ở câu a ) , hãy tìm số dư r khi chia P(x) cho 3x – 2 và

phân tích P(x) thành tích của các thừa số bậc nhất.c) Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x – 2.d) Với n tìm được ở trên , hãy phân tích Q(x) ra tích của các thừa số bậc

nhất.Bài 9: Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n .a) Tìm các giá trị của m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – 2 .b) Với giá trị của m và n tìm được , chứng tỏ rằng R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có

một nghiệm duy nhất.Bài 10 :

Cho f(x) = x3 + ax2 + bx + c . Biết : f = ; f = ; f = .

Tính giá trị đúng và gần đúng của f .

Bài 11: Xác định các hệ số a, b, c của đa thức:P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để sao cho P(x) chia cho (x – 13) có số dư là 1, chia cho (x – 3) có số dư là là 2, và chia cho (x – 14) có số dư là 3(Kết quả lấy với hai chữ số ở hàng thập phân)Bài 12:Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức Q(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx – 2007 tại các giá trị của x = 1,15; 1,25; 1,35; 1,45Bài 13: Cho đa thức f(x)=x5+x2+1 có năm nghiệm x1, x2, x3, x4, x5.Kí hiệu P(x)=x2-81Hãy tìm tích P=p(x1)p(x2)p(x3)p(x4)p(x5)Giải Ta có P = -(9-x1)(9-x2)(9-x3)(9-x4)(9-x5)(9+x1)(9+x2)(9+x3)(9+x4)(9+x5) = f(9)f(-9) = -3486777677

DẠNG 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ1 - Phương pháp nhẩm nghiệm:

Số dư trong phép chia đa thức P(x) cho ax + b là .

Cho nên khi thì P(x) = (ax + b).Q(x)

Chú ý: Nghiệm nguyên (nếu có) của đa thức có các hệ số nguyên là ước của hạng tử tự do.

2 - Phương pháp đặt biến phụ:Ví dụ: Phân tích thành nhân tử:A = (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) – 15 = (x2 + 5x + 6) (x2 + 5x + 4) – 15Đặt y = x2 + 5x + 4 ta có:A = (y + 2)y – 15 = y2 + 2y – 15 A = y2 + 2y – 15 = (y + 5)(y– 3) (1) Thay y = x2 + 5x + 4 vào (1) ta có:A = (x2 + 5x + 9) (x2 + 5x + 1)Cách đặt biến phụ cho một số đa thức thường gặp: * (a + b = c + d)

Đặt biến phụ : * (ab = cd)

Đặt biến phụ : *

Đặt biến phụ :

*

Đặt biến phụ : *

Đặt biến phụ: *

Đặt biến phụ : X. TĂNG DÂN SỐ - TIỀN LÃI - LẠM PHÁT.

Có 2 loại thường gặp1) Lãi suất từ 1 giá trị không đổi qua thời gianCông thức áp dụng trực tiếp với các bài toán về tiền gửi ngân hàng Số tiền sau n tháng: 2) Lãi suất từ giá trị thêm vào vào theo quãng thời gian đều Công thức áp dụng trực tiếp với các bài toán về tiền gửi ngân hàng: Cuối tháng thứ n-1:

