1

Základní číselnéZákladní číselnémnožinymnožiny

2

NN = = 1, 2, 3, ..., 1, 2, 3, ..., nn, ...} je množina všech, ...} je množina všech přirozenýchpřirozených

čísel.čísel.

Přirozená čísla se používají např. jako Přirozená čísla se používají např. jako pořadovápořadová

čísla, třeba při zápisu členů posloupnosti: čísla, třeba při zápisu členů posloupnosti: aann = =

aa11, , aa22, , aa33, …, , …, aann, …, …

3

NN00 = = 0, 1, 2, 3, ..., 0, 1, 2, 3, ..., nn,...} = ,...} = NN 0} je pro 0} je pro některé autory také množinou všech některé autory také množinou všech přirozenýchpřirozených čísel a zapisuje se jimi čísel a zapisuje se jimi především počet prvků neprázdných množin. především počet prvků neprázdných množin.

ZZ = = ...,–2, –1, 0, 1, 2, ...} je množina všech ...,–2, –1, 0, 1, 2, ...} je množina všech celýchcelých čísel. čísel.

Celá čísla se používají např. pro zápisy Celá čísla se používají např. pro zápisy vztahující se k periodičnosti funkcí; např. vztahující se k periodičnosti funkcí; např. funkce funkce yy = cotg = cotg xx není definována pro není definována pro xx = = kk, kde , kde kk ZZ je libovolné (celé) číslo. je libovolné (celé) číslo.

4

QQ, množina všech čísel , množina všech čísel racionálníchracionálních, je , je množinou všech zlomků množinou všech zlomků kk//nn, kde , kde kk ZZ a a nn NN . .

Používá se např. při konstrukci některých Používá se např. při konstrukci některých méně obvyklých matematických objektů (viz méně obvyklých matematických objektů (viz dále). Množina dále). Množina QQ je na číselné ose hustě je na číselné ose hustě uspořádána, mezi každými dvěma uspořádána, mezi každými dvěma racionálními čísly leží další racionální číslo racionálními čísly leží další racionální číslo (např. jejich aritmeticky průměr); též mezi (např. jejich aritmeticky průměr); též mezi každými dvěma reálnými čísly leží racionální každými dvěma reálnými čísly leží racionální číslo. Desetinný rozvoj racionálních čísel je číslo. Desetinný rozvoj racionálních čísel je ukončený nebo periodický, dostaneme jej ze ukončený nebo periodický, dostaneme jej ze zlomku zlomku kk//nn dělením. Obrácený postup je již dělením. Obrácený postup je již náročnější.náročnější.

n

k

n

k

5

Číslo Číslo aa = = 1,5721,572 převeďte na obyčejný převeďte na obyčejný zlomek zlomek

6

RR - množina všech čísel - množina všech čísel reálnýchreálných, je pro , je pro základní kurs matematické analýzy základní základní kurs matematické analýzy základní číselnou množinou (pokud není řečeno jinak, číselnou množinou (pokud není řečeno jinak, budeme rozumět pod pojmem číslo vždy číslo budeme rozumět pod pojmem číslo vždy číslo reálné). Dostaneme ji tak, že vhodným reálné). Dostaneme ji tak, že vhodným způsobem zavedeme iracionální čísla.způsobem zavedeme iracionální čísla.

Reálná čísla zobrazujeme na číselné (reálné) Reálná čísla zobrazujeme na číselné (reálné) ose: je to přímka, na níž zvolíme bod ose: je to přímka, na níž zvolíme bod OO jako jako obraz čísla 0 (počátek číselné osy) a bod obraz čísla 0 (počátek číselné osy) a bod J J jako jako obraz čísla 1, a pomocí těchto dvou bodů pak obraz čísla 1, a pomocí těchto dvou bodů pak na ní zobrazujeme všechna reálná čísla; body na ní zobrazujeme všechna reálná čísla; body na číselné ose označujeme zpravidla přímo na číselné ose označujeme zpravidla přímo zobrazovanými čísly.zobrazovanými čísly.

