yoneylem arastirmasi doc

8/6/2019 Yoneylem Arastirmasi Doc

1/23

YNEYLEM ARATIRMASI (operations research)erik:

1 GiriYneylem aratrmasnn douuYneylem aratrmasnn geliimi ve uygulama alanlar

1. BLM MATEMATK PROGRAMLAMA

2 Dorusal programlamaFormlasyon ve grafik zmSimplex yntemiSimplex ynteminin dejenere olmas durumuDualite

3 Ulam ModelleriGenel ulam problemiUlam problemlerinin zm

Ulam problemlerinin dejenere olmas durumu4 A modelleri

En ksa yol problemi ve en ksa yol algoritmasMaksimum ak problemi

5 Tam sayl programlama6 Dinamik programlama

2. BLM OLASILIKLI MODELLER

7 Karar teorisi8 Oyun teorisi

ki kiili sfr toplaml oyunlarda optimum zmKarma stratejiler9 Proje planlama teknikleri

CPM ve PERT yntemleriAktivite srelerinin tahminiKrtik yolun bulunmas

10 Kuyruk modelleri11 Simlasyon

Kaynaklar:Operations Research, Hamdy A.Taha,1992Operations Research,F.S. Hillier,G.J.Lieberman,1967

Quantitative Approaches to Management,R.I.Levin,D.S.Rubin,J.P.Stinson,1986

BLM 1

GR

1


2/23

Yneylem aratrmasnn douu

Sanayi devriminin gereklemesinden sonra bu devrimi gerekletiren lkelerdekiorganizasyonlarn hacimlerinin byd ve ilemlerin karmaklklarnn arttgzlenmitir.Organizasyonlarn bymesi ile birlikte yeni problemler ortaya km vehala da kmaktadr.Bymeyle artan karmaklk kaynaklarn organizasyonun yararnaen etkin ekilde kullanmn gletirmitir.Bu tr problemler ve bunlara zm arayyeni bilim dallarnn douunu hzlandrmtr.Yneylem aratrmas da bunlardanbiridir.II.Dnya savandan nceki yllarda zgn YA almalarna rastlanlmasa da YAnn ilk uygulamalarnn ynetimde bilimsel yaklamlarn kullanlmas olarakgsterilmektedir.Hatta ynetim bilimi ve YA ile ilgili almalar M.. 212 ylna kadaruzanmaktadr.Srekli karar verme durumunda olan yneticilere(decision makers)seenekler iinde en iyisini (optimum) bulma konusundaki bilimsel yaklamlar II.Dnya savana kadar sregelmitir.lk YA almasnn II.Dnya sava srasnda ngilterede (1939) bir ekip tarafndanyapld tm yneylem aratrmaclarnca kabul edilmektedir.ngiltereye yaplan hava

aknlar srasnda en iyi savunma eklini belirlemek iin radarlarn en etkin kullanmnsaptamak amacyla biraraya gelen farkl mesleklerdeki uzmanlar bu ekip almas ile eniyi zm bulmulardr.Bu ilk YA almasnn baarl olmas sonucunda savunmasisteminin dier blmlerinde de benzer ekipler kurularak YA almalaryaygnlatrlmtr.1942 ylnda ngilterede General Spaatzn istei ile Hava Kuvvetleri Komutanlndaoperations analysis groups(Eighth Bomber Command) kurulmutur.Bunun bir benzeri de A.B.D. Deniz Kuvvetlerinde MIT den Philip M. Morse bakanlnda operations research teams ad altnda organize edilmitir.Savatan sonra da zellikleA.B.D. de askeri alanda uygulamalar devam etmitir.Kurulan Operations Research Office(daha sonra Research Analysis Corporation adn almtr) almalara devam

