Ruchy w R1

Wprowadzenie do fizyki

Mirosław Kozłowski

rok akad. 2002/2003

Ruchy w R1

Część 1a

Dynamika punktu materialnego w jednym

wymiarze

Ruchy w R1 3

Dynamika punktu materialnego w R1 cz. a

Slajd podsumowania1.1 Prędkość i przyśpieszenie w R11.2 Pochodna funkcji f(t)1.3 Obliczanie pochodnych funkcji f(t) 1.4 Antypochodna = całka nieoznaczona1.5 Pochodna funkcji złożonej1.6 Zasada zachowania energii1.7 Zasada zachowania pędu

Koniecpokazu

4

Linki do stron WWW

Hyper Physics

Astronomy Picture of the Day

Space Photos and Images

Ruchy w R1 5

CzasChronos – czas obiektywny, niezależny od nas, znany ze swej równomierności. Czas mierzony przez zegarki, czas eksperymentu fizycznego.

Ruchy w R1 6

Tempus – czas odczuwany subiektywnie, czas psychologiczny, ten, którego pomiar odbywa się w naszym mózgu.

Od 13 października 1967 roku, jego wzorzec, sekunda jest zdefiniowana następująco:

Jedna sekunda to trwanie 9 192 631 770 okresów fali elektromagnetycznej emitowanej lub absorbowanej przez atom cezu o liczbie masowej 133.

Ruchy w R1 7

1 attosekundaUltrakrótkie impulsy laserowe – kilka attosekund

1 femtosekunda (procesy biologiczne, chemia)Czas oddziaływania światła z siatkówką oka człowieka ~200 fs.

1 pikosekundaNajszybsze tranzystory pracują w zakresie pikosekund.

1 nanosekundaMikroprocesor wewnątrz współczesnego komputera w ciągu kilku nanosekund wykonuje podstawowe operacje np. dodawania dwóch liczb.

Ruchy w R1 8

1 sekundaCzas trwania jednego uderzenia serca człowieka, oraz 1 sekunda = czas trwania 9 192 631 770 okresów promieniowania elektromagnetycznego emitowanego przez atom cezu.

1 minutaŚwiatło przebiega odległość Słońce – Ziemia w ciągu 8. minut.

1 godzinaŚwiatło z Plutona (ostatniej planety w naszym układzie słonecznym) dociera do Ziemi w ciągu 5 godzin 20 minut.

Ruchy w R1 9

1 dzień1 obrót Ziemi trwa: 23 h 56’ 41”.Ziemia zwalnia ze względu na grawitacyjne oddziaływanie Księżyca.

1 rokZiemia wykonuje 1 okres obiegu wokół Słońca i obraca się wokół osi 365,25 razy.

~1010 latWiek naszego Wszechświata

Ruchy w R1 10

1.1 Prędkość i przyśpieszenie w R1

,32 pthtbtdtfts gdzie t jest czasem mierzonym przez zegarki. Jest to czas eksperymentu fizycznego (chronos). Jak zmieni się funkcja f(t) po upływie czasu t?

Rozważmy funkcję

Ruchy w R1 11

.32 ttptthttbd

ttftts

.33

2

33223

222

ttttttttp

tttttth

ttttbdd

ttstts

ts

A zatem:

Ruchy w R1 12

.33

222 ttttp

tthbt

tsttsvśr

Definiujemy nowe pojęcie –prędkość średnia vśr:

Ruchy w R1 13

Gdy t0

.t

tsttsvśr

.32 2 ptthbv

W granicy t0, vśrv, gdzie v oznacza prędkość.

.32 2 ptthbvśr

Ruchy w R1 14

,232

3232

222

22

ttttttpttthbb

tpthtb

tttphttb

ttvttv

aśr

.232 ttphaśr

Definiujemy nowe pojęcie – przyśpieszenie średnie aśr:

Ruchy w R1 15

.62 ptha

W granicy

gdzie a z definicji jest przyśpieszeniem:

,,0 aat śr

Ruchy w R1 16

a. Ruch ze stałym przyśpieszeniem

.,2,2

gtbvhtbvhga

,62 pthga

Rozważmy ruchy odbywające się ze stałym przyśpieszeniem a = stałe g,

a więc p musi równać się zero, p = 0, stąd

Ruchy w R1 17

,0 0vbtv

stałe.

g

gttvds

gtvv

,2

,2

0

0

Wybieramy chwilę początkową ruchu t = 0,

Stąd:

Ruchy w R1 18

.0 0 dsts

.2

,2

00

0

gttvss

gtvvg

stałe,

(1)

W chwili t = 0

Ruchy w R1 19

Zastosowanie wzoru (1)

1. Spadek w polu grawitacyjnym: Ziemi gZ=9.81 m s-2, Marsa gM=3.7 m s-2.

2. Ruch w stałym polu elektrycznym o natężeniu E: gEl=qE/m, q = ładunek ciała, m = masa ciała.

Ruchy w R1

http

://pd

s.jpl

.nas

a.go

v/pl

anet

s/

Panorama Marsa. W prawym dolnym rogu widoczna jest część lądownika (Mars Lander 2).

21

Czy podkarpackie pole nie jest podobne do powierzchni Marsa?fot. M. Kozłowski

22

Albo bałtycka plaża?Fot. R. Gauer, Wyd. Kamera

23

http

://pd

s.jpl

.nas

a.go

v/pl

anet

s/

W c

entra

lnej

czę

ści M

arsa

wid

oczn

a je

st „

rana

” o

całk

owite

j dłu

gośc

i oko

ło 5

000

km i

głęb

okoś

ci 7

km

.

