Аль-Хорезми

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ В работе Аль-Хорезми «Китаб

мухтасар аль-джебр на-л-мукабала»

алгебра впервые рассматривается как

самостоятельный раздел математики.

Название операции «аль-джебр»,

состоящей в переносе членов из одной

стороны уравнения в другую с

изменением знака, впоследствии стало

названием раздела математики (алгебра).

ОПЕРАЦИИ И ПРЕДИКАТЫ

Функция f: A B . Пусть А = разn

C...CC

= С n , В = С

Функцию : С n С называют n - арной (n - местной) операцией на С или операцией с n аргументами.

Например, f ( x, y ) = x + y , ( x, y ) = x · y

Предикатом от n аргументов (n - местным предикатом) называется функция Р :

разn

C...CC

{ И, Л }, n 1.

Пусть А = {… ,-2, -1, 0, 1, 2, …} и Р ( х ) : "х – четное число".

Тогда Р ( 2 ) = И, а Р ( 3 ) = Л и т.д.

Пусть С = (-,), А = С×С и Р ( х, у): х у. Тогда Р( 3, 1) = И,

Р( 3, 5 ) = Л и т.д.

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА. АЛГЕБРА. МОДЕЛЬ

Алгебраической системой ( АС ) называют непустое множество А с введенными на этом множестве операциями и предикатами:

А = A , F , P , где А ; F – множество операций; P – множество предикатов.

разim

A...AA

iF

A, разjn

A...AA

jP

{И, Л}.

АС A; F , P называется алгеброй, если P = и F . АС A; F, P называется моделью (реляционной системой), если F = и P .

Алгебра – непустое множество А, на котором задана совокупность операций, переводящих элементы из А в А.

= ( m1, m2 ,…, mn ) - тип алгебры.

А = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}, +, × ;

= ( 2, 2 ).

Fi (x1, x2, …,xm ) = y

A

ИЗОМОРФИЗМ АЛГЕБР

Даны однотипные алгебры: А = A; F и В = B; G , где

F = ( F1, F2, …, Fn ), = ( m1, m2 ,…, mn ), mi – число арг. Fi;

G = ( G1, G2, …, Gn ), = ( m1, m2 ,…, mn ), mi – число арг. Gi.

Каждое : А в ( на ) В наз-ем отображением алгебры А в ( на ) алг. В.

Изоморфизмом алгебры А = A; F1, F2, …, Fn в ( на ) однотипную алгебру В = B; G1, G2, …, Gn наз-ся биективное отобр. А в(на) В:

(Fi ( x1, x2, …, xmi )) = Gi ( ( x1 ), …, ( xmi ))

для i, 1 ≤ i ≤ n, и для x1, x2,…, xmi A.

Пусть А = (0,); ×, В = (-,);+ . Отобр. (х) = ln (x) ( 0, ) на ( -, )

является взаимно биекцией и :

(a×b) = ln(a×b) = ln a + ln b = (a) + (b)

т.е. (х) = ln(x) в данном случае является изоморфизмом А на В.

y=ln x

x

ИЗОМОРФИЗМ АЛГЕБР

A , + B , a ( a ) c = a + b ( b ) (b ) b

( b ) A B

ГОМОМОРФИЗМ АЛГЕБР

Гомоморфизмом алгебры А = A; F1, F2, …, Fn в ( на ) однотипную алгебру В = B; G1 , G2 , …, Gn наз-ся отображение А в(на) В:

( Fi ( x1, x2, …, xmi )) = Gi ( ( x1 ), ( x2 ),…, ( xmi

))

для i, 1≤ i ≤ n, и для x1, x2,…, xmi A.

М - множество квадратных n×n матриц действительных чисел и А = M; × , В = (-,);, (С) = det ( С )

( С×D ) = det ( C×D )= det С det D = ( C ) ( D ).

Таким образом, : А В сохраняет операцию. Но это отображение не является изоморфным, так как не биекция. Итак, – гомоморфизм А на В.

ГРУППЫ

Множество G с одной бинарной операций «» наз-ся группой, если:

1) операция ассоциативна: для a, b, c из G: a ( b c) = ( a b ) c;

2) единица e G : для a G: a e = e a = a;

3) для a G обратный элемент a -1 G, что а а -1 = а -1 а = е. Если «» наз-ся умножением, то группа мультипликативная, если «» наз-ся сложением, то группа аддитивная.

Примеры. 1. G = М, × образует группу относительно операции умножения матриц.

2. G = Z, + . 3. М , G = 2M , и А В = А В.

Теорема. Единица группы единственна. Обратный элемент в группе тоже единственен.

Теорема. В группе: 1) (a b) -1 = b -1 а -1; 2) если a b = а с, то b = c; 3) если b a = c a, то b = c; 4) (a -1) -1 = a ;

5) однозначно разрешимо уравнение ax = b. Группа наз-ся коммутативной ( абелевой ), если для a, b G : a b = b a.

ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ Положим, что если k = 0, то b k = е; если k > 0, то b k = b b … b;

если же k < 0, то b k = b -1 b -1 … b

-1.

Пусть В = { b1 , b2 , …, bn } и для a G : a = b 1k1 b 2

k2 … b nkn,

тогда элементы множества В наз-ся образующими группы.

Группа с одной образующей называется циклической.

Если а – образующая группы, то для b : b = a m. М. б. все степени ak

различны: …, a -2, a -1, a 0 = e, a 1, a 2, … и группа бесконечна.

Либо k и m : a k = a m , k > m > 0 и a k – m = e ( k – m > 0 ),

но все a0, a1, a2, …, an-1 различны.

Наименьшее целое положительное n такое, что a n = e наз-ся порядком элемента а. Если такого n не , то а наз-ся элементом бесконечного порядка.

Подмножество G1 множества G с той же операцией, что и в группе, называется подгруппой, если G1 , является группой.

Теорема. Подгруппа циклической группы является циклической.

k раз

(-k) раз

Эварист Галуа ( 1811 – 1832 )

Известно, что в семнадцать лет Галуа многое сделал для создания раздела математики, который ныне даёт возможность проникнуть в сущность таких различных областей, как теория чисел, кристаллография, физика элементарных частиц, криптология, проектирование баллистических структур спутниковых систем и многое другое.

Известно и то, что в том же возрасте Галуа вторично провалился на экзамене по математике при поступлении в Эколь Политекник. Ему пришлось поступить в Эколь Нормаль, но в девятнадцать лет он был оттуда исключён, дважды арестован и заключён в тюрьму за политическую деятельность.

«В теории уравнений я исследовал, в каких случаях уравнения разрешаются в радикалах, что дало мне повод углубить эту теорию и описать все возможные преобразования уравнения, допустимые даже тогда, когда оно не решается в радикалах.»

КОЛЬЦО

Кольцом наз-ся непустое множество R, на котором введены две бинарные операции + и , ( сложение и умножение ) такие, что:

1) R; + является абелевой группой;

2) умножение ассоциативно: a, b, c R: ( a b ) c = a ( b c );

3) умножение дистрибутивно относительно сложения: a, b, c R:

a ( b + c ) = ( a b ) + ( а c ) и ( а + b ) c = ( a c ) + ( b c ).

Кольцо записываем как R; +, , ( 0 ) - ее аддитивная единица; ( -а ) -

аддитивная обратная для a R. В кольце R : x 0 = 0 и 0 х = 0

для х R. Из x y = 0 не следует, что х = 0 или у = 0.

КОЛЬЦО С ЕДИНИЦЕЙ

Если в кольце R единица относительно умножения, то эту мультипликативную единицу обозначают через 1.

Мультипликативная единица единственна. Мультипликативную обратную для a R обозначают через а -1.

Теорема. Элементы 0 и 1 являются различными элементами ненулевого кольца R. Аддитивная единица, т.е. 0, не имеет мультипликативного обратного.

Кольцо называется коммутативным, если для a, b R: a b = b a.

Если a b = 0, то а называется левым, а b правым делителями нуля. Элемент 0 считается тривиальным делителем нуля.

Коммутативное кольцо без делителей нуля, отличных от тривиального делителя нуля, называют целостным кольцом или областью целостности.

Z – множество всех целых чисел;

Q – множество всех рациональных чисел;

R – множество всех действительных чисел;

С – множество всех комплексных чисел.

Z, Q, R и C образуют кольца с единицей при операциях + и .

ПОЛЕ

Полем называется коммутативное кольцо, у которого ненулевые элементы образуют коммутативную группу относительно умножения.

Поле – это множество P с двумя бинарными операциями «+» и «»:

1) сложение ассоциативно: для a, b, cR: ( a + b ) + c = a + ( b + c );

2) аддитивная единица: 0P, что для a P: a + 0 = 0 + a = a;

3) a P ( - a ) P : ( -a ) + a = a + ( -a ) = 0;

4) сложение коммутативно: для a, b P: a + b = b + a;

5) умножение ассоциативно: для a, b, c P: a ( b c ) = ( a b ) c;

6) мультипликативная единица 1 P: a P : 1 a = a 1 = a;

7) для a ≠ 0 a-1 : a-1 a = a a -1 = 1;

8) умножение коммутативно: для a, b P: a b = b a;

9) умножение дистрибутивно относительно сложения: для a, b, c P:

a ( b + c ) = ( a b ) + ( a c ), ( b + c ) a = ( b a ) + ( c a ).

Примеры: 1) R; +, - поле вещественных чисел;

2) Q; +, - поле рациональных чисел;

3) C; +, - поле комплексных чисел;