ОСНОВНЫЕ БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ

Булева переменная: х =

0

1

. E = { 0, 1 }

Булева функция: f (x1, x2,…, xn) =

0

1

. f : E n . E

Основные булевы функции:

x

y

x

x & y

x y

x y

x y

x + y

x y

x y 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0

& - конъюнкция; - дизъюнкция; - импликация;

- эквивалентность; + - сложение по модулю два;

- штрих Шеффера; - стрелка Пирса.

Для формулы (((x& y) z ) x) имеем следующую таблицу истинности:

x y z (x& y) ((x& y) z) (((x& y) z) x)

0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Для формулы ((( x& y ) z ) x) получаем сокращенную таблицу:

x y z ((( x & y ) z ) x)

0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

ФОРМУЛЫ

Определение формулы:

1) каждая булева переменная - формула,

2) если А и В формулы, то ( А), (А & В), (А В), (А B),

(А B), (А + В), (А В), (А В) тоже формулы,

3) только те выражения являются формулами для

которых это следует из 1), 2).

Пр.: x, ( y), (x & ( y)), ((x & y) ( z)), ((( x) y) z).

, & , , ,

РАВНОСИЛЬНОСТЬ ФОРМУЛ

Формулы А и В равносильны, если при каждой совокупности значений всех переменных, входящих в А и В, они принимают одинаковые значения. А ~ B.

х у ~ х у

Cвойства: 1) А ~ А - рефлексивность; 2) если А ~ В, то В ~ А - симметричность; 3) если А ~ В и В ~ C , то А ~ C - транзитивность.

Следовательно, отношение равносильности является отношением эквивалентности. Теорема. А ~ B , когда А В тождественно равна единице.

х у

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 1 1

х у

1 0 1 0

1 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

ОСНОВНЫЕ РАВНОСИЛЬНОСТИ 1) ( x) ~ x - закон двойного отрицания.

x;y~y x 3)

x;&y~y &x 2) - законы коммутативности;

);zy(x~z y)(x 5)

z);&(y&x ~z &y)&(x 4) законы ассоциативности;

6) x&(y z ) ~ x& y x& z - первый закон дистрибутивности; 7) x y& z ~ (x y)&(x z ) - второй закон дистрибутивности; 8) (x& y) ~x y, 9) (x y) ~ x&y, 10) x& x ~ x, 11) x x ~ x,

- законы де Моргана;

- законы идемпотентности;

12) х х & у ~ х; 13) х &( х у~ х; 14) х х ~ 1 - закон исключенного третьего; 15) х &х ~ 0 - закон противоречия; 16) х & 1 ~ х; 17) х 1 ~ 1; 18) х & 0 ~ 0; свойство операций с 1 и с 0; 19) х 0 ~ х;

- законы поглощения;

ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ

х у ~ (х & у); х у ~ ( х у);

х у ~ (х у) & (у х); х у ~ х у;

х у ~ ( х у) & ( у х); х & у ~ ( х у);

х у ~ ( х & у); х у ~ х у.

Теорема. Для каждой формулы А существует равносильная ей формула,

содержащая только , &, , причем относится только к переменным.

Теорема. Для каждой формулы А существует равносильная ей формула,

содержащая только , &, либо только , , либо только , .

Теорема. Для каждой формулы А существует равносильная ей формула,

содержащая только , либо только .

ДИЗЪЮНКТИВНЫЕ И КОНЪЮНКТИВНЫЕ

НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ

Элементарные суммы: x y, z x, x y x z.

Элементарные произведения: x&y, y&z, x&z&x&y.

Дизъюнктивные нормальные формы (д.н.ф.): y&z x&t, x y&z,

x&y x&y& z.

Теорема. Для каждой формулы существует равносильная ей д.н.ф. (не

единственная).

Конъюнктивные нормальные формы (к.н.ф.): (x y)&(z t ), (x y z)&y.

Теорема. Для каждой формулы существует равносильная ей к.н.ф. (не

единственная).

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ В ВИДЕ ФОРМУЛ - 1

0 a если ,x

a если ,xax1

; x a = a x a x ;

a.x если ,

ax если ,ax0

1

Теорема. Для булевой функции f ( x1, x2,…, xn ) и m, 1 m n :

f ( x1, x2,…, xm, xm+1,…, xn ) =

= 11

21

a

)ma,...,a,a(x 2

2ax … ma

mx f(a1, a2,…, am, xm+1,…, xn)

где дизъюнкция берется по всем наборам (a1, a2…, am). Следствие. Если f(x1, x2,…, xn) не тождественно равна 0, то:

f ( x1, x2,…, xn ) = 11

121

21

a

)na,...,a,a(f

),na,...,a,a( x

22ax … na

nx .

Здесь дизъюнкция берется по наборам (a1, a2…, an), для которых f ( a1, a2…, an ) = 1.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ В ВИДЕ ФОРМУЛ - 2

Теорема 3.15. Для любой булевой функции f ( x1, x2…, xn ) и любого m, 1 m n, имеет место следующее равенство:

f ( x1, x2,…, xm, xm+1,…, xn ) =

=)ma,...,a,a( 21

( 111

ax 212

ax … mamx 1 f(a1, a2,…, am, xm+1,…, xn)),

где конъюнкция берется по всевозможным наборам (a1, a2…, am). Следствие 3.4. Если f ( x1, x2,…, xn ) не тождественно равна 1, то

f ( x1, x2,…, xn ) =

021

21

)na,...,a,a(f

),na,...,a,a( & ( 11

1ax 21

2ax … na

nx 1 ).

Здесь конъюнкция берется только по тем наборам ( a1, a2…, an ), для которых f ( a1, a2…, an ) = 0. Разложение Шеннона.

СОВЕРШЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ

Совершенной д.н.ф. для А (х1, х2 ,…,хn) называется ее д.н.ф., такая, что:

-нет одинаковых слагаемых;

-в каждое сл. входят все перем. х1 , х2 ,…,х n один и только один раз с либо без.

x y z А(x,y,z)

0 0 0 1 x y z

0 0 1 1 x yz

0 1 0 1 xy z

0 1 1 0

1 0 0 1 x y z

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1 xyz

С.д.н.ф.: x y z x y z x y z x y z x y z.

СОВЕРШЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ

Совершенной к.н.ф. для А (х1, х2 ,…,хn) называется ее к.н.ф., такая, что:

-нет одинаковых множителей;

-в каждое мн. входят все перем. х1 , х2 ,…,х n один и только один раз с либо без.

x y z А(x,y,z)

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0 x y z

1 0 0 1

1 0 1 0 x y z

1 1 0 0 x y z

1 1 1 1

С.к.н.ф.: ( x y z ) ( x y z ) ( x y z ).

ПОЛИНОМ ЖЕГАЛКИНА

Теорема (Жегалкин). Любую булеву функцию f ( х1, х2,...,хn ) можно единственным образом представить в виде:

f ( x1, x2, ..., xn ) = а0 + а1&x1 + a2&x2 +...+ аn&xn +

аn+1&x1&x2 + аn+2&x1&x3 +…+ am&x1&xn +

аm+1&x1&x2&x3 +...+ аr&xn-2&xn-1&xn + + аk&x1&x2&...&xn,

где ai ( 0 i k ) – Const = 0 или 1.

Если f ( x1, x2,..., xn ) = 0, то а i = 0. Пусть f ( x1, x2,..., xn ) 0:

f ( x1, x2,..., xn ) ~ К1 + К2 +... +Кs . x ~1+ x.

x + x +...+ x ~ 0, когда имеем четное число слагаемых,

x + x +...+ x ~ x, когда имеем нечетное число слагаемых.

СОКРАЩЕННЫЕ ДИЗЪЮНКТИВНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ

импликанта функции f ( f ) если = 0 на всех тех наборах значений аргументов, на которых f = 0.

х & y x y , но x y x & y . Простыми импликантами булевой функции f называются такие элементарные произведения, которые являются импликантами для f, но никакая их собственная часть не является импликантой для f .

Если: x & y & z & t f (x, y, z, t ), у & z f ( x, y, z, t ), y f ( x, y, z, t ), z f ( x, y, z, t ),

то y & z будет простой импликантой для f ( x, y, z, t ).

Сокращенной д.н.ф. для f ( x1, x2, ..., xn ) называется дизъюнкция всех простых импликант этой функции.

Теорема 3.17. Каждая булева функция f ( x1, x2, ..., xn ) равносильна своей сокращенной д.н.ф.

Операция склеивания (полного): x & y x & y ~ x.

Операция поглощения : x x & y ~ x.

Теорема (теорема Квайна). Если в совершенной д.н.ф. булевой функции провести все операции неполного склеивания и затем все операции поглощения, то в результате получится сокращенная д.н.ф. этой функции.

ТУПИКОВЫЕ И МИНИМАЛЬНЫЕ Д.Н.Ф.

Пусть f(x, y, z) = x&y&z x&y& z x&y& z x& y& z.

Сокращенная д.н.ф. для f(x, y, z): x&y y& z x& z.

Импликанту y& z можно исключить.

Тупиковой д.н.ф. булевой функции f называется дизъюнкция

простых импликант функции f, ни одну из которых исключить нельзя,

и указанная дизъюнкция равносильна функции f.

Минимальной д.н.ф. булевой функции называется д.н.ф.,

равносильная этой функции и содержащая наименьшее возможное

число вхождений переменных с отрицанием или без отрицания.

Теорема. Всякая минимальная д.н.ф. булевой функции f является её

тупиковой д.н.ф.

МЕТОД ИМПЛИКАНТНЫХ МАТРИЦ

f (x, y, z) = x&y&z x& y&z x& y&z x&y& z x& y& z x&y& z.

Результаты, получающиеся при склеивании

x&y&z

x& y&z

x& y&z

x&y& z

x& y& z

x&y& z

x&z + + x&y + + y&z + + x& y + + x& z + + y& z + +

Cокращенная д.н.ф. : x&z x&y y&z x& y x& z y& z. Тупик. д.н.ф.: x&z x& y x& z x&y,

x&z x& y y& z ; x&y x& z y&z.

НЕПОЛНОСТЬЮ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ

Булева функция от n аргументов называется неполностью определенной, если хотя бы для

одного набора значений ее аргументов, значение функции не определено (не задано).

На наборах, где функция не определена, поставлены символы . Эти

наборы (на которых функция не определена), иногда называют

запрещенными состояниями.

При аналитическом задании для рассматриваемого примера имеется 4

варианта доопределения функции f*(x,y,z):

1) x y z x y z x y z xyz;

2) x y z x y z x y z x y z xyz;

3) x y z x y z xy z x y z xyz;

4) x y z x y z xy z x y z x y z xyz.

Функции 1)-4) являются различными, но на наборах, на которых

определена f*(x,y,z) они совпадают.

x y z f*(x,y,z)

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1

1 1 0 0

1 1 1 1

МИНИМАЛЬНА Д.Н.Ф. ДЛЯ С.Д.Н.Ф. ВИДА 1):

Конституеты единицы №

п./п

Результаты,

получающиеся

при

склеивании

x y

z

x y z x y z xyz

1 x y * *

2 y z * *

3 xyz *

Так как дальнейшее склеивание не происходит, то минимальная д.н.ф. будет равна:

x y y z xyz.

МИНИМАЛЬНА Д.Н.Ф. ДЛЯ С.Д.Н.Ф. ВИДА 2):

№

п./п

Результаты, получающиеся при

склеивании x y z x y z x y z x y z xyz

x y * *

y z * *

x y * *

xz * *

Далее, элементарные произведения x y и x y вновь склеиваются и дают y и это слагаемое

поглощает слагаемое y z. Тогда сокращенной Д.н.ф. будет: y xz. Теперь составляем следующую

импликантную матрицу.

Конституенты единицы Слагаемые

сокращенной

д.н.ф.

x

y z

x y z x y

z

x y z xyz

y * * * *

xz *

Из этой таблицы видно, что минимальной д.н.ф. будет следующая: y xz.

МИНИМАЛЬНА Д.Н.Ф. ДЛЯ С.Д.Н.Ф. 3) И 4):

3) x y x z y z xyz;

4) y x z xz.

Очевидно, что минимальной д.н.ф., которая будет представлять функцию f*(x,y,z) на наборах где она

определена, будет:

y xz.

Аналогичным образом находится минимальная к.н.ф. для неполностью определенных булевых

функций.

ПОЛНОТА СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ

Ф = {1 , 2 ,..., k } функционально полна, если булеву функцию можно представить функциями из Ф.

{ , &, } ; { , & } ; { , } ; { , } ; { } ; { }.

{ 1, 2,..., n } - базис, если она полная система функций, но никакая ее собственная часть не является полной системой.

{ , & } ; { , } ; { , } ; { } ; { } - базисы, но { , &, } - не базис, ибо ее подсистема { , & } - полна.

f (x1, x2 , ..., xn ) сохраняет нуль (единицу), если f ( 0, 0,..., 0 ) = 0

( f ( 1, 1,..., 1 ) = 1 ).

Теорема 3.20. Суперпозиция булевых функций, сохраняющих нуль (единицу), есть снова булева функция, сохраняющая нуль (единицу).

Следствие 3.5. В полной системе функций должна содержаться хотя бы одна функция, не сохраняющая нуль.

Следствие 3.6. В полной системе функций должна содержаться хотя бы одна функция, не сохраняющая единицу.

КЛАССЫ S, M

Функция f ( x1, x2, ..., xn ) называется самодвойственной, если

f ( x1, x2, ..., xn ) = f ( x1, x2, ..., xn ).

Теорема. Суперпозиция самодвойственных функций есть снова самодвойственная функция.

Следствие. В полной системе функций должна содержаться хотя бы одна не самодвойственная функция.

( а1, а2, ..., аn ) ( b1, b2, ..., bn ) если для i: ai bi , 1 i n.

Например, (1,0,1) (1,0,0), (0,0,1,1,1) (0,0,1,0,1); (1,0,1,1) (1,0,0,0).

Наборы (1,0) и (0,1) несравнимы.

Функция f ( x1, x2, ..., xn ) наз-ся монотонной, если из ( а1, а2, ..., аn )

( b1, b2, ...,bn ) следует f ( а1, а2, ..., аn ) f ( b1, b2, ..., bn ).

Теорема. Суперпозиции монотонных функций является монотонной функцией.

Следствие. В полной системе функций должна содержаться хотя бы одна немонотонная функция.

КЛАСС L. ТЕОРЕМА ПОСТА

Функция f ( x1, x2, ..., xn ) называется линейной, если

f ( x1, x2, ..., xn ) = c0 + c1&x1 + c2&x2 +…+ cn&xn,

Теорема 3.23. Суперпозиция линейных функций является линейной функцией.

Следствие 3.9. В полной системе булевых функций должна содержаться хотя бы одна нелинейная булева функция.

Пусть Р0 - класс функций, сохраняющих нуль,

Р1 - класс функций, сохраняющих единицу,

S - класс самодвойственных функций,

М - класс монотонных функций,

L - класс линейных функций.

Теорема (теорема Поста). Для полноты системы функций Ф = { 1, 2,..., n } необходимо и достаточно, чтобы для каждого из классов Р0, Р1, S, М, L в Ф нашлась функция i, ему (классу) не принадлежащая.

Следствие. Из всякой полной системы можно выделить полную подсистему, содержащую не более четырех функций.

ПРИЛОЖЕНИЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ И СИНТЕЗУ ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНЫХ СХЕМ

x y x y 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1

x x y

y

ПРИМЕР СИНТЕЗА ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНОЙ СХЕМЫ

Требуется построить схему для голосования комитета из трех человек. При голосовании "за" - нажатием кнопки свет должен загораться ↔ когда "за" проголосует большинство.

x&y&z x& y&z x&y& z x&y&z.

x y z 0 0

0 0

0 1

0 0

0 0

1 1

0 1

0 1

1 1

0 0

0 1

0 1

1 1

1 1

0 1

1 1

x y z

x y z

x y z

x y z

ПРИМЕР АНАЛИЗА ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНОЙ СХЕМЫ

x&y&z x& y&z x&y& z x&y&z

x&y x&z y&z → x&y z & (x y )

x y

z

x y

ПРИЛОЖЕНИЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ И СИНТЕЗУ СХЕМ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

- устройство, реализующее отрицание, имеет один вход и один выход. Сигнал появляется на выходе ↔ когда на входе нет сигнала.

& - устройство, реализующее конъюнкцию, имеет два и более входов и один выход. Сигнал появляется на выходе ↔ когда на все входы поданы сигналы. - устройство, реализующее дизъюнкцию, имеет два и более входов и один выход. Сигнал появляется на выходе ↔ когда подан сигнал хотя бы на один вход.

1

ПРИЛОЖЕНИЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ И СИНТЕЗУ СХЕМ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

a1 a2 a3 …ak…an b1 b2 b3 …bk…bn x y z S P 0 0

0 0

0 1

0 1

0 0

0 0

1 1

0 1

1 0

0 1

1 1

0 0

0 1

1 0

0 1

1 1

1 1

0 1

0 1

1 1

S = x& y&z x&y& z x& y& z x&y&z, Р = x&y&z x& y&z x&y& z x&y&z.

S P ak bk

ПРИЛОЖЕНИЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ И СИНТЕЗУ СХЕМ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Р x & y x & z y & z, S x & y & z (x y z) & Р.

x

y z

C

1

1

1

&

&

&

&

&

S

P

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ДЕКОМПОЗИЦИЯ

Пусть имеем f ( x1, x2 ,..., xn ), Х = (x1, x2 ,..., xn ), тогда : f ( Х ).

f ( Х ) = g0 ( Х 0, g 1 ( Х 1),..., g k ( Х m )),

Х i = ()i(kiii x,...,x,x

21) , 1 ij n, 1 k ( i ) n, 1 i m;

Если f ( Х ) = g 0 ( Х 0, g 1 ( Х 1 )), то декомпозиция наз-ся простой.

Число множеств Х i наз-ся размерностью декомпозиции, а k-кратностью декомпозиции. Размерность декомп. равна m+1.

Если Х i Х j = для ∀ i, j, ij, то декомпозиция называется разделительной. Если хотя бы одно пересечение подмножеств Хi и Х j не пусто, то декомпозиция называется неразделительной.

ПРОСТАЯ РАЗДЕЛИТЕЛЬНАЯ ДЕКОМПОЗИЦИЯ

f ( Х ) = g0 ( Х 0, g1 ( Х 1 )), Х 0 Х 1 = .

Х 0 = ( x1, x2 ,..., xs ),

Х 1 = ( xs+1 , xs+2 ,..., xn ).

x1 x2 X 0 xs

xs+1 xs+2 X 1 xn

g0

g1

f ( X )

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ДЕКОМПОЗИЦИЯ - ПРИМЕР

Пусть f1 (x1, x2, x3, x4 ) = ( x1 x4 ) x2 & x3 , Х 0 = (x1 , x4), Х 1 = (x2 , x3 ).

x1 x2 x3 x4 f1(x1,x2,x3,x4) f2(x1,x2,x3,x4) 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

ДЕКОМПОЗИЦИОННАЯ МАТРИЦА Декомпозиционная матрица для Х 0 = (x1 , x4 ) и Х 1 = ( x2 , x3 ).

Х 0 \ Х 1 00 01 10 11

00 0 0 0 1 01 1 1 1 1 10 1 1 1 1 11 0 0 0 1

Теорема. Булева функция f ( Х ), зависящая от n переменных, допускает двумерную разделительную декомпозицию кратности один тогда и только тогда, когда декомпозиционная матрица, соответствующая заданному разбиению множества Х на непересекающиеся подмножества Х 0 и Х 1, содержит не более двух различных столбцов значений функций.

f1 ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = g0 ( X 0 , g1 ( X 1 )),

g0 ( X 0, s ) = ( x1 x4 ) s, g1 ( X 1 ) = x2 & x3.

ДВУМЕРНАЯ РАЗДЕЛИТЕЛЬНАЯ ДЕКОМПОЗИЦИЯ КРАТНОСТИ K

f2 (x1, x2, x3, x4) = x1&x4 (x2 x3) (x2 x3 ), Х 0 = (x1 , x4 ) и Х 1 = (x2 , x3 ).

Х 0 \ Х 1 00 01 10 11 00 1 0 0 1 01 1 0 0 1 10 1 0 0 1 11 1 0 1 1

Двумерная разделительная декомпозиция кратности k :

f ( Х ) = g0 ( Х 0 , g1 ( Х 1 ), g2 ( Х 1 ),..., gk ( Х 1 )).

Теорема. Булева функция f ( Х ), зависящая от n переменных, допускает двумерную разделительную декомпозицию кратности k тогда и только тогда, когда декомпозиционная матрица функции f(Х), соответствующая заданному разбиению множества Х на непересекающиеся подмножества Х 0 и Х 1, содержит не более чем 2k различных столбцов.

f2 (x1, x2, x3, x4 ) = g0 ( X 0, g1 ( X 1 ), g2 ( X 1 )),

g0 ( X 0, s, t ) = (x1 & x4 ) s t , g1 ( X 1 ) = x2 x3, g2 ( X 1) = x2 x3.

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СХЕМА

f ( Х ) = g0 ( Х 0 , g1 ( Х 1 ), g2 ( Х 1 ),..., gk ( Х 1 )).

g1 g2 … gk

x1 x2

xs

xs+1 xs+2 xn

f ( X ) g0

X 0

X 1