Đầu thàng thứ n: Với a là số tiền gửi vào hàng tháng ; x là lãi suất

Ví dụ 1:Anh An vay ngân hàng 5 tỷ đồng trả dần mỗi năm 800 triệu đồng, kỳ trả đầu tiên sau khi nhận vốn, lãi suất trả chậm 9% năm. Xác định số kỳ trả nợ và số tiền phải trả ở kỳ cuối cùngGiảiTa thấy đây là một bài toán trả lãi đầu kỳÁp dụng công thức tính hiện giá, ta có:800 × 1-(1+i)-ni(1+i) =5000Với i :lãi suất trả chậmn:số kỳ trả nợNhập pt trên với n thay bằng x vào máy rồi bấm SHIFT SOLVE Cho giá trị đầu là 5Máy cho nghiệmx=8,4219Vậy số kỳ trả nợ là 9 kỳGọi x là số tiền phải trả ở kỳ thứ 9 là xTa có pt:50=81-(1+i)-8i(1+i)+x(1+i)8 Bấm SHIFT SOLVE. Cho giá trị đầu là 5Máy giải ra x=3,45984057,8Vậy số tiền trả ở kỳ thứ 9 là 345984000Ví dụ 2: Ông Hai có một số tiền 200 triệu đồngchia ra ở 2 ngân hàng X và Y.Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X lãi suất 2% quý trong thời gian 15 tháng, số tiền thứ hai gửi ở ngân hàng Y lãi suất 2,15% quý trong thời gian 12 tháng. Nếu lãi gộp vốn mỗi quý một lần và tổng lợi tức đạt được ở 2 ngân hàng là 18.984.100 đồng, hãy xác định số tiền ông Hai gởi ở mỗi ngân hàngGiảiGọi x là số tiền ông Hai gửi ở ngân hàng Xthì 200 - x là số tiền ông Hai gửi ở ngân hàng YTa có pt:x(1+2%)5 +(200-x)(1+2,15%)4=218,9841Dùng SHIFT + SOLVE để giải với x=100Máy cho kết quả là 80,0012Tức là ông A đã gửi ở ngân hàng X 80.000.000 đồng và gửi ở Y 120.000.000 đồng

Ví dụ 3: Anh An vay 30 triệu đồng từ ngân hàng để mua xe và phải trả lãi suất 1,8% mỗi tháng. Hỏi:

a) Sau hai năm anh phải trả cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?

b) Nếu anh muốn trả hàng tháng một số tiền như nhau và trả xong trong hai năm thì mỗi tháng anh phải trả bao nhiêu tiền?

c) Nếu năm đầu anh đã trả mỗi tháng 1 triệu đồng thì năm sau anh phải trả mỗi tháng bao nhiêu tiền để cũng trả xong trong hai năm?

( Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị )Giải:

a) Số tiền anh An phải trả sau hai năm là: 30.000.000(1+1,8%)24

46.032.857 (đồng)b) Gọi X là số tiền phải trả hàng tháng. Ta có: X

=

Suy ra: 1.550.425 đồng

c) Sau năm thứ nhất thì số tiền còn nợ là:A = - Số tiền phải trả hàng tháng trong năm sau là:

2.232.248 (đồng)Ví dụ 4: Lạm phát xảy ra khi đồng tiền bị mất giá. Tỉ lệ phần trăm tăng lên trong chỉ số giá bán lẻ trong một năm được gọi là tỉ lệ lạm phát của năm. Khi nói tỉ lệ lạm phát là a% / năm nghĩa là ta cần 1+a% đồng khi mua một vật trị giá 1 đồng trước đây một năm.

a)Với tỉ lệ lạm phát là 3,5% / năm; hỏi sau 10 năm muốn mua một vật trị giá lúc đầu là 15 triệu thì cần số tiền là bao nhiêu đồng? b) Nếu tỉ lệ lạm phát là 5,5% / năm thì sau bao lâu giá trị đồng tiền chỉ còn một nửa.Giải:a) Sau 10 năm muốn mua một vật trị giá lúc đầu là 15 triệu thì cần số tiền là: 15000000(1 + 3,5%)10 21158981 (đồng)b) Gọi n là số năm để giá trị đồng tiền chỉ còn một nửa. Ta có phương trình: (1 + 5,5%)n = 2.Dùng shift solve để giải với giá trị đầu bằng 10 ta được n 13.Ví dụ 5: Theo kết quả điều tra, dân số trung bình nước Việt Nam năm 1980 là 53,722 triệu người, tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm trong các giai đoạn 1980-1990, 1990-2000 và 2000-2010 theo thứ tự là: 2,0822%; 1,6344% và 1,3109%.

a) Hỏi dân số trung bình nước Việt Nam ở các năm 1990; 2000; 2010 là bao nhiêu ? Kết quả làm tròn đến chữ số thứ tư sau dấu phẩy.

