1

1. Формули

Следните задачи треба да сте во моност да ги решете користејќи само дигитрон и

следните формули.

1.1. Алгебарски формули

Нека е{

каде што а, b, с, d, А, В се реални константи (броеви).

Системот има решение ако, и само ако |

| а во тој случај

|

| |

| и решението e:

Исто така (во случајот) кога решението на системот претставуа пресекот на

двете прави

Пример {

Решението е:

1.2. Геометриски формули

Периметарот:

На паралелограм (ромб, правоаголник и квадрат) е: L = 2a + 2b

На триаголник е: L = a+b+c

На кружница е:

Површината:

На паралелограм е: каде што h е висината спуштена на страната

На ромб е: каде што h е висината спуштена на страната а

На триаголник е:

2

На квадрат е:

На триаголник е:

каде што h е висината спуштена иа страната a

На кружница е:

Друго:

Дијагоналите на правоаголник (и на квадрат) се еднакви.

Дијагоналите на ромб и на квадрат се сечат под прав агол.

360° = 2π (радијани)

1.3. Тригонометриски формули

За даден правоаголен триаголник

Формулата на питагора:

a2+b2=c2 .

1.4. Останатите формули

Аритаетичка средина на п броеви е: ̅

Проста камата:

каде што К – каматата, G – главницата, i - каматниот однос, п - времето.

Сложена камата: Ѕ – G (1 + i)n

каде што Ѕ - (вкупната) сума, G -главницата, i - каматниот однос, п - времето.

3

2. Почетни задачи

Пример 1. Дијагоналот на еден правоаголник е 2,6 cm, а едната страна е 1,7 cm.

Колку е површината на правоаголникот?

Решение:

*Најпрво правиме скица од задачата:

Забележуваме дека не можеме

да знаеме дали другата страна b е

пократка или подолга од зададена

страна а, т.е. која од следните слики

повеќе ќе одговара на задачата.

*Чекори на решавање:

а. Се бара површината на правоаголник.

Формулата е: Р = a-b .

б. Ја означуваме сликата со соодветни букви:

в. Ја имаме должината а, ни треба должината b.

в. Ќе ја користиме формула на Питагора за да ја

најдеме страната b, имено: √ ,

па потоа ќе ја пресметаме површината Р.

* Приближна пресметка:

Можеме приближно да пресметаме дека

другата страна √ √ √

така да најверојатно b е подолга од а.

Точно решeние:

√ √ √ √

Следува:

Одговор: Површината на зададениот правоаголник е 3,35 cm2.

4

Задача: Дијаголналата на еден квадрат е 4,71 cm. Да се најде површината на

квадратот.

За размислување: Зошто во задачата е даден само еден податок, додека во

претходниот пример беа дадени два, имено покрај должината на

дијагоналата, дадена беше и должината на едната страна?

Објаснете го вашиот одговор и со слики и со зборови.

Пример 2. Една пита има дијаметар 27,5 сш. Отсечено е едно парче од питата со

кружен лак од 30,2 cm. Колкава е површината на отсеченото парче?

Решение:

* Најнапред правиме скица од задачата:

За да направиме релативно реална скица треба да размислиме околу следното:

Колкав дел од обемот на питата изнесува зададениот кружен лак? Користејќи ја

формулата за обем на кружница него приближно го пресметаме:

Значи зададениот лак изнесува:

Скицираме:

* Чекори на решавање:

Ја проучуваме скицата. Уочиме дека односот помеѓу должината на лакот и целиот

обем е ист со односот помеѓу површината на парчето и целата површина на

кружницата, т.е.

5

Значи, треба (точно) да ги пресметаме вредностите Р и О, па да ја пресметаме

.

* Приближно ја решаваме задачата:

(

)

*Решаваме точно:

(

)

*Одговорот на задачата!!

Површината на зададеното парче изнесува 207,64 cm2.

За размислување: Како можеме да го најдеме аголот α кој го зафаќа парчето?

