[[] chuyen de phuong trinh vo ty

WWW.ToanPhoThong.TK

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TIỀN GIANGTRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN TIỀN GIANG

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: THẦY ĐỖ KIM SƠN

NHÓM THỰC HIỆN:NGUYỄN ĐÌNH THUNGUYỄN MINH TÂMLÊ TRUNG HIẾUĐỖ QUANG BÌNHTRẦN ANH KIỆTLÊ MẠNH THÔNG

WWW.ToanPhoThong.TK1

LỜI NÓI ĐẦU

Phương trình vô tỷ là một đề tài ly thú vị của Đại số, đã lôi cuốn nhiều người nghiên cứu say mê và tư duy sáng tạo để tìm ra lời giải hay, y tưởng phong phú và tối ưu. Tuy đã được nghiên cứu từ rất lâu nhưng phương trình vô tỷ mãi mãi vẫn còn là đối tượng mà những người đam mê Toán học luôn tìm tòi học hỏi và phát triển tư duy.

Mỗi loại bài toán phương trình vô tỷ có những cách giải riêng phù hợp. Điều này có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Bên cánh đó, các bài toán giải phương trình vô tỷ thường có mặt trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán ở các cấp THCS, THPT. Chính vì thế, chúng tôi quyết tâm sưu tầm tài liệu, chọn lọc chi tiết và dưới sự hướng dẫn, dìu dắt của quy thầy cô bộ môn Toán trường THPT Chuyên Tiền Giang, chúng tôi biên sọan chuyên đề “ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ” này để mọi người có cái nhìn tổng quát về phương trình vô tỷ. Cụ thể là:

Hệ thống hóa kiến thức và kỹ năng giải phương trình vô tỷ. Cung cấp tài liệu và kỹ năng giải phương trình vô tỷ. Đặc biệt là để kỉ niệm ngày Nhà giáo Việt Nam 20/11; chúng tôi

muốn dành chuyên đề“ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ” kính tặng quy thầy cô; kính chúc thầy cô luôn dồi dào sức khỏe, nhiều may mắn và thành công trong cuộc sống.Chúng tôi hy vọng chuyên đề này sẽ mang lại cho bạn đọc nhiều điều

bổ ích và giúp các bạn cảm nhận thêm vẻ đẹp của Toán học qua các phương trình vô tỷ.Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng chuyên đề có thể còn một vài thiếu sót. Chúng tôi luôn biết ơn khi nhận được những y kiến đóng góp quy báu và sự thông cảm!

Cuối cùng chúng tôi xin cảm ơn thầy Đỗ Kim Sơn và quy thầy cô đã tạo mọi điều kiện để chúng tôi hoàn thành chuyên đề này.

TRANG

I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 4

II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 9

III. PHƯƠNG PHÁP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 32

IV. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC 37

V. PHƯƠNG PHÁP BÂT ĐĂNG THƯC 49

32

I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

1. Bình phương 2 vế của phương trình a) Phương pháp Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : , ta thường bình phương 2 vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn

và ta sử dụng phép thế : ta được phương trình :

b) Ví dụ Bai 1. Giải phương trình sau:

(1) Giải: Đk:

Vậy tập nghiệm của phương trình là Bai 2. Giải phương trình sau:

Giải: 2. Trục căn thức 2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung

a) Phương pháp Với một số phương trình ta có thể nhẩm được nghiệm như vậy

phương trình luôn đưa về được dạng tích ta có thể giải

phương trình hoặc chứng minh vô nghiệm , chú ý điều

kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía vô nghiệm

b) Ví dụ Bai 1 . Giải phương trình sau :

Giải:

Ta nhận thấy :

33

Ta có thể chuyển vế rồi trục căn thức 2 vế :

Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình .Bai 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) :

Giải: Để phương trình có nghiệm thì :

Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng

, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách các số hạng như sau :

Dễ dàng chứng minh được :

Bai 3. Giải phương trình :

Giải: Đk Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình

Ta chứng minh :

Vậy pt có nghiệm duy nhất x=32.2. Đưa về “hệ tạm “

a) Phương pháp Nếu phương trình vô tỉ có dạng , mà :

ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau :

34

, khi đó ta có hệ:

b) Ví dụ Bai 4. Giải phương trình sau :Giải:

Ta thấy :

không phải là nghiệm Xét Trục căn thức ta có :

Vậy ta có hệ:

Vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x=


Ta thấy : , ( không có dấu hiệu trên ).

Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt thì bài toán trở nên đơn giản hơn

3. Phương trình biến đổi về tích Sử dụng các đẳng thức


Giải:

Bai 2. Giải phương trình : Giải:+ , không phải là nghiệm

35

+ , ta chia hai vế cho x:

Bai 3. Giải phương trình: Giải: Đk

pt


Giải: Đk:

Chia cả hai vế cho :

Dùng hằng đẳng thức Biến đổi phương trình về dạng :


Giải:Đk: khi đó pt đã cho tương đương:

Bai 2. Giải phương trình sau :Giải:Đk: phương trình tương đương :

Bai 3. Giải phương trình sau :

Giải: pt

Bai tập đề nghịGiải các phương trình sau :

1)

2) (HSG Toàn Quốc 2002)

3)

4)

36

5)

6) (OLYMPIC 30/4-2007)

7)

8)

9)

37

II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ

1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Đối với nhiều phương trình vô tỉ, để giải chúng ta có thể đặt và chú y điều kiện của nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến

quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo thì việc đặt phụ xem như “ hoàn toàn” .Nói chung những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn

thường là những phương trình dễ .

Bài 1. Giải phương trình:

Giải:Đk:

Nhận xét.

Đặt thì phương trình có dạng:

Thay vào tìm được Bài 2. Giải phương trình: Giải

Điều kiện:

Đặt thì . Thay vào ta có phương trình sau:

Ta tìm được bốn nghiệm là:

Do nên chỉ nhận các gái trị

Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện

Ta được: , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.

Đơn giản nhất là ta đặt : và đưa về hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa về hệ)

Bài 3. Giải phương trình sau:

Điều kiện:

38

Đặt thì phương trình trở thành:

( với

Từ đó ta tìm được các giá trị của

Bai 4. (THTT 3-2005) Giải phương trình sau :

Giải: đk

Đặt pttt


Giải:Điều kiện:

Chia cả hai vế cho x ta nhận được:

Đặt , ta giải được.


Giải: không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được:

Đặt t= , Ta có :

Nhận xét : đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với lại quá khó giải 2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :

Chúng ta đã biết cách giải phương trình: (1) bằng cách

Xét phương trình trở thành :

thử trực tiếp Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)

Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này.

39

a) Phương trình dạng :

Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên nếu

Xuất phát từ đẳng thức :

Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như :

Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai giải “ nghiệm đẹp”


Giải: Đặt

phương trình trở thành :

Tìm được:


Bai 3: giải phương trình sau :

Giải: Đk:

Nhận xét : Ta viết

Đồng nhất thức ta được

Đặt , ta được:

Nghiệm :


Giải:

40

Nhận xét : Đặt ta biến pt trình về dạng phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :

Pt có nghiệm :

b).Phương trình dạng :

Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưng nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.Bai 1. Giải phương trình :

Giải:

Ta đặt : khi đó phương trình trở thành :

Bai 2.Giải phương trình sau :

Giải

Đk . Bình phương 2 vế ta có :

Ta có thể đặt : khi đó ta có hệ :

Do .

Bai 3. giải phương trình :

Giải:

Đk . Chuyển vế bình phương ta được:

Nhận xét : không tồn tại số để :

vậy ta không thể đặt

.

Nhưng may mắn ta có :

Ta viết lại phương trình: . Đến

đây bài toán được giải quyết . Các bạn hãy tự tạo cho mình những phương trình vô tỉ “đẹp “ theo cách trên

41

3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoan toan

Từ những phương trình tích ,

Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát .Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau .


Giải:

, ta có:


Giải:

Đặt :

Khi đó phương trình trở thành :

Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t :

Từ một phương trình đơn giản : , khai

triển ra ta sẽ được pt sau Bai 3. Giải phương trình sau :

Giải: Nhận xét : đặt , pt trở thành (1)

Ta rút thay vào thì được pt:

Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t

không có dạng bình phương .

Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo

Cụ thể như sau : thay vào pt (1)

Bai 4. Giải phương trình:

Giải:

Bình phương 2 vế phương trình:

42

Ta đặt : . Ta được:

Ta phải tách làm sao cho có dạng số chính

phương .Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt

được mục đích 4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích

Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giài nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ

Xuất phát từ đẳng thức , Ta có

Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba .


Giải : , ta có : , giải hệ

ta được:


Giải . Ta đặt : , khi đó ta có :

Bai 3. Giải các phương trình sau 1)

2)

Bai tập đề nghị Giải các phương trình sau

a.

b.

c.

43

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

Bai tập tổng hợp:1/ (1)a/ Giải phương trình n = 2 b/ Tìm các giá trị của n để phương trình có nghiệm:

2/

a/ Giải phương trình với m = 23b/ Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm.

