Prof. Dr. Hüseyin ÇAKALLIMatematik DanışmanıMaltepe Üniversitesi

YİBO Öğretmenleri (Fen ve Teknoloji, Fizik, Kimya, Biyoloji ve Matematik)Proje Danışmanlığı Eğitimi Çalıştayı

YİBO-3 (Çalıştay 2010-1)

Matematikte Proje Hazırlamak

Matematikte bir proje hazırlarken projenin konusunun bir konu veya kavramın daha iyi açıklanmasına yardımcı olacak özgün çalışma olmasına dikkat etmeliyiz. Orijinallik yepyeni bir düşünce olabileceği gibi, daha önce yapılan bir ispatın tamamen değişik ve daha kısa ya da daha anlaşılır olması olarak düşünülmelidir.

MATEMATİKTE İSPAT YÖNTEMLERİ

• Matematikte çeşitli ispat yöntemleri vardır. Doğrudan ispat, olmayana ergi yoluyla ispat, doğruluk tablosu yöntemiyle ispat, ayırma yoluyla ispat, mantıksal karşılaştırma yoluyla ispat en çok kullanılan ispat yöntemleridir. Ancak alışılmışın dışında daha başka düşünce ile de bazı ispatların edilebileceğini göz ardı etmemeliyiz.

Doğrudan ispat• Doğrudan ispat yönteminde hipotezler

yardımıyla ve genel bilgiler kullanılarak ispat gereken adımlar izlenerek yapılır. Bu tür ispatta hipotezde verilen verilerin tümünün kullanıldığını kontrol etmeliyiz. Eğer ispatı hipotezde verilenlerden daha az varsayımla yapabiliyorsak ya ispatta yanlış bir yer vardır ya da daha az koşulla ispatı elde etmiş oluruz ki bu da koşulların azlığı ile orantılı olarak önemli yeni bir teorem ya da sonuç elde etmişiz demektir.

Olmayana ergi yoluyla ispat

• Bu ispat yöntemi bir p önermesinin bir q önermesini gerektirdiğinin ispatında zorluk olduğunda, yani p nin q yu gerektirdiğinin, p yi kabul edip q yu elde etmenin zor olduğu durumlarda çok büyük kolaylık sağlar. Bu yöntemde iddianın doğru olmadığı kabul edilerek hipotezin veya bilinen doğru bir önermenin yanlışlığı ortaya çıkarılır. Pek çok önemli sonuç ve teoremin ispatı bu yolla yapılmaktadır.

Hiç söz söylemeden bir şekille ispat

• Bir şekil çizerek ispatın görülmesi sağlanabilir. Şekilden ispat hemen görülebildiği gibi bir süre düşünceye sevk ettikten sonra da ispatın görülmesi sağlanabilir.

İSPATIN ANLAŞILIR OLMASI

• İspatın anlaşılır olması, kullanılan sembollerin literatürde yaygın kullanılan semboller olması ya da açıkça belirtilmesi gerekir.

• Dinleyenlerin bildiği bilgilere dayanmalı,• İspatta kullanılan ve dinleyicilerin bilmediği

bilgilerin öncelikle açıklanması gereklidir.

İspat doğru olmalı

• Teorem ya da iddia doğru olmakla birlikte ispat yanlış olabilir. Kullanılan verilerin doğru olması gerekir. Eğer yanlış bir bilgi doğruymuş gibi kullanılırsa ispat doğru gibi gözükse de yanlış olan bir bilgi kullanıldığından ispat yanlıştır.

İspat düşündürmeli

• Düşünmeden ispat yapmak mümkün değildir.

Bir söz ya da bir ifade bir şekille ispat hemen görülebilir olabilir

• İspat bazen bir şekil veya bir işlemle hemen anlaşılır olabilir. Bu tür ispatlara ilişkin örnekleri konunun akışı içinde vereceğiz.

İspat evrensel bilgilere dayanmalı• İspatta kullanılan kaynakların hem ulusal

hem de uluslar arası kaynaklara dayanmasına özen göstermeliyiz.

Matematikte Proje Hazırlamak

• Proje hazırlarken evrensel bilgiler takip edilmeli

İnternetten yararlanılmalı

• İnternetten çeşitli web sitelerinin bilgilerinden yararlananılmalı

İnternette hangi bilgiler güvenilir ve doğrudur

• İnternette hangi sitelerin bilgilerinin doğruluğuna güvenebiliriz:

• Eğitim kurumlarının sitelerine güvenebiliriz• http://www.google.com.tr/• deki her bilgi doğru olmayabilir.• Bilimsel bilgiler için aşağıdaki arama

motorundan aramayı tercih etmeliyiz.• http://scholar.google.com.tr/

İnternetteki bilginin yazarının güvenilirliği

• Ayrıca bir internetten elde edilen bilginin yazarının açıkça belirli olduğuna ve yazarın bir eğitim kurumu üyesi ya da güvenilir bilgilere sahip olduğu açıkça belli olan bir kişi olduğuna dikkat etmeliyiz.

