web.sgh.waw.pllpawel/matemat/komplet.pdf · 1.w układzie współrzędnych narysowad wykresy...
TRANSCRIPT
Szanowni koledzy! Jak pewnie wi�kszo�ci z Pa�stwa wiadomo, postanowili�my układa� zadania na kolejne �wiczenia, które �wiczeniowcy mog� na swoich zaj�ciach wykorzysta� a w ka�dym razie s� zobowi�zani rozprowadzi� w�ród swoich studentów jako standard wymaga� egzaminacyjnych. Mam nadziej�, �e wkrótce uda mi si� uruchomi� w sieci SHG stron� wspomagaj�c� nauczanie matematyki na dziennych i popołudniowych studiach, gdzie b�dziemy umieszcza� te materiały z dost�pem dla wszystkich studentów. Na razie próbuj � rozpowszechni� to meilowo lub dla wybranych osób bezpo�rednio. Przesyłamy pierwsz� porcj� zada� do �wicze� nr3 za chwil� dostarcz� nast�pne i tak do ko�ca semestru.
Ci�gi liczbowe – własno�ci i granica
Własno�ci ci�gów
1. Niech 32 −−= nan dla n = 1,2,... . Sprawdzić, czy (an) jest ciągiem monotonicznym,
ograniczonym, arytmetycznym. 2. Dla następujących ciągów napisać ogólny wyraz:
a) ,...27
2,
9
2,
3
2,2 ; b) ,...6,
7
5,4,
5
3,2,
3
1; c) ,...
16
11,
12
8,
8
5,
4
2 −− .
3. Sprawdzić czy następujący ciąg jest ciągiem geometrycznym
a) n
na
=5
3, b)
nn
na
2
!= , c) ( )
2
1
na
n
n
−= .
Dla ciągu geometrycznego obliczyć sumę 10S .
4. Czy następujący ciąg jest ciągiem arytmetycznym
a) 72 += nan , b) !
2
na
n
n = , c) nan 37 −= .
Dla ciągu arytmetycznego obliczyć sumę 10S .
5. Niech 123 −⋅= nna dla n = 1,2,... . Sprawdzić, czy:
a) 102 =a ,
b) 1261 −⋅=+n
na dla n = 1,2,...
c) ciąg ( na ) jest rosnący.
6. Niech n
na nn
162 +−= dla n = 1,2,... . Sprawdzić, czy
a) 322 −>a ,
b) ciąg na jest malejący,
c) ciąg na jest ograniczony z góry.
7. Niech nn
n
na42
)1( 1
+−=
+ dla n = 1,2,... Sprawdzić, czy spełnione ciąg ( na ) jest monotoniczny i
czy jego wyrazy spełniają warunek 61
201 ≤≤− na .
8. Ciąg an ma wyraz ogólny dany wzorem n n 3+ dla n = 1,2,3,... Zbadać, czy jest to ciąg arytmetyczny.
*9. Niech nn
nn
na25
25 22
+−= dla n = 1,2,... Wykazać, Ŝe nn
na 25 −= oraz sprawdzić, czy ( na )
jest ciągiem geometrycznym i czy jest monotoniczny. *10. Ciąg (an ) jest ciągiem arytmetycznym takim, Ŝe 21 =a oraz 312 −=− aa . Wykazać, Ŝe jest on ciągiem malejącym, a ponadto: a) 53 +−= nan ,
b) 62 −=+ nn aa dla n = 1,2,...
*11. Ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym takim, Ŝe 21 =a oraz 2
1−=q . Wyznaczyć wzór
ogólny tego ciągu oraz wykazać, Ŝe nn aa 41
2 =+ dla n = 1,2,... .
Granica ci�gu
Obliczyć granicę ciągu (an), jeśli:
1. nn
nnan 52
232
2
+++=
2.384
7322
23
+++−−=
nn
nnan
3.869
37653
24
+++++−=
nn
nnnan
4. 44
44
)2()2(
)2()2(
−++−−+=
nn
nnan
5. )8(274
2)3)(1(423
2
−++
+−=nnn
nnnan
6. )3(5)1(
)5(32
32
+++
+=nnn
nnnan
7. nnnan 234 2 −+=
8. 2
32
)1(1
−+=nn
an
n
9. n
nn
na5
47 2−=
10. n
na
nn 3
12 −=
Zadania przygotował Prof. S. Dorosiewicz z zespołem.
11. 3 21 nna +=
12. 52
23
2 ++−
= n
nn
na
13. 152
32
2
3
1 ++−+
=nn
n
na
14. 1
1
5 += nna
15. n
n n
na
+= 2
16. 5
1
11
+
+−=
n
n na
17.
1
3
−
+=
n
n n
na
18. 2
2
31
−−
++=
n
n na
19. 12
3
7+
++=
n
n n
na
*20. 3
2
11
+
−=n
nn
a
*21. n
n nn
nna
+−=
)1(2
3
To kolejny zestaw zadao do dwiczeo nr. 4. Mam nadzieję, że tym razem dotrze
do wszystkich na czas. Pozdrawiam- W. Marcinkowska
Zadania 2 do matematyki 75h.
Funkcje, wykresy, podstawowe własności, granica i ciągłośd.
1.W układzie współrzędnych narysowad wykresy funkcji
a następnie wyznaczyd
a) punkty, w których każda z funkcji ma ekstrema.
b) obrazy , jeśli
c) przeciwobrazy , jeśli .
2. W układzie współrzędnych narysowad wykresy funkcji
a następnie
a) wyznaczyd punkty, w których każda z funkcji ma ekstrema.
b) dla każdej z tych funkcji wyznaczyd przedziały w których funkcji jest rosnąca,
c) zbadad różnowartościowośd każdej z tych funkcji.