Bài tập tương tự:3/

4/

5/ 6/ 7/ Tìm m để, phương trình sau có nghiệm

8/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

9/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

Giải các phương trình sau:

10/

11/ 12/ 13/ 14/ 15/ 16/ 17/ 18/ 19/

44

20/ (1)

21/ 22/ 23/

24/

25/ 25/ 26/ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình sau có nghiệm:

Bài tập tương tự:

27/

28/

29/

30/

31/

32/ (Đặt y = > 0)

33/ (1)34/ (1)

35/

36/ 37/ 38/ 39/ 41/

42/

GIẢI BÀI TẬP TỔNG HỢP

1/ (1)a/ Giải phương trình n = 2

45

b/ Tìm các giá trị của n để phương trình có nghiệm: Điều kiện

Đặt ẩn phụ Khi đó Hay (2)a/ Với n = 2 và ẩn phụ t, phương trình (1) trở thành.

Dễ thấy t1 = 0 không thoả (2). Thay t2 = 2 vào (2) được , thoả điều kiện ban đầu.

b/ Đặt ẩn phụ t như trên, phương trình (1) trở thành:

+ thì phương trình có nghiệm

Để phương trình có nghiệm thì (theo công thức tổng quát ở trên). Với t2 không thoả mãn. Với t1 có

Điều kiện này bảo đảm phương trình (2) có nghiệm x. Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi

2/

a/ Giải phương trình với m = 23b/ Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm. Điều kiện Đặt ẩn phụ . Khi đó x = t2 + 9Phương trình đã cho trở thành:

a/ Với m = 23 có:

Giải ra ta được t1 = 8, t2 = 4, t3 = 2 nên phương trình có 3 nghiệm là x1 = 73, x2 = 25, x3 = 13.b/ Với t ≥ 3 thì t2 – 12t + 9 + m = 0

46

Phương trình này có nghiệm khi 18 < m ≤ 27Vậy phương trình có nghiệm khi m ≤ 27.

20/ (1)

Điều kiện x2 – 1 > 0, x > 0 x > 1 Bình phương 2 vế của (1), ta có:

(2)

Đặt , với t > 0, ta có

(2) (2)

Phương trình (3) có 2 nghiệm trái dấu.

+ Với

(4)Đặt . Ta có

Suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm:

Vậy nghiệm của phương trình là

21/ Đặt y = x + a, z = x – a Nhân lượng liên hiệp

47

(Chọn)

(Loại)

Lập phương 2 vế phương trình ta được- yz = a2

x = 0 (thử lại thoả)Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 022/

Đặt

Đặt t = uv

Với t = 15 x = 4Với t = 113 x = 548Thử lại ta thấy tập nghiêm của phương trình là 23/ Điều kiện-1 ≤ x ≤ 1 Đặt , với u, v > 0

Phương trình đã cho trở thành

Thử lại ta thấu tập nghiệp của phương trình đã cho là

24/

Điều kiện

Đặt và t ≠ 1Phương trình đã cho trở thành:

48

Với

Thử lại ta thấy tập nghiệm của phương trình là

25/ Đặt , với x ≥ -1, u > 0Phương trình đã cho trở thànhU2 – u – 20 = 0

Do đó(*)

(**)Từ (*) và (**)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {3}26/ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình sau có nghiệm:

Với điều kiện

Đặt

Nếu x > 3 và y ≤ 0 nếu x ≤ -1

Phương trình đã cho

(1)

Trở thành y2 + 3y – (a – 1)(a + 2) = 0

Do đó

49

(Loại)

(Chọn)

(Loại)

Xét phương trình

(3)

y = 0 x = -1 y > 0 x > 3 y < 0 x < -1

a/ Xét khả năng y > 0 với x ≥ 3, ta có: = y2 x2 – 2x – 3 – y2 = 0 (4)

Phương trình (4) có 2 nghiệm trái dấu

b/ Xét khả năng y ≤ 0 với x ≤ -1Giải được nghiệm (thoả)Do đó ta có:

Với y = a – 1, ta có a > 1: Phương trình (1) có nghiệm:

a ≤ 1: Phương trình (1) có nghiệm: Với y = - a – 2 , ta có: a < -2: Phương trình (1) có nghiệm: a ≥ -2: Phương trình (1) có nghiệm:

Ta suy ra: Nếu a < -2: (1) có 2 nghiệm là:

Nếu a = -2 : (1) có 2 nghiệm là: Nếu -2 < a < 1: (1) có 2 nghiệm là: Nếu a = 1: (1) có 2 nghiệm là: Nếu a > 1: (1) có 2 nghiệm là:

Vậy phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm

28/

Với điều kiện 5x + 2 ≠ 0

Đặt Phương trình đã cho

50

(Chọn)

(Loại)

(1)

Trở thành

Do đó ta có:

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là:

33/ (1)Điều kiện: 1 + x3 ≥ 0

Mà x2 – x + 1 > 0, nên điều kiện đó tương đương với x + 1 ≥ 0. Đặt . Phương trình (1) trở thành 5uv – 2(u2 + v2)

Với , phương trình (1) vô nghiệm

Với thì

51

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

* Những bài toán dạng trên được giải bằng phương pháp đưa về ẩn phụ. Nhưng cũng là biến đổi phương trình phức tạp thành đơn giản. Để mở rộng phương trình trên ta xét thêm phần mở rộng của phương pháp đặt ẩn phụ.

Đưa về hệ phương trình:34/ (1)Với điều kiện:

Đặt Với v > u ≥ 0

Phương trình (1) trở thành u + v = 0 Ta có hệ phương trình

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1}

35/

Điều kiện:

(*)

Vớu điều kiện (*),đặt

, với u ≥ 0,

Ta có:

Do dó ta có hệ

52

u và v là nghiệm của phương trình

(b) vô nghiệm (a) có 2 nghiệm

Do đó:

Vì u ≥ 0 nên ta chọn

53

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

36/ Với điều kiện

(*)

Đặt , với u ≥ 0, v ≥ 0

Suy ra

Phương trình đã cho tương đương với hệ:

Đặt A = u + v và P = u.v, ta có:

(1) Với S = 4, P = 3u và v là nghiệm của phương trình:

Do đó ta có:

Suy ra

thoả (*)

(2) Với S = 4, P = 29 không tồn tại u và vVậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là

54

37/ Đặt và , phương trình đã cho tương đương với hệ

(*)

Ta có:

Đặt S = u + vP = u.v

Ta có: Do đó ta có: (*)

(1) Với

Ta có

Do dó ta có: (2) Với Ta có < 0. vô nghiệmVậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là

38/

Đặt

Ta có hệ:

55

Thử lại ta thấy x = 3 là nghiệm của phương trình39/ Đặt u = x3 + x2

Do dó x3 + x2 – 2 = 0

Thử lại ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình đã cho.40/

(1)Điều kiện Đặt

Ta có hệ:

a. Nếu x + 1 = 0

b. Nếu x – t + 1 = 0


56

3

1

11

x

xv

xu

loại

thoả

thoả

loại

41/ Đặt với u > v ≥ 0Với điều kiện

(*)

Phương trình đã cho (1)Tương đương với hệ

42/

Điều kiện Đặt . Ta có:

(*)

Từ (*)

a. Xét xy = 1 so y > 0 nên x > 0Ta có: Ta có xy = 1 và x + y = 2 nên x, y là nghiệm của phương trình x2 – 2x + 1 = 0

b. Xét xy = - . Tương tự ta được x =

Vậy phương trình có tập nghiệm là

57

III. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường

Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v


Đặt

Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: , giải hệ này ta

tìm được . Tức là nghiệm của phương trình là


Điều kiện:

Đặt

Ta đưa về hệ phương trình sau:

Giải phương trình thứ 2: , từ đó tìm ra rồi thay vào tìm

nghiệm của phương trình.

Bai 3. Giải phương trình sau:

Điều kiện:

Đặt thì ta đưa về hệ phương trình sau:

Vậy


GiảiĐiều kiện:

Đặt .

58

Khi đó ta được hệ phương trình:

2 Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II

Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau : việc

giải hệ này thì đơn giản Bây giờ ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt sao cho (2)

luôn đúng , , khi đó ta có phương trình :

Vậy để giải phương trình : ta đặt lại như trên và đưa về hệ

Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 : , ta sẽ xây

dựng được phương trình dạng sau : đặt , khi đó ta có phương

trình :

Tương tự cho bậc cao hơn :

Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng:

v đặt để đưa về hệ , chú y về dấu

của Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng

là chọn được.