7

Při rozšiřování pojmu Při rozšiřování pojmu čísločíslo z z QQ na na RR vznikají dvě otázky:vznikají dvě otázky:

- zda existuje potřeba iracionálních - zda existuje potřeba iracionálních čísel (a jak je zavést), čísel (a jak je zavést),

- zda zobrazení množiny - zda zobrazení množiny RR na na číselnou osu je bijekce, tj. zda i číselnou osu je bijekce, tj. zda i každý bod číselné osy je obrazem každý bod číselné osy je obrazem nějakého reálného čísla.nějakého reálného čísla.

8

Množinu všech iracionálních čísel Množinu všech iracionálních čísel označíme označíme QQ'' ; je ; je QQ QQ = = a a RR = = QQ QQ'.'. Všimněme si dekadického rozvoje: Všimněme si dekadického rozvoje: racionální čísla mají dekadický rozvoj racionální čísla mají dekadický rozvoj ukončený nebo periodický, iracionální ukončený nebo periodický, iracionální čísla mají svůj dekadický rozvoj čísla mají svůj dekadický rozvoj neukončený a neperiodický (pro neukončený a neperiodický (pro iracionální čísla často známe jen konečný iracionální čísla často známe jen konečný počet míst jejich dekadického rozvoje počet míst jejich dekadického rozvoje (např. pro číslo (např. pro číslo ), ale není to pravidlo).), ale není to pravidlo).

9

VV: Neexistuje racionální číslo, jehož druhá mocnina: Neexistuje racionální číslo, jehož druhá mocnina

by byla rovna 2.by byla rovna 2.

10

CC - množina všech čísel - množina všech čísel komplexníchkomplexních; komplexní čísla ; komplexní čísla zobrazujeme v Gaussově rovině. zobrazujeme v Gaussově rovině. Platí:Platí:

NN NN00 ZZ QQ RR CC..

11

Vlastnosti číselných Vlastnosti číselných množinmnožin

12

D:D: Množina Množina MM se nazývá se nazývá shora shora omezená omezená L L RR tak, že tak, že x x MM platí platí xx LL. Toto číslo . Toto číslo LL se nazývá se nazývá horní horní odhadodhad (resp. horní závora). (resp. horní závora).

Množina Množina MM se nazývá se nazývá zdola omezenázdola omezená K K RR tak, že tak, že x x MM platí platí xx KK. . Toto číslo Toto číslo KK se nazývá se nazývá dolní odhaddolní odhad (resp. dolní závora).(resp. dolní závora).

Množina Množina MM se nazývá se nazývá omezenáomezená je je omezená shora i zdola.omezená shora i zdola.

13

Určete největší a nejmenší prvek množinyUrčete největší a nejmenší prvek množiny

1

1 1 11, , , , ...

2 4 8M

2

1 1 2 2 3 3, , , , , ,...

2 2 3 3 4 4M

3

1 1 10,1, , , ,...

2 3 4M

14

K nejdůležitějším číselným množinám patříK nejdůležitějším číselným množinám patří intervaly. intervaly.

D: D: aa,,bb RR, , aa < < bb, definujeme, definujeme

uzavřený intervaluzavřený interval aa,,bb = = xx RR; ; aa xx bb},},

otevřený intervalotevřený interval ( (aa,,bb) = ) = xx RR; ; aa < < xx < < bb},},

a podobně a podobně aa,,bb), (), (aa,,bb..

15

Všechny tyto intervaly mají délku Všechny tyto intervaly mají délku bb--aa..

D:D: Množinu Množinu aa,+,+) = ) = xx RR; ; xx aa} } nazýváme nazýváme neomezený intervalneomezený interval..

Podobně (Podobně (aa,+,+), (–), (–,,bb, (–, (– , ,bb). ). Množinu Množinu RR

zapisujeme též jako (–zapisujeme též jako (– ,+ ,+ ). ).

