หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน...

หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน

ตามมาตรฐานการเรยนรและตวชวดกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร (ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2560)ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551

คณตศาสตร

ชนมธยมศกษาปท 5

ผเรยบเรยง ดร.สนทรย ปาลวฒนชย

ผตรวจ รศ.นงนช สขวาร

ผศ. ดร.สชย ตนยอชฌาวฒ

ยพด มงคลจนดาวงศ

บรรณาธการ ทรงวทย สวรรณธาดา

หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน

คณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 5

จดทำ�โดย

สงธนาณตสงจาย ไปรษณยล�ดพร�ว ในนาม บรษท แมคเอดดเคชน จำ�กด9/99 อาคารแมค ซอยลาดพราว 38 ถนนลาดพราว แขวงจนทรเกษม เขตจตจกร กรงเทพฯ 10900 โทร. 0-2512-0661, 0-2938-2022-7 แฟกซ 0-2938-2028www.MACeducation.com

พมพท : บรษท พมพด จำากด

ผเรยบเรยง ดร.สนทรย ปาลวฒนชย

ผตรวจ รศ.นงนช สขวาร

ผศ. ดร.สชย ตนยอชฌาวฒ

ยพด มงคลจนดาวงศ

บรรณาธการ ทรงวทย สวรรณธาดา

พมพครงท 1จำ�นวน 15,000 เลมสงวนลขสทธ : กมภ�พนธ 2562สงวนลขสทธต�มกฎหม�ย ห�มลอกเลยน ไมว�จะเปนสวนหนงสวนใด ของหนงสอเลมน นอกจ�กจะไดรบอนญ�ตเปนล�ยลกษณอกษร

ตามมาตรฐานการเรยนรและตวชวดกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร (ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2560)ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551

ขอมลทางบรรณานกรมของสำานกหอสมดแหงชาต

สนทรย ปาลวฒนชย.

หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5.

--กรงเทพฯ : แมคเอดดเคชน, 2562.

168 หนา.

1. คณตศาสตร--การศกษาและการสอน (มธยมศกษา).

I. ชอเรอง.

507

ISBN 978-616-274-987-2

คำ�ชแจง

ตามทกระทรวงศกษาธการโดยสำานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐานไดดำาเนนการ

ทบทวนหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 โดยในระยะแรกใหปรบปรง

มาตรฐานการเรยนรและตวชวด กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร วทยาศาสตร และสาระภมศาสตร

ในกลมสาระการเรยนรสงคมศกษา ศาสนา และวฒนธรรม สำาหรบใชในปการศกษา 2561 ในชน

ประถมศกษาปท 1 และ 4 และชนมธยมศกษาปท 1 และ 4 ปการศกษา 2562 ใหใชในชนประถมศกษา

ปท 1, 2, 4 และ 5 และชนมธยมศกษาปท 1, 2, 4 และ 5 และตงแตปการศกษา 2563 เปนตนไปใหใช

ในทกชนเรยน ซงการปรบหลกสตรครงนมเปาหมายสำาคญเพอใหโรงเรยนสามารถจดกระบวนการเรยนร

ทจะชวยใหผเรยนมความคดรเรมสรางสรรค สามารถวเคราะหปญหาหรอสถานการณไดอยางรอบคอบ

สามารถใชเทคโนโลยทเหมาะสมในการบรณาการกบความรทางดานวทยาศาสตรและคณตศาสตร

เพอแกปญหาหรอพฒนาดานกระบวนการออกแบบเชงวศวกรรมทนำาไปสการคดคนสงประดษฐหรอ

สรางสรรคนวตกรรม นอกจากนยงใหเกดการรเรองภมศาสตร (Geo-literacy) ทงดานความสามารถ

ทางภมศาสตร กระบวนการทางภมศาสตร และทกษะทางภมศาสตร เพอใหมความรความเขาใจไดอยาง

ถกตองและนำาความรไปประยกตใชในการดำาเนนชวต

ดวยตระหนกถงความสำาคญของการปรบเปลยนขางตน บรษท แมคเอดดเคชน จำากด จงได

มอบหมายใหผเชยวชาญดานหลกสตร ดานการพฒนาสอการเรยนร และดานการวดและประเมนผล

ไดปรบปรงพฒนาหนงสอเรยนใหสอดคลองกบมาตรฐานการเรยนร ตวชวดของหลกสตรในกลมสาระ

การเรยนรทมการเปลยนแปลง และใหสอดคลองกบการพฒนาทรพยากรมนษยทกำาหนดไวในแผนพฒนา

เศรษฐกจและสงคมแหงชาต ฉบบท 12 แผนการศกษาแหงชาต พ.ศ. 2560-2579 และยทธศาสตรชาต

20 ป

โดยหนงสอเรยนแตละหนวยการเรยนรจะใหผใชหนงสอเรยนไดทราบเปาหมายการเรยนร

ในตอนตนหนวยการเรยนร จากสาระการเรยนรและตวชวด และทกหวขอหลกจะนำาเสนอแนวคดสำาคญ

เพอใหทราบถงสงทเปนความร ความคดทเปนแกนสำาคญทตองเรยนรใหลกซง และการเรยนรทด

ผเรยนควรไดตรวจสอบความรความเขาใจเปนระยะๆ กอนเรยนเรองใหม ดงนน ในหนงสอเรยนจะมการ

สอดแทรกกจกรรมตรวจสอบการเรยนรทสมพนธกบเรองทไดเรยนผานมา เพอใหผเรยนไดตรวจสอบ

ตนเอง หรอบางหวขออาจเปนการฝกทกษะใหชำานาญกอน สงทเพมเตมในหนงสอเรยนเลมน

คอ กจกรรมบรณาการวทยาศาสตร เทคโนโลย วศวกรรมศาสตร และคณตศาสตร (STEM) ตามเปาหมาย

สำาคญของการปรบหลกสตรครงน ซงผเรยนและผสอนสามารถนำาไปประยกตหรอดดแปลงใหเหมาะสม

กบบรบทของโรงเรยนและผเรยน การศกษาคนควาเพมเตมโดยใชเทคโนโลยการสอสารและสารสนเทศ (ICT)

เปนสงจำาเปนทตองคนควาเพมเตม ดงนนในหนงสอเรยนเลมนจงไดมการเสรมเนอหาเพมเตมทได

ผานการคดกรองมาแลววาเหมาะสมกบการเรยนร แทรกไวในเนอหาบางหนวย โดยใชสญลกษณ

ผเรยนสามารถใชสมารตโฟนสแกน QR Code หรอเปดเวบไซต MACeducation.com เพอเขาเมน

การศกษาขนพนฐาน MAC iLink และเลอกเปดดสวนเสรมของบทเรยนในหนงสอแตละเลมได

ทายหนวยการเรยนรทกหนวยจะมการสรปบทเรยนสำาหรบใหผเรยนไดใชเปนขอมลสำาคญในการตรวจสอบ

องคความรทควรไดรบการพฒนาหลงจากเสรจสนการเรยน หรอเปนสาระสำาคญทควรจดจำาและ

ทำาความเขาใจใหถองแท ซงนบวาเปนสวนสำาคญอกสวนหนงในการปรบปรงหนงสอเรยนครงน

ทไดพฒนาใหชดเจนยงขน

บรษท แมคเอดดเคชน จำากด หวงเปนอยางยงวา หนงสอเรยนเลมนจะมคณคา มประโยชน

และชวยสงเสรมการปฏรปการศกษา เพอเปนรากฐานสำาคญทจะชวยทำาใหประเทศไทยกาวสประเทศทม

การพฒนาอยางยงยน ดวยการมพลเมองทมคณภาพ มความคดสรางสรรค ตามเจตนารมณของ

การปรบปรงหลกสตรครงนและนโยบายประเทศไทย 4.0

บรษท แมคเอดดเคชน จำ�กด

คำ�นำ�

หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 ไดเรยบเรยงขนใหม

ตามมาตรฐานการเรยนรและตวชวด กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร (ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2560)

ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 สาระการเรยนรทกำาหนดไวตรงตาม

ตวชวดและสาระการเรยนรแกนกลาง กจกรรมการเรยนการสอนในหนงสอเลมนไดบรณาการ

สาระตาง ๆ เขาดวยกนไวในหนวยการเรยนรซงสอดคลองกบมาตรฐานการเรยนรและตวชวด

วตถประสงคของการเขยนหนงสอเลมน เพอใหผเรยนไดเรยนรในสาระการเรยนรคณตศาสตร

ตามมาตรฐานการเรยนรและตวชวด เนนการเชอมโยงความรกบกระบวนการทกษะการเรยนรใน

ศตวรรษท 21 ฝกทกษะตามสาระเพอวดผลประเมนผลตนเอง มกจกรรมสงเสรมใหเกดทกษะและ

กระบวนการทางคณตศาสตร มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร การสอความหมาย

ทางคณตศาสตร การนำาเสนอ การเชอมโยงความรตางๆ ทางคณตศาสตรและเชอมโยงคณตศาสตร

กบศาสตรอนๆ ใหเกดความคดรเรมสรางสรรคและมความเชอมนในตนเอง และมสวนรวมในการจดกจกรรม

การเรยนรตลอดจนการวดและประเมนผลการเรยนรของผเรยน

หนงสอเรยนเลมนประกอบดวย 4 หนวยการเรยนร แตละหนวยการเรยนรไดมสาระการเรยนร

ระบตวชวด มภาพและคำาถามเขาสบทเรยน แนวคดสำาคญของแตละเรอง กจกรรมตรวจสอบการเรยนร

กจกรรมสะเตมศกษา/กจกรรมบรณาการ บทสรปเนอหาและแบบทดสอบวดผลสมฤทธเพอเปนการวด

และประเมนผลการเรยนรของผเรยน

ผเรยบเรยงขอขอบคณเปนอยางสงททานไดเลอกใชหนงสอเรยนเลมนเปนสอการเรยนร ผเรยบเรยง

หวงเปนอยางยงวา หนงสอเรยนเลมนจะเปนประโยชนตอคร นกเรยน และผสนใจโดยสงผลตอการพฒนา

ทงดานความร ทกษะ คานยมและคณลกษณะอนพงประสงค ตามเจตนารมณทกำาหนดไวในหลกสตร

ดร.สนทรย ป�ลวฒนชย

สารบญ

หนวยการเรยนรท1เลขยกกำาลง 1

(ตรงตามตวชวด ค 1.1 ม.5/1)

1. รากท n ของจำานวนจรง เมอ n เปนจำานวนนบทมากกวา 1 3

2. เลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะ 18

แบบทดสอบวดผลสมฤทธ 34

หนวยการเรยนรท2ฟงกชน 35


1. ความสมพนธ 37

2. ฟงกชน 58

3. กราฟของฟงกชน 69


หนวยการเรยนรท3ลำาดบและอนกรม 102


1. ลำาดบเลขคณตและลำาดบเรขาคณต 104

2. อนกรมเลขคณตและอนกรมเรขาคณต 123


หนวยการเรยนรท4ดอกเบยและมลคาของเงน 139


1. ดอกเบย 141

2. มลคาของเงน 146

3. คารายงวด 149


บรรณานกรม 157

อภธานศพท 158

1หนวยการเรยนรท

ตวชวด

สาระการเรยนร

เลขยกกำ�ลง

เขาใจความหมายและใชสมบตเกยวกบการบวกการคณการเทากนและการไมเทากนของจำานวนจรงในรปกรณฑและจำานวนจรงในรป

เลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะ (ค 1.1 ม.5/1)

1 รากท n ของจำานวนจรง เมอ n เปนจำานวนนบทมากกวา 1

2 เลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะ

ถานกเรยนรปรมาตรของลกบาศก แลวจะสามารถ

หาความยาวของดานแตละดานไดโดยวธใดบาง

แนวคดสำ�คญ จำ�นวนจรงทเขยนในรป an จะเรยก an ว�

ร�กท n ของจำ�นวนจรง a และโดยบทนย�มของ

เลขยกกำ�ลงทอ�ศยคว�มหม�ยของร�กท n ของ

จำ�นวนจรง a จะไดว�จำ�นวนจรงทอยในรปกรณฑ

คอจำ�นวนจรงทเขยนในรป an ซงส�ม�รถเขยน

เลขยกกำ�ลงทมเลขชกำ�ลงเปนเศษสวนไดเปน a1n

ก�รดำ�เนนก�รของจำ�นวนจรงทอยในรปกรณฑ

ส�ม�รถใชสมบตก�รแจกแจงของจำ�นวนจรงม�ชวย

ในก�รคำ�นวณได

จำานวนทเขยนในรป an

จะเรยก an วารากทn

ของจำานวนจรงa

1.รากทnของจำานวนจรงเมอnเปนจำานวนนบทมากกวา1

1.1รากทnของจำานวนจรง

ถา a เปนจำานวนจรง รากท n ของ a คอ

จำานวนจรงทยกกำาลง n แลวได a ซงจะสามารถหา

คารากทnของaไดกตอเมอnตองเปนจำานวนนบ

ทมากกวา1มบทนยามดงน

บทนยาม เมอnเปนจำานวนเตมบวกทมากกวา1

xและa เปนจำานวนจรง

xเปนรากทnของaกตอเมอxn a

และรากทnของจำานวนจรงaเขยนแทนดวย an

จากบทนยามจะเหนวา

52 25 จงกลาววา“5เปนรากท2ของ25”

(25)2 25 จงกลาววา“25เปนรากท2ของ25”

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3

18 จงกลาววา“ 12 เปนรากท3ของ

18 ”

− 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

218 จงกลาววา“2

12 เปนรากท3ของ2

18 ”

34 81 จงกลาววา“3เปนรากท4ของ81”

(23)4 81 จงกลาววา“23เปนรากท4ของ81”

3หนวยการเรยนรท1เลขยกกำาลง

เมอaเปนจำานวนจรงทมรากทnจะกลาววาจำานวนจรงbเปนคาหลกของรากทnของaกตอเมอ

bเปนรากทnของaและba > 0เรยกจำานวนจรงทอยในรป an วาคาหลกของรากท n ของ a

หรอกรณฑท n ของ a

รากท2ของ25มสองจำานวนคอ5และ25

รากท 2 ของ 25 และ5325 . 0

เรยก5วาคาหลกของรากท2ของ25

เขยนแทน5ดวย 25

รากท3 ของ2 18มหนงจำานวนคอ2 1

2

รากท 3 ของ 2

18

และ − 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ × − 1

8⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

. 0

เรยก2 12 วาคาหลกของรากท3ของ2

18

เขยนแทน2 12 ดวย

− 18

3

รากท4 ของ81มสองจำานวนคอ3และ23

รากท 4 ของ 81 และ3381 . 0


เขยนแทน3ดวย 814

รากท5 ของ232 มหนงจำานวนคอ22

รากท 5 ของ 232 และ(22)3(232) . 0


เขยนแทน22ดวย 5 23

คณตศาสตรพนฐาน ม.54

ความแตกตาง

ระหวางคาหล

กของ

รากท n ของ

a

กบรากท n

ของ a

a

25 5 แสดงวาคาหลกของรากท2ของ25คอ5

แตรากท2ของ25คอ5และ25

− 18

3 212 แสดงวาคาหลกของรากท3ของ2 1

8คอ2 1

2 และรากท3ของ2 1

8คอ2 1

2 814 3 แสดงวาคาหลกของรากท4ของ81คอ3

แตรากท4ของ81คอ3และ23

คาหลกของรากท n ของ a

เมอ n เปนจำ�นวนค

คาหลกของรากทnม1คา

ถาa . 0คาหลกของรากทnม1คาคอคาทเปน

จำานวนบวก

ถาa , 0คาหลกของรากทnม1คาคอคาทเปน

จำานวนลบ

ถาa 0คาหลกของรากทnม1คาคอศนย


คาหลกของรากทnม1คาซงเปนคาทเปน

จำานวนบวก

รากท n ของ a


รากทnม1คา

ถาa . 0รากทnม1คาคอคาทเปนจำานวนบวก

ถาa , 0รากทnม1คาคอคาทเปนจำานวนลบ

ถาa 0รากทnม1คาคอศนย


รากทnม2คาคอคาทเปนจำานวนบวกและ

คาทเปนจำานวนลบ

n

หมายเหตถาn 2จะเขยนแทน a2 ดวย a

5หนวยการเรยนรท 1 เลขยกก�าลง

ในกรณทวไปคาหลกของรากทnของจำานวนจรงaหรอ an เปนดงน

an 0 an เปนจำานวนจรงบวก

ถาnเปนจำานวนคแลว an เปนจำานวนจรงลบ

ถาnเปนจำานวนคแลวจะไมสามารถหารากทnของaได

เพราะไมมจำานวนจรงใดยกกำาลงดวยจำานวนคแลวจะไดผลลพธเปนจำานวนลบ

เชนไมสามารถหา − 5 เพราะไมมจำานวนจรงxใดทx2 25

หมายเหต สญลกษณ n เรยกวาเครองหมายกรณฑและเรยกnวาอนดบทของกรณฑ

เชน 63 เปนกรณฑท3ของ6

74 เปนกรณฑท4ของ7

85 เปนกรณฑท5ของ8

ตอไปจะกลาวถงสมบตของรากทnโดยไมพสจนดงน

ใหaและbเปนจำานวนจรงทมคารากทnเมอnเปนจำานวนนบทมากกวา1

(1) ( an )n aเมอ an เปนจำานวนจรง

a เมอa > 0

(2) ann a เมอa , 0และnเปนจำานวนคบวก

|a|เมอa , 0และnเปนจำานวนคบวก

(3) abn = an ⋅ bn

(4) ab

n = an

bn , b 0

a 5 0 a . 0

a , 0


ตวอยางการน

ำาสมบต

ของรากท n

ไปใช

แบบฝกหดท 1

(1) 18 9 × 2 9 2 3 2

(2) 73

73

73

33

7 × 33 21

3

(3) ( 28 )8 2

(4) ( − 55 )5 25

(5) 644 |6| 6

(6) (− 7)2 |27| 7

ตวอยางท 1

จงเขยนจำานวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย

(1) 32 (2) 2703 (3) 75 ⋅ 125 (4) 53 ⋅ 1503

วธทำา (1) 32 16 23 16 2 4 2 ตอบ

(2) 2703 27 103 3 273 ⋅ 103 3 103 ตอบ

(3) 75 ⋅ 125 75 1253 3 3 33 25 5 25 325 25 33 5 25 15 ตอบ

(4) 53 1503 5 1503 3 3 3 35 5 5 63 353 63 533 63 5 63 ตอบ

1. จงเขยนจำานวนตอไปนใหอยในรปอยางงาย

(1) 8x2 (2) 27y63

(3) − 64a3b63 (4) 81x8y44

(5) − 2435 (6) 300x4y6

(7) − 10003 (8) 2500mn


(1) 50 (2) 98

(3) 3753 (4) − 3433

(5) 64 2164 (6) − 13 1253

(7) − 325 − 83 (8) 98 200

(9) 18 72 (10) − 273 − 5123



1.2การหาผลบวกและผลตางของจำานวนจรงในรปกรณฑ

จำานวนทมเครองหมายกรณฑอนดบเดยวกนสามารถนำามาบวกหรอลบกนไดโดยใชสมบตการแจกแจง

ของจำานวนจรง

(1) 5 2 14 2 (514) 2 9 2

(2) 4 3 18 3 2 3 (41821) 3 11 3

(3) 6 543 + 4 23 − 5 34 + 3 484 6 27 × 23 + 4 23 − 5 34 + 3 16 × 34

6 273 ⋅ 23 + 4 23 − 5 34 + 3 164 ⋅ 34

6 333 ⋅ 23 + 4 23 − 5 34 + 3 244 ⋅ 34

(6 × 3 ⋅ 23 ) + 4 23 − 5 34 + (3 × 2 34 )

18 23 + 4 23 − 5 34 + 6 34

(18+ 4) 23 + (6 − 5) 34

22 23 + 34

จงเขยนใหอยในรปอยางงาย

1. 3 2 + 32 2. 27 − 4 3

3. 72 + 50 − 288 4. 125 − 12 + 20

5. − 543 + 2503 6. − 1283 − − 4323

7. 81x + 36x − 49x 8. 125y + 20y − 45y

9. 24a3 − 375a3 − − 192a3 10. 1624 − 324 + 6254

สมบตการแจกแจง

a ( b 1 c ) a b 1 a c

คณตศาสตรพนฐานม.58

เชน

2 73 3 23 73

75

4 7454

1.3การหาผลคณและผลหารของจำานวนจรงในรปกรณฑ

จำานวนทมเครองหมายกรณฑอนดบเดยวกนคณหรอหารกนไดโดยใชสมบตของรากทnเมอnเปน

จำานวนเตมบวกทมากกวา1ดงน

ใหaและ bเปนจำานวนจรงทมรากทn

และnเปนจำานวนเตมบวก

(1) abn an bn

(2) ab

n an

bnเมอb 0


จงทำาใหอยในรปอยางงายโดยมเครองหมายกรณฑเพยงเครองหมายเดยว

(1) 6 ⋅ 7 ⋅ 53 ⋅ 2

(2) 23 ⋅ 123 ⋅ 53

2 ⋅ 33 ⋅ 73

วธทำา (1) 6 ⋅ 7 ⋅ 53 ⋅ 2

3 × 2 ⋅ 7 ⋅ 53 ⋅ 2

3 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 5

3 ⋅ 2

7 ⋅ 5

7 × 5

35 ตอบ

(2) 23 ⋅ 123 ⋅ 53

2 ⋅ 33 ⋅ 73

23 ⋅ 4 × 33 ⋅ 53

2 ⋅ 33 ⋅ 73

23 ⋅ 43 ⋅ 33 ⋅ 53

2 ⋅ 33 ⋅ 73

2 × 43 ⋅ 53

2 ⋅ 73

83 ⋅ 53

2 ⋅ 73

2 ⋅ 53

2 ⋅ 73

57

3 ตอบ



จงทำาเศษสวน 3 − 27 8

ใหอยในรปทตวสวนไมตดกรณฑ

วธทำา วธท 1 3 − 27 8

3 − 27 4 × 2

วธท 2 3 − 27 8

3 27 82 8

8

3 − 27 4 ⋅ 2

(3 2 ) 8

7 82

3

3 − 2(7 × 2) ⋅ 2

(3 2 ) (2 2)

562

3 − 214 2

(3 2 ) 2

282

3 − 214 2

22

3 2 2

282

3 2 − 214 × 2

3 2 − 228

ตอบ


จงหาผลหารของ 3 3 + 22 − 1

42 + 13 + 1

วธทำา 3 3 + 22 − 1

42 + 13 + 1

(3 3 + 2 )( 2 − 1)

( 3 + 1)( 2 + 1)

(3 3 + 2 ) ⋅ 3 + (3 3 + 2 ) ⋅ 1

( 2)2− 12

3 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 + 3 3 + 22 − 1

91 6 + 3 3 + 22 ตอบ



1. จงทำาผลคณตอไปนใหอยในรปอยางงาย

(1) 3 ⋅ 4 ⋅ 12 (2) 83 ⋅ 243

(3) 3a23 ⋅ 9a3 (4) 2a2 ⋅ 8a2 ⋅ 12a2

(5) 20x4 ⋅ 4x4 ⋅ 5x4 (6) − x63 ⋅ 3x63 ⋅ 9x63

2. จงเขยนจำานวนตอไปนใหอยในรปทตวสวนไมตดกรณฑ

(1) 12

(2) 32 3

(3) 2430

(4) 5134

3. จงทำาใหเปนผลสำาเรจ

(1) 543 + 2503 − 1254

3 (2) (a2b) x3 1(a1b) x3

(3) 32 − 48 + 72 − 108 (4) a5

− 45a + 4a5

(5) (4 21 3 )(4 22 3 ) (6) 5

2 − 1 − 3

2 + 1

1.4การประมาณคาของจำานวนจรงในรปกรณฑ

จำานวนจรงในรปกรณฑบางจำานวนสามารถเขยนในรปทไมตดกรณฑไดเชน 4 2, 25 5,

− 273 23, 814 3, 325 2

จำานวนจรงในรปกรณฑบางจำานวนจะประมาณคาในรปทศนยมได เชน 2 < 1.41421,

3 < 1.73205, 5 < 2.23607, 6 < 2.44949

คาโดยประมาณเหลานนกคณตศาสตรในยคกอนคำานวณไวโดยใชทศนยมหลายตำาแหนง

บางจำานวนมทศนยมเกน100ตำาแหนง

จากการทราบคาโดยประมาณของ 2, 3, 5 และ 6 นจะทำาใหคำานวณคาโดยประมาณ

ของจำานวนจรงในรปกรณฑไดอกมากมายหลายจำานวนโดยการทำาใหจำานวนเหลานนอยในรปผลคณของ

จำานวนตรรกยะกบ 2, 3, 5 และ 6 ดงตวอยางตอไปน



จงหาคาโดยประมาณของจำานวนตอไปนโดยใชทศนยม6ตำาแหนง

(1) 125 (2) 6.75 (3) 5 + 23 − 1

÷ 3 + 25 − 2

วธทำา (1) 125 25 × 5

25 × 5

5 5

< 532.23607

11.180350

ดงนน 125 มคาประมาณ11.180350 ตอบ

(2) 6.75

2.25 3 3

(1.5)3 3

< (1.5)3(1.73205)

2.598075

ดงนน 6.75 มคาประมาณ2.598075 ตอบ

(3) 5 + 23 − 1

÷ 3 + 25 − 2

5 23

5 23 2

5 4 2 23 3 3

13 + 1

13 + 1

3 − 13 − 1

3 − 12

< 1.73205 − 12

0.366025

ดงนน 5 + 23 − 1

÷ 3 + 25 − 2

มคาประมาณ0.366025 ตอบ

2.25 33


การประมาณคาของจำานว

นจรงในรปกรณฑ

ยงสามารถหาไดอกหลาย

วธ เชน

1. การหาคาโดยประมา

ณของ m โดยวธของเฮรอน

2. การหาคา m โดยวธประม

าณคาอยางงาย

วธท 1 การหาคาโดยประมาณของ m โดยวธของเฮรอน(Heron)

วธการประมาณคาแบบนจะทำาเปนขนตอนตามลำาดบคอ

ขนท 1 เขยนmในรปการคณของจำานวนเตมบวกสองจำานวน

m a3bเมอa, bเปนจำานวนเตมบวกทมคาใกลเคยงกนมากทสดทมผลคณเทากบm

ขนท 2 ใชสตร a1 a + b2

a2 a1 + ma1

2

a3 a2 + m

a2

2

ak ak − 1+ m

ak − 1

2 ทำาเชนนตอไปเรอยๆ

เมอkมคามากขนคาakจะเปนคาใกลเคยงกบ m มากขนเชนa1 a2, a2 a3, a3 a4 แต

a3และa4มทศนยมในตำาแหนงทตองการเปนทศนยมเดยวกนจะไดวา m < a3



จะเหนวาa3 < 3.87

และa4 < 3.87 มทศนยม

ทง2ตำาแหนงซำากน

จะเหนวาa4 < 5.10

และa5 < 5.10 มทศนยม

ทง2ตำาแหนงซำากน

จงหาคาโดยประมาณของจำานวนตอไปนโดยวธของเฮรอนโดยใชทศนยม2ตำาแหนง

(1) 15 (2) 26

วธทำา (1) m 15 33 5

a1 3 + 52

4

a2 4 + 15

42 < 3.88

a3 13.88 153.88

2 < 3.87

a4 3.87 + 15

3.872 < 3.87

ดงนน 15 < 3.87 ตอบ

(2) m 26 23 13

a1 2 + 132

7.5

a2 7.5 + 26

7.52

< 5.48

a3 5.48 26

5.482 < 5.11

a4 5.11 26

5.112

< 5.10

a5 5.10 + 26

5.102

< 5.10

ดงนน 26 < 5.10 ตอบ


วธท 2การหาคา m โดยวธประมาณคาอยางงาย

วธประมาณคาแบบนมขนตอนดงน

ขนท 1 หาจำานวนเตมบวก a1และb1 โดยท a12 และ b1

2 มคาใกลเคยงกบmมากทสดและ a1

2 , m , b12

ขนท 2 พจารณาวาmมคาใกลเคยงกบ a1หรอb1มากกวาใหเลอกจำานวนนนมาหาคาเฉลยกบ

a11b12

ทำาเชนนไปเรอยๆจนไดจำานวนตำาแหนงของทศนยมตามตองการ

จะไดวาคาเฉลยของak1bk

2 กบจำานวนทใกลเคยงกบmเปนคาประมาณของ m


จงประมาณคาของจำานวนตอไปนโดยวธประมาณคาอยางงายโดยใชทศนยม2ตำาแหนง

(1) 15 (2) 26 วธทำา (1)หาจำานวนเตมบวก a1 และ b1 โดยท a1

2 และ b12 มคาใกลเคยงกบ 15 มากทสด และ

a12 , 15 , b1

2

จาก 32 9และ42 16

จะได 9 , 15 , 16

32 , 15 , 42

a12 , 15 , b1

2

นนคอa1 3และb1 4

เนองจาก42 16และ32 9ซง15มคาใกลเคยงกบ42มากกวา32จงเลอก4มาหา คาเฉลยกบ 314

2 3.5ซงหาคาเฉลยของ3.5กบ4ได3.75

เนองจาก (3.75)2 14.0625 และ 42 16 ซง 15 มคาใกลเคยงกบ (3.75)2 มากกวา 42 จงเลอก 3.75มาหาคาเฉลยกบ 3.7514

2 3.875ซงหาคาเฉลยของ 3.75กบ3.875ได3.8125

และ3.8125 3.81

ดงนน 15 3.81 ตอบ


(2)หาจำานวนเตมบวก a1 และ b1 โดยท a12 และ b1

2 มคาใกลเคยงกบ 26 มากทสด และ

a12 , 26 , b1

2

จาก 52 25และ62 36

จะได 25 , 26 , 36

52 , 26 , 62

a12 , 26 , b1

2

นนคอa1 5และb1 6

เนองจาก 52 25 และ 62 36 ซง 26 มคาใกลเคยงกบ 52 มากกวา 62 จงเลอก 5 มาหา

คาเฉลยกบ 5162 5.5ซงหาคาเฉลยของ5กบ5.5ได 5.25

เนองจาก 52 25 และ (5.25)2 27.5625 ซง 26 มคาใกลเคยงกบ 52 มากกวา (5.25)2

จงเลอก5มาหาคาเฉลยกบ 515.252 5.125ซงหาคาเฉลยของ5กบ5.125 ได5.0625

และ5.0625 5.06

ดงนน 26 5.06 ตอบ

หมายเหต จะไมสามารถใชการหาคา m โดยใชวธประมาณคาอยางงายไดเมอm

เปนจำานวนอตรรกยะเชน π , e

ในกรณทตองการหาคาโดยประมาณของ m โดยใชคาประมาณเปนจำานวนเตมจะทำาไดงายๆ โดย

ขนท 1 เลอกจำานวนเตมa1และa2ซงa2 a111และ a12 , m , a2

2

ขนท 2 พจารณาวา a12 และ a2

2 คาใดใกลเคยงกบmมากกวากนคาทใกลเคยงกวาจะเปนคาโดย

ประมาณทเปนจำานวนเตม


จงหาคาโดยประมาณเปนจำานวนเตมของจำานวนตอไปน

(1) 19 (2) 77 (3) 51

วธทำา (1)เลอกa1 4จะไดa2 411 5

เพราะวา42 , 19 , 52

นนคอ 16 , 19 , 25

ดงนน 19 < 4 (เพราะวา42 16 ใกลเคยงกบ19 มากกวา25) ตอบ


(2)เลอกa1 8จะไดa2 811 9

เพราะวา82 , 77 , 92

นนคอ 64 , 77 , 81


(3)เลอกa1 7จะไดa2 711 8

เพราะวา72 , 51 , 82

นนคอ 49 , 51 , 64



1. จงหาคาโดยประมาณของจำานวนตอไปน

(1) 8 ⋅ 75 ⋅ 200100 (2) 72 − 8 8 + 4 18

2. จงหาคาโดยประมาณของ3 − 23 + 2

3. จงหาคาโดยประมาณของจำานวนตอไปนโดยวธของเฮรอน(Heron) โดยใชทศนยม2ตำาแหนง

(1) 24 (2) 45 (3) 98

4. จงหาคาโดยประมาณของจำานวนตอไปนโดยวธประมาณคาอยางงายโดยใชทศนยม2ตำาแหนง

(1) 37 (2) 55 (3) 83 (4) 97

5. จงหาคาโดยประมาณเปนจำานวนเตมของจำานวนตอไปนโดยใชทศนยม2ตำาแหนง

(1) 10 (2) 24 (3) 80 (4) 119

กจกรรมตรวจสอบก�รเรยนรท 1

1. ใหนกเรยนแบงกลมกลมละ 4 คนแลวสงตวแทนออกมาจบสลากโจทยตอไปน

(1) ( 72 − 3 5 ) + (3 20 + 50) (2) 3 5( 10 + 2 5 )

(3) (3 5 + 7 2 )( 5 − 3 2 ) (4) 4 3123

2 12

2. แตละกลมสงตวแทนออกมานำาเสนอวธการหาคำาตอบหนาชนเรยน


2.เลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะ

2.1เลขยกกำาลงทมเลขชกำาลง เปนจำานวนเตม นกเรยนไดศกษาเรองเลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปน

จำานวนเตมบวก และไดรจกเลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปน

จำานวนเตมลบและศนยมาบางแลวในระดบชนมธยมศกษา

ตอนตน ในหวขอนจะกลาวถงเลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปน

จำานวนเตม ซงอาจจะเปนจำานวนเตมบวกหรอจำานวนเตมลบ

หรอศนยกไดกอนอนจะทบทวนบทนยามของเลขยกกำาลงทม

เลขชกำาลงเปนจำานวนเตมบวกดงน

บทนยาม ถา a เปนจำานวนจรงและ n เปนจำานวนเตมบวกแลว

an a3a3 a3...3a

n ตว

บทนยามของ a0

ถาaเปนจำานวนจรงใดๆ ทa 0แลวa0 1

บทนยามถาaเปนจำานวนจรงใดๆ ทa 0และnเปนจำานวนเตมบวกแลว

a2n 1an

ตอไปจะกลาวถงสมบตของเลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนเตมโดยไมพสจนดงน

ถา a, b เปนจำานวนจรงโดยท a 0, b 0 และ m, n เปนจำานวนเตมแลวจะไดวา

(1) aman am1n

(2) (am)n amn

(3) (ab)n anbn

(4) ab

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟n

an

bn

(5) am

an am2n

แนวคดสำ�คญ จำ�นวนตรรกยะ คอ จำ�นวนทเขยนอย

ในรป

pq โดยทp, q เปนจำ�นวนเตมใดๆและ

q 0 ดงนน เลขยกกำ�ลงทมเลขชกำ�ลงเปน

จำ�นวนตรรกยะคอเลขยกกำ�ลงทมเลขชกำ�ลงเปนpq โดยทp, q เปนจำ�นวนเตมใดๆและq 0

เรยกanวาเลขยกกำาลงเรยกaวาฐานของเลขยกกำาลงเรยกnวาเลขชกำาลง



จงเขยนจำานวนตอไปนใหอยในรปอยางงายทมเลขชกำาลงเปนจำานวนเตมบวก

(1) (2a24b3)22 เมอa, b 0 (2) x−2y5

z

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2x−3y4

z−2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−3

เมอx, y, z 0

วธทำา (1) (2a24b3)22 222(a24)22(b3)22

222a8b26

a8

22b6 ตอบ

(2) x−2y5

z

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2x−3y4

z−2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−3

x−4y10

z2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟x9y−12

z6⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

x−4 +9y10+ (−12)

z2+ 6

x5y−2

z8

x5

y2z8 ตอบ


1. จงหาผลคณตอไปนโดยเขยนใหอยในรปเลขยกกำาลงจำานวนเดยว

(1) 3334

35 (2) (42)7(43)24

(3) (222)5(84) (4) (422)23(162)4(64)

2. จงเขยนจำานวนตอไปนใหอยในรปผลคณของเลขยกกำาลงสองจำานวนเมอตวแปร

ทกตวไมเปนศนย

(1) (ab)6 (2) (x3y4)7

(3) m2n4

n− 3

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

8

(4) (x24y2)29

3. จงเขยนจำานวนตอไปนใหอยในรปเศษสวนของเลขยกกำาลงสองจำานวนเมอตวแปร


(1) a2

b3⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

4

(2) 3a + 2b4a + 5b

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

(3) x2y−4

x−2y5⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2


2.2เลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะ

นกเรยนเคยทราบมาแลววาจำานวนตรรกยะคอจำานวนทเขยนอยในรปpq โดยท p, q เปน

จำานวนเตมและq 0 ในหวขอนจะกลาวถงเลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะนนคอ

มเลขชกำาลงเปนpq โดยทp, qเปนจำานวนเตมและq 0

ในขนแรกจะกลาวถงเลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงในรป 1nเมอnเปนจำานวนเตมบวก

จากบทนยาม a1n เปนคาหลก

ของรากทnของaจะไดวา

(a1n )n a

บทนยาม ถาaเปนจำานวนจรงnเปนจำานวนเตมทมากกวา1และaมรากทnแลว

a1n an

จากบทนยามขางตนจะไดวาถาaเปนจำานวนจรงm, nเปนจำานวนเตมท mnเปน

เศษสวนอยางตำา, n . 0และ a1n เปนจำานวนจรงแลว

amn (a

1n )m ( an )m ; เมอm , 0และa 0


ตวอยางการใชบทนย

าม

4 52

2

(412 ) 52 ( 4 ) 5

2 225 125

132

( 125) 43

2

2 (( 125)13 ) 42

2 22

( 1253 ) 4 (25)24

2

1( 5)4

1625

2

2 32243

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

25 − 32

243⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

15

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2

− 32243

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

15

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

22

− 32243

5⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

− 32243

5⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

22

2 23

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

22

2

1

23

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2 14

9

94

หมายเหตจากบทนยามของ amn ถาm , 0แลวaเปนจำานวนใดๆ ทไมเทากบศนย

เชนถาใหa 0, m 22และn 3

จะได amn 0

− 23 (0

23 )− 1 021 1

0 ซง 1

0ไมมความหมายทางคณตศาสตร


จงเขยนจำานวนตอไปนใหอยในรปกรณฑ

(1) 1632 (2) (− 27)

13

วธทำา (1) 1632 163 ตอบ

(2) (− 27)13 − 273 ตอบ



จงหาคาของเลขยกกำาลงตอไปน

(1) 6456 (2) (− 8)

− 23

วธทำา (1) 6456 ( 646 )5

( 266 )5

25

32 ตอบ

(2) (− 8)− 23 ( − 83 )−2

( (− 2)33 )−2

(22)22

1(− 2)2

14 ตอบ

สมบตของเลขยกกำาล

ง

ใหaและbเปนจำานวนจรงmและnเปนเลขชกำาลงทเปนจำานวนตรรกยะ

1. aman am1n

2. ambm (ab)m

3. (am)n amn

4. am

an am2n เมอa 0

5. an

bn a

b⎛⎝⎜

⎞⎠⎟n

เมอb 0



จงเปลยนจำานวนทกำาหนดใหตอไปนใหมเลขชกำาลงเปนจำานวนเตมบวก

(1) [(729a6 )13 ]12 เมอa . 0 (2) [(64a6 )

13 ⋅ (25b4 )]

12 เมอa, b . 0

วธทำา (1) [(729a6 )13 ]12 (729a6 )

13× 1

2

(729a6 )16

(729)16 (a6 )

16

(36 )16 (a

6× 16 )

3a ตอบ

(2) [(64a6 )13 ⋅ (25b4 )]

12 (64a6 )

13 × 1

2 ⋅ (25b4 )12

(64a6 )16 ⋅ (25

12 ⋅ b

4 × 12 )

(26 ⋅ a6 )16 ⋅ ((52 )

12 ⋅ b2 )

2a5b2

10ab2 ตอบ


จงเขยนใหอยในรปอยางงาย

(1) 823 ⋅ 64

56 (2) (− 243)

− 45 (− 27)

53

วธทำา (1) 823 ⋅ 64

56 (23)

23 ⋅ (26 )

56 (2) (− 243)

− 45 (− 27)

53 ((− 3)5 )

− 45((− 3)3)

53

(22)(25) (23)24 (23)5

2215 (23)2415

27 (23)1

128 23ตอบ ตอบ


การแกสมการเลขยกกำาลงบางครงตอง

อาศยความรเรองฟงกชนเอกซโพเนนเชยลโดยท

ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลเปนฟงกชนหนงตอหนง


จงหาคาของxจากสมการตอไปน

(1) 3x 729 (2) 4− x

2 132

(3) 1252x 25 (4) 94

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3x

827

วธทำา (1) 3x 729 (2) 4− x

2 132

3x 36 (22 )− x2 1

25

x 6 ตอบ 22x 225

2x 25

x 5 ตอบ

(3) 1252x 25 (4) 94

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3x

827

(53)2x 52 32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3x

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3

523x 52

23x 2

x 223

ตอบ 6x 23

x 236

x 212

ตอบ

เชน ax abเมอa, b, xเปนจำาน

วนจรง

a . 0และa 1จะไดx

b

32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟6x

32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−3



1. จงเขยนจำานวนตอไปนใหอยในรปกรณฑ

(1) 4932 (2) (− 128)

37

(3) 12523 (4) (− 512)

13

(5) 1,02425 (6) (− 243)

35

2. จงหาคาของเลขยกกำาลงตอไปน

(1) (− 243)25 (2) − 1

64⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

23

(3) (3,125)35 (4) − 1

1331⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13

(5) (− 729)23 (6)

32243

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

25

3. จงหาคาของxจากสมการตอไปน

(1) 5x 3,125 (2) 32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− x

= 32243

32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− x

= 32243

(3) 642x 14

(4) 273x 19

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

(5) 22x11 1,024 (6) 322x 181


2.3การบวกลบคณหารจำานวนจรงในรปเลขยกกำาลงและการประมาณคาจำานวนจรงในรปเลขยกกำาลง


จงหาคาของ 3(2)1318(2)

1329(2)

13

วธทำา 3(2)1318(2)

1329(2)

13 (31829) (2)

13

2 (2)13

21 +1

3

243 ตอบ


จงหาคาของ (413 + 1)(2

13 + 3)

วธทำา (413 + 1)(2

13 + 3) (4

13 + 1) ⋅ 2

13 + (4

13 + 1) 3

413 2

13 11 2

13 1 4

13 3113

(22 )13 2

13 12

13 1(22 )

13 313

223 ⋅ 2

13 + 2

13 + 2

23 313

223+ 1

3 1213 13 2

2313

21213 13 2

2313

51213 13(2)

23 ตอบ

การบวกลบคณหารจำานวนจรง

ในรปเลขยกกำาลงสามารถทำาได

โดยการใชกฎของเลขยกกำาลง

และสมบตของจำานวนจรง

ดงตวอยางตอไปน



จงเขยนจำานวน 2 33 23 ใหเปนจำานวนทตดเครองหมายกรณฑอนดบเดยวกน

วธทำา 2 33 23 2(3)12 3(2)

13

2(3)12× 3

33(2)

13× 2

2

2(3)3× 1

6 3 (2)2× 1

6

6(33)16

(22 )16

6(27)16 (4)

16

6(27 × 4)16

6(108)16

6 1086 ตอบ


จงเขยนจำานวนจรง a32 ⋅ b

73

c34 ⋅ d

43

4a32 ⋅ b

103

c94 ⋅ d

53

ใหอยในรปอยางงาย

วธทำา a32 ⋅ b

73

c34 ⋅ d

43

4a32 ⋅ b

103

c94 ⋅ d

53

a32 ⋅ b

73

c34 ⋅ d

43

c94 ⋅ d

53

a32 ⋅ b

103

a32− 3

2 ⋅ c94− 3

4 ⋅ d53− 4

3

b103− 7

3

a0 ⋅ c

64 ⋅ d

13

b

c32 ⋅ d

13

b ตอบ



จงหาคาโดยประมาณของจำานวนตอไปน

(1) 3(2)12 15(32)

11023(8)

16 (2)

(81)18 [4(9)

14 − 2(27)

16 ]

2(75)12

วธทำา (1) 3(2)12 15(32)

11023(8)

16 3 (2)

12 15(25 )

11023(23)

16

3 (2)12 15(2)

510 23(2)

36

3 (2)12 15(2)

1223(2)

12

(31523)(2)12

5(2)12

5 2

< 5(1.41421)

7.07105

ดงนน 3(2)12 1 5(32)

110 2 3(8)

16 มคาประมาณ7.07105 ตอบ

(2) (81)

18 [4(9)

14 − 2(27)

16 ]

2(75)12

(34 )

18 [4(32 )

14 − 2(33)

16 ]

2(25 × 3)12

3

12 [4(3)

12 − 2(3)

12 ]

2(25)12 ⋅ (3)

12

(4 − 2) ⋅ 312

2(52 )12

2 32 × 5

35

< 1.732055

0.34641

ดงนน (81)18 [4(9)

14 2(27)

16 ]

2(75)12

2 มคาประมาณ0.34641 ตอบ


2.4การนำาความรเกยวกบเลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะไปใชในชวตจรง


ชายคนหนงฝากเงนธนาคารจำานวน1,000,000บาทโดยธนาคารจายดอกเบยให0.5%ตอปชายคนน

ฝากเงนโดยไมมการถอนเงนและไมรบดอกเบยจนครบ1ป6เดอนเขาจะไดรบเงนตนและดอกเบยรวม

เปนเงนเทาไร

วธทำา จากสตร S P(11r)n

จากกำาหนด P 1,000,000

r 0.5100 0.005

n 1.5 32

ดงนน S 1,000,000 (1 0.005)321

1,000,000 (1.005)32

1,000,000 ( 1.005)3

< 1,000,000(1.002)3

< 1,000,000(1.006)

1,006,000 บาท

ดงนนชายคนนไดรบเงนตนและดอกเบยโดยประมาณเปนเงน1,006,000บาท ตอบ

S คอเงนรวม

(เงนตนพรอมดอกเบย)

P คอเงนตน

r คออตราดอกเบยตอป

n คอจำานวนปทฝาก

เมอ



กำาหนดใหrคอความยาวของรศมทรงกระบอกมหนวยเปนเซนตเมตรและVคอปรมาตรของทรงกระบอก

มหนวยเปนลกบาศกเซนตเมตรโดยทr Vπh

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12ทรงกระบอกซงมปรมาตร1,000 ลกบาศกเซนตเมตร

และสง50เซนตเมตรจะมรศมยาวเทาไร(กำาหนดใหπ < 3.14)

วธทำา จาก r Vπh

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

เมอV 1,000ลกบาศกเซนตเมตรและh 50เซนตเมตร

กำาหนดใหπ < 3.14จะได r < 10003.14 × 50

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

r < (6.3694)12

r < 2.52เซนตเมตร

ดงนนทรงกระบอกมรศมยาว2.52เซนตเมตรโดยประมาณ ตอบ



(1) 5(64)14 (2) 2(81)

18 18(9)

14

(3) 5(27)12 + 5(81)

18 (4) (64)

13 ⋅ (2)