Điều kiện:

Ta có phương trình được viết lại là:

Đặt thì ta đưa về hệ sau:

Trừ hai vế của phương trình ta được

Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là:


59

Giải

Điều kiện

Ta biến đổi phương trình như sau:

Đặt ta được hệ phương trình sau:

Với

Với

Kết luận: Nghiệm của phương trình là

Các bạn hãy xây dựng một số hệ dạng này ? Dạng hệ gần đối xứng

Ta xt hệ sau : đây không phải là hệ đối xứng loại 2

nhưng chúng ta vẫn giải hệ được , và từ hệ này chúng ta xây dưng được bài toán phương trình sau :

Bai 1 . Giải phương trình: Nhận xét : Nếu chúng ta nhóm như những phương trình trước :

Đặt thì chúng ta không thu được hệ phương trình mà chúng ta

có thể giải được.Để thu được hệ (1) ta đặt : , chọn sao cho hệ chúng ta có thể giải được , (đối xứng hoặc gần đối xứng )

Ta có hệ :

Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2) và mong muốn của chúng ta là có nghiệm

Nên ta phải có : , ta chọn được ngay

Ta có lời giải như sau :

Điều kiện: ,

Đặt

60

Ta có hệ phương trình sau:

Với

Với

Kết luận: tập nghiệm của phương trình là:

Chú ý : khi đã làm quen, chúng ta có thể tìm ngay bằng cách viết lại phương trình ta viết lại phương trình như sau:

khi đó đặt , nếu đặt thì chúng ta không thu được hệ như mong muốn , ta thấy dấu của cùng dấu với dấu trước căn. Một cách tổng quát .

Xét hệ: để hệ có nghiệm x = y thì : A-A’=B và

m=m’, Nếu từ (2) tìm được hàm ngược thay vào (1) ta được phương trình Như vậy để xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm được và hơn nữa hệ phải giải được.Một số phương trình được xây dựng từ hệ.Giải các phương trình sau

1)

2)

3)

4)

5)

6)

8/ 9/10/

11/

12/61

13/14/

15/16/17/18/

19/20/

Giải (3): Phương trình :

Ta đặt :

62

IV.PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC1. Một số kiến thức cơ bản:

Nếu thì có một số t với sao cho : và một

số y với sao cho

Nếu thì có một số t với sao cho : và một số y

với sao cho

Với mỗi số thực x có sao cho :

Nếu : , là hai số thực thỏa: , thì có một số t với ,

sao cho Từ đó chúng ta có phương pháp giải toán :

Nếu thì đặt với hoặc với

Nếu thì đặt , với hoặc , với

Nếu , là hai số thực thỏa: , thì đặt với

Nếu , ta có thể đặt : , với , tương tự cho

trường hợp khác

X là số thực bất kỳ thi đặt :

Tại sao lại phải đặt điều kiện cho t như vậy ? Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện thì phải đảm bảo với mỗi

có duy nhất một , và điều kiện trên để đảm bào điều này . (xem lại đường tròn lượng giác )2. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác như thế nao ?

Từ các phương trình lượng giác đơn giản: , ta có thể tạo ra được phương trình vô tỉ Chú y : ta có phương trình vô tỉ: (1)

63

Nếu thay bằng ta lại có phương trình :

(2)Nếu thay x trong phương trình (1) bởi : (x-1) ta sẽ có phương trình vố tỉ khó:

(3)

Việc giải phương trình (2) và (3) không đơn giản chút nào ? Tương tự như vậy từ công thức sin 3x, sin 4x,…….hãy xây dựng những

phương trình vô tỉ theo kiểu lượng giác .3. Một số ví dụ


Giải:Điều kiện :

Với : thì (ptvn)

ta đặt : . Khi đó phương trình trở thành:

vậy phương trình có nghiệm :

Bai 2. Giải các phương trình sau :

1) DH:

2) Đs:

3) HD: chứng minh vô nghiệm

Bai 3 . Giải phương trình sau:

Giải: Lập phương 2 vế ta được:

Xét : , đặt . Khi đó ta được

mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập nghiệm của phương trình.

Bai 4. .Giải phương trình

64

Giải: đk: , ta có thể đặt

Khi đó ptt:

Phương trình có nghiệm :

Bai 5 .Giải phương trình :

Giải: đk

Ta có thể đặt :

Khi đó pttt.

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm

TÓM TẮT

Dấu hiệu Phép thế Điều kiện góc α1) CÓ ĐK:

2) Có ĐK:

3) Có: 22 xa

4) Có:

5) Có:

6) Có:

7) Có:

8) Có: a + b + c = a.b.c là 3 góc

9) Biến số thoả 1 trong các hệ thức cơ bản:

65

BÀI TẬPGiải phương trình

1. x + = x.

2. (1)

3.

4.

5.

6. Giải va biện luận : (*)

7.

8. Biện luận theo m số nghiệm của pt: (1)9. Biện luận theo m số nghiệm của pt: (1)

66

BÀI GIẢI1/x + = x. Điều kiện - 1 Chính điều kiện - 1 cho phép ta dùng ẩn phụ

Khi đó Chỉ cần chọn mà 0 , khi đó

- 1 cos = x Và sin và vì thế Phương trình đã cho biến đổi được về dạng

Phương trình lượng giác thu được cho phép ta dùng ẩn phụ:

Do

(Xem đường tròn lượng giác)

Ta thu được

Phương trình đại số với ẩn u có dạng

Trở về tìm x, giải

a)

b)

67

x = cos

Ta thu được

Khi đó và là nghiệm của phương trình

Do sin cho nên

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm

2/ (1)

LỜI GIẢINhận xét rằng Vì vậy phương trình được xác định với mọi x:

Do đó ta có thể đặt

Chọn

Ta có (1)

a)

Khi đó

(1)

Thỏa mãn điều kiện (*) chỉ có và và ta thu được hai nghiệm

68

b) (**)

Khi đó

(1)

Không thỏa mãn (**) với mọi k và l3/

LỜI GIẢI

Từ điều kiện ta có thể chọn:

Lấy , khi đó: do

Phương trình đã cho dưới dạng lượng giác có dạng

Và vì

=

Do nên

Ta thu được phương trình

NHẬN XÉT: Ta nhận thấy, nếu dùng các phép biến đổi tương đương thì khả năng hữu tỉ hóa phương trình trên gặp khó khăn lớn vì phương trình đó chứa quá nhiều các căn thức. Vì thế khả năng hữu tỉ hóa bằng việc chọn ẩn phụ lượng giác (đã trình bày) tỏ rõ tính hiệu quả của nó.4/Giải phương trình :

69

x=cos

Vì vế phải dương nên có điều kiện là x > 0

Đặt với

Phương trình viết:

Với điều kiện của t thì sin2t > 0 Bình phương hai vế:

(loại)312sin t (nhận)

Giải phương trình ta có:

(loại)

Suy ra:

5/Giải phương trình:

GIẢIVì vế phải dương nên ta có điều kiện x > 0 và x

Đặt

Phương trình viết:

Hai vế điều dương, bình phương hai vế:

70

(loại)

Vậy là 2 nghiệm của phương trình

6/Giải va biện luận : (*)

GIẢI

Điều kiện đặt

(*)

(*)

- Khi

Thì (*)’ vô nghiệm (*) vô nghiệm- Khi

(*)’ .

có nghiệm là:

Để y rằng ta có:

7/Giải phương trình:

71

GIẢIĐặt

Phương trình đã cho thành:

Đặt

Ta được

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là:

(Các giá trị này đều thử đúng phương trình đã cho)8/ Biện luận theo m số nghiệm của pt: (1)

GIẢI

Đặt với t

Pt (1)

(2)

Vì

Từ đó, ta dựa vào đường tròn đơn vị ta có số nghiệm của pt (2) là số giao

điểm của đường thẳng (1): với cung tròn AB (màu đỏ) do đó:

Với

pt ((2) vô nghiệm pt (1) vô nghiệm

Với

72

pt (2) có 1 nghiệm duy nhất pt(1) có 1 nghiệm duy nhất

Với

pt (2) có 2 nghiệm phân biệt pt (1) có 2 nghiệm phân biệt.

9/ Biện luận theo m số nghiệm của pt: (1)GIẢI

Đặt với

Pt(1) mtt sin2sin112 2

(2)

Vì

Đặt

* Nên số nghiệm của pt (2) là số giao điểm của và hay số giao điểm

của đường thẳng với cung tròn AB (màu đỏ). Do đó lập luận như VD

trước thì pt (1) vô nghiệm. với thì pt (1) vô nghiệm

với thì pt (1) có nghiệm duy nhất

Với thì pt (1) có 2 nghiệm phân biệt

73

V.PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: nếu dấu

bằng ở (1) và (2) cùng đạt được tại thì là nghiệm của phương trình

Ta có : Dấu bằng khi và chỉ khi và , dấu

bằng khi và chỉ khi x=0. Vậy ta có phương trình:

Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ y tưởng : khi đó :

Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dang hơn, nhưng nếu nghiệm la vô tỉ việc không đoán nghiệm được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá nó.

Chú y: Khi giải phương trình vô tỷ bằng bất đẳng thức qua các phương trình hệ quả thì đến cuối bài toán phải thế nghiệm vào phương trình đầu để loại nghiệm ngoại lai.

Tóm tắt một vài bất đẳng thức cơ bản thường dùng để giải phương trình vô tỷ.1. Dấu “=” xảy ra A = 02. Dấu “=” xảy ra A = 03. . Dấu “=” xảy ra 4. Bất đẳng thức Côsi với n số không âm: Nếu a1; a2; …., an không âm thì a1 + a2 + … + an Dấu “=” xảy ra a1 = a2 = … an

5. Bất đẳng thức BCS với 2 bộ số (a1; a2; …., an); (b1; b2; …., bn) ta có:

Dấu “=” xảy ra . Quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng phải

bằng 0.Ví dụ:

Bai 1. Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007):

Giải: Đk

Ta có :

Dấu bằng


WWW.ToanPhoThong.TK 74

http://WWW.ToanPhoThong.TK/

Giải: Đk:

Biến đổi pt ta có :

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi:

Dấu bằng

Bai 3. giải phương trình:

Ta chứng minh : và

Bai tập đề nghị .1/Giải các phương trình sau

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

2/ Giải phương trình1. 2. 3.