etmitir.Hava kuvvetlerinde Operations Analysis Division kurulmu ve RANDcorporation tarafndan ynetilen RAND projesi almalarna balanmtr.Dier yandan retimin makinalamasi, organizasyonlarn srekli bymesi,insan-makinesistemlerindeki karmaklk YA almalarna endstride de ihtiya olduunu ortayakarmtr. YA almalarnn gelimesinde anahtar rol oynayan iki faktrvardr.Bunlardan bir tanesi bilim adamlarnn YA tekniklerini gelitirerek bu tekniklerigerek hayata uygulamaya balamalardr.Bu konuda zellikle 1947 ylnda GeorgeB.Dantzig tarafndan gelitirilen ve ilk formlasyonu Leontieff e ait olan DorusalProgramlama ( Linear programming) tekniinin Simpleks algoritmas ile zmnemli bir aamadr.Bu tekniin benzer problemlere uygulanmas hzla yaylm vesregelen bilgi birikimi ile dier tekniklerin gelimesi abuklamtr.kinci faktr isebilgisayarlardaki gelimedir.Bilgisayar donanm ve yazlm alanndaki hzl gelimelerYA tekniklerinin gerek hayat problemlerine uygulann kolaylatrm,elle zm okuzun zaman alan ve hata orannn artt problemlerin zm kolaylklagerekletirilmitir.1950 ylndan sonra bilimsel bir nitelik kazanan YA nn bir ok tanm yaplmtr.Butanmlardan bir tanesi yledir:YA , bir sistemde ortaya kan problemlere ,sistemin denetlenebilir bileenlericinsinden bilimsel yntem, teknik ve aralarn uygulanmas ile en iyi(optimum)zmn bulunmasdr.

2


3/23


4/23

tavsiyeleriyle ayrntl bir teknik analiz yaplp,iletmenin amac,politikas ,kaynaklararatrlarak bir rapor oluturulacaktr.Ynetimin amacn(amalarn) kesin olarak tespitetmesi doru cevabn bulunmas asndan gereklidir.rnein kar etme amac ncelikliolan bir kurulu uzun dnem kar maksimizasyonunu yegane amac olarak bemimseyebilir.Ancak yaplan aratrmalar birok iletmenin dier amalar yanndagvenli kar hedefini benimsediini gstermektedir.Bir ok iletme de tek amacn karolmadn, pazardaki payn ykseltmek, karn devamll,alanlarn morallerininykseltilmesi, iletmenin prestijinin ykseltilmesi, sabit fiyatlar gibi tipik amaclarn dahedeflenebileceini savunmaktadr.Dolaysyla YA almasnn balangcnda buhedeflerin tespit edilip ynetim tarafndan bildirilmesi gerekmektedir.

2. allan sisteme ait matematik modelin kurulmas

Problemi formle ettikten sonraki aama matematiksel balantlar kurarak problemimatematik semboller ve ifadelerle sunmaktr.Matematiksel model, matematik ifadelerleilikilendirilmi,zmleri ele alnan sistemin durumunu aklayan bir eitlikler

kmesidir. Matematik eitlikler fizik kurallarn,kimyasal reaksiyonlar en iyi ekildeaklayabildikleri gibi sosyal bilimlerde de incelenen sistemin davranlarn anlama,aklama ve yorumlamada bize yardmc olmaktadrlar.Sistemin anlalmas asndandier sistemlerden daha kullanl olmalar, ardk irdeleme olanann bulunmas vemodel zerinde denemeler yaplabilmesi matematiksel modellerin avantajlar olaraksaylabilir.Sosyal bilimlerde bilimsel yntemlerin uygulanmas matematik modellerinyardmyla olmaktadr.

3. Modelin zmnn yaplmas

Matematik modelin kurulmasndan sonra bu modelin zm aamasna geilir.Bir YA

almasnda bu aamann almann en nemli paras olduu dnlrse de gerektebu adm aratrmaclar iin en kolay adm olarak alnabilir..nk burada gelitirilmiolan algoritmalardan birisinin bilgisayar kullanlarak zm yaplmaktadr.YA nn buaamadaki rol zmn optimum yani en iyi zm olmasn salamaktr.Modeldekiamacn gerekleip gereklemedii , kstlamalarn ama zerindekietkileri,deikenlerin aldklar deerlerin yorumu zmden sonra deerlendirilecekhususlardr.Duyarllk analizi(sensitivity analysis) yaplarak parametreler zerindeyaplacak herhangi bbir deiikliin modeli nasl etkileyecei grlr.4. Modelin ve zmn test edilmesi

Modelin zmnden sonra dikkat edilmesi gereken nokta zmn ne denli gvenilirolduudur.Modeli kurarken yaplan bir hata zmn tm aamalarnayansyabilir.zm bulunduktan sonra modelin tamamn deerlendirerek,sonucunmodelin gerek olarak uygulanabileceini kantlamas gerekir.Probleme ait modelyeniden gzden geirilir ve bir hata olup olmad aratrlr. Bir dier yararl test etmeekli de matematik ifadelerin kullanldklar birimlerdeki doruluklardr.Modelin vezmnn balang uygulamasndan nce test edilmesi gvenli bir uygulama ve zamaniinde geerlilik kazanmas asndan gereklidir.

