수학의 기초와 응용 I 중간 시험2016/04/25, 11:00–12:15

답안지에 풀이과정을 명시하세요.

1. (각10점) 다음 물음에 답하여라.

(a) sin(arctan√2)를 구하여라.

(b) tan(t/2) = 34이라고 한다. sin t를 구하여라.

2. (20점) 점화식 xn+1 =√xn + 6로 주어진 수열 (xn)에 대해 x1 = 1이라고

한다. limn→∞

xn이 존재함을 보이고, 수렴값을 구하여라.

3. (15점) 다음 급수의 수렴 발산을 판정하여라.

∞∑n=1

n!n2n

(3n)!

4. (20점) 다음 급수가 수렴함을 보이고, 오차가 0.0001 이하이도록 합을 구하려면, 몇 개의 항까지 계산하여야 하는지 구하여라.

∞∑n=1

(−1)nn10n

5. (15점) 방정식 2x = x2의 해의 개수를 구하고, 가장 작은 해 α에 대해 α를넘지 않는 최대 정수를 구하여라.

6. (15점) 다음 극한을 구하시오.

limx→4

x√x2 + 9− 20

x− 4

7. (10점) 두 번 미분가능한 어떤 함수 f(x)에 대해 f ′′(x) = −f(x)가 성립한다고 한다. g(x) = f(x) cosx− f ′(x) sinx는 상수 함수임을 보여라.

8. (20점) x > 0일 때 함수 y = xx로 주어진 곡선의 그래프의 개형을 그리시오.(극값, 변곡점 및 특이점이나 점근선이 있으면 표시하시오.)

9. (30점) x ≥ 0에서 함수 f(x) = x4e−x의 개형을 그리시오.

10. (각10점) f(x) = x3 + 3x+ 1의 역함수를 y = g(x) = f−1(x)라 하자.

(a) x = 5에서 y = g(x)에 대한 접선의 식을 구하시오.

(b) g′′(5)를 구하시오.

11. (15점) 반지름이 5cm인 원판에서 부채꼴 모양을 잘라내어 원뿔형의 일회용컵을 만들었다. 최대 부피를 구하여라.