ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

1. Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов. 2001.

2. Шапорев С. Д. Дискретная математика. Курс лекций и практических занятий. Уч. пособие. 2006.

3. Белоусов А. И., Ткачёв С. Б. Дискретная математика. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2001.

4. Галиев Ш. И. Дискретная математика. Учебное пособие. 2005.

ИЗУЧАЕМЫЕ РАЗДЕЛЫ

1. Множества, отношения и функции

2. Булевы функции

3. Алгебраические структуры

4. Элементы комбинаторики

5. Теория графов

Георг Кантор

МНОЖЕСТВА

Большой вклад в становление теории множеств внёс Георг Кантор.

Множество - это собрание определенных и различных между собой объектов, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества.

Примеры множеств:

1) множество целых положительных чисел меньших 10;

2) множество решений уравнения х2 – 1 = 0;

3) множество чисел Фибоначчи: а1 , а2 , а3 ,…, где аk+2 = ak + ak+1, k 1, a1 = a2 = 1;

4) множество самолетов и авиапассажиров.

Если х принадлежит М, то записываем хМ, иначе хМ.

ЗАДАНИЕ МНОЖЕСТВА Перечислением элементов: M = { a1 , a 2,…, a n };

предикатом: M = { x S : P(x) } или M = { x : x S и P(x)};

порождающей процедурой: M = {а k: а k+2 = а k + а k+1, а 1 = а 2 = 1, k 1}

M = {x : P(x)} M = {x P(x)} M = {x} P(x).

В А или В А если каждый элемент из В принадлежит А.

Если В А и В А, то В - собственное подмножество множества А.

А = В А В и В А.

Существует множество , что ни один элемент х ему не принадлежит.

Для любого А: А. n( ) = 0 или |А| = 0.

N = { 1, 2, 3, …} – множество натуральных чисел; N = {0, 1, 2, 3, …};

Z = {… , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} - множество целых чисел;

Q = { m / n: m, n Z, n 0 } - множество рациональных чисел;

R = (- ,) - множество вещественных чисел.

A B

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

Объединение множеств А и В: A B = { x: x A или x B }.

Пересечение множеств А и В:

A B = { x: x A и x B }. Разность множеств А и В: A \ B = { x: x A и x B }.

Симметричная разность множеств А и В: A ∆ B = (A B) \ (A B ) =

= { x: ( x A и x B ) или ( x B и x A ) }.

Дополнение множества А: A = СА = { x: x A }. Диаграммы Венна или Эйлера – Венна.

A B

AB

A B

A BA\B

A∆B

U

A

А

СВОЙСТВА

Теорема 1.1. Для любых подмножеств А , В , С множества U выполняются:

1) )A( = A – свойство инволютивности; 12) A (А В) = A

2) A B = B A 13) A (А В) = A

3) A B = B A 14) A A = U

4) A (B C) = (A B) C 15) A A =

5) A (B C) = (A B) C 16) A U = A

6) A (B C) = (A B) (AC) 17) A U = U

7) A (B C) = (A B) (AC) 18) A =

8) A B =A B 19) A = A

9) A B =A B

10) A A = A

11) A A = A

Пусть х )A( . Имеем х )A( х A х А. Итак, )A( = А.

- св-ва коммутативности;

- св-ва ассоциативности;

- св-ва дистрибутивности;

- свойства операций с и U .

– законы де Моргана;

- свойства дополнения;

- законы идемпотентности;

- законы поглощения;

n-раз

РАЗБИЕНИЕ МНОЖЕСТВА. ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ

{ B1 , B2 , …, B n } образует разбиение множества А : 1) B i , 1 i n; 2) B i B j = если i j; 3) B1 B2 … Bn = A. Пусть а А , b B , с А , d B. Упорядоченная пара - объект a , b такой, что

a , b = c , d а = с и b = d. Декартово произведение А и В ; А В = { a , b : а А и b B }. Если А = { 0, 1 }, B = { a , b }, то А В = { 0, a , 1, a , 0, b , 1, b }. Упор-ная n-ка: a 1 , a 2 ,…, a n = b 1 , b 2 ,…, b n : a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n = b n.

A1 A2…An = { a1, a2, …,an: a1A1 и a2A2 и … и anAn}.

Положим: An = A A … A. Свойства: (A B) C = (A C) (B C);

( A B) C = (A C) (B C); (A \ B) C = (A C) \ (B C).

