MATEMATI ČKE METODE U HEM. INŽ Jun 2008

Z A D A C I

1. Specijalna funkcija, integralni kosinus je definisana kao:

0,)!2(2

)1(lncos

)(Ci1

2

>⋅

−++γ=−= ∑∫ ∞

=

∞

xnn

xxdt

t

tx

n

nn

x

(1)

Približna vrednost Ojlerove konstante, koja je iracionalan broj: ...0153285772156649.0=γ se može dobiti kao približna vrednost nesvojstvenog integrala:

∫∞ −−=γ0

ln tdte t (2a)

ili izvoda:

0

)1(=

+Γ−=γx

xdx

d (2b)

a) Potrebno je izračunati Ojlerovu konstantu sa tačnošću od 7 sigurnih cifara.Proveriti da li standardna vrednost (0.001) sistemskog parametra TOL obezbeđuje traženu tačnost pri izračunavanju γ pomoću jedn. (2a). Ukoliko ne, smanjivati TOL uzastopno za po 10 puta ( TOL =

,...10,10,10 654 −−− ) dok se ne postigne zahtevana tačnost. Istu proceduru ponoviti i pri korišćenju jedn. (2b) i oceniti koji od dva načina dobijanja Ojlerove konstante je pouzdaniji. b) Definisati Mathcad funkcije za:

1. Izračunavanje približne vrednosti integralnog kosinusa prema sledećoj jednačini, ekvivalentnoj sa definicijom (1):

0,cos1

ln)(Ci0

>−−+γ= ∫ xdtt

txx

x

Uzeti pri tom: 0153285772156649.0=γ

2. Izračunavanje približne vrednosti integralnog kosinusa prema jedn. (1) i to sa delimičnom sumom reda, koja uključuje prvih N sabiraka, koristeći navedenu vrednost za γ .

3. Procenjivanje greške približne vrednosti integralnog kosinusa (razlika približne i tačne vrednosti), dobijene 2. funkcijom, smatrajući da se vrednosti za γ i xln u jedn. (1) računaju praktično tačno (mnogo tačnije od trećeg sabirka u jedn.)

Prikazati uporedo, u jednom dijagramu, u opsegu [ ]20,0∈x , vrednosti integralnog kosinusa, u opsegu [ ]1,1− , dobijene pomoću prve funkcije i pomoću druge funkcije, za

20,51,10=N (Ukupno 4 krive). Na osnovu dijagrama, diskutovati pouzdanost prve i druge funkcije.

U drugom dijagramu prikazati, u istom opsegu vrednosti argumenta, procene grešaka integralnih kosinusa, dobijenih sa 20,51,10=N članova reda, u opsegu [ ]1,1− . Diskutovati ponašanje greške (veličina i znak) procene integralnog kosinusa u posmatranom intervalu argumanta, pri povećanju broja članova, N u delimičnoj sumi reda. c) Proceniti graničnu vrednost argumanta, x do koje druga od funkcija formirana u b), daje procene integralnog kosinusa sa preciznošću od najmanje četiri sigurne decimale, i to za

20,51,10=N . d) Odrediti minimalan broj članova delimične sume (2), koji garantuje dobijanje integralnog kosinusa drugom funkcijom iz b), sa najmanje četiri sigurne decimale, u opsegu [ ]5,1.0∈x .

2. U poroznom zrnu katalizatora oblika dugačkog cilindra poluprečnika R, odigrava se u stacionarnim izotermskim uslovima katalizovana reakcija prvog reda:

)(),()( 2smmolCkrgBgA As=→

Za bezdimenzionu koncentraciju reaktanta, 0AA CCy = u funkciji od bezdimenzione radijalne

koordinate, Rrx = smo izveli:

( )

)()(

0

0

φφ=

I

xIxy ,

effA

effA

s

D

kR

D

skR ==φ (Tilov modul)

gde je )( 30 mmolCA koncentracija reaktanta u masi gasa.

a) Nacrtati u jednom dijagramu bezdimenzione koncentracijske profile u cilindričnom zrnu za vrednosti Tilovog modula: 5,1,5.0=φ . Diskutovati uočeni uticaj Tilovog modula imajući u vidu njegovo inženjersko značenje.

b) Za izomerizaciju n-butana na alumo-silikatnom katalizatoru izmereni su parametri: scmDsk eff

A21 7.0,7.2 ==

− . Izomerizacija se izvodi u cilindričnom zrnu katalizatora,

poluprečnika cmR 1= i dužine RL 7= na uslovima CTbarp 050,5 == . Izračunati koncentracije n-butana u osi zrna, i na rastojanjima RRRr i8.0,2.0= od ose. Pretpostaviti da se reakciona smese ponasa kao idealan gas.

c) Za podatke date u b), nacrtati u posebnim dijagramima koncentracijske profile n-butana u zrnima katalizatora poluprečnika: 1, 2 i 5cm.

d) Izračunati brzine procesa po jedinici zapremine katalitičkog zrna,

sm

molR p 3

, kao

∫=

R

Ap rdrrCR

kR

02

)(2

za poluprečnike zrna: 1, 2 i 5cm. Diskutovati uticaj veličine zrna na Rp .