4


5/23

5. zm zerinde kontrollerin yaplmas

Eer model devaml kullanlacaksa ,bir sonraki adm modeli aklayan ok iyi bir sistemdkmantasyonunun hazrlanmasdr. Bu sistemde model, zm prosedr veuygulama iin kullanlan ilemler yer almaldr.Kullancnn deimesi durumunda bilebyle bir prosedr hazrlanmsa uygulama aksamayacaktr.te yandan gerek hayattasrekli koullar deitii iin bu deiikliklerin modele yanstlmas yani modelingncelletirilmesi sz konusudur.

6. zmn gerek hayata geirilmesi(uygulanmas)

YA almasnn son aamas da zmn karar verici tarafndan benimsenipuygulanmasdr.almann baars phesiz st kademe yneticilerinin ve ilemleriyrtecek kiilerin verecei destee baldr.YA almas yapan grup yneticilerledevaml ibirlii ile bulunan zmn gvenli bir ekilde uygulanabileceini izlemelidir.

Trkiyede YA almalar

Trkiyede ilk YA almalar 1960 ylnda askeri amal olarak balatlmtr. 1965ylnda Tbitak da ilk YA grubu kurulmutur.1964 ylndan itibaren de niversitelerdeYA konularnn anlatm balam ve dersler konulmutur.1975 ylnda kurulanYA dernei ulusal kongreler dzenlemekte ,kard yaynlarla da YA almalarndesteklemektedir.

YA nn dnyadaki geliimi

eitli lkelerde kurulan dernekler YA ilgili periyodikler yaynlayarak bu konudaki

gelimeleri duyurmaktadrlar.1950 yl banda A.B.D. da kurulan ORSA(OperationsResearch Society of America) ile TIMS(The Institute of Management Sciences) bukurulularn en nlleridir.YA uygulamalarn ve yaplan aratrmalar aktaran dergilerin bazlar aada verilmektedir.

A.I.E.E. Transactions C.O.R.S. Journal Decision Sciences Industrial Engineering Journal of Industrial Engineering Management Science Mathematical Programming Mathematics of Operations Research Naval Research Logistics Quarterly Networks Operations Research Transportation Science

YA tekniklerinin uygulama alanlar

5


6/23

ok deiik uygulama alanlar olmasna karn iletmeler dikkate alndnda deiikdepartmanlardaki uygulamalar u ekilde verilebilir:Muhasebe : Nakit ak plan,Kredi politikasTasarm : Proje kaynaklarnn yaratlmas, Proje planlama, Bina planlama,fabrikakapasite ve yerinin planlanmas,Hastane planlamas,Blgesel depolarnseimi,Uluslararas logistik sistemlerFinans : Kar politikas, Yatrm analizi,Deerli kat analiziretim :Envanter kontrol, retim planlama, nsan-gc planlamas, retimikolaylatrmaPazarlama : Reklam ynetimiOrganizasyon :Personel temini, Personel planlamaSatn alma : Optimum satn alma,Malzeme ynetimiAratrma-gelitirme: AR-GE projelerinin kontrolu, rn gelitirme

Ayrca ulusal planlama,enerji planlamas ve ynetimi,teknolojiplanlamas,savunma,evre sal , haberleme sistemleri gibi konularda da uygulamalaryaplmaktadr.

YA teknikleri

YA teknikleri olarak kullanlan algoritmalar iki blmde toplamak mmkndr.1. Matematiksel programlama teknikleri Dorusal programlama(linear programming) Networks

Transportation problemPERT-CPMDinamik programlama

Integer programming

Goal programming Game theory

2. Olaslkl modeller

Olaslk teorisi (probability) Karar teorisi(decision making) Envanter teorisi Simulasyon Kuyruk teorisi( wating lines) Markov analizi

DORUSAL PROGRAMLAMA

Yneylem Aratrmas modelleri, alternatifler, kstlar ve ama fonksiyonu ad verilen temelelemanlardan oluur. Karar problemlerinin alternatifleri genelde bilinmeyen deikenler olarakortaya kar. Bu deikenler uygun bir matematik model oluturmak zere kstlar ve amafonksiyonu olarak dzenlenir. Modelin zm ile tm kstlar salayan, ayn zamanda da

6


7/23

ama fonksiyonunu optimum (maksimum veya minimum) yapan karar deikenlerinin deerleribulunur.DP, snrl kaynaklarn kullanmn optimum yapmak iin gelitirilmi bir matematikselmodelleme yntemidir. Bir optimizasyon teknii olarak belirli ortak zellikleri bulunanproblemlere uygulanr. Problemden kaynaklanan baz zel durumlar dnda tm DP modelleri temel zellik tar:

Dorusal ama fonksiyonu Dorusal kstlar Pozitiflik koulu

Dogrusal ama fonksiyonu

Tm organizasyonlarn varmak istedii bir veya birden ok ama vardr. ou organizasyonlarkar maksimizasyonu ya da maliyet minimizasyonunu ama olarak alrlar. DP modellerinde birok deikenin dorusal fonksiyonundan oluan bir ama fonksiyonu bulunur. Bufonksiyonu Z , deikenleri x1,x2, ., xn ve sabit katsaylar da c1, c2, cn ilegstermek zere;

Z = c1 * x1 + c2 *x2 + ......................... + cn *xn

eklinde yazlr. Problemin amac Z i maksimum veya minimum yapa x deerlerinin bulunmasdr. Eer kar maksimizasyonu amalanmsa Zi maksimum yapan, aksidurumda da maliyet minimizasyonu iinZ i minimum yapanxdeerleri aranr.

Dorusal kstlar

Btn dorusal fonksiyonlar pozitif sonsuzda maksimum, negatif sonsuzda minimumdeerini alrlar. Dolaysyla dorusal ama fonksiyonlarnn ayn maksimum veminimuma sahip olduklarn syleyebiliriz. Matematiksel olarak anlamsz olan busonutan kanmak iin deikenler zerinde baz kstlamalar yaplmaldr. Zatenorganizasyonlarn kaynaklarnn da sonsuz olmad dnlrse bu kstlamalarnmodelde yer almas normaldir. DP modellerinde kstlar, dorusal eitsizliklerdenmeydana gelir.

a11 , a12 , ........................., amnve

b1 , b2 , ..........................., bm

sabit saylar olmak zere kstlar :

a11 * x1 + a12 *x2+ + a1n * xn


8/23

eklinde gsterilir. Kstlar incelendiinde u zellikler gze arpmaktadr:

Sistemin her satr genellikle bir eitsizliktir. Baz durumlarda eitlik de olabilir. Eitsizliklerin sol taraflar dorusal fonksiyonlardr. Kstlarn says (m ) iin bir snrlama yoktur.

Kstlar ifade eden eitsizlikler , problemin zm olabilecekxdeikenlerinin iinde bulunduu zm blgesini belirler. Sonuta tm kstlar salayan optimum(enuygun) zm bulunur.

Pozitiflik koulu

DP nin gerek problemlere uygulanmasn kolaylatrmak amac ile zmde karardeikenlerinin negatif deer alamayaca koulu getirilmitir. Matematik olarak problem zldnde ;

x1,x2, ., xn >= 0 olmaldr.

DP modellerinin formlasyonu deiik ekillerde gsterilmektedir. En yaygn gsterimekli aada verildii gibi matris notasyonu kullanlarak formle etmektir.

n

min veya max c j *xj ama fonksiyonuj = 1

n

a ij *xj = 0 pozitiflik koulu

veya

min veya max f (x ) = C * X

A * X < = bX > = 0

C = (c1, c2, cn )

8


9/23

a11 a12 .......a1n b1 x1

X = x2 A = a21 a22 ....... a2n b = b2

xn ............................ ...............................

bmam1 am2......amn

rnek Problem : XX irketi, H1 ve H2 hammaddelerinin karmndan i ve d duvar boyas

retmektedir. Aadaki tabloda problemin temel verileri gsterilmektedir.

ton bana hammadde gnlk maksimummiktar (ton) kapasite(ton)

d boya i boya

H1 6 4 24H2 1 2 6

Ton bana kar(1000$) 5 4

irketin yapt pazar aratrmasnda, gnlk i boya talebinin en fazla 2 ton olduugrlmtr. Yine ayn aratrmada, gnlk i boya talebinin gnlk d boya talebindenfazla olduu ve bu fazlaln gnde en ok 1 ton olduu anlalmtr. Sirket karnmaksimum yapacak ekilde optimum retim miktarn belirlemek istemektedir. Buproblem bir DP modeli olarak dnldnde 3 temel eleman olacaktr :

1. karar deikenleri2. ama fonksiyonu3. kstlar

Modelin karar deikenleri i ve d boya miktarlardr.

x1 d boyann gnlk retim miktarn( ton)x2 i boyann gnlk retim miktarn( ton ) gstersin.

irket iin en iyi ama toplam kar maksimum yapmaktr.Ztoplam kar gstermek zere ;

maksimum Z= 5 *x1 + 4 *x2

eklinde yazlabilir. Modelin son eleman hammadde ve taleple ilgili snrlamalardr.

H1 hammaddesinin kullanm:

9


10/23

6 *x1 + 4 *x2 ton

H2 hammaddesinin kullanm da :

1*x1 + 2 *x2 tondur.

Bu hammaddelerin gnlk kullanmlar snrl olduu iin kstlar u ekilde yazabiliriz :6 *x1 + 4 *x2 < = 24 H1 hammaddesi iin

1*x1 + 2 *x2


11/23

kalan alan bu kst salayan alandr. Tm kstlara ait dorular izildikten sonra, zm uzay belirlenir. Aslda uygun zm blgesi sonsuz sayda uygun nokta ierdii iin , bunlarnarasndan optimum noktay bulmamz gerekir.

x2

6

5

4

3

2 E DC

1 F zmuzay

0 A B1 2 3 4 5 6 x1

Optimum zmn belirlenmesi iin kar fonksiyonunun art ynnn bilinmesi gerekir.

Bu daZe keyfi deerler atayarak yaplabilir.Z e nce 10 sonra 15 deerleri verilerek;

5 *x1 + 4 *x2 = 10 ve5 *x1 + 4 *x2 = 15 dorular izilir.

Ama fonksiyonunun daha artrlmas durumunda ABCDEF uygun zm uzaynn dnaklacaktr. ekilden zm uzaynn dna C noktasndan kld grlmektedir. Dolaysylauygun zm ieren nokta C noktasdr. C noktas 1 ve 2 numaral kstlarn kesiim noktasolduu iin buradan x1 = 3 ve x2= 1.5 bulunur. Gnlk retimde 3 ton d boya, 1.5 ton i boyaretildiinde gnlk karZ= 21000$ olacaktr. Optimum zmn zm uzaynn komu kenoktalarndan birinde bulunmas raslant deildir. Ama fonksiyonunun eimi deitirilse bile,yeni zm yine ke noktalarndan birinde olacaktr.

x2z=21

zdeki art3 z=15

z=10

2 optimum noktaC x1 = 3

11

1

3

2

4


12/23

x2= 1.51 Z= 21000$

0 1 2 3 4 x1

rnek problem: Bir iftlikte gnde en az 800 kg zel bir karmla yaplan yemkullanlmaktadr. Bu karm, aadaki tabloda verilen maddelerin belirtilen miktarlarkullanlarak elde edilmektedir.

Bu rnn bileiminde en az %30 protein ve en ok da % 5 lif bulunmas zorunludur.Firma minimum maliyetle gnlk yem karmn belirlemek istemektedir. nceprobleme ait matematik modeli kuralm:

Karar deikenleri:

x1 karmdaki msr miktar (kg) x2 karmdaki soya unu miktar(kg)

Ama fonksiyonu:Minimize Z= 0.3*x1 + 0.9 *x2

Kstlar :

x1 + x2 > = 800 ( gnlk retim)

0.09*x1 + 0.60*x2 > = 0.3 (x1 + x2 ) (protein miktar)

0.02 *x1 + 0.06 *x2 < = 0.05(x1 + x2 ) ( lif miktar)

Kstlar ve ama fonksiyonunu yeniden yazalm:

Minimize Z= 0.3*x1 + 0.9 *x2x1 + x2 > = 800

0.21*x1 - 0.30*x2 < = 00.03*x1 - 0.01 *x2 >= 0

x1,x2 > = 0

12

1 kg yemde kullanlan miktarlar(kg)

Protein LifMaliyet($/kg)

Msr 0.09 0.02 0.30

Soya unu 0.60 0.06 0.90


13/23

Grafik zm:

x2

1500

1000 zmBlgesi

500optimum nokta

500 1000 1500 x1

optimum noktada deikenlerin deerleri:

x1 = 470.59 kg

x2 = 329.42 kgAma fonksiyonu :Z= 437.65 $

13

1

2


14/23

SMPLEKS YNTEM

Bir dorusal programlama modelini zmek zere gelitirilmi , optimum zm

iterasyon (ardk yaklam) yoluyla bulan matematiksel bir yntemdir. Probleme aitmatematik model kurulduktan sonra, ilk adm modeli standart DP modeli eklinegetirmektir. Standart bir DP modelinde eitsizlikler eitlik ekline dntrlmelidir.

Eitsizliklerin eitlik haline getirilmesi

Bir DP modelinde = ynnde ise artk deiken eklemek yerine karmak gerekir. Ancak budurumda da deikenin negatif olmasndan tr balang zmnde yer alamaz. Bunun iinbu tr kstlarda bir de yapay(artificial) deiken eklenir. x1 + 2*x2 >= 6eitsizlii, x1 + 2*x2 -S1 +A1 = 6eklinde eitlik haline getirilir. Baz modellerde de sadece = eklinde kstlar da yer alabilir. Budurumda da eitsizliin sol tarafna bir yapay deiken eklenir.

2*x1 + 3*x2 = 10eitsizlii,

2*x1 + 3*x2 +A1 = 10

eitlik haline getirilir.

Bir eitliin sa taraf mutlaka negatif olmama kouluna uygun olmaldr. Gerekirse bu koulusalamak iin eitsizliin her iki taraf 1 ile arplr ve eitsizliin yn de deitirilir.

Simpleks algoritmas

Simpleks algoritmas uygun bir temel zmle balar ve daha sonra ama fonksiyonunun daha daiyiletirildii baka uygun zmlerle devam eder. lk uygun zm iin probleme eklenen artkve yapay deikenlerden yararlanlr. Problemin karar deikenleri (x1 ,x2 , ., xn )balangta sfr deerini alrken , artk (S ) ve yapay (A ) deikenler sa taraf deerlerineeitlenir. imdi bir rnek problem ele alarak algoritmay adm adm uygulayalm.

rnek problem: Yksek kaliteli cam rnleri reten bir firmann retimini gerekletirdii 3atlyesi mevcuttur.1. atlyede aliminyum ereve ve balantlar,2. atlyede aa ereve , 3.atlyede de cam retilerek, kap ve pencere rnleri yaplmaktadr. Kazanlarndaki azalmadandolay st kademe ynetimi retim hattn yenilemek istemektedir. Kar getirmeyen baz rnlerretilmeyecek, buna karlk talebi olan bir veya 2 yeni rn, retim kapasitesinin izin verdiilde retilecektir.Yeni rn olarak aliminyum ereveli kap ve ift caml aa erevelipencere retilmesi kararlatrlyor. Pazarlama departman elde mevcut kapasite ile retilecek bu

14


15/23

rnlerin satlacan garanti etmektedir. Atlyelerden elde edilen bilgiler aadaki tablodaverilmektedir:

Firma karn maksimum yapacak rn miktarlarn belirlemek istemektedir. Probleminmatematik modelini aadaki gibi kuralm:Karar deikenleri: x1 dakikada retilecek aliminyum ereveli kap miktar

x2 dakikada retilecek ift caml pencere miktar

Ama fonksiyonu:Maksimum Z=3*x1 + 5 *x2

Kstlar :

x1 < = 4 ( 1.atlye 1.rn iin kapasitenin %1 ini kullanyor)

2*x2 < = 12 (2.atlye 2.rn iin kapasitenin %2 sinikullanyor)

3 *x1 + 2 *x2 < = 18 (3.atlyedeki kullanm yzdeleri)

x1,x2 > = 0

Modelde iki deiken yer ald iin 2 boyutlu grafik zm yaplabilir. nce pozitiflik kouludikkate alnarak deikenlerin koordinatlarn pozitif tarafnda yer almas salanr. Daha sonra her bir kstn dorular izilerek zm blgesi bulunur. Son adm ise ama fonksiyonununmaksimum deerinin aranmasdr.

Problemin grafik zm aada gsterilmektedir:

15

Birim bana kullanlan kapasiteAtlye Yzdesi mevcut

kapasite rn 1 rn 2 (yzde)

1 1 0 4

2 0 2 12

3 3 2 18


16/23

x2

10

8 optimum

A(0,6) B(2,6)6

zm4 blgesi

C (4,3) Z=36

2

D (4,0)

2 4 6 8 x1

Z=10 Z=20

imdi de problemi standart hale getirip simpleks zm yapalm. nce eitsizliklereitlik ekline getirilir. Bunun iin kstlarn ynne gre deiken eklenir. Modeldekikstlar


17/23

0 S1 4 1 0 1 0 0

0 0 S2 12 0 2 0 1 0

0 S3 18 3 2 0 0 1

Deikenler ve katsaylar yerletirildikten sonra, tabloya iki satr daha eklenir. BusatrlarZj ( zarar /birim) ve Cj- Zj (kar/birim zarar/birim) satrlardr ve aadakigibi hesaplanrlar:

Zj satrnn hesaplanmas :

Z j (kapasite stunu) =0*4 + 0*12 + 0*18 = 0Z j (x1 stunu) =0*1 + 0* 0 + 0* 3 = 0Z j (x2 stunu) =0*0 + 0* 2 + 0* 2 = 0Z j (S1stunu) =0*1 + 0* 0 + 0* 0 = 0Z j (S2stunu) =0*0 + 0* 1 + 0* 0 = 0

Z j (S3

stunu) =0*0 + 0* 0 + 0* 1 = 0Cj- Zj satr ise u ekilde hesaplanr:

Balang simpleks tablosunun yeni ekli aadaki gibidir:

iterasyon ama fonk.katsa. 3 5 0 0 0

taban deik. kapasite x1 x2 S1 S2 S3

0 S1 4 1 0 1 0 0

0 0 S2 12 0 2 0 1 0

0 S3 18 3 2 0 0 1

Zj 0 0 0 0 0 0

Cj - Z j 3 5 0 0 0Giren ve kan deikenlerin seimi

Bundan sonraki aamada sfr katsayl taban deikenlerinden biri tabandan karlp,yerine sfrdan farkl pozitif katsayl bir deiken getirilir. zm d kalmas istenentemel deikene kan deiken, seilmi yeni deikene de giren deiken ad verilir.Bu deikenlerin seimi iin de biranahtar stun ve anahtar satr belirlenir.Cj- Zj satrndaki en byk pozitif saynn olduu stun anahtar stun olarak alnr vebu stunun zerindeki deiken tabana girecek deiken olarak seilir. Tabandan kacak

17

Deiken Cj Zj Cj- Zj

x1 3 0 3 x2 5 0 5 S1 0 0 0

S2 0 0 0 S3 0 0 0


18/23

deikenin seimi iin de kapasitelerle anahtar stun elemanlarnn oranna baklr. Enkk pozitif orana sahip satranahtar satrolarak alnr ve satrdaki deiken tabandankacak deiken olarak seilir.

iterasyon ama fonk.katsa. 3 5 0 0 0

taban deik. kapasite x1 x2 S1 S2 S3

0 S1 4 1 0 1 0 0

0 0 S2 12 0 2 0 1 0

0 S3 18 3 2 0 0 1

Zj 0 0 0 0 0 0

Cj - Z j 3 5 0 0 0

Anahtar satr iin kapasitelerle anahtar stun oranlar :4 / 0

12 / 2 = 6 (en kk oran)

18 / 2 = 9yeni tobloya geerken deikenler yer deitirilir ve anahtar satr anahtar sayya ( anahtarsatr ile anahtar stunun keistii yerdeki say) blnerek yeni tabloya geirilir. Diersatrlar ise aadaki gibi hesaplanr:

eski satr - anahtar stun katsays * yeni anahtar satr

S1 satr iin hesaplama yapmaya gerek kalmyor nk bu satrdaki anahtar stunkatsays sfr olduu iin satr ayn ekilde yeni tabloya aktarlr.S3 satr iin yukardaki formle gre hesaplama yapalm:

18 , 3, 2, 0, 0, 1 - 2 * 6, 0, 1, 0, , 0 = 6, 3, 0, 0, - 1, 1

Yeni tablo oluturulduktan sonra ayn ilemler tekrarlanr. Iterasyona Cj- Zj satrndapozitif say kalmayncaya kadar devam edilir. Probleme ait iterasyon sonular aada

verilmektedir.

0 S1 4 1 0 1 0 0

1 5 x2 6 0 1 0 1/2 0

0 S3 6 3 0 0 -1 1

Zj 30 0 5 0 5/2 0

18


19/23

Cj - Z j 3 0 0 -5/2 0

0 S1 2 0 0 1 1/3 -1/3

2 5 x2 6 0 1 0 1/2 0

3 x1 2 1 0 0 -1/3 1/3

Zj 36 3 5 0 3/2 1

Cj - Z j 0 0 0 -3/2 -1

Son tabloda ; x1 = 2 S1 = 2

x2 = 6S2 = 0

S3 = 0

x1 den dakikada 2 adet , x2 den dakikada 6 adet retildiinde Z= 36 olmaktadr. Buama fonksiyonunun bu kstlar altnda alaca maksimum deerdir. 1.kstta yer alanS1artk deikeni 1.atlyenin bo kalan kapasite yzdesini vermektedir(%2). Dier atlyelerde bokapasite kalmamaktadr (S2 = 0, S3 = 0).

M yntemi

Tm kstlarn ( =) ynndeki kstlar iin artk deikeneklemek yerine karmak gerekir ki bu da balang uygun zmn bozar. Bununlemek iin bu tr kstlarda yapay deikenler kullanlmaktadr. Yapay deikenlerbalang tablosunda taban deikenleri olutururlar ,daha sonra bu deikenler tabandankarlmaya allr.Artk deikenlerin ama fonksiyonundaki katsaylar sfr olmasnakarn, yapay deikenlerin ama fonksiyonundaki katsaylar ok byk pozitif deerlibir sayy gsterenM saysdr.Mayn zamanda bir ceza katsaysdr. Bu ceza nedeniyleyapay deikenler iterasyonlar sonunda sfr deerini almaya alacaktr.

rnek problem: Protein ve karbonhidrat karmndan zel bir rn hazrlayan birfirma, 200 kg lk bir sipari almtr. 1 kg protein iin verilen maliyet 3YTL, 1 kgkarbonhidrat iin maliyet 8YTL dir. Karmdaki protein orannn %40dan fazlaolmamas ve karbonhidrat orannn da en az %30 olmas istenmektedir. Firma minimummaliyetle karma girecek protein ve karbonhidrat miktarlarn belirlemek istemektedir.Probleme ait matematik modeli kuralm:

Karar deikenleri: x1 karma girecek protein miktar x2 karma girecek karbonhidrat miktar

Ama fonksiyonu:Minimum Z=3*x1 + 8*x2

Kstlar :

19


20/23


21/23

k seilir. Bu stun zerindeki deiken tabana girecek deikendir. terasyona Cj-Zj satrnda negatif say kalmayncaya kadar devam edilir.

iterasyon ama fonk.katsa. 3 8 M 0 0 M

taban deik. kapasite x1 x2 A1 S1 S2 A2

M A1 200 1 1 1 0 0 0

0 0 S1 80 1 0 0 1 0 0

M A2 60 0 1 0 0 -1 1

Zj 260M M 2M M 0 -M M

Cj - Z j 3-M 8-2M 0 0 M 0

M A1 140 1 0 1 0 1 -1

1 0 S1 80 1 0 0 1 0 0

8 x2 60 0 1 0 0 -1 1

Zj 620M M 8 M 0 M-8 8-M

Cj - Z j 3-M 0 0 0 8-M 2M-8

M A1 60 0 0 1 -1 1 -1

2 3 x1 80 1 0 0 1 0 0

8 x2 60 0 1 0 0 -1 1

Zj 780M 3 8 M 3-M M-8 8-M

Cj - Z j 0 0 0 M-3 8-M 2M-8

0 S2 60 0 0 1 -1 1 -1

3 3 x1 80 1 0 0 1 0 0

8 x2 120 0 1 1 -1 0 0

Zj 1200 3 8 8 -5 0 0

Cj - Z j 0 0 M-8 5 0 M

Son tabloda ; x1 = 80, x2 = 120 ve Z = 1200 bulundu. S2 = 60 karbonhidratnfazla miktarn gstermektedir.zetlersek minimizasyon problemlerinde iterasyona, Cj - Z j satrnda negatif saykalmayncaya kadar ,maksimizasyon problemlerinde de pozitif say kalmayncaya kadardevam edilir.

21


22/23

rnek Uygulamalar:

#1Maksimum Z=10*x1 + 20*x2Kstlar : - x1 +2*x2 = 0iterasyon says:2 Z= 210 x1 =3 ,x2 = 9,S3 = 3

#2Minimum Z=x1 +x2Kstlar : x1 >= 30

x2 >= 20x1 +x2 >= 8

x1,x2 > = 0iterasyon says:3 Z=50 x1 =30 ,x2 = 20

#3Minimum Z=2*x1 + 3*x2 +x3Kstlar : x1 +4*x2 + 2* x3 >= 8

3*x1 + 2*x2 >= 6 x1,x2, x3 > = 0

iterasyon says:2 Z=7 x1 =0.8 ,x2 = 1.8

rnek problem: Aada verilen DP problemi bir maksimizasyon problemi olup (>=)ynnde bir kst iermektedir. Bu kst standart hale getirmek iin bir yapay deikeneklenerek tablo hazrlanr. C j - Z j satrnda negatif deerli M kalmad zamanmaksimizasyon problemi olduu iin pozitif say kalp kalmadna baklr. Negatif Mve pozitif say kalmad grldnde iterasyona son verilir.

Maksimum Z=2*x1 + 3*x2Kstlar : x1 +2*x2 = 3 x1,x2 > = 0

iterasyon ama fonk.katsa. 2 3 0 0 M

tabandeik. kapasite x1 x2 S1 S2 A1

0 0 S1 4 1 2 1 0 0

M A1 3 1 1 0 -1 1

Zj 3M M M 0 -M M

22


23/23

yoneylem arastirmasi doc

Documents