zadatak 161 (igor, gimnazija) č đ č ρ = 0.42 · 10 -6 ω ρ ω ......
TRANSCRIPT
1
Zadatak 161 (Igor gimnazija)
Koliki je promjer manganinske žice duge 314 m kroz koju teče struja 08 A ako je napon
između krajeva 80 V (električna otpornost manganina ρ = 042 middot 10-6 Ω middot m)
Rješenje 161
l = 314 m I = 08 A U = 80 V ρ = 042 middot 10-6 Ω middot m d =
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U U
I RR I
= rArr =
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Ploština kruga promjera d dana je formulom
4
2d
Sπsdot
=
Računamo promjer žice
metoda
kompar2 42
24
4
acije
UU R U
R RII I
lR ll d RR S d
dS
ρπ ρρ ππ
== =
rArr rArr rArr rArr= sdot sdotsdot = sdot= sdot = sdot
sdot
4 42
4 42
2
2
2
d I
U
U l U l l I l Id d
I I U Ud d
ρ ρ ρ ρπ ππ π
sdot sdot sdot sdot sdot sdotrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot
sdotsdot rArr = sdot rArr
sdot sdotsdot sdot
4 314 0862 2 042 10 000041 041
80
l I l I m Ad d m m mm
U U Vρ ρ
π π π
sdot sdot sdot sdotminusrArr = sdot rArr = sdot sdot = sdot sdot Ω sdot sdot = =
sdot sdot sdot
Vježba 161
Koliki je promjer manganinske žice duge 314 m kroz koju teče struja 04 A ako je napon
između krajeva 40 V (električna otpornost manganina ρ = 042 middot 10-6
Ω middot m)
Rezultat 041 mm
Zadatak 162 (Maks gimnazija)
Polovi baterije napona 120 V spojeni su bakrenom žicom duljine 1 dm i presjeka 1 mm2
Koliku jakost ima struja dok teče žicom (električna otpornost bakra ρ = 00172 middot 10-6
Ω middot m)
Rješenje 162
U = 120 V l = 1 dm = 01 m S = 1 mm2 = 10
-6 m
2 ρ = 00172 middot 10
-6 Ω middot m
I =
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U U
I RR I
= rArr =
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
2
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Ploština kruga promjera d dana je formulom
4
2d
Sπsdot
=
Računamo struju I
metoda
supstitucije
UI
U U SRI I
ll lR
SS
ρρρ
=sdot
rArr rArr = rArr = =sdot
sdot= sdot
6 2120 10 4
698 10 6
00172 10 01
V mA
m m
minussdot
= = sdotminus
sdot Ω sdot sdot
Napomena Rezultat je veliki broj jer je baterija kratko spojena
Vježba 162
Polovi baterije napona 240 V spojeni su bakrenom žicom duljine 2 dm i presjeka 1 mm2
Koliku jakost ima struja dok teče žicom (električna otpornost bakra ρ = 00172 middot 10-6
Ω middot m)
Rezultat 4
698 10 Asdot
Zadatak 163 (Mira gimnazija)
Za koliko će vremena potrošiti 1 kWh žarulja snage 75 W
Rješenje 163
E = 1 kWh = 3600000 W middot s P = 75 W t =
1 3600 1 6 0 minh s h= =
Električna energija kojom izvor opskrbljuje strujni krug i koja se pretvara u druge oblike energije
(toplinsku mehaničku kemijsku ) u nekom trošilu za vrijeme t jednaka je
E P t= sdot
gdje je P snaga trošila
SI ndash jedinica za električnu energiju je džul (J) za snagu vat (W) Električnu energiju često izražavamo
vatsekundom (Ws) ili vatsatom (Wh)
[ ]3600 001
48000
480007
0 35
600E W s
E P t E P t t sP WP
sdot= sdot rArr = sdot rArr = =sdot = = =
1333333333 13 033333333 13 033333333 60 min 13 20 min 13 20 min h h h h h h= = + = + sdot = + =
Vježba 163
Za koliko će vremena potrošiti 2 kWh žarulja snage 150 W
Rezultat 13 h 20 min
Zadatak 164 (Any gimnazija)
Pločasti kondenzator s pločama u obliku kvadrata stranice 21 cm i razmakom ploča 2 mm
priključen je na izvor napona 750 V Između ploča nalazi se staklena ploča debljine 2 mm Kolika će
biti jakost struje koja poteče krugom kad staklenu ploču izvlačimo iz prostora između ploča
kondenzatora stalnom brzinom 8 cms Relativna dielektričnost stakla je 7 (dielektričnost praznine
3
ε0 = 8854 10-12
C2 (N m
2))
Rješenje 164
a = 21 cm = 021 m d = 2 mm = 0002 m U = 750 V d = 2 mm = 0002 m
v = 8 cms = 008 ms εr = 7 ε0 = 8854 middot 10-12 C (N middot m2) I =
Ploština kvadrata duljine stranice a izračunava se po formuli
2S a=
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Kapacitet pločastog kondenzatora iskazujemo jednadžbom
Q
C Q C UU
= rArr = sdot
gdje je Q naboj na jednoj ploči kondenzatora U napon među pločama kondenzatora
Kapacitet pločastog kondenzatora upravno je razmjeran ploštini S jedne ploče a obrnuto razmjeran
udaljenosti d između ploča Njegov kapacitete u zraku je
0
SC
dε= sdot
a u sredstvu
0
SC r
dε ε= sdot sdot
gdje je εr relativna permitivnost sredstva ε0 dielektričnost praznine (električna permitivnost
vakuuma) S površina ploče d razmak među pločama
Jakost električne struje I kvocijent je električnog naboja Q i vremenskog intervala t u kojemu taj naboj
prođe određenim presjekom vodiča
Q
It
=
vvvv
aaaa
Vrijeme za koje staklenu ploču izvučemo iz prostora između ploča kondenzatora duljine a jednako je
a
tv
=
Kapacitet kondenzatora iznosi
bull kada je staklena ploča između ploča kondenzatora
2
2 0 2 0
S aC Cr r
d dε ε ε ε= sdot sdot rArr = sdot sdot
bull kada staklena ploča nije između ploča kondenzatora
4
2
1 0 1 0
S aC C
d dε ε= sdot rArr = sdot
Pritom je promjena kapaciteta kondenzatora jednaka
( )2 2 2
1 2 1 0 0 0
a a aC C C C Cr r
d d dε ε ε ε ε∆ = minus rArr ∆ = sdot sdot minus sdot rArr ∆ = sdot sdot minus
a kroz električni krug je potekao naboj
( )2
1 0
aQ U C Q U r
dε ε= sdot ∆ rArr = sdot sdot sdot minus
Zbog toga je jakost struje u krugu
( ) ( ) ( )2
1 10
1
2
10 0
a a aU U Ur r rQ d d dI I I I
at
v v
a
v
ε ε ε ε ε εsdot sdot sdot minus sdot sdot sdot minus sdot sdot sdot minus
= rArr = rArr = rArr = rArr
( ) ( )12
750 8854 10 021 008 7 121 70 335 10
0002
C mV m
U a v sr N mI Ad m
ε εminus
sdot sdot sdot sdot sdot minussdot sdot sdot sdot minus minussdotrArr = = = sdot
Vježba 164
Pločasti kondenzator s pločama u obliku kvadrata stranice 21 dm i razmakom ploča 02 cm
priključen je na izvor napona 750 V Između ploča nalazi se staklena ploča debljine 02 cm Kolika će
biti jakost struje koja poteče krugom kad staklenu ploču izvlačimo iz prostora između ploča
kondenzatora stalnom brzinom 08 dms Relativna dielektričnost stakla je 7 (dielektričnost praznine
ε0 = 8854 10-12
C2 (N m
2))
Rezultat 7
335 10 Aminus
sdot
Zadatak 165 (Maturant2014 tehnička škola)
Na izvor struje usporedno (paralelno) je spojeno 9 jednakih otpornika Struja koja prolazi kroz
izvor ima jakost 72 A dok je napon na krajevima izvora 72 V Koliki je otpor svakog pojedinog
otpornika
Rješenje 165
R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = R7 = R8 = R9 = R I = 72 A U = 72 V R =
Ukupni otpor što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1
1 2 3
R R R R Ru n
= + + + +
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I RR
= rArr = sdot
Ukupni otpor Ru što ga pruža 9 jednakih otpornika spojenih u paralelu iznosi
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 R Ru
R R R R R R R R R R R Ru u
= + + + + + + + + rArr = rArr sdot = rArr
99 9
RR R Ru urArr sdot = rArr =
Uporabom Ohmovog zakona izračunamo otpor R jednog otpornika
5
9 9 7290
9 9 729
9
U I RuR R U V
U I U I RRI ARu I
= sdotsdot sdot
rArr = sdot rArr = sdot = = Ωsdot rArr ==
IIII
UUUU RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR
Vježba 165
Na izvor struje usporedno (paralelno) je spojeno 9 jednakih otpornika Struja koja prolazi kroz
izvor ima jakost 64 A dok je napon na krajevima izvora 64 V Koliki je otpor svakog pojedinog
otpornika
Rezultat 90 Ω
Zadatak 166 (Ivan tehnička škola)
Električni vlak mase 200 t vozi brzinom 72 kmh Otpori vuče (trenje otpor zraka) iznose
06 težine a napon 25 kV Odredi jakost struje (ubrzanje slobodnog pada g = 981 ms2)
Rješenje 166
m = 200 t = 2 middot 105 kg v = 72 kmh = [72 36] = 20 ms p = 06 = 0006
U = 25 kV = 25 middot 104 V g = 981 ms2 I =
Ako na tijelo ne djeluje nikakva sila ili je rezultanta svih sila jednaka nuli tijelo miruje ili se giba
jednoliko po pravcu Zato kažemo da je tijelo tromo
Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo težnom silom (silom težom) Pod djelovanjem težne
sile sva tijela padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu
Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada Prema drugom
Newtonovom poučku
G m g= sdot
gdje je G težna sila m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome
mjestu na Zemlji jednaka
Kako izračunati p od x
100
pxsdot
Za trenutačnu snagu možemo pisati
P F v= sdot
pri čemu je v trenutačna brzina
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
P
P U I IU
= sdot rArr =
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila I struja
Prvi Newtonov poučak
Ako na tijelo ne djeluje nikakva sila ili je rezultanta svih sila jednaka nuli tijelo miruje ili se giba
jednoliko po pravcu Zato kažemo da je tijelo tromo
Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek
počinje gibati Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja
Budući da otpor vuče iznosi p posto težine prema prvom Newtonovom poučku vučna sila F mora po
iznosu biti jednaka otporu vuče
F p G F p m g= sdot rArr = sdot sdot
Potrebna snaga je
6
P F vP p m g v
F p m g
= sdotrArr = sdot sdot sdot
= sdot sdot
pa struja iznosi
50006 2 10 981 20
2942
425 10
m mkgP
I sp m g v sI AUU VP p m g v
sdot sdot sdot sdot= sdot sdot sdot
rArr = = =
sdot= sdot sdot sdot
Vježba 166
Električni vlak mase 400 t vozi brzinom 72 kmh Otpori vuče (trenje otpor zraka) iznose
06 težine a napon 50 kV Odredi jakost struje (ubrzanje slobodnog pada g = 981 ms2)
Rezultat 942 A
Zadatak 167 (Marija gimnazija)
Kolika je jakost struje koja teče otpornikom R4 u strujnom krugu prikazanom na slici ako su
otpori R1 = R2 = R3 = R4 = 1 Ω a priključeni su na napon 6 V
RRRR4444
RRRR3333RRRR2222
RRRR1111
Rješenje 167
R1 = R2 = R3 = R4 = 1 Ω U = 6 V I =
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni je otpor od 2 serijski spojena vodiča
1 2R R R= +
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1
1 2 3
R R R R Rn
= + + + +
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ukupni otpor R što ga pružaju 2 vodiča spojena u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 2
1 1 2
2
R RR
R R R R R
sdot= + rArr =
+
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Shemu otpornika postupno možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
7
RRRR4444
RRRR3333RRRR2222
RRRR1111
Otpornici R1 i R2 serijski su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom R12
1 1 2 12 1 2
R R R= + = Ω + Ω = Ω
RRRR4444
RRRR3333RRRR12121212
Otpornici R12 i R3 usporedno su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom R123
1 1 1 2 1 212 3 123 2 1 3
123 12 3 12 3
R RR
R R R R R
sdot Ω sdot Ω= + rArr = = = Ω
+ Ω + Ω
RRRR4444RRRR123123123123
Otpornici R4 i R123 serijski su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom R1234
2 51
1234 4 123 3 3R R R= + = Ω + Ω = Ω
RRRR1234123412341234
Jakost struje koja teče otpornikom R4 (cijelim strujnim krugom) dobije se pomoću Ohmovog zakona
za strujni krug
6
6 181 36 5 5 5
12343 3
VU V
I A AR
= = = = =
Ω Ω
Vježba 167
Kolika je jakost struje koja teče otpornikom R4 u strujnom krugu prikazanom na slici ako su
otpori R1 = R2 = R3 = R4 = 1 Ω a priključeni su na napon 12 V
8
RRRR4444
RRRR3333RRRR2222
RRRR1111
Rezultat 72 A
Zadatak 168 (Marija gimnazija)
Odredite jakost struje u pojedinim vodičima povezanim u strujni krug prema shemi na slici
ako je UAD = 49 V R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω i R6 = 5 Ω
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Rješenje 168
UAD = 49 V R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω R6 = 5 Ω
I1 = I2 = I3 = I4 = I5 = I6 =
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni je otpor od 3 serijski spojena vodiča
2
1 3R R R R= + +
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1
1 2 3
R R R R Rn
= + + + +
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ukupni otpor R što ga pružaju 2 ili 3 vodiča spojena u paralelu možemo naći iz sljedećih izraza
1 1 1 1 1 1 1 1 2 31 2
1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3
R R RR R
R RR R R R R R R R R R R R R R R
sdot sdotsdot= + rArr = = + + rArr =
+ sdot + sdot + sdot
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I R pad naponaR
= rArr = sdot minus
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak je
Prolaskom struje kroz bilo koji otpornik ili vodič na otporniku ili vodiču nastaje pad napona
jednak umnošku jakosti struje i otpora među mjernim točkama
Kirchhoffov zakon
U svakom čvoru električne mreže zbroj električnih struja koje ulaze u čvor jednak je zbroju struja koje
izlaze iz čvora tj zbroj struja u svakom čvorištu strujnog kruga mora biti nula
Shemu otpornika postupno možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
9
IIII1111
IIIIIIII5555
IIII6666
IIII4444IIII
IIII3333
IIII2222
IIII1111
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Otpornici R1 i R2 usporedno su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom RAB = R12
3 61 2 2 12 3 6
1 2
R RR R
AB R R
sdot Ω sdot Ω= = = = Ω
+ Ω + Ω
RRRR3333
RRRR4444
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRRABABABAB
RRRR12121212
RRRRBCBCBCBC RRRR5555
RRRR6666
Otpornici R4 R5 i R6 usporedno su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
RCD = R456
5 10 554 6 2 456 5 10 5 5 10 5
5 54 4 6 6
R R RR R
CD R R R R R R
sdot sdot Ω sdot Ω sdot Ω= = = = Ω
sdot + sdot + sdot Ω sdot Ω + Ω sdot Ω + Ω sdot Ω
RRRR3333
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRRABABABAB
RRRR12121212
RRRRBCBCBCBCRRRRCDCDCDCD
RRRR456456456456
Otpornici RAB RBC i RCD serijski su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
RAD
2 3 2 7 R R R RAD AB BC CD
= + + = Ω + Ω + Ω = Ω
RRRR123456123456123456123456
AAAA DDDD
RRRRADADADAD
Našavši ukupni otpor RAD strujnog kruga pomoću Ohmovog zakona izračunamo jakost struje I u
krugu
497
7
UADI
RAD
Ω= = = Ω
Ω
Dakle ekvivalentni otpor između točaka
bull 1 2je 212
1 2
iR R
R RAB R R
A Bsdot
= = = Ω+
10
bull 3
i je 3R RBC
B C = = Ω
bull 54 6je 2 456
5 5 54 4 6
iR R R
R RCD R R R R R
C DR
sdot sdot= = = Ω
sdot + + sdot
Pad napona između točaka
bull ei j U I RAB A
AB
B = sdot
bull ei j U I RBC B
BC
C = sdot
bull ei j U I RCD D
C DC
= sdot
Sada računamo jakost struje u pojedinim vodičima povezanim u strujni krug prema shemi na slici
bull 7 2
467 1 3
111
U I RAB AB
I R AABU I AAB RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
233 2 6
222
U I RAB AB
I R AABU I AAB RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 3
7 3 3
333
U I RBC BC
I R ABCU I ABC RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
280 4 5
444
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
140 5 10
555
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
280 6 5
666
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
Vježba 168
Odredite jakost struje u strujnom krugu prema shemi na slici ako je UAD = 63 V
R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω i R6 = 5 Ω
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Rezultat 9 A
11
Zadatak 169 (Marija gimnazija)
U shemu prikazanu na slici uključena su dva mikroampermetra i dva jednaka voltmetra
Mikroampermetri pokazuju vrijednosti I1 = 100 microA i I2 = 99 microA Voltmetar V1 pokazuje U1 = 10 V
Koliki napon pokazuje voltmetar V2
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Rješenje 169
I1 = 100 microA = 10-4
A I2 = 99 microA = 99 middot 10-5
A U1 = 10 V U2 =
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U U
I R U I R pad naponaR I
= rArr = rArr = sdot minus
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Prolaskom struje kroz bilo koji otpornik ili vodič na otporniku ili vodiču nastaje pad napona
jednak umnošku jakosti struje i otpora među mjernim točkama
Kirchhoffov zakon
U svakom čvoru električne mreže zbroj električnih struja koje ulaze u čvor jednak je zbroju struja koje
izlaze iz čvora tj zbroj struja u svakom čvorištu strujnog kruga mora biti nula
RRRR2222
RRRR1111
IIII3333
IIII2222
IIII1111
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Otpor R1 voltmetra V1 iznosi
10 51 10 1 4
101
U VR
I A
= = = Ωminus
Budući da su voltmetri V1 i V2 jednaki imaju jednake otpore
2 1 510
5 210
1
R R
RR
=
rArr = Ω= Ω
Pomoću Kirchhoffova zakona izračuna se struja I3 koja prolazi voltmetrom V2
4 5 610 99 10 10
1 2 3 3 1 2I I I I I I A A A
minus minus minus= + rArr = minus = minus sdot =
Napon U2 koji pokazuje voltmetar V2 jednak je
6 5 110 10 10 01
2 3 2U I R A V V
minus minus= sdot = sdot Ω = =
12
Vježba 169
U shemu prikazanu na slici uključena su dva mikroampermetra i dva jednaka voltmetra
Mikroampermetri pokazuju vrijednosti I1 = 100 microA i I2 = 90 microA Voltmetar V1 pokazuje U1 = 10 V
Koliki napon pokazuje voltmetar V2
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Rezultat 1 V
Zadatak 170 (DJ gimnazija)
Bakrena žica duljine 1000 m ima otpor 1 Ω Kolika je masa žice Otpornost bakra je
17 middot 10-8
Ω middot m a gustoća 8900 kgm3
Rješenje 170
l = 1000 m R = 1 Ω ρ1 = 17 middot 10-8
Ω middot m ndash otpornost ρ2 = 8900 kgm3 ndash gustoća
m =
Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera mase tijela i njegova obujma
m
m VV
ρ ρ= rArr = sdot
Obujam valjka
Uspravni i kosi valjak ploštine osnovke (baze) S i visine v imaju jednake obujmove Taj obujam
iznosi
V S v= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Prvo odredimo poprečni presjek S žice
metoda 1
zamj2
2ne
22 2e
m Vm S l S l m S l
lm
V S l
ρρ ρ ρ
ρsdot
sdot
= sdotrArr rArr = sdot sdot rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
= sdot
2
mS
lρrArr =
sdot
Iz formule za električnu otpornost dobije se masa m žice
metoda
zamjene
211 2
1 1 1
2 2 2
l lRlS l
R R Rm m m mS
l l l
ρρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
= sdotsdot
rArr rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr=
sdot sdot sdot
( )2
1000 89002 2382 2 17 10 15130
1 1
1
kgm
l lmR m m kg
m
Rm R
ρ ρρ ρ
sdotsdot sdot minus
rArr = sdot rArr = sdot = sdot Ω sdot sdotsdot =Ω
13
Vježba 170
Bakrena žica duljine 2000 m ima otpor 1 Ω Kolika je masa žice Otpornost bakra je
17 middot 10-8 Ω middot m a gustoća 8900 kgm3
Rezultat 60520 kg
Zadatak 171 (Ana gimnazija)
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 2 4 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
3 6 12 21A A B A C A D A
Rješenje 171
R1 R2 R3 = 1 2 4 I3 = 3 A I =
Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama jednak je jakosti
struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1
1 2 3
1 2 3
I I IR R R
=
Iz omjera otpora
1 2 41 2 3
R R R =
vidi se da je
bull otpor R1 četiri puta manji od otpora R3
1 41 3
R R =
bull otpor R2 dva puta manji od otpora R3
2 42 3
R R =
Zato je
bull struja I1 četiri puta veća od struje I3
4 4 3 121 3
I I A A= sdot = sdot =
bull struja I2 dva puta veća od struje I3
2 2 3 6 2 3
I I A A= sdot = sdot =
Ukupna struja I koju pokazuje ampermetar iznosi
12 6 3 21 1 2 3
I I I I A A A A= + + = + + =
Odgovor je pod D
Vježba 171
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 3 6 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
12 15 21 27A A B A C A D A
14
Rezultat D
Zadatak 172 (Hana medicinska škola)
Otpornik otpora 100 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
5 10 50 500A V B V C V D V
Rješenje 172
R = 100 Ω I = 5 A U =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I RR
= rArr = sdot
I = 5 AI = 5 AI = 5 AI = 5 A
Graf prikazuje struju koja prolazi kroz otpornik u ovisnosti o vremenu i njezina maksimalna vrijednost
je I = 5 A Maksimalni napon na otporniku iznosi
5 100 500 U I R A V= sdot = sdot Ω =
Odgovor je pod D
Vježba 172
Otpornik otpora 10 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
15
5 10 50 500A V B V C V D V
Rezultat C
Zadatak 173 (Ivan tehnička škola)
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 210 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rješenje 173
U1 = 220 V P1 = 750 W U2 = 210 V R1 = R2 = R p =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Kako zapisati za koliko se posto veličina a2 smanjila u odnosu na istovrsnu veličinu a1
1 2100 100
1 1
a aa
p pa a
minus∆= sdot rArr = sdot
1inačica
22 2 21
1 1 2111
1001 22 2
12 2
2 100
2 22
1
UU U UP
PRR R Rp
UU UP P
RR
Pp
P
R
P=
= minus
rArr rArr rArr = sdot rArr
= =
minus= sdot
2 2 2 21 2 1 2 2 2
1 2100 100 1002 2 2
1 1 1
U U U U
U URp p p
U U U
R
R R
minus minus
minusrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
2 2 2 21 2 2 2100 100 1 1002 2 2 2
1 1 1
212
1 1
U U UU
U
Up p p
U U U U
rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr
2 221021 100 1 100 888220
1
U Vp p p
U VrArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr =
2inačica
Izračunamo otpor grijača
( )2 2 2 2
2201 1 1 6453 1 1 7
150
1
U U U V
P P RR R P W
R
Psdot= rArr = rArr = = = Ω
Kada napon padne na 210 V snaga će uz jednaki otpor grijača iznositi
( )2 2
2102 68340 2 6453
U VP W
R= = =
Ω
Računamo postotak smanjenja snage grijača
16
750 683401 2 100 100 888750
1
P P W Wp p p
P W
minus minus= sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 173
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 215 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rezultat 449
Zadatak 174 (Mario gimnazija)
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 10 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6
Ω middot m)
Rješenje 174
2 middot r1 = 256 mm =gt r1 = 128 mm = 00128 m 2 middot r2 = 234 mm =gt r2 = 117 mm =
= 00117 m l = 10 m ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m = 10-7 Ω middot m R =
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Površina kružnog vijenca
Neka su zadane dvije koncentrične kružnice polumjera r1 i r2 (r1 gt r2) tj kružnice s istim središtem
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen tim kružnicama i njegova površina računa se po formuli
( )2
2 21
S r r π= minus sdot
Otpor željezne cijevi iznosi
( )( )
2 21 2
2 21 2
S r rl
Rl
r rRS
π
ρ
πρ
= minus sdot
rArr = sdot =
minus sdot= sdot
( ) ( )( )107
10 0012 2 2
00128 00117
mm
m m π
minus= Ω sdot sdot = Ω
minus sdot
Vježba 174
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 20 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m)
Rezultat 0025 Ω
17
Zadatak 175 (Mario gimnazija)
Pad napona na krajevima 100 m dugog bakrenog vodiča iznosi 102 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19
C)
Rješenje 175
l = 100 m U = 102 V n = 84 middot 1022
cm-3
= 84 middot 1028
m-3
ρ = 17 middot 10-3
Ω middot mm2 m = 17 middot 10
-9 Ω middot m e = 1602 middot 10
-19 C v =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
gdje je U razlika potencijala (napon) na krajevima vodiča a R otpor vodiča Iz te formule izlazi da je
razlika potencijala (pad napona) U na dijelu strujnog kruga otpora R jednak
U I R= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Vodičem površine presjeka S u kojem ima n slobodnih elektrona po jedinici volumena naboja e i koji
se djelovanjem električnog polja gibaju brzinom v teče struja jakosti
I n e v S= sdot sdot sdot
Računamo brzinu elektrona
I n e v S
l l lR U n e v S U n e v U n e v l
S S
U I R
SS
ρ ρ ρ ρ
= sdot sdot sdot
= sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot rArr
= sdot
1
Un e v l U n e v l U
n ev
n e llρ
ρρρ sdot
sdot sdotrArr sdot sdot sdot sdot = rArr sdot sdot sdot sdot = rArr =
sdot sdot sdotsdot=
102 5446 10
128 19 984 10 1602 10 17 10 100
3
V m
sC m m
m
minus= = sdot
minus minussdot sdot sdot sdot sdot Ω sdot sdot
Vježba 175
Pad napona na krajevima 200 m dugog bakrenog vodiča iznosi 204 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19 C)
Rezultat 5
446 10 m
s
minussdot
Zadatak 176 (Tomer181 tehnička škola)
Električni izvor ima elektromotorni napon 12 V i unutarnji otpor 06 Ω Na izvor je priključen
otpornik 10 Ω Odrediti jakost struje i napon
Rješenje 176
ε = 12 V Ru = 06 Ω Rv = 10 Ω I = U =
Kad je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na pad
napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (U = I middot R) u vanjskom krugu
18
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( ) I R R I R I R I R Uu v u v u vε ε ε= sdot + rArr = sdot + sdot rArr = sdot +
Računamo struju u strujnom krugu
( ) ( ) ( )1
I R R I R R I R R Iu v u v uR
vR RuRv vu
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot + sdot= rArr =
++=
121132
06 10
VA= =
Ω + Ω
Tada je
bull pad napona na unutarnjem otporu izvora
1132 06 068U I R A Vu u= sdot = sdot Ω =
bull pad napona u vanjskom krugu
1132 10 1132U I R A Vv v= sdot = sdot Ω =
ili
12 068 1132 U U U U V V Vu v v uε ε+ = rArr = minus = minus =
Vježba 176
Električni izvor ima elektromotorni napon 24 V i unutarnji otpor 12 Ω Na izvor je priključen
otpornik 20 Ω Odrediti jakost struje
Rezultat 1132 V
Zadatak 177 (Jurica gimnazija)
U krug istosmjerne struje napona 120 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
Rješenje 177
U = 120 V RA = RB = RC = R UA = UB = UC =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
19
Jakost struje u vodiču razmjerna je naponu između dviju točaka vodiča
Pad napona U na nekom otporniku otpora R razmjeran je jakosti struje I i otporu
U I R= sdot
Pri paralelnom spajanju vodiča pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak
je
1 2 3
U U U U Un= = = = =
1 1 2 2 3 3
U I R I R I R I Rn n= sdot = sdot = sdot = = sdot
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni pad napona na serijskome spoju jednak je zbroju pojedinih padova napona
1 2 3
U U U U Un= + + + +
Vodiče možemo spajati u seriju i paralelno Pri serijskom spajanju vodiča kroz sve vodiče teče
struja iste jakosti Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama
jednak je jakosti struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1 1
1 2 31 2
3
I I I InR R R Rn
=
I2
I1
I
R
R
R
C
B
A
120 V
I
RR
2
AB C
120 V
I
3sdotsdotsdotsdotR
2
ABC
120 V
1inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
20
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Padovi napona na otpornicima AB i C su
2
RU I R U IAB AB AB
U I RC C U I R
C
= sdot = sdotrArr
= sdot= sdot
Iz kvocijenta napona UC i UAB dobije se
2 2 2
2 2
U U U UI RC C C C U UC ABRU U U U
AB AB AB A
I RU
ABI B
RI
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr = sdotsdot
sdot sdot
Budući da je zbroj padova napona u strujnome krugu jednak ukupnom naponu za strujni krug
prikazan na slici je
U U UAB C
+ =
pa vrijedi sustav jednadžbi
1202 1
metoda
zam20
2 2 jene
U U U U UAB C AB C
U UAB ABU U U U
C AB C AB
+ = + =rArr rArr rArr + sdot = rArr
= sdot = sdot
3 120 3 120 0 4 3U U U VAB AB AB
rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo UC
402 40 80
2
U VAB
U V VCU U
C AB
=rArr = sdot =
= sdot
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
2inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Pad napona UC ima vrijednost
80 8080 U I R U R U U V
C C C C CRR
R= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Pad napona UAB iznosi
120 80 40 U U U U U U V V VAB C AB C
+ = rArr = minus = minus =
21
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
3inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Za struje I1 i I2 vrijedi
1 11 1 1 1 2 1 21 21 280 80
801 2 1 2
1 21 2
I I I II II IR RR R
BAI I I I
I II I I R RR
= ===rArr rArr rArr rArr
+ = + =+ =+ =
80 80 80 40 402 2
2 2 2 2 2
2 1I I I I I I
R R R R RrArr + = rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr =
Računamo padove napona na otpornicima A B i C
40 40
401
40 4040
2
8080 80
U R UA ARU I R U V
A A A
U I R U R U U VB B B B BR
U VU I R
RR
RR
CC CU R U
C C RRR
= sdot = sdot= sdot =
= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
== sdot= sdot = sdot
Vježba 177
U krug istosmjerne struje napona 240 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
C
B
A
240 V
Rezultat UA = 80 V UB = 80 V UC = 160 V
22
Zadatak 178 (Mario tehnička škola)
Grijalica predviđena za napon U ima n spirala od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima otpor
R Koliku će snagu trošiti grijalica ako je svih n spirala spojeno paralelno
Rješenje 178
U n R1 = R2 = hellip = Rn = R P =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon na krajevima trošila R otpor trošila
U slučaju paralelnog spoja n jednakih otpornika ekvivalentni je otpor Re
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3
n RRe
R R R R R R R R R R R R ne n e e
= + + + + rArr = + + + + rArr = rArr =
Snaga koju troši grijalica iznosi
2 2
2 2 21
U UP
U n U URe P P P P nR R R RR
Re n nn
=sdot
rArr = rArr = rArr = rArr = sdot
=
Vježba 178
Grijalica predviđena za napon 220 V ima 2 spirale od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima
otpor 100 Ω Koliku će snagu trošiti grijalica ako su spirale spojene paralelno
Rezultat P = 968 W
Zadatak 179 (Tina gimnazija)
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 45
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 004 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rješenje 179
R = 100 Ω ε = 45 V I = 004 A r =
Kada je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na
pad napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (I middot Rv) u vanjskom krugu
23
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( )I R I R I R Ru v u vε ε= sdot + sdot rArr = sdot +
Iz uvjeta zadatka dobije
( ) ( ) ( )1
I R r I R r I R rI
r RI
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot rArr +sdot+ = = rArr
45100 125
004
Vr R
I A
εrArr = minus = minus Ω = Ω
Vježba 179
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 9
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 008 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rezultat r = 125 Ω
Zadatak 180 (Martin tehnička škola)
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 20 a otpor se pritom smanji za
5
Rješenje 180
U U1 = U ndash 20 middot U = U ndash 020 middot U = 080 middot U R R1 = R ndash 5 middot R = R ndash 005 middot R =
= 095 middot R P P1 =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Izrazit ćemo novu snagu uređaja P1 pomoću stare snage P
( )2 2 2 2 2 2
080 080 08011 1 1 1095 095 095
1
U U U UP P P P
R R R R
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = sdot rArr
sdot sdot
2080
06737 032631 1
2
1095P P P P P P P
UP
RrArr rArr = sdot rArr = sdot rArr= = minus sdot rArr
32633263 1 1
P P P P P PrArr = minus sdot rArr sdotminus=
24
Snaga će pasti za 3263
Vježba 180
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 10 a otpor se pritom smanji za
5
Rezultat Snaga će pasti za 1474
2
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Ploština kruga promjera d dana je formulom
4
2d
Sπsdot
=
Računamo struju I
metoda
supstitucije
UI
U U SRI I
ll lR
SS
ρρρ
=sdot
rArr rArr = rArr = =sdot
sdot= sdot
6 2120 10 4
698 10 6
00172 10 01
V mA
m m
minussdot
= = sdotminus
sdot Ω sdot sdot
Napomena Rezultat je veliki broj jer je baterija kratko spojena
Vježba 162
Polovi baterije napona 240 V spojeni su bakrenom žicom duljine 2 dm i presjeka 1 mm2
Koliku jakost ima struja dok teče žicom (električna otpornost bakra ρ = 00172 middot 10-6
Ω middot m)
Rezultat 4
698 10 Asdot
Zadatak 163 (Mira gimnazija)
Za koliko će vremena potrošiti 1 kWh žarulja snage 75 W
Rješenje 163
E = 1 kWh = 3600000 W middot s P = 75 W t =
1 3600 1 6 0 minh s h= =
Električna energija kojom izvor opskrbljuje strujni krug i koja se pretvara u druge oblike energije
(toplinsku mehaničku kemijsku ) u nekom trošilu za vrijeme t jednaka je
E P t= sdot
gdje je P snaga trošila
SI ndash jedinica za električnu energiju je džul (J) za snagu vat (W) Električnu energiju često izražavamo
vatsekundom (Ws) ili vatsatom (Wh)
[ ]3600 001
48000
480007
0 35
600E W s
E P t E P t t sP WP
sdot= sdot rArr = sdot rArr = =sdot = = =
1333333333 13 033333333 13 033333333 60 min 13 20 min 13 20 min h h h h h h= = + = + sdot = + =
Vježba 163
Za koliko će vremena potrošiti 2 kWh žarulja snage 150 W
Rezultat 13 h 20 min
Zadatak 164 (Any gimnazija)
Pločasti kondenzator s pločama u obliku kvadrata stranice 21 cm i razmakom ploča 2 mm
priključen je na izvor napona 750 V Između ploča nalazi se staklena ploča debljine 2 mm Kolika će
biti jakost struje koja poteče krugom kad staklenu ploču izvlačimo iz prostora između ploča
kondenzatora stalnom brzinom 8 cms Relativna dielektričnost stakla je 7 (dielektričnost praznine
3
ε0 = 8854 10-12
C2 (N m
2))
Rješenje 164
a = 21 cm = 021 m d = 2 mm = 0002 m U = 750 V d = 2 mm = 0002 m
v = 8 cms = 008 ms εr = 7 ε0 = 8854 middot 10-12 C (N middot m2) I =
Ploština kvadrata duljine stranice a izračunava se po formuli
2S a=
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Kapacitet pločastog kondenzatora iskazujemo jednadžbom
Q
C Q C UU
= rArr = sdot
gdje je Q naboj na jednoj ploči kondenzatora U napon među pločama kondenzatora
Kapacitet pločastog kondenzatora upravno je razmjeran ploštini S jedne ploče a obrnuto razmjeran
udaljenosti d između ploča Njegov kapacitete u zraku je
0
SC
dε= sdot
a u sredstvu
0
SC r
dε ε= sdot sdot
gdje je εr relativna permitivnost sredstva ε0 dielektričnost praznine (električna permitivnost
vakuuma) S površina ploče d razmak među pločama
Jakost električne struje I kvocijent je električnog naboja Q i vremenskog intervala t u kojemu taj naboj
prođe određenim presjekom vodiča
Q
It
=
vvvv
aaaa
Vrijeme za koje staklenu ploču izvučemo iz prostora između ploča kondenzatora duljine a jednako je
a
tv
=
Kapacitet kondenzatora iznosi
bull kada je staklena ploča između ploča kondenzatora
2
2 0 2 0
S aC Cr r
d dε ε ε ε= sdot sdot rArr = sdot sdot
bull kada staklena ploča nije između ploča kondenzatora
4
2
1 0 1 0
S aC C
d dε ε= sdot rArr = sdot
Pritom je promjena kapaciteta kondenzatora jednaka
( )2 2 2
1 2 1 0 0 0
a a aC C C C Cr r
d d dε ε ε ε ε∆ = minus rArr ∆ = sdot sdot minus sdot rArr ∆ = sdot sdot minus
a kroz električni krug je potekao naboj
( )2
1 0
aQ U C Q U r
dε ε= sdot ∆ rArr = sdot sdot sdot minus
Zbog toga je jakost struje u krugu
( ) ( ) ( )2
1 10
1
2
10 0
a a aU U Ur r rQ d d dI I I I
at
v v
a
v
ε ε ε ε ε εsdot sdot sdot minus sdot sdot sdot minus sdot sdot sdot minus
= rArr = rArr = rArr = rArr
( ) ( )12
750 8854 10 021 008 7 121 70 335 10
0002
C mV m
U a v sr N mI Ad m
ε εminus
sdot sdot sdot sdot sdot minussdot sdot sdot sdot minus minussdotrArr = = = sdot
Vježba 164
Pločasti kondenzator s pločama u obliku kvadrata stranice 21 dm i razmakom ploča 02 cm
priključen je na izvor napona 750 V Između ploča nalazi se staklena ploča debljine 02 cm Kolika će
biti jakost struje koja poteče krugom kad staklenu ploču izvlačimo iz prostora između ploča
kondenzatora stalnom brzinom 08 dms Relativna dielektričnost stakla je 7 (dielektričnost praznine
ε0 = 8854 10-12
C2 (N m
2))
Rezultat 7
335 10 Aminus
sdot
Zadatak 165 (Maturant2014 tehnička škola)
Na izvor struje usporedno (paralelno) je spojeno 9 jednakih otpornika Struja koja prolazi kroz
izvor ima jakost 72 A dok je napon na krajevima izvora 72 V Koliki je otpor svakog pojedinog
otpornika
Rješenje 165
R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = R7 = R8 = R9 = R I = 72 A U = 72 V R =
Ukupni otpor što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1
1 2 3
R R R R Ru n
= + + + +
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I RR
= rArr = sdot
Ukupni otpor Ru što ga pruža 9 jednakih otpornika spojenih u paralelu iznosi
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 R Ru
R R R R R R R R R R R Ru u
= + + + + + + + + rArr = rArr sdot = rArr
99 9
RR R Ru urArr sdot = rArr =
Uporabom Ohmovog zakona izračunamo otpor R jednog otpornika
5
9 9 7290
9 9 729
9
U I RuR R U V
U I U I RRI ARu I
= sdotsdot sdot
rArr = sdot rArr = sdot = = Ωsdot rArr ==
IIII
UUUU RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR
Vježba 165
Na izvor struje usporedno (paralelno) je spojeno 9 jednakih otpornika Struja koja prolazi kroz
izvor ima jakost 64 A dok je napon na krajevima izvora 64 V Koliki je otpor svakog pojedinog
otpornika
Rezultat 90 Ω
Zadatak 166 (Ivan tehnička škola)
Električni vlak mase 200 t vozi brzinom 72 kmh Otpori vuče (trenje otpor zraka) iznose
06 težine a napon 25 kV Odredi jakost struje (ubrzanje slobodnog pada g = 981 ms2)
Rješenje 166
m = 200 t = 2 middot 105 kg v = 72 kmh = [72 36] = 20 ms p = 06 = 0006
U = 25 kV = 25 middot 104 V g = 981 ms2 I =
Ako na tijelo ne djeluje nikakva sila ili je rezultanta svih sila jednaka nuli tijelo miruje ili se giba
jednoliko po pravcu Zato kažemo da je tijelo tromo
Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo težnom silom (silom težom) Pod djelovanjem težne
sile sva tijela padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu
Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada Prema drugom
Newtonovom poučku
G m g= sdot
gdje je G težna sila m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome
mjestu na Zemlji jednaka
Kako izračunati p od x
100
pxsdot
Za trenutačnu snagu možemo pisati
P F v= sdot
pri čemu je v trenutačna brzina
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
P
P U I IU
= sdot rArr =
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila I struja
Prvi Newtonov poučak
Ako na tijelo ne djeluje nikakva sila ili je rezultanta svih sila jednaka nuli tijelo miruje ili se giba
jednoliko po pravcu Zato kažemo da je tijelo tromo
Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek
počinje gibati Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja
Budući da otpor vuče iznosi p posto težine prema prvom Newtonovom poučku vučna sila F mora po
iznosu biti jednaka otporu vuče
F p G F p m g= sdot rArr = sdot sdot
Potrebna snaga je
6
P F vP p m g v
F p m g
= sdotrArr = sdot sdot sdot
= sdot sdot
pa struja iznosi
50006 2 10 981 20
2942
425 10
m mkgP
I sp m g v sI AUU VP p m g v
sdot sdot sdot sdot= sdot sdot sdot
rArr = = =
sdot= sdot sdot sdot
Vježba 166
Električni vlak mase 400 t vozi brzinom 72 kmh Otpori vuče (trenje otpor zraka) iznose
06 težine a napon 50 kV Odredi jakost struje (ubrzanje slobodnog pada g = 981 ms2)
Rezultat 942 A
Zadatak 167 (Marija gimnazija)
Kolika je jakost struje koja teče otpornikom R4 u strujnom krugu prikazanom na slici ako su
otpori R1 = R2 = R3 = R4 = 1 Ω a priključeni su na napon 6 V
RRRR4444
RRRR3333RRRR2222
RRRR1111
Rješenje 167
R1 = R2 = R3 = R4 = 1 Ω U = 6 V I =
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni je otpor od 2 serijski spojena vodiča
1 2R R R= +
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1
1 2 3
R R R R Rn
= + + + +
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ukupni otpor R što ga pružaju 2 vodiča spojena u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 2
1 1 2
2
R RR
R R R R R
sdot= + rArr =
+
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Shemu otpornika postupno možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
7
RRRR4444
RRRR3333RRRR2222
RRRR1111
Otpornici R1 i R2 serijski su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom R12
1 1 2 12 1 2
R R R= + = Ω + Ω = Ω
RRRR4444
RRRR3333RRRR12121212
Otpornici R12 i R3 usporedno su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom R123
1 1 1 2 1 212 3 123 2 1 3
123 12 3 12 3
R RR
R R R R R
sdot Ω sdot Ω= + rArr = = = Ω
+ Ω + Ω
RRRR4444RRRR123123123123
Otpornici R4 i R123 serijski su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom R1234
2 51
1234 4 123 3 3R R R= + = Ω + Ω = Ω
RRRR1234123412341234
Jakost struje koja teče otpornikom R4 (cijelim strujnim krugom) dobije se pomoću Ohmovog zakona
za strujni krug
6
6 181 36 5 5 5
12343 3
VU V
I A AR
= = = = =
Ω Ω
Vježba 167
Kolika je jakost struje koja teče otpornikom R4 u strujnom krugu prikazanom na slici ako su
otpori R1 = R2 = R3 = R4 = 1 Ω a priključeni su na napon 12 V
8
RRRR4444
RRRR3333RRRR2222
RRRR1111
Rezultat 72 A
Zadatak 168 (Marija gimnazija)
Odredite jakost struje u pojedinim vodičima povezanim u strujni krug prema shemi na slici
ako je UAD = 49 V R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω i R6 = 5 Ω
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Rješenje 168
UAD = 49 V R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω R6 = 5 Ω
I1 = I2 = I3 = I4 = I5 = I6 =
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni je otpor od 3 serijski spojena vodiča
2
1 3R R R R= + +
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1
1 2 3
R R R R Rn
= + + + +
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ukupni otpor R što ga pružaju 2 ili 3 vodiča spojena u paralelu možemo naći iz sljedećih izraza
1 1 1 1 1 1 1 1 2 31 2
1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3
R R RR R
R RR R R R R R R R R R R R R R R
sdot sdotsdot= + rArr = = + + rArr =
+ sdot + sdot + sdot
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I R pad naponaR
= rArr = sdot minus
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak je
Prolaskom struje kroz bilo koji otpornik ili vodič na otporniku ili vodiču nastaje pad napona
jednak umnošku jakosti struje i otpora među mjernim točkama
Kirchhoffov zakon
U svakom čvoru električne mreže zbroj električnih struja koje ulaze u čvor jednak je zbroju struja koje
izlaze iz čvora tj zbroj struja u svakom čvorištu strujnog kruga mora biti nula
Shemu otpornika postupno možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
9
IIII1111
IIIIIIII5555
IIII6666
IIII4444IIII
IIII3333
IIII2222
IIII1111
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Otpornici R1 i R2 usporedno su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom RAB = R12
3 61 2 2 12 3 6
1 2
R RR R
AB R R
sdot Ω sdot Ω= = = = Ω
+ Ω + Ω
RRRR3333
RRRR4444
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRRABABABAB
RRRR12121212
RRRRBCBCBCBC RRRR5555
RRRR6666
Otpornici R4 R5 i R6 usporedno su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
RCD = R456
5 10 554 6 2 456 5 10 5 5 10 5
5 54 4 6 6
R R RR R
CD R R R R R R
sdot sdot Ω sdot Ω sdot Ω= = = = Ω
sdot + sdot + sdot Ω sdot Ω + Ω sdot Ω + Ω sdot Ω
RRRR3333
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRRABABABAB
RRRR12121212
RRRRBCBCBCBCRRRRCDCDCDCD
RRRR456456456456
Otpornici RAB RBC i RCD serijski su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
RAD
2 3 2 7 R R R RAD AB BC CD
= + + = Ω + Ω + Ω = Ω
RRRR123456123456123456123456
AAAA DDDD
RRRRADADADAD
Našavši ukupni otpor RAD strujnog kruga pomoću Ohmovog zakona izračunamo jakost struje I u
krugu
497
7
UADI
RAD
Ω= = = Ω
Ω
Dakle ekvivalentni otpor između točaka
bull 1 2je 212
1 2
iR R
R RAB R R
A Bsdot
= = = Ω+
10
bull 3
i je 3R RBC
B C = = Ω
bull 54 6je 2 456
5 5 54 4 6
iR R R
R RCD R R R R R
C DR
sdot sdot= = = Ω
sdot + + sdot
Pad napona između točaka
bull ei j U I RAB A
AB
B = sdot
bull ei j U I RBC B
BC
C = sdot
bull ei j U I RCD D
C DC
= sdot
Sada računamo jakost struje u pojedinim vodičima povezanim u strujni krug prema shemi na slici
bull 7 2
467 1 3
111
U I RAB AB
I R AABU I AAB RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
233 2 6
222
U I RAB AB
I R AABU I AAB RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 3
7 3 3
333
U I RBC BC
I R ABCU I ABC RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
280 4 5
444
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
140 5 10
555
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
280 6 5
666
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
Vježba 168
Odredite jakost struje u strujnom krugu prema shemi na slici ako je UAD = 63 V
R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω i R6 = 5 Ω
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Rezultat 9 A
11
Zadatak 169 (Marija gimnazija)
U shemu prikazanu na slici uključena su dva mikroampermetra i dva jednaka voltmetra
Mikroampermetri pokazuju vrijednosti I1 = 100 microA i I2 = 99 microA Voltmetar V1 pokazuje U1 = 10 V
Koliki napon pokazuje voltmetar V2
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Rješenje 169
I1 = 100 microA = 10-4
A I2 = 99 microA = 99 middot 10-5
A U1 = 10 V U2 =
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U U
I R U I R pad naponaR I
= rArr = rArr = sdot minus
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Prolaskom struje kroz bilo koji otpornik ili vodič na otporniku ili vodiču nastaje pad napona
jednak umnošku jakosti struje i otpora među mjernim točkama
Kirchhoffov zakon
U svakom čvoru električne mreže zbroj električnih struja koje ulaze u čvor jednak je zbroju struja koje
izlaze iz čvora tj zbroj struja u svakom čvorištu strujnog kruga mora biti nula
RRRR2222
RRRR1111
IIII3333
IIII2222
IIII1111
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Otpor R1 voltmetra V1 iznosi
10 51 10 1 4
101
U VR
I A
= = = Ωminus
Budući da su voltmetri V1 i V2 jednaki imaju jednake otpore
2 1 510
5 210
1
R R
RR
=
rArr = Ω= Ω
Pomoću Kirchhoffova zakona izračuna se struja I3 koja prolazi voltmetrom V2
4 5 610 99 10 10
1 2 3 3 1 2I I I I I I A A A
minus minus minus= + rArr = minus = minus sdot =
Napon U2 koji pokazuje voltmetar V2 jednak je
6 5 110 10 10 01
2 3 2U I R A V V
minus minus= sdot = sdot Ω = =
12
Vježba 169
U shemu prikazanu na slici uključena su dva mikroampermetra i dva jednaka voltmetra
Mikroampermetri pokazuju vrijednosti I1 = 100 microA i I2 = 90 microA Voltmetar V1 pokazuje U1 = 10 V
Koliki napon pokazuje voltmetar V2
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Rezultat 1 V
Zadatak 170 (DJ gimnazija)
Bakrena žica duljine 1000 m ima otpor 1 Ω Kolika je masa žice Otpornost bakra je
17 middot 10-8
Ω middot m a gustoća 8900 kgm3
Rješenje 170
l = 1000 m R = 1 Ω ρ1 = 17 middot 10-8
Ω middot m ndash otpornost ρ2 = 8900 kgm3 ndash gustoća
m =
Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera mase tijela i njegova obujma
m
m VV
ρ ρ= rArr = sdot
Obujam valjka
Uspravni i kosi valjak ploštine osnovke (baze) S i visine v imaju jednake obujmove Taj obujam
iznosi
V S v= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Prvo odredimo poprečni presjek S žice
metoda 1
zamj2
2ne
22 2e
m Vm S l S l m S l
lm
V S l
ρρ ρ ρ
ρsdot
sdot
= sdotrArr rArr = sdot sdot rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
= sdot
2
mS
lρrArr =
sdot
Iz formule za električnu otpornost dobije se masa m žice
metoda
zamjene
211 2
1 1 1
2 2 2
l lRlS l
R R Rm m m mS
l l l
ρρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
= sdotsdot
rArr rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr=
sdot sdot sdot
( )2
1000 89002 2382 2 17 10 15130
1 1
1
kgm
l lmR m m kg
m
Rm R
ρ ρρ ρ
sdotsdot sdot minus
rArr = sdot rArr = sdot = sdot Ω sdot sdotsdot =Ω
13
Vježba 170
Bakrena žica duljine 2000 m ima otpor 1 Ω Kolika je masa žice Otpornost bakra je
17 middot 10-8 Ω middot m a gustoća 8900 kgm3
Rezultat 60520 kg
Zadatak 171 (Ana gimnazija)
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 2 4 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
3 6 12 21A A B A C A D A
Rješenje 171
R1 R2 R3 = 1 2 4 I3 = 3 A I =
Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama jednak je jakosti
struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1
1 2 3
1 2 3
I I IR R R
=
Iz omjera otpora
1 2 41 2 3
R R R =
vidi se da je
bull otpor R1 četiri puta manji od otpora R3
1 41 3
R R =
bull otpor R2 dva puta manji od otpora R3
2 42 3
R R =
Zato je
bull struja I1 četiri puta veća od struje I3
4 4 3 121 3
I I A A= sdot = sdot =
bull struja I2 dva puta veća od struje I3
2 2 3 6 2 3
I I A A= sdot = sdot =
Ukupna struja I koju pokazuje ampermetar iznosi
12 6 3 21 1 2 3
I I I I A A A A= + + = + + =
Odgovor je pod D
Vježba 171
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 3 6 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
12 15 21 27A A B A C A D A
14
Rezultat D
Zadatak 172 (Hana medicinska škola)
Otpornik otpora 100 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
5 10 50 500A V B V C V D V
Rješenje 172
R = 100 Ω I = 5 A U =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I RR
= rArr = sdot
I = 5 AI = 5 AI = 5 AI = 5 A
Graf prikazuje struju koja prolazi kroz otpornik u ovisnosti o vremenu i njezina maksimalna vrijednost
je I = 5 A Maksimalni napon na otporniku iznosi
5 100 500 U I R A V= sdot = sdot Ω =
Odgovor je pod D
Vježba 172
Otpornik otpora 10 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
15
5 10 50 500A V B V C V D V
Rezultat C
Zadatak 173 (Ivan tehnička škola)
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 210 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rješenje 173
U1 = 220 V P1 = 750 W U2 = 210 V R1 = R2 = R p =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Kako zapisati za koliko se posto veličina a2 smanjila u odnosu na istovrsnu veličinu a1
1 2100 100
1 1
a aa
p pa a
minus∆= sdot rArr = sdot
1inačica
22 2 21
1 1 2111
1001 22 2
12 2
2 100
2 22
1
UU U UP
PRR R Rp
UU UP P
RR
Pp
P
R
P=
= minus
rArr rArr rArr = sdot rArr
= =
minus= sdot
2 2 2 21 2 1 2 2 2
1 2100 100 1002 2 2
1 1 1
U U U U
U URp p p
U U U
R
R R
minus minus
minusrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
2 2 2 21 2 2 2100 100 1 1002 2 2 2
1 1 1
212
1 1
U U UU
U
Up p p
U U U U
rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr
2 221021 100 1 100 888220
1
U Vp p p
U VrArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr =
2inačica
Izračunamo otpor grijača
( )2 2 2 2
2201 1 1 6453 1 1 7
150
1
U U U V
P P RR R P W
R
Psdot= rArr = rArr = = = Ω
Kada napon padne na 210 V snaga će uz jednaki otpor grijača iznositi
( )2 2
2102 68340 2 6453
U VP W
R= = =
Ω
Računamo postotak smanjenja snage grijača
16
750 683401 2 100 100 888750
1
P P W Wp p p
P W
minus minus= sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 173
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 215 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rezultat 449
Zadatak 174 (Mario gimnazija)
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 10 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6
Ω middot m)
Rješenje 174
2 middot r1 = 256 mm =gt r1 = 128 mm = 00128 m 2 middot r2 = 234 mm =gt r2 = 117 mm =
= 00117 m l = 10 m ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m = 10-7 Ω middot m R =
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Površina kružnog vijenca
Neka su zadane dvije koncentrične kružnice polumjera r1 i r2 (r1 gt r2) tj kružnice s istim središtem
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen tim kružnicama i njegova površina računa se po formuli
( )2
2 21
S r r π= minus sdot
Otpor željezne cijevi iznosi
( )( )
2 21 2
2 21 2
S r rl
Rl
r rRS
π
ρ
πρ
= minus sdot
rArr = sdot =
minus sdot= sdot
( ) ( )( )107
10 0012 2 2
00128 00117
mm
m m π
minus= Ω sdot sdot = Ω
minus sdot
Vježba 174
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 20 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m)
Rezultat 0025 Ω
17
Zadatak 175 (Mario gimnazija)
Pad napona na krajevima 100 m dugog bakrenog vodiča iznosi 102 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19
C)
Rješenje 175
l = 100 m U = 102 V n = 84 middot 1022
cm-3
= 84 middot 1028
m-3
ρ = 17 middot 10-3
Ω middot mm2 m = 17 middot 10
-9 Ω middot m e = 1602 middot 10
-19 C v =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
gdje je U razlika potencijala (napon) na krajevima vodiča a R otpor vodiča Iz te formule izlazi da je
razlika potencijala (pad napona) U na dijelu strujnog kruga otpora R jednak
U I R= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Vodičem površine presjeka S u kojem ima n slobodnih elektrona po jedinici volumena naboja e i koji
se djelovanjem električnog polja gibaju brzinom v teče struja jakosti
I n e v S= sdot sdot sdot
Računamo brzinu elektrona
I n e v S
l l lR U n e v S U n e v U n e v l
S S
U I R
SS
ρ ρ ρ ρ
= sdot sdot sdot
= sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot rArr
= sdot
1
Un e v l U n e v l U
n ev
n e llρ
ρρρ sdot
sdot sdotrArr sdot sdot sdot sdot = rArr sdot sdot sdot sdot = rArr =
sdot sdot sdotsdot=
102 5446 10
128 19 984 10 1602 10 17 10 100
3
V m
sC m m
m
minus= = sdot
minus minussdot sdot sdot sdot sdot Ω sdot sdot
Vježba 175
Pad napona na krajevima 200 m dugog bakrenog vodiča iznosi 204 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19 C)
Rezultat 5
446 10 m
s
minussdot
Zadatak 176 (Tomer181 tehnička škola)
Električni izvor ima elektromotorni napon 12 V i unutarnji otpor 06 Ω Na izvor je priključen
otpornik 10 Ω Odrediti jakost struje i napon
Rješenje 176
ε = 12 V Ru = 06 Ω Rv = 10 Ω I = U =
Kad je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na pad
napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (U = I middot R) u vanjskom krugu
18
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( ) I R R I R I R I R Uu v u v u vε ε ε= sdot + rArr = sdot + sdot rArr = sdot +
Računamo struju u strujnom krugu
( ) ( ) ( )1
I R R I R R I R R Iu v u v uR
vR RuRv vu
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot + sdot= rArr =
++=
121132
06 10
VA= =
Ω + Ω
Tada je
bull pad napona na unutarnjem otporu izvora
1132 06 068U I R A Vu u= sdot = sdot Ω =
bull pad napona u vanjskom krugu
1132 10 1132U I R A Vv v= sdot = sdot Ω =
ili
12 068 1132 U U U U V V Vu v v uε ε+ = rArr = minus = minus =
Vježba 176
Električni izvor ima elektromotorni napon 24 V i unutarnji otpor 12 Ω Na izvor je priključen
otpornik 20 Ω Odrediti jakost struje
Rezultat 1132 V
Zadatak 177 (Jurica gimnazija)
U krug istosmjerne struje napona 120 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
Rješenje 177
U = 120 V RA = RB = RC = R UA = UB = UC =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
19
Jakost struje u vodiču razmjerna je naponu između dviju točaka vodiča
Pad napona U na nekom otporniku otpora R razmjeran je jakosti struje I i otporu
U I R= sdot
Pri paralelnom spajanju vodiča pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak
je
1 2 3
U U U U Un= = = = =
1 1 2 2 3 3
U I R I R I R I Rn n= sdot = sdot = sdot = = sdot
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni pad napona na serijskome spoju jednak je zbroju pojedinih padova napona
1 2 3
U U U U Un= + + + +
Vodiče možemo spajati u seriju i paralelno Pri serijskom spajanju vodiča kroz sve vodiče teče
struja iste jakosti Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama
jednak je jakosti struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1 1
1 2 31 2
3
I I I InR R R Rn
=
I2
I1
I
R
R
R
C
B
A
120 V
I
RR
2
AB C
120 V
I
3sdotsdotsdotsdotR
2
ABC
120 V
1inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
20
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Padovi napona na otpornicima AB i C su
2
RU I R U IAB AB AB
U I RC C U I R
C
= sdot = sdotrArr
= sdot= sdot
Iz kvocijenta napona UC i UAB dobije se
2 2 2
2 2
U U U UI RC C C C U UC ABRU U U U
AB AB AB A
I RU
ABI B
RI
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr = sdotsdot
sdot sdot
Budući da je zbroj padova napona u strujnome krugu jednak ukupnom naponu za strujni krug
prikazan na slici je
U U UAB C
+ =
pa vrijedi sustav jednadžbi
1202 1
metoda
zam20
2 2 jene
U U U U UAB C AB C
U UAB ABU U U U
C AB C AB
+ = + =rArr rArr rArr + sdot = rArr
= sdot = sdot
3 120 3 120 0 4 3U U U VAB AB AB
rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo UC
402 40 80
2
U VAB
U V VCU U
C AB
=rArr = sdot =
= sdot
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
2inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Pad napona UC ima vrijednost
80 8080 U I R U R U U V
C C C C CRR
R= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Pad napona UAB iznosi
120 80 40 U U U U U U V V VAB C AB C
+ = rArr = minus = minus =
21
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
3inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Za struje I1 i I2 vrijedi
1 11 1 1 1 2 1 21 21 280 80
801 2 1 2
1 21 2
I I I II II IR RR R
BAI I I I
I II I I R RR
= ===rArr rArr rArr rArr
+ = + =+ =+ =
80 80 80 40 402 2
2 2 2 2 2
2 1I I I I I I
R R R R RrArr + = rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr =
Računamo padove napona na otpornicima A B i C
40 40
401
40 4040
2
8080 80
U R UA ARU I R U V
A A A
U I R U R U U VB B B B BR
U VU I R
RR
RR
CC CU R U
C C RRR
= sdot = sdot= sdot =
= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
== sdot= sdot = sdot
Vježba 177
U krug istosmjerne struje napona 240 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
C
B
A
240 V
Rezultat UA = 80 V UB = 80 V UC = 160 V
22
Zadatak 178 (Mario tehnička škola)
Grijalica predviđena za napon U ima n spirala od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima otpor
R Koliku će snagu trošiti grijalica ako je svih n spirala spojeno paralelno
Rješenje 178
U n R1 = R2 = hellip = Rn = R P =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon na krajevima trošila R otpor trošila
U slučaju paralelnog spoja n jednakih otpornika ekvivalentni je otpor Re
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3
n RRe
R R R R R R R R R R R R ne n e e
= + + + + rArr = + + + + rArr = rArr =
Snaga koju troši grijalica iznosi
2 2
2 2 21
U UP
U n U URe P P P P nR R R RR
Re n nn
=sdot
rArr = rArr = rArr = rArr = sdot
=
Vježba 178
Grijalica predviđena za napon 220 V ima 2 spirale od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima
otpor 100 Ω Koliku će snagu trošiti grijalica ako su spirale spojene paralelno
Rezultat P = 968 W
Zadatak 179 (Tina gimnazija)
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 45
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 004 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rješenje 179
R = 100 Ω ε = 45 V I = 004 A r =
Kada je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na
pad napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (I middot Rv) u vanjskom krugu
23
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( )I R I R I R Ru v u vε ε= sdot + sdot rArr = sdot +
Iz uvjeta zadatka dobije
( ) ( ) ( )1
I R r I R r I R rI
r RI
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot rArr +sdot+ = = rArr
45100 125
004
Vr R
I A
εrArr = minus = minus Ω = Ω
Vježba 179
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 9
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 008 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rezultat r = 125 Ω
Zadatak 180 (Martin tehnička škola)
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 20 a otpor se pritom smanji za
5
Rješenje 180
U U1 = U ndash 20 middot U = U ndash 020 middot U = 080 middot U R R1 = R ndash 5 middot R = R ndash 005 middot R =
= 095 middot R P P1 =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Izrazit ćemo novu snagu uređaja P1 pomoću stare snage P
( )2 2 2 2 2 2
080 080 08011 1 1 1095 095 095
1
U U U UP P P P
R R R R
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = sdot rArr
sdot sdot
2080
06737 032631 1
2
1095P P P P P P P
UP
RrArr rArr = sdot rArr = sdot rArr= = minus sdot rArr
32633263 1 1
P P P P P PrArr = minus sdot rArr sdotminus=
24
Snaga će pasti za 3263
Vježba 180
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 10 a otpor se pritom smanji za
5
Rezultat Snaga će pasti za 1474
3
ε0 = 8854 10-12
C2 (N m
2))
Rješenje 164
a = 21 cm = 021 m d = 2 mm = 0002 m U = 750 V d = 2 mm = 0002 m
v = 8 cms = 008 ms εr = 7 ε0 = 8854 middot 10-12 C (N middot m2) I =
Ploština kvadrata duljine stranice a izračunava se po formuli
2S a=
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s
s v t tv
= sdot rArr =
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
Kapacitet pločastog kondenzatora iskazujemo jednadžbom
Q
C Q C UU
= rArr = sdot
gdje je Q naboj na jednoj ploči kondenzatora U napon među pločama kondenzatora
Kapacitet pločastog kondenzatora upravno je razmjeran ploštini S jedne ploče a obrnuto razmjeran
udaljenosti d između ploča Njegov kapacitete u zraku je
0
SC
dε= sdot
a u sredstvu
0
SC r
dε ε= sdot sdot
gdje je εr relativna permitivnost sredstva ε0 dielektričnost praznine (električna permitivnost
vakuuma) S površina ploče d razmak među pločama
Jakost električne struje I kvocijent je električnog naboja Q i vremenskog intervala t u kojemu taj naboj
prođe određenim presjekom vodiča
Q
It
=
vvvv
aaaa
Vrijeme za koje staklenu ploču izvučemo iz prostora između ploča kondenzatora duljine a jednako je
a
tv
=
Kapacitet kondenzatora iznosi
bull kada je staklena ploča između ploča kondenzatora
2
2 0 2 0
S aC Cr r
d dε ε ε ε= sdot sdot rArr = sdot sdot
bull kada staklena ploča nije između ploča kondenzatora
4
2
1 0 1 0
S aC C
d dε ε= sdot rArr = sdot
Pritom je promjena kapaciteta kondenzatora jednaka
( )2 2 2
1 2 1 0 0 0
a a aC C C C Cr r
d d dε ε ε ε ε∆ = minus rArr ∆ = sdot sdot minus sdot rArr ∆ = sdot sdot minus
a kroz električni krug je potekao naboj
( )2
1 0
aQ U C Q U r
dε ε= sdot ∆ rArr = sdot sdot sdot minus
Zbog toga je jakost struje u krugu
( ) ( ) ( )2
1 10
1
2
10 0
a a aU U Ur r rQ d d dI I I I
at
v v
a
v
ε ε ε ε ε εsdot sdot sdot minus sdot sdot sdot minus sdot sdot sdot minus
= rArr = rArr = rArr = rArr
( ) ( )12
750 8854 10 021 008 7 121 70 335 10
0002
C mV m
U a v sr N mI Ad m
ε εminus
sdot sdot sdot sdot sdot minussdot sdot sdot sdot minus minussdotrArr = = = sdot
Vježba 164
Pločasti kondenzator s pločama u obliku kvadrata stranice 21 dm i razmakom ploča 02 cm
priključen je na izvor napona 750 V Između ploča nalazi se staklena ploča debljine 02 cm Kolika će
biti jakost struje koja poteče krugom kad staklenu ploču izvlačimo iz prostora između ploča
kondenzatora stalnom brzinom 08 dms Relativna dielektričnost stakla je 7 (dielektričnost praznine
ε0 = 8854 10-12
C2 (N m
2))
Rezultat 7
335 10 Aminus
sdot
Zadatak 165 (Maturant2014 tehnička škola)
Na izvor struje usporedno (paralelno) je spojeno 9 jednakih otpornika Struja koja prolazi kroz
izvor ima jakost 72 A dok je napon na krajevima izvora 72 V Koliki je otpor svakog pojedinog
otpornika
Rješenje 165
R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = R7 = R8 = R9 = R I = 72 A U = 72 V R =
Ukupni otpor što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1
1 2 3
R R R R Ru n
= + + + +
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I RR
= rArr = sdot
Ukupni otpor Ru što ga pruža 9 jednakih otpornika spojenih u paralelu iznosi
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 R Ru
R R R R R R R R R R R Ru u
= + + + + + + + + rArr = rArr sdot = rArr
99 9
RR R Ru urArr sdot = rArr =
Uporabom Ohmovog zakona izračunamo otpor R jednog otpornika
5
9 9 7290
9 9 729
9
U I RuR R U V
U I U I RRI ARu I
= sdotsdot sdot
rArr = sdot rArr = sdot = = Ωsdot rArr ==
IIII
UUUU RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR
Vježba 165
Na izvor struje usporedno (paralelno) je spojeno 9 jednakih otpornika Struja koja prolazi kroz
izvor ima jakost 64 A dok je napon na krajevima izvora 64 V Koliki je otpor svakog pojedinog
otpornika
Rezultat 90 Ω
Zadatak 166 (Ivan tehnička škola)
Električni vlak mase 200 t vozi brzinom 72 kmh Otpori vuče (trenje otpor zraka) iznose
06 težine a napon 25 kV Odredi jakost struje (ubrzanje slobodnog pada g = 981 ms2)
Rješenje 166
m = 200 t = 2 middot 105 kg v = 72 kmh = [72 36] = 20 ms p = 06 = 0006
U = 25 kV = 25 middot 104 V g = 981 ms2 I =
Ako na tijelo ne djeluje nikakva sila ili je rezultanta svih sila jednaka nuli tijelo miruje ili se giba
jednoliko po pravcu Zato kažemo da je tijelo tromo
Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo težnom silom (silom težom) Pod djelovanjem težne
sile sva tijela padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu
Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada Prema drugom
Newtonovom poučku
G m g= sdot
gdje je G težna sila m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome
mjestu na Zemlji jednaka
Kako izračunati p od x
100
pxsdot
Za trenutačnu snagu možemo pisati
P F v= sdot
pri čemu je v trenutačna brzina
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
P
P U I IU
= sdot rArr =
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila I struja
Prvi Newtonov poučak
Ako na tijelo ne djeluje nikakva sila ili je rezultanta svih sila jednaka nuli tijelo miruje ili se giba
jednoliko po pravcu Zato kažemo da je tijelo tromo
Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek
počinje gibati Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja
Budući da otpor vuče iznosi p posto težine prema prvom Newtonovom poučku vučna sila F mora po
iznosu biti jednaka otporu vuče
F p G F p m g= sdot rArr = sdot sdot
Potrebna snaga je
6
P F vP p m g v
F p m g
= sdotrArr = sdot sdot sdot
= sdot sdot
pa struja iznosi
50006 2 10 981 20
2942
425 10
m mkgP
I sp m g v sI AUU VP p m g v
sdot sdot sdot sdot= sdot sdot sdot
rArr = = =
sdot= sdot sdot sdot
Vježba 166
Električni vlak mase 400 t vozi brzinom 72 kmh Otpori vuče (trenje otpor zraka) iznose
06 težine a napon 50 kV Odredi jakost struje (ubrzanje slobodnog pada g = 981 ms2)
Rezultat 942 A
Zadatak 167 (Marija gimnazija)
Kolika je jakost struje koja teče otpornikom R4 u strujnom krugu prikazanom na slici ako su
otpori R1 = R2 = R3 = R4 = 1 Ω a priključeni su na napon 6 V
RRRR4444
RRRR3333RRRR2222
RRRR1111
Rješenje 167
R1 = R2 = R3 = R4 = 1 Ω U = 6 V I =
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni je otpor od 2 serijski spojena vodiča
1 2R R R= +
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1
1 2 3
R R R R Rn
= + + + +
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ukupni otpor R što ga pružaju 2 vodiča spojena u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 2
1 1 2
2
R RR
R R R R R
sdot= + rArr =
+
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Shemu otpornika postupno možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
7
RRRR4444
RRRR3333RRRR2222
RRRR1111
Otpornici R1 i R2 serijski su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom R12
1 1 2 12 1 2
R R R= + = Ω + Ω = Ω
RRRR4444
RRRR3333RRRR12121212
Otpornici R12 i R3 usporedno su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom R123
1 1 1 2 1 212 3 123 2 1 3
123 12 3 12 3
R RR
R R R R R
sdot Ω sdot Ω= + rArr = = = Ω
+ Ω + Ω
RRRR4444RRRR123123123123
Otpornici R4 i R123 serijski su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom R1234
2 51
1234 4 123 3 3R R R= + = Ω + Ω = Ω
RRRR1234123412341234
Jakost struje koja teče otpornikom R4 (cijelim strujnim krugom) dobije se pomoću Ohmovog zakona
za strujni krug
6
6 181 36 5 5 5
12343 3
VU V
I A AR
= = = = =
Ω Ω
Vježba 167
Kolika je jakost struje koja teče otpornikom R4 u strujnom krugu prikazanom na slici ako su
otpori R1 = R2 = R3 = R4 = 1 Ω a priključeni su na napon 12 V
8
RRRR4444
RRRR3333RRRR2222
RRRR1111
Rezultat 72 A
Zadatak 168 (Marija gimnazija)
Odredite jakost struje u pojedinim vodičima povezanim u strujni krug prema shemi na slici
ako je UAD = 49 V R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω i R6 = 5 Ω
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Rješenje 168
UAD = 49 V R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω R6 = 5 Ω
I1 = I2 = I3 = I4 = I5 = I6 =
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni je otpor od 3 serijski spojena vodiča
2
1 3R R R R= + +
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1
1 2 3
R R R R Rn
= + + + +
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ukupni otpor R što ga pružaju 2 ili 3 vodiča spojena u paralelu možemo naći iz sljedećih izraza
1 1 1 1 1 1 1 1 2 31 2
1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3
R R RR R
R RR R R R R R R R R R R R R R R
sdot sdotsdot= + rArr = = + + rArr =
+ sdot + sdot + sdot
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I R pad naponaR
= rArr = sdot minus
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak je
Prolaskom struje kroz bilo koji otpornik ili vodič na otporniku ili vodiču nastaje pad napona
jednak umnošku jakosti struje i otpora među mjernim točkama
Kirchhoffov zakon
U svakom čvoru električne mreže zbroj električnih struja koje ulaze u čvor jednak je zbroju struja koje
izlaze iz čvora tj zbroj struja u svakom čvorištu strujnog kruga mora biti nula
Shemu otpornika postupno možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
9
IIII1111
IIIIIIII5555
IIII6666
IIII4444IIII
IIII3333
IIII2222
IIII1111
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Otpornici R1 i R2 usporedno su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom RAB = R12
3 61 2 2 12 3 6
1 2
R RR R
AB R R
sdot Ω sdot Ω= = = = Ω
+ Ω + Ω
RRRR3333
RRRR4444
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRRABABABAB
RRRR12121212
RRRRBCBCBCBC RRRR5555
RRRR6666
Otpornici R4 R5 i R6 usporedno su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
RCD = R456
5 10 554 6 2 456 5 10 5 5 10 5
5 54 4 6 6
R R RR R
CD R R R R R R
sdot sdot Ω sdot Ω sdot Ω= = = = Ω
sdot + sdot + sdot Ω sdot Ω + Ω sdot Ω + Ω sdot Ω
RRRR3333
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRRABABABAB
RRRR12121212
RRRRBCBCBCBCRRRRCDCDCDCD
RRRR456456456456
Otpornici RAB RBC i RCD serijski su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
RAD
2 3 2 7 R R R RAD AB BC CD
= + + = Ω + Ω + Ω = Ω
RRRR123456123456123456123456
AAAA DDDD
RRRRADADADAD
Našavši ukupni otpor RAD strujnog kruga pomoću Ohmovog zakona izračunamo jakost struje I u
krugu
497
7
UADI
RAD
Ω= = = Ω
Ω
Dakle ekvivalentni otpor između točaka
bull 1 2je 212
1 2
iR R
R RAB R R
A Bsdot
= = = Ω+
10
bull 3
i je 3R RBC
B C = = Ω
bull 54 6je 2 456
5 5 54 4 6
iR R R
R RCD R R R R R
C DR
sdot sdot= = = Ω
sdot + + sdot
Pad napona između točaka
bull ei j U I RAB A
AB
B = sdot
bull ei j U I RBC B
BC
C = sdot
bull ei j U I RCD D
C DC
= sdot
Sada računamo jakost struje u pojedinim vodičima povezanim u strujni krug prema shemi na slici
bull 7 2
467 1 3
111
U I RAB AB
I R AABU I AAB RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
233 2 6
222
U I RAB AB
I R AABU I AAB RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 3
7 3 3
333
U I RBC BC
I R ABCU I ABC RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
280 4 5
444
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
140 5 10
555
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
280 6 5
666
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
Vježba 168
Odredite jakost struje u strujnom krugu prema shemi na slici ako je UAD = 63 V
R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω i R6 = 5 Ω
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Rezultat 9 A
11
Zadatak 169 (Marija gimnazija)
U shemu prikazanu na slici uključena su dva mikroampermetra i dva jednaka voltmetra
Mikroampermetri pokazuju vrijednosti I1 = 100 microA i I2 = 99 microA Voltmetar V1 pokazuje U1 = 10 V
Koliki napon pokazuje voltmetar V2
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Rješenje 169
I1 = 100 microA = 10-4
A I2 = 99 microA = 99 middot 10-5
A U1 = 10 V U2 =
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U U
I R U I R pad naponaR I
= rArr = rArr = sdot minus
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Prolaskom struje kroz bilo koji otpornik ili vodič na otporniku ili vodiču nastaje pad napona
jednak umnošku jakosti struje i otpora među mjernim točkama
Kirchhoffov zakon
U svakom čvoru električne mreže zbroj električnih struja koje ulaze u čvor jednak je zbroju struja koje
izlaze iz čvora tj zbroj struja u svakom čvorištu strujnog kruga mora biti nula
RRRR2222
RRRR1111
IIII3333
IIII2222
IIII1111
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Otpor R1 voltmetra V1 iznosi
10 51 10 1 4
101
U VR
I A
= = = Ωminus
Budući da su voltmetri V1 i V2 jednaki imaju jednake otpore
2 1 510
5 210
1
R R
RR
=
rArr = Ω= Ω
Pomoću Kirchhoffova zakona izračuna se struja I3 koja prolazi voltmetrom V2
4 5 610 99 10 10
1 2 3 3 1 2I I I I I I A A A
minus minus minus= + rArr = minus = minus sdot =
Napon U2 koji pokazuje voltmetar V2 jednak je
6 5 110 10 10 01
2 3 2U I R A V V
minus minus= sdot = sdot Ω = =
12
Vježba 169
U shemu prikazanu na slici uključena su dva mikroampermetra i dva jednaka voltmetra
Mikroampermetri pokazuju vrijednosti I1 = 100 microA i I2 = 90 microA Voltmetar V1 pokazuje U1 = 10 V
Koliki napon pokazuje voltmetar V2
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Rezultat 1 V
Zadatak 170 (DJ gimnazija)
Bakrena žica duljine 1000 m ima otpor 1 Ω Kolika je masa žice Otpornost bakra je
17 middot 10-8
Ω middot m a gustoća 8900 kgm3
Rješenje 170
l = 1000 m R = 1 Ω ρ1 = 17 middot 10-8
Ω middot m ndash otpornost ρ2 = 8900 kgm3 ndash gustoća
m =
Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera mase tijela i njegova obujma
m
m VV
ρ ρ= rArr = sdot
Obujam valjka
Uspravni i kosi valjak ploštine osnovke (baze) S i visine v imaju jednake obujmove Taj obujam
iznosi
V S v= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Prvo odredimo poprečni presjek S žice
metoda 1
zamj2
2ne
22 2e
m Vm S l S l m S l
lm
V S l
ρρ ρ ρ
ρsdot
sdot
= sdotrArr rArr = sdot sdot rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
= sdot
2
mS
lρrArr =
sdot
Iz formule za električnu otpornost dobije se masa m žice
metoda
zamjene
211 2
1 1 1
2 2 2
l lRlS l
R R Rm m m mS
l l l
ρρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
= sdotsdot
rArr rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr=
sdot sdot sdot
( )2
1000 89002 2382 2 17 10 15130
1 1
1
kgm
l lmR m m kg
m
Rm R
ρ ρρ ρ
sdotsdot sdot minus
rArr = sdot rArr = sdot = sdot Ω sdot sdotsdot =Ω
13
Vježba 170
Bakrena žica duljine 2000 m ima otpor 1 Ω Kolika je masa žice Otpornost bakra je
17 middot 10-8 Ω middot m a gustoća 8900 kgm3
Rezultat 60520 kg
Zadatak 171 (Ana gimnazija)
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 2 4 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
3 6 12 21A A B A C A D A
Rješenje 171
R1 R2 R3 = 1 2 4 I3 = 3 A I =
Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama jednak je jakosti
struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1
1 2 3
1 2 3
I I IR R R
=
Iz omjera otpora
1 2 41 2 3
R R R =
vidi se da je
bull otpor R1 četiri puta manji od otpora R3
1 41 3
R R =
bull otpor R2 dva puta manji od otpora R3
2 42 3
R R =
Zato je
bull struja I1 četiri puta veća od struje I3
4 4 3 121 3
I I A A= sdot = sdot =
bull struja I2 dva puta veća od struje I3
2 2 3 6 2 3
I I A A= sdot = sdot =
Ukupna struja I koju pokazuje ampermetar iznosi
12 6 3 21 1 2 3
I I I I A A A A= + + = + + =
Odgovor je pod D
Vježba 171
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 3 6 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
12 15 21 27A A B A C A D A
14
Rezultat D
Zadatak 172 (Hana medicinska škola)
Otpornik otpora 100 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
5 10 50 500A V B V C V D V
Rješenje 172
R = 100 Ω I = 5 A U =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I RR
= rArr = sdot
I = 5 AI = 5 AI = 5 AI = 5 A
Graf prikazuje struju koja prolazi kroz otpornik u ovisnosti o vremenu i njezina maksimalna vrijednost
je I = 5 A Maksimalni napon na otporniku iznosi
5 100 500 U I R A V= sdot = sdot Ω =
Odgovor je pod D
Vježba 172
Otpornik otpora 10 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
15
5 10 50 500A V B V C V D V
Rezultat C
Zadatak 173 (Ivan tehnička škola)
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 210 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rješenje 173
U1 = 220 V P1 = 750 W U2 = 210 V R1 = R2 = R p =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Kako zapisati za koliko se posto veličina a2 smanjila u odnosu na istovrsnu veličinu a1
1 2100 100
1 1
a aa
p pa a
minus∆= sdot rArr = sdot
1inačica
22 2 21
1 1 2111
1001 22 2
12 2
2 100
2 22
1
UU U UP
PRR R Rp
UU UP P
RR
Pp
P
R
P=
= minus
rArr rArr rArr = sdot rArr
= =
minus= sdot
2 2 2 21 2 1 2 2 2
1 2100 100 1002 2 2
1 1 1
U U U U
U URp p p
U U U
R
R R
minus minus
minusrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
2 2 2 21 2 2 2100 100 1 1002 2 2 2
1 1 1
212
1 1
U U UU
U
Up p p
U U U U
rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr
2 221021 100 1 100 888220
1
U Vp p p
U VrArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr =
2inačica
Izračunamo otpor grijača
( )2 2 2 2
2201 1 1 6453 1 1 7
150
1
U U U V
P P RR R P W
R
Psdot= rArr = rArr = = = Ω
Kada napon padne na 210 V snaga će uz jednaki otpor grijača iznositi
( )2 2
2102 68340 2 6453
U VP W
R= = =
Ω
Računamo postotak smanjenja snage grijača
16
750 683401 2 100 100 888750
1
P P W Wp p p
P W
minus minus= sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 173
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 215 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rezultat 449
Zadatak 174 (Mario gimnazija)
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 10 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6
Ω middot m)
Rješenje 174
2 middot r1 = 256 mm =gt r1 = 128 mm = 00128 m 2 middot r2 = 234 mm =gt r2 = 117 mm =
= 00117 m l = 10 m ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m = 10-7 Ω middot m R =
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Površina kružnog vijenca
Neka su zadane dvije koncentrične kružnice polumjera r1 i r2 (r1 gt r2) tj kružnice s istim središtem
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen tim kružnicama i njegova površina računa se po formuli
( )2
2 21
S r r π= minus sdot
Otpor željezne cijevi iznosi
( )( )
2 21 2
2 21 2
S r rl
Rl
r rRS
π
ρ
πρ
= minus sdot
rArr = sdot =
minus sdot= sdot
( ) ( )( )107
10 0012 2 2
00128 00117
mm
m m π
minus= Ω sdot sdot = Ω
minus sdot
Vježba 174
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 20 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m)
Rezultat 0025 Ω
17
Zadatak 175 (Mario gimnazija)
Pad napona na krajevima 100 m dugog bakrenog vodiča iznosi 102 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19
C)
Rješenje 175
l = 100 m U = 102 V n = 84 middot 1022
cm-3
= 84 middot 1028
m-3
ρ = 17 middot 10-3
Ω middot mm2 m = 17 middot 10
-9 Ω middot m e = 1602 middot 10
-19 C v =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
gdje je U razlika potencijala (napon) na krajevima vodiča a R otpor vodiča Iz te formule izlazi da je
razlika potencijala (pad napona) U na dijelu strujnog kruga otpora R jednak
U I R= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Vodičem površine presjeka S u kojem ima n slobodnih elektrona po jedinici volumena naboja e i koji
se djelovanjem električnog polja gibaju brzinom v teče struja jakosti
I n e v S= sdot sdot sdot
Računamo brzinu elektrona
I n e v S
l l lR U n e v S U n e v U n e v l
S S
U I R
SS
ρ ρ ρ ρ
= sdot sdot sdot
= sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot rArr
= sdot
1
Un e v l U n e v l U
n ev
n e llρ
ρρρ sdot
sdot sdotrArr sdot sdot sdot sdot = rArr sdot sdot sdot sdot = rArr =
sdot sdot sdotsdot=
102 5446 10
128 19 984 10 1602 10 17 10 100
3
V m
sC m m
m
minus= = sdot
minus minussdot sdot sdot sdot sdot Ω sdot sdot
Vježba 175
Pad napona na krajevima 200 m dugog bakrenog vodiča iznosi 204 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19 C)
Rezultat 5
446 10 m
s
minussdot
Zadatak 176 (Tomer181 tehnička škola)
Električni izvor ima elektromotorni napon 12 V i unutarnji otpor 06 Ω Na izvor je priključen
otpornik 10 Ω Odrediti jakost struje i napon
Rješenje 176
ε = 12 V Ru = 06 Ω Rv = 10 Ω I = U =
Kad je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na pad
napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (U = I middot R) u vanjskom krugu
18
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( ) I R R I R I R I R Uu v u v u vε ε ε= sdot + rArr = sdot + sdot rArr = sdot +
Računamo struju u strujnom krugu
( ) ( ) ( )1
I R R I R R I R R Iu v u v uR
vR RuRv vu
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot + sdot= rArr =
++=
121132
06 10
VA= =
Ω + Ω
Tada je
bull pad napona na unutarnjem otporu izvora
1132 06 068U I R A Vu u= sdot = sdot Ω =
bull pad napona u vanjskom krugu
1132 10 1132U I R A Vv v= sdot = sdot Ω =
ili
12 068 1132 U U U U V V Vu v v uε ε+ = rArr = minus = minus =
Vježba 176
Električni izvor ima elektromotorni napon 24 V i unutarnji otpor 12 Ω Na izvor je priključen
otpornik 20 Ω Odrediti jakost struje
Rezultat 1132 V
Zadatak 177 (Jurica gimnazija)
U krug istosmjerne struje napona 120 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
Rješenje 177
U = 120 V RA = RB = RC = R UA = UB = UC =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
19
Jakost struje u vodiču razmjerna je naponu između dviju točaka vodiča
Pad napona U na nekom otporniku otpora R razmjeran je jakosti struje I i otporu
U I R= sdot
Pri paralelnom spajanju vodiča pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak
je
1 2 3
U U U U Un= = = = =
1 1 2 2 3 3
U I R I R I R I Rn n= sdot = sdot = sdot = = sdot
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni pad napona na serijskome spoju jednak je zbroju pojedinih padova napona
1 2 3
U U U U Un= + + + +
Vodiče možemo spajati u seriju i paralelno Pri serijskom spajanju vodiča kroz sve vodiče teče
struja iste jakosti Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama
jednak je jakosti struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1 1
1 2 31 2
3
I I I InR R R Rn
=
I2
I1
I
R
R
R
C
B
A
120 V
I
RR
2
AB C
120 V
I
3sdotsdotsdotsdotR
2
ABC
120 V
1inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
20
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Padovi napona na otpornicima AB i C su
2
RU I R U IAB AB AB
U I RC C U I R
C
= sdot = sdotrArr
= sdot= sdot
Iz kvocijenta napona UC i UAB dobije se
2 2 2
2 2
U U U UI RC C C C U UC ABRU U U U
AB AB AB A
I RU
ABI B
RI
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr = sdotsdot
sdot sdot
Budući da je zbroj padova napona u strujnome krugu jednak ukupnom naponu za strujni krug
prikazan na slici je
U U UAB C
+ =
pa vrijedi sustav jednadžbi
1202 1
metoda
zam20
2 2 jene
U U U U UAB C AB C
U UAB ABU U U U
C AB C AB
+ = + =rArr rArr rArr + sdot = rArr
= sdot = sdot
3 120 3 120 0 4 3U U U VAB AB AB
rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo UC
402 40 80
2
U VAB
U V VCU U
C AB
=rArr = sdot =
= sdot
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
2inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Pad napona UC ima vrijednost
80 8080 U I R U R U U V
C C C C CRR
R= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Pad napona UAB iznosi
120 80 40 U U U U U U V V VAB C AB C
+ = rArr = minus = minus =
21
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
3inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Za struje I1 i I2 vrijedi
1 11 1 1 1 2 1 21 21 280 80
801 2 1 2
1 21 2
I I I II II IR RR R
BAI I I I
I II I I R RR
= ===rArr rArr rArr rArr
+ = + =+ =+ =
80 80 80 40 402 2
2 2 2 2 2
2 1I I I I I I
R R R R RrArr + = rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr =
Računamo padove napona na otpornicima A B i C
40 40
401
40 4040
2
8080 80
U R UA ARU I R U V
A A A
U I R U R U U VB B B B BR
U VU I R
RR
RR
CC CU R U
C C RRR
= sdot = sdot= sdot =
= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
== sdot= sdot = sdot
Vježba 177
U krug istosmjerne struje napona 240 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
C
B
A
240 V
Rezultat UA = 80 V UB = 80 V UC = 160 V
22
Zadatak 178 (Mario tehnička škola)
Grijalica predviđena za napon U ima n spirala od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima otpor
R Koliku će snagu trošiti grijalica ako je svih n spirala spojeno paralelno
Rješenje 178
U n R1 = R2 = hellip = Rn = R P =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon na krajevima trošila R otpor trošila
U slučaju paralelnog spoja n jednakih otpornika ekvivalentni je otpor Re
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3
n RRe
R R R R R R R R R R R R ne n e e
= + + + + rArr = + + + + rArr = rArr =
Snaga koju troši grijalica iznosi
2 2
2 2 21
U UP
U n U URe P P P P nR R R RR
Re n nn
=sdot
rArr = rArr = rArr = rArr = sdot
=
Vježba 178
Grijalica predviđena za napon 220 V ima 2 spirale od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima
otpor 100 Ω Koliku će snagu trošiti grijalica ako su spirale spojene paralelno
Rezultat P = 968 W
Zadatak 179 (Tina gimnazija)
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 45
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 004 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rješenje 179
R = 100 Ω ε = 45 V I = 004 A r =
Kada je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na
pad napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (I middot Rv) u vanjskom krugu
23
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( )I R I R I R Ru v u vε ε= sdot + sdot rArr = sdot +
Iz uvjeta zadatka dobije
( ) ( ) ( )1
I R r I R r I R rI
r RI
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot rArr +sdot+ = = rArr
45100 125
004
Vr R
I A
εrArr = minus = minus Ω = Ω
Vježba 179
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 9
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 008 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rezultat r = 125 Ω
Zadatak 180 (Martin tehnička škola)
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 20 a otpor se pritom smanji za
5
Rješenje 180
U U1 = U ndash 20 middot U = U ndash 020 middot U = 080 middot U R R1 = R ndash 5 middot R = R ndash 005 middot R =
= 095 middot R P P1 =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Izrazit ćemo novu snagu uređaja P1 pomoću stare snage P
( )2 2 2 2 2 2
080 080 08011 1 1 1095 095 095
1
U U U UP P P P
R R R R
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = sdot rArr
sdot sdot
2080
06737 032631 1
2
1095P P P P P P P
UP
RrArr rArr = sdot rArr = sdot rArr= = minus sdot rArr
32633263 1 1
P P P P P PrArr = minus sdot rArr sdotminus=
24
Snaga će pasti za 3263
Vježba 180
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 10 a otpor se pritom smanji za
5
Rezultat Snaga će pasti za 1474
4
2
1 0 1 0
S aC C
d dε ε= sdot rArr = sdot
Pritom je promjena kapaciteta kondenzatora jednaka
( )2 2 2
1 2 1 0 0 0
a a aC C C C Cr r
d d dε ε ε ε ε∆ = minus rArr ∆ = sdot sdot minus sdot rArr ∆ = sdot sdot minus
a kroz električni krug je potekao naboj
( )2
1 0
aQ U C Q U r
dε ε= sdot ∆ rArr = sdot sdot sdot minus
Zbog toga je jakost struje u krugu
( ) ( ) ( )2
1 10
1
2
10 0
a a aU U Ur r rQ d d dI I I I
at
v v
a
v
ε ε ε ε ε εsdot sdot sdot minus sdot sdot sdot minus sdot sdot sdot minus
= rArr = rArr = rArr = rArr
( ) ( )12
750 8854 10 021 008 7 121 70 335 10
0002
C mV m
U a v sr N mI Ad m
ε εminus
sdot sdot sdot sdot sdot minussdot sdot sdot sdot minus minussdotrArr = = = sdot
Vježba 164
Pločasti kondenzator s pločama u obliku kvadrata stranice 21 dm i razmakom ploča 02 cm
priključen je na izvor napona 750 V Između ploča nalazi se staklena ploča debljine 02 cm Kolika će
biti jakost struje koja poteče krugom kad staklenu ploču izvlačimo iz prostora između ploča
kondenzatora stalnom brzinom 08 dms Relativna dielektričnost stakla je 7 (dielektričnost praznine
ε0 = 8854 10-12
C2 (N m
2))
Rezultat 7
335 10 Aminus
sdot
Zadatak 165 (Maturant2014 tehnička škola)
Na izvor struje usporedno (paralelno) je spojeno 9 jednakih otpornika Struja koja prolazi kroz
izvor ima jakost 72 A dok je napon na krajevima izvora 72 V Koliki je otpor svakog pojedinog
otpornika
Rješenje 165
R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = R7 = R8 = R9 = R I = 72 A U = 72 V R =
Ukupni otpor što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1
1 2 3
R R R R Ru n
= + + + +
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I RR
= rArr = sdot
Ukupni otpor Ru što ga pruža 9 jednakih otpornika spojenih u paralelu iznosi
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 R Ru
R R R R R R R R R R R Ru u
= + + + + + + + + rArr = rArr sdot = rArr
99 9
RR R Ru urArr sdot = rArr =
Uporabom Ohmovog zakona izračunamo otpor R jednog otpornika
5
9 9 7290
9 9 729
9
U I RuR R U V
U I U I RRI ARu I
= sdotsdot sdot
rArr = sdot rArr = sdot = = Ωsdot rArr ==
IIII
UUUU RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR
Vježba 165
Na izvor struje usporedno (paralelno) je spojeno 9 jednakih otpornika Struja koja prolazi kroz
izvor ima jakost 64 A dok je napon na krajevima izvora 64 V Koliki je otpor svakog pojedinog
otpornika
Rezultat 90 Ω
Zadatak 166 (Ivan tehnička škola)
Električni vlak mase 200 t vozi brzinom 72 kmh Otpori vuče (trenje otpor zraka) iznose
06 težine a napon 25 kV Odredi jakost struje (ubrzanje slobodnog pada g = 981 ms2)
Rješenje 166
m = 200 t = 2 middot 105 kg v = 72 kmh = [72 36] = 20 ms p = 06 = 0006
U = 25 kV = 25 middot 104 V g = 981 ms2 I =
Ako na tijelo ne djeluje nikakva sila ili je rezultanta svih sila jednaka nuli tijelo miruje ili se giba
jednoliko po pravcu Zato kažemo da je tijelo tromo
Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo težnom silom (silom težom) Pod djelovanjem težne
sile sva tijela padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu
Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada Prema drugom
Newtonovom poučku
G m g= sdot
gdje je G težna sila m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome
mjestu na Zemlji jednaka
Kako izračunati p od x
100
pxsdot
Za trenutačnu snagu možemo pisati
P F v= sdot
pri čemu je v trenutačna brzina
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
P
P U I IU
= sdot rArr =
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila I struja
Prvi Newtonov poučak
Ako na tijelo ne djeluje nikakva sila ili je rezultanta svih sila jednaka nuli tijelo miruje ili se giba
jednoliko po pravcu Zato kažemo da je tijelo tromo
Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek
počinje gibati Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja
Budući da otpor vuče iznosi p posto težine prema prvom Newtonovom poučku vučna sila F mora po
iznosu biti jednaka otporu vuče
F p G F p m g= sdot rArr = sdot sdot
Potrebna snaga je
6
P F vP p m g v
F p m g
= sdotrArr = sdot sdot sdot
= sdot sdot
pa struja iznosi
50006 2 10 981 20
2942
425 10
m mkgP
I sp m g v sI AUU VP p m g v
sdot sdot sdot sdot= sdot sdot sdot
rArr = = =
sdot= sdot sdot sdot
Vježba 166
Električni vlak mase 400 t vozi brzinom 72 kmh Otpori vuče (trenje otpor zraka) iznose
06 težine a napon 50 kV Odredi jakost struje (ubrzanje slobodnog pada g = 981 ms2)
Rezultat 942 A
Zadatak 167 (Marija gimnazija)
Kolika je jakost struje koja teče otpornikom R4 u strujnom krugu prikazanom na slici ako su
otpori R1 = R2 = R3 = R4 = 1 Ω a priključeni su na napon 6 V
RRRR4444
RRRR3333RRRR2222
RRRR1111
Rješenje 167
R1 = R2 = R3 = R4 = 1 Ω U = 6 V I =
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni je otpor od 2 serijski spojena vodiča
1 2R R R= +
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1
1 2 3
R R R R Rn
= + + + +
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ukupni otpor R što ga pružaju 2 vodiča spojena u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 2
1 1 2
2
R RR
R R R R R
sdot= + rArr =
+
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Shemu otpornika postupno možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
7
RRRR4444
RRRR3333RRRR2222
RRRR1111
Otpornici R1 i R2 serijski su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom R12
1 1 2 12 1 2
R R R= + = Ω + Ω = Ω
RRRR4444
RRRR3333RRRR12121212
Otpornici R12 i R3 usporedno su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom R123
1 1 1 2 1 212 3 123 2 1 3
123 12 3 12 3
R RR
R R R R R
sdot Ω sdot Ω= + rArr = = = Ω
+ Ω + Ω
RRRR4444RRRR123123123123
Otpornici R4 i R123 serijski su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom R1234
2 51
1234 4 123 3 3R R R= + = Ω + Ω = Ω
RRRR1234123412341234
Jakost struje koja teče otpornikom R4 (cijelim strujnim krugom) dobije se pomoću Ohmovog zakona
za strujni krug
6
6 181 36 5 5 5
12343 3
VU V
I A AR
= = = = =
Ω Ω
Vježba 167
Kolika je jakost struje koja teče otpornikom R4 u strujnom krugu prikazanom na slici ako su
otpori R1 = R2 = R3 = R4 = 1 Ω a priključeni su na napon 12 V
8
RRRR4444
RRRR3333RRRR2222
RRRR1111
Rezultat 72 A
Zadatak 168 (Marija gimnazija)
Odredite jakost struje u pojedinim vodičima povezanim u strujni krug prema shemi na slici
ako je UAD = 49 V R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω i R6 = 5 Ω
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Rješenje 168
UAD = 49 V R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω R6 = 5 Ω
I1 = I2 = I3 = I4 = I5 = I6 =
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni je otpor od 3 serijski spojena vodiča
2
1 3R R R R= + +
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1
1 2 3
R R R R Rn
= + + + +
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ukupni otpor R što ga pružaju 2 ili 3 vodiča spojena u paralelu možemo naći iz sljedećih izraza
1 1 1 1 1 1 1 1 2 31 2
1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3
R R RR R
R RR R R R R R R R R R R R R R R
sdot sdotsdot= + rArr = = + + rArr =
+ sdot + sdot + sdot
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I R pad naponaR
= rArr = sdot minus
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak je
Prolaskom struje kroz bilo koji otpornik ili vodič na otporniku ili vodiču nastaje pad napona
jednak umnošku jakosti struje i otpora među mjernim točkama
Kirchhoffov zakon
U svakom čvoru električne mreže zbroj električnih struja koje ulaze u čvor jednak je zbroju struja koje
izlaze iz čvora tj zbroj struja u svakom čvorištu strujnog kruga mora biti nula
Shemu otpornika postupno možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
9
IIII1111
IIIIIIII5555
IIII6666
IIII4444IIII
IIII3333
IIII2222
IIII1111
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Otpornici R1 i R2 usporedno su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom RAB = R12
3 61 2 2 12 3 6
1 2
R RR R
AB R R
sdot Ω sdot Ω= = = = Ω
+ Ω + Ω
RRRR3333
RRRR4444
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRRABABABAB
RRRR12121212
RRRRBCBCBCBC RRRR5555
RRRR6666
Otpornici R4 R5 i R6 usporedno su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
RCD = R456
5 10 554 6 2 456 5 10 5 5 10 5
5 54 4 6 6
R R RR R
CD R R R R R R
sdot sdot Ω sdot Ω sdot Ω= = = = Ω
sdot + sdot + sdot Ω sdot Ω + Ω sdot Ω + Ω sdot Ω
RRRR3333
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRRABABABAB
RRRR12121212
RRRRBCBCBCBCRRRRCDCDCDCD
RRRR456456456456
Otpornici RAB RBC i RCD serijski su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
RAD
2 3 2 7 R R R RAD AB BC CD
= + + = Ω + Ω + Ω = Ω
RRRR123456123456123456123456
AAAA DDDD
RRRRADADADAD
Našavši ukupni otpor RAD strujnog kruga pomoću Ohmovog zakona izračunamo jakost struje I u
krugu
497
7
UADI
RAD
Ω= = = Ω
Ω
Dakle ekvivalentni otpor između točaka
bull 1 2je 212
1 2
iR R
R RAB R R
A Bsdot
= = = Ω+
10
bull 3
i je 3R RBC
B C = = Ω
bull 54 6je 2 456
5 5 54 4 6
iR R R
R RCD R R R R R
C DR
sdot sdot= = = Ω
sdot + + sdot
Pad napona između točaka
bull ei j U I RAB A
AB
B = sdot
bull ei j U I RBC B
BC
C = sdot
bull ei j U I RCD D
C DC
= sdot
Sada računamo jakost struje u pojedinim vodičima povezanim u strujni krug prema shemi na slici
bull 7 2
467 1 3
111
U I RAB AB
I R AABU I AAB RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
233 2 6
222
U I RAB AB
I R AABU I AAB RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 3
7 3 3
333
U I RBC BC
I R ABCU I ABC RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
280 4 5
444
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
140 5 10
555
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
280 6 5
666
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
Vježba 168
Odredite jakost struje u strujnom krugu prema shemi na slici ako je UAD = 63 V
R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω i R6 = 5 Ω
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Rezultat 9 A
11
Zadatak 169 (Marija gimnazija)
U shemu prikazanu na slici uključena su dva mikroampermetra i dva jednaka voltmetra
Mikroampermetri pokazuju vrijednosti I1 = 100 microA i I2 = 99 microA Voltmetar V1 pokazuje U1 = 10 V
Koliki napon pokazuje voltmetar V2
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Rješenje 169
I1 = 100 microA = 10-4
A I2 = 99 microA = 99 middot 10-5
A U1 = 10 V U2 =
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U U
I R U I R pad naponaR I
= rArr = rArr = sdot minus
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Prolaskom struje kroz bilo koji otpornik ili vodič na otporniku ili vodiču nastaje pad napona
jednak umnošku jakosti struje i otpora među mjernim točkama
Kirchhoffov zakon
U svakom čvoru električne mreže zbroj električnih struja koje ulaze u čvor jednak je zbroju struja koje
izlaze iz čvora tj zbroj struja u svakom čvorištu strujnog kruga mora biti nula
RRRR2222
RRRR1111
IIII3333
IIII2222
IIII1111
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Otpor R1 voltmetra V1 iznosi
10 51 10 1 4
101
U VR
I A
= = = Ωminus
Budući da su voltmetri V1 i V2 jednaki imaju jednake otpore
2 1 510
5 210
1
R R
RR
=
rArr = Ω= Ω
Pomoću Kirchhoffova zakona izračuna se struja I3 koja prolazi voltmetrom V2
4 5 610 99 10 10
1 2 3 3 1 2I I I I I I A A A
minus minus minus= + rArr = minus = minus sdot =
Napon U2 koji pokazuje voltmetar V2 jednak je
6 5 110 10 10 01
2 3 2U I R A V V
minus minus= sdot = sdot Ω = =
12
Vježba 169
U shemu prikazanu na slici uključena su dva mikroampermetra i dva jednaka voltmetra
Mikroampermetri pokazuju vrijednosti I1 = 100 microA i I2 = 90 microA Voltmetar V1 pokazuje U1 = 10 V
Koliki napon pokazuje voltmetar V2
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Rezultat 1 V
Zadatak 170 (DJ gimnazija)
Bakrena žica duljine 1000 m ima otpor 1 Ω Kolika je masa žice Otpornost bakra je
17 middot 10-8
Ω middot m a gustoća 8900 kgm3
Rješenje 170
l = 1000 m R = 1 Ω ρ1 = 17 middot 10-8
Ω middot m ndash otpornost ρ2 = 8900 kgm3 ndash gustoća
m =
Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera mase tijela i njegova obujma
m
m VV
ρ ρ= rArr = sdot
Obujam valjka
Uspravni i kosi valjak ploštine osnovke (baze) S i visine v imaju jednake obujmove Taj obujam
iznosi
V S v= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Prvo odredimo poprečni presjek S žice
metoda 1
zamj2
2ne
22 2e
m Vm S l S l m S l
lm
V S l
ρρ ρ ρ
ρsdot
sdot
= sdotrArr rArr = sdot sdot rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
= sdot
2
mS
lρrArr =
sdot
Iz formule za električnu otpornost dobije se masa m žice
metoda
zamjene
211 2
1 1 1
2 2 2
l lRlS l
R R Rm m m mS
l l l
ρρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
= sdotsdot
rArr rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr=
sdot sdot sdot
( )2
1000 89002 2382 2 17 10 15130
1 1
1
kgm
l lmR m m kg
m
Rm R
ρ ρρ ρ
sdotsdot sdot minus
rArr = sdot rArr = sdot = sdot Ω sdot sdotsdot =Ω
13
Vježba 170
Bakrena žica duljine 2000 m ima otpor 1 Ω Kolika je masa žice Otpornost bakra je
17 middot 10-8 Ω middot m a gustoća 8900 kgm3
Rezultat 60520 kg
Zadatak 171 (Ana gimnazija)
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 2 4 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
3 6 12 21A A B A C A D A
Rješenje 171
R1 R2 R3 = 1 2 4 I3 = 3 A I =
Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama jednak je jakosti
struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1
1 2 3
1 2 3
I I IR R R
=
Iz omjera otpora
1 2 41 2 3
R R R =
vidi se da je
bull otpor R1 četiri puta manji od otpora R3
1 41 3
R R =
bull otpor R2 dva puta manji od otpora R3
2 42 3
R R =
Zato je
bull struja I1 četiri puta veća od struje I3
4 4 3 121 3
I I A A= sdot = sdot =
bull struja I2 dva puta veća od struje I3
2 2 3 6 2 3
I I A A= sdot = sdot =
Ukupna struja I koju pokazuje ampermetar iznosi
12 6 3 21 1 2 3
I I I I A A A A= + + = + + =
Odgovor je pod D
Vježba 171
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 3 6 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
12 15 21 27A A B A C A D A
14
Rezultat D
Zadatak 172 (Hana medicinska škola)
Otpornik otpora 100 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
5 10 50 500A V B V C V D V
Rješenje 172
R = 100 Ω I = 5 A U =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I RR
= rArr = sdot
I = 5 AI = 5 AI = 5 AI = 5 A
Graf prikazuje struju koja prolazi kroz otpornik u ovisnosti o vremenu i njezina maksimalna vrijednost
je I = 5 A Maksimalni napon na otporniku iznosi
5 100 500 U I R A V= sdot = sdot Ω =
Odgovor je pod D
Vježba 172
Otpornik otpora 10 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
15
5 10 50 500A V B V C V D V
Rezultat C
Zadatak 173 (Ivan tehnička škola)
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 210 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rješenje 173
U1 = 220 V P1 = 750 W U2 = 210 V R1 = R2 = R p =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Kako zapisati za koliko se posto veličina a2 smanjila u odnosu na istovrsnu veličinu a1
1 2100 100
1 1
a aa
p pa a
minus∆= sdot rArr = sdot
1inačica
22 2 21
1 1 2111
1001 22 2
12 2
2 100
2 22
1
UU U UP
PRR R Rp
UU UP P
RR
Pp
P
R
P=
= minus
rArr rArr rArr = sdot rArr
= =
minus= sdot
2 2 2 21 2 1 2 2 2
1 2100 100 1002 2 2
1 1 1
U U U U
U URp p p
U U U
R
R R
minus minus
minusrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
2 2 2 21 2 2 2100 100 1 1002 2 2 2
1 1 1
212
1 1
U U UU
U
Up p p
U U U U
rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr
2 221021 100 1 100 888220
1
U Vp p p
U VrArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr =
2inačica
Izračunamo otpor grijača
( )2 2 2 2
2201 1 1 6453 1 1 7
150
1
U U U V
P P RR R P W
R
Psdot= rArr = rArr = = = Ω
Kada napon padne na 210 V snaga će uz jednaki otpor grijača iznositi
( )2 2
2102 68340 2 6453
U VP W
R= = =
Ω
Računamo postotak smanjenja snage grijača
16
750 683401 2 100 100 888750
1
P P W Wp p p
P W
minus minus= sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 173
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 215 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rezultat 449
Zadatak 174 (Mario gimnazija)
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 10 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6
Ω middot m)
Rješenje 174
2 middot r1 = 256 mm =gt r1 = 128 mm = 00128 m 2 middot r2 = 234 mm =gt r2 = 117 mm =
= 00117 m l = 10 m ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m = 10-7 Ω middot m R =
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Površina kružnog vijenca
Neka su zadane dvije koncentrične kružnice polumjera r1 i r2 (r1 gt r2) tj kružnice s istim središtem
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen tim kružnicama i njegova površina računa se po formuli
( )2
2 21
S r r π= minus sdot
Otpor željezne cijevi iznosi
( )( )
2 21 2
2 21 2
S r rl
Rl
r rRS
π
ρ
πρ
= minus sdot
rArr = sdot =
minus sdot= sdot
( ) ( )( )107
10 0012 2 2
00128 00117
mm
m m π
minus= Ω sdot sdot = Ω
minus sdot
Vježba 174
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 20 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m)
Rezultat 0025 Ω
17
Zadatak 175 (Mario gimnazija)
Pad napona na krajevima 100 m dugog bakrenog vodiča iznosi 102 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19
C)
Rješenje 175
l = 100 m U = 102 V n = 84 middot 1022
cm-3
= 84 middot 1028
m-3
ρ = 17 middot 10-3
Ω middot mm2 m = 17 middot 10
-9 Ω middot m e = 1602 middot 10
-19 C v =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
gdje je U razlika potencijala (napon) na krajevima vodiča a R otpor vodiča Iz te formule izlazi da je
razlika potencijala (pad napona) U na dijelu strujnog kruga otpora R jednak
U I R= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Vodičem površine presjeka S u kojem ima n slobodnih elektrona po jedinici volumena naboja e i koji
se djelovanjem električnog polja gibaju brzinom v teče struja jakosti
I n e v S= sdot sdot sdot
Računamo brzinu elektrona
I n e v S
l l lR U n e v S U n e v U n e v l
S S
U I R
SS
ρ ρ ρ ρ
= sdot sdot sdot
= sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot rArr
= sdot
1
Un e v l U n e v l U
n ev
n e llρ
ρρρ sdot
sdot sdotrArr sdot sdot sdot sdot = rArr sdot sdot sdot sdot = rArr =
sdot sdot sdotsdot=
102 5446 10
128 19 984 10 1602 10 17 10 100
3
V m
sC m m
m
minus= = sdot
minus minussdot sdot sdot sdot sdot Ω sdot sdot
Vježba 175
Pad napona na krajevima 200 m dugog bakrenog vodiča iznosi 204 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19 C)
Rezultat 5
446 10 m
s
minussdot
Zadatak 176 (Tomer181 tehnička škola)
Električni izvor ima elektromotorni napon 12 V i unutarnji otpor 06 Ω Na izvor je priključen
otpornik 10 Ω Odrediti jakost struje i napon
Rješenje 176
ε = 12 V Ru = 06 Ω Rv = 10 Ω I = U =
Kad je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na pad
napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (U = I middot R) u vanjskom krugu
18
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( ) I R R I R I R I R Uu v u v u vε ε ε= sdot + rArr = sdot + sdot rArr = sdot +
Računamo struju u strujnom krugu
( ) ( ) ( )1
I R R I R R I R R Iu v u v uR
vR RuRv vu
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot + sdot= rArr =
++=
121132
06 10
VA= =
Ω + Ω
Tada je
bull pad napona na unutarnjem otporu izvora
1132 06 068U I R A Vu u= sdot = sdot Ω =
bull pad napona u vanjskom krugu
1132 10 1132U I R A Vv v= sdot = sdot Ω =
ili
12 068 1132 U U U U V V Vu v v uε ε+ = rArr = minus = minus =
Vježba 176
Električni izvor ima elektromotorni napon 24 V i unutarnji otpor 12 Ω Na izvor je priključen
otpornik 20 Ω Odrediti jakost struje
Rezultat 1132 V
Zadatak 177 (Jurica gimnazija)
U krug istosmjerne struje napona 120 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
Rješenje 177
U = 120 V RA = RB = RC = R UA = UB = UC =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
19
Jakost struje u vodiču razmjerna je naponu između dviju točaka vodiča
Pad napona U na nekom otporniku otpora R razmjeran je jakosti struje I i otporu
U I R= sdot
Pri paralelnom spajanju vodiča pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak
je
1 2 3
U U U U Un= = = = =
1 1 2 2 3 3
U I R I R I R I Rn n= sdot = sdot = sdot = = sdot
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni pad napona na serijskome spoju jednak je zbroju pojedinih padova napona
1 2 3
U U U U Un= + + + +
Vodiče možemo spajati u seriju i paralelno Pri serijskom spajanju vodiča kroz sve vodiče teče
struja iste jakosti Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama
jednak je jakosti struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1 1
1 2 31 2
3
I I I InR R R Rn
=
I2
I1
I
R
R
R
C
B
A
120 V
I
RR
2
AB C
120 V
I
3sdotsdotsdotsdotR
2
ABC
120 V
1inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
20
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Padovi napona na otpornicima AB i C su
2
RU I R U IAB AB AB
U I RC C U I R
C
= sdot = sdotrArr
= sdot= sdot
Iz kvocijenta napona UC i UAB dobije se
2 2 2
2 2
U U U UI RC C C C U UC ABRU U U U
AB AB AB A
I RU
ABI B
RI
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr = sdotsdot
sdot sdot
Budući da je zbroj padova napona u strujnome krugu jednak ukupnom naponu za strujni krug
prikazan na slici je
U U UAB C
+ =
pa vrijedi sustav jednadžbi
1202 1
metoda
zam20
2 2 jene
U U U U UAB C AB C
U UAB ABU U U U
C AB C AB
+ = + =rArr rArr rArr + sdot = rArr
= sdot = sdot
3 120 3 120 0 4 3U U U VAB AB AB
rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo UC
402 40 80
2
U VAB
U V VCU U
C AB
=rArr = sdot =
= sdot
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
2inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Pad napona UC ima vrijednost
80 8080 U I R U R U U V
C C C C CRR
R= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Pad napona UAB iznosi
120 80 40 U U U U U U V V VAB C AB C
+ = rArr = minus = minus =
21
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
3inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Za struje I1 i I2 vrijedi
1 11 1 1 1 2 1 21 21 280 80
801 2 1 2
1 21 2
I I I II II IR RR R
BAI I I I
I II I I R RR
= ===rArr rArr rArr rArr
+ = + =+ =+ =
80 80 80 40 402 2
2 2 2 2 2
2 1I I I I I I
R R R R RrArr + = rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr =
Računamo padove napona na otpornicima A B i C
40 40
401
40 4040
2
8080 80
U R UA ARU I R U V
A A A
U I R U R U U VB B B B BR
U VU I R
RR
RR
CC CU R U
C C RRR
= sdot = sdot= sdot =
= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
== sdot= sdot = sdot
Vježba 177
U krug istosmjerne struje napona 240 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
C
B
A
240 V
Rezultat UA = 80 V UB = 80 V UC = 160 V
22
Zadatak 178 (Mario tehnička škola)
Grijalica predviđena za napon U ima n spirala od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima otpor
R Koliku će snagu trošiti grijalica ako je svih n spirala spojeno paralelno
Rješenje 178
U n R1 = R2 = hellip = Rn = R P =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon na krajevima trošila R otpor trošila
U slučaju paralelnog spoja n jednakih otpornika ekvivalentni je otpor Re
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3
n RRe
R R R R R R R R R R R R ne n e e
= + + + + rArr = + + + + rArr = rArr =
Snaga koju troši grijalica iznosi
2 2
2 2 21
U UP
U n U URe P P P P nR R R RR
Re n nn
=sdot
rArr = rArr = rArr = rArr = sdot
=
Vježba 178
Grijalica predviđena za napon 220 V ima 2 spirale od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima
otpor 100 Ω Koliku će snagu trošiti grijalica ako su spirale spojene paralelno
Rezultat P = 968 W
Zadatak 179 (Tina gimnazija)
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 45
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 004 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rješenje 179
R = 100 Ω ε = 45 V I = 004 A r =
Kada je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na
pad napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (I middot Rv) u vanjskom krugu
23
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( )I R I R I R Ru v u vε ε= sdot + sdot rArr = sdot +
Iz uvjeta zadatka dobije
( ) ( ) ( )1
I R r I R r I R rI
r RI
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot rArr +sdot+ = = rArr
45100 125
004
Vr R
I A
εrArr = minus = minus Ω = Ω
Vježba 179
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 9
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 008 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rezultat r = 125 Ω
Zadatak 180 (Martin tehnička škola)
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 20 a otpor se pritom smanji za
5
Rješenje 180
U U1 = U ndash 20 middot U = U ndash 020 middot U = 080 middot U R R1 = R ndash 5 middot R = R ndash 005 middot R =
= 095 middot R P P1 =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Izrazit ćemo novu snagu uređaja P1 pomoću stare snage P
( )2 2 2 2 2 2
080 080 08011 1 1 1095 095 095
1
U U U UP P P P
R R R R
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = sdot rArr
sdot sdot
2080
06737 032631 1
2
1095P P P P P P P
UP
RrArr rArr = sdot rArr = sdot rArr= = minus sdot rArr
32633263 1 1
P P P P P PrArr = minus sdot rArr sdotminus=
24
Snaga će pasti za 3263
Vježba 180
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 10 a otpor se pritom smanji za
5
Rezultat Snaga će pasti za 1474
5
9 9 7290
9 9 729
9
U I RuR R U V
U I U I RRI ARu I
= sdotsdot sdot
rArr = sdot rArr = sdot = = Ωsdot rArr ==
IIII
UUUU RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR RRRR
Vježba 165
Na izvor struje usporedno (paralelno) je spojeno 9 jednakih otpornika Struja koja prolazi kroz
izvor ima jakost 64 A dok je napon na krajevima izvora 64 V Koliki je otpor svakog pojedinog
otpornika
Rezultat 90 Ω
Zadatak 166 (Ivan tehnička škola)
Električni vlak mase 200 t vozi brzinom 72 kmh Otpori vuče (trenje otpor zraka) iznose
06 težine a napon 25 kV Odredi jakost struje (ubrzanje slobodnog pada g = 981 ms2)
Rješenje 166
m = 200 t = 2 middot 105 kg v = 72 kmh = [72 36] = 20 ms p = 06 = 0006
U = 25 kV = 25 middot 104 V g = 981 ms2 I =
Ako na tijelo ne djeluje nikakva sila ili je rezultanta svih sila jednaka nuli tijelo miruje ili se giba
jednoliko po pravcu Zato kažemo da je tijelo tromo
Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo težnom silom (silom težom) Pod djelovanjem težne
sile sva tijela padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu
Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada Prema drugom
Newtonovom poučku
G m g= sdot
gdje je G težna sila m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome
mjestu na Zemlji jednaka
Kako izračunati p od x
100
pxsdot
Za trenutačnu snagu možemo pisati
P F v= sdot
pri čemu je v trenutačna brzina
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
P
P U I IU
= sdot rArr =
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila I struja
Prvi Newtonov poučak
Ako na tijelo ne djeluje nikakva sila ili je rezultanta svih sila jednaka nuli tijelo miruje ili se giba
jednoliko po pravcu Zato kažemo da je tijelo tromo
Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek
počinje gibati Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja
Budući da otpor vuče iznosi p posto težine prema prvom Newtonovom poučku vučna sila F mora po
iznosu biti jednaka otporu vuče
F p G F p m g= sdot rArr = sdot sdot
Potrebna snaga je
6
P F vP p m g v
F p m g
= sdotrArr = sdot sdot sdot
= sdot sdot
pa struja iznosi
50006 2 10 981 20
2942
425 10
m mkgP
I sp m g v sI AUU VP p m g v
sdot sdot sdot sdot= sdot sdot sdot
rArr = = =
sdot= sdot sdot sdot
Vježba 166
Električni vlak mase 400 t vozi brzinom 72 kmh Otpori vuče (trenje otpor zraka) iznose
06 težine a napon 50 kV Odredi jakost struje (ubrzanje slobodnog pada g = 981 ms2)
Rezultat 942 A
Zadatak 167 (Marija gimnazija)
Kolika je jakost struje koja teče otpornikom R4 u strujnom krugu prikazanom na slici ako su
otpori R1 = R2 = R3 = R4 = 1 Ω a priključeni su na napon 6 V
RRRR4444
RRRR3333RRRR2222
RRRR1111
Rješenje 167
R1 = R2 = R3 = R4 = 1 Ω U = 6 V I =
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni je otpor od 2 serijski spojena vodiča
1 2R R R= +
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1
1 2 3
R R R R Rn
= + + + +
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ukupni otpor R što ga pružaju 2 vodiča spojena u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 2
1 1 2
2
R RR
R R R R R
sdot= + rArr =
+
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Shemu otpornika postupno možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
7
RRRR4444
RRRR3333RRRR2222
RRRR1111
Otpornici R1 i R2 serijski su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom R12
1 1 2 12 1 2
R R R= + = Ω + Ω = Ω
RRRR4444
RRRR3333RRRR12121212
Otpornici R12 i R3 usporedno su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom R123
1 1 1 2 1 212 3 123 2 1 3
123 12 3 12 3
R RR
R R R R R
sdot Ω sdot Ω= + rArr = = = Ω
+ Ω + Ω
RRRR4444RRRR123123123123
Otpornici R4 i R123 serijski su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom R1234
2 51
1234 4 123 3 3R R R= + = Ω + Ω = Ω
RRRR1234123412341234
Jakost struje koja teče otpornikom R4 (cijelim strujnim krugom) dobije se pomoću Ohmovog zakona
za strujni krug
6
6 181 36 5 5 5
12343 3
VU V
I A AR
= = = = =
Ω Ω
Vježba 167
Kolika je jakost struje koja teče otpornikom R4 u strujnom krugu prikazanom na slici ako su
otpori R1 = R2 = R3 = R4 = 1 Ω a priključeni su na napon 12 V
8
RRRR4444
RRRR3333RRRR2222
RRRR1111
Rezultat 72 A
Zadatak 168 (Marija gimnazija)
Odredite jakost struje u pojedinim vodičima povezanim u strujni krug prema shemi na slici
ako je UAD = 49 V R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω i R6 = 5 Ω
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Rješenje 168
UAD = 49 V R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω R6 = 5 Ω
I1 = I2 = I3 = I4 = I5 = I6 =
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni je otpor od 3 serijski spojena vodiča
2
1 3R R R R= + +
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1
1 2 3
R R R R Rn
= + + + +
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ukupni otpor R što ga pružaju 2 ili 3 vodiča spojena u paralelu možemo naći iz sljedećih izraza
1 1 1 1 1 1 1 1 2 31 2
1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3
R R RR R
R RR R R R R R R R R R R R R R R
sdot sdotsdot= + rArr = = + + rArr =
+ sdot + sdot + sdot
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I R pad naponaR
= rArr = sdot minus
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak je
Prolaskom struje kroz bilo koji otpornik ili vodič na otporniku ili vodiču nastaje pad napona
jednak umnošku jakosti struje i otpora među mjernim točkama
Kirchhoffov zakon
U svakom čvoru električne mreže zbroj električnih struja koje ulaze u čvor jednak je zbroju struja koje
izlaze iz čvora tj zbroj struja u svakom čvorištu strujnog kruga mora biti nula
Shemu otpornika postupno možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
9
IIII1111
IIIIIIII5555
IIII6666
IIII4444IIII
IIII3333
IIII2222
IIII1111
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Otpornici R1 i R2 usporedno su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom RAB = R12
3 61 2 2 12 3 6
1 2
R RR R
AB R R
sdot Ω sdot Ω= = = = Ω
+ Ω + Ω
RRRR3333
RRRR4444
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRRABABABAB
RRRR12121212
RRRRBCBCBCBC RRRR5555
RRRR6666
Otpornici R4 R5 i R6 usporedno su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
RCD = R456
5 10 554 6 2 456 5 10 5 5 10 5
5 54 4 6 6
R R RR R
CD R R R R R R
sdot sdot Ω sdot Ω sdot Ω= = = = Ω
sdot + sdot + sdot Ω sdot Ω + Ω sdot Ω + Ω sdot Ω
RRRR3333
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRRABABABAB
RRRR12121212
RRRRBCBCBCBCRRRRCDCDCDCD
RRRR456456456456
Otpornici RAB RBC i RCD serijski su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
RAD
2 3 2 7 R R R RAD AB BC CD
= + + = Ω + Ω + Ω = Ω
RRRR123456123456123456123456
AAAA DDDD
RRRRADADADAD
Našavši ukupni otpor RAD strujnog kruga pomoću Ohmovog zakona izračunamo jakost struje I u
krugu
497
7
UADI
RAD
Ω= = = Ω
Ω
Dakle ekvivalentni otpor između točaka
bull 1 2je 212
1 2
iR R
R RAB R R
A Bsdot
= = = Ω+
10
bull 3
i je 3R RBC
B C = = Ω
bull 54 6je 2 456
5 5 54 4 6
iR R R
R RCD R R R R R
C DR
sdot sdot= = = Ω
sdot + + sdot
Pad napona između točaka
bull ei j U I RAB A
AB
B = sdot
bull ei j U I RBC B
BC
C = sdot
bull ei j U I RCD D
C DC
= sdot
Sada računamo jakost struje u pojedinim vodičima povezanim u strujni krug prema shemi na slici
bull 7 2
467 1 3
111
U I RAB AB
I R AABU I AAB RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
233 2 6
222
U I RAB AB
I R AABU I AAB RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 3
7 3 3
333
U I RBC BC
I R ABCU I ABC RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
280 4 5
444
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
140 5 10
555
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
280 6 5
666
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
Vježba 168
Odredite jakost struje u strujnom krugu prema shemi na slici ako je UAD = 63 V
R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω i R6 = 5 Ω
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Rezultat 9 A
11
Zadatak 169 (Marija gimnazija)
U shemu prikazanu na slici uključena su dva mikroampermetra i dva jednaka voltmetra
Mikroampermetri pokazuju vrijednosti I1 = 100 microA i I2 = 99 microA Voltmetar V1 pokazuje U1 = 10 V
Koliki napon pokazuje voltmetar V2
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Rješenje 169
I1 = 100 microA = 10-4
A I2 = 99 microA = 99 middot 10-5
A U1 = 10 V U2 =
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U U
I R U I R pad naponaR I
= rArr = rArr = sdot minus
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Prolaskom struje kroz bilo koji otpornik ili vodič na otporniku ili vodiču nastaje pad napona
jednak umnošku jakosti struje i otpora među mjernim točkama
Kirchhoffov zakon
U svakom čvoru električne mreže zbroj električnih struja koje ulaze u čvor jednak je zbroju struja koje
izlaze iz čvora tj zbroj struja u svakom čvorištu strujnog kruga mora biti nula
RRRR2222
RRRR1111
IIII3333
IIII2222
IIII1111
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Otpor R1 voltmetra V1 iznosi
10 51 10 1 4
101
U VR
I A
= = = Ωminus
Budući da su voltmetri V1 i V2 jednaki imaju jednake otpore
2 1 510
5 210
1
R R
RR
=
rArr = Ω= Ω
Pomoću Kirchhoffova zakona izračuna se struja I3 koja prolazi voltmetrom V2
4 5 610 99 10 10
1 2 3 3 1 2I I I I I I A A A
minus minus minus= + rArr = minus = minus sdot =
Napon U2 koji pokazuje voltmetar V2 jednak je
6 5 110 10 10 01
2 3 2U I R A V V
minus minus= sdot = sdot Ω = =
12
Vježba 169
U shemu prikazanu na slici uključena su dva mikroampermetra i dva jednaka voltmetra
Mikroampermetri pokazuju vrijednosti I1 = 100 microA i I2 = 90 microA Voltmetar V1 pokazuje U1 = 10 V
Koliki napon pokazuje voltmetar V2
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Rezultat 1 V
Zadatak 170 (DJ gimnazija)
Bakrena žica duljine 1000 m ima otpor 1 Ω Kolika je masa žice Otpornost bakra je
17 middot 10-8
Ω middot m a gustoća 8900 kgm3
Rješenje 170
l = 1000 m R = 1 Ω ρ1 = 17 middot 10-8
Ω middot m ndash otpornost ρ2 = 8900 kgm3 ndash gustoća
m =
Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera mase tijela i njegova obujma
m
m VV
ρ ρ= rArr = sdot
Obujam valjka
Uspravni i kosi valjak ploštine osnovke (baze) S i visine v imaju jednake obujmove Taj obujam
iznosi
V S v= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Prvo odredimo poprečni presjek S žice
metoda 1
zamj2
2ne
22 2e
m Vm S l S l m S l
lm
V S l
ρρ ρ ρ
ρsdot
sdot
= sdotrArr rArr = sdot sdot rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
= sdot
2
mS
lρrArr =
sdot
Iz formule za električnu otpornost dobije se masa m žice
metoda
zamjene
211 2
1 1 1
2 2 2
l lRlS l
R R Rm m m mS
l l l
ρρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
= sdotsdot
rArr rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr=
sdot sdot sdot
( )2
1000 89002 2382 2 17 10 15130
1 1
1
kgm
l lmR m m kg
m
Rm R
ρ ρρ ρ
sdotsdot sdot minus
rArr = sdot rArr = sdot = sdot Ω sdot sdotsdot =Ω
13
Vježba 170
Bakrena žica duljine 2000 m ima otpor 1 Ω Kolika je masa žice Otpornost bakra je
17 middot 10-8 Ω middot m a gustoća 8900 kgm3
Rezultat 60520 kg
Zadatak 171 (Ana gimnazija)
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 2 4 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
3 6 12 21A A B A C A D A
Rješenje 171
R1 R2 R3 = 1 2 4 I3 = 3 A I =
Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama jednak je jakosti
struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1
1 2 3
1 2 3
I I IR R R
=
Iz omjera otpora
1 2 41 2 3
R R R =
vidi se da je
bull otpor R1 četiri puta manji od otpora R3
1 41 3
R R =
bull otpor R2 dva puta manji od otpora R3
2 42 3
R R =
Zato je
bull struja I1 četiri puta veća od struje I3
4 4 3 121 3
I I A A= sdot = sdot =
bull struja I2 dva puta veća od struje I3
2 2 3 6 2 3
I I A A= sdot = sdot =
Ukupna struja I koju pokazuje ampermetar iznosi
12 6 3 21 1 2 3
I I I I A A A A= + + = + + =
Odgovor je pod D
Vježba 171
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 3 6 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
12 15 21 27A A B A C A D A
14
Rezultat D
Zadatak 172 (Hana medicinska škola)
Otpornik otpora 100 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
5 10 50 500A V B V C V D V
Rješenje 172
R = 100 Ω I = 5 A U =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I RR
= rArr = sdot
I = 5 AI = 5 AI = 5 AI = 5 A
Graf prikazuje struju koja prolazi kroz otpornik u ovisnosti o vremenu i njezina maksimalna vrijednost
je I = 5 A Maksimalni napon na otporniku iznosi
5 100 500 U I R A V= sdot = sdot Ω =
Odgovor je pod D
Vježba 172
Otpornik otpora 10 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
15
5 10 50 500A V B V C V D V
Rezultat C
Zadatak 173 (Ivan tehnička škola)
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 210 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rješenje 173
U1 = 220 V P1 = 750 W U2 = 210 V R1 = R2 = R p =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Kako zapisati za koliko se posto veličina a2 smanjila u odnosu na istovrsnu veličinu a1
1 2100 100
1 1
a aa
p pa a
minus∆= sdot rArr = sdot
1inačica
22 2 21
1 1 2111
1001 22 2
12 2
2 100
2 22
1
UU U UP
PRR R Rp
UU UP P
RR
Pp
P
R
P=
= minus
rArr rArr rArr = sdot rArr
= =
minus= sdot
2 2 2 21 2 1 2 2 2
1 2100 100 1002 2 2
1 1 1
U U U U
U URp p p
U U U
R
R R
minus minus
minusrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
2 2 2 21 2 2 2100 100 1 1002 2 2 2
1 1 1
212
1 1
U U UU
U
Up p p
U U U U
rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr
2 221021 100 1 100 888220
1
U Vp p p
U VrArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr =
2inačica
Izračunamo otpor grijača
( )2 2 2 2
2201 1 1 6453 1 1 7
150
1
U U U V
P P RR R P W
R
Psdot= rArr = rArr = = = Ω
Kada napon padne na 210 V snaga će uz jednaki otpor grijača iznositi
( )2 2
2102 68340 2 6453
U VP W
R= = =
Ω
Računamo postotak smanjenja snage grijača
16
750 683401 2 100 100 888750
1
P P W Wp p p
P W
minus minus= sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 173
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 215 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rezultat 449
Zadatak 174 (Mario gimnazija)
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 10 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6
Ω middot m)
Rješenje 174
2 middot r1 = 256 mm =gt r1 = 128 mm = 00128 m 2 middot r2 = 234 mm =gt r2 = 117 mm =
= 00117 m l = 10 m ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m = 10-7 Ω middot m R =
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Površina kružnog vijenca
Neka su zadane dvije koncentrične kružnice polumjera r1 i r2 (r1 gt r2) tj kružnice s istim središtem
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen tim kružnicama i njegova površina računa se po formuli
( )2
2 21
S r r π= minus sdot
Otpor željezne cijevi iznosi
( )( )
2 21 2
2 21 2
S r rl
Rl
r rRS
π
ρ
πρ
= minus sdot
rArr = sdot =
minus sdot= sdot
( ) ( )( )107
10 0012 2 2
00128 00117
mm
m m π
minus= Ω sdot sdot = Ω
minus sdot
Vježba 174
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 20 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m)
Rezultat 0025 Ω
17
Zadatak 175 (Mario gimnazija)
Pad napona na krajevima 100 m dugog bakrenog vodiča iznosi 102 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19
C)
Rješenje 175
l = 100 m U = 102 V n = 84 middot 1022
cm-3
= 84 middot 1028
m-3
ρ = 17 middot 10-3
Ω middot mm2 m = 17 middot 10
-9 Ω middot m e = 1602 middot 10
-19 C v =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
gdje je U razlika potencijala (napon) na krajevima vodiča a R otpor vodiča Iz te formule izlazi da je