Năm 1980 1990 2000 2010

Dân số TB (Triệu người)

53,722

b) Nếu cứ đà tăng dân số như giai đoạn 2000-2010 thì đến năm 2020 dân số trung bình của nước ta là bao nhiêu ?c) Để kìm hãm đà tăng dân số, người ta đề ra phương án: Kể từ năm 2010, mỗi năm phấn đấu giảm bớt 0,1085% so với tỉ lệ % tăng dân số năm trước (nghĩa là nếu năm nay tỉ lệ tăng dân số là a% thì năm sau là (a − 0,1085)%). Khi đó đến năm 2020 dân số trung bình của nước ta là bao nhiêu ? Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính để giải.Giải:a)

Năm 1990 2000 2010Dân số TB (triệu người) 66,016

577,6354 88,4344

b) Nếu duy trì đà tăng dân số như giai đoạn 2000-2010 thì đến năm 2020 dân số TB của nước ta là: 100,7356 triệu người.

c) Công thức tính như sau: gọi

Quy trình bấm phím: 88.4344 SHIFT STO A; 0.1085 ÷ 100 SHIFT STO B; 0 SHIFT STO D ALPHA D ALPHA = ALPHA D + 1 ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A ( 1.013109 − ALPHA D ALPHA B ) Bấm = liên tục cho đến khi D = 1, bấm tiếp = ta được kết quả:Đến năm 2020 dân số TB của nước ta là: 94,9523 triệu người.XI. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐVí dụ 1: Cho dãy số được xác định bởi:

Tìm ? Thuật toán: Cách 1: Nhập thuật toán: E=E+1:A=2B+C-3D: D=C:C=B:B=A

CALC E? ấn 3== B? ấn 3= C? ấn 2= D? ấn 1= = = = ... Cách 2: Nhập thuật toán: D=D+1:A=2B+C-3A: D=D+1:C=2A+B-3C: D=D+1:B=2C+A-3B CALC D? ấn 3== B? ấn 3= C? ấn 2= A? ấn 1= Ví dụ 2: Cho dãy số xác định bởi:

Tính và tổng của 20 số hạng đầu tiên.Thuật toán:Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính (fx 570MS, fx 570ES):X=X+1:B=5A-2X:C=C+B:X=X+1:A=5B-2X:C=C+ABấm CALC máy hỏi:X? Bấm 1=A? Bấm 1=C? Bấm 1==== ........Trong đó X là số hạng thứ X; A, B là các giá trị của ; C là tổng của X số hạng đầu tiên của dãy.Ví dụ 3: Cho dãy số xác định bởi:

Tính tích của 10 số hạng đầu của dãy.Thuật toán:Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES):X=X+1:C=B+2A: D=DC:X=X+1:A=C+2B: D=DA:X=X+1:B=A+2C: D=DBBấm CALC máy hỏi:X? Bấm 2=B? Bấm 1=A? Bấm 1=

D? Bấm 1==== ........Trong đó X là số hạng thứ X; A, B, C là các giá trị của ; D là tích của X số hạng đầu tiên của dãy.Ví dụ 4: Cho dãy số được xác định như sau:

a) Viết qui trình ấn phím liên tục tính theo , , và tính tổng n+3 số hạng đầu tiên của dãy.b) Tính u16 và tổng 16 số hạng đầu tiên của dãy.Giải:a) 1 A 1 B 3 C 3 D 5 X

D=D+1: A= (2C+B-5A): X=X+A:

D=D+1: B= (2A+C-5B):X=X+B :

D=D+1: C= (2B+A-5C):X=X+C :

Bấm Calc = = =

b)

Ví dụ 5: Dãy số được xác định như sau:

;

a) Tính u1 và u2

b) Viết qui trình ấn phím liên tục tính theo , và tổng n + 2 số hạng đầu tiên của dãy.c) Tính và tổng 20 số hạng đầu tiên của dãy. Giải:a) Ta có: u2 = 3u1 + 2u0 = 3u1 - 1và u3 = 3u2 + 2u1 = 9u1 - 3 + 2u1 = 11u1 - 3

Suy ra: u1 = (8 + 3): 11 = 1 u2 = 3.1 - 1 = 2

b) A

1 B 1 D

X

D = D + 1 : A = 3B + 2A : X = X + A : D = D + 1 : B = 3A + 2B : X = X + BBấm Calc = = = c) 18811665124 Tổng 20 số hạng đầu tiên của dãy là: 7343852147Bài tập thực hành:

Bài 1: Cho dãy số a1 = 3; an + 1 = .

a) Lập quy trình bấm phím tính an + 1 b) Tính an với n = 2, 3, 4, ..., 10

Bài 2: Cho dãy số x1 = ; .

a) Hãy lập quy trình bấm phím tính xn + 1

b) Tính x30 ; x31 ; x32

Bài 3: Cho dãy số (n 1)

a) Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = 1 và tính x100.b) Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = -2 và tính x100.

