Elektrodynamik

WS 2013/14

Claudius GrosInstitut für Theoretische PhysikGoethe Universität Frankfurt

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Inhaltsverzeichnis

0.1 Elektrische Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.2 Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.3 Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.4 Konzept des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.5 Maxwell’sche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80.6 Materie im elektromagnetischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80.7 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

I Elektrostatik 11

1 Coulomb’sches Gesetz 121.1 Coulomb-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Das elektrische Feld von Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Kontinuierliche Ladungsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Grundlagen der Elektrostatik 212.1 Satz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Differentialgleichungen für das elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3 Anwendungen des Gauß’schen Satzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 Energie des elektrostatischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Multipole im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Randwertprobleme der Elektrostatik 293.1 Eindeutigkeitstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Spiegelungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Trennung der Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4 Übersicht Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

II Magnetostatik 35

4 Ampère’sches Gesetz 364.1 Elektrischer Strom und Ladungserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2 Ampère’sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Formel von Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

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4.4 Kraft und Drehmoment auf einen Strom im Magnetfeld . . . . . . . . . . . 41

5 Grundgleichungen der Magnetostatik 455.1 Divergenz der magnetischen Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Rotation von B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.3 Vektor-Potential und Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.4 Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.5 Übersicht über die Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

III Grundlagen der Elektrodynamik 54

6 Die Maxwell’schen Gleichungen 556.1 Faraday’sches Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.2 Diskussion des Induktionsgesetzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.3 Erweiterung des Ampère’schen Gesetzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.4 Übersicht über die Maxwell’schen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7 Die elektromagnetischen Potentiale 617.1 Skalares Potential und Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.2 Lorentz-Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.3 Coulomb Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8 Energie und Impuls elektromagnetischer Felder 668.1 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668.2 Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.3 Zusammenfassung - Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

IV Elektromagnetische Strahlung im Vakuum 73

9 Das elektromagnetische Feld im Vakuum 749.1 Homogene Wellengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749.2 Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759.3 Monochromatische ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789.4 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

10 Wellenpakete im Vakuum 8410.1 Informationsübertragung durch elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . 8410.2 Fourier-Reihen und Fourier-Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8610.3 δ-Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

V Quellen elektromagnetischer Strahlung 92

11 Lösungen der inhomogenen Wellengleichungen 9311.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3

11.2 Green’sche Funktion für den statischen Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9411.3 Green’sche Funktion für zeitabhängige Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . 9511.4 Retardierte Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9711.5 Liénard-Wiechert Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9811.6 Strahlung bewegter Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

12 Multipolstrahlung 10412.1 Langwellen-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10412.2 Elektrische Dipol-Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10612.3 Magnetische Dipol-Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

13 Systematik der Multipolentwicklung 11213.1 Eigenschaften der Kugelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11213.2 Legendre Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11713.3 Multipolentwicklung statischer Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12013.4 Multipolentwicklung des Strahlungsfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

VI Das elektromagnetische Feld in Materie 125

14 Makroskopische Felder 12614.1 Makroskopische Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12614.2 Freie und gebundene Ladungsträger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12714.3 Mikroskopische Ströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

15 Energie und Impuls des makroskopischen Feldes 13215.1 Energie makroskopischer Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13215.2 Impuls makroskopischer Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13415.3 Die Kirchhoff’schen Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

16 Elektrische und magnetische Eigenschaften der Materie 13716.1 Materialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13716.2 Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13816.3 Para- und Diamagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14116.4 Ohm’sches Gesetz; elektrische Leitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

17 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen 14617.1 Allgemeine Stetigkeitsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14617.2 Lineare, isotrope Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14817.3 Reflexion und Brechung von Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15017.4 Elektromagnetische Wellen in leitenden Materialien . . . . . . . . . . . . . 15317.5 Wellen in einem metallischen Hohlleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

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VII Relativistische Invarianz der Elektrodynamik 159

18 Spezielle Relativitätstheorie 16018.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16018.2 Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16118.3 Lorentztransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16218.4 Darstellung der Lorentztransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16418.5 Spezielle Lorentztransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16618.6 Addition von relativistischen Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . 16818.7 Vektorkalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16918.8 Relativistische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17018.9 Relativistisches Teilchen in einem elektromagnetischen Feld . . . . . . . . . 172

19 Lorentz-invariante Formulierung der Maxwell-Gleichungen 17519.1 Das vierdimensionale Raum-Zeit-Kontinuum . . . . . . . . . . . . . . . . . 17519.2 Gauß’sches cgs-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17919.3 Ströme, Dichten, Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17919.4 Maxwell-Gleichungen in Vakuum und Materie . . . . . . . . . . . . . . . . 18119.5 Transformation der Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

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Einführung in die Elektrodynamik0.1 Elektrische LadungWährend in der Mechanik die Eigenschaft Masse im Vordergrund steht, ist die Ladungvon Massenpunkten Ausgangspunkt der Elektrodynamik. Sie besitzt eine Reihe von fun-damentalen Eigenschaften, die durch vielfältige experimentelle Messungen gesichert sind:

Vorzeichen Es gibt 2 Sorten (Typen) von Ladungen. Es hat sich eingebürgt diese alspositiv und negativ zu bezeichnen. Man hätte auch auch andere Bezeichnungenwählen können, wie z.B. Hänsel und Gretel.Ladungen gleichen Vorzeichens stoßen sich ab, Ladungen verschiedenen Vorzeichensziehen sich an.

Transformationseigenschaften Die Gesamtladung eines Systems von Massenpunktenist die algebraische Summe der Einzelladungen; die Ladung ist ein Skalar. DieseBezeichnung leitet sich aus den Transformationseigenschaften der Ladung im eukli-schen Raum ab.

Ladungserhaltung Die Gesamtladung eines abgeschlossenen Systems ist konstant, d.h.eine Erhaltungsgröße. Ihr Zahlenwert unabhängig vom Bewegungszustand (Ge-schwindigkeite, Beschleunigung) des Systems.

Quantisierung Ladung kommt nur als Vielfaches der Elementarladung e (eines Elek-trons) vor,

q = ne; n = 0,±1,±2,±3, ...

Der klassischer Nachweis für die Quantisierung der Ladung ist der Millikan-Versuch(1910). Die Steig-/Fallgeschwindigkeit geladener Öltröpchen wird mit ein-/ausgeschaltetemelektrischem Feld gemessen.

Den Elementarteilchen Quarks ordnet man zwar drittelzahlige Ladungen zu, d.h.q = ±(1/3)e bzw. q = ±(2/3)e, jedoch sind diese Quarks im uns hier interessierendenEnergiebereich nicht als freie Teilchen beobachtbar.

0.2 Elektrostatik

Elektrostatik Behandelt das einfachste Problem der Elektrodynamik, der Fall ruhenderLadungen,Elektrische Kräfte Bringt man in die Umgebung einer (oder mehrerer) räumlich fi-xierter Punktladungen eine Probeladung q, so wirkt auf diese Probeladung eine Kraft K,welche im allgemeinen vom Ort r der Probeladung abhängt:

K = K(r) .

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Ersetzt man q durch eine andere Probeladung q′, so findet man für die auf q′ wirkendeKraft K′:

K′/q′ = K/q ,

d.h. die Kraft is proportional zur Größe der Probeladung.

Elektrisches Feld Diese Erfahrung legt es nahe, den Begriff des elektrischen Feldes

E(r) = 1q

K(r)

einzuführen. Dieses von den ruhenden Punktladungen erzeugte Feld ordnet jedem Raum-punkt r ein Tripel reeller Zahlen zu, welches sich wie ein Vektor transformiert.

Aufgabe der Elektrostatik Gegeben eine Ladungsverteilung ρ(r): Finde das elektri-schem Feld E(r).

0.3 Magnetostatik

Magnetostatik Behandelt stationärer Ströme. Bewegte Ladungen sind i.A. der Ur-sprung magnetostatischer Felder, da es keine magnetischen Ladungen gibt.

Lorentz-Kraft Bringt man in die Umgebung eines von einem stationären Strom durch-flossenen Leiters eine Probeladung q, so kann die auf q am Ort r wirkende Kraft geschrie-ben werden als

K(r) = q(v×B(r)

).

Dabei ist v die Geschwindigkeit der Probeladung und B(r) ein (von v unabhängiges)Vektorfeld, der magnetischen Induktion, hervorgerufen durch den vorgegebenen sta-tionären Strom.

Aufgabe der Magnetostatik Gegeben eine stationären Stromverteilung j(r): Findedas magnetischen Feld B(r).

0.4 Konzept des elektromagnetischen FeldesDas elektrische und das magnetische Feld sind keine von einander unabhängige Größen.Beispiele:

Lorentz-Transformation Alle gleichmäßig bewegten Referenzsysteme nenn man Inerti-alsysteme da sich die Form der Naturgesetze nicht bei einer Transformation zwischenihnen ändert.Eine ruhende PunktladungQ in einem Inertialsystem Σ erzeugt für einen Beobachterin Σ nur ein elektrisches Feld E 6= 0, jedoch kein Magnetfeld.

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Für einen anderen Beobachter in einem gegenüber Σ bewegten Inertialsystem Σ′ istdie Ladung bewegt. Der Beobachter in Σ′ misst daher sowohl ein elektrisches FeldE′ 6= 0 als auch ein magnetisches Feld B′ 6= 0.Da die Naturgesetzte jedoch in Σ wie in Σ′ die gleich Form haben müssen (Postulatder Forminvarianz), muss dass elektrisches und magnetisches Feld als eine Einheitansehen werden, als elektromagnetisches Feld.

Kontinuitätsgleichung Die wechselseitige Abhängigkeit von elektrischem und magne-tischem Feld tritt unvermeidbar dann zu Tage, wenn wir beliebige Ladungs- undStromverteilungen ρ(r, t) und j(r, t) zulassen. Die Forderung der Ladungserhaltungergibt dann die Verknüpfung von ρ und j via der Kontinuitätsgleichung

d

dtρ(r, t) +∇ · j(r, t) = 0 ,

da die Ladung in einem bestimmten Volumen V nur ab(zu)-nehmen kann, indemein entsprechender Strom durch die Oberfläche von V hinaus(hinein)-fließt. Dannkönnen aber E und B nicht mehr unabhängig voneinander berechnet werden.

0.5 Maxwell’sche Gleichungen

Maxwell-Gleichungen Sind die allgemeinen dynamischen Bewegungsgleichungen deselektromagneitschem Feld E,B in Zusammenhang mit den Quellen des elektromagneti-schen Feldes (Ladungen, Ströme).

Formulierung Die Maxwell-Gleichungen werden Schritt für Schritt in der Vorlesungeingeführt, formulieren und experimentell begründet.

Transformationseigenschaften Licht wird als propagierendes elektromagnetisches Feldbeschrieben, die Invarianzeigenschaft der Maxwell-Gleichungen unter Lorentz-Trans-formationen ist daher äquivalent mit der speziellen Relativitätstheorie ergibt.

Erhaltungsgrößen Aus der Energie-, Impuls- und Drehimpuls-Bilanz für ein Systemgeladener Massenpunkte im elektromagnetischen Feld lassen sich dem elektroma-gnetischen Feld Energie, Impuls und Drehimpuls zuzuordnen.

Lösungstheorie der Maxwell-Gleichungen Beispiele sind die Ausbreitung elektro-magnetischer Wellen oder die Strahlung eines schwingenden elektrischen Dipols(Antenne).

0.6 Materie im elektromagnetischen FeldDie Maxwell-Gleichungen bestimmen im Prinzip die Felder E(r, t) und B(r, t) vollständig,wenn die Ladungsverteilung ρ(r, t) und die Stromverteilung j(r, t) bekannt sind. Diese sindjedoch i.A. nicht berechenbar.

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mikro- vs. makroskopisch Für ein System von N geladenen Massenpunkten müssteman die Newton’schen Bewegungsgleichungen lösen, um ρ(r, t) und j(r, t) mikro-skopisch berechnen zu können.Für ein Stück Materie von makroskopischen Dimensionen haben wir es mit N ≈1020 − 1025 Massenpunkten zu tun.

Variabilität Die mikroskopisch berechneten Funktionen ρ(r, t) und j(r, t) werden imallgemeinen starke Schwankungen über kleine räumliche und zeitliche Distanzenaufweisen.

Gemittelte Felder Der Übergang von der mikroskopischen zur makroskopischen For-mulierung findet über gemittelte Felder statt. Wir verzichten auf die Kenntnis des elek-tromagnetischen Feldes in mikroskopischen Dimensionen(Volumina von 10−24cm3, Zeiten von 10−8sec) und geben uns mit Mittelwerten in(Volumina von 10−6cm3, Zeiten von 10−3sec) zufrieden.Anstelle von ρ(r, t), j(r, t), E(r, t) und B(r, t) treten dann Mittelwerte der Form

〈ρ(r, t)〉 = 1∆V∆t

∫d3xdτ ρ(r + x, t+ τ)

und entsprechend für 〈j(r, t)〉, 〈E(r, t)〉 und 〈B(r, t)〉. Aus den Maxwell-Gleichungen dermikroskopischen Felder ergeben sich dann Gleichungen ähnlicher Struktur für das makro-skopische elektromagnetische Feld.Matieralgleichung Der Zusammenhang zwischen den gemittelten Feldern wird danndurch die Materialkonstanten ε, µ und σ bestimmt, derDielektrizitätskonstante ε, dermagnetischen Permeabilität µ und derelektrischen Leitfähigkeit σ.

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0.7 LiteraturAn begleitender Literatur werden die folgenden Monographien empfohlen:

1. J. D. Jackson, Classical Electrodynamics,(Wiley, New York, 1962)

2. W. Greiner, Klassische Elektrodynamik,(Harri Deutsch, Thun, 1982)

3. D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics,(Prentice Hall, Upper Saddle River, 1999)

4. W. Nolting, Elektrodynamik,(Zimmermann-Neufang, Ulmen, 1993)

5. G. Ludwig, Einführung in die Grundlagen der Theoretischen Physik, Band 2: Elek-trodynamik, Zeit, Raum, Kosmos,(Bertelsmann, Düsseldorf, 1974)

6. W. Panofsky, M. Phillips, Classisal Electricity and Magnetism,(Addison-Wesley, Reading, 1962)

7. L. D. Landau, E. M. Lifschitz, Klassische Feldtheorie,(Akademie-Verlag, Berlin, 1973)

8. E. Rebhan, Theoretische Physik(Spektrum-Verlag, Heidelberg, 1999)

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Teil I

Elektrostatik

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Kapitel 1

Coulomb’sches Gesetz

Erhaltungsgrößen spielen in der Physik eine zentrale Rolle. Aus der Mechanik kennenwir das Theorem von Noether, welches besagt dass es zu jeder Erhaltungsgröße einezugeordnetete Symmetrie gibt. In der Feldtheorie (siehe QM-II) wird gezeigt werden,dass die Ladungserhaltung mit der sog. U(1) Eichinvarianz verbunden ist.

Erhaltung der Ladung - Paarerzeugung Ein besonders eindrucksvoller Beweis fürdie Ladungserhaltung ist die Paar-Erzeugung und Paar-Vernichtung. So zerstrahlen z.B.ein Elektron (e−) und ein Positron (e+) in ein hochenergetisches massives Photon (γ-Quant), welches ungeladen ist; umgekehrt entsteht bei der Paar-Erzeugung (z.B. in π+, π−

Mesonen) stets gleich viel positive wie negative Ladung.

+e+ (−e) = 0 q = 0 + e+ (−e) = 0

Die Ladungsinvarianz zeigt sich auch darin, dass Atome und Moleküle neutral sind,wie z.B. das Helium-Atom (4He) und das Deuterium-Molekül (D2). Beide bestehen aus2 Protonen und 2 Neutronen sowie 2 Elektronen und sind damit elektrisch neutral.

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1.1 Coulomb-KraftAls experimentell gesicherte Grundlage für die Elektrostatik benutzen wir das Cou-lomb’sche Kraftgesetz zwischen 2 Punktladungen:

K12 = Γeq1q2

r312

r12 , [ K ] = kgms2 (1.1)

ist die von Ladung q1 auf Ladung q2 ausge-übte Kraft. Hierbei ist r12 = r2 − r1 der ge-richtete Verbindungsvektor, r12 = |r12| undΓe eine noch zu bestimmende Proportionali-tätskonstante.

q

q2

1

r12

Eigenschaften der Coulomb-Kraft Die Eigenschaften der Coulomb-Kraft sind iden-tisch mit denen der Gravitation, abgesehen davon dass es keine negativen Massen gibt.

• Richtung: Anziehung (Abstoßung) für ungleichnamige (gleichnamige) Ladungen.

• Actio = Reactio: K12 = −K21:

• Zentralkraft: Da eine Punktladung im Raum keine Richtung auszeichnet.

• Superpositionsprinzip: Es gilt

K1 = K21 + K31 (1.2)

für die von 2 Punktladungen q2 und q3 auf q1 ausgeübte Kraft.

Messvorschrift für Ladung Vergleicht man 2 Ladungen q, q′ anhand der von einerfesten Ladung Q auf sie ausgeübten Kraft, so findet man für Punktladungen gemäß (1.1):

q

q′= K

K ′. (1.3)

Damit sind Ladungsverhältnisse durch Kraftmessung zu bestimmen: Nach Wahl einerEinheitsladung (Ladung des Elektrons oder Positrons) können wir Ladungen relativ zudieser Einheitsladung messen.

Maßsysteme Für die Festlegung der Proportionalitätskonstanten Γe betrachten wir 2gebräuchliche Maßsysteme.

• Gauß’sches cgs-System: Hier wählt man Γe als dimensionslose Konstante; speziell

Γe = 1 , (1.4)

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dann ist über (1.1) die Dimension der Ladung bestimmt zu

[q] = [ Kraft]1/2[Länge] = dyn1/2 × cm . (1.5)

Die elektrostatische Einheit ist dann diejenige Ladung, die auf eine gleich große imAbstand von 1 cm die Kraft 1 dyn ausübt. Das Gauß’sche cgs-System wird in derGrundlagenphysik bevorzugt.

• MKSA-System. Zusätzlich zu den mechanischen Einheiten (Meter, Kilogramm,Sekunde) wird Mit Coulomb die Einheit für elekrische Ladungen definiert,

Coulomb ≡ Ampère ∗ SekundeLadung = Strom ∗ Zeit

C = As, (Einheiten)

definiert. Dabei ist 1 Ampère definitionsgemäß der elektrische Strom, der aus einerSilbernitratlösung pro Sekunde 1.118 mg Silber abscheidet. Schreibt man

Γe = 14πε0

, K12 = 14πε0

q1q2

r312

r12 , (1.6)

so nimmt die Vakuum-Permittivität (Dielektrizitätskonstante) ε0 den Wert

ε0 = 8.854 · 10−12 Coulomb2

Newton · Meter2 (1.7)

an. Das MKSA-System hat sich in der angewandten Elektrodynamik (Elektrotech-nik) durchgesetzt.

1.2 Das elektrische Feld von PunktladungenDie von N ruhenden Punktladungen qi an den Orten ri auf eine Probeladung q am Ort rausgeübte Kraft ist nach (1.6) und dem Superpositonsprinzip

K = q

4πε0

N∑i=1

qi(r− ri)|r− ri|3

. (1.8)

Elektrisches Feld Mit

K = qE(r) , E(r) =N∑i=1

qi4πε0

(r− ri)|r− ri|3

, [ E ] = kgmC s2 (1.9)

definieren wir das (statische) elektrisches Feld, welches von den Punktladungen qi amOrt r erzeugt wird.

• Vektorfeld: Es ist gemäß (1.8) ein Vektorfeld. D.h. es gilt die Zuordnung

r → E(r), ∀r ∈ R3 .

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• Messvorschrift: Bei vorgegebener Ladung q zeigt (1.8), wie man ein elektrisches Feldmessen kann. Dabei ist darauf zu achten, dass die Probeladung q so klein ist, dassman ihren Einfluß auf das auszumessende Feld vernachlässigen kann.

Elektrisches Potential Analog dem Fall der Gravitationstheorie in der Mechanik kannman die Vektor-Funktion E(r) aus dem (skalaren) elektrischen Potential

Φ(r) =N∑i=1

qi4πε0

1|r− ri|

(1.10)

durch Differentiation gewinnen:

E ≡ −∇Φ . (1.11)

Die Einheit des elektrischen Potentials ist das Volt V

V = kgm2

Cs2 = kgm2

As3 = JA s = W

A ,

mit den (aus der Mechanik) bekannten Einheiten für dieEnergie Joule (J = kgm2/s2) undLeistung Watt (J = J/s = kgm2/s3).Potentielle Energie Die potentielle Energie U(r) der Probeladung q in einem elektri-schen Potential ist

U(r) ≡ qΦ(r) = qN∑i

qi4πε0

1|r− ri|

(1.12)

wobei Φ(ri) das Potential am Ort ri ist, welches die Ladungen dort erzeugen.

1.3 Kontinuierliche LadungsverteilungenStreng genommen gibt es nur Punktladungen, denn alle Elementarteilchen sind Punkt-ladungen. Doch ist es unpraktisch alle 1023 Elektronen in einem Kupferdraht einzeln zuzählen.Ladungsdichte Die Ladungsdichte ρ(r) ist die Anzahl Ladung pro Volumen, mit derEinheit

[ ρ ] = CoulombMeter3 = C

m3 .

Übergang zu kontinuielichen Ladungsdichten Wir ersetzen∑i

qi . . . −→∫dV ρ(r) . . . , (1.13)

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Abbildung 1.1: Beispiele für statische elektrische Felder.

wobei ρ(r) die Ladungsdichte am Ort r ist, mit der Gesamtladung

Q =∑i

qi =∫dV ρ(r) . (1.14)

Damit tritt anstelle von (1.9) und (1.10),

E(r) = 14πε0

∫dV ′ρ(r′) (r− r′)

|r− r′|3(1.15)

undΦ(r) = 1

4πε0

∫dV ′ρ(r′) 1

|r− r′|. (1.16)

Beispiel: Homogen geladene Kugelschale Wir betrachten eine Kugelschale mit ho-mogener Ladungsverteilung,

ρ(r′) = σ0 δ(R− r′)

und der Gesamtladung Q = 4πσ0R2. Für die Integra-

tion von (1.16) verwenden wir Kugelkoordinaten mit∫dxdydz =

∫ φ

0sin θ dθ

∫ ∞0

(r′)2dr′∫ 2π

0dϕ .

Der Verbindungsvektor ist durch

|r− r′| =√r2 + (r′)2 − 2rr′ cos θ

gegeben.

r

r’

r−r’

θ

Die Integration über den Azimutwinkel ϕ liefert 2π, die Integration über den Polar-winkel θ ergibt∫ π

0dθ

sin θ√r2 + (r′)2 − 2rr′ cos θ

= 1rr′

√r2 + (r′)2 − 2rr′ cos θ

∣∣∣∣πθ=0

= |r + r′| − |r − r′|rr′

,

16

wobei nur noch die Beträge r und r′ der Vektoren vorkommen. Zudem gilt r′ → R,aufgrund der intergration über den Radius r′. Wir finden

|r + r′| − |r − r′| =r + r′ − (r′ − r) = 2r for r < r′

r + r′ − (r − r′) = 2r′ for r > r′

und somit

Φ(r) =

σ0R

ε0for r < r′

4πσ0

4πε0R2

r= Q

4πε01r

for r > r′(1.17)

für das Potential einer homogen geladenen Kugelschale. Außerhalb der Kugelschale ist dasPotential also identisch mit dem einer Gesamtladung, nach dem Coulomb Gesetz (1.10),innerhalb konstant. Das elektrisch Feld verschindet daher innerhalb der Kugelschale.

1.4 MultipolentwicklungWir betrachten eine auf ein endliches Volumen V begrenzte Ladungsverteilung und wolleneine Näherungsmethode entwickeln um das Potential Φ in einem Punkt P weit außerhalbvon V zu bestimmen.

1/r-Entwicklung Solange die ri r, können wir das Potential (1.10) durch eine Taylor-Reihe in 1/r darstellen,

Φ = Φ0 + Φ1 + Φ2 + Φ3 + ... , (1.18)mit Φn ∼ O((1/r)n+1). Um diese Entwicklung herzuleiten benutzen wir die Formulierung

1|r− ri|

= 1√r2 − 2 r · ri + r2

i

= 1r

1√1− (2 r · ri − r2

i ) /r2

≡ 1r

1√1− x

, x = 2 r · ri − r2i

r2 . (1.19)

Damit ergibt sich1

|r− ri|= 1

r

1√1− x

= 1r

[1 + x

2 + 3x2

8 + O(x3)]

(1.20)

= 1r

+ 12

(2 r · ri − r2i )

r3 + 38

(2 r · ri − r2i )

2

r5 + . . . .

17

Wenn wir nun noch die Terme geeignet nach Potenzen von xi/r zusammenfassen, findenwir

1|r− ri|

= 1r

+ r · rir3 + 1

23 (r · ri)2 − r2

i r2

r5 + . . . . (1.21)

Für das elektrostatische Potential Φ(r) finden wir somit

Φ(r) = 14πε0

∑i

qi|r− ri|

= 14πε0

Q

r+ 1

4πε0d · rr3 + 1

4πε012rkQklr

l

r5 + . . . . (1.22)

Wir diskutieren nun die einzelnen Terme.Elektrischer Monopol Der erste Term in der 1/r Entwicklung des Potentials (1.22) ist

Φ0(r) =∑i

qi4πε0r

= Q

4πε0r. (1.23)

Die Gesamtladung, auch das Monopolmoment genannt,

Q =∑i

qi

erzeugt in 0. Näherung der Taylor-Entwicklung ein Feld, welches aus genügend großerEntfernung dem einer im Ursprung lokalisierten Punktladung entspricht.Elektrischer Dipol Der zweite Term in der 1/r Entwicklung des Potentials (1.22) ist

Φ1(r) = d · r4πε0r3 = d cosθ

4πε0r2 , (1.24)

mit dem Dipolmoment d,

d =∑i

qiri .

und dem Winkel θ zwischen r und d,

Abhängigkeit des Dipolmoments vom Koordinatenursprung Verschiebt man denUrsprung um a, so wird

d′ =∑i

qi(ri − a) = d−Qa. (1.25)

Falls Q 6= 0, kann man a so wählen, dassd’ = 0 wird. Wenn dagegen Q = 0 ist, sowird d = d′ unabhängig vom Ursprung unddas Dipolmoment beschreibt eine echte in-nere Eigenschaft des betrachteten Systems.Dieses ist beim Wassermolekül H2O der Fall,nicht aber beim Kohlendioxid CO2.

18

Abbildung 1.2: Das Potential eines elektrischen Dipols und Quadrupols.

Quadrupol-Moment Der dritte Term in der 1/r Entwicklung des Potentials (1.22) ist

Φ2(r) = 14πε0

12rkQklr

l

r5 , rkQklrl =

∑i

qi[3 (r · ri)2 − r2

i r2]. (1.26)

Für die Elemente Qkl des Quadrupoltensors Q finden wir

Qkl =∑i

qi(3rki rli − δklr2

i

). (1.27)

Einige Bemerkungen.• Indizes: In (1.27) sind die Indizes k, l = x, y, z, mit r = (rx, ry, rz) und ri =

(rxi , ryi , r

zi ).

• Einstein’sche Summenkonvention: Die Einstein’sche Summenkonvention gilt in (1.26),d.h. über gleiche Indizes wird automatisch summiert.

• Symmetrie: Der Quadrupol-Tensor Q ist symmetrisch und reell und kann daherstets diagonalisiert werden.

Es besteht hier eine weitgehende Analogie zum Trägheitstensor in der Mechanik.Hauptachsensystem Mittels einer unitären Transformation läss t sich der Quadrupol-Tensor diagonalisieren, dann ist Qkl = Qk δkl. Man spricht auch, analog zur Mechanik, voneiner Transformation ins Hauptachsensystem. Im Hauptachsensystem ist der Quadrupol-Tensor diagonal,

Wir finden, z.B. für Qx ≡ Q11,

Qx =∑i

qi(3x2

i − r2i

)=

∑i

qi(2x2

i − y2i − z2

i

). (1.28)

(1.28) zeigt, dass die Eigenwerte Qk die Abweichungen von der Kugelsymmetrie beschrei-ben, denn für sphärische Ladungsverteilungen wird∑

i

qi x2i =

∑i

qi y2i =

∑i

qi z2i → Qm = 0 . (1.29)

19

Spezialfall: Axialsymmetrie Wir betrachten im Hauptachsensytem Rotationsinvari-anz um die z-Achse. Dann wird nach (1.28)

Qx = Qy =∑i

qi(x2i − z2

i

), Qz =

∑i

qi(2z2

i − x2i − y2

i

)= 2

∑i

qi(z2i − x2

i

).

und somitQx = Qy = −1

2Qz, (1.30)

d.h. der Quadrupol-Anteil Φ2(r) ist durch eine Zahl, das Quadrupolmoment Q0 ≡Qz/2, bestimmt.

Für diesen Fall ist die Winkelabhängigkeit von Φ2 leicht anzugeben (wir verwendenQz = 2Q0, Qx = Qy = −Q0):

Φ2(r) = 14πε0

Qxx2 +Qyy

2 +Qzz2

2r5 = Q0

4πε02z2 − x2 − y2

2r5

= Q0

4πε0(3z2 − r2)

2r5 = Q0

4πε0· (3 cos2 θ − 1)

2r3 . (1.31)

Gleichung (1.31) zeigt die für den Quadrupol-Anteil charakteristische r-Abhängigkeit; dieWinkelabhängigkeit ist deutlich verschieden von der des Dipol-Terms (1.24).Kontinuierliche Ladungsverteilungen Analog zu Abschnitt 1.4 ergibt sich das Di-polmoment für eine kontinuierliche (räumlich begrenzte) Ladungsverteilung zu

d =∫dV ρ(r) r . (1.32)

Analog für die Quadrupol Momente, z.B. wird Gleichung (1.28) zu

Qx =∫dV ρ(r)(2x2 − y2 − z2) . (1.33)

Beispiel Eine ganze Reihe von Atomker-nen ist (axialsymmetrisch) deformiert undelektrostatisch durch ein Quadrupolmomentcharakterisiert. Die Abweichungen von derKugelsymmetrie können dabei sowohl posi-tiv, Q0 > 0, als auch negativ, Q0 < 0,sein, was anschaulich einer Zigarre bzw. ei-ner Scheibe entspricht.

20

Kapitel 2

Grundlagen der Elektrostatik

2.1 Satz von GaußElektromagnetische Felder sind Vektorfelder; in jedem Punkt des Raumes gibt es eingerichtetes elektrisches und magnetisches Feld. Zentral für die Mathematik von Vektorfel-dern ist der Satz von Gauß, welcher vor allem in der Elektrostatik zur Anwendung kommt,sowie der Satz von Stokes, welcher für die Magnetostatik wichtig ist. Wir beschäftigenuns daher nun zuerst mit der Mathematik von Vektorfeldern.Der Fluss von Vektorfeldern Den Fluß Φ des Vektorfeldes A durch die Fläche Fdefinieren wir als das Oberflächenintegral

Φ =∫F

A · dF =∫FAndF , (2.1)

wobei An = A · n die Komponen-te von A in Richtung der Flächen-normalen n ist. Das gerichtete Flä-chenelement dF ist parallel zu n,dF = |dF|.

F

A

n

Fluss von Strömungen Zur Interpretation von (2.1) verlassen wir kurzzeitig die Elek-trodynamik und betrachten eine Flüssigkeitsströmung mit der Geschwindigkeit v(r) undder Dichte ρ(r). Die Stromdichte j ist dann

j(r) = ρ(r)v(r) , (2.2)

und somit ist ∫F

j · dF =∫Fρ(r) [ v(r) · dF ] (2.3)

21

die pro Zeiteinheit durch F fließende Menge Flüssigkeit. Wegen des Skalarproduktes v(r) ·dF in (2.3) ist nur die senkrecht zur Strömung stehende Fläche wirksam.

Der Satz von Gauß Wir wählen nun für F eine geschlossene Fläche, welche einVolumen V umschließt. Dann gilt für den Fluss Φ =

∫F A · dF der Satz von Gauß:

∫F

A · dF =∫V∇ ·A dV . (2.4)

Beweis des Satzes von Gauß Für den Beweis des Satzes von Gauß teilen wir denRaum in ein Summe von vielen kleinen Würfeln auf und beweisen den Satz für einenkleinen (infinitesimalen) Würfel. Dieses genügt, da sich die Flüsse an den gemeisamenWürfelflächen wegheben.

F

∆V

x x+ ∆x

Für einen einzelnen kleinen Würfel gilt mit A = (Ax, Ay, Az)∫F

A · dF ≈(Ax(x+ ∆x, y, z)− Ax(x, y, z)

)∆y∆z

+(Ay(x, y + ∆y, z)− Ay(x, y, z)

)∆x∆z

+(Az(x, y, z + ∆y)− Az(x, y, z)

)∆x∆y

=(∂Ax∂x

+ ∂Ay∂y

+ ∂Az∂z

)∆V

= ∇ ·A ∆V ≈∫V∇ ·A dV ,

wobei wir die Definition der Ableitung f ′(x) und des ∇–Operators

f ′(x) = lim∆x→0

f(x+ ∆x)− f(x)∆x , ∇ =

(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂y

)

verwendet haben.

22

2.2 Differentialgleichungen für das elektrische FeldWir wenden nun den Satz von Gauß auf das elektrische Feld E(r) an, um die Beziehungzur Ladungsverteilung ρ(r) in differentieller Form zu gewinnen.

Divergenz des Feldes einer Punkladung Als Vorbetrachtung berechnen wir dieDivergenz ∇ · E des elektrischen Feldes

E(r) = q

4πε0r|r|3

= q

4πε0(x, y, z)

(x2 + y2 + z2)3/2

einer Punktladung q. Wir finden mit ∇ · r = 3 und ∇r2 = 2r

4πε0q∇ · E = 3

|r|3− 3

21|r|5

r · r 2 = 3|r|3− 3|r|3

= 0 . (2.5)

Somit verschwindet die Divergenz des elektrischen Feldes überall dort wo es keine Ladunggibt

∇ · E = 0 ∀r mit ρ(r) = 0 , (2.6)

denn die Herleitung (2.5) ist natürlich nicht am Ursprung gültig, wo E divergiert. DieVerallgemeinerung von dem Fall einer Punktladung zu dem Fall einer kontinuierlichenLadungsverteilung ρ(r) ist nach dem Superpositionsprinzip trivial.Fluß einer Punktladung Wie ist (2.6) fürOrte r zu modifizieren an denen ρ(r) 6= 0 ist?Dazu betrachten wir eine Kugel mit RadiusR um eine Punkladung q. Für den Betrag vonE = |E(r)| gilt

E = q

4πε0R2 .

Somit finden wir für den Fluss Φ durch die Oberfläche der Kugel

Φ =∫ q

4πε0R2R2dΩ = q

4πε0

∫dΩ = q

ε0, (2.7)

unabhängig vom Radius R der Kugel.

Ladungen als Quellen des elektrischen Feldes Nun ist nach dem Satz von Gauß(2.4) der Fluss (2.7) gleich dem Volumenintegral der Divergenz,

Φ =∫F

E · dF =∫V∇ · E dV = q

ε0.

Für einen sehr kleinen Radius R→ 0 finden wir daher

q

ε0≈ (∇ · E)∆V, ∇ · E ≈ 1

ε0

q

∆V ≈ ρ

ε0,

23

wobei ∆V hier das Volumen 4πR3/3 der kleinen Kugel ist. Damit haben wir dieGauß’scheGleichung in differentieller Form

∇ · E = ρ

ε0(2.8)

hergeleitet. Sie belegt, dass die Ladungsverteilung ρ = ρ(r) die Quelle des elektrischenFeldes ist.

Wirbelfreiheit des elektrischen Feldes Eine weitere differenzielle Beziehung für Eerhalten wir aus (vgl. (1.11))

E = −∇Φ, (2.9)

wobei Φ hier das elektrische Potential ist. Gleichung (2.9) ist über die Vektorindentität

∇× (∇f) = 0,(∇×∇

)i

= εijk ∂j∂k = 0 , (2.10)

äquivalent zur Wirbelfreiheit

∇× E = 0 (2.11)

des elektrischen Feldes. Wie wir später sehen werden, gilt die dieses Aussage nur wennzusätzlich keine zeitabhängigen Magnetfelder auftreten.

Poisson’sche Gleichung Aus dem Gauss’schen Gesetz (2.8) gwinnte man zusammenmit (2.9) direkt eine Differentialgleichung für das elektrische Potential,

∆Φ = − ρε0

, ∇ · (∇Φ) = ∆Φ (2.12)

die Poisson’sche Gleichung mit der Abkürzung

∆ = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2 (2.13)

für den Laplace-Operator ∆.

Laplace Gleichung Hat man eine Lösung von (2.12) gefunden, so kann man dazu einebeliebige Lösung der homogenen Gleichung, der Laplace-Gleichung,

∆Φ = 0 (2.14)

addieren und erhält eine neue Lösung von (2.12). Diese Mehrdeutigkeit kann man durchVorgabe von Randbedingungen beseitigen. Für die weitere Diskussion sei auf Kapitel 3verwiesen.

24

2.3 Anwendungen des Gauß’schen SatzesFür symmetrische Ladungsverteilungen bietet (2.12) die Möglichkeit, das Potential Φ unddie Feldstärke E = −∇Φ mit geringem Aufwand zu berechnen. Wir betrachten 2 Beispiele.

Feld einer homogen raumgeladenen Kugel Sei

ρ(r) =ρ(r) für r ≤ R

0 für r > R, (2.15)

mit r = |r|. Aufgrund der Kugelsymmetrie ist E radial gerichtet, mit

Φ = 4πr2E(r) = Qr

ε0, Qr = 4π

∫ R

0r2ρ(r) dr , (2.16)

wobei Qr die in einer konzentrischen Kugel mit Radius r enthaltene Ladung ist.

Für r ≥ R ist Qr = Q die Gesamtladung und es folgt aus (2.16):

E(r) = Q

4πε0r2 für r ≥ R. (2.17)

Für r ≤ R hängt das Ergebnis von der speziellen Form von ρ(r) ab. Als Beispiel wählenwir

ρ(r) = ρ0 = const, (2.18)

dann wird:Qr = 4π

3 r3ρ0 ,

alsoE(r) = 1

4πε0Qr

r2 = ρ0

3ε0r. (2.19)

Diese Ergebnis erhält man auch wenn man das Potential (1.17) für eine Kugelschale überdie radiale Ladungsverteilung integrieren würde.

Homogen geladene, unendlichausgedehnte Ebene Aus Symme-triegründen steht E senkrecht zurEbene, der Betrag E ist gleich fürdie Punkte 1 und 2, welche von derEbene den Abstand r haben mögen.Der Gauß’sche Satz ergibt dann

Φ =∫F

E · dF = aE(1) + aE(2) = Q

ε0= σa

ε0, (2.20)

25

wenn a die Zylindergrundfläche ist und σ die Flächenladungsdichte. Vom Zylinder-Mantelerhält man keinen Beitrag, da E keine Komponente in Richtung der Normalen auf demZylinder-Mantel hat. Das Ergebnis

E = σ

2ε0(2.21)

ist unabhängig von r, wie von der Theorie des Kondensators bekannt.

2.4 Energie des elektrostatischen Feldes

Um eine Punktladung q1 aus dem Unend-lichen an eine Ladung q2 auf den Abstandr12 heranzubringen, benötigt (oder gewinnt)man die Energie

U = q1q2

4πε0r12. (2.22)

Will man aus N Punktladungen qi eine bestimmte (durch die Abstände der Ladun-gen qi charakterisierte) Ladungsanordnung aufbauen, so benötigt (oder gewinnt) manentsprechend die Energie

U = 12∑i 6=j

qiqj4πε0rij

; (2.23)

der Faktor 1/2 sorgt dafür, dass Doppelzählungen vermieden werden, die Einschränkungi 6= j schließt Selbstenergien der Punktladungen aus.

Punktladungen vs. Feldenergie Stellt man das Bild der Punktladungen in den Mittel-punkt der Betrachtungen, so interpretiert man U als die potentielle Energie eines Systemsvon geladenen Massenpunkten. Man kann auch das Bild des elektrischen Feldes in denMittelpunkt stellen. Dann ist die zum Aufbau des elektrischen Feldes benötigte Ener-gie U im elektrischen Feld gespeichert in Form von Feldenergie. Da die Coulomb-Kraftkonservativ ist, geht die beim Aufbau des Feldes (also der Herstellung einer bestimmtenLadungsanordnung) geleistete Arbeit nicht verloren.

Energie des elektrischen Feldes Um den Zusammenhang der beiden Betrachtungs-weisen quantitativ zu fassen, formen wir (2.23) um (vgl. Kapitel 1):

U = 12∑i

qiΦ(ri) = 12

∫Vρ(r)Φ(r)dV , (2.24)

wobei Φ(ri) das Potential am Ort ri der i-ten Punktladung ist, welches die anderenPunktladungen dort erzeugen. Gleichung (2.24) können wir mit der Poisson Gleichung∆Φ = −ρ/ε0, siehe (2.12), umschreiben zu:

U = −ε02

∫V

Φ(r)∆Φ(r) dV . (2.25)

26

Gleichung (2.26) beschreibt die Energie U vollständig durch das Potential Φ, d.h. durchdas elektrostatische Feld ohne Bezug auf die Ladungen, die dieses Feld erzeugt haben.Man kann U , statt durch das Potential Φ, durch die Feldstärke E ausdrücken, wenn mandie Identität

∇ · (f∇g) = (∇f) · (∇g) + f∆g (2.26)für f = g = Φ benutzt:

U = ε02

∫V

(∇Φ(r))2 dV − ε02

∫V∇ · (Φ∇Φ) dV

= ε02

∫V

(∇Φ(r))2 dV − ε02

∫F

Φ∇Φ · dF , (2.27)

wobei wir den Satz von Gauß (2.4) verwendet haben, mit F als Oberfläche von V .Wenn sich nun alle Ladungen im Endlichen befinden, so verschwindet in (2.27) das

Oberflächenintegral mit zunehmendem Volumen V , da Φ∇Φ mit wachsendem Abstandvom Ladungszentrum wie R−3 abfällt, während die Oberfläche nur mit R2 anwächst. ImLimes V →∞ bleibt also:

U = ε02

∫V

(∇Φ(r)

)2dV = ε0

2

∫VE2 dV (2.28)

als die im Feld gespeicherte Energie.

ε02 E

2(r)

ist somit die Energiedichte des elektrischen Feldes.

2.5 Multipole im elektrischen FeldWir betrachten eine räumlich lokalisierte Ladungsverteilung ρ in einem äußeren elektro-statischen Feld, erzeugt durch das Potential Φa. Die Energie der Ladungsverteilung istdann, entsprechend den Überlegungen von Abschnitt 2.4),

U =∫Vρ(r)Φa(r) dV . (2.29)

Dabei sollen die Ladungen, welche das äußere Feld Φa hervorrufen sich außerhalb desGebietes V befinden, auf welches ρ beschränkt ist. Damit erklärt sich das Fehlen desFaktors 1/2 in (2.29) verglichen mit (2.24).Taylor Entwicklung Weiter sei Φa in V langsam veränderlich, so dass wir Φa bzgl. desLadungsschwerpunktes von ρ(r) in eine Taylor-Reihe entwickeln können:

Φa(r) = Φa(0) +3∑i=1

xi∂Φa(0)∂xi

+ 12

3∑i,j=1

xixj∂2Φa(0)∂xi∂xj

+ ... . (2.30)

Da im Gebiet V für das äußere Feld

∇ · Ea = 0, Ea = −∇Φa (2.31)

27

nach Annahme gilt, können wir (vgl. Abschnitt 1.4) Gleichung (2.30) wie folgt umformen:

Φa(r) = Φa(0) −3∑i=1

xiEia(0) − 16

3∑i,j=1

(3xixj − r2δij

) ∂Eia(0)∂xj

+ ... . (2.32)

Die ersten beiden Terme (Monopol und Dipol) ergeben sich direckt aus dem Vergleich mit(2.30). Den dritten Term (Quadrupol) haben wir erzeugt indem wir eine Null hinzugefügthaben: ∑

i,j

(−r2)δij∂Eia∂xj

= −r2∑i

∂Eia∂xi

= −r2∇ · Ea = 0 .

Die Kombination von (2.29) und (2.32) ergibt zusammen mit

Q =∫VdV ρ(r), d =

∫dV ρ(r) r, Qij =

∫VdV ρ(r)

(3xixj − r2δkl

),

siehe (1.14), (1.32) und (1.27), erhalten wir

U = QΦa(0) − d · Ea(0) − 16

3∑i,j=1

Qij∂Eia(0)∂xj

+ ... . (2.33)

Gleichung (2.33) zeigt, wie die Multipolmomente einer Ladungsverteilung ρ mit einemäußeren Feld Ea in Wechselwirkung treten.

– die Gesamtladung Q mit dem Potential Φa,

– das Dipolmoment d mit der Feldstärke Ea,

– der Quadrupoltensor Qij mit dem Feldgradienten ∂Eia/∂xj, etc.

Anwendungsbeispiele Atomare Dipole in äußeren elektrischen Feldern, Wechselwir-kung des Kern-Quadrupolments mit der Elektronenhülle.

28

Kapitel 3

Randwertprobleme der Elektrostatik

3.1 EindeutigkeitstheoremIm Kapitel 2.2 haben wir darauf hingewiesen, dass die Poisson- bzw. die Laplace Gleichung

∆Φ = − ρε0, ∆Φ = 0 ,

für das elektrische Potential Φ(r) keine eindeutigen Lösungen besitzen. Aus der Theo-rie der gewöhnlichen Differentialgleichungen wissen wir, dass wir für diese die Anfangs-bedingungen spezifizieren müssen, damit die Lösungen eindeutig werden. Für partielleDifferentialgleichung sind es analog die Randbedingungen.Randbedingungen Wir wollen im folgenden zeigen, dass die Poisson-Gleichung bzw.die Laplace-Gleichung eine eindeutige Lösung besitzt, wenn eine der beiden folgendenRandbedingungen erfüllt ist.

• Dirichlet - Bedingung

Φ ist auf einer geschlossenen Fläche F vorgegeben . (3.1)

• von Neumann-Bedingung

∇Φ ist auf einer geschlossenen Fläche F vorgegeben . (3.2)

Beweis für die Eindeutigkeit Wir nehmen an, dass es 2 Lösungen Φ1 bzw. Φ2 von

∆Φ = − ρε0

(3.3)

gibt, die beide die gleichen Randbedingungen, (3.1) oder (3.2), erfüllen. Dann gilt für dieDifferenz U = Φ1 − Φ2:

∆U = 0 (3.4)in dem von F umschlossenen Volumen V . Weiter gilt wegen der Randbedingungen

U = 0 auf F (3.5)

29

oder∇U = 0 auf F . (3.6)

Mit der Kettenregel∇ · (U∇U) = (∇U)2 + U∆U (3.7)

und (3.4) wird∫V

(∇U)2 dV =∫V

∇ · (U∇U) − U ∆U︸︷︷︸=0

dV =∫FU∇U︸ ︷︷ ︸

=0

·dF = 0 (3.8)

mit Hilfe der Formel von Gauß, falls eine der beiden Bedingungen (3.5) oder (3.6) gilt.Also: ∫

V(∇U)2 dV = 0 , (3.9)

d.h. es ist in V :∇U = 0 , (3.10)

da (∇U)2 ≥ 0. Damit wirdU = const (3.11)

und Φ1 und Φ2 unterscheiden sich höchstens um eine (physikalisch unwesentliche) Kon-stante, dem Energie-Nullpunkt.Sonderfall V →∞ Wenn V der gesamte R3 ist, so ist die Lösung der Poisson-Gleichungeindeutig, falls ρ auf einen endlichen Bereich beschränkt ist und Φ(r) asymptotisch soschnell abfällt, dass

r2Φ(r)∂Φ(r)∂n

→ 0 für r → ∞, (3.12)

wo ∂Φ/∂n die Normalen-Ableitung von Φ bezeichnet. Der obige Beweis überträgt sichdirekt, wenn man beachtet, dass die Oberfläche bei festem Rauminhalt wie r2 wächst.

Die Bedingung (3.12) ist für eine Punktladung erfüllt, für welche Φ ∼ 1/r und E ∼1/r2. Nach dem Superpostionsprinzip ist daher auch (3.12) für alle Ladungsverteilungenmit einer endlichen Gesamtladung erfüllt.

3.2 SpiegelungsmethodeDiese Methode zur Lösung des Randwertproblems besteht darin, außerhalb des zu unter-suchenden Bereichs sogenannte Spiegel-Ladungen geeigneter Größe so anzubringen, dassmit ihrer Hilfe gerade die geforderten Randbedingungen erfüllt werden. Dieses Verfah-ren ist deshalb erlaubt, weil man zur Lösung der (inhomogenen) Poisson-Gleichung jedeLösung der (homogenen) Laplace-Gleichung addieren darf (vgl. Abschnitt 2.2). Durchdie Spiegelungsmethode wird diejenige Lösung der Laplace-Gleichung ausgewählt, diezusammen mit der gewählten speziellen Lösung der Poisson-Gleichung die gefordertenRandbedingungen erfüllt.Punktladung vor leitender Ebene Als einfaches Beispiel betrachten wir eine Punkt-ladung q im Abstand a von einer leitenden Ebene (der yz-Ebene), welche geerdet sei (d.h.Φ = 0 auf der Ebene). Die Spiegelladung q’ denken wir uns bzgl. der Ebene spiegelsym-metrisch zu q angebracht.

30

= 0

qq’aa’

r−a’ r−a

rΦ

Die Positionen der Ladung und die Spiegelladung seien also

a = (a, 0, 0), a′ = (−a, 0, 0) .

Dann beträgt das Potential im Punkt r

(4πε0) Φ(r) = q

|r− a|+ q′

|r′ − a′|(3.13)

und wir erhalten wie gefordert Φ = 0 für alle Punkte der leitenden Ebene, x = 0, wennwir

q′ = −q (3.14)wählen. In dem (uns interessierenden) Bereich x > 0 ist q/(4πε0r) eine spezielle Lösungder Poisson-Gleichung, q′/(4πε0r′) eine Lösung der Laplace-Gleichung, die gerade dafürsorgt, dass für x = 0 die geforderte Randbedingung gilt.Elektrisches Feld Das elektrische Feld E erhält man dann aus (3.13) und (3.14)

E(r) = −∂Φ∂r

= q

4πε0

(r− a|r− a|3

− r + a|r + a|3

). (3.15)

Für die Ebene x = 0 gilt mit a = (a, 0, 0)

|r− a|2 = |r + a|2 = a2 + y2 + z2 ≡ r2

und somitE(x = 0) = − 2q a

4πε0r3 . (3.16)

Das elektrische Feld steht somit senkrecht auf die leitende Ebene, da a = (a, 0, 0). DieKomponenten des elektrischen Feldes in der x = 0 Ebene verschwinden, andernfalls würdeein Strom in der Ebenenoberfläche fliessen bzw. das Potential auf der Fläche nicht konstantsein.Flächenladungs-Dichte Das das elektrische Feld im linken Halbraum x < 0 verschwin-det bedeutet Gleichung (3.16) nach dem Gauß’schen Satz, und dem Ergebnis (2.21), dassin der Ebene x = 0 eine ortsabhängige Flächendichte

σ = ε0Ex(x = 0) = − qa

2πr3 (3.17)

durch die Anwesenheit der Punktladung q induziert wird. Beachte den Faktor 2 zwischen(3.17), und (2.21), da im Falle der Spiegelladung E(x < 0) = 0 ist, und in der Anwendungdes Satzes von Gauss damit nur die Hälfte des elektrischen Flusses auftritt.

31

3.3 Trennung der VariablenEine Trennung der Variablen kann für viele Differentialgleichungen durchgeführ werden,für welche die einzelnen Freiheitsgrade entkoppelt sind. Die Methode wird in der Physiksehr häufig verwendet.Laplace-Gleichung Wir suchen nach Lösungen der Laplace-Gleichung

∆Φ = 0 (3.18)

und nehmen dabei der Einfachheit halber an, daß Φ von z nicht abhängt,

Φ = Φ(x, y) . (3.19)

Dann vereinfacht sich (3.18) in kartesischen Koordinaten zu:(∂2

∂x2 + ∂2

∂y2

)Φ(x, y) = 0 . (3.20)

Separationsansatz In (3.20) sind die Freiheitsgrade x und y nicht gekoppelt, es gibtkeine Mischterme wie ∂2/∂x∂yΦ. Daher können wir den Separationsansatz

Φ(x, y) = f(x) g(y) (3.21)

machen. Dann geht (3.20) über in:

g(y) ∂2

∂x2f(x) + f(x) ∂2

∂y2 g(y) = 0 . (3.22)

Mit Ausnahme der Nullstellen von f und g ist (3.22) äquivalent zu:

1f(x)

∂2f

∂x2 + 1g(y)

∂2g

∂y2 = 0 . (3.23)

Der erste Term in (3.23) hängt nur von x, der zweite nur von y ab; da x und y unabhängigeVariablen sind, folgt aus (3.23):

1f(x)

∂2f

∂x2 = const = − 1g(y)

∂2g

∂y2 . (3.24)

Wählen wir die Konstante in (3.24) z.B. positiv reell (= k2), so erhalten wir folgendeDifferentialgleichungen:

∂2f

∂x2 − k2f(x) = 0; ∂2g

∂y2 + k2g(y) = 0 (3.25)

mit den Lösungen

f(x) = ak exp(kx) + bk exp(−kx); g(y) = ck sin(ky) + dk cos(ky) . (3.26)

32

Die Integrationskonstanten ak, bk, ck, dk und die Separationskonstante k werden durchRandbedingungen festgelegt.

Rechteck-Zylinder Als Beispiel betrach-ten wir einen in z-Richtung unendlich ausge-dehnten Rechteck-Zylinder (mit den Kanten-längen x0 und y0) mit den Randbedingungen:

Φ(x, b) = 0Φ(0, y) = 0 Φ(a, y) = V (y)

Φ(x, 0) = 0(3.27)

Hierbei ist V (y) eine beliebige, vorgegebenenFunktion. (0,0) (a,0)

(a,b)(0,b)

V(y)

Wir müssen nun die Parameter der Lösungen (3.26) von Φ(x, y) = f(x)g(y) so wählendass die Randbedingungen (3.27) erfüllt werden.

• Aus Φ(x, 0) = 0 folgt g(y = 0) = 0 und somit dk = 0. Wir können also auch ck = 1wählen.

• Aus Φ(x, b) = 0 folgt g(y = b) = 0 und somit sin(kb) = 0. Also

k = nπ

b≡ kn . (3.28)

• Aus Φ(0, y) = 0 folgt f(y = 0) = 0 und somit bk = −ak. Also

f(x) = ak exp(knx)− exp(−knx) = 2ak sinh(knx) . (3.29)

Fourier Transformation Der Wellenvektor kn in (3.29) ist beliebig. Um die BedingungΦ(b, y) = V (y) auch noch zu erfüllen, entwickeln wir nach Fourier,

Φ(x, y) =∞∑n=1

An sinh(knx)︸ ︷︷ ︸f(x)

sin(kny)︸ ︷︷ ︸g(y)

An = 2ak kn = nπ/b , (3.30)

und bestimmen die Koeffizienten An aus der Forderung

Φ(a, y) = V (y) =∞∑n=1

An sinh(kna) sin(kny) . (3.31)

Nach dem Umkehrtheorem für Sinus-Fourier-Reihen erhält man:

An = 2b sinh(kna)

∫ b

0V (y) sin(kny) dy . (3.32)

Allgemeine Randbedingungen Nich für alle Geometrien kann mann die Lösungenso einfach lösen wie beim Rechteck, i.A. muss man auf numerische Methoden zurückgrei-fen. Hat man Randbedingungen von sphärischer Symmetrie, so wird man die Laplace-Gleichung lösen durch einen Separationsansatz in Kugelkoordinaten; entsprechend ver-fährt man bei axialer Symmetrie.

33

3.4 Übersicht Elektrostatik

1.) Coulomb-Gesetz (die Basis)

K = qE mit E(r) =∑i

qi(r− ri)4πε0|r− ri|3

2.) Feldgleichungen:

a) integral: ∮S

E · ds = 0;∮F

E · dF = Q

ε0

b) differentiell:∇× E = 0; ∇ · E = ρ

ε0

3.) Elektrostatisches Potential:

E = −∇Φ → ∆Φ = − ρε0

: Poisson-Gleichung

4.) Feldenergie:

12∑i 6=j

qiqj4πε0rij

→ 12

∫VρΦ dV → ε0

2

∫VE2 dV

Potentielle Energie der Punktladungen → elektrostatische Feldenergie

34

Teil II

Magnetostatik

35

Kapitel 4

Ampère’sches Gesetz

4.1 Elektrischer Strom und LadungserhaltungElektrische Ströme werden durch bewegte Ladungsträger hervorgerufen. Ladungsträgerkönnen dabei z.B. sein: Ionen in einem Teilchenbeschleuniger, einem Elektrolyten odereinem Gas, Elektronen in einem Metall etc. Ursache für die Bewegung der Ladungen sindin erster Linie elektrische Felder, es kann sich aber auch um materiellen Transport vonLadungsträgern handeln.Stromstärke Als elektrische Stromstärke I definieren wir diejenige Ladungsmenge, diepro Zeiteinheit durch den Leiterquerschnitt fließt,

I = LadungZeit .

Als einfachsten Fall betrachten wir zunächst identische Ladungsträger.• q Ladung

• v Geschwindigkeit

• a Vektor senkrecht zum Querschnitt des leitenden Me-diums, mit der Querschnittsfläche a = |a|

• n Dichte der Ladungsträger.

• ∆t Zeitintervall

• ∆V = (a · v)∆t überstrichens Volumen

• n∆V Anzahl Ladungsträger im Volumen ∆Va

a

∆tv

Damit folgt für die Stromstärke

I(a) = n∆V∆t = nq(a · v)∆t

∆t = nq(a · v). (4.1)

Haben wir allgemein pro Volumeneinheit ni Ladungsträger qi mit der Geschwindigkeit vi,so wird

I(a) = a ·(∑

i

niqivi). (4.2)

36

Stromdichte Die Gleichungen (4.1) und (4.2) legen es nahe, die Stromdichte j einzufüh-ren, als

j =∑i

ni qi vi , (4.3)

welche sich für qi = q mit der mittleren Geschwindigkeit

〈v〉 = 1n

∑i

nivi, n = 〈ni〉 (4.4)

verknüpfen lässt:

j = nq〈v〉 = ρ < v > . (4.5)

Im allgemeinen Fall ist Ladungsträgerdichte ρ = ρ(r, t) und das Geschwindigkeitsfeld 〈v〉orts- und zeitabhängig, also

j = j(r, t). (4.6)

q j

q

q v

V

q

v v

v

Kontinuitätsgleichung Ladung ist erhalten und kann nicht verloren gehen. Die diffe-rentielle Formulierung dieses Erhaltungssatzes ist die eminent wichtige Kontinuitätsglei-chung.

• In einem kleinen Volumen V verändert sich die Ladung Q(t) wie

dQ(t)dt

=∫V

∂ρ(r, t)∂t

dV, Q(t) =∫Vρ(r, t) dV . (4.7)

• Ladungströme j(r, t) durch die Oberfläche Volumens V verändern die Gesamtladunginnerhalb von V gemäß dem Satze von Gauß,∫

Fj · dF =

∫V∇ · j dV . (4.8)

• Damit lautet die Ladungsbilanz

−∫V

∂ρ

∂tdV =

∫V∇ · j dV . (4.9)

37

Da wir das Volumen V beliebig wählen können, erhalten wir somit aus (4.8) und (4.9) dieKontinuitätsgleichung

∇ · j + ∂ρ

∂t= 0 . (4.10)

Während (4.9) die Ladungserhaltung in integraler Form beschreibt, bedeutet (4.10) dieLadungserhaltung in differentieller Form.Spezialfälle der Kontinuitätsgleichung Stationäre Ladungen und Ströme zeichnendie Elektrostatik bzw. die Magnetostatik aus.

• Elektrostatik: Stationäre Ladungen mit

j = 0 → ∂ρ

∂t= 0 → ρ = ρ(r) . (4.11)

• Magnetostatik: Stationäre Ströme mit

j = j(r) und ∂ρ

∂t= 0 → ∇ · j = 0 , (4.12)

denn für einen stationären Strom ist ∇ · j zeitlich konstant, und diese Konstantemuss überall Null sein, da Ladung auch lokal nicht erzeugt oder vernichtet wird.

4.2 Ampère’sches Gesetz

Naturgesetze Die Grundlagen der Elektrodynamik, welche wir uns Schritt für Schritterarbeiten, sind die Maxwell-Gleichungen. Wie alle fundamentalen Naturgesetze kannman diese nicht herleiten sondern nur motivieren und experimentell üperprüfen.

Wir werden nun Grundgleichungen der Magnetostatik als experimentell gegebene Be-ziehungen aufschreiben und diese dann nach und nach physikalisch untersuchen.Lorentz-Kraft und magnetische Induktion Um Felder definieren zu können, mussman diese auch messen können. Für das elektromagnetische Feld haben wir hierzu dieexperimentell gut bestätigte Lorentz-Kraft,

K = qE + q [v×B] . (4.13)

Den ersten Teil kennen wir aus der Elektrostatik. Der zweite Teil in (4.13) beschreibtdie Kraft, welche auf eine Probeladung q wirkt, wenn diese mit einer Geschwindigkeit vdurch ein Magnetfeld B fliegt. Dabei nennen wir B präzise die magnetische Induktion,umgangsprachlich einfach das Magnetfeld.Ampère’sches Gesetz Magnetfelder werden durch bewegte Ladungen erzeugt, alsodurch Ströme j. Wir betrachten hier stationäre Ströme, also j = j(r).

38

Experimentell finden wir das Ampère’sche Gesetz, mit

B(r) = Γm∫V

j(r′)× (r− r′)|r− r′|3

dV ′ , (4.14)

analog zur Grundgleichung (1.15) der Elektrostatik,

E(r) = Γe∫V

ρ(r′)(r− r′)|r− r′|3

dV ′ . (4.15)

Die Lorentz-Kraft (4.13) stellt dabei die Messvorschrift für das elektrostatische Feld Ewie auch für die magnetische Induktion B dar.Superpositionsprinzip Gleichung (4.14) enthält - wie (4.15) - das Superpositionsprin-zip: Die Felder zweier Stromverteilungen j1 und j2 überlagern sich linear, da j = j1 + j2die resultierende Stromverteilung ist.Maßsysteme Mit Γe wird auch die Einheitsladung festgelegt, siehe Abschnitt 1.1. Dannsind auch alle in (4.13) und (4.14) auftretenden Größen bzgl. ihrer Einheiten fixiert. Γmkann also nicht mehr frei gewählt werden. Wir erhahlten:

• cgs-System:

Γe = 1, Γm = 1c2 (4.16)

mit der Lichtgeschwindigkeit c.

• MKSA-System:

Γe = 14πε0

, Γm = µ0

4π (4.17)

mitε0 = 8.854 · 10−12 C2

N m2 , µ0 = 4π · 10−7 m kgC2 . (4.18)

µ0 ist die magnetische Permeabilität.

Dimensionsanalyse Unabhängig vom Maßsystem ist das Verhältnis Γm/Γe eine Kon-stante, da das Verhältnis der beiden Terme in der Lorentz-Kraft (4.13),

q |E|q |v×B|

= 1v

E

B, [E] = [v] [B] (4.19)

dimensionslos ist. Hier bezeichnen die eckigen Klammern [.] die Einheiten für diejeweilgephysikalische Größe. Mit den Dimensionen für die Ladungsdichte ρ und der Stromdichej = |j|,

[ρ] = C

m3 , [j] = [ρ] · [v] = C

m3m

s= C

m2s

finden wir für die Dimensionsanalyse der Felder (4.15) und (4.14)

[E] = [Γe] · [ρ] · [r] = [Γe] ·C

m2 , [B] = [Γm] · [j] · [r] = [Γm] · Cms

,

39

und somit[E][B] = [Γe]

[Γm] ·s

m= [Γe]

[Γm] ·1

[v]für das Verhältnis der Felder. Zusammen mit 4.19 haben wir

[v] = [E][B] = [Γe]

[Γm] ·1

[v] ,[Γe][Γm] = [v2] . (4.20)

Relativistische Invarianz Mit den Festlegungen (4.16) und (4.17) für das cgs- und dasMKSA-System erhalten wir die Beziehung

ΓeΓm

= c2 = 1ε0µ0

, ε0 µ0 = 1c2

, (4.21)

in Einklang mit unserer Dimensionsanalyse (4.20).Die fundamentale Beziehung (4.21) weist bereits auf einen Zusammenhang mit der

speziellen Relativitätstheorie hin. In der Tat hatte Lorentz zuerst festgestellt, dass diesog. Lorentz-Transformationen die Maxwell-Gleichung invariant lassen, später hat dannEinstein dieselben Transformationen aus dem Relativitätsprinzip hergeleitet. Das ist nichtverwunderlich, denn das Relativitätsprinzip beruht auf der Konstanz der Lichtgeschwin-digkeit und die Ausbreitung des Lichtes wird durch die Maxwell Gleichungen beschrieben.

4.3 Formel von Biot-SavartIm Folgenden soll das Vektorfeld B(r) für verschiedene einfache Stromverteilungen be-rechnet werden.Magnetfeld dünner Leiter Für einen dünnen Leiter können wir über den Leitungs-querschnitt f integrieren und erhalten aus (4.14)

B(r) = µ0I

4π

∫L

dl′ × (r− r′)|r− r′|3

(4.22)

mitI =

∫f

j · dF′ (4.23)

als die Stromstärke.

40

Ist der Leiter weiterhin gerade, so folgt aus (4.22) oder auch (4.14), dass die Feldlinienvon B konzentrisch um den Leiter verlaufen. Wir brauchen also nur noch den Betrag Bzu berechnen, da alle Beiträge zum Integral (4.22) für einen geraden Leiter die gleicheRichtung haben:

B = µ0I

4π

∫L

sinθd2 dz . (4.24)

Die verbleibende Integration führen wir für einen unendlich langen Leiter aus. Mit

sin θ = R

d, tan θ = R

zz = R

cos θsin θ

folgt für das Differential

dz = R

[−cos2 θ

sin2 θ− 1

]= −R

sin2 θdθ = −d2

Rdθ

folgt mit sin θdθ = d(cos θ) für die Feldstärke im Punkt P :

B = µ0I

4πR

∫ 1

−1d(cosθ) = µ0I

2πR. (4.25)

Dieses ist die Formel von Biot und Savart für das Magnetfeld um einen dünnen,geraden, unendlich langen Leiter.

4.4 Kraft und Drehmoment auf einen Strom imMag-netfeld

Kraft auf Ströme Die Lorentzkraft

Ki = qi[vi ×B(ri)

](4.26)

beschreibt die Kraft, welche eine bewegte Ladung qi erfährt, die sich mit der Geschwin-digkeit vi im Magnetfeld B bewegt.

Da Ströme nichts anderes als bewegte Ladungen sind, erhält man somit für die Kraftauf einen Strom mit der Stromdichte j

K =∑i

qini [vi ×B(ri)] =∫V

j(r)×B(r) dV . (4.27)

Das Volumen V ist so zu wählen, daß es den Strom vollständig erfasst.Kraft auf einen dünnen Draht Wir betrachten einen dünnen Draht, über dessenQuerschnitt sich das B-Feld nicht (wesentlich) ändert. Somit können wir (wie in Kap. 4.3)2 der 3 Integrationen in (4.27) ausführen,

K = I∫Ldl×B . (4.28)

41

Das verbleibende Kurvenintegral längs des Leiters L lässt sich für einen geraden Leiterausführen, wenn B sich längs L nicht ändert:

K = (I×B)L (4.29)

wobei L die Länge des Leiters angibt. DieKraft ist also senkrecht zur Stromrichtungund zum B-Feld; sie ist maximal, wenn Isenkrecht zu B verläuft und verschwindet,wenn I paralell zu B ist.

B

I F

+

_

Drehmoment Auf eine einzelne Ladung qi mit Geschwindigkeit vi im Feld B wirkt dasDrehmoment

Ni = ri ×Ki = ri × [qivi ×B(ri)] , (4.30)und entsprechend auf einen Strom der Stromdichte j

N =∑i

ri × [niqivi ×B(ri)] =∫V

r× (j×B) dV . (4.31)

Wir werden diesen allg. Ausdruck nun in eine handlichere Form bringen.Homogenes Magnetfeld Für die praktische Auswertung ist es zweckmäßig (4.31) mitder Identität (’bac-cab Regel’)

a × (b× c) = (a · c)b− (a · b)c = b(a · c)− c(a · b) (4.32)

umzuformen,N =

∫V

[(r ·B)j− (r · j)B

]dV . (4.33)

Diese Darstellung ist besonders nützlich im Falle eines räumlich homogenen Magnetfeldes,welches sich dann aus dem Integral herausnehmen läßt.Räumlich begrenzte stationäre Ströme Für einen stationären, räumlich begrenz-ten Strom verschwindet der 2. Term in (4.33). Zunächst formulieren wir eine allgemeineBeziehung, für n,m = 1, 2, 3,

∇ · (xnxmj) = xmjn + xnjm + xnxm∇ · j = xmjn + xnjm , (4.34)

wobei wir verwendet haben dass die Divergenz der Stromdichte ∇· j für stationäre Strömeverschwindet. Wir integrieren nun (4.34) über ein Volumen V ,

0 =∫Fxnxm j · dF =

∫V∇ · (xnxmj) dV =

∫Vxnjm dV +

∫Vxmjn dV ,

wobei wir den Satz von Gauß verwendent haben und die Voraussetzung, dass die Strömeräumlich begrenzt sind, das Oberflächenintegral also für ein genügend großes Volumen Vverschwindet. Damit haben wir∫

Vxnjm dV = −

∫Vxmjn dV (4.35)

42

gefunden. Summieren wir nun diese Ergebnisse über n = m so erhalten wir∫V

(r · j) dV = −∫V

(r · j) dV = 0 , (4.36)

so dass für ein homogenes Feld in (4.33) der 2. Term verschwindet.Magnetisches Dipolmoment Wir multiplizieren (4.35) mit Bn, summieren über n,und erhalten ∫

V(r ·B) j dV = −

∫V

(j ·B) r dV , (4.37)

und mit der bac-cab Regel (4.32)∫V

(B · r) j dV = 12

∫V

[(B · r) j − (B · j) r

]dV = −1

2B×∫V

(r× j) dV .

Das Drehmoment N auf die Stromverteilung hat also die Form

N = m×B , (4.38)

mit dem magnetischen Dipolmoment

m = 12

∫V

r× j dV . (4.39)

Für einen ebenen Strom (z.B. Kreisstrom) steht m senkrecht zur Stromebene.

rrd

I

Magnetisches Dipolmoment für eine dünne Schlaufe Ist der stromführende Lei-ter dünn, so erhalten wir für das magnetische Dipolmoment nach Integration über denLeiterquerschnitt

m = I

2

∮L

r× dl . (4.40)

Da nun |r× dl| gleich 2-mal der Flächeninhalt des von r und dl aufgespannten Dreieckesist, entspricht das Integral in (4.40) dem doppelten Flächeninhalt F , welcher von derLeiterschlaufe aufgespannt wird,

m = IF , (4.41)

43

wobei I die Stromstärke ist.Anwendungen, Kräfte zwischen Strömen Die hier hergeleiteten Gleichungen sinddie Basis aller Elektromotoren, welche i.W. aus rotierenden Leiterschlaufen in äußerenMagnetfeldern bestehen. Dabei kann das äußere Magnetfeld von Permanentmagnetenerzeugt werden, oder durch Spulen.

Allgemein üben zwei Strom-führende Leiter aufeinander gegenseitig Kräfte aus. Dazumuss man nur in den Ausdruck (4.27) für die Kraft K auf eine Stromverteilung j in einemMagnetfeld B die Formel (4.22) für das Magnetfeld einsezten, welches von einem anderenLeiter erzeugt wird.

44

Kapitel 5

Grundgleichungen der Magnetostatik

5.1 Divergenz der magnetischen Induktion

Vektor Potential Das Amperè’sche Gesetz (4.14))

B(r) = µ0

4π

∫V

j(r′)× (r− r′)|r− r′|3

dV ′ (5.1)

kann mit [∇r × j(r′)

] 1|r− r′|

= −[

j(r′)×∇r

] 1|r− r′|

= j(r′)× r− r′

|r− r′|3

wie folgt umgeschrieben werden:

B(r) = µ0

4π

∫V∇r × j(r′) 1

|r− r′|= µ0

4π ∇r ×(∫

V

j(r′)|r− r′|

dV ′). (5.2)

Also können wir das Magnetfeld B in der Form

B = ∇×A (5.3)

schreiben, mit dem Vektor-Potential A(r),

A(r) = µ0

4π

∫V

j(r′)|r− r′|

dV ′ . (5.4)

Divergenz der magnetischen Induktion Mit (5.3) erhalten wir

∇ ·B = ∇ · (∇×A) = 0 , (5.5)

45

denn die Divergenz einer Rotation verschwindet immer. Mit dem antisymmetrischen Ten-sor εijk, ∂i = ∂/∂xi und der Summenkonvention gilt

(∇×A

)i

= εijk∂jAk, εijk =

0 ijk nicht alle verschieden1 ijk gerade Permuation von 123−1 ijk ungerade Permuation von 123

und somit∇ ·B = ∂iBi = εijk∂i∂jAk = 0 ,

da εijk + εjik = 0.Gauss’schen Gesetz des Magnetismus Gleichung (5.5) entspricht formal

∇ · E = ρ

ε0, (5.6)

und zeigt, dass es keine magnetischen Ladungen gibt. Bilden wir nämlich die zu (5.5)korrespondierende integrale Aussage∫

V∇ ·B dV =

∫F

B · dF = 0 , (5.7)

so sehen wir, dass der Fluss der magnetischen Induktion durch eine geschlossene FlächeF verschwindet. Der Vergleich mit ∫

FE · dF = Q

ε0, (5.8)

erklärt die obige Aussage.

5.2 Rotation von B

Kurvenintegrale Mit

I =∫ B

AF(r) · ds

definiert man ein Kurvenintegral, entlang ei-nes Pfades von A nach B, über ein VektorfeldF(r). Dabei ist ds ein gerichtetes Linienele-ment entlang des Pfades.

A

B

F

ds

Kurvenintegrale werden ausgewertet indem die Kurve parametrisiert,

r = r(t), r(0) = rA, r(1) = rB, t ∈ [0, 1] .

Damit wird aus dem Kurvenintegral ein gewöhnliches Integral,∫ B

AF(r) · ds =

∫ 1

0F(r) · r dt, ds = r dt

46

da r parallel zur lokalen Tangenten ist.

Beispiel Das elektrische Feld E ist in der Elektrostatik als negativer Gradient des Po-tentials Φ definiert,∫ B

AE(r) · ds = −

∫ 1

0∇Φ(r) · r dt = −[ Φ(xB) − Φ(xA) ], E = −∇Φ .

Mit∮S bezeichnet man Integrale über eine geschlossene Kurven, mit xA = xB. Daher gilt∮

S E · ds = 0, wie für alle Gradienten-Felder. Dieses Ergebnis wurde schon im Abschnitt3.4 aufgeführt.

Die gesamte komplexe Analysis beruht auf Linienintegralen, wie z.B. der Residuensatz∮S dz/(z − z0) = 2πi, für jede geschlossene Kurve S um den Pol z0 heraum.

Satz von Stokes Zwei Integralsätze sind von zentraler Bedeutung in der Elektrodyna-mik. Den Satz von Gauss für Oberflächenintegrale, welchen wir im Abschnitt 2.1 kennen-gelernt haben.

Für Kuvenintegrale kommt der Satz von Sto-kes zu tragen,

∮S

B · ds =∫F

(∇×B) · dF (5.9)

welcher besagt, dass das geschlossene Linien-integral

∮S eines Vektorfeldes B gleich dem

Flächenintegral∫F seiner Rotation ist.

z

x y

FS

0

n

Beweis Jedes beliebige Kurvenintegral kann in eine Summe kleiner Schleifen aufgeteiltwerden, da sich die Randbeiträge gegenseitig wegheben. Daher genügt es ein kleines qua-dratisches Kurvenintegral in zwei Dimensionen zu betrachten.

(x,y) (x+ x,y)∆

∆ ∆(x,y+ y)∆ (x+ x,y+ y)

Wir nähern die vier Teil-Integrale durch die jeweiligen Mittelwert,∮B · ds ≈ ∆xBx(x+ ∆x/2, y) + ∆yBy(x+ ∆x, y + ∆y/2)

− ∆xBx(x+ ∆x/2, y + ∆y) − ∆yBy(x, y + ∆y/2)

47

= ∆x∆y By(x+ ∆x, y + ∆y/2)−By(x, y + ∆y/2)∆x

− ∆x∆y Bx(x+ ∆x/2, y + ∆y)−Bx(x+ ∆x/2, y)∆y

≈ ∆x∆y[∂By

∂x− ∂Bx

∂y

]≈ ∆x∆y∇×B

∣∣∣z≈

∫F∇×B · dF ,

wobei die Richtung der 4 Teil-Kurvenintegrale in die jeweiligen Vorzeichen eingegangensind.Langer, dünner Leiter Wir betrachten nun das Linienintegral entlang der magneti-schen Feldlinien eines unendlich langen, dünnen, geraden Leiters. Dafür hatten wir inAbschnitt 4.3

B(r) = Iµ0

2πr eφ (5.10)

für die magnetische Induktion B(r) gefunden, wobei r der Abstand vom Leiter ist, I dieStromstärke und eφ die Richtung angibt; die Feldlinien laufen konzentrisch um den Leiter.Als Weg S betrachten wir zunächst eine geschlosse-ne Kurve in der Ebene senkrecht zum Leiter, welcheden Leiter umfasst. Dann wird mit |ds| = rdφ dasLinienintegral∮

SB · ds = Iµ0

2π

∮S

eφ · dsr

= Iµ0

2π

∮dφ = Iµ0 .

(5.11)Wenn S den Strom nicht umfasst, so gilt:∮

SB · ds = 0 , (5.12)

Der Beweis dieser Beziehung erfolgt analog zum Beweis des Satzes von Stokes indem manein beliebiges Wegintegral in kleine Teil-Integrale aufteilt und sich überlegt dass sich dieWegstücke mit entgegengesetzter Richtung gegenseitig kompensieren.Allgemeine Stromverteilung Die obigen Ergebnisse lassen sich verallgemeinern, indemman Ströme vom oben diskutierten Typ superponiert und geschlossene Raumkurven S ausebenen Wegstücken zusammensetzt. Ohne auf Beweis-Details einzugehen - was Aufgabeder Mathematik ist - halten wir als generelles Ergebnis

∮S

B · ds = µ0I (5.13)

fest, wobei I die Stromstärke des von S umschlossenen Stromes ist.Rotation von B Der Satz von Stokes (5.9) gestattet das obige Linienintegral (5.13) inein Oberflächenintegral umzuformen,∫

F(∇×B) · dF =

∮S

B · ds = µ0I = µ0

∫F

j · dF , (5.14)

48

wobei F eine beliebige, in dem geschlossenen Weg S eingespannte, Fläche ist. Da nun Fbeliebig gewählt werden kann, erhalten wir

∇×B = µ0 j . (5.15)

Im Gegensatz zum elektrostatischen Feld E mit ∇ × E = 0 ist also das B-Feld nichtwirbelfrei. Die Beziehung (5.15) besagt, dass die Stöme die Quellen des magnetischenFeldes sind.

5.3 Vektor-Potential und EichungMan kann die magnetische Induktion B bei gegebener Stromverteilung j direkt mittels(5.1) berechnen. Dieses ist jedoch i.Allg. aufwendig. Analog zur Poisson-Gleichung (2.12)für das elektrische Potential Φ wollen wir nun eine Bestimmungsgleichung für das Vek-torpotential A herleiten, welche erlaubt dieses direkt aus einer gegebenen Verteilung vonStrömen zu berechnen.Eichtransformationen Das Vektorpotential A ist über (5.3), ∇ ×A = B, nicht ein-deutig definiert. Das Feld B ändert sich nicht, wenn man die Eichtransformation

A ⇒ A′ = A +∇χ (5.16)

durchführt, wobei χ = χ(r) eine beliebige (mindestens 2-mal partiell differenzierbare)skalare Funktion ist. Denn

B′ = ∇×A′ = ∇×A +∇× (∇χ) = ∇×A = B . (5.17)

Die Lorentz-Kraft (4.13) kommt nur durch die magnetische Induktion B zustanden, wel-ches damit das physikalisch wirksame Feld ist. Die Freiheit Eichtransformationen durch-zuführen ist jedoch für viele theoretische Überlegungen von eminenter Bedeutung undauch von praktischer Relevanz, wie wir nun sehen werden.Coulomb-Eichung Mit ∇×B = µ0j und ∇×A = B erhalten wir mit

µ0 j = ∇×B = ∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A)−∆A (5.18)

die Ausgangsgleichung unserer weiteren Überlegungen. Denn

εijk∂jεklm∂lAm = εijkεklm∂j∂lAm = εijkεlmk︸ ︷︷ ︸δilδjm−δimδjl

∂j∂lAm = ∂i(∂mAm) − (∂l∂l)Ai .

Ist nun∇ ·A 6= 0 , (5.19)

49

so wählen wir das Eichpotential χ in (5.16) so, dass

∇ ·A′ = ∇ ·A +∇ · (∇χ) ≡ 0 (5.20)

wird. Diese Wahl von χ nennt man die Coulomb-Eichung. Das gesuchte χ finden wiralso durch Lösen von (5.20), also von

∆χ = −∇ ·A . (5.21)

Dieses ist eine Laplace-Gleichung (2.14) für χ, wobei −∇ ·A als eine gegebene Inhomo-genität anzusehen ist.Bestimmungsgleichung für das Vektorpotential in Coulomb-Eichung Es lässtsich also stets erreichen (ohne die Physik, d.h. das B-Feld in irgendeiner Weise einzu-schränken), dass der erste Term auf der rechten Seite von (5.18) wegfällt. Damit gilt

∆A = −µ0 jCoulomb-Eichung ∇·A=0

(5.22)

in Coulomb-Eichung. Die vektorielle Gleichung (5.22) zerfällt in ihre 3 Komponenten,welche mathematisch gesehen wieder vom bekannten Typ der Poisson-Gleichung (2.14)sind.

5.4 MultipolentwicklungAnalog zu der in Abschnitt 1.4 besprochenen Multipolentwicklung für das elektrischePotential Φ interessieren wir uns nun für das B-Feld in großer Entfernung einer räumlichlokalisierten Stromverteilung j.Entwicklung des Vektor-Potentials Dann empfiehlt es sich, das Vektor-Potential A(analog zur Entwicklung von Φ in der Elektrostatik) in eine Taylorreihe zu entwickeln.Unter Vewendung von (5.4) und (1.21), 1/|r− ri| = 1/r + r · ri/r3 + . . . , erhalten wir

A(r) = µ0

4π

∫VdV ′ j(r′)

(1r

+ r · r′

r3 + . . .

)= A0(r) + A1(r) + . . . (5.23)

mit den entsprechenden Multipolen An(r).Magnetischer Monopol Der Term ∝ 1/r in der Taylor-Entwicklung (5.23),

A0(r) = µ0

4πr

∫V

j(r′) dV ′ ≡ 0 , (5.24)

verschwindet, da es keine magnetischen Monopole gibt. Um das zu sehen betrachten wirdie lte Komponente von (5.24), l = 1, 2, 3, und erhalten∫

Vjl(r′)dV ′ =

∫V∇′ · (x′i j(r′)) dV ′ =

∮Fx′i j(r′) · dF′ = 0 ,

50

mit ∇ · j = 0, da die Ströme räumlich begrenzt sein sollen, da j 6= 0 nur innerhalb von Vist, und auf der Oberfläche von V verschwindet.Magnetischer Dipol Der Term ∝ 1/r2 in der Taylor-Entwicklung (5.23) ist

A1(r) = µ0

4πr3

∫V

(r · r′) j(r′) dV ′ . (5.25)

Das Integral in (5.25) formen wir gemäß (4.37) um (mit B↔ r),∫V

(r · r′) j(r′) dV ′ = 12

∫V

(r · r′) j(r′)− (r · j(r′)) r′

dV ′

= 12

∫V

r× (j(r′)× r′)

dV ′

= −r× 12

∫V

(r′ × j(r′)

)dV ′ = −r×m ,

mit dem magnetischen Dipolmoment m = 12∫V (r× j) dV , siehe (4.39). Damit erhalten

wir für den magnetische Dipolanteil A1 des Vektorpotentials

A1(r) = m×(µ0

4πrr3

). (5.26)

Man vergleiche das Ergebnis mit dem ensprechenden Ausdruck (1.24), Φ1(r) = d·r/(4πε0r3),für den Dipolanteil des elektrischen Potentials.Feldlinien des magnetischen Dipols Differenzie-ren wir (5.26) so erhalten wir

Br(r) = ∇×A1(r) = µ0

4π

(3r(m · r)

r5 − mr3

).

Zur Herleitung betrachtet man die i-te Komponente,

εijk∂jεklsmlrsr3 = mi∂s

rsr3︸ ︷︷ ︸

= 0

−(ml∂l)rir3 .

m

N

S B

Magnetisches Moment vs. Bahndrehimpuls Es gibt einen wichtigen Zusammen-hang zwischen dem magnetischem Moment m, welches von bewegten Ladungen erzeugtwird, und deren Bahndrehimpulus L. Wir betrachten Punktladungen der Masse mi undGeschwindigkeiten vi,

m = 12

∫V

(r× j) dV = 12∑i

qi (ri × vi) , j(r) =∑i

qiviδ(r− ri) .

Seien nun alle Teilchen identisch, mit Massen mi = m und Ladungen qi = q, dann folgt

m = q

2m L, L =∑i

mi (ri × vi) . (5.27)

51

Mit dem Bahndrehimpuls L eines Systems geladener (identischer) Teilchen ist also einmagnetisches Moment in Richtung von L verknüpft. Diese Aussage gilt auch im atomarenBereich, z.B. für die Elektronen eines Atoms.Magnetisches Moment und der Spin der Elektronen Umgekehrt lässt sich jedochnicht jedes magnetische Moment auf einen Bahndrehimpuls gemäß (5.27) zurückführen.Elementarteilchen (wie z.B. Elektronen) besitzen ein inneres magnetisches Dipolmoment,welches nicht mit dem Bahndrehimpuls, sondern mit dem Spin s dieser Teilchen durch

ms = gq

2M s , (5.28)

verknüpft ist, wobei g das gyromagnetische Verhältnis ist. Es ist g ≈ 2.0024 fürElektronen.Energie eines Dipols in einem Magnetfeld Für die Kraft K auf einen magnetischenDipol m in einem räumlich schwach veränderlichen Feld B findet man

K = ∇ (m ·B) . (5.29)

Zum Beweis greife man zurück auf (4.27) und verfahre entsprechend der Berechnung vonN in Abschnitt 4.4. Aus (5.29) ergibt sich für die potentielle Energie des Dipols im B-Feld

U = −(m ·B), (5.30)

analog zu −(d ·E) als Energie eines elektrischen Dipols im elektrostatischen Feld (2.33).Der Dipol wird sich also bevorzugt in Feldrichtung einstellen, da dies der niedrigst mög-lichen Energie entspricht.

5.5 Übersicht über die Magnetostatik1.) Ampère’sches Gesetz (Basis)

K = q(v×B) mit B = µ0

4π

∫V

j(r′)× (r− r′)|r− r′|3

dV ′

für stationäre Ströme, wobei ∇ · j = −∂ρ/∂t = 0.

2.) Feldgleichungen: Aus

B = ∇×A mit A = µ0

4π

∫V

j(r′)|r− r′|

dV ′

folgt

a) differentiell:∇ ·B = 0; ∇×B = µ0 j

b) integral ∫F

B · dF = 0;∮S

B · ds = µ0I

52

3.) Vektor-Potential:

∇× (∇×A) = µ0j → ∆A = −µ0 j

für ∇ ·A = 0 (Coulomb-Eichung).

53

Teil III

Grundlagen der Elektrodynamik

54

Kapitel 6

Die Maxwell’schen Gleichungen

Konzept des elektromagnetischen Feldes Im Folgenden sollen die Grundgleichungenfür das elektrische Feld E(r, t) und für das magnetische Feld B(r, t) für den Fall beliebigerLadungs- und Stromverteilungen

ρ = ρ(r, t), j = j(r, t) (6.1)

aufgestellt werden. Als Definition der Felder benutzen wir die Lorentz-Kraft (4.13),

K = q [ E + (v×B) ] . (6.2)

Da ρ und j nun durch die Kontinuitätsgleichung (4.10)∂ρ

∂t+∇ · j = 0 (6.3)

verknüpft sind, ist klar, daß elektrisches und magnetisches Feld nicht mehr separat behan-delt werden können: Die Maxwell’schen Gleichungen, welche wir nun Schritt für Schrittmotivieren wollen, sind ein System gekoppelter Differentialgleichungen für die Felder Eund B.

6.1 Faraday’sches Induktionsgesetz

Induzierte elektrische Felder und Spannungen Wir gehen von folgender experi-menteller Erfahrung aus: Wenn sich der magnetische Fluss Φ(t) =

∫F B · dF durch einen

geschlossenen Leiterkreis S ändert, wird längs des Leiterkreises ein elektrisches Feld E′(t)induziert.

Φ (t)

E ’(t)

.

S

B

F2

F1

55

Wenn wir das induzierte Feld längs der Leiterschlaufe integrieren, erhalten wir eine indu-zierte Spannung der Größe U ′ =

∮S E′ · ds, welche experimentell mit der Änderung des

Flusses Φ(t) via

−k ddt

∫F

B · dF =∮S

E′ · ds (6.4)

verbunden ist. Hierbei ist F eine beliebige in den Leiterkreis S eingespannte Fläche. Dieinduzierte Spannung ist also nach dem Faraday’schen Induktionsgesetz (6.4) proportionalzur zeitlichen Änderung des eingeschlossenen magnetischen Flusses.

Lenz’sche Regel Das Vorzeichen in (6.4) spiegelt die Lenz’sche Regel wider. Das Elek-trische Feld E′ in der Leiterschlaufe erzeugt einen Strom, welcher wiederum nach demAmpère’schen Gesetz (4.14) ein Magnetfeld erzeugt, welches der Änderung des magneti-schen Flusses durch die Schlaufe entgegenwirkt.

Bewegte Koordinatensysteme Der magnetische Fluss Φ(t) kann sich im Faraday’scheInduktionsgesetz (6.4) auf zweierlei Arten ändern:

• B(t) ist variabel, die Leiterschlaufe S ortsfest.

• B(t) ist zeitlich konstant, die Leiterschlaufe beweglich. Daher bezeichnen wir in(6.4) mit E′ die induzierte elektrische Feldstärke, bezogen auf ein mit dem Leiter Smitbewegtes Koordinatensystem Σ′.

Mehr hierzu im nächsten Abschnitt.

Maßsysteme In (6.4) ist k eine vom Maßsystem abhängige Konstante,

k = 1 im MKSA-System; k = 1c

im cgs-System . (6.5)

Wir bemerken noch, dass die Lorentz-Kraft (6.2) sich auf das MKSA-System bezieht undim cgs-System durch

K = q(E + (~β ×B)

)(6.6)

zu ersetzen ist, mit ~β = v/c. Alle folgenden Formeln beziehen sich auf das MKSA-System.

Quellenfreiheit von B Die Fläche F , welche die Leiterschlaufe S einspannt ist belie-big im Faraday’schen Induktionsgesetz. Daraus folgt auch für zeitabhängige Felder dieQuellenfreiheit

∇ ·B = 0 (6.7)

der magnetischen Induktion, welche wir schon in der Magnetostatik gefunden hatten.Zum Beweis betrachten wir mit F1 und F2 irgendwelche in S eingespannte Flächen.

Somit folgt aus (6.4)d

dt

∫F1

B · dF1 = d

dt

∫F2

B · dF2 . (6.8)

56

Unter Beachtung der Orientierung der Flächen ergibt der Satz von Gauß für das durchF1 und F2 definierte Volumen V

const =∫F1

B · dF1 −∫F2

B · dF2 =∫V∇ ·B dV .

Diese Beziehung gilt auch für F1 = F2 und somit muss die Konstante auf der linkenSeite verschwinden. Die universelle Gültigkeit von ∇ · B = 0 war schon aufgrund derin Abschnitt 5.1 gegebenen Interpretation (Nicht-Existenz magnetischer Monopole) zuerwarten.

6.2 Diskussion des Induktionsgesetzes

Wir diskutieren nun zwei Möglichkeiten den magnetischen Fluss Φ(t) im Induktions-gesetz (6.4) zu verändern.Zeitlich veränderliches B-Feld bei ruhendem Leiterkreis S Dann ist E′ = E dieinduzierte Feldstärke im Laborsystem Σ und es folgt nach der Formel von Stokes∮

SE · ds =

∫F

(∇× E) · dF = −∫F

∂B∂t· dF , (6.9)

oder

∇× E = −∂B∂t

, (6.10)

da eingeschlossenen Fläche F beliebig ist. Gleichung (6.10) zeigt die erwartete Verknüp-fung der Felder E und B.

• Gleichung (6.10) gilt unabhängig davon, ob der Leiterkreis tatsächlich vorhandenist, er dient nur zum Nachweis des induzierten Feldes!

• In dem von einem zeitlich veränderlichen B-Feld induzierten elektrischen Feld Ewerden geladene Teilchen beschleunigt (Betatron), bzw. ein Strom induziert wenndie Leiterschlaufe vorhanden ist (Spule).

u(t)

S

N

bewegterPermanent-magnet

Richtung desmagnetischenFlusses Ф

F

FF

t

S

S

1

1

3

2

2

57

Bewegter Leiterkreis S bei zeitlich konstantem B-Feld F1 und F2 seien beliebigein S1 bzw. in S2 eingespannte Flächen, F3 die Mantelfläche, welche S1 und S2 verbindet.Dann gilt nach der Formel von Gauß

−∫F1

B · dF1 +∫F2

B · dF2 +∫F3

B · dF3 =∫V

(∇ ·B) dV = 0, (6.11)

wenn man (6.7) beachtet.Elektromotorische KraftWir betrachten nun eine infinitesimale Bewegung. Für die zeitliche Änderung des Flussesfolgt somit

d

dt

∫F

B · dF = lim∆t→0

1∆t

∫F2

B · dF2 −∫F1

B · dF1

= − lim

∆t→0

1∆t

∫F3

B · dF3 =∮

B · (v× ds) ,

da der Normalenvektor auf auf die Mantelfläche durch (−v× ds) gegeben ist. Das Induk-tionsgesetz (6.4) nimmt somit die Form∮

SE′ · ds = −

∮S

B · (v× ds) =∮Sds · (v×B) (6.12)

an.∮S E′ · ds bezeichnet man in diesem Zusammenhang auch als elektromotorische Kraft,

als Quellenspannung der bewegten Leiterschlaufe (Wechselstrom-Generator).Transformation elektrischer Felder Wir betrachten nun den allg. Fall einer bewegli-chen Leiterschlaufe in einem zeitlich veränderlichen Feld. Die elektromotorische Kraft hatdaher zwei Komponeten, jeweils durch (6.9) und (6.12) gegeben,∮

SE′ · ds = −

∫F

∂B

∂t· dF +

∮Sds · (v×B)

=∮S

E · ds +∮S(v×B) =

∮S

[E + (v×B)

]· ds ,

wobei wir mit ∇ × E = −B das Induktionsgesetz in differentieller Form benutzt habensowie den Satz von Stokes

∫[∇ × E] · dF =

∮S E · ds. Da die Leiterschleife S beliebig

gewählt werden kann, folgt:E′ = E + (v×B). (6.13)

Dieser Zusammenhang zwischen der (induzierten) elektrischen Feldstärke E′ im mitbe-wegten System Σ′ und der (induzierten) Feldstärke E sowie der magnetischen InduktionB im Laborsystem Σ lässt sich für v c im Rahmen des Galilei’schen Relativitätsprinzipsverstehen.Transformation der Kraft Um den Zusammenhang (6.13) nicht-relativistisch (in nied-rigster Näherung in v/c) zu motivieren, betrachten wir die Kraft K, welche auf einenLadungsträger q des Leiterkreises S im Laborsystem Σ wirkt,

K = q [ E + (v×B) ] . (6.14)

58

Im mitbewegten System Σ′ gilt dagegen

K′ = qE′, (6.15)

da q in Σ′ ruht, also v′q = 0. Für v = const ist der Zusammenhang von Σ und Σ′ durcheine Galilei-Transformation gegeben und es ist ( 6 ∃ Scheinkräfte)

K = K′, (6.16)

woraus direkt (6.13) folgt.

6.3 Erweiterung des Ampère’schen GesetzesDas Ampère’sche Gesetz der Magnetostatik (5.15)

∇×B = µ0 j (6.17)

gilt nur für stationäre Ströme. Denn aus (6.17) folgt mit ∇ · (∇× a) = 0

µ0∇ · j = ∇ · (∇×B) = 0 . (6.18)

Die Ströme sind also quellenfrei und somit nach der Kontinuitätsgleichung ρ +∇ · j = 0stationär.

Kontinuitätsgleichung Wir wollen nun (6.17) so erweitern, dass diese allg. gültig wird.Hierzu gehen wir von der Kontinuitätsgleichung

∇ · j + ∂ρ

∂t= 0, (6.19)

aus und verwenden das Gauß’sche Gesetz der Elektrostatik ∇ · E = ρ/ε0,

0 = ∇ · j + ∂ρ

∂t= ∇ · j + ε0

∂

∂t∇ · E = ∇ ·

(j + ε0

∂E∂t

). (6.20)

Ersetzt man daher in (6.17)

j → j + ε0∂E∂t, (6.21)

so erfüllt

∇×B = µ0 j + µ0ε0∂E∂t

(6.22)

die Kontinuitätsgleichung (6.19) für allg. zeitliche Ladungs- und Stromverteilungen.Gleichung (6.22) nennt man das Durchflutungsgesetz oder auch das Maxwell-Ampère-

Gesetz.

59

6.4 Übersicht über die Maxwell’schen GleichungenWir haben nun alle Grundgleichungen der Elektrodynamik zusammen, die vier Maxwell-gleichungen.Homogene Gleichungen Die beiden homogenen Maxwell-Gleichungen sind

∇ ·B = 0 , (6.23)

welche dem Fehlen magnetischer Monopole entspricht und

∇× E + ∂B∂t

= 0 , (6.24)

welche dem Faraday’schen Induktionsgesetz entspricht.Inhomogene Gleichungen Die beiden inhomogenen Maxwell-Gleichungen sind

∇ · E = ρ

ε0, (6.25)

welche dem Gauß’schen Gesetz entspricht und

∇×B− µ0ε0∂E∂t

= µ0j , (6.26)

welche dem Ampère-Maxwell’schen Gesetz entspricht.In (6.25) und (6.26) ist die Ladungserhaltung (6.19) schon implizit enthalten. Gleichungen(6.24) und (6.26) zeigen, daß ein zeitlich sich änderndes Magnetfeld B ein elektrisches FeldE bedingt und umgekehrt.Lorentz-Kraft Die Gleichungen (6.23) – (6.26) beschreiben zusammen mit der Lorentz-Kraft

K = q[

E + (v×B)]

(6.27)

vollständig die elektromagnetische Wechselwirkung geladener Teilchen im Rahmen derklassischen Physik. Die Elekrodynamik ist nichts anderes als die Lösungstheorie für dieMaxwell-Gleichungen.

60

Kapitel 7

Die elektromagnetischen Potentiale

7.1 Skalares Potential und VektorpotentialStatt die gekoppelten Differentialgleichungen (6.23) - (6.26) für E und B direkt zu lösen,ist es meist bequemer - analog dem Vorgehen in der Elektrostatik und Magnetostatik -elektromagnetische Potentiale einzuführen.Das Vektorpotential Wir errinnern uns an die Magnetostatik. Die Quellenfreiheit dermagnetischen Induktion, ∇ ·B = 0 erlaubt die Darstellung (5.3)

B = ∇×A (7.1)

mit dem Vektorpotential A = A(r, t).Das skalare Potential Wir schreiben das Induktionsgesetz (6.24) mit Hilfe des Vek-torpotentials (7.1) als

0 = ∇× E + ∂B∂t

= ∇× E + ∂

∂t∇×A = ∇×

(E + ∂A

∂t

).

Hieraus folgt, daß sich die Vektorfunktion(

E + ∂A/∂t)

als Gradient einer skalarenFunktion Φ = Φ(r, t) darstellen lässt,

E + ∂A∂t

= −∇Φ , (7.2)

oder

E = −∂A∂t−∇Φ . (7.3)

Damit sind E und B auf das Vektorpotential A und das skalare Potential Φ zurückgeführt.Bestimmungsgleichungen für Φ Wir müssen nun die Differentialgleichungen aufstel-len, aus denen A und Φ berechnet werden können, wenn die Quellen ρ und j vorgegebensind.

61

Um die Bestimmungsgleichung für das skalare Potential herzuleiten benutzen wir dasGauß-Gesetz sowie (7.3),

ρ

ε0= ∇ · E = ∇ ·

[−∂A∂t−∇Φ

]= − ∂

∂t∇ ·A−∆Φ ,

also

∆Φ + ∇ ·(∂A∂t

)= − ρ

ε0. (7.4)

Wir können also das skalare Potential Φ i. Allg. erst dann bestimmen, wenn das Vektor-potential A bekannt ist.Bestimmungsgleichungen für A Um die Bestimmungsgleichung für das Vektorpoten-tial herzuleiten, benutzen wir das Ampère-Maxwell Gesetz (6.26) sowie (7.3),

µ0j = ∇×B − µ0ε0∂E∂t

= ∇× (∇×A) + µ0ε0∂

∂t

(∂A∂t

+∇Φ),

wobei wir (7.1) und (7.3): verwendet haben. Mit der Identität

∇× (∇×A) = −∆A +∇(∇ ·A)

erhalten wir

∆A − µ0ε0∂2A∂t2

= −µ0j + ∇(∇ ·A + µ0ε0

∂Φ∂t

). (7.5)

Damit haben wir die 8 Maxwell-Gleichungen für E und B überführt in 4 Gleichungen,(7.4) und (7.5), für die Potentiale A und Φ, die jedoch untereinander gekoppelt sind.Eichinvarianz Zur Entkopplung der Bestimmungsgleichungen ((7.4) und (7.5)) fürdie elektromagnetischen Potentiale machen wir im Folgenden davon Gebrauch, dass dieMaxwell-Gleichungen under den Eichtransformationen

A → A′ = A +∇χ (7.6)

Φ → Φ′ = Φ− ∂χ

∂t(7.7)

invariant sind, denn die physikalischen Felder bleiben unter (7.6) und (7.7) invariant.

B′ = ∇×A′ = ∇× (A +∇χ) = ∇×A = B ,

und

E′ = −∂A′

∂t−∇φ′ = −∂A

∂t− ∂∇χ

∂t−∇φ+∇∂χ

∂t

= −∂A∂t−∇φ = E .

Hierbei ist χ(r, t) eine beliebige (2-mal stetig differenzierbare) Funktion.

62

7.2 Lorentz-EichungDie Bestimmungsgleichung für das Vektorpotential (7.5) legt nahe, χ so zu wählen, daß

∇ ·A + µ0ε0∂Φ∂t

= 0 , (7.8)

was der Lorentz-Konvention entspricht. Man erhält dann aus (7.5) und (7.4) entkop-pelte Gleichungen,

∆A− µ0ε0∂2A∂t2

= −µ0j (7.9)

∆Φ− µ0ε0∂2Φ∂t2

= − ρε0, (7.10)

welche jeweils die gleiche mathematische Struktur inhomogener Wellengleichungen besit-zen.

• Für zeitunabhängige Felder vereinfachen sich (7.9) und (7.10) zu den Poisson-Gleichungen(2.12) und (5.22) der Elektrostatik bzw. Magnetostatik.

• Im Vakuum mit ρ = 0 und j = 0 beschreiben (7.9) und (7.10) die Ausbreitung vonLicht. Daher muss µ0ε0 = c−2 sein.

• Die Lorentz-Eichung (7.8) wird bei der relativistischen Formulierung der Elektro-dynamik unter Verwendung von µ0ε0 = c−2 benutzt.

Wir werden in späteren Kapiteln die Lösungstheorie für die Gleichungen (7.9) und (7.10)ausführlich besprechen.

Konstruktion von χ Wie erreichen wir die Lorentz-Eichung wenn die aktuellen elek-tromagnetischen Potentialle diese noch nicht erfüllen? Falls

∇ ·A + µ0ε0∂Φ∂t6= 0 (7.11)

ist, so führen wir eine Eichtransformation

A → A +∇χ, Φ → Φ− ∂χ

∂t

durch und fordern∇ ·A + ∆χ+ µ0ε0

∂Φ∂t− µ0ε0

∂2χ

∂t2= 0 . (7.12)

Gleichung (7.12) ist eine inhomogene, partielle Differentialgleichung 2. Ordnung der Form

∆χ− µ0ε0∂2χ

∂t2= f(r, t) , (7.13)

63

für die Eichfunktion χ = χ(r, t), mit einer gegebenen Inhomogenität

f(r, t) = −∇ ·A− µ0ε0∂Φ∂t

. (7.14)

Die Lösung der inhomogenen Wellengleichung (7.13) ist mehrdeutig, da zu jeder Lösungvon (7.13) noch eine beliebige Lösung der homogenen Gleichung

∆χ− µ0ε0∂2χ

∂t2= 0 (7.15)

addiert werden kann.

7.3 Coulomb EichungIn der Atom- und Kernphysik wird χ meist so gewählt, dass

∇ ·A = 0 . (7.16)

Dann geht die Bestimmungsgleichung (7.4) für das skalare Potential in die Poisson-Gleichung

∆Φ = − ρε0

(7.17)

über, mit der schon bekannten (partikulären) Lösung:

Φ(r, t) = 14πε0

∫V

ρ(r′, t)|r− r′|

dV ′ . (7.18)

aus (7.5) wird

∆A− µ0ε0∂2A∂t2

= −µ0j + ∇(∇ ·A + µ0ε0

∂Φ∂t

)(7.19)

= −µ0j(r, t) + ε0µ0∇∂Φ(r, t)∂t

= −µ0j(r, t)−ε0µ0

4πε0

∫V

∂ρ(r′, t)/∂t (r− r′)|r− r′|3

dV ′

= −µ0j(r, t) + µ0

4π

∫V

(∇ · j(r′, t))(r− r′)|r− r′|3

dV ′ ,

wobei wir die Kontinuitätsgleichung ρ + ∇ · j = 0 verwendet haben. Diese Gleichungist damit eine Bestimmungsgleichung für das Vektorpotential A, in Abhängigkeit derStromverteilung j = j(r, t).Konstruktion von χ Erfüllt das Vektorpotential A nicht die Eichbedingung (7.16), soführen wir die Eich-Transformationen (7.6), (7.7) durch und fordern

0 = ∇ ·A′ = ∇ ·(A +∇χ

)= ∇ ·A + ∆χ , (7.20)

64

oder∆χ = −∇ ·A . (7.21)

Dieses ist die Poisson-Gleichung mit−∇·A als Inhomogenität. Wie gewohnt ist die Lösungfür χ mehrdeutig. Zu jeder Lösung von (7.21) kann man noch eine beliebige Lösung derhomogenen Gleichung

∆χ = 0 (7.22)

addieren.

65

Kapitel 8

Energie und Impulselektromagnetischer Felder

8.1 EnergieIn Abschnitt 2.4 hatten wir dem elektrostatischen Feld eine Energie zugeordnet, charak-terisiert durch die Energiedichte

ωel = ε02 E2. (8.1)

Analog kann man dem magnetostatischen Feld eine Energie zuordnen. Wir wollen diesenSchritt überspringen und direkt die Energiebilanz für ein beliebiges elektromagnetischesFeld aufstellen.Arbeit an äußeren Ladungen Wir betrachten dazu zunächst eine Punktladung q, diesich mit der Geschwindigkeit v in einem elektromagnetischen Feld E,B bewegt. Die andieser Ladung vom Feld geleistete Arbeit ist durch

dW

dt= K · v = q

[E + (v×B)

]· v = qE · v (8.2)

gegeben, denn das Magnetfeld leistet keine Arbeit. Entsprechend gilt für einen Strom derStromdichte j:

dW

dt=

∫V

E · j dV. (8.3)

Die an den bewegten Punktladungen vom Feld geleistete Arbeit geht auf Kosten deselektromagnetischen Feldes.Energiedichte Um den allgemeinen Ausdruck für die Energiedichte eines elektromagne-tischen Feldes herzuleiten, müssen wir die Stromdichte j in (8.3) in die Maxwellgleichungeneinbeziehen, mit Hilfe des Ampère-Maxwell’schen Gesetzes (6.26)

∇×B− µ0ε0∂E∂t

= µ0j .

Wir eliminieren in (8.3) zunächst die Stromdichte j,∫V

E · j dV =∫V

(1µ0

E · (∇×B)− ε0E ·∂E∂t

)dV . (8.4)

66

Diesen Ausdruck, der nur noch die Felder E und B enthält, können wir bzgl. E und Bsymmetrisieren. Wir verwenden

∇ · (E×B) = ∂i εijk EjBk = εijk (∂iEj)Bk + εijk Ej (∂iBk)= B · (∇× E) − E · (∇×B) ,

sowie das Induktionsgesetz ∇× E = −B und finden

E · (∇×B) = B · (∇× E)−∇ · (E×B) = −B · ∂B∂t−∇ · (E×B) . (8.5)

Setzen wir nun (8.5) in (8.4) ein, so erhalten wir:

dW

dt=

∫V

E · j dV = −∫V

(1

2µ0

∂B2

∂t+ ε0

2∂E2

∂t+ 1µ0∇ · (E×B)

)dV . (8.6)

Wir betrachten nun die zwei Fälle von endlich/unendlich großem Volumen V .Enendlich großes Volumen, Feldenergie Für V → ∞ verschwindet, unter Verwen-dung des Satzes von Gauß(siehe unten), der dritte Term in (8.6) und somit erhalten wirfür die Feldenergie W

W =∫V

(1

2µ0B2 + ε0

2 E2)dV . (8.7)

Voraussetzung ist, dass die Felder asymptotisch schnell genug abfallen, so dass der ∇· -Term in (8.6) verschwindet. Mit Hilfe des Satzes von Gauß,∫

V∇ · (E×B) dV =

∮F

(E×B) · dF , (8.8)

mit F als Oberfläche des (zunächst als endlich angenommenen) Volumes V , findet man,dass die Felder E und B stärker als 1/R abfallen müssen, da dF mit R2 anwächst. (vgl.Abschnitt 2.4). Für statische Felder ist die obige Voraussetzung erfüllt, nicht dagegen fürStrahlungsfelder, wie wir später noch diskutieren werden.Energiedichte In (8.7) können wir nun die Energiedichte ωF des elektromagnetischenFeldes

ωF = 12µ0

B2 + ε02 E

2 (8.9)

einführen, welche sich aus einem elektrischen Anteil (vgl. (8.1))

ωel = ε02 E

2 (8.10)

und einem magnetischen Anteilωmag = 1

2µ0B2 (8.11)

67

zusammensetzt.

Endliches Volumen, Poynting Vektor Wir behalten die Interpretation von (8.9)als Energiedichte bei und schreiben, da V beliebig wählbar ist, (8.6) als (differentielle)Energiebilanz,

E · j + ∂ωF∂t

+∇ · S = 0 , (8.12)

mit dem Poynting-Vektor

S = 1µ0

(E×B

). (8.13)

Gl. (8.12) ist die grundlegende Kontinuitätsgleichung für die Energiedichte elektromagne-tischer Felder.

Energieerhaltung Die Feldenergie in einem Volumen V kann sich via Gl. (8.12) dadurchändern,

• dass Energie in Form elektromagnetischer Strahlung hinein- (hinaus-) strömt, be-schrieben durch den Term ∇ · S, und/oder

• dass an Punktladungen Arbeit geleistet wird, beschrieben durch E · j.

In Analogie zur Ladungserhaltung (Abschnitt 4.1) nennen wir S die Energiestromdichte,bzw. den Poynting-Vektor. Die Energiebilanz zeigt, dass die Energie des abgeschlossenenSystems (Punktladungen plus elektromagnetisches Feld) eine Erhaltungsgröße ist.

8.2 ImpulsDem elektromagnetischen Feld kann man außer Energie auch einen Impuls zuordnen. Wirbeginnen mit der Impulsbilanz für eine Punktladung q mit der Geschwindigkeit v.

Impulsbilanz von Landungen Nach Newton gilt dann für die Änderung des ImpulsespM der Punktladung:

dpMdt

= q[

E + (v×B)], (8.14)

wobei wir hier der Index M für mechanisch steht. Für N Punktladungen, charakterisiertdurch eine Stromdichte j und Ladungsdichte ρ erhalten wir entsprechend

dPM

dt=

∫V

[ρE + (j×B)

]dV (8.15)

für den Gesamtimpuls PM der Ladungen.

68

Impulsbilanz der Felder Analog zu Abschnitt 8.1 versuchen wir ρ und j zu eliminieren,so daß die rechte Seite in (8.15) nur noch die Felder E und B enthält. Wir benutzen dazudas Gauß’sche Gesetz

ρ = ε0∇ · E (8.16)

und das Ampère-Maxwell Gesetz

j = 1µ0∇×B− ε0

∂E∂t

. (8.17)

Wir finden mit

dPM

dt=

∫V

[ε0E (∇ · E) + 1

µ0(∇×B)×B− ε0

(∂E∂t×B

)]dV (8.18)

einen noch recht unübersichtlichen Ausdruck.Symmetrisierung der Impulsbilanz Wir können die Impulsbilanz (8.18) noch deutlichschöner schreiben indem wir bzgl. E und B symmetrisieren.

Zunächst addieren wir in (8.18) den verschwindenden Term

1µ0

B (∇ ·B)︸ ︷︷ ︸= 0

= 0

und formen den letzten Term um,

−ε0(∂E∂t×B

)= −ε0

∂

∂t

(E×B

)+ ε0

(E× ∂B

∂t

)

= −ε0∂

∂t

(E×B

)− ε0

(E× (∇× E)

),

wobei wir das Induktionsgesetz∇× E = −∂B

∂t(8.19)

benutzt haben. Das Ergebnis ist

dPM

dt=

∫V

ε0E (∇ · E) + 1

µ0B (∇ ·B)− 1

µ0B× (∇×B)− ε0E× (∇× E)

−ε0∂

∂t

(E×B

)dV . (8.20)

Maxwell’scher Spannungstensor und Implusdichte Wir verwenden die Abkürzung∂m ≡ ∂/∂xm und fassen für die Interpretation von (8.20) einige Terme wie folgt zusammen:[

E (∇ · E)− E× (∇× E)]i

= Ei∂mEm − εijkεklmEj∂lEm =

= Ei∂mEm − (δilδjm − δimδjl)Ej∂lEm = Ei∂mEm − Em∂iEm + Em∂mEi

69

= −12∂iE

2m + ∂mEmEi =

3∑m=1

∂

∂xm

(EiEm −

12E

2δim

). (8.21)

Entsprechend verfahren wir für die B-Terme. Wir erhalten also

d

dt(PM + PF )i +

∫V

3∑m=1

∂

∂xmTim dV = 0 , (8.22)

wobei der Maxwellsch’sche Spannungstensor Tim durch

Tim = ε0

(E2

2 δim − EiEm)

+ 1µ0

(B2

2 δim −BiBm

)(8.23)

gegeben ist. Der Gesamtimpuls PF des elektromagnetischen Feldes ist PF =∫V ~πF dV

mit der Impulsdichte

~πF = ε0(E×B

). (8.24)

Wir unterscheiden wieder, wie im Falle der Energiebilanz, die Fälle von endlichem/unendlichemVolumen V .

Fall 1 : V →∞Wie unter Abschnitt 8.1, überzeugt man sich, dass der dritte Term in (8.22) ver-schwindet, falls die Felder E und B schneller als 1/R abfallen. Dann lautet dieImpulsbilanz

PM + PF = const . (8.25)Gleichung (8.25) legt nahe, PF als Impuls des elektromagnetischen Feldes zu inter-pretieren. Für das abgeschlossene System (Punktladungen plus Feld) ist dann derGesamtimpuls, der sich additiv aus Teilchen- und Feldimpuls zusammensetzt, eineErhaltungsgröße.

Fall 2 : allg. Volumen

Da das Volumen V in (8.22) beliebig ist, finden wir für(T)im≡ Tim die differentielle

Impulserhaltung

ρE + j×B + ∂~πF∂t

+ ∇ · T = 0 , (8.26)

wobei wir (8.15) für pM = q [ E + (v×B) ] verwendet haben.

70

Fall 3 : V endlichWir formen die rechte Seite in (8.22) mit dem Gauß’schen Satz um:

d

dt

(PM + PF

)i

= −∫F

3∑m=1

Tim dFm , (8.27)

wobei dfm = nmdA das gerichtete Oberflächen-Element und F die Oberfläche vonV sind. Da auf der linken Seite von (8.27) nach Newton eine Kraft steht, könnenwir Timnm als Druck des Feldes (Strahlungsdruck) interpretieren. Das elektroma-gnetische Feld überträgt auf einen Absorber also nicht nur Energie, sondern auchImpuls.

Der Strahlungsdruck des Lichts wurde von Lebedev und Hull direkt an einer Drehwaa-ge nachgewiesen. An den Balkenenden angebrachte Metallplättchen wurden im Takt derEigenschwingung jeweils belichtet; es wurden in Resonanz gut beobachtbare Ausschlägeerhalten.Bemerkung Die Tatsache, dass sich die Impulsdichte ~πF und die Energiestromdichte Snur um einen konstanten Faktor unterscheiden, siehe Gl. (8.13),

~πF = ε0µ0 S = 1c2 S , (8.28)

ist kein Zufall, sondern ergibt sich zwangsläufig im Rahmen der relativistischen Formu-lierung. Für eine einzelnes Teilchen mit der Ruhemasse m gilt nach der speziellen Relati-vitätstheorie die Energie-Impuls Beziehung

E =√p2c2 +m2c4

und damit die Beziehung (Ec)/c2 = p für ein Teilchen mit verschwindender Ruhemassem→ 0, zwischen dem Energiestrom Ec und dem Impuls p.

8.3 Zusammenfassung - PhotonenBei Abwesenheit anderer Kräfte gelten für das abgeschlossene System (Punktladungenplus Feld) die Erhaltungssätze für Energie, Impuls und Drehimpuls. Für Energie undImpuls haben wir das in den beiden vorherigen Abschnitten gezeigt, für den Drehimpulsgeht man analog vor.

Da sich Energie, Impuls und Drehimpuls der Punktladungen zeitlich ändern, müssenwir dem Feld selbst Energie, Impuls und Drehimpuls zuordnen, um die Erhaltungssätzefür das Gesamtsystem zu garantieren. Die Grundgrößen

• EnergiedichteωF = ε0

2 E2 + 1

2µ0B2 (8.29)

• Impulsdichte~πF = ε0

(E×B

)(8.30)

71

• Drehimpulsdichte

~λF = ε0 r×(E×B

)= r× ~πF (8.31)

findet man aus den jeweiligen Bilanzen unter Verwendung der Maxwell-Gleichungen. DieTatsache, daß man dem Maxwell-Feld mechanische Größen wie Energie, Impuls und Dreh-impuls zuordnen kann, bietet die Grundlage für die im atomaren Bereich benutzte Be-schreibung elektromagnetischer Phänomene durch Teilchen, welche als Photonen be-zeichnet werden.

72

Teil IV

Elektromagnetische Strahlung imVakuum

73

Kapitel 9

Das elektromagnetische Feld imVakuum

9.1 Homogene WellengleichungenIn diesem Kapitel untersuchen wir die Maxwell-Gleichungen

∇ · E = 0; ∇ ·B = 0; ∇× E = −∂B∂t

; ∇×B = ε0µ0∂E∂t. (9.1)

im Vakuum (ρ = 0; j = 0).

Entkopplung von magnetischem und elektrischem Feld Im Vakuum lassen sichelektrisches Feld E und magnetische Induktion B vollständig entkoppeln. Wir bilden diezeitliche Ableitung des Induktionsgesetzes ∇× E = −B,

−ε0µ0∂2B∂t2

=(ε0µ0

∂

∂t

)(−∂B∂t

)=(ε0µ0

∂

∂t

)∇×E = ∇×

(ε0µ0

∂E∂t

)= ∇× (∇×B)︸ ︷︷ ︸

∇(∇·B)−∆B

und daher, zusammen mit ∇ ·B = 0,

∆B = ε0µ0∂2B∂t2

.

Wir erhalten also die homogene Wellengleichung(∆− 1

c2∂2

∂t2

)B = 0; 1

c2 = ε0µ0 , (9.2)

wobei c die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit ist. Analog verfährt man mit dem E-Feld.

D’Alambert Operator Mit der Abkürzung

= ∆− 1c2∂2

∂t2(9.3)

74

für den d’Alambert-Operator lassen sich die Maxwell-Gleichung (9.1) im Vakuumäquivalent als

B = 0; ∇ ·B = 0E = 0; ∇ · E = 0

(9.4)

darstellen. Für die zugehörigen Potentiale findet man nach Kapitel 7.3

A = 0; ∇ ·A = 0 (9.5)

Φ = 0 (9.6)

in der Coulomb-Eichung ∇·A = 0. Hierzu braucht man nur in den Bestimmungsgleichun-gen (7.17) und (7.19) für die elektromagnetischen Potentiale für verschwindenden Quellenρ und j zu betrachten.Wellengleichungen Wir haben also Differentialgleichungen vom Typ

f(r, t) = 0 (9.7)

zu lösen, wobei f für irgendeine Komponente von E,B oder A steht. Die Lösungen fürE,B und A sind dann noch der Nebenbedingung unterworfen, dass die Divergenz ver-schwindet (Transversalitätsbedingung).

9.2 Elektromagnetische Wellen

Ebene Wellen Ein wichtiger Lösungstyp der Wellengleichung (9.7) sind ebene Wellen,welche durch einen Wellenvektor q gekennzeichnet sind,

f = f(q · r∓ ct); |q| = 1 , (9.8)

75

wobei f() eine beliebige Funktion ist, welche mindestens zweifach differenzierbar ist.Nachweis Zum Nachweis, daß (9.8) die Wellengleichung (9.7) erfüllt, verwenden dieAbkürzung

ξ = q · r∓ ct (9.9)und bilden:

∇f = qdf

dξ; ∆f = q2 d

2f

dξ2 ; ∓1c

∂f

∂t= df

dξ(9.10)

und somit1c2∂2f

∂t2= d2f

dξ2 . (9.11)

Damit istB = B0 f(r, t) (9.12)

Lösung von (9.2); analog für E und A. Wir diskutieren nun die Eigenschaften der Lösung(9.8).

Ebene Wellen Funktionen vom Typ (9.8) beschreiben Wellen, deren WellenfrontenEbenen sind: Die Punkte r, in denen f(r, t) zu einer festen Zeit t den gleichen Wertannimmt, liegen auf einer Ebene (Hesse’sche Normalform)

q · r = const , (9.13)

welche senkrecht zu q steht. Je nach Wahl des Vorzeichens in (9.8) erhält man Wellen,die in ±q-Richtung laufen.Transversalität elektromagnetischer Wellen Aus∇·B folgt mit B(r, t) = B0f(r, t) =B0f(ξ)

0 = ∇ ·B = B0 · ∇f(ξ) =(B0 · q

) dfdξ

; ξ = q · r± ct , (9.14)

alsoB · q = 0 ; (9.15)

entsprechend für E und A. Das elektrische und das magnetischeFeld einer ebenenen Wellesteht also senkrecht zur der Ausbreitungsrichtung q.

76

λ E

Bkk

Orthogonalität von E und B Aus

∇× E = −∂B∂t

(9.16)

folgt für die ebenen Wellenlösungen

E = E0 f(q · r− ct); B = B0 g(q · r− ct) (9.17)

die Beziehung (q × E0

)dfdξ

= cB0dg

dξ, (9.18)

also E ⊥ B mit der Transversalitätsbedingung (9.15). E,B und q bilden also ein ortho-gonales Dreibein.

Elektromagnetische Wellen und das Durchflutungsgesetz Die Existenz von elek-tromagnetischen Wellen (z.B. Lichtwellen, Radiowellen, Mikrowellen, γ-Strahlung etc.)beweist die Richtigkeit des Durchflutungsgesetzes

∇×B = ε0µ0∂E∂t

im Vakuum, welches entscheidend in die Herleitung der Wellengleichungen eingegangenist. Sie stellt die experimentelle Bestätigung für das Maxwell-Ampère-Gesetz (6.22) dar.

Kugelwellen Neben den ebenen Wel-len sind Kugelwellen wichtige Lösungs-typen der Wellengleichung (9.7); sie ha-ben die Form

f(r, t) = g(r − ct)r

, (9.19)

wobei f eine beliebige (mindestens zwei-fach differenzierbare) Funktion ist. DerBeweis verläuft analog zu (9.10) in Ku-gelkoordinaten.

77

Kugelkoordinaten Von den karthesischen Ko-ordinaten x = (x, y, z) geht man via

x = r cosϕ sin θy = r sinϕ sin θz = r cos θ

(9.20)

zu den Kugelkoordinaten (r, ϕ, θ) über, mit demRadius r, den Azimutwinkel ϕ und dem Polar-winkel θ.

3/2 π P(r,φ,θ)

0r

θ

r

1/2 π

π

0

φ

x y

z

Der Laplace Operator hat die Form

∆ = 1r2

∂

∂r

(r2 ∂

∂r

)+ 1r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ ∂

∂θ

)+ 1r2 sin2 θ

∂2

∂2ϕ. (9.21)

Kugelwellen Lösung Damit gilt

∂

∂r

(g(r − ct)

r

)= g′

r− g

r2 , r2 ∂

∂r

(g(r − ct)

r

)= rg′ − g

für Kugelwellen der Form (9.19) und somit

∆(g(r − ct)

r

)= 1

r2∂

∂r

(rg′ − g

)= 1

r2

(g′ + g′′ − g′

)= g′′

r.

Also erfüllt f(r, t) = g(r − ct)/r die Wellengleichung (9.7).

9.3 Monochromatische ebene Wellen

Dispersionsrelation Eine spezielle Form der ebenen Welle (z.B. für die elektrischeFeldstärke) sind in Zeit und Raum periodisch harmonische Lösungen der Gestalt

A = A0 exp(i(k · r∓ ωt)) . (9.22)

Dabei istk = k q, |q| = 1 (9.23)

und ω und k hängen über die Dispersionsrelation

ω2 = k2c2 (9.24)

zusammen, wie man durch Einsetzen von (9.22) in die Wellengleichung (9.4) sofort sieht,(9.11). Eine ebene Welle vom Typ (9.22) nennt man monochromatisch (zu deutsch ein-farbig).Komplexe vs. reele Felder E,A und B sind als Messgrößen reelle Vektorfelder. Diekomplexe Schreibweise in Gleichung (9.22) ist verabredungsgemäß so zu verstehen, dass

78

das physikalische Vektorfeld durch den Realteil von (9.22) beschrieben wird. Die komplexeSchreibweise ist oft (z.B. beim Differenzieren) bequemer als die reelle; sie ist problemlos,solange nur lineare Operationen durchgeführt werden.

Zeitliche Mittelwerte Häufig ist man an zeitlich gemittelten Größen interessiert, wiez.B. die im Mittel auftreffenden Energgie elektromagnetischer Strahlung. Für eine Funk-tion z(t) definiert man den zeitlichen Mittelwert z als

z = limT→∞

12T

∫ T

−Tz(t)dt . (9.25)

Bei der Berechnung physikalischer Größen wie etwa der Energiestromdichte treten Pro-dukte von Vektorfeldern auf. Zeitliche Mittelwerte . . . solcher Produkte kann man inkomplexer Schreibweise wie folgt berechnen: Für zwei Vektorfelder

a(r, t) = a0(r) exp(−iωt); b(r, t) = b0(r) exp(−iωt) (9.26)

gilt für den zeitlichen Mittelwert des Produktes

(Rea) · (Reb) = 12Re(a · b

∗) , (9.27)

denn in

(Rea) · (Reb) = 14(a0 exp(−iωt) + a∗0 exp(iωt)

) (b0 exp(−iωt) + b∗0 exp(iωt)

)verschwinden die gemischten Terme mit den Zeitfaktoren exp(±2iωt) nach Zeitmittelungund es bleibt

(Rea) · (Reb) = 14(a · b∗ + a∗ · b) = 1

2Re(a · b∗) . (9.28)

Terminologie Monochromatische ebene Wellen sind so wichtig, daß es für alle Größenfeste Begriffe gibt.

Wellenvektor kWellenzahl k k = |k|

Kreisfrequenz ω ω = c k

Frequenz ν ν = ω/(2π)Wellenlänge λ λ = (2π)/k

Schwingungsdauer T T = (2π)/ω

Anhand von (9.22) sieht man, dass die Schwingungsdauer T die zeitliche Periodizität derWelle bei festgehaltenem Ort r beschreibt,

exp(iω(t+ T )) = exp(iωt+ 2πi) = exp(iωt); (9.29)

79

analog gibt die Wellenlänge λ die räumliche Periodizität an:

exp(ik(z + λ)) = exp(ikz + 2πi) = exp(ikz) (9.30)

für eine Welle in z-Richtung zu fester Zeit t.

Phasengeschwindigkeit Die Größe

φ = k · r− ωt (9.31)

nennt man die Phase der Welle. Unter der Phasengeschwindigkeit vph versteht man dieGeschwindigkeit, mit der sich ein Wellenpunkt mit vorgegebener fester Phase bewegt. Umvph zu bestimmen, betrachten wir wieder eine ebene Welle in z-Richtung und bilden dastotale Differential von φ(z, t):

dφ = kdz − ωdt. (9.32)

Für φ = const. folgt dann:vph = dz

dt= ω

k= c; (9.33)

die Phasengeschwindigkeit ist also gleich der Lichtgeschwindigkeit c.

Beziehung zwischen E und B Feld Ausgehende von der Definition (9.22) für dasVektorpotential findet man für monochromatische ebene Wellen die Felder, siehe (7.1)und (7.3):

B = ∇×A; E = −∂A∂t− ∇Φ . (9.34)

Im Vakuum verschwindet das skalare Potential, Φ→ 0, für die Coulomb Eichung ∇·A =0. Die Coulomb Eichung ist für A0 · k = 0 erfüllt, siehe (9.22). Damit erhalten wir

B = i(k×A); E = iωA . (9.35)

Mit ω = ck finden wir die einprägsame Beziehung

B = i(

k× Eiω

)= 1

c

kk× E = 1

cn× E , (9.36)

wobei n = k/k die Ausbreitungsrichtung ist.

Energiedichte Der zeitliche Mittelwert der Energiedichte (reelle Darstellung) ist:

ωF = 12T

∫ T

−TωF dt , (9.37)

wobei die Energiedichte ωF (mit µ0ε0 = 1/c2) durch

ωF = ε02 E

2 + 12µ0

B2 = ε02(E2 + c2B2

)(9.38)

80

gegeben ist. Mit A · k = 0 finden wir:

ωF = ε04 Re(ω

2A ·A∗ + c2k2A ·A∗) = ε02 ω

2|A0|2 = ε02 |E0|2 , (9.39)

wobei der extra Faktor 1/2 durch die zeitliche Mittelung, siehe (9.27) zustande kommt.

Energiestromdichte Entsprechend zur Zeit-gemittelten Energiedichte (9.39) gilt (mitn = k/|k| für die Zeit-gemittelte Energiestromdichte S, siehe (8.13),

S = (E×B)/µ0 = ω

2µ0|A0|2 k = ωk

2µ0

|E0|2

ω2 = k2µ0

|E0|2

ck= ε0c

2 |E0|2 n , (9.40)

wobei wir µ0ε0 = 1/c2 verwendet haben. Vergleicht man (9.39) mit (9.40), so findet man

|S| = c ωF ; (9.41)

die Energie des elektromagnetischen Feldes wird also mit der Lichtgeschwindigkeit c trans-portiert.

Impulsdichte Die Impulsdichte ~πF lässt sich direkt über die Beziehung (8.28) aus demPoynting-Vektor S herleiten.

~πF = 1c2 S = ε0

2c |E0|2 n, c∣∣∣~πF ∣∣∣ = ωF . (9.42)

Die Beziehung rechter Hand ist mit der relativistischen Energie-Impuls Beziehung

E =√m2oc

4 + p2c2, (E = cp)m0=0

für Ruhemasse-lose Teilchen (Photonen) konsistent.

Ebene Wellen als Approximationen Streng genommen ist eine ebene Welle senk-recht zur Ausbreitungsrichtung unendlich ausgedehnt; jede praktisch realisierbare Welleist dagegen begrenzt. Die ebene Welle ist jedoch eine sinnvolle Approximation, wenn dieAusdehnung der realen Welle senkrecht zur Ausbreitungsrichtung groß ist im Vergleich zuirgendwelchen Hindernissen (z.B. Spalte), durch die sie gestört werden kann.

9.4 Polarisation

Orthogonales Dreibein Wegen der Transversalität und der Orthogonalität von E undB können wir eine monochromatische ebene Welle der Form (9.22) durch

E = e1E0 exp(i(k · r− ωt)); B = e2B0 exp(i(k · r− ωt)) (9.43)

beschreiben. Da nach (9.36) bilden k, E und B mit B = n×E/c ein orthogonales Dreibein,also gilt

ei · ej = δij; ei · k = 0 . (9.44)

81

Eine solche Welle nennt man linear polarisiert. Eine zu (9.43) gleichberechtigte, linearunabhängige ebene Welle zu gleichem Wellenvektor k erhält man, indem man E in e2-Richtung und B in e1-Richtung wählt.Allgemeine Polarisation Der allgemeine Polarisationszustand einer monochromati-schen ebenen Welle ergibt sich nach dem Superpositionsprinzip, z.B. für das elektrischeFeld,

E = (e1E1 + e2E2) exp(i(k · r− ωt)); El = |El| exp(iφl) , (9.45)

mit El (l = 1,2) als beliebigen komplexen Zahlen. Gleichung (9.45) beschreibt alle mögli-chen Polarisationszustände, welche wir nun diskutieren.

λ E

Bkk

Lineare Polarisation Die elektromagnetische Welle ist linear polarisiert wenn in (9.45)

φ1 = φ2 (9.46)

der Fall ist. Richtung und Betrag von E sind dann durch

θ = arctan(E2

E1

); E =

√E2

1 + E22 (9.47)

gegeben.

Zirkuläre Polarisation Gibt es eine Phasendifferenz von ±π/2 in (9.45),

E1 = E2; φ1 − φ2 = ±π2 , (9.48)

dann wird das elektrische Feld zu

E = E0(e1 ± ie2) exp(i(k · r− ωt)) . (9.49)

82

In reeller Darstellung

Ex = E0 cos(kz − ωt); Ey = ∓E0 sin(kz − ωt) , (9.50)

wenn k in z-Richtung zeigt. Der Drehsinn ist durch die Wahl des Vorzeichens in (9.49)festgelegt; man erhält links- bzw. rechts-zirkulare Polarisation.

Elliptische Polarisation Für allgemeine Koeffizienten

E1 6= E2; φ1 − φ2 6= 0 (9.51)

haben wir elliptische Polarisation. Das elektrische Feld E beschreibt dann für festes z eineEllipsenbahn, deren Lage relativ zu e1 durch φ1 − φ2 und deren Hauptachsenverhältnisdurch E1/E2 bestimmt wird.

83

Kapitel 10

Wellenpakete im Vakuum

10.1 Informationsübertragung durch elektromagne-tische Wellen

Ein wichtiger Anwendungsbereich elektromagnetischer Strahlung ist die Informationsüber-tragung. Monochromatische ebene Wellen sind dazu ungeeignet, da sie keine Informationaußer ihrer Periode, oder der Frequenz, vermitteln können.

Amplitudenmodulation Man kann monochromatische ebene Wellen jedoch modulie-ren und so Information übertragen. Im einfachsten Fall bildet man eine Überlagerung aus2 monochromatischen Wellen,

f(t) = f0 cos(ω1t) + f0 cos(ω2t) = f0[

cos(ω1t) + f0 cos(ω2t)]. (10.1)

Mitωm = (ω1 − ω2)/2ω0 = (ω1 + ω2)/2

ω1 = ω0 + ωmω2 = ω0 − ωm

und cos(α + β) = cosα cos β − sinα sin β kann (10.1) alternativ auch als amplituden-modulierte Schwingung dargestellt werden:

f(t) = 2f0 cos(ωmt) cos(ω0t) , (10.2)

Wenn ω1 ≈ ω2 gewählt wird, dann ist (10.2) eine fast harmonische Schwingung der Trä-gerfrequenz ω0 deren Amplitude sich mit der Modulationsfrequenz ωm ändert. Manerhält das Bild einer Schwebung.

84

Kompliziertere Schwingungsformen und damit mehr Möglichkeiten zur Informationsüber-tragung ergeben sich durch Überlagerung mehrerer Schwingungen verschiedener Frequen-zen.

GruppengeschwindigkeitWir betrachten nun die Überlagerung zweier orts- und zeitabhängiger ebener Wellen miteiner allg. Dispersionsrelation ω = ω(k),

f(x, t) = f0 cos(k1x− ω(k1) t) + f0 cos(k2x− ω(k2) t) . (10.3)

Analog zu (10.2) benutzen wir die Darstellung

f(x, t) = 2f0 cos(kmx− ωmt) cos(k0t− ω0t) , (10.4)

mitωm = ω(k1)− ω(k2)

2 ; ω0 = ω(k1) + ω(k2)2

undkm = k1 − k2

2 ; k0 = k1 + k2

2 .

Für k1 ≈ k2 bewegt sich das Maximum kmx − ωmt = 0 der Einhüllenden mit der Grup-pengeschwindigkeit vg fort,

vg ≡x

t= ωm

km= ω(k1)− ω(k2)

k1 − k2≈ ∂ω(k)

∂k

∣∣∣k=k0

. (10.5)

Die Gruppengeschwindigkeit ist somit auch die Geschwindigkeit der Informationsübertra-gung.

Im Vakuum fällt für Licht die Gruppengeschwindigkeit vg = ω′(k) mit der Phasenge-schwindigkeit vph = ω/k, siehe (9.33), zusammen, dank der linearen Dispersionsrelationω(k) = ck. Wenn sich Licht in Materie ausbreitet gilt i.Allg. vg < c = vph.

85

10.2 Fourier-Reihen und Fourier-IntegraleDie überlagerung elektromagnetischer Wellen läßt sich systematisch mit dem jeweiligenFourierspektrum beschreiben. Wir wiederholen daher hier die grundlegenden Begriffenund betrachten eine periodische Funktion,

f(t); f(t) = f(t+ T ) . (10.6)

Alternativ können wir jede Funktion auf dem Intervall t ∈ [0, T ] periodisch forsetzen, sodaß (10.6) erfüllt ist.

Fourier-Reihen Jede periodische Funktion läßt sich nun in eine Fourier-Reihe

f(t) =∞∑

n=−∞fn exp(−iωnt) ωn = nω ω = 2π

T. (10.7)

entwickeln.

• Man nennt ω = 2π/T die Grundfrequenz. Es gilt f(t) = f(t+ T ), da

exp(−iωn(t+ T )) = exp(−iωnt) exp(−i(2nπ/T )T ) = exp(−iωnt)

für jeden Koeffizienten.

• Die Fourier-Reihe (10.7) konvergiert gleichmäßig (und damit auch punktweise),wenn f(t) periodisch mit der Periode T und stückweise glatt (beliebig oft diffe-renzierbar) ist.

• Die (schwächere) Forderung der Konvergenz im quadratischen Mittel ist erfüllt fürperiodische, in [0, T ] stetige Funktionen f(t).

• Die ebenen Wellen exp(iωnt)/√T bilden ein vollständiges orthonormales Funktio-

nensystem auf dem Intervall [0, T ], siehe weiter unten. Die Fourier-Reihe (10.7) istdamit nichts anderes als eine Entwicklung nach den Basisfunktionen exp(−iωnt)/

√T .

Funktionenräume Für zwei Funktionen f(t) und g(t) auf [−T/2, T/2] können wir dasSkalarprodukt

(f, g) ≡∫ T/2

−T/2f ∗(t)g(t) dt (10.8)

definieren, als direkte Verallgemeinerung des üblichen Skalarproduktes ∑j x∗jyj zweier

komplexer Vektoren x = (x1, x2, . . .) und y = (y1, y2, . . .). Insbesondere sind die Basis-funktionen

en(t) = exp(−iωnt)√T

, ωn = 2πnT

(10.9)

im Intervall [−T/2, T/2] orthonormiert bezüglich des des Skalarproduktes (10.8).

86

Orthogonalitätsrelationen Um die Orthogonalitätsrelation

(em, en) = 1T

∫ T/2

−T/2exp(iω(m− n)t) dt = δmn (10.10)

zu beweisen, brauchen wir nur die Fälle m = n und m 6= n zu unterscheiden,

1T

∫ T/2

−T/2exp(iω(m− n)t) dt = 1

T

∫ T/2

−T/2dt = 1 (m = n) ,

und1T

∫ T/2

−T/2exp(iω(m− n)t) dt = 1

T

1iωn(m− n) exp(iω(m− n)t)

∣∣∣t=T/2t=−T/2

dt

= 1iωnT (m− n)

[exp

(i2πT

(m− n)T2

)− exp

(−i2π

T(m− n)T2

)]

= 2iiωnT (m− n) sin

(π(m− n)

)= 0

für m 6= n.Fourier-Koeffizienten Die Fourier-Koeffizienten fn in (10.7) sind durch

fn = 1T

∫ T

0f(t) exp(iωnt) dt = 1

T

∫ T/2

−T/2f(t) exp(iωnt) dt (10.11)

gegeben, wobei wir die Periodizität von f(t) verwendet haben. Für den Beweis verwendenwir die Orthogonalitätsrelation (10.10) und finden

1√T

(em, f) = 1T

∫ T/2

−T/2exp(iωmt)f(t) dt

= 1T

∑n

fn

∫ T/2

−T/2exp(iωmt) exp(−iωnt) dt

=∑n

fn (em, en)︸ ︷︷ ︸δm,n

= fm .

Die Fourier-Reihe ist schlussendlich nichts anderes als die Entwicklung nach einer speziel-len Menge vollständiger Basis-Funktionen. In anderen Zusammenhängen ist es günstigerandere Basis-Funktionen zu verwenden, wie z.B. Legendre Funktionen oder die Kugelflä-chenfunktionen.Fourier-Integrale Wir betrachten nun Funktionen f(t) welche nicht periodisch sind.Formell können wir dazu in der Dastellung (10.7) für die Fourier-Reihe, zusammen mit(10.11) für die Koeffizienten, die Periodie T divergieren lassen.

Für den Grenzübergang T →∞ betrachten wir mit ∆ω = 2π/T den Abstand benach-barter Frequenzen ωn,

f(t) =∑n

∆ω∆ω fn exp(−iωnt) =

∞∑n=−∞

f(ωn) exp(−iωnt) ∆ω (10.12)

87

mitf(ωn) = lim

T→∞

(fn∆ω

)= lim

T→∞

(T

2πfn). (10.13)

Also kann man (10.12) als Riemann-Summe des Fourier-Integrals

f(t) =∫ ∞−∞

f(ω) exp(−iωt) dω (10.14)

auffassen. Für die Umkehrung von (10.14) zeigt der Vergleich von (10.11) und (10.13):

f(ω) = 12π

∫ ∞−∞

f(t) exp(iωt) dt . (10.15)

f(ω) heißt die Fourier-Transformierte zu f(t). Sie existiert und (10.14) konvergiert imquadratischen Mittel für alle quadratintegrablen Funktionen f(t), für die∫ ∞

−∞|f(t)|2 dt < ∞; (10.16)

f(ω) dann auch quadratintegrabel ist.

t

f(t)

−T/2 −T/2

f( )ω~

ω

Rechteckimpuls - Unschärferelation Wir berechnen nun die Fourier-Transformiertefür den Rechteckimpuls

f(t) = 1 für − T

2 ≤ t ≤ T

2 ; f(t) = 0 sonst . (10.17)

Dann wird

f(ω) = 12π

∫ T/2

−T/2exp(iωt) dt = 1

πω

exp(iωt)2i

∣∣∣T/2−T/2

= sin(ωT/2)πω

. (10.18)

Die Breite ∆ω von f(ω) schätzt man aus obiger Figur ab zu:

∆ω ≈ 2πT

oder ∆ω∆t ≈ 2π. (10.19)

Je schmaler (breiter) das Signal f(t) werden soll, desto breiter (schmaller) ist das Fre-quenzspektrum, das man benötigt.

Die Unschärferelation (10.19) ist nicht an das Beispiel (10.17) gebunden, sondern istein charakteristisches Merkmal der Fourier-Transformation.

Die Unschärferelation (10.19) wird sich in der Quantenmechnik (mit einem Faktor ~verziert) als ein Spezialfall der Heisenberg’schen Unschärferelation wiederfinden.

88

Amplitude

Strecke

Orts-Raum

Amplitude

Raumfrequenz

Frequenz-Raum

Fourier

Transformation

Bemerkung Jede andere Variable kann eine Fourier-Transformation verwendet werden,z.B. Funktionen f(x) des Ortes.

Oft wird die Fourier-Transformation in der symmetrischen Form

f(t) = 1√2π

∫ ∞−∞

f(ω) exp(−iωt) dω (10.20)

mitf(ω) = 1√

2π

∫ ∞−∞

f(t) exp(iωt) dt (10.21)

benutzt. Die Koeffizienten f(ω) sind entsprechend zu reskalieren.

10.3 δ-Distribution

Distributionen Die Fourier-Transformation (10.14), (10.15) führt auf das folgende ma-thematische Problem: Setzt man (10.15) in (10.14) ein, so muss (nach Vertauschung derIntegrationsreihenfolge)

f(t) = 12π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(t′) exp(−iω(t− t′)) dω dt′ =∫ ∞−∞

f(t′)δ(t− t′) dt′ (10.22)

mitδ(t− t′) = 1

2π

∫ ∞−∞

exp(−iω(t− t′)) dω (10.23)

für beliebige quadratintegrable Funktionen f(t) gelten. Die hier eingeführte Größe δ(t−t′)ist offensichtlich keine gewöhnliche Funktion, sondern eine Distribution, welche strenggenommen nicht für sich alleine stehen darf, sondern nur in Verbindung mit der Integrationin (10.22) erklärt ist.

x

x

89

Darstellungen der Delta-Funktion Die δ-Distribution (als deren Definition wir imfolgenden (10.22) betrachten wollen), kann durch jede Folge stetiger Funktionen δn, fürdie

limn→∞

∫ ∞−∞

f(t′)δn(t− t′) dt′ = f(t) (10.24)

gilt, dargestellt werden. Beispiele:• Rechteck

δn(t) = n für |t| < 12n ; δn(t) = 0 sonst. (10.25)

• Gauß-Funktion („Glockenkurve“)

δn(t) = n exp(−πt2n2). (10.26)

• Die Darstellung

δn(t) = 1π

sin(nt)t

= 12π

∫ n

−nexp(iωt) dω (10.27)

führt direckt auf die Schreibweise (10.23).Vorsicht: Die Gleichungen (10.24) - (10.27) sind so zu verstehen, dass die t′-Integrationvor der Limes-Bildung n→∞ auszuführen ist!

Rechenregeln für die Delta-Funktion Wie man sich leicht selber überzeugen kanngelten die Beziehungen1.) δ(t) = δ(−t),

90

2.) δ(at) = δ(t)/|a| und

3.) δ(t2 − a2) =[δ(t+ a) + δ(t− a)

]/ (2|a|); a 6= 0 .

91

Teil V

Quellen elektromagnetischerStrahlung

92

Kapitel 11

Lösungen der inhomogenenWellengleichungen

11.1 ProblemstellungBei Anwesenheit von Ladungen haben wir die inhomogenen Gleichungen (vgl. (7.9),(7.10))

∆A− 1c2∂2

∂t2A = −µ0j, (11.1)

∆Φ− 1c2∂2

∂t2Φ = − ρ

ε0(11.2)

mit der Nebenbedingung (Lorentz-Eichung)

∇ ·A + 1c2∂Φ∂t

= 0 (11.3)

zu lösen. Das Problem ist also die Lösung einer inhomogenen Wellengleichung

Ψ(r, t) = −γ(r, t), = ∆− 1c2∂2

∂t2, (11.4)

wobei Ψ für Φ, Ai und γ für ρ/ε0, µ0ji steht.Green’schen Funktionen Die allgemeine Lösung von (11.4) setzt sich aus der (sie-he Abschnitt 10) allgemeinen Lösung der homogenen Wellengleichung (9.8) und einerspeziellen Lösung der inhomogenen Wellengleichung zusammen. Zur Konstruktion einerspeziellen Lösung von (11.4) benutzen wir die Methode der Green’schen Funktionen. Mitder Definition der Green’schen Funktion,

G(r, r′; t, t′) = −δ(r− r′) δ(t− t′) (11.5)

können wir als (formale) Lösung

Ψ(r, t) =∫G(r, r′; t, t′) γ(r′, t′) d3r′dt′ (11.6)

93

angeben, wie man durch Einsetzen von (11.6) in (11.4) direkt bestätigt. Dabei haben wirdie Reihenfolge von Integration bzgl. r′, t′ und Differentiation bzgl. r, t vertauscht.Symmetrien und Kausalität Die Green’sche Funktion hat zwei fundamentale Eigen-schaften,

G(r, r′; t, t′) = G(r− r′; t− t′) (11.7)aufgrund der Invarianz von (11.5) gegen Raum- und Zeit-Translationen, sowie

G(r− r′; t− t′) = 0 für t < t′ (11.8)

wegen des Kausalitätsprinzips: Die Wirkung kann nicht vor der Ursache kommen.

11.2 Green’sche Funktion für den statischen FallWir betrachten als Vorübung den (schon bekannten) Fall statischer Felder, z.B. des elek-trostatischen Feldes. Die Poisson-Gleichung

∆Φ(r) = −ρ(r)ε0

(11.9)

hat als (spezielle) Lösung

Φ(r) = 14πε0

∫ ρ(r′)|r− r′|

d3r′ , (11.10)

das Coulomb-Potential einer Ladungsverteilung ρ(r). (11.10) können wir als

Φ(r) =∫G(r, r′) ρ(r′)

ε0d3r′ (11.11)

schreiben, mit der Green’schen Funktion

G(r, r′) = 14π|r− r′|

, (11.12)

welche die Differentialgleichung

∆G(r, r′) = −δ(r− r′) (11.13)

erfüllt.Beweis für r 6= r′ Mit R = r− r′ und R = |R| finden wir

∆( 1R

)= ∇ ·

(∇ 1R

)= −∇ ·

( RR3

)= − 1

R3∇ ·R + 3R4

(R · R

R

)= − 3

R3 + 3R3 = 0 .

Damit ist die Definitionsgleichung (11.13) für die Green’sche Funktion im statischen Fallfür R 6= 0 erfüllt.

94

Beweis für |r− r′| → 0 Man kann in einem Volumenintegral vom Typ∫f(R)∆

( 1R

)d3R (11.14)

den Integrationsbereich auf eine kleine Kugel vom Radius a mit Mittelpunkt bei R = 0beschränken, ∫

f(R)∆( 1R

)d3R = lim

a→0

∫Kugel(a)

f(R)∆( 1R

)d3R . (11.15)

Ist nun f stetig um 0, so kann man f aus dem Integral herausziehen∫f(R)∆

( 1R

)d3R = lim

a→0f(R = 0)

∫Kugel(a)

∆( 1R

)d3R , (11.16)

und erhält nach dem Gauß’schen Satz∫Kugel(a)

∆( 1R

)d3R =

∫Kugel(a)

∇ ·(∇( 1R

))d3R

=∫F (a)

(∇( 1R

))· df = −

∫F (a)

1R2R

2dΩ = −4π .

Also ist mit ∫f(R)∆

( 1R

)d3R = −4πf(0) (11.17)

die Definitionsgleichung (11.13) für die Green’sche Funktion im statischen Fall für allge-meine R = r− r′ erfüllt.

11.3 Green’sche Funktion für zeitabhängige Quellen

Laufzeit Da (11.5) die Wellengleichung für eine zeitlich und räumlich punktförmigeQuelle darstellt, muss G(r − r′; t − t′) eine Kugelwelle darstellen, welche den Ort r zurZeit t = t′ + |r − r′|/c erreicht, wenn die sie auslösende Störung zur Zeit t′ am Ort r′stattfindet. Dabei ist

|r− r′|c

die Zeit welche das Licht braucht um von r′ nach r zu gelangen.Kugelwellen Eine Kugelwelle ist nur vom Radius R = |R| abhänging und muss qua-dratintegrabel sein, wenn die Gesamtenergie endlich sein soll. Wir machen daher denAnsatz

G(R, τ) = g(τ −R/c)R

, (11.18)

mit τ = t− t′. Hier ist also R/c die Laufzeit.Laplace-Operator in Kugelkoordinaten Wir verwenden die Dastellung

∆ = ∂2

∂R2 + 2R

∂

∂R+ Winkelanteil (11.19)

95

des Laplace-Operators in Kugelkoordinaten und bestimmen g in (11.18) indem wir (11.18)in (11.5) einsetzen,

∆G = g∆( 1R

)+ 1R

∆g + 2∇( 1R

)· ∇g

= −4πg δ(R) + 1R

∂2

∂R2 g + 2R2

∂

∂Rg − 2

R2∂

∂Rg

= −4πg δ(R) + 1R

∂2

∂R2 g . (11.20)

Die erhaltene einfach Form ist der Grund bei der Definition der Green’sche Funktion in(11.18) den Faktor 1/R explizit herauszuziehen. Wir haben

∇g = er∂g

∂r+ Winkelanteil , (11.21)

verwendet, wobei e = r/r der radiale Einheitsvektor ist.

Green’sche Funktionen für zeitabhängige Quellen Wir setzen nun (11.20) in dieBestimmungsgleichung (11.5) für die Green’sche Funktion ein und erhalten

−δ(R)δ(τ) ≡ G(R, τ) =(

∆− 1c2

∂2

∂τ 2

)G(R, τ) (11.22)

= −4πg(τ −R/c) δ(R) + 1R

∂2

∂R2 g(τ −R/c) − 1c2

∂2

∂τ 2g(τ −R/c)

R.

Diese Bestimmungsgleichung für g(τ −R/c) können wir lösen indem wir die δ-Funktionenauf der linke Seite umschreiben,

δ(R)δ(τ) = δ(R)δ(τ −R/c) .

Das ist möglich da ja δ(R) auch R = 0 impliziert. Damit erhalten wir

δ(R)[4πg(τ −R/c)− δ(τ −R/c)

]= 1

R

∂2

∂R2 g(τ −R/c) − 1c2

∂2

∂τ 2g(τ −R/c)

R

für (11.22), mit der Lösung

1R

(∂2

∂R2 −1c2

∂2

∂τ 2

)g(τ −R/c) = 0, 4πg(τ −R/c) = δ(τ −R/c) .

Dabei ist die erste Gleichung trivialerweise erfüllt da g nur eine Funktion von τ −R/c ist.Mit der Kausalitätsforderung G(r, r′; t− t′) = 0 für t < t′ erhalten wir also

G(r, r′; t− t′) = δ(t− t′ − |r− r′|/c)4π|r− r′|

für t>t′

(11.23)

96

und damit nach (11.6) die allgemeine formale Lösung

Ψ(r, t) =∫d3r′

∫ t

−∞dt′

δ(t− t′ − |r− r′|/c)4π|r− r′|

γ(r′, t′)

für die elektromagnetischen Potentiale.Retardierte Green’sche Funktionen Die Inhomogenität in (11.5) stellt eine punkt-förmige Quelle dar, welche zur Zeit t′ am Ort r′ für eine (infinitesimal) kurze Zeit ange-schaltet wird. Die von dieser Quelle hervorgerufene Störung breitet sich als Kugelwellemit der Geschwindigkeit c aus. Es muss also gelten:

• Die Kugelwelle G muss für t < t′ nach dem Kausalitätsprinzip verschwinden. Mannennt Green’sche Funktionen welche das Kausalitätsprinzip erfüllen auch retardierteGreen’sche Funktionen.

• Sie muss am Ort r zur Zeit t = t′ + |r − r′|/c ankommen, da elektromagnetischeWellen sich mit der (endlichen) Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum ausbreiten.

• Da die Energie der Welle auf einer Kugeloberfläche verteilt ist, sollte G asymptotischwie R−1 verschwinden.

Die Green’sche Funktion (11.23) erfüllt genau diese Forderungen. Gleichung (11.6) zeigt,wie man die Potentiale A, Φ zu gegebener Quellen-Verteilung ρ, j aus den Beiträgen fürpunktförmige Quellen aufbauen kann.

11.4 Retardierte PotentialeMit (11.6) und (11.23) lauten die Lösungen von (11.1) und (11.2) für lokalisierte Ladungs-und Strom-Verteilungen

Φ(r, t) = 14πε0

∫ρ(r′, t′) δ(t− t′ − |r− r′|/c) 1

|r− r′|d3r′dt′ (11.24)

undA(r, t) = µ0

4π

∫j(r′, t′) δ(t− t′ − |r− r′|/c) 1

|r− r′|d3r′dt′. (11.25)

Die Lösungen (11.24) und (11.25) sind über (11.3) bzw. die Ladungserhaltung (6.3) mit-einander verknüpft. Die Ausführung der Integrationen in (11.24) und (11.25) wollen wiranhand von zwei praktisch wichtigen Spezialfällen untersuchen; dabei werden wir beson-ders auf die im Argument der δ-Distribution enthaltene Retardierung achten.Quasistationäre Felder Vernachlässigt man die Retardierung in (11.24) und (11.25),

δ

(t− t′ − |r− r′|

c

)→ δ(t− t′) , (11.26)

97

so erhält man quasistationäre Felder:

Φ(r, t) = 14πε0

∫ ρ(r′, t)|r− r′|

d3r′, (11.27)

A(r, t) = µ0

4π

∫ j(r′, t)|r− r′|

d3r′, (11.28)

welche in der Theorie elektrischer Netzwerke und Maschinen auftreten. Die Näherung(11.26) ist gerechtfertigt, wenn ρ und j sich während der Zeit, die eine elektromagnetischeWelle braucht, um die Distanz |r− r′| zurückzulegen, (praktisch) nicht ändert.Zeitlich periodische Quellen-Verteilungen Als erste Anwendung betrachten wirzeitlich periodische Ströme und Ladungsverteilungen, wie sie typischeweise in Antennenauftreten.

ρ = ρ(r) exp(−iωt); j = j(r) exp(−iωt) . (11.29)Dann folgt aus (11.24), (11.25):

Φ = Φ(r) exp(−iωt); A = A(r) exp(−iωt) , (11.30)

mit (k = ω/c) und

Φ(r) = 14πε0

∫ ρ(r′) exp(ik|r− r′|)|r− r′|

d3r′, (11.31)

A(r) = µ0

4π

∫ j(r′) exp(ik|r− r′|)|r− r′|

d3r′. (11.32)

Die zugehörigen Differentialgleichungen ergeben sich aus (11.1), (11.2) und (11.29) zu:

(∆ + k2)Ψ(r) = −γ(r), (11.33)

wo Ψ für Φ, Ai und γ für ρ/ε0, µ0ji steht. Die Lösungen (11.31) und (11.32) können wirdann mit der zu (11.33) gehörenden Green’schen Funktion

G(r, r′; k) = exp(ik|r− r′|)4π|r− r′|

(11.34)

alsΨ(r) =

∫γ(r′) G(r, r′; k) d3r′ (11.35)

schreiben. Die Diskussion der Integrale (11.31), (11.32) werden wir später wieder aufgrei-fen.

11.5 Liénard-Wiechert Potentiale

Potentiale bewegte Punktladungen In vielen Anwendung ist es wichtig die retar-dierten Potential einer einzelnen Punktladung q zu kennen, welche sich auf der Bahn r′(t)bewegt. Die bewegte Punktladung wird durch

ρ(r, t) = q δ(r− r′(t)); j(r, t) = q v(t) δ(r− r′(t)) (11.36)

98

beschrieben. In (11.24) kann die r′ - Integration ausgeführt werden,

Φ(r, t) = q

4πε0

∫δ(r′ − r(t′)) δ(t− t

′ − |r− r′|/c)|r− r′|

d3r′dt′

= q

4πε0

∫ δ(t− t′ − |r− r(t′)|/c)|r− r(t′)| dt′ , (11.37)

und analogA(r, t) = µ0q

4π

∫ v(t′)δ(t− t′ − |r− r(t′)|/c)|r− r(t′)| dt′ . (11.38)

Rechnen mit δ-Funktionen Die Integrale (11.37), (11.38) haben die Form∫g(x) δ(f(x)) dx =

∫g(x) δ(f ′(x0)(x− x0)) dx = 1

|f ′(x0)|

∫g(x) δ(x− x0) dx ,

wobei wir f(x) um die Nullstelle x0 entwickelt haben, f(x0) = 0. Falls es mehr als eineNullstelle gibt, so ist eine Summe über alle Nullstellen durchzuführen. In unserem Fallehat

f(t′) = (t′ − t) + |r− r(t′)|/c (11.39)nur eine Nullstelle als Funktion von t′, da das Teilchen sonst an verschiedenen Ortengleichzeitig sein würde. Damit erhalten wir∫

g(t′) δ(f(t′)) dt′ = g(t′0)|f ′(t′0)| ; f(t′0) = 0 . (11.40)

Hierbei ist zu beachten, dass die Nullstelle t′0 implizit eine Funktion der Zeit t ist.Nullstelle Um die Nullstelle t′0 von f(t′) zu berechnen führen wir die Entwicklung umt′0 explizit durch:

f(t′) = (t′ − t′0) + (t′0 − t) + 1c

∣∣∣ r− r(t′0)∣∣∣︸ ︷︷ ︸

= 0

+ (t′ − t′0) 1c

∂

∂t′

∣∣∣ r− r(t′)∣∣∣t′=t′0

,

wobei wir t′0 addiert und subtrahiert haben. Mit den Abkürzungen

R(t′) = r− r(t′); v(t′0) = r(t′0)

für den Abstand R lässt sich somit f(t′) für t′ in der Nähe von t′0 als

f(t′) = (t′ − t′0)(

1− R(t′0) · v(t′0)c |R(t′0)|

)≡ (t′ − t′0)κ(t′0) (11.41)

schreiben, mit

κ(t′0) = 1− R(t′0) · v(t′0)c |R(t′0)| = 1− n · v

c; n = R

R, (11.42)

wobei die Nullstelle t0 von t abhängt.

99

Liénard-Wiechert Potentiale Also erhalten wir aus (11.37) und (11.38) die elektro-magnetischen Potentiale bewegter Ladungen

Φ(r, t) = q

4πε01

R(t′0)κ(t′0) = q

4πε01

R(t′0)−R(t′0) · v(t′0)/c (11.43)

und analog

A(r, t) = qµ0

4πv(t′0)

R(t′0)κ(t′i)= µ0ε0v(t′0)Φ(r, t) ≡ v(t′0)Φ(r, t)

c2 . (11.44)

Die Ausdrücke (11.43) und (11.44) nennt man Liénard-Wiechert Potentiale.Relativistische Verkürzung Der „effekti-ve Abstand“ zur Ladung ist durch die Pro-jektion der Geschwindigkeit v des Teilchensauf den momentanen Verbindungsvektor Rzum Beobachter relativistisch verkürzt,

R → R(

1− 1cn · v

); n = R

R.

v r(t´)

R

r

Statischer Grenzfall Der Grenzfall v → 0 für die Liénard-Wiechert Potentiale (11.43)und (11.44) ergibt

A → 0; Φ(r, t) → q

4πε0R, (11.45)

das elektrische Potential einer unbewegten Punktladung.

11.6 Strahlung bewegter PunktladungenVon Abstrahlung elektromagnetischer Wellen durch lokalisierte Ladungs- und Strom-Verteilungen sprechen wir, wenn der Energiefluss S durch die unendlich ferne Oberflächenicht verschwindet,

limR→∞

∫S · dF 6= 0; S = E×B

µ0. (11.46)

Das bedeutet, dass die Felder E,B nicht stärker als R−1 abfallen dürfen, da die Oberflächewie R2 anwächst. Solche Felder nennt man Strahlungsfelder, im Gegensatz zu denstatischen Feldern, welche mit R−2 abfallen.Fernfelder Wir sind nun an dem Verhalten der elektromagnetischen Felder bewegterLadungen im Limes großer Distanzen interessiert. Dort breitet sich die Stahlung frei ausund werden ebenen Wellen immer ähnlicher, für welche nach (9.36)

B = n× Ec

100

gilt, wobei n die Ausbreitungsrichtung ist. Daher betrachten wir bis auf weiteres nur daselektrische Feld.Integraldarstellung der Felder bewegter Punktladungen Wir wollen nun zeigen,dass beschleunigte Punktladungen strahlen. Dazu müssen wir die zu den Liénard-WiechertPotentialen (11.43) und (11.44) gehörenden Felder über

B = ∇×A; E = −∇Φ− ∂A∂t

(11.47)

berechnen, wobei wir für Φ,A die Form (11.37), (11.38) benutzen wollen. Mit den Ab-kürzungen

∇f(R) = n∂f

∂R; R(t′) = r− r(t′); n = R

R(≡ er)

erhält man

−∇Φ(r, t) = −q4πε0∇r

∫ δ(t− t′ − |r− r(t′)|/c)|r− r(t′)| dt′

= q

4πε0

∫dt′

n(t′)R2(t′)δ

(t′ − t+ R(t′)

c

)− n(t′)cR(t′)δ

′(t′ − t+ R(t′)

c

)

und

− ∂

∂tA(r, t) = −µ0q

4π∂

∂t

∫ v(t′)δ(t− t′ − |r− r(t′)|/c)|r− r(t′)| dt′

= µ0q

4π

∫dt′

v(t′)R(t′) δ

′(t′ − t+ R(t′)

c

).

Dabei bedeutet δ′(t′−t+R(t′)/c) die Ableitung nach ihrem Argument ξ = t′−t+R(t′)/c.Mit µ0ε0 = 1/c2 erhalten wir für das elektrische Feld

E(r, t) = q

4πε0

∫dt′

n(t′)R2(t′) δ

(t′ − t+ R(t′)

c

)+ v(t′)/c− n(t′)

cR(t′) δ′(t′ − t+ R(t′)

c

)

≈ q

4πε0

∫dt′

v(t′)/c− n(t′)cR(t′) δ′

(t′ − t+ R(t′)

c

), (11.48)

wobei der Term ∼ 1/R2 nicht zur Abstrahlung beiträgt.Felder bewegter Punktladungen Zur Ausführung der t′ - Integration in den Integ-raldarstellungen (11.48) benutzen wir

δ′(ξ) = 1κ(t′)

d

dt′δ

(t′ − t+ R(t′)

c

), ξ = t′ − t+R(t′)/c (11.49)

mit κ(t′) aus (11.42). Somit wir der Ausdruck (11.48) für das elektrische Feld im Fernfeldmit Hilfe einer partiellen Integration zu

E(r, t) ≈ −q4πε0

d

dt′

(v(t′)/c− n(t′)κ(t′)R(t′)

)(11.50)

101

im Fernfeld. Um die Differentiation nach t′ auszuführen bilden wirdndt′

= d

dt′r− r′(t′)|r− r′(t′)| = R

R2 (n · v) − vR

= 1R

((n · v)n− v

). (11.51)

Also können wir n vernachlässigen, da es wie ∼ 1/R abfällt. Weiterhin haben wir

d

dt′(κR) = d

dt′

(R− R · v

c

)= v2

c− n · v − R

c

(n · b

)mit R = |r− r(t′)| und der Beschleunigung b und

b = dvdt′

; R = 1R

R · (−v) = −n · v .

Somit finden wir den führenden Termd

dt′1

κ(t′)R(t′) ≈−1κ2R2

−Rc

(n · b

)= n · b

cκ2R(11.52)

im Fernfeld.Entwicklung der Felder nach großen Entfernungen Setzen wir (11.51), (11.52) in(11.50) ein und ordnen wir nach Potenzen von R−1, so erhalten wir

E(r, t) = q

4πε0

1c2κ3R

(n · b

(n− v

c

)− κb

)ret

+ O(R−2) . (11.53)

Die letzteren Terme sind im Hinblick auf die Ausstrahlungsbedingung (11.46) uninter-essant. Dieser Ausdruck läßt sich mit Hilfe der Identität

n×((

n− vc

)× b

)= (n · b)

(n− v

c

)− b

(n2 − v · n

c

)= (n · b)

(n− v

c

)− κb , (11.54)

umformen, wobei wir x× (y× z) = (x · z)y− (x · y)z benutzt haben.Energiestromdichte Wie Eingangs erwähnt erhalten wir die magnetische Induktionaus der Relation

B = n× Ec

, (11.55)

welche generell für den asymptotischen Bereich gilt. Wir finden dann für den Poynting-Vektor

S = E×Bµ0

= E× (n× E)µ0c

= 1µ0c

(nE2 − E(n · E)

)= n

µ0cE2 , (11.56)

da n · E = 0 im Fernfeld. Mit (11.53) und (11.54):

S = q2n16π2ε0c3κ6R2

(n×

[(n− v

c

)× b

])2. (11.57)

102

Da |S| ∼ R−2, ist die Ausstrahlungsbedingung (11.46) erfüllbar.Nur beschleunigte Ladungen strahlen Unser Ergebnis (11.57) besagt, dass nurbeschleunigte Punktladungen mit b 6= 0 strahlen.

Dass gradlinig, gleichförmig bewegte Punktladungen (b = 0) nicht strahlen, folgt ohnejede Rechnung aus dem Relativitätsprinzip: Das Ruhe-System der Punktladung ist dannein Inertialsystem, in dem das elektrische Feld das Coulomb-Feld ist und das magnetischeFeld, per Definition, verschwindet, so dass S = 0 wird.Anwendungen Unser Ergebnis (11.57) für die Strahlung beschleunigter Ladungen fürviele Phänomene und Anwendungen von Bedeutung.

• BremsstrahlungWenn ein geladenes Teilchen (z.B. Elektron) in einem äußeren Feld abgebremst wird(z.B. beim Aufprall auf ein Target), dann entsteht Bremsstrahlung. Daraus resultiertdas kontinuierliche Röntgenspektrum.

• Synchrotron-StrahlungDie Bewegung geladener Teilchen auf Kreisbahnen ist auch eine beschleunigte Bewe-gung. Die dabei entstehende Strahlung ist ein wesentliches Problem bei zyklischenTeilchenbeschleunigern (Synchrotron); ein Teil der zugeführten Energie geht durchStrahlung verloren.

• StrahlungsdämpfungIm klassischen Atommodell bewegen sich die gebundenen Elektronen auf Kreis- bzw.Ellipsenbahnen um den Atomkern. Dabei strahlen sie als beschleunigte Ladungenkontinuierlich elektromagnetische Wellen ab. Der resultierende Energieverlust führtzu instabilen Bahnen und schließlich zum Kollaps des Atoms im klassischen Modell.Dieser Widerspruch zur experimentellen Beobachtung wird erst in der Quantentheo-rie bzw. Quantenelektrodynamik (QED) aufgelöst.

103

Kapitel 12

Multipolstrahlung

12.1 Langwellen-NäherungAntennen emitieren Strahlung aufgrund zeitlich oszillierender Ströme. Wir sind nun daraninteressiert zu berechnen in welche Richtung abgestrahlt wird. Wir beschränken uns alsoauf harmonisch oszillierende Strahlungsquellen.Lorentz Eichung für oszillierende Quellen Für eine Quellen-Verteilung der Form

ρ = ρ(r) exp(−iωt); j = j(r) exp(−iωt) (12.1)

hatten wir in Abschnitt 11.4

Φ = Φ(r) exp(−iωt); A = A(r) exp(−iωt) (12.2)

gefunden, sowie (mit k = ω/c)

Φ(r) = 14πε0

∫ ρ(r′) exp(ik|r− r′|)|r− r′|

d3r′ , (12.3)

A(r) = µ0

4π

∫ j(r′) exp(ik|r− r′|)|r− r′|

d3r′ .

Bei der Diskussion von (12.3) können wir uns im Folgenden auf A(r) beschränken, da Aund Φ direkt über die Lorentz-Konvention

∇ ·A + 1c2∂Φ∂t

= 0 (12.4)

zusammenhängen. Also, zusammen mit (12.2),

Φ(r) = c2

iω∇ ·A(r) . (12.5)

Alternativ können wir für die Felder auch die Beziehungen

B = e× Ec

; E = cB× e (12.6)

104

benutzen, welche allg. für Strahlungsfelder in der Lorentz-Eichung gelten, wobei e dieAusbreitungsrichtung ist.

Langwellen - Näherung Zur weiteren Behandlung von (12.3) machen wir die Lang-wellen - Näherung

d0 λ = 2πk, (12.7)

wobei d0 den Radius einer Kugel angibt, welche die Ladungs- und Stromverteilung um-fasst.

• Für die optische Strahlung von Atomen ist

d0 ≈ 1 Å = 10−10 m; λ ≈ 5000 Å = 5 · 10−7 m

• Für die γ-Strahlung von Atomkernen:

d0 ≈ 10−15 m; λ ≈ 10−13 m .

Bei der Diskussion von (12.3) sind nun die Längen d, λ und r wesentlich.

Nahzone: d0 < r λ In der Nahzone gilt

k|r− r′| = 2πλ|r− r′| 1 , (12.8)

und wir erhalten:

Φ(r) = 14πε0

∫ ρ(r′)|r− r′|

d3r′; A(r) = µ0

4π

∫ j(r′)|r− r′|

d3r′ . (12.9)

Der Ortsanteil der Potentiale zeigt nach (12.9) die gleiche Struktur wie in Elektro- undMagnetostatik.

Angesichts der Zeitabhängigkeit (12.2) spricht man von quasistatischen Feldern,für die E,B wie R−2 abfallen, so dass die Ausstrahlungsbedingung (11.46) nicht erfülltist.

Das bedeutet nur, dass die Nahfelder nicht zur Abstrahlung beitragen, und nicht dasses keine Abstrahlung gäbe, welche durch die Fernfelder zustande kommt.

Fernzone: d0 λ r Wegen

kr = 2πrλ 1 (12.10)

können wir dann die Taylor-Reihe in (r′/r)

|r− r′| =∑n

(−)nn! (r′ · ∇)nr ≈ r − r · r′

r= r

(1− r · r′

r2

)(12.11)

105

in (12.3) benutzen:

A(r) = A0(r) + A1(r) + · · · (12.12)

= µ0

4π

∫d3r′ j(r′) exp(ikr)

rexp(−ikr · r′/r)︸ ︷︷ ︸

1− ir·r′rk

(1− r · r′

r2

)−1

︸ ︷︷ ︸1 + r·r′

r2

= µ0

4πexp(ikr)

r

∫d3r′ j(r′)

1 +

(1r− ik

)(e · r′) + · · ·

︸ ︷︷ ︸

≈

1 − iωc(e · r′)

mit k = ω/c und dem Richtungsvektor

e = rr. (12.13)

Multipole Zu beachten ist, daß für das Strahlungsfeld nur der Term ∼ O(r−1) für dasVektorpotential relevant ist. Dieser Term hat viele Beiträge mit jeweils unterschiedlichenWinkelabhängigkeiten, den sog.Multipolen. Wir analysieren nun die wichtigsten Multipoleund werden in Kapitel 13 dann die systematische Gruppierung der einzelnen Term in derForm von Multipolen diskutieren.

12.2 Elektrische Dipol-Strahlung

Inversionssymmetrie Zum ersten Term in (12.12)

A0(r) = µ0

4πexp(ikr)

r

∫d3r′ j(r′) (12.14)

trägt nur die Komponente des Stromes bei, welche inversionssymmetrisch ist.

js(r′) = 12(j(r′) + j(−r′)

); ja(r′) = 1

2(j(r′)− j(−r′)

),

mitjs(r′) = js(−r′); ja(r′) = −ja(−r′) . (12.15)

Zum Integral in (12.14) trägt nur der inversionssymmetrische Anteil js der Stromverteilungbei.

Elektrisches Dipolmoment Analog zu der Diskussion im Abschnitt 5.4 fomen nun(12.14) um. Allerdings ist gilt nun ∇ · j = −ρ 6= 0.∫

Vji d

3r′ =∫V∇′ · (x′i j) d3r′ −

∫Vx′i (∇′ · j) d3r′ (12.16)

=∫Fx′i (j · df ′)−

∫Vx′i (−ρ) d3r′ = −iω

∫Vx′i ρ(r′) d3r′ ,

106

Da die Ladungs- und Stromverteilung räumlich begrenzt sind sowie unter Ausnutzung derKontinuitätsgleichung

∇ · j− iωρ = 0 . (12.17)

Mit der Definitiond =

∫V

r ρ(r) d3r

für das elektrische Dipolmoment wird A0(r) dann zu

A0(r) = −iω µ0

4πexp(ikr)

rd , (12.18)

der Strahlung welche durch einen oszillierenden elektrischen Dipol erzeugt wird.

Felder der elektrischen Dipolstrahlung Für die Felder folgt mit

∇× exp(ikr) d = ik exp(ikr) rr× d = i

ω

cexp(ikr) e× d ,

undB0(r) = ∇×A0 = µ0

4πc ω2 exp(ikr)

r(e× d) , (12.19)

wobei wir uns auf die Terme ∼ r−1 beschränkt haben.

Energiestromdichte Das entsprechende elektrische Feld für die elektrische Dipolstrah-lung (12.19) folgt aus (12.6),

E0(r) = c (B0 × e) . (12.20)

Damit können wir nun die Energiestromdichte

S = E×Bµ0

= c

µ0(B0 × e)×B0 = c

µ0

(eB2

0 −B0(B0 · e))

= c

µ0eB2

0

berechnen (vergl. (11.56)), wobei wir benutzt haben dass B0 ·e = 0 im Strahlungsfeld ist.Wir benutzen die Realteile von (12.19) und (12.20) und finden mit (12.2)

S0 = µ0

16π2cω4d2 sin2 θ

cos2(kr − ωt)r2 e, (12.21)

wobei θ der von e und d eingeschlossene Winkel ist. Für den zeitlichen Mittelwert folgt:

S0 = µ0

16π2cω4d2 sin2 θ

2r2 e . (12.22)

Der Dipol strahlt also nicht in Richtung von d (θ = 0), sondern maximal senkrecht zu d(θ = 900). Die sin2 θ - Abhängigkeit ist charakteristisch für Dipolstrahlung.

107

Bemerkungen

• Charakteristisch für Strahlungsfelder ist ihre Eigenschaft, dass E, B und S einorthogonales Dreibein bilden (vgl. Abschnitt 9.3).

• Ein (mit der Frequenz ω) oszillierender Dipol ist nur durch beschleunigte Punktla-dungen realisierbar. (12.22) ist also konform mit der allgemeinen Aussage (11.57).

• Die Strahlung niedrigster Multipolarität ist Dipol-Strahlung (l=1), nicht Monopol-Strahlung (l=0)! In der Quantentheorie wird gezeigt, wie die Multipolarität derStrahlung und der Drehimpuls der Photonen zusammenhängen. Da Photonen einenEigendrehimpuls haben (Spin 1), gibt es keine drehimpuls-freie Strahlung, d.h.Monopol-Strahlung. Der Spin der Photonen ist direkt mit der Tatsache verknüpft,dass Strahlungsfelder Vektor-Felder sind.

12.3 Magnetische Dipol-StrahlungDer 2. Term der Entwicklung (12.12) lautet

A1(r) = −iω µ0

4πcexp(ikr)

r

∫j(r′)(e · r′) d3r′; e = r

r. (12.23)

In diesem Fall trägt nur der antisymmetrische Anteil ja(r′) = (j(r′) − j(−r′))/2 derStromverteilung, siehe (12.15), bei.Magnetisches Dipolmoment vs. elektrisches Quadrupolmoment Das verblei-bende Integral in (12.23) ist durch das magnetische Dipolmoment und den elektrischen

108

Quadrupoltensor bestimmt. Diese Namensgebung wird sich in Kapitel 13 klären, wennwir die systematische Entwicklung des Fernfeldes nach Kugelfunktionen diskutieren.

An dieser Stelle benutzen wir die Identität,

(e · r′) j = 12(r′ × j)× e + 1

2

(e · r′) j + (e · j) r′, (12.24)

und stellen fest, daß sich die Integranden in (12.23) bei einer formellen Vertauschungr′ ↔ j(r′) in einen antisymmetrischen und symmetrischen Anteil aufteilen.Magnetischer Dipol Mit der Definition

m = 12

∫V

(r× j) dV

(4.39) des magnetischen Dipolmoments wird der antisymmetrische Anteil zu

A(m)1 (r) = −iω µ0

4πcexp(ikr)

r(m× e) . (12.25)

Der magnetische Dipol-Anteil des Vektorpotentials geht formal in den elektrischen Dipol-Anteil (12.18) über, wenn man

1c

(m× e) → d (12.26)

ersetzt. Damit kann man aus (12.19) und (12.20) für die Feldstärken sofort ablesen,

B(m)1 (r) = µ0

4πc2ω2 exp(ikr)

r

(e× (m× e)

)(12.27)

undE(m)

1 (r) = c (B(m)1 × e) . (12.28)

Abstrahlung und Vergleich Analog zu (12.22) findet man für die im Zeitmittel abge-strahlte Energie

S(m)1 = µ0

16π2c3ω4m2 sin2 θ

2r2 e , (12.29)

wobei θ der Winkel zwischen m und e ist.

• Der Vergleich von (12.29) und (12.22) zeigt, dass sich elektrische und magnetischeDipol-Strahlung in ihrer Frequenz- und Winkelabhängigkeit nicht unterscheiden.

• Der einzige Unterschied zwischen elektrischer und magnetischer Dipol-Strahlungliegt in der Polarisation:

– Für einen elektrischen Dipol liegt der Vektor des elektrischen Feldes

E || (e× d)× e = e2 d − (e · d) e

in der von e und d aufgespannten Ebene.

109

– Für einen magnetischen Dipol liegt der Vektor des elektrischen Feldes

E ||(e× (m× e)

)× e =

(e2 m − (e ·m) e

)× e = m× e

senkrecht zu der von e und m aufgespannten Ebene.

• Die elektrische Dipolstrahlung wird durch oszillierende inversionssymmetrische Strö-me hervorgerufen, die magnetische Dipolstrahlung typischerweise durch oszillierendeKreisströme.

j js a

Elektrische Quadrupol-Strahlung Der 2. Term in (12.24) hat die Form

A(e)1 (r) = −iω µ0

4πcexp(ikr)

2r

∫ j(e · r′) + r′(e · j)

d3r′ . (12.30)

Ohne auf die Einzelheiten einzugehen bemerken wir, dass sich (12.30) wie folgt umschrei-ben läßt:

A(e)1 (r) = − µ0

4πc ω2 exp(ikr)

2r

∫(e · r′) r′ρ(r′) d3r′ . (12.31)

Dieses Integral hat die Form von Quadrupolmomenten, vgl. (1.26)), d.h. der Integrand istproportional zur Ladungsdichte und quadratisch in den Ortskoordinaten. Für die Syste-matik verweisen wir auf Kapitel 13.

Anwendung in der Atom- und Kernphysik Atome und Kerne können unter Emissi-on bzw. Absorption von elektromagnetischer Strahlung ihren Zustand ändern. Die Multi-polentwicklung ist die für diese Situation passende Beschreibung des elektromagnetischenFeldes. In der Atomphysik dominiert in der Regel die elektrische Dipolstrahlung:

• Die Energieflüsse der elektrischen Dipolstrahlung S0, siehe (12.22), und der magne-tischen Dipolstrahlung S(m)

1 skalieren wie

S0 ∼ ω4 d2

c; S(m)

1 ∼ ω4 m2

c3 .

Da das magnetische Dipolmoment m durch bewegte Ladungen bewirkt wird, ist so-mit die Abstrahlung der magnetischen Dipolstrahlung um den Faktor (v/c)2 kleinerals die Abstrahlung der elektrischen Dipolstrahlung.

110

• Berechnet man den Energiefluss S(e)1 der elektrischen Quadrupolstrahlung so findet

man im VergleichS0 ∼

ω4d2

c; S(e)

1 ∼ ω6Q2

c3 ,

wobei das elektrische Dipolmoment linear zu den atomaren Abmessungen d0 ist, daselektrische Quadrupolmoment dagegen ∼ d2

0. Somit ist

S(e)1

S0∼ ω2d2

0c2 = k2d2

0 = (2π)2(d0

λ

)2

1 .

Die Verhältnisse sind in der Kernphysik komplizierter. Eine genaue Diskussion ist hiernur im Rahmen der Quantentheorie möglich.

111

Kapitel 13

Systematik der Multipolentwicklung

13.1 Eigenschaften der KugelfunktionenWir wollen ein vollständiges Funktionensystem in den Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ), mit

r = (r cosϕ sinϑ, r sinϕ sinϑ, r cosϑ) (13.1)

entwickeln. Dieses Funktionensystem, die Kugelfunktionen, ist für viele Problemstellungenvon essentieller Bedeutung, wie z.B. für

• die systematische Entwicklung des elektromagnetischen Fernfelds;

• die Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms in der Quantenmechanik;

• die Formulierung von Streuprozessen in der Kern- und Teilchenphysik;

und vieles mehr.

Kugelflächenfunktionen Die Lösungen von Differentialoperatoren bilden i.Allg. einvollständiges Funktionensystem. Warum dieses so ist wird in der Quantenmechanik näherbesprochen werden.

Wir betrachten Ansätze ψ(r, θ, ϕ) der Form

ψ(l) ∼ 1rl+1 Ylm(ϑ, ϕ); ψ(l+1) ∼ rl Ylm(ϑ, ϕ) l = 0, 1 . . . , (13.2)

wobei sich die Ylm(ϑ, ϕ) als die Kugelflächenfunktionen herausstellen werden.

• Mit den ψ(l) lassen sich die Fernfelder beschreiben und entwickeln.

• Mit den ψ(l+1) lassen sich Funktionen, welche im Ursprung regulär sind, nach Ku-gelfunktionen entwickeln.

Die Lösungsansätze (13.2) sollen die Laplace-Gleichung ∆ψ = 0 erfüllen,

∆( 1rl+1 Ylm(ϑ, ϕ)

)= 0; ∆

(rl Ylm(ϑ, ϕ)

)= 0 . (13.3)

112

Laplace-Operator Der Laplace-Operator hat in Kugelkoordinaten die Form

∆ = ∂2

∂r2 + 2r

∂

∂r︸ ︷︷ ︸= ∆r

+ 1r2 sinϑ

∂

∂ϑ

(sinϑ ∂

∂ϑ

)+ 1r2 sin2 ϑ

∂2

∂ϕ2︸ ︷︷ ︸= ∆θ,ϕ

, (13.4)

wobei ∆r und ∆θ,ϕ den radialen und den Winkel-abhängigen Anteil des Laplace Operatorsbezeichnen. Führt man die r-Differentiationen in (13.2) aus, siehe unten, so bleibt inbeiden Fällen

1sinϑ

∂

∂ϑ

(sinϑ ∂

∂ϑ

)+ 1

sin2 ϑ

∂2

∂ϕ2 + l(l + 1)Ylm(ϑ, ϕ) = 0 ; (13.5)

dieses ist der Grund für die Wahl der r-Abhängigkeiten in (13.2). Mit (13.4) kann man(13.5) auch als

∆θ,ϕ Ylm(ϑ, ϕ) = − l(l + 1)r2 Ylm(ϑ, ϕ) . (13.6)

schreiben.Radialer Laplace-Operator Wie holen die radiale Differentiation nach:

∆r rl =

[∂2

∂r2 + 2r

∂

∂r

]rl =

[l(l − 1) + 2l

]rl−2 = l(l + 1) rl−2

und

∆r r−l−1 =

[∂2

∂r2 + 2r

∂

∂r

]r−l−1 =

[(l + 1)(l + 2)− 2(l + 1)

]r−l−3 = (l + 1)l r−l−3

Seperation des Azimutwinkels Mit dem Separationsansatz

Ylm(ϑ, ϕ) = exp(imϕ)Flm(ϑ) (13.7)

für die Kugelflächenfunktionen (sphärisch Harmonischen) Ylm(ϑ, ϕ) reduziert sich (13.5)auf

1sinϑ

∂

∂ϑ

(sinϑ ∂

∂ϑ

)− m2

sin2 ϑ+ l(l + 1)

Flm = 0 . (13.8)

Der Index m in (13.7) muss ganzzahlig sein, da ϕ eine eineindeutige Funktion ist

ϕ(r, ϑ, ϕ) = ϕ(r, ϑ, ϕ+ 2π) → m = 0, ±1, ±2, . . . . (13.9)

Die erlaubten Werte für m werden wir noch bestimmen.Lösung via Rekursion Zur Lösung von Gleichung (13.8) führen wir

ξ = cosϑ; 1sinϑ

d

dϑ= − d

dξ(13.10)

113

ein, so dass (13.8) in

d

dξ

((1− ξ2) d

dξ

)− m2

1− ξ2 + l(l + 1)Flm = 0 . (13.11)

übergeht.

• Für l = m kann man die Lösung (bis auf einen Normierungsfaktor) sofort angeben,

Fll ∝ (1− ξ2)l/2 = (sinϑ)l , (13.12)

denn dann gilt

d

dξ

((1− ξ2) d

dξ

)(1− ξ2)l/2 = l

2d

dξ(1− ξ2)l/2(−2ξ)

= l2(1− ξ2)l/2

1− ξ2

(ξ2 − 1 + 1

)− l(1− ξ2)l/2

=[(−l2 − l) + l2

1− ξ2

](1− ξ2)l/2

und (13.11) ist erfüllt.

• Die Lösungen zu m 6= l erhält man dann rekursiv (bis auf einen Normierungsfaktor)aus

Flm−1 =(− d

dϑ− m cotϑ

)Flm . (13.13)

Der Beweis (durch Einsetzen von (13.13) in (13.8)) ist ebenso elementar wie lang-wierig. Damit sind die Flm Polynome in cosϑ und sinϑ der Ordnung l sind, dadie Differentiation nach ϑ und Multiplikation mit cotϑ die Ordnung von Fll nichtändern.

• Man kann mit analogen Methoden zeigen, daß Flm für alle m-Werte mit |m| > lverschwindet. Also folgt

−l ≤ m ≤ l .

114

Einige Kugelfunktionen niedriger Ordnung Zur Illustration führen wir die erstenKugelfunktionen explizit auf,

Y00 = 1√4π

Y11 = −√

38π sinϑ eiϕ

Y10 =√

34π cosϑ

Y22 = 14

√152π sin2 ϑ e2iϕ

Y21 = −√

158π sinϑ cosϑ eiϕ

Y20 =√

54π

(32 cos2 ϑ− 1

2

)

(13.14)

mit Yl−m(ϑ, ϕ) = (−)mY ∗lm(ϑ, ϕ).

Skalarprodukt Eine wichtige Eigenschaft der Kugelfunktionen ist die Orthogonalität.Um sie zu formulieren müssen wir ein Skalarprodukt definieren.

Wir betrachten zwei quadrat-integrable Funktionen fn(x) und fm(x) auf dem Intervall[a, b]. Wir definieren dann durch

(fm, fn) =∫ b

af ∗m(x)fn(x) dx (13.15)

das Skalarprodukt (fn, fm). Als Norm von fn wird

(fn, fn) =∫ b

a|fn(x)|2 dx ≥ 0 (13.16)

wie üblich definiert. Das Skalarprodukt im Raum der quadrat-integrablen Funktionen hatdieselben Eigenschaften wie das Skalarprodukt in Vektoräumen mit endlichen Dimensio-nen.

• LinearitätDas Skalarprodukt ist linear im zweiten Argument und anti-linear im ersten Argu-ment,

(f1 + λf2, g) = (f1, g) + λ∗(f2, g); (f, g1 + λg2) = (f, g1) + λ(f, g2) .

• OrthogonalitätMan nennt 2 Funktionen f(x) und g(x) orthogonal wenn

(f, y) = 0 . (13.17)

Hilberträume Ein Funktionenraum mit einem Skalarprodukt nennt man auch einenHilbertraum. Mehr hierzu in der Quantenmechanik.

115

• AbgeschlossenheitEin Hilbertraum ist abgeschlossen. Wenn zwei Funktionen f(x) und g(x) Elementedes Hilbertraumes sind, dann auch jede Linearkombination

λ1 f(x) + λ2 g(x) .

• Null-ElementDie Norm einer Funktion f(x)

(f, f) = 0 ⇔ f(x) ≡ 0

verschwindet dann und nur dann wenn die Funktion selber verschwindet. JederHilbertraum hat ein Null-Element.

• OrthonormalsystemEine Menge von Funktionen fn(x) bilden ein vollständiges Orthonormalsystem wenn

(fn, fm) = δnm

gilt und wenn jede Funktion f(x) als Linearkombination

f(x) =∑n

cnfn(x) (13.18)

der Basisfunktionen fn(x) dargestellt werden kann. Dabei nennt man die cn dieEntwicklungskoeffizienten. Diese sind durch

(fm, f) =∑n

cn(fm, fn) =∑n

cnδmn = cm (13.19)

bestimmt.

Orthogonalität der Kugelfunktionen Die Kugelfunktionen sind auf der Einheitskugelorthonormiert,

(Ylm, Yl′m′) ≡∫ 2π

0dϕ∫ π

0sinϑ dϑY ∗lm(θ, ϕ)Yl′m′(θ, ϕ) = δll′δmm′ . (13.20)

Wegen ∫ 2π

0dϕ exp(i(m−m′)ϕ) =

2π für m = m′

0 für m 6= m′(13.21)

ist die Orthogonalität bzgl. m sofort klar. Die normierten Funktionen auf dem Einheits-kreis sind enstprechend

1√2π

exp(imϕ) . (13.22)

Unter Zuhilfenahme der Bestimmungsgleichung (13.11) für die Flm(ϑ) kann man leichtderen Orthogonalität bzg. θ nachweisen. Wir verzichten hier auf den expliziten Nach-weis. Damit sind dann die Kugelfunktionen Ylm(ϑ, ϕ) = exp(imϕ)Flm(ϑ), siehe (13.7)vollständig normiert.

116

Entwicklung nach Kugelfunktionen Die Kugelfunktionen sind auf der Einheitskugelvollständig, d.h. jede Funktion

f(~r, r = 1) = f(r = 1, ϑ, ϕ) = g(ϑ, ϕ) . (13.23)

lässt sich nach Kugelfunktionen entwickeln. Analog zu (13.18) und (13.19) gilt daher dieDarstellung

g(ϑ, ϕ) =∞∑l=0

l∑m=−l

alm Ylm(ϑ, ϕ) , (13.24)

mit den Entwicklungskoeffizienten alm

alm =∫dΩY ∗lm(ϑ, ϕ) g(ϑ, ϕ) ≡ (Ylm, g) . (13.25)

In (13.24) haben wir verwendent, daß l = 0, 1, . . . ist, siehe (13.2).Wir bemerken noch, dass ~2l(l + 1) in der Quantenmechanik dem Quadrat des Ge-

samtdrehimpulses entspricht und ~m dem Drehimpuls für Rotationen um die z-Achse.Allgemeine Lösung der Laplace-Gleichung Die allgemeine Lösung der Laplace-Gleichung

∆ψ(r, ϑ, ϕ) = 0 (13.26)können wir daher in sphärischen Koordinaten durch eine Reihenentwicklung in Kugel-funktionen darstellen

ψ(r, ϑ, ϕ) =∞∑l=0

l∑m=−l

[alm r

l + blm r−l−1

]Ylm(ϑ, ϕ) . (13.27)

13.2 Legendre PolynomeDie Legendre Polynome bilden ein wichtiges Basissystem auf dem Intervall x ∈ [−1, 1].Es gibt viele Darstellungsmöglichkeiten für die Legendre Polynome, hier interessieren wiruns für den Zusammenhang mit den Kugelfunktionen. Dafür betrachten wir die Variabel-transformation

x = cos θ; dx = − sin θ dθ ,∫ 1

−1. . . dx =

∫ π

0. . . sin θ dθ ,

mit θ ∈ [0, π].Legendre- und Kugelfunktionen Wir betrachten nun Funktionen g(ϑ, ϕ) auf derEinheitssphäre, welche nicht vom Azimutwinkel ϕ abhängen,

g(ϑ, ϕ) ≡ g(ϑ) .

