RRUUBBSSTTAAHHLL--BBeerriicchhtt 22--22000044

Ruhr-Universität Bochum Lehrstuhl für Stahl- und Verbundbau Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann www.ruhr-uni-bochum.de/stahlbau

Zur Anwendung der Wölbkrafttorsion auf Systeme mit Wölbfedern Matthias Kraus

1 Einleitung

Eine Torsionsbeanspruchung führt bei Stäben im Allgemei-nen zu Verwölbungen des Querschnitts, was ggf. mit dem Entstehen von Normalspannungen σx verbunden ist, wodurch die Voraussetzung der St. Venantschen Torsionstheorie eines reinen Schubspannungszustandes nicht mehr ein-gehalten wird. Mit Ausnahmen muss in diesen Fällen die Theorie der Wölbkrafttorsion Anwendung finden. Im Folgen-den soll gezeigt werden, wie mit Hilfe der Differentialglei-chungslösung die Schnittgrößen und Verformungen nach dieser Theorie bestimmt werden können. Dabei wird darauf eingegangen, wie Federn, insbesondere Wölbfedern, zu berücksichtigen sind. Die sich ergebenden Gleichungen werden an Beispielen exemplarisch dokumentiert und für eine Handrechnung mit Hilfe von Reduktionsfaktoren ausge-arbeitet. 2 Erläuterungen zur Wölbkrafttorsion

Das Entstehen von Normalspannungen unter Torsionsbean-spruchungen kann durch verschiedene Aspekte hervorgeru-fen werden. Natürlich spielen dabei die Randbedingungen (Lagerungen) eine wesentliche Rolle. Es wird aber auch durch eine über die Stablänge veränderliche Torsionsbean-spruchung Mx(x) verursacht. Für einen nicht konstanten Ver-lauf des Torsionsmoments stellt sich ebenfalls die Verdre-hung pro Längeneinheit, also die Verdrillung ϑ’, veränderlich ein, was somit auch für die Verwölbung u gilt:

( ) ( ) ( ) ( ) konst.xzy,zy,x,u konst.x ≠ϑ′⋅ω−=⇒≠ϑ′ (1)

Die Normalspannungen σx sind nach dem Elastizitätsgesetz (Hookesches Gesetz) und den Beziehungen zwischen den Verzerrungen und Verschiebungen abhängig von der Ver-formung u. Es gilt folgender Zusammenhang:

xuEx ∂

∂⋅=σ (2)

Wenn ein reiner Schubspannungszustand (σx = 0) vorherr-schen soll, wie es in der St. Venantschen Torsionstheorie angenommen wird, muss sich die partielle Ableitung ∂u/∂x zu null ergeben, was nur der Fall sein kann, wenn die Verwöl-bung u konstant ist. Wie mit Gl. (1) dargestellt, ist dies bei einem veränderlichen Verlauf des Torsionsmomentes jedoch nicht gegeben, wodurch sich Normalspannungen σx einstel-len. Im Allgemeinen ist in diesen Fällen die St. Venantsche Torsionstheorie unzureichend, und es muss die Theorie der Wölbkrafttorsion Anwendung finden (Ausnahmen bilden

tτxs

τxs

tg σx

+

+

Primäre Torsion Sekundäre Torsion

Bild 1 Spannungen aus Torsionsbeanspruchungen wölbfreie bzw. wölbarme Querschnitte). Dabei werden zwei Zustände betrachtet und die Schubspannungen entspre-chend in zwei Anteile aufgespaltet, wie in Bild 1 beispielhaft für einen I-Querschnitt dargestellt. Zum Einen ist das ein reiner Schubspannungszustand, der zur St. Venantschen Torsionstheorie korrespondiert, (primäre Torsion) und zum Anderen ein Zustand, bei dem zur Bildung des Gleichge-wichts neben den Schubspannungen auch die Normalspan-nungen auftreten (sekundäre Torsion). Die Integration der Spannungsanteile über die Querschnittsfläche führt zu Span-nungsresultierenden - den zugehörigen Schnittgrößen. Aus den Schubspannungen resultiert das primäre Torsionsmo-ment Mxp und das sekundäre Torsionsmoment Mxs. Die Re-sultierende der Normalspannungen bildet das Wölbbimoment Mω. Durch die Berücksichtigung von Gleichgewichtsbezie-hungen, des Elastizitätsgesetztes, der Verzerrungs-Verschiebungsbeziehungen sowie u = -ω · ϑ’ können folgen-de Grundgleichungen angegeben werden:

xsxpx MMM += (3)