Bài 4: Cho dãy số (n 1)

a) Cho x1 = 0,25. Viết quy trình ấn phím liên tục để tính các giá trị của xn + 1

b) Tính x100

Bài 5: Cho dãy số với n = 0; 1; 2; 3; ...

a) Tính 5 số hạng đầu tiên U0, U1, U2, U3, U4

b) Chứng minh rằng Un + 2 = 10Un + 1 – 18Un .c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2 theo Un + 1 và Un.HD giải:a) Thay n = 0; 1; 2; 3; 4 vào công thức ta được U0 = 0, U1 = 1, U2 = 10, U3 = 82, U4 = 640

b) Chứng minh: Giả sử Un + 2 = aUn + 1 + bUn + c. Thay n = 0; 1; 2 vào công thức ta được hệ phương trình:

Giải hệ này ta được a = 10, b = -18, c = 0c) Quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2 trên máy Casio 570MS , Casio 570ES Đưa U1 vào A, tính U2 rồi đưa U2 vào B 1 SHIFT STO A x 10 – 18 x 0 SHIFT STO B, lặp lại dãy phím sau để tính liên tiếp Un + 2 với n = 2, 3, ... x 10 – 18 ALPHA A SHFT STO A (được U3)

x 10 – 18 ALPHA B SHFT STO B (được U4)

Bài 6: Cho dãy số với n = 1; 2; 3; ...

a) Tính 5 số hạng đầu tiên U1, U2, U3, U4 , U5

b) Lập công thức truy hồi tính Un + 1 theo Un và Un – 1.c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + 1 trên máy CasioBài 7: Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức

với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . .

a) Tính b) Lập công thức truy hồi tính theo và c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính theo và Bài 8: Cho dãy số được tạo thành theo quy tắc sau: Mỗi số sau bằng tích của hai số trước cộng với 1, bắt đầu từ U0 = U1 = 1.a) Lập một quy trình tính un.b) Tính các giá trị của Un với n = 1; 2; 3; ...; 9c) Có hay không số hạng của dãy chia hết cho 4? Nếu có cho ví dụ. Nếu

không hãy chứng minh.Hướng dẫn giải:a) Dãy số có dạng: U0 = U1 = 1, Un + 2 = Un + 1 . Un + 1, (n =1; 2; ...) Quy trình tính Un trên máy tính Casio 500MS trở lên:1 SHIFT STO A x 1 + 1 SIHFT STO B. Lặp lại dãy phím x ALPHA A + 1 SHIFT STO A x ALPHA B + 1 SHIFT STO B

b) Ta có các giá trị của Un với n = 1; 2; 3; ...; 9 trong bảng sau:

U0 = 1 U1 = 1 U2 = 2 U3 = 3 U4 = 7U5 = 22 U6 = 155 U7 = 3411 U8 = 528706 U9 = 1803416167

Bài 9: Cho dãy số sắp thứ tự với U1 = 2, U2 = 20 và từ U3 trở đi được tính theo công thức Un + 1 = 2Un + Un + 1 (n 2).

a) Tính giá trị của U3 , U4 , U5 , U6 , U7 , U8

b) Viết quy trình bấm phím liên tục tính Un

c) Sử dụng quy trình trên tính giá trị của Un với n = 22; 23, 24, 25Bài 10: Cho dãy số được xác định bởi:

Tính ?Bài 11: Cho dãy số được xác định bởi:

Tính và tính tổng của 16 số hạng đầu tiên của dãy.Bài 12: Cho dãy số được xác định như sau:

Tính ; tính tích của 16 số hạng đầu tiên của dãy.Bài 13: Cho dãy số được xác định như sau:

Tính , tổng 26 số hạng đầu tiên và tích 24 số hạng đầu tiên của dãy số.

