WINAKTuyaux - 1e bachelor Wiskunde(Januari)YannickVerdyck4mei2009Inhoudsopgave1 Analyse1(Calculus) 31.1 LerenStuderen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1 Examenstijl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Verzamelingenleer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3 Continuteit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.4 Dierentiaalrekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.5 PrimitievenenOneigenlijkeIntegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.6 GemakkelijkeFouten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Oefeningenexamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1 Verzamelingenleer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2 Limieten,Continuteit,Afgeleiden,Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3 Taylorreeksen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 LineaireAlgebra 132.1 DeTheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.1 Examenstijl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.2 Theorievragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.1 Deoefeningen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2 Oefeningenexamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 AlgemeneFysica 193.1 Decursus,hetvakenhetexamen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Tuyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.2 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301INHOUDSOPGAVE 24 KanstheorieenStatistiek 384.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.1.1 HetTheorieExamenAlgemeen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.1.2 Theorie-examens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2.1 AlgemeenOefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2.2 Oefeningenexamens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 InleidingProgrammeren 465.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.1.1 HetTheorieExamen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 Dankwoordje 66INHOUDSOPGAVE 3Voorwoord.Ikmaakdezetuyauxommedestudententehelpenbijdeexamens. Dezetuyauxbehandeltdeleerstofvanheteerstesemestervande1ebachelorWiskundeaandeUniversiteitAntwerpen. Devolgendetuyauxzalgeschrevenzijnvoorhettweedesemester.Inleiding programmeren, Calculus, Kanstheorie en Statistiek en Algemene Fysica zijn min of meerin hun originele vorm gebleven t.o.v vorig jaar. De cursussen gegeven door Prof. Dr. Van Steen enProf. Dr. LeBruynzijnradicaalveranderd. DeoefeningenvanAlgemeneFysicaveranderenquaaccentenvanjaartotjaar,doorhetnatuurlijkeverloopinassistenten. Dezetuyauxzalproberenjullieeenbeeldtegevenvanwatjullieallemaal moetenkennen, maarvooral waaraanjejekuntverwachten op een examen. Pas echter op, ik ben in geen geval verantwoordelijk voor onvoorzienevragenenzo,jemoetdecursussengoedlerenendetuyauxisslechtseenleidraad.Voordemeestenonderjullieisditjullieeerstecontactmetdeuniversiteit. Ongetwijfeldhebbenjullieinhoorcollegesal gemerktdatdemiddelbareschool jullievooral veel tijdheeftgekost, envoorderestmaarweinigrelevantekennisheeftbijgebracht. Laatjedaardoornietontmoedigen.Succesiszekerenvastbereikbaar,alvergthetdenodigemoeite,eenscheuttalenteneenstevigedosis zelfdiscipline. Achteraf isdezoetesmaakvansuccesechter eenruimschootsevergoedingvoorjeinspanningen.Zonder het vingertje opte willensteken, is het tochvancruciaal belangomjezelf eengoedestudiedisciplineaantemeten. Niemandgaatnogachterjeverenzittenomjeaanhetwerktezetten,jemoetnuzelfuiteigenbewegingachterjebureaugaanzitten. Destapelleerstofisookveelgroter. Devolgenderaadgevingenkunnenzekergeenkwaad: Behoudhetoverzicht. Structureer,verzorgenvervolledigjecursussenennotas,jekannietlerenvaneenstapelpapierenvan3vakkendoorelkaar. Werkoptijd. Steleenrealistischschemaopmetwatjewanneergaatstuderen,encalculeerdaarnogenkeledageninalsbuer. Dezekandienenomtegenslagonderwegoptevangen,ofom,alshetmeezit,allesnogeensrustigteherhalen. Zorgdat je de stof begrijpt endoorgrondt. Als dat niet het geval is, vraaguitlegaanvrienden,deassistentofdeprof. Herhaaldestofzodatjezejeeigenmaakt. Verzorgjezelf. Neemvoldoenderustenslaap, eetgezondengevarieerd. Jezal erdestegeconcentreerder,endusecienter,doorwerken. Geef niet op. Elkpuntjemeer dat jekansprokkelenkanhet verschil makentusseneengewoneeneengroteonderscheiding,dusgaervoor!Ikwens jullieallemaal veel sterkte, moed, doorzettingsvermogenensucces. Het padlooptnooitoverrozen, maarzorgergewoonvoordatjejezelfopheteindevanhetjaarnietshoeftteverwijten. Dankanjeterechterzijnopeenprestatiedienietvooriedereenisweggelegd.Hoofdstuk1Analyse1(Calculus)1.1 LerenStuderenErisgeengemakkelijkemanieromvoorditexamenteslagen. Jemoetereenredelijketijdhardvoorwerken, andersdaninhetsecundair. Maarmitsgenoegarbeideninzetisdezecursustevolbrengenenkanjeonderscheidinghalenvoordetheorie.Probeer al jekennis optebouwenvanbenedenaf. Eerst denities, dandestellingenenhunbewijzen, om zo stukje per stukje alles in verband te leggen. Denk na over de wiskundige technischetrucs, methodesenbewijstechnieken. Envooral alsjeietsnieuwsgeleerdhebteningestudeerd,herhaal al het voorgaande nogeens goed, omdante besluitenmet eenherhalingvande pasingestudeerdestof. Zorgdathetdiepinuwkopjezit.1.2 Theorie1.2.1 ExamenstijlDecursuswordtgegevendeProf. Dr. Soetens,hijlegthetexamenmondelingaf. Hijlegtvooraldenadrukopgrondigeenvolledigekennisvandeleerstof. Jemoetcompleetwetenhoeallesinelkaarzit,debewijzenmoetjevolledigkennen. Jemoetwetenhoedebewijzeninmekaarzitten,je moet kunnen zeggen waarom je elke stap neemt, en zorgen dat je de verbanden ziet. Correctheidishiereensleutelwoord,nietalleeninhetredenerenmaarookinhetformulerenenneerschrijvenvanderesultaten. Geendubbelepijlenwaarenkelepijlenmoetenstaan,explicietcheckenofaanallevoorwaardenvoldaanisvooreenbepaaldestap,. . .Prof. Dr. Soetens kan op een bewijs van jou een stap aanduiden, waarop jij die genomen beslissingmoet verdedigen. Vaak doet hij dit met foute stappen,maar soms ook om te controleren of je hetkentenweetwaarjemeebezigbent(misschienhebjedaareenstapovergeslagen). Hij neemtmeestaldrie viervragenaf,waaronderquasizekereenvraagoververzamelingenleer,eenoftweevragenovercontinuteitenlimieten, eneenof tweevragenoverdierentiaalrekening, endaarna4HOOFDSTUK1. ANALYSE1(CALCULUS) 5misschiennogeenkleinvraagjeoverprimitievenenintegralen. Hijsteltnagenoegzekerookeenvraaguitheteindevandecursus, omzekertezijndatjenietinhetmiddengestoptbent. Deverzamelingmetvragenisgrootenuitgebreid,maarallevragendieeropstaanzijnweldegelijkexamenvragen.1.2.2 