26.1

26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU

26.1. Własności ogólne

Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy

równanie, w którym niewiadomą jest funkcja y jednej zmiennej x i w

którym występują pochodne y', y"tej funkcji. Równanie różniczkowe

możemy zapisać w postaci

0=)'',',,( yyyxf

Całką ogólną lub rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego rzędu II

nazywamy funkcję

y = F(x, C1 , C2), zmiennej ),( bax∈ , która zawiera 2 dowolne stałe niezależne (tj. tyle, ile

wynosi rząd równania) i które po wstawieniu za 21 CC , liczb 02

01 CC , ,

wybranych dowolnie z pewnych przedziałów spełnia równanie

0=)'',',,( yyyxf .

Każdą funkcję postaci y = φ(x) spełniającą powyższe równanie

różniczkowe, która w przedziale (a, b) ma pierwszą i drugą pochodną dla

odróżnienia od całki ogólnej będziemy nazywać całką szczególną lub

rozwiązaniem szczególnym.

26.2

Zagadnienie Cauchy'ego dla równania różniczkowego rzędu 2 polega na

znalezieniu takiego rozwiązania szczególnego danego równania, które dla

danego z góry argumentu x=x0 i danych z góry liczb 10 yy , spełnia tzw.

warunki początkowe

00 yxy =)(

10 yxy =)('

Dane liczby 100 yyx ,, nazywamy wartościami początkowymi.

W interpretacji geometrycznej

zagadnienie Cauchy'ego polega na wybraniu z

rodziny krzywych całkowych jednej krzywej,

która przechodzi przez z góry dany punkt (x0,

y0) dla ( )bax ,∈ i która ma w tym punkcie z góry

określony kierunek, określony poprzez kąt

nachylenia do osi 0x, α.

26.2. Równanie różniczkowe postaci y’’= f(x) Równanie postaci

)('' xfy =

nie zawierające funkcji y rozwiązujemy za pomocą dwukrotnego

całkowania:

( ) 211

1

CxCxGdxCxFy

CxFdxxfy

++=+=

+==

∫∫

)()(

)()('

gdzie C1 i C2 to stałe dowolne. Całkę ( ) 211 CxCxGdxCxFy ++=+= ∫ )()(

nazywamy całką ogólną lub rozwiązaniem ogólnym równania )( xfdx

yd=2

2.

α

26.3

Przykład

Znaleźć całkę szczególną równania y’’=4 cos 2x spełniającą warunki

początkowe y(0)=0, y’(0)=0.

Rozwiązanie

Całkując obie strony równania otrzymujemy

( ) 211

1

222

22224

CxCxdxCxy

Cxxdxy

++−=+=

+==

∫∫

cossin

sincos'

Otrzymane rozwiązanie jest całką ogólną. Uwzględniając warunki

początkowe mamy

1

2

0010

CC

+=+−=

skąd C1 = 0 , C2 = 1.

A więc całka szczególna ma postać

xxy 2212 sincos =+−=

26.3. Równanie różniczkowe postaci 0=)'',',( yyxf

Równanie postaci

0=)'',',( yyxf

nie zawierające funkcji y sprowadza się przez podstawienie y’= u(x) do

równania różniczkowego rzędu pierwszego. Mamy bowiem

dxdu

dxdyy =='

''

i równanie 0=)'',',( yyxf przyjmuje postać 0=)',,( uuxf , gdzie u(x)

jest funkcją niewiadomą. Jeśli u = F(x, C1) jest całką ogólną tego

równania, to z uwagi na podstawienie y’= u(x) mamy y’ = F(x, C1) i całkę

ogólną równania 0=)'',',( yyxf otrzymujemy w postaci

26.4

211 CCxGdxCxFy +== ∫ ),(),(

z dwoma parametrami, C1 i C2.

Przykład

Znaleźć całkę ogólną równania

xyyxy '

ln''' =

Rozwiązanie

Podstawiamy y’= u(x) , więc )(''' xuy = i równanie przyjmuje postać

xuuxu ln' = czyli

xu

xuu ln' =

Jest to równanie jednorodne rzędu pierwszego. Podstawiamy txu = skąd

xttu '' += bo t(x) to nowa niewiadoma, i otrzymujemy

ttxtt ln' =+

czyli

( )1−= ttdxdtx ln

Rozdzielając zmienne otrzymujemy

( ) ∫∫ =− x

dxttdt

1ln

Podstawienie 1−= tz ln pozwala łatwo obliczyć całkę po lewej stronie i

dostajemy

( )1

1

1

1

+=+=−

xCtCxt

lnlnlnlnln

a ponieważ txu = więc stąd

26.5

1

1

1

1

1

1

+

+

=

+=

+=

xC

xC

xeu

exu

xCxu

lnlnln

ln

Wracając do zmiennej y (bo y’= u(x)) otrzymujemy

11 += xCxedxdy

skąd całka ogólna tego równania ma postać

( ) 21

121

111 CexCC

y xC +−= +

Przykład

Znaleźć całkę szczególną równania ( ) ''' xyxy 212 =+ , spełniającą warunki

początkowe y(0) = 1, y’(0) = 3.

26.4. Równanie różniczkowe postaci 0=)'',',( yyyf

Równanie różniczkowe typu

0=)'',',( yyyf

nie zawierające zmiennej x sprowadzamy do równania różniczkowego

rzędu pierwszego przez podstawienie

)(' yuy =

skąd

( )dyduuy

dydu

dxdy

dydu

dxdu

dxydy ==⋅=== ''

''

Otrzymujemy stąd równanie różniczkowe rzędu pierwszego

0=),,(dyduuuyf

o zmiennej niezależnej y i funkcji u(y).

26.6

Mając całkę ogólną u = F(x, C1) równania 0=),,(dyduuuyf podstawiamy

')( yyu = i otrzymujemy równanie ),( 1CyFdxdy

=

Rozdzielając zmienne i całkując dostajemy równanie

∫ ∫= dxCyF

dy),( 1

skąd uzyskujemy całkę ogólną równania 0=)'',',( yyyf postaci

21 CxCy +=Φ ),(

Z tego związku możemy obliczyć ),,( 21 CCxy ϕ=

Przykład

Znaleźć całkę ogólną równania yy’’=(y’)2

Rozwiązanie

Stosujemy podstawienie )(' yuy = , skąd dostajemy

2udyduuy = czyli 0=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛− u

dyduyu

Stąd mamy 0=− udyduy lub u = 0.

W pierwszym przypadku jest

yCuCyu

ydy

udu

1

1

=+=

= ∫∫

lnlnln

Wracając do podstawienia mamy

26.7

21

1

1

CxCy

dxCy

dy

yCdxdy

lnln +=

=

=

∫∫

czyli 21 Cey xC lnlnln += i ostatecznie całkę ogólną równania

xCeCy 12=

W drugim przypadku jest y’=0 a więc y = C.

Zauważmy, że to rozwiązanie zawarte jest w poprzednim, wystarczy

bowiem przyjąć w nim, C1 = 0.

Przykład

Z jaką prędkością początkową v0 należy wyrzucić pocisk pionowo do góry,

aby nie powrócił na Ziemię, zakładając, że Ziemia jest kulista i że

przyciąganie ziemskie jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu

odległości r pocisku od środka Ziemi.

Rozwiązanie

Niech R oznacza promień Ziemi, a g przyspieszenie siły ciężkości na

powierzchni Ziemi. Wtedy przyspieszenie siły ciężkości w odległości r > R

od środka Ziemi wynosi g(R/r)2. Ponieważ siła ciężkości ma kierunek

przeciwny do kierunku ruchu wystrzelonego pocisku, mamy równanie

wynikające z drugiego prawa Newtona:

2

2

2

2

rgR

dtrd

−=

26.8

Stosujemy podstawienie )( rudtdr

= , skąd drduu

dtrd=2

2 i równanie przyjmuje

postać

2

2

rgR

drduu −=

Rozdzielając zmienne i całkując otrzymujemy

Cr

gRu+=

22

2

Stałą C obliczamy z warunku, że dla r = R mamy u = v0. Zatem

gRvC −=2

20

Stąd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= gRv

rgRu

22

20

22

Pierwszy składnik prawej strony jest dodatni, a znak składnika w nawiasie

może być ujemny. Oznacza to, że w pewnym punkcie nad Ziemią pociska

zatrzyma się i zacznie spadać na Ziemię. Natomiast jeśli znak składnika w

nawiasie będzie stale dodatni, to pocisk na Ziemię nie wróci. Stanie się

tak, jeśli

02

20 >− gRv

tzn. 1120 ≈> gRv km/s.

26.5. Równanie jednorodne

Równanie postaci

0=)'',',,( yyyxf

gdzie funkcja f jest jednorodna względem zmiennych '',', yyy nazywamy

równaniem jednorodnym.

26.9

Równanie to sprowadza się do równania typu 0=)'',',( yyxf stosując

podstawienie

uey = skąd '' uey u= , ( )( )''''' uuey u += 2

Równanie 0=)'',',,( yyyxf przyjmie wtedy postać

( ) 01 2 =+ )''',',,( uuuxf

z funkcją niewiadomą u(x) , przy czym funkcja f nie zawiera funkcji u.

Przykład

Rozwiązać równanie

02 =−+′ ')'(' yyyxyxy

Rozwiązanie

Jest to równanie jednorodne względem zmiennych '',', yyy . Stosując

podstawienie uey = otrzymujemy

( ) 02 2 =−+ '''' uuxxu

skąd po podstawieniu u’ = t mamy

22txt

dxdt

−=−

Jest to tzw. równanie Bernoulliego, przez podstawienie tz /1=

sprowadza się do postaci równania liniowego

2=+xz

dxdz

Rozwiązaniem ogólnym tego równania jest funkcja

xxcz

21 +=

Wracając kolejno do podstawień otrzymujemy ostatecznie

( ) 2122 CCxy +=

26.10

26.6. Równanie różniczkowe liniowe jednorodne rzędu drugiego

o stałych współczynnikach

Niech będzie dane równanie różniczkowe liniowe jednorodne rzędu drugiego postaci

0=++ qypyy '''

w którym, współczynniki p i q są danymi liczbami rzeczywistymi.

Całkę szczególną tego równania różniczkowego przewidujemy w postaci

funkcji wykładniczej

y = erx

Tutaj r jest pewną liczbą, którą należy tak dobrać, by funkcja y = erx

spełniała równanie 0=++ qypyy ''' Obliczamy więc pierwszą i drugą

pochodną funkcji y = erx i podstawiamy do tego równania:

rxrey =' , rxery 2='' skąd mamy 02 =++ rxrxrx qepreer

Wobec erx >0 daje to następujące równanie kwadratowe:

r2+pr+q=0

Nazywamy je równaniem charakterystycznym równania 0=++ qypyy ''' .

Rozróżniamy trzy przypadki: Δ>0, Δ =0, Δ <0.

Przypadek 1: Δ > 0

Równanie charakterystyczne r2+pr+q=0 ma dwa różne pierwiastki

rzeczywiste r1 i r2. Istnieją więc dwie całki szczególne:

xrey 11 = oraz xrey 2

2 =

Są one liniowo niezależne, gdyż y1y2’ – y2y1’ ≠ 0 (tzw. wrońskian jest

różny od zera). Zatem funkcja

xrxr eCeCy 2121 +=

jest całką ogólną równania różniczkowego jednorodnego 0=++ qypyy ''' .

26.11

Przykład

Znaleźć całkę ogólną równania

y"-5y'+6y=0.

Równanie charakterystyczne ma postać

r2-5r+6=0.

Otrzymujemy dwa pierwiastki r1 = 3, r2=2. Rozwiązanie ogólne ma więc

postać

xx eCeCy 22

31 +=

Przypadek 2: Δ = 0

Równanie charakterystyczne r2+pr+q=0 ma wtedy pierwiastek podwójny

r1 = r2 = -½ p i wobec tego równanie różniczkowe 0=++ qypyy ''' ma tylko

jedną całkę szczególną postaci y = erx, mianowicie xp

ey 21 −

= .

Można wykazać, że drugą całką szczególną jest w tym przypadku funkcja

xp

xey 22 −

=

Zatem funkcja

( )xp

exCCy 221 −

+=

jest w tym przypadku całką ogólną równania różniczkowego jednorodnego

0=++ qypyy ''' .

Przykład

Znaleźć całkę ogólną równania

y"-4y'+4y=0.

26.12

Równanie charakterystyczne ma postać

r2-4r+4=0.