XII. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TỔNG, TÍCH.Ví dụ 1: Cho Tính ?Thuật toán:

Cách 1: Dùng chức năng có sẵn

Đọc kết quả Cách 2: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES):X=X+1:A=A+X3

Bấm CALC máy hỏi:X? Bấm 0=A? Bấm 0=

===……Trong đó X là tổng thứ X; A là giá trị của tổng thứ X.Ví dụ 2: Cho (n là số lẻ).Tính ?Thuật toán:Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES):X=X+1:A=AX^2Bấm CALC máy hỏiX? Bấm 0=A? Bấm 1==== ……..Trong đó X là tích thứ X; A là giá trị của tích thứ X.Ví dụ 3: Tìm giá trị gần đúng của x để:

Thuật toán:Cách 1: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570ES):

Bấm CALC máy hỏi:X? Bấm 0=Bấm = = = … nhiều lần đến khi nào kết quả gần là thì dừng.Cách 2: Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính ( fx570MS, fx570ES):X=X+1:B=B+Bấm CALC máy hỏiX? Bấm 0=B? Bấm 0=Bấm = = = … nhiều lần cho đến khi nào kết quả gần là thì dừng.Bài tập thực hành:Bài 1: Cho Tính ?Bài 2: Cho Tính ?

Bài 3: Cho Tính ?Bài 4: Cho Tính ?Bài 5: Tìm giá trị gần đúng của x thỏa:

a)

b)

c) .Bài 6: Tính tổng:

a) A = 1+1+2+1+2+3+1+2+3+4+......+1+2+3+4+...+2011 b) S = 1.3.5 + 2.4.6 + 3.5.7 + ...... + 95.97.99

c) B =

d) C =

XIII. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ LIÊN PHÂN SỐ.Bài 1: a) Tìm x biết:

Lập quy trình ấn liên tục trên fx – 570MS, 570ES.381978 : 382007 = 0.999924085Ấn tiếp phím x-1 . 3 – 8 và ấn 9 lần dấu =. Ta được:

. Tiếp tục ấn Ans x-1 – 1 =

Kết quả : x = -1,11963298 hoặc

b) Tìm các số tự nhiên x, y biết:

Bài 2: Cho . Viết lại

Viết kết quả theo thứ tự Giải:

Ta có

.

Tiếp tục tính như trên, cuối cùng ta được:

Viết kết quả theo ký hiệu liên phân số Bài 3:Tính giá trị của các biểu thức sau và biểu diễn kết quả dưới dạng phân số:

; ;

Đáp số: A) 2108/157 ; B) 1300/931 ; C) 783173/1315

Riêng câu C ta làm như sau: Khi tính đến 2003: . Nếu tiếp tục nhấn x

2003 = thì được số thập phân vì vượt quá 10 chữ số. Vì vậy ta làm như sau:391 x 2003 = (kết quả 783173) vậy C = 783173/1315.Bài 4:

a) Tính b)

c) d)

Bài 5: a) Viết quy trình tính:

b) Giá trị tìm được của A là bao nhiêu ?

Bài 6: Biết . Tìm các số a, b, c, d.

Bài 7: Tìm giá trị của x, y. Viết dưới dạng phân số từ các phương trình sau:

a) ; b)

Hướng dẫn: Đặt A = , B =

Ta có 4 + Ax = Bx. Suy ra .

Kết quả . (Tương tự y = )

Bài 8: Thời gian trái đất quay một vòng quanh trái đất được viết dưới dạng liên phân số là:

. Dựa vào liên phân số này, người ta có thể tìm ra số

năm nhuận. Ví dụ dùng phân số thì cứ 4 năm lại có một năm nhuận.

Còn nếu dùng liên phân số thì cứ 29 năm (không phải là 28

năm) sẽ có 7 năm nhuận.1) Hãy tính giá trị (dưới dạng phân số) của các liên phân số sau:

a) ; b) ; c)

2) Kết luận về số năm nhuận dựa theo các phân số vừa nhận được.