VerzamelingenleerDit zijnruwwegdetweevollediguitgewerkteexamenvragenover het stukjeverzamelingenleer.Hieruitzalwaarschijnlijkweleenvraaggekozenwordenengesteldwordenophetexamen. Geefdedenitievaneenfunctie(plusdedenitievandeinversefunctie), aansluitendgeefdedenitievaneenrelatie, aansluitendgeef dedenitievaninjectiviteit, surjectiviteitenbijectiviteit. Nadatdiebegrippenzijnopgegeven,kanhijvragenstellingentegevenbetref-fendeinjectiviteit/surjectiviteit/bijectiviteit(2.16, 2.19, Schrder-Bernstein, ...). En1of 2vandezebewijzenooktebewijzen. Weesletterlijkenvolledig. Omschrijf het begrip kardinaliteit en equipotent zijn (hij bedoelt dan het kardinaalge-tal/oneindigheid/(over)aftelbaarheid) en zie daarvoor naar de regels bij 4.1, geef de denitiesvan eindigheid, aftelbaarheid en overaftelbaarheid. Na die korte uitleg, zal hij waarschijnlijkvragenomwatstellingentegevenbetreendeditonderwerp(4.3,4.4,4.6,4.7,4.8,4.9.1)ofom te bewijzen waaromQ aftelbaar is (4.10) of waaromR (4.11) en P(N) (2.19) overaftelbaarzijn.1.2.3 ContinuteitHet isbelangrijkdedenitiesgoedvanbuitenteleren. Debegrippenmaximum/minimumensupremum/inmummoetengoedgekendzijn(wat zijnboven/ondergrenzen) endenuances enbetekenisverschillengoedbegrepen. Lees enleer daarompuntjes 1.3.2en1.3.3met voldoendeaandacht. De denities zijn iets waar prof. Soetens heel veel belang aan hecht, leer ze dus letterlijk(maarzorgdatjedebetekenisooktenvolleninjeopneemt)vanbuiten. Hierdebelangrijksteexamenvragen. Geef de Archimedische eigenschappen en bewijs ze allemaal, bespreek de volledigheid van R. Geefdedenitiesvan(dis)(links)(rechts)continuteitvaneenfunctie(ineenpunt)(voordefunctiemoetmener (x)voorzetten). Nadezedenitieskanhij vragenomstellingenenbewijzentegeveni.v.bmetdezematerievooral stelling2.3.2(vooral puntjes(2)en(3))enstelling2.3.4. Geef de denities voor verschillende limieten (eigenlijke, oneigenlijke, oneindige, rechter/linkerlimieten,etc)endaarbij hoortookdedenitievooreenophopingspunt. Daarnakanhij vragenomdaarbijhorende stellingen te geven,(3.1.3 moet goed gekend zijn). De stellingen 3.3.1,3.3.2,HOOFDSTUK1. ANALYSE1(CALCULUS) 63.3.3en3.3.4zijnnietheel belangrijk, stellingen3.3.6en3.3.7durfthij wel eensvakertevragen. Ditstukjeoverlimietenlijktopheteerstezichtietsminderbelangrijk, maarmagmenzekernietverwaarlozen. Geef destellingvanBolzano, Middelwaardestelling(eenstellinguitdefundamentelestel-lingenvandecontinuteit). BijvoorbeeldalshijdeTussenwaardestellingvraagt, danvolgtdieuitBolzano, diedanvolgtuitlemma4.1(jevoelthetal aankomen, geefenbewijsze).Denities in 4.5 zoals altijd kennen, stellingen 4.4, 4.6, 4.8 (Weierstrass) allen kennen, zorgendatjedebewijstechniekendoorhebtenkuntreproduceren.1.2.4 DierentiaalrekeningDedenitiesmoetenookhierhelemaalgekendzijn. Geef enkele denities over aeidbaarheid en geef en bewijs daarna stellingen 1.7 of 1.8. Vooral1.8iseenpotentieleexamenvraag. Geef stellingen over basiseigenschappen van de afgeleide (Algebra der afgeleiden, kettingregel,afgeleide van de inverse functie, . . . ) en bewijs er dan n van (die hij natuurlijk zelf uitkiest).Hetkanzijndathijbepaaldebewijzenlaatvallenomdatzeveelaltechnischzijn,datzalhijzelfwelzeggentegenjullieoplaatstelesofzo. Uitdespecialeeigenschappenkanhijo.a. devolgendevragenstellen: geefdedenitiesvanlokaleextrema. Geef destellingvanLagrangeenbewijsze, simpel bewijsje, maarsteuntopdeStellingvanCauchydusgeef enbewijsCauchy, datsteuntdanweeropdeStellingvanRolle, omdatbewijstemakenmoetjegebruikmakenvanWeierstrassenStelling3.2,Geef destellingvanWeierstrassenStelling3.2enbewijszeeven. Ditiseenbelangrijkeexamenvraag,waarin al de hiervoor genoemde bewijzen gekend en bewezen moeten worden,ziedeverbandenenweesvolledig. GeefenbewijsdeStellingvandelHopital,ookditbewijssteuntopCauchy,dusdaargaanweweer. . . DezeStelling(lHopital)moetjenietkunnentoepassengeloofik,welkennenenkunnen. Geensuperbelangrijkevraagopzichzelf, maarbelangrijkebagageenonderbouwvoorvol-gende(belangrijkeexamenvraag): geefdedenitiesvan(strikt)stijgende/dalendefuncties,kritischpunt;enmisschien: geefenbewijs3.14. Bewijs de equivalentie tussen de twee denities van convex (of concaaf). Er is een eigenschapdie direct opdeze denitie volgt enookzoukunnenfunctionerenals eendenitie voorconvex(of concaaf), waaruitdandeeerdergesteldedenitiezouvolgenalseeneigenschapdaarvan.HOOFDSTUK1. ANALYSE1(CALCULUS) 7 Geefdedenitiesvanconvexenconcaafengeefdaardanstellingen3.16, 3.17en3.18bij.Hij zal dan waarschijnlijk vragen 3.18 te bewijzen die uit 3.17 en 3.11 volgt, of 3.17 en dan tebewijzen. Je moet goed de verbanden tussen convex, 2de afgeleide, kritische punten hol/bol,stijgendendalendproberenintezien. GeefenbewijsdeStellingvanTaylor. DezevolgtvooreenheelbelangrijkdeeluitLemma3.19 dat je zeker bij dit bewijs moet geven. Ook Stelling 3.21 kan je best geven en bewijzen,dezezegtnamelijkdatjevooreeneenfunctiediezichbraafgedraagteenwillekeuriggoedebenaderingkunt vinden. Merkopdat jeinhet bewijs vanLemma3.19deStellingvanCauchynodighebt enhet bewijs daarvansteunt danweer op. . . Als het bovenstaandeechteral allemaal al correcthebt, zal hijwel nietmeerdoorvragenvermoedik. Ditiseenklassieker.1.2.5 PrimitievenenOneigenlijkeIntegralenUitditstukjestelthijvaaknogeenvraagomtetestenofjeheeldecursuswelgeleerdhebt. Geefdedenitievande(oneingenlijkevooral denitie2.1en2.4daarbij)integraal endanvandeprimitievedieeenessentieelonderdeelvormtvandedenitievandeintegraal. Geefdaarnaeigenschappenvandeintegraal, primitieveenbewijsdaarnvan(hijkiestvoorjoude welke natuurlijk, zoals altijd). Dit zijndanStellingen1.3(voor de primitieven), 1.7(additiviteit),1.8(lineariteit),1.10(Isotoniteit),1.11(part. integratie,ziehetverbandmetafgeleide van het product), 1.12 (Substitutie, dit noemt hij wel eens de eigenschap equivalentmetdekettingregel)en1.14,geefdaarbijooknogeensaldegevolgendieuitdieStellingenvloeien. De denities i.v.m integralen (hij hecht veel belang aan de stellingen met een naam)endeverbandenmetrekenregelsvoorafgeleidenzijnookeendeel vanhettotaleplaatje.Eigenschappen2.6, 2.7, 2.8en2.9moetjekunnengevenbij denitie2.4overoneigenlijkintegreerbaarzijn, ookhiermoetjedestellingenkunnenbewijzenendedaaruitvolgendegevolgenmoetjekunnengeven.1.2.6 GemakkelijkeFoutenHet is zeer belangrijk van stellingen en bewijzen volledig te kennen, dit lijkt vanzelfsprekend, maarhetiszeergemakkelijkomdaaropfoutentemaken. IkneemalsvoorbeeldStelling3.19:Zij f : D Reenfunctieenaeenophopingspunt vanD. Als danf limiet bheeft voor xnaderendtotaenflimietcvoorxnaderendtota. Danisb = cHOOFDSTUK1. ANALYSE1(CALCULUS) 8HetisbelangrijkomhetstukvoordezinbeginnendmetAlsdanookgoedtekennen. Jemoetdebeginsituatiewaaroverjedestellingformuleerthelemaalkennen. Desituatiebeschrijvingisevenbelangrijkalsdeeigenschapdieoverdesituatiewordtgeformuleerd!Hetzelfdeisvantoepassingopdebewijzenzelf.1.3 OefeningenexamenDeoefeningenworden,opmomentvanschrijven,doorStijnVerwulgengegeven,hijsteltdanookdeoefeningenexamensop. Meestalstelthijeenvijftalvragenop. Hetoefeningenexamenisopenboekendevragendiegesteldwordenliggeninlijnmetwathijtijdensdelessenheeftgevraagd.1.3.1 Verzamelingenleer Isdeverzameling2Z`A Z[A isoneindigeindig,oneindigaftelbaarofoveraftelbaar?Motiveeruwantwoord.