Zenonovi paradoksi- Ahil i kornjača -- Dihotomija -

Univerzitet Singidunum - FIM

Zenonovi paradoksi- Ahil i kornjača -- Dihotomija -

Mentor:dr. Ivana Kostić Kovačević

Studenti:Amir Dedać 2009/201335Nikola Vuković 2009/201825Beograd, 2010.

Zenon (oko 490-430. p.n.e) je bio predsokratovski grčki filozofkoji je pripadao elejskoj školi, koju je osnovao Parmenid.Aristotel ga je nazvao izumiteljem dijalektike, ali je on ostaoupamćen najviše zahvaljujući svojim paradoksima. Iako nekoliko antičkihpisaca pominje Zenonova pisana dela, ni jedno nije sačuvano.Proklus je u svom komentaru Platonovog “Parmenida” rekao da je Zenonizumeo "... ne manje od četrdeset argumenata koji pokazuju kontradikcije...”.Najpoznatini su takozvani "argumenti protiv kretanja" opisani uAristotelovom delu “Fizika”, koji im je i dao moderne nazive. Zenonoviargumenti su možda prvi primeri metode saznanja zvane reductio adabsurdum (svodjenja na apsurd), poznate i kao dokaz pomoćukontradikcije.Zenonovi paradoksi su zbunili, izazvali, uticali, inspirisali i zadivljavalifilozofe, matematičare i fizičare preko dve hiljade godina.

Zenon (oko 490-430. p.n.e) je bio predsokratovski grčki filozofkoji je pripadao elejskoj školi, koju je osnovao Parmenid.Aristotel ga je nazvao izumiteljem dijalektike, ali je on ostaoupamćen najviše zahvaljujući svojim paradoksima. Iako nekoliko antičkihpisaca pominje Zenonova pisana dela, ni jedno nije sačuvano.Proklus je u svom komentaru Platonovog “Parmenida” rekao da je Zenonizumeo "... ne manje od četrdeset argumenata koji pokazuju kontradikcije...”.Najpoznatini su takozvani "argumenti protiv kretanja" opisani uAristotelovom delu “Fizika”, koji im je i dao moderne nazive. Zenonoviargumenti su možda prvi primeri metode saznanja zvane reductio adabsurdum (svodjenja na apsurd), poznate i kao dokaz pomoćukontradikcije.Zenonovi paradoksi su zbunili, izazvali, uticali, inspirisali i zadivljavalifilozofe, matematičare i fizičare preko dve hiljade godina.

”U trci, najbrži trkač nikada ne može prestići najsporijeg,zato što gonitelj prvo mora doći do tačke odakle jeGonjeni pošao, pa prema tome najsporiji uvek imaprednost.”

Zamislimo da Ahil trči protiv kornjače. Ahil se nalazi u tački A, akornjača u tački K, na odredjenom rastojanju ispred njega. Ahil trči xputa brže, ali kada on stigne do tačke K, kornjača će se za nekorastojanje pomeriti u tačku K1. Kada Ahil stigne u tačku K1, kornjačaće se odmaći od njega u neku tačku K2, itd. Odatle zaključujemo da ćekornjača uvek imati prednost nad Ahilom, nebitno koliko mala ona bila,to jest da Ahil nikada neće stići kornjaču.

A________________K1________K2____K3

”U trci, najbrži trkač nikada ne može prestići najsporijeg,zato što gonitelj prvo mora doći do tačke odakle jeGonjeni pošao, pa prema tome najsporiji uvek imaprednost.”

Zamislimo da Ahil trči protiv kornjače. Ahil se nalazi u tački A, akornjača u tački K, na odredjenom rastojanju ispred njega. Ahil trči xputa brže, ali kada on stigne do tačke K, kornjača će se za nekorastojanje pomeriti u tačku K1. Kada Ahil stigne u tačku K1, kornjačaće se odmaći od njega u neku tačku K2, itd. Odatle zaključujemo da ćekornjača uvek imati prednost nad Ahilom, nebitno koliko mala ona bila,to jest da Ahil nikada neće stići kornjaču.

Objašnjenje za ovaj paradoks dao je Arhimed, pre 212.godine p.n.e, korišćenjem beskonačnog geometrijskogniza.Beskonačni geometrijski niz konvergira ako i samo ako jeapsolutna vrednost količnika njegovih susednih članova manja od 1. U tomslučaju se može izračunati suma tog niza i ona ima konačnu vrednost:

Objašnjenje za ovaj paradoks dao je Arhimed, pre 212.godine p.n.e, korišćenjem beskonačnog geometrijskogniza.Beskonačni geometrijski niz konvergira ako i samo ako jeapsolutna vrednost količnika njegovih susednih članova manja od 1. U tomslučaju se može izračunati suma tog niza i ona ima konačnu vrednost:

∑ n→∞

∞

k=0

aqk = lim∑n

k=0

aqk = limn→∞

a(1 – qn+1)1 - q =

a1 - q

gde je a početni član niza, a q količnik (0 < q < 1).

Paradoksi se mogu rešiti pomoću geometrijskihsekvenci (nizova), ali je jednostavnije koristiti Aristotelovorešenje, koje u obzir uzima vreme (a ne udaljenosti kao u nizovima) koje jepotrebno Ahilu da sustigne kornjaču.