XIV: MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM HỆ SỐ:Ví dụ: Tìm tổng các hệ số của Giải:Đặt thì khai triển được Khi đó tổng các hệ số bằng

XV. CÔNG DỤNG CỦA PHÍM SOLVENếu sử dụng máy fx570MS các bạn đều biết nó có phím SOLVE là đặc tính hơn hẳn so với máy fx500MS, vậy công dụng của nó là gì? Đó chính là lệnh để máy tính tìm 1 nghiệm gần đúng của một phương trình 1 ẩn bât kỳ nào đó dựa vào số đầu mà ta nhập vào. Nhập vào phương trình ta có thể dùng phím dấu = màu đỏ hoặc không cần thì máy sẽ tự hiểu là bằng 0 Ví dụ 1: Giải phương trình

Có thể nhập hoặc nhập đều được rồi ấn SHIFT SOLVE , máy sẽ hỏi giá trị đầu cần nhập là bao nhiêu, sau khi nhập vào giá trị đầu, ta ấn SHIFT SOLVE lần nữa thì máy sẽ tìm nghiệm dựa vào số đầu đó. Chú ý: Máy MS ta có thể sử dụng bất kỳ biến số nào trong máy để làm ẩn số (A,B,C,D,...,X,Y,M) trong khi đó máy ES chỉ có thể dùng biến X, các biến khác xem như là hằng số cho trước.

Ví dụ 2: Giải phuơng trình Đối với phương trình trên khi giải xong máy sẽ cho ra kết quả là

Tuy nhiên đối với phương trình bậc nhất máy MS có thể đổi ra nghiệm phân

số, hãy ấn SHIFT , máy sẽ đổi ra dạng phân số là , rất tiện lợi.

Lưu ý: khi giải ra số đúng này các bạn muốn sử dụng kết quả đó tiếp phải ấn lại hoặc ghi ra nháp sử dụng số đúng đó, không được sử dụng trực tiếp kết quả được lưu lại. Ví dụ đối với phương trình trên sau khi giải xong, kết quả sẽ tự động gán vào X, nếu các bạn ấn tiếp sau đó ấn tiếp SHIFT SOLVE thì máy sẽ không đổi ra được dạng phân số nữa. Vì vậy sau khi giải ra, các bạn phải gán lại số vừa tìm bằng dạng đúng bằng cách: Ấn -113/129 SHIFT STO X. Sau đó nếu ấn tiếp X+1= thì máy sẽ cho ra dạng phân số. Ví dụ 3: Giải phương trình

Nếu để nguyên phương trình như vậy nhập vào máy thì máy sẽ giải khó và lâu, đôi khi không ra nghiệm (Can't Solve), vì vậy trong khi nhập hãy ngầm chuyển mẫu thức sang một vế, nhập như sau:

Rồi mới SOLVE thì máy sẽ giải dễ dàng ra kết quả 47/37 Sử dụng SOLVE để giải phương trình một ẩn bậc cao. Lưu ý đối với phương trình bậc cao chỉ giải được một số phương trình ra dạng căn thức đối với MTCT.

Đối với những phương trình bậc 4 đơn giản, tức là dùng lệnh SOLVE ta tìm ra được nghiệm dạng số nguyên hay hữu tỉ thì thật dễ dàng cho bước tiếp theo, vì chỉ cần tách ra ta sẽ được phương trình bậc 3 rồi dùng chương trình cài sẵn trong máy giải tiếp. Đối với những phương trình máy tính chỉ tìm ra được dạng vô tỉ thì ta sử dụng định lý Viet đảo để tìm cách phân tích của nó. Ví dụ 4: Giải phương trình:

XVI. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN:

Bài 1:Tìm cặp số (x,y) nguyên dương sao cho 4x3+17(2x-y)2 =161312Giải:Giải trên máy Casio fx-570MS ( Casio fx-570ES tương tự)Ta có: 4x3+17(2x-y)2=161312 nên 4x3≤161312 suy ra x ≤ 34Khi đó: y=Qui trình bấm phím như sau:1. Lưu -1 vào A2. Ghi vào màn hình: A=A+1: 2A + : 2A -3. Bấm =...= cho đến khi A = 35 thì dừng lại. Chú ý chỉ nhận A ứng với một trong hai phép toán ở trên là số nguyên dương. ( A = 30)suy ra x =30, suy ra y = 4 hoặc 116Vậy nghiệm của phương trình là (30;4) và (30;116) Bài 2: Tìm các bộ số nguyên dương (x ; y ; z) nghiệm đúng cả hai phương trình sau:

Giải:Ta có: 0 SHIFT STO A ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 ALPHA : ( 754 − ALPHA A x2 ) = = = ... cho đến khi A = 27, tìm được các cặp số (x ; y) = (5 ; 27), (27 ; 5), (15 ; 23) và (23 ; 15).Thử vào biểu thức ta được: khi (x ; y) = (15 ; 23) hoặc (x ; y) = (23 ; 15) .

Vậy: (x ; y ; z) = (15 ; 23 ; 24) hoặc (x ; y ; z) = (23 ; 15 ; 114) Bài tập thực hành:1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x ; y) biết: x2 + 11y2 = 4140

2)Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) biết: 3x2 – 2y + y2 = 5202

XVII. TOÁN THỐNG KÊ:Ví dụ: Điểm môn Toán của hai tổ học sinh lớp 8/1 được ghi trong bảng sau:

Tổ 1Hệ số 1 6 10 5 8 10 4 6 8 10 8

8 4 7 9 3 4 7 9 10 7

Hệ số 2 9 3 9 9 3 5 8 94 4 5 6 7 7 8 10

Tổ 2 Hệ số 1 8 9 3 5 9 9 7 6 3 78 2 4 6 10 10 8 5 4

Hệ số 2 9 6 3 10 6 2 8 10

5 4 9 10 3 7 9 5Hãy tính điểm trung bình cộng môn Toán của mỗi tổ.Dùng chức năng STAT trong MTCT để giải toán thống kê.

XVIII. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN.

Ví dụ 1: Biết sin = 0,368. Tính:

Ví dụ 2: Tính:

biết Ví dụ 3: Cho biết

Tính:

Giải:Ta có: Mà: tan = cot(900 – )Nên:

Mặt khác: tan.cot = 1Suy ra:

XIX. TOÁN HÌNH HỌCVí dụ 1: Cho hình vuông ABCD cạnh . Vẽ hình thang vuông ACEF (vuông tại A và C), AC = CE và EF = b = 8,52 cm. Tính chu vi và diện tích hình ngũ giác ADCEF.

GiảiGọi H là chân đường vuông góc kẻ từ E đến cạnh đáy AF.Ta có ACEH là hình vuông, nên:

+ Chu vi của ADCEF là:

8,52 cm

a = 4,34 cm

H

FE

C

D A

B

+ Diện tích ADCEF là:

Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD(AD//BC) có hai đường chéo cắt nhau ở O. Tính diện tích tam giác ABO biết diện tích tam giác BOC là 380,25cm2 và diện tích tam giác AOD là 635,04cm2.Giải

O

B C

A D

Ta có: và

Suy ra:

Do đó: Mà: Nên:

Suy ra: = 491,47737cm2

Ví dụ 3: Cho hình chóp ngũ giác đều S.ABCDE, cạnh đáy , cạnh bên .a) Tính gần đúng diện tích đa giác đáy ABCDE.b) Tính gần đúng diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp S.ABCDE.

a) Xét tam giác vuông OIA:

.

+ Diện tích đáy ABCDE:

b) Trung đoạn của hình chóp đều S.ABCDE AB

CD

E

S

I

O

là: .

Suy ra, diện tích xung quanh của hình chóp đều S.ABCD là:

Chiều cao hình chóp đều là: .Do đó, thể tích khối chóp ngũ giác đều S.ABCDE là:

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm:

.a) Tứ giác ABCD là hình gì ? Tính chu vi, diện tích và chiều cao của tứ

giác ABCD. b) Tính gần đúng bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn

nội tiếp tam giác ACD.

Cho biết: (S là diện tích; a, b, c là độ dài ba cạnh; p là nửa chu

vi; là bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác).Giải:

a)

Tứ giác ABCD là hình thang, Theo định li Pytago, ta có: .Chu vi của hình thang ABCD là: Diện tích hình thang là:

Chiều cao của hình thang là h: