yoel martínez gonzález* y david e. marón domínguez**

Vol. 14; número especial TECNOLOGÍA EN MARCHA 37

Se desarrollan y comparan dos esquemaspara la solución de las ecuaciones de flujoimpermanente unidimensional en conduccioneslibres, tomando en cuenta la existencia deaportes laterales y la correspondientevariabilidad espacial de la rugosidad, así comode la pendiente del fondo de la conducción.Debido a que ambos esquemas presentanparámetros de peso que influyen sobre laestabilidad, en los casos estudio mostrados seintrodujeron ciertos valores para que ésta segarantice, permitiendo identificar suslimitaciones y bondades.

Introducción

Los métodos numéricos sonfrecuentemente utilizados para la resoluciónde las ecuaciones del flujo impermanenteunidimensional (o ecuaciones de SaintVenant), que para una conducción conaporte lateral toman la forma:• Ecuación de continuidad

(1.a)

• Ecuación de la cantidad de movimiento

(1.b)

donde: t = tiempo; x = distancialongitudinal; Q(x,t) = gasto o caudal;h(x,t) = tirante o profundidad de circulación;A(x,t) = área mojada; R(x,t) = radiohidráulico; T(x,t) = ancho superficial;n(x) = coeficiente de rugosidad;

NF(x,t) = número de Froude;So(x) = pendiente de la rasante de fondo yq*(x,t) = aporte neto lateral, que es igual ala suma de los aportes distribuidos (qtT) ypuntuales (qd).

Según Chow et al [1] éstos pueden serclasificados como métodos directos ymétodos de las características. En losprimeros se formulan sistemas deecuaciones en diferencias finitas, utilizandolas ecuaciones diferenciales parciales decontinuidad y cantidad de movimiento,obteniéndose soluciones para tiempos ydistancias incrementales. Aquí se incluyenlos métodos de diferencias finitas (MDF) yelementos finitos (MEF), así comocualquiera de sus variantes.

En los métodos de las características, lasecuaciones en derivadas parciales sontransformadas primeramente a ecuacionesen derivadas totales y luego se resuelvenanalíticamente o usando una representaciónen diferencias finitas. En la década de losaños sesenta comenzaron a ser desplazadospor los métodos directos, que resultaron sermás ventajosos. Por esta misma razón, en elpresente trabajo se plantea utilizar unavariante propuesta por R. Szymkiewicz([8],[9]) obtenida de una modificación delprocedimiento de integración de Galerkin[2] y el esquema en diferencias finitas de A.Preissmann [5] para la solución de lasecuaciones de Saint Venant. Cabe señalarque tales ecuaciones son usualmenteresueltas por el MDF, sin embargo el MEFtambién puede ser empleado, pero en suforma estándar no asegura resultadossatisfactorios. La razón de éstas recae en laestrategia empleada para la aproximación de

0 = ∂∂

+ ∂∂

+ − ∂∂

+ −

Qt

2QA

Qx

gA(1 NF )hx

gAn QQR A

So

2

2

4/3 2

∂∂

+ ∂∂

= −Qx

ht

T q*

DOS ALGORITMOS NUMÉRICOS PARA LA SOLUCIÓNDE LAS ECUACIONES DE SAINT VENANT

Yoel Martínez González* y David E. Marón Domínguez**

* Centro deInvestigacionesHidráulicas (CIH).Instituto SuperiorPolitécnico JoséAntonio Chavarría(ISPJAE). Ciudadde la Habana,Cuba.

[email protected]

** Dpto. deMatemática,Facultad deIngeniería Civil,ISPJAE, Cuba.

[email protected]

Martínez González Yoel y Marón D. David E. Dos algoritmos numéricos para lasolución de las ecuaciones de Saint Venant. Tecnología en Marcha. Vol 14 especial.