(Jan2005) Isdeverzameling(a, b) R[a Q, b a/ Zeindig,aftelbaarofoveraftelbaar?Motiveeruwantwoord.(Aug2005) f: [0, 2] [0, 1]eenfunctie. Bewijsofgeefeentegenvoorbeeld(Jan2006).1. Alsf finjectiefisdanisfinjectief.2. Alsf fsurjectiefisdanisfsurjectief. Ga van elk van onderstaande verzamelingen na of ze eindige, oneindig aftelbaar of overaftel-baarzijn. Motiveeruwantwoord(Jan2006).1. A := x R[ sin x Q2. B:= A N[#A = #NHOOFDSTUK1. ANALYSE1(CALCULUS) 9 StelA := 1 +1n+1x[n N0, x [1, [.1. Isdezeverzamelingeindig,oneindigaftelbaarofoveraftelbaar?2. BerekeninfA. Isditinmumeenminimum?3. BerekensupA. Isditeensupremumeenmaximum?Motiveeruwantwoordzovolledigmogelijk.(Aug2006)1.3.2 Limieten,Continuteit,Afgeleiden,Integralen Berekenlimx0x2sin1xsin x(Jan2005) Stelf: R Reenfunctie,a R. Watbetekentdeuitspraak[ limxaf(x)[ = +inelementairetermen?Leidhieruitafdelimxa1f(x)= 0.(Jan2005) Stel a 0. Dan bestaat er een d ]a, b[ zodanig dat f(d) = f(b).Toonditaan.3. Bewijs dat, indien f(a) > 0 en f(b) < 0, er een c ]a, b[ bestaat zodanig dat f(c) = 0.4. Toonaandatfaaneigenschap(E)voldoet.5. Geefeenfunctiedienietcontinuis,maarwelaaneigenschap(E)voldoet.(Aug2005) Hieronder wordt driemaal eendierentieerbarefunctief :]0, [Ringevoerd. Berekentelkensdeafgeleidefunctief(x)f(x) :=t=xt=3cos(t)dt.f(x) :=t=(1+x)2t=0cos(t)dt.f(x) :=t=(1+x)2t=sin xcos(t)dt.(Aug2005) Stelf(x) =1(x1)4.1. Toonaandatfaanvolgendeeigenschapvoldoet:m R > 0 : 0 < [1 x[ < f(x) > m2. Watisdebeknopteweergavevanhierbovenneergeschreveneigenschap?(Jan2006) 1. Neemf, g: [a, b] Rcontinuefunctiemetdeeigenschapdatf(a)=g(b)enf(b)=g(a). Toonaandatf(c) = g(c)voorzekerec [a, b].2. Als f : [a, b] Reencontinue functie is, danbestaat er eenc [a, b] waarvoorf(c) = f(a +b c). Argumenteerdezebewering. (Jan2006)HOOFDSTUK1. ANALYSE1(CALCULUS) 11 VoorelknatuurlijkgetalndenierenwePn:= D(n)(x21)n.1. ToonaandatPneenveeltermvangraadnis.2. Bewijsperinductie,datvoorelkek < n,D(k)(x21)n = (x21)nkVk(x)metVkeenofandereveeltem.3. Voorm < nhebbenwe11Pn(x)Pm(x)dx = 0.Toonditaan.Hint: merkopdat11Pn(x)Pm(x)dx =11D(n1)(x21)nPmdx.Pas partiele integratie toe, gebruik het voorgaande, pas terug partiele integratie toe.(Jan2006) Geef,voorelkegegevenverzamelingA R,ofweleencontinuebijectief: [0, 1] A,Ofweleenargumentwaaromzoeenfunctienietkanbestaan.1. A = R.2. A = [2, 2].3. A = [2, 2]`0.4. A =] 2, 2[.(Aug2006) Toonaandatdefunctief: R Rmetvoorschrift(+mogelijkevarianten)f(x) :=x4sin1xx = 00 x = 01. tweemaalaeidbaaris2. endatdetweedeafgeleidenietcontinuis.HOOFDSTUK1. ANALYSE1(CALCULUS) 123. Geefeenfunctiedieoveralaeidbaarisenwaarvoordetweedeafgeleideslechtsin eenpuntbestaat.(Aug2006) Bereken(minderfrequentgevraagd)limx02 sin x sin 2xx sin x.(Aug2006)1.3.3 TaylorreeksenDeze vragen worden alleen maar gesteld indien de materie behandeld is geweest tijdens de practica. 1. Geefvandefunctief: x 1(1x)3deeerstentermenvandeTaylorontwikkelingrond0.2. Voorelkex ]0, 1[wordtderesttermwillekeurigklein. Waarom?Hint: denkaandeTaylorontwikkelingenvandefunctiex 11x.3. Berekenn=0n(n+1)3n(Jan2005) 1. Ganahoeveeltermenernodigzijnopdat,uniformvoorx [1, 1],deresttermuitdeTaylorontwikkelingvandeexponentielefunctie.x exkleinerisdan103.2. Bereken10ex2dxtotopdriecijfersnadekommanauwkeurig.(Aug2005)HOOFDSTUK1. ANALYSE1(CALCULUS) 131.4 AppendixALGEBRAVANTAYLORREEKSENStelfeen (functie,0 dom(f),enstelk=0akxkdeTaylorreekvanf.1. De Taylorreeks van de (functie x xf(x) wordt gegeven doork=1ak1xk, en bovendiengeldtf(x) =k=0akxk xf(x) = 0 +k=1ak1xk2. DeTaylorreeksvanfwordtgegevendoork=0(k + 1)ak+1xk,enbovendiengeldtf(x) =k=0akxk f(x) =k=0(k + 1)ak+1xk3. Stel geen (is, 0 dom(g), metTaylorreeksk=0bkxk, danwordtdeTaylorreeksvanf+ggegevendoork=0(ak +bk)xk. Bovendiengeldtf(x) =k=0akxkg(x) =k=0bkxk f(x) +g(x) =k=0(ak +bk)xk.Hoofdstuk2LineaireAlgebra2.1 DeTheorie2.1.1 ExamenstijlHetexamenzalmondelingwordenafgelegdmetschriftelijkevoorbereiding. Prof. Dr. VanSteenzitmeestal vooraaninhetlokaal. Alsjeeenbepaaldevraagwerkelijknietkan, geefthijjoueenanderevraag(mitsaftrekvaneenaantal punten). Deeerstevraagisvooriedereendezelfde. Jegaat naar hem toe als je de vraag hebt opgelost, en dan krijg je meteen een andere vraag. Meestalkrijgjezodrieof viervragen. Eentuyauxopstellenvoorditvakiszeermoeilijk, jemoetalleskennenenhij kanallesvragen. Zorgdatjeallesbegrijptenweethoehetinelkaarsteekt. DebelangrijkevragenzijndepuntjesdieProf. Dr. VanSteenzelf heeftaangestipt, maarlaatjezeker niet verleiden tot het leren van enkel de vragen in de tuyaux(dit is zeer belangrijk en het zoudwaas zijn je enkel te laten leiden door de tuyaux!). Je moet alles kennen en kunnen bewijzen waterindelessenisgezien,zorgdatjedestructurengoedkentenweetwaaromjebepaaldedingendoet, uitwerkt,. . . Het oefeningenexamen ligt in lijn met wat je hebt gezien in de klas, om een goedideetekrijgenvanhetoefeningenexamenkandeoudereoefeningenexamenslezenwelhelpen.2.1.2 TheorievragenBelangrijkeVragen Dematrixvoorstellingvaneenlineaireafbeelding. Gramm-Schmidt. Allesbetreendeeigenwaardeneneigenvectoren. Dimensieformules + alle soorten variaties op de stellingen(andere stellingen over dimensies).14HOOFDSTUK2. LINEAIREALGEBRA 15 De exsistentie van basissen, hoe maak je ze?Het uitbreiden van een lineair onafhankelijk deeltoteenbasis. Hetinkrimpenvaneenvoortbrengenddeel toteenbasis. Geefdestellingendiedaarvoordienen. OrthogonaliteitDecember20041. (a) DenieerhetbegriplineaironafhankelijkevectoreninRn.(b) Zijv, w Rnvectorenmetv = 0enw = 0. Toonaan: v, wislineairafhankelijkalsenslechtsalsv= wvooreenzekere R.2. (a) Hoedenieertmendenkernvaneenlineaireafbeelding?(b) ToonaandatdekernKerfvaneenlineaireafbeeldingf: RnRmeendeelruimeisvanRn.(c) Zijf: RnRmeenlineaireafbeelding. Toonaan:n =dimKerf+dimImf3. ZijA Mn,n(R)eenvierkantematrix.(a) HoedenieertmendekarakteristiekeveeltermvanA?