Slayt 1

YMT 222 SAYISAL ANALZ (Blm 6a)Prof. Dr. Asaf Varol

2012-2013 Bahar Dnemi12Diferansiyel Denklemlerin Saysal zmODE ve PDE nedirBir diferansiyel denklem(ODE), bir veya daha fazla baml deikenlerin trevlerini ieren bir denklemdir. Eer denklemler dahil sadece bir bamsz deiken varsa, bu tr trevler sradan trevler olarak adlandrlr. Eer bununla birlikte denklemin ierisinde birden fazla deiken varsa, bamsz deikenlerin her biri ile ilgili olarak ksmi trevler (PDE) kullanlr.3Dorusal birinci dereceden diferansiyel denklemler(ODE)dy/dx = x + y

y = x + ydu/dx + u = 2u + u = 24Dorusal olmayan birinci dereceden diferansiyel denklemlerdy/dx = x + cos(y)y = x + cos(y)du/dt + u2 = 2u + u2 = 25Dorusal ikinci dereceden diferansiyel denklemlerd2y/dx2 dy/dx = xyy= -2y + 0.1y6Dorusal olmayan ikinci dereceden diferansiyel denklemlerd2y/dx2 dy/dx = xy-yy= -2y + 0.1(y)27Homojen ODElerd2y/dx2 dy/dx = xy-yy= -2y + 0.1(y)28Homojen ODE her terimde baml deiken veya trevleri ieren bir denklemdirKsmi diferansiyel eitlikleri1. Dereceden Dorusal PDEYanda verilen fonksiyonda u = u( x, t)x ve t bamsz deikenler baml deikendir

2. Dereceden Dorusal PDEx ve y bamsz deikenler9

Euler metodu10Biz genel olarak her birinci dereceden ODE'yi yle yazyoruz.y = f(x,y)(6.2.1)Burada f (x,y) fonksiyonu bilinmeyen bamsz deikene gre ynin trevini gsterir. Trev fonksiyonun bir noktadaki eimidir. rnein;

y = -xy ;y(0) = 1; f(x,y) = -xy(6.2.2)

Euler metodu eimi kullanarak balang bir xi,yi noktasn kullanarak bir sonraki xi+1, yi+1 noktasnn deerini hesaplar. xi+1= xi +h ve h=x olarak verilmitir.

11

12h=0,25 aral ile Eulerin basit ynteminin kullanlmasyla verilen trevin zm.

Analitik zm:ODEnin kesin zm izleyen deerlerin dalm yntemini ile zlebilir.

Her iki tarafn integrasyonu

Her iki tarafn exponansiyelinin alnmasyla ea+b= ea. eb unu elde ederiz

x=0, y=1 ve bylece c=1 koordinasyonu kullanlarak integrasyonun sabiti belirlenir.

Kesin sonu

13

14

15

MATLAB (Euler)16

Grafik (Euler)17

18

Blm 6a Sonu19ReferanslarCelik, Ismail, B., Introductory Numerical Methods for Engineering Applications, Ararat Books & Publishing, LCC., Morgantown, 2001 Fausett, Laurene, V. Numerical Methods, Algorithms and Applications, Prentice Hall, 2003 by Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ 07458Rao, Singiresu, S., Applied Numerical Methods for Engineers and Scientists, 2002 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458Mathews, John, H.; Fink, Kurtis, D., Numerical Methods Using MATLAB Fourth Edition, 2004 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458Varol, A., Sayisal Analiz (Numerical Analysis), in Turkish, Course notes, Firat University, 2001

20