3. W tym samym układzie współrzędnych narysowad wykresy trzech funkcji określonych
wzorami
Wyznaczyd zbiory
a)
b)
c)
4.Dla , podad wykres, określid zbiór wartości oraz wyznaczyd zbiór ,
jeśli
a) ,
b) ,
c)
5. Wiadomo, że
Wyznaczyd, o ile to możliwe następujące granice;
6. Obliczyd granice:
7. Dla podanych funkcji wyznaczyd dziedzinę oraz granice na wszystkich koocach przedziałów
określoności
a) b) c)
8. W zależności od wartości parametru , gdzie , wyznacz wartośd granicy lub granic
jednostronnych funkcji
9. Narysowad wykres funkcji
a) Określid przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji .
b) Wyznaczyd zbiór
10.Stosując definicję ciągłości funkcji, zbadad ciągłośd
11. W układzie współrzędnych narysowad przykładowy wykres funkcji , która jest ciągła w
oraz spełnia następujące warunki:
c) Ile najmniej miejsc zerowych musi mied funkcja w każdym z przypadków a) i b)?
12. Zbadad ciągłośd funkcji w punkcie , jeśli
13. Zbadad ciągłośd funkcji w punkcie , jeśli
14. Dla jakiej wartości parametru , gdzie , funkcja jest ciągła w , jeśli
Po ustaleniu wartości parametru narysowad wykres tej funkcji a następnie wyznaczyd przedziały
monotoniczności i ekstrema funkcji .
15. Dla jakiej wartości parametru , gdzie , funkcja jest ciągła w , jeśli
Po ustaleniu wartości parametru narysowad wykres tej funkcji a następnie wyznaczyd przedziały
monotoniczności i ekstrema funkcji .
16. Jedna z własności funkcji ciągłych:
Funkcja określona na przedziale <a; b> i ciągła na tym przedziale
przyjmuje wszystkie pośrednie wartości pomiędzy .
Na podstawie tej własności oraz przy zastosowaniu do obliczeo arkusza kalkulacyjnego, np. EXCEL,
wyznaczyd z dokładnością do wartośd rozwiązania równania
a) b)
17. Wyznaczyd asymptoty pionowe i poziome wykresu funkcji określonej wzorem:
a) b) c) h(x)= d) k(x)=
Zadania nr 3 do MATEMATYKI 75 Pochodna I-go rzędu. (A.Bryk i W. Marcinkowska)
Zadanie 1. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie :
wyznaczyd, o ile istnieje, pochodną
a) funkcji w punkcie oraz w punkcie
b) funkcji w punkcie oraz w punkcie
c) funkcji w punkcie , punkcie oraz w punkcie .
Zadanie 2. Wykonad polecenie sformułowane w zadaniu 1, wykorzystując nie definicję pochodnej
lecz reguły różniczkowania funkcji. Dla kolejnych podpunktów a) ,b), c) zad.1.porównad wyniki,
otrzymane każdą z metod.
Zadanie 3. Na podstawie definicji (por. zad.1) wyznaczyd pochodne następujących funkcji w
dowolnym punkcie należącym do dziedziny tych funkcji
a) , gdzie
b) , gdzie
c) , gdzie
Zadanie 4. Korzystając z ogólnej reguły różniczkowania funkcji potęgowej:
,gdzie oraz
wyprowadzid wzory na pochodną następujących funkcji:
a) , b) , c) , d) , e)
Zadanie 5. Na podstawie reguły z zadania 3 i wzorów na pochodną sumy dwóch funkcji oraz
pochodną iloczynu funkcji przez stałą obliczyd pochodne
a) , gdzie
b) gdzie
c) , gdzie
d) , gdzie
Zadanie 6. Uzasadnid prawdziwośd następującego wzoru
gdzie pochodna jest liczona po zmiennej oraz , , … , .
Zadanie 7. Stosując reguły różniczkowania iloczynu i ilorazu dwóch funkcji, wyprowadzid wzory na
pochodną następujących funkcji oraz . jeśli c jest
funkcją różniczkowalną w .
Zadanie 8. Napisad wzory na pochodną funkcji a następnie wyznaczyd
pochodną funkcji
a) gdzie : c)
b) , gdzie : d)
Zadanie 9. Pamiętając, że a także, że , zróżniczkowad funkcje
a) , gdzie d) , gdzie x
b) , gdzie e) gdzie ,
c) , gdzie x .
Zadanie 10. Na podstawie reguły różniczkowania funkcji złożonych:
ocenid, które z następujących zależności są prawdziwe, jeśli jest funkcją różniczkowalną w
całej swojej dziedzinie
a) czy ?
b) czy ?
c) czy ?
d) czy ?
e) czy ?
Zadanie 11. Obliczyd pochodne podanych niżej funkcji złożonych,
a) , b) ., c) , d) ,
e) ., f) , g) , h)
Zadanie 12. Korzystając z reguł różniczkowania, obliczyd wartośd w punkcie
a) w punkcie (odp.:-0,5)
b) w punkcie (odp.: 1)
c) w punkcie (odp.: )
d) w punkcie (odp 0)
e) w punkcie (odp 0,5)
f) w punkcie (odp )
Zadanie 13. Wyznaczyd równanie stycznych do wykresu funkcji , jeśli podane są punkty
styczności . W każdym przypadku narysowad wykres funkcji oraz na tym samym rysunku
wyznaczoną w zadanym punkcie styczną
a) …………
b) ,dla
c) , dla i
d) , i .