(b) ToonaandatdewortelsvandezeveeltermjuistdeeigenwaardenzijnvanA.(c) Zijv1, . . . , vt RneigenvectorenvanAmetrespectievelijkeeigenwaarden1, . . . , t Rn. Toon aan: als 1, . . . , tonderling verschillend zijn,dan zijn de vectoren v1, . . . , vtlineaironafhankelijk.Juni2005: Groep11. Bewijs: alsf: V V ,dandim(V ) = dim(Ker(f)) +dim(Im(f)).2. Gramm-Schmidt3. BewijsdathetoptellenvanMatriceseenlineaireafbeeldingis.4. GegeveneenHermitischematrix.(a) Bewijsdatdeeigenwaardenreeelzijn(b) BewijsdateigenvectorenvanverschillendeeigenwaardenloodrechtopelkaarstaanHOOFDSTUK2. LINEAIREALGEBRA 16Juni2005: Groep21. WanneerVenWtweevectorruimtenzijn,watbetekentdanV/W?Waaraanisdim(V/W)gelijk?2. Gramm-Schmidt3. Bewijsdateigenvectorenvanverschillendeeigenwaardenloodrechtopelkaarstaan.2.2 Oefeningen2.2.1 DeoefeningenJemoetdetheorieredelijkonderdekniehebbenomhetoefeningenexamengoedtekunnen.2.2.2 OefeningenexamenDecember20041. Beschouwdelineaireafbeeldingenf: R3R3:xyz2x + 3zx +y +z2x +z.(a) Geefdematrixvandeafbeeldingf.(b) Geefeenbasisvoordekerneneenbasisvoorhetbeeldvandeafbeeldingf.(c) Is de afbeeldingf injectief, surjectief, bijectief? Bewijs wat je beweert. Geef hetvoorschriftvandeinversefunctie,indiendezebestaat.(d) Geefdeeigenwaardeneneenbasisvoordebijhorendeeigenruimtenvandeafbeeldingf.2. Beschouw de volgende drie vectoren in R4. Voor welke waarden van R zijn deze vectorenlineairafhankelijk?211,122,415HOOFDSTUK2. LINEAIREALGEBRA 17Juni20051. Beschouw de volgende drie vectoren in R4. Voor welke waarden van R zijn deze vectorenlineairafhankelijk?211,122,4152. GegevendeR-vectorruimtenV= R[X]3enW=X2+ 1, X V .Beschouwdevectorenv1, v2, v3 V ,v1=> X3+X2X + 1v2= 3X2+ 2X + 1v3= 2X3X2+ 1.(a) Geefeenbasis BvoorV/W.(b) Zijndevectorenv1, v2, v3 V/Wi. lineaironafhankelijk?Bewijsjeantwoord.ii. voortbrengend?Bewijsjeantwoord.iii. basisvectoren?Bewijsjeantwoord.3. Beschouwdelineaireafbeeldingenf: R3R2:xyzzxg: R2R3:xy 3x +yx + 3y2x + 2y(a) Geefdematrixvandeafbeeldingg ftenopzichtevandecanoniekebasissen.(b) Geefeenbasisvoordekerneneenbasisvoorhetbeeldvandeafbeeldingg f.(c) Isdeafbeeldingg f injectief, surjectief, bijectief? Bewijswatjebeweert. Geef hetvoorschriftvandeinversefunctie,indiendezebestaat.(d) Geefdeeigenwaardeneneenbasisvoordebijhorendeeigenruimtenvandeafbeeldingg f.HOOFDSTUK2. LINEAIREALGEBRA 184. WewerkenindevectorruimteR[X]3. Beschouwvolgendehetvolgendscalairproduct; wedenierenvoorf, g R[X]3:fg=11f(x)g(x)dx.(a) Geefdematrixvandezebilineairevormtenopzichtevandebasis1, X, X2, X3.(b) Geef met behulpvanhet Gram-Schmidt-orthonormalisatieprocedeeenorthonormalebasis(tenopzichtevanditscalairproduct)voordedeelruimtevoortgebrachtdoordevectoren1, X, X2.September20051. Beschouw de volgende drie vectoren in R4. Voor welke waarden van R zijn deze vectorenlineairafhankelijk?021,212,2142. Zij V eenR-vectorruimte. Beschouweenlineaireafbeeldingf: VV eng: VVStel datfeigenwaarde Rheeft, endatgeigenwaarde Rheeft. Watkanmendanzeggenovereigenwaardenvang finfunctievanen? Bespreeknauwkeurigenbewijsaljebeweringen.3. WewerkeninR-vectorruimteinR2. Beschouwdeafbeeldingf: R2R2R : (v, w) tv2 11 2w,(a) Toonaandatdezebilineaireafbeeldingeeninproductis.(b) ZoekeenorthonormalebasisvoorR2tenopzichtvanditinproduct.HOOFDSTUK2. LINEAIREALGEBRA 194. WewerkeninreeledeelvectorruimteR3. Zij W=t0 1 0 R3eendeelvector-ruimte. Beschouweenlineaireafbeeldingff: R3R3:xyzx y zx +y zx y +z,endeafbeeldinggg: R3R3/W: v v.(a) Geefdematrixvanftenopzichtevandecanoniekebasissen.(b) BerekendeeigenwaardenvanfengeefeenbasisvanelkeeigenruimteV.(c) Geefeenbasis BvandequotientvectorruimteR3/W.(d) Geef een matrix van g ften opzichte van de canonieke basis vanR3en de zelfgekozenbasis BvanR3/W.September20061. StelW:= f R[X] [ f(3)= 0.(a) BepaaldeveeltermendieinWzittenexpliciet.(b) IsWeendeelruimtevanR[X] ?(Motiveerjeantwoord.)2. WebeschouwendevectorruimtenV1= R1[X] V2= R2[X] V3= RmetderespectievelijkegeordendebasissenB1=1 XB2=1 X X2B3=1enwedenierendevolgendefuncties(met R) :V11 V22 V31(F) :=x0F(x) dx 2(G) := G()(a) Bepaaldematricesvan1 ,2en2 1 .(b) Waarkomt2 1opneer?3. Stel V eenvectorruimtemet eeninproduct ', ` : V2V. ', ` bepaalt denorm-afbeelding||:VRvia|v|:='v, v` . Hetismogelijkomhetinproductterecon-struerenmetalsenigegegevendefunctie ||. Stel v, w V . Schrijfdan 'v, w`infunctievandenorm.4. GeefeenmatrixX GL3(R)dievoldoetaan:X1AX=3 0 00 0 00 0 1A =2 1 11 2 11 1 0Hoofdstuk3AlgemeneFysica3.1 Decursus,hetvakenhetexamen AlgemeneFysica1(Prof. Dr. VanTendeloo) EersteBachelorWiskundeDeTuyauxvoorAlgemenFysicaisniethelemaalmeerbetrouwbaarindiezindatdecursusveeldunnerisgewordent.o.v. vorigejaren. Duszullenerwssteveelexamenvragenzijn. Wijhebbengeenduidelijkzicht opdenieuweexamenvragenenoefeningenexamens. Houdat alstublieft ingedachtebijhetlezenvanhetstukjeoverAlgemeneFysica.Het theorie examen Algemene Fysica gebeurt mondeling, met schriftelijke voorbereiding. Iedereenkrijgtdezelfdedrievragen,ennaeenaantalurenmoetjejemondelinggaanverdedigenbijProf.Dr. VanTendeloo. Alsjeietsnietmeervolledigweet,magjeeenminuutineen(blanco)cursuskijken, endaarnaverderwerken. Erzal altijdeenvraagi.v.m. Dynamicaeneenvraagi.v.m.Toestandsvergelijkingen en Kinetische Gastheorie bijzitten. Probeer altijd de praktische inzichtenaandetheorietekoppelen.Het oefeningenexamenAlgemene Fysicabestaat uit het schriftelijkoplossenvantheoretischevraagstukken. Je mag (en kan maar best, vergeet het zeker niet) je zakrekentoestel gebruiken. Hetgaatnietomrekenvraagstukken, maaromtheoretischeaeidingen, dienadientoegepastkunnenwordenopeengetallenvoorbeeld. O.a. deeskimoopdeigloiseenechteklassieker.Deoefeningenendetheorievragenzijnspeciekgerichtopdewiskunderichting. Inhetalgemeenzijnde theorievragenongeveer dezelfde voor Wiskunde enFysica. Per groepdie de examenstegelijkertijdaegt,wordeneraparteexamensopgegeven.20HOOFDSTUK3. ALGEMENEFYSICA 213.2 Tuyaux3.2.1 Theorie KinematicaHarmonischetrillingenDoppler-eect DynamicaAlledenitiesWettenvanKeplerWaterstofatoomvanBohrNewton: theorieentoepassingen HydrostaticaAlledenitiesOverdrukineenzeepbelFormulevanLaplaceOppervlakte-energieen-spanning: driemethodenomoppervlaktespanningtebereke-nen,hetverbandtussenoppervlakte-energieen-spanning,Terquem HydrodynamicaenViscositeitFormulevanBernouilliViscositeitLaminaireenturbulentestromingWetvanPoiseuilleentoepassingen Warmteen-transport(Thermodynamica)MolecuulmodelvooreenideaalgasThermischeagitatiealsgevolgvandeanharmoniciteitvanderoostertrillingenEinsteinenDebeye-modelWarmtetransport