ϑ′⋅⋅= Txp IGM ; ( )′ϑ′′⋅⋅−= ωIEMxs (4)

ϑ′′⋅⋅−= ωω IEM (5)

Für einen torsionsbeanspruchten Stab sollen diese Schnitt-größen und Verdrehungen bestimmt werden. Dabei ist zu ermitteln, wie sich das Torsionsmoment Mx, in Abhängigkeit der Steifigkeiten (Torsionssteifigkeit GIT, Wölbsteifigkeit EIω), auf die zwei Anteile Mxp und Mxs aufteilt und welches zugehö-rige Wölbbimoment sich im Stab einstellt. Voraussetzung für die Bestimmung ist die Kenntnis der benötigten Querschnitts-kennwerte (z.B. Schubmittelpunkt, normierte Wölbordinate) und den daraus resultierenden Steifigkeiten GIT und EIω, was beispielsweise in [1] ausführlich behandelt wird. Ausgangspunkt der Schnittgrößenermittlung stellt die Diffe-rentialgleichung der Torsion dar, die sich aus den Gln. (3) und (4), unter Berücksichtigung des Gleichgewichts bezüglich der Torsion an einem Stababschnitt, ergibt:

2 RUBSTAHL-Bericht 2-2004

( ) ( ) 0mGIEI xT =−′ϑ′⋅−″ϑ′′⋅ω (6)

Mit Hilfe der Lösung dieser Differentialgleichung können die Schnittgrößen bzw. Verformungen bestimmt werden. 3 Lösung der DGL mit Anfangswerten

Die Differentialgleichung (6) kann gelöst werden, vorausge-setzt GIT und EIω sind konstant und das Gleichstreckentorsi-onsmoment mx sowie die Verdrehung ϑ und deren Ableitun-gen verlaufen stetig. In [2] wird die Lösung für mx = konst. als Anfangswerte-Lösung dargestellt, bei der die vier entstande-nen mathematischen Unbekannten durch mechanisch defi-nierte Anfangsgrößen des Integrationsbereichs ersetzt wer-den. Der Vorteil dieser Lösung ist, dass neben der größeren Anschaulichkeit in vielen Fällen zwei Anfangsgrößen (auf-grund der Randbedingungen) bekannt sind, wodurch sich die Zahl der Unbekannten auf die Hälfte reduziert. Die Lösung für mx = konst. eines Stabes der Länge L lautet:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

⋅−

−

⋅ε⋅

ε⋅

⋅⋅

+

⋅ε⋅

ε−⋅

⋅⋅

+

⋅ε

−⋅⋅

+⋅ε

⋅ε

⋅ϑ′+ϑ=ϑ ω

2

2T

2TT

2x

T

TT

x

T

T

T

T

L2x1

Lxcosh1

IGLm

Lxsinh1

Lx

IGL0M

Lxcosh1

IG0M

LxsinhL00x

(7)Dabei gibt die Stabkennzahl εT den Einfluss des Lastabtrages der primären und sekundären Torsion wieder:

ω⋅⋅

⋅=εIEIGL T

T (8)

Für größer werdende Stabkennzahlen wird der Einfluss der sekundären Torsion geringer. Durch das Ableiten der Verdrehung ϑ (Gl. (7)) können die Schnittgrößen der Wölbkrafttorsion bestimmt werden. Benö-tigte Beziehungen zur Ermittlung der unbekannten Anfangs-werte und zur Bestimmung der Schnittgrößen bzw. Verfor-mungen werden als Gleichungssystem mit Gl. (9) gegeben. Zur Bestimmung von Mxp und Mxs sind die Gln. (3) und (4) zu berücksichtigen. 4 Randbedingungen

Für die Randbedingungen gelten die in Tabelle 1 dargestell-ten Beziehungen. Ergeben sich durch angreifende Einzellas-ten oder Lagerreaktionen innerhalb eines Stabes Unstetig-

keitsstellen der Verdrehung ϑ oder derer Ableitungen, muss die Lösung nach Gl. (7) für die Abschnitte zwischen diesen Punkten formuliert werden. An den Unstetigkeitsstellen sind Übergangs- oder Gleichgewichtsbedingungen aufzustellen. Tabelle 1 Allgemeine Randbedingungen