Otrzymujemy jeden pierwiastek podwójny r1 = r2=2. Rozwiązanie ogólne

ma więc postać

( ) xexCCy 221 +=

Przypadek 3: Δ < 0

Gdy w równaniu 0=++ qypyy ''' jest p=0 oraz q=m2 to przybiera ono

postać 02 =+ ymy '' i ma – jak łatwo sprawdzić – rozwiązania postaci

mxy sin=1 oraz mxy cos=2 , które są liniowo niezależne. Rozwiązanie

ogólne ma więc postać mxCmxCy cossin 21 += .

Gdy p≠0 sprowadzamy równanie 0=++ qypyy ''' do postaci 02 =+ ymy ''

za pomocą podstawienia

y = uerx przez stosowny dobór liczby r. W tym celu obliczamy

( )

( ) rx

rx

eurruuy

euruy

22 ++=

+=

'''''

''

i wstawiamy do równania 0=++ qypyy ''' . Otrzymujemy

( ) ( )[ ] 02 2 =+++++ rxeuqprrupru '''

Jeśli r zostanie dobrane tak, aby 2r + p = 0 , to równanie przyjmie

postać

( ) 0441 2 =−+ upqu ''

26.13

gdzie p2 ― 4q = Δ < 0, zaś parametr m z przypadku gdy p=0 oraz q=m2

przyjmuje teraz wartość Δ−=21m . Ponieważ r dobrane jest tak, aby

2r + p = 0 , więc pr21

−= . Z tego wynika, że całką ogólną równania

0=++ qypyy ''' w tym przypadku jest

pxexCxCy 2

1

21 21

21 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ−= cossin .

Przykład

Znaleźć całkę ogólną równania

y''+6y'+13y=0.

Rozwiązanie

Równanie charakterystyczne ma postać

r2+6r+13=0.

Tutaj Δ = -16. Zgodnie z podanym wyżej wzorem całką ogólną jest tu

funkcja

( ) pxexCxCy 321 22 −+= cossin

Trzy omówione przypadki dotyczące równania różniczkowego liniowego

jednorodnego (12.91) możemy ująć w następującej tabeli:

Pierwiastki równania charakterystycznego

Całki szczególne równania różniczkowego jednor.

Całka ogólna równania różniczkowego jednor.

1° Dwa pierwiastki różne r1 i r2

xrey 11 = , xrey 2

2 = xrxr eCeCy 2121 +=

2° Pierwiastek podwójny r1 = r2

xp

ey 21 −

= , xp

xey 22 −

= ( )xp

exCCy 221 −

+=

26.14

3° Pierwiastki zespolone sprzężone

pxexy 2

1

1 21 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ−= sin

pxexy 2

1

2 21 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ−= cos

pxexC

xCy

21

2

1

21

21

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ−+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ−=

)cos

sin(

26.7. Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne rzędu drugiego

Rozważmy teraz równanie różniczkowe liniowe niejednorodne rzędu

drugiego

)()(')('' xfyxqyxpy =++

Rozwiązanie tego równania uzyskuje się metodą uzmienniania. stałych.

Metoda ta dla równania różniczkowego liniowego niejednorodnego polega

na zastąpieniu stałych C1 i C2 w całce ogólnej równania liniowego

jednorodnego 0=++ yxqyxpy )(')('' funkcjami C1(x) i C2(x) zmiennej x

tak dobranymi, aby funkcja

y = C1(x) y1(x) + C2(x) y2(x),

gdzie y1(x) i y2(x) są całkami szczególnymi liniowo niezależnymi równania

liniowego jednorodnego 0=++ yxqyxpy )(')('' , była całką ogólną

równania liniowego różniczkowego niejednorodnego. Stałe te można

wyrazić wzorami

( ) AdxxW

xfxyxC +−

= ∫ )()()(2

1 , ( ) BdxxW

xfxyxC += ∫ )()()(1

2

gdzie

)()()()()()()()(

)( ,,'. xyxyxyxyxyxy

xyxyxW

1221

2121

−==

jest wrońskianem zbudowanym z rozwiązań szczególnych równania

jednorodnego 0=++ yxqyxpy )(')('' ; aby dało się wyznaczyć C1 i C2

wrońskian ten musi być różny od zera.