ToestandsvergelijkingenenKinetischeGastheorieWilsonkamerenbellenvatMolecuulmodelvaneenideaalgasHOOFDSTUK3. ALGEMENEFYSICA 22VrijeweglengteMaxwell-verdelingEinstein-SchmoluchowskitheoriederBrownsebewegingZelfdiusieVerbandtussendiusiecoecientenBoltzmann-constante.HetgetalvanAvogadro(NA): alles.VoorbeeldexamensvoordeWiskundeVoorbeeld: januari1994Groep11. Beschouw een vallende regendruppel, waarbij wrijving door de lucht een rol speelt. Toon aandatdesnelheidnavoldoendelangetijdconstantwordt. Denieerhetbegriprelaxatietijd.2. Berekendedrukineenbewegend(ideaal)udum. Hoemeetjedie?3. Denieerdesoortelijkewarmte. Hoevarieertdiealsfunctievandetemperatuur?Voorbeeld: januari1994Groep21. Hoe meet je de uitstroomsnelheid van een gas?Hoe meet je de viscositeit van een vloeistof?2. Denieerdevolume-uitzettingscoecient. Geefeenuitdrukkingvoordevolumeveranderingalsfunctievanhettemperatuursverschil.3. Denieer de diusiecoecient D. Geef eenuitdrukkingvoor de diusiecoecient Dalsfunctie van microscopische grootheden. Hoe varieert D als functie van druk en temperatuur?BestaatereenbetrekkingtussendediusiecoecientendeBoltzmannconstante?Voorbeeld: september19941. Atoommodel vanBohr. Watishet? Basisveronderstellingenenbenaderingen? Kanjehetmodelexperimenteelbevestigen?Hoeverandertdeenergievaneenelektronalsfunctievandeafstandtotdekern?2. Bereken de stijghoogte van het vrije vloeistofoppervlak in de nabijheid van een vlakke wand.3. Denieer de viscositeitscoecient . Geef een uitdrukking voor de viscositeitscoecient alsfunctie van microscopische grootheden. Hoe varieert als functie van druk en temperatuur?Voorbeeld: januari1995Groep11. Atoommodel vanBohr. Watishet? Basisveronderstellingenenbenaderingen? Kanjehetmodelexperimenteelbevestigen?Hoeverandertdeenergievaneenelektronalsfunctievandeafstandtotdekern?HOOFDSTUK3. ALGEMENEFYSICA 232. Denieer de circulatie van een vectorveld en bereken de hydrodynamische stuwkracht op een(vereenvoudigde)vliegtuigvleugel.3. Welkemanierenkenjeomhetgetal vanAvogadroNAtebepalen? Hoedenieerjevrijeweglengteenhoemeetjedeze?Voorbeeld: januari1995Groep21. Beschrijf devariatievandezwaarteversnellingmet debreedteliggingopaarde. Waaromgeeftdieaeidingniethetcorrecteresultaat,t.t.z. welkebenaderinghebjegemaakt?2. Denieerdesoortelijkewarmte. Hoemeetjedie? Hoeverlooptdesoortelijkewarmtealsfunctievandetemperatuur?BespreekdebetrekkingCV= 3NAk.3. WelkverbandbestaatertussendediusiecoecientDendeBoltzmann-constantek?Voorbeeld: september19951. BespreekvolledighetDoppler-eect.2. Beschouw een vallende regendruppel, waarbij wrijving door de lucht een rol speelt. Bespreekvolledigendenieerhetbegriprelaxatietijd.3. Naarkeuze: Maxwell-verdelingofthermischegeleidingscoecient.Voorbeeld: januari19961. Geef debewegingsvergelijkingenvooreenharmonischetrilling, uitgaandevanhetbehoudvanenergie. Waaromkaneenmodelvanharmonischetrillinggeenwarmteuitzettingineenvastestofverklaren?2. Bereken de kracht op de wand van een vat dat een stilstaande vloeistof bevat, zonder rekeningtehoudenmetoppervlakte-eecten.3. Denieerhetgetal vanAvogadroNA. HoeberekenjeNAenbespreekdenauwkeurigheidvandeverschillendemethoden.VoorbeeldNueenaantalrecenterevoorbeelden. . .Voorbeeld: januari20001. De valversnelling gvarieert zowel met de hoogte boven de aarde als met de breedteligging opdeaarde. Toonditaanengeefeenuitdrukkingvoordezwaarteversnellingopeenbepaaldebreedteliggingalsdezwaarteversnellingaandeevenaargekendis.HOOFDSTUK3. ALGEMENEFYSICA 242. Hoemeetjedesnelheidvaneengas(tweemanieren)?3. DeEinstein-Schmoluchowski theorieder Brownsebeweging. Wat is eenBrownsebewe-ging?Watzijndebasisveronderstellingenvoordeberekening?Toonaandatdekwadrati-scheverplaatsinglineairtoeneemtmetdetijd. Watkanjehiermeeaanvangen?Voorbeeld: januari20011. Beschouw een vallende regendruppel, waarbij wrijving door de lucht een rol speelt. Bespreekhetsnelheidsverloopvolledigendenieerhetbegriprelaxatietijd.2. Bespreekoppervlakte-energieenspanningvolledig, enbespreekookdemethodevanTer-quem.3. GeefenbeschouwvolledigdeEinstein-SchmoluchowskitheoriederBrownsebeweging.Voorbeeld: januari20031. Hydrostatica: Watisoppervlaktespanning? Watishetverschilmetoppervlakte-energie? Hoemeetjedeoppervlaktespanning?(uitwerken)2. Hydrodynamica:Hoemeetjedeviscositeit? vanwater vanolie3. Kinetischegastheorie: Welkezijndebasisonderstellingenvandekinetischegastheorie? Bewijsdatdetotaleenergievaneendeeltjebinnendekinetischegastheorieenkel vandetemperatuurafhangt.Voorbeeld: Augustus2004(1eKanWiskunde)1. Dynamica: BeschrijfhetatoommodelvanBohr. Hoekanmenexperimenteelverierenofhetmodelkloptmetderealiteit? Watwordtbedoeldmet,,massacentrumcorrectie?HOOFDSTUK3. ALGEMENEFYSICA 252. Berekendedrukineenbewegendevloeistof,geenrekeninghoudenmetdeviscositeit.Hoekanje(eventueel)rekeninghoudenmetdeviscositeit?3. Kinetischegastheorie DenieerhetgetalvanAvagadro. Hoekanjeditgetalexperimenteelbepalen? Welkemanierisdemeestnauwkeurige?Voorbeeld: januari2005(1eBa. Wiskunde)1. Kinematica: WatishetDopplereect? Hoeverandertdeperiodevaneensignaal alseenwaarnemermetsnelheidvnaardebrontoebeweegt? Zijn die formules algemeen geldig (Bij snelheden boven de snelheid van het geluid/licht)2. Hydrostatica: Watisdegrondformulevandehydrostatica? Hoe vereenvoudigt die formule zich als alleen maar de gravitatiekracht in rekening wordtgebracht? Hoewordtdieformuleaangepastalsdevloeistofnietinrust,maarinbewegingis?3. Kinetischegastheorie: Hoedenieerjedediusiecoecient? GeefeenmicroscopischeaeidingvandiediusiecoecientD. Bespreekhetresultaat(LaattoehetgetalvanAvogadrotebepalen).Voorbeeld: januari2006(1eBa. Wiskunde)1. Dynamica: Formuleerdedriebehoudswetten HoevertalendiebehoudswettenzichnaarhetformalismevanLagrange? Watiseenconservatiefkrachtveld? Toonaandatineenconservatiefkrachtvelddemechanischeenergiebewaardblijft.2. Hydrostatica: Denieer,,oppervlaktespanningen,,oppervlakteenergieHOOFDSTUK3. ALGEMENEFYSICA 26 Welke methodes heb je om oppervlaktespanning te meten?(de derde methode is kijkennaardehoogtevaneenvloeistofineencapillairebuis) Welkemethodepasjewanneertoe?3. Kinetischegastheorie: Denieerdediusiecoecient Hoevarieertdiediusiecoecientmetdedrukendetemperatuur? Isereenverbandmetdemobiliteit?Voorbeeld: augustus2006(1eBa. Wiskunde)1. Dynamica: WatishetatoommodelvanBohr? Welkeveronderstellingen(ofpostulaten)hebjenodigomafteleidendatdebaandia-meternietwillekeurigis? Hoeverandertdeenergievaneenelektronalsfunctievandeafstandtotdekern? Hoeverieerjeofhetmodelcorrectis?2. Hydrostatica: Denieer,,oppervlaktespanningen,,oppervlakteenergie Welke methodes heb je om oppervlaktespanning te meten?