Tymoteusz Traczklasa 2G

LO nr 1 im. Mikołaja Kopernika w Jarosławiu

Liczby to współczynniki wielomianu.

Dwa wielomiany są równe, gdy dla każdej liczby rzeczywistej t mamy:

Jednomianem stopnia n jednej zmiennejrzeczywistej x nazywamy funkcję:

Jednomiany nazywamy podobnymi, gdy są tego samego stopnia i tej samej zmiennej .W zbiorze wielomianów jednej zmiennej określone są: dodawanie, odejmowanie, mnożenie.

Przykład:

Dodawanie:

Odejmowanie:

Mnożenie:

Pierwiastkiem wielomianu nazywamy taką liczbę rzeczywistą

*pierwiastek wielomianu – miejsce zerowe wielomianu

Jeżeli są wielomianami,to istnieją dwa takie wielomiany

albo stopień

(o rozkładzie wielomianu)

Wielomian nazywamy resztą z dzielenia przez

Jeżeli jest wielomianem zerowym, to mówimy,że wielomian jest dzielnikiem wielomianu .

Reszta z dzielenia wielomianu przezdwumian gdzie jest równa liczbie

Przykład:Dzielenie:

Liczba jest pierwiastkiem wielomianu ,wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian jest podzielny przez

Dowód: Jeżeli wielomian jest podzielny przez dwumianto istnieje taki wielomian

Podstawmy co oznacza, że jest pierwiastkiem wielomianu . Załóżmy teraz, że jest pierwiastkiem wielomianu . Wobec tego Podzielmy przez Mamy zatem , gdzie na podstawie twierdzenia o rozkładzie wielomianu , albo jest wielomianem stopnia zerowego.Wiemy, że z założenia mamy Zatem Stąd , co oznacza, że wielomian jest podzielny przez

Każdy wielomian można przedstawić w postaciiloczynu czynników co najwyżej drugiego stopnia.

(o rozkładzie wielomianu na czynniki).

Wielomian jednej zmiennej stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków.Liczba jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu,jeżeli te wielomian jest podzielny przez

Jeżeli wielomian -n-tego stopnia ma n pierwiastków: ,to gdzie jest współczynnikiem przy

Twierdzenie :(o postaci iloczynowej wielomianu)

(o pierwiastkach wymiernych)

Jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny w postaci ułamka nieskracalnego to licznik tego ułamka jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a mianownik dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej.