УНИВЕРЗИТЕТ “ГОЦЕ ДЕЛЧЕВ” - ШТИП

ФАКУЛТЕТ ЗА ПРИРОДНИ И ТЕХНИЧКИ НАУКИ

ЛОГИСТИКА – ИНДУСТРИСКА ЛОГИСТИКА

СЕМИНАРСКА РАБОТА ПО ПРЕДМЕТОТ

МАТЕМАТИЧКО МОДЕЛИРАЊЕ ВО ЛОГИСТИКАТА

Ментор: Изработил:

Проф.д-р. Благој Голомеов Кристина Николовска – 213214

Штип

Февруари 2014

СОДРЖИНА

1. Вовед во математичкото моделирање........................3

2. Видови на моделирања .................................................4

3. Физичкото моделирање ,Емпириско моделирање....4

4. Математичко моделирање..............................................5

5.Видови на математички модели.....................................6

6. Линеарно програмирање................................................12

7. Заклучок.............................................................................17

8. Литература.........................................................................18

2

3. Вовед во математичкото моделирање

Математичкиот модел го опишува системот со помош на збир од

варијабли и равенки, кои го опишуваат односот помеѓу варијаблите. .

Моделирањето долго време е составна компонента на организираните,

синтетизираните и рационализираните набљудувања и мерења на реалните

системи и во разбирањето на нивните причинители и ефектите од нив. Во

поширока смисла, целите и задачите на моделирањето можат да бидат двојни:

истражувачко-ориентирани и управувачко-ориентирани. Специфичните цели на

моделирањето може да го објаснат системот; да го анализираат неговото

однесување; да го менаџираат, да раководат или да го контролираат системот

за да се постигнат посакуваните резултати; да креираат методи за

подобрување или модифицирање на системот; да ги тестираат хипотезите за

системот; или да го предвидат неговиот исход при различни услови.

3

Математичко моделирање е постапка на опишување на реалниот систем

на математичките равенки се со цел за развој на употребата на

математичкиот модел, за подоцнежна анализа, проектирање и

оптимизација на системот за кој самиот модел е направен.

Видови на моделирања

Најчестите пристапи во моделирањето во областа на животната средина,

можат да се класифицираат во три основни типови: физичко моделирање,

емпириско моделирање и математичко моделирање.

Физичкото моделирање

Физичкото моделирање вклучува прикажување на реалните системи

преку геометриски и динамички сличен мерен модел и спроведување на

експерименти на системот за да се направат набљудувања и мерења. Од

резултатите од овие експерименти се изведува заклучок, односно се

проценуваат вредностите во реалните системи. Во процесот се употребени

димензионални анализи и теории, за да се потврди дека резултатите од

моделот со сигурност можат да бидат екстраполирани во реалните системи.

Емпириско моделирање

Емпириското моделирање (или моделирање на „црна кутија“) се базира

на индуктивен пристап во кој се користат податоци кои биле набљудувани во

минатото за да се развијат врски помеѓу променливите за кои се верува дека

се важни за системот кој се испитува. За да се осигура веродостојноста на

предвидувањата за реалните системи, често во овој процес се користат

статистички алатки. Резултирачкиот модел се нарекува „црна кутија“ и ги дава

само оние промени кои можат да се очекуваат во изведувањето на системот, а

кои се должат на промените во влезните параметри. Иако вредноста на овој

пристап е ограничена на претпоставки, сепак овој пристап се покажал корисен

во случај на комплексни системи, каде што основната наука не е добро

објаснета.

4

Математичко моделирање

Математичкото моделирање (или механистичко моделирање) се

базира на дедуктивен (изведен) или теоретски пристап. Овде основните

(фундаменталните) теории и принципи на водење на системот заедно со

претпоставките за упростување, се употребуваат за да се добијат

математичките врски помеѓу важните променливи. Резултирачкиот

модел може да биде калибриран со употреба на историски податоци од

реален систем и може да се докаже со употреба на дополнителни

податоци.

Со појавата на математичките техники на моделирање на

реалните системи, се надминаа ограничувањата на физичкото и

емпириското моделирање. Математичкото моделирање всушност

вклучува трансформирање на системот кој се испитува, од неговата

природна средина, во математичка средина изразен преку апстрактни

симболи и формули.

Системот е апстрактна/замислена целина, за која сметаме дека нема

интеракција со околината, туку е изолирана и егзистира како независна.

Најчесто системот е дефиниран со математичка релација помеѓу влезните и

излезните количини.

Варијаблите во моделот претствавуваат некои својства на системот ( на

пр.T,p, q, x s.t. , c А ν, μ, ρ).

Во моделот може да постојат различни видови на варијабли, па така тие можат

да бидат:

- Влезни и излезни,

- Зависни и независни

- Варијабли на состојба и

- Случајни варијабли.

Бидејќи тоа може да бидат повеќе варијабли внатре во секој од наведените

видови, варијаблите вообичаено ги претставуваме со вектори.

5

Моделите се состојат од варијабли, коефициенти и математички оператори.

Математичките модели можат да бидат:

1) Линеарни и нелинеарни

-Ако равенките на моделот покажуваат линеарност во графичкото

представување на промената на варијаблите, моделите ги сметаме за

линеарни и обратно.

- Нелинеарните модели моради поедноставно прикажување можеме да ги

линеаризираме. Тогаш тие губат на точноста, но на едноставен начин ги

покажуваат промените и меѓусебните зависности помеѓу варијаблите.

2) Детерминистички и веројатносни

- Детерминистички се оние модели во кои секој збир од варијабли е точно

одреден со параметрите во моделот и збирот од предходните состојби

на варијаблите. За еден збир од вредности резултатот е секогаш ист.

- Веројатносниот (стохастичен) модел во себе содржи случајности, а

состојбите на варијаблите не се опишани со точно одредена и

единствена вредност , туку со распределба на веројатности ( на пр.

Различна количина ја јаболка во студентски ресторан во текот на една

година -просек)

-

3) Статични и динамични

-Статичните се модели на математичкиот опис на системот во

стационарна состојба, каде што вредностите на влезните и излезните

варијабли се константни, но не потребни и еднакви едни со

други.Бидејќи нема промена на варијаблите нивната деривација е

еднаква на нула и тие не зависат од времето.

6

-Динамичните модели, за разлика од статичните, зависат од времето па

промените на варијаблите се прикажани како деривација по времето

односно како диференцијални равенки.

4) Дискретни/дисконтинуирани и континуирани

- Дискретните модели не го земаат во обзир времето, а промената на

големината ја прикажуваме на хистограм бидејќи вредностите на

варијаблите меѓусебно не се поврзани и не се зависни.

- Континуираните модели се прикажуваат како функција на времето, f(t) и

варијаблите се менуваат со тек на времето.

5) Дистрибутивен наспроти збиен модел

Кога варијациите на променливите во системот се континуирани функции од

времето и просторот, тогаш системот мора да се моделира со

дистрибутивен модел. На пример, варијацијата на својствата, C, во трите

ортогонални насоки (x, y, z), може да се опише со дистрибутивна функција C

= f (x, y, z). Ако овие варијации се занемарливи во овие насоки во границите

на системот, тогаш C е еднаков во сите правци и е независен од x, y и z.

Ваквиот систем се нарекува збиен систем. Збиените, статични модели често

се изградени од алгебарски равенки; збиените, динамички модели често се

изградени од обични диференцијални равенки; и дистрибутивните модели

често се изградени од парцијални диференцијални равенки.

Проблемите на математичкото моделирање често гиповрзуваме со моделот

на црната и моделот на бела кутија. Кога врските помеѓу варијаблите се

непознати тогаш говориме за моделот на црна кутија.

Што повеќе познати врски помеѓу варијаблите, толку моделот ке биде по

точен. Па затоа некогаш е корисно во моделот да се вгради селективна

информација на темел на интуиција, искуство, стручно мислење или пак

доверливост на математичкиот израз.

7

- Што повеќе врски и варијабли се опфатени во моделот, толку повеќе

моделот е по сложен и неговата употреба е се помалку едноставна.

Сложените модели често се по прецизни од едноставните и затоа е

потребно да се одреди саканата точност на моделот и така да се одбере

прикладно ниво на сложеност. Секаде каде што е можно, треба да се

користат едноставни решенија.

Секој модел, кој не е модел на белата кутија,содржи параметри

кои можат да бидат прилагодени за што поверен приказ на системот. Ако

за моделирањето се користат неурални мрежи оптимирањето на

параметрите се нарекува тренинг или учење на системот.

Најчесто за моделирањето се користат математички функции.

Важен дел од математичкиот модел е валидноста или процената

на моделот со кој се проведува дали моделот го опишува системот точно

или не.

1) Наједноставен начин за валидност е проверката на сличност

или поклопување на излезните вредности од моделот и

експерименталните податоци.

2) Друг начин е одвојување од податоците и збирот за учење или

тренирање и збирот за предвидување и верификација. Збирот

за учење служи за проценка на параметрина на моделот. Оваа

пракса во статистиката се нарекува вкрстена валидација.

3) Корисно е за проценка на оделот да се одреди допуштено

отстапување или точност.

4) Прикладноста на параметрите почесто се проверува отколку

прикладноста на самиот математички модел. Затоа постојат

повеке статистички анализи за тестирање на параметрите во

моделот, отколку за тестирање на различните диференцијални

равенки кои се користени во моделот.

8

5) Проценката за целта на моделот дава информации за

примената на моделот во поодделните ситуации. На различен

збир на податоци се проверува сличноста на излезните

вредности од моделот и реалниот систем. Со интерпретација

на различните збирови на вредности се проценува целта и

употребливоста на моделот во различните подрачја.

6) Бидејќи целта на моделирањето е да се подобри разбирањето

на системот, вредноста не е само да се совпадне

експерименталните вредности, туку и моделот мора да има

способност за екстраполирање(предвидување), на новите

ситуации или вредности, освен оние вградените во самиот

модел.

Математичкото моделирање е општо препознатливо како процес на

примена на математиката на реалниот систем поради можноста за

согледување/спознавање подоцна за отребните информации. Моделирањето

немора обавезно да го реши проблемот, но најверојатно ќе го расветли

проблемот и ќе ја појасни следената ситуација.

9

Слика 1. Односот на системот и математичкиот опис во процесот на

моделирање

Постојат четири доста чести видови на математички пристап на

моделирање и тоа :

1) Емпириско моделирање - вклучува испитување на податоците

поврзани запроблемот на конструирање на математичката зависност

помеѓу варијаблите со помош на расположливите податоци.

2) Симулациско моделирање-подразбира употреба на компјутерски

програми или други технолошки алати за креирање на сценарија врз

основа на збирот од правила. Овие правила одредуваат како ќе се

развива одреден процес.

3) Детерминистичко моделирање - подразбира користење на равенки

или збир од равенки за моделирање или предвидување на излезните

вредности или случувања на системот.

4) Стохастично моделирање - оди чекор понапред од детерминистичкото

и при креирање на математички равенки ја зема во предвид и

случајноста и веројатноста дека некое случување ќе се исполни.

Постојат ситуации во кои не можеме со сигурност да знаеме дали

нешто ќе се случи или не, но постои одредена веројатност.

10

Математичкото моделирање е колекција од општи принципи. Кои се докажани

како корисни, во примената на математичката“know-how”, постапка за

анализирање на не математичките дисциплини.

Примената на познатите физички закони при конструирање на математички

модел е една од најчестите методи во науката на инжењерството.

Принципи на математичкото моделирање:

1) Именувањето на познатите и не познатите вредности на варијаблите кои

го опишуваат проблемот.

2) Идентификација/опис на односот помеѓу познатите и не познатите

варијабли во моделот. Овие односи се одредени со физичките закони,

интуицијата, искуството или на некој друг начин

3) Проценка на влијанијето на било која претпоставка која е вградена во

моделот за односот помеѓу варијаблите.

4) Описно решеније на проблемот- мора да биде разбирливо за секој кој е

во состојба да го разбере описот на проблемот.

Примената на овие принципи врз основа на моделирањето може да биде

поделена во седум чекори :

1) Потполен детален опис на проблемот кој треба да биде решен.

2) Именување на познатите и непознатите варијабли кои се појавуваат во

системот.

3) Опис на врските помеѓу варијаблите во системот.

4) Експлицитно наведување на сите претпоставки вградени во моделот.

5) Потполен, детален опис на математичкиот проблем кој треба да биде

решен.

6) Решавање на математичкиот проблем.

7) Известување за решенијето на математичкиот проблем и расправа за

влијанијето на сите претпоставки во моделот.

11

ЛИНЕАРНО ПРОГРАМИРАЊЕ

Линеарното програмирање е гранка од метаматиката која се занимава со

проблемот на оптомизација на системот внатре во зададените ограничувања.

Производителот сака да одреди како да ги искористи ограничените количини н

суровини со најголем профит, работодавецот како да ја распореди зададената

работа помеѓу своите вработени, така да биде направена во најкраток можен

рок ..Целта на овие проблеми е оптимизација, максимизирање на корисноста

или пак минимизирање на трошоците со зададени ограничувања кое што се

решава со линеарно програмирање. Подрачјето на линеарното програмирање

има широка примена и тоа во : производството, транспортот и дистрибуцијата,

маркетингот, телекомуникациите, финансиското вложување и планирање,

распоредот на вработените...Формулирањето(моделирањето)на реалниот

животен проблем, како проблем на линеарно програмирање, бара тимско

работење на стручњаци од повеќе подрачја. Линеарното програмирање ги

следи проблемите во кои линеарната функција на цел, мора да се

оптимизира(минимизира или максимизира) низ услови или ограничувања

дадена во форма на равенка или/и неравенка и со варијабли на одлучување.

Тоа е формална постапка за оптимизација на системот кај кои функцијата на

цел и ограничувањата можат да се изразат со линеарна комбинација на

променливи големини.

Постојат повеќе методи кои се базираат на непосредно системско

испитување на границите.Најпозната е симплекс методата, откриена во 1946

година, а разработена од страна на во 1949,1951 и покасно детално

математички обработена во 1963.

Во основа, симплекс методата е итеративна постапка која почнува со

множество од независни променливи кои ги задоволуваат ограничувањата, а

подоцна итеративниот циклус остварува ново множество од независни

променливи за кои се добива подобра вредност на функција на целта. При сето

ова, проблемот е така формулиран и предвидува континуиран математички

третман, со кој вложениот труд се свеува на минимум.

Следната задача која следи подоле, е пример за оптимизирање на план за

производство:

12

Производ А Производ B Производ C КапацитетМашина 1 4 5 4 4200Машина 2 2 2 1 1500Машина 3 2 3 4 2400Добивка 10 12 10

Решение :

maxF ¿ 4X1+5x2+4x3 ≤ 4200

2x1 + 2x2+x3 ≤ 1500

2x1 + 3x2+4x3≤ 2400

x1+ 0, x2+ 0, x3 ≤ 0

Како што може да се забележи, сите ограничувања се израмнети со знакот ≤, па може да се претворат во равенки со додавање на дополнителни ( изеднавувачки) променливи. Коефициентите со овие дополнителни (изедначувачки) променливи во функцијата на целта ќе бидат еднакви на нула. Дополнителните променливи исто така мораат да ги задоволат условите за ненегативност. Па конечно може да се напише:

maxF ¿

4X1+ 5x2+ 4x3+x4=¿ 4200

2x1 + 2x2+ x3+x5 ¿ 1500

2x1 + 3x2+4x3+x6=¿ 2400

x1≤ 0, x2≤ 0, x3 ≤ 0, x4 ≤ 0,x5 ≤ 0, x6≤ 0

На основа на овој модел може да се формира почетна симплекс

13

табела, MAX СТ-0. Почетната база ја сочинуваат дополнителните додатни променлии x4, x5 , x6 ,. Тоа значи дека вредноста на сите променливи надвор од базата е еднаква на нула.т.е x1=x2=x3=0. Вредноста на променливите во базата се добиваат кога во горниот систем на равенката се заменуваат со x1=x2=x3=0, и ни покажува дека тоа се вредности со еднаквост на десната страна (x4 4200; x5

=1500; x6=2400). Овие вредности го сочинуваат векторот x0.Моменталната вредност на функцијата на цел f 0 се добива се замена на вредноста на сите променливи во одговарачкиот израз и изнесува нула. Оваа вредност може да се добие и како скаларен производ на векторот Cb и векторот Xo . Се бара максимумот на функција на целта.