Заразмислување: Една пита има дијаметар 27,5 cm. Отсечено е едно парче (кружен

исечок) од пита со површина 0,1 m2. Колкав е кружниот лак на

отсеченето парче, а колкав е аголот кој го зафаќа отсеченото

парче?

Задача: Една пита има дијаметар 27,5 cm. Отсечено е едно парче (кружен исечок) од

пита со површина 0,01 m2. Колкав е кружниот лак на отсеченето парче, а

колкав е аголот кој го зафаќа отсеченото парче?

Пример 3. Една скала со должина 4 m е потпрена на ѕид. Долниот крај од скалата е

одалечен од ѕидот 2 m. Ако долниот крај е тргнат од ѕидот уште еден

метар, за колку ќе се спушти горниот крај од скалата?

6

* Скица:

*Чекори на решавање

Целта на задачата е дасе определи растојанието d. Со теоремата на Питагора, можеме

да ги определиме висините h и h – d, а потоа да го пресметаме растојанието

d = h – ( h – d).

*Пресметка:

√ √ √ √ √

*Одговор на задачата!

Горниот крај на скалата ќе се спушти за 1,09 m.

Задача: Една ламба е фиксирана на јаже (т.е. должината ВС е финксна) и е обесена. Во

моментот должината на јажето помеѓу точките А и В е 14,2 m, а другите

должини се обележени на сликата. За колку треба да се скуси јажето така да

ламбата е спуштена само 1,3 m од таванот?

7

3. Задачи од секојдневниот живот

3.1. Чекори во логичко размислување

1. Прочитајте ги сите информации дадени во задачата.

2. Размислете околу смислата на задачата, други начини за поставување на

задача (формулирање со други зборови), логичноста на задачата итн.

3. Ако можете, направете скица или графички преставете ги податоците

дадени во задачата.

4. Направете план, односно размислете околу чекорите што треба да се

направат при решавањето на задачата.

5. Приближно пресметајте некои од карактеристичните вредности.

6. Претставете ја задачата алгебарски, т.е. со равенка или равенки - притоа

запишувајќи објаснување за секоја променлива.

7. Решете ја задачата алгебарски.

8. Проверете го резултатот со скица, графикон, односно приближно

пресметување за да проверите дали добиеното решение има смисла.

9. Напишете го одговорот на задачата на истиот начин како што беше

поставено во задачата.

3.2. Примери и задачи

Пример 1. Една издавачка ќука смета дека нејзините трошоци ќе пораснат за 10%

во наредната година. Оваа година, да се издаде една книга по

математика чини 1540 ден.. Колку истата ќе чини во идната година?

Решение:

1. Информацни: a. 10% поскапување, б. оваа година цената е: 1540 ден., в. се

бара цената за наредна година.

2. Со други зборови: Во задачата се бара да ја пресметаме новата цена која е

за 10% поголема од сегашната цеиа.

3. Размислување: цената во наредната година = денешната цена +

8

поскапувањето

4. Чекори: а. треба да се пресмета поскапувањето

б. треба да се собираат износите за денешната цена и поскапувањето.

5. Прибли.жно: а. поскапувањето е:

б. новата цена е:

6. Алгебарско претставување:

Денешна цена Поскапување Цената во наредната година

1540

Значи равенката е: Новата цена = или

каде што у е новата цена.

7. Решавање на алгебарското претставување:

8. Проверка: (нашата приближна пресметка)

9. Одговор:

Идната година, издавање на книгата ќе чини 1694 ден.

Забелешка: Доколку сакаме да правиле „алгоритам“ за пресметување на новата цена

y како функција од сегашната цена x, пишуваме:

Нека x = сегашната цена и

y = цената во наредната година

тогаш

Задача: Еден производител на телевизори оценил дека во наредната година, ќе мора

да ги продава производите од оваа годипа за 8% помала цена.

а. На истиот начин како и во погорниот пример, најдете ја цената во

наредната година на производ со сегашна цена од 1200 ден.

(продолжува)

б. Напишете го и алгоритам (целосно со дефиниција на х и у) за

пресметување на нови цени како функција од сегашните цени.

9

в. Ако цената на еден производ во наредната година е 460 ден., колкава

била истата во оваа година?