Gabellager: 0M0

0===ϑ′′

=ϑ

ω ˆ

Starre Einspannung: 00

=ϑ′=ϑ

Freies Stabende: 0M0Mx

==

ω

Starre Kopfplatte: 0M0

x ==ϑ′

5 Berücksichtigung von Federn

Es können Wölb- und Torsionsfedern mit Hilfe des Elastizi-täts- bzw. Federgesetzes berücksichtigt werden, s. Tabelle 2. Wölbfedern behindern die Querschnittsverwölbung und sind über die Verdrillung ϑ’ mit dem Wölbbimoment Mω verknüpft. Torsionsfedern stellen eine Behinderung der Verdrehung ϑ dar, die über diese mit dem Torsionsmoment Mx gekoppelt sind. Tabelle 2 Bedingungen für Federn

Wölbfeder: Cω ( ) ( )( ) ( )LCLM

0C0Mϑ′⋅+=ϑ′⋅−=

ωω

ωω

Torsionsfeder: Cϑ ( ) ( )( ) ( )LCLM

0C0M

x

xϑ⋅−=ϑ⋅+=

ϑ

ϑ

6 Bestimmung von Wölbfedersteifigkeiten

Durch aufgeschweißte Stirnplatten wird eine Wölbbehinde-rung verursacht, die über eine Wölbfedersteifigkeit Cω erfasst werden kann. Diese Steifigkeit stellt ein Wölbbimoment dar, das eine Verdrillung der Stirnplatte ϑ'̄ (bezüglich der lokalen Koordinate x̄ nach Bild 2) der Größe eins hervorruft:

1h

!=

ϑ∆=ϑ′ (10)

Dabei spiegelt ∆ϑ̄ für I-Querschnitte die gegenseitige Ver-drehung der Profilgurte infolge des Wölbbimoments wieder. Das Mω wird über die Trägerhöhe h in zwei Gurtmomente

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

⋅

ε

⋅⋅

+

⋅ε

⋅

−

⋅ε⋅

ε

ε⋅

⋅⋅

−

⋅

⋅ε−

⋅ε

+

ε⋅⋅

ε⋅ϑ′

ϑ

⋅

ε

⋅ε⋅

⋅ε⋅

⋅ε⋅

⋅ε

−⋅ε⋅ε

⋅ε

−⋅ε

⋅ε

⋅ε−

⋅ε⋅ε−

⋅ε

=

ϑ′

ϑ

ωω

x

2T

2xT

T

xT

T

2TT

2x

2

2TT

TT

x

T

T

TT

TT

TT

TT

TTTTTT

TTTT

x mx

Lm1L

xcosh-

GImx

LxsinhL

GILm1

L2x

Lxcosh

GIL0M

GI0M

L0

0

LGI000

LxsinhGI

LxcoshGI

LxsinhGI-0

Lxcosh1

LLxsinh

LLxcosh

L0

Lxsinh

Lx

Lxcosh1

Lxsinh1

xM

xM

x

x

(9)

RUBSTAHL-Bericht 2-2004 3

aufgeteilt, die die Stirnplatte als Torsionsmoment Mx̄ bean-spruchen. Mit Hilfe des Arbeitssatzes ergibt sich für die Stirn-platte folgende Wölbfedersteifigkeit:

hGIC1hGI

hC

h1

xdGI

MMT

Th

T

xx ⋅=⇒=⋅⋅

=⋅⋅

=ϑ′ ω

ω

∫

mit 3tbI 3T ⋅=

(11)

Mx = Mω / h

Mx = Mω / h

x h

b t

∆ϑ

Bild 2 Stirnplattenverformung aus Flanschverdrehungen Analog können Wölbfedersteifigkeiten für eingeschweißte Steifen ermittelt werden, die in Tabelle 3 angegeben sind. Tabelle 3 Wölbfedersteifigkeiten bei doppeltsymmetrischen

I-Profilen

Wölbfedersteifigkeit: hGIC T ⋅=ω

Flachsteifen Eingeschweißte U-Profile

b

h

t

3tbI3

T⋅

=

Am

∑

⋅=

i

i

2m

T

tb

A4Ih

Für über das Endlager hinausgeführte Stabüberstände können Ersatzwölbfedersteifigkeiten mit Hilfe der Anfangs-werte-Lösung bestimmt werden, indem man das überstehen-de Trägerstück am Auflager mit einem Wölbbimoment Mω,L = 1 belastet und die zugehörige Verdrillung ϑ’ berechnet (s. Bild 3). Aus den Randbedingungen (a) und (b) nach Bild 3 sind zwei Anfangswerte bereits bekannt. Die dritte Randbe-dingung (c) liefert den Anfangswert Mx(0) = 0. Mit Hilfe der vierten Randbedingung (d) und unter Berücksichtigung der bereits bekannten Anfangswerte kann nach Gl. (9) folgende Beziehung angegeben werden:

( ) ( )

( )ÜTT

T

TTT

ÜTÜ

L tanhIG0

0 coshIGL

0 sinhLM

⋅ε⋅⋅ε

=ϑ′⇒

=ε+⋅⋅ε

⋅ϑ′⋅ε−=ω

(12)

Die Steifigkeit ermittelt sich über Cω = Mω / ϑ’ = 1 / ϑ’ zu:

T

ÜTT L tanhIGC

ε⋅ε⋅⋅

=ω mit ω⋅

⋅⋅=ε

IEIGL T

ÜT (13)

Ersatzsystem:Mω,L = 1

x

LÜ

Randbedingungen:0(0) =ϑ 1(0)M =ω

0)(LM Üx = 0)(LM Ü =ω

(a)

(c)

(b)

(d)

Bild 3 Ersatzsystem zur Ermittlung der Wölbfeder eines

Überstandes 7 Beispiel: Gabelgelagerter Kragträger mit

Wölbfeder und Einzeltorsionsmoment

System:

MxL

L

Cω

x

Randbedingungen:

( ) 0=ϑ 0( ) ( )0-C0M ϑ′⋅= ωω

( ) 0LM =ω

( ) xLx MLM =

(a)

(b)

(c)

(d)

Bild 4 System und Randbedingungen Das System und die zugehörigen Randbedingungen sind mit Bild 4 gegeben. Unter Berücksichtigung der bereits bekann-ten Anfangswerte aus den Randbedingungen (a) und (b), kann nach Gl. (7) folgende allgemeine Bestimmungsglei-chung angegeben werden:

( ) ( ) ( )

( )

⋅ε⋅

ε−⋅

⋅⋅

+

⋅ε

−⋅⋅ϑ′⋅

−⋅ε

⋅ε

ϑ′=ϑ ω

Lxsinh1

Lx

IGL0M

Lxcosh1

IG0C

LxsinhL0x

T

TT

x

T

T

T

T(14)

Die vierte Randbedingung (d) führt mit Gl. (9) zu Mx(0) = MxL. Mit Hilfe von Gl. (9) und der dritten Randbedingung (c) kann der vierte Anfangswert ϑ’(0) bestimmt werden:

( )TTTT

TxL coshC sinhLIG

sinhLM0ε⋅⋅ε+ε⋅⋅⋅

ε⋅⋅=ϑ′

ω (15)

Somit sind alle vier Anfangswerte bekannt. Durch deren Einsetzen in Gl. (9) und unter Berücksichtigung der Gln. (3) und (4) können Funktionen für die Schnittgrößenermittlung und die Verdrehung aufgestellt werden. Nach Umformung ergeben sich folgende Lösungen für 0 ≤ x ≤ L:

( )TTTT

TTxL

sinhLIGcoshCL

xsinhCLM

xMε⋅⋅⋅+ε⋅ε⋅

⋅ε−ε⋅⋅⋅

−=ω

ω

ω

( )TTTT

TTTxL

xs sinhLIGcoshCL

xcoshCM

xMε⋅⋅⋅+ε⋅ε⋅

⋅ε−ε⋅ε⋅⋅

=ω

ω

( ) ( )xMMxM xsxLxp −=

( )

( )

) (

TTTTT

TT

TT

TTxL

sinhLIGcoshCIG

Lx

sinhC

sinhCxIG

LcoshxCM

xε⋅⋅⋅+ε⋅ε⋅⋅⋅

⋅ε−ε⋅+

ε⋅−⋅⋅

⋅+ε⋅⋅ε⋅⋅

=ϑω

ω

ω

ω

Diese Funktionen, die den Verlauf über die Stablängskoordi-nate x wiedergeben, werden in Tabelle 4 an den Stabenden (maßgebende Stellen) mit Hilfe von Reduktionsfaktoren ausgedrückt.