Dieses ist für die Kugelflächenfunktionen Ylm für m = 0 der Fall. Wir definieren mit

Yl0(ϑ, ϕ) =√

2l + 14π Pl(cosϑ) . (13.28)

117

die Legendre Polynome Pl(cosϑ). Diese sind nicht auf eins normiert, es gilt∫ π

0sin θ dθPl(cosϑ)Pl′(cosϑ) = 2

2l + 1 δll′ , (13.29)

was sofort aus der Orthonormalität (Ylm, Yl′m′) = δll′δmm′ der Kugelfunktionen folgt. Eineallgemeine Funktion g(ϑ) läßt sich daher in Legendre Polynome entwickeln,

g(ϑ) =∞∑l=0

√2l + 1

4π al0Pl(cos θ) (13.30)

mit den Entwicklungskoeffizienten

al0 =√

2l + 14π

∫dΩPl(cosϑ) g(ϑ, ϕ) . (13.31)

Einige Legendre-Polynome niedriger Ordnung Mit x = cos θ haben die erstenLegendre-Polynome die folgende Gestalt:

P0(x) = 1Pl(x) = x

P2(x) =(3x2 − 1

)/2

P3(x) =(5x3 − 3x

)/2

(13.32)

Diese Polynome kann man sich in niedrigster Ordnung schnell selber rekursiv ausrechen.Man geht von P0(x) = 1 aus und verwendet die Orthonormierung (13.29) um P1(x) zubestimmen, usw.

Entwicklung von 1/r nach Legendre Polynomen Wir betrachten nun die Entwick-lung von

1|r− r′|

= 1√r2 + (r′)2 − 2 r · r′

; r′

r 1 , (13.33)

nach Potenzen von r′/r, welche die Grundlage für die Multipolentwicklung darstellt. Wirverwenden Kugelkoordinaten

x = r sinϑ cosϕ y = r sinϑ sinϕ z = r cosϑx = r′ sinϑ′ cosϕ′ y′ = r′ sinϑ′ sinϕ′ z′ = r′ cosϑ′ (13.34)

und legen den Beobachtungspunkt r auf die z-Achse,

r = (0, 0, r); r · r′ = rr′ cos θ′ .

Damit wird (13.33) zu

1|r− r′|

= 1r

(1 + ε)−1/2; ε = r′

r

(r′

r− 2 cos θ′

). (13.35)

118

Wir betrachten nun die Terme niedrigster Ordnung,

1|r− r′|

= 1r

(1− 1

2ε+ 38ε

2 − 516ε

3 + . . .)

= 1r

1 − 12r′

r

(r′

r− 2 cos θ′

)+ 3

8

(r′

r

)2 (r′

r− 2 cos θ′

)2

+ 516

(r′

r

)3 (r′

r− 2 cos θ′

)3

. . .

und ordnen nach Potenzen von r′/r:

1|r− r′|

= 1r

1 + r′

rcos θ′ +

(r′

r

)2 3 cos2 θ′ − 12 (13.36)

+(r′

r

)3 5 cos3 θ′ − 3 cos θ′2 + . . .

≡ 1

r

P0(cos θ′) + r′

rP1(cos θ′) +

(r′

r

)2

P2(cos θ′) + . . .

,

wie ein Vergleich mit (13.32) zeigt. Damit finden wir mit

1|r− r′|

= 1r

∞∑n=0

(r′

r

)nPn(cos γ)) (13.37)

die Entwicklung des Coulomb-Potentials nach Legendre Polynomen Pn(x), wobei nun allg.γ der Winkel zwischen r und r′ ist, also

cos(γ) = r · r′

r r′= cos θ cos θ′ + sin θ sin θ′(cosϕ cosϕ′ + sinϕ sinϕ′)

= cos θ cos θ′ + sin θ sin θ′ cos(ϕ− ϕ′) , (13.38)

siehe (13.34).Additionstheorem Aus (13.38) folgt, dass man die Legendre Polynome Pl(cos γ) nachKugelfunktionen in (θ, ϕ) und (θ′, ϕ′) entwickeln kann. Das wichige Additionstheorem

Pl(cos γ) = 4π2l + 1

l∑m=−l

Y ∗lm(θ′, ϕ′)Ylm(θ, ϕ) (13.39)

wollen wir an dieser Stelle nicht beweisen. Wir merken nur an, dass der Beweis darübererfolgt, dass man Pl(cos γ) zunächst als Funktion von (θ, ϕ) ansieht und in Ylm(θ, ϕ)entwickelt und dann zeigt, dass die Koeffizienten dieser Entwicklung proportional zu denY ∗lm(θ′, ϕ′) sind.

119

13.3 Multipolentwicklung statischer FelderWir können nun unsere Kenntnisse der Kugelfunktionen und der Entwicklung (13.37)benutzen um in einem ersten Schritt die Entwicklung elektrostatischer Felder, wie wir sieschon in Abschnitt 1.4 in niedrigster Ordnung betrachtet haben, zu systematisieren.Entwicklung des elektrischen Potentials Für eine lokalisierte Ladungsverteilungρ(r) können wir das Potential

Φ(r) = 14πε0

∫ ρ(r′)|r− r′|

d3r′ (13.40)

mit Hilfe der Multipolentwicklung (13.37) des Coulomb Potentials und des Additionstheo-rems (13.39) nach Legendre Polynomen entwickeln,

Φ(r) = 14πε0

∫d3r′ρ(r′) 1

r

∞∑l=0

(r′

r

)lPl(cos γ))

= 14πε0

∫d3r′ρ(r′) 1

r

∞∑l=0

(r′

r

)l 4π2l + 1

l∑m=−l

Y ∗lm(θ′, ϕ′)Ylm(θ, ϕ)

≡ 1ε0

∞∑l=0

1rl+1

12l + 1

l∑m=−l

qlmYlm(ϑ, ϕ) , (13.41)

mit den Entwicklungskoeffizienten

qlm =∫d3r′ ρ(r′) (r′)l Y ∗lm(ϑ′, ϕ′) . (13.42)

Die Entwicklung (13.41) ist mit (13.42) die Multipolentwicklung des elektrostatischenPotentials einer lokalisierten Ladungsverteilung.

• Der Index l ≥ 0 klassifiziert das asymptotische Verhalten der einzelnen Terme inder Taylor-Reihe für große Abstände r.

• Der Index m numeriert die Komponenten der Multipolmomente zu festem l. Zujedem l treten 2(l + 1) Werte −l,−l + 1, ...., l − 1, l von m auf.

• Es giltYl−m(ϑ, ϕ) = (−)mY ∗lm(ϑ, ϕ) . (13.43)

Die in (13.41) auftretende Kombination

Ylm(ϑ, ϕ) Y ∗lm(ϑ′, ϕ′) + Yl−m(ϑ, ϕ) Y ∗l−m(ϑ′, ϕ′)

ist somit reell und bzgl. (ϑ, ϕ) und (ϑ′, ϕ′) symmetrisch.

Entwicklungskoeffizienten Die niedrigsten Entwicklungskoeffizienten qlm für die Mul-tipolentsicklung des Potentials lauten, siehe (13.42) und (13.14),

120

l = 0 :

q00 =√

14π Q

mitQ =

∫ρ(r′) d3r′ (13.44)

als der Gesamtladung.

l = 1 :

q11 = −√

38π

∫d3r′ ρ(r′)(x′ − iy′) = −

√3

8π (dx − idy);

q10 =√

34π

∫d3r′ ρ(r′)z′ =

√3

4π dz,

wobei dx, dy, dz die Komponenten des Dipolmoments d sind.

l = 2 :

q22 =√

1532π

∫d3r′ ρ(r′)(x′ − iy′)2 = 1

3

√15

32π (Q11 −Q22 − 2iQ12) ;

q21 = −√

158π

∫d3r′ ρ(r′)z′(x′ − iy′) = −1

3

√158π (Q13 − iQ23) ;

q20 = 32

√5

4π

∫d3r′ ρ(r′)(z′2 − r′2

3 ) = 12

√5

4πQ33 ,

mit den Komponenten des Quadrupoltensors Qij, i, j = 1, 2, 3.Ein Vergleich mit Kapitel 1.4 zeigt, dass wir mit diesen Ergebnissen die Multipol-

entwicklung des elektrostatischen Potentials damit auf systematische Weise reproduzierthaben.

13.4 Multipolentwicklung des StrahlungsfeldesWir betrachten zeitlich periodische Felder A(r, t) = exp(iωt)A(r) und die Wellengleichungim quellenfreien Raum,

∆A(r, t)− 1c2∂2

∂t2A(r, t) = 0; ∆A(r) + k2A(r) = 0 , (13.45)

mit der Dispersionsrelation des Lichtes ω = ck. In Abschnitt 9.2 haben wir mit den ebenenWellen ein vollständiges Funktionensystem beschrieben, welches (13.45) löst.Kugelwellen im freien Raum Außer den ebenen Wellen besitzt die Wellengleichung(13.45) auch Kugelwellen als Lösungen. Wir machen den Ansatz

A(r) = almgl(r)r

Ylm(ϑ, ϕ) , (13.46)

121

wobei alm ein Koeffizienten-Vektor ist und die radialen Funktionen gl(r) noch zu bestim-men sind. Mit (13.4) und (13.6)

∆ = ∆r + ∆θ,ϕ; ∆θ,ϕ Ylm(ϑ, ϕ) = − l(l + 1)r2 Ylm(ϑ, ϕ)

geht (13.45) mit (13.46) in

−k2 gl(r)r

Ylm(ϑ, ϕ) = (∆r + ∆θ,ϕ) gl(r)r

Ylm(ϑ, ϕ)

=(

∆rgl(r)r

)Ylm(ϑ, ϕ) + gl(r)

r∆θ,ϕYlm(ϑ, ϕ)

=(

∆rgl(r)r

)Ylm(ϑ, ϕ) − gl(r)

r

l(l + 1)r2 Ylm(ϑ, ϕ)

über. Der erste Term auf der rechten Seite formen wir zu

∆rglr

=(d2

dr2 + 2r

d

dr

)glr

= d

dr

(g′lr− glr2

)+ 2r

(g′lr− glr2

)= 1

rg′′l

um. Damit finden wir mit

d2

dr2 + k2 − l(l + 1)r2

gl(r) = 0 (13.47)

die Laplace Gleichung für den Radialanteil einer Kugelwelle.

Othonormale Funktionensysteme Für l = 0 sind die Lösungen g0(r) von (13.47)sofort ersichtlich,

g0(r) ∝ sin(kr); g0(r) ∝ cos(kr); g0(r) ∝ exp(±ikr) . (13.48)

Aus diesen drei Ansätzen kann man rekursiv die gl(r) konstruieren und so drei Funktio-nensysteme gewinnen. Dafür verwendet man meist die dimensionslose Variable ρ = kr.

g0(ρ) (−)lgl(ρ)/ρ Symbol

sin ρ sphärische Bessel-Funktionen jl(ρ)

− cos ρ sphärische Neumann-Funktionen nl(ρ)

exp(±iρ) sphärische Hankel-Funktionen h±l (ρ)

122

Die sphärischen Bessel- und Neumann-Fuktionen sind Lösungen von (13.45) bei endlichenVolumina und entsprechenden Randbedingungen.Allgemeine Lösung Die allgemeine Lösung der Wellengleichung (13.45) für Kugelwellenim freien Raum kann nun als

A(r) =∑l,m

almh+

l (ρ) + blmh−l (ρ)Ylm(ϑ, ϕ) (13.49)

geschrieben werden. Für Abstrahlungsprobleme ist blm = 0, da h−l eine einlaufende Kugel-welle beschreibt. Die Koeffizienten alm der auslaufenden Kugelwelle h+

l werden bestimmtaus den Multipolmomenten durch Vergleich von (13.49) und (12.12) für ρ = kr 1.Entwicklung einer ebenen Welle nach Kugelfunktionen Die Funktionen

h±l (ρ)Ylm(ϑ, ϕ)

bilden wie die ebenen Wellen exp(ik · r) eine vollständige Basis. Welche Basis man wählt,hängt von der Problemstellung ab.

Da beide Funktionensysteme vollständig sind, lassen sich ebene Wellen nach Kugel-funktionen entwickeln. Der Einfachheit halber wählen wir k = (0, 0, k), dann tritt in

exp(ik · r) = exp(ikz) = exp(ikr cosϑ) (13.50)

der Winkel ϕ nicht mehr auf und die Entwicklung hat die Form

exp(ikz) =∑l

al jl(kr)Yl0(ϑ) , (13.51)

wobei die jl die sphärischen Bessel-Funktionen sind. Die Koeffizienten lauten

al = il(2l + 1)√

4π2l + 1 .

Die Beziehung (13.51) ist von zentraler Bedeutung für die Formulierung von Streuex-perimenten in der Atom-, der Kern- und der Teilchenphysik. Eine ebene Welle (Licht,Elektron, Teilchen) streut an einer lokalisierten Ladungs-/Masseverteilung, welche durchihre Multipolmomente beschrieben wird.

123

124

Teil VI

Das elektromagnetische Feld inMaterie

125

Kapitel 14

Makroskopische Felder

Im Prinzip erlauben die Maxwell-Gleichungen von Teil III das elektromagnetische Feldbeliebiger Materieanordnungen zu berechnen, sobald die Ladungsdichte ρ(r, t) und dieStromdichte j(r, t) exakt bekannt sind. In einer solchen mikroskopischen Theorie wirddie gesamte Materie in dem betrachteten Raumbereich in Punktladungen (Elektronenund Atomkerne) zerlegt, deren Bewegungszustand dann Ladungsdichte ρ(r, t) und Strom-dichte j(r, t) definiert. Für Materieanordnungen von makroskopischen Dimensionen (z.B.Kondensator mit Dielektrikum oder stromdurchflossene Spule mit Eisenkern) ist eine mi-kroskopische Rechnung in der Praxis weder durchführbar noch erstrebenswert, da experi-mentell doch nur räumliche und zeitliche Mittelwerte der Felder kontrollierbar sind. Wirwerden uns daher im Folgenden mit raum-zeitlichen Mittelwerten befassen.

14.1 Makroskopische MittelwerteIntegrale der Form

〈 f(r, t) 〉 = 1∆V∆T

∫d3ξdτ f(r + ~ξ, t+ τ) (14.1)

sind makroskopische Mittelwerte, wobei

• ∆V das Volumen und ∆T das Zeitintervall angibt, über das gemittelt wird,

• f für die Ladungs- oder Stromdichte und die Komponenten der Feldstärken steht.

Wir wollen im Folgenden Zusammenhänge zwischen den Mittelwerten (14.1) für Ladungs-und Stromdichte einerseits und den Feldern andererseits herstellen. Ausgangspunkt sinddie mikroskopischen Maxwell-Gleichungen.Mikroskopische Maxwell-Gleichungen Homogene Gleichungen

∇ ·B = 0; ∇× E + ∂B∂t

= 0 (14.2)

126

Inhomogene Gleichungen

∇ · E = ρ

ε0; ∇×B − ε0µ0

∂E∂t

= µ0j . (14.3)

Makroskopische Felder Wenn wir annehmen, dass in (14.1) Differentiationen nach rund t unter dem Integral ausgeführt werden dürfen,

∂

∂t〈f〉 =

⟨∂f

∂t

⟩; ∂

∂x〈f〉 =

⟨∂f

∂x

⟩; etc., (14.4)

so erhalten wir aus (14.2) und (14.3) folgende Gleichungen für die Mittelwerte:

∇ · 〈B 〉 = 0; ∇× 〈E 〉 + ∂〈B 〉∂t

= 0 (14.5)

und∇ · 〈E 〉 = 〈ρ〉

ε0; ∇× 〈B 〉 − ε0µ0

∂〈E 〉∂t

= µ0〈 j 〉 . (14.6)

Die homogenen Gleichungen (14.5) bleiben beim Übergang von den mikroskopischen Fel-dern E,B zu den makroskopischen Feldern

~E ≡ 〈E 〉; ~B ≡ 〈B 〉 (14.7)

erhalten. In den inhomogenen Gleichungen (14.6) müssen wir nun 〈ρ〉 und 〈j〉 geeignetaufteilen, die eigentliche Herausvorderung.

14.2 Freie und gebundene LadungsträgerWir befassen uns zunächst in (14.6) mit dem Zusammenhang zwischen dem makroskopi-schem elektrsichem Feld ~E und seinen Quellen. Dazu zerlegen wir die gemittelte Ladungs-dichte,

〈ρ〉 = ρb + ρf , (14.8)wobei ρb die im Sinne von (14.1) gemittelte Dichte der gebundenen Ladungsträger (b stehtfür ‘bound’) darstellt, ρf die gemittelte Dichte der freien Ladungsträger (f steht für ‘free’).

• Gebundene Ladungsträger, ρb, sind z.B. die Gitterbausteine eines Ionen-Kristalls(wie NaCl mit den Gitterbausteinen Na+ und Cl−) oder die Elektronen von Ato-men und Molekülen. Gebunden bedeutet dabei nicht, dass die Ladungsträger totalunbeweglich sind, sondern nur, dass sie durch starke rücktreibende Kräfte an be-stimmte Gleichgewichtslagen gebunden sind, um die herum kleine Schwingungenmöglich sind.

• Frei bewegliche Ladungsträger, ρf , sind z.B. Leitungselektronen in Metallen, Ionenin Gasen oder Elektrolyten. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie unter dem Einflußeines äußeren Feldes einen makroskopischen Strom bilden.

127

Polarisations-Ladungen Die Dichte der freien Ladungsträger, ρf , ist eine im Expe-riment direkt kontrollierbare Größe. Z.B. können die Ladungen auf den Platten einesKondensators von außen vorgegeben werden. Sie erzeugen ein elektrisches Feld, welchesin einem Dielektrikum zwischen den Platten elektrische Dipole erzeugen oder ausrichtenkann.

• Die elektrischen Dipole im Dielektrikum werdendabei durch mikroskopische Verschiebungen dergebundenen Ladungsträger erzeugt.

• Der Effekt für den Beobachter sind Polarisati-onsladungen auf den Oberflächen des Dielektri-kums, welche von den speziellen Gegebenheiten(Art des Dielektrikums, Temperatur der Umge-bung, Stärke des ~E-Feldes) abhängen.

Dielektrische Polarisation Es liegt daher nahe, das von den (gebundenen) Polarisati-onsladungen resultierende zusätzliche elektrische Feld mit dem Feld zusammenzufassen,welches von den Ladungen ρf auf den Platten herrührt. Das Zusatzfeld ~P , die dielektrischePolarisation wählen wir so, dass

∇ · ~P = −ρb (14.9)

und~P = 0 wenn ρb = 0 . (14.10)

Der Ausdruck (14.9) entspricht, bis auf einen Faktor −1/ε0, dem Gauss’schen Gesetz.Dann wird mit (14.6)

∇ ·(ε0 ~E + ~P

)= (ρb + ρf ) − ρb = ρf (14.11)

oder nach Einführung der dielektrischen Verschiebung, ~D,

~D = ε0~E + ~P ; ∇ · ~D = ρf . (14.12)

Wir werden weiter unten zeigen, dass das Hilfsfeld ~P gerade die Dichte des (makroskopi-schen) Dipolmoments des betrachteten Dielektrikums ist (dielektrische Polarisation).

128

14.3 Mikroskopische StrömeWir wollen nun noch die zweite inhomogene Gleichung in (14.6) umformen. Analog zu(14.8) teilen wir auf:

〈 j 〉 = jf + jb, mit jb = jP + jM . (14.13)

Dabei ist:

jf die von der Bewegung der freien Ladungsträger herrührende, gemäß (14.1) gemit-telte, Stromdichte.

jb die von der Bewegung der gebundenen Ladungsträger herrührende (gemittelte)Stromdichte. Es ist zweckmäßig jb nochmals aufzuteilen:

jP Nach (14.6) erzeugt ein zeitlich verän-derliches makroskopisches elektrischesFeld einen Strom, nach (14.12) auch diedielektrische Verschiebung ~D bzw. ~P :

jP ≡∂ ~P∂t. (14.14)

jM Molekulare Kreisströme, d.h. solchewelche magnetische Dipole erzeugen.Wir diskutieren diesen Anteil später.

Magnetfeld und magnetische Induktion Wir betrachten nun die Kontinuitätsglei-chung für die freien Ladungsträger,

∇ · jf + ∂ρf∂t

= 0 . (14.15)

Dann folgt aus (14.12) und (14.15)

∇ ·

∂ ~D∂t

+ jf

= ∇ · ∂~D∂t− ∂ρf

∂t= ∂

∂t

(∇ · ~D − ρf

)= 0 , (14.16)

so dass der Vektor ∂ ~D/∂t + jf sich als Rotation eines Vektors darstellen lässt, dem ma-kroskopischen Magnetfeld ~H,

∇× ~H ≡ ∂ ~D∂t

+ jf . (14.17)

129

Magnetfeld und magnetische Induktion Mit (14.12), (14.13) und (14.14) schreibenwir die zweite inhomogene Gleichung (14.6) wie folgt um:

∇× ~B − µ0∂

∂t~D = ∇× ~B − µ0

∂

∂t

(ε0 ~E + ~P

)(14.18)

= µ0 (jf + jP + jM)− µ0 jP = µ0 (jf + jM) .

Mit (14.17) und (14.18) finden wir den Zusammenhang von ~B und ~H:

∇×(~B − µ0 ~H

)= ∇× ~B − µ0

∂ ~D∂t

+ jf

= µ0 jM . (14.19)

Analog zur dielektischen Verschiebung ~P führen wir hier die Magnetisierung ~M ein:

µ0 ~M = ~B − µ0 ~H , (14.20)

so dass entsprechend (14.9):

∇× ~M = jM ; ~M = 0 wenn jM = 0 . (14.21)

~M lässt sich also konsistent als Dichte des (makroskopischen) magnetischen Dipolmo-ments (Magnetisierung) interpretieren, erzeugt durch die mikroskopischen KreisströmenjM . Einige Bemerkungen:

• Ein mikroskopisches Analogon besitzen nur die Felder ~E , ~B, nämlich E,B (vgl.(14.7)). ~D und ~H sind nur Hilfsfelder, die wir einführen, um komplizierte elektrischeund magnetische Eigenschaften der Materie pauschal zu erfassen.

• Eine makroskopische Polarisation (oder Magnetisierung) kann durch zweierleich Me-chamismen zustande kommen.

– Schon vorhandene (permanente) elektrische (oder magnetische) Dipole werdenin einem elektrischen (magnetischen) Feld ausgerichtet.

– Das äußere elektrische (magnetische) Feld induziert elektrische (magnetische)Dipole.

Ohne äußeres Feld sind permanente Dipole statistisch verteilt und ergeben nachMittelung über ein makroskopisches Volumen keine Polarisation (oder Magnetisie-rung).

• Aus der Linearität der Kontinuitätsgleichung ∇ · j + ρ = 0 und der (postullierten)Kontinuitätsgleichung (14.16) für die freien Ladungsträger gilt auch die Kontinui-tätsgleichung für die gebundenen Ladungsträger:

∇ · jb + ∂ρb∂t

= 0 .

130

Makroskopischen Feldgleichungen Wir fassen nun die Ergebnisse unserer Analysenzusammen.

• Homogene Gleichungen

∇ · ~B = 0; ∇× ~E + ∂ ~B∂t

= 0 (14.22)

• Inhomogene Gleichungen

∇ · ~D = ρf ; ∇× ~H − ∂ ~D∂t

= jf (14.23)

• Verknüpfungen

~D = ε0~E + ~P ; ~H = 1µ0~B − ~M . (14.24)

Die Gleichungen (14.22), (14.23) haben formal die gleiche Struktur wie die Maxwell Glei-chungen (14.2), (14.3). Sie können daher mit den gleichen Methoden gelöst werden.Materialgleichungen Die Gleichungen (14.22), (14.23) reichen nicht aus, um - beigegebenen ρf , jf - die vier Felder ~E , ~D, ~B, ~H eindeutig zu bestimmen. Dazu müssen wir dieformalen Verknüpfungen (14.24) mit Hilfe spezieller Modelle für die betrachtete Materiein explizite Materialgleichungen umwandeln. Einfache Beispiele werden in den nächstenKapiteln dazu diskutiert. Formell könnte man auch die konstituierenden Definitionen

jP = ∂ ~P∂t ∇× ~M = jM (14.25)

für die Ströme jb = jP + jM gebundenen der gebundenen Landungsträger verwenden. Dajedoch im Allgemeinen weder jP noch jM direkt bekannt sind lässt sich (14.25) i.A. nichtdirekt verwenden.

131

Kapitel 15

Energie und Impuls desmakroskopischen Feldes

In Kap. 8 haben wir Energie, Impuls und Drehimpuls des mikroskopischen Feldes ein-geführt und dieses Konzept in Teil IV auf das Strahlungsfeld im Vakuum angewendet.Wir wollen im Folgenden die Betrachtungen von Kap. 8 auf das makroskopische Feldübertragen.

15.1 Energie makroskopischer FelderAusgangspunkt für die Energiebilanz in Kap. 8 war die von einem (mikroskopischen) Feld(E,B) an einem System geladener Massenpunkte pro Zeiteinheit geleistete Arbeit

dWM

dt=

∫ (j · E

)dV . (15.1)

Grundlage von (15.1) ist die Lorentz-Kraft, z.B. für eine Punktladung q:

K = q(E + (v×B)

), (15.2)

deren magnetischer Anteil zu (15.1) keinen Beitrag liefert. Aus (15.2) erhält man, mitMittelung der Felder(14.1), für die vom makroskopischen Feld (~E , ~B) auf eine mit derGeschwindigkeit v bewegte Probeladung q ausgeübte (mittlere) Kraft

~K = q(~E + (v× ~B)

). (15.3)

Arbeit der freien Ladungen Arbeit wir sowohl an den gebundenen wie an den freienLadungen verrichtet, wir betrachten hier nur die an den freien Ladungen, mit der Dichteρf , vom makroskopischen Feld pro Zeiteinheit geleistete Arbeit, vergleiche (15.1),

dWM

dt=

∫ (jf · ~E

)dV . (15.4)

132

Die rechte Seite von (15.4) können wir mit Hilfe der inhomogenen makroskopischenMaxwell-Gleichung (14.23), j = ∇× ~H− ∂ ~D/∂t, zu

dWM

dt=

∫ ~E · (∇× ~H) − ~E · ∂~D∂t

dV (15.5)

umformen. Wie in Kap. 8 können wir (15.5) symmetrisieren, indem wir die Identität

~E · (∇× ~H) = ∇ · ( ~H× ~E) + ~H · (∇× ~E) = −∇ · (~E × ~H)− ~H · ∂~B∂t

(15.6)

benutzen sowie die homogene makroskopische Maxwell-Gleichung (14.22),∇×~E = −∂ ~B/∂t.Wir erhalten

dWM

dt= −

∫dV

∇ · (~E × ~H) + ~E · ∂~D∂t

+ ~H · ∂~B∂t

. (15.7)

Der Vergleich mit dem entsprechenden Ausdruck (8.6) für die mikroskopischen Felderzeigt, dass

~S = ~E × ~H (15.8)

als Energiestromdichte des makroskopischen Feldes (Poynting-Vektor) zu deuten ist.

Lineare, isotrope Medien Zur Interpretation der restlichen Terme betrachten wir dieNäherung linearer, isotroper Medien,

~D = ε ~E ; ~B = µ ~H , (15.9)

wobei ε die Dielektrizitätskonstante und µ Permeabilität ist. Diese beiden Konstantenwerden wir im Kapitel 16 noch ausführlich besprechen. Dann gilt

∂

∂t~E · ~D = 1

ε

∂

∂t~D · ~D = 2

ε~D · ∂

~D∂t

= 2 ~E · ∂~D∂t

und somit~E · ∂

~D∂t

+ ~H · ∂~B∂t

= 12∂

∂t

(~E · ~D + ~H · ~B

)(15.10)

und wir können analog zu (8.9) die Größe

12(~E · ~D + ~H · ~B

)(15.11)

als Energiedichte des makroskopischen Feldes interpretieren.

133

15.2 Impuls makroskopischer FelderAus der Newton’schen Bewegungsgleichung und der Lorentz-Kraft (15.3) wird die Ände-rung des Impulses der Probeladung q in den Feldern ~E und ~B durch

dPM

dt= q

(~E + (v× ~B)

)(15.12)

gegeben. Für die Impulsänderung eines Systems freier Ladungen, beschrieben durch ρfund jf , in den Feldern ~E und ~B, folgt somit

dPM

dt=

∫dV

(ρf ~E + (jf × ~B)

). (15.13)

Analog zu Abschnitt 8.2 formen wir (15.13) mit Hilfe der inhomogenen makroskopischenMaxwell-Gleichungen

∇ · ~D = ρf ; ∇× ~H − ∂ ~D∂t

= jf (15.14)

um und gelangen zu

dPM

dt=

∫dV

~E(∇ · ~D) + (∇× ~H)× ~B − ∂ ~D∂t× ~B

. (15.15)

Wir symmetrisieren (15.15) mit Hilfe der homogenen makroskopischen Maxwell-Gleichungen

∇ · ~B = 0; ∇× ~E = −∂~B∂t

(15.16)

und erhalten

dPM

dt=

∫dV

~E(∇ · ~D) + ~H(∇ · ~B) + (∇× ~H)× ~B + (∇× ~E)× ~D

− ∂

∂t( ~D × ~B)

. (15.17)

Wie in Kap. 8 lässt sich dann

~D × ~B (15.18)

als Impulsdichte des makroskopischen elektromagnetischen Feldes interpretieren (vgl. (8.30).

15.3 Die Kirchhoff’schen RegelnDie elektromagnetischen Felder in elektrischen Leitern, wie z.B. Kupferdrähten, sind füralle Belange der Elektrotechnik makroskopischer Natur. Die Theorie elektrischer Schalt-kreise beruht auf einigen einfachen Regeln.

134

1. Kirchhoff’scher Satz (Knotenregel)An einer Stromverzweigung gilt für statio-näre und quasistationäre Ströme

N∑i = 1

Ii = 0 , (15.19)

d.h. die Summe der fließenden Ströme ver-schwindet, eine Konsequenz der Ladungser-halten.Für stationäre und quasistationäre Ströme folgt aus

∇× ~H = ∂ ~D∂t

+ jf ,

siehe (14.17), dass ∂ ~D/∂t vernachlässigt werden darf. Damit gilt

0 = ∇ ·(∇× ~H

)= ∇ · jf . (15.20)

Mit Hilfe des Gauß’schen Integralsatzes folgt∫F

jf · dF =N∑

i = 1Ii = 0 . (15.21)

2. Kirchhoff’sche Regel (Maschenregel)Die Summe der Spannungsabfälle längs ei-nes geschlossenen Weges in einem Schaltkreis(Masche) verschwindet,

∑j

Uj = 0. (15.22)

+

–R2

R3

R1

V1

V4 V2

V3

Dabei kann Uj für eine Batteriespannung stehen, oder für

• Ohm’schen Spannungsabfall (Widerstand R)

UR = IR , (15.23)

• Kondensatorspannung (Kapazität C)

UC = 1C

∫Idt , (15.24)

• induzierte Spannung (Induktivität L)

UL = LdI

dt. (15.25)

135

Zum Nachweis der Maschenregel (15.22) verwenden wir die homogene makroskopischeMaxwell-Gleichung

∇× ~E = −∂~B∂t

. (15.26)

Mit dem Stoke’schen Integralsatz folgt∫F

(∇× ~E) · dF =∮S

~E · ds = − ∂

∂t

∫F

~B · dF. (15.27)

Die rechte Seite von (15.27) verschwindet, wenn durch die Masche kein zeitlich veränder-liches Magnetfeld dringt.Bemerkung Grundlage der 2. Kirchhoff’schen Regel ist das Induktionsgesetz bzw. derEnergiesatz. Führt man nämlich eine Ladung q auf einem geschlossenen Weg durch denSchaltkreis, so ist (15.22) nach Multiplikation mit q gerade die Energiebilanz.

136

Kapitel 16

Elektrische und magnetischeEigenschaften der Materie

16.1 MaterialgleichungenDie makroskopischen Maxwell-Gleichungen

∇ · ~B = 0; ∇× ~E + ∂ ~B∂t

= 0 (16.1)

und∇ · ~D = ρf ; ∇× ~H − ∂ ~D

∂t= jf (16.2)

reichen (wie in Abschnitt 14.3 schon erwähnt) nicht aus, um die Felder ~E , ~B, ~D und ~Hzu bestimmen, solange nicht explizite Materialgleichungen zur Verfügung stehen, welche~E , ~B, ~D und ~H untereinander verknüpfen. Oft sind auch die makroskopischen Quellenρf und jf nicht als Funktion von r und t vorgegeben, sondern funktional von den zuberechnenden Feldern abhängig.Überblick Es ist üblich ρf , jf , ~P und ~M als Funktionale der Felder ~E und ~B darzustellen.Sie können auch von äußeren Parametern wie z.B. der Temperatur T abhängen,

~P = ~P [~E , ~B, T ] , (16.3)

entsprechend für ~M und jf . Über die Kontinuitätsgleichung

∇ · jf + ∂ρf∂t

= 0 (16.4)

ist dann ρf durch jf bestimmt. In seiner allgemeinen Form (16.3) beinhaltet das Funktionalu.a. folgende Effekte:

• DepolarisationsfelderAn der Oberfläche eines Dielektrikums in einem äußeren elektrischen Feld wird imAllgemeinen lokal begrenzte Polarisation induziert, das Depolarisationsfeld. Analoghierzu ist die Oberflächenladung eines Leiters in einem Feld.

137

• Nicht-lokale EffekteDie Polarisation ~P(x) kann eine nicht-lokale Abhängigkeit

~P(x) = ε0

∫dy χ(x− y) ~E(y) (16.5)

vom makroskopischen Feld ~E(y) haben. Dabei ist der Integralkern χ(x − y), dieelektrische Suszeptibilität, eine 3 Matrix.

• Nicht-lineare EffekteDer funktionale Zusammenhang (16.5) war zwar nicht-lokal aber linear. Ein allge-meiner lokaler, aber nicht-linearer Zusammenhang lässt sich als

Pi/ε0 = χij Ej + χijk Ej Ek + χijkl Ej Ek El + . . .

schreiben. Dabei ist χij der lineare Suszeptibilitätstensor (2ter Stufe) und χijk bzw.χijkl die nicht-linearen Suszeptibilitätstensoren 3ter- und 4ter Stufe. Sie beschrei-ben verschiedene optische Effekte wie die SHG (second-harmonic-generation): Er-zeugung von Licht mit der Frequenz 2ω mit einem Laserstrahl der Frequenz ω, etc.

Im Folgenden werden wir für eine Reihe einfacher Modelle lineare und lokale Material-gleichungen diskutieren.

16.2 DielektrikaUnter dem Einfluss eines elektrischen Feldes ~E stellt sich in einem nichtleitenden, pola-risierbaren Medium (einem Dielektrium) eine Polarisation ~P ein. Wir unterscheiden zweiTypen.Orientierungspolarisation Schon vorhan-dene (permanente) elektrische Dipole werdenim ~E-Feld ausgerichtet, denn die Energie ei-nes elektrischen Dipols d im Feld ist −d · ~E ,siehe (2.33).Dem ordnenden Einfluss des Feldes wirkt diethermische Bewegung entgegen und die re-sultierende makroskopische Polarisation isttemperaturabhängig. Für ~E = 0 sind dieRichtungen der elementaren Dipole statis-tisch verteilt und es ist ~P = 0.

unpolarisiert

polarisiert durch ein angelegtes elektisches Feld

Induzierte Polarisation Durch das ~E-Feldkönnen Elektronen und Kerne in Atomenoder Molekülen relativ zueinander verscho-ben und Dipole in Feldrichtung erzeugt (in-duziert) werden. Auf diese Weise entsteht ei-ne temperaturunabhängige Polarisation.

138

Elektrische Suszeptibilität Bei niedrigen Feldstärken und/oder hohen Temperaturenist die lineare Beziehung

~P = χeε0 ~E (16.6)

eine gute Näherung für die Materialgleichung (16.3); dabei ist die elektrische Suszeptibilitätχe im Allgemeinen temperaturabhängig. Mit (14.12)

~D = ε0 ~E + ~P ≡ ε ~E (16.7)

für die dielektrische Verschiebung, gilt dann für die Dielektrizitätskonstante ε

ε = ε0 (1 + χe) . (16.8)

Einige Bemerkungen:

• (16.6) und (16.7) setzen ein isotropes Material voraus. Für anisotrope Medien ist χebzw. ε durch entsprechende Tensoren zu ersetzen.

• Für Wasser, H2O, gilt bei Raumtemperatur ε/ε0 ≈ 40, wenn man für ω die Frequenzder gelben Na-Linie wählt.

• Für schnell oszillierende Felder erweist sich ε (bzw. χe) als frequenzabhängig,

ε = ε(ω) , (16.9)

wobei ω die Frequenz des angelegten Feldes ist.

Lorentz-Modell Die Frequenzabhängigkeit von ε(ω), auch Dispersion genannt, lässtsich anhand des folgenden (vereinfachten) Modells für die Struktur von Atomen undMolekülen verstehen, dem Lorentz-Modell.

Wir nehmen an, dass die Elektronen in einem Atom oder Molekül gedämpfte har-monische Schwingungen ausführen. Dann lautet die Bewegungsgleichung für das n-teElektron eines Atoms (oder Moleküls) unter dem Einfluss eines periodischen ~E-Feldes~E(t) = ~E0 exp(−iωt)

d2

dt2rn + γn

d

dtrn + ω2

n rn = e

M~E0 exp(−iωt) , (16.10)

wobei rn = rn(t) die Ortskoordinate des n-ten Elektrons ist. Mit dem Ansatz

rn = r0n exp(−iωt) (16.11)

findet man als Lösung der Bewegungsgleichung (16.10)

rn(t) = 1M

e

ω2n − ω2 − iωγn

~E0 exp(−iωt) (16.12)

139

und daraus für das Dipolmoment d

d =Z∑

n = 1e rn = e2

M~E0 exp(−iωt)︸ ︷︷ ︸

= ~E(t)

Z∑n = 1

1(ω2

n − ω2 − iωγn) , (16.13)

wenn Z Elektronen im Atom (Molekül) sind. Mit ~P = nd und ~P = χeε0~E folgt somit

χe = ne2

ε0M

∑n

1ω2n − ω2 − iωγn

(16.14)

für die elektrische Suszeptibilität, wobei n die Dichte der Atome (Moleküle) ist.

• Für ω → ωn kommt es zu Resonanzen, welche man mit Infrarot-Spektroskopie direktbeobachten kann.

• Der Dämpfungsterm in (16.10) trägt pauschal der Tatsache Rechnung, daß die ato-maren Oszillatoren durch Stöße zwischen den Atomen oder Molekülen Energie ver-lieren. Dies hat zur Folge, dass χe bzw. ε komplex werden. Als Beispiel werden wir imnächsten Kapitel die Absorption elektromagnetischer Wellen in Materie betrachten.

Frequenz in Hz

103 106 109 1012 1015

ε'

ε''

ε=ε'+iε''

molekular

dipolar

ionischatomar

VIS UVinfrarotMikrowelle

Wir bemerken, dass die Dielektrizitätskonsante ε = ε0(1 + χe) nach (16.14) i.A. einenRealteil ε′ und einen Imaginärteil ε′′ aufweist, ε = ε′ + iε′′. Die Bedeutung der beidenKomponenten wird in den Abschnitten 16.4 und 17.4. noch weiter diskutiert werden.

140

Meta-Materialien Für Frequenzen ω knapp oberhalb einer Resonanz ωn kann dieDielekriziätskonstante nach dem Lorentz-Modell (16.14)

ε = ε0(1 + χe

), χe ∼

1ω2n − ω2 − iωγn

(16.15)

auch negativ werden, falls die Dämpfung γn klein ist. In diesem Fall sind dielektrischeVerschiebung und das elektrische Feld entgegengesetzt,

~D = ε~E ∼ −~E .

Ein solches Verhalten wird in natürlich vorkommenden Materialien nicht beobachtet kannaber in künstlichenMeta-Materialien erzeugt werden. Beispiele von Meta-Materialien sindPackungen dielektrischer Kugel oder von Resonatoren. Analog kann man auch negativePermabilitäten µ < 0 erreichen. Meta-Materialien mit ε < 0 and µ < 0 haben effektiveinen negativen Brechnungsindex.

16.3 Para- und DiamagnetismusEine Magnetisierung ~M kann (analog dem Fall der Polarisation ~P) auf folgende Weiseentstehen:

• Orientierungsmagnetisierung (Paramagnetismus)Permanente elementare magnetische Dipole werden in einem äußeren Magnetfeldgegen die thermische Bewegung ausgerichtet und führen zu einer makroskopischenMagnetisierung ~M. Ohne Magnetfeld sind die elementaren Dipolmomente m bzgl.ihrer Richtung statistisch verteilt und man erhält im makroskopischen Mittel ~M =0.

• Induzierte Magnetisierung (Diamagnetismus)Im Magnetfeld ändern sich die Bahnen der Elektronen, insbesondere ihr Drehim-puls. Eine solche Änderung des Drehimpulses ist nach (5.27) mit einer Änderungdes magnetischen Dipolmoments des Atoms verbunden. Atome, die kein perma-nentes magnetisches Dipolmoment haben, erhalten also im äußeren Magnetfeld eininduziertes Dipolmoment. Diese induzierten molekularen Ringströme sind dissipati-onsfrei. Aufgrund der Lenz’schen Regel erzeugen sie ein induziertes Moment welchesdem des äußeren Feldes entgegengesetzt ist.

141

Die Magnetisierung ~M hängt also im Allgemeinen vom äußeren Feld und der Temperaturab. Da das fundamentale Feld das ~B-Feld ist, sollten wir entsprechend (16.3) eigentlich

~M = ~M[ ~B, T ] (16.16)

betrachten. Es ist jedoch üblich, (16.16) durch~M = ~M[ ~H, T ] (16.17)

zu ersetzen, da ~H über die Stromdichte jf = ∇× ~H − ∂ ~D/∂t praktisch leichter kontrol-lierbar ist als ~B.Vergleich mit elektrischem Fall Im elektrischen Fall betrachtet man - im Einklangmit der mikroskopischen Theorie -

~P = ~P [~E , T ] , (16.18)

da Potentialdifferenzen bequemer kontrollierbar sind als ρf = ∇ · ~D und das damit ver-bundene ~D-Feld.Magnetische Suszeptibilität Für genügend schwache Felder und/oder hohe Tempe-raturen ist zu erwarten, dass

~M = χm ~H (16.19)eine gute Näherung von (16.17) ist; dabei ist χm die magnetische Suszeptibilität. Mit(16.19) und der Definition (14.24), ~B = µ0

(~H + ~M

)wird dann

~B = µ ~H , (16.20)

wobei die Permeabilität µ mit χm über

µ = µ0 (1 + χm) (16.21)

zusammenhängt.

• Für Paramagnete ist χm > 0, für Diamagnete χm < 0.

• Ein Supraleiter verdrängt aktiv das Magnetfeld B aus seinem Inneren und ist daherdurch µ = 0 und χm = −1 charakterisiert. Supraleiter sind also perfekte Diamagnete.

Modellrechnung für DiamagnetismusAbschließend wollen wir das Zustandekom-men des Diamagnetismus quantitativ näherformulieren. Als einfachstes, klassisches Mo-dell betrachten wir ein um den Atomkernkreisendes Elektron mit Ladung q, unter demEinfluss eines äußeren Magnetfeldes B =(0, 0, B). Zur Vereinfachung betrachten wireine kreisförmige Bahn.

r

v

142

Wenn die Geschwindigkeit des Elektrons v ist, dann ist die gesamte Zentripetalkraft K

K = mv2

r= K0 − qvB , (16.22)

wobei K0 die Anziehungskraft (Coulomb-Kraft) des Kernes ist und qvB der Betrag derLorentz-Kraft. Wir sind an der Änderung der Geschwindigkeite v des Elektrons durch dasMagnetfeld interessiert,

2mvr

∂v

∂B= −qB ∂v

∂B− qv ; ∂v

∂B= − rq

2m + O(B) ,

wobei wir angenommen habe, dass die Anziehung des Kernes nicht vom Magnetfeld be-einflußt wird, ∂K0/∂B = 0. Ein kleines Magnetfeld B induziert daher eine Änderung∆L = (0, 0,∆Lz) des Bahndrehimpulses Lz = mrv von

∆Lz = mr∆v ≈ mr

(∂v

∂B

∣∣∣∣B=0

)B = −r

2qB

2 (16.23)

Mit einem Bahndrehimplus L ist nach (5.27) ein magnetisches Moment m = qL/(2m)verbunden. Daher induziert das Magnetfeld B nach (16.23) ein zusätzliches Moment∆m = (0, 0,∆mz)

∆mz = q

2m∆Lz = = −r2q2

4m B ; ∆m = −r2q2

4m B .

Nun ist die induzierte Magnetisierung M nichts anderes als die induzierte Dichte magne-tischer Momente, also

M ≈ −a20q

2n

4m B , (16.24)

wobei wir den Radius r durch den Bohr’schen Radius a0 genähert haben; n ist die Elek-tronendichte. Nach der Lenz’schen Regel steht die induzierte Magnetisierung dem Einflussdes äußeren Feldes entgegen.

16.4 Ohm’sches Gesetz; elektrische LeitfähigkeitIn Metallen ist die Leitfähigkeit auf die Existenz freier Elektronen zurückzuführen. DieBewegungsgleichung für Leitungselektron i mit der Masse m und der Ladung e lautet

mdvidt

+ ξvi = eEi , (16.25)

wobei Ei das auf das Elektron i wirkende elektrische Feld ist und der Reibungsterm ξvider Tatsache (pauschal) Rechnung tragen soll, dass die Leitungselektronen durch Stößemit den Schwingungen der Gitterionen (Phononen) Energie verlieren.

Aus (16.25) folgt mit jf = ∑i niqivi und n = ∑

i ni für die Stromdichte jf

djfdt

+ ξ

mjj = n

e2

m~E , (16.26)

143

wobei wir den Mittelwert über Ei mit dem makroskopischen Feld ~E identifiziert haben.Gleichstrom-Leitfähigkeit Für statische ~E-Felder besitzt (16.26) die stationäre Lö-sung:

jf = σ0~E (16.27)mit der Gleichstrom-Leitfähigkeit (auf engl: DC conductance)

σ0 = ne2

ξ. (16.28)

Die Leitfähigkeit ist also proportional zur Dichte n der Ladungsträger und inverse-proportionalzur Dämpfung ξ der Elektronen.Wechselstrom-Leitfähigkeit Für ein zeitlich periodisches Feld

~E = ~E0 exp(−iωt) (16.29)

erwarten wir als Lösung von (16.26)

jf = j0 exp(−iωt) . (16.30)

Gleichung (16.26) ergibt dann die Beziehung

jf = σ(ω)~E (16.31)

mit der Drude Formel für die frequenzabhängigen Leitfähigkeit (auf engl: AC conduc-tance)

σ(ω) = σ0

1− iωτ . (16.32)

Dabei ist die Dämpfungskonstante τ durch

τ = m

ξ(16.33)

bestimmt.

• Für niedrige Frequenzen ωτ 1 wird σ(ω) reell, σ(ω) ≈ σ0.

• Für hohe Frequenzen, ωτ 1, σ(ω) wird die Leitfähigkeit rein imaginär, so dassjf und ~E um π/2 gegeneinander phasenverschoben sind. Die Elektronen schafe esnicht mehr dem schnellen Wechsel des elektrsichen Feldes zu folgen.

Leitfähigkeit und Dielektrizitätskonstante Wenn die Ladungsträger unter dem Ein-fluss einer Wechselspannung in einem Metall oszillieren, dann bewegen sie sich nur überkurze Distanzen hin und her. Der Beitrag gebundener und freier Ladungsträger kann dannnicht mehr eindeutig getrennt werden.

144

Nach (14.14), jP = ∂ ~P/∂t, ist jeder zeitlich variablen Polarization ~P eine StromdichtejP zuzuordnen. Im Frequenzraum ergibt sich somit

jP = −iω ~P ; jP = ∂ ~P∂t

; ~P = ~P0 exp(−iωt) . (16.34)

Mit der Definition (16.7) der Dielektrizitätskonstanten ε,

~P = (ε− ε0) ~E

erhalten wir mit j = jP

σ~E = j = −iω ~P = −iω(ε− ε0) ~E .

Die Frequenz-abhängige Dielektrizitätskonstante ε = ε(ω) hängt also mit der elektrischenLeitfähigkeit σ via

ε(ω) = ε0 + iσ

ω(16.35)

zusammen.

• Der Realteil der Dielektrizitätskonstante verändert die Dispersion des Lichtes inMaterie, also die Ausbreitungsgeschwindigkeit, siehe Abschnitt 17.3.Der Imaginärteil der Dielektrizitätskonstante beschreibt dagegen die Absorbtionvon Licht, siehe Abschnitt 17.4.

• Da man die Dielektrizitätskonstante mittels Infrarotmessungen direkt bestimmenkann, lässt sich dann mittels (16.35) auch die AC-Leitfähigkeit bestimmen.

• Isolatoren mit limω→0 σ(ω) = 0 und Leiter mit limω→0 σ(ω) = σ0 > 0 haben einunterschiedliches Verhalten der Dielektrizitätskonstante für kleine Frequenzen, siedivergiert nach (16.35) für leitfähige Materialien.

145

Kapitel 17

Elektromagnetische Felder anGrenzflächen

17.1 Allgemeine StetigkeitsbedingungenAus den makroskopischen Maxwell-Gleichungen ergeben sich eine Reihe von Konsequen-zen für das Verhalten der Felder an der Grenzfläche zwischen zwei Medien mit verschiede-nen elektrischen und magnetischen Eigenschaften. Der Einfachheit halber sei im Folgendenangenommen, dass die Grenzfläche eben sei.Normalkomponente von ~B Wir verwenden

∇ · ~B = 0 (17.1)

und wenden den Gauß’schen Integralsatz auf ~B an, siehe Skizze.

Die Deckflächen (F1, F2) einer Schachtel mit Volumen V und Oberfläche F mögen sym-metrisch zur Grenzfläche liegen; Größe und Gestalt der Deckflächen seien beliebig. Machtman die Höhe h der Schachtel beliebig klein, so folgt aus (17.1)

0 =∫V

(∇ · ~B

)dV =

∫F

~B · dF =∫F1

(~B (1)n − ~B (2)

n

)· dF , (17.2)

da für die Flächennormalen gilt n1 = n = −n2. Da F1 beliebig gewählt werden kann,muss für den Normalkomponente

B (1)n = B (2)

n (17.3)

146

gelten. Die Normalkomponente von ~B geht also stetig durch die Grenzfläche hindurch.Normalkomponente von ~D Wir verwenden

∇ · ~D = ρf

und wenden den Gauß’schen Integralsatz nun auf ~E an. Wir erhalten

Qf =∫Vρf dV =

∫V

(∇ · ~D

)dV =

∫F

~D · dF =∫F1

(~D (1)n − ~D (2)

n

)· dF ,

wobei Qf die Ladung in der Schachtel ist. Für die Normalkomponente von ~D gilt somit

D (1)n −D (2)

n = σf , (17.4)

wobei σf die Flächenladungsdichte freier Ladungsträger in der Grenzfläche ist.

• Für Dielektrika mit σf = 0 ist die Normalkomponente von ~D stetig.

• Beim Übergang Leiter–Nichtleiter springt ~Dn dagegen um σf .

Tangentialkomponente von ~E Wir benutzen

∇× ~E = −∂~B∂t

und wenden den Integralsatz von Stokes auf ~E an (siehe Skizze).

Eine Rechteckschleife S habe Kanten der Länge l parallel zur Grenzfläche und der Längeh senkrecht dazu. Da die magnetische Induktion ~B und ∂ ~B/∂t überall endlich ist gilt imLimes h→ 0

0 = −∫F

∂ ~B∂t· dF =

∫F

(∇× ~E) · dF =∮S

~E · ds =∫ l

0ds ·

(~E (1)t − ~E (2)

t

)= 0

bei Integration über die in S eingespannte ebene Fläche F . Da l beliebig gewählt werdenkann, folgt mit

~E (1)t = ~E (2)

t (17.5)

di Stetigkeit der Tangentialkomponente von ~E .

147

Tangentialkomponente von ~H Wir betrachten

∇× ~H = ∂ ~D∂t

+ jf

und wenden den Integralsatz von Stokes auf ~H an. Der Beitrag von ∂ ~D/∂t zum Flächen-integral verschwindet wieder im Limes h→ 0. Wir definieren mit

If =∫F

j · dF =∫ l

0ds

(~H (1)t − ~H (2)

t

)(17.6)

die Stromstärke If der in der Grenzfläche fließenden (freien) Ströme, senkrecht zur Tan-gentialkomponente ~Ht von ~H, und via

If =∫ l

0if dl (17.7)

die Dichte der Oberflächenströme if (die Flächenstromdichte). Aus (17.6) folgt dann

H (1)t −H

(2)t = if . (17.8)

Die Tangentialkomponente ~Ht springt in Anwesenheit von Oberflächenströmen.

17.2 Lineare, isotrope MedienMedien werden als linear und isotrop bezeichnet falls

~B = µ ~H; ~D = ε ~E (17.9)

gilt. Man findet dann

µ1H (1)n = µ2H (2)

n ε1E (1)n − ε2E (2)

n = σf (17.10)

und

~D (1)t

ε1=

~D (2)t

ε2

~B (1)t

µ1−

~B (2)t

µ2= if (17.11)

aus (17.3), (17.5), (17.4) und (17.8). Wir betrachten nun verschiedene Typen von Grenz-flächen.Grenzfläche zwischen Metallen Gilt das Ohm’sche Gesetz,

jf = σ~E , (17.12)

148

mit der Leitfähigkeit σ, so folgt aus der Stetigkeit der Tangentialkomponente von ~E , siehe(17.5),

~E (1)t = ~E (2)

t ,j (1)ft

σ1=

j (2)ft

σ2(17.13)

für die Tangentialkomponente jft von jf . Für die Normalkomponente folgt über die Kon-tinuitätsgleichung

∇ · jf + ∂ρf∂t

= 0 (17.14)

bei Anwendung des Gauß’schen Satzes

j(1)fn − j

(2)fn = −∂σf

∂t, (17.15)

wobei σf die Flächenladungsdichte ist. Speziell für stationäre Ströme gilt ∇ · jf = 0 undσf = 0 und somit

j (1)fn = j (2)

fn . (17.16)

Die Normalkomponente der Stromdichte ist für stationäre Ströme an der Grenzflächezwischen zwei Metallen stetig.Übergang Leiter (1) - Nichtleiter (2) Da im Nichtleiter kein Strom fließen kann,gilt nach (17.16)

j (1)fn = j (2)

fn = 0 , (17.17)

für den stationären Fall. Auch im Leiter muss im stationären Fall die Normalkomponentej (1)fn der Stromdichte verschwinden sonst würde sich eine immer größer Flächenladungs-dichte σf aufbauen. Aufgrund des Ohm’schen Gesetzes (17.12) gilt daher

j (1)f = σ (1)~E (1), ~E (1)

n = 0 , (17.18)

da die Leitfähigkeit im Metall σ (1) 6= 0 nicht verschwindet. Die normalkompoenten desmakroskopischen elektrischen Feldes verschwindet also im Metall und muss daher im Di-elektrikum endlich sein falls eine nicht-verschwindende Oberflächenladungsichte σf vor-handen ist. Daher folgt für ~E (2)

n aus (17.10):

ε1E (1)n − ε2E (2)

n = σf , ε2E (2)n = −σf . (17.19)

Insbesondere verschwinden in der Elektrostatik, alle Ströme, jf = 0, und somit folgt aus(17.18)

~E (1)t = 0 (17.20)

dass auch die Tangentialkomponente des makroskopischen elektrischen Feldes im Leiterverschwindent. Wegen der allgemeinen Stetigkeitsbedingung (17.5) für die tangentialkom-pomente folgt daher

~E (1)t = ~E (2)

t , ~E (2)t = 0 . (17.21)

Somit steht das ~E-Feld senkrecht zur Leiteroberfläche und verschwindet innerhalb desLeiters.

149

17.3 Reflexion und Brechung von LichtWir betrachten nun die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in linearen und isotropenMedien mit

~B = µ ~H ~D = ε~E , (17.22)

In Abwesenheit freier Ladungen lauten die makroskopischen Maxwell-Gleichungen

∇ · ~B = 0; ∇ · ~D = 0; ∇× ~E = −∂~B∂t

; ∇× ~H = ∂ ~D∂t

und nehmen mit (17.22) die Gestalt

∇ · ~H = 0; ∇ · ~E = 0; ∇× ~E = −µ∂~H∂t

; ∇× ~H = ε∂ ~E∂t

an. Wie in Kap. 9, lassen sich die Gleichungen bezüglich des elektrischen und magnetischenAnteils entkoppeln. Man erhält die Wellengleichungen

∆~E − 1c′2

∂2

∂t2~E = 0; ∆ ~H− 1

c′2∂2

∂t2~H = 0, (17.23)

wobei c′ die Phasengeschwindigkeit im Medium ist (vgl. Abschnitt 9.3):

1c′2

= εµ . (17.24)

Ebene Wellen Da wir im Folgenden das Verhalten des elektromagnetischen Feldes anebenen Grenzflächen untersuchen wollen, betrachten wir spezielle Lösungen von (17.23)in Form ebener Wellen, z.B.:

~E = ~E0 expi(k · r− ωt) , (17.25)

wobei zwischen ω und k die Beziehung

ω = c′ k = k√εµ

(17.26)

gelten muss. Wie in Kap. 9, findet man, dass ~E , ~H und k senkrecht zueinander stehen.

• Gleichung (17.26) unterscheidet sich von der Dispersionrelation im Vakuum ω = ck,siehe (9.24), dadurch, dass dort c eine Konstante ist, während c′ von ω abhängt, viaε = ε(ω). Siehe (16.8) und die Modellrechnung (16.14) sowie den entsprechnendenAusdruck (16.35) für Metalle.

150

• Die Komponenten verschiedener Frequenzen ω in einem Wellenpaket laufen alsomit verschiedener Geschwindigkeit c′ = c′(ω); das Wellenpaket behält seine Formim Laufe der Zeit nicht bei, die Welllenpakte zerfließen. Vgl. hierzu Abschnitt10.1).

Phasen- vs. Gruppengeschwindigkeit Je nach Verlauf von ε(ω) kann c′ > c werden.Dies bedeutet keinen Widerspruch zur Relativitätstheorie, da die Phasengeschwindigkeitvph = c′ nicht identisch ist mit der Gruppengeschwindigkeit, siehe (10.5),

vg =(dω

dk

)k=k0

(17.27)

eines Wellenpaketes, dessen Amplitude auf die Umgebung der Wellenzahl k0 konzentriertist; der Energietransport in einem solchen Wellenpaket ist durch vg und nicht durch vphbestimmt.Lichtwellen an Grenzflächen Wir untersuchen nun das Verhalten einer Lichtwelle,beschrieben durch (17.25), an einer ebenen Grenzfläche.

Die Grenzfläche sei die (x, y, 0)-Ebene, das elektrische Feld ist dann

~E(r, t) =~Ee0 ei(ke·r−ωet) + ~Er0 ei(kr·r−ωrt) (z > 0)

~Ed0 ei(kd·r−ωdt) (z < 0), (17.28)

für einen beliebigen Ortsvektor r = (x, y, z).

151

• ~Ee: elektrische Feldstärke der einfallenden Lichtwelle, mit der Amplitude ~Ee0.

• ~Er: Feldstärke des reflektierten Lichts.

• ~Ed: Feldstärke der durchgehenden (transmittierten) Lichtwelle.

Erhaltung der Frequenz Aus der Stetigkeit der Tangentialkomponente ~Et des elektri-schen Feldes (17.5) folgt

~τ ·(~Ee + ~Er

)= ~τ · ~Ed; ~τ ·

(~Ee0 + ~Er0

)= ~τ · ~Ed0 (17.29)

für alle Zeiten t, für alle Vektoren r = (x, y, 0) der Grenzfläche und für alle (Einheits)-Vektoren ~τ = (xτ , yτ , 0) parallel zur Grenzfläche.

Da die Tangentialkomponente für alle Zeiten t stetig sind, so folgt aus (17.29) und(17.28), z.B. für r = 0, die Erhaltung der Frequenz

ωe = ωr = ωd; ke = kr;ke√ε1µ1

= kd√ε2µ2

, (17.30)

wobei wir die Dispersionsrelation ω = c′k = k/√εµ verwendet haben.

Koplanarität Für t=0 ergibt sich (∀r in der Grenzfläche) aus der Phasengleichheit derstetigen Tangentialkomponente

ke · r = kr · r = kd · r (17.31)

die Koplanarität von ke,kr und kd. Wählt man speziell r = r0 in der Grenzfläche so, dasske · r0 = 0, so müssen gemäß (17.31) die 3 Vektoren ke,kr und kd senkrecht zu r0 sein,was nur möglich ist, wenn ke,kr und kd in einer Ebene liegen.Reflexionsgesetz Betrachten wir nun einen Vektor r in der Grenzfläche, welcher par-allel zur Projektion von ke auf die Grenzfäche ist, dann folgt aus der Bedingung für diePhasengleichheit (17.31)

ke sin θe = kr sin θr , (17.32)

aus (17.31). Nach (17.30) ist ωe = ωr, also auch ke = kr und damit ist (17.32) zumReflexionsgesetz

θe = θr (17.33)

äquivalent.BrechungsgesetzNach (17.30) gilt ke/

√ε1µ1 = kd/

√ε2µ2, also

kekd

=√ε1µ1√ε2µ2

= n1

n2; n = √

εµ , (17.34)

152

wobei wir mit n den Brechungsindex definiert haben. Da nach (17.31) die Tangential-komponenten von ke und kd identisch sind, gilt ke sin θe = kd sin θd. Damit folgt dasBrechungsgesetz

sin θesin θd

= n2

n1. (17.35)

• Wertet man die in (17.29) noch enthaltenen Bedingungen für die Amplituden aus,so erhält man

– die Fresnel’schen Formeln,– das Brewster’sche Gesetz (Erzeugung linear polarisierten Lichts) und– die Totalreflexion (Faser-Optik).

Die Stetigkeitsbedinung der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes bestimmtalso vollständing die relative Intensität von Refektion und Transmission,sowie diezugehörigen Polarisierungsrichtungen.

• Nach (16.35) ist ε(ω) im Allgemeinen komplex, also auch k komplex. Eine elek-tromagnetische Welle wird also im Medium geschwächt (Absorption), wie wir imnächsten Abschnitt diskutieren werden.

17.4 Elektromagnetische Wellen in leitenden Mate-rialien

Wir betrachten einen Ohm’schen Leiter mit ebener Grenzfläche und Leitfähigkeit σ. So-lange kein Ladungsstau auftritt, ist ρf = 0 (vgl. Abschnitt 4.2) und es exisitiere einstationäre Stromverteilung

jf = σ ~E 6= 0 . (17.36)Die makroskopichen Maxwell-Gleichungen (14.22) und (14.23) lauten dann

∇ · ~E = 0; ∇× ~E + µ∂ ~H∂t

= 0 (17.37)

∇ · ~H = 0; ∇× ~H− ε∂~E∂t− σ~E = 0 .

Gedämpfte ebene Wellen Als Lösung von (17.37) setzen wir

~E = ~E0 expi(k · r− ωt); ~H = ~H0 expi(k · r− ωt) (17.38)

an, mit k · ~E = 0 und k · ~H = 0 (folgt aus ∇ · ~E = 0 = ∇ · ~H). Wir erhalten

~H = 1µω

(k× ~E); i(k× ~H) + iεω ~E − σ~E = 0 . (17.39)

153

Benützt man k ×(k× ~E

)= k

(k · ~E

)− ~E k2 = −~E k2 und eliminiert man im letzten

Ausdruck von (17.39) ~E oder ~H, so erhält man:

−ik2

µω+ iεω − σ = 0, k2 = ω2µε

(1 + i

σ

ωε

). (17.40)

Wir sehen, dass nicht sowohl die Kreisfrequenz ω als auch die Wellenzahl k reel sein kann.Da ω von außen vorgegeben ist, haben wir es demnach komplexe Wellenzahlen, welche zueiner Dämpfung der Welle im Leiter führen.Komplexe Wellenzahlen Man spaltet den Wellenvektor via Setzt man

k = α + iβ; k2 = α2 − β2 + 2iαβ (17.41)

in einen Realteil α und einen Imaginärteil β auf. Somit folgt aus (17.40)

α2 − β2 + 2iαβ = ω2µε

(1 + i

σ′ + iσ′′

ωε

); σ = σ′ + iσ′′ ,

wobei σ′ und σ′′ der Real- und der Imgaginärteil der dynamischen Leitfähigkeit ist.

α2 − β2 = µεω2 − ωµσ′′; 2αβ = µωσ′; α = µωσ′

2β . (17.42)

Wir betrachten zunächst reele Leitfähigkeiten σ = σ′, was für kleine Frequenzen ω i.A.der Fall ist. Eliminiert man in der ersten Gleichung α mit Hilfe der dritten Gleichung, soerhalten wir dann(

µωσ′

2β

)2

− β2 − µεω2 = 0; β4 +(µεω2

)β2 − 1

4 (µωσ′)2 = 0 . (17.43)

Da β reell sein soll, kommt als Lösung für β2 nur

β2 = µεω2

2

√1 +(σ′

εω

)2− 1

(17.44)

in Frage. Analog:

α2 = µεω2

2

√1 +(σ′

εω

)2+ 1

. (17.45)

Für σ′ → 0 folgt:β → 0; α2 → µεω2 (17.46)

in Einklang mit (17.26), ω = k/√εµ.

Exponentielle Dämpfung Da µωσ′ ≥ 0, müssen α und β nach (17.42) gleiches Vor-zeichen haben. Für β 6= 0 (d.h. σ′ 6= 0) wird eine auf eine Metalloberfläche einfallendeLichtwelle im Metall exponentiell gedämpft, mit einer Eindringtiefe ∼ 1/β. Für eine inpositiver x-Richtung laufende ebene Welle wird nämlich

expi(kx− ωt) = expi(αx− ωt) exp−βx, (17.47)

wobei mit α > 0 auch β > 0 sein muss.

154

• Hohe Leitfähigkeit (σ′ →∞).Die Lichtwelle wird praktisch total reflektiert, da die Eindringtiefe d ∼ β−1 ∼ 1/

√σ′

verschwindet (Spiegel).

• Hohe Frequenzen (ω →∞).Nach der Drude Formel σ(ω) = σ0/(1 − iωτ), siehe (16.32), ist die Leitfähigkeitσ frequenzabhängig und komplex. σ wird für ω → ∞ rein imaginär, also k2 in(17.40) reell; das Material wird durchsichtig. Diesen Effekt kann man mit harterRöntgenstrahlung nachweisen.

• Skin-EffektAls Folge der Dämpfung β können wegen (17.36) Wechselströme nur in einer Oberflä-chenschicht des Leiters fließen, deren Dicke durch β−1 bestimmt ist (Skin-Effekt).

17.5 Wellen in einem metallischen HohlleiterWir betrachten die Ausbreitung elektroma-gnetischer Wellen in einem unendlich langenleeren Rohr mit rechteckigem Querschnitt(Seiten a und b).Die Rohrwand bestehe aus ideal leitendemMaterial (σ →∞). Die Lösung der Feldglei-chungen ist von der Form einer propagieren-den Welle, also pro Komponente wie

g(r, t) = f(x, y)ei(kz−ωt) ,

wobei f eine noch zu bestimmende Funktionist und r = (x, y, z).

b

a

Randbedingungen Die Randbedingungen für die Komponenten von E und B an denWänden folgen aus der Tatsache, dass im Metall kein elektrisches Feld existieren kann.

• Die Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes sind nach (17.5) stetig und imMetall nicht vorhanden. Demzufolge muss die Tangentialkomponente von E ver-schwinden.

• Die Normalkomponente von B muss nach (17.3) stetig sein. Da es aber im Metallkein elektrisches Feld gibt, kann dort das Magnetfeld allenfalls statisch sein, unddas ist bei einer sich ausbreitenden Welle nicht möglich. Also verschwindet auch dieNormalkomponente von B.

Wir erhalten also die Randbedingungen

Ey = Ez = Bx = 0 fürx = 0x = a

Ex = Ez = By = 0 füry = 0y = b

155

Für die einzelnen Komponenten macht man jetzt einen Ansatz, dessen Berechtigungdurch Einsetzen in die Maxwell-Gleichungen und Bestimmung von freien Konstanten ent-steht: Ex

EyEz

=

α cos(nπxa

) sin(mπyb

)β sin(nπx

a) cos(mπy

b)

γ sin(nπxa

) sin(mπyb

)

ei(kz−ωt) (17.48)

und Bx

By

Bz

=

α′ sin(nπxa

) cos(mπyb

)β′ cos(nπx

a) sin(mπy

b)

γ′ cos(nπxa

) cos(mπyb

)

ei(kz−ωt) (17.49)

m,n ∈ N0; ε = ε0; µ = µ0 .

Innerhalb des Hohlleiters herrsche Vakuum.Minimale Frequenz Die Ansätze (17.48) und (17.49) müssen die Wellengleichung(

∆− 1c2∂2

∂t2

)g(~r, t) = 0 (17.50)

erfüllen, und zwar für jede einzelne Komponente g(~r, t) von ~E und ~B. Durch Einset-zen lässt sich bestätigen, dass die Ansätze wirklich (17.50) erfüllen, und zwar unter derBedingung (

nπ

a

)2+(mπ

b

)2+ k2 = ω2

c2 .

k

ω(k)

VakuumHohlzylinder

Aus dieser Gleichung kann man sofort eine “Ausbreitungsbedingung“ für Wellen im Hohl-leiter herleiten: k ist nur dann reell, wenn

ω > ωnm, mit ωnm = c

√(nπ

a

)2+(mπ

b

)2

gilt. Man sieht, dass sich die Dispersionsbeziehung im Hohlleiter von jener im freien Va-kuum unterscheidet, solange a und b endlich sind. Das war zu erwarten. Unterhalb einergewissen Grenzfrequenz ω10 (für a > b) ist überhaupt keine Wellenausbreitung möglich!Diese Frequenz geht mit wachsendem a gegen 0.

156

Ausbreitungs-Moden Für ebene Wellen im Vakuum ist sowohl das elektrische, als auchdas magnetische Feld transversal zur k, also zur Ausbreitungsrichtung, siehe Abschnitt9.2. Dieses ist, aufgrund der Randbedingungen, für die Ausbreitung von Mikrowellen imHohlleiter nicht mehr der Fall.

Man spricht von Ausbreitungs-Moden, welche sich aus der Bestimmung der Konstantenα, β, γ, α′ , β ′ und γ′ in (17.48) und (17.49) ergeben. Man findet:

• TM-WelleDas Magnetfeld ist transversal, Bz = 0. Die niedrigste ausbreitungsfähige Frequenzfür eine TM-Welle im Hohlleiter ist durch

ωTM = cπ

√1a2 + 1

b2

gegeben.

• TE-WelleDas elektrische Feld ist transversal, Ez = 0. In diesem Fall hat man schon nichttri-viale Lösungen, falls einer der beiden Indizes n und m von Null verschieden ist. Dieniedrigste ausbreitungsfähige Frequenz ist

ωTE = cπ

a,

falls a > b.

• TEM-WelleIn Hohlleitern sind Wellen, die transversal als auch im elektrischem sowie im ma-gnetischen Anteil (TEM-Wellen) sind, nicht ausbreitungsfähig.

Allg. ist die Bestimmung der propagierenden Moden in Wellenleitern, wie Hohleiter fürMikrowellen oder Glasfaser für Licht, für technische Anwendungen essentiell.

157

158

Teil VII

Relativistische Invarianz derElektrodynamik

159

Kapitel 18

Spezielle Relativitätstheorie

Wir werden im Kap. 19 die Lorentz-Invarianz der Maxwell-Gleichungen nachweisen. His-torisch ist dieses vor der Entwicklung der relativistischen Mechanik geschehen. Diese istjedoch anschaulicher und wir werden daher zunächst eine Einführung in die spezielle Re-lativitätstheorie geben.

Die Newton’schen Bewegungsgleichungen sind invariant unter Galilei-Transformationen,nicht jedoch unter Lorentz-Transformationen. Das Relativitätsprinzip verlangt daher eineModifikation der Newton’schen Gleichungen, und zwar derart, daß bei Geschwindigkeitenv c die Newton’schen Gleichungen gültig bleiben.

18.1 EinleitungEinige experimentelle Tatsachen zeigen, dass die Galileiinvariante Mechanik nur begrenzteGültigkeit haben kann.Konstanz der Lichtgeschwindigkeit Die beobachtete Invarianz der Lichtgeschwin-digkeit,

c = 2, 99992458× 105 km/ssteht in Widerspruch zum Additionstheorem

~v′ = ~v1 + ~v2

für Geschwindigkeiten. Die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit folgt, wie besprochen, auchdirekt aus den Maxwellgleichungen.Radioakiver Zerfall bewegter Teilchen Das Myon, eine Art „schweres Elektron“mitMasse mµ ' 207me, zerfällt spontan in ein Elektron und zwei Neutrinos,

µ → e + ν1 + ν2 ,

mit einer Zerfallszeit (im Labor)

τ (0)(µ) = (2.19703± 0.00004)× 10−6s .

Misst man nun die Zerfallszeit von bewegten Myonen (an einem Strahl), so findet maneine Zerfallszeit, welche via

160

τ (v)(µ) = γ τ (0)(µ), γ = 1√1− v2/c2

, (18.1)

von der Geschwindigkeit v der Myonen abhängt. Nun ist aber der Zerfallsvorgang einesElementarteilchens ein intrinsischer Vorgang, der also ohne äußeren Einfluss nur nachder inneren Uhr des Elementarteilchens abläuft. Gleichung (18.1) bedeutet nun, dass dieinnere Uhr bei erhöhten Geschwindigkeiten um den Faktor γ langsamer läuft.

18.2 WellengleichungDie Ausbreitung des Lichts, d.h. der 6 Komponenten des elektromagnetischen Feldes ~E, ~B,wird durch die Wellengleichung(

1c2∂2

∂t2−∆

)u(~x, t) =

(1c2∂2

∂t2−[∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2

])u(~x, t) = 0

beschrieben. Wir betrachten erst einmal eine Raumdimension, d.h.(1c2∂2

∂t2− ∂2

∂x2

)u(x, t) = 0 , (18.2)

mit der allgemeinen Lösung

u(x, t) = u1(x+ ct) + u2(x− ct), (18.3)

wobei die u1() und u2() beliebige Funktionen sind, die sich aus den Anfangsbedingungenbestimmen lassen.

Lichtkegel Nach (18.3) ist somit c die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts. Insbeson-dere breitet sich das Licht von einem Ereignis zur Zeit t0 und Ort xo auf dem „Lichtkegel“

u(x, t) = δ(x− x0 + c(t− t0)) + δ(x− x0 − c(t− t0))

aus. Wegen der (experimentell festgestellten) Konstanz der Lichtgeschwindigkeit mussdaher die Kugelwellenfront

Lichtkegel

x

t

161

c2(t− t0)2 − (~x− ~x0)2 = 0 (18.4)

invariant unter einer noch zu findenden Klasse von Transformationen sein. Diese Klassevon Transformationen soll dann nicht nur für die Wellengleichung, d.h. für die Elektrody-namik, sondern auch für die Mechanik gelten; man nennt sie „Lorentztransformationen“.Postulate der speziellen Relativitätstheorie Die Gesetze der Mechanik müssendemnach gegenüber der Newton’schen Mechanik modifiziert werden, da diese unter derGruppe der Galileitransformationen invariant sind und eine Galileitransformation mit~v 6= 0 (18.4) nicht invariant lässt. Bei der Bestimmung der neuen Gesetze der Mechaniklässt Einstein sich vom „Trägheitsprinzip“leiten, welches besagt, dass für freie Teilchendas Trägheitsgesetz ~x = 0 invariant sein soll. Die Relativitätstheorie beruht also auf dreiPostulaten:

• Konstanz der Lichtgeschwindigkeit Aufgrund der experimentellen Evidenz, z.B. durchMichelson und Morley (1887).

• RelativitätsprinzipAlle Gesetze der Mechanik (und der Elektrodynamik) müssen invariant unter derGruppe der Lorentztransformationen sein, d.h. alle Naturgesetze obliegen den glei-chen Transformationseigenschaften.

• TrägheitsprinzipDie Gleichung ~x soll für freie Teilchen (Lorentz-)invariant sein, ein Spezialfall desRelativitätsprinzips.

18.3 LorentztransformationenIn der speziellen, wie auch in der allgemeinen Relativitätstheorie, gibt es eine strengeVorschrift wie Koordinaten zu schreiben sind. Hoch- oder tiefgestellte Indizes haben ver-schiedene Bedeutungen, welche wir später genauer definieren werden, und dürfen nichtverwechselt werden.

• Vierer-VektorenWir beschreiben die Raum-Zeit durch den R4 mittels des Vierer-Vektors

x = (x0, x1, x2, x3); x0 = ct; ~x = (x1, x2, x3) .

Wir nennen x0 = ct die Zeitkoordinate und (x1, x2, x3) = ~x die kartesische Raum-koordinate.

• WeltlinieDie Bewegung eines Teilchens ist eine Kurve im R4, welche jede Ebene x0 = konst.nur einmal schneidet („Weltlinie“).

162

x

x(t)

ct

ct

Koordinatentransformationen Für freie Teilchen sind die Weltlinien Geraden. Die ge-suchten Transformationen A müssen also nach dem Trägheitsgesetz geradentreu sein undsogar affin (Geraden werden auf Geraden abgebildet, parallele Geraden bleiben parallel,Teilverhältnisse bleiben erhalten), wenn kein Ereignis ins Unendliche abgebildet werdensoll,

x′ = Ax+ a; (detA 6= 0; a ∈ R4) . (18.5)Koordinatendifferenzen ξ = x− x0 transformieren sich homogen,

ξ′ = Aξ .

Metrischer Tensor Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit verlangt nach (18.4) dieInvarianz von

0 = c2(t− t0)2 − (~x− ~x0)2 = (ξ0)2 −3∑i=1

(ξi)2 = ξTg ξ , (18.6)

unter Lorentz-Transformationen, wobei ξT der transponierte 4-er Vektor ist und wir mit

g =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(18.7)

den „metrischen Tensor“ g im R4 definiert haben.Minkowski-Raum Der metrische Tensor g führt via

(ξ1, ξ2) ≡ ξT1 g ξ2 (18.8)

zu einem Skalarprodukt (ξ1, ξ2), welches allerdings nicht positiv definit ist. Den R4 mitdem Skalarprodukt (18.8) bezeichnet man als den Minkowski-Raum.Invarianz der Lichtgeschwindigkeit Die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit ist mitder Invarianz von (18.6) unter einer Lorentz-Transformation ξ → ξ′ = Aξ äquivalent,

0 = (ξ′)T g ξ′ = ξT AT g A︸ ︷︷ ︸h

ξ ,

163

dass heißt der Tensor h muss proportional zu g sein, also

h = AT g A = µ2g , (18.9)

wobei die Proportionalitätskonstante i.Allg. positiv ist (betrachte z.B. ξ′ = µξ).

Feste Maßstäbe Reine Dilatationen ξ′ = µξ (µ > 0) beschreiben simultane Maßstabs-änderungen für Länge und Zeit; sie sind mit allen Postulaten verträglich. Im Allgemeinenwollen wir jedoch die physikalischen Gesetze unter der Annahme formulieren, dass wir injedem Bezugssytem mit den gleichen (festen) Maßstäben messen. Dann sind Dilatationennicht zugelassen und

µ2 ≡ 1.

Damit definieren wir die Gruppe der Lorentztransformationen Λ durch

x′ = Λx+ a; ΛTgΛ = g a ∈ R4. (18.10)

Lorentz-Transformationen lassen per Definition den metrischen Tensor invariant.

18.4 Darstellung der LorentztransformationenDie allgemeine Lorentztransformation ist durch 6 Parameter bestimmt.

• RotationenDrei Parameter ~ϕ = |~ϕ| ϕ beschreiben Rotationen um eine Achse ϕ um den Winkelϕ = |~ϕ|.

• Eigentliche Lorentz-TransformationenDrei Parameter ~φ = |~φ| φ beschreiben die Transformation auf ein bewegtes Bezugs-system mit der Geschwindigkeit ~v = −cφ tanhφ, mit φ = |~φ|.

Die allgemeine, homogene Lorentztransformation ist durch

Λ(~φ, ~ϕ) = exp(~φ · ~K + ~ϕ · ~J

)(18.11)

gegeben, wobei die infinitesimalen Erzeugenden ~K = (Kx, Ky, Kz) und ~J = (Jx, Jy, Jz) inKomponenten durch

Kx =

0 1 0 01 0 0 00 0 0 00 0 0 0

, Jx =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 10 0 −1 0

, (18.12)

164

Ky =

0 0 1 00 0 0 01 0 0 00 0 0 0

, Jy =

0 0 0 00 0 0 −10 0 0 00 1 0 0

, (18.13)

Kz =

0 0 0 10 0 0 00 0 0 01 0 0 0

, Jz =

0 0 0 00 0 1 00 −1 0 00 0 0 0

, (18.14)

gegeben sind. Den Nachweis, dass sich räumliche Rotationsmatrizen als exp(~ϕ· ~J) schreibenlassen, können wir an dieser Stelle nicht geben. Für Rotationen um die z-Achse läßt sichdieses schnell nachrechnen.Gruppeneigenschaft Die homogenen Lorentztransformationen bilden eine Gruppe, esgilt also stets

Λ(~φ, ~ϕ) · Λ(~φ ′, ~ϕ ′) = Λ(~φ ′′, ~ϕ ′′),

wobei allerdings der Zusammenhang zwischen (~φ, ~ϕ, ~φ ′, ~ϕ ′) und (~φ ′′, ~ϕ ′′) i.Allg. kompli-ziert ist. Lorentztransformationen ohne einen Rotationsanteil, also Λ(~φ,~0) bezeichnet manals „spezielle“oder “eigentliche” Lorentztransformationen.Kommutatoren Der Kommutator zweier Operatoren (Matrizen)A undB ist als [A,B] :=AB−BA definiert. Der Kommutator zweier Erzeugenden ist wieder eine Erzeugende, so-mit bilden die Erzeugenden eine sog. „Lie-Algebra“.

Die Kommutatorrelationen der Erzeugenden lassen sich als (Übung)

[Ki, Kj] = εijk Jk

[Ji, Kj] = −εijkKk

[Ji, Jj] = −εijk Jk

schreiben, wobei i, j, k über x, y, z laufen. Insbesondere sieht man aus [Ki, Kj] = εijk Jk,dass die speziellen Lorentztransformationen keine Gruppe bilden: Zwei spezielle Lorentz-transformationen in verschiedenen Richtungen hintereinander beinhalten auch eine Rota-tion.Quantenmechanik Nur der Vollständigkeits halber bemerken wir, dass Rotationenallgemein in exponentieller Form geschrieben werden, wobei im Exponenten stets diejeweiligen Erzeugenden stehen. In der Quantenmechanik sind Rotationen durch

R(~ϕ) = ei~ϕ· ~J/~, ~J = ~r × ~p, [Jk, Jl] = i~ εklmJm

gegeben. Datei ist R(~ϕ) die 3 × 3 Matrix für Rotationen um die Achse ~ϕ/|~ϕ| um denWinkel |~ϕ|, und ~L der Drehimpuls-Operator.

Der Faktor i/~ im Exponenten ist notwendig um den ensprechenden Faktor in derDefintion des Impulsoperators, ~p = (~/i)∇ zu kürzen.

165

18.5 Spezielle LorentztransformationenDrehungen sind auch Lorentztransformationen, doch sie bringen keine neue Physik mitsich. Wir betrachten daher im Folgenden nur die speziellen Lorentztransformationen undkönnen uns hier, o.B.d.A. auf einen „Boost“entlang der x-Koordinaten beschränken, d.h.Λ = exp[φKx].

Boosts Wir wollen nun die explizite Form von (18.11) für einen Boost berechnen. Wirbemerken zunächst, dass

K2x =

0 1 0 01 0 0 00 0 0 00 0 0 0

·

0 1 0 01 0 0 00 0 0 00 0 0 0

=

1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 0

≡ 1′

und somit K2mx = 1′ und K2m−1

x = Kx (m ≥ 1). Wir berechnen nun explizit die Expo-nentialreihe für einen Boost in x-Richtung,

eφKx =∞∑n=0

φn

n!Knx = 1 +

( ∞∑m=1

φ2m

(2m)!

)︸ ︷︷ ︸

coshφ−1

1′ +( ∞∑m=1

φ2m−1

(2m− 1)!

)︸ ︷︷ ︸

sinhφ

Kx.

In Komponenten finden wir also

Λ(φ) = eφKx =

coshφ sinhφ 0 0sinhφ coshφ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

,oder, mit x′ = Λ(φ)x,

ct′ = cosh(φ) ct+ sinh(φ)xx′ = sinh(φ) ct+ cosh(φ)xy′ = yz′ = z

(18.15)

Geschwindigkeit Bisher ist der Parameter φ in der Lorentz-Transformation ein formellerParameter ohne physikalische Bedeutung. Um diese zu finden betrachten wir einen Punkt,welcher im bewegten Koordinatensystem ruht. Für diesen ist x′ = const., seine Bewegungwird im Laborsystem durch

sinh(φ) ct + cosh(φ)x = 0 ,

beschrieben. Seine Geschwindigkeit ist also

v = x

t= −c sinhφ

coshφ = −c tanhφ . (18.16)

166

Damit haben wir den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit v des bewegten Sys-tems und dem Parameter φ der Lorentztransformation gefunden. Aus

cosh2 φ− sinh2 φ = 1; cosh2 φ = 11− tanh2 φ

; sinh2 φ = tanh2 φ

1− tanh2 φ

finden wir mit β ≡ v/c

coshφ = 1√1− β2 ≡ γ, sinhφ = −βγ, (18.17)

und somit wird (18.15) zu

ct′ = cγ t − βγ xx′ = −vγ t + γ x

(18.18)

Invarianz des Lichtkegels Wir können nun nachweisen, dass (18.18) tatsächlich eineLorentztransformation ist, das heißt, dass der Lichtkegel (18.4) invariant ist,

c2(t′)2 − (x′)2 = γ2 (ct− vx)2 − γ2 (−vt+ x)2

= γ2(1− β2)(c2t2 − x2

).

Die Wellengleichung ist im bewegten Bezugssystem genau dann erfüllt wenn sie auch imLaborsystem gilt.Kausalität Wir bemerken noch, dass der Lichtkegel (18.4) die „Kausalität“ erfüllt.

• zeitartige EreignisseMan bezeichnet zwei Ereignisse (ct1, ~x1) und (ct2, ~x2) als zeitartig, wenn

c2(t2 − t1)2 > (~x2 − ~x1)2

erfüllt ist.

• raumartige EreignisseMan bezeichnet zwei Ereignisse (ct1, ~x1) und (ct2, ~x2) als raumartig, wenn

c2(t2 − t1)2 < (~x1 − ~x1)2

gilt.

Für t1 < t2 kommt bei zwei zeitartigen Ereignissen ein Lichtsignal vom ersten Ereignis vordem zweiten Ereignis an, bei zwei raumartigen Ereignissen erst danach. Bei zeitartigenEreignissen kann das erste also das zweite Ereignis auslösen, bei raumartigen Ereignissenist dies nicht möglich.

Nach (18.4) bleibt die die Kausalität durch Lorentztransformationen erhalten.

167

18.6 Addition von relativistischen GeschwindigkeitenWir betrachten zwei Boosts hintereinander in x-Richtung, den ersten mit Geschwindigkeitv1, den zweiten mit Geschwindigkeit v2. Die Endgeschwindigkeit sei v3 und tanhφi =−βi, (i = 1, 2, 3). Man findet aus der Exponentialdarstellung

eφ3Kx = eφ2Kx · eφ1Kx = e(φ2+φ1)Kx ,

die Beziehung1

φ3 = φ2 + φ1; tanhφi = −vic

; i = 1, 2, 3 ,

odertanh−1 β3 = tanh−1 β2 + tanh−1 β1 . (18.19)

Aus dieser Gleichung lässt sich die Endgeschwindigkeit v3 als Funktion der beiden einzel-nen Geschwindigkeiten v1 und v2 berechnen. Wir formen um:

β3 = tanh[tanh−1 β2 + tanh−1 β1

]=

sinh(tanh−1 β2 + tanh−1 β1

)cosh

(tanh−1 β2 + tanh−1 β1

)= sinh(tanh−1 β2) cosh(tanh−1 β1) + cosh(tanh−1 β2) sinh(tanh−1 β1)

cosh(tanh−1 β2) cosh(tanh−1 β1) + sinh(tanh−1 β2) sinh(tanh−1 β1).

Jetzt verwenden wir sinh = tanh /√

1− tanh2 und cosh = 1/√

1− tanh2. Damit wird

sinh tanh−1 β = β√1− β2 , cosh tanh−1 β = 1√

1− β2

und wir erhalten mit

β3 = β2 + β1

1 + β2β1, v3 = v2 + v1

1 + v2v1/c2 (18.20)

die gewünschte Additionsformel für relativistische Geschwindigkeiten.

• Für v1/c 1 und v2/c 1 wird (18.20) zu v3 = v1 + v2 + O(v1v2/c2). Im nicht-

relativistischen Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten erhalten wir also die üblicheFormel der Galilei’schen Mechanik.

• Man kann leicht zeigen (Übung), dass v3 nach (18.20) nie größer als die Lichtge-schwindigkeit sein kann.

1Beachte: für [A, B] 6= 0 ist exp(A) exp(B) 6= exp(A + B).

168

18.7 VektorkalkülIn der relativistischen Mechanik spielt der Begriff eines „4-er Vektors“eine zentrale Rolle.Kontravariante Vektoren Man nennt (ξ0, ξ1, ξ2, ξ3) einen „kontravarianten“ 4-er Vek-tor, falls sich die Komponenten unter Lorentztransformationen wie Koordinatendifferen-zen verhalten, d.h. wenn

ξ′µ = Λµν ξ

ν (18.21)gilt. Nicht alle Quardrupel von Zahlen sind 4-er Vektoren; ganz entscheidend sind ihreTransformationseigenschaften. Z.B. ist (xµ) = (ct, x, y, z) ein 4-er Vektor, aber (ct, x, y, z3)ist kein 4-er Vektor.Kovariante Vektoren Lorentztransformationen sind so definiert, dass der metrischeTensor g invariant bleibt. Somit ist das Skalarprodukt (18.8)

(ξ, η) = ξµ gµν ην ≡ ξµ ην = ξ0η0 −

(~ξ · ~η

)auch Lorentz-invariant, falls ξ und η 4-er Vektoren sind, sich also wie (18.21) transformie-ren. Hierbei haben wir mit

ηµ ≡ gµνην (xµ) = (ct,−x,−y,−z)

die kovarianten Komponenten von η definiert. Mit gµν = gµν kann man das Skalarproduktauch als

(ξ, η) = gµνξµην

schreiben.Kovariante Ableitungen Die Differenzierung nach der Raum-Zeit, x = (ct, x, y, z), istkovariant,

∂µ ≡∂

∂xµ(18.22)

und das Skalarprodukt

ξµ∂

∂xµ= ξµ∂µ

ein invarianter Differentialoperator.Die Kovarianz von ∂µ lässt sich folgendermaßen zeigen: Für eine skalare Funktion f(x)

(skalare Funktionen sind Lorentz-invariant) ist die Differenzierung entlang ξ,

d

dλf(x+ λξ)

∣∣∣∣∣λ=0

= ξµ∂f

∂xµ= (ξµ ∂µ) f(x)

169

Lorentz-invariant, und somit auch ξµ ∂µ. Damit muss also ∂µ kovariant sein.Wellenoperator Natürlich ist der Wellenoperator

gµν∂µ∂ν = 1c2∂2

∂t2−∆

invariant; dies war ja unser Ausgangspunkt. Ferner ist für jedes Vektorfeld A(x) die Di-vergenz

∂µAµ = ∂Aµ

∂xµ

eine Invariante (Skalarfeld).

18.8 Relativistische MechanikWir suchen eine Lorentz-invariante Bewegungsgleichung für ein geladenes Teilchen in ei-nem elektromagnetischen Feld, welche für kleine Geschwindigkeiten den bekannten nicht-relativistischen Grenzfall haben soll. Wir fangen mit einem freien Teilchen an.Differentielle Bogenlänge Die differentielle Bogenlänge ds auf einer Weltlinie x(t) istein Skalar,

ds2 = gµν dxµdxν = c2dt2 −

(dx2 + dy2 + dz2

), (18.23)

oder, mit der „3-er Geschwindigkeit“~v = d~x/dt,

ds2 =(c2 −

(v2x + v2

y + v2z

))dt2

und somit Lorentz-invariant.Eigenzeit Die „Eigenzeit“τ ist via c dτ = ds definiert, also

dτ = 1cds =

√1− ~v2/c2 dt . (18.24)

Da τ Lorentz-invariant ist und im Limes kleiner Geschwindigkeiten mit der Laborzeit tübereinstimmt, ist τ die Eigenzeit, also die „Uhr“in dem bewegten Bezugssystem.Zeitdilatation Der in der Einleitung diskutierte radioaktive Zerfall ist als physikalischerProzess Lorentz invariant und läuft daher nach (18.24) n der Laborzeit dt gemäß

dt = γ dτ

um den Faktor γ = 1/√

1− v2/c2 langsamer ab (Zeitdilation), in Einklang mit demExperiment, siehe (18.1).4-er Geschwindigkeit Als „4-er Geschwindigkeit“bezeichnet man

170

u = dx

dτ; (uµ) =

c√1− v2/c2

,~v√

1− v2/c2

(18.25)

mit (u, u) = c2. Anlog ist der „4-er Impuls“via

p = mu; (pµ) = mc√

1− v2/c2,

m~v√1− v2/c2

(18.26)

definiert, wobei m die Ruhemasse ist. Er erfüllt stets

(p, p) = m2c2. (18.27)

Lagrangefunktion Um die Lagrangefunktion für ein freies Teilchen herzuleiten gehenwir vom Prinzip von Euler-Maupertuis (siehe Mechanik) aus, welches besagt, dass für einfreies Teilchen die Variation der Lorentz-invarianten Wirkung

∫ (2)

(1)ds

für feste Endpunkte (1) und (2) verschwindet (Die Endzeiten sind jedoch variabel). Wirpostulieren also, dass das Prinzip von Euler-Maupertuis auch relativistisch gilt, wenn manwie mit s einen Lorentz-invarianten Kurvenparameter wählt.

Wir multiplizieren mit (−mc) und erhalten∫(−mc) ds =

∫(−mc2) dτ =

∫(−mc2)

√1− v2/c2︸ ︷︷ ︸≡L

dt.

Das Variationsprinzip

δ∫ (2)

(1)Ldt = 0,

führt zur Definition der Lagrangefunktion

L = (−mc2)√

1− v2/c2 ≈ −mc2 + m

2 v2 + O(v2/c2) .

Bewegungsgleichungen Die Lagrange-Gleichungen,

d

dt

∂L

∂xi− ∂L

∂xi= 0, (i = 1, 2, 3) (18.28)

werden somit zu den Bewegungsgleichungen

d

dt

m~v√1− ~v2/c2

= 0 , (18.29)

welches den relativistischen 3-er Impuls

171

~p = m~v√1− ~v2/c2

definiert, in Einklang mit (18.26). Die Lösung von (18.29) ist natürlich ~v = konst..Relativistische Energie Aus der Mechanik wissen wir, dass für zeitunabhängige La-grangefunktionen die verallgemeinerte Energie ∑α pαqα − L erhalten ist. In unserem Fallist die Energie E

E =3∑i=1

pixi − L = m~v 2√1− ~v 2/c2

− (−mc2)√

1− v2/c2

= m~v 2 + (mc2)(1− v2/c2)√1− ~v 2/c2

,

also

E = mc2√1− ~v 2/c2 E(~v = 0) = mc2 , (18.30)

mit der „Ruheenergie“ E(~v = 0) = mc2.Energie-Impuls-Beziehung Ein Vergleich der relatistischen Energie (18.30) mit derDefinition des 4-er Impulses (18.26) zeigt, dass der 4-er Impuls die Form

pµ =(E

c, ~p)

(18.31)

hat und die Relation (p, p) = E2/c2 − ~p 2 = m2c2, siehe (18.27), somit zu

E =√~p 2c2 + (mc2)2 (18.32)

wird. Gl. (18.32) ist die berühmte Energie-Impuls-Beziehung der speziellen Relativitäts-theorie.Masselose Teilchen Aus (18.32) folgt, dass auch Teilchen ohne Masse, wie z.B. Pho-tonen, einen Impuls

p = E/c

haben.

18.9 Relativistisches Teilchen in einem elektromagne-tischen Feld

Mit den Definitionen für das skalare Potential Φ(t, ~x) und für das Vektorpotential ~A(t, ~x)aus Abschnitt 7.1,

~B = ∇× ~A, ~E = −∂~A

∂t−∇Φ (18.33)

172

können wir das kovarianten 4-er Potential

(Aµ) :=(φ, ~A

)(18.34)

definieren, wie in Kapitel 19 noch näher erläutert werden wird.Lagrange Funktion für ein Geladenes Teilchen Mit der der 4-er Geschwindigkeitu = γ(c, ~v), nach (18.25), könne wir die Wirkung I = (−mc2)

∫dτ für eine freies Teilchen

Lorentz-invariant zu

I =∫ [−m2c2 − e

c(u,A)

]dτ =

∫ [−mc2

√1− v2/c2 − e(φ− 1

c~v · ~A)

]︸ ︷︷ ︸

L(~x,~v,t)

dt

verallgemeiner, wobei wir die Lagrange Funktion L(~x,~v, t) definieren haben und dτ = dt/γ

verwendete haben, mit 1/γ =√

1− (v/c)2.

Lagrange Gleichungen Für die Lagrange Gleichungen (18.28) brauchen wir

d

dt

∂L

∂xk= d

dt

mvk√1− v2/c2

+ e

cAk

= d

dt

mvk√1− v2/c2

+ e

c

∂Ak

∂t+ e

c

∑i

∂Ak

∂xivi

und∂L

∂xk= −e ∂Φ

∂xk+ e

c

∑i

∂Ai

∂xkvi .

Wir erhalten somit mit (18.33) die Bewegungsgleichungen

d

dt

mvk√1− v2/c2

= e

(− ∂φ

∂xk− 1c

∂Ak

∂t

)︸ ︷︷ ︸

Ek

+ e

c

∑i

(vi∂Ai

∂xk− vi∂A

k

∂xi

)︸ ︷︷ ︸

(~v× ~B)k

,

für eine relativistisches Teilchen in einem äußerm elektromagnetischem Feld. Die RechteSeite entspricht der Lorrentz Kraft. Hier haben wir

(~v × ~B)k = εklmvlεmop∂oAp = (δkoδlp − δkpδlo)vl∂oAp

verwendet.Kanonischer Impuls und Energie Der kanonische Impuls ist

~p = ∂L

∂~x= mγ~v + e

c~A ,

wie aus der klassischen Mechanik im nicht-relativistischem Limes γ → 1 schon bekannt.Die erhaltene Gesamtenergie ist nach dem Satz von Noether dann

E = ~p · ~v − L = mγc2 + eΦ ,

173

wobei wir (18.30) verwendet haben. Die Terme±~v· ~A e/c heben sich weg, die Lorentz-Kraftist keine Potentialkraft.Teilchen im konstanten elektrischen Feld Wir haben

d

dt

m~v√1− v2/c2

= e ~E + e

c~v × ~B , (18.35)

zu lösen, für den Fall eines konstanten elektrischen Feldes ~E = E0x und ~B = 0. Mit~v = vx wird dann die Bewegungsgleichung (18.35) zu

mv√1− v2/c2

= eE0t ,

oder

0 = m2v2 − (eE0t)2(

1− v2

c2

)= v2

(m2 + (eE0t)2

c2

)− (eE0t)2 .

Für die Geschwindigkeit v = v(t) erhalten wir

v = v(t) = eE0t√m2 + (eE0t)2/c2

.

Für kleine Zeiten ist v ' eE0t/m, für große Zeiten ist limt→∞ v = c, die Lichtgeschwin-digkeit c hat also die Bedeutung einer asymptotischen Grenzgeschwindigkeit.

174

Kapitel 19

Lorentz-invariante Formulierung derMaxwell-Gleichungen

19.1 Das vierdimensionale Raum-Zeit-KontinuumDas Ziel dieses Abschnittes wird es sein, einen Formalismus zu entwickeln, mit dessenHilfe die Gesetze der Elektrodynamik auf eine Weise geschrieben werden können, dieihre Invarianz bezüglich Lorentz-Transformationen (LT) evident macht. Als ersten Schritterrinnern wir an die Viererschreibweise, welche wir im Kapitel 18 eingeführt haben.Vektorkalkül Seien ct, x, y und z Koordinaten im Minkowski-Raum. Es gelten diefolgenden Definitionen und Konventionen:• Kontravariante Vierervektoren xµ

xµ ≡ (x0, x1, x2, x3) = (ct, x, y, z); µ = 0, 1, 2, 3 .

• Kovariante Vierervektoren xµ

xµ ≡ (x0, x1, x2, x3) = (ct,−x,−y,−z); µ = 0, 1, 2, 3 .

• Lateinische und griechische IndizesPer Konvention steht ein griechischer Index für 0...3, ein lateinischer für 1...3.

• SummenkonventionDie Einstein-Konvention, wie wir sie bisher verwendeten, wird nun eingeschränkt.Summiert wird nur noch über gleichnamige Indizes, wenn sie auf verschiedenenEbenen stehen, d.h.

xµxµ ≡3∑

µ=0xµxµ = s2; xixi ≡

3∑i=1

xixi .

• MetrikDie Beschaffenheit, d.h. die Geometrie eines Raumes ist durch seine Metrik und da-mit durch sein Linienelement eindeutig festgelegt. Nach (18.23) ist die differentielleBogenlänge ds mit

175

ds2 = gµν dxµdxν (19.1)

Lorentz-invariant, wobei gµν der metrische Tensor ist.

Metrischer Tensor Im euklidischen vierdimensionalen Raum lautet die Metrik

gµν →

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

.

Im Minkowski-Raum der Relativitätstheorie gilt dagegen

gµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

. (19.2)

Die Form des metrischen Tensors folgt unmittelbar aus der Konstanz der Lichtgeschwin-digkeit, wie im Kapitel 18 diskutiert.

• Mit der Metrik (19.2) ist es möglich, Indizes zu heben bzw. zu senken und damitkovariante in kontravariante Vektoren zu verwandeln und umgekehrt. Es gilt

xµ = gµνxν und xµ = gµνxν ,

wobei gµν die zu gµν inverse Metrik darstellt.

• Es gilt gµν = gµν denngµν = gµµ

′gνν

′gµ′ν′ .

• Die 4er-Einheitsmatrix δµλ (das 4er Kronecker-δ) ist durch

gµλ = gµνgνλ = δµλ =

0 µ 6= λ1 µ = λ

gegeben.

• Die vertikale Positionierung der Indizes ist wichtig. Die LorentztransformationenΛµ

ν und Λ µν sind i.Allg. nicht gleich, die Schreibweise Λµ

ν unzulässig. Der erste Indexeines Tensor indiziert die Reihe, der zweite die Spalte.

Rechnen mit Tensoren Als Beispiel betrachten wir einen Tensor(M ν

µ

)=

(A BC D

); (gµν) =

(1 00 −1

)

176

für den vereinfachten Fall von einer räumlichen und einer zeitlichen Dimension. In Klartexthaben wir

M 00 = A M 1

0 = B

M 01 = C M 1

1 = D

in Komponenten-Schreibweise. Es gilt

Mµν = gνν′Mν′

µ ; (Mµν) =(A −BC −D

)

undMµ

ν = gµµ′Mµ′ν ; (Mµ

ν) =(

A −B−C D

).

Diese Beziehung zwischen (M νµ ) und (Mµ

ν) läßt sich ohne Probleme auf den Fall dreierräumlicher Dimensionen verallgemeinern.Lorentz-Transformationen Wie transformieren sich Vektoren beim Übergang in einanderes Koordinatensystem? Was macht einen kovarianten Vektor aus? Man betrachtedie ko- bzw. kontravarianten Vierervektoren

Aµ = (A0,−A1,−A2,−A3); Aµ = (A0, A1, A2, A3) .

Ein Vektor ist nun dann und nur dann ko- bzw. kontravariant wenn er sich unter einerLorentz-Transformation Λ vom Laborsystem Σ zu einem bewegten Bezugssystem Σ′ wie

(A′)µ = Λ νµ Aν ; (A′)µ = Λµ

νAν ; Λ ν

µ = gµµ′gνν′Λµ′

ν′ (19.3)

transformiert, vergl. (18.21). Nun ist die Lorentz-Transformation eine lineare Abbildungund daher gilt

Λµν = ∂x′µ

∂xν; Λ ν

µ =∂x′µ∂xν

(19.4)

wenn wir mit xµ die 4er Koordinaten im Laborsystem Σ bezeichnen und mit x′µ die imbewegten Bezugssystem Σ′, vgl. (18.18) und (18.22). Aus einem Vergleich der rechten undlinken Seite von (19.4) ist klar dass die Ableitung nach einem kontravarianten Vektorkovariant sein muss und umgekehrt,

∂µ ≡∂

∂xµ=(∂

∂x0 ,~∇)

; ∂µ ≡ ∂

∂xµ=(∂

∂x0 ,−~∇),

siehe auch (18.22).Invarianz des Skalarproduktes Lorentz Transformationen lassen per Definition dieMetrik invariant, als

(x′|x′) = (x|x) (x′)µ gµν (x′)ν = xσgσρ xρ ,

was ausgeschriebenxσ gσρ x

ρ = Λµσ x

σ gµν Λνρ x

ρ

177

ergibt, vergl. auch (18.10). Diese Beziehung gilt für alle xσ und wir finden daher mit

gσρ = gµνΛµσΛν

ρ; δλρ = gλσ gσρ = gλσ gµνΛµσ︸ ︷︷ ︸

=: (Λ−1)λν

Λνρ = (Λ−1)λν Λν

ρ

einen Ausdruck für die inverse Lorentz-Transformation Λ−1.Wellengleichung Die Viererdivergenz

∂µAµ = ∂µAµ := ∂A0

∂x0 +(∂A1

∂x1 + ∂A2

∂x2 + ∂A3

∂x3

)= 1

c

∂A0

∂t+ ∇ ·A (19.5)

führt via

:= ∂µ∂µ = ∂2

∂x02 −∆ = 1c2∂2

∂t2−∆ .

zur Wellengleichung, welche per Definition Lorentz-invariant ist und damit ein Skalar.Rotationen Einfache Rotationen des Koordinatensystems lassen die Minkowski-Metrikinvariant und gehhören also auch zur Gruppe der Lorentz-Transformationen.

Lµν =

1 0 0 000 R0

Die Untermatrix R beschreibt dabei eine Rotation, also eine orthogonale Transformationim euklidischen 3d-Unterraum, mit

detL = detR = 1detL = −1

:

eigentlichen

uneigentlichen

Rotationen.

Boosts Lorentz Transformationen welche (ohne eine zusätzliche Rotation des Koordina-tensystems) auf ein Bezugssystem transformieren, welche sich mit der Relativgeschwin-digkeit v zum Laborsystem bewegt, nennt mann Boosts. Für v = (v, 0, 0) und β = v/cgilt

x′0 = x0 − βx1√

1− β2 , x′1 = x1 − βx0√

1− β2 , x′2 = x2, x′3 = x3 , (19.6)

also

(Lµν) =

1√

1−β2−β√1−β2

0 0−β√1−β2

1√1−β2

0 00 0 1 00 0 0 1

. (19.7)

Für kovariante Ortsvektoren lautet das Transformationsgesetz

x′µ = L νµ xν , mit L ν

µ = gµρLρλg

λν ,

178

also

(L νµ

)=

1√

1−β2β√

1−β20 0

β√1−β2

1√1−β2

0 00 0 1 00 0 0 1

. (19.8)

Drei Rotationen um und drei Boots entlang der Raumachsen ergeben sechs unabhän-gige Parameter für die eindeutige Bestimmung einer LT. Man sieht das auch auf einealternative Weise ein.

19.2 Gauß’sches cgs-SystemFür die relativistische Formulierung ist es vorteilhaft, nicht das bisher benützte MKSA-System für die elektromagnetischen Einheiten zu benützen, sondern das Gauß’sche cgs-System. Die Maxwell-Gleichungen haben im Gauß’schen cgs-System (im Vakuum) dieForm:

∇ · E = 4πρ ∇ ·B = 0∇×B = 4π

cj + 1

c∂E∂t

∇× E + 1c∂B∂t

= 0 . (19.9)

Die Lorentz-Kraft lautet im Gauß’schen cgs-System: q(

E + 1cv×B

).

Aus den Potentialen A und φ gewinnt man die physikalischen Felder im cgs-System via

B = ∇×A, E = −1c

∂A∂t−∇φ , (19.10)

die Lorentz-Eichung hat die Form

∇ ·A + 1c

∂

∂tφ = 0 . (19.11)

19.3 Ströme, Dichten, PotentialeDer in den letzten Abschnitten entwickelte Formalismus stellt eine leistungsfähige Metho-de zur Formulierung der Elektrodynamik dar. Im Folgenden werden die Gleichungen derElektrodynamik so geschrieben, dass diese unter LT forminvariant bleiben.Kontinuitätsgleichung Die Viererdivergenz (19.5) legt einen Zusammenhang mit derKontinuitätsgleichung nahe. Setzt man den Viererstrom

(jµ) = (cρ,~j)

in die Kontinuitätsgleichung ein, so erhählt man

0 = ρ+∇ ·~j = 1c

∂

∂t(cρ) +∇ ·~j; ∂µj

µ = 0 . (19.12)

179

Da dies einen Skalar darstellt, ist die Gleichung Lorentz-invariant. Alle physikalischenGesetze müssen invariant sein, so wie die Kontinuitätsgleichung (19.12).4er-Strom Bei der Herleitung von (19.12) haben wir stillschweigend vorausgesetzt, dassjµ ein 4er-Vektor ist. Dafür muss sich seine nullte Komponente cρ wie eine zeitartigeVariable transformieren.

Die im Volumenelement d3x eingeschlossene Ladung ist ρ d3x. Das Minkowski-Vo-lumenelement d4x transformiert sich auf folgende Weise:

d4x′ =∣∣∣∣∣∂(x′0, x′1, x′2, x′3)∂(x0, x1, x2, x3)

∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸= |detL|= 1

d4x = d4x , d3x′ d(x′)0 = d3x dx0 ,

also ist d4x eine Lorentz-Invariante. Andererseits ist wegen der Invarianz der elektrischenLadung

ρ′ d3x′ = ρ d3x; ρ′

d(x′)0 = ρ

dx0 . (19.13)

Damit ist gezeigt, dass ρ eine zeitartige Variable ist: Sie transformiert sich wie dx0.Lorentz-Eichung Die Lorentz-Eichbedingung lautet

∇ ·A + 1c

∂

∂tφ = 0 .

Mit der Definition

(Aµ) := (φ,A) (19.14)

wird diese zu∂µA

µ = 0 , (19.15)welche als Skalar wieder invariant unter Lorentz-Transformationen ist. Das gilt offensicht-lich nicht für die Coulomb-Eichung ∇ ·A = 0.Vektor- und Skalarpotential in Lorentz-Eichung Die Feldgleichungen (7.9) und(7.10)) für die Potentiale φ und A können nun in Lorentz-Eichung kompakt hingeschriebenwerden. Sie lauten zusammen einfach

Aµ = 4πcjµ . (19.16)

Die inhomogenen Wellengleichungen sind zu den Maxwell-Gleichungen äquivalent und dieLorentz-Invarianz von (19.16) impliziert somit auch die Lorentz-Invarianz der klassischenElektrodynamik.E- und B-Felder Mit ∂µ =

(1c∂∂t,−∇

)ergibt sich beispielsweise für die x-Komponenten

Ex = −1c∂Ax∂t− ∂φ

∂x= −

(∂0A1 − ∂1A0

)Bx = ∂Az

∂y− ∂Ay

∂z= −

(∂2A3 − ∂3A2

) (19.17)

180

19.4 Maxwell-Gleichungen in Vakuum und MaterieDie Darstellung (19.17) der elektromagnetischen Felder legt nahe den kontravariantenantisymmetrischen Feldstärkentensor

F µν = ∂µAν − ∂νAµ =

0 −Ex −Ey −Ez

Ex 0 −Bz By

Ey Bz 0 −Bx

Ez −By Bx 0

(19.18)

zu definieren. Seine kovariante Form erhält man durch

Fµν = gµρFρλgλν =

0 Ex Ey Ez

−Ex 0 −Bz By

−Ey Bz 0 −Bx

−Ez −By Bx 0

. (19.19)

Aus diesem gewinnt man den sogenannten dualen Feldstärketensor Fµν über

Fµν := 12ε

µνλρFλρ =

0 −Bx −By −Bz

Bx 0 Ez −EyBy −Ez 0 Bx

Bz Ey −Ex 0

. (19.20)

Analog zum dreidimensionalen Fall ist hier

εµνλρ =

+1 falls µ, ν, λ, ρ zyklisch−1 falls µ, ν, λ, ρ antizyklisch

0 sonst. (19.21)

Man sieht, dass man von F µν direkt nach Fµν gelangt, wenn man B für E und −E fürB einsetzt. Mit diesen Definitionen können die Maxwell-Gleichungen äußerst kompaktaufgeschrieben werden.Inhomogene Maxwell-Gleichungen Die inhomogenen Maxwell-Gleichungen lautenunter Verwendung des Feldstärketensors einfach

∂µFµν = 4π

cjν , (19.22)

und diese Formulierung ist, wie man leicht zeigen kann, Lorentz-invariant. Also gilt injedem anderen Inertialsystem Σ′ die Gleichung

∂′µF′µν = 4π

cj′ν .

Homogene Maxwell-Gleichungen Die homogenen Maxwell-Gleichungen haben dieForm

∂µFµν = 0 , (19.23)

181

wobei Fµν hier der duale Feldstärketensor ist. Man kann die homogenen Gleichungen auchmit Hilfe des Feldstärketensors F µν schreiben,

∂µF νλ + ∂νF λµ + ∂λF µν = 0 . (19.24)

Diese Gleichung heißt auch Jacobi-Identität (der Beweis erfolgt einfach durch das Einset-zen der Definition (19.18)). Da aber die Null auf der rechten Seite ganz automatisch alleindurch die Definition von F µν herauskommt, sind die homogenen Gleichungen ohne jedeweitere Annahme automatisch erfüllt!

Mit anderen Worten:Schreibt man (19.18) hin, so sind die homogenen Glei-chungen bereits impliziert und damit trivial!.

Beispielsweise erhält man für µ = 0, ν = 1 und λ = 2 die z-Komponente der Induktions-gleichung,

−1c

∂

∂tBz −

∂

∂xEy + ∂

∂yEx = −

[1c

∂

∂t~B + ~∇× ~E

]z

= 0 .

Für µ = 1, ν = 2, und λ = 3 ergibt sich∂

∂xBx + ∂

∂yBy + ∂

∂zBz = ∇ ·B = 0 .

19.5 Transformation der FelderEs stellt sich die Frage, wie sich elektrische und magnetische Felder bzw. der Feldstärketen-sor unter Lorentz-Transformationen verhalten. Die universelle Transformationsvorschriftfür Tensoren zweiter Stufe lautet

(F ′)µν = LµλLνρ F

λρ .

Das gestrichene System bewege sich mit der Geschwindigkeit v entlang der x-Richtung. Diezwischen dem Laborsystem Σ und dem bewegten Bezugssystem Σ′ vermittelnde Trans-formation ist ein Boost der Form (19.7) und bewirkt, dass im gestrichenen System dieFelder die Form

E ′x = Ex, B′x = Bx

E ′y = (Ey − βBz)/√

1− β2, B′y = (By + βEz)/√

1− β2

E ′z = (Ez + βBy)/√

1− β2, B′z = (Bz − βEy)/√

1− β2(19.25)

annehmen. Die Transformationsvorschrift (19.25) vermischt die elektrischen und die ma-gnetischen Komponenten des Feldstärketensors. Der Feldstärketensor F µν , nicht die ge-trennten Felder E und B, liefert die relativistisch konsequente Beschreibung des elektro-magnetischen Feldes.Transformation der Felder Die korrekte Verallgemeinerung von (19.25) für allgemeineGeschwindigkeiten ~v lautet

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B′ = γB− γ − 1v2

(B · v

)v− γ

c

(v× E

)E′ = γE− γ − 1

v2

(E · v

)v + γ

c

(v×B

)

mitγ := 1√

1− β2 .

Die obigen Formeln machen deutlich, dass beispielsweise ein in einem bestimmten In-ertialsystem rein magnetisches Feld nicht in allen anderen Inertialsystemen auch reinmagnetisch zu sein braucht. Bei der Transformation treten plötzlich elektrische Feldkom-ponenten auf! Das darf aber nicht zu der Annahme verführen, die Lorentz-Kraft

Fl = e

cv×B

erwachse rein aus der Transformation des Magnetfeldes in das Bezugssystem eines beweg-ten Teilchens. Wie man sich mit Hilfe von (19.25) leicht überzeugt, gilt diese Aussage nurin niedrigster Ordnung in v/c.Transformation der Koordinaten Zu beachten ist, dass zu einer Transformation in einneues Bezugssystem immer auch eine Transformation der Raumzeit-Koordinaten gehört,denn andere Koordinaten hat der dortige Beobachter ja nicht zur Verfügung. In Σ′ müssenalso die Felder als

E′ = E′(x′, t′); B′ = B′(x′, t′)

ausgedrückt werden. In den Formeln (19.25) wird dieses impliziet vorrausgesetzt.

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