คณิตศาสตร์ ม....

หนงสอเรยน รายวชาพนฐาน

คณตศาสตร ม.๒ เลม ๑ชนมธยมศกษาปท ๒กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช ๒๕๕๑

ผเรยบเรยงนางกนกวล อษณกรกลนางสาวนวลนอย เจรญผลนางสาวปาจรย วชชวลคดร. สเทพ บญซอน

ผตรวจนางจนดา อยเปนสขนายรณชย มาเจรญทรพย นางสาวสายสณ สทธจกษ

บรรณาธการศ. ดร. ณรงค ปนนม

พมพครงท ๑สงวนลขสทธตามพระราชบญญตISBN : 978-616-203-592-0

รหสสนคา ๒๒๑๖๐๐๙

Ë¹‹ÇÂ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ·Õè 1 ÍÑµÃÒÊ‹Ç¹ ÊÑ´Ê‹Ç¹ áÅÐÃŒÍÂÅÐ 1 - 46

1. ¤ÇÒÁËÁÒÂ¢Í§ÍÑµÃÒÊ‹Ç¹ 2

2. ÍÑµÃÒÊ‹Ç¹·Õèà·‹Ò¡Ñ¹áÅÐÊÑ´Ê‹Ç¹ 7

3. ÍÑµÃÒÊ‹Ç¹áÅÐÃŒÍÂÅÐ 25

4. ¡ÒÃá¡Œâ¨·Â�»˜ÞËÒÃŒÍÂÅÐ 28

Ë¹‹ÇÂ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ·Õè 2 ¡ÒÃÇÑ´¤ÇÒÁÂÒÇáÅÐ¾×é¹·Õè 47 - 90

1. ¡ÒÃÇÑ´¤ÇÒÁÂÒÇ 48

2. ¾×é¹·Õè 60

Ë¹‹ÇÂ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ·Õè 3 ¡ÒÃ¤Ò´¤Ðà¹¡ÒÃÇÑ´ 91 - 104

1. ¡ÒÃ¤Ò´¤Ðà¹àÇÅÒ 92

2. ¡ÒÃ¤Ò´¤Ðà¹ÃÐÂÐ·Ò§áÅÐ¢¹Ò´ 94

3. ¡ÒÃ¤Ò´¤Ðà¹¹éíÒË¹Ñ¡ 100

4. ¡ÒÃ¤Ò´¤Ðà¹¡ÒÃÇÑ´ã¹Ê¶Ò¹¡ÒÃ³�µ‹Ò§æ 102

Ë¹‹ÇÂ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ·Õè 4 ¡ÒÃ¹íÒàÊ¹Í¢ŒÍÁÙÅ 105 - 132

1. ¤ÇÒÁËÁÒÂ¢Í§¢ŒÍÁÙÅáÅÐ¡ÒÃ¹íÒàÊ¹Í¢ŒÍÁÙÅ 106

2. ¡ÒÃ¹íÒàÊ¹Í¢ŒÍÁÙÅ´ŒÇÂá¼¹ÀÙÁÔÃÙ»Ç§¡ÅÁ 115

สารºÑÞ

1. ¤ÇÒÁËÁÒÂ¢Í§ÍÑµÃÒÊ‹Ç¹ 2. ÍÑµÃÒÊ‹Ç¹·Õèà·‹Ò¡Ñ¹áÅÐÊÑ´Ê‹Ç¹ 3. ÍÑµÃÒÊ‹Ç¹áÅÐÃŒÍÂÅÐ 4. ¡ÒÃá¡Œâ¨·Â�»˜ÞËÒÃŒÍÂÅÐ

¤³ÔµÈÒÊµÃ� Á.2 àÅ‹Á 1

1. ¤ÇÒÁËÁÒÂ¢Í§¢ŒÍÁÙÅáÅÐ¡ÒÃ¹íÒàÊ¹Í¢ŒÍÁÙÅ 2. ¡ÒÃ¹íÒàÊ¹Í¢ŒÍÁÙÅ´ŒÇÂá¼¹ÀÙÁÔÃÙ»Ç§¡ÅÁ

คณตศาสตรมบทบาทส�าคญยงตอการพฒนาความคดของมนษย ท�าให

มนษยมความคดอยางมเหตผลเปนระบบระเบยบ มแบบแผน สามารถวเคราะห

แกปญหาในสถานการณตาง ๆ ไดอยางเหมาะสม รวมทงมความคดรเรมสรางสรรค

คณตศาสตรเปนวชาทวาดวยหลกการและเหตผล ซงมนษยคดคน

และสรปมาจากกฎเกณฑธรรมชาต และสงทพบเหนในชวตประจ�าวน ดงนน

ผเรยนคณตศาสตรไดดควรจะเปนผทชางสงเกต ชางคด และยอมรบขอตกลง

หรอหลกการหรอนยามเบองตนกอน แลวอาศยหลกความจรงและเหตผลตาง ๆ

ในการชวยคดค�านวณ คดสรางสรรค และคดแกปญหาตอไดอยางมประสทธภาพ

นกเรยนจงควรจะเขาใจกฎเกณฑตาง ๆ ทางคณตศาสตร ในแตละเรอง และ

สามารถน�าหลกการทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรไปใชในชวตประจ�าวน

ตลอดจนสามารถแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ได ส�าหรบหนงสอเรยนรายวชา

พนฐานคณตศาสตร กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 2 น

คณะผเรยบเรยงไดจดแบงออกเปน 2 เลม ดงน

คณตศาสตร ม.2 เลม 1 หนวยการเรยนรท 1 - 6

คณตศาสตร ม.2 เลม 2 หนวยการเรยนรท 1 - 5

ทงนคณะผเรยบเรยงไดเรยบเรยงเนอหาสาระใหสอดคลองกบตวชวดและ

สาระการเรยนรแกนกลางกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลาง

การศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 โดยจดสาระการเรยนรเปนหนวยการเรยนร

ทควรศกษาตามล�าดบกอนหลงอยางเหมาะสม รวมทงมแบบตรวจสอบความเขาใจ

ทหลากหลาย มกจกรรมเสรมทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร กจกรรมเสรม

ทกษะเชงเทคโนโลย เพอพฒนาผเรยนใหเตมตามศกยภาพ รวมทงเมอเรยนจบ

ในแตละหนวยการเรยนรแลว ยงมแบบฝกหดประจ�าหนวยการเรยนร เพอทบทวน

ความรดวย

คณะผเรยบเรยงหวงเปนอยางยงวา หนงสอเรยนเลมนคงจะเปนประโยชน

ในการจดการเรยนการสอนใหผเรยนไดสมฤทธผลการเรยนรตรงตามทหลกสตร

แกนกลางการศกษาขนพนฐานไดก�าหนดไว คณะผเรยบเรยง

คณะผเรยบเรยง

ค�าน�า

หนวยการเรยนรท

ตวชวด

1 ในชวตจรงเราไดนาความรเกยวกบเรอง

อตราสวน สดสวน และรอยละมาชวยแกปญหา

ตางๆ เชน งานสถาปตยกรรม ตองมการออกแบบ

และเขยนแผนผง เพอจาลองลกษณะรปรางของ

สงกอสรางนน นอกจากนการคดดอกเบย ภาษ

สวนลดจากการซอและการขายสนคาอปโภค

บรโภคตางๆ จาเปนตองอาศยความรในเรองของ

อตราสวน สดสวน และรอยละทงสน

■ ใชความรเกยวกบอตราสวน สดสวน และรอยละ

ในการแกโจทยปญหา (ค 1.1 ม.2/4)■ ใชวธการทหลากหลายแกปญหา (ค 6.1 ม.1-3/1)■ ใชความร ทกษะ และกระบวนการทางคณตศาสตร

และเทคโนโลยในการแกปญหาในสถานการณตางๆ

ไดอยางเหมาะสม (ค 6.1 ม.1-3/2)■ ใหเหตผลประกอบการตดสนใจ และสรปผลไดอยาง

เหมาะสม (ค 6.1 ม.1-3/3)■ ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร

การสอความหมายและการนาเสนอไดอยางถกตอง

และชดเจน (ค 6.1 ม.1-3/4)■ เชอมโยงความรตางๆ ในคณตศาสตร และนาความร

หลกการ กระบวนการทางคณตศาสตรไปเชอมโยง

กบศาสตรอนๆ (ค 6.1 ม.1-3/5)■ มความคดรเรมสรางสรรค (ค 6.1 ม.1-3/6)

สาระการเรยนรแกนกลาง

■ อตราสวน สดสวน รอยละ และการนาไปใช

อตราสวน สดสวนและรอยละË¹‹ÇÂ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ·Õè 5 ¡ÒÃá»Å§·Ò§àÃ¢Ò¤³Ôµ 133 - 188

1. ¡ÒÃá»Å§ 134

2. ¡ÒÃàÅ×èÍ¹¢¹Ò¹ ¡ÒÃÊÐ·ŒÍ¹ áÅÐ¡ÒÃËÁØ¹ 137

3. ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸�¢Í§¡ÒÃàÅ×èÍ¹¢¹Ò¹ ¡ÒÃÊÐ·ŒÍ¹ 173

áÅÐ¡ÒÃËÁØ¹ 4. ¡ÒÃ¹íÒÊÁºÑµÔ¢Í§¡ÒÃàÅ×èÍ¹¢¹Ò¹ ¡ÒÃÊÐ·ŒÍ¹ 178

áÅÐ¡ÒÃËÁØ¹ä»ãªŒ

Ë¹‹ÇÂ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ·Õè 6 ¤ÇÒÁà·‹Ò¡Ñ¹·Ø¡»ÃÐ¡ÒÃ 189 - 219

1. ¤ÇÒÁà·‹Ò¡Ñ¹·Ø¡»ÃÐ¡ÒÃ¢Í§ÃÙ»àÃ¢Ò¤³Ôµã´æ 190

Ê‹Ç¹¢Í§àÊŒ¹µÃ§ áÅÐÁØÁ 2. ¤ÇÒÁà·‹Ò¡Ñ¹·Ø¡»ÃÐ¡ÒÃ¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁ 197

3. ¤ÇÒÁà·‹Ò¡Ñ¹·Ø¡»ÃÐ¡ÒÃ¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁÊÍ§ÃÙ» 201

·ÕèÁÕ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸�áººµ‹Ò§æ

ºÃÃ³Ò¹Ø¡ÃÁ 220

1. ¡ÒÃá»Å§ 2. ¡ÒÃàÅ×èÍ¹¢¹Ò¹ ¡ÒÃÊÐ·ŒÍ¹ áÅÐ¡ÒÃËÁØ¹ 3. ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸�¢Í§¡ÒÃàÅ×èÍ¹¢¹Ò¹ ¡ÒÃÊÐ·ŒÍ¹ áÅÐ¡ÒÃËÁØ¹ 4. ¡ÒÃ¹íÒÊÁºÑµÔ¢Í§¡ÒÃàÅ×èÍ¹¢¹Ò¹ ¡ÒÃÊÐ·ŒÍ¹ áÅÐ¡ÒÃËÁØ¹ä»ãªŒ

1. ¤ÇÒÁà·‹Ò¡Ñ¹·Ø¡»ÃÐ¡ÒÃ¢Í§ÃÙ»àÃ¢Ò¤³Ôµã´æ Ê‹Ç¹¢Í§àÊŒ¹µÃ§ áÅÐÁØÁ 2. ¤ÇÒÁà·‹Ò¡Ñ¹·Ø¡»ÃÐ¡ÒÃ¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁ 3. ¤ÇÒÁà·‹Ò¡Ñ¹·Ø¡»ÃÐ¡ÒÃ¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁÊÍ§ÃÙ» ·ÕèÁÕ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸�áººµ‹Ò§æ