Zadanie 14. Wyznaczyd równania wszystkich tych stycznych do wykresu funkcji , które to
styczne są równoległe do dwusiecznej kąta drugiej dwiartki układu współrzędnych, jeśli funkcja jest
określona wzorem
Zadanie 15. Na wykresie wielomianu wskazad punkty, w których styczna jest
pozioma.
Zadania nr 4 do MATEMATYKI 75 Zastosowanie pochodnej funkcji jednej zmiennej
Zadanie 1. Obliczyć granice następujących funkcji stosując w kaŜdym przypadku dwie
metody (jedna z nich to wykorzystanie reguły de L’Hospitala)
1.1. ������������� �
�� ����� 1.2. ����� √��
��
Zadanie 2. Korzystając z reguły de L’Hospitala, obliczyć granice funkcji:
2.1. lim�����
�� 2.6. lim������ �
�
2.2. lim������
�� � 2.7. lim������� ln �"
2.3. lim��� � ln � 2.8. lim���� �� #��
2.4. lim������
��$ 2.9. lim����
$
�
$
���$"
1.5. lim������ �
� 2.10. lim���
� %&� �����'
�'���� �"'
Zadanie 3 Wyznaczyć (o ile istnieją) asymptoty ukośne wykresów funkcji w +∞ lub -∞
3.1 )��" *+�'����$
,��� 3.2 )��" *
�� √�-
√��$-
3.3 )��" * � · #�/� 3.4 )��" * � ln�
$
�0 #"
Wskazówka: Asymptotą ukośną wykresu funkcji )��" nazywamy prostą y= ax+b, gdzie
1 * 234���5��"
� oraz 6 * 234����)��" 1�". Asymptota ta istnieje tylko wówczas, gdy
obie granice a i b istnieją i są skończone.
Zadanie 4 Wyznacz wszystkie asymptoty funkcji
4.1. )��" *�
78� 4.2. )��" *
78�
√� 4.3. )��" * ��29�
Zadanie 5. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji
5.1. )��" * $
+�+ 0
$
��� 6� 0 7 5.2. )��" *
$
+�+ 0
+
��� 10� 0 12
5.3. )��" *��$
�√� 5.4 )��" * ��� 5" · #�'
5.5. )��" * |�| · #��' 5.6. )��" * ln�1 ��)
Zadanie 6. Zbadać monotoniczność i wyznaczyć ekstrema lokalne
6.1.)��" *$
A�A
$
+3 �� 0 2 6.2. )��" *
78�
√� 6.3. )��" *
$
78�0 29�
6.4. )��" * |� 0 3| 1 6.5. )��" * #/
/C�' 6.6. )��" * ��29�
Zadanie 7 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji na przedziale:
7.1. )��" *$
A�A
$
+3 �� 0 2 � D E 4, 1H
7.2. )��" * ��� 3"#|�| � D E 4, √3H
7.3. )��" * |� 5|#/� � D E$
�, 10H
Zadanie 8.
ZaleŜność popytu p na dobra konsumpcyjne od wielkości dochodu konsumenta x (x>0)
wyraŜa się wzorem:
a) I��" *+
�#�
/�
b) I��" *+
�' #�/�
c) I��" *+
�#�
/
�'
W kaŜdym przypadku naleŜy ustalić poziom dochodu konsumenta, przy którym popyt jest
największy.
Zadanie 9
Cena zbytu pewnego wyrobu (J Kł za jednostkę tego wyrobu) jest określona następującym
wzorem
I��" * 0,2�+ 0 12�� 0,
�,
gdzie x oznacza wielkość produkcji tego wyrobu. Koszt całkowity produkcji w zaleŜności od
jej wielkości wynosi
M��" * 0,05�A 0 4�� . a) Wyznaczyć produkcję, przy której przedsiębiorstwo uzyskuje największy zysk.
b) Wyznaczyć maksymalną i minimalną wielkość produkcji, przy której przedsiębiorstwo nie
wykazuje strat.
Zadanie 10
Niech K(x) oznacza koszt całkowity wyprodukowania x jednostek pewnego dobra.
M��" * �+ 40�� 0 490� a) Wyznaczyć dla tego dobra poziom produkcji, przy którym koszt przeciętny jest najniŜszy
b) Określić funkcję kosztów krańcowych.
Zadanie 11
Wyznaczyć cenową elastyczność popytu dla cen I�$ * 10 3 I�� * 100 , jeŜeli zaleŜność
popytu od ceny towaru p wyraza się wzorem
)�I" * $
O0 I.
Podać interpretację uzyskanego wyniku.
Zadanie 12
Wyznaczyć elastyczność funkcji utargu w punkcie �� * 10, jeśli cena zbytu towaru wynosi
I��" * 0,1�� 0,5� 0 20, gdzie x jest wielkością produkcji.
(J. Nowakowski z zespołem)
Zadania nr 5 do MATEMATYKI 75 Pochodna II-go rzędu. (M. Dędys)
1. Wyznacz pochodną drugiego rzędu funkcji f w punkcie 0x .
a) 5)(3
3
1 +−= xxxxf , 40 =x (odp. 4
61)4( =′′f )
b) xxxf ln)( = , ex =0 (odp. 1
)(−=′′ eef )
c) x
exf
x−=)( , 10 =x (odp.
15)1(
−=′′ ef ).
2.Wyznacz pochodne drugiego rzędu funkcji f oraz przedziały., w których ta funkcja
i) rośnie coraz szybciej; ii) maleje coraz szybciej; iii) jest wklęsła; iv) jest wypukła gdy
a) xxxf −= 3)(
b) ...4,3,2,)( =−= nnxxxfn
c) ,....3,2,1),1()( =−= nxxxfn
d)* nxxxf )1()( −= , ,...2,1=n
e)* .....3,2,1,,)1()( =−= mnxxxfmn
f) xxxf sin)( += .
