y o origin) (x, y) x y - theorendatutor.com · ex1. ก าหนด a(1, 2),b(4, 3) และ c(7,...
TRANSCRIPT
ในการศกษาเรองเรขาคณตวเคราะห เราจะท าการศกษาเกยวกบคณสมบตของจดและเสนตรง
โดยอางองกบระบบพกดฉากเปนหลก ระบบพกดฉาก ประกอบดวย แกนพกดฉาก 2 แกนไดแกเสนจ านวนทอยบนแกนนอน
(แกน x) และเสนจ านวนทอยบนแกนตง (แกน y) แกนพกดฉากทงสองนจะแบงพนระนาบออกเปน 4 สวน เรยกพนททถกแยงออกเปนสวนๆ นวา “ควอดรนต” (Quadrant) ซงมลกษณะดงรป
แกน x และ แกน y ตดกนเปนมมฉากทจด o เรยกจดนวา “จดก าเนด” (Origin) และ
เขยนแทนต าแหนงของจดบนระบบพกดฉากดวย (x, y) เมอ x เปนคาทอานไดจากเสนจ านวนบนแกน x และ y เปนคาทอานไดจากเสนจ านวนบนแกน y
1. ระยะหางระหวางจดสองจด พจารณารปทก าหนดใหตอไปน
Quadrant 1 (+, +)
Quadrant 2 (-, +)
Quadrant 3 (-, -)
Quadrant 4 (+, -)
0
Y
X
Y
X
P2(x2, y2)
P1 (x1, y1)
P(x2, y1)
จากทฤษฏบทปทาโกรส จะไดวา
P1P2 = √P1P2+P2P2
P1P2 = √|x1-x2|2+|y1-y2|
2
∴ P1P2 = √(x1-x2)2+(y1-y2)
2
นนคอ ถา P1(x1, y1) และ P2(x2, y2) เปนจดในระบบพกดฉากแลว
ระยะหางระหวางจด P1 และ P2 = √(x1-x2)2+(y1-y2)
2
Ex1. ก าหนด A(1, 2),B(4, 3) และ C(7, 4) จงแสดงวาจด A, B และ C อยบนเสนตรงเดยวกน Ex2. ก าหนดให A(2, 3), B(9, 2) และ C(5, 6) เปนจดยอดมมของรปสามเหลยม ABC จงแสดงวารปสามเหลยม ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก
Ex3. ก าหนด A(-1, -2), B(5, -2) และ C(2, 2) เปนจดยอดมมของรปสามเหลยม ABC จงแสดงวารปสามเหลยม ABC เปนรปสามเหลยมหนาจว Ex4. ก าหนด A(-2, -2),B(4, -2), C(4, 4) และ D(-2, 4) เปนจดยอดมมของรปสเหลยมรปหนง จงหาความยาวของเสนรอบรปและพนทรปสเหลยมรปน
Ex5. วงกลมวงหนงมจดศนยกลางอยทจด (2, 3) และวงกลมนผานจด (5, 7) จงหาความยาวของเสนผานศนยกลางของวงกลมน Ex6. วงกลมหนงมจดศนยกลางอยทจด (5, 4) และวงกลมนสมผสแกน x จงหาจดสมผสและความยาวของรศมของวงกลมน
2. จดกงกลางระหวางสองจด
พจารณารปทก าหนดใหตอไปน
จากรป ลาก P1R ขนานกบแกน x ดงนนพกดของจด R เปน (x2, y1) ลาก PQ และ P2R ขนานกบแกน y ดงนนพกดของจด Q เปน (��, y1)
∵ P1QP1R
= P1PP1P2
∵ P เปนจดกงกลางของ P1 P2
∴P1P
P1P2=
1
2
∴P1Q
P1R=
1
2
∴P1Q= 1
2P1R
∴ P เปนจดกงกลางของ P1 P2
∴ P1Q=QR |x -x1|= |x2-x | ∴ x -x1=x2-x 2x =x1+x2
P (��,𝑦 )
Y
X
P2(x2, y2)
P1 (x1, y1) P(x2, y1)
Q (��,𝑦1)
∴ x =
x1+x22
และเชนเดยวกน
PQ
P2R=
P1P
P1P2
∴ PQ
P2R=
1
2
PQ=1
2P2R
|y =y1|=1
2(y2-y1)
∴ y -y1= 1
2(y2-y1)
2y =2y1=y2-y1 2y =y1+y2
∴ y =y1+y22
นนคอ ถา P(x , y ) เปนจดกงกลางระหวางจด P1(x1, y1) และ P2(x2, y2) แลว
x =x1+x22
และ y= y1+y22
1. ถา C(2, 3) เปนจดกงกลางระหวางจด A(-2, 0) และ B(x, y) จงหา B(x, y) 2. ก าหนดจด (-3, 2) และจด (5, 8) เปนจดปลายเสนผานศนยกลางของวงกลมวงหนง จงหา
จดศนยกลางของวงกลมน
3. วงกลมวงหนงมจดศนยกลางอยทจด (-1, 2) ถาจดปลายเสนผานศนยกลางขางหนงของวงกลมน
อยทจด (-3, 2) แลว จงหาจดปลายเสนผานศนยกลางอกขางหนงของวงกลมน 4. ก าหนด A(5, 6), B(-2, -2) และ C(4, 2) เปนจดยอดมมของรปสามเหลยม ABC ถา
E และ F เปนจดกงกลางของดาน AB และ AC จงแสดงวา EF= 1
2 BC
5. ถาจด D(1, 3), E(3, 6) และ F(-1, 5) เปนจดกงกลางของดาน AB, BC และ CA
ของรปสามเหลยม ABC แลว จงหาพกดของจด A, B และ C
3. ความชนของเสนตรง
พจารณารปทก าหนดตอไปน
ถาก าหนดให m เปนความชนของเสนตรง L ทลากผานจด P1(x1, y1) และ P2(x2, y2) แลว
ความชน m= y2-y1x2-x1
เราสามารถน าเอานยามของความชนทกลาวมาขางตนไปใชกบการอธบายคณสมบตของเสนตรงสองเสนทขนานและตงฉากกนไดดงน
เสนขนาน
ก าหนดให เสนตรง L1 ท ามมกบแกน x เทากบ θ1 และมความชนเทากบ m1 และ เสนตรง L2 ท ามมกบแกน x เทากบ θ2และความชนเทากบ m2 ถา m1 = m2 จะตองพสจนวา θ1= θ2หรอ เสนตรง L1 ขนานกบเสนตรง L2
Y
X
P2(x2, y2)
P1 (x1, y1)
P(x2, y1)
y2-y1
x2-x1
รปท 1
รปท 2
ใหเสนตรง L1 และ L2 ตดแกน x ทจด P1(x1, 0) และ P2(x2, 0) ตามล าดบ ลาก P2P1’ ตงฉากกบแกน x ตดเสนตรง L1 ท P1’(x2, y1) ลาก P1’ P2’ ขนานกบแกน x ตดเสนตรง L2 ทจด P2(x3, y1) ลาก P2’ P3 ตงฉากกบแกน x ตดแกน x ทจด P3(x3, 0)
∵ P1’P2 = P2’P3 = |y1-0| = y1
และ ∵ m1 = y1-0
x2-x1 ; m2 =
y1-0
x3-x2
X P1 (x1, 0)
P2 (x2, 0)
P’2 (x2, 0) P’1 (x2, 0)
L1 L2
𝜃2 𝜃1
Y
𝜃1
L1 L2
Y
X P1 (x1, 0) P2 (x2, 0) P3 (x3, 0)
P’1 (x2, y1) P’2 (x3, y1)
𝜃2
0
∵ m1 = m2 ∴ y1
x2-x1 =
y1x3-x2
x2-x1= x3-x2 ∴ P1P2 = P2P3 △P1P2P’1 = △P2P3P’2
(∵ P1P2 =P2P3, P2P’1 = P3P’2 = y1 และ P1P2P’1 = P2P3P’2 = 90°) ∴ P2P1P’1 = P3P2P’2
หรอ θ1= θ2 จากรปท 1 และ 180°- θ1 = 180°- θ2 จากรปท 2
∴ θ1 =θ2 จะเหนวา ถาเสนตรง L1 และ L2 มความชนเทากนแลว จะไดมมเอยงเทากน นนคอ เสนตรงทมความชนเทากนยอมขนานกน หรอเสนตรงทขนานกนยอมมความชนเทากน
ทฤษฏบท ∶ เสนตรงสองเสนทไมขนานกนกบแกน y จะขนานกน กตอเมอ ความชนของเสนตรงทงสองเทากน
เสนตงฉาก
ก าหนดใหเสนตรง L1 และ L2 มความชนเทากบ m1 และ m2 ตามล าดบ จะตองพสจนวา m1m2 = -1 แลวเสนตรง L1 และ L2 ตงฉากกน
ใหเสนตรง L1 และ L2 ตดกนทจด P(a, b) และเสนตรง L2 ตดแกน y ทจด R(o, c) ลากเสนตรงใหขนานแกน x และผานจด P(a, b) ตดแกน y ทจด Q(0, b) ตอเสนตรง QP ถง S โดยให PS = QR ลาก ST ใหขนานแกน ตดเสนตรง L2 ทจด T
P
L1
L2 R(0, c)
S(x, b) Q(0, b)
(a, b)
(x, y) T
ให S และ T มโคออรดเนทเปน (x, b) และ (x, y) ตามล าดบ
PS = QR x-a = c-b a = a+c-b
และ m1 = y-b
a+c-b-a=
y-b
c-b , m2 =
c-b
o-a=
c-b
-a
m1m2 = -1
y-b
c-b∙c-b
-a=-1→
y-b
-a-1
y – b = a หรอ ST =PQ
∴ △PQR= △PST (QR = PS, PQR = PST, PQ=ST)
QPR = PTS และ PRQ = SPT แต QPR + PRQ = 90° QPR + SPT = 90°
RPT= 90° ∴ เสนตรง L1 กบ L2 ตงฉากกน ดงนน ถาผลคณของความชนของเสนตรงสองเสนมคาเทากบ -1 แลวเสนตรงสองเสนนนตงฉากกน ในท านองเดยวกน ถาเสนตรงสองเสนทไมขนานกบแกน y ตงฉากกนแลว ผลคณของความชนของเสนตรงทงสองเทากบ -1
ทฤษฏบท : เสนตรงสองเสนทไมขนานกบแกน y จะตงฉากกน กตอเมอผลคณของความชนของเสนตรงทงสองเทากบ-1
1. ถาเสนตรงทลากผานจด (x, 5) และ (-2, 8) มความชนเทากบ -1
2 จงหา x
2. ถาเสนตรงทลากผานจด (-4, -4) และ (2, y) มความชนเทากบ 2 แลวจงหา y
3. จงแสดงวาจด (2, 3), (4, 5), (6, 7) อยบนเสนตรงเดยวกน
4. ถาเสนตรงทลากผานจด (2, k) และ (5, 6) มความชนเทากบเสนตรงทลากผานจด (-2,
1) และ (1, 5) จงหาคา k
5. ก าหนด A(2, 3), B(4,-1) และ C(7, 6) และให D และ E เปนจดกงกลางของดาน
AB และ AC ตามล าดบ จงแสดงวา DE ขนานกบ BC 6. ถาจด A(1, -1), B(2, 2), และ C(4, t) อยบนเสนตรงเดยวกนแลว จงหาคา t
4. สมการของกราฟเสนตรง
1. สมการของกราฟเสนตรงทขนานกบแกน x ก าหนดให L เปนเสนตรงทขนานกบแกน x ดงนน เสนตรง L ยอมตงฉากกบ
แกน y และก าหนดใหเสนตรง L ตดแกน y ทจด (0, b) ถา b>0 เสนตรง L จะอยเหนอแกน x และหางจากแกน x เปนระยะ l b l
หนวย ถา b=0 เสนตรง L จะทบแกน x ถา b<0 เสนตรง L จะอยใตแกน x และหางจากแกน x เปนระยะ l b l
หนวย
สมการของกราฟเสนตรงทขนานกบแกน x คอ y = b
ตวอยางเชน (1) เสนตรงทขนานกบแกน x และอยเหนอแกน x เปนระยะ 5 หนวย มสมการเปน y
=5 (2) เสนตรงทขนานกบแกน x และทบแกน x มสมการเปน y = 0 (3) เสนตรงทขนานกบแกน x และอยใตแกน x เปนระยะ 5 หนวย มสมการเปน y =
-5
(1) (2) (3) 2. สมการของกราฟเสนตรงทขนานกบแกน y
X
Y
y = 5
0 X
Y
y = 0 0 X
Y
y = -5
0
ก าหนดให L เปนเสนตรงทขนานกบแกน y ดงนน เสนตรง L ยอมตงฉากกบ
แกน x และก าหนดใหเสนตรง L ตดแกน x ทจด (a, 0) ถา a>0 เสนตรง L จะอยทางขวาของแกน y และหางจากแกน y เปนระยะ l
a l หนวย ถา a=o เสนตรง L จะทบแกน y ถา a<0 เสนตรง L จะอยทางซายของแกน y และหางจากแกน y เปนระยะ l
a l หนวย
สมการของกราฟเสนตรงทขนานกบแกน y คอ x=a
ตวอยางเชน (1) เสนตรงทขนานกบแกน y และอยทางขวาของแกน y เปนระยะ 5 หนวยมสมการ
เปน x=5 (2) เสนตรงทขนานกบแกน y และทบแกน y มสมการเปน x=0 (3) เสนตรงทขนานกบแกน y และอยทางซายของแกน y เปนระยะ 5 หนวยม
สมการเปน x=-5
3. สมการของกราฟเสนตรงทไมขนานกบแกน x และไมขนานกบแกน y
ก าหนดให L เปนเสนตรงทไมขนานกบแกน x และไมขนานกบแกน y มความชนเทากบ m และผานจด (x1, y1)
X
Y
x = 5
0
5
(1)
X
Y
x = 0 0
(2)
X
Y
x = -5
0 -5
(3)
จากรป ให (x, y) เปนจดใดๆ บนเสนตรง L
ความชนของเสนตรง L ทลากผานจด (x1, y1) และ (x, y) เทากบ y-y1x-x1
∴y-y1x-x1
=m
y-y1= m(x-x1) ดงนน สมการของกราฟเสนตรงทมความชน m และผานจด (x1, y1) คอ
y-y1 = m(x-x1)
ตวอยางเชน
(1) สมการของกราฟเสนตรงทมความชนเทากบ 2
3 และผานจด (1, 2) คอ
y-2 = 2
3(x-1)
หรอ 2x -3y +4 = 0
(2) สมการของกราฟเสนตรงทมความชนเทากบ −4
5 และตดแกน y ทจด (0, 5) คอ
y-5 = -4
5(x-0)
หรอ 4x +5y -25 = 0
X
L
0
(x1 , y1)
(x , y)
(3) จงเขยนสมการของกราฟเสนตรงทลากตดแกน x ทจด (4, 0) และตดแกน y ทจด
(0, 3)
เสนตรงทผานจด (0, 3) และมความชน 3-0
0-4 = -
3
4 มสมการเปน
y – 3 = -3
4(x-0)
หรอ 3x + 4y -12 = 0 (4) จงเขยนสมการของกราฟเสนตรงทลากผานจด (1, 2) และ (4, 3)
เสนตรงทผานจด (1, 2) และมความชน = 3-2
4-1=
1
3 มสมการเปน
y – 2 = 1
3(x-1)
หรอ x -3y +5 = 0 จะเหนไดวาจากสมการ y-y1 = m(x-x1) จะได y-y1 = mx=mx1 Y = mx – mx1 +y1 M, x1 และ y1 เปนคาคงท
ดงนนถาให c = -mx1 +y1 จะไดสมการใหมคอ y = mx + c
ถา x = 0 ถา y = c แสดงวาเสนตรงนผานจด (o, c) ดงนน สมการ y=mx+c จงมกราฟเปนเสนตรงทมความชนเทากบ m และตดแกน y ทจด(0, c) โดยทวไปเราเขยนสมการเสนตรงในรป Ax+by+x = 0 เมอ A, B และ C เปนจ านวนจรง และ A, B ไมเปนศนยพรอมกน
พจารณาสมการเสนตรง Ax+By+C=0
1. เมอ A = 0 และ B ≠ 0 จากสมการ Ax+by+c = 0 จะได y = -𝐶
𝐵 ซง
เปนกราฟเสนตรงทขนานกบแกน x
2. เมอ A≠0 และ B=0 จากสมการ Ax+By+C = 0 จะได x = -𝐶
𝐴 ซงเปน
เสนตรงซงขนานกบแกน y 3. เมอ A≠0 และ B≠0 จากสมการ Ax+by+c = 0 จะได y -
A
Bx-
C
B ซงเปน
กราฟเสนตรงทมความชนเทากบ -A
B และผานจด (0, -
C
B)
1. จงหาสมการของกราฟเสนตรงตามสมบตทก าหนดใหตอไปน
1) ขนานกบแกน x และอยเหนอแกน x เปนระยะ 5 หนวย 2) ขนานกบแกน y และอยทางซายมอ เปนระยะ 3 หนวย 3) ขนานกบแกน x และอยหางจากจด(0, -1) เปนระยะ 4 หนวย 4) ขนานกบแกน y และอยหางจากจด(2, 0) เปนระยะ 5 หนวย
2. จงบอกความชนและจดทเสนตรงตอไปนตดแกน x และ แกน y 1) x+2y+3=0
ความชน = ตดแกน x ทจด ตดแกน y ทจด
2) 4x-3y-5=0 ความชน = ตดแกน x ทจด ตดแกน y ทจด
3) 5y-x=10 ความชน = ตดแกน x ทจด ตดแกน y ทจด
4) y=2
3x – 6
ความชน = ตดแกน x ทจด ตดแกน y ทจด
5) 2x=4y-5 ความชน = ตดแกน x ทจด ตดแกน y ทจด
3. จงแสดงวาเสนตรง 3x-4y+5 = 0 ขนานกบเสนตรง 6x-8y-5 = 0
4. จงแสดงวาเสนตรง 5x+2y-3 = 0 ตงฉากกบเสนตรง 4x-10y+5 = 0
5. ระยะหางระหวางเสนตรงกบจด และระยะระหวางเสนคขนาน
ระยะหางระหวางเสนตรงกบจด ถาก าหนดใหระยะทางจากจด P(x1, y1) ไปยงเสนตรง Ax+By+c = 0 เทากบ d
เราจะสามารถหาคา d ไดดงน ให L เปนเสนตรง Ax+By+c = 0 ลากเสนตรง L1 ผานจด P(x1, y1) มาตงฉากกบเสนตรง L ทจด P’(x, y) ดงรป
PP’ = d d2 = (x-x1)
2 + (y-y1)2
จากสมการ Ax+By+c = 0 y = -
A
B x-
C
B ------- (1)
ความชนเสนตรง L = -A
B (B≠0)
ความชนเสนตรง L1 = B
A (เสนตรง 2 เสนตงฉากกน ผลคณของความชน
= -1) แตเสนตรง L1 ผานจด (x1, y1) และ (x, y)
ความชนของเสนตรง L1 = y-y1x-x1
y-y1x-x1
= B
A
y - y1 = B
A(x – x1) ------- (2)
y = y1 +B
A(x – x1) ------- (3)
(1) – (3) ได -A
Bx-
C
B = y1 +
B
A(x – x1)
B
A(x – x1) +
A
Bx = -y1 -
C
B
B
A(x – x1) +
A
Bx -
A
Bx1 = -
A
Bx1 - y1 -
C
B
B
A(x – x1) +
A
B(x-x1) = -
A
Bx1 - y1 -
C
B
(B
A+
A
B) (x – x1) = -
A
Bx1 - y1 -
C
B
A2B2
AB(x – x1) = -
A
Bx1 -
By1B -
C
B
(x – x1) = - (A
A2+B2)(Ax1 +By1+C) ------- (4)
จาก d2 = (x-x1)2 + (y-y1)
2 แทน y-y1 จาก (2) ได
d2 = (x-x1)2 +
B2
A2(x-x1)2
= A2+B2
A2 (x-x1)2
แทน x-x1 จาก (4) ได
d2 = A2+B2
A2 ∙ (A
A2+B2)2 (Ax1+By1+C)
2
d = |Ax1+By1+C|
√A2+B2
ระยะหางระหวางเสนตรง Ax+By+C=0 คอ
d = |Ax1+By1+C|
√A2+B2
ระยะระหวางเสนคขนาน ก าหนดเสนตรง AX +By +C1 = 0 และเสนตรง Ax+By+C2=0 จะเหนวาเสนตรง
สองเสนนขนานกน การหาระยะหางระหวางเสนตรงทงสองท าไดโดยเลอกจดจดหนงบนเสนตรง Ax+By+C2 = 0 ใหเปน (x1, y1) จะได Ax1+By1+C2 = 0 หรอ Ax1+By1=-C2
ให d เปนระยะหางระหวางจด (x1, y1) กบเสนตรง Ax+By+c1 = 0 จะได
d = |Ax1+By1+C|
√A2+B2
Ax1 + By1 = -C2
d = |-c2+c1|
√A2+B2
ระยะหางระหวางเสนตรง Ax+By+C1=0 และเสนตรง Ax+By+C2=คอ
d = |C1-C2|
√A2+B2
1. จงหาสมการเสนตรงทขนานกบเสนตรง 3x+4y+10 = 0 และอยหางจากจด (3, 4) เทากบ
6 หนวย 2. จงหาสมการเสนตรงทตงฉากกบเสนตรง 5x+12y+15 = 0 และหางจากจด (1, 1) เทากบ 2
หนวย
3. จงหาสมการเสนตรงทขนานกบเสนตรง 6x+8y+30 = 0 และหางจากจดก าเนดเทากบ 2.5
หนวย 4. ถาเสนตรง 5x-12y+17 = 0 เปนเสนตรงทอยกงกลางระหวางเสนคขนานคหนง ซงอยหางกน
4 หนวย จงหาสมการของเสนคขนานคน