B1

B3

B2

B4

ОТНОШЕНИЯ

Бинарным отношением на множествах А и В называется

подмножество R декартового произведения А В.

R А В. a , b R или a R b.

R1 – отношение: y = x; R2 – отношение: y > x; R3 – отношение: y < x.

Область определения бинарного отношения R: В

D R = { x А: y B, что x, y R } = pr A R R

Область значений бинарного отношения R: Im R = {y B: xA, что x, y R } = pr B R . А

R2 R1

R3

654321

000000

100000

110000

111000

111100

111110

6

5

4

3

2

1

RA

ПРИМЕР ЗАДАНИЯ ОТНОШЕНИЯ Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } и R таково, что: a R b a < b.

Задание R перечислением: R = { 1,2, 1,3, …, 1,6, 2,3, 2,4,…, 2,6, 3,4,…, 3,6, …, 5,6 }.

Задание R матрицей АR: Задание R орграфом:

1

5

4

3

6

2

ОПЕРАЦИИ НАД ОТНОШЕНИЯМИ

1) R1 R2 ; 2) R1 R2 ; 3) R1 \ R2 ; 4) R =(A B) \ R, x,y R x,y R

5) обратное к R отношение R-1 = { b, a : а, b R } ;

6) Пусть R – отношение на А и В, S – отношение на В и С. Тогда композицией R и S называется отношение R S на А и С такое, что:

a, c ( R S ) b ( b B и a, b R и b, c S ).

Бинарное отношение R на множестве А называется:

1) рефлекcивным, если для а А : а, а R;

2) антирефлексивным (иррефлексивным), если для а А : а, а R;

3) симметричным, если из x, y R y, x R;

4) антисимметричным, если из x, y R и y, x R х = у;

5) транзитивным, если из x, y R и y, z R x, z R.

Теорема 1.2. Пусть R – бинарное отношение на А. Тогда: 1) R рефлексивно E R; 2) R антирефлексивно R Е = ; 3) R симметрично R = R-1; 4) R антисимметрично R R-1 = E; 5) R транзитивно RR = R.

ФУНКЦИЯ

Бинарное отношение f на множествах А и В называется функцией, если образ каждого элемента единственен:

x, y f x, z f

Вместо x, y f или x f y записывают y = f(x) или f: A B.

f

B A

Imf B или Imf =B

Df =A

для функции

f

B A

Imf B или Imf =B

Df A

для частично определенной функции

y = z

БИЕКТИВНАЯ ФУНКЦИЯ

Функция f ( f: A B) называется инъективной, если:

для x1 , x 2 из f( x 1 ) = f( x 2 ) x 1 = x 2 (x 1 x2 f( x 1 ) f( x 2 )).

Функция f ( f: A B) наз-ся сюръективной, если для у В х А :

y = f( x ). ( Im f = B ).

Функция f ( f: A B) наз-ся биективной, если f инъективна и сюръективна

( f биективна f взаимно однозначное отображение между А и В ).

y = ex

инъективна, но не сюръективна

y = x3- x

не инъективна, но сюръективна

y=2x+1

биективнаа

y=x2

не инъективна и не сюръективна

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ МНОЖЕСТВА

Пусть задано множество U и его подмножество А. Характеристической функцией подмножества А

считают функцию:

U. x A, x если 0,

A x если xA

,1)(

Множества А и В равны тогда и только тогда, когда для )()(, x x:U x x BA . Легко видеть, что:

).()]([ 2 xx AA

Очевидно, что характеристическая функция для дополнения множества А будет равна:

.

)(,0

)( x -1 A x если 1,

A x если x AA

Построим характеристическую функцию для пересечения и объединения множеств.

Характеристическая функция для пересечения должна принимать значение 1 для тех элементов х из

U, которые принадлежат множествам А и В одновременно, и значение 0 в противном случае. Тогда:

).()()( x x x BABA

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ МНОЖЕСТВА

Можно получить, что для объединения множеств А и В имеем:

).()()()()( x x -xx x BABABA

Для разности и симметрической разности можно получить соответственно:

),()()()(\ x x -x x BAABA

).()()()( x x 2 -(x) x x BABABA

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ МНОЖЕСТВА

Покажем это на примерах. Докажем соотношение:

A\(A\B) = AB. (1)

Для этого найдем характеристические функции для множества стоящего в левой части соотношения

(1). Последовательно имеем:

xx -x x B\AAABAA )()()()()\(\

).()())()()()(()( xx xx -xx -x BABAAAA

Получили, что характеристическая функция левой части для (1) равна )()( xx BA , а эта

характеристическая функция для AB, следовательно, множества тоже совпадают.

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

Доказательство соотношения 7 из теоремы 1.1:

A(BC)=(AB)(AC). (1)

Для множества стоящего в левой части (1) имеем:

x x -x x x CBACBACBA )()()()()()(

(x) x x -(x) x x CBACBA )()()()( .

Для множества стоящего в правой части (1) получим:

x x x CABACABA )()()()()(

(x))x -x x(x))x -x x CACABABA )()()(()()()((

-(x)x (x)x (x)x -xx x CBBACACAA )()()()()()(

)()()()()()()()()()()( xx x xx xxx -xx x CBACBABACBA

(x) x x -(x) x x CBACBA )()()()( .

Таким образом, левые и правые части соотношения (1) имеют одинаковые характеристические

функции, следовательно, множества стоящие в левой и правой частях (1) равны.

ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ

Теорема 1.4. Функция f имеет обратную функцию f -1 когда f биективна.

Теорема 1.5. Композиция биективных функций является биективной.

Пусть f : А В – функция, а множества А и В - конечные множества, положим А = n, B = m. Принцип Дирихле гласит: если n > m, то, по крайней мере, одно значение f встречается более одного раза.

отношение, но не функция

инъекция, но не сюръекция

сюръекция, но не инъекция

биекция

ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если R рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Классом эквивалентности (классом смежности), порожденным элементом а при данном отношении эквивалентности R : [а]R={хA:а,хR}.

Теорема 1.6. Пусть R - отношение эквив-ти на множестве А и [а]R смежный класс, тогда: 1) для любого аА: [а]R , в частности, а[а]R; 2) различные смежные классы не пересекаются; 3) объединение всех смежных классов совпадает со всем множеством А; 4) совокупность различных смежных классов образуют разбиение множества А.

К1 К2 К1 К2 К3 К4

Теорема 1.7. Различные отношения эквивалентности на А порождают различные разбиения А.

Теорема 1.8. Каждое разбиение множества А порождает отношение эквивалентности на A, причем различные разбиения порождают различные отношения эквивалентности.

ФАКТОР-МНОЖЕСТВО

Совокупность всех классов смежности множества А по данному отношению эквивалентности R называется фактор-множеством и обозначается через А / R.

Элементами фактор-множества являются классы смежности. Класс смежности [а]R состоит из элементов А, которые находятся между собой в отношении R.

Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. Два целых числа а и b называют сравнимыми по модулю m, если m делитель числа a - b, т. е.:

а = b + km, k = 0, 1, 2, 3, ….

В этом случае записывают a b (mod m).

Теорема 1.9. Для любых чисел a, b, c и m > 0 имеем:

1) a a (mod m);

2) если a b (mod m), то b a (mod m);

3) если a b (mod m) и b c (mod m), то a c (mod m).

3

111 9

-5

1 8

1 0

2

-6

1 7

9

1

-7

1 680-8

1 5

7

-1

-9

1 4

6

-2

-1 0

1 3

5

-3

-11

1 2 4 -4 -1 2

ПРИМЕР ФАКТОР-МНОЖЕСТВА

Z = {., -2, -1, 0, 1, 2, .}. Рассмотрим отношение a b (mod m) для m = 8.

[ 0 ] = {…, -8, 0, 8, 16, …};

[ 1 ] = {…, -7, 1, 9, 17, …};

[ 2 ] = {…, -6, 2, 10, 18, …}; …

[ 7 ] = {…, -9, -1, 7, 15, …}.

Фактор-множество множества Z по отношению сравнения по модулю m обозначается как Z / m или как Z m.

Z / 8 = Z 8 = { [ 0 ] , [ 1 ] , [ 2 ] , …, [ 7 ] }.

Теорема 1.10. Для любых целых a, b, a*, b*, k и m:

1) если a b (mod m), то k a k b (mod m);

2) если a b (mod m) и a* b* (mod m), то: а) a + а* b + b* (mod m);

б) а а* b b* (mod m).

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА

Бинарное отношение R на мн-ве А наз-ся отношением частичного порядка, если R рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

х R y : х ≼ у и читается, что х предшествует у.

Бинарное отношение R на мн-ве А называется отношением строгого порядка, если R антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

х R y : х ≺ у и читается, что х строго предшествует у.

Если для х , у А имеем х ≼ у или у ≼ х, то х и у сравнимые, в противном

случае несравнимые.

Множество А с заданным на нем отношением частичного порядка называется частично упорядоченным множеством.

Частично упорядоченное мн-во, в котором любые два элемента сравнимы, называется линейно упорядоченным множеством.

Элемент а частично упорядоченного мн-ва А наз-ся минимальным

элементом, если не х, х а , что х ≼ а.

Линейное упорядоченное мн-во А называется вполне упорядоченным, если всякое непустое подмножество В мн-ва А имеет наименьший элемент.

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА

Элемент а частично упорядоченного множества А называется наименьшим элементом, если не

существует элементов х, х а, предшествующих ему, т.е. не существует х, х а, такого, что х≼а.

Элемент b частично упорядоченного множества А называется минимальным элементом, если для

любого х из А элементы b и х несравнимы или b≼х. Отметим, что если наименьший элемент

существует, то он единственный, а минимальных элементов может быть сколько угодно. Если же у

множества существует наименьший элемент, то он является единственным минимальным элементом.

Пример. Рассмотрим множество точек плоскости с заданной прямоугольной декартовой

системой координат. Каждая точка задается упорядоченной парой (х,у) действительных чисел.

Отношение порядка ≼ на множестве точек определим следующим образом (a,b) ≼ (c,d), если и только

если a ≤ b и c ≤ d.

ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА

Рассмотрим множество точек треугольника ОАВ, см. Рис. 1.14 а). Точка с координатами (0,0)

является в этом треугольнике наименьшим элементом. Теперь рассмотрим множество точек

треугольника АВС. Для этого треугольника каждая точка стороны АС будет минимальной точкой.

у у А А В х х 0 В 0 С а) б)

РАВНОМОЩНЫЕ МНОЖЕСТВА

Множества А и В считаются равномощными, если существует биективное отображение f

множества А на множество В. Как известно, биективное отображение (биекция) осуществляет взаимно

однозначное соответствие между элементами множеств А и В.

Очевидно, что тождественное отображение множества А на А является биективным.

Из существования биекции f множества А на В следует, что f -1 является биекцией В на А.

Если существует биекция множества А на В и биекция множества В на С, то существует биекция

множества А на множество С.

Таким образом, отношение равномощности множеств обладает свойствами рефлексивности,

симметричности и транзитивности, поэтому является отношением эквивалентности, следовательно,

порождает разбиение множеств на классы равномощных множеств. Если множества А и В

равномощны, то считается, что множества А и В имеют одинаковую мощность и записывается: А В.

Множество А содержащее конечное число элементов, положим n элементов, считается

конечным. Тогда А {1,2,…, n }. Множество не являющееся конечным, считается бесконечным. Любое

множество, равномощное множеству всех натуральных чисел называется счетным.

РАВНОМОЩНЫЕ МНОЖЕСТВА

Имеют место следующие интересные и важные результаты.

Теорема 1.11. Любое бесконечное множество содержит счетное множество.

Теорема 1.12. любое подмножество счетного множества конечно или счетное.

Теорема 1.13. Объединение любого не более чем счетного семейства счетных множеств счетное.

Пусть множества А и В таковы, что В содержит некоторое множество С равномощное с А, но в А

нет подмножества равномощного В, тогда считается, что мощность множества В больше мощности

множества А.

Теорема 1.14. Пусть А – бесконечное множество, а В – его не более чем счетное подмножество.

Если A\B бесконечное множество, то оно равномощно множеству А.

Теорема 1.14. Пусть А некоторое множество и пусть 2А – множество элементами которого

являются всевозможные подмножества множества А. Тогда 2А имеет мощность большую, чем

мощность исходного множества.

РАВНОМОЩНЫЕ МНОЖЕСТВА

Пусть, как обычно, N – множество все натуральных чисел. Мощность множества 2А называют

мощностью континуума, а любое множество, равномощное множеству 2А, называют множеством

мощности континуума или континуальным множеством.

Теорема 1.15. Множество всех рациональных чисел счетное, а множество все действительных

чисел является континуальным множеством.