4 RUBSTAHL-Bericht 2-2004 Tabelle 4 Reduktionsfaktoren für das System nach Bild 4

Bestimmungsgleichungen: ( ) 00 =ϑ

( ) ( )ϑ⋅−⋅⋅

⋅=ϑ

ωff1

IGLM

L CT

xL

( )ωω

⋅ω ⋅⋅−= MCxL ffLM0M ; ( ) 0LM =ω

( )ω

⋅= CxLxs fM0M ; ( )xsMCxLxs ffMLM ⋅⋅=

ω

xsxLxp MMM −=

mit: ω⋅

⋅⋅=ε

IEIG

L TT ;

ω

ω

⋅⋅⋅=ε

ω IEIGC

TC

TC

CC tanhf

ε+ε

ε=

ω

ωω

Verläufe:

+

ϑ

-

Mω

Mxs

+

Mxp

+

0C =ω ∞=ωC

Grenzfälle: 00C C =ε⇒=ωω ; 0fC =

ω

∞=ε⇒∞=ωω CC ; 1fC =

ω

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Tε

ωϑ Mff ,

xsMf

Ttanh ε

TTM tanhff εε==ωϑ ; TM cosh1f

xsε=

8 Beispiel: Gabelgelagerter Einfeldträger mit

Wölbfedern und Einzeltorsionsmoment

System: MxL

Cω

2 L

Cω

Ausnutzung der Symmetrie:

MxL / 2

L

x

Randbedingungen unter Ausnutzung der Symmetrie:

( ) 0=ϑ 0

( ) 0L =ϑ′

(a)

(c) ( ) ( )0-C0M ϑ′⋅= ωω

( ) 2MLM xLx =

(b)

(d)

Bild 5 System und Randbedingungen Durch Ausnutzung der Symmetrie und Berücksichtigung der Randbedingungen (s. Bild 5) lassen sich die vier Anfangswer-te analog zum vorherigen Beispiel ermitteln.

Auf die Darstellung der allgemeinen Lösungen wird an dieser Stelle verzichtet, da sich sehr umfangreiche Gleichungen ergeben. Vielmehr wird direkt die ausgearbeitete Reduktions-faktor-Lösung mit Tabelle 5 angegeben. Literatur

[1] Kindmann, R., Frickel, J.: Elastische und plastische Querschnittstragfähigkeit, Ernst & Sohn, Berlin 2003

[2] Friemann, H.: Schub und Torsion in geraden Stäben, 2. Auflage, Werner-Verlag, Düsseldorf 1993

[3] Petersen, C.: Stahlbau, 3. Auflage, Vieweg Verlag, Braunschweig/Wiesbaden 1993

[4] Merziger, G., Mühlbach, G., Wille, D., Wirth, T.: For-meln + Hilfen zur höheren Mathematik, Binomi Verlag, Hannover 1993

[5] Kindmann, R.: Unterlagen zur Lehrveranstaltung Stahlbau. Band 15 der Schriftenreihe des Lehrstuhls für Stahlbau, Ruhr-Universität Bochum, April 2003

Tabelle 5 Reduktionsfaktoren für das System nach Bild 5

Bestimmungsgleichungen: ( ) 00 =ϑ

( ) ( ) ( )[ ]CCCT

xL f1f1fIG

LML ,ϑ⋅ϑ −ε+−⋅⋅⋅

⋅=ϑ

ωω

( ) ( )C,MT

CCxL f1fLM210M

ωω

ω−⋅

ε

ε⋅⋅⋅−= ⋅ω

( ) ( )0MffLM21LM MCxL ω⋅ω −⋅⋅⋅=ωω

( )

⋅ε⋅ε+⋅⋅⋅=

ωω C,MTCMCxLxsxsxs

fffM210M

( ) xLxs M21LM ⋅= ; xsxLxp MM21M −=

mit: ω⋅

⋅⋅=ε

IEIG

L TT ;

ω

ω

⋅⋅⋅=ε

ω IEIGC

TC

TC

C tanh11f

ε⋅ε+=

ωω

Verläufe:

+

ϑ

+- -

Mω

-

Mxs

+

-

Mxp

+

0C =ω ∞=ωC

Grenzfälle: 00C C =ε⇒=ωω ; 1fC =

ω

∞=ε⇒∞=ωω CC ; 0fC =

ω; TCC 1/tanhf ε=⋅ε

ωω

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Tε

Ttanh ε

Cf ,ϑ

ϑf

C,MM xsff ,

ω

xsMC,M ff ,ω

] ) [ TT (2tanh211f ε⋅ε−−=ϑ

] ) ( [ 2tanh1cosh11f TTTTC, ε+ε−ε⋅ε−=ϑ

TMC,M cosh1ffxs

ε==ω

; TTC,MM tanhffxs

εε==ω