16

D:D: Absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla čísla aa RR se se označuje označuje aa| a je definována takto:| a je definována takto:

aa RR : | : |aa| = | =

Vlastnosti absolutní hodnoty: Vlastnosti absolutní hodnoty: aa,,bb RR platí platí 1) |1) |aa| | 0, přičemž | 0, přičemž |aa| = 0 | = 0 aa = 0, = 0, 2) |–2) |–aa| = || = |aa|,|, 3) |3) |a a + + bb| | | |aa| + || + |bb|, 4) ||, 4) |aa – – bb| | | |aa| – || – |

bb|,|, 5) |5) |abab| = || = |aa| | | |bb|, |,

6) pro 6) pro bb 0 je 0 je

pro 0

pro 0

a a

a a

aa

b b

17

Supremum a Supremum a infimuminfimum

18

D:D: Nechť Nechť MM RR, , MM . Číslo . Číslo RR nazýváme nazýváme supremumsupremum množiny množiny MM a a píšeme píšeme = sup = sup M M má tyto dvě má tyto dvě vlastnosti:vlastnosti:

(1) (1) xx MM : : x x ,,

(2) (2) xx'' MM : : x'x' > > ..

Vlastnost (1) znamená, že Vlastnost (1) znamená, že je horní odhad, je horní odhad, vlastnost (2) říká, že vlastnost (2) říká, že je ze všech horních je ze všech horních odhadů nejmenší, tedy: sup odhadů nejmenší, tedy: sup MM je je nejmenší nejmenší horní odhadhorní odhad (závora) množiny (závora) množiny MM. Ovšem z . Ovšem z definice nijak neplyne, že takový nejmenší definice nijak neplyne, že takový nejmenší horní odhad existuje.horní odhad existuje.

19

D:D: Nechť Nechť MM RR, , MM . Číslo . Číslo RR nazýváme nazýváme infimuminfimum množiny množiny MM a píšeme a píšeme = inf = inf MM má tyto dvě vlastnosti: má tyto dvě vlastnosti:

(1) (1) xx MM : : xx , ,

(2) (2) x'x' MM : : x'x' < < . .

Vlastnost (1) znamená, že Vlastnost (1) znamená, že je dolní je dolní odhad, vlastnost (2) říká, že odhad, vlastnost (2) říká, že je ze všech je ze všech dolních odhadů největší, tedy: inf dolních odhadů největší, tedy: inf MM je je největší dolní odhadnejvětší dolní odhad (závora) množiny (závora) množiny MM. . Z definice opět nijak neplyne, že takový Z definice opět nijak neplyne, že takový největší dolní odhad existuje.největší dolní odhad existuje.

20

Určete sup Určete sup MM a inf a inf MM pro pro množinu:množinu:

1 2 3, , ,...

2 3 4M

21

(1) Každá neprázdná shora omezená (1) Každá neprázdná shora omezená množina reálných čísel má množina reálných čísel má supremum. supremum.

(2) Každá neprázdná zdola omezená (2) Každá neprázdná zdola omezená množina reálných čísel má množina reálných čísel má infimum. infimum.

22

D:D: Okolím boduOkolím bodu aa nazveme každý otevřený nazveme každý otevřený interval (interval (cc, , dd) konečné délky, který obsahuje ) konečné délky, který obsahuje bod bod a a (tj. kde (tj. kde a a ( (cc, , dd)); označení okolí bodu )); označení okolí bodu aa: : UU((aa).).

23

VVlastnosti okolí: Okolí bodu lastnosti okolí: Okolí bodu aa má tyto má tyto vlastnosti:vlastnosti:

(1) Pro každé (1) Pro každé UU((aa) je ) je aa UU((aa).).

(2) Ke každým dvěma okolím (2) Ke každým dvěma okolím UU11((aa),), U U22((aa) ) existuje okolí existuje okolí UU((aa) tak, že ) tak, že UU((aa) ) UU11((aa) ) UU22((aa).).

(3) Je-li (3) Je-li bb UU((aa), pak existuje ), pak existuje UU11((bb) tak, že ) tak, že UU11((bb) ) UU((aa).).

(4) Pro libovolná (4) Pro libovolná aa bb existují existují UU1(1(aa), ), UU2(2(bb) ) tak, že tak, že UU1(1(aa) ) UU22((bb) = ) = ..