3. Wyznacz przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji f .
a)x
xxf1
)( += b)2
1
1)(
xxf
+= c)
2)(
+=
x
exf
x
d)x
exxf−= 3
)( e)x
xxf
ln)( = .
4. Zbadaj tempo zmian funkcji f .
a) 496)(23 +−+−= xxxxf b) 4)(
2 −= xxf
c) xxexf
1
)( = ; d) 2
1ln)(
xxxf = .
5.* Naszkicuj wykres funkcji f .
a)4
)(2
2
−=
x
xxf ; b)
1)(
2 +=
x
xxf c)
2)(
xexf
−= .
6.Zbadaj dla jakich wartości parametrów R∈γβα ,, funkcja γβα ++= xxxf )( jest
wklęsła, a dla jakich wartości jest wypukła w przedziale ),0( ∞ .
7.Zbadaj, dla jakich wartości parametru R∈α funkcja x
exf
α+=
1
1)( jest wklęsła, a dla
jakich wartości wypukła w przedziale ),0( ∞ .
8.Zbadaj tempo zmian funkcji 2
)(axax
eexf
−+= w zaleŜności od wartości parametru
Ra ∈ .
9. Dana jest funkcja wielkości produkcji ( )23),( yxyxf += , gdzie yx, są nakładami
na czynniki produkcji. A i B odpowiednio Jeśli nakłady na czynnik A rosną, zaś nakłady na czynnik B pozostają bez zmian, to w jakim tempie zmienia się wielkość produkcji? 10. Kupiec zastanawiając się nad sprzedaŜą skrzynki wina analizuje aktualną wartość tejŜe skrzynki w zaleŜności od momentu sprzedaŜy t oraz stopy dyskontowej r. Funkcja
aktualnej wartości dana jest wzorem 1),( += −tertf
rt . Określić moment t , w którym,
przy ustalonej stopie dyskontowej r obecna wartość skrzynki wina będzie największa ?
11. Wyznacz z definicji pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f w punkcie
)00 ,( yx , o ile istnieją.
a) yxyyxf += 2),( , )1,2(,( )00 −=yx
b) xyyxf 2),( = , )1,0(,( )00 =yx .
12. Oblicz pochodne cząstkowe I-go rzędu funkcji f po kaŜdej ze zmiennych x oraz y.
a) xyxyxyxf ++= 22),( b) yyxyxf += cos),( c)
yxxeyxf
−= 2),(
d) yx
yxyxf
+
−=),( e) xyxyxf 2),(
4 −= f) )3ln(),(2
xyxyxf += .
13. Dane są funkcje róŜniczkowalne RRg →: oraz RRh →: . Wyznacz obie pochodne
cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f .
a) )()(3),( ygxhyxf +=
b) )()(),( ygxhyxf =
c) )(
)(),(xg
exhyxf = .
14. Dana jest funkcja RRf →2: , yyxyxyxf 32),(
423 ++= . Sprawdź, Ŝe
),(),( yxfyxf yxxy ′′=′′ dla 2),( Ryx ∈ .
15. Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f .
a) 532),(33 +++= xyxyxyxf b)
x
yyxf =),( c)
yxyxf =),(
d) yxeyxf
2
),( = e) yxxyeyxf
+=),( f)yx
yxf3
1),(
2 += .
1
Zadania nr 6 do MATEMATYKI 75. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
1. Narysowa¢ warstwice funkcji f dla podanych warto±ci c:a) f(x, y) = 2x + 5; c = −1, c = 1, c = 3;b) f(x, y) = −3x + y + 7; c =0, c = 2, c = −2;c) f(x, y) = x2 + y2 − 1; c = −3, c = −1, c = 3, c = 8;d) f(x, y) = ex2+y2−2x+4y; c = 1, c = e, c = 1
e3 ;e) f(x, y) = x+y
x−y, dla x 6= y; c = 1, c = 0, c = −2;
f) f(x, y) = ye−x + 3; c = −1, c = 3, c = 4;g) f(x, y) = |x + 3|+ |y − 1|; c ≥ 0;h) f(x, y) = max{|x| , |y|}; c ≥ 0;i) f(x, y) = ln(1−x+y
x2+y2 ), dla 0<x− y < 1; c ≥ 0.
2. Wyznaczy¢, korzystaj¡c z warstwic, najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji f na zbiorze X,je±li:
a) f(x, y) = ln(x2 + y2 + 1), X = {(x, y) ∈ R2 : 2 |x|+ |y| ≤ 2};b) f(x, y) = x− y, X = {(x, y) ∈ R2 : (x− 1)2 + (y + 1)2 ≤ 1};c) f(x, y) = x2 − 2xy + y2, X = {(x, y) ∈ R2 : |x|+ |y| ≤ 4}.
3. Sprawdzi¢, czy funkcja f(x, y) = 3x3 + 3x2y − y3 − 15x ma ekstrema lokalnew punktach P1(1,−1), P2(1, 1), P3(
√5,−√
5).
4. Wyznaczy¢ (o ile istniej¡) ekstrema lokalne funkcji:a) f(x, y) = 4x2 + y2 + 10x− 8y − 5;b) f(x, y) = 3x2 + 3xy − y2 − 15x;c*) f(x, y) = x3 + 3xy2 − 6xy;d) f(x, y) = x4 + y4 − 2x2 + 4xy − 2y2;e) f(x, y) = x2 + y4 − 2xy + 1;f) f(x, y) = x3 + y3 − 3axy + 2;g) f(x, y) = x3 + y2 − 6xy − 48x;h) f(x, y) = 4xy + 1
x+ 1
y;
i) f(x, y) = 1−√
x2 + y2 ;j) f(x, y) = (1 + ex) cos y − xex;k*) f(x, y) = xy ln(x2 + y2), gdzie (x, y) 6= (0, 0).
5. Liczb¦ a > 0 zapisa¢ w postaci sumy 3 liczb, których iloczyn jest maksymalny.
6. Firma produkuje dwa wyroby w warunkach doskonaªej konkurencji. Ceny produkowanychwyrobów wynosz¡ odpowiednio P1 i P2. Oznaczmy przez Q1 i Q2 poziomy produkcji wyrobupierwszego i drugiego. Zakªadamy, »e funkcja kosztów caªkowitych rozwa»anej �rmy ma posta¢C(Q1, Q2) = Q2
1 + Q1Q2 + Q22. Wyznaczy¢ poziomy produkcji przy których zysk �rmy jest
maksymalny.
7. Zaªó»my, »e �rma rozwa»ana w poprzednim zadaniu jest teraz monopolist¡ na rynku. Oznaczato, »e ceny obu produktów zale»¡ od wielko±ci produkcji. Przyjmujemy, »e funkcje popytu zjakimi styka si¦ monopolista s¡ nast¦puj¡ce:
Q1(P1, P2) = 40− 2P1 + P2, Q2(P1, P2) = 15 + P1 − P2.
2
Funkcja kosztów caªkowitych jest taka sama jak poprzednio. Wyznaczy¢ poziomy produkcjimaksymalizuj¡ce zysk �rmy.
8. Wyznaczy¢ i zinterpretowa¢ elastyczno±ci cz¡stkowe funkcji w podanych punktach:a) f(x, y) = 5x + 2y + 3, P (4, 10);b) f(x, y) = x ln y, P (2, e);c) f(x, y) = 9K1/4L3/4, P (k, l).
9. Oszacowana funkcja produkcji przedsi¦biorstwa ma posta¢
Y = 6K3/2L1/2,
gdzie Y oznacza wielko±¢ produkcji, K � warto±¢ maj¡tku produkcyjnego, L � zatrudnienie.W pewnym okresie otrzymano warto±ci: K=50, L=400.a) Jaka byªa w tym okresie elastyczno±¢ produkcji przedsi¦biorstwa wzgl¦dem: 1) maj¡tku
produkcyjnego? 2) zatrudnienia?b) Planuje si¦ na koniec okresu zmniejszenie zatrudnienia o 10%. Jaki wzrost maj¡tku
produkcyjnego pozwoliªby utrzyma¢ wielko±¢ produkcji na niezmienionym poziomie?
10. Popyt zewn¦trzny na eksport (X) zale»y od dochodu za granic¡ (Y ) i ±redniego poziomucen (P ):
X = Y 1/2 + P−2.
Znale¹¢ elastyczno±¢ cz¡stkow¡ zagranicznego popytu na eksport wzgl¦dem poziomu cen.
Zadania nr 7 do MATEMATYKI 75
1. Dane są wektory ]2,1[=x , ]1,1[−=y oraz ]3,3[=z . Wyznaczyć poniŜsze wektory. Podać
interpretację geometryczną otrzymanego wyniku.
a) x3− b) zx − c) z2yx31++ .
2. Dane są wektory ]0,1,2[=x , ]1,0,2[ −−=y oraz ]1,1,1[=z . Wyznaczyć poniŜsze wektory. Podać
interpretację geometryczną otrzymanego wyniku.
a) x2 b) zx − c) z2yx +− .
3.W przestrzeni wektorowej 4
R rozwiązać równanie:
a) ]0,2,3,2[]3,2,0,1[ −−=− x ;
b) ]1,0,4,2[2 −=x ;
c) xx 3]1,5,2,2[]0,3,2,0[ −−=−+ .
4. Sprawdzić, czy wektor y jest kombinacją liniową wektorów k21 xxx ...,,, , gdy:
a) ]4,1[ −=y , ]2,1[1 −=x , ]1,1[2 −=x ;
b) ]4,1[ −=y , ]2,1[1 −=x , ]1,1[2 −=x , ]1,5[3 =x ;
c) ]0,1[=y , ]2,1[1 =x , ]1,[2 −= ax , gdzie Ra ∈ jest parametrem;
d) ]3,2,2[ −−=y , ]1,0,1[1 −=x , ]1,2,0[3 =x ;
e) ]1,1,1[=y , ]1,0,1[1 −=x , ]1,2,0[2 =x ;
f) ]1,1,4,5,6[ −=y , ]0,1,0,1,1[1 −=x , ]0,1,0,1,1[2 −=x , ]2,1,1,0,0[3 =x .
5. Sprawdzić, czy wektory k21 xxx ...,,, są liniowo niezaleŜne, gdy:
a) ]2,1[1 =x , ]6,3[2 −−=x ;
a) ]2,1[1 =x , ]3,1[2 −=x ;
b ) ]2,1[1 =x , ]3,1[2 −=x , ]1,0[3 =x ;
c) ]1,1[1 −=x , ],1[2 a−=x , gdzie Ra ∈ jest parametrem;
d) ]0,1,1[=1x , ]2,0,1[2 −=x , ]1,1,0[3 −=x ;
e) ]0,1,1[=1x , ]1,3,2[2 −−=x , ]1,1,0[3 −=x ;
f) ]1,0,1,3[2 −=x , ]2,1,0,0[3 =x ]0,0,1,1[1 −=x .