4.

5. 6. 7. 8.

9. với x>0

10.

11. 2

12.



13. với

14.

15.

16.

17.

18. 19.

20.

21.

GIẢI1.

ĐK: Ta có:

Do đó

Vậy phương trình có nghiệm x = 4 2.

ĐK: Áp dụng bất đẳng thức Côsi với 2 số không âm: có

Ta có: nên Thử lại x = 2 là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 23.

Để giải bài toán này, đầu tiên ta cần chứng minh bài toán phụ (I)

Dấu “ = ” xảy ra (Bất Đẳng thức côsi)

Áp dụng bài toán phụ

(1), (2), (*) cho ta



Vậy phương trình vô nghiệm.(I) chứng minh bài toán phụ:

4.

ĐK:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 sốv không âm, ta có:

Dấu “=” xảy ra, do đó:

Vậy phương trình có nghiệm

5.

Dấu “=” xảy ra

Vậy phương trình có nghiệm x = - 1 6.

ĐK:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số ta có:


(loại)

(nhận)


Dấu “=” xảy ra, do đó

Thử lại x = 0 không là nghiệm của phương trìnhVậy phương trình đã cho vô nghiệm.7.

Do Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương 4x; 4x2 + 1; 2 ta có:

Mà (2x – 1)2 0, nên 2x – 1 = 0

Thử lại là nghiệm phương trình

Vậy là nghiệm của phương trình

ĐK: x ≥ 2Đặt . Xét với

Vậy: với

Dấu “=” xảy ra

Ta lại có:

Dấu “=” xảy ra hay

Vậy

8. Ta có:

Áp dụng tính chất . Dấu “=” xảy ra Ta có:



Từ (1) suy ra:

Dấu đẳng thức xảy ra trong (2) khi và chỉ khi

Vậy nghiệm của phương trình là(x; y) = (x0; -1) với

9. với x>0

+ Với y = 0: phương trình đã cho có dạng: 3 = 2 ( ) : phương trình vô nghiệm

(vì )

+ Với y 0: Điều kiện :

Khi đó phương trình

Ta có: VT =

Và

Do đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1), (2), (3) đồng thời xảy ra:

So với điều kiện (*) thì :

Là nghiệm của phương trình

10.

Ta có:



ĐK:

Đặt: . Khi đ ó (1) trở thành :

Sử dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

Mà nên (thoả điều kiện)

Thử lại là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

11. 2

Ta có:

Đk: vì(

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số âm Ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi : (thoả điều kiện)

Thử lại là nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm

12.

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 cặp: và



Ta có:

Do dấu: “=” xảy ra nên

(thoã mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

13. với

Với

ĐK: Ta có:

Vì thế

Do vậy:

với , ta có

Theo bất đẳng thứcCôsi:

Suy ra:

Từ (1), (2)

Do dấu: “=” xảy ra nên

14. Để giải bài toán này ta cấn chứng minh bất đẳng thức Min-cốp-xki:

Dấu “=” xảy ra CM:Do 2 vế không âm, bình phương cả 2 bất đẳng thức ta được

Nếu bất đẳng thức được chứng minh



Nếu , ta có(1) (đúng)Dấu “=” xảy ra Ta có:Dấu “=” xảy ra nên

Vậy phương trình có nghiệm

15.

Xét :

Áp dụng bất đẳng thức Côsi:

Suy ra vế trái

Xét :

Nếu luôn đúng

Nếu

(1) đúngVế trái < 1 vế phải. Vậy phương trình vô nghiệm

16.

ĐK: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

Do dấu “=” xảy ra nên thoả điều kiện

Vậy nghiệm phương trình là

17.

ĐK: Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:



Do dấu “=” xảy ra nên

Vậy phương trình có nghiệm 18. Ta có:

D

ấu “=” xảy ra, do đó:


19.

ĐK:

Ta có:

Ta có: nên



Mặc khác: vì Nên

Nên , ta có

(1),(2),(3)


20.

ĐK:

với thì

Vế trái

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm và ta được

Vậy phương trình đã cho có nghiệm dấu thằng đứng ở (1) xảy ra

thoả điều kiện

Vậy phương trình có nghiệm là

21. ĐK:

áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

Cộng từng số bất đẳng thức cùng chiều ta có:

Mặt khác, theo bất đẳng thức Côsi ta có:



Vậy Do đó phương trình có nghiệm dấu bất đẳng thức trong (1) xảy ra.

(Thoả điều kiện)

Vậy phương trình đã cho nghiệm x = 0

VI.PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC1 Dùng tọa độ của véc tơ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: khi đó ta có

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ cùng hướng , chú y tỉ

số phải dương

, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi

2 Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác Nếu tam giác là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có với O là tâm của đường tròn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi . Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy y trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dưới cùng một góc

3. Bai tập :I/ Phương pháp dùng hình học, đồ thị1/ Giải phương trình:

với a,x,c > 0Đặt OA=a ; OB=x, OC=c sao cho



Áp dụng định ly Cosin, ta có:

Dễ dàng chứng minh

nên cũng theo định ly Cosin ta có:

Do dấu bằng xảy ra nên A, B, C thẳng hàng

Vậy tập nghiệm của phương trình là

2/ Bai tập tương tự

3/ Giải phương trình

Trên hệ trục tọa độ Oxy, xét điểm cố định và điểm biến thiên .

Do , nên điểm M chạy trên đoạn thẳng với M0( và .


450

300

A

B

C

O


Ta có:

Do dấu “=” xảy ra nên M M1

(k )

4) Bai tập tương tự:

5) Giải phương trình:

pt

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy lấy các điểm

Dễ dàng chứng minh Tam giác ABC đều


y

x

3

2

2 2 2O

1-cosx

M1

N

M

M0


VT= MA + MB + MC OA + OB + OC = 3

Do dấu “=” xảy ra nên M 0 x=0

6) Biện luận theo m nghiệm của phương trình sau:

(1)

Ta biết rằng số nghiệm của pt (1) chính là số giao điểm của 2 đường

và vì ; nên đồ thị của là nửa đường trên (phần nằm trên trục hoành) tâm tại gốc tọa độ, bán

kính bằng 2. Còn y = mx + 2 - m là một họ đường thẳng luôn đi qua điểm cố định A(1;2) với mọi m. Ta nhận thấy có hai tiếp tuyến với đường trên kể từ A: đường thẳng y = 2 song song với trục hoạnh và tiếp tuyến AD. Gọi B (-2 ; 0) và C (2 ; 0) là 2 đầu mút của đường kính BOC. Giả sử m1, m2, m3, m4 tương ứng là hệ số góc các đường thẳng AC, AD, AB, AE thì:

* m1= - tan

* m2= -tan

(vì tan )

* m3=tan

* m4 =0


3

2

3

2

A1

M

x

y

x

xB C

O

2

E A

1 2-2

BC

D

O

y

x


Từ đó suy ra

1- Phương trình (1) có 2 nghiệm

2- Phương trình (1) có 1 nghiệm

3- Phương trình (1) vô nghiệm

7) Biện luận số nghiệm phương trình theo a

(1)

Đặt

Phương trình (1)

Dễ thấy phương trình (2) biểu diễn trên đường tròn tâm tại gốc tọa độ, bán

kính 3, còn phương trình (3) biểu diễn 2 đường thẳng và (nếu a

0). Số nghiệm của hệ chính là số giao điểm của 2 đường thẳng với đường tròn. Ta chỉ cần xét khi a > 0 ( vì khi a > 0 ta có kết quả tương tự, còn khi a = 0 thì (3) x

= 0 và lúc đó hệ số 2 nghiệm). Ta xét khi và

đường tròn đồng quy. Gọi (x0; y0) là điểm đồng quy thì ta có x02+ y0

2 = 9, x0=

và y0= và do a> 0 nên suy ra a =


x

1y x

a

3

3

x a

a

y

3

O


a/ Phương trình có 4 nghiệm

b/ Phương trình có 3 nghiệm

c/ Phương trình có 2 nghiệm

8/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

Điều kiện : 64 x


1y x

a

3

3

x a

a

y

x3

O

1y x

a

3

0 3

x a

a

y

x3

O


Đặt thì ta có và . Vậy đồ thị của hàm số là nửa đường tròn (phần nằm trên trục hoành) tâm tại điểm 01 (1 ; 0)

và bán kính 5. Còn là Parabal luôn có cực tiểu nằm trên đường x = 1.

Để phương trình có 1 nghiệm duy nhất thì đỉnh của Parabal ở trên đường thẳng: x = 1, phải nằm trùng điểm M(1 ; 5).

II/ Ứng dụng tích vô hướng để giải phương trình vô tỷ

9/

Điều kiện :

Đặt

Khi đó

=

Do đó cộng tuyến

(đk: 0 < x < 3)


y

x1

O-2 6

y=x2-2x+m

O1

5 M


=0

* Bài tập tương tự:

10/ =



VII. PHƯƠNG PHÁP TÍNH CHẤT HÀM SỐ

Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc. Ta có 3 hướng áp dụng sau đây:

Hướng 1: Thực hiện theo các bước:Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: Bước 2: Xét hàm số Bước 3: Nhận xét:

Với do đó là nghiệm

Với do đó phương trình vô nghiệm

Với do đó phương trình vô nghiệm

Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình

Hướng 2: thực hiện theo các bướcBước 1: Chuyển phương trình về dạng: Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng và g(x) có những tính chất trái ngược nhau và xác định sao cho

Bước 3: Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 3: Thực hiện theo các bước:Bước 1: Chuyển phương trình về dạng Bước 2: Xét hàm số , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệuBước 3: Khi đó

Ví dụ: Giải phương trình :

Giải:

pt

Xét hàm số , là hàm đồng biến trên R, ta có

Dựa vào kết quả : “ Nếu là hàm đơn điệu thì ” ta có thể xây dựng được những phương trình vô tỉ

Xuất phát từ hàm đơn điệu : mọi ta xây dựng phương

trình :

, Rút gọn ta được phương

trình

Từ phương trình thì bài toán sẽ khó hơn

Để gải hai bài toán trên chúng ta có thể làm như sau :

Đặt khi đó ta có hệ : cộng hai phương trình ta

được:



=

Hãy xây dựng những hàm đơn điệu và những bài toán vô tỉ theo dạng trên ?


Giải:

Xét hàm số , là hàm đồng biến trên R, ta có

Bai 2. Giải phương trình

Giải . Đặt , ta có hệ :

Xét hàm số : , là hàm đơn điệu tăng. Từ phương trình

Bai 3. Giải phương trình :Bài tập: Giải phương trình: a)

b)

c)

d)

e)

f)



VIII. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN1. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP CHUNG- Với các dạng phương trình cơ bản:Dạng 1: Phương trình:

Khi đó bài toán trở thành “ Biện luận phương trình (1) với điều kiện (*)”Lưu ý rằng: Điều kiện (*) được lựa chọn tùy theo độ phức tạp của và , thí vụ với phương trình

Ta lựa chọn phép biến đổi:

Dạng 2: Phương trình:

Lưu ý rằng: Không cần đặt điều kiện Dạng 3: Phương trình :

Lưu ý rằng: Cần điều kiện f(x), g(x), h(x) có nghĩa và không cần h(x) Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình:

GiảiTa có:

(I)

Với m =0Khi đó (2) vô nghiệm (1) vô nghiệmVới m

Khi đó (I) có nghiệm (2) có nghiệm thỏa mãn

Bai toán 1: Giải phương trình chứa căn thức bằng phương pháp biến đổi tương đương.

Kết luận :

- Với hoặc , phương trình có nghiệm

- Với hoặc , phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2: (HVQHQT 98): Giải va biện luận phương trình:Giải

Điều kiện:

Khi đó:

(I)

- Với a = 0- Khi đó (I) có nghiệm x = 0 có nghiệm x = 0

Kết luận:- Với a<0 hoặc 0<a<2, phương trình vô nghiệm- Với a = 0, phương trình có nghiệm x = 0

- Với a , phương trình có nghiệm

Chú ý: Bài toán trên có thể giải được bằng phương pháp chuyển về hệ (được trình bày trong phần các bài toán chọn lọc).2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Với các phương trình căn thức chứa tham số sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, nhất thiết ta phải đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ.

Để tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ đối với các phương trình vô tỉ, ta có thể lựa chọn một trong các phương pháp sau:

* Sử dụng tam thức bậc hai, thí dụ:

* Sử dụng các bất đẳng thức, thí dụ:

Bai toán 2: Giải phương trình chứa căn thức bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Khi đó:

Vậy điều kiện cho ẩn phụ là - Sử dụng đạo hàm, thí dụ được minh họa trong ví dụ 3 phía dưới.

Ví dụ 3 (Đề 59): Cho phương trình:

a. Giải phương trình với m = 3b. Tìm m để phương trình có nghiệm.


Đặt . Ta đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ bằng cách:Xét hàm số

* Miền xác định D= * Đạo hàm:

Bảng biến thiên: x - -3 3/2 6 + t’ + 0 - 3/ t 3 3Từ đó: điều kiện của t là

Suy ra :

Khi đó phương trình có dạng:

=0

a. Với m = 3, phương trình (3) có dạng:

Với t = 3, thay vào (2) được:

Vậy, phương trình có nghiệm là x = -3 hoặc x = 5b. Phương trình có nghiệm có ít nhất một nghiệm

Ví dụ 4 (Đề 3): Cho phương trình:

a. Giải phương trình với m = -3b. Tìm m để phương trình có nghiệm.


Đặt , suy ra

Khi đó phương trình có dạng: a. Với m = -3 , phương trình (2) có dạng:

1

30342

t

ttt

Với

Với

Vậy với m = -3, phương trình có hai nghiệm x = 1- và x = 1-b. Tìm m để phương trình có nghiệm.Phương trình (1) có nghiệm (2) có nghiệm

Giả sử khi đó (2) có nghiệm là thì

Với Với suy ra

Với suy ra:

Tóm lại: với m 4 phương trình (1) có nghiệm.

3. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊNếu phương trình ban đầu có thể chuyển về dạng: f(x, m) = g(m) ta có

thể lựa chọn phương pháp hàm số để giải . Cụ thể:


Chúng ta thực hiện theo các bước sau:Bước 1: Lập luận: số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số

(C ) : y = f(x,m) và đường thẳng (d) : y = g(m).Bước 2: Xét hàm số y = f(x,m)

Tìm miền xác định D.Tính đạo hàm y’, rồi giải phương trình y’ = 0

Bước 3: Kết luận:Phương trình có nghiệm: Phương trình có k nghiệm phân biệt: cắt (C ) tại điểm k phân biệtPhương trình vô nghiệm :

Ví dụ 5: (Đề 142): Tìm m để phương trình : (1)

Có nghiệm:Giải

Xét hàm số y = f(x) = Miền xác định: D1= RĐạo hàm:

(vn)

Mặc khác y’ (0) y’>0 x nên hàm số đồng biến.Giới hạn:

Bai toán 3: Sử dụng phương pháp ham số giải phương trình : f(x, m) = g(m) (1)

Bảng biến thiên: x - + y’ + y -1 1

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi -1<m<1Chú ý:

1. Trong bài toán trên nếu không thực hiện việc xác định y & y rất có thể các em học sinh ngộ nhận rằng tập gí trị I của hàm số là R

và dẫn tới kết luận sai lầm rằng phương pháp có nghiệm với mọi m. Điều này khẳng định thêm rằng bước tìm các giới hạn trong bài toán khảo sát hàm số là cần thiết. Các em học sinh có thể tham khảo chi tiết trong cuốn “Các chủ đề luyện tập thi môn Toán – Hàm số và các bài toán liên quan” của Lê Hồng Đức.”

2. Bằng phép đặt ẩn phụ y để chuyển phương trình thành hệ gồm hai ẩn x, y ta có thể giải phương trình bằng phương pháp đồ thị. Ta trình bày dưới dạng bài toán sau:


Ta thực hiện theo các bước sau:Bước 1: Đặt y = f(x,m), khi đó phương trình được chuyển thành hệ:

Bước 2: Bằng việc xét vị trí tương đối của hai đường (C1) và (C2) ta có được kết luận về nghiệm của phương trình.

Lưu ý: 1. Thông thường nếu (C1) là phương trình đường thẳng thì (C1) có thể

là phương trình đường tròn, Elíp, Hyperbol hoặc Parabol (cũng có trường hợp (C1) và (C2) đều là phương trình đường tròn).

Bài toán 4: Sử dụng phương pháp đồ thị giải phương trình : f(x, m) = g(m) (1)

2. Bạn đọc muốn có được kiến thức cơ bản về vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn, Elíp, Hyperbol có thể xem cuốn “Các chủ đề luyện thi môn Toán – Hình học Giải tích trong Mặt phẳng” của Lê Hồng Đức.

3. Kỹ thuật lập luận được minh họa của phương trìnhVí dụ 6: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

GiảiĐặt , điều kiện yKhi đó phương trình được chuyển thành hệ :

Phương trình (2) là phương trình đường tròn đơn vị (C ) có

Phương trình (3) là phương trình đường thẳng (d) song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất x-y=0. Ta đi tìm hai vị trí giới hạn cho (d) là:

* A(1,0) (d) & B(-1,0) (d) m=-1* (d) tiếp xúc với nửa trên của đường tròn (C )

Vậy:- Với hoặc m > 1 thì (C ) vô nghiệm- Với hoặc -1< m < 1 thì (C ) có nghiệm duy

nhất.- Với thì (C ) có 2 nghiệm phân biệt.

Chú ý: 1. Phương pháp trên được mở rộng tự nhiên cho trường hợp đường

tròn (C ) có tâm I O2. Bài toán trên còn có thể được giải bằng phương pháp lượng giác

hóa và phương pháp biến đổi tương đương, như sau:* Phương pháp lượng giác hóa

Đặt x = sin với

Khi đó phương trình có dạng:Cost = sint-m sint-cost = m

(4)

Vì , từ đó dựa vào đường tròn đơn vị, ta có số

nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường thẳng ( với

cung tròn AB, do đó:Ví dụ 7: Biện luận theo số nghiệm của phương trình

= (1)

GiảiĐặt , điều kiện Khi đó phương trình được chuyển thành hệ:

(với y )

Phương trình (2) là phương trình Elíp (E) có tâm I góc OPhương trình (3) là phương trình đường thẳng (d) song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất x - y = 0. Ta đi tìm hai vị trì tới hạn cho (d) là:

* A (2,0) (d) & B(-2,0) (d) * (d) tiếp xúc với nửa trên của Elíp (E) nhớ lại A2a2 + B2b2 = C2)

Vậy: - Với m < -4 hoặc m > 2 thì (E) (d) = vô

nghiệm.- Với m = -4 hoặc -2 < m < 2 thì (E) (d) = có nghiệm duy

nhất- Với -4 < m -2 thì (E) (d) = có 2 nghiệm phân biệt.

Chú ý:1. Phương pháp trên được mở rộng tự nhiên cho trường hợp Elíp (E)

có tâm I .2. Bài toán trên còn có thể được giải bằng phương pháp lượng giác

hóa và phương pháp biến đổi tương đương như sau:Phương pháp lượng giác hóa.

Đặt x = 2sint với

Khi đó phương trình có dạng: cost = 2sint - m 2sint - 2 cost = m

(4)

Vì , từ đó dựa vào đường tròn đơn vị, ta có

số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường thẳng y = với cung

tròn AB, do đó (lập luận tương tự như trong chú y của ví dụ 6):- Với m < -4 hoặc m > 2 thì (1) vô nghiệm.- với m = -4 hoặc -2 < m < 2 thì (1) có nghiệm duy nhất.- Với -4 < m thì có 2 nghiệm phân biệt.

Phương pháp biến đổi tương đương

(1)

Bài toán trở thành biện luận theo m số nghiệm thỏa mãn x m của phương trình (5). Đề nghị bạn đọc tự giải.

Ví dụ 8: Biện luận theo m số nghiệp của phương trình (1)

GiảiĐặt , điều kiện y 0 Khi đó phương trình được chuyển thành hệ:

(Với y 0)

Phương trình (2) là phương trình Hyperbol (H) có tâm là gốc O.Phương trình (3) là phương trình đường thẳng (d) song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất x-y = 0 và cũng chính là tiệm cận của (H). Ta đi tìm hai vị trí tới hạn cho (d) là:

A (3,0) (d) m = 3 B (-3,0) (d) m = -3

Vậy:- Với -3 < m hoặc m > 3 thì (H) (d) = vô nghiệm.- Với m -3 hoặc 0 thì (H) (d) = có nghiệm duy nhất

Chú ý: 1. Phương pháp trên được mở rộng tự nhiên cho trường hợp Hyperbol

(H) có tâm I O2. Ngoài ra ta cũng sử dụng các tính chất đã biết về hàm số trong chủ

đề 1, cụ thể ta xét ví dụ sau:Ví dụ 9: Giải va biện luận phương trình:

Với x -mGiải

Viết lại phương trình dưới dạng:

Xét hàm số f(t) = t2 + t với t là hàm đồng biếnKhi đó:

(2) Đến đây bạn đọc làm lại như trong ví dụ 1.4. PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ


Phương pháp điều kiện cần và đủ thường tỏ ra khá hiệu quả cho lớp bài toán tìm điều kiện tham số để.

1. Phương trình trị tuyệt đối có nghiệm duy nhất.2. Phương trình trị tuyệt đối có nghiệm với mọi giá trị của một tham

số.3. Phương trình tương đương với một phương trình hoặc một bất

phương trình khác.Khi đó ta thực hiện theo các bước.

Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức của phương trình có nghĩa. Bước 2: Tìm điều kiện cần cho hệ dựa trên việc đánh giá hoặc tính đối

xứng của hệ.Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ. Trong bước này cần có được một số kỹ

năng cơ bản.

Ví dụ 10: Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất: (1)

GiảiĐiều kiện cần:

Giả sử (1) có nghiệm là x = x0 2- x0 cũng là nghiệm của (1)Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi x0 = 2-x0 = 1Thay x0 = 1 vào (1), ta được: m = 4.

Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất.Điều kiện đủ

Với m = 4, khi đó (1) có dạng: (2)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki, ta được: &

Bai toán 5: Giải phương trình trị tuyệt đối chứa tham số bằng phương pháp điều kiện cần và đủ.

Do đó:

(2)

x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Vậy với m = 4 phương trình có nghiệm duy nhất.

Ví dụ 11: Tìm m để phương trình sau nghiệm đúng với

Giải

Điều kiện cần:

Giả sử (1) có nghiệm là nghiệm của (1), khi đó:

(1)

Đó chính là điều kiện cần để phương trình nghiệm đúng với

Điều kiện đủ

Với m = 3, khi đó (1) có dạng:

luôn đúng.

Vậy với m = 3 phương trình nghiệm đúng với .

Chú ý: Với bài toàn có nhiều hơn một tham số ra sẽ thấy tầm quan trọng của

việc lựa chọn điểm thuận lợi cùng với việc xác định các giá trị của tham số

được thực hiện tuần tự. Chúng ta đi xem xét ví dụ sau:

Ví dụ 12: Tìm a, b, để phương trình sau nghiệm đúng với :

(1)

Giải

Điều kiện cầnGiả sử (1) có nghiệm là nghiệm của (1), khi đó:(1) Với a=1(1)

Vậy a = 1 và b = 0 là điều kiện cần để phương trình nghiệm đúng với .Điều kiện đủ:

Với a = 1 và b = 0 0 = 0 luôn đúng.Vậy với a = 1 và b = 0 phương trình nghiệm đúng với

Ví dụ 13: Cho 2 phương trình:

Tìm m để (1) và (2) tương đươngGiải

(2)

Điều kiện cần:Giả sử (1) và (2) tương đương x = 1 là nghiệm của (1) khi đó:

Vậy m = 1 là đều kiện cần để (1) và (2) tương đương.Điều kiện đủ

Với m = 1, khi đó (1) có dạng: (3)

Đặt , điều kiện Khi đó:

(3)

Tức là (1) và (2) tương đương.Vậy với m = 1 thì (1) và (2) tương đương.Chú ý: Chúng ta đã thấy tồn tại những phương trình chứa căn thức mà tập nghiệm của nó là một khoảng, do đó một phương trình chứa căn thức có thể tương đương với một bất phương trình. Chúng ta đi xem xét ví dụ sau:Ví dụ 14: Cho phương trình va bất phương trình:

(1)

Tìm m để (1) và (2) tương đương (2)Điều kiện cần

Giả sử (1) và (2) tương đương x = 3 là nghiệm của (1), khi đó:(1)

Vậy m = 1 là điều kiện cần để (1) và (2) tương đương:Điều kiện đủ: Với m = 1, khi đó (1) có dạng:

Tức là (1) và (2) tương đương.Với m = -1 tương tự (hoặc có thể nhận xét về tính đối xứng của m trong phương trình).* Vậy với m = 1 thì (1) và (2) tương đương.

5. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ CHỨA THAM SỐ BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC

1) Tìm m để phương trình có nghiệm:

Ta có: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét

và điểm M(x; o)

Ta cóAB = 1Với mọi điểm M thì

Mà

y

A B

x

Do đó phương trình đã cho có nghiệm

2) Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất.

ĐK: Phương trình đã cho tương đương với.

Điều kiện cần: Giả sử phương trình có nghiệm duy nhất x0, ta có:

Vậy x = 2 – x0 cùng là nghiệm của phương trìnhPhương trình có nghiệm duy nhất thì x0 = 2 - x0 x0 =1Khi đó Điều kiện đủ: với , ta có phương trình

(*)Áp dụng bất đẳng thức: có:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi với 2 số không âm: 2 + x và 4 – x có

Vậy (1)Do đó để đẳng thức (*) thì dấu “=” trong (1) xảy ra

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 13) Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất.

(*)Điều kiện cần: Giả sử (*) có nghiệm duy nhất là x = x0 Ta có:

cũng là nghiệm của phương trình (*)

Vì là nghiệm duy nhất nên

Thay vào (*) ta được vào (*) ta được: (1)

Áp dụng bất đẳng thức B.C.S thì:

Dấu “=” xảy ra )

Vậy (1)

Như vậy (1) có nghiệm duy nhất

Để (*) có nghiệm duy nhất, điều kiện cần và đủ là Bài tập tương tự:4) Tìm m để phương trình: có nghiệm5) Tìm m để phương trình:

có nghiệm

6) Tìm m để phương trình có nghiệm: có nghiệm duy nhất.

II. CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC

GiảiPhương trình:

Phương trình có nghiệm phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn x Tam thức f(x) = luôn có hai nghiệm trái dấu x1<x2.Phương trình (1) vô nghiệm

Do đó (1) có nghiệm Nhận xét: Như vậy trong bài toàn trên để tìm tạp Dm ta đã đi xác định tập R\Dm bởi điều kiện cho bài toán ngược được tìm thấy đơn giản hơn.

Giảia. Với a < 0 , phương trình vô nghiệm.b. Với a = 0, phương trình có 2 dạng : c. Với a > 0

Đặt : , suy ra auv 222

Khi đó phương trình được chuyển thành hệ:

Bai 1: Với giá trị nao của m thì phương trình sau có nghiệm:

Bài 2: Giải và biện luận phương trình :

IX. NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

VÔ TỈKhi giải các phương trình mà ẩn nằm trong dấu căn thức (phương

trình vô tỉ), một số bạn do chưa nắm vững kiến thức về căn thức và phép biến đổi tương đương nên thường mắc phải một số sai lầm. Phần này nhằm giúp các bạn tránh được những sai lầm đó!VD1: Giải phương trình:

Vậy tập nghiệm của phương trình là Nhận xét: Rõ ràng không là nghiệm của phương trình

Ghi nhớ:

VD2: Giải phương trình:


Ghi nhớ:


Vậy tập nghiệm của phương trình là Nhận xét: Các bạn nghĩ sao khi phương trình đã cho thực sự có nghiệm

Ghi nhớ:

Như vậy lời giải trên đã bỏ xót trường hợp nên mất nghiệm



Ghi nhớ:

VD5 Giải phương trình:

Căn thức có nghĩa

Mà ta có

Vậy tập nghiệm của phương trình là

Nhận xét: Có thể thấy ngay là 1 nghiệm của phương trình. Việc chia 2 vế cho đã làm mất nghiệm của phương trình. Mặt khác cần nhớ

Do đó lời giải phải bổ sung trường hợp và . Với thì phương trình tương đương

Vì nên chia cả 2 vế với ta được

Mà

Do đó không thỏa mãn phương trình nên phương trình chỉ có 1 nghiệm duy nhất

XI.TRẮC NGHIỆM

1/ Tập nghiệm của phương trình là:

A. C.

B. D.


A. C.

C. D.

3/ Cho với . Tập nghiệm của phương trình là:

A. C.

B. D.


A. C.

B. D.


A. C.

B. D.

6/ Giá trị của m để phương trình là:A. C. B. D.

7/ Cho . Tập nghiệm của phương trình

(trong đó có lần lấy căn) là:A. C.

B. D.


A. C.

B. D.

9/ Cho phương trình . Với

thì phương trình có:A. một nghiệm duy nhất C. ba nghiệm phân biệtB. hai nghiệm phân biệt D. vô nghiệm10/ Giá trị của a để phương trình có nghiệm duy nhất là:A. C. B. D. 11/ Giá trị của m để phương trình có nghiệm duy nhất là:

A. C.

B. D.


A. C.

B. D.


A. C.

B. D.


A. C.

B. D.

15/ Tập nghiệm của phương trình là:A. C.

B. D.


A. C.

B. D.

17/ Tập nghiệm nguyên của phương trình là:A. C.

B. D.


A. C.

B. D. 19/ Tập nghiệm của phương trình là:

A. C.

B. D.

20/ Tập nghiệm của phương trình , với và

là:

A. C. arcab

S cosa b

C. D.

XII.CÓ THỂ TA CHƯA BIẾT ?

Leonhard Euler sinh ngày 15 tháng 4 năm 1707, là con của một mục sư tại Basel, Thụy Sĩ. Lúc còn nhỏ, ông đã tỏ ra có tài năng trong môn toán học, nhưng cha ông muốn ông học giáo ly và trở thành một mục sư. Năm 1720 Euler bắt đầu học tại Đại học Basel. Tại đây ông được quen với Daniel và Nikolaus Berloulli, và họ đã nhận thấy tài năng toán học của ông. Cha của ông, Paul Euler, đã tham dự một vài bài thuyết giảng toán học của Jakob Bernoulli và kính trọng gia đình ông. Khi Daniel và Nikolaus xin ông cho con ông học môn toán ông bằng lòng và Euler bắt đầu học toán.

Vào năm 1727 Euler được nữ hoàng Nga Ekaterina I mời đến Sant-Peterburg. Ông trở thành giáo sư vật ly học năm 1730, và cũng dạy toán năm 1733. Euler là người đầu tiên xuất bản một cuốn sách dạy cơ học có phương pháp trong năm 1736: Mechanica sive motus scientia analytice exposita (Chuyển động cơ học được giải thích bởi ngành giải tích). Vì ông quan sát mặt trời nhiều quá, đến năm 1735 mắt phải ông đã bị mù một phần.

Năm 1733 ông kết hôn với Ekaterina (Katharina) Gsell, con gái của giám đốc Viện hàn lâm nghệ thuật. Họ có 13 con, nhưng chỉ có ba người con trai và hai người con gái sống sót. Con cháu của họ giữ những vị trí quan trọng tại Nga trong thế kỷ 19.

Năm 1741 Euler trở thành giám đốc viện toán tại Hàn lâm viện Vương quốc Phổ tại Berlin. Ông viết rất nhiều trong thời gian ở Berlin, nhưng ông không có được địa vị tốt vì nhà vua không xem trọng ông. Vì thế, ông trở về Sant-Peterburg năm 1766, lúc đó dưới triều Ekaterina II, và sống ở đó cho đến khi mất.

Tuy bị mù hoàn toàn, ông vẫn viết được vì ông có trí nhớ siêu thường và có thể dùng óc để tính toán được. Có chuyện kể rằng có khi ông và người phụ tá của ông tính kết quả của một dãy số với 17 con số và nhận biết được là đáp số của ông và của người phụ tá khác nhau trong con số thứ 50. Khi họ tính lại thì thấy rằng ông đã tính đúng!

Người ta ước tính rằng, phải làm việc 8 giờ một ngày trong suốt 50 năm để có thể ghi chép bằng tay tất cả những công trình của ông. Phải đợi đến năm 1910, mới có một bộ sưu tập, tập hợp tất cả các công trình này một cách đầy đủ, và nó được chứa trong 70 tập sách. Theo lời kể của Adrien-Marie Legendre, Euler thường hoàn thành một bài chứng minh trong khoảng thời gian gọi dùng cơm tối của mình.

Euler là một người rất sùng đạo. Có một giai thoại phổ biến nói rằng Euler đã thách đố Denis Diderot tại cung điện của Ekaterina Đại đế, "Thưa ngài, cách suy luận

do đó Thượng đế tồn tại"; tuy nhiên giai thoại này là sai.

Khi Euler mất, nhà toán học và triết học Hầu tước de Condorcet bình luận "... et il cessa de calculer et de vivre" (và ông ấy đã ngừng tính và ngừng sống)

************************************************************************

Isaac Newton sinh ra trong một gia đình nông dân. May mắn cho nhân loại, Newton không làm ruộng giỏi nên được đưa đến Đại học Cambridge để trở thành luật sư. Tại Cambridge, Newton bị ấn tượng mạnh từ Euclid, tuy rằng tư duy của ông cũng bị ảnh hưởng bởi trường phái của Roger Bacon và René Descartes. Một đợt dịch bệnh đã khiến trường Cambridge đóng cửa và trong thời gian ở nhà, Newton đã có những phát kiến khoa học quan trọng, dù chúng không được công bố ngay.

Những người có ảnh hưởng đến việc công bố các công trình của Newton là Robert Hooke và Edmond Halley. Sau một cuộc tranh luận về chủ đề quỹ đạo của một hạt khi bay từ vũ trụ vào Trái Đất với Hooke, Newton đã bị cuốn hút vào việc sử dụng định luật vạn vật hấp dẫn và cơ học của ông trong tính toán quỹ đạo Johannes Kepler. Những kết quả này hấp dẫn Halley và ông đã thuyết phục được Newton xuất bản chúng. Từ tháng 8 năm 1684 đến mùa xuân năm 1688, Newton hoàn thành tác phẩm, mà sau này trở thành một trong những công trình nền tảng quan trọng nhất cho vật ly của mọi thời đại, cuốn Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Các Nguyên ly Toán học của Triết ly về Tự nhiên).

Trong quyển I của tác phẩm này, Newton giới thiệu các định nghĩa và ba định luật của chuyển động thường được biết với tên gọi sau này là Định luật Newton. Quyển II trình

bày các phương pháp luận khoa học mới của Newton thay thế cho triết ly Descartes. Quyển cuối cùng là các ứng dụng của ly thuyết động lực học của ông, trong đó có sự giải thích về thủy triều và ly thuyết về sự chuyển động của Mặt Trăng. Để kiểm chứng ly thuyết về vạn vật hấp dẫn của ông, Newton đã hỏi nhà thiên văn John Flamsteed kiểm tra xem Sao Thổ có chuyển động chậm lại mỗi lần đi gần Sao Mộc không. Flamsteed đã rất sửng sốt nhận ra hiệu ứng này có thật và đo đạc phù hợp với các tính toán của Newton. Các phương trình của Newton được củng cố thêm bằng kết quả quan sát về hình dạng bẹt của Trái Đất tại hai cực, thay vì lồi ra tại hai cực như đã tiên đoán bởi trường phái Descartes. Phương trình của Newton cũng miêu tả được gần đúng chuyển động Mặt Trăng, và tiên đoán chính xác thời điểm quay lại của sao chổi Halley. Trong các tính toán về hình dạng của một vật ít gây lực cản nhất khi nằm trong dòng chảy của chất lỏng hay chất khí, Newton cũng đã viết ra và giải được bài toán giải tích biến phân đầu tiên của thế giới.

Newton sáng tạo ra một phương pháp khoa học rất tổng quát. Ông trình bày phương pháp luận của ông thành bốn quy tắc của ly luận khoa học. Các quy tắc này được phát biểu trong quyển Philosophiae Naturalis Principia Mathematica như sau:

1. Các hiện tượng tự nhiên phải được giải thích bằng một hệ tối giản các quy luật đúng, vừa đủ và chặt chẽ.

2. Các hiện tượng tự nhiên giống nhau phải có cùng nguyên nhân như nhau.

3. Các tính chất của vật chất là như nhau trong toàn vũ trụ.4. Một nhận định rút ra từ quan sát tự nhiên chỉ được coi là đúng cho đến

khi có một thực nghiệm khác mâu thuẫn với nó.

Bốn quy tắc súc tích và tổng quát cho nghiên cứu khoa học này đã là một cuộc cách mạng về tư duy thực sự vào thời điểm bấy giờ. Thực hiện các quy tắc này, Newton đã hình thành được các định luật tổng quát của tự nhiên và giải thích được gần như tất cả các bài toán khoa học vào thời của ông. Newton còn đi xa hơn việc chỉ đưa ra các quy tắc cho ly luận, ông đã miêu tả cách áp dụng chúng trong việc giải quyết một bài toán cụ thể. Phương pháp giải tích mà ông sáng tạo vượt trội các phương pháp mang tính triết ly hơn là tính chính xác khoa học của Aristoteles và Thomas Aquinas. Newton đã hoàn thiện phương pháp thực nghiệm của Galileo Galilei, tạo ra phương pháp tổng hợp vẫn còn được sử dụng cho đến ngày nay trong khoa học. Những câu chữ sau đây trong quyển Opticks (Quang học) của ông có thể dễ dàng bị nhầm lẫn với trình bày hiện đại của phương pháp nghiên cứu thời nay, nếu Newton dùng từ "khoa học" thay cho "triết ly về tự nhiên":

Cũng như trong toán học, trong triết lý về tự nhiên, việc nghiên cứu các vấn đề hóc búa cần thực hiện bằng phương pháp phân tích và tổng hợp. Nó bao gồm làm thí nghiệm, quan sát, đưa ra những kết luận tổng quát, từ đó suy diễn. Phương pháp này sẽ giúp ta đi từ các hợp chất phức tạp đến nguyên tố, đi từ chuyển động đến các lực tạo ra nó; và tổng quát là từ các hiện tượng đến nguyên nhân, từ nguyên nhân riêng lẻ đến nguyên nhân tổng quát, cho đến khi lý luận dừng lại ở mức tổng quát nhất. Tổng hợp lại các nguyên nhân chúng ta đã

khám phá ra thành các nguyên lý, chúng ta có thể sử dụng chúng để giải thích các hiện tượng hệ quả.

Newton đã xây dựng ly thuyết cơ học và quang học cổ điển và sáng tạo ra giải tích nhiều năm trước Gottfried Leibniz. Tuy nhiên ông đã không công bố công trình về giải tích trước Leibniz. Điều này đã gây nên một cuộc tranh cãi giữa Anh và lục địa châu Âu suốt nhiều thập kỷ về việc ai đã sáng tạo ra giải tích trước. Newton đã phát hiện ra định ly nhị thức đúng cho các tích của phân số, nhưng ông đã để cho John Wallis công bố. Newton đã tìm ra một công thức cho vận tốc âm thanh, nhưng không phù hợp với kết quả thí nghiệm của ông. Ly do cho sự sai lệch này nằm ở sự giãn nở đoạn nhiệt, một khái niệm chưa được biết đến thời bấy giờ. Kết quả của Newton thấp hơn γ½ lần thực tế, với γ là tỷ lệ các nhiệt dung của không khí.

Theo quyển Opticks, mà Newton đã chần chừ trong việc xuất bản mãi cho đến khi Hooke mất, Newton đã quan sát thấy ánh sáng trắng bị chia thành phổ nhiều màu sắc, khi đi qua lăng kính (thuỷ tinh của lăng kính có chiết suất thay đổi tùy màu). Quan điểm hạt về ánh sáng của Newton đã xuất phát từ các thí nghiệm mà ông đã làm với lăng kính ở Cambridge. Ông thấy các ảnh sau lăng kính có hình bầu dục chứ không tròn như ly thuyết ánh sáng thời bấy giờ tiên đoán. Ông cũng đã lần đầu tiên quan sát thấy các vòng giao thoa mà ngày nay gọi là vòng Newton, một bằng chứng của tính chất sóng của ánh sáng mà Newton đã không công nhận. Newton đã cho rằng ánh sáng đi nhanh hơn trong thuỷ tinh, một kết luận trái với ly thuyết sóng ánh sáng của Christiaan Huygens.

Newton cũng xây dựng một hệ thống hoá học trong mục 31 cuối quyển Opticks. Đây cũng là ly thuyết hạt, các "nguyên tố" được coi như các sự sắp xếp khác nhau của những nguyên tử nhỏ và cứng như các quả bi-a. Ông giải thích phản ứng hoá học dựa vào ái lực giữa các thành phần tham gia phản ứng. Cuối đời (sau 1678) ông thực hiện rất nhiều các thí nghiệm hoá học vô cơ mà không ra kết quả gì.

Newton rất nhạy cảm với các phản bác đối với các ly thuyết của ông, thậm chí đến mức không xuất bản các công trình cho đến tận sau khi người hay phản bác ông nhất là Hooke mất. Quyển Philosophiae Naturalis Principia Mathematica phải chờ sự thuyết phục của Halley mới ra đời. Ông tỏ ra ngày càng lập dị vào cuối đời khi thực hiện các phản ứng hoá học và cùng lúc xác định ngày tháng cho các sự kiện trong Kinh Thánh. Sau khi Newton qua đời, người ta tìm thấy một lượng lớn thuỷ ngân trong cơ thể của ông, có thể bị nhiễm trong lúc làm thí nghiệm. Điều này hoàn toàn có thể giải thích sự lập dị của Newton.

Newton đã một mình đóng góp cho khoa học nhiều hơn bất cứ một nhân vật nào trong lịch sử của loài người. Ông đã vượt trên tất cả những bộ óc khoa học lớn của thế giới cổ đại, tạo nên một miêu tả cho vũ trụ không tự mâu thuẫn, đẹp và phù hợp với trực giác hơn mọi ly thuyết có trước. Newton đưa ra cụ thể các nguyên ly của phương pháp khoa học có thể ứng dụng tổng quát vào mọi lĩnh vực của khoa học. Đây là điều tương phản lớn so với các phương pháp riêng biệt cho mỗi lĩnh vực của Aristoteles và Aquinas trước đó.

Tuy các phương pháp của Newton rất lôgic, ông vẫn tin vào sự tồn tại của Chúa. Ông tin là sự đẹp đẽ hoàn hảo theo trật tự của tự nhiên phải là sản phẩm của một Đấng Tạo hoá siêu nhân. Ông cho rằng Chúa tồn tại mọi nơi và mọi lúc. Theo ông, Chúa sẽ thỉnh thoảng nhúng tay vào sự vận hồi của thế gian để giữ gìn trật tự.

Cũng có các nhà triết học trước như Galileo và John Philoponus sử dụng phương pháp thực nghiệm, nhưng Newton là người đầu tiên định nghĩa cụ thể và hệ thống cách sử dụng phương pháp này. Phương pháp của ông cân bằng giữa ly thuyết và thực nghiệm, giữa toán học và cơ học. Ông toán học hoá mọi khoa học về tự nhiên, đơn giản hoá chúng thành các bước chặt chẽ, tổng quát và hợp ly, tạo nên sự bắt đầu của Kỷ nguyên Suy luận. Những nguyên ly mà Newton đưa ra do đó vẫn giữ nguyên giá trị cho đến thời đại ngày nay. Sau khi ông ra đi, những phương pháp của ông đã mang lại những thành tựu khoa học lớn gấp bội những gì mà ông có thể tưởng tượng lúc sinh thời. Các thành quả này là nền tảng cho nền công nghệ mà chúng ta được hưởng ngày nay.

Không ngoa dụ chút nào khi nói rằng Newton là danh nhân quan trọng nhất đóng góp cho sự phát triển của khoa học hiện đại. Như nhà thơ Alexander Pope đã viết:

Nature and Nature's laws lay hid in nightGod said, Let Newton be!and all was light

Tự nhiên im lìm trong bóng tốiChúa bảo rằng Newton ra đời!Và ánh sáng bừng lên khắp lối

[[] chuyen de phuong trinh vo ty

Documents