(de derde methode is kijkennaardehoogtevaneenvloeistofineencapillairebuis) Welkemethodepasjewanneertoe?3. Kinetischegastheorie: Denieerhetbegrip,,vrijeweglengte Watbetekend,,Maxwellverdelingindekinetischegastheorie HoebepaaljehetgetalvanAvogadro?VoorbeeldexamensvandeNatuurkundeVoorbeeld: januari1989Groep11. Einsteinmodelvoordesoortelijkewarmte. WatishetverschilmetDebeye?2. Samenstellingvanharmonischebewegingen(zwevingen)-constructievanFresnel.3. Leguit: enkeledenitiesenbegrippen.HOOFDSTUK3. ALGEMENEFYSICA 27Voorbeeld: januari1989Groep21. Kinetischegastheorie: BewijsdatpV= nRT.2. LeiddeformulevanBernouilliaf. Bewijsdatdaaruitdegrondformulevandehydrostaticavolgt.3. BespreekdeproefvanRutherfordenzijngevolgen.Voorbeeld: januari19901. BespreekhetDopplereect.2. Hoeverandertdesnelheidalsfunctievandetijdvooreenvallenderegendruppel?3. Berekendeoverdrukineenzeepbel.4. Hoeverklaarjethermischeuitzettingopatomaireschaal?5. Denieer de diusiecoecient D en leid een uitdrukking af voor D zonder rekening te houdenmetquanten.Voorbeeld: september19921. LeiduitdewettenvanKeplerde3dewetvanNewtonaf.2. Geefdriemanierenomdeoppervlaktespanningtebepalen.3. Hoeberekenjededrukindeatmosfeeropenkelekilometershoogte?4. Spectrumemittantie: BeschrijfhetverloopalsfunctievanenschetsdebehandelingenvanRayleighenPlanckomditverlooptebeschrijven.Voorbeeld: januari19931. Beschrijf de beweging van een geladen deeltje in een magnetisch veld. Hoe kan je dit gebrui-kenalsmassaspectrograaf?2. Watisdedynamischestuwkracht?Leideenuitdrukkingafvoordezekracht.3. Denieerdesoortelijkewarmteenbeschrijfhaarverloopalsfunctievandetemperatuur.4. BeschrijfdeBrownsebewegingvaneendeeltjeinsuspensieineenvloeistof.HOOFDSTUK3. ALGEMENEFYSICA 28Voorbeeld: september19961. Dynamica: Valteensteenechtnaarhetmiddelpuntvandeaarde?2. Hydrostatica: Berekendeoverdukineenzeepbelop2verschillendemanieren.3. Kinetische gastheorie: Denieer de diusiecoecient enleideenuitdrukkingaf voor D.Welkekrachtenneemjeinrekeningenwelkeverwaarloosje?Voorbeeld: januari19971. BerekendelengtevooreensferischeslingeralsfunctievandeopeningshoekendelengteLvandedraad.2. DenieerdemoleculairesoortelijkewarmteCv. HoeverlooptCvalsfunctievandetempe-ratuur?GeefdeEinstein-aeidingendebeperkinghieraanverbonden.3. Geef het verband tussen de diusiecoecient en de mobiliteit van een gas. Is deze betrekkingenkelgeldigvoorgassen?Voorbeeld: januari19991. Atoommodel vanBohr: wat ishet ? Basisveronderstellingen, benaderingen? Kanjehetmodel experimenteel verieren? Hoeverandertdeenergievaneenelektronalsfunctievandeafstandtotdekern?2. Geefdeverschillendemethodesomdeoppervlaktespanningtemeten.3. Geefhetverschiltussengasendampendenieer: kritischpunt trippelpunt ideaalgasVoorbeeld: augustus19991. Hydrostatica: Bereken de drukkracht op de wand van een aquarium. Op welke hoogte moetjehet(vanbuitenaf)ondersteunentegenbarstenofbreken?2. Hydrodynamica: WatleertudewetvanBernouilli? Hoekanjedesnelheidvaneengas(vloeistof)meten?3. Kinetischegastheorie: DenieerdediusiecoecientD. Geefeenuitdrukkingvoordedif-fusiecoecientDalsfunctievanmicroscopischegrootheden. IsereenverbandtussenDendemobiliteit?HOOFDSTUK3. ALGEMENEFYSICA 29Voorbeeld: januari20001. Harmonischetrilling: Geefdebewegingsvergelijkingvandeharmonischetrilling,uitgaandevanhetbehoudvanmechanischeenergie. Waaromkaneenmodelvanharmonischetrillinggeenthermischeuitzettingvanmaterialenverklaren?2. Hydrostatica: Berekendeoverdukineenzeepbelop2verschillendemanieren.3. Kinetischegastheorie: Denieer het begriposmose. Hoeberekenjedeosmotischedruk?(wetvanVantHo)Voorbeeld: september20001. Dynamica: GeefdebehoudswettenenleguithoediezichvertaleninhetLagrangeforma-lisme. Denieereenconservatiefkrachtveld.2. Warmtegeleiding: Verklaarmicroscopischwaaromeenvastestof uitzetbij opwarming. Isditinovereenstemmingmethetmacroscopischresultaat?3. Kinetische gastheorie: Toon aan dat de energie van een deeltje in een afgesloten stelsel gelijkisaankT2pervrijheidsgraad.Voorbeeld: juni20011. AtoomodelvanBohr.2. Anharmoniciteitvandechemischeuitzetting.3. GeefenbespreekdriemanierenomhetgetalvanAvogadrotevinden(NA).Voorbeeld: september20011. Bespreekdesamenstellingvantweetrillingenmet dezelfdetrillingsrichtingenfrequentie.Watzijnzwevingen?2. Leid de vergelijking van Bernouilli af. Bewijs dat hieruit de grondformule van de hydrostaticavolgt.3. Einstein-SmoluchowskitheoriederBrownsebewegingVoorbeeld: januari20021. Deharmonischetrilling: Leiddebewegingsvergelijkingafvooreenharmonischetrilling(uitgaandevanhetbe-houdvanenergie).HOOFDSTUK3. ALGEMENEFYSICA 30 Waaromkaneenmodel vanharmonischetrillinggeenwarmteuitzettingineenvastestofverklaren?2. Hydrostatica: Berekendekrachtopdewandvaneenvatdateenstilstaandevloeistofbevat, zonderrekeningtehoudenmetoppervlakte-eecten. Welkecorrectiemoetmentoepassenmet oppervlakte-eecten?3. GetalvanAvogadro: Denitie? HoekanjehetgetalvanAvogadrobepalen? Bespreekdenauwkeurigheidvandeverschillendemethodes.enkeleheelrecentevoorbeeldenVoorbeeld: januari2005(1steBa. Fysica)1. Dynamica: Denieerhetbegrip,,coriolisversnelling. Leideenuitdrukkingafvoordecori-olisversnellingengeefeentoepassing.2. Hydrostatica: Geef drie manieren om de oppervlaktespanning te bepalen. Zijn ze universeeltoepasbaar?3. Kinetischegastheorie Geefdedenitievan,,vrijeweglengte. Hoeberekenjedevrijeweglengtevaneenatoombinnenhetmodel vandekinetischegastheorie? Hoebepaaljeexperimenteeldevrijeweglengte?Voorbeeld: september2005(1steBa. Fysica)1. Hydrostatica: Geef drie manieren om de oppervlaktespanning te bepalen. Zijn ze universeeltoepasbaar?2. Hydrodynamica: LeiddewetvanPoiseuilleaf. Welkebenaderingenhebjehierexplicietenimplicietgebruikt?3. KinetischeGastheorie: Geefdedenitievan,,vrijeweglengte.HOOFDSTUK3. ALGEMENEFYSICA 31 Hoeberekenjedevrijeweglengtevaneenatoombinnenhetmodel vandekinetischegastheorie? Hoebepaaljeexperimenteeldevrijeweglengt?3.2.2 OefeningenVoorbeeld: januari19941. Een houten kubus met zijde 0, 1 m, en dichtheid 500 kg/m3, drijft op water in een bekerglas.Menvoegtolietoe(0= 800kg/m3)totdeolie0, 04monderhetbovenvlakvandekubusstaat. Hoegrootisdedrukaandeonderzijdevandekubus?