Пример 2. Еден одржувач на станбена зграда оценил дека за поправката на зградата

ќе бидат потребни вкупно 5000 работни саати. Ако одржувачот

сакаработата да се заврши за 5 работни недели (40 работни саати на

еден работник во една недела), колку работници треба да работат?

1. Информации: 5000 работни саати, 5 работни недела, една работна недела на

еден работник = 40 работни саати.

2. Со други зборови: На пр.: Секој работник треба да работи 40 работни саати за

5 недели, т.е. 200 работни саати. Колку работници треба за да се оствараат

5000 работни саати?

3. Размислување:

1 работник 2 работници 3 работници 10 работници

1 недела 40 40 = 80

2 недела = 80 2 = 160

5 недели

4. Чекори: Гледаме дека вкупните работни саати се најдува како производ на

бројот на работниците по работните саати/неделата по бројот на неделите.

5. Приближно: Според табелата гледаме дека 10 работници за 5 недели работат

2000 саати, што значи дека 20 работници за 5 недели работат 4000 саати, 30

работници за 5 недели работат 6000 саати. Значи одговоот е помеѓу 20 и 30

работници.

6. Алгебарско претставување:

Нека x = бројот на работниците. Тогаш:

(вкупните работни саати)

7. Решавање на алгебарското претставување:

10

8. Проверка: Ова решение одговара на приближната пресметка.

9. Одговор: Потребни се 25 работници да работат 5 недели за вкупно 5000

работни саати.

Задача: Една фабрика добива порачка за 200.000 парчиња од еден производ. За

производство на едно парче потребни се 1,2 работни саати. Фабриката

има 240 вработени. За колку работни недели ќе биде готова порачката?

Пример 3. Една кутија има димензии 50 cm х 25 cm х 20 cm, а во неа ќе се паковаат

цилиндрични конзерви со дијаметар 10 cm и висина 18 cm. Во една

кутија, колку конзерви можеме да ставиме ако конзервите се ставаат во

вертикална положба. Колку ќе има празен простор во кутијата?

1. Размислување: Прво, задачата има смисла во однос на тоа дека конзервите

можат да наредат во кутијата бидејќи 10<50 (должина), 10<25 (ширина) и

18<20 (висина). По скицирање (долу) на задачата, јасно е дека треба да се

смета дека празен простор има секаде освен во самите конзерви.

2. Геометриско претставување:

3. Чекорите:

а. Пресметување на максимален број на конзерви кои може да се наредат во

кутијата.

б. Пресметување на волуменот на една конзерва.

в. Пресметување на волуменот на сите конзерви.

г. Пресметување на волуменот на кутијата.

д. Одземање на волуменот на конзервите од волуменот на кутијата

11

4. Приближно пресметување:

а. Релативно е јасно дека може максимум 10 конзерви да се наредат во

кутијата

б. Секоја конзерва има волумен

Забележуваме дека има смисла конзервата да има волумен .

(проценуваме со раце!)

в. 10 конзерви

г. Волуменот на кутијата е

Забележуваме дека има смисла кутијата да има волумен .

(проценуваме со раце!)

д. Воздухот во кутијата е:

5. Прецизно пресметуваме:

a. 50: 10 = 5 конзерви по должина и 25 : 10 = 2,5 или 2 конзерви по

ширина и 20:18 = 1,1 ИЈШ 1 конзерва по висина, т.е.

конзерви влегуваат во кутијата.

б. Секоја конзерва има волумен: .

в. 10 конзерви 14.137 cm3

г. Волуменот на кутијата е:

д. Празниот простор во кутијата е: V 25. 000 - 14. 137 = 10.863 cm3

6. Проверка: Пресметката одговара на приближната пресметка.

7. Одговорот: Волуменот на празниот простор на кутијата изнесува 10.863 cm3.

Задача: Една играчка има форма на конус со дијаметар 8 cm и висина 12 cm. Секоја

играчка е пакована во индивидуални правоаголни картонски кутија со

минимални димензии. Потоа, играчките се наредени во кутиии за

транспорт. Максималната големина на кутиите за транспорт е 50x35x25

cm, а производителот сака играчките да бидат паковени една до друга без

празен простор помеѓу индивидуалните кутии во кутијата за транспорт.