24

Rozšířená reálná osa Rozšířená reálná osa

25

Rozšířená reálná osaRozšířená reálná osa

Je to model číselné osy, kterou rozšíříme o dva nové prvky: Je to model číselné osy, kterou rozšíříme o dva nové prvky: nevlastní číslonevlastní číslo + + a nevlastní číslo – a nevlastní číslo –. Označení rozšířené . Označení rozšířené reálné osy: reálné osy:

RR = = RR ––, +, +}.}. Zavedení nevlastních čísel nám umožňuje hlouběji, lépe a Zavedení nevlastních čísel nám umožňuje hlouběji, lépe a

jednodušeji formulovat mno hé poznatky matematické jednodušeji formulovat mno hé poznatky matematické analýzy.analýzy.

Vlastnosti nevlastních číselVlastnosti nevlastních čísel Na rozšířené reálné ose definujeme přirozené uspořádání a Na rozšířené reálné ose definujeme přirozené uspořádání a

početní operace tak, že rozšíříme příslušná pravidla platná početní operace tak, že rozšíříme příslušná pravidla platná na na RR..

UspořádáníUspořádání: : x x RR: –: – < < xx < + < +, zvláště –, zvláště – < + < + ; –(– ; –(–) = ) = ++ , –(+ , –(+ ) = – ) = – , |+ , |+ | = |– | = |– | = + | = +..

OkolíOkolí: : UU(+(+) toto označení budeme používat pro každý ) toto označení budeme používat pro každý interval interval cc, , RR , ale pokud budeme pracovat na , ale pokud budeme pracovat na RR, , použijeme toto označení (pro zjednodušení vyjadřování) též použijeme toto označení (pro zjednodušení vyjadřování) též pro intervaly (pro intervaly (cc, +, +) ) RR, což jsou vlastně prstencová okolí , což jsou vlastně prstencová okolí PP(+(+) na ) na RR . Podobně pro . Podobně pro UU(–(–) a ) a PP(–(–).).

Supremum Supremum a a infimuminfimum: Pro množinu : Pro množinu MM, která není shora , která není shora omezená, je sup omezená, je sup MM = + = +, pro množinu , pro množinu MM, která není zdola , která není zdola omezená, je inf omezená, je inf MM = – = –..

26

Početní operace s nevlastními číslyPočetní operace s nevlastními číslySčítání a odčítáníSčítání a odčítání: : x x RR definujeme definujeme xx + (+ + (+) = (+) = (+) ) xx = = xx – (– – (–) = (+) = (+) + (+) + (+) = = (+) = = (+) – (–) – (–) = ) = ++ , , xx + (– + (–) = (–) = (–) ) xx = = xx – (+ – (+) = (–) = (–) + (–) + (–) = ) = (–(–) – (+) – (+) = –) = –..

NedefinujemeNedefinujeme (+ (+) – (+) – (+), (+), (+) + (–) + (–), (–), (–) + (+) + (+), (–), (–) – (–) – (–).).

NásobeníNásobení: : x x RR, , x x > 0 definujeme > 0 definujeme x x (+ (+ ) = (+) = (+) ) xx = (+ = (+) ) (+ (+) = (–) = (–) ) (– (–) = +) = +, , x x (– (– ) = ) = (–(–) ) xx = (+ = (+) ) (– (–) = (–) = (–) ) (+ (+) = –) = –. Podobně . Podobně pro pro x x < 0.< 0.

NedefinujemeNedefinujeme 0 0 (+ (+ ), (+), (+) ) 0, 0 0, 0 (– (– ), (–), (–) ) 0 . 0 .DěleníDělení: : x x RR definujeme definujeme x x / (+/ (+) = ) = x x / (–/ (– ) = 0. ) = 0.Pro Pro x x > 0 je +> 0 je + / / xx = + = +, –, – / / xx = – = –,,pro pro x x < 0 je +< 0 je + / / xx = – = –, –, – / / xx = + = +..NedefinujemeNedefinujeme + + /+ /+ , + , + /– /– , atd., , atd., x x / 0 pro žádné / 0 pro žádné x x RR, tj. ani 0 / 0 nebo , tj. ani 0 / 0 nebo / 0. / 0.

MocninyMocniny: : n n NN definujeme (+ definujeme (+))nn = + = + , (+ , (+)–)–nn = 0, = 0, (–(–))nn = (–1) = (–1)n n (+ (+ ). ).

NedefinujemeNedefinujeme (+ (+))00 , (– , (–))00 , 0 , 000, 1, 1++ , 1 , 1–– . .