wykład 4

Wykład 4

Kinematyka ruchu postępowego. Pojęcie pochodnej.

Wektor położeniaw danym układzie odniesienia

Zmiana wektora położenia (w czasie)

Tor ruchu – krzywa geometryczna

tr

tSDroga – długość toru,

Zależność drogi od czasu1 wymiar

Jeden wymiar:• droga wzdłuż toru,• jedna ze współrzędnych

0 10 20 30 40 50 60 700

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

v=3 m/sv=0

Dro

ga (

m)

Czas (s)

v=2 m/s

Prędkość na odcinkach: i

ii t

Stv

Droga i prędkość – funkcje czasu

0 10 20 30 40 50 60 700

20

40

60

80

100

120

Dro

ga (

m) S(t)

0 10 20 30 40 50 60 70

0

1

2

3

v(t)

Prę

dkoś

c (

m/s

)

czas (s)

Prędkość zmienna w czasie

0 10 20 30 40 50 60 700

20

40

60

80

100

Dro

ga (

m)

S(t)

0 10 20 30 40 50 60 70

0

1

2

3

4

v(t)

Prę

dkoś

c (

m/s

)

czas (s)

Różne prędkości:• prędkość średnia,• prędkość średnia na odcinkach• prędkość chwilowa

Prędkość chwilowa – nachylenie funkcji S(t)

dt

tdStv

Pochodna funkcji – tangens nachylenia

Zależność wysokości od położenia (w poziomie)

Nachylenie zbocza – y/xznak – do uzgodnienia

Pochodna funkcji

0 10 20 30 40 50 60 700

2000

4000

6000

8000

10000

x

f(x)

drog

a (

m)

xczas (s)

f

x

f

dx

xdftf

x

0lim

tangens nachylenia stycznej w punkcie

Pochodna funkcji

definicja

x

f

dx

xdftf

x

0lim

pochodne niektórych funkcji

2

2

2

0

xadx

xad

axdx

axd

adx

baxddx

dC

kilka twierdzeń

xgdx

xdggfxg

dxgdf

dx

xggfd

dx

xdggfxg

dx

gdf

dx

xggfddx

xdg

dx

gdf

dx

xggfd

2

Pochodna wektora jest wektorem

dt

tdt

rv

dt

dz

dt

dy

dt

dxvvv zyx ,,,,,

Styczna do toru wyznacza kierunek prędkości

prędkość

przyspieszenie - zmiana prędkości

dt

tdttv

rv

dt

td

dt

d

dt

td

dt

tdtta

rrva

2

2

ttt rrv

ttt rva

Ruch jednostajny

0 1 2 3 4 5 60

5

10

15

20

dro

ga

(m

)

Czas (s)

S(t)=S0+v0t

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

v(t)=v0

pre

dko

ść

(m/s

)

czas (s)

0 1 2 3 4 5 6-1

0

1

2

3

a(t)=0

prz

ysp

iesz

en

ie

(m/s

2 )

czas (s)

tvStS

vtv

ta

00

0

0

Spoczynek

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

dro

ga

(m

)

Czas (s)

S(t)=S0+v0t=S0

0 1 2 3 4 5 6-1

0

1

2

v(t)=v0=0

pre

dko

ść

(m/s

)

czas (s)

0 1 2 3 4 5 6-1

0

1

2

3

a(t)=0

prz

ysp

iesz

en

ie

(m/s

2 )

czas (s)

consttr

tv

ta

0

0

Ruch jednostajnie przyspieszony

0 1 2 3 4 5 60

5

10

15

20

25

30

35

40

dro

ga

(m

)

Czas (s)

S(t)=S0+v0t+at2/2

0 1 2 3 4 5 60123456789

10

v(t)=v0+a*t

pre

dko

ść

(m/s

)

czas (s)

0 1 2 3 4 5 6-1

0

1

2

3

a(t)=1

prz

ysp

iesz

en

ie

(m/s

2 )

czas (s)

200

0

21

attvStS

atvtv

constta

Ruch jednostajnie opóźniony

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-20

-15

-10

-5

0

5

dro

ga

(m

)

Czas (s)

S(t)=S0+v0t+at2/2

chw

ilow

y sp

ocz

yne

k

v

(t=

3 s

)=0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-7-6-5-4-3-2-10123

v(t)=v0+a*t

pre

dko

ść

(m/s

)

czas (s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

-1

0

1

a(t)=-1 m/s2

prz

ysp

iesz

en

ie

(m/s

2 )

czas (s)

200

0

21

0

attvStS

atvtv

constta

Dodawanie prędkości

Obserwator na ziemi:Dodaje prędkość człowieka do prędkości wózka

Jeśli dwa poruszające się układy odniesienia:

Prędkość w pierwszym jest sumą prędkości wzajemnej układów i prędkości w drugim

ttt unoszenia vvv

Transformacja Galileusza

Przeprawa przez rzekę

Skok na banjo

Przyspieszenie skierowane ku górze

Rzut ukośny

Przyspieszenie skierowane w dół

Rzut poziomySkładanie ruchów

swobodny spadek

2

2gtty

gttvy

tvtx

vtvx

0

0

ruch jednostajny

Rzut ukośnyprędkość początkowa

000

000

sin

cos

vv

vv

y

x

2

sin

sin2

0

0

gttvty

gtvtvy

00

00

cos

cos

tvtx

vtvx

Rzut ukośnyrównania prędkości i drogi

Te same równania ruchu i prędkości

m1002

sin2100

0 gt

vty

Znajomość czasu t100 pozwala wyliczyć

pozostałe wielkości

Zasięg rzutu ukośnego

g

vtvtx

g

vt

tvtxgt

tvty

cossin2cos0lub

sin2

cos02

sin

20

0000

0

0

20

00

Ruch wahadłowy

Przyspieszenie w ruchu wahadłowym

Przyspieszenie dośrodkowe i styczne

Przyspieszenie dośrodkowe

r

v

t

r

r

v

t

va

r

r

v

v

r

2

r

var

2

Pole ziemskie powoduje przyspieszenie dośrodkowe

Przyspieszenie styczne i normalne (do toru)

r

va

dt

dSa

r

t

2

Wykres przedstawia położenie cząstki wzdłuż osi x jako funkcję czasu. Przedział, w którym prędkość tej cząstki jest ujemna to;A)a–b B)b–c C)d–e D)c–d E)Żadna z podanych odpowiedzi nie jest poprawna.

Obiekt porusza się wzdłuż osi x, tak jak pokazano na wykresie. W którym punkcie lub punktach wielkość prędkości jest minimalna?A) 1 i 5B) 2,4 i 5C) Tylko 3D) Tylko 4E) Żadna z odpowiedzi nie jest poprawna

Droga przebyta przez samochód w kierunku osi x jest pokazana na wykresie.

0 5 10 15 20t, s

0

50

100

150

200

x, m

Prędkość samochodu w 5-tej sekundzie wynosi :A) 5 m/s B) 7.5 m/s C) 10 m/s D) 12.5 m/s E) 15 m/s

Który z wykresów v od t najlepiej przedstawia ruch cząstki o dodatniej prędkości i ujemnym przyspieszeniu?

Odp. E

Który z wykresów v od t najlepiej przedstawia ruch cząstki o dodatniej prędkości i ujemnym przyspieszeniu?

Rysunek przedstawia paraboliczną trajektorię lotu piłki z a do e z przyciąganiem ziemskim, ale bez oporów powietrza. Początkowa prędkość początkowa piłki wynosi Vo pod kątem do poziomu. Pionowe przerywane linie przedstawiają równe przedziały czasowe, t.

y(m

)

x(m)

Vo

a

bc

d

e

Pionowa prędkości w punkcie C wynosi:A)0B)V0 cos C)sin D)V0

E)Zależy od tego jak g jest skierowane do toru

wykład 4

Documents