Ако се занемари дебелината на картонот на сите кутии, колку треба да

12

бидат димензиите на кутијата за транспорт и колку играчки и колку

празен простор ќе има во секоја кутија за транспорт

Забелешка: Формулата за волумен на конус да ја најдете во прирачник или сл.

Задача за размислување: Според својот договор, еден кошаркар добива годишен

личен надоместок според функцијата (во EBPA):

каде што х=бројот на игрите во кои неговата екипа

.победува.

а. Колку добива играчот за секоја добиена игра?

б.Колку добива играчот ако екипата не победи во ниту една игра?

в. Колку ќе добива играчот ако екипата победи во 60 игри?

г. Што претставува 25.000?

д.Ако сака да се заработи барем 50.000 ЕВРА, во колку игри ќе мора да

победи неговата екипа?

Задача: На еден производител на електронски компоненти, производството на

една компонента му чини 250 ден. по парче. Меѓутоа, припремата на

опремата за производство на оваа компонента му чинеше 57.500 ден.

а. Колку ќе го чини на производителот да произведе едно парче?

б. Колку ќе го чини на производителот да произведе 10 парчиња?

в. Направете алгоритам за пресметка на трошоците на производителот како

функција од бројот на произведени парчиња (се комплет со дефиниции на

променливите!!).

г. Колку ќе го чини на производителот на направи 2000 парчиња?

д. По колку треба да ги продава овие 2000 парчиња за да не биде во загуба?

ѓ. Пресметајте колку парчиња може производителот на направи за 100.000

ден. По колку треба да ги продава овие парчиња за да не биде во загуба?

Пример 4: Во една продавница во еден ден се продавале вкупно 30 бели и жолти

13

кошули. Белите чинат 995 ден., а жолтите чинат 1050 ден. Вкупно

продавачот зеде 31.060 ден. за кошулите. Колку бели кошили биле

продадени, а колку жолти?

1. Имаме четири податоци: вкупен број на кошули (30), цената на белите (995),

цената на жолтите (1050) и вкупно земени пари (31 060).

2. Размислување: Се бара (а) колку бели кошули се продадени и (б) колку жолти

кошули се продадени, т.е. потребни се две променливи.

Нека х = бројот на продадени бели кошули,

a у = бројот на продадени жолти кошули.

Користејќи го првиот податок, имаме х + у = 30.

Користејќи ги другите три податоци, имаме: 995 - х + 1050 • >> — 31060.

Значи имаме две равенки во две непознати, односно задачата има смисла.

3. Скица на задачата нема, но график има!!

Графички ги претставуваме правите: х + у = 30 и 995х +1050y = 31060, т.е.

најпрво даете ги решаваме по у:

Приближно, гледаме дека правите имаат пресек околу точката (7,23).

4. Чекорите:

Решението на задачата е решението на системот:{

5. Приближно пресметавме со графикот

6. Точно решение:

14

Системот најлесно се решава со замена од првата равенка во втората.

7. Ова решение одговара на приближната пресметка од графикот.

8. Одговор: Биле продадни 8 бели кошули и 22 жолти кошули.

Задача: Една кола троши 16l бензин на 100km во градот, a 12,5 l бензин на 100 km

на отворен пат. Ако колата беше помина 395km и потроши 52l бензин,

колку km се помина во градот, а колку на отворен пат?

Пример 5: Три пумпи A, В и С, кога работат заедно можат да испумпаат

14800l на час, Кога само А и В работат, се испумпуваат 8800l на час, а

кога само А и С работат, се испумпуваат 9600l на час. Колкав е

капацитетот на секоја пумпа?

1. Најпрво треба да ја разбереме дека во оваа задача претпоставено е дека силите

на пумпите се собираат без загуба. Потоа, сме дадени три податоци: вкупната

сила на трите пумпи е

,вкупна сила на пумпите А и В е

, а вкупна

сил на пумпите А и С е

.