Ë¹‹ÇÂ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ·Õè 3 àÊŒ¹¢¹Ò¹

Ë¹‹ÇÂ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ·Õè 1 ¤ÇÒÁÃÙŒàº×éÍ§µŒ¹

à¡ÕèÂÇ¡Ñº¨íÒ¹Ç¹¨ÃÔ§

Ë¹‹ÇÂ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ·Õè 4 ¡ÒÃ»ÃÐÂØ¡µ�¢Í§ÊÁ¡ÒÃ àªÔ§àÊŒ¹µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ

Ë¹‹ÇÂ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ·Õè 2 ·ÄÉ®Õº· ¾Õ·Òâ¡ÃÑÊ

Ë¹‹ÇÂ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ·Õè 5 âÍ¡ÒÊ¢Í§ àËµØ¡ÒÃ³�

¤³ÔµÈÒÊµÃ� Á.2 àÅ‹Á 2

3

จากรปท2 จะเหนวามจ�านวนปากกา4ดามและจ�านวนสมด5เลม

กลาวไดวา อตราสวนของจ�านวนปากกาเปนดามตอจ�านวนสมดเปนเลมเปน4ตอ5

หรอ อตราสวนของจ�านวนสมดเปนเลมตอจ�านวนปากกาเปนดามเปน5ตอ4

เขยนแทน อตราสวน4ตอ5ดวย4:5หรอ45

อตราสวน5ตอ4ดวย5:4หรอ54

มมความคด

อตราสวน a ตอ b เขยนแทนดวย a : b หรอ ab อานวา a ตอ b

เรยกจ�านวน a ในอตราสวน a : b วา จ�านวนแรกหรอจ�านวนทหนง

เรยกจ�านวน b ในอตราสวน a : b วา จ�านวนหลงหรอจ�านวนทสอง

เปดโลกคณตศาสตร

เครองหมายคณ(×)น�ามาใชโดยวลเลยมออทเทรด(WilliamOughtred:ค.ศ.1574-1660)

ซงปรากฏหลกฐานในหนงสอClavisMathematicaeซงเขยนไวในปค.ศ.1628และตพมพเผยแพรใน

กรงลอนดอนเมอปค.ศ.1631

เครองหมายหาร(÷)น�ามาใชเปนครงแรกโดยโจฮานนราหน(JohannRahnหรอRhonius:

ค.ศ.1622-1676)ในปค.ศ.1659ซงพบหลกฐานในหนงสอTeutscheAlgebra

ทมา:http://members.aol.com

อตราสวนaตอbจะพจารณาในกรณทaและbเปนจ�านวนบวกเทานน

ต�าแหนงของจ�านวนในแตละอตราสวนนนถอวามความส�าคญ จากรปท 1 ซงแสดง

จ�านวนผหญงและจ�านวนผชาย จะเหนวา อตราสวน 2 : 3 ไมใชอตราสวนเดยวกบอตราสวน

3:2เนองจากอตราสวน2:3หมายถงอตราสวนของจ�านวนผหญงตอจ�านวนผชายแตอตราสวน

3:2หมายถงอตราสวนของจ�านวนผชายตอจ�านวนผหญง

นนคออตราสวนa:bไมใชอตราสวนเดยวกบb:aเมอa ≠ b

2

พจารณารปภาพตอไปน

1. ความหมายของอตราสวน

พจารณาขอความตอไปน

1) การวดผลรายวชาคณตศาสตรจะมคะแนนเกบระหวางภาคเรยน70คะแนนและ

ปลายภาคเรยน30คะแนน

2) จากรายงานทางการแพทยพบวาการวงอยางสม�าเสมอในเวลา1ชวโมงรางกาย

จะใชพลงงาน900แคลอร

จะเหนวาขอความท1)เปนขอความแสดงการเปรยบเทยบจ�านวนของคะแนนระหวาง

ภาคเรยนและคะแนนปลายภาคเรยนและขอความท2)เปนขอความแสดงการเปรยบเทยบเวลา

กบปรมาณพลงงานทใชไป

จากขอความทงสองขางตนเปนตวอยางของ“อตราสวน”


เรยกความสมพนธทแสดงการเปรยบเทยบปรมาณสองปรมาณ ซงอาจมหนวยเดยวกน

หรอตางกนกได วา “อตราสวน”

จากรปท1 จะเหนวามผหญง2คนและมผชาย3คน

กลาวไดวา อตราสวนของจ�านวนผหญงตอจ�านวนผชายเปน2ตอ3

หรอ อตราสวนของจ�านวนผชายตอจ�านวนผหญงเปน3ตอ2

เขยนแทน อตราสวน2ตอ3ดวย2:3หรอ 23

อตราสวน3ตอ2ดวย3:2หรอ 32

รปท 1 รปท 2

5

นอกจากนมาตราสวนอาจแสดงการเปรยบเทยบในหนวยตางกนไดเชนเดยวกบ

อตราสวนเชน

มาตราสวนทใชเขยนแผนทประเทศไทยเปน1เซนตเมตร:5กโลเมตร

หมายความวาระยะทางในแผนท1เซนตเมตรแทนระยะทางจรง5กโลเมตร

จงเขยนอตราสวนแทนปรมาณสองปรมาณทก�าหนดใหในแตละขอตอไปน

1) แตมปากกาน�าเงน5ดามและมปากกาแดง5ดาม

2) รตนาจะเกบสะสมเงน5บาทจากจ�านวนเงนคาขนม30บาท

3) ชพจรของวนยเตน78ครงในเวลา1นาท

4) รถยนตใชน�ามน1ลตรแลนไดระยะทาง11กโลเมตร

1) อตราสวนของจ�านวนปากกาน�าเงนตอจ�านวนปากกาแดงเปน5 : 5

2) อตราสวนของจ�านวนเงนสะสมตอจ�านวนเงนคาขนมเปน5 : 30

3) อตราสวนของการเตนของชพจรเปนครงตอเวลาเปนนาทเปน78 : 1

4) อตราสวนของปรมาณน�ามนเปนลตรตอระยะทางทแลนไดเปนกโลเมตร

เปน1 : 11

พจารณารปแปลนบานซงใชมาตราสวน1:400 หมายถง ความยาวในแผนผง1

เซนตเมตรแทนความยาวจรง400เซนตเมตร

ตวอยางท

1

วธทำ�

ตอบ

4


1) กระดาษรปสเหลยมผนผาแผนหนงมความกวาง 20 เซนตเมตร ความยาว 27

เซนตเมตร

2) การไปทศนศกษาตางจงหวดของโรงเรยนแหงหนงจดใหคร1คนดแลนกเรยน

20คน

3) การท�าน�าหมกชวภาพใชกากน�าตาล250ลกบาศกเซนตเมตรใชน�า8ลตร

4) ไสกรอก1ถงราคา55บาท

5) ตามนโยบายเรยนฟร15ปอยางมคณภาพของรฐบาลในแตละภาคเรยนไดก�าหนด

เงนคาอปกรณการเรยนแกนกเรยนระดบชนมธยมศกษาตอนตนคนละ210บาท

6) วนท18กมภาพนธ2553ประเทศไทยมอตราแลกเปลยนเงน31.20บาทตอ1

ดอลลารสหรฐ

จากขอความขางตนสามารถเขยนอตราสวนแสดงความสมพนธไดดงน

1) อตราสวนของความกวางตอความยาวเปน20:27

2) อตราสวนของจ�านวนครตอจ�านวนนกเรยนเปน1:20

3) อตราสวนของปรมาณกากน�าตาลเปนลกบาศกเซนตเมตรตอน�าเปนลตรเปน

250:8

4) อตราสวนของจ�านวนไสกรอกเปนถงตอราคาเปนบาทเปน1:55

5) อตราสวนของจ�านวนนกเรยนเปนคนตอเงนคาอปกรณการเรยนเปนบาทเปน1:210

6) อตราสวนของจ�านวนเงนเปนบาทตอจ�านวนเงนเปนดอลลารสหรฐเปน31.20:1

จากการเขยนอตราสวนขอ1) และ 2)จะเหนวาเปนอตราสวนทแสดงการเปรยบ-

เทยบปรมาณสองปรมาณทมหนวยเดยวกนจะไมเขยนหนวยก�ากบไว

จากการเขยนอตราสวนขอ3) - 6)จะเหนวาเปนอตราสวนทแสดงการเปรยบเทยบ

ปรมาณสองปรมาณทมหนวยตางกนจะเขยนหนวยก�ากบไว


การเขยนอตราสวนทแสดงการเปรยบเทยบปรมาณสองปรมาณทมหนวยเดยวกน

เราไมนยมเขยนหนวยก�ากบไว แตการเขยนอตราสวนทแสดงการเปรยบเทยบปรมาณสอง

ปรมาณทมหนวยตางกน จะตองระบหนวยก�ากบไวเสมอ

7

2. อตราสวนทเทากนและสดสวน

รานสหกรณของโรงเรยนแหงหนงขายน�าราคาขวดละ5บาทจะไดวา

น�า1ขวด ราคา 1×5 = 5 บาท



ดงนนจ�านวนน�าเปนขวดและราคาเปนบาทจะมความสมพนธกนดงตารางตอไปน

จากตารางสามารถเขยนอตราสวนไดหลายอตราสวนเชน

1:5,2:10,3:15,4:20,5:25หรอ15, 2

10, 3

15, 4

20, 5

25

อตราสวนขางตนไดมาจากการซอน�าในราคาเดยวกนคอน�า1ขวดราคา5บาท

และกลาวไดวาอตราสวนเหลานนเปนอตราสวนทเทากน

2.1 การหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทก�าหนดให

จากการเขยนอตราสวนของจ�านวนน�าเปนขวดตอราคาเปนบาทขางตนจะพบวา1:5,

2:10,3:15,4:20,5:25เปนอตราสวนทเทากนซงเขยนไดดงน

1:5=2:10=3:15=4:20=5:25

หรอ15= 2

10= 3

15= 4

20= 5

25

จะเหนวาอตราสวนทเทากนขางตนมความเกยวของกนกบอตราสวน15ดงน

จ�านวนน�า (ขวด) 1 2 3 4 5

ราคา (บาท) 5 10 15 20 25

คณดวยจ�านวนเดยวกน หารดวยจ�านวนเดยวกน

15 = 1×2

5 × 2 = 210

15 = 1×3

5 × 3 = 315

15 = 1×4

5 × 4 = 420

15 = 1×5

5 × 5 = 525

210 = 2÷2

10 ÷ 2 = 15

315 = 3÷3

15 ÷ 3 = 15

420 = 4÷4

20 ÷ 4 = 15

525 = 5÷5

25 ÷ 5 = 15

6

สมพรซอเนอหม6ขดซอกง8ขดจงเขยนอตราสวนแสดงการเปรยบเทยบน�าหนก

เนอหมและน�าหนกกงทสมพรซอมา

สมพรซอเนอหม6ขด

สมพรซอกง8ขด

เขยนอตราสวนแสดงน�าหนกเนอหมและน�าหนกกงทสมพรซอไดเปน6 : 8ตอบ

วธทำ�


2

แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.1

1. จากภาพทก�าหนดใหมสบปะรดและสมโออยางละ2ผลขนนและทเรยนอยางละ1ผลฝรง

5ผลมะมวง4ผลชมพ7ผลกลวย1หวและผลไมอนๆจงเขยนอตราสวนแสดงการ

เปรยบเทยบในแตละขอตอไปน

1) จ�านวนสบปะรดตอจ�านวนทเรยน

2) จ�านวนขนนตอจ�านวนสมโอ

3) จ�านวนกลวยเปนหวตอจ�านวนฝรงเปนผล

4) จ�านวนชมพตอจ�านวนมะมวง

2. จงเขยนอตราสวนแทนขอความตอไปน

1) ในเวลา2ชวโมงสภาสณขบรถยนตไดระยะทาง180กโลเมตร

2) คาจางแรงงานขนต�าวนละ300บาท

3) คนงาน8คนท�างานเสรจในเวลา3วน

4) รถไฟฟาBTSแลนดวยความเรว80กโลเมตรตอชวโมง

5) ระยะทางในแผนผง1เซนตเมตรแทนระยะทางจรง10เมตร

3. ธงชาตไทยผนหนงมความกวาง80เซนตเมตรความยาว1.4เมตรจงเขยนอตราสวนแสดง

การเปรยบเทยบความกวางตอความยาวของธงชาตไทยผนน

4. สนตาไดรบคาขนมวนละ35 บาท เธอจะเกบสะสมไว5 บาท จงเขยนอตราสวนแสดง

การเปรยบเทยบจ�านวนเงนสะสมตอจ�านวนเงนทไดรบของสนตา

5. นนทภทรรบจางท�างานนอกเวลาเรยนวนละ4ชวโมงจงเขยนอตราสวนแสดงการเปรยบเทยบ

เวลาท�างานนอกเวลาเรยนตอหนงวนของนนทภทร

1.

2.

3.

4.

5.

9

1. จงหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทก�าหนดใหอกขอละ3อตราสวนโดยใชหลกการคณ

1) 2:7 2) 5:12 3) 9:7

4) 2:3 5) 4:9 6) 3:5

2. จงหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทก�าหนดใหอกขอละ3อตราสวนโดยใชหลกการหาร

1) 24:48 2) 30:45 3) 72:24

4) 64:32 5) 24:56 6) 54:90

3. จงเขยนอตราสวนอก3อตราสวนจากขอความทก�าหนดใหในแตละขอตอไปน

1) สบราคากอนละ12บาทอตราสวนของจ�านวนสบเปนกอนตอจ�านวนเงนเปนบาท

2) การเขาคายพกแรมลกเสอ210คนใชเตนททงหมด30หลงอตราสวนของจ�านวนเตนท

เปนหลงตอจ�านวนลกเสอเปนคน

3) นกเรยน2คนจายคารถเมล14บาทอตราสวนของจ�านวนนกเรยนเปนคนตอจ�านวน

เงนเปนบาท

4) มะมวง3กองกองละ5ผลขายในราคากองละ10บาทอตราสวนของจ�านวนมะมวง

เปนกองตอจ�านวนเงนเปนบาท

2.2 การตรวจสอบการเทากนของอตราสวน

ถาตองการตรวจสอบวา59และ1527เปนอตราสวนทเทากนหรอไมเทากนเราสามารถ

ท�าไดหลายแบบโดยใชหลกการคณ หลกการหาร หรอใชการคณไขวเพอท�าใหจ�านวนหลงของ

แตละอตราสวนเทากนแลวจงเปรยบเทยบจ�านวนแรกดงตอไปน

แบบท 1 ใชหลกการคณ 59=

5×39×3

= 1527

ดงนน59และ1527เปนอตราสวนทเทากน

แบบท 2 ใชหลกการหาร 1527=15÷3

27÷3= 5

9


1.

2.

3.

แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.2 ก

8

จงหาอตราสวนทเทากบอตราสวน3:7มาอก3อตราสวน

อตราสวน3:7เขยนแทนดวย37

จะไดวา 37 = 3×2

7 × 2 = 614

นนคอ 3:7=6:14

37 = 3×3

7 × 3 = 921

นนคอ 3:7=9:21

37 = 3×4

7 × 4 = 1228

นนคอ 3:7=12:28

ดงนน อตราสวน6 : 14, 9 : 21 และ 12 : 28เปนอตราสวนทเทากบ

อตราสวน3:7

จงหาอตราสวนทเทากบอตราสวน18:24มาอก3อตราสวน

18:24 = 18÷2:24÷2 = 9:12

18:24 = 18÷3:24÷3 = 6:8

18:24 = 18×2:24×2 = 36:48

ดงนน อตราสวน9 : 12, 6 : 8 และ 36 : 48เปนอตราสวนทเทากบ

อตราสวน18:24

วธทำ�


1

ตอบ

วธทำ�


2

ตอบ

นนคอเมอก�าหนดอตราสวนมาใหเราสามารถหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทก�าหนด

ใหไดโดยใชหลกการตอไปน

1) หลกการคณเมอคณแตละจ�านวนในอตราสวนใดดวยจ�านวนเดยวกนโดยทจ�านวนนน

ไมเทากบศนยจะไดอตราสวนใหมทเทากบอตราสวนเดม

2) หลกการหารเมอหารแตละจ�านวนในอตราสวนใดดวยจ�านวนเดยวกนโดยทจ�านวนนน

ไมเทากบศนยจะไดอตราสวนใหมทเทากบอตราสวนเดม

เราสามารถเขยนอตราสวนตางๆใหอยในรปเศษสวนได นะครบ


ถาก�าหนดอตราสวน a : b และ c เปนจ�านวนใดๆ

ทไมเทากบศนย แลวจะไดวา

ab

= a × cb × c

และ ab

= a ÷ cb ÷ c

11

2) พจารณาผลคณไขวของอตราสวน1.54และ 3

8

จะได 1.5×8= 12 และ 4×3 = 12

นนคอ 1.5×8= 4×3

ดงนน 1.5:4 และ3:8 เปนอตราสวนทเทากน

ถา5:0.3และa:6เปนอตราสวนทเทากนแลวจงหาคาa

เนองจากอตราสวน5:0.3=a:6

เขยนแทนดวย 50.3

= a6

จะไดวา 5×6 = 0.3×a

a = 5×60.3

a = 100

นนคอ 5:0.3 = 100:6

ดงนนaมคาเทากบ100

1. จงตรวจสอบวาอตราสวนแตละขอตอไปนเทากนหรอไม

1) 7:8และ35:40 2) 12:4และ6:2

3) 3.5:1.5และ5:2 4) 8:9และ96:108

2. จงเตมเครองหมาย=หรอ≠ลงใน ทก�าหนดใหในแตละขอเพอใหประโยคเปนจรง

1) 8:4 12:6 2) 6:7 9:11

3) 1.5:2 3:4 4) 0.2:20 0.3:30

3. จงหาคาcในอตราสวนตอไปนทท�าใหอตราสวนทงสองเปนอตราสวนทเทากน

1) c:5 และ 18:30 2) 4:c และ 36:80

3) 12:6 และ 8:c 4) 7:12 และ c:30

5) 25:c และ 1:4 6) 7:c และ 63:108

7) 0.7:c และ 1:100 8) 0.4:600และ 2:c

แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.2 ข

1.

2.

3.

ตอบ

วธทำ�


2

ตอบ

ใชหลกการคณไขว1.54

38

10

แบบท 3 ใชการคณไขวพจารณา5×279×27

และ15×927×9

เนองจาก 9×27=27×9

จงตรวจสอบวา5×27=15×9หรอไม

จะได 5×27=135และ15×9=135

นนคอ 5×27=15×9


จะเหนวา5×27และ15×9ซงเปนจ�านวนแรกของทงสองอตราสวนเปนผลการ

คณไขวของ5กบ27และ15กบ9จากอตราสวน59และ1527

พจารณาอตราสวนabและcd

เรยกabวาเปนอตราสวนท1และcdวาเปนอตราสวนท2

จาก ab=a× d b× d

= adbd

cd=c ×bd ×b

= bcbd

พจารณา adbd

และ bcbd

ดงน

1)ถา adbd

= bcbd

แลวad=bc2)ถา adbd

≠ bcbd

แลวad≠ bc

ซงadและbcเปนผลคณของจ�านวนจากอตราสวนทงสอง

โดยaเปนจ�านวนท1ของอตราสวนท1dเปนจ�านวนท2ของอตราสวนท2

และbเปนจ�านวนท2ของอตราสวนท1 cเปนจ�านวนท1ของอตราสวนท2

ซงเราสามารถจดadและbcโดยใชหลกการคณไขวดงนab cd

จงตรวจสอบวาอตราสวนแตละขอตอไปนเทากนหรอไม

1) 5:9และ25:44 2) 1.5:4และ3:8

1) พจารณาผลคณไขวของอตราสวน 59และ 25

44

จะได 5×44 = 220 และ 9×25 = 225

นนคอ 5×44 ≠ 9×25

ดงนน 5:9และ25:44 เปนอตราสวนทไมเทากน

2) พจารณาผลคณไขวของอตราสวน1.54และ 3

8

จะได 1.5×8= 12 และ 4×3 = 12

นนคอ 1.5×8= 4×3

ดงนน 1.5:4 และ3:8 เปนอตราสวนทเทากน

ถา5:0.3และa:6เปนอตราสวนทเทากนแลวจงหาคาa

เนองจากอตราสวน5:0.3=a:6

เขยนแทนดวย 50.3

= a6

จะไดวา 5×6 = 0.3×a

a = 5×60.3

a = 100

นนคอ 5:0.3 = 100:6

ดงนนaมคาเทากบ100

1. จงตรวจสอบวาอตราสวนแตละขอตอไปนเทากนหรอไม

1) 7:8และ35:40 2) 12:4และ6:2

3) 3.5:1.5และ5:2 4) 8:9และ96:108

2. จงเตมเครองหมาย=หรอ≠ลงใน ทก�าหนดใหในแตละขอเพอใหประโยคเปนจรง

1) 8:4 12:6 2) 6:7 9:11

3) 1.5:2 3:4 4) 0.2:20 0.3:30

3. จงหาคาcในอตราสวนตอไปนทท�าใหอตราสวนทงสองเปนอตราสวนทเทากน

1) c:5 และ 18:30 2) 4:c และ 36:80

3) 12:6 และ 8:c 4) 7:12 และ c:30

5) 25:c และ 1:4 6) 7:c และ 63:108

7) 0.7:c และ 1:100 8) 0.4:600และ 2:c

แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.2 ข

ใชหลกการคณไขว59

2544

วธทำ�


1


ก�าหนดให ab

และ cd

เปนอตราสวนสองอตราสวน โดยท a, b, c และ d เปน

จ�านวนบวก

ถา a × d = c × b แลว ab

= cd

และถา a × d ≠ c × b แลว ab

≠ cd

13

จงเขยนอตราสวนของความยาวของดานตอไปน

1) ความกวางตอความยาว

ตอบ อตราสวนของความกวางตอความยาวเทากบ3 : 4

2) ความยาวตอความกวางตอความยาวเสนทแยงมม

ตอบ อตราสวนของความยาวตอความกวางตอความยาวเสนทแยงมม

เทากบ4 : 3 : 5

3) ความกวางตอความยาวตอความยาวเสนรอบรป

ตอบ ความยาวเสนรอบรป เทากบ 2×(ความกวาง+ความยาว)

= 2×(3+4) เซนตเมตร

= 14 เซนตเมตร

ดงนน อตราสวนของความกวางตอความยาวตอความยาวเสนรอบรป

เทากบ3 : 4 : 14

ก�าหนดรปสเหลยมผนผาABCDโดยทABยาว4เซนตเมตรBCยาว3เซนตเมตร

และBDยาว5เซนตเมตร


1

D C

A B

5 ซม.

4 ซม.

3 ซม

.

ตอบ

12

2.3 อตราสวนตอเนองของจ�านวนหลายๆ จ�านวน

พจารณาอตราสวนตอไปน

จ�านวนยางลบเปนกอนตอจ�านวนปากกาเปนดามเปน3:5

จ�านวนปากกาเปนดามตอจ�านวนดนสอเปนแทงเปน4:7

จากอตราสวนขางตนจะเหนวาจ�านวนปากกาเกยวของกบอตราสวนทงสอง

ถาตองการเขยนอตราสวนเปรยบเทยบจ�านวนยางลบตอจ�านวนปากกาตอจ�านวนดนสอ

จะตองท�าจ�านวนปากกาซงเปนตวรวมของทงสองอตราสวนใหเทากน โดยทวไปจะท�าใหเทากบ

ค.ร.น.ของจ�านวนทเปนปรมาณของตวรวมของทงสองอตราสวนในทนคอค.ร.น.ของ4กบ5

โดยใชหลกการหาอตราสวนทเทากนดงน

จาก จ�านวนยางลบเปนกอนตอจ�านวนปากกาเปนดามเปน3:5

จ�านวนปากกาเปนดามตอจ�านวนดนสอเปนแทงเปน 4:7

ท�าจ�านวนปากกาของทงสองอตราสวนใหเทากน โดยหา ค.ร.น. ของ4 และ5

ไดเทากบ20

นนคอท�าจ�านวนปากกาของทงสองอตราสวนใหเทากบ20

จะได จ�านวนยางลบเปนกอนตอจ�านวนปากกาเปนดามเปน3×4:5×4=12:20

จ�านวนปากกาเปนดามตอจ�านวนดนสอเปนแทงเปน4×5:7×5=20:35

จ�านวนยางลบเปนกอนตอจ�านวนปากกาเปนดามตอจ�านวนดนสอเปนแทง

เปน12:20:35


เมอมอตราสวนสองอตราสวนใดๆ แสดงการเปรยบเทยบปรมาณของทมากกวาสอง

ชนดขนไป เราสามารถเขยนอตราสวนตอเนองของจ�านวนหลายๆ จ�านวนจากอตราสวน

ทงสอง ดงน

1) พจารณาจ�านวนทปรากฏในอตราสวนทละค เฉพาะในสวนทเปนตวรวม

2) ถาจ�านวนทเปนตวรวมในขอ 1) เทากน ใหเขยนอตราสวนตอเนองไดเลย

3) ถาจ�านวนทเปนตวรวมในขอ 1) ไมเทากน ตองท�าใหตวรวมนนใหเทากนกอน

ซงโดยทวไปจะท�าใหเทากบ ค.ร.น. ของจ�านวนทเปนปรมาณของตวรวมทงสอง โดยใช

หลกการคณหรอหลกการหาร

15

1. ถาจ�านวนเงนรายไดเพอใชในการแขงขนกฬาสทนกเรยนสตางๆหาไดมดงน

จ�านวนเงนรายไดของสฟาตอจ�านวนเงนรายไดของสเขยวเปน 7:8

จ�านวนเงนรายไดของสเขยวตอจ�านวนเงนรายไดของสเหลองเปน7:8

จ�านวนเงนรายไดของสชมพตอจ�านวนเงนรายไดของสเหลองเปน3:4

จงเขยนอตราสวนเปรยบเทยบจ�านวนเงนรายไดของสฟาตอจ�านวนเงนรายไดของสชมพ

2. แดงด�าเขยวและขาวบ�าเพญประโยชนโดยการชวยกนเกบขวดน�าในสวนสาธารณะแหงหนง

ไดจ�านวนขวดน�าดงน

จ�านวนขวดน�าทแดงเกบไดตอจ�านวนขวดน�าทด�าเกบไดเปน2:3

จ�านวนขวดน�าทด�าเกบไดตอจ�านวนขวดน�าทเขยวเกบไดเปน4:5

จ�านวนขวดน�าทเขยวเกบไดตอจ�านวนขวดน�าทขาวเกบไดเปน6:7

จงเขยนอตราสวนเปรยบเทยบจ�านวนขวดน�าทแดงด�าเขยวและขาวเกบได

3. สวนสตวแหงหนงมอตราสวนของจ�านวนนกตอจ�านวนยราฟเปน11:2 อตราสวนของ

จ�านวนลงตอจ�านวนยราฟเปน31:3 และอตราสวนของจ�านวนยราฟตอจ�านวนเสอเปน

4:11จงเขยนอตราสวนเปรยบเทยบจ�านวนนกตอจ�านวนสตวทงสชนด

4. ก�าหนดอตราสวนa:b=3:2,b:c=4:7และc:d=3:8จงเขยนอตราสวนของ

a:b:c:d

5. อตราสวนของอายของนอยตออายของนดเทากบ3:7 อตราสวนของอายของนดตออาย

ของหนอยเทากบ7:8จงเขยนอตราสวนของอายของนอยตออายของนดตออายของหนอย

2.4 สดสวน

พจารณาอตราสวน2:5และ6:15

จะเหนวา ผลการคณไขวของจ�านวนแรกกบจ�านวนหลงของ25และ 6

15คอ

2×15 = 30 และ 5×6 = 30

จะไดวา 25= 6

15

นนคอ 2:5 = 6:15

เรยกประโยคทแสดงการเทากนของอตราสวนสองอตราสวนวาสดสวน

1.

2.

3.

4.

5.

แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.2 ค

14

รานขายไขแหงหนงขายไขไกไขเปดและไขนกกระทาโดยทอตราสวนของจ�านวนไขเปด

ตอจ�านวนไขไกเปน3:5อตราสวนของจ�านวนไขนกกระทาตอจ�านวนไขไกเปน2:3

จงเขยนอตราสวนของจ�านวนไขเปดตอจ�านวนไขไกตอจ�านวนไขนกกระทาของรานน

เนองจากอตราสวนของจ�านวนไขเปดตอจ�านวนไขไกเปน3:5

อตราสวนของจ�านวนไขนกกระทาตอจ�านวนไขไกเปน2:3

ค.ร.น.ของ5และ3เทากบ15

จะไดวา จ�านวนไขเปดตอจ�านวนไขไกเปน3×3:5×3=9:15

จ�านวนไขนกกระทาตอจ�านวนไขไกเปน2×5:3×5=10:15

ดงนน อตราสวนของจ�านวนไขเปดตอจ�านวนไขไกตอจ�านวนไขนกกระทา

เทากบ 9 : 15 : 10

ก�าหนดใหATMเปนรปสามเหลยมดานไมเทาโดยมอตราสวนของความยาวดานดงน

AT:TM=3:4และTM:AM=10:8

จงเขยนอตราสวนของความยาวดานตอไปน

1) AT:TM:AM

2) ความยาวดานTMตอความยาวของเสนรอบรป

1) เนองจาก AT:TM = 3:4

TM:AM = 10:8


จะไดวา AT:TM = 3×5:4×5=15:20

TM:AM = 10×2:8×2=20:16

ดงนนอตราสวนของความยาวดานAT:TM:AMเทากบ15 : 20 : 16

2) ความยาวของเสนรอบรปเทากบ15+20+16=51สวน

ดงนนอตราสวนของความยาวดานTMตอความยาวเสนรอบรปเทากบ

20 : 51

ตอบ

ตอบ

วธทำ�


3

วธทำ�


2

17

จงหาคาของmในสดสวน3:5=m:2.5

จาก 3:5 = m:2.5

จะได 35 = m

2.5

ดงนน 3×2.5 = 5×m

m = 3×2.55

=1.5

ดงนนคาของmคอ1.5

การแกโจทยปญหาเกยวกบสดสวน

พจารณาโจทยปญหาตอไปน

ปาชายเลนแหงหนงมอตราสวนของจ�านวนตนโกงกางตอจ�านวนตนล�าพเปน5:7ถาม

ตนล�าพ63ตนจะมตนโกงกางกตน

จากอตราสวนของจ�านวนตนโกงกางตอจ�านวนตนล�าพทโจทยก�าหนดคอ5:7เปนการ

เปรยบเทยบจ�านวนตนไมทงสองชนดแตมจ�านวนตนล�าพ63ตน

ดงนนหากเราตองการทราบวาในความเปนจรงนนมตนโกงกางอยทงหมดกตนโดย

อาศยสดสวนอาจท�าไดดงน

สมมตใหมตนโกงกางxตน

จะไดอตราสวนจ�านวนตนโกงกางตอจ�านวนตนล�าพเปนx:63

จากอตราสวนทก�าหนดใหสามารถน�ามาเขยนเปนสดสวนไดดงน

5:7 = x:63หรอ 57= x

63

เมอหาคาของxในสดสวน57= x

63กจะทราบวาปาชายเลนแหงนมตนโกงกางกตน

ตอบ

วธทำ�


3

การเขยนสดสวนของอตราสวนตางชนดกนนนพงระวงไววาถาจ�านวนแรกของดานซาย

บอกถงปรมาณของส�งใดจ�านวนแรกของดานขวากตองบอกถงปรมาณของส�งของชนดเดยวกน

เชน 57= x

63 5 เปนจ�านวนแรกของดานซายแสดงถงจ�านวนของตนโกงกางและ

x เปนจ�านวนแรกของดานขวาแสดงถงจ�านวนของตนโกงกาง

เชนเดยวกน

16

ในกรณทมตวแปรซงแทนจ�านวนทไมทราบคาในสดสวน เราสามารถหาจ�านวนทแทน

ตวแปรดงกลาวในสดสวนไดดงตวอยางตอไปน

จงหาคาของmในสดสวน 67= 30

m

วธท 1 หาอตราสวนทเทากนโดยใชหลกการคณ

จาก 67 = 6×5

7×5 = 30

35

และ 30m

= 3035

จะไดวา m = 35

ดงนน คาของmคอ35

วธท 2 อาศยผลการคณไขวและการแกสมการ

จาก 67 = 30

m

จะได 6×m = 7×30

m = 7×306

m = 35

ดงนน คาของmคอ35

จงหาคาของyในสดสวน 3y= 2

2

45

จาก 3y = 2

2

45

จะได 2× y = 3×2

45

2× y = 3× 145

y = 3×142×5

=4.2

ดงนนคาของyคอ4.2

วธทำ�


1

ตอบ

ตอบ

วธทำ�


2

19

ลงค�าวางแผนเพอปลกตนเขมกบตนแกวเปนแนวรว โดยปลกตนเขมสลบกบตนแกว

เปนอตราสวน5:2 เมอลงค�าปลกเสรจแลวปรากฏวามตนเขม95 ตน จงหาวา

ลงค�าปลกตนแกวทงหมดกตน

ขนท 1 ท�าความเขาใจโจทยปญหาโดยพจารณา

1) สงทโจทยถามคอลงค�าปลกตนแกวกตน

2) สงทโจทยก�าหนดคอลงค�าวางแผนเพอปลกตนเขมกบตนแกว

เปนแนวรวโดยปลกตนเขมสลบกบตนแกวเปนอตราสวน5:2

เมอลงค�าปลกเสรจแลวปรากฏวามตนเขม95ตน

ขนท 2 วางแผนแกปญหาโดยเขยนสดสวนแสดงอตราสวนโดยใหล�าดบของ

สงทเปรยบเทยบในแตละอตราสวนเปนล�าดบเดยวกน

เมอลงค�าปลกตนเขม95ตน

ใหลงค�าปลกตนแกวทงหมดaตน

เขยนสดสวนไดดงน

ขนท 3 ด�าเนนการตามแผนทวางไว

ใหลงค�าปลกตนแกวทงหมดaตน

จะได a95 = 2

5

a = 25 ×95=38

นนคอลงค�าปลกตนแกวทงหมด38ตน

วธทำ�


4

จ�านวนตนแกว

จ�านวนตนเขม

a 2

95=

5

18

การแกโจทยปญหาเกยวกบสดสวน ในทนเสนอแนวการแกปญหาโดยใชแนวคดของ

โพลยาซงม4ขนตอนดงน

ขนท 1 ท�าความเขาใจโจทยปญหา โดยพจารณา

1) สงทโจทยถาม

2) สงทโจทยก�าหนด

ขนท 2 วางแผนแกปญหา

ในกรณของการแกโจทยปญหาเกยวกบสดสวนอาจวางแผนโดยเขยนสดสวน

แสดงอตราสวนโดยใหล�าดบของสงทเปรยบเทยบในแตละอตราสวนเปนล�าดบเดยวกนดงน

ขนท 3 ด�าเนนการตามแผนทวางไวเพอหาคาตวแปร

โดยใชความรเรองสดสวนและการแกสมการ

ขนท 4 ตรวจสอบค�าตอบ


จอรจโพลยา(GeorgePolya:ค.ศ.1887-1985)เปนผทพฒนาวธการแกปญหาโดยเขยนไว

ในหนงสอ“Howtosolveit”วาการแกโจทยปญหาม4ขนตอนคอท�าความเขาใจปญหาวางแผน

การแกปญหาด�าเนนการตามแผนและการตรวจสอบค�าตอบซงสามารถน�ามาประยกตใชในการแกโจทย

ปญหาทางคณตศาสตรได

จ�านวนทหนง(สงเดยวกน)

จ�านวนทสอง(สงเดยวกน)

=

21


ใหลงค�ามทดนทงหมดเทากบaตารางวา

พนททงหมดเทากบ3+3+3+1=10สวน

อตราสวนของพนททงหมดตอพนทในการท�านาเปน10:3

จะได a540

= 103

a = 10×5403

=1,800

นนคอลงค�ามทดนทงหมด1,800ตารางวา


ถาลงค�ามพนททงหมด1,800 ตารางวา แบงพนทเพอใชในการ

ท�านาเปนจ�านวน540ตารางวา

อตราสวนของพนททงหมดตอพนทในการท�านาเปน1,800:540

หรอ10:3ซงเปนไปตามทโจทยก�าหนด

ดงนน ลงค�าทมดนทงหมด1,800ตารางวา

จากล�าดบขนตอนการแกโจทยปญหาเกยวกบสดสวนซงแสดงในตวอยางท4และ5

เมอนกเรยนฝกจนช�านาญแลว อาจแสดงวธท�าโดยไมตองแสดงรายละเอยดแตละขนตอนได

ดงตวอยางตอไปน

ก�าหนดใหFBIเปนรปสามเหลยมมอตราสวนของความยาวดานFB:BI:IFเทากบ

7:5:3ถารปสามเหลยมนมความยาวเสนรอบรป60เซนตเมตรแลวจงหาวาดาน

BIยาวกเซนตเมตร

ตอบ

วธทำ�


6

53

I

BF7

จากโจทยรปสามเหลยมFBIมความยาวรอบรป60เซนตเมตร

ใหดานBIยาวaเซนตเมตร

อตราสวนของความยาวดานBIตอความยาวรอบรปเปนa:60

จากอตราสวนของความยาวดานFB:BI:IFเปน7:5:3

20


ถาลงค�าปลกตนเขม95ตนและปลกตนแกว38ตน

อตราสวนเปรยบเทยบจ�านวนตนเขมตอจ�านวนตนแกว

เปน95:38หรอ5:2ซงเปนไปตามทโจทยก�าหนด

ดงนน ลงค�าปลกตนแกวทงหมด 38 ตน

โครงการเกษตรทฤษฎใหมตามแนวพระราชด�ารของพระบาทสมเดจพระเจาอยหว

จะจดสรรทท�ากนใหเหมาะสมโดยแบงพนทในการท�านาตอพนทปลกพชสวนและพชไร

ตอพนทสรางบอกกเกบน�าตอพนทสรางบานเรอนและถนนเปน3:3:3:1ถาลงค�า

ใชพนทในการท�านา540ตารางวาจงหาวาลงค�ามทดนทงหมดกตารางวา


1) สงทโจทยถามคอลงค�ามทดนทงหมดกตารางวา

2) สงทโจทยก�าหนดคออตราสวนของพนทในการท�านาตอพนทปลก

พชสวนและพชไรตอพนทสรางบอกกเกบน�าตอพนทสรางบานเรอน

และถนนเปน3:3:3:1



ถาพนทในการท�านาของลงค�าเปน540ตารางวา

ใหลงค�ามทดนทงหมดเทากบaตารางวา


ตอบ

วธทำ�


5

พนททงหมด

พนททใชในการท�านา

a 3+3+3+1

540=

3

23

ตอบ

พจารณาแผนผงทก�าหนดให

วธทำ�


8

ถาแผนผงนเขยนโดยใชมาตราสวน1:12,000จงหาวาเมอเดนทางจากบาน

ไปสถานต�ารวจตามแนวเสนประเปนระยะทางประมาณกกโลเมตร

มาตราสวน1:12,000เปนอตราสวนของระยะทางในแผนผงตอระยะทางจรง

หมายความวา ถาระยะทางในแผนผงยาว1 เซนตเมตร ระยะทางจรงยาว

12,000เซนตเมตร

วดระยะทางในแผนผงจากบานถงสถานต�ารวจตามแนวเสนประยาวประมาณ

12.3เซนตเมตร

ใหระยะทางจรงจากบานถงสถานต�ารวจเทากบxเซนตเมตร

อตราสวนของระยะทางในแผนผงตอระยะทางจรงเปน12.3:x


12.3x = 1

12,000

x = 12.3×12,000=147,600เซนตเมตร

เนองจาก 100 เซนตเมตร เทากบ 1 เมตร

จะได 147,600 เซนตเมตร เทากบ 147,600100

= 1,476เมตร

เนองจาก 1,000เมตร เทากบ1กโลเมตร

จะได 1,476เมตร เทากบ 1,4761,000

= 1.476กโลเมตร

ดงนนบานอยหางจากสถานต�ารวจประมาณ1.5กโลเมตร

(ตอบเปนทศนยม 1 ต�ำแหนง)

สถาน�ตำรวจโรงเรยน โรงพยาบาล

วด

บาน

22

จะไดผลบวกของสามสวนเทากบ7+5+3=15สวน

อตราสวนของความยาวดานBIตอความยาวรอบรปเปน5:15


a60

= 515

a = 5×6015

=20

ดงนน ดานBIยาว20เซนตเมตร

น�าแตงโมมสวนผสมของเนอแตงโม น�าเชอม และน�าเปลาตมสก โดยมน�าหนกดงน

อตราสวนของเนอแตงโมตอน�าเชอมเปน10:3

อตราสวนของน�าเชอมตอน�าเปลาตมสกเปน1:10

อยากทราบวาถาใชน�าเชอม45กรมจะไดน�าแตงโมกกรม

อตราสวนของเนอแตงโมตอน�าเชอมเปน 10:3

อตราสวนของน�าเชอมตอน�าเปลาตมสกเปน 1:10


จะได อตราสวนของน�าเชอมตอน�าเปลาตมสกเปน1×3:10×3=3:30

อตราสวนของเนอแตงโมตอน�าเชอมตอน�าเปลาตมสกเปน10:3:30

จากอตราสวนจะไดน�าแตงโมทงหมด10+3+30=43สวน

ถาใชน�าเชอม45กรมใหไดน�าแตงโมทงหมดaกรม


a45

= 433

a = 43×453

=645

นนคอ จะไดน�าแตงโม 645 กรม

ตอบ

ตอบ

วธทำ�


7

25

3. อตราสวนและรอยละ

3.1 อตราสวนและรอยละ


ประเภทเงนฝาก ดอกเบยรอยละ

ออมทรพย 0.75

ฝากประจ�า 3เดอน 1



ฝากประจ�า 24เดอน 1.15

อตราสวนของดอกเบยเงนฝากตอจ�านวนเงนฝากเปน1:100

พจารณาแผนปายตอไปน

ÊÓËÃÑºÊÁÒªÔ¡ÃÑºÊèÇ¹Å´ 15%

BOOK

จากตาราง เงนฝากประเภทฝาก

ประจ�า12 เดอน ไดรบดอกเบยรอยละ1

หมายความวาเมอฝากเงนจ�านวน100บาท

ครบ1ปจะไดรบดอกเบย1บาทเขยน

เปนอตราสวนไดดงน

จากแผนปายสวนลดราคาสนคาระบวา ส�าหรบ

สมาชกรบสวนลด15%หมายความวาเดมราคา100บาท

แตลดราคาให15บาทเขยนเปนอตราสวนไดดงนอตราสวน

ของจ�านวนเงนทลดตอราคาเดมเปน15:100

เรยกการเปรยบเทยบจ�านวนใดจ�านวนหนงกบ100วารอยละหรอเปอรเซนต

เชน 1 : 100 หรอ 1100

แทนดวย รอยละ 1หรอ 1%

15 : 100 หรอ 15100

แทนดวย รอยละ15หรอ 15%

เราสามารถเขยนรŒอยÅÐ a Ëร×อ a% ãนรÙ»อตราสวนä´Œเ»šน a : 100 Ëร×อ a100

การเขยนอตราสวนใดๆ ใหอยในรปรอยละ จะตองเขยนอตราสวนนนใหอยในรปทม

จ�านวนหลงของอตราสวนเปน100โดยใชหลกการคณหรอหลกการหารแลวจะไดจ�านวนแรกของ

อตราสวนเปนคาของรอยละทตองการเชน

7:20 = 35:100 กลาวไดวา 7 เปนรอยละ 35 ของ 20



10:500 = 2:100 กลาวไดวา10 เปนรอยละ 2 ของ 500

24

1. จงหาคาตวแปรในสดสวนของแตละขอตอไปน

1) 7x = 21

33 2) 6

7 = 30

m 3) 12

y = 278

4) a2.5

= 415

5) 4.8y = 6

8 6) 4.5

7 = n

28

2. เครองจกรเครองหนงผลตอปกรณคอมพวเตอรได190ชนในเวลา2ชวโมงถาเครองจกรน

ผลตอปกรณคอมพวเตอรได2,500ชนตองใชเวลากชวโมง

3. โรงเรยนแหงหนงเสยคาน�าประปาตอคาไฟฟาในเดอนมกราคม2553เปนอตราสวน2:7

ถาในเดอนนโรงเรยนเสยคาไฟฟาเปนเงน 350,000 บาท จงหาวาโรงเรยนแหงนเสยคา

น�าประปาเปนเงนกบาท

4. กลองใบหนงมอตราสวนของความสงตอความยาวตอความกวางเปน1:3:2ถากลองใบน

กวาง10เซนตเมตรกลองใบนมความจกลกบาศกเซนตเมตร

5. ก�าหนดมาตราสวน1:2,000จงหาระยะทางจรงเปนเมตรถาระยะทางทวดในแผนผงเทากบ

9เซนตเมตร

6. อตราสวนอายของชตตออายของโชคเปน3:4และอตราสวนอายของโชคตออายของชย

เปน4:5ถาชยอาย35ปแลวชตอายกป

7. รปสามเหลยมIMFมอตราสวนของIM:MFเปน4:5และFI:IMเปน9:12ถาเสน

รอบรปของรปสามเหลยมนยาว60เซนตเมตรจงหาความยาวแตละดานของรปสามเหลยมน

8. อตราสวนจ�านวนเงนของก:ข เปน3:5และอตราสวนจ�านวนเงนของข:ค เปน

2:3ถากมเงน150บาทจงหาวากมเงนตางจากคกบาท

9. ก�าหนดABCDเปนรปสเหลยมทมอตราสวนความยาวของดานดงน

AB :BC=4:3,BC:CD=2:3และCD:DA=3:1

ถาดาน CD ยาว4.5 เซนตเมตร แลวความยาวเสนรอบรปของรปสเหลยมรปนเทากบ

กเซนตเมตร

10. กลองทรงสเหลยมมมฉากใบหนงมอตราสวนของความกวางตอความยาวเปน2 :3

อตราสวนของความยาวตอความสงเปน4:5ถากลองใบนยาว24 เซนตเมตรแลวจะม

ความจกลกบาศกเซนตเมตร

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.2 ง

27

2) 8:7 = 8×1007×100

= 800700

=

8007100

≈ 114.29100

≈ 114.29%หรอรอยละ114.29

ดงนน8:7เขยนในรปรอยละไดประมาณรอยละ 114.29

จงเขยนรอยละในแตละขอตอไปนใหอยในรปอตราสวน

1) 5% 2) 12%

3) 512% 4) 5.75%

1) 5% = 5100

= 120

ดงนน5%เขยนในรปอตราสวนไดเปน 1 20

2) 12% = 12100

หรอ 325

ดงนน12%เขยนในรปอตราสวนไดเปน 3 25

3) 5

12% = 11

2 % =

112100

หรอ 11200

ดงนน5

12%เขยนในรปอตราสวนไดเปน 11

200

4) 5.75%= 5.75100

= 57510000

หรอ 23400

ดงนน5.75%เขยนในรปอตราสวนไดเปน 23 400

ตอบ

ตอบ

วธทำ�


3

26

จงเขยนอตราสวนตอไปนใหอยในรปรอยละ

1) 9:20 2) 34

1) 9:20 = 9×5:20×5

= 45:100

= 45%หรอรอยละ45

ดงนน9:20เขยนใหอยในรปรอยละไดเปนรอยละ 45

2) 34 = 3×25

4×25

= 75100

= 75%หรอรอยละ75

ดงนน 34เขยนใหอยในรปรอยละไดเปนรอยละ 75

จงเขยนอตราสวนตอไปนใหอยในรปรอยละ(ประมาณเปนทศนยมสองต�าแหนง)

1) 23

2) 8:7

1) 23 = 2×100

3×100

= 200300

=

2003100

≈ 66.67100

≈ 66.67%หรอรอยละ66.67

ดงนน 23เขยนในรปรอยละไดประมาณรอยละ 66.67

วธทำ�


1

ตอบ

วธทำ�


2

29

โจทยปญหาเกยวกบก�าไรและขาดทน

จกซอสนคาชนดหนงราคา80 บาท แลวขายตอในราคา100 บาท จงหาวาจกขาย

สนคานไดก�าไรรอยละเทาไร


1) สงทโจทยถามคอขายสนคานไดก�าไรรอยละเทาไร

2) สงทโจทยก�าหนดคอราคาทนของสนคาเปนเงน80บาทขาย

ไปราคา100บาท



ใหการขายสนคาไดก�าไรเปนรอยละa

วธทำ�


1

ก�าไร

ราคาทน

a100

=100-80

80


ใหขายสนคานไดก�าไรรอยละa

อตราสวนก�าไรตอราคาทนเปนa:100

ขายสนคานไดก�าไรเปนเงน100-80=20บาท

อตราสวนของก�าไรตอราคาทนเปน20:80

จะได a100

= 2080

a = 20×10080

a = 25

นนคอขายสนคาไดก�าไรรอยละ25

28


1. จงเขยนอตราสวนในแตละขอตอไปนใหอยในรปรอยละ

1) 2 :5 2) 15:10 3) 1:500

4) 825

5) 18200

6) 5500

2. จงเขยนอตราสวนในแตละขอตอไปนใหอยในรปรอยละ

1) 5:3 2) 7:12 3) 3:11

4) 58 5) 5

9 6) 15

7

3. จงเขยนรอยละในแตละขอตอไปนใหอยในรปอตราสวน

1) 300% 2) 2

38% 3) 250%

4) 2

34% 5) 17% 6) 12.8%

7) 23% 8) 0.25% 9) 32.5%

4. การแกโจทยปญหารอยละ

ใหนกเรยนพจารณาโจทยปญหาตอไปน

บรษทขายเครองส�าอางแหงหนงด�าเนนการขายโดยวธขายตรง ถาบรษทขายสนคา

ชนดหนงใหกบพนกงานขายราคาชนละ80บาทและพนกงานขายขายตอใหลกคาราคาชนละ

100บาทถาพนกงานขายคนนบอกวาขายไดก�าไรรอยละ20นกเรยนคดวาค�าพดนถกหรอไม

อยางไร

พนกงานขายซอเครองส�าอางชนนราคา80บาท

และขายตอราคา100บาทจะไดก�าไร100-80=20บาท

แสดงวาขายไดก�าไร20บาทจากราคาทน80บาทจงไมใชก�าไรรอยละ20ค�าพด

ดงกลาวจงไมถกตอง

การค�านวณวาไดก�าไรหรอขาดทนรอยละเทาไรตองคดจากทน100บาทเสมอขอให

นกเรยนศกษาจากบทเรยนตอไปน

1.

2.

3.

4.

31


วธท 1

ใหเครองคดเลขมราคาตนทนเครองละaบาท

ขายเครองคดเลข80เครองไดเงน28,600บาท

จะไดวาขายเครองคดเลขเครองละ 28,60080

=357.50บาท

อตราสวนราคาตนทนตอราคาขายเครองคดเลขเปนa:357.50

เมอขายไดก�าไร10%

หมายความวาราคาตนทนเปน100บาทไดก�าไร10บาท

อตราสวนราคาตนทนตอราคาขายเครองคดเลขเปน

100:110

จะได a357.50

= 100110

a = 100×357.50110

a = 325

นนคอเครองคดเลขนตนทนราคาเครองละ325บาท

วธท 2


ราคาตนทนทงหมดของเครองคดเลข80เครองเทากบ80aบาท

อตราสวนราคาตนทนทงหมดตอราคาขายทงหมดเปน80a:28,600

เมอขายไดก�าไร10%หมายความวาราคาตนทน100บาทไดก�าไร

10บาท

อตราสวนราคาตนทนตอราคาขายเปน100:110

จะได 80a28,600

= 100110

a = 100×28,600110×80

a = 325

นนคอเครองคดเลขนตนทนราคาเครองละ325บาท

30


ถาการขายครงนไดก�าไร25%

จะไดก�าไรคดเปนเงน 25100

×80=20บาท

เงนจ�านวนนเทากบเงนก�าไรซงค�านวณจาก100-80=20บาท

ตามทโจทยก�าหนด

ดงนน จกขายสนคาไดก�าไรรอยละ 25

อมพรขายเครองคดเลข80เครองเปนเงน28,600บาทไดก�าไร10%จงหาวา

เครองคดเลขนตนทนราคาเครองละกบาท


1) สงทโจทยถามคอราคาตนทนของเครองคดเลขแตละเครอง

2) สงทโจทยก�าหนด คอ ขายเครองคดเลข80 เครอง เปนเงน

28,600บาทไดก�าไร10%



การขายครงนไดก�าไร10%


ตอบ

วธทำ�


2

ราคาตนทน(ตอเครอง)

ราคาขาย(ตอเครอง)

a28,60080

100110

=

วธท 1

ราคาตนทนทงหมด

ราคาขายทงหมด

100110

80a28,600

=

วธท 2

33

ตอบ

ตอบ

ใหขายวทยราคาเครองละyบาท

อตราสวนของราคาตนทนตอราคาขายวทยเปน5,000:y

จะได 5,000y

= 100110

y = 5,000×110100

y = 5,500

ดงนนจะตองขายวทยราคาเครองละ5,500บาทจงจะไดก�าไร10%

โจทยปญหาเกยวกบการลดราคา

สภกษรซอวทยเครองหนงไดสวนลด15% ของราคาทปดไว ซงคดเปนเงนสวนลด

ทงหมด600บาทจงหาราคาทปดไว

ใหปดราคาวทยเปนเงน a บาท

ไดรบสวนลดทงหมด 600 บาท

อตราสวนของราคาทปดไวตอเงนสวนลดเปนa:600

ไดรบสวนลด15%ของราคาทปดไว

หมายความวา ปดราคาวทยไว100บาทจะไดรบสวนลด15บาท

อตราสวนของราคาทปดไวตอเงนสวนลดเปน100:15

จะได a600

= 10015

a = 100×60015

a = 4,000

นนคอปดราคาวทยไว4,000บาท

วธทำ�


4

32


ถาราคาตนทนเครองละ325บาทและขายในราคาเครองละ357.50บาท

จะไดก�าไรเปนเงน357.50-325=32.50บาท

คดเปนก�าไรรอยละ32.50×100325

=10ตามทโจทยก�าหนด

ดงนน เครองคดเลขนตนทนราคาเครองละ 325บาท

จากล�าดบขนตอนการแกโจทยปญหารอยละซงแสดงในตวอยางท1และ2เมอนกเรยน

ฝกจนช�านาญแลว อาจแสดงวธท�าโดยไมตองแสดงรายละเอยดของแตละขนตอนได ดงตวอยาง

ตอไปน

ขายวทยเครองหนงราคา4,500บาทขาดทน10%ถาตองการขายใหไดก�าไร10%

จะตองขายวทยเครองนราคาเครองละกบาท

ใหวทยเครองนมราคาตนทนเครองละaบาท

ขายราคาเครองละ4,500บาท

อตราสวนราคาตนทนตอราคาขายวทยเปนa:4,500

แตขายขาดทน10%

หมายความวา ราคาตนทนเปน100บาทขาดทน10บาท

อตราสวนของราคาตนทนตอราคาขายวทยเปน100:90

จะได a4,500

= 10090

a = 100×4,50090

a = 5,000

นนคอ วทยเครองนมราคาตนทนเครองละ5,000บาท

ตองการใหไดก�าไร10%

หมายความวา ราคาตนทนเปน100บาทไดก�าไร10บาท

อตราสวนของราคาตนทนตอราคาขายวทยเปน100:110

ตอบ

วธทำ�


3

35

ตอบ

โจทยเกยวกบภาษมลคาเพม

รานคาแหงหนงก�าหนดราคาขายสนคาโดยคดจากราคาทตงไวบวกกบภาษมลคาเพม

7%ของราคาทตงไวถาราคาทตงไวของสนคาชนดหนงเปนเงน2,400บาทจะตอง

ก�าหนดราคาขายสนคานกบาท

ก�าหนดใหราคาขายสนคานเทากบaบาท

ตงราคาไว2,400บาท

อตราสวนของราคาขายตอราคาทตงไวเปนa:2,400

เนองจากคดภาษมลคาเพม7%ของราคาทตงไว

หมายความวาอตราสวนของภาษมลคาเพมตอราคาทตงไวเปน7:100

จะได อตราสวนของราคาขายตอราคาทตงไวเปน107:100

จะได a2,400

= 107100

a = 107×2,400100

a = 2,568

ดงนนรานคาแหงนจะตองก�าหนดราคาขายสนคาน2,568บาท

วธทำ�


6

คณตคดสนก

หางสรรพสนคาแหงหนงซอโทรศพทมอถอในราคาเครองละ3,000บาทและตดราคาขายเครองละ6,000บาทแต

เนองจากสภาพเศรษฐกจไมดจงลดราคาเหลอ4,800บาทและลดราคาอกครงเหลอ3,840บาทแตยงขายไมไดจงลด

ราคาอกครงจงหาวาการลดราคาครงนจะยงคงไดก�าไรหรอขาดทนหรอเทาทนถาการลดราคาครงนมจ�านวนเปอรเซนต

ทลดราคาเทากบจ�านวนเปอรเซนตของการลดราคาของสองครงทผานมา

34

รานคาแหงหนงปดราคาขายสนคาชนดหนงในราคา2,000บาทถาลดราคา5%จะท�าให

ไดก�าไร10%จงหาราคาทนของสนคาน

ใหขายสนคานราคาaบาท

อตราสวนของราคาขายตอราคาทปดไวของสนคานเปนa:2,000

ขายสนคานโดยลดราคา5%

อตราสวนของราคาขายตอราคาทปดไวของสนคานเปน95:100

จะได a2,000

= 95100

a = 95×2,000100

a = 1,900

นนคอ ขายสนคานราคา1,900บาท

ใหราคาตนทนของสนคานเทากบyบาท

อตราสวนของราคาตนทนตอราคาขายเปนy:1,900

การขายครงนไดก�าไร10%

หมายความวาราคาตนทนเปน100บาทก�าไร10บาท

อตราสวนของราคาตนทนตอราคาขายเปน100:110

จะได y 1,900

= 100110

y = 100×1,900110

y ≈ 1,727.27

ดงนน ราคาตนทนของสนคานประมาณ1,727.27บาท ตอบ

วธทำ�


5

37

เจฝากเงนทธนาคารแหงหนงเปนเงน50,000บาทธนาคารคดอตราดอกเบยใหรอยละ

1.75ตอปและตองเสยภาษดอกเบย15%ถาเจฝากครบ2ปแลวตองการถอนเงน

ทงหมดเขาจะไดรบเงนเทาไร

วางแผนแกปญหาโดยเขยนแผนผงแสดงแนวคดไดดงน

ให เมอครบ1ปเจไดรบดอกเบยaบาทและเสยภาษดอกเบยbบาท

เมอครบ2ปเจไดรบดอกเบยcบาทและเสยภาษดอกเบยdบาท

วธทำ�


8

เงนตนปท1

เงนตนปท2

ดอกเบยปท1

ดอกเบยปท2

ภาษดอกเบยปท1

ภาษดอกเบยปท2

ดอกเบยปท1หลงหกภาษ

ดอกเบยปท2หลงหกภาษ

เงนทไดรบทงหมดเมอครบ2ป

50,000บาท

50,000+743.75=50,743.75

888.02-133.20=754.82

50,743.75+754.82=51,498.57

=

=

=

=

875-131.25=743.75

a=875

c ≈888.02

b=131.25

d ≈133.20

a50,000

c50,743.75

b875

d888.02

1.75100

1.75100

15100

15100

36

รานคาแหงหนงซอสนคามาในราคา2,000บาทตองการขายใหไดก�าไร10%รานคา

จงก�าหนดราคาขายโดยคดภาษมลคาเพมอก7%ของราคาขายทไดก�าไร10%จะตอง

ก�าหนดราคาขายสนคานกบาทจงจะไดก�าไรตามทตองการ

ใหราคาทยงไมรวมภาษเปนxบาทและสนคามราคาทน2,000บาท

ตองการขายใหไดก�าไร10%ของราคาทน

จะได x 2,000

= 110100

x = 110×2,000100

x = 2,200

นนคอ ราคาทยงไมรวมภาษเทากบ2,200บาท

ใหราคาขายทรวมภาษแลวเปนyบาทเมอคดภาษมลคาเพมอก7%

จะได y 2,200

= 107100

y = 107×2,200100

y = 2,354

ดงนน ถาตองการก�าไร10%ตองก�าหนดราคาขายสนคาน

เทากบ2,354บาท ตอบ

วธทำ�


7


เมอฝากเงนไวกบธนาคารธนาคารจะใหดอกเบยโดยก�าหนดอตราดอกเบย เปนรอยละตอปแตอาจ

ก�าหนดวาระทครบก�าหนดเปน3,6,12เดอนหรอมากกวาการคดดอกเบยทถกตองจะตองคดปละ365วน

(ทงนไมวาปปฏทนทฝากนนจะม365หรอ366วนกตาม)ในกรณฝากเงนเปนเวลา3หรอ6 เดอนใหใช

จ�านวนวนใน3เดอนหรอ6เดอนมาค�านวณเชนการคดดอกเบยของเงนฝาก4,000บาทในระยะเวลา3เดอน

(91วน)อตราดอกเบยรอยละ0.75ตอปค�านวณดอกเบยไดดงน

ดอกเบยทไดรบเปนเงน ≈7.48บาท

ทมา:การค�านวณดอกเบยฝากประจ�า3เดอนโดยไมหกภาษดอกเบยของธนาคารไทยพาณชยณวนท23สงหาคม2553

4,000บาท×91วน×0.75365วน×100

39

จะไดวาปท2เจตองเสยภาษดอกเบยเปนเงนประมาณ133.20บาท

นนคอ เมอครบ2ปเจไดรบดอกเบยหลงหกภาษเปนเงนประมาณ

888.02-133.20=754.82บาท

ดงนน เมอเจฝากเงนครบ2ปเจจะไดรบเงนทงหมดประมาณ

50,743.75+754.82=51,498.57บาท

การค�านวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา

ภาษเปนรายไดส�าคญอยางหนงของรฐทน�ามาใชในการพฒนาประเทศและใหบรการ

ตางๆแกประชาชนภาษทรฐเกบจากประชาชนมหลายประเภทเชนภาษมลคาเพมภาษสรรพสามต

ภาษศลกากรภาษเงนได เปนตนซงผมรายไดตามทกฎหมายก�าหนดจะตองเสยภาษเงนไดตาม

หนาทของพลเมองทดหลกการค�านวณภาษเงนไดบคคลธรรมดาในปหนงๆ(มกราคม-ธนวาคม

ของปเดยวกน)เปนดงน

1) ค�านวณเงนไดสวนทตองน�ามาประเมน เพอเสยภาษตามทกฎหมายก�าหนดทงน

เรยกเงนจ�านวนนวา“เงนไดพงประเมน”

2) หกคาใชจายจากเงนไดพงประเมนตามทกฎหมายก�าหนด

3) หกคาลดหยอนจากเงนไดพงประเมนทหกคาใชจายแลวเรยกเงนจ�านวนนวา

“เงนไดสทธ” ซงตองน�ามาค�านวณภาษทตองเสยใหแกรฐตามอตราทก�าหนดไวในกฎหมาย

พ.ศ.2557-2558ดงตอไปน

ตารางอตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา

เงนไดสทธ (บาท)เงนไดสทธ

(จ�านวนสงสดของขน)

อตราภาษ

รอยละ

ภาษในแตละ

ขนเงนได

ภาษสะสมสงสด

ของขน

1-150,000 150,000 ยกเวน 0 0

150,001-300,000 150,000 5 7,500 7,500

300,001-500,000 200,000 10 20,000 27,500

500,001-750,000 250,000 15 37,500 65,000

750,001-1,000,000 250,000 20 50,000 115,000

1,000,001-2,000,000 1,000,000 25 250,000 365,000

2,000,001-4,000,000 2,000,000 30 600,000 965,000

4,000,001ขนไป 35

ตอบ

38

ด�าเนนการตามแผนทวางไวดงน

ใหเมอครบ1ปเจไดรบดอกเบยเปนเงนaบาท

จะได a50,000

= 1.75100

a = 1.75×50,000100

a = 875

จะไดวา เมอครบ1ปเจไดรบดอกเบยทงหมดเปนเงน 875 บาท

ใหปท1เจตองเสยภาษดอกเบยดวยอตรา15%เปนเงน b บาท

จะได b875

= 15100

b = 15×875100

b = 131.25

จะไดวาปท1เจตองเสยภาษดอกเบยเปนเงน131.25บาท

นนคอ เมอครบ1ปเจไดรบดอกเบยหลงหกภาษเปนเงน

875-131.25=743.75บาท

ใหเมอครบ2ปเจไดรบดอกเบยเปนเงนcบาท

เงนตนปท2เทากบ50,000+743.75=50,743.75บาท

จะได c 50,743.75

= 1.75100

c = 1.75×50,743.75100

c ≈ 888.02

จะไดวา เมอครบ2ปเจไดรบดอกเบยทงหมดเปนเงนประมาณ

888.02บาท

ใหปท2เจตองเสยภาษดอกเบยดวยอตรา15%เปนเงนdบาท

จะได d 888.02

= 15100

d = 15×888.02100

d ≈ 133.20

41

1. หางสรรพสนคาแหงหนงประกาศลดราคาสนคาทกชนด15% ถาวนยไดรบสวนลดเมอซอ

พดลมคดเปนเงน450บาทจงหาวาหางสรรพสนคานตดราคาขายพดลมเครองนกบาท

2. ในพ.ศ.2550บรษทแหงหนงไดรบผลก�าไรนอยกวาพ.ศ.2551อย12%ถาในพ.ศ.2551

ไดรบผลก�าไร23,000,000บาทจงหาวาพ.ศ.2550บรษทแหงนไดรบผลก�าไรกบาท

3. ซอไขมารอยละ210บาทขายหมดไปฟองละ3บาทจะไดก�าไรกเปอรเซนต

4. แมคาซอสบปะรดมาจากไร280ผลราคาผลละ5บาทเสยคารถบรรทก400บาทปรากฏวา

กอนจะขายหมดมสบปะรดเสยคดเปน15%ของทงหมดสวนทขายไดขายผลละ10บาท

จงหาวาขายสบปะรดทดไปทงหมดไดก�าไรหรอขาดทนรอยละเทาไร

5. พอคาขายสนคาชนดหนงราคา3,800บาทปรากฏวาขาดทน5%ถาพอคาตองการก�าไร

10%เขาตองขายสนคานราคากบาท

6. พอคาปดราคาขายตเยนหลงหนงเปนเงน7,800บาทโดยคดก�าไร30%ถาพอคาลดราคาให

10%ของราคาทปดไวเขาจะยงคงไดก�าไรกเปอรเซนต

7. มน�าเกลอ10% โดยน�าหนก จ�านวน3,000 กรม จะตองเตมน�าอกกกรม จงจะท�าใหได

น�าเกลอ6%

8. พอคาปดราคาสนคาชนดหนงไวสงกวาตนทน20%แตถาลดราคาขายลง35บาทพอคาจะ

ไดก�าไรเพยง10%ราคาตนทนของสนคานกบาท

9. แมคาปดราคาสนคาชนดหนงสงกวาตนทน25%แตตอมาลดใหผซอ120บาทซงขาดทน

5%ถาตองการก�าไร10%จะตองขายสนคานกบาท

10. ตนทนโทรศพทมอถอราคาเครองละ6,000บาทจะตองปดราคาขายโทรศพทมอถอเครองน

ในราคาเครองละกบาทเมอลดใหผซอ20%แลวยงคงไดก�าไร30%

11. ในการปดราคาขายสนคาของรานคาแหงหนง ราคาทปดไวจะเปนราคาทไดจากราคาสนคา

ทตงไวรวมกบภาษมลคาเพมทคดจาก7%ของราคาสนคาทตงไวถาตงราคาไว450บาท

จะตองปดราคาขายสนคานนกบาท

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.


40

ดนยมเงนไดสทธ324,500บาทถกหกภาษณทจาย10,000บาทจงหาวาเมอครบป

ทตองยนแบบแสดงรายการภาษเงนไดดนยจะตองช�าระภาษเพมหรอรบเงนภาษทช�าระ

ไวเกนคนเปนจ�านวนกบาท

เงนไดสทธ150,000บาทแรกไดรบการยกเวนภาษ

เงนไดสทธ150,000บาทถง300,000บาทเสยภาษ5%

แสดงวา เงนไดสทธทตองเสยภาษ5%

เปนเงน300,000-150,000=150,000บาท

คดเปนเงนภาษ 5100

×150,000=7,500บาท

เงนไดสทธ300,000บาทถง324,500บาทเสยภาษ10%

แสดงวา เงนไดสทธทตองเสยภาษ10%

เปนเงน 324,500-300,000=24,500บาท

คดเปนเงนภาษ 10100

×24,500=2,450บาท

จะไดวา เงนภาษทตองช�าระมคาเทากบ7,500+2,450=9,950บาท

เนองจากดนยถกหกภาษณทจายเปนเงน10,000บาท

ดนยจะตองรบเงนภาษทช�าระภาษไวเกนคน

10,000-9,950=50บาท

ดงนน ดนยจะไดรบเงนภาษทช�าระไวเกนคน50บาท ตอบ

วธทำ�


9

43

เสรมทกษะเชงเทคโนโลย

สขภาพครอบครวของฉน

จากรายงานทางการแพทยพบวา ความอวนเปนสาเหตของโรคหลายชนด เชน

ขอกระดกเสอม ปวดเขา ระบบหายใจขดของ ไขมนในเลอดสง ความดนโลหตสง มะเรง

เปนตนดงนนถาเราทราบวาสมาชกของครอบครวเรามรางกายทอวนหรอน�าหนกมากเกน

ไป จะท�าใหมความเสยงสงตอการเปนโรคตางๆ จะไดหาทางปองกน ซงนกเรยนสามารถ

ตรวจสอบสขภาพเบองตนของตวเองและสมาชกในครอบครวดวยวธงายๆ โดยปฏบตตาม

ขนตอนตอไปน

1) หาดชนบงชเพอประเมนความอวนโดยใชอตราสวนดงน

ดชนมวลกาย= น�าหนกเปนกโลกรมสวนสงเปนเมตร2

2) น�าคาดชนมวลกายทค�านวณไดในขอ1)เทยบกบตารางดานลาง

ตวอยางเชน ครวนดหนก52กโลกรมสง159เซนตเมตรหรอ1.59เมตร

ดชนมวลกาย= 52(1.59)2

= 522.5281

≈20.5688

จะไดวา ดชนมวลกายของครวนดประมาณ20.57

เมอเทยบดชนมวลกายในตารางครวนดมน�าหนกพอเหมาะความเสยงตอการ

เปนโรคอยในเกณฑปกตถงต�า

(มควำมสำมำรถในกำรสอสำร กำรเชอมโยงควำมรตำงๆ ทำงคณตศำสตรกบศำสตรอนๆ)

ดชน�มวลกาย สภาวะความอวน ความเสยงตอการเปนโรค

ต�ากวา18.5 น�าหนกนอยหรอผอม ปานกลาง-สง

18.5-24.9 น�าหนกพอเหมาะ ปกต-ต�า

25.0-29.9 น�าหนกมากเกนไป เพมขนจากปกต

30.0-34.9 อวน ปานกลาง

มากกวา35.0 อวนมาก รนแรง-รนแรงมาก

42

12. ถาตนทนของสนคาชนหนงเปนเงน250บาทตองการขายสนคานใหไดก�าไร20%จะตอง

ตงราคาสนคาไวกบาท และเมอจะปดราคาขายสนคา ซงไดจากราคาสนคาทตงไวรวมกบ

ภาษมลคาเพมทคดจาก7%ของราคาสนคาทตงไวจะตองปดราคาขายไวกบาท

13. ผผลตสนคาปดราคาขายสนคาชนหนงเปนเงน1,926บาทซงราคาทปดนเปนราคาทรวม

กบภาษมลคาเพมทคดจาก7%ของราคาสนคานนเมอกงซอสนคานในราคาทปดไวเงน

จ�านวนนคดเปนราคาสนคานนกบาทและเปนภาษมลคาเพมกบาทถาตนทนการผลตสนคา

ชนนเปนเงน1,406.25บาทผผลตไดก�าไรกเปอรเซนต

14. อารมฝากเงนไวกบธนาคารแหงหนง96,000บาทเปนเวลา1ปอตราดอกเบยรอยละ1.75

ตอปและตองเสยภาษดอกเบยเงนฝากรอยละ15เมอฝากครบ1ปอารมจะไดรบดอกเบย

กบาท

15. กานดาฝากเงนไวกบธนาคารแหงหนง100,000บาทอตราดอกเบยรอยละ1.75ตอปเมอ

ฝากครบ1ปอตราดอกเบยลดลงเหลอรอยละ1.25ตอปถกหกภาษดอกเบยรอยละ15

เมอฝากครบ2ปกานดาจะมเงนในบญชกบาท

16. นายทองดท�างานในบรษทแหงหนง มเงนไดสทธ344,250 บาท เมอครบปทจะตองยน

แบบแสดงรายการภาษเงนไดเขาจะตองช�าระภาษเงนไดกบาท

17. นายทองกอนเปนผจดการบรษทแหงหนงมเงนไดสทธ825,520บาทเมอครบปทจะตอง

ยนแบบแสดงรายการภาษเงนไดเขาจะตองช�าระภาษเงนไดกบาท

18. นางทองมวนท�างานทธนาคารแหงหนงมเงนไดสทธ580,000บาทถกหกภาษณทจาย

3,000 บาท จงหาวาเมอครบปทตองยนแบบแสดงรายการภาษเงนได เขาจะตองช�าระ

ภาษเพมหรอไดรบเงนภาษทช�าระไวเกนคนกบาท

19. นายทองใบเปนขาราชการมเงนไดสทธ588,280บาทถกหกภาษณทจาย5,000บาท

จงหาวาเมอครบปทตองยนแบบแสดงรายการภาษเงนได เขาจะตองช�าระภาษเพมเตม

หรอรบเงนภาษทช�าระไวเกนคนกบาท

20. นางทองค�า มเงนไดสทธ1,000,000 บาท ทกสนเดอนเขาจะตองถกหกภาษ ณ ทจาย

เดอนละ2,000บาทเมอครบปเขาตองยนแบบแสดงรายการภาษเงนไดจงหาวาเขาจะตอง

ช�าระภาษเพมเตมหรอรบเงนภาษทช�าระไวเกนคนกบาท

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

45

กจกรรมเสรมทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร

(มควำมสำมำรถในกำรใหเหตผล กำรสอควำมหมำยทำงคณตศำสตร กำรเชอมโยงควำมรตำงๆ

ทำงคณตศำสตร)

อตราสวนทอง

ประมาณ2,000 ป ทผานมา สถาปนกและศลปนไดคนพบรปสเหลยมผนผาทอง

ซงเมอค�านวณอตราสวนระหวางความยาวกบความกวางจะเปน1.618033:1(1.618033

เปนคาประมาณ) เชน บตรประจ�าตวประชาชน มความยาว8.6 เซนตเมตร ความกวาง

5.4เซนตเมตรมอตราสวนความยาวตอความกวางเปน1.592:1(1.592เปนคาประมาณ)

ซงเปนจ�านวนทใกลเคยงกบอตราสวนทอง ถาใชคาประมาณโดยการปดเศษเปนทศนยม

1ต�าแหนงจะได1.6:1

กจกรรม

ใหนกเรยนส�ารวจหรอสบคนขอมลเกยวกบสถาปตยกรรมทมชอเสยงในทองถน

ของนกเรยนเชนศาลากลางโบสถศาลหลกเมองเปนตนแลวค�านวณอตราสวนความยาว

ของฐานตอความสงวาใกลเคยงกบอตราสวนทองหรอไม

แบบฝกหดประจ�าหนวยการเรยนรท 1

1. สมหนก5ขดเงาะหนก2กโลกรมจงเขยนอตราสวนของน�าหนกของสมตอน�าหนกของเงาะ

2. พมเงนxบาทนองมเงนนอยกวาสองเทาของพอย8บาทจงเขยนอตราสวนจ�านวนเงนของ

พตอจ�านวนเงนของนอง

3. จงแสดงใหเหนวาอตราสวนทก�าหนดใหในแตละขอตอไปนเปนอตราสวนทเทากนหรอไม

1) 12:13และ6:7 2) 15:17และ45:51

3) 16:17และ8:3 4) 19:20และ58:60

1.

2.

3.

44

ใหนกเรยนน�าน�าหนกและสวนสงของสมาชกทกคนในครอบครวมาหาดชนมวลกาย

พรอมทงน�ามาเปรยบเทยบกบตารางเพอตรวจสอบดความเสยงตอการเปนโรคโดยปฏบต

ตามขนตอนตอไปน

1) เปดโปรแกรมMicrosolfExcel

2) ทเซลA1,B1,C1,D1,E1และF1พมพขอความชอ-สกลน�าหนก(กก.)

สวนสง(ม.)ดชนมวลกายความเสยงตอการเปนโรคและแนวทางปฏบตเพอ

ลดความเสยงตามล�าดบ

3) พมพชอ-สกลพรอมน�าหนกและสวนสงของสมาชกทกคนในครอบครว

4) ทเซลD2พมพสตรการหาดชนมวลกายโดยพมพ=B2/C2^2

5) ใหคดลอกสตรในขอ4) ไปยงเซลD3,D4,...(ตามจ�านวนสมาชกของครอบครว)

6) น�าคาดชนมวลกายของสมาชกแตละคนเทยบกบตารางแลวพมพความเสยงตอ

การเปนโรคของสมาชกแตละคนในเซลE2,E3,...(ตามจ�านวนสมาชกของครอบครว)

7) น�าขอมลทงหมดใหสมาชกทกคนของครอบครวพจารณา ส�าหรบสมาชกทอย

ในเกณฑเสยงใหหาแนวทางการปฏบตเพอลดความเสยงและพมพแนวทางการปฏบตนน

ทเซลF2,F3,...(ตามจ�านวนสมาชกของครอบครว)

8) พมพ(PRINT)ขอมลทงหมดสงครผสอน

46

4. จงเขยนอตราสวนซงเทากบอตราสวน36:64มาอก5อตราสวน

5. ก�าหนดx:y=7:3และy:z=18:36จงเขยนอตราสวนของx:y:z

6. กตตตดเหลกเสนหนงออกเปน3เสนโดยทความยาวของเหลกเสนทหนงตอความยาวของ

เหลกเสนทสองตอความยาวของเหลกเสนทสามเปน 12 : 1 : 3

2 ถาเหลกเสนทสองยาว

4ฟตแลวเหลกเสนนกอนตดยาวกฟต

7. ถาp-58

= 74แลวจงหาคาของp+2

8. เจเลยงสตวไว3ชนดคอเปดไกและหมเปนอตราสวนดงนจ�านวนเปดตอจ�านวนไกเปน

7:8และจ�านวนหมตอจ�านวนไกเปน5:6ถาเขาเลยงสตวทงสามชนด4,745ตวจงหาวา

เจเลยงเปดมากกวาหมกตว

9. รปสเหลยมคางหมรปหนงมอตราสวนของความสงตอความยาวของดานคขนานสองดานเปน

2:3:5ถารปนมความสง10เซนตเมตรพนทของรปสเหลยมนเทากบกตารางเซนตเมตร

10. แทงไมทรงสเหลยมมมฉากอนหนง มอตราสวนของความยาวตอความกวางเปน 3 : 2

และอตราสวนของความกวางตอความสงเปน3:5ถาปรมาตรของแทงไมนเทากบ4,320

ลกบาศกเซนตเมตรจงหาความกวางความยาวและความสงของแทงไมน

11. วทยเครองหนงปดราคา8,500บาทถารานลดใหผซอเงนสด10%แลวยงไดก�าไร20%

รานนซอวทยมาราคากบาท

12. เจฝากเงนไวกบธนาคารเปนจ�านวน250,000บาทธนาคารคดดอกเบยในอตรารอยละ1.75

ตอปและหกภาษดอกเบยรอยละ15เมอครบ2ปเขาจะมเงนในบญชทงหมดกบาท

13. รานคาปดราคาขายสนคาชนดหนงเปนเงน5,564บาทซงราคานรวมกบภาษมลคาเพม7%

ของราคาสนคานนจงหาวา

1) ผซอจะตองจายเปนคาภาษมลคาเพมกบาท

2) ถาตนทนของสนคานเปนเงน4,000บาทรานคาจะไดก�าไรกเปอรเซนต

14. วนดมเงนไดสทธ900,000บาทจงหาวาเมอครบปทจะตองยนแบบแสดงรายการภาษเงนได

วนดจะตองช�าระภาษเปนเงนกบาท

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

คณิตศาสตร์ ม....

Documents