C 10 12 10 0 0 0 x0/ KK

Cb B x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 x4 4200 4 5 4 1 0 0 4200/2=840

0 x5 1500 2 2 1 0 1 0 1500/2=750

0 x6 2400 2 3 4 0 0 1 2400/3=800

fj−cj 0 -10 -12 -10 0 0 0 9000

Коефициентите за векторот (Xј ) ј=1,2...,6 се внесуваат на основа на почетната равенка на ограничувања. Како што предходно е нагласено, fj, претставува скаларен производ на векторот Cb и векторот Xј, па така ќе биде f2=CbX2=05+02+03=0. Може да се забележи дека од сите ненегативни вредности за fj-cj , j=1, 2,..., 6 најмала( т.е онаа најголема по апсолутна вредност) е онаа која се однесува на променливата x2 (f2-c2=0-12=-12) па x2 е променлива влегува во базата. Сега треба уште да се одреди минималната

вредност на односот bi

ai2 , i= 1,2,3 икако што може да се забележи

изнесува 750, и се однесува на променливата x5 од базата па со самото тоа x5променливата е таа која ја напушта базата. Значи θ=750, така што θ (c2-f2)=750(12-0)=9000.За првата промена базата ги содржи променливите x4, x2, x6 , додека за преостанатите променливи важи дека x1=x3=x5=0.

-Сега може да се формира наредната симплекс табела.

Max. СТ-1

14

C 10 12 10 0 0 0

X0/KKCb B X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6

0 X4 450 -1 1 3/2 1 -5/2 0 300

12 X2 750 1 0 ½ 0 ½ 0 1500

0 x6 150 -1 0 5/2 0 -3/2 1 60

fj-cj 9000 2 0 -4 0 6 0 240

Како што може да се забележи променливата која влегува во базата после оваа промена е променливата x3 додека променливата x6 ја напушта базата.Па θ=¿60 е θ(c3−f 3)=60(10−6)=240.Следната процедура е иста како во случајот со предходната промена.

Вредноста на променливите во базата се : x4=360; x2=720; x3=60 Моменталната вредност на функција на целта изнесува f0=12x2+10x3=12720+1060=9240 и претставува збир од моменталните вредности од предходната табела и вредностите θ (c3-f3) од предходната табела. Сега може да се формира наредната симплекс табела.

Max СТ-2C 10 12 10 0 0 0

Cb Xb B X1 X2 X3 X4 X5 X6

0 x3 360 -2/5 0 00 1 -16/5 -3/5

12 x3 720 6/5 1 0 0 8/10 -1/5

10 x3 60 -2/5 0 1 0 -3/5 2/5

fj-cj 9240 2/5 0 0 0 18/5 8/5

15

Бидејќи нема повеќе вредности за fj-cj кои се помали од нула, оваа табела содржи оптимално решеније:

x1opt=0; x2opt=720; x3opt=60fmax=( x1opt

,x1opt,x1opt

)-=00+12720+1060=9240

ЗАКЛУЧОК

Од сето ова можеме да заклучиме дека, за оптимизирање на работните

процеси на едно претпријатие, без разлика за кој оддел станува збор,

математичкото моделирање е неизбежен сегмент од системот на работењето.

Математичкото моделирање всушност вклучува трансформирање на системот

16

кој се испитува, од неговата природна средина, во математичка средина

изразен преку апстрактни симболи и формули.

Користејќи математички функции, равенки, големини, усллови и тн. со

математикото моделирање се доведуваме до одредување на функција на

целта, минимизирајќи ги трошоците и времето на работење, а истовремено

максимизирајќи го профитот.

Литература

1.Вовед во математичкото моделирање- Осијек- Проф др.сц. Дамир Магдиќ

2. Математичко моделирање во логистиката- проф.др. Благој Голомеов.

3. http://web.efzg.hr/dok/mat/svlah/Simpleks%20metoda%20pro%C5%A1ireno.pdf

17

18