2. Размислување: Се бара (а) колку бели кошули се продадени и (б) колку жолти

кошули се продадени, т.е. потребни се две променливи.

Нека a = силата на пумпата А во

b = силата на пумпата В во

, a

с = силата на пумпата С во

.

15

Користејќи ги трите податоците имаме систем {

Значи имаме три равенки во три непознати, односно задачата има смисла.

3. Скица на

4. Чекорите:

Решението на задачата е решението на системот{

5. Приближно: бидејќи сите сили мора да се ненегативни броеви

(т.е. .

6. Точно решение:

Системот најлесно се решава почнувајќи со замена на втората равенка во првата. a +

Потоа, овој резултат го заменуваме во третата равенка.

На крај, овој резултат го заменуваме во втората равенка. a - 3600 :=> 3600 + 6 = 8800

b = 8800-3600 b = 5200

7. Ова решение одговара на приближната пресметка.

8. Одговор: Силата на пумпата A е 3600

., на пумпата В е 5200

., а на пумпата С е

6000

.

Задача: Во една фабрика има три машини A, В и С за полирање. Кога трите машини

работат заедно се полираат 5700 леќа за една недела. Кога само А и В

работат заедно се полираат 3400 леќа неделно, а кога само В и С работат

заедно се полираат 4200 леќа неделно. По колку леќа неделно можат секоја

машина да полира?

16

За размислување: На една претстава, во публиката имаше вкупно 100 луѓе (мажи,

жени и деца). Билетите чинea 100 ден. за мажи, 30 ден. за жени и

10 ден. за деца. Посебно да се пресмета колку имало мажи, жени и

деца во публиката?

Пример 6: Еден авион го прелетува растојанието од 3000 km од Лoc Ангелес до

Њујорк во правец на ветерот за 5 часа. При враќањето летајќи спроти

ветерот потребно му е 6 часа. Претпоставиме дека брзината на авионот и

брзината на ветерот се константни за целиот пат. Да се определи

брзината на авионот и брзината на ветерот.

1. Информации: Од ЛA до Њујорк авионот лета 3000 km за 5 часа, а од Њујорк за

ЛA авионот лета 3000 km за 6 часа.

2. Размислување: Се бара брзината на авионот и брзината на ветерот, т.е. потребни

се две променливи.

Нека р = брзината на авионот во мирен воздух, a

w = брзината на ветерот.

Сега треба да уочиме дека:

брзината на одење = брзината на авионот + брзината на ветерот, додека

брзината на враќање = брзината на авионот - брзината на ветерот.

Растојание (s) Брзина (v) Време (t)

Со ветерот 3000 p +w 5

Против ветрот 3000 p - w 6

Потоа, да се потсетиме дека растојанието, брзината и времето се поврзани преку

дефиницијата за брзина:

3. Чекори

Чекор 1: Поставување на проблемот.

17

Користејќи ја равенката ѕ = vt за секој ред од табелата формираме по една

равенка, а со тоа добиваме систем од 2 равенки:

{

Чекор 2: Решавање на системот равенки.

{

4. 4. Приближна пресметка:

На одење авионот (заедно со ветерот) леташе со брзина:

, a

на враќање авионот (заедно со ветерот) леташе со брзина:

Следува дека брзината на авионот (без ветерот) е помеѓу 500 и 600 km/h.

{

|

|

|

|

|

|

8. Проверка:

Одговорот е во склад со реалноста, т.е. одговорите се позитивни и во рамките на

приближната пресметка.

9. Одговор: Брзината на авионот е 550 k/h; а брзината на ветерот е: 50 k/h.

Задачи: Брод за 3 часа изминува 24 km no реката. Истото растојание низ реката го

изминува за 2 часа. Да се определи брзината на бродот и брзината на

речната струја.

Пример 7: Виното А има 5% алкохол, а виното В има 15% алкохол. По колку литри од

секое вино треба да се измеша за да се добие 10l вино со 12% алкохол?

18

1. Размислување: Јасно е дека се потребни две променливи, имено нека

х = количината на виното А и у = количината на виното В.