los términos no lineales de las ecuaciones deSaint Venant. Es por ello que diferentesaproximaciones han sido propuestas,destacándose la de Katopodes [4] que usóuna formulación disipativa delprocedimiento de integración de Galerkin,basada en el empleo de funciones de pesodiscontinuas, que introducen disipación enel esquema numérico. La variante deSzymkiewicz acude al teorema del valormedio ponderado de una función en elelemento, resultando una solución sinoscilaciones y prácticamente con las mismaspropiedades del esquema de Preissmann,que ha de utilizar un método ponderado decuatro puntos entre niveles de tiempo,siendo incondicionalmente estable paradeterminados valores de los coeficientes deponderación utilizados. Además, unacomparación de la eficiencia del MEF y elesquema de Preissmann fue llevada a cabopor Granatowicz y Szymkiewicz [8] dondese demuestra que los métodos sonprácticamente equivalentes y brindanresultados casi idénticos, señalando lasdiferencias de los esquemas; para el MEFuna malla de seis puntos mientras que parael esquema de Preissmann, cuatro puntos loque influye en la rapidez de los cálculos. Enlos casos resueltos por estos investigadores,el MEF satisfizo mejor la ecuación decontinuidad.

En el presente trabajo se desarrollan ycomparan ambos esquemas, tomando encuenta la existencia de aportes laterales, yasean puntuales y/o distribuidos en elespacio, así como continuos y/o instantáneosen el tiempo, siendo válido destacar que ensu propuesta original, Szymkiewicz no tomaen cuenta este término [9]. Otrasconsideraciones son: la variabilidad espacialde la resistencia al flujo, caracterizada por elcoeficiente de rugosidad y de la rasante defondo en el dominio de solución, o sea, deltramo de conducción considerado.

El método de los elementos finitos (MEF).Variante de Szymkiewicz

Será considerada una conducción delongitud L, la cual será dividida por N+1nodos en N elementos, cada uno de

magnitud Dxi (i = 1,2,...,N). Las integralesque aparecen al aplicar el procedimiento deGalerkin al sistema (1) dependen de lasincógnitas por lo que es necesario analizar eltratamiento que se le dará a dichoscoeficientes. Existen dos variantes en elMEF estándar para dicho análisis:

• Aproximar dichos coeficientes por unvalor promedio, utilizando el teorema delvalor medio en el elemento.

• Utilizar una combinación lineal de lostérminos de los coeficientes.Como fue mencionado con anterioridad,

es utilizada una modificación de la primeravariante, propuesta por Szymkiewicz, queemplea un cierto valor ponderado de dichoscoeficientes en el elemento. Ahora bien,como las funciones bases Ni(x) se tomaránlineales, existirán consecuentemente dostipos de integrales y son las siguientes:

(2.a)

(2.b)

El promedio ponderado fc(t) se define, enun elemento, por las fórmulas:• Para el nodo i:

fc(t) = w fi(t) + (1-w) fi+1(t) (3.a)• Para el nodo i+1:

fc(t) = (1-w) fi(t) + w fi+1(t) (3.b)donde w = parámetro de peso que varíaentre 0 y 1. Por lo tanto, acorde con (3), lasexpresiones en (2) podrán ser escritas como:• Para el nodo i:

Ii = [w fi(t) + (1-w) fi+1(t)]

(4.a)

• Para el nodo i+1:

Ii+1 = [(1-w) fi(t) + w fi+1(t)]

(4.b)

Nótese que de ser adoptado w = 2/3 enlas expresiones anteriores es obtenido elMEF estándar. La aplicación del MEF en elespacio en (1) origina un sistema de

∆xi

2

∆xi

2

I f(x, t)N (x)dx

f (t) N (x)dx f (t)x2

i 1 i 1Re

c i 1Re

ci

+ +

+

=

= =

∫

∫∆

I f(x, t)N (x)dx

f (t) N (x)dx f (t)x2

i iRe

c iRe

ci

=

= =

∫

∫∆

38 Vol. 14; número especial TECNOLOGÍA EN MARCHA

ecuaciones diferenciales ordinarias el cualpuede ser escrito en notación matricial de laforma:

(5)

siendo W una matriz de bandas, simétrica yconstante, F el vector de las incógnitas y Ees un vector que depende de las incógnitasQ y h. Para aproximar este último, seutilizará una ponderación con un parámetroq, que varía entre 0 y 1, obteniéndose elesquema en diferencias siguiente:

(6)

Realizando algunas transformaciones:

(7)

Para q = 1 se obtiene el esquemaimplícito de Euler; con q = 2/3 el esquemade Galerkin y si q = 1/2 un esquemaequivalente al de Crank-Nicolson. Decoincidir q = 1 y w = 1 resulta el esquemade Vasiliev, que según Szymkiewicz [9]resulta inadecuado para la solución de lasecuaciones de Saint Venant. El sistema (7)es no lineal y presenta 2(N+1) ecuacionescon 2N incógnitas. Aunque puede serlinealizado usando los primeros términos deuna expansión en serie de Taylor en torno alos valores obtenidos en el paso de tiempoanterior, en el presente trabajo se hace usode un método de solución de sistemas deecuaciones no lineales, o sea, una variantedel método de Gauss-Newton para lasolución de este tipo de sistemas, conocidocomo método de Levenberg-Marquardt, elcual es descrito en detalle por Gill et al [3].

Análisis de precisión y estabilidad

Para la evaluación de la precisión y laestabilidad es utilizado el análisis de Fouriery las ecuaciones de Saint Venant sonsimplificadas y linealizadas como sigue:

(8.a)

(8.b)

Aquí U = Q/A; ho = profundidadconstante; h = profundidad de flujo. Estesistema escrito en notación vectorial

(9)

siendo F = vector de las incógnitas y Ko =matriz de coeficientes. La discretización deeste sistema con Dx y Dt constantes vendrádada por

(10)Cuando es aplicado el análisis de Fourier

en (10) resulta un factor de amplificación Gque es un número complejo, cuyo móduloes:

donde

(11)

con l = índice de la componente de Fourier;Cr = (g ho)1/2(Dt/Dx), el número de Courant.

El esquema numérico es absolutamenteestable si ΩGΩ£ 1 y esto sólo se satisfacecuando w ≥ 1/2 y q ≥ 1/2. Para q = 1/2,ΩGΩ= 1 resultando un esquema nodisipativo, o sea que se propagan loserrores; con q < 1/2 , ΩGΩ> 1 que da lugar aun esquema inestable y si q > 1/2, ΩGΩ < 1entonces el esquema es disipativo.

r Ctg

x2

1 (2w 1)tgx

2

r2

=

+ −

λ

λ

∆

∆

G 11 2

14 r

22

= + −

+

θ

θ

01 w

tF F

2wt

F F

1 wt

F F

xK F F

1x

K F F

i 1k 1

i 1k

ik 1

ik

i 1k 1

i 1k

o i 1k 1

i 1k 1

o i 1k

i 1k

{ } = − −{ }+ −{ }+ − −{ }+ [ ] −{ }+ − [ ] −{ }

++

+

+

−+

−

++

−+

+ −

∆

∆

∆

∆

∆

θ

θ

∂{ }∂

+ [ ] ∂{ }∂

= { }Ft

KFx

0o

∂∂

+ ∂∂

=ht

hUx

0o

∂∂

+ ∂∂

=Ut

ghx

0

W F t E W F

(1 ) t E 0

k k k 1

k 1

[ ]{ } + { } − [ ]{ }+ − { } = { }

−

−

θ

θ

∆

∆

1t

W F F E

(1 ) E 0

k k 1 k

k 1

∆[ ] −{ } + { }

+ − { } = { }

−

−

θ

θ

Wd F

dtE 0[ ] { } + { } = { }


La intensidad de la disipación vendrádada por el coeficiente de difusión numéricann el cual puede ser estimado acorde con laecuación:

nn = g (q - 0,5) Dt ho (12)Nótese que la difusión sólo desaparece

cuando q = 1/2, lo cual indica que laaproximación del método es de segundoorden en el tiempo. Para q > 1/2, el esquemaproduce difusión numérica que seincrementa cuando q y Dt sonincrementados. Para estimar el error de fase,haciendo uso del factor de amplificación, sedefine la celeridad de la fase de lacomponente de Fourier, definida por elángulo fk

(13)