razlika potencijala (pad napona) U na dijelu strujnog kruga otpora R jednak
U I R= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Vodičem površine presjeka S u kojem ima n slobodnih elektrona po jedinici volumena naboja e i koji
se djelovanjem električnog polja gibaju brzinom v teče struja jakosti
I n e v S= sdot sdot sdot
Računamo brzinu elektrona
I n e v S
l l lR U n e v S U n e v U n e v l
S S
U I R
SS
ρ ρ ρ ρ
= sdot sdot sdot
= sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot rArr
= sdot
1
Un e v l U n e v l U
n ev
n e llρ
ρρρ sdot
sdot sdotrArr sdot sdot sdot sdot = rArr sdot sdot sdot sdot = rArr =
sdot sdot sdotsdot=
102 5446 10
128 19 984 10 1602 10 17 10 100
3
V m
sC m m
m
minus= = sdot
minus minussdot sdot sdot sdot sdot Ω sdot sdot
Vježba 175
Pad napona na krajevima 200 m dugog bakrenog vodiča iznosi 204 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19 C)
Rezultat 5
446 10 m
s
minussdot
Zadatak 176 (Tomer181 tehnička škola)
Električni izvor ima elektromotorni napon 12 V i unutarnji otpor 06 Ω Na izvor je priključen
otpornik 10 Ω Odrediti jakost struje i napon
Rješenje 176
ε = 12 V Ru = 06 Ω Rv = 10 Ω I = U =
Kad je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na pad
napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (U = I middot R) u vanjskom krugu
18
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( ) I R R I R I R I R Uu v u v u vε ε ε= sdot + rArr = sdot + sdot rArr = sdot +
Računamo struju u strujnom krugu
( ) ( ) ( )1
I R R I R R I R R Iu v u v uR
vR RuRv vu
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot + sdot= rArr =
++=
121132
06 10
VA= =
Ω + Ω
Tada je
bull pad napona na unutarnjem otporu izvora
1132 06 068U I R A Vu u= sdot = sdot Ω =
bull pad napona u vanjskom krugu
1132 10 1132U I R A Vv v= sdot = sdot Ω =
ili
12 068 1132 U U U U V V Vu v v uε ε+ = rArr = minus = minus =
Vježba 176
Električni izvor ima elektromotorni napon 24 V i unutarnji otpor 12 Ω Na izvor je priključen
otpornik 20 Ω Odrediti jakost struje
Rezultat 1132 V
Zadatak 177 (Jurica gimnazija)
U krug istosmjerne struje napona 120 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
Rješenje 177
U = 120 V RA = RB = RC = R UA = UB = UC =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
19
Jakost struje u vodiču razmjerna je naponu između dviju točaka vodiča
Pad napona U na nekom otporniku otpora R razmjeran je jakosti struje I i otporu
U I R= sdot
Pri paralelnom spajanju vodiča pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak
je
1 2 3
U U U U Un= = = = =
1 1 2 2 3 3
U I R I R I R I Rn n= sdot = sdot = sdot = = sdot
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni pad napona na serijskome spoju jednak je zbroju pojedinih padova napona
1 2 3
U U U U Un= + + + +
Vodiče možemo spajati u seriju i paralelno Pri serijskom spajanju vodiča kroz sve vodiče teče
struja iste jakosti Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama
jednak je jakosti struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1 1
1 2 31 2
3
I I I InR R R Rn
=
I2
I1
I
R
R
R
C
B
A
120 V
I
RR
2
AB C
120 V
I
3sdotsdotsdotsdotR
2
ABC
120 V
1inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
20
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Padovi napona na otpornicima AB i C su
2
RU I R U IAB AB AB
U I RC C U I R
C
= sdot = sdotrArr
= sdot= sdot
Iz kvocijenta napona UC i UAB dobije se
2 2 2
2 2
U U U UI RC C C C U UC ABRU U U U
AB AB AB A
I RU
ABI B
RI
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr = sdotsdot
sdot sdot
Budući da je zbroj padova napona u strujnome krugu jednak ukupnom naponu za strujni krug
prikazan na slici je
U U UAB C
+ =
pa vrijedi sustav jednadžbi
1202 1
metoda
zam20
2 2 jene
U U U U UAB C AB C
U UAB ABU U U U
C AB C AB
+ = + =rArr rArr rArr + sdot = rArr
= sdot = sdot
3 120 3 120 0 4 3U U U VAB AB AB
rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo UC
402 40 80
2
U VAB
U V VCU U
C AB
=rArr = sdot =
= sdot
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
2inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Pad napona UC ima vrijednost
80 8080 U I R U R U U V
C C C C CRR
R= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Pad napona UAB iznosi
120 80 40 U U U U U U V V VAB C AB C
+ = rArr = minus = minus =
21
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
3inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Za struje I1 i I2 vrijedi
1 11 1 1 1 2 1 21 21 280 80
801 2 1 2
1 21 2
I I I II II IR RR R
BAI I I I
I II I I R RR
= ===rArr rArr rArr rArr
+ = + =+ =+ =
80 80 80 40 402 2
2 2 2 2 2
2 1I I I I I I
R R R R RrArr + = rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr =
Računamo padove napona na otpornicima A B i C
40 40
401
40 4040
2
8080 80
U R UA ARU I R U V
A A A
U I R U R U U VB B B B BR
U VU I R
RR
RR
CC CU R U
C C RRR
= sdot = sdot= sdot =
= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
== sdot= sdot = sdot
Vježba 177
U krug istosmjerne struje napona 240 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
C
B
A
240 V
Rezultat UA = 80 V UB = 80 V UC = 160 V
22
Zadatak 178 (Mario tehnička škola)
Grijalica predviđena za napon U ima n spirala od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima otpor
R Koliku će snagu trošiti grijalica ako je svih n spirala spojeno paralelno
Rješenje 178
U n R1 = R2 = hellip = Rn = R P =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon na krajevima trošila R otpor trošila
U slučaju paralelnog spoja n jednakih otpornika ekvivalentni je otpor Re
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3
n RRe
R R R R R R R R R R R R ne n e e
= + + + + rArr = + + + + rArr = rArr =
Snaga koju troši grijalica iznosi
2 2
2 2 21
U UP
U n U URe P P P P nR R R RR
Re n nn
=sdot
rArr = rArr = rArr = rArr = sdot
=
Vježba 178
Grijalica predviđena za napon 220 V ima 2 spirale od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima
otpor 100 Ω Koliku će snagu trošiti grijalica ako su spirale spojene paralelno
Rezultat P = 968 W
Zadatak 179 (Tina gimnazija)
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 45
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 004 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rješenje 179
R = 100 Ω ε = 45 V I = 004 A r =
Kada je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na
pad napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (I middot Rv) u vanjskom krugu
23
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( )I R I R I R Ru v u vε ε= sdot + sdot rArr = sdot +
Iz uvjeta zadatka dobije
( ) ( ) ( )1
I R r I R r I R rI
r RI
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot rArr +sdot+ = = rArr
45100 125
004
Vr R
I A
εrArr = minus = minus Ω = Ω
Vježba 179
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 9
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 008 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rezultat r = 125 Ω
Zadatak 180 (Martin tehnička škola)
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 20 a otpor se pritom smanji za
5
Rješenje 180
U U1 = U ndash 20 middot U = U ndash 020 middot U = 080 middot U R R1 = R ndash 5 middot R = R ndash 005 middot R =
= 095 middot R P P1 =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Izrazit ćemo novu snagu uređaja P1 pomoću stare snage P
( )2 2 2 2 2 2
080 080 08011 1 1 1095 095 095
1
U U U UP P P P
R R R R
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = sdot rArr
sdot sdot
2080
06737 032631 1
2
1095P P P P P P P
UP
RrArr rArr = sdot rArr = sdot rArr= = minus sdot rArr
32633263 1 1
P P P P P PrArr = minus sdot rArr sdotminus=
24
Snaga će pasti za 3263
Vježba 180
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 10 a otpor se pritom smanji za
5
Rezultat Snaga će pasti za 1474
6
P F vP p m g v
F p m g
= sdotrArr = sdot sdot sdot
= sdot sdot
pa struja iznosi
50006 2 10 981 20
2942
425 10
m mkgP
I sp m g v sI AUU VP p m g v
sdot sdot sdot sdot= sdot sdot sdot
rArr = = =
sdot= sdot sdot sdot
Vježba 166
Električni vlak mase 400 t vozi brzinom 72 kmh Otpori vuče (trenje otpor zraka) iznose
06 težine a napon 50 kV Odredi jakost struje (ubrzanje slobodnog pada g = 981 ms2)
Rezultat 942 A
Zadatak 167 (Marija gimnazija)
Kolika je jakost struje koja teče otpornikom R4 u strujnom krugu prikazanom na slici ako su
otpori R1 = R2 = R3 = R4 = 1 Ω a priključeni su na napon 6 V
RRRR4444
RRRR3333RRRR2222
RRRR1111
Rješenje 167
R1 = R2 = R3 = R4 = 1 Ω U = 6 V I =
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni je otpor od 2 serijski spojena vodiča
1 2R R R= +
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1
1 2 3
R R R R Rn
= + + + +
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ukupni otpor R što ga pružaju 2 vodiča spojena u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 2
1 1 2
2
R RR
R R R R R
sdot= + rArr =
+
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Shemu otpornika postupno možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
7
RRRR4444
RRRR3333RRRR2222
RRRR1111
Otpornici R1 i R2 serijski su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom R12
1 1 2 12 1 2
R R R= + = Ω + Ω = Ω
RRRR4444
RRRR3333RRRR12121212
Otpornici R12 i R3 usporedno su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom R123
1 1 1 2 1 212 3 123 2 1 3
123 12 3 12 3
R RR
R R R R R
sdot Ω sdot Ω= + rArr = = = Ω
+ Ω + Ω
RRRR4444RRRR123123123123
Otpornici R4 i R123 serijski su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom R1234
2 51
1234 4 123 3 3R R R= + = Ω + Ω = Ω
RRRR1234123412341234
Jakost struje koja teče otpornikom R4 (cijelim strujnim krugom) dobije se pomoću Ohmovog zakona
za strujni krug
6
6 181 36 5 5 5
12343 3
VU V
I A AR
= = = = =
Ω Ω
Vježba 167
Kolika je jakost struje koja teče otpornikom R4 u strujnom krugu prikazanom na slici ako su
otpori R1 = R2 = R3 = R4 = 1 Ω a priključeni su na napon 12 V
8
RRRR4444
RRRR3333RRRR2222
RRRR1111
Rezultat 72 A
Zadatak 168 (Marija gimnazija)
Odredite jakost struje u pojedinim vodičima povezanim u strujni krug prema shemi na slici
ako je UAD = 49 V R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω i R6 = 5 Ω
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Rješenje 168
UAD = 49 V R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω R6 = 5 Ω
I1 = I2 = I3 = I4 = I5 = I6 =
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni je otpor od 3 serijski spojena vodiča
2
1 3R R R R= + +
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1
1 2 3
R R R R Rn
= + + + +
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ukupni otpor R što ga pružaju 2 ili 3 vodiča spojena u paralelu možemo naći iz sljedećih izraza
1 1 1 1 1 1 1 1 2 31 2
1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3
R R RR R
R RR R R R R R R R R R R R R R R
sdot sdotsdot= + rArr = = + + rArr =
+ sdot + sdot + sdot
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I R pad naponaR
= rArr = sdot minus
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak je
Prolaskom struje kroz bilo koji otpornik ili vodič na otporniku ili vodiču nastaje pad napona
jednak umnošku jakosti struje i otpora među mjernim točkama
Kirchhoffov zakon
U svakom čvoru električne mreže zbroj električnih struja koje ulaze u čvor jednak je zbroju struja koje
izlaze iz čvora tj zbroj struja u svakom čvorištu strujnog kruga mora biti nula
Shemu otpornika postupno možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
9
IIII1111
IIIIIIII5555
IIII6666
IIII4444IIII
IIII3333
IIII2222
IIII1111
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Otpornici R1 i R2 usporedno su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom RAB = R12
3 61 2 2 12 3 6
1 2
R RR R
AB R R
sdot Ω sdot Ω= = = = Ω
+ Ω + Ω
RRRR3333
RRRR4444
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRRABABABAB
RRRR12121212
RRRRBCBCBCBC RRRR5555
RRRR6666
Otpornici R4 R5 i R6 usporedno su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
RCD = R456
5 10 554 6 2 456 5 10 5 5 10 5
5 54 4 6 6
R R RR R
CD R R R R R R
sdot sdot Ω sdot Ω sdot Ω= = = = Ω
sdot + sdot + sdot Ω sdot Ω + Ω sdot Ω + Ω sdot Ω
RRRR3333
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRRABABABAB
RRRR12121212
RRRRBCBCBCBCRRRRCDCDCDCD
RRRR456456456456
Otpornici RAB RBC i RCD serijski su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
RAD
2 3 2 7 R R R RAD AB BC CD
= + + = Ω + Ω + Ω = Ω
RRRR123456123456123456123456
AAAA DDDD
RRRRADADADAD
Našavši ukupni otpor RAD strujnog kruga pomoću Ohmovog zakona izračunamo jakost struje I u
krugu
497
7
UADI
RAD
Ω= = = Ω
Ω
Dakle ekvivalentni otpor između točaka
bull 1 2je 212
1 2
iR R
R RAB R R
A Bsdot
= = = Ω+
10
bull 3
i je 3R RBC
B C = = Ω
bull 54 6je 2 456
5 5 54 4 6
iR R R
R RCD R R R R R
C DR
sdot sdot= = = Ω
sdot + + sdot
Pad napona između točaka
bull ei j U I RAB A
AB
B = sdot
bull ei j U I RBC B
BC
C = sdot
bull ei j U I RCD D
C DC
= sdot
Sada računamo jakost struje u pojedinim vodičima povezanim u strujni krug prema shemi na slici
bull 7 2
467 1 3
111
U I RAB AB
I R AABU I AAB RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
233 2 6
222
U I RAB AB
I R AABU I AAB RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 3
7 3 3
333
U I RBC BC
I R ABCU I ABC RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
280 4 5
444
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
140 5 10
555
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
280 6 5
666
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
Vježba 168
Odredite jakost struje u strujnom krugu prema shemi na slici ako je UAD = 63 V
R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω i R6 = 5 Ω
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Rezultat 9 A
11
Zadatak 169 (Marija gimnazija)
U shemu prikazanu na slici uključena su dva mikroampermetra i dva jednaka voltmetra
Mikroampermetri pokazuju vrijednosti I1 = 100 microA i I2 = 99 microA Voltmetar V1 pokazuje U1 = 10 V
Koliki napon pokazuje voltmetar V2
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Rješenje 169
I1 = 100 microA = 10-4
A I2 = 99 microA = 99 middot 10-5
A U1 = 10 V U2 =
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U U
I R U I R pad naponaR I
= rArr = rArr = sdot minus
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Prolaskom struje kroz bilo koji otpornik ili vodič na otporniku ili vodiču nastaje pad napona
jednak umnošku jakosti struje i otpora među mjernim točkama
Kirchhoffov zakon
U svakom čvoru električne mreže zbroj električnih struja koje ulaze u čvor jednak je zbroju struja koje
izlaze iz čvora tj zbroj struja u svakom čvorištu strujnog kruga mora biti nula
RRRR2222
RRRR1111
IIII3333
IIII2222
IIII1111
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Otpor R1 voltmetra V1 iznosi
10 51 10 1 4
101
U VR
I A
= = = Ωminus
Budući da su voltmetri V1 i V2 jednaki imaju jednake otpore
2 1 510
5 210
1
R R
RR
=
rArr = Ω= Ω
Pomoću Kirchhoffova zakona izračuna se struja I3 koja prolazi voltmetrom V2
4 5 610 99 10 10
1 2 3 3 1 2I I I I I I A A A
minus minus minus= + rArr = minus = minus sdot =
Napon U2 koji pokazuje voltmetar V2 jednak je
6 5 110 10 10 01
2 3 2U I R A V V
minus minus= sdot = sdot Ω = =
12
Vježba 169
U shemu prikazanu na slici uključena su dva mikroampermetra i dva jednaka voltmetra
Mikroampermetri pokazuju vrijednosti I1 = 100 microA i I2 = 90 microA Voltmetar V1 pokazuje U1 = 10 V
Koliki napon pokazuje voltmetar V2
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Rezultat 1 V
Zadatak 170 (DJ gimnazija)
Bakrena žica duljine 1000 m ima otpor 1 Ω Kolika je masa žice Otpornost bakra je
17 middot 10-8
Ω middot m a gustoća 8900 kgm3
Rješenje 170
l = 1000 m R = 1 Ω ρ1 = 17 middot 10-8
Ω middot m ndash otpornost ρ2 = 8900 kgm3 ndash gustoća
m =
Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera mase tijela i njegova obujma
m
m VV
ρ ρ= rArr = sdot
Obujam valjka
Uspravni i kosi valjak ploštine osnovke (baze) S i visine v imaju jednake obujmove Taj obujam
iznosi
V S v= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Prvo odredimo poprečni presjek S žice
metoda 1
zamj2
2ne
22 2e
m Vm S l S l m S l
lm
V S l
ρρ ρ ρ
ρsdot
sdot
= sdotrArr rArr = sdot sdot rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
= sdot
2
mS
lρrArr =
sdot
Iz formule za električnu otpornost dobije se masa m žice
metoda
zamjene
211 2
1 1 1
2 2 2
l lRlS l
R R Rm m m mS
l l l
ρρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
= sdotsdot
rArr rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr=
sdot sdot sdot
( )2
1000 89002 2382 2 17 10 15130
1 1
1
kgm
l lmR m m kg
m
Rm R
ρ ρρ ρ
sdotsdot sdot minus
rArr = sdot rArr = sdot = sdot Ω sdot sdotsdot =Ω
13
Vježba 170
Bakrena žica duljine 2000 m ima otpor 1 Ω Kolika je masa žice Otpornost bakra je
17 middot 10-8 Ω middot m a gustoća 8900 kgm3
Rezultat 60520 kg
Zadatak 171 (Ana gimnazija)
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 2 4 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
3 6 12 21A A B A C A D A
Rješenje 171
R1 R2 R3 = 1 2 4 I3 = 3 A I =
Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama jednak je jakosti
struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1
1 2 3
1 2 3
I I IR R R
=
Iz omjera otpora
1 2 41 2 3
R R R =
vidi se da je
bull otpor R1 četiri puta manji od otpora R3
1 41 3
R R =
bull otpor R2 dva puta manji od otpora R3
2 42 3
R R =
Zato je
bull struja I1 četiri puta veća od struje I3
4 4 3 121 3
I I A A= sdot = sdot =
bull struja I2 dva puta veća od struje I3
2 2 3 6 2 3
I I A A= sdot = sdot =
Ukupna struja I koju pokazuje ampermetar iznosi
12 6 3 21 1 2 3
I I I I A A A A= + + = + + =
Odgovor je pod D
Vježba 171
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 3 6 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
12 15 21 27A A B A C A D A
14
Rezultat D
Zadatak 172 (Hana medicinska škola)
Otpornik otpora 100 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
5 10 50 500A V B V C V D V
Rješenje 172
R = 100 Ω I = 5 A U =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I RR
= rArr = sdot
I = 5 AI = 5 AI = 5 AI = 5 A
Graf prikazuje struju koja prolazi kroz otpornik u ovisnosti o vremenu i njezina maksimalna vrijednost
je I = 5 A Maksimalni napon na otporniku iznosi
5 100 500 U I R A V= sdot = sdot Ω =
Odgovor je pod D
Vježba 172
Otpornik otpora 10 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
15
5 10 50 500A V B V C V D V
Rezultat C
Zadatak 173 (Ivan tehnička škola)
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 210 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rješenje 173
U1 = 220 V P1 = 750 W U2 = 210 V R1 = R2 = R p =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Kako zapisati za koliko se posto veličina a2 smanjila u odnosu na istovrsnu veličinu a1
1 2100 100
1 1
a aa
p pa a
minus∆= sdot rArr = sdot
1inačica
22 2 21
1 1 2111
1001 22 2
12 2
2 100
2 22
1
UU U UP
PRR R Rp
UU UP P
RR
Pp
P
R
P=
= minus
rArr rArr rArr = sdot rArr
= =
minus= sdot
2 2 2 21 2 1 2 2 2
1 2100 100 1002 2 2
1 1 1
U U U U
U URp p p
U U U
R
R R
minus minus
minusrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
2 2 2 21 2 2 2100 100 1 1002 2 2 2
1 1 1
212
1 1
U U UU
U
Up p p
U U U U
rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr
2 221021 100 1 100 888220
1
U Vp p p
U VrArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr =
2inačica
Izračunamo otpor grijača
( )2 2 2 2
2201 1 1 6453 1 1 7
150
1
U U U V
P P RR R P W
R
Psdot= rArr = rArr = = = Ω
Kada napon padne na 210 V snaga će uz jednaki otpor grijača iznositi
( )2 2
2102 68340 2 6453
U VP W
R= = =
Ω
Računamo postotak smanjenja snage grijača
16
750 683401 2 100 100 888750
1
P P W Wp p p
P W
minus minus= sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 173
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 215 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rezultat 449
Zadatak 174 (Mario gimnazija)
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 10 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6
Ω middot m)
Rješenje 174
2 middot r1 = 256 mm =gt r1 = 128 mm = 00128 m 2 middot r2 = 234 mm =gt r2 = 117 mm =
= 00117 m l = 10 m ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m = 10-7 Ω middot m R =
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Površina kružnog vijenca
Neka su zadane dvije koncentrične kružnice polumjera r1 i r2 (r1 gt r2) tj kružnice s istim središtem
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen tim kružnicama i njegova površina računa se po formuli
( )2
2 21
S r r π= minus sdot
Otpor željezne cijevi iznosi
( )( )
2 21 2
2 21 2
S r rl
Rl
r rRS
π
ρ
πρ
= minus sdot
rArr = sdot =
minus sdot= sdot
( ) ( )( )107
10 0012 2 2
00128 00117
mm
m m π
minus= Ω sdot sdot = Ω
minus sdot
Vježba 174
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 20 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m)
Rezultat 0025 Ω
17
Zadatak 175 (Mario gimnazija)
Pad napona na krajevima 100 m dugog bakrenog vodiča iznosi 102 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19
C)
Rješenje 175
l = 100 m U = 102 V n = 84 middot 1022
cm-3
= 84 middot 1028
m-3
ρ = 17 middot 10-3
Ω middot mm2 m = 17 middot 10
-9 Ω middot m e = 1602 middot 10
-19 C v =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
gdje je U razlika potencijala (napon) na krajevima vodiča a R otpor vodiča Iz te formule izlazi da je
razlika potencijala (pad napona) U na dijelu strujnog kruga otpora R jednak
U I R= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Vodičem površine presjeka S u kojem ima n slobodnih elektrona po jedinici volumena naboja e i koji
se djelovanjem električnog polja gibaju brzinom v teče struja jakosti
I n e v S= sdot sdot sdot
Računamo brzinu elektrona
I n e v S
l l lR U n e v S U n e v U n e v l
S S
U I R
SS
ρ ρ ρ ρ
= sdot sdot sdot
= sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot rArr
= sdot
1
Un e v l U n e v l U
n ev
n e llρ
ρρρ sdot
sdot sdotrArr sdot sdot sdot sdot = rArr sdot sdot sdot sdot = rArr =
sdot sdot sdotsdot=
102 5446 10
128 19 984 10 1602 10 17 10 100
3
V m
sC m m
m
minus= = sdot
minus minussdot sdot sdot sdot sdot Ω sdot sdot
Vježba 175
Pad napona na krajevima 200 m dugog bakrenog vodiča iznosi 204 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19 C)
Rezultat 5
446 10 m
s
minussdot
Zadatak 176 (Tomer181 tehnička škola)
Električni izvor ima elektromotorni napon 12 V i unutarnji otpor 06 Ω Na izvor je priključen
otpornik 10 Ω Odrediti jakost struje i napon
Rješenje 176
ε = 12 V Ru = 06 Ω Rv = 10 Ω I = U =
Kad je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na pad
napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (U = I middot R) u vanjskom krugu
18
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( ) I R R I R I R I R Uu v u v u vε ε ε= sdot + rArr = sdot + sdot rArr = sdot +
Računamo struju u strujnom krugu
( ) ( ) ( )1
I R R I R R I R R Iu v u v uR
vR RuRv vu
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot + sdot= rArr =
++=
121132
06 10
VA= =
Ω + Ω
Tada je
bull pad napona na unutarnjem otporu izvora
1132 06 068U I R A Vu u= sdot = sdot Ω =
bull pad napona u vanjskom krugu
1132 10 1132U I R A Vv v= sdot = sdot Ω =
ili
12 068 1132 U U U U V V Vu v v uε ε+ = rArr = minus = minus =
Vježba 176
Električni izvor ima elektromotorni napon 24 V i unutarnji otpor 12 Ω Na izvor je priključen
otpornik 20 Ω Odrediti jakost struje
Rezultat 1132 V
Zadatak 177 (Jurica gimnazija)
U krug istosmjerne struje napona 120 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
Rješenje 177
U = 120 V RA = RB = RC = R UA = UB = UC =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
19
Jakost struje u vodiču razmjerna je naponu između dviju točaka vodiča
Pad napona U na nekom otporniku otpora R razmjeran je jakosti struje I i otporu
U I R= sdot
Pri paralelnom spajanju vodiča pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak
je
1 2 3
U U U U Un= = = = =
1 1 2 2 3 3
U I R I R I R I Rn n= sdot = sdot = sdot = = sdot
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni pad napona na serijskome spoju jednak je zbroju pojedinih padova napona
1 2 3
U U U U Un= + + + +
Vodiče možemo spajati u seriju i paralelno Pri serijskom spajanju vodiča kroz sve vodiče teče
struja iste jakosti Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama
jednak je jakosti struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1 1
1 2 31 2
3
I I I InR R R Rn
=
I2
I1
I
R
R
R
C
B
A
120 V
I
RR
2
AB C
120 V
I
3sdotsdotsdotsdotR
2
ABC
120 V
1inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
20
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Padovi napona na otpornicima AB i C su
2
RU I R U IAB AB AB
U I RC C U I R
C
= sdot = sdotrArr
= sdot= sdot
Iz kvocijenta napona UC i UAB dobije se
2 2 2
2 2
U U U UI RC C C C U UC ABRU U U U
AB AB AB A
I RU
ABI B
RI
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr = sdotsdot
sdot sdot
Budući da je zbroj padova napona u strujnome krugu jednak ukupnom naponu za strujni krug
prikazan na slici je
U U UAB C
+ =
pa vrijedi sustav jednadžbi
1202 1
metoda
zam20
2 2 jene
U U U U UAB C AB C
U UAB ABU U U U
C AB C AB
+ = + =rArr rArr rArr + sdot = rArr
= sdot = sdot
3 120 3 120 0 4 3U U U VAB AB AB
rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo UC
402 40 80
2
U VAB
U V VCU U
C AB
=rArr = sdot =
= sdot
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
2inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Pad napona UC ima vrijednost
80 8080 U I R U R U U V
C C C C CRR
R= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Pad napona UAB iznosi
120 80 40 U U U U U U V V VAB C AB C
+ = rArr = minus = minus =
21
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
3inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Za struje I1 i I2 vrijedi
1 11 1 1 1 2 1 21 21 280 80
801 2 1 2
1 21 2
I I I II II IR RR R
BAI I I I
I II I I R RR
= ===rArr rArr rArr rArr
+ = + =+ =+ =
80 80 80 40 402 2
2 2 2 2 2
2 1I I I I I I
R R R R RrArr + = rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr =
Računamo padove napona na otpornicima A B i C
40 40
401
40 4040
2
8080 80
U R UA ARU I R U V
A A A
U I R U R U U VB B B B BR
U VU I R
RR
RR
CC CU R U
C C RRR
= sdot = sdot= sdot =
= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
== sdot= sdot = sdot
Vježba 177
U krug istosmjerne struje napona 240 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
C
B
A
240 V
Rezultat UA = 80 V UB = 80 V UC = 160 V
22
Zadatak 178 (Mario tehnička škola)
Grijalica predviđena za napon U ima n spirala od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima otpor
R Koliku će snagu trošiti grijalica ako je svih n spirala spojeno paralelno
Rješenje 178
U n R1 = R2 = hellip = Rn = R P =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon na krajevima trošila R otpor trošila
U slučaju paralelnog spoja n jednakih otpornika ekvivalentni je otpor Re
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3
n RRe
R R R R R R R R R R R R ne n e e
= + + + + rArr = + + + + rArr = rArr =
Snaga koju troši grijalica iznosi
2 2
2 2 21
U UP
U n U URe P P P P nR R R RR
Re n nn
=sdot
rArr = rArr = rArr = rArr = sdot
=
Vježba 178
Grijalica predviđena za napon 220 V ima 2 spirale od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima
otpor 100 Ω Koliku će snagu trošiti grijalica ako su spirale spojene paralelno
Rezultat P = 968 W
Zadatak 179 (Tina gimnazija)
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 45
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 004 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rješenje 179
R = 100 Ω ε = 45 V I = 004 A r =
Kada je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na
pad napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (I middot Rv) u vanjskom krugu
23
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( )I R I R I R Ru v u vε ε= sdot + sdot rArr = sdot +
Iz uvjeta zadatka dobije
( ) ( ) ( )1
I R r I R r I R rI
r RI
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot rArr +sdot+ = = rArr
45100 125
004
Vr R
I A
εrArr = minus = minus Ω = Ω
Vježba 179
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 9
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 008 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rezultat r = 125 Ω
Zadatak 180 (Martin tehnička škola)
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 20 a otpor se pritom smanji za
5
Rješenje 180
U U1 = U ndash 20 middot U = U ndash 020 middot U = 080 middot U R R1 = R ndash 5 middot R = R ndash 005 middot R =
= 095 middot R P P1 =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Izrazit ćemo novu snagu uređaja P1 pomoću stare snage P
( )2 2 2 2 2 2
080 080 08011 1 1 1095 095 095
1
U U U UP P P P
R R R R
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = sdot rArr
sdot sdot
2080
06737 032631 1
2
1095P P P P P P P
UP
RrArr rArr = sdot rArr = sdot rArr= = minus sdot rArr
32633263 1 1
P P P P P PrArr = minus sdot rArr sdotminus=
24
Snaga će pasti za 3263
Vježba 180
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 10 a otpor se pritom smanji za
5
Rezultat Snaga će pasti za 1474
7
RRRR4444
RRRR3333RRRR2222
RRRR1111
Otpornici R1 i R2 serijski su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom R12
1 1 2 12 1 2
R R R= + = Ω + Ω = Ω
RRRR4444
RRRR3333RRRR12121212
Otpornici R12 i R3 usporedno su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom R123
1 1 1 2 1 212 3 123 2 1 3
123 12 3 12 3
R RR
R R R R R
sdot Ω sdot Ω= + rArr = = = Ω
+ Ω + Ω
RRRR4444RRRR123123123123
Otpornici R4 i R123 serijski su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom R1234
2 51
1234 4 123 3 3R R R= + = Ω + Ω = Ω
RRRR1234123412341234
Jakost struje koja teče otpornikom R4 (cijelim strujnim krugom) dobije se pomoću Ohmovog zakona
za strujni krug
6
6 181 36 5 5 5
12343 3
VU V
I A AR
= = = = =
Ω Ω
Vježba 167
Kolika je jakost struje koja teče otpornikom R4 u strujnom krugu prikazanom na slici ako su
otpori R1 = R2 = R3 = R4 = 1 Ω a priključeni su na napon 12 V
8
RRRR4444
RRRR3333RRRR2222
RRRR1111
Rezultat 72 A
Zadatak 168 (Marija gimnazija)
Odredite jakost struje u pojedinim vodičima povezanim u strujni krug prema shemi na slici
ako je UAD = 49 V R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω i R6 = 5 Ω
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Rješenje 168
UAD = 49 V R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω R6 = 5 Ω
I1 = I2 = I3 = I4 = I5 = I6 =
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni je otpor od 3 serijski spojena vodiča
2
1 3R R R R= + +
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1
1 2 3
R R R R Rn
= + + + +
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ukupni otpor R što ga pružaju 2 ili 3 vodiča spojena u paralelu možemo naći iz sljedećih izraza
1 1 1 1 1 1 1 1 2 31 2
1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3
R R RR R
R RR R R R R R R R R R R R R R R
sdot sdotsdot= + rArr = = + + rArr =
+ sdot + sdot + sdot
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I R pad naponaR
= rArr = sdot minus
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak je
Prolaskom struje kroz bilo koji otpornik ili vodič na otporniku ili vodiču nastaje pad napona
jednak umnošku jakosti struje i otpora među mjernim točkama
Kirchhoffov zakon
U svakom čvoru električne mreže zbroj električnih struja koje ulaze u čvor jednak je zbroju struja koje
izlaze iz čvora tj zbroj struja u svakom čvorištu strujnog kruga mora biti nula
Shemu otpornika postupno možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
9
IIII1111
IIIIIIII5555
IIII6666
IIII4444IIII
IIII3333
IIII2222
IIII1111
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Otpornici R1 i R2 usporedno su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom RAB = R12
3 61 2 2 12 3 6
1 2
R RR R
AB R R
sdot Ω sdot Ω= = = = Ω
+ Ω + Ω
RRRR3333
RRRR4444
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRRABABABAB
RRRR12121212
RRRRBCBCBCBC RRRR5555
RRRR6666
Otpornici R4 R5 i R6 usporedno su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
RCD = R456
5 10 554 6 2 456 5 10 5 5 10 5
5 54 4 6 6
R R RR R
CD R R R R R R
sdot sdot Ω sdot Ω sdot Ω= = = = Ω
sdot + sdot + sdot Ω sdot Ω + Ω sdot Ω + Ω sdot Ω
RRRR3333
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRRABABABAB
RRRR12121212
RRRRBCBCBCBCRRRRCDCDCDCD
RRRR456456456456
Otpornici RAB RBC i RCD serijski su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
RAD
2 3 2 7 R R R RAD AB BC CD
= + + = Ω + Ω + Ω = Ω
RRRR123456123456123456123456
AAAA DDDD
RRRRADADADAD
Našavši ukupni otpor RAD strujnog kruga pomoću Ohmovog zakona izračunamo jakost struje I u
krugu
497
7
UADI
RAD
Ω= = = Ω
Ω
Dakle ekvivalentni otpor između točaka
bull 1 2je 212
1 2
iR R
R RAB R R
A Bsdot
= = = Ω+
10
bull 3
i je 3R RBC
B C = = Ω
bull 54 6je 2 456
5 5 54 4 6
iR R R
R RCD R R R R R
C DR
sdot sdot= = = Ω
sdot + + sdot
Pad napona između točaka
bull ei j U I RAB A
AB
B = sdot
bull ei j U I RBC B
BC
C = sdot
bull ei j U I RCD D
C DC
= sdot
Sada računamo jakost struje u pojedinim vodičima povezanim u strujni krug prema shemi na slici
bull 7 2
467 1 3
111
U I RAB AB
I R AABU I AAB RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
233 2 6
222
U I RAB AB
I R AABU I AAB RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 3
7 3 3
333
U I RBC BC
I R ABCU I ABC RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
280 4 5
444
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
140 5 10
555
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
280 6 5
666
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
Vježba 168
Odredite jakost struje u strujnom krugu prema shemi na slici ako je UAD = 63 V
R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω i R6 = 5 Ω
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Rezultat 9 A
11
Zadatak 169 (Marija gimnazija)
U shemu prikazanu na slici uključena su dva mikroampermetra i dva jednaka voltmetra
Mikroampermetri pokazuju vrijednosti I1 = 100 microA i I2 = 99 microA Voltmetar V1 pokazuje U1 = 10 V
Koliki napon pokazuje voltmetar V2
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Rješenje 169
I1 = 100 microA = 10-4
A I2 = 99 microA = 99 middot 10-5
A U1 = 10 V U2 =
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U U
I R U I R pad naponaR I
= rArr = rArr = sdot minus
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Prolaskom struje kroz bilo koji otpornik ili vodič na otporniku ili vodiču nastaje pad napona
jednak umnošku jakosti struje i otpora među mjernim točkama
Kirchhoffov zakon
U svakom čvoru električne mreže zbroj električnih struja koje ulaze u čvor jednak je zbroju struja koje
izlaze iz čvora tj zbroj struja u svakom čvorištu strujnog kruga mora biti nula
RRRR2222
RRRR1111
IIII3333
IIII2222
IIII1111
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Otpor R1 voltmetra V1 iznosi
10 51 10 1 4
101
U VR
I A
= = = Ωminus
Budući da su voltmetri V1 i V2 jednaki imaju jednake otpore
2 1 510
5 210
1
R R
RR
=
rArr = Ω= Ω
Pomoću Kirchhoffova zakona izračuna se struja I3 koja prolazi voltmetrom V2
4 5 610 99 10 10
1 2 3 3 1 2I I I I I I A A A
minus minus minus= + rArr = minus = minus sdot =
Napon U2 koji pokazuje voltmetar V2 jednak je
6 5 110 10 10 01
2 3 2U I R A V V
minus minus= sdot = sdot Ω = =
12
Vježba 169
U shemu prikazanu na slici uključena su dva mikroampermetra i dva jednaka voltmetra
Mikroampermetri pokazuju vrijednosti I1 = 100 microA i I2 = 90 microA Voltmetar V1 pokazuje U1 = 10 V
Koliki napon pokazuje voltmetar V2
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Rezultat 1 V
Zadatak 170 (DJ gimnazija)
Bakrena žica duljine 1000 m ima otpor 1 Ω Kolika je masa žice Otpornost bakra je
17 middot 10-8
Ω middot m a gustoća 8900 kgm3
Rješenje 170
l = 1000 m R = 1 Ω ρ1 = 17 middot 10-8
Ω middot m ndash otpornost ρ2 = 8900 kgm3 ndash gustoća
m =
Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera mase tijela i njegova obujma
m
m VV
ρ ρ= rArr = sdot
Obujam valjka
Uspravni i kosi valjak ploštine osnovke (baze) S i visine v imaju jednake obujmove Taj obujam
iznosi
V S v= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Prvo odredimo poprečni presjek S žice
metoda 1
zamj2
2ne
22 2e
m Vm S l S l m S l
lm
V S l
ρρ ρ ρ
ρsdot
sdot
= sdotrArr rArr = sdot sdot rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
= sdot
2
mS
lρrArr =
sdot
Iz formule za električnu otpornost dobije se masa m žice
metoda
zamjene
211 2
1 1 1
2 2 2
l lRlS l
R R Rm m m mS
l l l
ρρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
= sdotsdot
rArr rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr=
sdot sdot sdot
( )2
1000 89002 2382 2 17 10 15130
1 1
1
kgm
l lmR m m kg
m
Rm R
ρ ρρ ρ
sdotsdot sdot minus
rArr = sdot rArr = sdot = sdot Ω sdot sdotsdot =Ω
13
Vježba 170
Bakrena žica duljine 2000 m ima otpor 1 Ω Kolika je masa žice Otpornost bakra je
17 middot 10-8 Ω middot m a gustoća 8900 kgm3
Rezultat 60520 kg
Zadatak 171 (Ana gimnazija)
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 2 4 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
3 6 12 21A A B A C A D A
Rješenje 171
R1 R2 R3 = 1 2 4 I3 = 3 A I =
Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama jednak je jakosti
struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1
1 2 3
1 2 3
I I IR R R
=
Iz omjera otpora
1 2 41 2 3
R R R =
vidi se da je
bull otpor R1 četiri puta manji od otpora R3
1 41 3
R R =
bull otpor R2 dva puta manji od otpora R3
2 42 3
R R =
Zato je
bull struja I1 četiri puta veća od struje I3
4 4 3 121 3
I I A A= sdot = sdot =
bull struja I2 dva puta veća od struje I3
2 2 3 6 2 3
I I A A= sdot = sdot =
Ukupna struja I koju pokazuje ampermetar iznosi
12 6 3 21 1 2 3
I I I I A A A A= + + = + + =
Odgovor je pod D
Vježba 171
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 3 6 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
12 15 21 27A A B A C A D A
14
Rezultat D
Zadatak 172 (Hana medicinska škola)
Otpornik otpora 100 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
5 10 50 500A V B V C V D V
Rješenje 172
R = 100 Ω I = 5 A U =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I RR
= rArr = sdot
I = 5 AI = 5 AI = 5 AI = 5 A
Graf prikazuje struju koja prolazi kroz otpornik u ovisnosti o vremenu i njezina maksimalna vrijednost
je I = 5 A Maksimalni napon na otporniku iznosi
5 100 500 U I R A V= sdot = sdot Ω =
Odgovor je pod D
Vježba 172
Otpornik otpora 10 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
15
5 10 50 500A V B V C V D V
Rezultat C
Zadatak 173 (Ivan tehnička škola)
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 210 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rješenje 173
U1 = 220 V P1 = 750 W U2 = 210 V R1 = R2 = R p =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Kako zapisati za koliko se posto veličina a2 smanjila u odnosu na istovrsnu veličinu a1
1 2100 100
1 1
a aa
p pa a
minus∆= sdot rArr = sdot
1inačica
22 2 21
1 1 2111
1001 22 2
12 2
2 100
2 22
1
UU U UP
PRR R Rp
UU UP P
RR
Pp
P
R
P=
= minus
rArr rArr rArr = sdot rArr
= =
minus= sdot
2 2 2 21 2 1 2 2 2
1 2100 100 1002 2 2
1 1 1
U U U U
U URp p p
U U U
R
R R
minus minus
minusrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
2 2 2 21 2 2 2100 100 1 1002 2 2 2
1 1 1
212
1 1
U U UU
U
Up p p
U U U U
rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr
2 221021 100 1 100 888220
1
U Vp p p
U VrArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr =
2inačica
Izračunamo otpor grijača
( )2 2 2 2
2201 1 1 6453 1 1 7
150
1
U U U V
P P RR R P W
R
Psdot= rArr = rArr = = = Ω
Kada napon padne na 210 V snaga će uz jednaki otpor grijača iznositi
( )2 2
2102 68340 2 6453
U VP W
R= = =
Ω
Računamo postotak smanjenja snage grijača
16
750 683401 2 100 100 888750
1
P P W Wp p p
P W
minus minus= sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 173
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 215 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rezultat 449
Zadatak 174 (Mario gimnazija)
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 10 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6
Ω middot m)
Rješenje 174
2 middot r1 = 256 mm =gt r1 = 128 mm = 00128 m 2 middot r2 = 234 mm =gt r2 = 117 mm =
= 00117 m l = 10 m ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m = 10-7 Ω middot m R =
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Površina kružnog vijenca
Neka su zadane dvije koncentrične kružnice polumjera r1 i r2 (r1 gt r2) tj kružnice s istim središtem
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen tim kružnicama i njegova površina računa se po formuli
( )2
2 21
S r r π= minus sdot
Otpor željezne cijevi iznosi
( )( )
2 21 2
2 21 2
S r rl
Rl
r rRS
π
ρ
πρ
= minus sdot
rArr = sdot =
minus sdot= sdot
( ) ( )( )107
10 0012 2 2
00128 00117
mm
m m π
minus= Ω sdot sdot = Ω
minus sdot
Vježba 174
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 20 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m)
Rezultat 0025 Ω
17
Zadatak 175 (Mario gimnazija)
Pad napona na krajevima 100 m dugog bakrenog vodiča iznosi 102 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19
C)
Rješenje 175
l = 100 m U = 102 V n = 84 middot 1022
cm-3
= 84 middot 1028
m-3
ρ = 17 middot 10-3
Ω middot mm2 m = 17 middot 10
-9 Ω middot m e = 1602 middot 10
-19 C v =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
gdje je U razlika potencijala (napon) na krajevima vodiča a R otpor vodiča Iz te formule izlazi da je
razlika potencijala (pad napona) U na dijelu strujnog kruga otpora R jednak
U I R= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Vodičem površine presjeka S u kojem ima n slobodnih elektrona po jedinici volumena naboja e i koji
se djelovanjem električnog polja gibaju brzinom v teče struja jakosti
I n e v S= sdot sdot sdot
Računamo brzinu elektrona
I n e v S
l l lR U n e v S U n e v U n e v l
S S
U I R
SS
ρ ρ ρ ρ
= sdot sdot sdot
= sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot rArr
= sdot
1
Un e v l U n e v l U
n ev
n e llρ
ρρρ sdot
sdot sdotrArr sdot sdot sdot sdot = rArr sdot sdot sdot sdot = rArr =
sdot sdot sdotsdot=
102 5446 10
128 19 984 10 1602 10 17 10 100
3
V m
sC m m
m
minus= = sdot
minus minussdot sdot sdot sdot sdot Ω sdot sdot
Vježba 175
Pad napona na krajevima 200 m dugog bakrenog vodiča iznosi 204 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19 C)
Rezultat 5
446 10 m
s
minussdot
Zadatak 176 (Tomer181 tehnička škola)
Električni izvor ima elektromotorni napon 12 V i unutarnji otpor 06 Ω Na izvor je priključen
otpornik 10 Ω Odrediti jakost struje i napon
Rješenje 176
ε = 12 V Ru = 06 Ω Rv = 10 Ω I = U =
Kad je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na pad
napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (U = I middot R) u vanjskom krugu
18
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( ) I R R I R I R I R Uu v u v u vε ε ε= sdot + rArr = sdot + sdot rArr = sdot +
Računamo struju u strujnom krugu
( ) ( ) ( )1
I R R I R R I R R Iu v u v uR
vR RuRv vu
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot + sdot= rArr =
++=
121132
06 10
VA= =
Ω + Ω
Tada je
bull pad napona na unutarnjem otporu izvora
1132 06 068U I R A Vu u= sdot = sdot Ω =
bull pad napona u vanjskom krugu
1132 10 1132U I R A Vv v= sdot = sdot Ω =
ili
12 068 1132 U U U U V V Vu v v uε ε+ = rArr = minus = minus =
Vježba 176
Električni izvor ima elektromotorni napon 24 V i unutarnji otpor 12 Ω Na izvor je priključen
otpornik 20 Ω Odrediti jakost struje
Rezultat 1132 V
Zadatak 177 (Jurica gimnazija)
U krug istosmjerne struje napona 120 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
Rješenje 177
U = 120 V RA = RB = RC = R UA = UB = UC =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
19
Jakost struje u vodiču razmjerna je naponu između dviju točaka vodiča
Pad napona U na nekom otporniku otpora R razmjeran je jakosti struje I i otporu
U I R= sdot
Pri paralelnom spajanju vodiča pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak
je
1 2 3
U U U U Un= = = = =
1 1 2 2 3 3
U I R I R I R I Rn n= sdot = sdot = sdot = = sdot
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni pad napona na serijskome spoju jednak je zbroju pojedinih padova napona
1 2 3
U U U U Un= + + + +
Vodiče možemo spajati u seriju i paralelno Pri serijskom spajanju vodiča kroz sve vodiče teče
struja iste jakosti Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama
jednak je jakosti struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1 1
1 2 31 2
3
I I I InR R R Rn
=
I2
I1
I
R
R
R
C
B
A
120 V
I
RR
2
AB C
120 V
I
3sdotsdotsdotsdotR
2
ABC
120 V
1inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
20
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Padovi napona na otpornicima AB i C su
2
RU I R U IAB AB AB
U I RC C U I R
C
= sdot = sdotrArr
= sdot= sdot
Iz kvocijenta napona UC i UAB dobije se
2 2 2
2 2
U U U UI RC C C C U UC ABRU U U U
AB AB AB A
I RU
ABI B
RI
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr = sdotsdot
sdot sdot
Budući da je zbroj padova napona u strujnome krugu jednak ukupnom naponu za strujni krug
prikazan na slici je
U U UAB C
+ =
pa vrijedi sustav jednadžbi
1202 1
metoda
zam20
2 2 jene
U U U U UAB C AB C
U UAB ABU U U U
C AB C AB
+ = + =rArr rArr rArr + sdot = rArr
= sdot = sdot
3 120 3 120 0 4 3U U U VAB AB AB
rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo UC
402 40 80
2
U VAB
U V VCU U
C AB
=rArr = sdot =
= sdot
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
2inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Pad napona UC ima vrijednost
80 8080 U I R U R U U V
C C C C CRR
R= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Pad napona UAB iznosi
120 80 40 U U U U U U V V VAB C AB C
+ = rArr = minus = minus =
21
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
3inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Za struje I1 i I2 vrijedi
1 11 1 1 1 2 1 21 21 280 80
801 2 1 2
1 21 2
I I I II II IR RR R
BAI I I I
I II I I R RR
= ===rArr rArr rArr rArr
+ = + =+ =+ =
80 80 80 40 402 2
2 2 2 2 2
2 1I I I I I I
R R R R RrArr + = rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr =
Računamo padove napona na otpornicima A B i C
40 40
401
40 4040
2
8080 80
U R UA ARU I R U V
A A A
U I R U R U U VB B B B BR
U VU I R
RR
RR
CC CU R U
C C RRR
= sdot = sdot= sdot =
= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
== sdot= sdot = sdot
Vježba 177
U krug istosmjerne struje napona 240 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
C
B
A
240 V
Rezultat UA = 80 V UB = 80 V UC = 160 V
22
Zadatak 178 (Mario tehnička škola)
Grijalica predviđena za napon U ima n spirala od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima otpor
R Koliku će snagu trošiti grijalica ako je svih n spirala spojeno paralelno
Rješenje 178
U n R1 = R2 = hellip = Rn = R P =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon na krajevima trošila R otpor trošila
U slučaju paralelnog spoja n jednakih otpornika ekvivalentni je otpor Re
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3
n RRe
R R R R R R R R R R R R ne n e e
= + + + + rArr = + + + + rArr = rArr =
Snaga koju troši grijalica iznosi
2 2
2 2 21
U UP
U n U URe P P P P nR R R RR
Re n nn
=sdot
rArr = rArr = rArr = rArr = sdot
=
Vježba 178
Grijalica predviđena za napon 220 V ima 2 spirale od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima
otpor 100 Ω Koliku će snagu trošiti grijalica ako su spirale spojene paralelno
Rezultat P = 968 W
Zadatak 179 (Tina gimnazija)
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 45
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 004 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rješenje 179
R = 100 Ω ε = 45 V I = 004 A r =
Kada je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na
pad napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (I middot Rv) u vanjskom krugu
23
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( )I R I R I R Ru v u vε ε= sdot + sdot rArr = sdot +
Iz uvjeta zadatka dobije
( ) ( ) ( )1
I R r I R r I R rI
r RI
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot rArr +sdot+ = = rArr
45100 125
004
Vr R
I A
εrArr = minus = minus Ω = Ω
Vježba 179
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 9
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 008 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rezultat r = 125 Ω
Zadatak 180 (Martin tehnička škola)
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 20 a otpor se pritom smanji za
5
Rješenje 180
U U1 = U ndash 20 middot U = U ndash 020 middot U = 080 middot U R R1 = R ndash 5 middot R = R ndash 005 middot R =
= 095 middot R P P1 =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Izrazit ćemo novu snagu uređaja P1 pomoću stare snage P
( )2 2 2 2 2 2
080 080 08011 1 1 1095 095 095
1
U U U UP P P P
R R R R
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = sdot rArr
sdot sdot
2080
06737 032631 1
2
1095P P P P P P P
UP
RrArr rArr = sdot rArr = sdot rArr= = minus sdot rArr
32633263 1 1
P P P P P PrArr = minus sdot rArr sdotminus=
24
Snaga će pasti za 3263
Vježba 180
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 10 a otpor se pritom smanji za
5
Rezultat Snaga će pasti za 1474
8
RRRR4444
RRRR3333RRRR2222
RRRR1111
Rezultat 72 A
Zadatak 168 (Marija gimnazija)
Odredite jakost struje u pojedinim vodičima povezanim u strujni krug prema shemi na slici
ako je UAD = 49 V R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω i R6 = 5 Ω
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Rješenje 168
UAD = 49 V R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω R6 = 5 Ω
I1 = I2 = I3 = I4 = I5 = I6 =
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni je otpor od 3 serijski spojena vodiča
2
1 3R R R R= + +
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1
1 2 3
R R R R Rn
= + + + +
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ukupni otpor R što ga pružaju 2 ili 3 vodiča spojena u paralelu možemo naći iz sljedećih izraza
1 1 1 1 1 1 1 1 2 31 2
1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3
R R RR R
R RR R R R R R R R R R R R R R R
sdot sdotsdot= + rArr = = + + rArr =
+ sdot + sdot + sdot
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I R pad naponaR
= rArr = sdot minus
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak je
Prolaskom struje kroz bilo koji otpornik ili vodič na otporniku ili vodiču nastaje pad napona
jednak umnošku jakosti struje i otpora među mjernim točkama
Kirchhoffov zakon
U svakom čvoru električne mreže zbroj električnih struja koje ulaze u čvor jednak je zbroju struja koje
izlaze iz čvora tj zbroj struja u svakom čvorištu strujnog kruga mora biti nula
Shemu otpornika postupno možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
9
IIII1111
IIIIIIII5555
IIII6666
IIII4444IIII
IIII3333
IIII2222
IIII1111
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Otpornici R1 i R2 usporedno su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom RAB = R12
3 61 2 2 12 3 6
1 2
R RR R
AB R R
sdot Ω sdot Ω= = = = Ω
+ Ω + Ω
RRRR3333
RRRR4444
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRRABABABAB
RRRR12121212
RRRRBCBCBCBC RRRR5555
RRRR6666
Otpornici R4 R5 i R6 usporedno su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
RCD = R456
5 10 554 6 2 456 5 10 5 5 10 5
5 54 4 6 6
R R RR R
CD R R R R R R
sdot sdot Ω sdot Ω sdot Ω= = = = Ω
sdot + sdot + sdot Ω sdot Ω + Ω sdot Ω + Ω sdot Ω
RRRR3333
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRRABABABAB
RRRR12121212
RRRRBCBCBCBCRRRRCDCDCDCD
RRRR456456456456
Otpornici RAB RBC i RCD serijski su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
RAD
2 3 2 7 R R R RAD AB BC CD
= + + = Ω + Ω + Ω = Ω
RRRR123456123456123456123456
AAAA DDDD
RRRRADADADAD
Našavši ukupni otpor RAD strujnog kruga pomoću Ohmovog zakona izračunamo jakost struje I u
krugu
497
7
UADI
RAD
Ω= = = Ω
Ω
Dakle ekvivalentni otpor između točaka
bull 1 2je 212
1 2
iR R
R RAB R R
A Bsdot
= = = Ω+
10
bull 3
i je 3R RBC
B C = = Ω
bull 54 6je 2 456
5 5 54 4 6
iR R R
R RCD R R R R R
C DR
sdot sdot= = = Ω
sdot + + sdot
Pad napona između točaka
bull ei j U I RAB A
AB
B = sdot
bull ei j U I RBC B
BC
C = sdot
bull ei j U I RCD D
C DC
= sdot
Sada računamo jakost struje u pojedinim vodičima povezanim u strujni krug prema shemi na slici
bull 7 2
467 1 3
111
U I RAB AB
I R AABU I AAB RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
233 2 6
222
U I RAB AB
I R AABU I AAB RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 3
7 3 3
333
U I RBC BC
I R ABCU I ABC RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
280 4 5
444
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
140 5 10
555
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
280 6 5
666
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
Vježba 168
Odredite jakost struje u strujnom krugu prema shemi na slici ako je UAD = 63 V
R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω i R6 = 5 Ω
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Rezultat 9 A
11
Zadatak 169 (Marija gimnazija)
U shemu prikazanu na slici uključena su dva mikroampermetra i dva jednaka voltmetra
Mikroampermetri pokazuju vrijednosti I1 = 100 microA i I2 = 99 microA Voltmetar V1 pokazuje U1 = 10 V
Koliki napon pokazuje voltmetar V2
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Rješenje 169
I1 = 100 microA = 10-4
A I2 = 99 microA = 99 middot 10-5
A U1 = 10 V U2 =
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U U
I R U I R pad naponaR I
= rArr = rArr = sdot minus
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Prolaskom struje kroz bilo koji otpornik ili vodič na otporniku ili vodiču nastaje pad napona
jednak umnošku jakosti struje i otpora među mjernim točkama
Kirchhoffov zakon
U svakom čvoru električne mreže zbroj električnih struja koje ulaze u čvor jednak je zbroju struja koje
izlaze iz čvora tj zbroj struja u svakom čvorištu strujnog kruga mora biti nula
RRRR2222
RRRR1111
IIII3333
IIII2222
IIII1111
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Otpor R1 voltmetra V1 iznosi
10 51 10 1 4
101
U VR
I A
= = = Ωminus
Budući da su voltmetri V1 i V2 jednaki imaju jednake otpore
2 1 510
5 210
1
R R
RR
=
rArr = Ω= Ω
Pomoću Kirchhoffova zakona izračuna se struja I3 koja prolazi voltmetrom V2
4 5 610 99 10 10
1 2 3 3 1 2I I I I I I A A A
minus minus minus= + rArr = minus = minus sdot =
Napon U2 koji pokazuje voltmetar V2 jednak je
6 5 110 10 10 01
2 3 2U I R A V V
minus minus= sdot = sdot Ω = =
12
Vježba 169
U shemu prikazanu na slici uključena su dva mikroampermetra i dva jednaka voltmetra
Mikroampermetri pokazuju vrijednosti I1 = 100 microA i I2 = 90 microA Voltmetar V1 pokazuje U1 = 10 V
Koliki napon pokazuje voltmetar V2
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Rezultat 1 V
Zadatak 170 (DJ gimnazija)
Bakrena žica duljine 1000 m ima otpor 1 Ω Kolika je masa žice Otpornost bakra je
17 middot 10-8
Ω middot m a gustoća 8900 kgm3
Rješenje 170
l = 1000 m R = 1 Ω ρ1 = 17 middot 10-8
Ω middot m ndash otpornost ρ2 = 8900 kgm3 ndash gustoća
m =
Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera mase tijela i njegova obujma
m
m VV
ρ ρ= rArr = sdot
Obujam valjka
Uspravni i kosi valjak ploštine osnovke (baze) S i visine v imaju jednake obujmove Taj obujam
iznosi
V S v= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Prvo odredimo poprečni presjek S žice
metoda 1
zamj2
2ne
22 2e
m Vm S l S l m S l
lm
V S l
ρρ ρ ρ
ρsdot
sdot
= sdotrArr rArr = sdot sdot rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
= sdot
2
mS
lρrArr =
sdot
Iz formule za električnu otpornost dobije se masa m žice
metoda
zamjene
211 2
1 1 1
2 2 2
l lRlS l
R R Rm m m mS
l l l
ρρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
= sdotsdot
rArr rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr=
sdot sdot sdot
( )2
1000 89002 2382 2 17 10 15130
1 1
1
kgm
l lmR m m kg
m
Rm R
ρ ρρ ρ
sdotsdot sdot minus
rArr = sdot rArr = sdot = sdot Ω sdot sdotsdot =Ω
13
Vježba 170
Bakrena žica duljine 2000 m ima otpor 1 Ω Kolika je masa žice Otpornost bakra je
17 middot 10-8 Ω middot m a gustoća 8900 kgm3
Rezultat 60520 kg
Zadatak 171 (Ana gimnazija)
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 2 4 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
3 6 12 21A A B A C A D A
Rješenje 171
R1 R2 R3 = 1 2 4 I3 = 3 A I =
Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama jednak je jakosti
struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1
1 2 3
1 2 3
I I IR R R
=
Iz omjera otpora
1 2 41 2 3
R R R =
vidi se da je
bull otpor R1 četiri puta manji od otpora R3
1 41 3
R R =
bull otpor R2 dva puta manji od otpora R3
2 42 3
R R =
Zato je
bull struja I1 četiri puta veća od struje I3
4 4 3 121 3
I I A A= sdot = sdot =
bull struja I2 dva puta veća od struje I3
2 2 3 6 2 3
I I A A= sdot = sdot =
Ukupna struja I koju pokazuje ampermetar iznosi
12 6 3 21 1 2 3
I I I I A A A A= + + = + + =
Odgovor je pod D
Vježba 171
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 3 6 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
12 15 21 27A A B A C A D A
14
Rezultat D
Zadatak 172 (Hana medicinska škola)
Otpornik otpora 100 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
5 10 50 500A V B V C V D V
Rješenje 172
R = 100 Ω I = 5 A U =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I RR
= rArr = sdot
I = 5 AI = 5 AI = 5 AI = 5 A
Graf prikazuje struju koja prolazi kroz otpornik u ovisnosti o vremenu i njezina maksimalna vrijednost
je I = 5 A Maksimalni napon na otporniku iznosi
5 100 500 U I R A V= sdot = sdot Ω =
Odgovor je pod D
Vježba 172
Otpornik otpora 10 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
15
5 10 50 500A V B V C V D V
Rezultat C
Zadatak 173 (Ivan tehnička škola)
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 210 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rješenje 173
U1 = 220 V P1 = 750 W U2 = 210 V R1 = R2 = R p =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Kako zapisati za koliko se posto veličina a2 smanjila u odnosu na istovrsnu veličinu a1
1 2100 100
1 1
a aa
p pa a
minus∆= sdot rArr = sdot
1inačica
22 2 21
1 1 2111
1001 22 2
12 2
2 100
2 22
1
UU U UP
PRR R Rp
UU UP P
RR
Pp
P
R
P=
= minus
rArr rArr rArr = sdot rArr
= =
minus= sdot
2 2 2 21 2 1 2 2 2
1 2100 100 1002 2 2
1 1 1
U U U U
U URp p p
U U U
R
R R
minus minus
minusrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
2 2 2 21 2 2 2100 100 1 1002 2 2 2
1 1 1
212
1 1
U U UU
U
Up p p
U U U U
rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr
2 221021 100 1 100 888220
1
U Vp p p
U VrArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr =
2inačica
Izračunamo otpor grijača
( )2 2 2 2
2201 1 1 6453 1 1 7
150
1
U U U V
P P RR R P W
R
Psdot= rArr = rArr = = = Ω
Kada napon padne na 210 V snaga će uz jednaki otpor grijača iznositi
( )2 2
2102 68340 2 6453
U VP W
R= = =
Ω
Računamo postotak smanjenja snage grijača
16
750 683401 2 100 100 888750
1
P P W Wp p p
P W
minus minus= sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 173
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 215 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rezultat 449
Zadatak 174 (Mario gimnazija)
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 10 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6
Ω middot m)
Rješenje 174
2 middot r1 = 256 mm =gt r1 = 128 mm = 00128 m 2 middot r2 = 234 mm =gt r2 = 117 mm =
= 00117 m l = 10 m ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m = 10-7 Ω middot m R =
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Površina kružnog vijenca
Neka su zadane dvije koncentrične kružnice polumjera r1 i r2 (r1 gt r2) tj kružnice s istim središtem
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen tim kružnicama i njegova površina računa se po formuli
( )2
2 21
S r r π= minus sdot
Otpor željezne cijevi iznosi
( )( )
2 21 2
2 21 2
S r rl
Rl
r rRS
π
ρ
πρ
= minus sdot
rArr = sdot =
minus sdot= sdot
( ) ( )( )107
10 0012 2 2
00128 00117
mm
m m π
minus= Ω sdot sdot = Ω
minus sdot
Vježba 174
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 20 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m)
Rezultat 0025 Ω
17
Zadatak 175 (Mario gimnazija)
Pad napona na krajevima 100 m dugog bakrenog vodiča iznosi 102 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19
C)
Rješenje 175
l = 100 m U = 102 V n = 84 middot 1022
cm-3
= 84 middot 1028
m-3
ρ = 17 middot 10-3
Ω middot mm2 m = 17 middot 10
-9 Ω middot m e = 1602 middot 10
-19 C v =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
gdje je U razlika potencijala (napon) na krajevima vodiča a R otpor vodiča Iz te formule izlazi da je
razlika potencijala (pad napona) U na dijelu strujnog kruga otpora R jednak
U I R= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Vodičem površine presjeka S u kojem ima n slobodnih elektrona po jedinici volumena naboja e i koji
se djelovanjem električnog polja gibaju brzinom v teče struja jakosti
I n e v S= sdot sdot sdot
Računamo brzinu elektrona
I n e v S
l l lR U n e v S U n e v U n e v l
S S
U I R
SS
ρ ρ ρ ρ
= sdot sdot sdot
= sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot rArr
= sdot
1
Un e v l U n e v l U
n ev
n e llρ
ρρρ sdot
sdot sdotrArr sdot sdot sdot sdot = rArr sdot sdot sdot sdot = rArr =
sdot sdot sdotsdot=
102 5446 10
128 19 984 10 1602 10 17 10 100
3
V m
sC m m
m
minus= = sdot
minus minussdot sdot sdot sdot sdot Ω sdot sdot
Vježba 175
Pad napona na krajevima 200 m dugog bakrenog vodiča iznosi 204 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19 C)
Rezultat 5
446 10 m
s
minussdot
Zadatak 176 (Tomer181 tehnička škola)
Električni izvor ima elektromotorni napon 12 V i unutarnji otpor 06 Ω Na izvor je priključen
otpornik 10 Ω Odrediti jakost struje i napon
Rješenje 176
ε = 12 V Ru = 06 Ω Rv = 10 Ω I = U =
Kad je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na pad
napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (U = I middot R) u vanjskom krugu
18
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( ) I R R I R I R I R Uu v u v u vε ε ε= sdot + rArr = sdot + sdot rArr = sdot +
Računamo struju u strujnom krugu
( ) ( ) ( )1
I R R I R R I R R Iu v u v uR
vR RuRv vu
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot + sdot= rArr =
++=
121132
06 10
VA= =
Ω + Ω
Tada je
bull pad napona na unutarnjem otporu izvora
1132 06 068U I R A Vu u= sdot = sdot Ω =
bull pad napona u vanjskom krugu
1132 10 1132U I R A Vv v= sdot = sdot Ω =
ili
12 068 1132 U U U U V V Vu v v uε ε+ = rArr = minus = minus =
Vježba 176
Električni izvor ima elektromotorni napon 24 V i unutarnji otpor 12 Ω Na izvor je priključen
otpornik 20 Ω Odrediti jakost struje
Rezultat 1132 V
Zadatak 177 (Jurica gimnazija)
U krug istosmjerne struje napona 120 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
Rješenje 177
U = 120 V RA = RB = RC = R UA = UB = UC =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
19
Jakost struje u vodiču razmjerna je naponu između dviju točaka vodiča
Pad napona U na nekom otporniku otpora R razmjeran je jakosti struje I i otporu
U I R= sdot
Pri paralelnom spajanju vodiča pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak
je
1 2 3
U U U U Un= = = = =
1 1 2 2 3 3
U I R I R I R I Rn n= sdot = sdot = sdot = = sdot
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni pad napona na serijskome spoju jednak je zbroju pojedinih padova napona
1 2 3
U U U U Un= + + + +
Vodiče možemo spajati u seriju i paralelno Pri serijskom spajanju vodiča kroz sve vodiče teče
struja iste jakosti Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama
jednak je jakosti struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1 1
1 2 31 2
3
I I I InR R R Rn
=
I2
I1
I
R
R
R
C
B
A
120 V
I
RR
2
AB C
120 V
I
3sdotsdotsdotsdotR
2
ABC
120 V
1inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
20
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Padovi napona na otpornicima AB i C su
2
RU I R U IAB AB AB
U I RC C U I R
C
= sdot = sdotrArr
= sdot= sdot
Iz kvocijenta napona UC i UAB dobije se
2 2 2
2 2
U U U UI RC C C C U UC ABRU U U U
AB AB AB A
I RU
ABI B
RI
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr = sdotsdot
sdot sdot
Budući da je zbroj padova napona u strujnome krugu jednak ukupnom naponu za strujni krug
prikazan na slici je
U U UAB C
+ =
pa vrijedi sustav jednadžbi
1202 1
metoda
zam20
2 2 jene
U U U U UAB C AB C
U UAB ABU U U U
C AB C AB
+ = + =rArr rArr rArr + sdot = rArr
= sdot = sdot
3 120 3 120 0 4 3U U U VAB AB AB
rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo UC
402 40 80
2
U VAB
U V VCU U
C AB
=rArr = sdot =
= sdot
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
2inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Pad napona UC ima vrijednost
80 8080 U I R U R U U V
C C C C CRR
R= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Pad napona UAB iznosi
120 80 40 U U U U U U V V VAB C AB C
+ = rArr = minus = minus =
21
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
3inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Za struje I1 i I2 vrijedi
1 11 1 1 1 2 1 21 21 280 80
801 2 1 2
1 21 2
I I I II II IR RR R
BAI I I I
I II I I R RR
= ===rArr rArr rArr rArr
+ = + =+ =+ =
80 80 80 40 402 2
2 2 2 2 2
2 1I I I I I I
R R R R RrArr + = rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr =
Računamo padove napona na otpornicima A B i C
40 40
401
40 4040
2
8080 80
U R UA ARU I R U V
A A A
U I R U R U U VB B B B BR
U VU I R
RR
RR
CC CU R U
C C RRR
= sdot = sdot= sdot =
= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
== sdot= sdot = sdot
Vježba 177
U krug istosmjerne struje napona 240 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
C
B
A
240 V
Rezultat UA = 80 V UB = 80 V UC = 160 V
22
Zadatak 178 (Mario tehnička škola)
Grijalica predviđena za napon U ima n spirala od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima otpor
R Koliku će snagu trošiti grijalica ako je svih n spirala spojeno paralelno
Rješenje 178
U n R1 = R2 = hellip = Rn = R P =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon na krajevima trošila R otpor trošila
U slučaju paralelnog spoja n jednakih otpornika ekvivalentni je otpor Re
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3
n RRe
R R R R R R R R R R R R ne n e e
= + + + + rArr = + + + + rArr = rArr =
Snaga koju troši grijalica iznosi
2 2
2 2 21
U UP
U n U URe P P P P nR R R RR
Re n nn
=sdot
rArr = rArr = rArr = rArr = sdot
=
Vježba 178
Grijalica predviđena za napon 220 V ima 2 spirale od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima
otpor 100 Ω Koliku će snagu trošiti grijalica ako su spirale spojene paralelno
Rezultat P = 968 W
Zadatak 179 (Tina gimnazija)
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 45
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 004 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rješenje 179
R = 100 Ω ε = 45 V I = 004 A r =
Kada je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na
pad napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (I middot Rv) u vanjskom krugu
23
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( )I R I R I R Ru v u vε ε= sdot + sdot rArr = sdot +
Iz uvjeta zadatka dobije
( ) ( ) ( )1
I R r I R r I R rI
r RI
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot rArr +sdot+ = = rArr
45100 125
004
Vr R
I A
εrArr = minus = minus Ω = Ω
Vježba 179
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 9
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 008 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rezultat r = 125 Ω
Zadatak 180 (Martin tehnička škola)
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 20 a otpor se pritom smanji za
5
Rješenje 180
U U1 = U ndash 20 middot U = U ndash 020 middot U = 080 middot U R R1 = R ndash 5 middot R = R ndash 005 middot R =
= 095 middot R P P1 =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Izrazit ćemo novu snagu uređaja P1 pomoću stare snage P
( )2 2 2 2 2 2
080 080 08011 1 1 1095 095 095
1
U U U UP P P P
R R R R
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = sdot rArr
sdot sdot
2080
06737 032631 1
2
1095P P P P P P P
UP
RrArr rArr = sdot rArr = sdot rArr= = minus sdot rArr
32633263 1 1
P P P P P PrArr = minus sdot rArr sdotminus=
24
Snaga će pasti za 3263
Vježba 180
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 10 a otpor se pritom smanji za
5
Rezultat Snaga će pasti za 1474
9
IIII1111
IIIIIIII5555
IIII6666
IIII4444IIII
IIII3333
IIII2222
IIII1111
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Otpornici R1 i R2 usporedno su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom RAB = R12
3 61 2 2 12 3 6
1 2
R RR R
AB R R
sdot Ω sdot Ω= = = = Ω
+ Ω + Ω
RRRR3333
RRRR4444
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRRABABABAB
RRRR12121212
RRRRBCBCBCBC RRRR5555
RRRR6666
Otpornici R4 R5 i R6 usporedno su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
RCD = R456
5 10 554 6 2 456 5 10 5 5 10 5
5 54 4 6 6
R R RR R
CD R R R R R R
sdot sdot Ω sdot Ω sdot Ω= = = = Ω
sdot + sdot + sdot Ω sdot Ω + Ω sdot Ω + Ω sdot Ω
RRRR3333
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRRABABABAB
RRRR12121212
RRRRBCBCBCBCRRRRCDCDCDCD
RRRR456456456456
Otpornici RAB RBC i RCD serijski su spojeni pa ih možemo zamijeniti ekvivalentnim otporom
RAD
2 3 2 7 R R R RAD AB BC CD
= + + = Ω + Ω + Ω = Ω
RRRR123456123456123456123456
AAAA DDDD
RRRRADADADAD
Našavši ukupni otpor RAD strujnog kruga pomoću Ohmovog zakona izračunamo jakost struje I u
krugu
497
7
UADI
RAD
Ω= = = Ω
Ω
Dakle ekvivalentni otpor između točaka
bull 1 2je 212
1 2
iR R
R RAB R R
A Bsdot
= = = Ω+
10
bull 3
i je 3R RBC
B C = = Ω
bull 54 6je 2 456
5 5 54 4 6
iR R R
R RCD R R R R R
C DR
sdot sdot= = = Ω
sdot + + sdot
Pad napona između točaka
bull ei j U I RAB A
AB
B = sdot
bull ei j U I RBC B
BC
C = sdot
bull ei j U I RCD D
C DC
= sdot
Sada računamo jakost struje u pojedinim vodičima povezanim u strujni krug prema shemi na slici
bull 7 2
467 1 3
111
U I RAB AB
I R AABU I AAB RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
233 2 6
222
U I RAB AB
I R AABU I AAB RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 3
7 3 3
333
U I RBC BC
I R ABCU I ABC RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
280 4 5
444
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
140 5 10
555
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
280 6 5
666
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
Vježba 168
Odredite jakost struje u strujnom krugu prema shemi na slici ako je UAD = 63 V
R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω i R6 = 5 Ω
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Rezultat 9 A
11
Zadatak 169 (Marija gimnazija)
U shemu prikazanu na slici uključena su dva mikroampermetra i dva jednaka voltmetra
Mikroampermetri pokazuju vrijednosti I1 = 100 microA i I2 = 99 microA Voltmetar V1 pokazuje U1 = 10 V
Koliki napon pokazuje voltmetar V2
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Rješenje 169
I1 = 100 microA = 10-4
A I2 = 99 microA = 99 middot 10-5
A U1 = 10 V U2 =
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U U
I R U I R pad naponaR I
= rArr = rArr = sdot minus
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Prolaskom struje kroz bilo koji otpornik ili vodič na otporniku ili vodiču nastaje pad napona
jednak umnošku jakosti struje i otpora među mjernim točkama
Kirchhoffov zakon
U svakom čvoru električne mreže zbroj električnih struja koje ulaze u čvor jednak je zbroju struja koje
izlaze iz čvora tj zbroj struja u svakom čvorištu strujnog kruga mora biti nula
RRRR2222
RRRR1111
IIII3333
IIII2222
IIII1111
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Otpor R1 voltmetra V1 iznosi
10 51 10 1 4
101
U VR
I A
= = = Ωminus
Budući da su voltmetri V1 i V2 jednaki imaju jednake otpore
2 1 510
5 210
1
R R
RR
=
rArr = Ω= Ω
Pomoću Kirchhoffova zakona izračuna se struja I3 koja prolazi voltmetrom V2
4 5 610 99 10 10
1 2 3 3 1 2I I I I I I A A A
minus minus minus= + rArr = minus = minus sdot =
Napon U2 koji pokazuje voltmetar V2 jednak je
6 5 110 10 10 01
2 3 2U I R A V V
minus minus= sdot = sdot Ω = =
12
Vježba 169
U shemu prikazanu na slici uključena su dva mikroampermetra i dva jednaka voltmetra
Mikroampermetri pokazuju vrijednosti I1 = 100 microA i I2 = 90 microA Voltmetar V1 pokazuje U1 = 10 V
Koliki napon pokazuje voltmetar V2
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Rezultat 1 V
Zadatak 170 (DJ gimnazija)
Bakrena žica duljine 1000 m ima otpor 1 Ω Kolika je masa žice Otpornost bakra je
17 middot 10-8
Ω middot m a gustoća 8900 kgm3
Rješenje 170
l = 1000 m R = 1 Ω ρ1 = 17 middot 10-8
Ω middot m ndash otpornost ρ2 = 8900 kgm3 ndash gustoća
m =
Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera mase tijela i njegova obujma
m
m VV
ρ ρ= rArr = sdot
Obujam valjka
Uspravni i kosi valjak ploštine osnovke (baze) S i visine v imaju jednake obujmove Taj obujam
iznosi
V S v= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Prvo odredimo poprečni presjek S žice
metoda 1
zamj2
2ne
22 2e
m Vm S l S l m S l
lm
V S l
ρρ ρ ρ
ρsdot
sdot
= sdotrArr rArr = sdot sdot rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
= sdot
2
mS
lρrArr =
sdot
Iz formule za električnu otpornost dobije se masa m žice
metoda
zamjene
211 2
1 1 1
2 2 2
l lRlS l
R R Rm m m mS
l l l
ρρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
= sdotsdot
rArr rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr=
sdot sdot sdot
( )2
1000 89002 2382 2 17 10 15130
1 1
1
kgm
l lmR m m kg
m
Rm R
ρ ρρ ρ
sdotsdot sdot minus
rArr = sdot rArr = sdot = sdot Ω sdot sdotsdot =Ω
13
Vježba 170
Bakrena žica duljine 2000 m ima otpor 1 Ω Kolika je masa žice Otpornost bakra je
17 middot 10-8 Ω middot m a gustoća 8900 kgm3
Rezultat 60520 kg
Zadatak 171 (Ana gimnazija)
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 2 4 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
3 6 12 21A A B A C A D A
Rješenje 171
R1 R2 R3 = 1 2 4 I3 = 3 A I =
Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama jednak je jakosti
struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1
1 2 3
1 2 3
I I IR R R
=
Iz omjera otpora
1 2 41 2 3
R R R =
vidi se da je
bull otpor R1 četiri puta manji od otpora R3
1 41 3
R R =
bull otpor R2 dva puta manji od otpora R3
2 42 3
R R =
Zato je
bull struja I1 četiri puta veća od struje I3
4 4 3 121 3
I I A A= sdot = sdot =
bull struja I2 dva puta veća od struje I3
2 2 3 6 2 3
I I A A= sdot = sdot =
Ukupna struja I koju pokazuje ampermetar iznosi
12 6 3 21 1 2 3
I I I I A A A A= + + = + + =
Odgovor je pod D
Vježba 171
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 3 6 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
12 15 21 27A A B A C A D A
14
Rezultat D
Zadatak 172 (Hana medicinska škola)
Otpornik otpora 100 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
5 10 50 500A V B V C V D V
Rješenje 172
R = 100 Ω I = 5 A U =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I RR
= rArr = sdot
I = 5 AI = 5 AI = 5 AI = 5 A
Graf prikazuje struju koja prolazi kroz otpornik u ovisnosti o vremenu i njezina maksimalna vrijednost
je I = 5 A Maksimalni napon na otporniku iznosi
5 100 500 U I R A V= sdot = sdot Ω =
Odgovor je pod D
Vježba 172
Otpornik otpora 10 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
15
5 10 50 500A V B V C V D V
Rezultat C
Zadatak 173 (Ivan tehnička škola)
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 210 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rješenje 173
U1 = 220 V P1 = 750 W U2 = 210 V R1 = R2 = R p =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Kako zapisati za koliko se posto veličina a2 smanjila u odnosu na istovrsnu veličinu a1
1 2100 100
1 1
a aa
p pa a
minus∆= sdot rArr = sdot
1inačica
22 2 21
1 1 2111
1001 22 2
12 2
2 100
2 22
1
UU U UP
PRR R Rp
UU UP P
RR
Pp
P
R
P=
= minus
rArr rArr rArr = sdot rArr
= =
minus= sdot
2 2 2 21 2 1 2 2 2
1 2100 100 1002 2 2
1 1 1
U U U U
U URp p p
U U U
R
R R
minus minus
minusrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
2 2 2 21 2 2 2100 100 1 1002 2 2 2
1 1 1
212
1 1
U U UU
U
Up p p
U U U U
rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr
2 221021 100 1 100 888220
1
U Vp p p
U VrArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr =
2inačica
Izračunamo otpor grijača
( )2 2 2 2
2201 1 1 6453 1 1 7
150
1
U U U V
P P RR R P W
R
Psdot= rArr = rArr = = = Ω
Kada napon padne na 210 V snaga će uz jednaki otpor grijača iznositi
( )2 2
2102 68340 2 6453
U VP W
R= = =
Ω
Računamo postotak smanjenja snage grijača
16
750 683401 2 100 100 888750
1
P P W Wp p p
P W
minus minus= sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 173
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 215 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rezultat 449
Zadatak 174 (Mario gimnazija)
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 10 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6
Ω middot m)
Rješenje 174
2 middot r1 = 256 mm =gt r1 = 128 mm = 00128 m 2 middot r2 = 234 mm =gt r2 = 117 mm =
= 00117 m l = 10 m ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m = 10-7 Ω middot m R =
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Površina kružnog vijenca
Neka su zadane dvije koncentrične kružnice polumjera r1 i r2 (r1 gt r2) tj kružnice s istim središtem
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen tim kružnicama i njegova površina računa se po formuli
( )2
2 21
S r r π= minus sdot
Otpor željezne cijevi iznosi
( )( )
2 21 2
2 21 2
S r rl
Rl
r rRS
π
ρ
πρ
= minus sdot
rArr = sdot =
minus sdot= sdot
( ) ( )( )107
10 0012 2 2
00128 00117
mm
m m π
minus= Ω sdot sdot = Ω
minus sdot
Vježba 174
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 20 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m)
Rezultat 0025 Ω
17
Zadatak 175 (Mario gimnazija)
Pad napona na krajevima 100 m dugog bakrenog vodiča iznosi 102 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19
C)
Rješenje 175
l = 100 m U = 102 V n = 84 middot 1022
cm-3
= 84 middot 1028
m-3
ρ = 17 middot 10-3
Ω middot mm2 m = 17 middot 10
-9 Ω middot m e = 1602 middot 10
-19 C v =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
gdje je U razlika potencijala (napon) na krajevima vodiča a R otpor vodiča Iz te formule izlazi da je
razlika potencijala (pad napona) U na dijelu strujnog kruga otpora R jednak
U I R= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Vodičem površine presjeka S u kojem ima n slobodnih elektrona po jedinici volumena naboja e i koji
se djelovanjem električnog polja gibaju brzinom v teče struja jakosti
I n e v S= sdot sdot sdot
Računamo brzinu elektrona
I n e v S
l l lR U n e v S U n e v U n e v l
S S
U I R
SS
ρ ρ ρ ρ
= sdot sdot sdot
= sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot rArr
= sdot
1
Un e v l U n e v l U
n ev
n e llρ
ρρρ sdot
sdot sdotrArr sdot sdot sdot sdot = rArr sdot sdot sdot sdot = rArr =
sdot sdot sdotsdot=
102 5446 10
128 19 984 10 1602 10 17 10 100
3
V m
sC m m
m
minus= = sdot
minus minussdot sdot sdot sdot sdot Ω sdot sdot
Vježba 175
Pad napona na krajevima 200 m dugog bakrenog vodiča iznosi 204 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19 C)
Rezultat 5
446 10 m
s
minussdot
Zadatak 176 (Tomer181 tehnička škola)
Električni izvor ima elektromotorni napon 12 V i unutarnji otpor 06 Ω Na izvor je priključen
otpornik 10 Ω Odrediti jakost struje i napon
Rješenje 176
ε = 12 V Ru = 06 Ω Rv = 10 Ω I = U =
Kad je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na pad
napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (U = I middot R) u vanjskom krugu
18
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( ) I R R I R I R I R Uu v u v u vε ε ε= sdot + rArr = sdot + sdot rArr = sdot +
Računamo struju u strujnom krugu
( ) ( ) ( )1
I R R I R R I R R Iu v u v uR
vR RuRv vu
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot + sdot= rArr =
++=
121132
06 10
VA= =
Ω + Ω
Tada je
bull pad napona na unutarnjem otporu izvora
1132 06 068U I R A Vu u= sdot = sdot Ω =
bull pad napona u vanjskom krugu
1132 10 1132U I R A Vv v= sdot = sdot Ω =
ili
12 068 1132 U U U U V V Vu v v uε ε+ = rArr = minus = minus =
Vježba 176
Električni izvor ima elektromotorni napon 24 V i unutarnji otpor 12 Ω Na izvor je priključen
otpornik 20 Ω Odrediti jakost struje
Rezultat 1132 V
Zadatak 177 (Jurica gimnazija)
U krug istosmjerne struje napona 120 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
Rješenje 177
U = 120 V RA = RB = RC = R UA = UB = UC =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
19
Jakost struje u vodiču razmjerna je naponu između dviju točaka vodiča
Pad napona U na nekom otporniku otpora R razmjeran je jakosti struje I i otporu
U I R= sdot
Pri paralelnom spajanju vodiča pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak
je
1 2 3
U U U U Un= = = = =
1 1 2 2 3 3
U I R I R I R I Rn n= sdot = sdot = sdot = = sdot
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni pad napona na serijskome spoju jednak je zbroju pojedinih padova napona
1 2 3
U U U U Un= + + + +
Vodiče možemo spajati u seriju i paralelno Pri serijskom spajanju vodiča kroz sve vodiče teče
struja iste jakosti Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama
jednak je jakosti struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1 1
1 2 31 2
3
I I I InR R R Rn
=
I2
I1
I
R
R
R
C
B
A
120 V
I
RR
2
AB C
120 V
I
3sdotsdotsdotsdotR
2
ABC
120 V
1inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
20
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Padovi napona na otpornicima AB i C su
2
RU I R U IAB AB AB
U I RC C U I R
C
= sdot = sdotrArr
= sdot= sdot
Iz kvocijenta napona UC i UAB dobije se
2 2 2
2 2
U U U UI RC C C C U UC ABRU U U U
AB AB AB A
I RU
ABI B
RI
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr = sdotsdot
sdot sdot
Budući da je zbroj padova napona u strujnome krugu jednak ukupnom naponu za strujni krug
prikazan na slici je
U U UAB C
+ =
pa vrijedi sustav jednadžbi
1202 1
metoda
zam20
2 2 jene
U U U U UAB C AB C
U UAB ABU U U U
C AB C AB
+ = + =rArr rArr rArr + sdot = rArr
= sdot = sdot
3 120 3 120 0 4 3U U U VAB AB AB
rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo UC
402 40 80
2
U VAB
U V VCU U
C AB
=rArr = sdot =
= sdot
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
2inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Pad napona UC ima vrijednost
80 8080 U I R U R U U V
C C C C CRR
R= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Pad napona UAB iznosi
120 80 40 U U U U U U V V VAB C AB C
+ = rArr = minus = minus =
21
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
3inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Za struje I1 i I2 vrijedi
1 11 1 1 1 2 1 21 21 280 80
801 2 1 2
1 21 2
I I I II II IR RR R
BAI I I I
I II I I R RR
= ===rArr rArr rArr rArr
+ = + =+ =+ =
80 80 80 40 402 2
2 2 2 2 2
2 1I I I I I I
R R R R RrArr + = rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr =
Računamo padove napona na otpornicima A B i C
40 40
401
40 4040
2
8080 80
U R UA ARU I R U V
A A A
U I R U R U U VB B B B BR
U VU I R
RR
RR
CC CU R U
C C RRR
= sdot = sdot= sdot =
= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
== sdot= sdot = sdot
Vježba 177
U krug istosmjerne struje napona 240 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
C
B
A
240 V
Rezultat UA = 80 V UB = 80 V UC = 160 V
22
Zadatak 178 (Mario tehnička škola)
Grijalica predviđena za napon U ima n spirala od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima otpor
R Koliku će snagu trošiti grijalica ako je svih n spirala spojeno paralelno
Rješenje 178
U n R1 = R2 = hellip = Rn = R P =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon na krajevima trošila R otpor trošila
U slučaju paralelnog spoja n jednakih otpornika ekvivalentni je otpor Re
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3
n RRe
R R R R R R R R R R R R ne n e e
= + + + + rArr = + + + + rArr = rArr =
Snaga koju troši grijalica iznosi
2 2
2 2 21
U UP
U n U URe P P P P nR R R RR
Re n nn
=sdot
rArr = rArr = rArr = rArr = sdot
=
Vježba 178
Grijalica predviđena za napon 220 V ima 2 spirale od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima
otpor 100 Ω Koliku će snagu trošiti grijalica ako su spirale spojene paralelno
Rezultat P = 968 W
Zadatak 179 (Tina gimnazija)
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 45
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 004 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rješenje 179
R = 100 Ω ε = 45 V I = 004 A r =
Kada je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na
pad napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (I middot Rv) u vanjskom krugu
23
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( )I R I R I R Ru v u vε ε= sdot + sdot rArr = sdot +
Iz uvjeta zadatka dobije
( ) ( ) ( )1
I R r I R r I R rI
r RI
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot rArr +sdot+ = = rArr
45100 125
004
Vr R
I A
εrArr = minus = minus Ω = Ω
Vježba 179
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 9
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 008 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rezultat r = 125 Ω
Zadatak 180 (Martin tehnička škola)
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 20 a otpor se pritom smanji za
5
Rješenje 180
U U1 = U ndash 20 middot U = U ndash 020 middot U = 080 middot U R R1 = R ndash 5 middot R = R ndash 005 middot R =
= 095 middot R P P1 =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Izrazit ćemo novu snagu uređaja P1 pomoću stare snage P
( )2 2 2 2 2 2
080 080 08011 1 1 1095 095 095
1
U U U UP P P P
R R R R
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = sdot rArr
sdot sdot
2080
06737 032631 1
2
1095P P P P P P P
UP
RrArr rArr = sdot rArr = sdot rArr= = minus sdot rArr
32633263 1 1
P P P P P PrArr = minus sdot rArr sdotminus=
24
Snaga će pasti za 3263
Vježba 180
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 10 a otpor se pritom smanji za
5
Rezultat Snaga će pasti za 1474
10
bull 3
i je 3R RBC
B C = = Ω
bull 54 6je 2 456
5 5 54 4 6
iR R R
R RCD R R R R R
C DR
sdot sdot= = = Ω
sdot + + sdot
Pad napona između točaka
bull ei j U I RAB A
AB
B = sdot
bull ei j U I RBC B
BC
C = sdot
bull ei j U I RCD D
C DC
= sdot
Sada računamo jakost struje u pojedinim vodičima povezanim u strujni krug prema shemi na slici
bull 7 2
467 1 3
111
U I RAB AB
I R AABU I AAB RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
233 2 6
222
U I RAB AB
I R AABU I AAB RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 3
7 3 3
333
U I RBC BC
I R ABCU I ABC RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
280 4 5
444
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
140 5 10
555
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
bull 7 2
280 6 5
666
U I RCD CD
I R ACDU I ACD RIR
= sdotsdot sdot Ω
rArr = = =Ω=
Vježba 168
Odredite jakost struje u strujnom krugu prema shemi na slici ako je UAD = 63 V
R1 = R3 = 3 Ω R2 = 6 Ω R4 = 5 Ω R5 = 10 Ω i R6 = 5 Ω
AAAA BBBB CCCC DDDD
RRRR1111
RRRR2222
RRRR3333
RRRR4444
RRRR5555
RRRR6666
Rezultat 9 A
11
Zadatak 169 (Marija gimnazija)
U shemu prikazanu na slici uključena su dva mikroampermetra i dva jednaka voltmetra
Mikroampermetri pokazuju vrijednosti I1 = 100 microA i I2 = 99 microA Voltmetar V1 pokazuje U1 = 10 V
Koliki napon pokazuje voltmetar V2
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Rješenje 169
I1 = 100 microA = 10-4
A I2 = 99 microA = 99 middot 10-5
A U1 = 10 V U2 =
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U U
I R U I R pad naponaR I
= rArr = rArr = sdot minus
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Prolaskom struje kroz bilo koji otpornik ili vodič na otporniku ili vodiču nastaje pad napona
jednak umnošku jakosti struje i otpora među mjernim točkama
Kirchhoffov zakon
U svakom čvoru električne mreže zbroj električnih struja koje ulaze u čvor jednak je zbroju struja koje
izlaze iz čvora tj zbroj struja u svakom čvorištu strujnog kruga mora biti nula
RRRR2222
RRRR1111
IIII3333
IIII2222
IIII1111
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Otpor R1 voltmetra V1 iznosi
10 51 10 1 4
101
U VR
I A
= = = Ωminus
Budući da su voltmetri V1 i V2 jednaki imaju jednake otpore
2 1 510
5 210
1
R R
RR
=
rArr = Ω= Ω
Pomoću Kirchhoffova zakona izračuna se struja I3 koja prolazi voltmetrom V2
4 5 610 99 10 10
1 2 3 3 1 2I I I I I I A A A
minus minus minus= + rArr = minus = minus sdot =
Napon U2 koji pokazuje voltmetar V2 jednak je
6 5 110 10 10 01
2 3 2U I R A V V
minus minus= sdot = sdot Ω = =
12
Vježba 169
U shemu prikazanu na slici uključena su dva mikroampermetra i dva jednaka voltmetra
Mikroampermetri pokazuju vrijednosti I1 = 100 microA i I2 = 90 microA Voltmetar V1 pokazuje U1 = 10 V
Koliki napon pokazuje voltmetar V2
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Rezultat 1 V
Zadatak 170 (DJ gimnazija)
Bakrena žica duljine 1000 m ima otpor 1 Ω Kolika je masa žice Otpornost bakra je
17 middot 10-8
Ω middot m a gustoća 8900 kgm3
Rješenje 170
l = 1000 m R = 1 Ω ρ1 = 17 middot 10-8
Ω middot m ndash otpornost ρ2 = 8900 kgm3 ndash gustoća
m =
Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera mase tijela i njegova obujma
m
m VV
ρ ρ= rArr = sdot
Obujam valjka
Uspravni i kosi valjak ploštine osnovke (baze) S i visine v imaju jednake obujmove Taj obujam
iznosi
V S v= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Prvo odredimo poprečni presjek S žice
metoda 1
zamj2
2ne
22 2e
m Vm S l S l m S l
lm
V S l
ρρ ρ ρ
ρsdot
sdot
= sdotrArr rArr = sdot sdot rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
= sdot
2
mS
lρrArr =
sdot
Iz formule za električnu otpornost dobije se masa m žice
metoda
zamjene
211 2
1 1 1
2 2 2
l lRlS l
R R Rm m m mS
l l l
ρρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
= sdotsdot
rArr rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr=
sdot sdot sdot
( )2
1000 89002 2382 2 17 10 15130
1 1
1
kgm
l lmR m m kg
m
Rm R
ρ ρρ ρ
sdotsdot sdot minus
rArr = sdot rArr = sdot = sdot Ω sdot sdotsdot =Ω
13
Vježba 170
Bakrena žica duljine 2000 m ima otpor 1 Ω Kolika je masa žice Otpornost bakra je
17 middot 10-8 Ω middot m a gustoća 8900 kgm3
Rezultat 60520 kg
Zadatak 171 (Ana gimnazija)
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 2 4 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
3 6 12 21A A B A C A D A
Rješenje 171
R1 R2 R3 = 1 2 4 I3 = 3 A I =
Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama jednak je jakosti
struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1
1 2 3
1 2 3
I I IR R R
=
Iz omjera otpora
1 2 41 2 3
R R R =
vidi se da je
bull otpor R1 četiri puta manji od otpora R3
1 41 3
R R =
bull otpor R2 dva puta manji od otpora R3
2 42 3
R R =
Zato je
bull struja I1 četiri puta veća od struje I3
4 4 3 121 3
I I A A= sdot = sdot =
bull struja I2 dva puta veća od struje I3
2 2 3 6 2 3
I I A A= sdot = sdot =
Ukupna struja I koju pokazuje ampermetar iznosi
12 6 3 21 1 2 3
I I I I A A A A= + + = + + =
Odgovor je pod D
Vježba 171
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 3 6 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
12 15 21 27A A B A C A D A
14
Rezultat D
Zadatak 172 (Hana medicinska škola)
Otpornik otpora 100 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
5 10 50 500A V B V C V D V
Rješenje 172
R = 100 Ω I = 5 A U =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I RR
= rArr = sdot
I = 5 AI = 5 AI = 5 AI = 5 A
Graf prikazuje struju koja prolazi kroz otpornik u ovisnosti o vremenu i njezina maksimalna vrijednost
je I = 5 A Maksimalni napon na otporniku iznosi
5 100 500 U I R A V= sdot = sdot Ω =
Odgovor je pod D
Vježba 172
Otpornik otpora 10 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
15
5 10 50 500A V B V C V D V
Rezultat C
Zadatak 173 (Ivan tehnička škola)
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 210 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rješenje 173
U1 = 220 V P1 = 750 W U2 = 210 V R1 = R2 = R p =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Kako zapisati za koliko se posto veličina a2 smanjila u odnosu na istovrsnu veličinu a1
1 2100 100
1 1
a aa
p pa a
minus∆= sdot rArr = sdot
1inačica
22 2 21
1 1 2111
1001 22 2
12 2
2 100
2 22
1
UU U UP
PRR R Rp
UU UP P
RR
Pp
P
R
P=
= minus
rArr rArr rArr = sdot rArr
= =
minus= sdot
2 2 2 21 2 1 2 2 2
1 2100 100 1002 2 2
1 1 1
U U U U
U URp p p
U U U
R
R R
minus minus
minusrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
2 2 2 21 2 2 2100 100 1 1002 2 2 2
1 1 1
212
1 1
U U UU
U
Up p p
U U U U
rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr
2 221021 100 1 100 888220
1
U Vp p p
U VrArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr =
2inačica
Izračunamo otpor grijača
( )2 2 2 2
2201 1 1 6453 1 1 7
150
1
U U U V
P P RR R P W
R
Psdot= rArr = rArr = = = Ω
Kada napon padne na 210 V snaga će uz jednaki otpor grijača iznositi
( )2 2
2102 68340 2 6453
U VP W
R= = =
Ω
Računamo postotak smanjenja snage grijača
16
750 683401 2 100 100 888750
1
P P W Wp p p
P W
minus minus= sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 173
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 215 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rezultat 449
Zadatak 174 (Mario gimnazija)
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 10 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6
Ω middot m)
Rješenje 174
2 middot r1 = 256 mm =gt r1 = 128 mm = 00128 m 2 middot r2 = 234 mm =gt r2 = 117 mm =
= 00117 m l = 10 m ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m = 10-7 Ω middot m R =
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Površina kružnog vijenca
Neka su zadane dvije koncentrične kružnice polumjera r1 i r2 (r1 gt r2) tj kružnice s istim središtem
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen tim kružnicama i njegova površina računa se po formuli
( )2
2 21
S r r π= minus sdot
Otpor željezne cijevi iznosi
( )( )
2 21 2
2 21 2
S r rl
Rl
r rRS
π
ρ
πρ
= minus sdot
rArr = sdot =
minus sdot= sdot
( ) ( )( )107
10 0012 2 2
00128 00117
mm
m m π
minus= Ω sdot sdot = Ω
minus sdot
Vježba 174
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 20 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m)
Rezultat 0025 Ω
17
Zadatak 175 (Mario gimnazija)
Pad napona na krajevima 100 m dugog bakrenog vodiča iznosi 102 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19
C)
Rješenje 175
l = 100 m U = 102 V n = 84 middot 1022
cm-3
= 84 middot 1028
m-3
ρ = 17 middot 10-3
Ω middot mm2 m = 17 middot 10
-9 Ω middot m e = 1602 middot 10
-19 C v =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
gdje je U razlika potencijala (napon) na krajevima vodiča a R otpor vodiča Iz te formule izlazi da je
razlika potencijala (pad napona) U na dijelu strujnog kruga otpora R jednak
U I R= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Vodičem površine presjeka S u kojem ima n slobodnih elektrona po jedinici volumena naboja e i koji
se djelovanjem električnog polja gibaju brzinom v teče struja jakosti
I n e v S= sdot sdot sdot
Računamo brzinu elektrona
I n e v S
l l lR U n e v S U n e v U n e v l
S S
U I R
SS
ρ ρ ρ ρ
= sdot sdot sdot
= sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot rArr
= sdot
1
Un e v l U n e v l U
n ev
n e llρ
ρρρ sdot
sdot sdotrArr sdot sdot sdot sdot = rArr sdot sdot sdot sdot = rArr =
sdot sdot sdotsdot=
102 5446 10
128 19 984 10 1602 10 17 10 100
3
V m
sC m m
m
minus= = sdot
minus minussdot sdot sdot sdot sdot Ω sdot sdot
Vježba 175
Pad napona na krajevima 200 m dugog bakrenog vodiča iznosi 204 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19 C)
Rezultat 5
446 10 m
s
minussdot
Zadatak 176 (Tomer181 tehnička škola)
Električni izvor ima elektromotorni napon 12 V i unutarnji otpor 06 Ω Na izvor je priključen
otpornik 10 Ω Odrediti jakost struje i napon
Rješenje 176
ε = 12 V Ru = 06 Ω Rv = 10 Ω I = U =
Kad je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na pad
napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (U = I middot R) u vanjskom krugu
18
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( ) I R R I R I R I R Uu v u v u vε ε ε= sdot + rArr = sdot + sdot rArr = sdot +
Računamo struju u strujnom krugu
( ) ( ) ( )1
I R R I R R I R R Iu v u v uR
vR RuRv vu
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot + sdot= rArr =
++=
121132
06 10
VA= =
Ω + Ω
Tada je
bull pad napona na unutarnjem otporu izvora
1132 06 068U I R A Vu u= sdot = sdot Ω =
bull pad napona u vanjskom krugu
1132 10 1132U I R A Vv v= sdot = sdot Ω =
ili
12 068 1132 U U U U V V Vu v v uε ε+ = rArr = minus = minus =
Vježba 176
Električni izvor ima elektromotorni napon 24 V i unutarnji otpor 12 Ω Na izvor je priključen
otpornik 20 Ω Odrediti jakost struje
Rezultat 1132 V
Zadatak 177 (Jurica gimnazija)
U krug istosmjerne struje napona 120 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
Rješenje 177
U = 120 V RA = RB = RC = R UA = UB = UC =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
19
Jakost struje u vodiču razmjerna je naponu između dviju točaka vodiča
Pad napona U na nekom otporniku otpora R razmjeran je jakosti struje I i otporu
U I R= sdot
Pri paralelnom spajanju vodiča pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak
je
1 2 3
U U U U Un= = = = =
1 1 2 2 3 3
U I R I R I R I Rn n= sdot = sdot = sdot = = sdot
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni pad napona na serijskome spoju jednak je zbroju pojedinih padova napona
1 2 3
U U U U Un= + + + +
Vodiče možemo spajati u seriju i paralelno Pri serijskom spajanju vodiča kroz sve vodiče teče
struja iste jakosti Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama
jednak je jakosti struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1 1
1 2 31 2
3
I I I InR R R Rn
=
I2
I1
I
R
R
R
C
B
A
120 V
I
RR
2
AB C
120 V
I
3sdotsdotsdotsdotR
2
ABC
120 V
1inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
20
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Padovi napona na otpornicima AB i C su
2
RU I R U IAB AB AB
U I RC C U I R
C
= sdot = sdotrArr
= sdot= sdot
Iz kvocijenta napona UC i UAB dobije se
2 2 2
2 2
U U U UI RC C C C U UC ABRU U U U
AB AB AB A
I RU
ABI B
RI
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr = sdotsdot
sdot sdot
Budući da je zbroj padova napona u strujnome krugu jednak ukupnom naponu za strujni krug
prikazan na slici je
U U UAB C
+ =
pa vrijedi sustav jednadžbi
1202 1
metoda
zam20
2 2 jene
U U U U UAB C AB C
U UAB ABU U U U
C AB C AB
+ = + =rArr rArr rArr + sdot = rArr
= sdot = sdot
3 120 3 120 0 4 3U U U VAB AB AB
rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo UC
402 40 80
2
U VAB
U V VCU U
C AB
=rArr = sdot =
= sdot
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
2inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Pad napona UC ima vrijednost
80 8080 U I R U R U U V
C C C C CRR
R= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Pad napona UAB iznosi
120 80 40 U U U U U U V V VAB C AB C
+ = rArr = minus = minus =
21
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
3inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Za struje I1 i I2 vrijedi
1 11 1 1 1 2 1 21 21 280 80
801 2 1 2
1 21 2
I I I II II IR RR R
BAI I I I
I II I I R RR
= ===rArr rArr rArr rArr
+ = + =+ =+ =
80 80 80 40 402 2
2 2 2 2 2
2 1I I I I I I
R R R R RrArr + = rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr =
Računamo padove napona na otpornicima A B i C
40 40
401
40 4040
2
8080 80
U R UA ARU I R U V
A A A
U I R U R U U VB B B B BR
U VU I R
RR
RR
CC CU R U
C C RRR
= sdot = sdot= sdot =
= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
== sdot= sdot = sdot
Vježba 177
U krug istosmjerne struje napona 240 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
C
B
A
240 V
Rezultat UA = 80 V UB = 80 V UC = 160 V
22
Zadatak 178 (Mario tehnička škola)
Grijalica predviđena za napon U ima n spirala od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima otpor
R Koliku će snagu trošiti grijalica ako je svih n spirala spojeno paralelno
Rješenje 178
U n R1 = R2 = hellip = Rn = R P =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon na krajevima trošila R otpor trošila
U slučaju paralelnog spoja n jednakih otpornika ekvivalentni je otpor Re
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3
n RRe
R R R R R R R R R R R R ne n e e
= + + + + rArr = + + + + rArr = rArr =
Snaga koju troši grijalica iznosi
2 2
2 2 21
U UP
U n U URe P P P P nR R R RR
Re n nn
=sdot
rArr = rArr = rArr = rArr = sdot
=
Vježba 178
Grijalica predviđena za napon 220 V ima 2 spirale od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima
otpor 100 Ω Koliku će snagu trošiti grijalica ako su spirale spojene paralelno
Rezultat P = 968 W
Zadatak 179 (Tina gimnazija)
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 45
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 004 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rješenje 179
R = 100 Ω ε = 45 V I = 004 A r =
Kada je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na
pad napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (I middot Rv) u vanjskom krugu
23
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( )I R I R I R Ru v u vε ε= sdot + sdot rArr = sdot +
Iz uvjeta zadatka dobije
( ) ( ) ( )1
I R r I R r I R rI
r RI
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot rArr +sdot+ = = rArr
45100 125
004
Vr R
I A
εrArr = minus = minus Ω = Ω
Vježba 179
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 9
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 008 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rezultat r = 125 Ω
Zadatak 180 (Martin tehnička škola)
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 20 a otpor se pritom smanji za
5
Rješenje 180
U U1 = U ndash 20 middot U = U ndash 020 middot U = 080 middot U R R1 = R ndash 5 middot R = R ndash 005 middot R =
= 095 middot R P P1 =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Izrazit ćemo novu snagu uređaja P1 pomoću stare snage P
( )2 2 2 2 2 2
080 080 08011 1 1 1095 095 095
1
U U U UP P P P
R R R R
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = sdot rArr
sdot sdot
2080
06737 032631 1
2
1095P P P P P P P
UP
RrArr rArr = sdot rArr = sdot rArr= = minus sdot rArr
32633263 1 1
P P P P P PrArr = minus sdot rArr sdotminus=
24
Snaga će pasti za 3263
Vježba 180
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 10 a otpor se pritom smanji za
5
Rezultat Snaga će pasti za 1474
11
Zadatak 169 (Marija gimnazija)
U shemu prikazanu na slici uključena su dva mikroampermetra i dva jednaka voltmetra
Mikroampermetri pokazuju vrijednosti I1 = 100 microA i I2 = 99 microA Voltmetar V1 pokazuje U1 = 10 V
Koliki napon pokazuje voltmetar V2
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Rješenje 169
I1 = 100 microA = 10-4
A I2 = 99 microA = 99 middot 10-5
A U1 = 10 V U2 =
Ohmov zakon je temeljni zakon elektrotehnike
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U U
I R U I R pad naponaR I
= rArr = rArr = sdot minus
gdje je I jakost struje kroz strujni krug u amperima (A) U napon izvora u voltima (V) R ukupan otpor
strujnog kruga u omima (Ω)
Prolaskom struje kroz bilo koji otpornik ili vodič na otporniku ili vodiču nastaje pad napona
jednak umnošku jakosti struje i otpora među mjernim točkama
Kirchhoffov zakon
U svakom čvoru električne mreže zbroj električnih struja koje ulaze u čvor jednak je zbroju struja koje
izlaze iz čvora tj zbroj struja u svakom čvorištu strujnog kruga mora biti nula
RRRR2222
RRRR1111
IIII3333
IIII2222
IIII1111
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Otpor R1 voltmetra V1 iznosi
10 51 10 1 4
101
U VR
I A
= = = Ωminus
Budući da su voltmetri V1 i V2 jednaki imaju jednake otpore
2 1 510
5 210
1
R R
RR
=
rArr = Ω= Ω
Pomoću Kirchhoffova zakona izračuna se struja I3 koja prolazi voltmetrom V2
4 5 610 99 10 10
1 2 3 3 1 2I I I I I I A A A
minus minus minus= + rArr = minus = minus sdot =
Napon U2 koji pokazuje voltmetar V2 jednak je
6 5 110 10 10 01
2 3 2U I R A V V
minus minus= sdot = sdot Ω = =
12
Vježba 169
U shemu prikazanu na slici uključena su dva mikroampermetra i dva jednaka voltmetra
Mikroampermetri pokazuju vrijednosti I1 = 100 microA i I2 = 90 microA Voltmetar V1 pokazuje U1 = 10 V
Koliki napon pokazuje voltmetar V2
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Rezultat 1 V
Zadatak 170 (DJ gimnazija)
Bakrena žica duljine 1000 m ima otpor 1 Ω Kolika je masa žice Otpornost bakra je
17 middot 10-8
Ω middot m a gustoća 8900 kgm3
Rješenje 170
l = 1000 m R = 1 Ω ρ1 = 17 middot 10-8
Ω middot m ndash otpornost ρ2 = 8900 kgm3 ndash gustoća
m =
Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera mase tijela i njegova obujma
m
m VV
ρ ρ= rArr = sdot
Obujam valjka
Uspravni i kosi valjak ploštine osnovke (baze) S i visine v imaju jednake obujmove Taj obujam
iznosi
V S v= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Prvo odredimo poprečni presjek S žice
metoda 1
zamj2
2ne
22 2e
m Vm S l S l m S l
lm
V S l
ρρ ρ ρ
ρsdot
sdot
= sdotrArr rArr = sdot sdot rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
= sdot
2
mS
lρrArr =
sdot
Iz formule za električnu otpornost dobije se masa m žice
metoda
zamjene
211 2
1 1 1
2 2 2
l lRlS l
R R Rm m m mS
l l l
ρρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
= sdotsdot
rArr rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr=
sdot sdot sdot
( )2
1000 89002 2382 2 17 10 15130
1 1
1
kgm
l lmR m m kg
m
Rm R
ρ ρρ ρ
sdotsdot sdot minus
rArr = sdot rArr = sdot = sdot Ω sdot sdotsdot =Ω
13
Vježba 170
Bakrena žica duljine 2000 m ima otpor 1 Ω Kolika je masa žice Otpornost bakra je
17 middot 10-8 Ω middot m a gustoća 8900 kgm3
Rezultat 60520 kg
Zadatak 171 (Ana gimnazija)
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 2 4 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
3 6 12 21A A B A C A D A
Rješenje 171
R1 R2 R3 = 1 2 4 I3 = 3 A I =
Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama jednak je jakosti
struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1
1 2 3
1 2 3
I I IR R R
=
Iz omjera otpora
1 2 41 2 3
R R R =
vidi se da je
bull otpor R1 četiri puta manji od otpora R3
1 41 3
R R =
bull otpor R2 dva puta manji od otpora R3
2 42 3
R R =
Zato je
bull struja I1 četiri puta veća od struje I3
4 4 3 121 3
I I A A= sdot = sdot =
bull struja I2 dva puta veća od struje I3
2 2 3 6 2 3
I I A A= sdot = sdot =
Ukupna struja I koju pokazuje ampermetar iznosi
12 6 3 21 1 2 3
I I I I A A A A= + + = + + =
Odgovor je pod D
Vježba 171
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 3 6 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
12 15 21 27A A B A C A D A
14
Rezultat D
Zadatak 172 (Hana medicinska škola)
Otpornik otpora 100 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
5 10 50 500A V B V C V D V
Rješenje 172
R = 100 Ω I = 5 A U =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I RR
= rArr = sdot
I = 5 AI = 5 AI = 5 AI = 5 A
Graf prikazuje struju koja prolazi kroz otpornik u ovisnosti o vremenu i njezina maksimalna vrijednost
je I = 5 A Maksimalni napon na otporniku iznosi
5 100 500 U I R A V= sdot = sdot Ω =
Odgovor je pod D
Vježba 172
Otpornik otpora 10 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
15
5 10 50 500A V B V C V D V
Rezultat C
Zadatak 173 (Ivan tehnička škola)
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 210 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rješenje 173
U1 = 220 V P1 = 750 W U2 = 210 V R1 = R2 = R p =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Kako zapisati za koliko se posto veličina a2 smanjila u odnosu na istovrsnu veličinu a1
1 2100 100
1 1
a aa
p pa a
minus∆= sdot rArr = sdot
1inačica
22 2 21
1 1 2111
1001 22 2
12 2
2 100
2 22
1
UU U UP
PRR R Rp
UU UP P
RR
Pp
P
R
P=
= minus
rArr rArr rArr = sdot rArr
= =
minus= sdot
2 2 2 21 2 1 2 2 2
1 2100 100 1002 2 2
1 1 1
U U U U
U URp p p
U U U
R
R R
minus minus
minusrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
2 2 2 21 2 2 2100 100 1 1002 2 2 2
1 1 1
212
1 1
U U UU
U
Up p p
U U U U
rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr
2 221021 100 1 100 888220
1
U Vp p p
U VrArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr =
2inačica
Izračunamo otpor grijača
( )2 2 2 2
2201 1 1 6453 1 1 7
150
1
U U U V
P P RR R P W
R
Psdot= rArr = rArr = = = Ω
Kada napon padne na 210 V snaga će uz jednaki otpor grijača iznositi
( )2 2
2102 68340 2 6453
U VP W
R= = =
Ω
Računamo postotak smanjenja snage grijača
16
750 683401 2 100 100 888750
1
P P W Wp p p
P W
minus minus= sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 173
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 215 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rezultat 449
Zadatak 174 (Mario gimnazija)
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 10 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6
Ω middot m)
Rješenje 174
2 middot r1 = 256 mm =gt r1 = 128 mm = 00128 m 2 middot r2 = 234 mm =gt r2 = 117 mm =
= 00117 m l = 10 m ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m = 10-7 Ω middot m R =
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Površina kružnog vijenca
Neka su zadane dvije koncentrične kružnice polumjera r1 i r2 (r1 gt r2) tj kružnice s istim središtem
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen tim kružnicama i njegova površina računa se po formuli
( )2
2 21
S r r π= minus sdot
Otpor željezne cijevi iznosi
( )( )
2 21 2
2 21 2
S r rl
Rl
r rRS
π
ρ
πρ
= minus sdot
rArr = sdot =
minus sdot= sdot
( ) ( )( )107
10 0012 2 2
00128 00117
mm
m m π
minus= Ω sdot sdot = Ω
minus sdot
Vježba 174
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 20 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m)
Rezultat 0025 Ω
17
Zadatak 175 (Mario gimnazija)
Pad napona na krajevima 100 m dugog bakrenog vodiča iznosi 102 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19
C)
Rješenje 175
l = 100 m U = 102 V n = 84 middot 1022
cm-3
= 84 middot 1028
m-3
ρ = 17 middot 10-3
Ω middot mm2 m = 17 middot 10
-9 Ω middot m e = 1602 middot 10
-19 C v =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
gdje je U razlika potencijala (napon) na krajevima vodiča a R otpor vodiča Iz te formule izlazi da je
razlika potencijala (pad napona) U na dijelu strujnog kruga otpora R jednak
U I R= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Vodičem površine presjeka S u kojem ima n slobodnih elektrona po jedinici volumena naboja e i koji
se djelovanjem električnog polja gibaju brzinom v teče struja jakosti
I n e v S= sdot sdot sdot
Računamo brzinu elektrona
I n e v S
l l lR U n e v S U n e v U n e v l
S S
U I R
SS
ρ ρ ρ ρ
= sdot sdot sdot
= sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot rArr
= sdot
1
Un e v l U n e v l U
n ev
n e llρ
ρρρ sdot
sdot sdotrArr sdot sdot sdot sdot = rArr sdot sdot sdot sdot = rArr =
sdot sdot sdotsdot=
102 5446 10
128 19 984 10 1602 10 17 10 100
3
V m
sC m m
m
minus= = sdot
minus minussdot sdot sdot sdot sdot Ω sdot sdot
Vježba 175
Pad napona na krajevima 200 m dugog bakrenog vodiča iznosi 204 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19 C)
Rezultat 5
446 10 m
s
minussdot
Zadatak 176 (Tomer181 tehnička škola)
Električni izvor ima elektromotorni napon 12 V i unutarnji otpor 06 Ω Na izvor je priključen
otpornik 10 Ω Odrediti jakost struje i napon
Rješenje 176
ε = 12 V Ru = 06 Ω Rv = 10 Ω I = U =
Kad je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na pad
napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (U = I middot R) u vanjskom krugu
18
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( ) I R R I R I R I R Uu v u v u vε ε ε= sdot + rArr = sdot + sdot rArr = sdot +
Računamo struju u strujnom krugu
( ) ( ) ( )1
I R R I R R I R R Iu v u v uR
vR RuRv vu
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot + sdot= rArr =
++=
121132
06 10
VA= =
Ω + Ω
Tada je
bull pad napona na unutarnjem otporu izvora
1132 06 068U I R A Vu u= sdot = sdot Ω =
bull pad napona u vanjskom krugu
1132 10 1132U I R A Vv v= sdot = sdot Ω =
ili
12 068 1132 U U U U V V Vu v v uε ε+ = rArr = minus = minus =
Vježba 176
Električni izvor ima elektromotorni napon 24 V i unutarnji otpor 12 Ω Na izvor je priključen
otpornik 20 Ω Odrediti jakost struje
Rezultat 1132 V
Zadatak 177 (Jurica gimnazija)
U krug istosmjerne struje napona 120 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
Rješenje 177
U = 120 V RA = RB = RC = R UA = UB = UC =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
19
Jakost struje u vodiču razmjerna je naponu između dviju točaka vodiča
Pad napona U na nekom otporniku otpora R razmjeran je jakosti struje I i otporu
U I R= sdot
Pri paralelnom spajanju vodiča pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak
je
1 2 3
U U U U Un= = = = =
1 1 2 2 3 3
U I R I R I R I Rn n= sdot = sdot = sdot = = sdot
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni pad napona na serijskome spoju jednak je zbroju pojedinih padova napona
1 2 3
U U U U Un= + + + +
Vodiče možemo spajati u seriju i paralelno Pri serijskom spajanju vodiča kroz sve vodiče teče
struja iste jakosti Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama
jednak je jakosti struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1 1
1 2 31 2
3
I I I InR R R Rn
=
I2
I1
I
R
R
R
C
B
A
120 V
I
RR
2
AB C
120 V
I
3sdotsdotsdotsdotR
2
ABC
120 V
1inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
20
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Padovi napona na otpornicima AB i C su
2
RU I R U IAB AB AB
U I RC C U I R
C
= sdot = sdotrArr
= sdot= sdot
Iz kvocijenta napona UC i UAB dobije se
2 2 2
2 2
U U U UI RC C C C U UC ABRU U U U
AB AB AB A
I RU
ABI B
RI
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr = sdotsdot
sdot sdot
Budući da je zbroj padova napona u strujnome krugu jednak ukupnom naponu za strujni krug
prikazan na slici je
U U UAB C
+ =
pa vrijedi sustav jednadžbi
1202 1
metoda
zam20
2 2 jene
U U U U UAB C AB C
U UAB ABU U U U
C AB C AB
+ = + =rArr rArr rArr + sdot = rArr
= sdot = sdot
3 120 3 120 0 4 3U U U VAB AB AB
rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo UC
402 40 80
2
U VAB
U V VCU U
C AB
=rArr = sdot =
= sdot
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
2inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Pad napona UC ima vrijednost
80 8080 U I R U R U U V
C C C C CRR
R= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Pad napona UAB iznosi
120 80 40 U U U U U U V V VAB C AB C
+ = rArr = minus = minus =
21
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
3inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Za struje I1 i I2 vrijedi
1 11 1 1 1 2 1 21 21 280 80
801 2 1 2
1 21 2
I I I II II IR RR R
BAI I I I
I II I I R RR
= ===rArr rArr rArr rArr
+ = + =+ =+ =
80 80 80 40 402 2
2 2 2 2 2
2 1I I I I I I
R R R R RrArr + = rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr =
Računamo padove napona na otpornicima A B i C
40 40
401
40 4040
2
8080 80
U R UA ARU I R U V
A A A
U I R U R U U VB B B B BR
U VU I R
RR
RR
CC CU R U
C C RRR
= sdot = sdot= sdot =
= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
== sdot= sdot = sdot
Vježba 177
U krug istosmjerne struje napona 240 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
C
B
A
240 V
Rezultat UA = 80 V UB = 80 V UC = 160 V
22
Zadatak 178 (Mario tehnička škola)
Grijalica predviđena za napon U ima n spirala od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima otpor
R Koliku će snagu trošiti grijalica ako je svih n spirala spojeno paralelno
Rješenje 178
U n R1 = R2 = hellip = Rn = R P =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon na krajevima trošila R otpor trošila
U slučaju paralelnog spoja n jednakih otpornika ekvivalentni je otpor Re
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3
n RRe
R R R R R R R R R R R R ne n e e
= + + + + rArr = + + + + rArr = rArr =
Snaga koju troši grijalica iznosi
2 2
2 2 21
U UP
U n U URe P P P P nR R R RR
Re n nn
=sdot
rArr = rArr = rArr = rArr = sdot
=
Vježba 178
Grijalica predviđena za napon 220 V ima 2 spirale od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima
otpor 100 Ω Koliku će snagu trošiti grijalica ako su spirale spojene paralelno
Rezultat P = 968 W
Zadatak 179 (Tina gimnazija)
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 45
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 004 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rješenje 179
R = 100 Ω ε = 45 V I = 004 A r =
Kada je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na
pad napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (I middot Rv) u vanjskom krugu
23
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( )I R I R I R Ru v u vε ε= sdot + sdot rArr = sdot +
Iz uvjeta zadatka dobije
( ) ( ) ( )1
I R r I R r I R rI
r RI
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot rArr +sdot+ = = rArr
45100 125
004
Vr R
I A
εrArr = minus = minus Ω = Ω
Vježba 179
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 9
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 008 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rezultat r = 125 Ω
Zadatak 180 (Martin tehnička škola)
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 20 a otpor se pritom smanji za
5
Rješenje 180
U U1 = U ndash 20 middot U = U ndash 020 middot U = 080 middot U R R1 = R ndash 5 middot R = R ndash 005 middot R =
= 095 middot R P P1 =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Izrazit ćemo novu snagu uređaja P1 pomoću stare snage P
( )2 2 2 2 2 2
080 080 08011 1 1 1095 095 095
1
U U U UP P P P
R R R R
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = sdot rArr
sdot sdot
2080
06737 032631 1
2
1095P P P P P P P
UP
RrArr rArr = sdot rArr = sdot rArr= = minus sdot rArr
32633263 1 1
P P P P P PrArr = minus sdot rArr sdotminus=
24
Snaga će pasti za 3263
Vježba 180
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 10 a otpor se pritom smanji za
5
Rezultat Snaga će pasti za 1474
12
Vježba 169
U shemu prikazanu na slici uključena su dva mikroampermetra i dva jednaka voltmetra
Mikroampermetri pokazuju vrijednosti I1 = 100 microA i I2 = 90 microA Voltmetar V1 pokazuje U1 = 10 V
Koliki napon pokazuje voltmetar V2
VVVV2222AAAA2222
VVVV1111AAAA1111
Rezultat 1 V
Zadatak 170 (DJ gimnazija)
Bakrena žica duljine 1000 m ima otpor 1 Ω Kolika je masa žice Otpornost bakra je
17 middot 10-8
Ω middot m a gustoća 8900 kgm3
Rješenje 170
l = 1000 m R = 1 Ω ρ1 = 17 middot 10-8
Ω middot m ndash otpornost ρ2 = 8900 kgm3 ndash gustoća
m =
Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz omjera mase tijela i njegova obujma
m
m VV
ρ ρ= rArr = sdot
Obujam valjka
Uspravni i kosi valjak ploštine osnovke (baze) S i visine v imaju jednake obujmove Taj obujam
iznosi
V S v= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Prvo odredimo poprečni presjek S žice
metoda 1
zamj2
2ne
22 2e
m Vm S l S l m S l
lm
V S l
ρρ ρ ρ
ρsdot
sdot
= sdotrArr rArr = sdot sdot rArr sdot sdot = rArr sdot sdot = rArr
= sdot
2
mS
lρrArr =
sdot
Iz formule za električnu otpornost dobije se masa m žice
metoda
zamjene
211 2
1 1 1
2 2 2
l lRlS l
R R Rm m m mS
l l l
ρρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
= sdotsdot
rArr rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr=
sdot sdot sdot
( )2
1000 89002 2382 2 17 10 15130
1 1
1
kgm
l lmR m m kg
m
Rm R
ρ ρρ ρ
sdotsdot sdot minus
rArr = sdot rArr = sdot = sdot Ω sdot sdotsdot =Ω
13
Vježba 170
Bakrena žica duljine 2000 m ima otpor 1 Ω Kolika je masa žice Otpornost bakra je
17 middot 10-8 Ω middot m a gustoća 8900 kgm3
Rezultat 60520 kg
Zadatak 171 (Ana gimnazija)
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 2 4 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
3 6 12 21A A B A C A D A
Rješenje 171
R1 R2 R3 = 1 2 4 I3 = 3 A I =
Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama jednak je jakosti
struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1
1 2 3
1 2 3
I I IR R R
=
Iz omjera otpora
1 2 41 2 3
R R R =
vidi se da je
bull otpor R1 četiri puta manji od otpora R3
1 41 3
R R =
bull otpor R2 dva puta manji od otpora R3
2 42 3
R R =
Zato je
bull struja I1 četiri puta veća od struje I3
4 4 3 121 3
I I A A= sdot = sdot =
bull struja I2 dva puta veća od struje I3
2 2 3 6 2 3
I I A A= sdot = sdot =
Ukupna struja I koju pokazuje ampermetar iznosi
12 6 3 21 1 2 3
I I I I A A A A= + + = + + =
Odgovor je pod D
Vježba 171
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 3 6 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
12 15 21 27A A B A C A D A
14
Rezultat D
Zadatak 172 (Hana medicinska škola)
Otpornik otpora 100 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
5 10 50 500A V B V C V D V
Rješenje 172
R = 100 Ω I = 5 A U =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I RR
= rArr = sdot
I = 5 AI = 5 AI = 5 AI = 5 A
Graf prikazuje struju koja prolazi kroz otpornik u ovisnosti o vremenu i njezina maksimalna vrijednost
je I = 5 A Maksimalni napon na otporniku iznosi
5 100 500 U I R A V= sdot = sdot Ω =
Odgovor je pod D
Vježba 172
Otpornik otpora 10 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
15
5 10 50 500A V B V C V D V
Rezultat C
Zadatak 173 (Ivan tehnička škola)
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 210 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rješenje 173
U1 = 220 V P1 = 750 W U2 = 210 V R1 = R2 = R p =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Kako zapisati za koliko se posto veličina a2 smanjila u odnosu na istovrsnu veličinu a1
1 2100 100
1 1
a aa
p pa a
minus∆= sdot rArr = sdot
1inačica
22 2 21
1 1 2111
1001 22 2
12 2
2 100
2 22
1
UU U UP
PRR R Rp
UU UP P
RR
Pp
P
R
P=
= minus
rArr rArr rArr = sdot rArr
= =
minus= sdot
2 2 2 21 2 1 2 2 2
1 2100 100 1002 2 2
1 1 1
U U U U
U URp p p
U U U
R
R R
minus minus
minusrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
2 2 2 21 2 2 2100 100 1 1002 2 2 2
1 1 1
212
1 1
U U UU
U
Up p p
U U U U
rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr
2 221021 100 1 100 888220
1
U Vp p p
U VrArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr =
2inačica
Izračunamo otpor grijača
( )2 2 2 2
2201 1 1 6453 1 1 7
150
1
U U U V
P P RR R P W
R
Psdot= rArr = rArr = = = Ω
Kada napon padne na 210 V snaga će uz jednaki otpor grijača iznositi
( )2 2
2102 68340 2 6453
U VP W
R= = =
Ω
Računamo postotak smanjenja snage grijača
16
750 683401 2 100 100 888750
1
P P W Wp p p
P W
minus minus= sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 173
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 215 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rezultat 449
Zadatak 174 (Mario gimnazija)
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 10 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6
Ω middot m)
Rješenje 174
2 middot r1 = 256 mm =gt r1 = 128 mm = 00128 m 2 middot r2 = 234 mm =gt r2 = 117 mm =
= 00117 m l = 10 m ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m = 10-7 Ω middot m R =
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Površina kružnog vijenca
Neka su zadane dvije koncentrične kružnice polumjera r1 i r2 (r1 gt r2) tj kružnice s istim središtem
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen tim kružnicama i njegova površina računa se po formuli
( )2
2 21
S r r π= minus sdot
Otpor željezne cijevi iznosi
( )( )
2 21 2
2 21 2
S r rl
Rl
r rRS
π
ρ
πρ
= minus sdot
rArr = sdot =
minus sdot= sdot
( ) ( )( )107
10 0012 2 2
00128 00117
mm
m m π
minus= Ω sdot sdot = Ω
minus sdot
Vježba 174
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 20 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m)
Rezultat 0025 Ω
17
Zadatak 175 (Mario gimnazija)
Pad napona na krajevima 100 m dugog bakrenog vodiča iznosi 102 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19
C)
Rješenje 175
l = 100 m U = 102 V n = 84 middot 1022
cm-3
= 84 middot 1028
m-3
ρ = 17 middot 10-3
Ω middot mm2 m = 17 middot 10
-9 Ω middot m e = 1602 middot 10
-19 C v =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
gdje je U razlika potencijala (napon) na krajevima vodiča a R otpor vodiča Iz te formule izlazi da je
razlika potencijala (pad napona) U na dijelu strujnog kruga otpora R jednak
U I R= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Vodičem površine presjeka S u kojem ima n slobodnih elektrona po jedinici volumena naboja e i koji
se djelovanjem električnog polja gibaju brzinom v teče struja jakosti
I n e v S= sdot sdot sdot
Računamo brzinu elektrona
I n e v S
l l lR U n e v S U n e v U n e v l
S S
U I R
SS
ρ ρ ρ ρ
= sdot sdot sdot
= sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot rArr
= sdot
1
Un e v l U n e v l U
n ev
n e llρ
ρρρ sdot
sdot sdotrArr sdot sdot sdot sdot = rArr sdot sdot sdot sdot = rArr =
sdot sdot sdotsdot=
102 5446 10
128 19 984 10 1602 10 17 10 100
3
V m
sC m m
m
minus= = sdot
minus minussdot sdot sdot sdot sdot Ω sdot sdot
Vježba 175
Pad napona na krajevima 200 m dugog bakrenog vodiča iznosi 204 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19 C)
Rezultat 5
446 10 m
s
minussdot
Zadatak 176 (Tomer181 tehnička škola)
Električni izvor ima elektromotorni napon 12 V i unutarnji otpor 06 Ω Na izvor je priključen
otpornik 10 Ω Odrediti jakost struje i napon
Rješenje 176
ε = 12 V Ru = 06 Ω Rv = 10 Ω I = U =
Kad je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na pad
napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (U = I middot R) u vanjskom krugu
18
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( ) I R R I R I R I R Uu v u v u vε ε ε= sdot + rArr = sdot + sdot rArr = sdot +
Računamo struju u strujnom krugu
( ) ( ) ( )1
I R R I R R I R R Iu v u v uR
vR RuRv vu
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot + sdot= rArr =
++=
121132
06 10
VA= =
Ω + Ω
Tada je
bull pad napona na unutarnjem otporu izvora
1132 06 068U I R A Vu u= sdot = sdot Ω =
bull pad napona u vanjskom krugu
1132 10 1132U I R A Vv v= sdot = sdot Ω =
ili
12 068 1132 U U U U V V Vu v v uε ε+ = rArr = minus = minus =
Vježba 176
Električni izvor ima elektromotorni napon 24 V i unutarnji otpor 12 Ω Na izvor je priključen
otpornik 20 Ω Odrediti jakost struje
Rezultat 1132 V
Zadatak 177 (Jurica gimnazija)
U krug istosmjerne struje napona 120 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
Rješenje 177
U = 120 V RA = RB = RC = R UA = UB = UC =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
19
Jakost struje u vodiču razmjerna je naponu između dviju točaka vodiča
Pad napona U na nekom otporniku otpora R razmjeran je jakosti struje I i otporu
U I R= sdot
Pri paralelnom spajanju vodiča pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak
je
1 2 3
U U U U Un= = = = =
1 1 2 2 3 3
U I R I R I R I Rn n= sdot = sdot = sdot = = sdot
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni pad napona na serijskome spoju jednak je zbroju pojedinih padova napona
1 2 3
U U U U Un= + + + +
Vodiče možemo spajati u seriju i paralelno Pri serijskom spajanju vodiča kroz sve vodiče teče
struja iste jakosti Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama
jednak je jakosti struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1 1
1 2 31 2
3
I I I InR R R Rn
=
I2
I1
I
R
R
R
C
B
A
120 V
I
RR
2
AB C
120 V
I
3sdotsdotsdotsdotR
2
ABC
120 V
1inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
20
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Padovi napona na otpornicima AB i C su
2
RU I R U IAB AB AB
U I RC C U I R
C
= sdot = sdotrArr
= sdot= sdot
Iz kvocijenta napona UC i UAB dobije se
2 2 2
2 2
U U U UI RC C C C U UC ABRU U U U
AB AB AB A
I RU
ABI B
RI
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr = sdotsdot
sdot sdot
Budući da je zbroj padova napona u strujnome krugu jednak ukupnom naponu za strujni krug
prikazan na slici je
U U UAB C
+ =
pa vrijedi sustav jednadžbi
1202 1
metoda
zam20
2 2 jene
U U U U UAB C AB C
U UAB ABU U U U
C AB C AB
+ = + =rArr rArr rArr + sdot = rArr
= sdot = sdot
3 120 3 120 0 4 3U U U VAB AB AB
rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo UC
402 40 80
2
U VAB
U V VCU U
C AB
=rArr = sdot =
= sdot
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
2inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Pad napona UC ima vrijednost
80 8080 U I R U R U U V
C C C C CRR
R= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Pad napona UAB iznosi
120 80 40 U U U U U U V V VAB C AB C
+ = rArr = minus = minus =
21
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
3inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Za struje I1 i I2 vrijedi
1 11 1 1 1 2 1 21 21 280 80
801 2 1 2
1 21 2
I I I II II IR RR R
BAI I I I
I II I I R RR
= ===rArr rArr rArr rArr
+ = + =+ =+ =
80 80 80 40 402 2
2 2 2 2 2
2 1I I I I I I
R R R R RrArr + = rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr =
Računamo padove napona na otpornicima A B i C
40 40
401
40 4040
2
8080 80
U R UA ARU I R U V
A A A
U I R U R U U VB B B B BR
U VU I R
RR
RR
CC CU R U
C C RRR
= sdot = sdot= sdot =
= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
== sdot= sdot = sdot
Vježba 177
U krug istosmjerne struje napona 240 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
C
B
A
240 V
Rezultat UA = 80 V UB = 80 V UC = 160 V
22
Zadatak 178 (Mario tehnička škola)
Grijalica predviđena za napon U ima n spirala od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima otpor
R Koliku će snagu trošiti grijalica ako je svih n spirala spojeno paralelno
Rješenje 178
U n R1 = R2 = hellip = Rn = R P =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon na krajevima trošila R otpor trošila
U slučaju paralelnog spoja n jednakih otpornika ekvivalentni je otpor Re
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3
n RRe
R R R R R R R R R R R R ne n e e
= + + + + rArr = + + + + rArr = rArr =
Snaga koju troši grijalica iznosi
2 2
2 2 21
U UP
U n U URe P P P P nR R R RR
Re n nn
=sdot
rArr = rArr = rArr = rArr = sdot
=
Vježba 178
Grijalica predviđena za napon 220 V ima 2 spirale od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima
otpor 100 Ω Koliku će snagu trošiti grijalica ako su spirale spojene paralelno
Rezultat P = 968 W
Zadatak 179 (Tina gimnazija)
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 45
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 004 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rješenje 179
R = 100 Ω ε = 45 V I = 004 A r =
Kada je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na
pad napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (I middot Rv) u vanjskom krugu
23
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( )I R I R I R Ru v u vε ε= sdot + sdot rArr = sdot +
Iz uvjeta zadatka dobije
( ) ( ) ( )1
I R r I R r I R rI
r RI
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot rArr +sdot+ = = rArr
45100 125
004
Vr R
I A
εrArr = minus = minus Ω = Ω
Vježba 179
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 9
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 008 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rezultat r = 125 Ω
Zadatak 180 (Martin tehnička škola)
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 20 a otpor se pritom smanji za
5
Rješenje 180
U U1 = U ndash 20 middot U = U ndash 020 middot U = 080 middot U R R1 = R ndash 5 middot R = R ndash 005 middot R =
= 095 middot R P P1 =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Izrazit ćemo novu snagu uređaja P1 pomoću stare snage P
( )2 2 2 2 2 2
080 080 08011 1 1 1095 095 095
1
U U U UP P P P
R R R R
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = sdot rArr
sdot sdot
2080
06737 032631 1
2
1095P P P P P P P
UP
RrArr rArr = sdot rArr = sdot rArr= = minus sdot rArr
32633263 1 1
P P P P P PrArr = minus sdot rArr sdotminus=
24
Snaga će pasti za 3263
Vježba 180
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 10 a otpor se pritom smanji za
5
Rezultat Snaga će pasti za 1474
13
Vježba 170
Bakrena žica duljine 2000 m ima otpor 1 Ω Kolika je masa žice Otpornost bakra je
17 middot 10-8 Ω middot m a gustoća 8900 kgm3
Rezultat 60520 kg
Zadatak 171 (Ana gimnazija)
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 2 4 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
3 6 12 21A A B A C A D A
Rješenje 171
R1 R2 R3 = 1 2 4 I3 = 3 A I =
Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama jednak je jakosti
struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1
1 2 3
1 2 3
I I IR R R
=
Iz omjera otpora
1 2 41 2 3
R R R =
vidi se da je
bull otpor R1 četiri puta manji od otpora R3
1 41 3
R R =
bull otpor R2 dva puta manji od otpora R3
2 42 3
R R =
Zato je
bull struja I1 četiri puta veća od struje I3
4 4 3 121 3
I I A A= sdot = sdot =
bull struja I2 dva puta veća od struje I3
2 2 3 6 2 3
I I A A= sdot = sdot =
Ukupna struja I koju pokazuje ampermetar iznosi
12 6 3 21 1 2 3
I I I I A A A A= + + = + + =
Odgovor je pod D
Vježba 171
Na crtežu je prikazan dio strujnoga kruga Omjer otpora je R1 R2 R3 = 1 3 6 Struja koja
prolazi kroz otpornik R3 iznosi I3 = 3 A Koliku struju pokazuje ampermetar A
12 15 21 27A A B A C A D A
14
Rezultat D
Zadatak 172 (Hana medicinska škola)
Otpornik otpora 100 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
5 10 50 500A V B V C V D V
Rješenje 172
R = 100 Ω I = 5 A U =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I RR
= rArr = sdot
I = 5 AI = 5 AI = 5 AI = 5 A
Graf prikazuje struju koja prolazi kroz otpornik u ovisnosti o vremenu i njezina maksimalna vrijednost
je I = 5 A Maksimalni napon na otporniku iznosi
5 100 500 U I R A V= sdot = sdot Ω =
Odgovor je pod D
Vježba 172
Otpornik otpora 10 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
15
5 10 50 500A V B V C V D V
Rezultat C
Zadatak 173 (Ivan tehnička škola)
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 210 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rješenje 173
U1 = 220 V P1 = 750 W U2 = 210 V R1 = R2 = R p =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Kako zapisati za koliko se posto veličina a2 smanjila u odnosu na istovrsnu veličinu a1
1 2100 100
1 1
a aa
p pa a
minus∆= sdot rArr = sdot
1inačica
22 2 21
1 1 2111
1001 22 2
12 2
2 100
2 22
1
UU U UP
PRR R Rp
UU UP P
RR
Pp
P
R
P=
= minus
rArr rArr rArr = sdot rArr
= =
minus= sdot
2 2 2 21 2 1 2 2 2
1 2100 100 1002 2 2
1 1 1
U U U U
U URp p p
U U U
R
R R
minus minus
minusrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
2 2 2 21 2 2 2100 100 1 1002 2 2 2
1 1 1
212
1 1
U U UU
U
Up p p
U U U U
rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr
2 221021 100 1 100 888220
1
U Vp p p
U VrArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr =
2inačica
Izračunamo otpor grijača
( )2 2 2 2
2201 1 1 6453 1 1 7
150
1
U U U V
P P RR R P W
R
Psdot= rArr = rArr = = = Ω
Kada napon padne na 210 V snaga će uz jednaki otpor grijača iznositi
( )2 2
2102 68340 2 6453
U VP W
R= = =
Ω
Računamo postotak smanjenja snage grijača
16
750 683401 2 100 100 888750
1
P P W Wp p p
P W
minus minus= sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 173
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 215 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rezultat 449
Zadatak 174 (Mario gimnazija)
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 10 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6
Ω middot m)
Rješenje 174
2 middot r1 = 256 mm =gt r1 = 128 mm = 00128 m 2 middot r2 = 234 mm =gt r2 = 117 mm =
= 00117 m l = 10 m ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m = 10-7 Ω middot m R =
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Površina kružnog vijenca
Neka su zadane dvije koncentrične kružnice polumjera r1 i r2 (r1 gt r2) tj kružnice s istim središtem
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen tim kružnicama i njegova površina računa se po formuli
( )2
2 21
S r r π= minus sdot
Otpor željezne cijevi iznosi
( )( )
2 21 2
2 21 2
S r rl
Rl
r rRS
π
ρ
πρ
= minus sdot
rArr = sdot =
minus sdot= sdot
( ) ( )( )107
10 0012 2 2
00128 00117
mm
m m π
minus= Ω sdot sdot = Ω
minus sdot
Vježba 174
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 20 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m)
Rezultat 0025 Ω
17
Zadatak 175 (Mario gimnazija)
Pad napona na krajevima 100 m dugog bakrenog vodiča iznosi 102 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19
C)
Rješenje 175
l = 100 m U = 102 V n = 84 middot 1022
cm-3
= 84 middot 1028
m-3
ρ = 17 middot 10-3
Ω middot mm2 m = 17 middot 10
-9 Ω middot m e = 1602 middot 10
-19 C v =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
gdje je U razlika potencijala (napon) na krajevima vodiča a R otpor vodiča Iz te formule izlazi da je
razlika potencijala (pad napona) U na dijelu strujnog kruga otpora R jednak
U I R= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Vodičem površine presjeka S u kojem ima n slobodnih elektrona po jedinici volumena naboja e i koji
se djelovanjem električnog polja gibaju brzinom v teče struja jakosti
I n e v S= sdot sdot sdot
Računamo brzinu elektrona
I n e v S
l l lR U n e v S U n e v U n e v l
S S
U I R
SS
ρ ρ ρ ρ
= sdot sdot sdot
= sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot rArr
= sdot
1
Un e v l U n e v l U
n ev
n e llρ
ρρρ sdot
sdot sdotrArr sdot sdot sdot sdot = rArr sdot sdot sdot sdot = rArr =
sdot sdot sdotsdot=
102 5446 10
128 19 984 10 1602 10 17 10 100
3
V m
sC m m
m
minus= = sdot
minus minussdot sdot sdot sdot sdot Ω sdot sdot
Vježba 175
Pad napona na krajevima 200 m dugog bakrenog vodiča iznosi 204 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19 C)
Rezultat 5
446 10 m
s
minussdot
Zadatak 176 (Tomer181 tehnička škola)
Električni izvor ima elektromotorni napon 12 V i unutarnji otpor 06 Ω Na izvor je priključen
otpornik 10 Ω Odrediti jakost struje i napon
Rješenje 176
ε = 12 V Ru = 06 Ω Rv = 10 Ω I = U =
Kad je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na pad
napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (U = I middot R) u vanjskom krugu
18
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( ) I R R I R I R I R Uu v u v u vε ε ε= sdot + rArr = sdot + sdot rArr = sdot +
Računamo struju u strujnom krugu
( ) ( ) ( )1
I R R I R R I R R Iu v u v uR
vR RuRv vu
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot + sdot= rArr =
++=
121132
06 10
VA= =
Ω + Ω
Tada je
bull pad napona na unutarnjem otporu izvora
1132 06 068U I R A Vu u= sdot = sdot Ω =
bull pad napona u vanjskom krugu
1132 10 1132U I R A Vv v= sdot = sdot Ω =
ili
12 068 1132 U U U U V V Vu v v uε ε+ = rArr = minus = minus =
Vježba 176
Električni izvor ima elektromotorni napon 24 V i unutarnji otpor 12 Ω Na izvor je priključen
otpornik 20 Ω Odrediti jakost struje
Rezultat 1132 V
Zadatak 177 (Jurica gimnazija)
U krug istosmjerne struje napona 120 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
Rješenje 177
U = 120 V RA = RB = RC = R UA = UB = UC =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
19
Jakost struje u vodiču razmjerna je naponu između dviju točaka vodiča
Pad napona U na nekom otporniku otpora R razmjeran je jakosti struje I i otporu
U I R= sdot
Pri paralelnom spajanju vodiča pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak
je
1 2 3
U U U U Un= = = = =
1 1 2 2 3 3
U I R I R I R I Rn n= sdot = sdot = sdot = = sdot
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni pad napona na serijskome spoju jednak je zbroju pojedinih padova napona
1 2 3
U U U U Un= + + + +
Vodiče možemo spajati u seriju i paralelno Pri serijskom spajanju vodiča kroz sve vodiče teče
struja iste jakosti Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama
jednak je jakosti struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1 1
1 2 31 2
3
I I I InR R R Rn
=
I2
I1
I
R
R
R
C
B
A
120 V
I
RR
2
AB C
120 V
I
3sdotsdotsdotsdotR
2
ABC
120 V
1inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
20
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Padovi napona na otpornicima AB i C su
2
RU I R U IAB AB AB
U I RC C U I R
C
= sdot = sdotrArr
= sdot= sdot
Iz kvocijenta napona UC i UAB dobije se
2 2 2
2 2
U U U UI RC C C C U UC ABRU U U U
AB AB AB A
I RU
ABI B
RI
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr = sdotsdot
sdot sdot
Budući da je zbroj padova napona u strujnome krugu jednak ukupnom naponu za strujni krug
prikazan na slici je
U U UAB C
+ =
pa vrijedi sustav jednadžbi
1202 1
metoda
zam20
2 2 jene
U U U U UAB C AB C
U UAB ABU U U U
C AB C AB
+ = + =rArr rArr rArr + sdot = rArr
= sdot = sdot
3 120 3 120 0 4 3U U U VAB AB AB
rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo UC
402 40 80
2
U VAB
U V VCU U
C AB
=rArr = sdot =
= sdot
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
2inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Pad napona UC ima vrijednost
80 8080 U I R U R U U V
C C C C CRR
R= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Pad napona UAB iznosi
120 80 40 U U U U U U V V VAB C AB C
+ = rArr = minus = minus =
21
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
3inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Za struje I1 i I2 vrijedi
1 11 1 1 1 2 1 21 21 280 80
801 2 1 2
1 21 2
I I I II II IR RR R
BAI I I I
I II I I R RR
= ===rArr rArr rArr rArr
+ = + =+ =+ =
80 80 80 40 402 2
2 2 2 2 2
2 1I I I I I I
R R R R RrArr + = rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr =
Računamo padove napona na otpornicima A B i C
40 40
401
40 4040
2
8080 80
U R UA ARU I R U V
A A A
U I R U R U U VB B B B BR
U VU I R
RR
RR
CC CU R U
C C RRR
= sdot = sdot= sdot =
= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
== sdot= sdot = sdot
Vježba 177
U krug istosmjerne struje napona 240 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
C
B
A
240 V
Rezultat UA = 80 V UB = 80 V UC = 160 V
22
Zadatak 178 (Mario tehnička škola)
Grijalica predviđena za napon U ima n spirala od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima otpor
R Koliku će snagu trošiti grijalica ako je svih n spirala spojeno paralelno
Rješenje 178
U n R1 = R2 = hellip = Rn = R P =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon na krajevima trošila R otpor trošila
U slučaju paralelnog spoja n jednakih otpornika ekvivalentni je otpor Re
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3
n RRe
R R R R R R R R R R R R ne n e e
= + + + + rArr = + + + + rArr = rArr =
Snaga koju troši grijalica iznosi
2 2
2 2 21
U UP
U n U URe P P P P nR R R RR
Re n nn
=sdot
rArr = rArr = rArr = rArr = sdot
=
Vježba 178
Grijalica predviđena za napon 220 V ima 2 spirale od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima
otpor 100 Ω Koliku će snagu trošiti grijalica ako su spirale spojene paralelno
Rezultat P = 968 W
Zadatak 179 (Tina gimnazija)
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 45
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 004 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rješenje 179
R = 100 Ω ε = 45 V I = 004 A r =
Kada je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na
pad napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (I middot Rv) u vanjskom krugu
23
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( )I R I R I R Ru v u vε ε= sdot + sdot rArr = sdot +
Iz uvjeta zadatka dobije
( ) ( ) ( )1
I R r I R r I R rI
r RI
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot rArr +sdot+ = = rArr
45100 125
004
Vr R
I A
εrArr = minus = minus Ω = Ω
Vježba 179
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 9
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 008 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rezultat r = 125 Ω
Zadatak 180 (Martin tehnička škola)
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 20 a otpor se pritom smanji za
5
Rješenje 180
U U1 = U ndash 20 middot U = U ndash 020 middot U = 080 middot U R R1 = R ndash 5 middot R = R ndash 005 middot R =
= 095 middot R P P1 =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Izrazit ćemo novu snagu uređaja P1 pomoću stare snage P
( )2 2 2 2 2 2
080 080 08011 1 1 1095 095 095
1
U U U UP P P P
R R R R
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = sdot rArr
sdot sdot
2080
06737 032631 1
2
1095P P P P P P P
UP
RrArr rArr = sdot rArr = sdot rArr= = minus sdot rArr
32633263 1 1
P P P P P PrArr = minus sdot rArr sdotminus=
24
Snaga će pasti za 3263
Vježba 180
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 10 a otpor se pritom smanji za
5
Rezultat Snaga će pasti za 1474
14
Rezultat D
Zadatak 172 (Hana medicinska škola)
Otpornik otpora 100 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
5 10 50 500A V B V C V D V
Rješenje 172
R = 100 Ω I = 5 A U =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
I U I RR
= rArr = sdot
I = 5 AI = 5 AI = 5 AI = 5 A
Graf prikazuje struju koja prolazi kroz otpornik u ovisnosti o vremenu i njezina maksimalna vrijednost
je I = 5 A Maksimalni napon na otporniku iznosi
5 100 500 U I R A V= sdot = sdot Ω =
Odgovor je pod D
Vježba 172
Otpornik otpora 10 Ω spojen je u krug izmjenične struje Graf prikazuje struju koja prolazi
kroz otpornik u ovisnosti o vremenu Koliki je maksimalni napon na otporniku
15
5 10 50 500A V B V C V D V
Rezultat C
Zadatak 173 (Ivan tehnička škola)
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 210 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rješenje 173
U1 = 220 V P1 = 750 W U2 = 210 V R1 = R2 = R p =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Kako zapisati za koliko se posto veličina a2 smanjila u odnosu na istovrsnu veličinu a1
1 2100 100
1 1
a aa
p pa a
minus∆= sdot rArr = sdot
1inačica
22 2 21
1 1 2111
1001 22 2
12 2
2 100
2 22
1
UU U UP
PRR R Rp
UU UP P
RR
Pp
P
R
P=
= minus
rArr rArr rArr = sdot rArr
= =
minus= sdot
2 2 2 21 2 1 2 2 2
1 2100 100 1002 2 2
1 1 1
U U U U
U URp p p
U U U
R
R R
minus minus
minusrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
2 2 2 21 2 2 2100 100 1 1002 2 2 2
1 1 1
212
1 1
U U UU
U
Up p p
U U U U
rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr
2 221021 100 1 100 888220
1
U Vp p p
U VrArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr =
2inačica
Izračunamo otpor grijača
( )2 2 2 2
2201 1 1 6453 1 1 7
150
1
U U U V
P P RR R P W
R
Psdot= rArr = rArr = = = Ω
Kada napon padne na 210 V snaga će uz jednaki otpor grijača iznositi
( )2 2
2102 68340 2 6453
U VP W
R= = =
Ω
Računamo postotak smanjenja snage grijača
16
750 683401 2 100 100 888750
1
P P W Wp p p
P W
minus minus= sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 173
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 215 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rezultat 449
Zadatak 174 (Mario gimnazija)
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 10 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6
Ω middot m)
Rješenje 174
2 middot r1 = 256 mm =gt r1 = 128 mm = 00128 m 2 middot r2 = 234 mm =gt r2 = 117 mm =
= 00117 m l = 10 m ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m = 10-7 Ω middot m R =
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Površina kružnog vijenca
Neka su zadane dvije koncentrične kružnice polumjera r1 i r2 (r1 gt r2) tj kružnice s istim središtem
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen tim kružnicama i njegova površina računa se po formuli
( )2
2 21
S r r π= minus sdot
Otpor željezne cijevi iznosi
( )( )
2 21 2
2 21 2
S r rl
Rl
r rRS
π
ρ
πρ
= minus sdot
rArr = sdot =
minus sdot= sdot
( ) ( )( )107
10 0012 2 2
00128 00117
mm
m m π
minus= Ω sdot sdot = Ω
minus sdot
Vježba 174
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 20 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m)
Rezultat 0025 Ω
17
Zadatak 175 (Mario gimnazija)
Pad napona na krajevima 100 m dugog bakrenog vodiča iznosi 102 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19
C)
Rješenje 175
l = 100 m U = 102 V n = 84 middot 1022
cm-3
= 84 middot 1028
m-3
ρ = 17 middot 10-3
Ω middot mm2 m = 17 middot 10
-9 Ω middot m e = 1602 middot 10
-19 C v =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
gdje je U razlika potencijala (napon) na krajevima vodiča a R otpor vodiča Iz te formule izlazi da je
razlika potencijala (pad napona) U na dijelu strujnog kruga otpora R jednak
U I R= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Vodičem površine presjeka S u kojem ima n slobodnih elektrona po jedinici volumena naboja e i koji
se djelovanjem električnog polja gibaju brzinom v teče struja jakosti
I n e v S= sdot sdot sdot
Računamo brzinu elektrona
I n e v S
l l lR U n e v S U n e v U n e v l
S S
U I R
SS
ρ ρ ρ ρ
= sdot sdot sdot
= sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot rArr
= sdot
1
Un e v l U n e v l U
n ev
n e llρ
ρρρ sdot
sdot sdotrArr sdot sdot sdot sdot = rArr sdot sdot sdot sdot = rArr =
sdot sdot sdotsdot=
102 5446 10
128 19 984 10 1602 10 17 10 100
3
V m
sC m m
m
minus= = sdot
minus minussdot sdot sdot sdot sdot Ω sdot sdot
Vježba 175
Pad napona na krajevima 200 m dugog bakrenog vodiča iznosi 204 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19 C)
Rezultat 5
446 10 m
s
minussdot
Zadatak 176 (Tomer181 tehnička škola)
Električni izvor ima elektromotorni napon 12 V i unutarnji otpor 06 Ω Na izvor je priključen
otpornik 10 Ω Odrediti jakost struje i napon
Rješenje 176
ε = 12 V Ru = 06 Ω Rv = 10 Ω I = U =
Kad je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na pad
napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (U = I middot R) u vanjskom krugu
18
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( ) I R R I R I R I R Uu v u v u vε ε ε= sdot + rArr = sdot + sdot rArr = sdot +
Računamo struju u strujnom krugu
( ) ( ) ( )1
I R R I R R I R R Iu v u v uR
vR RuRv vu
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot + sdot= rArr =
++=
121132
06 10
VA= =
Ω + Ω
Tada je
bull pad napona na unutarnjem otporu izvora
1132 06 068U I R A Vu u= sdot = sdot Ω =
bull pad napona u vanjskom krugu
1132 10 1132U I R A Vv v= sdot = sdot Ω =
ili
12 068 1132 U U U U V V Vu v v uε ε+ = rArr = minus = minus =
Vježba 176
Električni izvor ima elektromotorni napon 24 V i unutarnji otpor 12 Ω Na izvor je priključen
otpornik 20 Ω Odrediti jakost struje
Rezultat 1132 V
Zadatak 177 (Jurica gimnazija)
U krug istosmjerne struje napona 120 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
Rješenje 177
U = 120 V RA = RB = RC = R UA = UB = UC =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
19
Jakost struje u vodiču razmjerna je naponu između dviju točaka vodiča
Pad napona U na nekom otporniku otpora R razmjeran je jakosti struje I i otporu
U I R= sdot
Pri paralelnom spajanju vodiča pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak
je
1 2 3
U U U U Un= = = = =
1 1 2 2 3 3
U I R I R I R I Rn n= sdot = sdot = sdot = = sdot
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni pad napona na serijskome spoju jednak je zbroju pojedinih padova napona
1 2 3
U U U U Un= + + + +
Vodiče možemo spajati u seriju i paralelno Pri serijskom spajanju vodiča kroz sve vodiče teče
struja iste jakosti Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama
jednak je jakosti struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1 1
1 2 31 2
3
I I I InR R R Rn
=
I2
I1
I
R
R
R
C
B
A
120 V
I
RR
2
AB C
120 V
I
3sdotsdotsdotsdotR
2
ABC
120 V
1inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
20
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Padovi napona na otpornicima AB i C su
2
RU I R U IAB AB AB
U I RC C U I R
C
= sdot = sdotrArr
= sdot= sdot
Iz kvocijenta napona UC i UAB dobije se
2 2 2
2 2
U U U UI RC C C C U UC ABRU U U U
AB AB AB A
I RU
ABI B
RI
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr = sdotsdot
sdot sdot
Budući da je zbroj padova napona u strujnome krugu jednak ukupnom naponu za strujni krug
prikazan na slici je
U U UAB C
+ =
pa vrijedi sustav jednadžbi
1202 1
metoda
zam20
2 2 jene
U U U U UAB C AB C
U UAB ABU U U U
C AB C AB
+ = + =rArr rArr rArr + sdot = rArr
= sdot = sdot
3 120 3 120 0 4 3U U U VAB AB AB
rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo UC
402 40 80
2
U VAB
U V VCU U
C AB
=rArr = sdot =
= sdot
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
2inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Pad napona UC ima vrijednost
80 8080 U I R U R U U V
C C C C CRR
R= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Pad napona UAB iznosi
120 80 40 U U U U U U V V VAB C AB C
+ = rArr = minus = minus =
21
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
3inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Za struje I1 i I2 vrijedi
1 11 1 1 1 2 1 21 21 280 80
801 2 1 2
1 21 2
I I I II II IR RR R
BAI I I I
I II I I R RR
= ===rArr rArr rArr rArr
+ = + =+ =+ =
80 80 80 40 402 2
2 2 2 2 2
2 1I I I I I I
R R R R RrArr + = rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr =
Računamo padove napona na otpornicima A B i C
40 40
401
40 4040
2
8080 80
U R UA ARU I R U V
A A A
U I R U R U U VB B B B BR
U VU I R
RR
RR
CC CU R U
C C RRR
= sdot = sdot= sdot =
= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
== sdot= sdot = sdot
Vježba 177
U krug istosmjerne struje napona 240 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
C
B
A
240 V
Rezultat UA = 80 V UB = 80 V UC = 160 V
22
Zadatak 178 (Mario tehnička škola)
Grijalica predviđena za napon U ima n spirala od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima otpor
R Koliku će snagu trošiti grijalica ako je svih n spirala spojeno paralelno
Rješenje 178
U n R1 = R2 = hellip = Rn = R P =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon na krajevima trošila R otpor trošila
U slučaju paralelnog spoja n jednakih otpornika ekvivalentni je otpor Re
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3
n RRe
R R R R R R R R R R R R ne n e e
= + + + + rArr = + + + + rArr = rArr =
Snaga koju troši grijalica iznosi
2 2
2 2 21
U UP
U n U URe P P P P nR R R RR
Re n nn
=sdot
rArr = rArr = rArr = rArr = sdot
=
Vježba 178
Grijalica predviđena za napon 220 V ima 2 spirale od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima
otpor 100 Ω Koliku će snagu trošiti grijalica ako su spirale spojene paralelno
Rezultat P = 968 W
Zadatak 179 (Tina gimnazija)
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 45
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 004 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rješenje 179
R = 100 Ω ε = 45 V I = 004 A r =
Kada je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na
pad napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (I middot Rv) u vanjskom krugu
23
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( )I R I R I R Ru v u vε ε= sdot + sdot rArr = sdot +
Iz uvjeta zadatka dobije
( ) ( ) ( )1
I R r I R r I R rI
r RI
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot rArr +sdot+ = = rArr
45100 125
004
Vr R
I A
εrArr = minus = minus Ω = Ω
Vježba 179
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 9
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 008 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rezultat r = 125 Ω
Zadatak 180 (Martin tehnička škola)
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 20 a otpor se pritom smanji za
5
Rješenje 180
U U1 = U ndash 20 middot U = U ndash 020 middot U = 080 middot U R R1 = R ndash 5 middot R = R ndash 005 middot R =
= 095 middot R P P1 =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Izrazit ćemo novu snagu uređaja P1 pomoću stare snage P
( )2 2 2 2 2 2
080 080 08011 1 1 1095 095 095
1
U U U UP P P P
R R R R
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = sdot rArr
sdot sdot
2080
06737 032631 1
2
1095P P P P P P P
UP
RrArr rArr = sdot rArr = sdot rArr= = minus sdot rArr
32633263 1 1
P P P P P PrArr = minus sdot rArr sdotminus=
24
Snaga će pasti za 3263
Vježba 180
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 10 a otpor se pritom smanji za
5
Rezultat Snaga će pasti za 1474
15
5 10 50 500A V B V C V D V
Rezultat C
Zadatak 173 (Ivan tehnička škola)
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 210 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rješenje 173
U1 = 220 V P1 = 750 W U2 = 210 V R1 = R2 = R p =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Kako zapisati za koliko se posto veličina a2 smanjila u odnosu na istovrsnu veličinu a1
1 2100 100
1 1
a aa
p pa a
minus∆= sdot rArr = sdot
1inačica
22 2 21
1 1 2111
1001 22 2
12 2
2 100
2 22
1
UU U UP
PRR R Rp
UU UP P
RR
Pp
P
R
P=
= minus
rArr rArr rArr = sdot rArr
= =
minus= sdot
2 2 2 21 2 1 2 2 2
1 2100 100 1002 2 2
1 1 1
U U U U
U URp p p
U U U
R
R R
minus minus
minusrArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr
2 2 2 21 2 2 2100 100 1 1002 2 2 2
1 1 1
212
1 1
U U UU
U
Up p p
U U U U
rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr
2 221021 100 1 100 888220
1
U Vp p p
U VrArr = minus sdot rArr = minus sdot rArr =
2inačica
Izračunamo otpor grijača
( )2 2 2 2
2201 1 1 6453 1 1 7
150
1
U U U V
P P RR R P W
R
Psdot= rArr = rArr = = = Ω
Kada napon padne na 210 V snaga će uz jednaki otpor grijača iznositi
( )2 2
2102 68340 2 6453
U VP W
R= = =
Ω
Računamo postotak smanjenja snage grijača
16
750 683401 2 100 100 888750
1
P P W Wp p p
P W
minus minus= sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 173
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 215 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rezultat 449
Zadatak 174 (Mario gimnazija)
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 10 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6
Ω middot m)
Rješenje 174
2 middot r1 = 256 mm =gt r1 = 128 mm = 00128 m 2 middot r2 = 234 mm =gt r2 = 117 mm =
= 00117 m l = 10 m ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m = 10-7 Ω middot m R =
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Površina kružnog vijenca
Neka su zadane dvije koncentrične kružnice polumjera r1 i r2 (r1 gt r2) tj kružnice s istim središtem
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen tim kružnicama i njegova površina računa se po formuli
( )2
2 21
S r r π= minus sdot
Otpor željezne cijevi iznosi
( )( )
2 21 2
2 21 2
S r rl
Rl
r rRS
π
ρ
πρ
= minus sdot
rArr = sdot =
minus sdot= sdot
( ) ( )( )107
10 0012 2 2
00128 00117
mm
m m π
minus= Ω sdot sdot = Ω
minus sdot
Vježba 174
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 20 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m)
Rezultat 0025 Ω
17
Zadatak 175 (Mario gimnazija)
Pad napona na krajevima 100 m dugog bakrenog vodiča iznosi 102 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19
C)
Rješenje 175
l = 100 m U = 102 V n = 84 middot 1022
cm-3
= 84 middot 1028
m-3
ρ = 17 middot 10-3
Ω middot mm2 m = 17 middot 10
-9 Ω middot m e = 1602 middot 10
-19 C v =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
gdje je U razlika potencijala (napon) na krajevima vodiča a R otpor vodiča Iz te formule izlazi da je
razlika potencijala (pad napona) U na dijelu strujnog kruga otpora R jednak
U I R= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Vodičem površine presjeka S u kojem ima n slobodnih elektrona po jedinici volumena naboja e i koji
se djelovanjem električnog polja gibaju brzinom v teče struja jakosti
I n e v S= sdot sdot sdot
Računamo brzinu elektrona
I n e v S
l l lR U n e v S U n e v U n e v l
S S
U I R
SS
ρ ρ ρ ρ
= sdot sdot sdot
= sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot rArr
= sdot
1
Un e v l U n e v l U
n ev
n e llρ
ρρρ sdot
sdot sdotrArr sdot sdot sdot sdot = rArr sdot sdot sdot sdot = rArr =
sdot sdot sdotsdot=
102 5446 10
128 19 984 10 1602 10 17 10 100
3
V m
sC m m
m
minus= = sdot
minus minussdot sdot sdot sdot sdot Ω sdot sdot
Vježba 175
Pad napona na krajevima 200 m dugog bakrenog vodiča iznosi 204 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19 C)
Rezultat 5
446 10 m
s
minussdot
Zadatak 176 (Tomer181 tehnička škola)
Električni izvor ima elektromotorni napon 12 V i unutarnji otpor 06 Ω Na izvor je priključen
otpornik 10 Ω Odrediti jakost struje i napon
Rješenje 176
ε = 12 V Ru = 06 Ω Rv = 10 Ω I = U =
Kad je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na pad
napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (U = I middot R) u vanjskom krugu
18
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( ) I R R I R I R I R Uu v u v u vε ε ε= sdot + rArr = sdot + sdot rArr = sdot +
Računamo struju u strujnom krugu
( ) ( ) ( )1
I R R I R R I R R Iu v u v uR
vR RuRv vu
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot + sdot= rArr =
++=
121132
06 10
VA= =
Ω + Ω
Tada je
bull pad napona na unutarnjem otporu izvora
1132 06 068U I R A Vu u= sdot = sdot Ω =
bull pad napona u vanjskom krugu
1132 10 1132U I R A Vv v= sdot = sdot Ω =
ili
12 068 1132 U U U U V V Vu v v uε ε+ = rArr = minus = minus =
Vježba 176
Električni izvor ima elektromotorni napon 24 V i unutarnji otpor 12 Ω Na izvor je priključen
otpornik 20 Ω Odrediti jakost struje
Rezultat 1132 V
Zadatak 177 (Jurica gimnazija)
U krug istosmjerne struje napona 120 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
Rješenje 177
U = 120 V RA = RB = RC = R UA = UB = UC =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
19
Jakost struje u vodiču razmjerna je naponu između dviju točaka vodiča
Pad napona U na nekom otporniku otpora R razmjeran je jakosti struje I i otporu
U I R= sdot
Pri paralelnom spajanju vodiča pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak
je
1 2 3
U U U U Un= = = = =
1 1 2 2 3 3
U I R I R I R I Rn n= sdot = sdot = sdot = = sdot
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni pad napona na serijskome spoju jednak je zbroju pojedinih padova napona
1 2 3
U U U U Un= + + + +
Vodiče možemo spajati u seriju i paralelno Pri serijskom spajanju vodiča kroz sve vodiče teče
struja iste jakosti Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama
jednak je jakosti struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1 1
1 2 31 2
3
I I I InR R R Rn
=
I2
I1
I
R
R
R
C
B
A
120 V
I
RR
2
AB C
120 V
I
3sdotsdotsdotsdotR
2
ABC
120 V
1inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
20
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Padovi napona na otpornicima AB i C su
2
RU I R U IAB AB AB
U I RC C U I R
C
= sdot = sdotrArr
= sdot= sdot
Iz kvocijenta napona UC i UAB dobije se
2 2 2
2 2
U U U UI RC C C C U UC ABRU U U U
AB AB AB A
I RU
ABI B
RI
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr = sdotsdot
sdot sdot
Budući da je zbroj padova napona u strujnome krugu jednak ukupnom naponu za strujni krug
prikazan na slici je
U U UAB C
+ =
pa vrijedi sustav jednadžbi
1202 1
metoda
zam20
2 2 jene
U U U U UAB C AB C
U UAB ABU U U U
C AB C AB
+ = + =rArr rArr rArr + sdot = rArr
= sdot = sdot
3 120 3 120 0 4 3U U U VAB AB AB
rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo UC
402 40 80
2
U VAB
U V VCU U
C AB
=rArr = sdot =
= sdot
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
2inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Pad napona UC ima vrijednost
80 8080 U I R U R U U V
C C C C CRR
R= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Pad napona UAB iznosi
120 80 40 U U U U U U V V VAB C AB C
+ = rArr = minus = minus =
21
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
3inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Za struje I1 i I2 vrijedi
1 11 1 1 1 2 1 21 21 280 80
801 2 1 2
1 21 2
I I I II II IR RR R
BAI I I I
I II I I R RR
= ===rArr rArr rArr rArr
+ = + =+ =+ =
80 80 80 40 402 2
2 2 2 2 2
2 1I I I I I I
R R R R RrArr + = rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr =
Računamo padove napona na otpornicima A B i C
40 40
401
40 4040
2
8080 80
U R UA ARU I R U V
A A A
U I R U R U U VB B B B BR
U VU I R
RR
RR
CC CU R U
C C RRR
= sdot = sdot= sdot =
= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
== sdot= sdot = sdot
Vježba 177
U krug istosmjerne struje napona 240 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
C
B
A
240 V
Rezultat UA = 80 V UB = 80 V UC = 160 V
22
Zadatak 178 (Mario tehnička škola)
Grijalica predviđena za napon U ima n spirala od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima otpor
R Koliku će snagu trošiti grijalica ako je svih n spirala spojeno paralelno
Rješenje 178
U n R1 = R2 = hellip = Rn = R P =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon na krajevima trošila R otpor trošila
U slučaju paralelnog spoja n jednakih otpornika ekvivalentni je otpor Re
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3
n RRe
R R R R R R R R R R R R ne n e e
= + + + + rArr = + + + + rArr = rArr =
Snaga koju troši grijalica iznosi
2 2
2 2 21
U UP
U n U URe P P P P nR R R RR
Re n nn
=sdot
rArr = rArr = rArr = rArr = sdot
=
Vježba 178
Grijalica predviđena za napon 220 V ima 2 spirale od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima
otpor 100 Ω Koliku će snagu trošiti grijalica ako su spirale spojene paralelno
Rezultat P = 968 W
Zadatak 179 (Tina gimnazija)
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 45
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 004 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rješenje 179
R = 100 Ω ε = 45 V I = 004 A r =
Kada je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na
pad napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (I middot Rv) u vanjskom krugu
23
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( )I R I R I R Ru v u vε ε= sdot + sdot rArr = sdot +
Iz uvjeta zadatka dobije
( ) ( ) ( )1
I R r I R r I R rI
r RI
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot rArr +sdot+ = = rArr
45100 125
004
Vr R
I A
εrArr = minus = minus Ω = Ω
Vježba 179
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 9
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 008 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rezultat r = 125 Ω
Zadatak 180 (Martin tehnička škola)
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 20 a otpor se pritom smanji za
5
Rješenje 180
U U1 = U ndash 20 middot U = U ndash 020 middot U = 080 middot U R R1 = R ndash 5 middot R = R ndash 005 middot R =
= 095 middot R P P1 =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Izrazit ćemo novu snagu uređaja P1 pomoću stare snage P
( )2 2 2 2 2 2
080 080 08011 1 1 1095 095 095
1
U U U UP P P P
R R R R
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = sdot rArr
sdot sdot
2080
06737 032631 1
2
1095P P P P P P P
UP
RrArr rArr = sdot rArr = sdot rArr= = minus sdot rArr
32633263 1 1
P P P P P PrArr = minus sdot rArr sdotminus=
24
Snaga će pasti za 3263
Vježba 180
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 10 a otpor se pritom smanji za
5
Rezultat Snaga će pasti za 1474
16
750 683401 2 100 100 888750
1
P P W Wp p p
P W
minus minus= sdot rArr = sdot rArr =
Vježba 173
Grijač predviđen za 220 V ima snagu 750 W Koliko će se posto smanjiti snaga grijača ako
napon padne na 215 V Pretpostavite da se pritom ne promijeni otpor grijača
Rezultat 449
Zadatak 174 (Mario gimnazija)
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 10 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6
Ω middot m)
Rješenje 174
2 middot r1 = 256 mm =gt r1 = 128 mm = 00128 m 2 middot r2 = 234 mm =gt r2 = 117 mm =
= 00117 m l = 10 m ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m = 10-7 Ω middot m R =
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Površina kružnog vijenca
Neka su zadane dvije koncentrične kružnice polumjera r1 i r2 (r1 gt r2) tj kružnice s istim središtem
Kružni vijenac je dio ravnine omeđen tim kružnicama i njegova površina računa se po formuli
( )2
2 21
S r r π= minus sdot
Otpor željezne cijevi iznosi
( )( )
2 21 2
2 21 2
S r rl
Rl
r rRS
π
ρ
πρ
= minus sdot
rArr = sdot =
minus sdot= sdot
( ) ( )( )107
10 0012 2 2
00128 00117
mm
m m π
minus= Ω sdot sdot = Ω
minus sdot
Vježba 174
Koliki je otpor željezne cijevi vanjskog promjera 256 mm unutarnjeg promjera 234 mm
duljine 20 m (električna otpornost željeza ρ = 01 middot 10-6 Ω middot m)
Rezultat 0025 Ω
17
Zadatak 175 (Mario gimnazija)
Pad napona na krajevima 100 m dugog bakrenog vodiča iznosi 102 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19
C)
Rješenje 175
l = 100 m U = 102 V n = 84 middot 1022
cm-3
= 84 middot 1028
m-3
ρ = 17 middot 10-3
Ω middot mm2 m = 17 middot 10
-9 Ω middot m e = 1602 middot 10
-19 C v =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
gdje je U razlika potencijala (napon) na krajevima vodiča a R otpor vodiča Iz te formule izlazi da je
razlika potencijala (pad napona) U na dijelu strujnog kruga otpora R jednak
U I R= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Vodičem površine presjeka S u kojem ima n slobodnih elektrona po jedinici volumena naboja e i koji
se djelovanjem električnog polja gibaju brzinom v teče struja jakosti
I n e v S= sdot sdot sdot
Računamo brzinu elektrona
I n e v S
l l lR U n e v S U n e v U n e v l
S S
U I R
SS
ρ ρ ρ ρ
= sdot sdot sdot
= sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot rArr
= sdot
1
Un e v l U n e v l U
n ev
n e llρ
ρρρ sdot
sdot sdotrArr sdot sdot sdot sdot = rArr sdot sdot sdot sdot = rArr =
sdot sdot sdotsdot=
102 5446 10
128 19 984 10 1602 10 17 10 100
3
V m
sC m m
m
minus= = sdot
minus minussdot sdot sdot sdot sdot Ω sdot sdot
Vježba 175
Pad napona na krajevima 200 m dugog bakrenog vodiča iznosi 204 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19 C)
Rezultat 5
446 10 m
s
minussdot
Zadatak 176 (Tomer181 tehnička škola)
Električni izvor ima elektromotorni napon 12 V i unutarnji otpor 06 Ω Na izvor je priključen
otpornik 10 Ω Odrediti jakost struje i napon
Rješenje 176
ε = 12 V Ru = 06 Ω Rv = 10 Ω I = U =
Kad je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na pad
napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (U = I middot R) u vanjskom krugu
18
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( ) I R R I R I R I R Uu v u v u vε ε ε= sdot + rArr = sdot + sdot rArr = sdot +
Računamo struju u strujnom krugu
( ) ( ) ( )1
I R R I R R I R R Iu v u v uR
vR RuRv vu
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot + sdot= rArr =
++=
121132
06 10
VA= =
Ω + Ω
Tada je
bull pad napona na unutarnjem otporu izvora
1132 06 068U I R A Vu u= sdot = sdot Ω =
bull pad napona u vanjskom krugu
1132 10 1132U I R A Vv v= sdot = sdot Ω =
ili
12 068 1132 U U U U V V Vu v v uε ε+ = rArr = minus = minus =
Vježba 176
Električni izvor ima elektromotorni napon 24 V i unutarnji otpor 12 Ω Na izvor je priključen
otpornik 20 Ω Odrediti jakost struje
Rezultat 1132 V
Zadatak 177 (Jurica gimnazija)
U krug istosmjerne struje napona 120 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
Rješenje 177
U = 120 V RA = RB = RC = R UA = UB = UC =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
19
Jakost struje u vodiču razmjerna je naponu između dviju točaka vodiča
Pad napona U na nekom otporniku otpora R razmjeran je jakosti struje I i otporu
U I R= sdot
Pri paralelnom spajanju vodiča pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak
je
1 2 3
U U U U Un= = = = =
1 1 2 2 3 3
U I R I R I R I Rn n= sdot = sdot = sdot = = sdot
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni pad napona na serijskome spoju jednak je zbroju pojedinih padova napona
1 2 3
U U U U Un= + + + +
Vodiče možemo spajati u seriju i paralelno Pri serijskom spajanju vodiča kroz sve vodiče teče
struja iste jakosti Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama
jednak je jakosti struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1 1
1 2 31 2
3
I I I InR R R Rn
=
I2
I1
I
R
R
R
C
B
A
120 V
I
RR
2
AB C
120 V
I
3sdotsdotsdotsdotR
2
ABC
120 V
1inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
20
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Padovi napona na otpornicima AB i C su
2
RU I R U IAB AB AB
U I RC C U I R
C
= sdot = sdotrArr
= sdot= sdot
Iz kvocijenta napona UC i UAB dobije se
2 2 2
2 2
U U U UI RC C C C U UC ABRU U U U
AB AB AB A
I RU
ABI B
RI
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr = sdotsdot
sdot sdot
Budući da je zbroj padova napona u strujnome krugu jednak ukupnom naponu za strujni krug
prikazan na slici je
U U UAB C
+ =
pa vrijedi sustav jednadžbi
1202 1
metoda
zam20
2 2 jene
U U U U UAB C AB C
U UAB ABU U U U
C AB C AB
+ = + =rArr rArr rArr + sdot = rArr
= sdot = sdot
3 120 3 120 0 4 3U U U VAB AB AB
rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo UC
402 40 80
2
U VAB
U V VCU U
C AB
=rArr = sdot =
= sdot
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
2inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Pad napona UC ima vrijednost
80 8080 U I R U R U U V
C C C C CRR
R= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Pad napona UAB iznosi
120 80 40 U U U U U U V V VAB C AB C
+ = rArr = minus = minus =
21
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
3inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Za struje I1 i I2 vrijedi
1 11 1 1 1 2 1 21 21 280 80
801 2 1 2
1 21 2
I I I II II IR RR R
BAI I I I
I II I I R RR
= ===rArr rArr rArr rArr
+ = + =+ =+ =
80 80 80 40 402 2
2 2 2 2 2
2 1I I I I I I
R R R R RrArr + = rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr =
Računamo padove napona na otpornicima A B i C
40 40
401
40 4040
2
8080 80
U R UA ARU I R U V
A A A
U I R U R U U VB B B B BR
U VU I R
RR
RR
CC CU R U
C C RRR
= sdot = sdot= sdot =
= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
== sdot= sdot = sdot
Vježba 177
U krug istosmjerne struje napona 240 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
C
B
A
240 V
Rezultat UA = 80 V UB = 80 V UC = 160 V
22
Zadatak 178 (Mario tehnička škola)
Grijalica predviđena za napon U ima n spirala od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima otpor
R Koliku će snagu trošiti grijalica ako je svih n spirala spojeno paralelno
Rješenje 178
U n R1 = R2 = hellip = Rn = R P =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon na krajevima trošila R otpor trošila
U slučaju paralelnog spoja n jednakih otpornika ekvivalentni je otpor Re
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3
n RRe
R R R R R R R R R R R R ne n e e
= + + + + rArr = + + + + rArr = rArr =
Snaga koju troši grijalica iznosi
2 2
2 2 21
U UP
U n U URe P P P P nR R R RR
Re n nn
=sdot
rArr = rArr = rArr = rArr = sdot
=
Vježba 178
Grijalica predviđena za napon 220 V ima 2 spirale od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima
otpor 100 Ω Koliku će snagu trošiti grijalica ako su spirale spojene paralelno
Rezultat P = 968 W
Zadatak 179 (Tina gimnazija)
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 45
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 004 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rješenje 179
R = 100 Ω ε = 45 V I = 004 A r =
Kada je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na
pad napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (I middot Rv) u vanjskom krugu
23
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( )I R I R I R Ru v u vε ε= sdot + sdot rArr = sdot +
Iz uvjeta zadatka dobije
( ) ( ) ( )1
I R r I R r I R rI
r RI
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot rArr +sdot+ = = rArr
45100 125
004
Vr R
I A
εrArr = minus = minus Ω = Ω
Vježba 179
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 9
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 008 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rezultat r = 125 Ω
Zadatak 180 (Martin tehnička škola)
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 20 a otpor se pritom smanji za
5
Rješenje 180
U U1 = U ndash 20 middot U = U ndash 020 middot U = 080 middot U R R1 = R ndash 5 middot R = R ndash 005 middot R =
= 095 middot R P P1 =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Izrazit ćemo novu snagu uređaja P1 pomoću stare snage P
( )2 2 2 2 2 2
080 080 08011 1 1 1095 095 095
1
U U U UP P P P
R R R R
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = sdot rArr
sdot sdot
2080
06737 032631 1
2
1095P P P P P P P
UP
RrArr rArr = sdot rArr = sdot rArr= = minus sdot rArr
32633263 1 1
P P P P P PrArr = minus sdot rArr sdotminus=
24
Snaga će pasti za 3263
Vježba 180
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 10 a otpor se pritom smanji za
5
Rezultat Snaga će pasti za 1474
17
Zadatak 175 (Mario gimnazija)
Pad napona na krajevima 100 m dugog bakrenog vodiča iznosi 102 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19
C)
Rješenje 175
l = 100 m U = 102 V n = 84 middot 1022
cm-3
= 84 middot 1028
m-3
ρ = 17 middot 10-3
Ω middot mm2 m = 17 middot 10
-9 Ω middot m e = 1602 middot 10
-19 C v =
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
gdje je U razlika potencijala (napon) na krajevima vodiča a R otpor vodiča Iz te formule izlazi da je
razlika potencijala (pad napona) U na dijelu strujnog kruga otpora R jednak
U I R= sdot
Električni otpor R vodiča ovisi o duljini l vodiča njegovu presjeku S i električnoj otpornosti ρ
l
RS
ρ= sdot
Vodičem površine presjeka S u kojem ima n slobodnih elektrona po jedinici volumena naboja e i koji
se djelovanjem električnog polja gibaju brzinom v teče struja jakosti
I n e v S= sdot sdot sdot
Računamo brzinu elektrona
I n e v S
l l lR U n e v S U n e v U n e v l
S S
U I R
SS
ρ ρ ρ ρ
= sdot sdot sdot
= sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot sdot rArr = sdot sdot sdot sdot rArr
= sdot
1
Un e v l U n e v l U
n ev
n e llρ
ρρρ sdot
sdot sdotrArr sdot sdot sdot sdot = rArr sdot sdot sdot sdot = rArr =
sdot sdot sdotsdot=
102 5446 10
128 19 984 10 1602 10 17 10 100
3
V m
sC m m
m
minus= = sdot
minus minussdot sdot sdot sdot sdot Ω sdot sdot
Vježba 175
Pad napona na krajevima 200 m dugog bakrenog vodiča iznosi 204 V Koncentracija
slobodnih elektrona je 84 middot 1022 po cm3 otpornost 17 middot 10-3 Ω middot mm2 m Kolika je brzina elektrona
(naboj elektrona e = 1602 middot 10-19 C)
Rezultat 5
446 10 m
s
minussdot
Zadatak 176 (Tomer181 tehnička škola)
Električni izvor ima elektromotorni napon 12 V i unutarnji otpor 06 Ω Na izvor je priključen
otpornik 10 Ω Odrediti jakost struje i napon
Rješenje 176
ε = 12 V Ru = 06 Ω Rv = 10 Ω I = U =
Kad je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na pad
napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (U = I middot R) u vanjskom krugu
18
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( ) I R R I R I R I R Uu v u v u vε ε ε= sdot + rArr = sdot + sdot rArr = sdot +
Računamo struju u strujnom krugu
( ) ( ) ( )1
I R R I R R I R R Iu v u v uR
vR RuRv vu
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot + sdot= rArr =
++=
121132
06 10
VA= =
Ω + Ω
Tada je
bull pad napona na unutarnjem otporu izvora
1132 06 068U I R A Vu u= sdot = sdot Ω =
bull pad napona u vanjskom krugu
1132 10 1132U I R A Vv v= sdot = sdot Ω =
ili
12 068 1132 U U U U V V Vu v v uε ε+ = rArr = minus = minus =
Vježba 176
Električni izvor ima elektromotorni napon 24 V i unutarnji otpor 12 Ω Na izvor je priključen
otpornik 20 Ω Odrediti jakost struje
Rezultat 1132 V
Zadatak 177 (Jurica gimnazija)
U krug istosmjerne struje napona 120 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
Rješenje 177
U = 120 V RA = RB = RC = R UA = UB = UC =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
19
Jakost struje u vodiču razmjerna je naponu između dviju točaka vodiča
Pad napona U na nekom otporniku otpora R razmjeran je jakosti struje I i otporu
U I R= sdot
Pri paralelnom spajanju vodiča pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak
je
1 2 3
U U U U Un= = = = =
1 1 2 2 3 3
U I R I R I R I Rn n= sdot = sdot = sdot = = sdot
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni pad napona na serijskome spoju jednak je zbroju pojedinih padova napona
1 2 3
U U U U Un= + + + +
Vodiče možemo spajati u seriju i paralelno Pri serijskom spajanju vodiča kroz sve vodiče teče
struja iste jakosti Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama
jednak je jakosti struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1 1
1 2 31 2
3
I I I InR R R Rn
=
I2
I1
I
R
R
R
C
B
A
120 V
I
RR
2
AB C
120 V
I
3sdotsdotsdotsdotR
2
ABC
120 V
1inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
20
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Padovi napona na otpornicima AB i C su
2
RU I R U IAB AB AB
U I RC C U I R
C
= sdot = sdotrArr
= sdot= sdot
Iz kvocijenta napona UC i UAB dobije se
2 2 2
2 2
U U U UI RC C C C U UC ABRU U U U
AB AB AB A
I RU
ABI B
RI
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr = sdotsdot
sdot sdot
Budući da je zbroj padova napona u strujnome krugu jednak ukupnom naponu za strujni krug
prikazan na slici je
U U UAB C
+ =
pa vrijedi sustav jednadžbi
1202 1
metoda
zam20
2 2 jene
U U U U UAB C AB C
U UAB ABU U U U
C AB C AB
+ = + =rArr rArr rArr + sdot = rArr
= sdot = sdot
3 120 3 120 0 4 3U U U VAB AB AB
rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo UC
402 40 80
2
U VAB
U V VCU U
C AB
=rArr = sdot =
= sdot
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
2inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Pad napona UC ima vrijednost
80 8080 U I R U R U U V
C C C C CRR
R= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Pad napona UAB iznosi
120 80 40 U U U U U U V V VAB C AB C
+ = rArr = minus = minus =
21
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
3inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Za struje I1 i I2 vrijedi
1 11 1 1 1 2 1 21 21 280 80
801 2 1 2
1 21 2
I I I II II IR RR R
BAI I I I
I II I I R RR
= ===rArr rArr rArr rArr
+ = + =+ =+ =
80 80 80 40 402 2
2 2 2 2 2
2 1I I I I I I
R R R R RrArr + = rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr =
Računamo padove napona na otpornicima A B i C
40 40
401
40 4040
2
8080 80
U R UA ARU I R U V
A A A
U I R U R U U VB B B B BR
U VU I R
RR
RR
CC CU R U
C C RRR
= sdot = sdot= sdot =
= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
== sdot= sdot = sdot
Vježba 177
U krug istosmjerne struje napona 240 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
C
B
A
240 V
Rezultat UA = 80 V UB = 80 V UC = 160 V
22
Zadatak 178 (Mario tehnička škola)
Grijalica predviđena za napon U ima n spirala od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima otpor
R Koliku će snagu trošiti grijalica ako je svih n spirala spojeno paralelno
Rješenje 178
U n R1 = R2 = hellip = Rn = R P =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon na krajevima trošila R otpor trošila
U slučaju paralelnog spoja n jednakih otpornika ekvivalentni je otpor Re
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3
n RRe
R R R R R R R R R R R R ne n e e
= + + + + rArr = + + + + rArr = rArr =
Snaga koju troši grijalica iznosi
2 2
2 2 21
U UP
U n U URe P P P P nR R R RR
Re n nn
=sdot
rArr = rArr = rArr = rArr = sdot
=
Vježba 178
Grijalica predviđena za napon 220 V ima 2 spirale od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima
otpor 100 Ω Koliku će snagu trošiti grijalica ako su spirale spojene paralelno
Rezultat P = 968 W
Zadatak 179 (Tina gimnazija)
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 45
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 004 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rješenje 179
R = 100 Ω ε = 45 V I = 004 A r =
Kada je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na
pad napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (I middot Rv) u vanjskom krugu
23
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( )I R I R I R Ru v u vε ε= sdot + sdot rArr = sdot +
Iz uvjeta zadatka dobije
( ) ( ) ( )1
I R r I R r I R rI
r RI
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot rArr +sdot+ = = rArr
45100 125
004
Vr R
I A
εrArr = minus = minus Ω = Ω
Vježba 179
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 9
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 008 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rezultat r = 125 Ω
Zadatak 180 (Martin tehnička škola)
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 20 a otpor se pritom smanji za
5
Rješenje 180
U U1 = U ndash 20 middot U = U ndash 020 middot U = 080 middot U R R1 = R ndash 5 middot R = R ndash 005 middot R =
= 095 middot R P P1 =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Izrazit ćemo novu snagu uređaja P1 pomoću stare snage P
( )2 2 2 2 2 2
080 080 08011 1 1 1095 095 095
1
U U U UP P P P
R R R R
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = sdot rArr
sdot sdot
2080
06737 032631 1
2
1095P P P P P P P
UP
RrArr rArr = sdot rArr = sdot rArr= = minus sdot rArr
32633263 1 1
P P P P P PrArr = minus sdot rArr sdotminus=
24
Snaga će pasti za 3263
Vježba 180
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 10 a otpor se pritom smanji za
5
Rezultat Snaga će pasti za 1474
18
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( ) I R R I R I R I R Uu v u v u vε ε ε= sdot + rArr = sdot + sdot rArr = sdot +
Računamo struju u strujnom krugu
( ) ( ) ( )1
I R R I R R I R R Iu v u v uR
vR RuRv vu
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot + sdot= rArr =
++=
121132
06 10
VA= =
Ω + Ω
Tada je
bull pad napona na unutarnjem otporu izvora
1132 06 068U I R A Vu u= sdot = sdot Ω =
bull pad napona u vanjskom krugu
1132 10 1132U I R A Vv v= sdot = sdot Ω =
ili
12 068 1132 U U U U V V Vu v v uε ε+ = rArr = minus = minus =
Vježba 176
Električni izvor ima elektromotorni napon 24 V i unutarnji otpor 12 Ω Na izvor je priključen
otpornik 20 Ω Odrediti jakost struje
Rezultat 1132 V
Zadatak 177 (Jurica gimnazija)
U krug istosmjerne struje napona 120 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
Rješenje 177
U = 120 V RA = RB = RC = R UA = UB = UC =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Ako je otpor vodiča uz stalnu temperaturu stalan kažemo da za vodič vrijedi Ohmov zakon
U
IR
=
19
Jakost struje u vodiču razmjerna je naponu između dviju točaka vodiča
Pad napona U na nekom otporniku otpora R razmjeran je jakosti struje I i otporu
U I R= sdot
Pri paralelnom spajanju vodiča pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak
je
1 2 3
U U U U Un= = = = =
1 1 2 2 3 3
U I R I R I R I Rn n= sdot = sdot = sdot = = sdot
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni pad napona na serijskome spoju jednak je zbroju pojedinih padova napona
1 2 3
U U U U Un= + + + +
Vodiče možemo spajati u seriju i paralelno Pri serijskom spajanju vodiča kroz sve vodiče teče
struja iste jakosti Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama
jednak je jakosti struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1 1
1 2 31 2
3
I I I InR R R Rn
=
I2
I1
I
R
R
R
C
B
A
120 V
I
RR
2
AB C
120 V
I
3sdotsdotsdotsdotR
2
ABC
120 V
1inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
20
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Padovi napona na otpornicima AB i C su
2
RU I R U IAB AB AB
U I RC C U I R
C
= sdot = sdotrArr
= sdot= sdot
Iz kvocijenta napona UC i UAB dobije se
2 2 2
2 2
U U U UI RC C C C U UC ABRU U U U
AB AB AB A
I RU
ABI B
RI
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr = sdotsdot
sdot sdot
Budući da je zbroj padova napona u strujnome krugu jednak ukupnom naponu za strujni krug
prikazan na slici je
U U UAB C
+ =
pa vrijedi sustav jednadžbi
1202 1
metoda
zam20
2 2 jene
U U U U UAB C AB C
U UAB ABU U U U
C AB C AB
+ = + =rArr rArr rArr + sdot = rArr
= sdot = sdot
3 120 3 120 0 4 3U U U VAB AB AB
rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo UC
402 40 80
2
U VAB
U V VCU U
C AB
=rArr = sdot =
= sdot
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
2inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Pad napona UC ima vrijednost
80 8080 U I R U R U U V
C C C C CRR
R= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Pad napona UAB iznosi
120 80 40 U U U U U U V V VAB C AB C
+ = rArr = minus = minus =
21
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
3inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Za struje I1 i I2 vrijedi
1 11 1 1 1 2 1 21 21 280 80
801 2 1 2
1 21 2
I I I II II IR RR R
BAI I I I
I II I I R RR
= ===rArr rArr rArr rArr
+ = + =+ =+ =
80 80 80 40 402 2
2 2 2 2 2
2 1I I I I I I
R R R R RrArr + = rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr =
Računamo padove napona na otpornicima A B i C
40 40
401
40 4040
2
8080 80
U R UA ARU I R U V
A A A
U I R U R U U VB B B B BR
U VU I R
RR
RR
CC CU R U
C C RRR
= sdot = sdot= sdot =
= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
== sdot= sdot = sdot
Vježba 177
U krug istosmjerne struje napona 240 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
C
B
A
240 V
Rezultat UA = 80 V UB = 80 V UC = 160 V
22
Zadatak 178 (Mario tehnička škola)
Grijalica predviđena za napon U ima n spirala od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima otpor
R Koliku će snagu trošiti grijalica ako je svih n spirala spojeno paralelno
Rješenje 178
U n R1 = R2 = hellip = Rn = R P =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon na krajevima trošila R otpor trošila
U slučaju paralelnog spoja n jednakih otpornika ekvivalentni je otpor Re
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3
n RRe
R R R R R R R R R R R R ne n e e
= + + + + rArr = + + + + rArr = rArr =
Snaga koju troši grijalica iznosi
2 2
2 2 21
U UP
U n U URe P P P P nR R R RR
Re n nn
=sdot
rArr = rArr = rArr = rArr = sdot
=
Vježba 178
Grijalica predviđena za napon 220 V ima 2 spirale od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima
otpor 100 Ω Koliku će snagu trošiti grijalica ako su spirale spojene paralelno
Rezultat P = 968 W
Zadatak 179 (Tina gimnazija)
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 45
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 004 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rješenje 179
R = 100 Ω ε = 45 V I = 004 A r =
Kada je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na
pad napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (I middot Rv) u vanjskom krugu
23
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( )I R I R I R Ru v u vε ε= sdot + sdot rArr = sdot +
Iz uvjeta zadatka dobije
( ) ( ) ( )1
I R r I R r I R rI
r RI
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot rArr +sdot+ = = rArr
45100 125
004
Vr R
I A
εrArr = minus = minus Ω = Ω
Vježba 179
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 9
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 008 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rezultat r = 125 Ω
Zadatak 180 (Martin tehnička škola)
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 20 a otpor se pritom smanji za
5
Rješenje 180
U U1 = U ndash 20 middot U = U ndash 020 middot U = 080 middot U R R1 = R ndash 5 middot R = R ndash 005 middot R =
= 095 middot R P P1 =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Izrazit ćemo novu snagu uređaja P1 pomoću stare snage P
( )2 2 2 2 2 2
080 080 08011 1 1 1095 095 095
1
U U U UP P P P
R R R R
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = sdot rArr
sdot sdot
2080
06737 032631 1
2
1095P P P P P P P
UP
RrArr rArr = sdot rArr = sdot rArr= = minus sdot rArr
32633263 1 1
P P P P P PrArr = minus sdot rArr sdotminus=
24
Snaga će pasti za 3263
Vježba 180
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 10 a otpor se pritom smanji za
5
Rezultat Snaga će pasti za 1474
19
Jakost struje u vodiču razmjerna je naponu između dviju točaka vodiča
Pad napona U na nekom otporniku otpora R razmjeran je jakosti struje I i otporu
U I R= sdot
Pri paralelnom spajanju vodiča pad napona na krajevima svih vodiča koji su spojeni u paralelu jednak
je
1 2 3
U U U U Un= = = = =
1 1 2 2 3 3
U I R I R I R I Rn n= sdot = sdot = sdot = = sdot
Ukupni je otpor od n serijski spojenih vodiča
1 2 3
R R R R Rn= + + + +
Ukupni pad napona na serijskome spoju jednak je zbroju pojedinih padova napona
1 2 3
U U U U Un= + + + +
Vodiče možemo spajati u seriju i paralelno Pri serijskom spajanju vodiča kroz sve vodiče teče
struja iste jakosti Pri usporednom (paralelnom) spajanju vodiča zbroj jakosti struja u svim granama
jednak je jakosti struje prije i poslije grananja
1 2 3
I I I I In= + + + +
Jakosti struja u pojedinim granama odnose se obrnuto razmjerno s otporima vodiča u tim granama tj
1 1 1 1
1 2 31 2
3
I I I InR R R Rn
=
I2
I1
I
R
R
R
C
B
A
120 V
I
RR
2
AB C
120 V
I
3sdotsdotsdotsdotR
2
ABC
120 V
1inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
20
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Padovi napona na otpornicima AB i C su
2
RU I R U IAB AB AB
U I RC C U I R
C
= sdot = sdotrArr
= sdot= sdot
Iz kvocijenta napona UC i UAB dobije se
2 2 2
2 2
U U U UI RC C C C U UC ABRU U U U
AB AB AB A
I RU
ABI B
RI
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr = sdotsdot
sdot sdot
Budući da je zbroj padova napona u strujnome krugu jednak ukupnom naponu za strujni krug
prikazan na slici je
U U UAB C
+ =
pa vrijedi sustav jednadžbi
1202 1
metoda
zam20
2 2 jene
U U U U UAB C AB C
U UAB ABU U U U
C AB C AB
+ = + =rArr rArr rArr + sdot = rArr
= sdot = sdot
3 120 3 120 0 4 3U U U VAB AB AB
rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo UC
402 40 80
2
U VAB
U V VCU U
C AB
=rArr = sdot =
= sdot
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
2inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Pad napona UC ima vrijednost
80 8080 U I R U R U U V
C C C C CRR
R= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Pad napona UAB iznosi
120 80 40 U U U U U U V V VAB C AB C
+ = rArr = minus = minus =
21
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
3inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Za struje I1 i I2 vrijedi
1 11 1 1 1 2 1 21 21 280 80
801 2 1 2
1 21 2
I I I II II IR RR R
BAI I I I
I II I I R RR
= ===rArr rArr rArr rArr
+ = + =+ =+ =
80 80 80 40 402 2
2 2 2 2 2
2 1I I I I I I
R R R R RrArr + = rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr =
Računamo padove napona na otpornicima A B i C
40 40
401
40 4040
2
8080 80
U R UA ARU I R U V
A A A
U I R U R U U VB B B B BR
U VU I R
RR
RR
CC CU R U
C C RRR
= sdot = sdot= sdot =
= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
== sdot= sdot = sdot
Vježba 177
U krug istosmjerne struje napona 240 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
C
B
A
240 V
Rezultat UA = 80 V UB = 80 V UC = 160 V
22
Zadatak 178 (Mario tehnička škola)
Grijalica predviđena za napon U ima n spirala od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima otpor
R Koliku će snagu trošiti grijalica ako je svih n spirala spojeno paralelno
Rješenje 178
U n R1 = R2 = hellip = Rn = R P =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon na krajevima trošila R otpor trošila
U slučaju paralelnog spoja n jednakih otpornika ekvivalentni je otpor Re
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3
n RRe
R R R R R R R R R R R R ne n e e
= + + + + rArr = + + + + rArr = rArr =
Snaga koju troši grijalica iznosi
2 2
2 2 21
U UP
U n U URe P P P P nR R R RR
Re n nn
=sdot
rArr = rArr = rArr = rArr = sdot
=
Vježba 178
Grijalica predviđena za napon 220 V ima 2 spirale od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima
otpor 100 Ω Koliku će snagu trošiti grijalica ako su spirale spojene paralelno
Rezultat P = 968 W
Zadatak 179 (Tina gimnazija)
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 45
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 004 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rješenje 179
R = 100 Ω ε = 45 V I = 004 A r =
Kada je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na
pad napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (I middot Rv) u vanjskom krugu
23
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( )I R I R I R Ru v u vε ε= sdot + sdot rArr = sdot +
Iz uvjeta zadatka dobije
( ) ( ) ( )1
I R r I R r I R rI
r RI
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot rArr +sdot+ = = rArr
45100 125
004
Vr R
I A
εrArr = minus = minus Ω = Ω
Vježba 179
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 9
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 008 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rezultat r = 125 Ω
Zadatak 180 (Martin tehnička škola)
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 20 a otpor se pritom smanji za
5
Rješenje 180
U U1 = U ndash 20 middot U = U ndash 020 middot U = 080 middot U R R1 = R ndash 5 middot R = R ndash 005 middot R =
= 095 middot R P P1 =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Izrazit ćemo novu snagu uređaja P1 pomoću stare snage P
( )2 2 2 2 2 2
080 080 08011 1 1 1095 095 095
1
U U U UP P P P
R R R R
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = sdot rArr
sdot sdot
2080
06737 032631 1
2
1095P P P P P P P
UP
RrArr rArr = sdot rArr = sdot rArr= = minus sdot rArr
32633263 1 1
P P P P P PrArr = minus sdot rArr sdotminus=
24
Snaga će pasti za 3263
Vježba 180
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 10 a otpor se pritom smanji za
5
Rezultat Snaga će pasti za 1474
20
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Padovi napona na otpornicima AB i C su
2
RU I R U IAB AB AB
U I RC C U I R
C
= sdot = sdotrArr
= sdot= sdot
Iz kvocijenta napona UC i UAB dobije se
2 2 2
2 2
U U U UI RC C C C U UC ABRU U U U
AB AB AB A
I RU
ABI B
RI
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr = sdotsdot
sdot sdot
Budući da je zbroj padova napona u strujnome krugu jednak ukupnom naponu za strujni krug
prikazan na slici je
U U UAB C
+ =
pa vrijedi sustav jednadžbi
1202 1
metoda
zam20
2 2 jene
U U U U UAB C AB C
U UAB ABU U U U
C AB C AB
+ = + =rArr rArr rArr + sdot = rArr
= sdot = sdot
3 120 3 120 0 4 3U U U VAB AB AB
rArr sdot = rArr sdot = rArr =
Računamo UC
402 40 80
2
U VAB
U V VCU U
C AB
=rArr = sdot =
= sdot
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
2inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Pad napona UC ima vrijednost
80 8080 U I R U R U U V
C C C C CRR
R= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
Pad napona UAB iznosi
120 80 40 U U U U U U V V VAB C AB C
+ = rArr = minus = minus =
21
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
3inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Za struje I1 i I2 vrijedi
1 11 1 1 1 2 1 21 21 280 80
801 2 1 2
1 21 2
I I I II II IR RR R
BAI I I I
I II I I R RR
= ===rArr rArr rArr rArr
+ = + =+ =+ =
80 80 80 40 402 2
2 2 2 2 2
2 1I I I I I I
R R R R RrArr + = rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr =
Računamo padove napona na otpornicima A B i C
40 40
401
40 4040
2
8080 80
U R UA ARU I R U V
A A A
U I R U R U U VB B B B BR
U VU I R
RR
RR
CC CU R U
C C RRR
= sdot = sdot= sdot =
= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
== sdot= sdot = sdot
Vježba 177
U krug istosmjerne struje napona 240 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
C
B
A
240 V
Rezultat UA = 80 V UB = 80 V UC = 160 V
22
Zadatak 178 (Mario tehnička škola)
Grijalica predviđena za napon U ima n spirala od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima otpor
R Koliku će snagu trošiti grijalica ako je svih n spirala spojeno paralelno
Rješenje 178
U n R1 = R2 = hellip = Rn = R P =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon na krajevima trošila R otpor trošila
U slučaju paralelnog spoja n jednakih otpornika ekvivalentni je otpor Re
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3
n RRe
R R R R R R R R R R R R ne n e e
= + + + + rArr = + + + + rArr = rArr =
Snaga koju troši grijalica iznosi
2 2
2 2 21
U UP
U n U URe P P P P nR R R RR
Re n nn
=sdot
rArr = rArr = rArr = rArr = sdot
=
Vježba 178
Grijalica predviđena za napon 220 V ima 2 spirale od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima
otpor 100 Ω Koliku će snagu trošiti grijalica ako su spirale spojene paralelno
Rezultat P = 968 W
Zadatak 179 (Tina gimnazija)
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 45
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 004 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rješenje 179
R = 100 Ω ε = 45 V I = 004 A r =
Kada je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na
pad napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (I middot Rv) u vanjskom krugu
23
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( )I R I R I R Ru v u vε ε= sdot + sdot rArr = sdot +
Iz uvjeta zadatka dobije
( ) ( ) ( )1
I R r I R r I R rI
r RI
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot rArr +sdot+ = = rArr
45100 125
004
Vr R
I A
εrArr = minus = minus Ω = Ω
Vježba 179
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 9
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 008 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rezultat r = 125 Ω
Zadatak 180 (Martin tehnička škola)
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 20 a otpor se pritom smanji za
5
Rješenje 180
U U1 = U ndash 20 middot U = U ndash 020 middot U = 080 middot U R R1 = R ndash 5 middot R = R ndash 005 middot R =
= 095 middot R P P1 =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Izrazit ćemo novu snagu uređaja P1 pomoću stare snage P
( )2 2 2 2 2 2
080 080 08011 1 1 1095 095 095
1
U U U UP P P P
R R R R
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = sdot rArr
sdot sdot
2080
06737 032631 1
2
1095P P P P P P P
UP
RrArr rArr = sdot rArr = sdot rArr= = minus sdot rArr
32633263 1 1
P P P P P PrArr = minus sdot rArr sdotminus=
24
Snaga će pasti za 3263
Vježba 180
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 10 a otpor se pritom smanji za
5
Rezultat Snaga će pasti za 1474
21
Padovi napona kod paralelnog spoja međusobno su jednaki i zato je
4040
40
U VA
U VAB U V
B
== rArr
=
3inačica
Otpornici A i B spojeni su paralelno pa njihov ekvivalentni otpor RAB iznosi
1 1 1 1 1 1 1 2
2
RR
ABR R R R R R R RBAB A AB AB
= + rArr = + rArr = rArr =
Otpornici AB i C spojeni su serijski pa je ukupni otpor RABC strujnog kruga jednak
3
2 2
R RR R R R R R
ABC AB C ABC ABC
sdot= + rArr = + rArr =
Struja u električnom krugu je
120 40
120 801
120
1 1 3 3
2 2 2
33
2 2
U UI I I I I I I
R R R R RR RABC
= rArr = rArr = rArr = rArr = rArr = rArr =sdot sdot sdot sdot
Za struje I1 i I2 vrijedi
1 11 1 1 1 2 1 21 21 280 80
801 2 1 2
1 21 2
I I I II II IR RR R
BAI I I I
I II I I R RR
= ===rArr rArr rArr rArr
+ = + =+ =+ =
80 80 80 40 402 2
2 2 2 2 2
2 1I I I I I I
R R R R RrArr + = rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr =
Računamo padove napona na otpornicima A B i C
40 40
401
40 4040
2
8080 80
U R UA ARU I R U V
A A A
U I R U R U U VB B B B BR
U VU I R
RR
RR
CC CU R U
C C RRR
= sdot = sdot= sdot =
= sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr =
== sdot= sdot = sdot
Vježba 177
U krug istosmjerne struje napona 240 V uključena su tri jednaka otpornika otpornik A
otpornik B i otpornik C kao što je prikazano na crtežu Odredite napon na krajevima svakoga
otpornika
C
B
A
240 V
Rezultat UA = 80 V UB = 80 V UC = 160 V
22
Zadatak 178 (Mario tehnička škola)
Grijalica predviđena za napon U ima n spirala od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima otpor
R Koliku će snagu trošiti grijalica ako je svih n spirala spojeno paralelno
Rješenje 178
U n R1 = R2 = hellip = Rn = R P =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon na krajevima trošila R otpor trošila
U slučaju paralelnog spoja n jednakih otpornika ekvivalentni je otpor Re
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3
n RRe
R R R R R R R R R R R R ne n e e
= + + + + rArr = + + + + rArr = rArr =
Snaga koju troši grijalica iznosi
2 2
2 2 21
U UP
U n U URe P P P P nR R R RR
Re n nn
=sdot
rArr = rArr = rArr = rArr = sdot
=
Vježba 178
Grijalica predviđena za napon 220 V ima 2 spirale od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima
otpor 100 Ω Koliku će snagu trošiti grijalica ako su spirale spojene paralelno
Rezultat P = 968 W
Zadatak 179 (Tina gimnazija)
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 45
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 004 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rješenje 179
R = 100 Ω ε = 45 V I = 004 A r =
Kada je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na
pad napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (I middot Rv) u vanjskom krugu
23
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( )I R I R I R Ru v u vε ε= sdot + sdot rArr = sdot +
Iz uvjeta zadatka dobije
( ) ( ) ( )1
I R r I R r I R rI
r RI
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot rArr +sdot+ = = rArr
45100 125
004
Vr R
I A
εrArr = minus = minus Ω = Ω
Vježba 179
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 9
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 008 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rezultat r = 125 Ω
Zadatak 180 (Martin tehnička škola)
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 20 a otpor se pritom smanji za
5
Rješenje 180
U U1 = U ndash 20 middot U = U ndash 020 middot U = 080 middot U R R1 = R ndash 5 middot R = R ndash 005 middot R =
= 095 middot R P P1 =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Izrazit ćemo novu snagu uređaja P1 pomoću stare snage P
( )2 2 2 2 2 2
080 080 08011 1 1 1095 095 095
1
U U U UP P P P
R R R R
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = sdot rArr
sdot sdot
2080
06737 032631 1
2
1095P P P P P P P
UP
RrArr rArr = sdot rArr = sdot rArr= = minus sdot rArr
32633263 1 1
P P P P P PrArr = minus sdot rArr sdotminus=
24
Snaga će pasti za 3263
Vježba 180
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 10 a otpor se pritom smanji za
5
Rezultat Snaga će pasti za 1474
22
Zadatak 178 (Mario tehnička škola)
Grijalica predviđena za napon U ima n spirala od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima otpor
R Koliku će snagu trošiti grijalica ako je svih n spirala spojeno paralelno
Rješenje 178
U n R1 = R2 = hellip = Rn = R P =
Ukupni otpor R što ga pruža n vodiča spojenih u paralelu možemo naći iz izraza
1 1 1 1 1 1
11 2 3
n
R R R R R Rin i
= + + + + = sum=
Recipročna vrijednost ukupnog otpora jednaka je zbroju recipročnih vrijednosti paralelno vezanih
otpornika
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon na krajevima trošila R otpor trošila
U slučaju paralelnog spoja n jednakih otpornika ekvivalentni je otpor Re
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3
n RRe
R R R R R R R R R R R R ne n e e
= + + + + rArr = + + + + rArr = rArr =
Snaga koju troši grijalica iznosi
2 2
2 2 21
U UP
U n U URe P P P P nR R R RR
Re n nn
=sdot
rArr = rArr = rArr = rArr = sdot
=
Vježba 178
Grijalica predviđena za napon 220 V ima 2 spirale od kojih svaka pri radnoj temperaturi ima
otpor 100 Ω Koliku će snagu trošiti grijalica ako su spirale spojene paralelno
Rezultat P = 968 W
Zadatak 179 (Tina gimnazija)
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 45
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 004 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rješenje 179
R = 100 Ω ε = 45 V I = 004 A r =
Kada je izvor elektromotornog napona ε priključen u strujni krug njegov se napon raspodjeljuje na
pad napona na unutarnjem otporu Ru izvora (I middot Ru) i pad napona (I middot Rv) u vanjskom krugu
23
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( )I R I R I R Ru v u vε ε= sdot + sdot rArr = sdot +
Iz uvjeta zadatka dobije
( ) ( ) ( )1
I R r I R r I R rI
r RI
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot rArr +sdot+ = = rArr
45100 125
004
Vr R
I A
εrArr = minus = minus Ω = Ω
Vježba 179
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 9
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 008 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rezultat r = 125 Ω
Zadatak 180 (Martin tehnička škola)
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 20 a otpor se pritom smanji za
5
Rješenje 180
U U1 = U ndash 20 middot U = U ndash 020 middot U = 080 middot U R R1 = R ndash 5 middot R = R ndash 005 middot R =
= 095 middot R P P1 =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Izrazit ćemo novu snagu uređaja P1 pomoću stare snage P
( )2 2 2 2 2 2
080 080 08011 1 1 1095 095 095
1
U U U UP P P P
R R R R
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = sdot rArr
sdot sdot
2080
06737 032631 1
2
1095P P P P P P P
UP
RrArr rArr = sdot rArr = sdot rArr= = minus sdot rArr
32633263 1 1
P P P P P PrArr = minus sdot rArr sdotminus=
24
Snaga će pasti za 3263
Vježba 180
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 10 a otpor se pritom smanji za
5
Rezultat Snaga će pasti za 1474
23
εεεε = I sdotsdotsdotsdot Ru + I sdotsdotsdotsdot R
Ru εεεε
R
( )I R I R I R Ru v u vε ε= sdot + sdot rArr = sdot +
Iz uvjeta zadatka dobije
( ) ( ) ( )1
I R r I R r I R rI
r RI
εε ε ε= sdot + rArr sdot + = rArr sdot rArr +sdot+ = = rArr
45100 125
004
Vr R
I A
εrArr = minus = minus Ω = Ω
Vježba 179
Otpornik otpora R = 100 Ω preko sklopke S spojen je na izvor elektromotornog napona ε i
unutarnjeg otpora r kao što je prikazano na crtežu Ako je sklopka S otvorena voltmetar pokazuje 9
V Ako je sklopka zatvorena ampermetar pokazuje 008 A Pretpostavite da su ampermetar i voltmetar
idealni Koliki je unutarnji otpor baterije r
Rezultat r = 125 Ω
Zadatak 180 (Martin tehnička škola)
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 20 a otpor se pritom smanji za
5
Rješenje 180
U U1 = U ndash 20 middot U = U ndash 020 middot U = 080 middot U R R1 = R ndash 5 middot R = R ndash 005 middot R =
= 095 middot R P P1 =
Snaga kojom se u trošilu električna energija pretvara u druge oblike energije je
2
U
PR
=
gdje je U napon između krajeva promatranog trošila R otpor tog trošila
Izrazit ćemo novu snagu uređaja P1 pomoću stare snage P
( )2 2 2 2 2 2
080 080 08011 1 1 1095 095 095
1
U U U UP P P P
R R R R
sdot sdot= rArr = rArr = rArr = sdot rArr
sdot sdot
2080
06737 032631 1
2
1095P P P P P P P
UP
RrArr rArr = sdot rArr = sdot rArr= = minus sdot rArr
32633263 1 1
P P P P P PrArr = minus sdot rArr sdotminus=
24
Snaga će pasti za 3263
Vježba 180
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 10 a otpor se pritom smanji za
5
Rezultat Snaga će pasti za 1474
24
Snaga će pasti za 3263
Vježba 180
Za koliko će posto pasti snaga uređaja ako napon padne za 10 a otpor se pritom smanji za
5
Rezultat Snaga će pasti za 1474