Потоа, јасно е дека х + у =10 е една од потребните две равенки.

Сега треба да размислиме како да се работи со % на алкохол. Сакаме 10l вино со

12% алкохол, односно сакаме 10l течностсо 12% алкохол, т.е. 12%-10=1,2l

алкохол. Ги организираме познатите податоци во табела:

Вино Количина Процент на алкохол Количина на алкохол во

растворот A х литри 5% 5%-х = 0,05х В 7 литри 15% 15%у = 0,15y

Мешавина 10 литри 12% 12%-10= 1,2

Сега ни e јасно дека количеството на алкохолот во A + количеството на алкохолот во

В треба да е еднакво на количеството на алкохолот во мешавината:

0,5x + 0,15y = 1,2

2. Чекорите:

Решението на задачата е решението на системот:{

3. Приближна пресметка: Бидејќи количеството на алкохолот е поблиско да тоа на

виното В, јасно е дека треба да има повеќе од виното В во мешавината. Една

приближна пресметка би бил 4l од виното А со 6l од виното В.

4. Точно решение:

Множејќи ја втората равенка со 100, добиваме:

{

Со замена:

Решението е (3,7).

5. Проверка: Одговорот е во склад со реалноста, т.е. двата броеви се позитивни и

нивниот збир е. 10 и одговара на приближната пресметка.

6. Одговор: Потребно е 3 l од виното А и 7l од виното В.

19

Задача: Растворот А е 25% киселина. Растворот В е 65% киселина. По колку

литри од секој раствор треба да се измеша за да се добие 8l раствор на

40% киселина?

Решение: 5l од А, 3l од В.

Г. Разни задачи

Задача 1: Еден помошник на фарма требало да работи една година за $240 и еден

коњ. После 7 месеци, тој ја откажи работата, го добил коњот и $ 100.

Колку е вредноста на коњот?

Задача 2: Еден продавач на тутун има два видови на тутун. Првиотвидима

вредност 405 ден./kg, а вториот вид вреди 270 ден./kg. По колку од

секој вид треба да се стави за да се добие 15 kg мешавина која вреди

315 ден./kg.

Математичко моделирање - задачи

(во заградите е претпоставеното тежинско ниво)

1. (2) Еден арамија ограбиол банка. При излегувањето од банката го запрел

еден чувар. Арамијата го убедил да го пушти, „давајќи“ му половина од

украдените пари + $2000. Потоа го фатил уште еден чувар но и него го

убедил да го пушти давајќи му половина од преостанатите пари +$2000.

Ова се случило и трет пат односно го фатил и третиот чувар и на него му

дал половина од преостанатите пари +$2000 по што коночно арамијата

побегнал. Кога стигнал дома арамијата ги преброил парите. Него му

останале само $9000. Колку пари украл од банката?

2. (3) Сто вреќи пченица треба да се поделат помеѓу 100 луѓе. Секој маж

треба да добие 3 вреќи, секоја жена треба да добие 2 вреќи и секое дете

треба да добие ½ вреќа. За да се поделат сите вреќи пченица без остаток,

кои се можните распроделби на мажи, жени и деца?

20

3. (3) Еден воз пристигнува до тунелот АВ. Една мачка е внатре во тунелот на

точка 3/8 од растојанието мерено од А кон В. Приближувајќи се возот свири, а

мачката почнува да бега. Ако мачката оди кон влезот на тунелот А, мачката и

возот ќе се сретнат на самиот влез. Ако мачката се движи кон излезот В,

мачката и возот ќе се сретнат на самиот излез. Да се пресмета за колку пати

брзината на возот е поголема од таа на мачката.

4. (2) Во едно претпријатие за графичка уметност, печатењсто на постери чини

no $4, а секојдневните трошоци се $600. Ако постерите ги продаваат по $5.20,

колку постери треба да се продада за да има профит 10% повеќе од

секојдневните трошоци?

5. (3) Рамона оди со 2 миљи на час движејќи се нагоре по планина. Слегувајќи

надолу по истата патека таа оди со 6 миљи на час. Ако не се задржи на врвот,

колкава ќе биде средната брзина на Рамона за целото пешачење?