Matematiğin öneminin sağlanması

• Matematiğin önemli olduğu ve günlük hayatta, sosyal, fen ve sağlık bilimlerinin her alanında kullanıldığının çeşitli şekillerde vurgulanması sağlanarak Matematiğin öneminin belirtilmesi sağlanmalıdır.

Matematiğin sevdirilmesi

• Öğrencileri yapmaya çalıştıkları uğraşın, matematiğin önemine inandırmak onların Matematiği sevmelerini sağlamak demektir. Yapamadıkları, çözemedikleri durumlarda onları cesaretlendirici davranmalıyız. Başaramayacakları hissine kapıldıkları zaman onlara hiçbir zaman morallerini bozucu konuşmalar yapmamalıyız.

Değişik bakış açısı

• Öğrencileri yeni ve değişik bakış açısına yönelmelerini teşvik etmeliyiz. Eski bilgi ve yöntemleri bilmekle beraber her yeni düşünceyi analiz etme ve araştırma ve ispat etme ya da doğru olmadığını ispat etmeyi düşünmelerini sağlamalıyız.

Değişik ispat şekilleri olabilir

• Bir ispat yapılmışsa o konu kapanmış ispatı tamamlanmış demek değildir. Daha değişik orijinal ispatlar olabilir. Buna en iyi örnek Pisagor teoremidir.

Pisagor teoreminin animasyonla ispatı

• Pisagor teoremi

http://www.usna.edu/MathDept/mdm/pyth.html

Pisagor teoreminin 367 değişik ispatı vardır

• Pisagor teoreminin Amerikan Başkanlarından GARFIELD tarafından da bir ispatı yapılmıştır.

• Pisagor teoreminin 367 ispatından 84 ini bu linkten görebiliyoruz.

• http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml

Uluslararası yayınlardan yararlanma

• https://www.maa.org/EbusPPRO/OnlineJournals

• gibi uluslarası dergilerde öğrencilerin seviyesine uygun makalelerden yararlanabiliriz.

Söze gerek yok ispat aşikar

• A Reciprocal Pythagorean Theorem (Ters oranlı Pisagor teoremi)

• Mathematics Magazine, ISSN 0025-570X, Online ISSN: 1930-0980

• Volume 82, Number 5, December 2009 • doi:10.4169/002557009X478427

Daire ve yarım daire içinde kareler

• Aşağıdaki linkteki şekilde görülen aynı çaplı yarım dairenin içindeki karenin alanı dairenin içindeki karenin alanının 2/5 idir.

• A square inscribed in a semicircle has 2/5 the area of a square inscribed in a circle of the same radius.

• Mathematics Magazine• ISSN 0025-570X, Online ISSN: 1930-0980 • Volume 82, Number 5, December 2009 • doi:10.4169/002557009X478382

Aritmetik, geometrik ve harmonik ortalamaların sıralanması

• Aritmetik ortalama A(a, b) = (a + b)/2, Geometrikortalama G(a, b) = √ab, ve

• Harmonik ortalama H(a, b) = 2ab/(a + b) ların aşağıdaki eşitsizliği sağladığı şekilden görülmektedir.

• H(a, b) ≤ G(a, b) ≤ A(a, b), • Eşitliğin olması için gerek ve yeter koşul a=b olmasıdır.• Ordering Arithmetic, Geometric, and Harmonic Means• Mathematics Magazine Volume 82, Number 2, April

2009 pp. 116-116(1)

Bulunan orijinal çalışmaların yayın olarak değerlendirilmesi

• Kısa bazı ispatlar ispat için kısa şekil v.s elde ederek uluslararası dergilerde örneğin

• https://www.maa.org/EbusPPRO/OnlineJournals/

• dergilere sunmayı düşünmeliyiz.

Matematik her şeyde vardır

• Yapılan her matematiksel ifade, eşitlik ve teoremlerin günlük hayattaki problemlere uygulanabildiğini göz önünde tutarak örnekler vermeli ve oluşturmaya çalışmalıyız. Günlük hayattaki bütün problemlerin matematiksel olarak ifade edilebilecek teorileri var olduğunu ya da elde edilebileceğini belirtmeliyiz.

Prof. Dr. Hüseyin Çakallı

• Prof. Dr. Hüseyin Çakallı• Maltepe Üniversitesi• İstanbul