26.15

Przykład

Znaleźć całkę ogólną równania

y''+y=tgx.

Rozwiązanie

Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne y"+y=0. Ma ono dwie całki

szczególne y1(x) = sinx, y2(x)=cosx. Jak łatwo policzyć, wrońskian W(x)

rozwiązań szczególnych jest różny od zera (mamy W(x) = –1). Stąd całka

ogólna równania jednorodnego ma postać

xxCxxCy cos)(sin)( 21 +=

gdzie C1(x) i C2(x) są funkcjami nieznanymi. Na podstawie podanych wyżej

wzorów łatwo znajdujemy, że

( ) axAxdxAdxxW

xfxyxC +−=+=+−

= ∫∫ cossin)(

)()(21 ,

( ) BxtgxBxtgxdxBdxxW

xfxyxC +⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−=+−=+= ∫∫ 42

12

πlnsinsin

)()()(

.

Szukana całka ogólna danego równania różniczkowego niejednorodnego

ma postać

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−+=

42πxtgxxBxAy lncoscossin

Metoda przewidywań, podobnie jak dla równania różniczkowego

liniowego niejednorodnego rzędu pierwszego, polega na odgadnięciu całki

szczególnej równania liniowego niejednorodnego. Metodę przewidywań

stosujemy wtedy, gdy funkcje p(x) i q(x) są stałe, a funkcja f(x) jest

funkcją jednego z typów podanych w tabelce.

26.16

Nr

Postać prawej

strony równania

f(x)

Równanie charakterystyczne

Postać przewidywanej

całki szczególnej y1 rów-

nania niejednorodnego

a

Liczba 0 nie jest pierwiastkiem równania

charakterystycznego

Mn(x)

(wielomian)

1

b

Pn(x)

(wielomian)

Liczba 0 jest m-krotnym pierwiastkiem

równania charakterystycznego xmMn(x)

a

Liczba k nie jest pierwiastkiem równania

charakterystycznego Mn(x)ekx

2

b

Pn(x)ekx

(k — liczba

rzeczywista)

Liczba k jest m-krotnym pierwiastkiem

równania charakterystycznego xmMn(x)ekx

a

Liczba ± βi nie jest pierwiastkiem rów-

nania charakterystycznego

Mn(x)cosβx+

+ Nn(x)sinβx

3

b

Pn(x) cos βx +

+Qn(x) sin βx

Liczba ± βi jest m-krotnym pierwiast-

kiem równania charakterystycznego

xmMn(x)cosβx+

+ xmNn(x)sinβx

a

Liczba α ± βi nie jest pierwiastkiem

równania charakterystycznego

Mn(x) eαx cosβx+

+ Nn(x) eαx sinβx

4

b

Pn(x) eαxcos βx +

+Qn(x) eαxsin βx

Liczba α ± βi jest m-krotnym pier-

wiastkiem równania charakterystycznego

xmMn(x) eαx cosβx+

+ xmNn(x) eαx sinβx

Przykład.

Znaleźć całkę ogólną równania y"+9y = excos 3x.

Rozwiązanie

W równaniu tym p(x)=0, q(x)=9, f(x)=ex cos 3x.

Całka ogólna równania liniowego jednorodnego y"+9y=0 ma

postać

y0 = C1cos 3x + C2 sin 3x.

26.17

Prawą stronę f(x) = ex cos 3x danego równania możemy napisać w

postaci

f(x) = ex cos 3x = ex(1• cos 3x + 0 • sin 3x)

w której α = 1, β = 3, Pn(x) = 1, Q(x) = 0, n=0. Ponieważ 1 + 3i nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, więc

przewidujemy (patrz nr 4 tabelki) całkę szczególną równania liniowego

niejednorodnego w postaci

y1 = ex(A0 cos3x + B0 sin3x) .

Mamy

y1 = ex[(A0 + 3B0) cos 3x + (B0 - 3A0) sin 3x] ,

y2 = ex [( - 8 A0+ 6B0) cos 3x - (8B0 + 6A0) sin 3x] .