6. (2) Две ваги се прикажани подолу. Колку “С” топки балансираат една “А”

топка?

7. (1) Средната вредност на поените на 10 студенти била 69. Тројца студенти

постигнале 80, 60 и 40 соодветно. Тројца студенти постигнале по 90 и двајца

по 50. Останатите два студенти постигнале исти поени. Кожу изнесуваат

нивните поени?

8. (2) Определете ги должините на дијагоналите на прикажаниот паралелограм

доколку a = 20 cm, b = 12 cm и h = 10 cm.

21

9. (3)Пресмeтајте ja површината на исенчаната област за

r = 5 cm, за r = 10 cm и за г = 20 cm. Доколу површината

на исенчаната област за r = a cm е р cm2, тогаш

колкава е површината на исенчаната област ако r = 2а

cm?

10. (2) Две лебарки, Битл (Beetle) и Твитл (Tweetle), одлучиле да џогираат

околу нови триаголни патеки во нивното училиште. Патеките се слични 1

cm = 1 m, двете бубачки џогираат со иста брзина. Битл може да џогира еден

круг околу патеката А за 5 минути. Колку време ќе му биде потребно на

Твитл за да го заврши едниот круг околку патеката В?

11. (1) Еден овчар има 12 кози и 15 овци. Колку години има овчарот?

12. (3) Во заедница од 416 луѓе, секоја личност поседува куче или мачка или и

двете. Доколку има 316 сопственици на кучиња и 280 сопственици на мачки,

колку сопственици на кучиња немаат своја мачка.?

13. (2) Правоаголен триаголник во првиот квадрант е ограничен со линиите

y = 0, у = х и у= -х+5. Пресметајте ја неговата површина.

14. (3) Девет големи цевки ќе го одводнат езерото за 8 часа и шест мали цевки

ќе го одводнат истото езеро за 16 часа. Колку време е потребно 3 големи

цевки и 5 мали цевки го одводнат езерото?

15. (4) Две коли се натпреваруваат околку кружна патека, во спротивни насоки

при константни брзини. Тие стартуваат од иста точка и се среќаваат на

секои 30 секунди. Ако тие се движат во иста насока, тие се среќаваат на

секои 120 секунди. Доколку патеката е долга 1800 m, колкава е брзината на

22

секоја кола?

16. (4) Хемиска индустрија потроши х милиони долари на испитување на

пронајдоци дека нивната добивка може да биде изразеа како функција од

сумата на пари потрошена на испитување. Доколку добивката е:

Сегашното ниво на инвестиција е 5 милиони долари. Уште колку ќе треба

да инвестира за да го зголеми сопствената добивка на 80 милиони долари?

17. (2) Пресметај го и реши го системот на равенки даден од следните

информации. Три луѓе одат во продавница каде има продажба. Секоја

кошула во продавницата е х долари, сите пантолони се у долари и сите

џемпери се z долари. Првата личност купува две кошули, еден пар

пантолони и еден џемпер. Втората личност купува една кошула, два пара на

пантолони и два џемпери. Третата личност купува три кошули и четири

пара на пантолони. Пресметај ја цената на секое парче ако првото лице

потрошило $155, а второто и третото лице потрошиле по $235.

18. (3) Биологот пронајде дека кога една популација на бактерија е оставена t

денови бројот на (живи) бактерии ќе биде ,

каде вредноста на а зависи од почетниот број на бактерии. Ако почетниот

број на бактерии е 2572 (заокружено од 2572.55), колку бакгерии ќе има

после седум дена?

19. (3,5) Три кругови со центри A, В, и С се тангента на некој друг. Секој круг

има радиус 5. Линиите DE и FG се тангента на С и се пресекуваат при G.

Пресметај ја должината на FG.

(4) На дијаграмот равенката на кругот е

23

Пресметај ја површината на исштрафираната област

(Веројатно, треба да го знаете фактот дека

должината на правата ОЕ е 2/3 од висината на

триаголникот ОАС.)