12 + (8)

12 25

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12 − 3(8)

16

2. ใหn(t) n0(11r)tเปนสตรการเจรญเตบโตของประชากรณเวลาหนง

เมอ n(t) แทนจำานวนประชากรเมอเวลาผานไปt ป

n0 แทนจำานวนประชากรณจดเรมตน

r แทนอตราการเจรญเตบโตของประชากร

t แทนเวลามหนวยเปนป

ในเวลา2ป6เดอนประชากรของเมองกม248,832คนและมอตราการเจรญเตบโต44%

ตอปจงหาวาเมองกมประชากรณจดเรมตนกคน

3. ทรงกลมลกหนงมปรมาตร960ลกบาศกเซนตเมตรจะมเสนผานศนยกลางยาวเทาไร

(กำาหนดใหπ <3.14)


กจกรรมตรวจสอบก�รเรยนรท 2

ใหนกเรยนแบงกลมกลมละ2-3คนแลวชวยกนตรวจสอบวาขอความทกำาหนดใหเปนจรง

หรอเปนเทจ

1. ถาaเปนจำานวนจรงแลวจะไดวา (a73 )17 a

13

2. ถาa, bเปนจำานวนจรงแลว (ab)14 a

14b

14

3. (452 ⋅ 3

72 )43 4

103 ⋅ 3

163 4. 7

14

238

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

83

723

2

5. 2a + b3a + b

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12 (2a + b)

12

(3a + b)12

6. (a12 − b

− 12 )6 a3

2b23

7. a13

b32

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ b

12

a23

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−4

= a2

b72

8. 5(312 )14(3

12 )22(3

12 ) 7(3

12 )

9. (x13 − 1)(x

13 + 6) = x

23 + 5x

13 26 10. x

12 − 2x

14 28 ( x

14 14)( x

14 22)

11. 7(4)1312(32)

132(108)

13 8 43 12. x

43y

− 12

x23y

− 32

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

3

x2y4

13. (0.18)12 มคาประมาณ0.424264 14. (0.0363)

12 + 10(0.0288)

12 มคาประมาณ1.887581

กลมทตรวจสอบเสรจกอนและถกตองทกขอเปนฝายชนะ


กจกรรมต�มธรรมช�ตวช�กจกรรม “ปรม�ตรกบเลขยกกำ�ลง”

จดประสงค

เมอทราบปรมาตรของลกบาศกสามารถหาความยาวของดานแตละดานไดโดยใช

ความรเรองเลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะได

อปกรณ

1.แผนใส/ฟวเจอรบอรดหรอวสดทใชสรางลกบาศก

2.กระดาษวาดเขยน

3. ดนสอ/ดนสอส

ขนตอนในการดำาเนนกจกรรม

1. ใหนกเรยนแบงกลมตามความเหมาะสม

2.แตละกลมชวยกนวาดรปคลของลกบาศกแลวสรางลกบาศกจากรปคลทวาดขน

3. ใชลกบาศกตวงของเหลวแลววดปรมาตรทได

4. บนทกปรมาตรแลวหาความยาวของดานแตละดานของลกบาศกนน

5. แตละกลมออกแบบใบความรนำาเสนอผลงานเพอแลกเปลยนเรยนร


knowledge K

เลขยกกำาลง รากท n ของจำานวนจรง

เมอ n เปนจำานวนนบทมากกวา 1

เลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะ

รากท n ของจำานวนจรง เมอ n เปนจำานวนนบ

ทมากกวา 1

จำานวนจรงทเขยนในรป an จะเรยก an วา

รากทnของจำานวนจรงเมอnเปนจำานวนนบ

ทมากกวา1

จำานวนจรงทอยในรปกรณฑคอจำานวนจรงท เขยนในรป an ซงสามารถเขยนเลขยกกำาลง

ทมเลขชกำาลงเปนเศษสวนไดเปน a1n

คาหลกของรากท n

เมอ n เปนจำานวนค คาหลกของรากท n ม

1คา

-ถาa . 0คาหลกของรากทnม1คาคอ

คาทเปนจำานวนบวก

-ถาa , 0คาหลกของรากทnม1คาคอ

คาทเปนจำานวนลบ

-ถาa 0คาหลกของรากทnม1คาคอ

ศนย

เมอ n เปนจำานวนค คาหลกของรากท n ม

1คาซงเปนคาทเปนจำานวนบวก

Process

Attribute

P

A

1.ทกษะการแกปญหา

2.ทกษะการสอสารและการสอความหมายทาง

คณตศาสตร

3.ทกษะการเชอมโยง

1.ทำาความเขาใจหรอสรางกรณทวไปโดยใชความร

ทไดจากการศกษากรณตวอยางหลายๆกรณ

2.มองเหนวาสามารถใชคณตศาสตรแกปญหาใน

ชวตจรงได

3.มความมมานะในการทำาความเขาใจปญหาและ

แกปญหาทางคณตศาสตร

สมบตของเลขยกกำาลง

ใหaและbเปนจำานวนจรงmและnเปน

เลขชกำาลงทเปนจำานวนตรรกยะ

1. aman am1n

2. ambm (ab)m

3. (am)n amn

4. am

an am2n เมอa 0

5. an

bn a

b⎛⎝⎜

⎞⎠⎟nเมอb 0

รากท n ของ a เมอnเปนจำานวนครากทnม1คา

- ถาa . 0รากทnม1คาคอคาทเปน จำานวนบวก

- ถาa , 0รากทnม1คาคอคาทเปน จำานวนลบ

- ถาa 0รากทnม1คาคอศนย เมอnเปนจำานวนครากทnม2คาคอคาท เปนจำานวนบวกและคาทเปนจำานวนลบ

สรป


แบบทดสอบวดผลสมฤทธ


(1) 12x2 (2) 64a3b93 (3) 16x8y124


(1) 4 2 15 2 18 2 (2) 9 322 323 3

(3) 27 5232 5110 5 (4) 4 7 15 7 211 7

(5) 50 + 200 (6) 2 3 + 75

(7) 45 + 20 − 80 (8) 813 − 243

3. จงทำาใหเปนผลสำาเรจ

(1) (2 314 2)(3 225 3) (2) 18 ⋅ 2124 ⋅ 63

(3) 52 17 22 8 (4)

72 + 1

− 52 − 1


(1) (4245)3 (2) ((32 )4 )

38 (3) ((2 × 5)4 )

72

5. จงเขยนจำานวนตอไปนใหอยในรปอยางงายทมเลขชกำาลงเปนจำานวนเตมบวก เมอตวแปร


(1) (72523

425)2 (2) a7 ⋅ b5

c−2 ⋅ d−4⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−3

(3) ((x−4y3z)2 )32


(1) 500 (2) 2.42 (3) 48 + 753

(4) 4(3)12 17(3)

12 (5) 8(2)

13 14(2)

13 27(2)

13 (6) 4(2)

12 23(8)

1615(32)

110


หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน...

Documents