Podstawiając wartości na y' i y" do danego równania i dzieląc otrzymaną

równość stronami przez ex mamy

(A0 + 6B0) cos 3x + (B0 — 6A0) sin 3x = cos 3x + O • sin 3x

Przyrównując w ostatniej równości współczynniki lewej i prawej strony

przy funkcjach cos 3x i sin 3x otrzymujemy układ dwóch równań z dwoma

niewiadomymi A0 i B0

A0 + 6B0 = 1

BQ-6A0= 0

Stąd A0=1/37, B0=6/37.

26.18

Zatem rozwiązanie szczególne ma postać

y1 = ex(cos3x + 6 sin3x)/37 . Całkę ogólną równania liniowego niejednorodnego otrzymujemy w postaci

xeCxeCyyyxx

337

6337 1121 sincos ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

26.8. Równanie ruchu drgającego

a) Drgania mechaniczne swobodne.

Niech na punkt materialny o masie m działa siła sprężysta

proporcjonalna do odchylenia x i skierowana zawsze ku punktowi

równowagi O. Oznaczając współczynnik proporcjonalności przez k (k>0)

na podstawie praw mechaniki otrzymujemy

kxdt

xdm −=2

2 czyli 0=+ x

mkx&& (m>0)

jako równanie ruchu drgającego po osi x wywołanego przez siłę sprężystą.

Równanie to jest równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym o

stałych współczynnikach. Zmienną niezależną jest czas t, szukaną funkcją

x = x(t); określa ona położenie ciała drgającego w dowolnej chwili t.

Równanie jest postaci 02 =+ ymy '' . Całkę szczególną równania

0=+ xmkx&&

przewidujemy zatem w postaci x = ert. Piszemy więc równanie

charakterystyczne

02 =+mkr

Oznaczając ω=mk / mamy dwie następujące całki szczególne:

tx ωsin=1 tx ωcos=2

26.19

Całkę ogólną uzyskujemy w postaci funkcji

tCtCx ωω cossin 21 +=

Po wprowadzeniu oznaczeń

22

21 CCA += ,

22

21

1

CCC+

=ϕcos , 22

21

2

CCC+

=ϕsin

całka ogólna przybiera postać

( )ϕω += tAx sin

gdzie A nazywamy amplitudą drgań, φ — przesunięciem fazy, mk /=ω

— pulsacją drgania swobodnego, ωπ /2=T jest okresem drgań,

πω 21 // == Tv — częstością drgań.

Z równości ( )ϕω += tAx sin , której prawa strona jest funkcją okresową,

widzimy, że ruch powodowany siłą - kx ma charakter okresowy:

b) Drgania mechaniczne tłumione.

Załóżmy teraz, że na punkt materialny o masie m oprócz siły sprężystej

- kx działa siła oporu ośrodka proporcjonalna do prędkości - λdx/dt,

gdzie λ jest dodatnim współczynnikiem oporu. Równanie różniczkowe

ruchu ma postać

dtdxkx

dtxdm λ−−=2

2 czyli 0=++ x

mkx

mx &&&

λ (m>0)

26.20

Równanie charakterystyczne

02 =++mkr

mr λ

ma pierwiastki

kmmm

r 421

22

1 −+−= λλ , km

mmr 4

21

22

2 −−−= λλ

Z uwagi na wartość wyróżnika mamy trzy przypadki:

1° 042 >− kmλ , wtedy całka ogólna ma postać trtr eCeCx 2121 +=

2° 042 =− kmλ , wtedy całka ogólna ma postać ( ) tretCCx 121 +=

W obu tych przypadkach ruch nie jest okresowy, a ponieważ - jak łatwo

sprawdzić - r1<0, r2<0, więc x → 0, gdy t → ∞. Wnioskujemy stąd, że

opory hamujące są dostatecznie duże.

3° 042 <− kmλ , wtedy całka ogólna ma postać

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−= − 2

22

12 4

24

2λλλ km

mtCkm

mtCex mt cossin/

Po wprowadzeniu oznaczeń 222 44 ωλ mkm =− , )( 0>ω ϕcosAC =1 , ϕsinAC =2

otrzymujemy całkę ogólną w postaci funkcji

( )ϕωλ += − tAex mt sin/ 2

Ruch jest więc drgający, drgania jego zanikają, gdyż amplituda mtAe 2/λ−

maleje do zera, gdy t → ∞. Pulsacją drgań nazywamy wyrażenie

2

2 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−=

mmk λω .

26.21

26.9. Zadania