Ruch układu o zmiennej masie

Fizyka 2

Ciało o masie M porusza się z prędkością v. W przedziale czasu t wyrzuca masę M z prędkością u w pokazanym układzie współrzędnych.

uvy

x

Zgodnie z prawami Newtona

dtPdFzewn

Siły zewnętrzne

Zmiana pędu w czasie

Wyznaczmy zmianę pędu obiektu wyrzucającego masę M w czasie t

tPP

tP

dtPd pk

Różnica pędów: pk końcowego – początkowy pp

tMvvu

tvM

tvMUMVvMMFzewn

t → 0 wtedy v → 0, a v/ t należy zastąpić przez , a M /t przez

dtdM

dtdv

„- „ bo ubytek

dtdMu

dtdMv

dtvdMFzewn

Pochodna iloczynu

dtdMuvM

dtdFzewn

dtdMvuF

dtvdM

dtdMu

dtdMvF

dtvdM

zewn

zewn

Prędkość względna vwzgl

reakcjizewnwzglzewn FFdtdMvF

dtvdM

Równanie sił działających na układ o zmiennej masie sprowadza się w tym przypadku do sumy sił zewnętrznych i siły reakcji, jaką wywiera substancja wyrzucana na poruszające się ciało.Siłę reakcji nazywamy też siłą ciągu.

reakcjiwzgl FdtdMv

Przykłady

1. Na gładkim stole leży sznur, ¼ jego długości zwisa pionowo w dół. Znaleźć czas po którym cały sznur spadnie ze stołu, jeżeli w chwili t = 0 jego prędkość jest równa zeru, a całkowita długość sznura wynosi l.

y

m– masa sznura, my - masa części zwisającejy(0) = ¼ ly(tk ) = l, tk - czas końcowy

gmdtydm y2

2gmy

yl

mm

y

gly

dtyd

2

2Rozwiązaniem takiego równania jest funkcja czasu i ma ogólną postać ert

gdzie t jest czasem, r – pewną stałą.

rt

rt

rt

erty

rety

ety

2''

'

Funkcje te wstawiamy do równania sił działających na sznur, działających wzdłuż osi y. Siły działające wzdłuż osi x równoważą się.

lgr

lgre

elger

rt

rtrt

0

0

2

2

Otrzymaliśmy wartość stałej r, która może być dodatnia i ujemna, z tego wynika że rozwiązanie jest sumą rozwiązań zaproponowanych z uwzględnieniem stałych A związanych z wymiarem sznura.

21

21

410 AAly

eAeAytlgt

lg

Stałe A wyznaczamy mając jeszcze informację, że prędkość początkowa jest zerowa.

Czas końcowy wyznaczamy na podstawie informacji, że y(tk ) końcowa wynosi l .

lAA

AA

eAeAlgy

tlgt

lg

81

0

'

21

21

21

kk tlgt

lg

tlgt

lg

lelel

leley

81

81

81

81

ktlgll

tlglty

cosh41

cosh41

Zapis równania z użyciem funkcji hiperbolicznej

ktlgcosh4

Funkcje hiperboliczne:

sinus hiperboliczny

cosinus hiperboliczny

2sinh

xx ee

2cosh

xx ee

vu

dtuvdvvmmv

tuvvvmmv

µ = 200 kg/s

Przyrosty skończone zastępujemy nieskończenie małymi.

Przykład 2Na kutrze o masie m = 2•100 000 kg ustawiono specjalny silnik pobierający wodę na dziobie i wyrzucający w kierunku przeciwnym do ruchu kutra 200 kg wody w ciągu sekundy z szybkością u = 5 m/s względem kutra. Znaleźć prędkość kutra po czasie 5 min. od rozpoczęcia ruchu. Opór wody pominąć. W chwili t = 0, v(0) = 0

Prawo zachowania pędu

Otrzymaliśmy równanie różniczkowe, którego rozwiązanie ma postać następującą:

tmeuv

1 V = 1.3 m/s

0 dtuvmdv Następnie separujemy zmienne, a następnie całkujemy

Cdtmuv

dv

W chwili t = 0, v(0) = 0C – stała całkowania

Ctm

uv lnln

Rozwiązanie wykorzystujące równanie sil działających w przypadku zmiennej masy układu

dtdM

vudtdMvu

dtdvM

dtdMvF

dtvdM wzglzewn

)()(

CtM

uv

dtMuv

dv

uvdtdvM

lnln

Otrzymujemy równanie, jak w poprzedniej metodzie.

3. Rakieta o początkowej masie M0 startuje pionowo do góry. Szybkość spalania dM/dt materiału pędnego jest stała. Prędkość vwzgl wyrzucanych gazów względem rakiety jest również stała. Jaka będzie prędkość rakiety w dużej odległości od powierzchni Ziemi, kiedy można pominąć wszystkie działające na nią siły zewnętrzne?

dtdMv

dtvdM wzgl

Siły zewnętrzne są pomijalne, a prędkość wyrzucanych przez rakietę gazów jest stała

MdMvdv

dtdMv

dtdvM

wzgl

wzgl

Całkujemy to wyrażenie od chwili w której prędkość wynosi v0, a masa Mo

MMMv

MMvvv

MdMvdv

wzglo

wzglo

M

Mwzgl

v

v

01lnln

00

Prędkość rakiety zależy od prędkości wyrzucanych gazów i od ułamka masy wyrzucanej substancji.

4. Z nieruchomego zbiornika sypie się piasek z szybkością dM/dt na pas transportera, poruszającego się z prędkością v. Jaka jest wartość siły potrzebnej do utrzymania pasa w ruchu ze stałą prędkością? Wyznaczyć moc potrzebną.

vdM/dt

Jeżeli pas transportera porusza się ze stałą prędkością to równanie układu ze zmienną masą przyjmuje postać:

dtdMvF

dtdMvF

dtdMvF

dtvdM

wzglzewn

wzglzewn

wzglzewn

0

Ujemna wartość prędkości względnej wynika z tego, że zbiornik, z którego sypie się piasek jest nieruchomy

vvu

vuv

wzgl

wzgl

0dtdMvFzewn

Moc dostarczona przez siłę zewnętrzną wynosi:

dtdMvv

dtdMvFvvFp 2

4. Robotnik rozwija linę z leżącego na ziemi zwoju. Liniowa gęstość liny wynosi λ. Jaką siła musi on działać na linę, aby idąc wzdłuż prostej utrzymać stałą prędkość v0 (rozwinięta lina nie dotyka ziemi)?

dtdMvF

dtdMvF

dtdMvF

dtvdM

wzglzewn

wzglzewn

wzglzewn

0

Równanie sił działających na linę o masie M (masa części rozwiniętej)

0

0

0vv

u

vuv

wzgl

wzgl

0vdtdx

dtdM

xM

Robotnik porusza się wzdłuż prostej x, x jest długością części rozwiniętej.

20 )(vF