Para la variante de Szymkiewicz, el errorde dispersión está ausente solamente si w =1/2, q = 1/2 y Cr =1. Con estos valores laceleridad de la fase de la componente deFourier es constante y al introducir w = 1/2en (11) se obtiene

(14)El análisis de Fourier desarrollado por

Szymkiewicz para estimar la precisión yestabilidad del esquema, aplicado a laversión linealizada del sistema (1) no esdefinitivo, pues bien es conocido que no sedispone de métodos exactos para el estudiode la convergencia y estabilidad deesquemas no lineales. Es por ello que laexperimentación numérica constituye laúnica herramienta para la verificación finalcon el objetivo de garantizar una mejorsimulación de condiciones de flujo reales.

El método de las diferencias finitas(MDF). Esquema de Preissmann

En el método de Preissmann, cualquierfunción continua y derivable respecto a lasvariables independientes x y t , se sustituyepor las siguientes fórmulas:

(15.a)

(15.b)

(15.c)

siendo Dxi y Dtk los intervalos variables dedistancia y tiempo respectivamente queproporcionan el tamaño de la malla; w y qparámetros de peso que pueden variar entre0 y 1. Tales parámetros pueden afectarsignificativamente la estabilidad delesquema; una condición estándar puedeobtenerse para w = 1/2 lo que implica unaprecisión de segundo orden en el espaciosegún Lyn y Goodwin [5]. Acorde con (15),las ecuaciones de Saint Venant sondiscretizadas y se obtiene un sistemaalgebraico con 2N ecuaciones y 2Nincógnitas ( i =1,...,N+1)

(16.a)

(16.b)

siendo ; ;

.

Sfn Q Q

(R ) (A )mk i

2m

km

k

mk 4/3

mk 2i

i i

i i

=

(NF ) NF (Q ,h )2m

k 2m

km

k

i i i=

T T(h )mk

mk

i i=A A(h )m

km

k

i i=

0 =−

+ −−

+−

+− −

+ −−

+ +−

+

+−

+

wQ Q

t(1 w)

Q Q

t

2 Q

A

Q Q

x

2(1 )Q

A

Q Q

x

gA (1 NF )h h

x

i 1

k

i 1

k-1

k

i

k

i

k 1

k

m

k

m

k

i 1

k

i

k

i

m

k

m

k

i 1

k-1

i

k 1

i

m

k 2m

k i 1

k

i

k

i

i

i

i

i

ii

∆ ∆

∆

∆

∆

θ

θ

θ

0 = θ θQ Qx

(1 )Q Q

x

T wh h

t

T (1 w)h h

tq

i 1k

ik

i

i 1k 1

ik 1

i

mk i 1

ki 1k 1

k

mk i

kik 1

k

*k

i

i

+ +− −

+ +−

−

− + − −

+ −

+ − − +

∆ ∆

∆

∆

∂∂

= −

+ −

+

+

fx

1x

(f f )

1x

(1- )(f f )

ii 1k

ik

ii 1k-1

ik-1

∆

∆

θ

θ

∂∂

= −( )

+ −( )

+ +ft

1t

w f f

1t

(1- w) f f

ki 1k

i 1k-1

kik

ik-1

∆

∆

f wf (1 w)f

(1 ) wf (1 w)f

mk

i 1k

ik

i 1k-1

ik-1

i= + −{ }

+ − + −{ }+

+

θ

θ

r C tg(0,5 x)r= λ∆

tg2r

4r ( 1) 1k 2ϕθ θ

=− +



Para resolver (16), que constituye unsistema de ecuaciones no lineales esutilizado también el método de Levenberg-Marquardt.

Análisis de estabilidad

La técnica utilizada para dicho análisises la de von Neuman. Es válido recalcar quela misma está rigurosamente justificada paraecuaciones diferenciales lineales, y en virtudde tal restricción, se procede a lalinealización de las ecuaciones quegobiernan el régimen impermanenteunidimensional, lo que implica la aplicaciónde este esquema al sistema (8):

(17)La condición de von Neuman para la

estabilidad numérica impone la siguienterestricción:

(18)

siendo Cri = número de Courant para la i-ésima onda característica. Para Cr > 0, laestabilidad depende de los valores de w y q:• Para 0 £ w £ 1/2

- Si 0 £ q £ 1/2, el esquema esincondicionalmente estable

- Si 1/2 < q £ 1, el esquema escondicionalmente estable

• Para 1/2 < w £ 1- Si 0 £ q £ 1/2, el esquema escondicionalmente estable

- Si 1/2 < q £ 1, el esquema esincondicionalmente estable.Nótese que para w ≥ 1/2 y q ≥ 1/2 la

estabilidad es incondicional, como en lavariante de Szymkiewicz. Lyn y Goodwin

[5] demuestran que el criterio de vonNeuman es una condición necesaria ysuficiente para la estabilidad del presenteesquema, así como también que a pesar deque el esquema sea estable, su convergenciapuede ser mala, siendo esto corroborado porLópez y Saavedra [7] con susexperimentaciones numéricas con casossimples del flujo en conducciones libres,llegando a la conclusión de que para w =1/2 el mejor balance de oscilaciones y dedifusión numérica se obtiene si q = 0,6, pueséstas se reducen al mínimo; sin embargocuando la fricción es significativa, q = 1/2ofrece mayor precisión y rapidez.

Resultados

Dos casos serán resueltos por losesquemas de Preissmann y Szymkiewicz. Lageometría de la conducción permaneceráinvariable, correspondiente a un canal desección rectangular con 6,1 metros deancho; la rasante de fondo es constante eigual a 0,0005; un coeficiente de rugosidadn = 0,02 y la longitud de dicha conducción,6 km. Los parámetros de peso w y q serántomados de 1/2 y 2/3 respectivamente, demanera que de acuerdo con la literaturaconsultada se garantice la estabilidadnumérica de ambos esquemas.

Caso 1Una forma simple de las ondas de

gravedad, conocida como onda solitaria,será modelada a continuación tomando encuenta los efectos de la pendiente y lafricción, que reducirá gradualmente la alturade la onda. La condición inicial del flujocorresponde a un régimen de circulaciónuniforme, caracterizado por una profundidadde circulación de 1,8 m y un caudal Qn =13,3335 m3/seg. En el extremo aguas arribay con un periodo Pe = 400 seg se impone unhidrograma senosoidal en la forma:

• Qo(t) = Qn + 0,5 Dq ( 1 – cos wt );para 0 £ t £ Pe

• Qo(t) = Qn; para t > Pesiendo w = 2p / Pe ; Dq = 8,889 m3/seg.

w

Cri

−+ −

≥

12 1

20θ

0 = w F F (1 w) F F

tx

K F F

tx

K (1 ) F F

i 1k

i 1k-1

ik

ik-1

o i 1k

ik

o i 1k-1

ik-1

{ } −{ } + − −{ }+ [ ] −{ }+ [ ] − −{ }

+ +

+

+

∆∆∆∆

θ

θ

Q wQ (1 w)Q

(

mk

i 1k

ik

i= + −{ }+θ

h wh (1 w)h

(

mk

i 1k

ik

i= + −{ }+θ

La longitud será dividida en intervalosde longitud constante donde Dx = 300m loque implica la existencia de 20subintervalos y el tiempo de simulación de1200 seg, necesarios para que no ocurra lareflexión de dicha onda en la frontera aguasabajo, será dividido por 12 subintervaloscuya magnitud Dt = 100 seg. En efecto, tal ycomo se muestra en las figuras 1.a y 1.b sedetecta una onda que se traslada aguas abajoamortiguándose por efecto de la fricción ysegún el hidrograma impuesto, para t ≥ 1/2Pe existe una tendencia a la condicióninicial. En los primeros instantes en que esposible apreciar el perfil de la onda en suplenitud, no se detecta simetría por efecto dela rasante de fondo. En los experimentosnuméricos realizados por Mozayeny y Song[6], al aplicar el método de lascaracterísticas fueron detectadasoscilaciones en la recesión del hidrograma

para diferentes secciones del tramo deconducción y según dichos autores existíandos posibles causas:a) Gradientes adversos de presión en la

rama de la recesión del hidrogramab) Oscilaciones numéricas

Añadiendo además que de ser ésta ultimala causa, entonces el hecho de que las ondasse amortiguasen rápidamente es unindicador de la estabilidad numérica delmétodo y consecuentemente pueden serignoradas debido a su pequeña amplitud. Enlos esquemas presentados no se produjerontales oscilaciones y los resultados fueronprácticamente idénticos, aunque en lafrontera aguas abajo, la variante deSzymkiewicz experimentó menos variaciónque la de Preissmann. Los tiempos decálculo resultaron: esquema de Preissmann,


FIGURA 1.b. Resultados según la variante de Szymkiewicz con un hidrograma senoidal completo aguas arriba dela conducción.

FIGURA 1.a Resultados según el esquema de Preissmann con un hidrograma senoidal completo aguas arriba dela conducción.

170,43 seg; esquema de Szymkiewicz,1573,1 seg.

Caso 2Ahora se introduce, para la misma

condición inicial, un aporte distribuido endos elementos (décimo y onceno) quebarren una longitud de 600 m, y la magnitudde tal aporte es 3,512 m3/seg/m2 en todo eltiempo de simulación que es de 500segundos, con un incremento temporal de 50segundos, sin ser afectadas las condicionesde frontera aguas arriba y aguas abajorespectivamente. Los resultados de cadaesquema se muestran en las figuras 2.a y2.b.

El esquema de Preissmann y la variantede Szymkiewicz brindan como resultadouna onda creciente que ha de comprender

los elementos donde tiene lugar el aporte.Como esto produce cambios en la condicióninicial, aguas arriba de dicha entradacomienza una disminución gradual del gastoy aguas abajo, un incremento en el sentidodel flujo. Los resultados no se diferencianprácticamente y las oscilaciones detectadasson despreciables; no obstante, la variantede Szymkiewicz satisfizo mejor la condiciónde frontera aguas abajo (ver figura 2.b) y lostiempos de cálculo resultaron, para elesquema de Preissmann: 270,01 seg y parael esquema de Szymkiewicz: 1193,4 seg.

Conclusiones

En los esquemas presentados fueronintroducidos los términos correspondientes alos aportes laterales, ya sean puntuales o


FIGURA 2.b. Resultados según la variante de Szymkiewicz para gasto distribuido en el espacio y continuo en eltiempo.

FIGURA 2.a. Resultados según el esquema de Preissmann con gasto distribuido en el espacio y continuo en eltiempo.


distribuidos, además de la variabilidadespacial del coeficiente de rugosidad y de larasante de fondo. Para las condiciones desimulación establecidas, se brindaronresultados casi idénticos, pero la diferenciafundamental radica en el tiempo necesariopara efectuar los cálculos. El esquema dePreissmann es más rápido que el deSzymkiewicz pues el número de ecuacionesresulta menor, o dicho de otra forma, sumalla genérica es de cuatro puntos mientrasque la de Szymkiewicz es de seis puntos.Esto da lugar a una interrogante en ladecisión del tipo de esquema a emplear parala modelación del flujo impermanente enconducciones libres, pues en sentido generalestán demostradas las ventajas del MEFsobre el MDF, ya que es más preciso. Portanto, el peso de la rapidez vs precisióndepende en gran medida de los objetivosperseguidos en la modelación matemáticadel problema que se plantee, así como latoma de decisiones en el menor tiempoposible.

Bibliografía[1] Chow,V.T; Maidment, D.R; Mays, L.W:

"Hidrología aplicada", Impreso enColombia, 1988.

[2] Desai, C.S; Abel, J.F: "Introduction to thefinite element method: a numerical method

for engineering analysis", LinttonEducational Publishing, Inc, 1972.

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[8] Szymkiewicz, R.: "Finite element methodfor the solution of the Saint Venantequations in an open channel network",J.Hydro,Vol 122, pp 275-287, 1991.

[9] Szymkiewicz, R.: "Method to solve 1Dunsteady transport and flow equations", J.Hydr. Engrg., Vol 121, No 5, pp 396-403,1995.

yoel martínez gonzález* y david e. marón domínguez**

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