Ruchy w R1 24

1.2 Pochodna funkcji f(t)

,

,

ttfttf

ts

ttf

tfs

.tfdt

tdfdt

tds

funkcji

pochodna

W granicy 0t

Ruchy w R1 25

.

.

dttsdtv

dttdstv

Ogólnie

.dt

tvdta

(2)

s(t) = trajektoria ruchu ciała o masie m.Definicja prędkości:

Definicja przyśpieszenia:

Ruchy w R1 26

1.3 Obliczanie pochodnych funkcji f(t)

.,

gagtvv o

(3)

Wykazaliśmy już, że:

Ruchy w R1 27

Wszystko w porządku!

.lim

lim

lim

0

00

0

0

gttg

tgtvttgv

ttvttv

dtdva

t

t

t

Teraz, znając definicję pochodnej sprawdzimy wzór (3).

Ruchy w R1 28

Niech teraz f(t) ma następującą postać:

.sinsincoscossinlim

sinsinlim

,sin

0

0

tttttt

tttt

dttdf

ttf

t

t

.cossin

,cossincossinlimsin0

tdt

td

tt

ttttdt

tdt

więca

Ruchy w R1 29

,tgdt

tdf

dttgtF

g (t) pochodna funkcji f(t) względem zmiennej niezależnej t

całka nieoznaczona funkcji g(t).

1.4 Antypochodna = całka nieoznaczona

Ruchy w R1 30

0Stała, niezależna od t

f(t) = b

n t n-1tn

-sin tcos tcos tsin t

PochodnaFunkcja

Tabela 1Pożyteczne wzory

(do sprawdzenia)

Ruchy w R1 31

Tabela 2Całki

sin t

a = stała

Całka f (t)Funkcja g(t)

gadt

tdf

atadttf

)( bo

tgt

tdt

td

tttf

sin

sincos

cossin

bo

Ruchy w R1 32

1.5 Pochodna funkcji złożonej

.

,sinsin2

2

ttg

tgttf

Niech f(t) ma postać:

Ruchy w R1 33

.cos22sincoslim

sin2sincos2cossinlim

sin2sinlim

sinsinlim

22

0

222

0

222

0

22

0

ttt

tttt

tttttttt

tttttt

tttdt

tdf

t

t

t

t

Ruchy w R1 34

.2cos

,sinsin

2

2

ttdt

tgdfdt

tdfttgtf

Ważny wzór (do zapamiętania!)

.dt

tdgdgdf

dttgdf

(4)

Ruchy w R1 35

Tabela 3Sprawdzamy nasze umiejętności

a cos atsin at

-2t sin(t2)cos(t2)2t cos(t2)sin (t2)

pochodnafunkcja

Ruchy w R1 36

1.6 Zasada zachowania energiiFizycy szukają ważnych zasad, których przestrzeganie ułatwia zrozumienie otaczającego świata. Dla przypomnienia:

.

,

dxxgxf

xgdx

xdf

Funkcja pierwotna

Ruchy w R1 37

Druga zasada dynamiki (R1)

,xmaxF

,21 2

dxxdv

dxdvv

dtdx

dxdv

dtxdvxa

,22

dxxdvv

dxxdv

Korzystamy ze wzoru (4).

Ruchy w R1 38

,21 2 xv

dxdmxF

m = stałe,

.2

2

dxxmvdxddxxF

Praca elementarna na drodze dx

Ruchy w R1 39

.2

2

dxxmvdxddxxF

Suma prac elementarnych

a b x

F(x)

Ruchy w R1 40

Obliczamy sumę (całkę) prac elementarnych.Niech F(x) = c = stała.

.b-ac

abcxccdx ba

b

a

i bokach o taąprostok pole

F(x)

xa bb-a

c c

c

Ruchy w R1 41

A teraz niech F(x) = x.

trapezu.pole

abab

abxxdxb

a

b

a

21

222

222

F(x)

xa ba

b

F(b)=b

F(a)=a

Ruchy w R1 42

Wniosek

.xFxGdxxF ba

b

a

krzywą” „pod pole

a b

F(x)F(x)

x

baxG

Ruchy w R1 43

A więc

,2

2

b

a

b

a

dxxmvdxddxxF

.22

22 amvbmvdxxFb

a

Jest to prawo zachowania energii w R1.

Ruchy w R1 44

Siły potencjalne

Przypuśćmy, że istnieje taka funkcja V(x), że spełniony jest wzór:

.dx

xdVxF

Ruchy w R1 45

Mamy więc:

,

,

aTbTaVbV

aTbTdxdx

xdVb

a

kinkin

kinkin

czyli

.aVaTbVbT kinkin

Ruchy w R1 46

Praca siły potencjalnej na odcinku drogi (a, b) równa się zmianie energii kinetycznej na tym odcinku.

F(x)

a b x

Ruchy w R1 47

,ExTxV kin

gdzie E = suma energii potencjalnej i kinetycznej jest stała.

Ruchy w R1 48

1.7 Zasada zachowania pędu

stała.dynamiki ZasadaIII

2211

21122211 ,0

vmvm

FFvmvmdtd

A więc:Suma pędów jest wielkością stałą (niezależną od czasu), gdy działają tylko siły wewnętrzne.

49

To jest ostatni slajd pierwszej części rozdziału „Ruch punktu materialnego w przestrzeni jednowymiarowej”.Możesz:•przejść do „Spisu treści” i wybrać kolejny rozdział,•wrócić do materiału tego rozdziału,•zakończyć pokaz.

Spis treści

Koniecpokazu