6. Pokazać, Ŝe jeśli wektor y jest kombinacją liniową wektorów k21 xxx ...,,, , to wektory y ,
k21 xxx ...,,, są liniowo zaleŜne.
7. Wektory zyx ,, są liniowo niezaleŜne. Zbadać liniową niezaleŜność wektorów:
a) yzyx2xz −−− 2,,4 ;
b) zyxyxx −+− ,, .
8. Podać interpretację geometryczną zbioru },:{ 2RttRV ∈+=∈= vaxx , gdy:
a) ]1,2[],0,0[ == va ;
b) ]1,2[],3,0[ == va ;
c) ]1,2[],4,2[ == va ;
d) ]1,2[],1,1[ =−−= va .
9. Sprawdzić, czy punkty 3,, xxx 21 naleŜą do jednej prostej, gdy:
a) ]2,0,1[=1x , ],3,1,3[2 −=x , ]1,1,1[3 −−−=x ;
b) ]2,0,1[=1x , ],3,1,3[2 −=x , ]2,1,2[3 =x ;
c) ]0,1,0,1[ −=1x , ]1,0,1,1[2 =x , ]2,1,2,1[3 =x .
10. Niech ]1,1,1[ −=a oraz ]2,1,1[=b . Sprawdzić, czy x naleŜy do
I. prostej przechodzącej przez punkty a i b ;
II. odcinka o końcach w punktach a i b , gdy:
a) ]0,2,1[=x , b) ]0,3,1[ −=x , c) ],,1[47
21=x .
11. Dany jest zbiór }2:{ 3213
bxxxRVb =+−∈= x gdzie parametr b jest ustaloną liczbą rzeczywistą
oraz ]1,0,2[],0,1,1[ 21 −== xx .
a) Pokazać, Ŝe },,:{ 213
0 RRV ∈+=∈= βαβα xxxx
i podać interpretację geometryczną zbioru 0V .
b) Podać przykład wektora 10 V∈x , a następnie uzasadnić, Ŝe 10 V∈+ yx dla kaŜdego 0V∈y .
c) Pokazać, Ŝe },,:{ 2103
1 RRV ∈++=∈= βαβα xxxxx . Podać interpretację geometryczną
zbioru 1V .
d) Sprawdzić, czy dla dowolnych wektorów jeśli 1, V∈zy , to 1V∈+ zy ?
12. Dany jest zbiór }132:{ 3213 ≤−+∈= xxxRV x . Pokazać, Ŝe jeśli V∈ba, , to
VtttR ⊂>∈<−+=∈ }1,0,)1(:{ 3 baxx . Podać interpretację geometryczną tego faktu.
13. Dane są zbiory }22:{ 313 =−∈= xxRV x oraz }33:{ 321
3 =++−∈= xxxRW x .
a)Wyznaczyć zbiór WV ∩ i podać interpretację geometryczną tego zbioru.
b)Podać interpretację geometryczną zbioru }5:{ 323 =+∈∩∩ xxRWV x .
c)Pokazać, Ŝe dla kaŜdego Ra ∈ zbiór }:{ 3213
axxxRWV =++∈∩∩ x jest jednoelementowy.
14. Dane są wektory ]1,1[1 −=x , ]1,0[2 =x .
a) Pokazać, Ŝe dowolny wektor 2
R∈x jest kombinacją liniową wektorów 1x i 2x .
b) Uzasadnić, Ŝe 2
212 },,:{ RRR =∈+=∈ βαβα xxxx .
c) Czy wektory 1x , 2x , oraz 2
R∈x tworzą, przy dowolnie ustalonym wektorze x układ wektorów liniowo
zaleŜnych?
15. . Dane są wektory ]0,1,1[1 −=x , ]1,0,0[2 =x , ]1,0,1[3 =x .
a)Pokazać, Ŝe dowolny wektor 3
R∈x jest kombinacją liniową wektorów 1x , 2x i 3x .
b)Uzasadnić, Ŝe 3
3213 },,,:{ RRR =∈++=∈ γβαγβα xxxxx .
c)Czy wektory 1x , 2x , 3x , x , gdzie 3
R∈x jest dowolnym wektorem, są liniowo niezaleŜne?
Zadania nr 8 Matematyka 75 Macierze, działania na macierzach
1. Wykonać wskazane działania na macierzach A, B, C i D w celu wyznaczenia elementów
macierzy X lub uzasadnić, Ŝe macierz X nie istnieje, jeśli:
� � �3 2 �1 14 0 1 10 �1 �2 0 , � ��1 10 12 �1 , � � ��3 2 11 �2 05 1 1 , � � � 4 0 12�4 6 �8� oraz
a) � � ��� � � c) � � �� � 2�� e) � � � � ���
b) � � ��� � � 4�� � d) � � ����� ��� f) � � ��� � ��
2. Dana jest macierz A o wymiarach 4 � 5 i o elementach !" �# � 1, 2, 3, 4, $ � 1, 2, 3, 4, 5�,
których wartości są następujące:
� � %�12 0 4 10 3�2 1 �5 2 00 �1 3 �2 215 3 �9 6 �2'
Wyznaczyć opisane w podpunktach sumy.