(patm= 105Pa)2. Eenspoorwegbuerveerheefteenkrachtsconstantek=24107N/m. Eentreinvan5000tonrolttegendebuerendruktdezedaarbij15cmin. Metwelkesnelheidraaktedetreindebuer?3. Eenstalenbol met massa m1hangt aaneentouwmet lengte l. De bol wordt vanuithorizontale positie losgelaten. Op zijn laagste punt botst hij tegen een stalen bol met massam2. Veronderstel eenelastischebotsing vande bollen;bereken de respectievelijkesnelhedenvandebollenjuistnadebotsingendehoogtesdiezebereiken. Veronderstel eenvollediginelastischebotsingvandebollen;welkehoogtebereikthetmassacentrumnadebotsing?4. Eenbol metstraal rendichtheidbvaltvan1mhoogteineenoliemetviscositeitendichtheidp0. Totwelkesnelheidzal deviskeuzewrijvingskracht(WetvanStokes)debolafremmen?5. Eencilindrischvat heeft eendiameter van0, 10meneenhoogte van0, 20m. Aandebasisiseenholtevan1cm2aangebracht. Erlooptwaterinhetvatmeteensnelheidvan1, 4104m3/s. Bepaaldehoogtetotwaarhetwaterzalstijgeninhetvat.Voorbeeld: september19941. EenvariabelekrachtFisgerichtvolgensderaaklijnvaneenwrijvingslooscilindrischop-pervlakmetstraal R. Doordekrachttevarierenwordteenblokmetmassamlangshetoppervlakbewogenterwijl eenveermetkrachtsconstantekvanuitpositie1naarpositie2wordtuitgetrokken. BerekendearbeidgeleverddoordekrachtF.2. Tweeringenmet respectievelijkemassas m1=2, 0kgenm2=5, 0kgbewegenzonderwrijvingopeenhorizontalestaaf. Delichtsteringheefteensnelheidvan17m/senhaaltdeandereringindieeensnelheidheeft van3m/s. Aandezwareringis langs dekantwaarlangsdelichtsteringnaderteenveerbevestigdmetk=4480N/m. Hoeverwordtdeveeringedruktbijbotsingvantweedeeltjes?Watzijndesnelhedennadebotsing?HOOFDSTUK3. ALGEMENEFYSICA 323. Een rubberen (kinder)ballon met een massa van 2, 5 g is gevuld met helium met een dichtheidvan 0, 33 kg/m3. De ballon is sferisch, met een straal van 12 cm. Een lang katoenen touwtjemet een massa van 2 ghangt aan de onderkant van de ballon. Aanvankelijk ligt het touwtjeopdegrond,maarwanneerdeballonopstijgt,trekthethettouwtjemee,enstrekthethetuit. Opwelkehoogtezaldeballonophoudenmetstijgen, omwillevanhetgewichtvanhettouwtje?(lucht= 1, 29kg/m3)4. Hydraulischepers. ToonaandatF2=S2S1 F1gebruikmakendvandeWetvanBernouilli.Voorbeeld: januari19951. Deguur(opbord)stelteenbetonnendammuurvoor(beton=3000kg/m3). Demuuris 12mhoogendelengtevandemuur loodrecht opdeguur is 30m. Zoekdeminimumwaardevoordedimensiex,alsdemuurnietmagkantelenomeenpunto,bijeenwaterniveauvan10m.2. In de ruimte, ver van de invloed van de aarde of andere hemellichamen, worden twee massasgeplaatstop40, 0muitelkaar,enlosgelaten. Alsm1= 50, 0kgenm2= 100, 0kg,watisdandesnelheidvanelkemassaalsdeonderlingeafstandnog20, 0mbedraagt; watisdanderelatievesnelheidvandemassas?3. Eenijsblokjevan50gkomtuiteendiepvriezerbij 10Cenwordtineenglaswatervan0Cgegooid. Hoeveelwatervriestvastaanhetijsblokje?4. Een stalen benzinetank (hoogte 30 cm, lengte 60 cm, breedte 60 cm) drijft met een diepgangvan 20 cm in water. De tank wordt gevuld met 1, 2 lbenzine (dichtheid 730 kg/m3). Zal degevuldetanknogdrijven?Verwaarlooshetvolumevanhetstaal.5. Hetvatvoorgesteldindeguur(opbord)isbovenaanhermetischgesloten. Dehoogtevanhet vat is 4 m, de diameter 1, 5 m. Het bevat water tot op een niveau van 3, 5 m waarboveneendrukheerstvan2atm. Watisdeinitielesnelheidvanhetwaterdatdebuisverlaat?Opwelkniveauhoudthetwateropmetstromen?Voorbeeld: september19951. Eenplanetode met massamnadert eenster met massaMvanopgrote afstand, zoalsvoorgesteld op de guur (op bord). Wat is de kortste afstand van nadering tussen planetodeenster?2. Een 100 gwegende houten schijf schuift over een wrijvingsloos oppervlak en botst tegen eentweedeschijfdieinrustis. Nadebotsingbeweegtdeeersteschijfondereenhoekvan90HOOFDSTUK3. ALGEMENEFYSICA 33methaaroorspronkelijkebewegingsrichtingendetweedeondereenhoekvan20methetoriginelepadvandeeersteschijf. Alsdebotsingvolledigelastischis, watisdandemassavandetweedeschijf?3. Eenmassam1bevindtzichopeengeheldwrijvingsloosoppervlakdateenhoekmaaktmetdehorizontale. Bovenaandehellinglooptdekoordovereenwieleneentweedemassam2hangtloodrechtnaarbenedenaanhetandereuiteindevandekoord. Berkeninfunctievanm1enm2deversnellingvanbeidemassasendespankrachtvandekoord.4. 1lwaterwordt10Conderkoeld(enbevindtzichdusbij 10C). Doorhetinwerpenvan20 gijs bij 0Cbevriest een deel van het water ogenblikkelijk. Hoeveel gijs wordt gevormd,enwelketemperatuurheeftditijs?5. Eenhoutenbolletjewordt op2mboveneenwateroppervlaklosgelaten. Berekentot opwelkedieptehetbolletjezinktalsheteendichtheidhheeftvan700kg/m3eneenstraalr = 0, 02m. Verwaarlooswrijving.Voorbeeld: januari19961. Eeneskimozit bovenopdetopvanzijnhalf bolvormigeiglo(straal R). Door eenkleinduwtjebeginthijnaarbenedenteglijden(verwaarlooswrijving). Totinwelkpuntblijftdeeskimoincontactmethetijsoppervlak?Opwelkeafstandvandeiglokomthijopdegrondterecht?2. Veronderstel dat meneentunnel zou(kunnen) borendieAntwerpenenNewYorklangseenrechtelijnmetelkaarverbindt. Deafstandtussenbeidestedengemetenlangshet(gekromde)aardoppervlakis5880km. Eenwagentjeroltvanuitrustdetunnelin, overeenwrijvingsloosspoor. Watisdemaximalesnelheiddiehetwagentjebereiktindetunnelindeveronderstellingdatdeaardeeenhomogenedichtheidheeft. Alseenmeerrealistischedichtheidsverdelingd.w.z. hogere incentruminrekeninggebracht zouworden,zoujedaneengrotere, kleinereof dezelfdesnelheidvinden? Gegevenwordt: straal aardeRA= 6371km,massaaardeMA= 5, 97371024kg.3. EenblokmetmassamwordtopdeschuinezijdevaneenwigmetmassaMgelegd,dieophaar beurt over een horizontale tafel kan glijden (zie guur (op bord)). De schuine zijde vandewigmaakteenhoekmetdehorizontaleenalleoppervlakken(vantafel, wigenblok)zijnwrijvingsloos. AlshetsysteemaanvankelijkinrustismethoekpuntPvanhetblokopeenhoogtehbovendetafel,watzijndandesnelhedenvanblokenwigophetmomentdathethoekpuntPdetafelraakt?Pastoevoorm = 0, 25kg, M= 1kgen = 30.4. Watisheteindresultaatwanneermen0, 12kgijsvan0Cen1kgaluminiumvan600Csamenvoegtineencalorimetermeteenverwaarloosbarewarmtecapaciteit?Gegevenwordt:cijs= 2100J/kgKHOOFDSTUK3. ALGEMENEFYSICA 34cw= 4187J/kgKcstoom= 2010J/kgKLsm= 3, 349105J/kgLv= 2, 257106J/kgcAl= 908, 5J/kgK5. Eenwaterraketbestaatuiteencilindervormigvat(oppervlaktegrondvlakS1= 100cm2,hoogte H= 10 cm), met aan de onderzijde een kleine opening (S2= 0, 1 cm2). Aanvankelijkis het vat voor de helft gevuld met water en voor de andere helft met gecompresseerde lucht(drukp0), enafgeslotenmet eenstop. Hoegroot moet deinitieledrukp0minstens zijnopdat deraket degrondzouverlatenonmiddellijknahetverwijderenvandestop? Hoegroot moet p0minstens zijnopdat de raket de grond ooitzou verlaten(d.w.z. voor al hetwateruithetvatgestroomdis)? DemassaMvanhetlegevatis10g. Veronderstel eenconstantetemperatuur.Nueenaantalrecenterevoorbeelden. . .Omdat er geen tuyaux bewaard zijn gebleven van Januari 2000, springen we maar ineens over naardetuyauxvanJanuari2001.Voorbeeld: januari20011. Eeneskimozit bovenopdetopvanzijnhalf bolvormigeiglo(straal R). Door eenkleinduwtjebeginthijnaarbenedenteglijden(verwaarlooswrijving). Totinwelkpuntblijftdeeskimoincontactmethetijsoppervlak?Opwelkeafstandvandeiglokomthijopdegrondterecht?2. Een bimetaal bestaat uit een plaatje Invar-staal ( = 9107C1) en een aluminium plaatje(=24106 C1). Elkvanbeideplaatjesheefteendikted=0, 1mmeneenlengtel =10cm. Berekendezijwaartseverplaatsingvanhetuiteindevanditbimetaal bij eentemperatuurstoenameT= 10C. Vergelijkdegevondenverplaatsingmetdeverplaatsing(lengteverandering)dieeenafzonderlijkAl-plaatje(zelfdeafmetingen)zouopleveren.13. Twee zeer grote open vaten,A en F, bevatten beide dezelfde vloeistof. Een horizontale buisBCD wordt bevestigd aan de bodem van vat A en bevat een vernauwing bij C. Een verticalebuisEwordtbevestigdaandevernauwinginCenleidtvloeistofnaarvatF. Verondersteleennormalestroomengeenviscositeit. AlsdedwarsdoorsnedeinCdehelftbedraagtvandedwarsdoorsnedeinDenalsDzichbevindtopeenafstandh1onderhetvloeistofniveau1Hints. Devervormdeplaatjesvormenconcentrischecirkelbogen. Veronderstel verderdathetmiddenvanelkvandeplaatjesd.i. opafstandd/2vanhetmiddenvanhetbimetaal zijnnormalethermischeuitzettinguitvoert,terwijlopandereplaatsentengevolgevanspanningeneenanderelengteveranderingoptreedt.HOOFDSTUK3. ALGEMENEFYSICA 35inA, totwelkehoogteh2zal devloeistof danstijgeninbuisE? Drukjeantwoorduitintermenvanh1enverwaarloosdeveranderingvanatmosferischedrukmetdehoogte.4. EenvrouwtilteenmassaMopmetbehulpvaneenkatrol, geplaatstterhoogtevanhaarhand. Haarvoorarmisf=24cmlang, enhaarbicepsspierenzijndaaraanbevestigdopa=3cmvandeelleboog. BerekendespanningT inhaarbicepsalshaarbovenarmenvoorarmhoekenenmakent.o.v. deverticale. Alsze = houdt,zalhettillenvandemassadangemakkelijkerofmoeilijkergaan?Voorbeeld: Augustus20041. Op de achtste dag verveelde God zich een beetje, en dus boorde hij een tunnel dwars door deaarde, recht van Noordpool naar Zuidpool. Daar aangekomen ving hij een pingun en droptedieinhetgat. Denkenddathij deaardehomogeenhadgeschapen, berekendehij hoeveellaterhetarmedieropdeNoordpool zouverschijnen, tenprooi aanhongerigeijsberen, enopdatberekendetijdstipginghijeensopdeNoordpoolkijkenofdateenfotowaardwas.(a) Doe zelf de berekening met de Aarde als homogene bol met straal 6340 km en dichtheid5.5gm3.(b) We weten dat de aarde niet homogeen is, maar een zware kern heeft. Stel dat de massanogsteeds sferischverdeeldis, maar vanhet oppervlaknaar dekernsteeds dichterwordt.KanjebeargumenterenofGodtevroeg,telaat,ofpreciesoptijdkwam?(c) Trachteenmeerrealistischetijdteberekenenaandehandvanderadialedichtheids-verdeling(r) = 10gcm31 0.75 r2R22. Eensferischuitrekbaarballonnetje(massa1g)wordtgevuldmetheliumgas(dichtheid0.18kgm3)totheteenstraal van15cmheeft, enwordtvastgeknooptaaneentouwtje(6mlangen20gzwaar). Deballonwordt,,losgelateninnormaleomstandigheden(luchtmetdichtheid 1.29 kgm3, geen wind, geen lekken). Hoe gedraagt hij zich?Wat later slaagt hetweerom: detemperatuurblijftgelijk,maardeluchtdrukneemtmet5%toe. Watgebeurtermetdeballon?3. Eencalori meter is inthermischevenwicht met zijninhoudvan80g kokendwater. Natoevoegenvan20gwatervan62, 5Ckoelthetgeheel af tot95C. Tenslottewordt100gstoombij100Ctoegevoegd. Uiteindelijksteltzicheenthermischevenwichtinmet98,6gstoomen101,4gwaterindecalorimeterbij100C.Berekenuitdegegevensvanditexperimentdeverdampingswarmtevanwater.4. Een rollercoaster in een pretpark legt het volgende traject af: een horizontaal stuk, afremmentot bijna stilstand, dan naar beneden over een kwart cirkel met straal R, dan een horizontaalHOOFDSTUK3. ALGEMENEFYSICA 36stukvanlengteR,daneenloopingmetdevormvaneencirkelmetstraalr,danweerhori-zontaal. HetwagentjeheeftlengteLenmassaMenmagwordenbeschouwdalshomogeenenonuitrekbaar. opm. : erkomteenschetsophetbord(a) Hoe groot moet R zijn opdat de rollercoaster de looping kan nemen zonder van de railstevallen?(Aangenomendathijaanderailsisvastgeklonken)(b) Stel vanaf nudatpreciesaandezeminimumvereisteisvoldaan. Verderisr=10m,M= 1000kgenL = 8m. Opwelkepositieinhetwagentjehaaltmendehoogsteresp.delaagstesnelheidinpuntA(onderaandeeerstecirkelboog)? EninpuntB(detopvandelooping)?(c) Berekendezesnelheden.Voorbeeld: januari20051. Eensferisch, uitrekbaar ballonnetje (massa 1g) wordt gevuldmet heliumgas (dichtheid0.18kg/m3) wordt tot het een straal van 15cm heeft, en wordt vastgeknoopt aan een touwtje(6m lang en 20g zwaar). De ballon wordt gevuld en losgelaten in normale omstandigheden(luchtmetdichtheid1.29kg/m3,geenwind,geenlekken). Hoegedraagthijzich?Wat later slaat het weer om : de temperatuur blijft gelijk, maar de luchtdruk neemt met 5%toe. Watgebeurtermetdeballon?2. Jedoeteenexperimentomdesmelttemperatuurvanijzertemeten. Eencalorimetermetwaterwaarde 34g met 200ml water is op0C. Danwordener twee stoenbijgevoegd:100gijsop 20Cen170gijzerdatnetgestoldis. Hetgeheelbereikteennieuwthermischevenwichtbij50C. Berekendesmelttemperatuurvanijzer.Jeweetdatijzer(Fe)eensoortelijkewarmteheeftvan0.109cal/Kg, atoomnummer26enmolairemassavan55.845.3. Eenbol met massaM, opgehangenaaneentouwmet lengte l, wordt losgelatenvanuithorizontalepositie. Erbevindtzicheennagelopeenafstand d rechtonder het ophangpunt.Berekendeminimumwaardevoordopdatdeboleenvolledigecirkelbewegingzouuitvoerenronddenagel.4. Webekijkeneenspoorwagentjemet(tarra)massaM(=1000kg)en(binnen)oppervlakteA(=5m2). Hetwagentjeisvanbovennietafgeslotenenis1mhooggevuldmetwater(datdusnogeenseenmassam(t=0)=5000kgheeft). Opeenafstandh(=0.25m)onderhetaanvankelijkewaterpeil wordteengatgeslagenmeteenoppervlaktea(=10cm2). Hetwagentjestaatopwrijvingslozerails.(a) Berekendeinitielesnelheidwaarmeehetwaternaarbuitenspuit.HOOFDSTUK3. ALGEMENEFYSICA 37(b) henmzijnfunctiesvandetijd. Berekenhoehetwaterpeil verandertindeloopvandetijd.(c) Moeilijker: hoelangduurthetvoorhetwagentjezich2mheeftverplaatst?Voorbeeld: september20051. Het is winter en de vijver bevriest. De lucht is 10Ckoud(ter info : dieper in de vijver is hetiets warmer). Hoe lang duurt het (bij constante luchttemperatuur) voor de ijslaag aangroeittoteendiktevan8cm? (Dewarmtegeleidingscoecientvanijsbedraagt1.6W/(mK)endesmeltwarmtevanijsis80cal/g.)(Dezevraagisgesteldophetexamenvoordewiskunde, maarheeftnooitmeegeteldvoorpunten. Iedereendiedatexamenhadafgelegdhaddezevraagfout. Deformulesnodigvoordezevraagzijnnooitgebruiktindepractica. )2. Bestudeereenrechthoekigvlot(oppervlakteA)uittweelagenmetrespectievelijkedichthe-denendiktes1, h1en2, h2. Neemaandat2