U slučaju Ahila i kornjače zamislimo da kornjača kojase kreće konstantnom brzinom v, ima prednost od dmetara. Ahil trči brzinom xv i da bi došao do tačke K1treba mu d/xv vremena, dok kornjača za to vreme prelazi d/x . Da bidostigao kornjaču, Ahilu je potrebno:

Paradoksi se mogu rešiti pomoću geometrijskihsekvenci (nizova), ali je jednostavnije koristiti Aristotelovorešenje, koje u obzir uzima vreme (a ne udaljenosti kao u nizovima) koje jepotrebno Ahilu da sustigne kornjaču.

U slučaju Ahila i kornjače zamislimo da kornjača kojase kreće konstantnom brzinom v, ima prednost od dmetara. Ahil trči brzinom xv i da bi došao do tačke K1treba mu d/xv vremena, dok kornjača za to vreme prelazi d/x . Da bidostigao kornjaču, Ahilu je potrebno:

∑∞

n=0(

Kako je ovo konačna vrednost, zaključujemo da će Ahil dostići kornjaču.

dv__ 1__

x)n

= _________v(x - 1)

d

Ovaj paradoks nosi naziv “dihotomija” zato sto uključuje ponovno deljenjena polovine.Kretanje je nemoguće jer ”ono što je u pokretu mora prvo preći pola putapre nego što stigne do cilja”. Ako neko telo treba da predje putanju od tačkeA do tačke B, onda ono mora da predje i tačku B1 koja se nalazi na sredinite putanje. Takodje, ono mora da predje i polovinu rastojanja AB1. Odavdezaključujemo da je kretanjenemoguće, jer svako rastojanje ima svoju polovinu, tj. svaka polovina imasvoju polovinu.

Zamislimo npr. nekog trkača koji mora da stigne na cilj. Pretpostavimo da sekrećekonstantnom brzinom. Potrebna mu je ½ vremena da predje ½ puta i još ½vremena za ostatak. Sada takodje mora pretrčati ½ polovine puta, odnosno¼ celog puta, zatim ½ četvrtine puta itd., ali pak ostaje mu konačan brojkonačnih dužina i mnogo vremena da to uradi.

Ovaj paradoks nosi naziv “dihotomija” zato sto uključuje ponovno deljenjena polovine.Kretanje je nemoguće jer ”ono što je u pokretu mora prvo preći pola putapre nego što stigne do cilja”. Ako neko telo treba da predje putanju od tačkeA do tačke B, onda ono mora da predje i tačku B1 koja se nalazi na sredinite putanje. Takodje, ono mora da predje i polovinu rastojanja AB1. Odavdezaključujemo da je kretanjenemoguće, jer svako rastojanje ima svoju polovinu, tj. svaka polovina imasvoju polovinu.

Zamislimo npr. nekog trkača koji mora da stigne na cilj. Pretpostavimo da sekrećekonstantnom brzinom. Potrebna mu je ½ vremena da predje ½ puta i još ½vremena za ostatak. Sada takodje mora pretrčati ½ polovine puta, odnosno¼ celog puta, zatim ½ četvrtine puta itd., ali pak ostaje mu konačan brojkonačnih dužina i mnogo vremena da to uradi.

Šta ako se deljenje razdaljina nastavlja u beskonačnost?Zenon nas navodi na zaključak da trkač treba da predje beskonačnomnogo konačnih razdaljina, za šta je potrebno beskonačno mnogovremena, te trka nikada ne može biti završena. Pošto zaključak ne zavisiod toga ko ili šta se kreće, sledi da ni jedna konačna razdaljina ne možebiti predjena, odnosno svako kretanje je nemoguće.

A_____B3______B2_____________B1_________________________B1/8 AB ¼ AB ½ AB

Potrebno je primetiti da kao što se udaljenost više smanjuje, vremepotrebno da se predje ta udaljenost, takodje se smanjuje.Takav pristup rešavanju paradoksa dovodi do demanta tvrdjenja da jepotrebno beskonačno mnogo vremena da se predje konačna udaljenost.Arhimed je razvio metod da izvede konačni odgovor za beskonačnomnogo članova koji postaju progresivno manji. Ove metode dozvoljavajukonstrukciju rešenja koje kaže da (pod normalnim uslovima) ako seudaljenosti stalno smanjuju, vreme je konačno.Ta rešenja su u stvari geometrijski nizovi.

Potrebno je primetiti da kao što se udaljenost više smanjuje, vremepotrebno da se predje ta udaljenost, takodje se smanjuje.Takav pristup rešavanju paradoksa dovodi do demanta tvrdjenja da jepotrebno beskonačno mnogo vremena da se predje konačna udaljenost.Arhimed je razvio metod da izvede konačni odgovor za beskonačnomnogo članova koji postaju progresivno manji. Ove metode dozvoljavajukonstrukciju rešenja koje kaže da (pod normalnim uslovima) ako seudaljenosti stalno smanjuju, vreme je konačno.Ta rešenja su u stvari geometrijski nizovi.