a� ) � *�2 !+ � 3 !��
!,� � b� ) � *� �" � 3 +"�
",� � c� ) � * �/ /+�
/,�
3. Dane są macierze
� � �3 2 �32 �1 01 0 �1 , � ��1 �3 01 2 10 1 �2 oraz 3 � �1 0 00 1 00 0 1
Uprościć wzory określające macierz X, a następnie wyznaczyć w kaŜdym przypadku
elementy tej macierz, jeśli:
a� � � � 4�� � 3��� c) �3 � � � 3��� � � 4� � 3� b� � � � �4� � 2 ��� d) �� � �� � 4� � 3 � ��
4. Wykonać mnoŜenie macierzy.
a) � 5 65 �5 06 0 · � 5 65 �5 06 0
b) 8� 0 50 6 05 0 9+
Uwaga. �+ � � · � · �, ogólnie �: � � · � · … · � �<-krotnie)
c) � 5 60 �5 =�= 0 0 · �1 0 01 1 01 1 1 oraz �1 0 01 1 01 1 1 · � 5 60 �5 =�= 0 0
5. Wykonać mnoŜenie macierzy.
a) >? @ AB C DE F GH I JK �111 b) L1 1 1 1M >? @ AB C DE F GH I JK
c) L1 1 1 1M >? @ AB C DE F GH I JK �111
6. Posługując się przykładem konkretnej macierzy o wymiarach 4 � 2 i znanych elementach
liczbowych, podać ilustrację twierdzenia:
Dla dowolnej macierzy A macierze N � OPO oraz Q � OOP są macierzami symetrycznymi.
7. Posługując się przykładem dwóch konkretnych macierzy trzeciego stopnia, podać
ilustrację twierdzenia:
JeŜeli macierze A i B są kwadratowe tego samego stopnia oraz jeŜeli są to macierze
trójkątne górne, to N � OR teŜ jest macierzą trójkątną górną.
8. Posługując się przykładem dwóch konkretnych macierzy tego samego stopnia, zilustrować
twierdzenie:
Iloczyn macierzy diagonalnych tego samego stopnia jest macierzą diagonalną.
9. Niech A � �a bc d� , B � �VW4XY � d �b�c a �, gdzie ad Z cb. a) Sprawdzić, Ŝe przy dowolnych liczbach a, b, c, d, jeśli ad Z cb, to AB � I� oraz BA � I�.
b) Wyznaczyć macierze � 3 �2�10 7 �4� oraz ^0,5 0,30,2 1 _4�
na podstawie punktu (a).
10. Niech A stopnia n będzie macierzą diagonalną:
� � % �� 0 ` 00 �� ` 0` ` ` `0 0 ` ::', przy czym !! Z 0 dla # � 1, 2, … , <. Zilustrować na podstawie
konkretnych przykładów macierzy trzeciego i czwartego stopnia, Ŝe
�4� �abbbbbc 1 �� 0 ` 0
0 1 �� ` 0` ` ` `0 0 ` 1 ::deeeeef
11. Dana jest macierz � � � 3 �4 0 1�2 1 �5 �14 7 6 �3 oraz wektory g, h i j+, gdzie
g � �308 , h � k?@Al, oraz wektory m, n i j�, gdzie m � %�1121 ' , n � %?�?�?+?�'.
Podany poniŜej związek zapisać w postaci układu równań.
a) �h � g c) ?�H� � ?�H� � ?+H+ � ?�H� � g
b) ��n � m d) ?D�� � @D�� � AD+� � m
gdzie wektory H" dla $ � 1, 2, 3, 4 oraz D!� dla # � 1, 2, 3 są odpowiednio kolejnymi
kolumnami i wierszami macierzy A.
12. Dla kaŜdego z poniŜszych układów równań liniowych podać jego macierzowy zapis, tj. �? � 5, gdzie A jest macierzą o wymiarach J � <, ? i j:, 5 i jo. a) p3?� �7?� �4?� � 2�?� �8?+ �9?� � 12q b) r ?� �6?� � �2�?� �8?� � 43?� �10?� � 25?� �22?� � �2q c) s 4?� �12?+ � 0 �5?� �7?+ � 0�?� �?� �6?+ � 0q przygotowała prof. W. Marcinkowska-Lewandowska z zespołem
Zadania do MATEMATYKI 75 Układy równań liniowych
Zadanie 1*
Dla kwadratowej macierzy ���� zbudowano macierze blokowe:
� � �� 0� , � � � �0 ��
Wyznacz blokową postać macierzy ��, � � �, ��, ��. Czy � � � jest macierzą symetryczną?
Zadanie 2*
Niech B i C będą macierzami nieosobliwymi. Wyznaczyć postać blokową macierzy A-1
, gdzie
a/ � � � 00 � b/ � � �� 00 �.. c/� � � �0
d/� � �� �0 .. e/� � �� �0 � f/� � �0 �� �
Zadanie 3
Dana jest macierz A=[aij]mxn oraz wektor λλλλ0000=�λ�λ��λ�
�.
• Wyznaczyć wektor b=Aλλλλ0000.
• Zapisać macierz A w postaci kolumnowej � � ��� �� … ��� tj. takiej, że
blokami są kolumny macierzy A (oznaczone � , k=1,…,n).
• Wyznaczyć blokową postać iloczynu Aλλλλ0000.
• Przedstawić wektor b jako kombinację liniową kolumn macierzy A:
a/ � � �2 33 1, λλλλ0000====�12λλλλ0000====$120%, c/ � � $1 22 40 20 3'1 01 1%, λλλλ0000====( 1'102 ).
Zadanie 4
Dany jest układ równań liniowych
*2+� � 3+� � 83+� � +� � 5 . (*)
a/ Wyznacz elementarnie liczby x1 i x2. Zapisz macierz rozszerzoną �� |0.� tego układu
równań. Macierz współczynników tego układu zapisz w postaci kolumnowej � ���� ��� (por. Zadanie 3) i w postaci wierszowej � � ����� tj. takiej, że blokami są
wiersze �1 i �2 macierzy A.
b/ Wykorzystując blokowa postać iloczynu Ax0 = ��� ��� �+�+�, gdzie wektor �+�+� jest
wektorem kolumnowym, przedstawić wektor b jako kombinację liniową kolumn a1 oraz
a2 macierzy A. Zilustrować układ równań (*) w przestrzeni liniowej wektorów
kolumnowych R2.
c/ Wykorzystując iloczyn skalarny wektorów w przestrzeni liniowej wektorów
wierszowych R2, zapisz układ (*) jako
*34�|+56 � 834�|+56 � 5., gdzie x0=[x1, x2].
Zilustruj układ równań (*) w przestrzeni liniowej wektorów wierszowych R2.
Zadanie 5
Dana jest macierz � � 71 12 1 3 24 13 1 1 28. Niech � � $�����9% oraz � � ��� �� �9 �:�
będą odpowiednio postacią wierszową postacią kolumnową macierzy A.
a/ Stosując operacje elementarne na wierszach macierzy A sprowadzić tę macierz do
postaci bazowej względem kolumn I, II oraz III.
Odp. � ; �1 00 1 0 ' ��0 40 0 1 ' ���.
b/ Przedstawić wektor a4 jak kombinację liniową wektorów a1, a2, a3.
c/ Ile wynosi dim L(a1, a2, a3, a4). Czy zachodzi równość L(a1, a2, a3, a4)= L(a1, a2, a3)? Czy
L(a1, a2, a3)=R3?
d/ Ile wynosi dim L(a1, a2, a3)?
e/ Ile wynosi rząd macierzy A?
Zadanie 6.
Stosując operacje elementarne na wierszach macierzy rozszerzonej �� |0.� wyznaczyć
rozwiązanie ogólne układu jednorodnego. Przedstawić zbiór rozwiązań X(0) jako
przestrzeń liniową o danym układzie generatorów.
a/ *2+� � +� ' 4+9 � 03+� � +9 � 0 ., b/ *+� ' +� ' 5+9 � +: � 0'+� � +� � 2+: � 0 ., c/ <2+� � +� ' 5+9 � 05+� � +9 � 0+� � 3+� ' 2+9 � 0. d/ <+� � +� � 0+� � +9 � 0+� � +9 � 0.
Zadanie 7
Dany jest niejednorodny układ równań liniowych
• Zapisać macierz rozszerzoną �� |0.� tego układu równań.
• Stosując operacje elementarne na wierszach macierzy �� |0.� sprowadzić macierz
rozszerzoną układu do postaci bazowej.
• Zapisać rozwiązanie ogólne tego układu równań.
• Przedstawić zbiór rozwiązań X(b) jako rozmaitość liniową.
• Wyznaczyć wszystkie rozwiązania bazowe danego układu równań wskazać
rozwiązania bazowe nieujemne.
• a/ *2+� � +� ' 4+9 � '13+� � +9 � 4 ., b/ *+� ' +� ' 5+9 � +: � '4'+� � +� � 2+: � 2 ., • c/ <2+� � +� ' 5+9 � '25+� � +9 � 6+� � 3+� ' 2+9 � 2 . d/ <+� � +� � 2+� � +9 � 4+� � +9 � 6.
WYZNACZNIKI
1. Obliczyć wyznacznik, stosując rozwinięcie Laplace’a względem wybranego wiersza lub kolumny:
a) b) c)
2. a) Stosując rozwinięcie Laplace’a względem trzeciego wiersza, obliczyć wyznaczniki macierzy:
b) Powtórzyć obliczenia, stosując rozwinięcie Laplace’a względem trzeciej kolumny.
3. Obliczyć wyznaczniki następujących macierzy:
.
4. Obliczyć wyznaczniki podanych macierzy, sprowadzając je uprzednio do postaci macierzy trójkątnej.
5. Obliczyć podane wyznaczniki, wykorzystując własności wyznacznika:
a) b) .
6*. Nie obliczając wyznaczników, znaleźć rozwiązanie podanego równania:
7. Znaleźć dopełnienie algebraiczne elementu 422a oraz 513a macierzy A:
8. Obliczyć wyznacznik macierzy A metodą Sarrusa. Znaleźć macierz dopełnień, a następnie obliczyć jej
wyznacznik, wykorzystując wzór na macierz odwrotną oraz odpowiednie własności wyznaczników:
9. Pokazać, że detAB = detA detB, jeśli:
10. Wyznaczyć macierz dopełnień algebraicznych dla podanych macierzy:
11. Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A za pomocą dopełnień algebraicznych:
a) , b) , c) , d) .
12. Rozwiązać równanie z niewiadomą x.
a) b) ,
c) .
13. Rozwiązać układy równań metodą Cramera
a) b)
14. Rozwiązać powyższe układy, wyznaczając z macierzowego równania AX = b macierz X.
15. Rozwiązać układ równań:
16. Rozwiązać układ równań w zależności od parametru k:
17. Dla jakich wartości parametru p podany układ równań jest układem Cramera? Rozwiązać ten układ dla
znalezionych wartości parametru.
18. Wyzanczyć macierz X z równania macierzowegp , gdzie A, B, C są danymi
macierzami nieosobliwymi stopnia 3. Obliczyć det X, wiedząc, że det A = 2, det B = 3, det C = 4.
19. Dane są macierze:
a) Wyznaczyć macierz C daną wzorem C = ATA + 4 det (I – B)B
−1 .
b) Wyznaczyć rząd każdej z macierzy: A, B oraz I – B.